Отрезок луч и: Луч — урок. Математика, 2 класс.

Содержание

Точка, отрезок, луч, прямая — числовая прямая

 

Мы рассмотрим каждую из тем, а в конце будут даны тесты по темам.

Точка в математике

Что такое точка в математике? Математическая точка не имеет размеров и обозначается заглавными латинскими буквами: A, B, C, D, F и т.д.

На рисунке можно видеть изображение точек A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Отрезок в математике

Что такое отрезок в математике? На уроках математики можно услышать следующее объяснение: математический отрезок имеет длину и концы. Отрезок в математике — это совокупность всех точек, лежащих на прямой между концами отрезка. Концы отрезка — две граничные точки.

На рисунке мы видим следующее: отрезки [A;C],[C;D],[D;M],[M;F],[F;E] и [E;T], а также две точки B и S.

Прямая в математике

Что такое прямая в математике? Определение прямой в математике: прямая не имеет концов и может продолжаться в обе стороны до бесконечности. Прямая в математике обозначается двумя любыми точками прямой. Для объяснения понятия прямой ученику можно сказать, что прямая — это отрезок, который не имеет двух концов.

На рисунке изображены две прямые: CD и EF.

Луч в математике

Что же такое луч? Определение луча в математике: луч — часть прямой, которая имеет начало и не имеет конца. В названии луча присутствуют две буквы, например, DC. Причем первая буква всегда обозначает точку начала луча, поэтому менять местами буквы нельзя.

На рисунке изображены лучи: DC, KC, EF, MT, MS. Лучи KC и KD — один луч, т.к. у них общее начало.

Числовая прямая в математике

Определение числовой прямой в математике: прямая, точки которой отмечают числа, называют числовой прямой.

На рисунке изображена числовая прямая, а также луч OD и ED

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: ПРИМЕРЫ
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspЧтение и запись больших натуральных чисел: разряды, классы + ПРИМЕР

4. Лучи и отрезки | учебник для 7 класса «ГЕОМЕТРИЯ»

4. Лучи и отрезки


Отметим на прямой какую-нибудь точку С. Она разбивает прямую на две части. Точки А и В на рисунке 4.1 принадлежат разным частям. В этом случае говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от точки С, а точка С лежит между точками А и В. Точки В и D принадлежат одной части. В этом случае говорят, что точки В и D лежат по одну сторону от точки С.

В качестве аксиомы взаимного расположения точек на прямой принимается следующее свойство.

• Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки, а точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.

Лучам, или полупрямой, называется часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих от неё по одну сторону. При этом сама данная точка называется вершиной луча, или началом.

Для обозначения лучей используются строчные латинские буквы, например, а, или пары прописных латинских букв, например АВ, первая из которых обозначает начало луча, а вторая — какую- нибудь точку, принадлежащую лучу (рис. 4.2).

Отрезком называется часть прямой, состоящая из двух данных точек и всех точек, лежащих между ними. При этом сами данные точки называются концами отрезка.

Отрезок обозначается указанием его концов. Например, АВ, C1D1 (рис. 4.3) ит. д.

Вопросы

1.        Какая фигура называется лучом?

2.        Как обозначается луч?

3.        Какая фигура называется отрезком?

4.        Как обозначается отрезок?

Задачи

1 Сколько лучей могут иметь данную точку в качестве своей вершины?

2°. Сколько лучей, расположенных на данной прямой, могут иметь данную точку этой прямой в качестве своей вершины?

3 °. и С;

б) точка А лежала между точками В и С, а точка С- между точ­ками А и D.

5.        Для точек А, В, С, D прямой известно, что точки В и С лежат по одну сторону от точки А, точки В и D тоже лежат по одну сторону от точки А. Как расположены точки С и Dотносительно точки j4?

6* На прямой отмечены: а) 3 точки; б) 4 точки; в) 5 точек; г)* п точек. Сколько имеется лучей, лежащих на данной прямой, с вершинами в этих точках?

7* На прямой отмечены: а) 3 точки; б) 4 точки; в) 5 точек; г)* п точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

Прямая, отрезок, луч, плоскость

  1. Главная
  2. Геометрия
  3. Начальные геометрические сведения
  4. Прямая, отрезок, луч, плоскость

Прямая и точка

Прямая бесконечна. Через две точки можно провести только одну прямую. Две прямые могут пересекаться, а могут и не пересекаться. Пересекаются прямые только в одной точке. В двух точках пересечься они не могут, так как через две точки можно провести только одну прямую.

Через точки A и B проходит прямая AB. Двигай точки A и B.

Плоскость

Плоскость — это поверхность, состоящая из прямых, соединяющих две любые точки поверхности.

Через точки A,B,C и D проходит плоскость. Двигай точки A, B и C.

Отрезок

Отрезок — это все точки прямой, расположенные между двумя заданными точками, которые называются концами отрезка.

Перед тобой отрезок AB. Двигай точки A и B.

Длина отрезка

Длина отрезка — это число, показывающее, во сколько раз отрезок длиннее, чем выбранный единичный отрезок.

Здесь AB — отрезок, CD — единичный отрезок. Длина отрезка AB показывают ризки на отрезке AB. Двигай точки A, B, C и D.

Расстояние между двумя точками

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, соединяющего эти точки.

Здесь A и B — точки, CD — единичный отрезок. Расстояние между точками A и B показывают ризки на отрезке AB. Двигай точки A, B, C и D.

Луч и дополнительные полупрямые

Луч (полупрямая) — это часть прямой. Любая точка прямой делит прямую на две таких части — два луча (две полупрямых). Такие два луча называются дополнительные полупрямые.

Здесь AB — это луч (двигай луч). Здесь точка D — это упомянутая точка, которая делит прямую. CD — это луч (двигай луч). CE — дополнительная полупрямая к лучу CD.

Равные фигуры

Равные фигуры — это фигуры, которые при наложении совмещаются всеми своими точками. Если фигуры совмещаются после зеркального отражения, то это тоже равные фигуры.

Фигуры FGHIJ и KLMNO равны фигуре ABCDE. Двигай точки A, B, C, D, E.

Середина отрезка

Середина отрезка — это точка, которая делит отрезок на два равных отрезка.

Точка C — середина отрезка AB. Двигай точки A и B.

Прямая. Луч. Отрезок. Задачи по математике 2 класс



Математика 2 класс

Задачи для 2 класса

Контрольные работы





Задача 1

Точка О разбивает прямую AB на две части. Что напоминает каждая из частей? Чем каждая часть отличается от прямой и отрезка?

    Решение

  • 1) Каждая из частей напоминает луч.

  • 2) Луч имеет начальную точку, но не имеет конечной точки. Отрезок имеет начальную и конечную точки. Прямая не имеет ни начальной ни конечной точек.

Задача 2

Отметь цветным карандашом начало каждого луча. Как обозначен первый луч? Можно ли поменять местами буквы? Почему? Обозначь остальные лучи.

    Решение


  • Луч обозначен: первая буква — начальная точка луча, вторая конец.

  • Буквы нельзя менять мстами, потому что первая буква обозначает начало луча.



Задача 3

  • а) Подбери правильные названия для чертежей и проведи линии:


  • б) Начерти в тетради прямую, луч и отрезок и обозначь их.

    Решение

  • а)

Задача 4

Обведи с помощью линейки на чертеже прямые линии красным карандашом, лучи — синим, а отрезки — зелёным:

    Решение


Задача 5

«Машенька испекла вчера 32 пирожка, а сегодня — на 4 пирожка больше».


Какие вопросы можно поставить к этому условию, чтобы получилась задача:

  • 1) Сколько пирожков испекла Машенька вчера?

  • 2) Сколько пирожков испекла она сегодня?

