Отношение высот подобных треугольников: Подобие треугольников | Математика

Содержание

Подобные треугольники. Признаки и свойства

Категория: Справочные материалы

Елена Репина
2013-08-22
2014-01-31

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны  подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

 

Признаки подобия треугольников

 

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

 II признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 III признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

 

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности,  длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

 

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники   и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3.  В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете  подборку задач по теме «Подобные треугольники».

Автор: egeMax |

комментариев 50

Подобие треугольников — 657 КЛАСС

Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у
которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно
пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k, равное
отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны  подобных
треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

 

Признаки подобия треугольников

 

I признак подобия треугольников

Если два
угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие
треугольники подобны.

 

II признак подобия треугольников

Если две
стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника
и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.


 III признак подобия треугольников

Если три
стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие
треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

 

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту
    подобия.
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности,  длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто
встречающихся подобных треугольников

1.  Прямая, параллельная стороне треугольника,
отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники   и,
образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент
подобия – 

3. В прямоугольном треугольнике высота,
проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных
исходному.

 

 

Свойства высот треугольника. Ортоцентр — подготовка к ЕГЭ по Математике

Анна Малкова

Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
Н – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК

Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов.

1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если , и , если 

  1. Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
  2. Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
  3. Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
  4. ,где R – радиус описанной окружности .

Докажем эти факты по порядку.

1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам

Мы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что по углу и двум сторонам.

2) Докажем, что вокруг четырехугольника АКМС можно описать окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов четырехугольника АКМС были равны .

Пусть ∠ACB=∠BKM=γ (поскольку треугольники МВК и АВС подобны), тогда
– как смежный с углом ВКМ. Получили, что , и это значит, что четырехугольник AKMC можно вписать в окружность.

3) Рассмотрим четырехугольник KBMH. Его противоположные углы ВКН и ВМН — прямые, их сумма равна , и значит, четырехугольник КВМН можно вписать в окружность.

4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС,

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника АНС,
Мы помним, что . Значит, синусы углов АВС и АНС равны, и радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС и АНС равны.

5) Докажем, что ,где R – радиус описанной окружности . Поскольку четырехугольник КВМН можно вписать в окружность и углы ВКН и ВМН – прямые, отрезок ВН является диаметром этой окружности. Треугольник МВК также вписан в эту окружность, и по теореме синусов, .

Диаметр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен Поскольку треугольники МВК и АВС подобны, отношение диаметров описанных вокруг них окружностей равно . Получили, что

Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника» (Профильный уровень, №16)

2. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и

а) Докажем, что
(по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон:
Но это значит, что (по углу и двум сторонам), причем .

— смежный с углом ,
,
,четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.
(опираются на одну дугу).

б) Найдем , если и

По теореме синусов,

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Валентин Малявко (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2),

Углы подобных треугольников

У подобных фигур могут быть разные размеры, но всегда одинаковая форма. В случае треугольников они являются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. То есть все три отношения соответствующих сторон треугольника равны одному и тому же числу.

Например, если даны треугольники ABC и DEF, у которых AB/DE = BC/EF = CA/FD, то эти треугольники подобны.

Число, которому равно отношение сторон, называется коэффициентом подобия (k). Таким образом, можно записать отношения сторон подобных треугольников так:

AB = kDE, BC = kEF, CA = kFD

Подобие треугольников обозначается так: ∆ABC ~ ∆DEF.

Понятно, что все равные треугольники также являются и подобными. В этом случае коэффициент подобия равен единице.

У подобных треугольниках соответственно равны все три угла. То есть, если ∆ABC ~ ∆DEF, то ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F. Этот факт формулируется в виде теоремы: если даны два подобных треугольника, то углы одного будут соответственно равны углам другого.

Доказать эту теорему можно через теорему косинусов. Пусть даны два подобных треугольника ABC и DEF, у которых AB = kDE, BC = kEF, CA = kFD.

Теорема косинусов утверждает, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон, умноженному на косинус угла между ними. В данном случае, по отношению к стороне AB получим равенство:

AB2 = BC2 + CA2 – 2BC · CA · cos C

Так как AB = kDE, BC = kEF, CA = kFD, то мы можем заменить в выражении теоремы косинусов стороны треугольника ABC соответствующими произведениями коэффициента подобия на стороны треугольника DEF:

(kDE)2 = (kEF)2 + (kFD)2 – 2kEF · kFD · cos C
k2 · DE2 = k2 · (EF2 + FD2 – 2EF · FD · cos C)
DE2 = EF2 + FD2 – 2EF · FD · cos C

В полученном равенстве у нас присутствует угол C из треугольника ABC. Однако если бы мы применили теорему косинусов к треугольнику DEF, то получили бы такое равенство:

DE2 = EF2 + FD2 – 2EF · FD · cos F

Отсюда следует, что косинусы углов C и F равны друг другу. Но если равны косинусы углов, то значит, равны и сами углы.

Аналогично через теорему косинусов доказывается, что ∠A = ∠D и ∠B = ∠E.

