Основные типы показательных уравнений и способы их решения: Основные виды показательных уравнений. Способы их решения.

Содержание

Показательные уравнения. Решение показательных уравнений.

Примеры решения показательных уравнений


Закрепим теорию практикой, то есть, рассмотрим примеры решения показательных уравнений. На них мы разберем все основные нюансы, возникающие при использовании того или иного метода решения показательных уравнений.



Начнем с примеров решения простейших показательных уравнений. В первом примере главный интерес представляют рассуждения, обосновывающие отсутствие корней у простейших показательных уравнений с отрицательными числами в правых частях.





Во втором примере показано, как оформлять решение простейших показательных уравнений с нулями в правых частях.





Вот пример решения простейших показательных уравнений, в обеих частях которых находятся степени с одинаковыми основаниями.





Простейшие показательные уравнения в следующем примере требуют изначального приведения уравнения к виду ax=ac.





Следующие простейшие показательные уравнения имеют положительное число в правой части и решаются через логарифм.





Теперь сосредоточимся на решении показательных уравнений методом уравнивания показателей. В первом примере внимание сосредоточим на самом методе.





Для решения следующего показательного уравнения методом уравнивания показателей достаточно вспомнить, что число можно рассматривать как степень этого числа с показателем 1.





Для закрепления метода уравнивания показателей предлагаем рассмотреть еще один пример решения показательного уравнения.





Дальше на примерах разберем, как проводится решение показательных уравнений методом разложения на множители.





Часто перед применением метода разложения на множители требуется провести некоторые преобразования показательного уравнения, чтобы получить произведение в левой части уравнения и нуль в правой части. Решим такой пример.





Теперь разберем на примерах, как проводится решение показательных уравнений методом введения новой переменной. Начнем с решения показательного уравнения, в записи которого переменная фигурирует только в составе одинаковых выражений.





Метод введения новой переменной используется и для решения показательных уравнений, переменная в которых находится в составе степеней с противоположными показателями. Вот пример решения такого показательного уравнения.





Есть и другие типичные показательные уравнения, решающиеся методом введения новой переменной. Вот характерные примеры с решениями.











Решение многих показательных уравнений упирается в проведение преобразований. Для показательных уравнений наиболее характерны преобразования, базирующиеся на свойствах степеней и на связи корней со степенями. В статье «Решение показательных уравнений через преобразования» Вы найдете массу соответствующих примеров с решениями.



Некоторые показательные уравнения в результате проведения преобразований могут сводиться к числовым равенствам. В статье «Решение показательных уравнений, сводящихся к числовым равенствам» дан принцип их решения. Решение двух показательных уравнений, первое из которых сводится к неверному числовому равенству, а второе – к верному, приведем здесь.





Показательные уравнения, в левой части которых находится некоторая дробь, а в правой – число 0, на области допустимых значений для этих уравнений заменяются уравнениями «числитель равен нулю». Вот примеры решения характерных показательных уравнений из статьи «Решение показательных уравнений дробь равна нулю».







Переходим к примерам решения показательных уравнений h(f(x))=h(g(x)) методом освобождения от внешней функции h. Главная сложность при их решении, обычно, заключается в том, чтобы разглядеть соответствующую структуру уравнения и обосновать, что внешняя функция принимает каждое свое значение по одному разу. За более полной информацией обращайтесь к материалу «Решение показательных уравнений методом освобождения от внешней функции», а вот соответствующий пример с решением.





Стоит привести пример решения показательного уравнения методом логарифмирования. Обычно методом логарифмирования решают показательные уравнения, части которого представляют собой степени, произведения или частные степеней, возможно, с числовыми коэффициентами. Дополнительный материал по теме есть в статье «Решение показательных уравнений методом логарифмирования». Сейчас приведем типовое решение показательного уравнения методом логарифмирования.





Иногда получить решение показательного уравнения позволяет ОДЗ. Это касается случаев, когда ОДЗ состоит из нескольких чисел или является пустым множеством. Подробнее об этом написано в статье «Решение показательных уравнений через ОДЗ». Здесь же нас интересует пример решения характерного показательного уравнения.





Остается рассмотреть примеры решения показательных уравнений каждым из направлений функционально-графического метода – графическим методом, через возрастание-убывание и методом оценки.



К решению показательных уравнений графическим методом обычно прибегают тогда, когда не видно других более простых методов решения и довольно легко построить графики функций, отвечающих частям уравнения. Этим условиям удовлетворяет показательное уравнение в следующем примере.





Решение показательных уравнений через возрастание-убывание обычно проводится тогда, когда очевиден или легко подбирается корень показательного уравнения и при этом очевидно или легко обосновывается, что одна из функций, отвечающих частям уравнения, возрастает, а другая – убывает. Вот соответствующий пример с типовым решением.





Наконец, приведем примеры решения показательных уравнений методом оценки. За теорией обращайтесь к статье «Решение показательных уравнений методом оценки».









Способы решения показательных уравнений и неравенств. Решение показательных уравнений и неравенств. Определение и свойства показательной функции, методика решения простейших показательных уравнений

Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение a x = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a
не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = a c .
Тогда очевидно, что с
будет являться решением уравнения a x = a c .

Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5 (x 2 — 2*x — 1) = 25.

Представим 25 как 5 2 , получим:

5 (x 2 — 2*x — 1) = 5 2 .

Или что равносильно:

x 2 — 2*x — 1 = 2.

Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1.

Ответ: 3;-1.

Решим уравнение 4 x — 5*2 x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2 x и получим следующее квадратное уравнение:

t 2 — 5*t + 4 = 0.
Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4

Теперь решаем уравнения 2 x = 1 и 2 x = 4.

Ответ: 0;2.

Решение показательных неравенств

Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а
выполнено следующее условие 0, то данная функция будет убывающей на всем множестве вещественных чисел.

Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5) (7 — 3*x)

Заметим, что 4 = (0.5) 2 . Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 — 3*x)

Получим: 7 — 3*x>-2.

Отсюда: х

Ответ: х

Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению . В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.

Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике « » в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.

Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств
, как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.

Показательная функция

Что такое показательная функция?

Функцию вида y
= a x
, где a
> 0 и a
≠ 1, называют показательной функцией
.

Основные свойства показательной функции
y
= a x
:

График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента
:

Графики показательных функций (экспоненты)

Решение показательных уравнений

Показательными
называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только
в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений
требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Теорема 1.
Показательное уравнение a
f
(x
) = a
g
(x
) (где a
> 0, a
≠ 1) равносильно уравнению f
(x
) = g
(x
).

Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

Title=»Rendered by QuickLaTeX.com»>

Пример 1.
Решите уравнение:

Решение:
используем приведенные выше формулы и подстановку:

Уравнение тогда принимает вид:

Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

Title=»Rendered by QuickLaTeX.com»>

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

Переходя к обратной подстановке, получаем:

Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x
= 3. Это и будет являться ответом к заданию.

Ответ:
x
= 3.

Пример 2.
Решите уравнение:

Решение:
ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x
(показательная функция y
= 9 4 -x
положительна и не равна нулю).

Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.

Ответ:
x
= 6.

Пример 3.
Решите уравнение:

Решение:
обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x
. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x
(показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

Ответ:
x
= 0.

Пример 4.
Решите уравнение:

Решение:
упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

Деление обеих частей уравнения на 4 x
, как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x
.

Ответ:
x
= 0.

Пример 5.
Решите уравнение:

Решение:
функция y
= 3 x
, стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y
= —x
-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x
= -1. Других корней не будет.

Ответ:
x
= -1.

Пример 6.
Решите уравнение:

Решение:
упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x
и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:

Ответ:
x
= 2.