  • 3) С какой начинкой были пирожки?

  • 4) Сколько пирожков испекла Машенька за 2 дня?

  • Подбери к полученным задачам подходящие схемы и реши их:


    Решение

  • 2) Сколько пирожков испекла она сегодня?

  • 4) Сколько пирожков испекла Машенька за 2 дня?


Задача 6

В одном вагоне поезда едут 46 человек, а в другом — на 18 человек меньше. Сколько человек едут в двух вагонах?

    Решение

  • 46 — 18 = 28

  • 46 + 28 = 74

  • Ответ:74 человека.



Задача 7

    Что надо поставить вместо знака вопроса? Назови взаимно обратные операции.


    Решение

  • а) Заменить букву о на букву и. Заменить букву и на букву о.

  • б) 1м 5см выразить в сантиметрах. 105см выразить в метрах и сантиметрах.

Задача 8

Реши задачу, а затем составь и реши обратную задачу:


«В ларёк привезли 180 кг винограда и продали его за 3 дня. В первый день продали 56 кг, а во второй — на 8 кг больше. Сколько килограммов винограда продали в третий день?»

    Решение

  • 1) 56 + 8 = 64

  • 2) 64 + 56 = 120

  • 3) 180 — 120 = 60

  • 60кг продали в 3 день.

Задача 9

Найди закономерность и вставь пропущенные числа. Кто быстрее назовёт все числа этого ряда?



Решение

Каждое последующее число больше предыдущего на 3.












3 6 9 12 15 18 21 24 27 30





На странице использован материал из книги Л. Г. Петерсон «Математика второй класс. Часть2».
Ссылка на сайт автора:
www.sch3000.ru



Составные задачи



Простые задачи



Отрезок, угол, луч — геометрия и искусство

Из истории. Единицы измерения углов.
Градусное измерение углов возникло в Древнем Вавилоне задолго до новой эры. Жрецы считали, что свой дневной путь Солнце совершает за 180 «шагов», и, значит, один «шаг» равен 1/180 развернутого угла.

В Вавилоне была принята шестидесятиричная система счисления, т. е. фактически числа записывались в виде суммы степеней числа 60, а не 10, как это принято в нашей десятеричной системе. Естественно поэтому, что для введения более мелких единиц измерения углов один «шаг» последовательно делился на 60 частей.

Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной, и ее сохранили математики Греции и Рима.

Термины, которыми мы пользуемся для названия угловых величин, имеют латинские корни. Слово «градус» происходит от латинского gradus (шаг, ступень). В переводе с латинского minutus означает «уменьшенный». Наконец, secunda переводится как «вторая». Имеется в виду следующее: деление градуса на 60 частей, т. е. минуты,— это первое деление; деление минуты на 60 секунд — второе деление градуса. Малоупотребительное название 1/60  секунды — терцина, латинское tercina означает «третье» (деление градуса).

Принятая сейчас система обозначения величин углов получила широкое распространение на рубеже XVI и XVII вв.; ею уже пользовались такие известные астрономы, как Н. Коперник и Т. Браге. Но еще К. Птолемей (II в. н. э.) количество градусов обозначал кружком, число минут — штрихом, а секунд — двумя штрихами.

Другая единица измерения углов — радиан — введена совсем недавно. Первое издание (это были экзаменационные билеты), содержащее термин «радиан», появилось в 1873 г. в Англии. Сначала в обозначениях указывалось, что имеется в виду радианная мера , но вскоре инадекс R (или г) стали опускать. Сам термин «радиан» происходит от латинского radius (спица, луч).

Если вспомнить определение угла в один радиан (центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности), то выбор корня «рад» для названия такого угла представляется совершенно естественным.

Начальные геометрические сведения. Прямая, отрезок, луч и угол.

  1. Базовые сведения о геометрии
  2. Прямая и отрезок
  3. Луч и угол

Добро пожаловать в удивительный мир геометрии. Сегодня мы познакомимся с очень важными и базовыми понятиями науки математики — прямой, отрезком, лучом и углом.

Базовые сведения о геометрии

Геометрия зародилась очень давно – около двух тысяч лет до нашей эры. Она родилась в связи с практическими нуждами людей в Древнем Египте. Слово «геометрия» — греческое. «Геос» переводится как земля, а «метрео» — измеряю. Геометрия – землемерение. В школах нашей страны изучается евклидова геометрия по имени великого ученого Евклида. Курс школьной геометрии делятся на планиметрию (7-9 класс) и стереометрию (10-11 класс). Планиметрия изучает свойства фигур на плоскости. Стереометрия изучает свойства фигур в пространстве.

Основными фигурами на плоскости точка и прямая. Все фигуры состоят из точек и прямых. Точки обозначаются большими латинскими буквами. Прямые обозначаются либо двумя большими латинскими буквами, либо одной маленькой. Точка — это мгновенное прикосновение карандаша к бумаге.

Прямая и отрезок

Прямая это фигура не имеет ни начала, ни конца.

Через любые две точки плоскости можно провести прямую и при том только одну. Если прямые имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются в ней. Если прямые имеют две и более точек, то они совпадают. Если прямые не имеют общих точек, то они параллельны — A параллельна B.

На прямой точки могут лежать, а могут и не лежать. Посмотрите на  рисунок. Вы видите знак принадлежности, непринадлежности. Выражение точка А не принадлежит прямой а записывается короче с использованием этих значков.

Точка B не принадлежит прямой а.
Точка C принадлежит прямой а.
Точка D принадлежит прямой а.
Точка Е принадлежит прямой а
Точка F принадлежит прямой а, потому что прямую а можно продолжить, и тогда она будет проходить через точку F. Прямая не имеет ни начала, ни конца.

Если точка О принадлежит прямой а и точка О принадлежит прямой b одновременно, это означает, что прямые a и b пересекаются в точке О.

Часть прямой, ограниченная двумя точками называется отрезком. Отрезок можно обозначить либо AB, либо BA. Точки A и B — концы отрезка. Вообще, отрезок имеет и начало, и конец. Если на отрезке лежит точка О, то существует свойство: если к длине отрезка АО прибавить длину отрезка ОB, то получится весь отрезок AB.

Луч и угол

Если мы нарисуем прямую и далее отметим точку О, то эта точка разбивает прямую на два дополнительных луча — луч ОА и луч ОВ. Точка О — начало этих двух дополнительных лучей. Луч имеет начало, но не имеет конца. Обозначается луч либо двумя большими, либо одной маленькой латинской буквой. Луч — это тоже часть прямой.

Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Точка — это вершина угла, а лучи — это стороны угла. Углы обозначают большими латинскими буквами. Либо одной большой буквой по вершине угла, либо тремя большими буквами, в этом случае вершина О находится посередине, либо двумя маленькими буквами по названию лучей. Угол делит плоскость на две части – внутреннюю и внешнюю область угла.  Если внутри угла АОС проходит луч ОВ, то существует свойство: если к углу а AОB прибавить угол ВОС, то мы получим угол АОС.

Угол АОВ является частью угла АОС, значит угол АОВ меньше угла АОС. Точно так же угол ВОС – часть большого угла АОС, и значит угол ВОС меньше, чем угол АОС.

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называют биссектрисой угла. При этом угол АОВ будет равен углу ВОС. ОВ – биссектриса.

Углы измеряются транспортиром. Углы измеряются в градусах, минутах, секундах. Например, угол А равен 60 градусов 51 минута 3 секунды.

1 градус — это 60 минут, 1 минута — это 60 секунд. Значит, в одном градусе 360 секунд. Развёрнутый угол — его градусная мера 180 градусов

Половина развернутого угла — это прямой угол. Мы его обозначаем квадратиком внутри угла, и он равен 90 градусов.