Урок 6: Подобные треугольники — 100urokov.ru

План урока:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй и третий признаки подобия треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

 

Пропорциональные отрезки

Если известна длина двух отрезков, то можно узнать, во сколько раз один из них больше другого. Например, если некоторый отрезок NM = 24 см, а другой отрезок KP = 4 см, то можно утверждать, что NM в 6 раз длиннее, так как

Величину NM/KP именуют отношением отрезков NM и KP. Надо заметить, что в ряде случаев отношение отрезков можно найти, не зная их длины. Пусть в ∆МКР проведена медиана МН. Очевидно, что отрезок КР будет вдвое длиннее КН, ведь Н – середина КР:

Другой пример – это отношение между диагональю квадрата и его стороной.

Используя теорему Пифагора, несложно показать, что в любом квадрате АВСD

Наконец, в прямоугольном треуг-ке, один из углов которого равен 30°, гипотенуза всегда вдвое длиннее меньшего из катетов:

Если отношение отрезка AB к А1Вравно отношению отрезка СD к С1D1, то говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам А1В1 и С1D1. Например, пусть

Получается, AВ и CD пропорциональны А1В1 и С1D1. Важно отметить, что пропорциональны могут быть также сразу три и более отрезка.

 

Определение подобных треугольников

В жизни нередко можно наблюдать объекты, у которых совпадает форма, но отличаются размеры. В качестве примера можно привести мяч для настольного тенниса и баскетбольный мяч. Оба этих предмета имеют форму шара, на баскетбольный мяч значительно больше. Другой пример – настоящий танк и игрушка, изображающая его. Часто подобны друг другу матрешки, которые вкладываются друг в друга – все они выглядят одинаково, а отличаются только общим размером. Наконец, подобны и знаменитые египетские пирамиды:

Такие объекты в геометрии именуют подобными. Подобны друг другу любые две окружности и любые два квадрата. Но особо важную роль в геометрии играют подобные треугольники. Рассмотрим это понятие подробнее.

Пусть есть два треуг-ка, ∆AВС и ∆А1В1С1, у которых соответственно равны углы:

Стороны, которые лежат против одинаковых углов в таких треуг-ках, именуют сходственными. Ими являются стороны AВ и А1В1, ВС и В1С1, АС и А1С1.

Можно дать такое определение подобных треугольников:

Таким образом, подобие треугольников (оно обозначается символом ∾) обозначает выполнение сразу нескольких равенств:

Отношение между сходственными сторонами подобных треуг-ков именуется коэффициентом подобия и обозначается буквой k:

Грубо говоря, подобие треуг-ков означает, что их форма одинакова, но один из них в несколько раз больше или меньше другого. Чтобы получить, из одного треуг-ка другой, равный ему по размерам, его надо просто «масштабировать». Например, на этом рисунке все стороны исходного треуг-ка просто увеличили в три раза:

Это значит, что коэффициент подобия в данном случае равен 3. Однако важно понимать, что в различных геометрических задачах подобные треуг-ки также могут быть повернуты друг относительно друга:

 

Задание. ∆AВС подобен DEF. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. Как только в задаче появляются подобные треуг-ки, стоит сразу же определить их коэффициент подобия, а для этого надо разобраться, какие стороны будут сходственными. Так как∠А = ∠Е, то лежащие против них стороны DF и ВС– сходственные. Их отношение и будет равно коэффициенту подобия:

Получили, что стороны ∆DEF вдвое длиннее сходственных им сторон ∆AВС. У подобных треуг-ков углы одинаковы, поэтому∠С = ∠D. Отсюда следует, что стороны AВ и ЕF сходственны, а потому ЕF вдвое больше:

 

Задание. ∆AВС иDEF – подобные. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. По сравнению с предыдущей задачей изменилось только одно условие, теперь∠А = ∠D. Однако это меняет сходственные стороны. Из подобия треуг-ков следует, что∠С = ∠Е. Тогда сходственными оказываются уже стороны AВ и DF. Найдем коэффициент подобия треугольников:

Сходственными являются также стороны ВС и ЕF (ведь∠А = ∠D), поэтому ЕF в 1,25 раза длиннее:

Эти две задачи показывают, как важно правильно определять сходственные стороны подобных треугольников.

Естественно, что все равные друг другу треуг-ки являются одновременно и подобными, причем их коэффициент подобия равен единице.

 

Задание. Докажите, что у подобных треуг-ков отношение их периметров равно коэффициенту подобия.

Решение. Пусть подобны ∆ AВС и ∆А1В1С1, причем

Периметр ∆AВС можно вычислить так:

Мы доказали утверждение, сформулированное в условии.

 

Первый признак подобия треугольников

Оказывается, для того, чтобы доказать подобие треуг-ков, не требуется сравнивать все их углы и находить соотношение всех сторон. Существуют три простых признака подобия треугольников.

Однако прежде, чем сформулировать их, нам придется доказать отдельное утверждение, которое известно как обобщенная теорема Фалеса («обычную», не обобщенную теорему мы уже изучали ранее).