Решение показательных неравенств

Показательными
называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только
в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств
требуется знание следующей теоремы:

Теорема 2.
Если a
> 1, то неравенство a
f
(x
) > a
g
(x
) равносильно неравенству того же смысла: f
(x
) > g
(x
). Если 0 a
a
f
(x
) > a
g
(x
) равносильно неравенству противоположного смысла: f
(x
) g
(x
).

Пример 7.
Решите неравенство:

Решение:
представим исходное неравенство в виде:

Разделим обе части этого неравенства на 3 2x
, при этом (в силу положительности функции y
= 3 2x
) знак неравенства не изменится:

Воспользуемся подстановкой:

Тогда неравенство примет вид:

Итак, решением неравенства является промежуток:

переходя к обратной подстановке, получаем:

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательно получаем ответ:

Пример 8.
Решите неравенство:

Решение:
используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

Введем новую переменную:

С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:

Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t
:

Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:

Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:

Окончательно получаем ответ:

Пример 9.
Решите неравенство:

Решение:

Делим обе части неравенства на выражение:

Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:

t
, находящиеся в промежутке:

Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

Пример 10.
Решите неравенство:

Решение:

Ветви параболы y
= 2x
+2-x
2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

Ветви параболы y
= x
2 -2x
+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y
= 3 x
2 -2x
+2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x
= 1.

Ответ:
x
= 1.

Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства,
необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.

Сергей Валерьевич

P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.

Способы решения систем уравнений

Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

Существуют четыре основных способа
решения систем уравнений:

    Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

    Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

    Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

    Способ введения новых переменных: в этом способе мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов. {\varphi (x)} $, где $a >0,a\ne 1$ равносильна совокупности двух систем

    \}

    Решение показательных уравнений — Решение

    Рассмотрим
    различные типы показательных уравнений
    и методы их решений

    Тип:
    Три разных основания степеней

    Метод:
    Разложение оснований на множители и
    сведение к двум основаниям степеней.

    Тип:
    Два разных основания степеней –
    разные показатели.

    Метод:
    Приведение к одинаковым показателям
    степеней.

    Тип:
    Основания степеней – степени одного
    числа.

    Метод:
    Приведение к одинаковым основаниям
    степеней.

    Тип:
    Два разных основания
    степеней- одинаковые показатели.

    Метод: Деление
    на меньшее основание в степени
    уравнения.

    Тип:
    Одинаковые основания степеней –
    разные показатели.

    Метод:
    Приведение к одинаковым показателям
    степеней.

    Тип:
    Одинаковые основания степеней –
    одинаковые показатели степеней.

    Метод: Замена
    переменной.

    Тип:
    Произведение степеней.

    Метод:
    Приведение к одному основанию степени.

    Тип:
    Простейшие показательные уравнения.

    Метод:
    Логарифмирование.

    Решение показательных уравнений

    Тип: Произведение
    степеней.

    Метод: Приведение
    к одному основанию степени.

    Алгоритм решения

    Если
    в показательном уравнении встречаются
    только произведения степеней, то

    1. приведите
      все степени к одному основанию

      и, используя тождества произведения и
      частного степеней, получите простейшее
      показательное уравнение;

    2. методом
      логарифмирования
      решите
      простейшее показательное уравнение.

    Решение показательных уравнений

    Тип: Одинаковые
    основания – одинаковые показатели
    степеней.

    Метод: Замена
    переменной.

    Алгоритм
    решения

    Если
    в показательном уравнении все основания
    одинаковы и показатели степеней –

    одинаковые, то

    1. сделайте
      замену переменной;

    2. решите
      уравнение относительно этой новой
      переменной;

    3. сделайте
      обратную замену переменной и получите
      совокупность простейших
      показательных уравнений;

    методом логарифмирования
    решите простейшее показательное
    уравнение и получите ответ.

    Решение показательных уравнений

    Тип: Одинаковые
    основания степеней – разные показатели.

    Метод: Приведение
    к одинаковым показателям.

    Алгоритм
    решения

    Если
    в показательном уравнении все основания
    одинаковы, а показатели степеней –

    разные, то:

    1. приведите
      к одному показателю
      степени
      и получите уравнение с одинаковыми
      основаниями и одинаковыми показателями
      степеней;

    2. сделайте
      замену переменной;

    3. решите
      уравнение относительно этой новой
      переменной;

    4. сделайте
      обратную замену переменной и получите
      совокупность простейших
      показательных уравнений;

    5. методом
      логарифмирования
      решите
      простейшее уравнение и получите ответ.

    Решение показательных уравнений

    Тип: Два
    разных основания степеней – одинаковые
    показатели.

    Метод: Деление
    на меньшее основание в степени уравнения.

    Алгоритм
    решения

    Если
    в показательном уравнении встречаются
    два разных основания степеней,

    имеющих одинаковые (или кратные)
    показатели, то

    1. разделите
      все уравнение почленно на меньшее
      основание в степени уравнения
      ,
      преобразуйте дроби с помощью тождества
      степени дроби и получите показательное
      уравнение с одинаковыми
      основаниями и одинаковыми показателями
      степеней;

    2. сделайте
      замену переменной;

    3. решите
      уравнение относительно этой новой
      переменной;

    4. сделайте
      обратную замену переменной и получите
      совокупность простейших
      показательных уравнений;

    5. методом
      логарифмирования
      решите
      простейшие показательные уравнения и
      получите ответ.

    Решение показательных уравнений

    Тип: Два
    разных основания степеней – разные
    показатели.

    Метод: Приведение
    к одинаковым показателям степени.

    Алгоритм
    решения

    Если
    в показательном уравнении встречаются
    два разных основания степеней с

    разными показателями, то:

    1. приведите
      к одинаковым показателям степеней

      и получите уравнение с
      двумя разными основаниями и одинаковыми
      (или кратными) показателями степеней;

    2. разделите
      все уравнение почленно на меньшее
      основание в степени уравнения.

      Преобразуйте дроби с помощью тождества
      степени дроби и получите показательное
      уравнение с одинаковыми основаниями
      и одинаковыми показателями степеней;

    3. сделайте
      замену переменной;

    4. решите
      уравнение относительно этой новой
      переменной;

    5. сделайте
      обратную замену переменной и получите
      совокупность простейших
      показательных уравнений;

    6. методом
      логарифмирования
      решите
      простейшие показательные уравнения и
      получите ответ.

    Таким образом, можно сказать,
    что показательное уравнение с двумя
    разными основаниями степеней и разными
    показателями является уравнением,
    приводящимся к однородному
    показательному уравнению.

    Решение показательных уравнений

    Тип: Два
    разных основания степеней – разные
    показатели.

    Метод: Приведение
    к одинаковым показателям степени.

    Алгоритм
    решения

    Если
    в показательном уравнении встречаются
    два разных основания степеней с

    разными показателями, то:

    1. приведите
      к одинаковым показателям степеней

      и получите уравнение с
      двумя разными основаниями и одинаковыми
      (или кратными) показателями степеней;

    2. разделите
      все уравнение почленно на меньшее
      основание в степени уравнения,

      преобразуйте дроби с помощью тождества
      степени дроби и получите показательное
      уравнение с одинаковыми основаниями
      и одинаковыми показателями степеней;

    3. сделайте
      замену переменной;

    4. решите
      уравнение относительно этой новой
      переменной;

    5. сделайте
      обратную замену переменной и получите
      совокупность простейших
      показательных уравнений;

    6. методом
      логарифмирования
      решите
      простейшие показательные уравнения и
      получите ответ.

    Таким образом, можно сказать,
    что показательное уравнение с двумя
    разными

    основаниями степеней и разными
    показателями является уравнением,
    приводящимся к однородному
    показательному уравнению
    .