Острый угол находится в диапазоне от 0 до 90 градусов.

Тупой угол находится в диапазоне от 90 градусов до 180 градусов.

 

Урок по математике для дошкольников «Отрезок. Луч»

Урок математики для дошкольников (Рабочая тетрадь Петерсон «Раз- ступенька, два- ступенька..»)

Тема: Отрезок. Луч.

Цель: сформировать представление о геометрических фигурах: луче, отрезке.

Познавательные умения:определять и сравнивать геометрические фигуры: луч, отрезок и обосновать своё мнение;

Предметные умения: называть геометрическую фигуру, распознавать ёё;

выполнять построение геометрической фигуры: луч, отрезок.

Материалы к занятию: изображение чудачка, линейки, верёвочки, геометрические фигуры, катушка с верёвочкой (2 шт.), смайлики (весёлые и грустные), линейки, альбомный лист, простой карандаш, резинка.

  1. Психологическая установка на работу

— Улыбнёмся друг другу, ребята. Сегодня у нас на занятии гости: наши педагоги и родители. Посмотрите на них, поприветствуйте кивком головы и больше не отвлекайтесь.

Сядьте удобно, закройте глаза, положите головы на парту. Повторяйте за мной вполголоса:

— я в классе на занятии;

— сейчас я начну учиться;

— я радуюсь этому;

— внимание моё растёт;

— память моя крепка;

— голова мыслит ясно;

— я хочу учиться;

— я готов к работе;

— работаю!

  1. Работа с числовой лентой.

Все вы знаете, что математика- точная наука. Цифры и числа в ней живут по правилам.

Мы знаем прямой счёт

1. Повторим прямой счёт (от 1 до 10)

2.Повторим обратный счёт (от 10 до 1)

3.У каждого числа есть соседи

Назовите соседей числа 5, 4, 8 и т.д.

4.Артём, посчитай от 7 до 3, от 5 до 9 и т.д.

Встали все:

5.А теперь все вместе:

  • Сколько раз ногою топнем (показываю на цифру 7)

  • Столько раз руками хлопнем

  • Мы наклонимся сейчас столько раз

  • Мы присядем ровно столько…

Ай да счёт, игра и только!

Потихоньку садитесь.

  1. Работа с геометрическим материалом.

— Много ль надо нам, ребята, для умелых наших рук?

Нарисуем 2 квадрата,

А потом огромный круг,

А потом ещё кружочки,

Треугольный колпачок.

Вот и вышел развесёлый

Человечек- чудачок.

(на доске геом.фигуры: ∆ ○ □ )

К доске.

— Что можно рассказать об этих фигурках?

— Какие новые фигуры мы ещё не знаем? (или знаем, но ещё плохо).

— Какую ставим задачу? (узнать всё о новых фигурах).

IV. Новый материал.

а. Чтобы узнать всё о 1-й новой фигуре, послушайте мой рассказ.

— Жил-был Карандаш. Пошёл он в гости к прямой линии, поставил на ней 2 точки. Вот так:

За ним в гости пришла к прямой линии Резинка. Взяла да и стёрла часть прямой. Получилась не прямая, а 2 новых фигуры! Итак: новая фигура- это часть прямой.

— Как же называется эта фигура?

Чтобы лучше запомнить, нарисую солнышко.

— Чем отличается луч от прямой?

Луч- это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч можно назвать, поставив рядом с точкой букву. А О (прочитаем).

б. чтобы узнать всё о 2-й новой фигуре, послушайте мой рассказ о путешествии.

Мне нужны 2 помощника. (верёвочка!)

— Итак, Точка вышла на прямую линию и пошла по этой прямой. Шла- шла, устала. Остановилась и говорит : долго ли я ещё буду идти. Скоро ли конец прямой? (что вы ей ответите, ребята?)

(дети убеждаются, что прямую можно продолжить в обе стороны сколько угодно долго).

Без конца и края-

Линия прямая.

Хоть 100 лет по ней иди,

Не найдёшь конца пути.

— Опечалилась Точка. Как же мне быть? Так и идти без конца? Тут появились ножницы. Узнали они, о чём печалится точка, щёлкнули перед самым её носом и разрезали ленту дороги сначала с одной стороны, а потом- и с другой. (показываю)

(на доску магнитами прикрепить!)

— Как интересно!- воскликнула Точка. Я оказалась на части прямой с двумя границами. Что же это такое? (дети высказываются). (Это отрезок – часть прямой. Отрезок ограничен с двух сторон. Его можно тоже назвать, поставив рядом с точками буквы)

Е Н (прочитаем).

— Чем отличается отрезок от прямой? Сколько границ- точек у отрезка?

— Рассмотрите рисунок с ножницами. (стр. 36). Как вы думаете, откуда появилось такое название- отрезок? На парте у вас верёвочки. Как можно назвать фигуру? Можно ли из неё сделать отрезок?

Физ. Минутка. (Капуста; стол) или пальцы.

  1. Закрепление. Работа в тетради.

Стр. 36, № 2.

VI. Самостоятельная работа.

№3. Покажите нашим гостям, как вы умеете работать самостоятельно.

VII. Итог. Рефлексия.

Итак, ребята, с какими новыми фигурами вы познакомились? Чем отличается луч от отрезка?

— На парте у вас лежат 2 точки с разными настроениями. С помощью ваших точек настроения покажите весёлую: кому было всё понятно, интересно, кто научился определять луч и отрезок.

Грустную: кому было неинтересно работать, трудно.

Спасибо за урок!

Определить структуру балки / сегмента | Руководство пользователя Стр.

Выберите луч или сегмент луча.

Используйте панель «Структура» в настройках балки (страница «Сегмент»), чтобы определить свойства ее конструкции и длину (фиксированная или гибкая).

Для выбранного сегмента: эти настройки также доступны в режиме редактирования луча.

Поперечное сечение

Щелкните значок, чтобы определить поперечное сечение сегмента.

• Прямоугольный

• Циркуляр

• Комплексный профиль

Строительный материал / профиль

Используйте всплывающее окно, чтобы выбрать строительный материал или профиль для балки или сегмента балки.

Примечание. Во всплывающем окне отображаются только профили, для которых элемент управления «Использовать с» включает балки. Профили определяются в «Параметры»> «Атрибуты элемента»> «Диспетчер профилей».

Длина сегмента (фиксированная или гибкая)

Для каждого выбранного сегмента: определите его длину как фиксированную или гибкую, щелкнув соответствующий значок на панели «Структура».

–Для сегмента фиксированной длины: определите длину. Он останется неизменным, даже если Балка растянется. (Вы также можете ввести длину выбранного сегмента в списке «Структура».)

–Для гибкого сегмента: определите его длину в процентах от всех гибких сегментов. (Гибкие сегменты вместе составляют 100%.) Длина сегмента будет соответственно увеличиваться, если Балка растягивается.

Длина сегмента — Редактировать в 3D

1. Выберите Луч в 3D окне.

2. Щелкните горячую точку Присоединиться (на опорной линии луча).

3. Из палитры домашних животных используйте Move Segment Join, чтобы отрегулировать длину сегмента.

Примечание. Если перетащить горячую точку сегмента в соседний сегмент, это полностью удалит перетаскиваемый сегмент.

Связанные темы:

Коническая колонна или сегмент

Повернуть угол соединения

Сердечник и шпон

Удалить сегмент колонны или сегмент балки

Соответствующие темы

Для многосегментной колонны или балки удалите определенный сегмент:
Использовать настройки элемента
1. выберите элемент.
2. Откройте настройки колонны или балки — страница «Сегмент».
3. Выберите сегмент и нажмите «Удалить».