Если прямые ВВ1 и СС1 (показаны красным цветом)параллельны, то отрезки AВ и АС пропорциональны отрезкам AВ1 и АС1, то есть справедливо соотношение:

Доказывать будем от противного. Пусть отрезки AВ и АС непропорциональны AВ1 и АС1. Тогда отметим наАС такую точку Н, которая разобьет АС на пропорциональные отрезки, то есть

Естественно, эта точка не будет совпадать с С1. Рассмотрим случай, когда она окажется правее, чем С1:

Теперь поступим следующим образом. Проведем через стороны угла большое число прямых, параллельных ВС, которые будут разбивать АС на одинаковые отрезки. По теореме Фалеса эти же прямые отсекут одинаковые отрезки и на AВ. При этом мы проведем настолько много параллельных прямых, что хотя бы одна из них пересечет отрезок С1Н:

Пусть эта прямая пересечет отрезок С1Н в некоторой точке С2, а сторону AВ в точке В2. Ясно, что отрезки AВ и АВ2 пропорциональны отрезкам АС и АС2, так как они состоят из одинакового количества одинаковых отрезков. Например, на построенном рисунке отношение AB2 к AB равно 5/8, так как AB2 состоит из 5 отрезков, отсеченных зелеными параллельными прямыми, а AB состоит из 8 таких отрезков. Аналогично и отношение АС2 к АС также равно 5 к 8. Таким образом, можно записать:

Здесь мы рассмотрели случай, когда точка Н лежит правее С1, то есть АН >C1. Случай, когда АН <АС1, рассматривается аналогично, и также получается противоречие. Эти противоречия означают, что на самом деле точка Н должна совпадать с С1, то есть справедливо равенство

ч.т. д.

Теперь, доказав обобщенную теорему Фалеса, мы можем перейти к первому признаку подобия треугольников.

Действительно, пусть есть ∆AВС и ∆А1В1С1, у которых

Так как сумма углов у любого треуг-ка постоянна и составляет 180°, то должны быть одинаковы и третьи углы:

При таком наложении прямые ВС и В1С1 окажутся параллельными, так как соответственные углы ∠В1С1А и ∠ВСА одинаковы. Но параллельные прямые должны отсекать на сторонах угла пропорциональные отрезки, то есть

У ∆AВС и ∆А1В1С1 углы одинаковы, а лежащие напротив них стороны пропорциональны, следовательно, это подобные треуг-ки.

 

Задание. Прямая, параллельная стороне AВ ∆AВС, пересекает стороны ВС и АС в точках Е и Р. Известно, что ЕС = 2, ВЕ = 3, ЕР = 3,2. Какова длина AВ?

Решение. В данной задаче есть только два треуг-ка, ∆AВС и ∆РЕС. Докажем их подобие. У них есть общий∠С, а ∠СЕР = ∠СВА, ведь это односторонние углы при параллельных прямых ЕР и AВ. Отсюда следует, что ∆AВС∾∆РЕС. Значит, ∠А = ∠СРЕ.

Далее надо найти коэффициент подобия. Стороны СЕ и ВС лежат против равных углов∠А и ∠СРЕ, поэтому они сходственные.

 

Задание. По данным рисунка найдите длину КЕ:

Решение. На рисунке показано, что ∠ВСА = ∠СКЕ, а∠А = ∠Е = 90°. То есть у ∆AВС и ∆СКЕ есть два одинаковых угла, и, следовательно, они подобны. Сходственными будут являться стороны AВ и ЕС, с их помощью найдем коэффициент подобия:

 

Задание. Основания трапеции имеют длины 5 и 8 см. Длины ее боковых сторон составляют 3,6 и 3,9 см. Продолжения боковых сторон пересекаются в точке М. Определите расстояние от М до вершин меньшего основания.

Решение. Для начала выполним построение:

Отрезки ВС и АD параллельны, так как они являются основаниями трапеции. Отсюда получаем равенство соответственных углов:

Теперь посмотрим на ∆АМD и ∆ВМС. МЫ только что выяснили, что у них есть одинаковые углы (∠МВС и ∠МАD), а ∠М является общим для них. Тогда получаем, что эти треуг-ки подобны. Стороны ВС и AD будут сходственными, так как лежат против одного и того же ∠М, поэтому по их длине можно найти коэффициент подобия:

Для нахождения МВ обозначим его длину как х. Тогда отрезок АМ будет иметь длину х + 3,9. Но из подобия треуг-ков следует такое соотношение:

Подставив сюда значение k и выраженные через х длины АМ и МВ, получим уравнение:

МС можно найти таким же путем, обозначив его длину как у. Тогда отрезок МD будет равен у + 3,6, и можно составить уравнение:

 

Второй и третий признаки подобия треугольников

Существует ещё два признака подобия треуг-ков, которые в решении задач используются значительно реже. Они выводятся непосредственно из первого признака.

Докажем второй признак подобия. Пусть есть ∆AВС и ∆А1В1С1, для которых выполняются соотношения:

Необходимо доказать, что они подобны. Для этого построим ещё один ∆AВС2, который будет иметь общую сторону с ∆AВС, причем точку С2 мы выберем так, что будут выполняться условия:

∆А1В1С1 и ∆AВС2 будут подобными, ведь у них одинаковы два угла. Значит, будет выполняться соотношение

Но тогда ∆AВС и ∆AВС2 будут равными, ведь у них одинаковы две стороны и угол, образованный этими сторонами:

В итоге у ∆AВС и ∆А1В1С1 оказываются два одинаковых угла, то есть они подобны друг другу

ч. т. д.

 

Задание. На стороне угла отмечены точки A и В так, что AВ = 5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отмечены точки С и D так, что AD = 8 cм и AF = 10 см. Подобны ли ∆АСD и AFB? 

Решение.

У рассматриваемых треуг-ков есть общий угол ∠А. Найдем отношение сторон, прилегающих к этому углу.

Отношения одинаковы, значит, треуг-ки подобны.