    Сборник для решения показательных уравнений

    Сборник для решения показательных уравнений

    Введение

    В курсе математики одно из важных мест отводится решению показательных уравнений. Впервые обучающиеся встречаются с показательными уравнениями в группах НПО на втором году обучения, а в группах СПО на первом году обучения. Показательные уравнения встречаются и в заданиях ЕГЭ. По этому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание. При решении показательных уравнений часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями: — приведения алгоритма решения показательных уравнений; — при решение показательных уравнений, обучающиеся производят преобразования, которые равносильно исходным уравнениям; — при решении показательного уравнения вводят новую переменную и забывают возвращаться к обратной замене. Предлагаемое пособие представляет с собой ответы на решение показательных уравнений для самостоятельных работ и успешной сдачи ЕГЭ.

    Цель данного сборника : изучить теоретический материал по теме, проанализировать данную тему в учебниках по алгебре и начала анализа, систематизировать задания ЕГЭ на решение показательных уравнений, систематизировать и обобщить методические рекомендации по решению показательных уравнений. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

    — изучить требования государственных стандартов по теме «Показательные уравнения»;

    — проанализировать материал по теме в учебниках алгебры и начал анализа;

    — систематизировать методы решения показательных уравнений ;

    — систематизировать и обобщить методические особенности изучения данной темы. Пособие содержит два раздела. В первом разделе определяются показательное уравнение, свойства степеней, типы показательных уравнений и методы их решения с образцами решения. Во втором разделе представлены ряд примеров встречаемые в заданиях ЕГЭ. В конце предоставлены ответы к этим заданиям. Данное пособие можно использовать как на занятиях, так и для индивидуального обучения, а также для тех , кто хочет углубить свои знания по теме: «Показательные уравнения».

    Определение. Уравнение, содержащее неизвестное в показателе степени, называется показательным.

    Должны помнить! При решении показательных уравнений часто используется:.

    1. Теорема: если a 0 ;, a ≠ 1 и = , то = .

    2. Свойства степеней: ax * ay = ax+y = = * ( x = , ( y = ,

    ax = ; a0 = 1, a1 =a.

    Рассмотрим основные типы показательных уравнений и методы решения.

    1. Простейшее показательное уравнение вида:

    ax = b, где a 0; b 0, a ≠ 1, имеет решение x = .

    Пример 1. Решите уравнение 2x = 3.

    Решение: x =
    Ответ:

    2. Для решения уравнений вида: af(x) = b, где a0; b0, a ≠ 1, нужно представить основания а в виде степени одного и того же числа, после чего сравнить показатели.

    Пример 2. Решите уравнение 52х+4 = 25.

    52х+4 = 52.

    2х + 4= 2

    2х = 2 – 4

    2х = -2

    х =-2:2

    х = -1.

    Ответ: -1.

    3. Показательное уравнение вида

    af(x)= aȹ(x) , a0, a ≠ 1

    решается путём логарифмирования обеих частей уравнения по основанию а . Равносильное ему уравнение

    f(x) = ȹ(x).

    Пример 3. Решите уравнение 62х – 8 = 216х

    Решение. 62х – 8 = 6, т.к. 216 = 63 = 6 * 6 * 6

    2х – 8 = 3х

    2х – 3х = 8

    -х = 8

    х = -8

    Ответ: -8.

    Пример 4. (ЕГЭ) Укажите промежуток, которому принадлежит корень

    уравнения 0,1х-1 = 16.

    1). (-1;1]; 3). (-3; -1];

    2). (1;10]; 4). (16; 20].

    Решение. Представим числа и 16 в виде степени числа 2:

    = = 2-5 и 16 = 24

    Получим уравнение, равносильное данному:

    (2-5)0,1х-1 = 24, т. е. 2-5 (0,1х — 1) = 24.

    Такое уравнение равносильно уравнению

    -5(0,1х — 1) = 4

    -0,5х + 5 = 4

    -0,5х = 4 – 5

    -0,5х = -1

    х = -1 : (-0,5)

    х = 2.

    Число 2 содержится в промежутке (1;10], указанном в качестве одного из вариантов ответов. Следовательно , верный ответ 2.

    Пример 4. (ЕГЭ) Найдите сумму квадратов корней уравнения -5 = 9-2х.

    1) 26 2) 25 3) 17 4)13.

    Решение. Используя свойства степеней, преобразуем правую часть уравнения: 9-2х = (32)-2х = 3-4х

    Данное уравнение примет вид: -5 = 3-4.

    Из свойств монотонности показательной функции следует, что показательные уравнение равносильно уравнению

    х2 – 5 = -4х.

    Решим квадратное уравнение х2 + 4х -5 = 0

    D = b2 – 4ac

    =

    D = 42 – 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36 0, уравнение имеет два корня:

    = = = = 1

    = = = = -5.

    Так как квадратное уравнение равносильно исходному уравнению полученные корни являются конями и данного уравнения. В прочем можно проверить и непосредственной подстановкой, что числа -5 и 1 являются корнями данного уравнения. Таким образом, сумма квадратов корней уравнения -5 = 9-2х равна (-5)2 + 12 = 25 +1 = 26.

    Номер верного ответа — 1

    4. Уравнение вида a0a2x + a1ax + a2 = 0.

    Это уравнение называется трёхчленным показательным уравнением. Подставка ax = y обращает его в обычное квадратное уравнение a0y2x + a1y + a2 = 0. Решив его, найдем корни y1 и y2. После этого решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений ax = y1, ax = y2. Последние уравнения имеют решение при y10 и y20.

    Пример 5. Решить уравнение 22x — 2x — 2=0.

    Решение. Пусть 2x= y, тогда уравнение примет вид

    y2 – y – 2 = 0

    D = (-1)2 – 41 (-2) = 9 0, 2 корня

    a) 2x = 2; b) 2x = -1, нет решения, т.к. -1

    2x = 21

    x = 1

    Ответ: 1.

    Пример 6. Решить уравнение 9x – 3x – 6 = 0

    Решение. Первый член уравнения можно представить в виде 9x = 32x = (3x)2. Тогда исходное уравнение примет вид (3x)2 – 3x – 6 = 0. Обозначим 3x = y, тогда имеем y2 – y – 6 = 0

    y1 = 3; y2 = -2.

    a) 3x = 3 b) 3x = -2 – нет решения, т.к. -2

    x = 1

    Ответ: 1.

    5. Уравнение вида

    Это уравнение решается путём вынесения общего множителя за скобки.

    Пример 7. Решить уравнение

    2x+1 + 32x-1 – 52x + 6 = 0

    Решение. Вынесем за скобки общий множитель 2x-1, получим

    2x-1 ( 22 + 3 – 52 ) = -6

    2x-1 ( -3 ) = -6

    2x-1 = -6 : ( -3 )

    2x-1 = 2

    x — 1 = 1

    x = 2

    Ответ: 2

    6. Уравнение вида , где f(x) – выражение, содержащее неизвестное число; a 0; a ≠ 1.

    Для решения таких уравнений надо:

    1. заменить 1 = a0; af(x) = a0;

    2. решить уравнение f (x) = 0

    Пример 8. Решить уравнение

    Решение.

    По определению степени с нулевым показателем имеем:

    x2 – 7x + 12 = 0, ( т.к. 1 = 20 )

    D = b2 – 4ac

    =

    Решая квадратное уравнение, получим: x1 = 3, x2 = 4.

    Ответ: 3; 4.

    7. Уравнение вид

    Это уравнение приводится к трёхчленному показательному уравнению путём деления обеих частей на ax или bx .