Удалить сегмент графически
1.Выберите элемент.
2.Щелкните Присоединиться к точке доступа (на …

Выберите столбец или сегмент столбца.
Используйте панель «Структура» в настройках столбца (страница «Сегмент»), чтобы определить его свойства структуры и длину (фиксированную или гибкую).
Для выбранного сегмента: эти настройки также доступны в режиме редактирования столбца.

Поперечное сечение
Щелкните значок, чтобы определить …

Вы можете создать сужающуюся балку или сузить любой отдельный сегмент балки.
Используйте страницу «Сегмент» в настройках балки.(Для многосегментной балки выберите сегмент для сужения.)
1. На панели «Структура» выберите «Коническая геометрия».
2. С помощью всплывающего окна укажите размеры поперечного сечения конической балки.

Мы не можем найти эту страницу

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}}
{{addToCollection.description.length}} / 500

{{l10n_strings.TAGS}}
{{$ item}}

{{l10n_strings.PRODUCTS}}

{{l10n_strings.DRAG_TEXT}}

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.LANGUAGE}}
{{$ select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$ select.selected.display}}

{{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}}
{{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

Типовой сегмент балки под действием (а) изгибающего момента; (b) …

Стальные опорные плиты используются в качестве замены бетонных опорных плит, чтобы уменьшить собственный вес композитных коробчатых балок с гофрированными стальными перемычками и стальными опорными плитами (CSWSB).Из-за изменения материала предыдущие аналитические методы расчета вертикального прогиба балок коробчатого сечения с гофрированными стальными перемычками (CSW) не могут быть напрямую применены к улучшенным балкам коробчатого сечения. Функция смещения деформации сдвиговой задержки была получена на основе законов деформации сдвига верхнего фланца и нижних пластин улучшенных композитных балок коробчатого сечения. Уравнения для расчета деформации сдвига и дополнительного прогиба из-за запаздывания сдвига непрерывных и свободно опертых составных балок коробчатого сечения с CSWSB при сосредоточенных и равномерно распределенных нагрузках были получены с учетом двойных эффектов запаздывания сдвига и сдвиговых деформаций верхняя и нижняя пластины с разными модулями упругости.Аналитические решения вертикального прогиба улучшенных коробчатых балок из композитных материалов включают теорию прогиба элементарных балок, деформации сдвига CSW и дополнительного прогиба, вызванного запаздыванием сдвига. На основе теоретического вывода был разработан метод аналитического решения, и полученные аналитические решения по вертикальному отклонению были сопоставлены с результатами расчета методом конечных элементов (МКЭ) и экспериментальными значениями. Аналитические уравнения вертикального прогиба при двух опорных условиях и двух случаях нагружения подтвердили результаты анализа и сравнения.Кроме того, обнаружено, что дополнительные прогибы из-за задержки сдвига и деформации сдвига составляют менее 2% и 34% от общих значений прогиба, соответственно. Более того, в условиях равномерной распределенной нагрузки величина прогиба оказалась выше, чем в условиях концентрированной нагрузки. Было также обнаружено, что отношение прогиба, вызванного сдвиговой задержкой или деформацией сдвига, к общему прогибу постепенно уменьшалось с увеличением отношения ширины пролета.Когда значение отношения ширины пролета однокорпусной и однокамерной композитной коробчатой ​​балки с CSWSB было равно или больше 8, прогибы, вызванные сдвиговой задержкой и сдвиговой деформацией, можно было игнорировать.

1. Введение
Стальные нижние плиты используются вместо бетонных нижних плит, чтобы уменьшить собственный вес традиционных композитных коробчатых балок с гофрированными стальными перемычками. В этой работе был разработан тип улучшенных коробчатых балок из композитных материалов, которые называются балками коробчатого сечения с гофрированными стальными перемычками и стальными опорными плитами (CSWSB).Для традиционных мостов из композитных коробчатых балок с гофрированными стальными перемычками (CSW), которые подвергаются изгибающим нагрузкам, деформация сдвига, вызванная поперечной силой CSW, значительно влияет на прогиб балок [1, 2]. Из литературы видно, что многие исследователи сосредоточили свое внимание на прочности на изгиб при сдвиге CSW и дополнительных боковых изгибающих моментах фланцевых пластин под действием поперечной силы [3–5]. Jiang et al. [6] проанализировали влияние деформации сдвига балок коробчатого сечения с CSW на структурные прогибы.Guo et al. В [7, 8] введена функция угла деформации сдвига стенки и получено аналитическое решение для свободно опертой балки при равномерной нагрузке и сосредоточенной нагрузке в середине пролета концевого фиксатора. Рассматривая деформацию сдвига и вводя угловую функцию деформации сдвига стенки, формула расчета деформации была выведена для составной балки с CSW при различных граничных условиях и нагрузках. Далее, в соответствии с принципом эквивалентности деформации, были определены важные параметры влияния и предложен метод эффективной жесткости для композитных коробчатых балок с CSW.Hong et al. [9] разработали расчетные уравнения для кривых прогиба композитных балок коробчатого сечения с CSW с учетом деформации сдвига с использованием уравнения начальных параметров и проанализировали прогибы композитных балок с CSW при трех типичных режимах нагружения, т. Е. Сосредоточенной нагрузке в середине. пролет, симметричная нагрузка в двух точках и равномерно распределенная нагрузка. Qing et al. [10, 11] обнаружили, что задержка сдвига снижает жесткость на изгиб традиционных секций балок коробчатого сечения и увеличивает прогиб композитных мостовых конструкций.Донг и др. [12] исследовали уравнение расчета прогиба композитных коробчатых балок с CSW при различных нагрузках и граничных условиях с использованием метода изменения энергии. Проанализировано влияние различных факторов на прогиб коробчатых балок с CSW. Основываясь на экспериментальной модели моста из композитных коробчатых балок CSWS, Wei et al. [13, 14] вывели функции продольного смещения и уравнения расчета прогиба для составных коробчатых балок с CSW и определили основные факторы, влияющие на прогиб при различных соотношениях ширины пролета и высоте гофрированной стальной стенки.Чжоу и др. [15] проанализировали эффект сдвига непризматической балки коробчатого сечения с гофрированными стальными перемычками в упругой стадии. Chen et al. В [16–18] предложен новый тип мостовой конструкции из композитных коробчатых балок с верхним фланцем и нижним фланцем из предварительно напряженной трубы, заполненной бетоном. С помощью масштабной модели стальной трубы, заполненной бетоном, были изучены характеристики изгиба и сдвигового лага простой опорной коробчатой ​​балки с гофрированной стальной решетчатой ​​фермой, а также изучены ее прогиб, деформация и способность к изгибу.Чжоу и др. [19] вывели общую формулу напряжения сдвига неоднородной коробчатой ​​балки с гофрированными стальными перемычками в упругой стадии из условия статического равновесия и эквивалентного закона напряжения сдвига бесконечно малого сечения. Из литературы установлено, что в предыдущих исследованиях не изучали прогиб балочных мостов CSWSB, и не существует простой формулы для оценки их прогиба при статической нагрузке. Более того, существует лишь несколько экспериментальных исследований, посвященных общим характеристикам пучка CSWSB [20, 21].Очень желательна простая и точная формула для расчета прогиба балочного моста такого типа.
Кроме того, в существующей литературе были достигнуты некоторые достижения по расчету прогиба традиционных коробчатых балок с CSW, но исследования улучшенных коробчатых балок с гофрированными стальными перемычками относительно немногочисленны. Из-за изменения материала предыдущие аналитические методы расчета вертикального прогиба коробчатых балок из композитных материалов с CSW не могут быть напрямую применены к улучшенным балкам из композитных коробов.Поэтому данная работа направлена ​​на улучшение аналитического расчета прогиба балок коробчатого сечения с CSWSB. Первоначально функция смещения коробления с задержкой сдвига была получена на основе законов деформации сдвига верхнего фланца и нижних пластин улучшенных коробчатых балок из композитных материалов. Затем, учитывая двойные эффекты сдвига, деформации сдвига и различных модулей верхней полки и нижних пластин, были выведены основное дифференциальное уравнение и граничные условия для композитных балок коробчатого сечения с CSWSB.Кроме того, были получены уравнения расчета прогиба из-за задержки сдвига и деформации сдвига непрерывных и свободно опертых композитных балок коробчатого сечения с CSWSB при различных нагрузках. Полученные результаты сравнивались с результатами моделирования, полученными на основе конечно-элементного анализа ANSYS, и экспериментальными данными. Наконец, были проанализированы тенденции изменения вкладов сдвиговой задержки и сдвиговой деформации в общий прогиб в зависимости от отношения ширины пролета.2. Вывод функции смещения запаздывания при сдвиге для композитных коробчатых балок с CSWSB
Эффект запаздывания сдвига в основном создается деформацией сдвига. Следовательно, разумная функция продольного смещения при сдвиге для балок коробчатого сечения с CSWSB может быть получена на основе законов сдвиговой деформации бетонного верхнего фланца и стальных нижних пластин. Для составной коробчатой ​​балки с поперечным сечением CSWSB, показанной на Рисунке 1, расчетное уравнение изгибающего сдвигового потока на составной коробчатой ​​балке из-за поперечной силы [22] было таким, как показано в следующем уравнении:

Реакции балки и диаграммы — прочность Приложения по энергетике

Диаграммы

Цели обучения

По окончании этой главы вы должны уметь:

  • Определение реакций свободно опертых, выступающих и консольных балок
  • Рассчитайте и начертите диаграммы силы сдвига и изгибающего момента балок, подверженных сосредоточенным нагрузкам, равномерно распределенным нагрузкам и их комбинациям.

Балки обзор

Балки — это конструкционные элементы для различных инженерных применений, таких как крыши, мосты, механические узлы и т. Д. В целом балки являются тонкими, прямыми, жесткими, изготовлены из изотропных материалов и, что наиболее важно, подвергаются нагрузкам, перпендикулярным их продольной оси. Если вместо перпендикулярных нагрузок тот же элемент конструкции будет подвергаться продольным нагрузкам, он будет называться колонной или стойкой. Если тот же самый элемент будет подвергаться крутящему моменту, он будет называться и рассматриваться как вал.Поэтому при определении механических или конструктивных компонентов очень важно учитывать способ нагрузки.

Обратите внимание, что когда дело доходит до ориентации, балки могут быть горизонтальными, вертикальными или с любым наклоном между ними (например, погруженные пластины, анализируемые в гидромеханике)… при условии, что нагрузка перпендикулярна их главной оси.

Опоры балок:

Нагрузки на балку :

Нагрузки Символ Примеры Покрытый
Точка, также называемая
  • колеса автомобиля
  • столбца
  • человек на трамплине
Есть
Равномерное распределенное
  • балка вес
  • Снеговая нагрузка на ферму крыши
Есть
Переменная Распределенная
  • гидростатическая нагрузка на подводную поверхность
  • свая из заполнителя
  • Балка переменного сечения
Есть
Концентрированные моменты

Типы балок:

Решение для лучевых реакций

При решении для реакций рекомендуются следующие шаги:

  1. Нарисуйте диаграмму тела без балки
  2. Замените равномерно распределенную нагрузку (если есть) эквивалентной точечной нагрузкой
  3. Решите ΣM A = 0 (сумма моментов относительно опоры A).Это даст вам R B (реакция на опоре B).
  4. Решите ΣM B = 0. Это даст вам R A .
  5. Используя R A и R B , найденные на шагах 3 и 4, проверьте, удовлетворяется ли ΣV = 0 (сумма всех вертикальных сил).
    1. Обратите внимание, что шаги 4 и 5 можно поменять местами.
    2. Для консольной балки используйте ΣV = 0, чтобы найти вертикальную реакцию на стене, и ΣM wall = 0, чтобы найти моментную реакцию на стене. Другого уравнения для подтверждения ваших результатов нет.

Диаграммы поперечных сил и изгибающих моментов

Обратите внимание:

«Сдвиговые силы — это внутренние силы, развивающиеся в материале балки для уравновешивания приложенных извне сил для обеспечения равновесия всех частей балки.

Изгибающие моменты — это внутренние моменты, возникающие в материале балки для уравновешивания тенденции внешних сил вызывать вращение любой части балки ». [3]

Сила сдвига в любом сечении балки может быть найдена путем суммирования всех вертикальных сил слева или справа от рассматриваемого сечения.

Точно так же изгибающий момент в любом сечении балки можно найти, сложив моменты слева или справа от рассматриваемого сечения. Опорной точкой момента является рассматриваемое местоположение.

По соглашению внутренние сдвигающие силы, действующие вниз, считаются положительными. Они противодействуют восходящим внешним силам. Следовательно, при представлении поперечных сил вы можете нарисовать их в направлении внешних сил. Это визуально проще, чем следовать условным обозначениям.

Моменты по часовой стрелке обычно считаются отрицательными, а моменты против часовой стрелки — положительными. При представлении изменения изгибающего момента обратитесь к следующей таблице, в которой показаны качественные кривые изгибающего момента в зависимости от формы графиков поперечной силы.

.

При построении диаграмм поперечного усилия и изгибающего момента, хотя условные обозначения важны, согласованность имеет решающее значение. Например, рассмотрим простую балку, нагруженную точечной нагрузкой, приложенной к нагрузке UD.Запуск диаграмм на опоре A, глядя на страницу, выдаст следующее:

Теперь переверните луч горизонтально на 180 ° (или измените точку наблюдения, глядя на луч с противоположной стороны) и начертите диаграммы, начиная с той же точки A. Диаграммы будут выглядеть следующим образом:

Обратите внимание, что, хотя диаграммы поперечных сил выглядят как зеркальные изображения (перевернутые по горизонтали), на диаграмму изгибающего момента это не влияет. Кроме того, наиболее важный результат этого анализа показывает, что значения максимальной силы сдвига и изгибающего момента всегда будут одинаковыми.

Схемы КПП

При построении схем балок необходимо учитывать следующее:

Диаграммы поперечных сил:

  • На концах свободно опертой балки поперечная сила равна нулю.
  • У стены консольной балки поперечная сила равна вертикальной реакции у стены. На свободном конце балки поперечная сила равна нулю.
  • На любом сегменте балки, где отсутствуют нагрузки, поперечная сила остается постоянной (горизонтальная линия).
  • Точечная нагрузка или реакция на диаграмме поперечных сил вызывает резкое изменение графика в направлении приложенной нагрузки.
  • Равномерно распределенная нагрузка, действующая на балку, представлена ​​прямой поперечной силой с отрицательным или положительным наклоном, равной нагрузке на единицу длины.

Диаграмма изгибающих моментов:

  • На концах свободно опертой балки изгибающие моменты равны нулю.
  • У стенки консольной балки изгибающий момент равен моменту реакции.На свободном конце изгибающий момент равен нулю.
  • В том месте, где поперечная сила пересекает нулевую ось, соответствующий изгибающий момент имеет максимальное значение.
  • Форма кривой изгибающего момента между двумя точками балки показана в двух таблицах выше.
  • Изменение изгибающего момента между двумя точками балки равно площади под диаграммой поперечных сил между теми же двумя точками.

Приведенные выше рекомендации помогут вам в построении диаграмм направленности; они также служат проверкой.