Примечание. В данном случае важно понимать, какие стороны надо делить друг на друга. У ∆АСD известны стороны АС и АD, равные 16 и 8 см. У ∆AFB известны AF и AB, которые составляют 10 и 5 см. Делить надо большую сторону одного треуг-ка на большую сторону другого треуг-ка, то есть 16 на 10. Потом же делим меньшие стороны, то есть 8 на 5.Если получили одно и тоже число, то это значит, что рассмотренные треуг-ки подобны, причем полученное число как раз и является коэффициентом подобия.

Рассмотрим третий признак подобия треуг-ков.

Докажем его. Пусть у ∆AВС и ∆А1В1С1 пропорциональны их стороны:

Можно заметить, что ∆AВС2 и ∆А1В1С1 подобны, ведь у них совпадают два угла. Тогда верны соотношения:

Самая левая дробь в обоих случаях одинакова, а в других отличны лишь числители. Значит, эти числители одинаковы:

Но тогда у ∆AВС и ∆AВСсовпадают все стороны, то есть эти треуг-ки равные. Следовательно. Так как ∆AВС2 подобен ∆А1В1С1, то и равный ему ∆AВС также подобен ∆А1В1С1

ч. т. д.

 

Задание. Подобны ли ∆AВС и DEF, если их стороны имеют длины:

Решение.

Для проверки достаточно просто поделить длины сторон друг на друга. При этом большую сторону одного треуг-ка будем делить на большую сторону другого, а меньшую – на меньшую. Если в результате отношение всех трех сторон будет одинаково, то можно утверждать, что треуг-ки подобны:

Все три раза мы получали число 2, именно оно и является коэффициентом подобия треуг-ков.

 

Отношение площадей подобных треугольников

Если треуг-ки подобны, то их стороны отличаются в k раз, где k– коэффициент подобия. А как соотносятся друг с другом длины их высот, медиан и других характерных отрезков. Несложно догадаться, что они также отличаются в k раз.

Докажем это на примере высот. Пусть есть подобные ∆AВС и ∆А1В1С1, причем их коэффициент подобия равен k:

Проведем в них высоты СН и С1Н1:

Теперь сравним ∆АСН и ∆А1С1Н1. Из подобия ∆AВС и ∆А1В1С1 следует, что

Аналогично можно доказать, что в k раз будут отличаться длины медиан и биссектрис.

А каким будет отношение площадей подобных треугольников?Оказывается, что они отличаются уже в kраз. Докажем это.

Пусть ∆AВС и ∆А1В1С1 подобны с коэффициентом подобия k. Снова проведем в них высоты СН и СН1:

Запишем очевидные равенства:

В итоге получили, что площади подобных треугольников отличаются в kраз.

 

Задание. Известно, у ∆AВС площадь составляет 10, а отрезок AВ имеет длину 5. DEF подобен ∆AВС, причем сторона DE, сходственная AВ, равна 15. Вычислите площадь DEF.

Решение. По условию задачи легко найти коэффициент подобия ∆AВС и ∆DEF, надо лишь поделить одну сходственную сторону на другую:

 

Задание. Площади двух подобных треуг-ков составляют 75 м2 и 300 м2. Одна из сторон второго треуг-ка равна 9 м. Вычислите сходственную ей сторону первого треуг-ка.

Решение. Зная площади треуг-ков, легко найдем коэффициент их подобия:

Если коэффициент равен 2, то стороны первого многоугольника вдвое меньше сторон второго, поэтому интересующая нас сторона равна

9:2 = 4,5 м

Ответ: 4,5 м.

 

Урок 16. определение подобных треугольников.

отношение площадей подобных фигур — Геометрия — 8 класс

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин. Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1, если их отношения равны.
AB/(A1B1) = CD/(C1D1)
Выясним, пропорциональны ли отрезки на рисунке.

Составим отношения отрезков, учитывая их длины:
AB/AC = 4/12 = 1/3,
AD/DE = 3/9 = 1/3,
DB/BE = 1/5,
Получим, что отрезки AB и AC пропорциональны отрезкам AD и DE. А отрезки AB и AC не пропорциональны отрезкам DB и BE.
Интересное и важное свойство биссектрисы угла треугольника связано с пропорциональностью отрезков.
Пусть дан треугольник АВС, в нем проведена биссектриса АD, докажем, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Дано: ∆ ABC, AD – биссектриса
Доказать: BD/AB = DC/AC
Для доказательства воспользуемся следствиями из формулы площади треугольника:
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

У треугольников ADC и ABD общая высота AH, поэтому
SABD/SADC = BD/DC
2) У треугольников ADC и ABD
CAD = ∠BAD, поэтому
SABD/SADC = (ABAD)/(ACAD) = AB/AC
3) BD/DC = AB/AC
Или
BD/AB = DC/AC
В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными.
Рассмотрим два треугольника, углы которых равны.
ABC и ∆A1B1C1
A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1
Тогда стороны AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 называются сходственными.
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.
ABC ~ ∆A1B1C1
A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1
и AB/(A1B1) = BC/B1C1 = AC/(A1C1) = k
Выясним, как относятся периметры и площади подобных треугольников.
Рассмотрим два подобных треугольника.
ABC ~ ∆A1B1C1
AB/(A1B1) = BC/B1C1 = AC/(A1C1) = k, тогда
AB = kA1B1
BC = kB1C1
AC = kA1C1
Составим отношение периметров этих треугольников и упростим его
PABC/PA1B1C1 = (AB + BC + AC)/(A1B1 + B1C1 + A1C1) = (kA1B1 + k B1C1 + kA1C1)/(A1B1 + B1C1 + A1C1) = k
Вывод: отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Теперь рассмотрим отношение площадей подобных треугольников АВС и А1В1С1. ∆ ABC ~ ∆A1B1C1, тогда ∠A = ∠A1, следовательно, по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, получим
SABC/SA1B1C1 = (ABAC)/(A1B1A1C1) = AB/(A1B1) ∙ AC/(A1C1)= kk = k2
Вывод: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Сходство треугольников, соотношения частей

Сходство треугольников, соотношения частей — Math Open Reference

В двух одинаковых треугольниках их периметры и соответствующие стороны, медианы и высоты будут в одинаковом соотношении.