    Пример 9. Решите уравнение 9x + 6x = 22x+1

    Решение. Перепишем уравнение в виде 32x+ 2x3x– 222x= 0.

    Разделив обе части уравнения на 22x ≠ 0, получим

    . Пусть , тогда уравнение примет вид

    y2 + y -2 = 0 . Решая квадратное уравнение получим = -2 , = 1.

    а) — нет решения, т.к. -2

    б)

    x = 0.

    Ответ: 0

    Примеры.

    I. Решить уравнения:

    1. 2x = 32.

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.

    7.

    8.

    9.

    10.

    11.

    12.

    13.

    14.

    15.

    16.

    17.

    18.

    19.

    20.

    21.

    22.

    23.

    24.

    25.

    26.

    27.

    28.

    29. 39x = 81.

    30. 24x = 64.

    31. 0,5x+7 0.51-2x= 2

    32. 0,6x0,63 =

    33. 63x = 6

    34. 32x-1 + 32x= 108

    35. 2x+1 + 2x-1 + 2x= 28

    36. 23x+2 – 23x-2 = 30

    37. 3x-1 – 3x+ 3x+1 = 63

    38. =1

    39. =1

    40. 7x – 7x-1 = 6

    41. 53x + = 140

    42. 32y-1 +32y-2 -32y-4 = 315

    43. 2x+1 + 32x-1 -52x + 6 =0

    44. 9x — 43x +3 =0

    45. 16x -174x +16 =0

    46. 25x – 65x + 5 =0

    47. 64x – 8x – 56 =0

    48. 84x– 62x+ 1 =0

    49. + – 6 = 0

    50. 132x+1 – 13x — 12 = 0

    II. (ЕГЭ) Укажите какому промежутку принадлежит корень уравнения:

    1. 34x+5 = 81

    1) (-1;0] 2) (0;3] 3) (3;4] 4) (4;+∞]

    2. 45x-8 = 64

    1) (-∞; -3] 2) (-3; -2] 3) (-2;0] 4) (0; 3]

    3. 63x+5 = 36

    1) (-∞;-8] 2) (-8;0] 3) (0;20) 4) [20;+∞)

    4. 25-3x= 16

    1) (-3;-1) 2) [-1;0) 3) (0;1) 4) [1;3)

    5. 25x-6 = 8

    1) (-3;-1) 2) [-1;0) 3) (0;1] 4) (1;3)

    6. 610x-1 = 36

    1) (-4;-1) 2) [-1;0) 3) (0;1) 4) [1;4)

    7. 52x-2.3 = 125

    1) [0;1) 2) [1;2) 3) [2;10) 4) [10;+∞)

    8. 34x+1 = 9

    1) [-2;0] 2) (0;1) 3) [1;3] 4) [4;6]

    9. 22x+3 = 8

    1) [-1;1] 2) (1;2) 3) [2;4) 4) [4;6]

    10. 52x+1 = 125

    1) [-2;0] 2) (0;2) 3) [3;4] 4) [4;6]

    11. 25x+1 = 4

    1) [-4;-2] 2) [-2;-1] 3) [-1;1] 4) [1;4]

    12. 5x+3 =125

    1) [-6;-4] 2) [-4;-3] 3) [-3;1] 4) [1;3]

    13. 62x+2 = 216

    1) [0;1] 2) [1;3] 3) [-2;0] 4) [4;6]

    14. 72x+2 = 343

    1) [-4;-3] 2) [-3;-2] 3) [-2;0] 4) [0;2]

    15. 33x+3 = 9

    1) [-1;1] 2) [1;2] 3) [2;4] 4) [4;5]

    16. 23x+1 = 8

    1) [-6;-4] 2) [-4;-2] 3) [-2;2] 4) [2;4]

    17. 4x+6 = 16

    1) [-7;-5] 2) [-5;-3] 3) [-3;0] 4) [0;6]

    18. 0,12x= 1003x+1

    1) [-] 2) [; 1] 3) (-1;-0. 5) 4) (0.5;1)

    19. 0.2x-0.5 = 0.04x-1

    1) [-1] 2) [1] 3) (-1;0) 4) (1.5; 3)

    20. 0.008x= 51-2x

    1) [-1; 1.5] 2) [0; 8] 3) (-1; -0.5) 4) (0.5;1)

    III. Найдите сумму квадратов корней уравнения

    1. = 2-3x

    1) 9 2) 0 3) 4 4)

    2. = 3-3x

    1) 9 2) 1 3) 8 4)

    3. =

    1) 10 2) 4 3) 8 4) 0.04

    4. = 0.56-3x

    1) 10 2) 13 3) 37 4) 0.25

    5. = 0,04x

    1) 0 2) 2 3) 1 4) 0.25

    6. = 9-2x

    1) 26 2) 25 3) 17 4) 13

    7. = 2-3x

    1) 9 2) 0 3) 4 4)

    8. = 3-3x

    1) 9 2) 1 3) 8 4)

    Ответы

    I. Решить уравнения

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    Ответ

    5

    -3

    1

    -1

    1

    1

    2

    2

    1

    1

    0

    5,5

    5,5

    0,2

    -2

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    22

    23

    24

    Ответ

    1

    0;

    1

    1

    2√3

    25

    26

    27

    28

    29

    30

    31

    32

    33

    Ответ

    -2

    4

    1,5

    2,5

    9

    8

    0,4

    34

    35

    36

    37

    38

    39

    40

    41

    42

    Ответ

    2

    3

    1

    3

    -4;3

    2,5

    1

    1

    3

    43

    44

    45

    46

    47

    48

    49

    50

    Ответ

    2

    1;0

    0;2

    1;0

    1

    -1;-2

    -1

    0

    II. (ЕГЭ) Укажите какому промежутку принадлежит корень уравнения

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    Ответ

    1

    4

    2

    3

    4

    3

    3

    2

    1

    2

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    Ответ

    3

    3

    1

    4

    1

    3

    2

    1

    2

    1

    III. Найдите сумму квадратов корней уравнения

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    Ответ

    1

    2

    1

    2

    2

    1

    1

    2

    Дополнительные примеры:

    1. 43-2x = 42-x

    2. 25x+1 = 42x

    3. 53 = 25x+0,5

    4. 8x = 4x-1

    5. 2x = 32

    6. =

    7. =

    8. 5x-4 = 252

    9. = 1

    10. =

    11. 4x +2x -24 = 0

    12. 9x – 4 * 3x – 45 = 0

    13. 4x – 3 * 2x = 40

    14. 24x – 50 * 22x = 896

    15. 72x – 6 * 7x – 7 = 0

    16. 9x – 8 * 3x – 9 = 0

    17. 16x + 4 * 4x – 5 = 0

    18. 4x -9 * 2x + 8 = 0

    19. 36x – 4 * 6x – 12 = 0

    20. 64x – 8x – 56 = 0

    21. 7x+2 + 4 * 7x+1 = 539

    22. 2x+1 + 3 * 2x-1 – 5 * 2x + 6 = 0

    23. 7x + 7x+2 = 350

    24. 7 * 5x – 5x+1 = 2 * 53

    25. 3x+2 + 4 * 3x+1 = 21

    26. 51+2x + 52x+3 = 650

    27. 6x+1 + 35 * 6x-1 = 71

    28. 4x+1 +4x = 320

    29. 3x+1 – 2 * 3x-2 = 25

    30. 23x+2 – 23x-2 = 30

    31. 1+ = 2x

    32. 5x-1 =

    33. 4x = 5 – x

    34. 3x = —

    35. 2-3x = 2x – 3

    36. 3 * 22x + 6x -2 * 32x = 0

    37. 2 * 22x – 5 * 2x * 3x + 3 * 32x =0

    38. 3 * 16x + 2 * 81x = 5 * 36x

    39. 3 * 42x – 4x * 9x + 2 * 92x = 0

    40. 6 * 4x – 13 * 6x + 6 * 9x = 0

    41. 3 * 22x + * 9x+1 – 6 * 4x+1 = — * 9x+2

    42. 4x + 3x-1 = 4x-1 + 3x+2

    43. =

    44. 7x-5 * – 49 * + 3 * 7x-5 = 147

    45. 3 * 2x+1 +2 * 5x-2 = 5x + 2x-2

    46.