Назначенные проблемы

Рассчитайте реакции балки и нарисуйте диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для следующих балок.

При составлении диаграмм пучка в классе и дома вы можете проверить свои ответы с помощью бесплатного онлайн-калькулятора пучка: SkyCiv Cloud Engineering Software

Задача 1: Укажите максимальные значения поперечной силы и изгибающего момента.

Задача 2: Укажите максимальные значения поперечной силы и изгибающего момента.

Проблема 3: Балка длиной 24 метра просто опирается на 3 метра с каждого конца. Балка несет точечную нагрузку 18 кН на левом конце и 22 кН на правом конце балки. Балка весит 400 кг / м. Нарисуйте схемы балок и определите место на балке, где изгибающий момент равен нулю.

Задача 4: Простая свисающая балка длиной 112 футов выступает над левой опорой на 14 футов. Балка несет сосредоточенную нагрузку в 90 тысяч фунтов на 12 футов от правого конца и равномерно распределенную нагрузку в 12 тысяч фунтов / фут на 40 футов. раздел с левого конца.Нарисуйте схемы балок и определите поперечную силу и изгибающий момент на участке в 50 футах от левого конца.

Проблема 5: Предложите улучшение этой главы.

Диаграммы сдвига и изгибающего момента

Цель обучения:
К

Диаграммы сдвига и изгибающего момента

Цель обучения:

Для определения реактивных сил и моментов, действующих на балку;
выразить сдвиг и изгибающий момент как функции их
позиции по балке; и построить сдвиг и изгибающий момент
диаграммы.

На показанную консольную балку действует момент
при A и распределенная нагрузка, действующая на
сегмент BC и зафиксирован на C .
Определите реакции на опоре, расположенной на ° C .
Затем напишите выражения для сдвига и изгибающего момента как функции
их положения вдоль балки. Наконец, используйте эти выражения
для построения диаграмм сдвиговых и изгибающих моментов.

Часть A — Реакции при
опора C

Нарисуйте диаграмму свободного тела балки на бумаге.Используйте свой
диаграмма свободного тела для определения реакций при
поддержка C . Предполагайте, что позитивные моменты действуют
против часовой стрелки.

Выразите свой ответ целыми числами, разделенными запятыми.

C x , C y , M C =

0,30, -210

тысяч фунтов, тысяч фунтов, тысяч фунтов на фут

Отправить Подсказки Мои ответы Сдаться Обзор, часть

Правильно

Часть B — Выражения сдвига и момента как
функция x

Шесть диаграмм свободного тела и интервалы показаны ниже.Для
луч дан, какой из них правильный? (Поместите начало координат балки
левый конец и предположим положительный внутренний сдвиг и момент.)
«интервал» относится к частям балки, которые будут врезаться в
чтобы изучить внутренние силы.

Шесть диаграмм свободного тела и интервалы показаны ниже. Для
луч дан, какой из них правильный? (Поместите начало координат балки
левый конец и принять положительный внутренний сдвиг и момент.) Срок
«интервал» относится к частям балки, которые будут врезаться в
чтобы изучить внутренние силы.

Отправить Подсказки Мои ответы Сдаться Обзор, часть

Часть C — Значения сдвига и момента для
сегмент 1

Постройте диаграмму свободного тела сегмента.
{0≤ x <8 футов} на бумаге и рассчитайте внутреннее сдвиг, V , и
момент, M , над этим сегментом.

Выразите свои ответы целыми числами, разделенными запятыми. Предполагать
положительные моменты действуют против часовой стрелки.

V , M =

0, -120

тысяч фунтов, тысяча фунтов на фут

Отправить Подсказки Мои ответы Сдаться Обзор, часть

Правильно

Часть D — Выражения сдвига и момента для
сегмент 2

Нарисуйте диаграмму свободного тела
сегмент 8 < x ≤14 футов на бумаге.Писать
выражения для внутреннего сдвига, V и
момент, M , над этим сегментом.

Выразите свои ответы в формате x , разделенных
запятой. Предположим, что положительные моменты действуют против часовой стрелки.

V , M =

30 210

тысяч фунтов, тысяча фунтов на фут

Отправить Подсказки Мои ответы Сдаться Обзор, часть

Неверно; Попробуй еще раз; Осталось 5 попыток

Часть E — Диаграмма внутреннего сдвигающего усилия

Постройте диаграмму поперечных сил, используя выражения для
внутренняя сила сдвига.Сначала нарисуйте линии разрыва. Затем,
Постройте внутренние сегменты сдвига.

Нарисуйте диаграмму сдвига на имеющейся сетке. Начните с рисования
линия (линии) разрыва. Линия разрыва — это вертикаль
линия, проходящая через точку, где возникает разрыв. Затем нарисуйте
функции между линиями разрыва.

Отправить Подсказки Мои ответы Сдаться Обзор, часть

Правильно

Деталь F — Внутренний изгибающий момент
диаграмма

Постройте диаграмму внутреннего изгибающего момента, используя
выражения для изгибающего момента, которые вы разработали ранее.

Начните с рисования линии (линий) неоднородности. ПРИМЕЧАНИЕ. — Кривая
вы выбираете из раскрывающегося списка, это только графическое представление
действительная квадратичная / кубическая кривая. Уравнение этой кривой не
математически эквивалентен правильному ответу. Следовательно,
наклоны на несплошностях и пересечения с осью абсцисс (если есть)
не точны.

Механика материалов: изгиб — напряжение сдвига »Механика тонких конструкций


Поперечный сдвиг при изгибе

Как мы узнали при создании диаграмм сдвига и момента, поперечная сила и изгибающий момент действуют по длине балки, испытывающей поперечную нагрузку.В предыдущем уроке мы узнали о том, как изгибающий момент вызывает нормальное напряжение . Это нормальное напряжение часто доминирует в расчетных критериях прочности балки, но по мере того, как балки становятся короткими и толстыми, поперечное напряжение сдвига становится доминирующим. В этом уроке мы узнаем, как сила сдвига при изгибе балки вызывает напряжение сдвига .

Поперечный сдвиг трудно визуализировать. Рассмотрим несколько балок, прикрепленных к стене консольно.Представьте, что это деревянные доски размером 2 на 4 дюйма. Если они не связаны друг с другом, приложение нагрузки к свободному концу балок приведет к их изгибу и скольжению мимо друг друга, как показано на рисунке ниже. Если вместо этого доски склеить, клей предотвратит проскальзывание балок друг о друга. Это сопротивление скольжению или сопротивление силам, параллельным поверхности балки, создает напряжение сдвига внутри материала. Это напряжение сдвига может вызвать разрушение, если горизонтальные плоскости, которые должны сопротивляться сдвигу, являются слабыми.

Чтобы понять природу этого поперечного напряжения сдвига более математически, давайте представим балку, которая просто поддерживается на концах и нагружена точечной силой в ее центре. Давайте увеличим масштаб небольшого сегмента балки и проанализируем силы, действующие на него. Из предыдущих разделов мы знаем, что при изгибе возникает нормальное напряжение, которое изменяется по оси y . Из показанной нагрузки мы знаем, что нормальное напряжение в направлении x будет сжимающим (отрицательным) в верхней части балки и растягивающим (положительным) в нижней части балки.Мы также знаем, что это нормальное напряжение будет равно нулю вдоль нейтральной оси балки. Нас интересует суммирование сил в направлении x и установка их равными нулю. Если мы посмотрим на произвольную площадь поперечного сечения (то есть не на всю площадь поперечного сечения), мы можем записать силы от нормального напряжения как напряжение, умноженное на площадь дифференциального элемента. Теперь мы знаем из нашей аналогии с деревянной доской, приведенной выше, что должна быть сила, параллельная основанию этой произвольной области — эта сила сдвига будет действовать в направлении x , и мы назовем ее дельтой H.Теперь мы можем суммировать силы, действующие в направлении x .