Попробуйте
Два треугольника ниже похожи. Перетащите любую оранжевую точку на P, Q, R. Обратите внимание на соотношение двух соответствующих сторон и отношение медиан.

В двух одинаковых треугольниках:

  • По периметрам
    двух треугольников имеют такое же соотношение, как и стороны.
  • Соответствующие стороны,
    медианы и
    высота
    все будет в таком же соотношении.

Это иллюстрируется двумя похожими треугольниками на рисунке выше. Здесь показаны медианы каждого треугольника.
Изменив размер треугольника PQR, вы увидите, что отношение сторон всегда равно отношению медиан.
Таким же образом периметры будут в таком же соотношении, и высота также будет в том же соотношении.

Всего десять элементов находятся в одинаковом соотношении (периметр, три медианы, три высоты, три стороны).Чтобы не загромождать диаграмму выше, показаны отношения только одной стороны и одной медианы, но эта идея применима ко всем десяти элементам.

Помните, что у треугольника три стороны, три высоты и три медианы.
Обязательно сравните соответствующие части в каждом треугольнике.
Например, на рисунке ниже две высоты соответствуют .
высоты, потому что они нарисованы, образуют одну и ту же вершину в каждом треугольнике, поэтому
соотношение их длин действительно.

Будьте особенно внимательны, когда один треугольник вращается и / или является зеркальным отображением другого.Чтобы убедиться в этом, на рисунке вверху
перетащите точку P вниз под Q. Треугольник будет повернут на 180 °, но треугольники останутся похожими, а
соотношения все еще сохраняются.

См. Также Подобные треугольники — соотношения площадей.

Другие похожие темы

Похожие полигоны

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.

Все права защищены.

Отношение площадей треугольников с одинаковой высотой

Поскольку площадь треугольника задается формулой (основание · высота) / 2, треугольники с одинаковой высотой будут иметь площади, соотношение которых совпадает с соотношением их оснований. :

В следующей задаче геометрии мы будем опираться на доказательство, которое мы сделали, чтобы показать, что диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника с равными площадями, и применим это свойство для сравнения длин двух отрезков линии.

Задача

ABCD — это параллелограмм с диагоналями AC и BD, которые пересекаются в точке O. F — середина стороны BC (BF = FC). Найдите отношение AE к EF.

Стратегия

Когда нас просят сравнить соотношения отрезков линии, в нашем распоряжении есть два инструмента — похожие треугольники или треугольники с одинаковой высотой или основанием.

Здесь у нас есть пересекающиеся диагонали параллелограмма, которые, как мы знаем, создают 4 треугольника с равной площадью. Это подсказка для использования второго из этих методов.

Давайте соединим вершину C с E и посмотрим на треугольники ΔAOE и ΔCOE. В параллелограмме диагонали делят друг друга пополам, поэтому AO = OC. Оба треугольника имеют одинаковую высоту, EG, поэтому их площади должны быть равны. Назовем эту область x.

Теперь, поскольку BF = FC, треугольники ΔBEF и ΔCEF также имеют одинаковую площадь (равные основания и одинаковую высоту, EH). Назовем эту область y.

Но, как мы уже показали, диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника с равными площадями, поэтому площадь ΔAOB равна площади ΔCOB.Площадь ΔCOB равна (x + 2y), а площадь ΔAOB равна (x + площадь ΔAEB), поэтому площадь ΔAEB должна быть 2y.

Теперь давайте посмотрим на треугольники ΔAEB и ΔFEB. У них общая вершина (B) и базовый AF, поэтому они имеют одинаковую высоту. И, как было сказано в начале, треугольники с одинаковой высотой будут иметь площади, соотношение которых совпадает с соотношением их оснований.

Итак, если площадь ΔAEB равна 2y, а площадь ΔFEB равна y, соотношение AE / EF должно быть 2: 1.

Решение

(1) AO = OC // Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам
(2) EG = EG // Общая высота, рефлексивное свойство равенства
(3) Площадь ΔAOE = Площадь ΔCOE = x // (1), (2), треугольники с равным основанием и высотой
(4) BF = FC // Учитывая
(5) EH = EH // Общая высота, отражающее свойство равенства
(6) Площадь ΔBEF = Площадь ΔCEF = y // (1), (2), треугольники с одинаковым основанием и высотой
(7) Площадь ΔAOB = Площадь ΔCOB = (x + 2y) // Диагонали деления параллелограмма в четыре треугольника с равными площадями
(8) Площадь ΔAOB = Площадь ΔAEB + x
(9) Площадь ΔAEB = 2y // (7), (8)
(10) Площадь ΔAEB / Площадь AFEB = 2 // (6), (9)
(11) AE / EF = 2 // Треугольники с одинаковой высотой имеют площади, соотношение которых совпадает с соотношением их оснований

Геометрия

— Соотношение высоты равнобедренного треугольника

геометрия — Соотношение высоты равнобедренного треугольника.