    47. 0,125 * 2-4х-16 =

    48.

    49. 23+2х =

    50. =

    51. (0,2)х+0,5 = (0,04)х

    52. = 8х-1

    53. 32(х+8)(х-4) = 0,25 *

    54. 5х+1 = 5х-1

    55. 7х+1 — 7х + 2 * 7х-1 – 14 * 7х-2 = 48

    56. 32х-1 – 9х + = 675

    57. 52х-1 + 5х+1 = 250

    58. – 5 * + 4 = 0

    59. 22+х + 22-х = 17

    60. 2х+1 * 5х = 10х+1 * 5х+2

    61. 2х * 5х-1 = 200

    62. * =

    63. * * =

    64. 7х+1 + 3 * 7х = 3х+2 + 3х

    65. 9х – 5х – 3 * 15 + 5х+1 * 3 = 0

    66. 25х – 7х – 7 * 52х+1 + 5 * 7х+1 = 0

    67. 9х + 6х – 2 * 4х = 0

    68. 4 * 2 – 6х = 18 * 9х

    69. 4х = 2 * 10х + 3 * 25х

    70. 64 * 9 – 84 * 12 + 27 * 16 = 0

    71. + — = 0

    72. 8х + 8 = 3 * 4х + 3 * 2х+1

    73. 3-12х-1 – 9-6х-1 – 27-4х-1 + 811-3х = 2192

    74. + = 4

    75. + = 14

    Заключение

    Подведя итоги можно сделать следующие выводы:

    1, Показательные уравнения представляют интерес для обучающихся. При решении показательных уравнений развиваются навыки систематизации, логического мышления при выборе правильного метода решения, повышает творческие и умственные способности.

    2. Для каждого вида уравнений трудности могут возникнуть при определения метода решения.

    В курсе алгебры и начала анализа, в заданиях ЕГЭ часто встречаются показательные уравнения. На уроках на изучение этой темы уделяется мало времени, в учебниках показаны не все методы решения показательных уравнений, приведено мало примеров для самостоятельного решения. По этому данное пособие поможет обучающимся глубже вникнуть в решение, усвоить программный материал данной темы для успешной сдачи письменного экзамена за курс общеобразовательной школы, а также для желающих при сдаче ЕГЭ.

    Литература

    1. Математика в таблицах и схемах. Для школьников и абитуриентов. СПб, ООО «Виктория плюс», 2004, 224 с.

    2. Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г. М.: Центр тестирования Минобразования России, 2004.

    3. Система тренировочных задач и упражнений по матема­тике/ А. Я. Симонов, Д.С. Бакаев, А.Г. Эпельман и др. — М.: Просвещение, 1991. -208 с.

    4. Готовимся к единому государственному экзамену. Ма­тематика/ J1.0. Денищева, Е. М. Бойченко, Ю.А. Глазков и др. — 2 -е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004,- 120 с.

    5. Лаппо Л.Д., Попов М.А. Математика. Типовые тестовые задания: Учебно — практическое пособие / Л.Д Лаппо , М.А. Попов. — М.: Издательство «Экзамен», 2004 — 48 с.

    6. Единый государственный экзамен: математика: 2004 — 2005: Контрол. измерит, материалы / Л. О. Денищева, Г.К. Безрукова, Е.М. Бойченко и др.; под ред. Г.С. Кова­лёвой; М — во образования и науки Рос. Федерации. Фе­дерал. служба по надзору в сфере образования и науки. — М. : Просвещение, 2005. — 80 с.

    7. Математика. Тренировочные тесты ЕГЭ 2004 — 2005 / Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелёва. — М.6 Изд — во Эксмо, 2005.- 80 с. (Подготовка к ЕГЭ)

    Показательные уравнения и неравенства online.

    Показательные уравнения и неравенства

    Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение a x = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a
    не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = a c .
    Тогда очевидно, что с
    будет являться решением уравнения a x = a c .

    Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5 (x 2 — 2*x — 1) = 25.

    Представим 25 как 5 2 , получим:

    5 (x 2 — 2*x — 1) = 5 2 .

    Или что равносильно:

    x 2 — 2*x — 1 = 2.

    Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1.

    Ответ: 3;-1.

    Решим уравнение 4 x — 5*2 x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2 x и получим следующее квадратное уравнение:

    t 2 — 5*t + 4 = 0.
    Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4

    Теперь решаем уравнения 2 x = 1 и 2 x = 4.

    Ответ: 0;2.

    Решение показательных неравенств

    Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а
    выполнено следующее условие 0, то данная функция будет убывающей на всем множестве вещественных чисел.

    Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5) (7 — 3*x)

    Заметим, что 4 = (0.5) 2 . Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 — 3*x)

    Получим: 7 — 3*x>-2.

    Отсюда: х

    Ответ: х

    Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.

    На данном уроке мы рассмотрим различные показательные неравенства и научимся их решать, основываясь на методике решения простейших показательных неравенств

    1. Определение и свойства показательной функции

    Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

    Показательная функция
    — это функция вида , где основание степени и Здесь х — независимая переменная, аргумент; у — зависимая переменная, функция.

    Рис. 1. График показательной функции

    На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

    Обе кривые проходят через точку (0;1)

    Свойства показательной функции
    :

    Область определения: ;

    Область значений: ;

    Функция монотонна, при возрастает, при убывает.

    Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

    При , когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно возрастающую функцию (). При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно убывающую функцию ().

    2. Простейшие показательные неравенства, методика решения, пример

    На основании вышесказанного приведем методику решения простейших показательных неравенств:

    Методика решения неравенств:

    Уравнять основания степеней;

    Сравнить показатели, сохранив или изменив на противоположный знак неравенства.

    Решение сложных показательных неравенств заключается, как правило, в их сведении к простейшим показательным неравенствам.

    Основание степени больше единицы, значит, знак неравенства сохраняется:

    Преобразуем правую часть согласно свойствам степени:

    Основание степени меньше единицы, знак неравенства необходимо поменять на противоположный:

    Для решения квадратного неравенства решим соответствующее квадратное уравнение:

    По теореме Виета находим корни:

    Ветви параболы направлены вверх.

    Таким образом, имеем решение неравенства:

    Несложно догадаться, что правую часть можно представить как степень с нулевым показателем:

    Основание степени больше единицы, знак неравенства не меняется, получаем:

    Напомним методику решения таких неравенств.

    Рассматриваем дробно-рациональную функцию:

    Находим область определения:

    Находим корни функции:

    Функция имеет единственный корень,

    Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции на каждом интервале:

    Рис. 2. Интервалы знакопостоянства

    Таким образом, получили ответ.

    Ответ:

    3. Решение типовых показательных неравенств

    Рассмотрим неравенства с одинаковыми показателями, но различными основаниями.

    Одно из свойств показательной функции — она при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения, значит, на показательную функцию можно разделить. Выполним деление заданного неравенства на правую его часть:

    Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется.

    Проиллюстрируем решение:

    На рисунке 6.3 изображены графики функций и . Очевидно, что когда аргумент больше нуля, график функции расположен выше, эта функция больше. Когда же значения аргумента отрицательны, функция проходит ниже, она меньше. При значении аргумента функции равны, значит, данная точка также является решением заданного неравенства.