Установив сумму сил в направлении x равной нулю и решив наш неизвестный сдвиг, мы можем начать простые вещи. Во-первых, мы видим, что, переставив некоторые члены и вынув члены, которые не меняются по площади поперечного сечения из интеграла, мы получаем знакомый член в крайней правой части уравнения. Мы находим интеграл y по площади — это, как мы знаем из нашего урока по изгибу, равно первому моменту площади вокруг другой оси (в данном случае, из иллюстрации поперечного сечения, то есть z ось): Q z .Мы также можем немного упростить это уравнение, вспомнив связь между изменением изгибающего момента и поперечной силой. Итак, мы можем переписать M d -M c (что является дельтой M ) как V delta x . Что у нас остается, как только мы приведем два дельта-члена к одной и той же стороне уравнения, это уравнение для горизонтальной поперечной силы на единицу длины .

(Вы можете заметить, что я избавился от нижних индексов, которые показаны в приведенном выше уравнении.Это потому, что в приведенном выше уравнении была указана система координат: x было длинной осью балки, y было по толщине, а z было по ширине. Вышеприведенное уравнение является общим, вам нужно будет определить, каковы координаты, и, следовательно, какие индексы и соответствующие моменты площади вам нужно решить.)

Это уравнение для q имеет единицы измерения [Н · м -1 ]. Сила на длину … только из анализа размеров, мы можем заметить, что эта сила сдвига на единицу длины будет напряжением, если мы разделим q на шкалу длины.Соответствующий масштаб длины в этом случае — , толщина интересующей области, t .

Теперь из раздела нашего урока по изгибу, посвященного моментам площади, мы знаем, как вычислить Q и I . Прежде чем беспокоиться о деталях, есть несколько вещей, которые мы можем сразу извлечь из этого уравнения. Начнем с того, что мы знаем: мы можем определить V из наших диаграмм сдвига и момента . Мы можем вычислить I на основе формы всей конструкции , и мы можем определить t из ширины нашей области интереса , т.е.е. на какой ширине происходит этот сдвиг. Определение Q часто является самой сложной частью проблем такого типа — это то, что требует большой практики.

Эти уравнения для поперечного напряжения сдвига можно упростить для обычных инженерных форм. Например, если у вас узкий прямоугольный луч, уравнение упрощается до:

Где c — половина толщины балки, или, как правило, c — это расстояние от нейтральной оси до внешней поверхности балки.Это уравнение является иллюстративным по двум причинам: во-первых, напряжение сдвига будет иметь максимальное значение в центре балки, то есть когда y = 0, и будет равно нулю вверху и внизу балки. Это справедливо для балок более сложной формы — поперечный сдвиг сверху и снизу равен нулю. Следующее уравнение действительно для определения максимального поперечного напряжения сдвига в американских стандартных (S-образная балка) или широкополочных (W-образных) балках.

Сводка

Изгиб может вызвать как нормальное напряжение, так и поперечное напряжение сдвига .О существовании этого напряжения сдвига можно судить по тому, что карты слегка скользят друг мимо друга, когда вы сгибаете колоду карт. Величина напряжения сдвига становится важной при проектировании изгибаемых балок, которые являются толстыми или короткими — балки могут и будут разрушаться при сдвиге при изгибе. Для расчета поперечного напряжения сдвига мы используем приложенную силу сдвига (которую можно получить из диаграммы момента сдвига), первый момент площади и толщины интересующей области и второй момент площади всей конструкции.Сложность с этими проблемами обычно возникает при принятии решения о том, какая область интереса находится в конкретной проблеме, и при правильном вычислении Q для этой области.

Этот материал основан на работе, поддержанной Национальным научным фондом в рамках гранта № 1454153. Любые мнения, выводы, выводы или рекомендации, выраженные в этом материале, принадлежат авторам и не обязательно отражают точку зрения Национального научного фонда. Научный фонд.

5.5 Метод сопряженного луча

>> Когда вы закончите читать этот раздел, проверьте свое понимание с помощью интерактивной викторины внизу страницы.

Метод сопряженных балок предоставляет другой способ поиска наклонов (поворотов) и прогибов определенных балок. Он использует аналогичный набор соотношений, которые существуют между нагрузкой ($ w $) — сдвигом ($ V $) — моментом ($ M $) и кривизной ($ \ phi $) — наклоном ($ \ theta $) — прогибом. ($ \ Delta $).Вспомните отношения между нагрузкой, сдвигом и моментом (уравнения \ eqref {eq: shear-int} и \ eqref {eq: moment-int} из раздела 4.3):

\ begin {align} V (x) & = \ int w (x) \, dx \ label {eq: shear-int} \ tag {1} \\ M (x) & = \ int V (x) \ , dx \ label {eq: moment-int} \ tag {2} \ end {align}

Аналогичным образом вспомните отношения между кривизной, наклоном и прогибом из уравнений \ eqref {eq: curv-slope} и \ eqref {eq: slope-defl}:

\ begin {align} \ theta (x) & = \ int \ phi (x) \, dx \ label {eq: curv-slope} \ tag {3} \\ \ Delta (x) & = \ int \ theta (x) \, dx \ label {eq: slope-defl} \ tag {4} \ end {align}

Здесь есть четкая параллель между двумя наборами отношений.Это показано на Рисунке 5.9. Этот рисунок предполагает, что если бы мы могли каким-то образом рассматривать диаграмму кривизны, как если бы это была диаграмма нагружения, то мы могли бы определить наклон и прогиб с помощью графического интегрирования, того же метода, который мы в настоящее время можем использовать для определения сдвигов и моментов. Это потенциально может быть простым способом найти уклоны и отклонения.

Рисунок 5.9: Параллельная взаимосвязь между нагрузкой / сдвигом / моментом и кривизной / наклоном / прогибом

Итак, давайте создадим сопряженную балку с той же геометрией, что и реальная балка, но с учетом кривизны как нагрузок.В этой новой сопряженной балке «сдвиги» на самом деле будут наклонами реальной балки, а «моменты» — фактически отклонениями реальной балки (с использованием соотношений, показанных на рис. 5.9). Звучит просто, но есть одна проблема: если в этой балке сопряженные срезы представляют реальные уклоны, а сопряженные моменты представляют собой реальные прогибы, то нам также необходимо преобразовать наши граничные условия, чтобы они одинаково влияли на срез и момент в сопряженной балке, как граничные условия на наклон и прогиб в реальной балке.Этот процесс преобразования опор в сопряженные балки показан на рисунке 5.10.

Рисунок 5.10: Преобразование типов опор для анализа методом сопряженных пучков

На рис. 5.10 показаны эквивалентные сопряженные опоры для каждой данной реальной опоры. Например, неподвижный конец реальной балки ограничивает как вращение, так и отклонение ($ \ Delta $ и $ \ theta $ равны нулю на неподвижной опоре). Следовательно, для эквивалентной сопряженной опоры нам нужна опора, которая имеет нулевой сдвиг (эквивалентный нулевому вращению в реальной балке) и нулевой момент (эквивалентный нулевому прогибу в реальной балке).Единственная поддержка, которая соответствует этим требованиям, — это отсутствие поддержки (бесплатная часть). Таким образом, любая неподвижная опора в реальной балке будет заменена свободным концом в сопряженной балке.