Сеть обмена стеком

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

  1. 0

  2. +0

  3. Авторизоваться
    Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях. Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено
2k раз

$ \ begingroup $

Было два равнобедренных треугольника с одинаковыми углами. Соотношение их площадей — 16: 25 $. Какое соотношение их роста?

Это вопрос, заданный в письменном разделе о способностях компании. Я был сбит с толку и не могу понять, с чего начать. Может ли кто-нибудь помочь мне

YYC

2,1371717 серебряных знаков3636 бронзовых знаков

Создан 27 сен.

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

Подсказок:

=== В подобных треугольниках коэффициент подобия одинаков между соответствующими сторонами, соответствующими медианами, соответствующими высотами и соответствующими биссектрисами угла (и другими, такими как средние сегменты и т. Д.
).

=== В подобных треугольниках соотношение площадей равно коэффициенту сходства в квадрате .

Создан 27 сен.

ДонАнтониоДонАнтонио

1k1717 золотых знаков113113 серебряных знака264264 бронзовых знака

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

Представьте, что они спрашивают вас о квадратах, а не о равнобедренных треугольниках.Разберитесь в этом простом случае, это должно дать вам понимание.

— Для квадрата вы знаете точную формулу зависимости площади от длины. Для равнобедренного треугольника — нет. Это имеет значение?

Создан 27 сен. 2 = 16/25
-> h2 / h3 = 4/5

опишите ниже, как рассчитать…

Предположим, что высота равна h2 и h3, а база равна b1 и b2

таковы (b1h2) / 2 и b2h3 / 2

потому что это тот же угол @, что и в traingle tan @ = h / a / 2 = 2h / a
16/25 = (2h2 * h2 / (загар @ * 2)) / (2h3 * h3 / (загар @ * 2))

h2 / h3 = 4/5 и

Создан 20 окт.

$ \ endgroup $

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie

Настроить параметры

похожих треугольников

Два треугольника подобны, если разница только в размере (и, возможно, в необходимости перевернуть или перевернуть один треугольник).

Все эти треугольники похожи:

(равные углы отмечены таким же количеством дуг)

Некоторые из них имеют разные размеры, а некоторые перевернуты или перевернуты.

Для одинаковых треугольников:

Все соответствующие углы равны

и

Все соответствующие стороны имеют одинаковое соотношение

Также обратите внимание, что соответствующие стороны обращены к соответствующим углам. Например, стороны, обращенные к углам с двумя дугами, соответствуют друг другу.

Соответствующие стороны

В подобных треугольниках соответствующие стороны всегда находятся в одинаковом соотношении.

Например:

Треугольники R и S похожи. Равные углы обозначены одинаковым количеством дуг.

Какова соответствующая длина?

  • Длины 7 и a соответствуют (они обращены к углу, отмеченному одной дугой)
  • Длины 8 и 6.4 соответствуют (обращены к размеченному двумя дугами углу)
  • Длины 6 и b соответствуют (они обращены к углу, отмеченному тремя дугами)

Расчет длин соответствующих сторон

Иногда мы можем вычислить длины, которых еще не знаем.

  • Шаг 1: Найдите отношение соответствующих сторон
  • Шаг 2: Используйте это соотношение, чтобы найти неизвестные длины

Пример: найти длины a и b треугольника S

Шаг 1.

Найдите соотношение

Мы знаем все стороны треугольника R и
Мы знаем сторону 6.4 дюйм Треугольник S

6.4 обращен к углу, отмеченному двумя дугами, как и сторона длиной 8 в треугольнике R .

Таким образом, мы можем сопоставить 6.4 с 8 , и поэтому отношение сторон в треугольнике S к треугольнику R составляет:

от 6,4 до 8

Теперь мы знаем, что длины сторон в треугольнике S равны 6,4 / 8, умноженным на длин сторон в треугольнике R .

Шаг 2: Используйте соотношение

a обращен к углу с одной дугой, как и сторона длиной 7 в треугольнике R .

a = (6,4 / 8) × 7 = 5,6

b обращен к углу с тремя дугами, как и сторона длиной 6 в треугольнике R .

б = (6,4 / 8) × 6 = 4,8

Готово!

похожих треугольников

Два

треугольники

как говорят

похожий

если их соответствующие углы равны

конгруэнтный

и соответствующие стороны лежат в

пропорция

. Другими словами, похожие треугольники имеют одинаковую форму, но не обязательно одного размера.

Треугольники

конгруэнтный

если к тому же их соответствующие стороны имеют одинаковую длину.

Длины сторон двух одинаковых треугольников пропорциональны. То есть, если

Δ

U

V

W

похоже на

Δ

Икс

Y

Z

, то имеет место следующее уравнение:

U

V

Икс

Y

знак равно

U

W

Икс

Z

знак равно

V

W

Y

Z

Это обычное отношение называется

масштаб

.

Символ

используется для обозначения сходства.


Пример:

Δ

U

V

W

Δ

Икс

Y

Z

. Если

U

V

знак равно

3

,

V

W

знак равно

4

,

U

W

знак равно

5

а также

Икс

Y

знак равно

12

, найти

Икс

Z

а также

Y

Z

.

Нарисуйте фигуру, чтобы облегчить себе визуализацию.

Запишите пропорцию. Убедитесь, что соответствующие стороны указаны правильно.