    Рис. 3. Иллюстрация к примеру 4

    Преобразуем заданное неравенство согласно свойствам степени:

    Приведем подобные члены:

    Разделим обе части на :

    Теперь продолжаем решать аналогично примеру 4, разделим обе части на :

    Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется:

    4. Графическое решение показательных неравенств

    Пример 6 — решить неравенство графически:

    Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой части и построим график каждой из них.

    Функция — экспонента, возрастает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.

    Функция — линейная, убывает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.

    Если данные функции пересекаются, то есть система имеет решение, то такое решение единственное и его легко можно угадать. Для этого перебираем целые числа ()

    Несложно заметить, что корнем данной системы является :

    Таким образом, графики функций пересекаются в точке с аргументом, равным единице.

    Теперь нужно получить ответ. Смысл заданного неравенства в том, что экспонента должна быть больше или равна линейной функции, то есть быть выше или совпадать с ней. Очевиден ответ: (рисунок 6.4)

    Рис. 4. Иллюстрация к примеру 6

    Итак, мы рассмотрели решение различных типовых показательных неравенств. Далее перейдем к рассмотрению более сложных показательных неравенств.

    Список литературы

    Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Просвещение.

    Math. md . Mathematics-repetition. com . Diffur. kemsu. ru .

    Домашнее задание

    1. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 472, 473;

    2. Решить неравенство:

    3. Решить неравенство.

    Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

    Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения а х = а b , где а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:

    Теорема. Если а > 0, а ≠ 1 и а х 1 = а х 2 , то х 1 = х 2 .

    Обоснуем рассмотренное утверждение.

    Предположим, что равенство х 1 = х 2 не выполняется, т.е. х 1 1, то показательная функция у = а х возрастает и поэтому должно выполняться неравенство а х 1 а х 2 . В обоих случаях мы получили противоречие условию а х 1 = а х 2 .

    Рассмотрим несколько задач.

    Решить уравнение 4 ∙ 2 х = 1.

    Решение.

    Запишем уравнение в виде 2 2 ∙ 2 х = 2 0 – 2 х+2 = 2 0 , откуда получаем х + 2 = 0, т.е. х = -2.

    Ответ. х = -2.

    Решить уравнение 2 3х ∙ 3 х = 576.

    Решение.

    Так как 2 3х = (2 3) х = 8 х, 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 х ∙ 3 х = 24 2 или в виде 24 х = 24 2 .

    Отсюда получаем х = 2.

    Ответ. х = 2.

    Решить уравнение 3 х+1 – 2∙3 х — 2 = 25.

    Решение.

    Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 х — 2 ∙ 25 = 25,

    откуда 3 х — 2 = 1, т. е. х – 2 = 0, х = 2.

    Ответ. х = 2.

    Решить уравнение 3 х = 7 х.

    Решение.

    Так как 7 х ≠ 0, то уравнение можно записать в виде 3 х /7 х = 1, откуда (3/7) х = 1, х = 0.

    Ответ. х = 0.

    Решить уравнение 9 х – 4 ∙ 3 х – 45 = 0.

    Решение.

    Заменой 3 х = а данное уравнение сводится к квадратному уравнению а 2 – 4а – 45 = 0.

    Решая это уравнение, находим его корни: а 1 = 9, а 2 = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.

    Уравнение 3 х = 9 имеет корень 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

    Ответ. х = 2.

    Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств а х > а b или а х

    Рассмотрим некоторые задачи.

    Решить неравенство 3 х

    Решение.

    Запишем неравенство в виде 3 х 1, то функция у = 3 х является возрастающей.

    Следовательно, при х

    Таким образом, при х 3 х

    Ответ. х

    Решить неравенство 16 х +4 х – 2 > 0.

    Решение.

    Обозначим 4 х = t, тогда получим квадратное неравенство t2 + t – 2 > 0.

    Это неравенство выполняется при t 1.

    Так как t = 4 х, то получим два неравенства 4 х 1.

    Первое неравенство не имеет решений, так как 4 х > 0 при всех х € R.

    Второе неравенство запишем в виде 4 х > 4 0 , откуда х > 0.

    Ответ. х > 0.

    Графически решить уравнение (1/3) х = х – 2/3.

    Решение.

    1) Построим графики функций у = (1/3) х и у = х – 2/3.

    2) Опираясь на наш рисунок, можно сделать вывод, что графики рассмотренных функций пересекаются в точке с абсциссой х ≈ 1. Проверка доказывает, что

    х = 1 – корень данного уравнения:

    (1/3) 1 = 1/3 и 1 – 2/3 = 1/3.

    Иными словами, мы нашли один из корней уравнения.

    3) Найдем другие корни или докажем, что таковых нет. Функция (1/3) х убывающая, а функция у = х – 2/3 возрастающая. Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше 1/3, а второй – больше 1/3; при х 1 и х

    Ответ. х = 1.

    Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует, что неравенство (1/3) х > х – 2/3 выполняется при х 1.

    сайт,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    Урок «решение показательных уравнений»

    МОБУ СОШ №1 с. Ивановка

    Урок математики в 11 А классе

    (профильный уровень)

    РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

    Учитель математики

    МОБУ СОШ №1с.Ивановка

    I квалификационной категории

    Слепцова М.В.

    2016-2017 учебный год

    ПЛАН УРОКА

    Тема урока: Решение показательных уравнений

    Цели урока:

    Обучающая:

    • Закрепить основные знания по теме «Показательные уравнения»

    • Отработать навыки решения показательных уравнений различными способами.

    • сформировать умения решать показательные уравнения графическим способом.

    Развивающая:

    • Способствовать развитию познавательной активности, логического мышления.

    • Развивать навыки самостоятельной работы, работы в группах.

    • Развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля.

    Воспитательная:

    • Способствовать воспитанию активности, ответственного отношения к работе, самостоятельности.

    Задачи урока:

    • Закрепить знания о типах показательных уравнений

    • Получить и систематизировать знания о методах решения показательных уравнений

    • Продолжать отрабатывать навыки работы в группах.

    • Выявить пробелы, затруднения в процессе закрепления изученного материала, провести работу по их устранению.

    Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний.

    Методы: информационный, проблемный, частично-поисковый.

    Формы организации деятельности учащихся: индивидуальная, групповая.

    Продолжительность занятия: 40 минут.

    Материально-техническое и дидактическое, программное оснащение урока:

    План-конспект урока, учебники, задания на закрепление изученного материала, рабочие тетради, оценочные листы.

    Изучив тему, учащиеся должны:

    Знать:

    • определение показательного уравнения;

    • методы решения показательных уравнений;

    • классификацию типов показательных уравнений по методу решения.

    Уметь:

    • решать показательные уравнения различными способами;

    • применять полученные знания для решения практических задач;

    • организовать свою работу внутри группы;

    • анализировать полученную информацию;

    • уметь проводить взаимоконтроль и самоконтроль учебной деятельности.

    Ход урока

    Организационный момент (2 мин)

    Приветствие.

    Урок я хочу начать притчей: “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь, но радости в моей жизни нет». Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил: «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», — ответил юноша. «Произнеси это 5 раз». «Я выбираю ложку», послушно произнес юноша 5 раз. «Вот видишь», — сказал мудрец, «повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…» Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку.

    — Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

    1. Ознакомление учащихся с условиями оценивания их деятельности в ходе занятия (1 мин)

    На ваших столах лежат оценочные листы. В ходе занятия, вы будете вносить количество баллов за каждое выполненное задание, самостоятельно оценивая свои знания (по пятибалльной системе). За работу у доски, за ответы с места даются дополнительные баллы. Я надеюсь, что ваша оценка будет объективной. (Приложение А)

    Таблица накопления баллов Фамилия, Имя учащегося_____________

    Задание

    Работа

    у доски

    Работа с места

    дополнительные

    баллы

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    Кол-во

    баллов

    итого

    Домашнее задание у вас было разноуровневое. Сдадите свои работы немного позже.

    1. Разминка(3 мин)

    А) Представить числа 3; 9; 27; ; 1 в виде степени с основанием 3;

    Б) Представить числа 2; 8; 64; 128; 0,5; 0,25; 1 в виде степени с основанием 2;

    В) Игра «Подумай- победи»

    1. Обоснование темы и целей урока (7мин)

    На доске записаны две последовательности чисел:

    1; 5; 25;125; 625; 3025…

    ; ;1; 3; 9; 27; 81; 243…

    — Определите принцип построения числового ряда.

    Давайте вместе сделаем вывод. Мы выяснили, что числа, записанные в каждом ряду, представляют собой степень некоторого положительного числа, не равного 1. Как вы считаете, можно ли записать это одним общим выражением? (можно ах = b)

    Мы получили уравнение относительно переменной х, которая содержится в показателе степени. Как называется такой вид уравнения? (показательные). Кто может сформулировать определение показательного уравнения? (дают определение)

    «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы». Т.е другими словами можно сказать, что если вы будете уметь решать уравнения, то экзамена по математике вам не стоит бояться.

    — Таким образом, мы вместе с вами подошли к теме нашего урока «Решение показательных уравнений». Запишите дату и тему урока в тетрадь.

    — Мы с вами знаем определение показательных уравнений, условия их существования, и на предыдущих уроках мы знакомились с различными способами решения показательных уравнений. Назовите эти способы (приведение к общему основанию ( способ уравнивания), введение новой переменной (приведения к квадратному), способ вынесения общего множителя за скобки).

    — Сегодня нашей основной целью будет систематизировать и обобщить знания по теме «Показательные уравнения», отработать навыки решения уравнений различными способами, уравнений, включенных в открытый банк заданий, т. е. будем готовиться к ЕГЭ, посмотрим практическую значимость показательных уравнений.

    Задание 2. Сейчас один человек будет решать у доски показательное уравнение, пожалуйста…

    В это время каждой паре предлагается 5 показательных уравнений:

    1. 3х = 81;

    2. 9·3х = 1;

    3. 5х – 1 = 1;

    4. 2·2х = 64;

    5. 0,12х -1 = 0,01;

    1. 4х = 64;

    2. 27·3х = 1;

    3. 3х – 1 = 1;

    4. 2·2х = 128;

    5. 0,72х -1 =0,49;

    1. 5х = 125;

    2. 81·3х = 1;

    3. 6х – 1 = 1;

    4. 4·2х = 64;

    5. 0,82х -1 =0,64;

    Ваша задача заключается в том, чтобы расположить уравнения в порядке возрастания их корней. Сможете ли вы сразу выполнить это задание? (нет) Почему? (мы не знаем их корней).

    Следовательно, сначала необходимо решить эти уравнения. Распределите уравнения между собой и решите их. Полученные результаты обсудите и расположите уравнения в порядке возрастания их корней. Каждое уравнение находится под своим номером. Вы должны будете сказать по окончанию решения пятизначное число, составленное из номеров этих уравнений. Будьте внимательны, проверяйте друг друга. Если хотя бы одно уравнение будет решено неверно, порядок расположения уравнений будет нарушен.

    Кто справился с заданием? Пожалуйста, назовите свое число. Кто не согласен? Давайте сделаем проверку. Не забывайте оценивать свои ответы и выставлять баллы в таблицу. Каким способом вы решали эти уравнения? (способом приведения к одному основанию). Какие еще способы решения показательных уравнений вы знаете? (способ приведения к квадратному, способ вынесения общего множителя за скобки).

    Задание 3. На слайде три уравнения.

    Первое уравнение более сложного уровня (3балла), второе – средней сложности (2 балла), третье – несложное уравнение (1 балл).

    1. 3х -1 – 3х + 3х + 1 =7; 2. 5х — 5х – 2 = 24; 3. 2· 7х + 7х = 21.

    Каждый выбирает задание по желанию. Верное решение каждого уравнения оценивается соответствующим количеством баллов. (Выбирают уравнение, решают). Если вы решили одно задание, то вы можете решить задание другой сложности и заработать дополнительное количество баллов.

    Давайте проверим, все ли справились с заданием? Желающие – к доске. (Обсуждаем, исправляем ошибки).

    Каким способом вы решили эти уравнения? (способом вынесения общего множителя за скобки). Поднимите руки, кто справился с первым уравнением? Со вторым? С третьим? Кто выполнил дополнительное задание? Не забудьте поставить себе баллы.

    Задание 4. А. Энштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по–моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно. И решать их нужно правильно».

    Возьмите приложение Г там представлены 3 уравнения с решениями (Приложение Г)

    9х — 26·3х — 27 = 0; 4х — 12·2х + 32 = 0; 64х – 8х – 56 = 0

    (32)х — 26·3х — 27 = 0; (22)х — 12·2х + 32 = 0; (82)х– 8х – 56 = 0;

    Замена: 3х = у; Замена: 2х = у; Замена: 8х = у;

    у2 – 26у – 27 = 0; у2 – 12у + 32 = 0; у2 – у – 56 = 0;

    D = 676 — 4·(-27)= D = 144 — 4·32 = D = 1 — 4·(-56) =

    676 + 108 = 784 = 282; 144 – 128 = 16 = 42; 1 + 224 = 225 = 152.

    у1,2 = ; у1,2 = ; у1,2 = ;

    у1 = 27; у2 = -1 у1 = -8 у2 = -4; у1 = -7; у2 = 8

    2х = 2-3; 2х = 2-2; = -7; = 81;

    х = -3; х = -2. х = х= 1

    — Внимательно проанализируйте ход решения каждого уравнения и найдите ошибки (анализируют, выявляют ошибки, записывают на доске правильное решение). Каким способом были решены эти уравнения? (приведением к квадратному уравнению). Если вы нашли все ошибки, то вы заработали 5 баллов, если 2 – 4б, 1 – 3б, 0 – 0 баллов. Занесите свои баллы в оценочные листы.

    — Мы повторили известные вам способы решения показательных уравнений. Давайте еще раз повторим, какие это способы.

    Физминутка “И в шутку и всерьез”

    Самая нелюбимая оценка ученика? ( два)

    Утверждение, принимаемое без доказательств. (аксиома)

    Проверка учеников на выживание? (экзамен)

    Независимая переменная в функции. ( х)

    “Вымирающая” разновидность учеников? (

    5.Организация деятельности учащихся для получения новых знаний (25 мин)

    Задание 5. (Приложение Д) А сейчас возьмите приложение Д. Давайте попробуем разбить множество представленных уравнений по способу их решения.

    2х =11 – х; 2х -1 = 1;

    25х + 5х – 6 = 0; 6х + 1+ 6х = 7.

    Остается одно уравнение: 2х =11 – х. Перед нами встала проблема. Это уравнение мы не можем решить ни одним из способов, которые знаем. Давайте вместе попытаемся найти способ решения этого уравнения.

    — Можно представить каждую часть уравнения в виде функций? (да). Хорошо. Левую часть можно представить в виде, какой функции? (показательной), а правую? (в виде линейной).