Точно так же штифты и ролики на конце реальной балки допускают вращение ($ \ theta \ neq 0 $), но ограничивают отклонение ($ \ Delta = 0 $). Следовательно, для эквивалентной сопряженной опоры нам нужна опора, которая допускает ненулевой сдвиг (обеспечивает вертикальную реакцию), но имеет нулевой момент (не имеет компонента реакции момента).Штифт или ролик также удовлетворяют этим требованиям. Итак, сопряженная опора для штифта или валика в реальной балке — штифт или валик. Обратите внимание, что не имеет значения, выбираете ли вы балку или ролик с точки зрения балки, потому что для проблем с балкой мы обычно не учитываем осевые нагрузки.

Для внутренних опор или опор под балкой штифты (или петли) и ролики также взаимозаменяемы, как и на концах балок; однако условия опоры, которые не находятся на конце балки, немного сложнее, потому что мы должны учитывать, как наклон и сдвиг изменяются в месте опоры, а не только в том случае, если таковая существует.Для штифта под балкой он допускает вращение, но без отклонения, а наклон балки является непрерывным (в форме балки нет «перегиба»). Это означает, что в сопряженной балке в том же месте должен быть сдвиг в балке, но без момента, и сдвиг должен быть непрерывным (он не должен ступенчато). Напомним, что ступеньки на диаграмме поперечных сил вызваны точечными нагрузками или точечными реакциями, поэтому это означает, что в этом месте сопряженной балки не должно быть опорной реакции. Внутренний шарнир удовлетворяет всем этим требованиям, он передает сдвиг, но не момент, и не имеет связанной с ним внешней опорной реакции, поэтому диаграмма сдвига будет непрерывной в этом месте.

Для внутреннего шарнира в реальной балке верен обратный случай. Он допускает вращение и отклонение (он может двигаться вверх или вниз, так как нет реакции вертикальной опоры). Это также допускает прерывистый уклон в месте расположения петли, то есть балка может иметь изгиб и петлю, что означает, что касательный наклон балки различается с обеих сторон петли. Следовательно, сопряженная опора должна иметь как сдвиг, так и момент и должна иметь прерывистый сдвиг в этом месте на балке.Этим критериям удовлетворяет неразрезная балка с штифтовой опорой. Непрерывность балки позволяет передавать сдвиг и момент, а опорная реакция, обеспечиваемая штифтом, вызывает ступеньку на диаграмме сдвига в этом месте (разрыв в сдвиге).

Некоторые примеры преобразования реальных лучей в сопряженные лучи показаны на рисунке 5.11. Обратите внимание на то, что если реальный луч определен, то сопряженный луч также будет определенным; однако, если реальный луч не определен, то сопряженный луч будет нестабильным, и наоборот.Этот метод наиболее полезен для расчета уклонов и прогибов определенных конструкций.

Рисунок 5.11: Примеры преобразования реального луча в сопряженный луч

Пример

Анализ методом сопряженных пучков будет проиллюстрирован на примере пучка, показанном на рис. 5.12.

Рисунок 5.12: Пример анализа

методом сопряженного пучка

Балка, показанная на рис. 5.12, представляет собой простую консольную балку с подпоркой с одноточечной нагрузкой и точечным моментом на конце.Этот луч определен и может быть легко проанализирован с использованием методов из раздела 4.3. Самая трудная часть этого анализа — нахождение реакций на первом этапе. Это можно сделать, сначала проанализировав диаграмму свободного тела элемента CD, чтобы найти реакцию $ C_y $ и сдвиг в шарнире (помня, что момент в C должен быть равен нулю из-за наличия шарнира). Затем диаграмму свободного тела переменного тока можно использовать вместе с перенесенным шарнирным сдвигом, чтобы найти остальные неизвестные реакции.Завершенные диаграммы сдвига и момента для балки показаны на рисунке сразу под балкой. Обратите внимание, что диаграмма моментов равна нулю в месте расположения шарнира, как и ожидалось. Поскольку поперечное сечение и материал для этой балки постоянны ($ EI $ постоянно), диаграмма кривизны ($ \ phi $) — это просто диаграмма моментов, разделенная на $ EI $. Эта диаграмма кривизны показана непосредственно под диаграммой моментов.

Теперь, когда мы построили диаграмму кривизны, мы можем сформировать сопряженную балку (которая показана под диаграммой кривизны).В сопряженной балке изгибы из диаграммы кривизны реальной балки рассматриваются как распределенные нагрузки, а условия опоры преобразуются, как описано в предыдущем разделе и показано на рисунке 5.10. Следовательно, фиксированный конец в точке A становится свободным концом, шарнир в точке C становится опорой для штифта под балкой в ​​этой точке, а концевой ролик в точке D остается роликом.

Первым шагом в анализе сопряженной балки является определение «сил» реакции (которые на самом деле являются кривизной) с использованием глобального равновесия.Результирующие силы реакции показаны на диаграмме свободного тела (FBD) составной балки на рисунке 5.12.

Теперь, рассматривая кривизну как распределенные силы, мы можем построить сопряженную «диаграмму поперечных сил», используя методы из раздела 4.3. Эта диаграмма фактически даст нам наклоны реальной балки. В этом процессе мы должны учитывать площадь под «распределенной нагрузкой», скачки «сдвига» из-за реакций и соответствующий наклон каждой точки на «диаграмме сдвига» (который равен значению нагрузки в таком случае).Полученная диаграмма уклонов ($ \ theta $) показана на рисунке. На этой диаграмме мы должны идентифицировать все уклоны («срезы») в каждой точке балки, а также местоположения любых локальных максимумов или положений нулевого уклона. Все кривые на этой диаграмме являются параболами (поскольку все распределенные нагрузки были линейными). На этой диаграмме показаны реальные уклоны в каждом месте балки (в радианах). Максимальный наклон составляет 103,9 долл. США / EI долл. США, что эквивалентно:

\ begin {align *} \ frac {103.2} $.

Далее, диаграмма наклона (диаграмма сопряженного «сдвига») может быть графически интегрирована для построения диаграммы прогиба ($ \ Delta $) (или диаграммы сопряженного «момента»). Этот шаг немного сложнее, потому что теперь мы должны найти области парабол, а не треугольников, используя значения, показанные ранее на рисунке 5.7. В точке A диаграмма наклона имеет нулевое значение, поэтому наклон диаграммы прогиба также равен нулю. Между точкой A и точкой A ‘($ 2.62 \ mathrm {\, m} $ справа от точки A) на диаграмме уклона есть парабола, обозначенная на рисунке буквой «a».3}} {EI} \ end {align *}

Наконец, чтобы добраться до точки максимального отклонения (точка B ‘), нам нужно найти значение частичной параболы’ d ‘. Это сложнее, чем кажется, потому что вспомните, что для областей параболы, показанных на рисунке 5.7, один конец параболической формы должен иметь нулевой наклон. Это не относится к области «d». Следовательно, нам необходимо рассмотреть всю «диаграмму сдвига» между точками B и C, как показано на рисунке 5.13. Площадь «d» может быть вычислена как сумма трех различных площадей.Во-первых, парабола, которая проходит от B до C (с нулевым наклоном в точке C), может быть легко вычислена как $ LM / 3 $. Затем вычтите из нее площадь показанного прямоугольника (высота $ 7,7 / EI $). Это означает, что мы вычли площадь большой параболы над нулевой линией и площадь маленькой параболы над нулевой линией. Таким образом, мы должны снова добавить эту маленькую параболу при использовании $ 2LM / 3 $. Результатом этого является область для ‘d’, равная -72 $ / EI $, что дает общий прогиб в точке B ‘-339 $ / EI $. Поскольку отклонение будет двигаться в противоположном направлении вправо от точки B ‘, мы знаем, что это место максимального отклонения.4})} \\ \ Delta_ {B ‘} & = 13.6 \ mathrm {\, mm} = \ Delta_ {max} \ end {align *}

Рисунок 5.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.