3

12

знак равно

5

Икс

Z

знак равно

4

Y

Z

Коэффициент масштабирования здесь

3

12

знак равно

1

4

.

Решение этих уравнений дает

Икс

Z

знак равно

20

а также

Y

Z

знак равно

16

.

Понятия подобия и масштабного коэффициента могут быть распространены не только на треугольники, но и на другие фигуры.

Раздел 4.3 Обсуждение

В этом разделе мы переходим от похожих многоугольников, определяемых общим соотношением соответствующих сторон и соответствующих углов, конгруэнтных к исследованию сравнения площадей. Интуитивно эти отношения могут быть мотивированы изучением конкретных случаев. Например, если у нас есть два квадрата, у одного из которых длина стороны в два раза больше, чем у другого, соотношение сторон будет r = 2.Соотношение площадей будет 4.

Если мы возьмем любой треугольник и построим отрезки, пересекающие его середины, из теоремы о среднем сегменте для треугольников мы узнаем, что каждый из средних отрезков равен половине длины третьей стороны и параллелен ей. Из этого мы можем сделать вывод, что треугольник подразделяется на 4 конгруэнтных треугольника, каждый из которых похож на исходный треугольник. Таким образом, соотношение сторон равно 2, а отношение площадей равно 4.

Разделение каждой стороны треугольника или квадрата на трети и построение сегментов, параллельных сторонам, даст аналогичные фигуры со сторонами, составляющими одну треть длины оригинала.В каждом случае формируется 9 одинаковых фигур. Таким образом, соотношение сторон равно 3, а соотношение площадей — 9.

Ясно, что эту стратегию можно расширить до разделения стороны на n частей. Мы проведем доказательство в два этапа. В первом случае устанавливается, что отношение площадей одинаковых треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон. Затем мы распространим теорему на любой многоугольник, разделив многоугольник на треугольные области. Сначала пара лемм.

Лемма 4.1. Если два треугольника подобны с отношением r, то их соответствующие высоты находятся в том же отношении.

Доказательство: Даны аналогичные треугольники ABC и A’B’C ‘. Постройте соответствующие высоты CD и C’D ‘. Теперь треугольник ADC подобен треугольнику A’D’C ‘по условию сходства AA.

Лемма 4.2 . Подобные выпуклые многоугольники на плоскости можно разбить на множество подобных треугольников, построив диагонали из любой вершины.

Следствие 4.2. Диагонали одинаковых выпуклых многоугольников на плоскости находятся в одинаковом соотношении.

Проба: Осталось в качестве упражнения. . . По сути, используйте условие подобия SAS, чтобы показать, что две стороны сходных многоугольников, соединяющих друг друга и соответствующие диагонали, дадут одинаковые треугольники.

Теорема 4.13 : Отношение площадей одинаковых треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон.

В треугольниках ABC и A’B’C ‘(рисунок в лемме 4.1). Пусть S — площадь треугольника ABC, а S ‘- площадь треугольника A’B’C. Тогда

QED

Теорема 4.14: Отношение площадей одинаковых многоугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон.

ПРИМЕЧАНИЕ. Хотя формулировка теоремы здесь и в учебнике не является явной, я думаю, мы предполагаем, что это относится к выпуклым многоугольникам на плоскости. Потребуется дополнительная осторожность, чтобы установить теорему для вогнутых многоугольников на плоскости, для многоугольников на плоскости, которые не являются простыми (т.е. многоугольники, стороны которых могут пересекаться), или для неплоских многоугольников .

Доказательство : воспользуемся леммой 4.2. Возьмем два похожих многоугольника с площадью S и S ‘. Поскольку многоугольники похожи,

Теперь решим это 4.10

Верно ли, что область просмотра 35-дюймового телевизионного экрана примерно в два раза больше области просмотра 25-дюймового телевизионного экрана.Обосновать ответ.

Предположим, что два экрана представляют собой одинаковые прямоугольники. Из лемм и теорем 4.13 и 4.14 мы знаем, что отношение соответствующих сторон такое же, как отношение диагоналей, и поэтому r = 35/25. Соотношение площадей, таким образом, составляет 1,96, что «приблизительно» равно 2,

.

Пусть S — площадь треугольника ABC. УБЕДИТЕСЬ, ЧТО ОБЛАСТЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ CQPM БУДЕТ

GSP-файл для Примера 4.4

Пример 4.5 .

Дан треугольник ABC. Постройте линию, параллельную основанию, которая делит треугольник на две равные области.

Thinkaboutit : Если соотношение площадей двух одинаковых треугольников равно 2, каково соотношение сторон?

Ссылка на файл GSP со скриптом для этой конструкции: Файл GSP

Строительство :

ОБОБЩЕНИЕ

СМОТРЕТЬ ФАЙЛ GSP для этих конструкций и инструментов сценария

Расширение: для любого треугольника ABC рисуется сегмент, параллельный основанию. В центре образуется небольшой треугольник, очевидно похожий на ABC. Каково соотношение площадей этого маленького треугольника и треугольника ABC.

Решение для файлов GSP от Джеки Рафф.

Подробнее см. Половина площади треугольника из EMAT 6600. . .

Другое расширение : Постройте линию, параллельную параллельным основаниям трапеции, чтобы разделить трапецию на две равные области.

У Эллисон Холлман есть решение. . .

См. http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/IsosTrapEqAr/IsosTrapEqAr.html

Я счел полезным найти алгебраическое выражение для длины отрезка, параллельного основаниям, который делит трапецию на две равные области.

Формула c предлагает начать с прямоугольного треугольника, имеющего катеты a и b, чтобы завершить построение.

Теорема 4.15 : Если три одинаковых многоугольника построены на трех сторонах прямоугольного треугольника, то площадь многоугольника на гипотенузе равна сумме площадей многоугольников на других сторонах.

Набор задач 4.3

% PDF-1.4
%
849 0 объект
>
эндобдж

xref
849 166
0000000016 00000 н.
0000004838 00000 н.
0000004923 00000 н.
0000005161 00000 п.
0000006406 00000 н.
0000006453 00000 п.
0000006500 00000 н.
0000006547 00000 н.
0000006593 00000 н.
0000006640 00000 н.
0000006686 00000 н.
0000006733 00000 н.
0000006779 00000 н.
0000006826 00000 н.
0000006872 00000 н.
0000006919 00000 п.
0000006966 00000 н.
0000007012 00000 н.
0000007059 00000 н.
0000007106 00000 н.
0000007153 00000 н.
0000007206 00000 н.
0000007544 00000 н.
0000007813 00000 н.
0000007891 00000 н.
0000007967 00000 н.
0000008232 00000 н.
0000008852 00000 н.
0000009256 00000 н.
0000009303 00000 п.
0000009350 00000 н.
0000009397 00000 н.
0000009444 00000 н.
0000009491 00000 п.
0000009539 00000 п.
0000009587 00000 н.
0000017777 00000 п.
0000018214 00000 п.
0000018567 00000 п.
0000018644 00000 п.
0000025400 00000 п.
0000029861 00000 п.
0000034132 00000 п.
0000038929 00000 п.
0000039254 00000 п.
0000039601 00000 п.
0000040384 00000 п.
0000040492 00000 п.
0000040932 00000 п.
0000041268 00000 п.
0000041527 00000 п.
0000041633 00000 п.
0000042244 00000 п.
0000042354 00000 п.
0000042429 00000 п.
0000042678 00000 п.
0000043288 00000 п.
0000043708 00000 п.
0000044414 00000 п.
0000044711 00000 п.
0000045364 00000 п.
0000045656 00000 п.
0000045693 00000 п.
0000052193 00000 п.
0000052369 00000 п.
0000052743 00000 п.
0000053382 00000 п.
0000053671 00000 п.
0000053877 00000 п.
0000054258 00000 п.
0000054309 00000 п.
0000054602 00000 п.
0000054799 00000 п.
0000055190 00000 п.
0000055254 00000 п.
0000055573 00000 п.
0000055836 00000 п.
0000060457 00000 п.
0000061236 00000 п.
0000061408 00000 п.
0000061578 00000 п.
0000061760 00000 п.
0000062022 00000 п.
0000062283 00000 п.
0000067036 00000 п.
0000067991 00000 п.
0000069444 00000 п.
0000069496 00000 п.
0000070651 00000 п.
0000070834 00000 п.
0000072205 00000 п.
0000082365 00000 п.
0000084507 00000 п.
0000088385 00000 п.
0000094654 00000 п.
0000097385 00000 п.
0000101933 00000 н.
0000104625 00000 н.
0000107845 00000 н.
0000107897 00000 п.
0000108100 00000 п
0000108198 00000 п.
0000108659 00000 н.
0000109408 00000 п.
0000109500 00000 н.
0000109586 00000 п.
0000109690 00000 н.
0000109846 00000 н.
0000109938 00000 н.
0000110136 00000 п.
0000110216 00000 н.
0000110317 00000 н.
0000110397 00000 н.
0000110486 00000 н.
0000110563 00000 н.
0000110708 00000 н.
0000110818 00000 н.
0000111021 00000 н.
0000111271 00000 н.
0000111384 00000 н.
0000111444 00000 н.
0000111912 00000 н.
0000112140 00000 н.
0000112429 00000 н.
0000114160 00000 н.
0000114439 00000 н.
0000159261 00000 н.
0000159300 00000 н.
0000200696 00000 н.
0000200735 00000 н.
0000242131 00000 н.
0000242170 00000 н.
0000283566 00000 н.
0000283605 00000 н.
0000283828 00000 н.
0000284206 00000 н.
0000284463 00000 н.
0000284938 00000 п.
0000285215 00000 н.
0000285539 00000 н.
0000285754 00000 н.
0000286012 00000 н.
0000286229 00000 н.
0000286569 00000 н.
0000288341 00000 п.
0000288629 00000 н.
0000293563 00000 н.
0000293744 00000 н.
0000298161 00000 н.
0000303112 00000 н.
0000303463 00000 н.
0000304509 00000 н.
0000307182 00000 н.
0000307635 00000 н.
0000309279 00000 н.
0000310457 00000 н.
0000312184 00000 н.
0000313215 00000 н.
0000313698 00000 п.
0000315432 00000 н.
0000316296 00000 н.
0000317083 00000 н.
0000318937 00000 н.
0000319194 00000 н.
0000319461 00000 п.
0000003616 00000 н.
трейлер
] / Назад 2566788 >>
startxref
0
%% EOF

1014 0 объект
> поток
h ޴ S {LW ݯ l! eXŠ $: RQ`7glR | 0aTFa; fs, DL, vfdRT1 | ~ ιs / @ mx`U! 3] eTHn’EZU & v8,; $.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.