    2х = 11 – х

    у = 2х у = 11 — х

    показательная линейная

    Давайте построим графики этих функций в одной системе координат. Кто желает построить график показательной функции? Пожалуйста (выходит, строит). Остальные строят в тетрадях. Желающие построить график линейной функции – пожалуйста, к доске!

    у = 2х у= 11 — х

    х

    1

    2

    3

    0

    х

    3

    8

    у

    2

    4

    8

    1

    у

    8

    3

    8

    3 х

    Что можно сказать о расположении графиков (пересекаются в точке (3;8))

    Чему равен корень уравнения? Ответ: х = 3

    Задание 6. Самостоятельная работа (дифференцируемая)

    Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед».

    Поэтому будем сейчас работать самостоятельно.

    Уровень 1

    Уровень2

    Уровень 3

    Проверить правильность решения уравнений по ключу с ответами на обратной стороне, и поставить себе баллы в оценочный лист.

    7. Подведение итогов урока (7 мин)

    В заключение урока хочется процитировать слова великого математика Г. Лейбниц: «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и далее подтвердить это, — что следуя этому методу, мы достигнем цели».

    — Давайте вернемся к началу нашего урока и вспомним, какую цель мы ставили перед собой? (систематизировать и обобщить знания по теме показательные уравнения, отработать навыки решения уравнений различными способами и применить знания при решении практической задачи). Как вы считаете, справились мы с поставленной целью?

    — Да, действительно, цель урока мы сегодня с вами достигли.

    А теперь, подведите итоги своей работы на уроке, подсчитайте свои баллы. Давайте приведем набранные вами баллы к привычным вам оценкам.

    оценка

    5

    4

    3

    Количество баллов

    24 и более 24

    13-23 балла

    менее 13

    Сможете ли вы знания по теме успешно применить на экзамене по математике?

    Достигли ли вы сегодня положительного результата и как вы оцениваете свою деятельность на уроке. ( опросный лист)

    Опросный лист

    Вопрос

    Варианты ответа

    (поставьте галочку)

    1

    На уроке я работал

    • активно

    • пассивно

    2

    Своей работой на уроке я

    • доволен

    • не доволен

    3

    Урок для меня показался

    • коротким

    • длинным

    4

    За урок я

    • не устал

    • устал

    5

    Моё настроение

    • стало лучше

    • стало хуже

    6

    Материал урока мне был

    • понятен

    • не понятен

    • полезен

    • бесполезен

    • интересен

    • скучен

    7

    Домашнее задание мне кажется

    • легким

    • трудным

    8. Домашнее задание

    1. Решить уравнение графическим способом: 3х = -х +4.

    2. Дополнительное задание: выберите 4 показательных уравнения из открытого банка заданий, решаемые разными способами и решите их.

    Способы решения

    Условие уравнения

    1

    Приведение обоих частей уравнения к степени с одинаковым показателем

    2

    Вынесение за скобки степени с наименьшим показателем

    3

    Деление обеих частей уравнения на выражение, стоящее в правой части

    4

    Ведение новой переменной

    — Сегодня мы сказали, что «Решение уравнений — это золотой ключ, открывающий все сезамы».

    — Мне хотелось бы вам пожелать, чтобы каждый из вас нашел в жизни свой «золотой ключик», с помощью которого перед вами открывались любые двери.

    Урок закончен. Спасибо за урок!

    3

    Первый год обучения (10 класс).

    Тема 1. Текстовые задачи:

    • Основные виды текстовых задач и методы их решения; 
    • Графическое решение задач.

    Тема 2. Решение задач по планиметрии повышенной сложности:

    Треугольники. Прямоугольный треугольник. Четырёхугольники.
    Окружность и круг. Вписанные и описанные окружность и круг.
    Задачи на построение.

    Тема 3. Степени и корни:

    • Основные определения и свойства степеней и корней;
    • Методы преобразований выражений, содержащих степени и корни.
    • Выделение под корнем полного квадрата, куба двучлена, трёхчлена;
    • Модуль в выражениях.

    Тема 4. Преобразование иррациональных выражений:

    • Преобразование иррациональных выражений. 
    • Параметр в иррациональном выражении.

    Тема 5. Функциональный метод решения задач:

    • Использование самых общих свойств функций и других математических объектов.

    Тема 6. Методы решения иррациональных уравнений, неравенств и их систем:

    • Замена уравнений совокупностью уравнений;
    • Возведение обеих частей уравнения, неравенства в квадрат, куб;
    • Умножение или деление на сопряжённый множитель, функцию;
    • Преобразование в полный квадрат.

    Тема 7. Уравнения и неравенства высших степеней:

    •  Методы решения уравнений и неравенств высших степеней.

    Тема 8. Решение показательных уравнений и неравенств повышенной сложности:

    • Решение показательно – степенных уравнений;
    • Тождественные преобразования при решении показательных уравнений и неравенств;
    • Функциональный метод решения показательных уравнений и неравенств;
    • Параметр и модуль в показательных уравнениях и неравенствах.

    Тема 9. Решение логарифмических уравнений и неравенств повышенной сложности:

    • Виды логарифмических уравнений и методы их решений;
    • Степенные уравнения, содержащие логарифмы и методы их решений;
    • Виды логарифмических неравенств и методы их решений.
    • Параметр и модуль в логарифмических уравнениях и неравенствах.

    Тема 10. Методы решения показательно – логарифмических неравенств и их систем:

    • Функциональные методы решения;
    • Методы тождественных преобразований;
    • Параметр и модуль в упражнениях.

     Второй год обучения (11 класс).

    Тема 11. Методы преобразования тригонометрических выражений:

    • Тождественные преобразования тригонометрических выражений;
    • Тригонометрические уравнения, их виды и методы решения;
    • Методы решения систем тригонометрических уравнений;
    • Доказательство и решение тригонометрических неравенств.

    Тема 12. Производная в нестандартных задачах:

    • Производная и её использование при решении уравнений;
    • Производная и уравнение касательной;
    • Приложение производной к исследованию функций;
    • Задачи на оптимизацию в началах анализа и геометрии.

    Тема 13. Применение векторов и координат к решению задач:

    • Решение геометрических задач с использованием основных векторных соотношений;
    • Аффинные задачи планиметрии;
    • Векторно – координаторный метод;
    • Применение векторов для нахождения множества точек.

    Тема 14. Комбинация геометрических тел:

    • Комбинация геометрических тел и теоретические обоснования возможности их.
    • Комбинации многогранников;
    • Призма и вписанный (описанный) цилиндр;
    • Пирамида и вписанный (описанный) конус;
    • Многогранники, вписанные (описанные) в шар или сферу;
    • Комбинации шара с телами вращения;
    • Построение сечений многогранников и вычисление их площадей.

    Тема 15. Арифметическая и геометрическая прогрессия:

    • Основные формулы и свойства;
    • Приёмы решения уравнений, неравенств, содержащих данные прогрессии;
    • Приёмы решения поисковых задач на геометрическую и арифметическую прогрессии.

    Тема 16. Параметр в упражнениях:

    • Параметр в линейных, квадратных уравнениях и неравенствах;
    • Задачи, связанные с расположением корней квадратного трёхчлена;
    • Графический метод решения упражнений с параметром.

    Тема 17. Модуль в упражнениях.

    Тема 18. Решение задач повышенной сложности.

    x} = 9 \) Показать решение

    Хорошо, поэтому мы сказали выше, что если бы у нас был логарифм перед левой частью, мы могли бы получить \ (x \) из экспоненты. Сделать это достаточно просто. Мы просто поставим логарифм перед левой частью. Однако, если мы поместим туда логарифм, мы также должны поставить логарифм перед правой частью. Это обычно обозначается как , где логарифм обеих сторон равен .

    Мы можем использовать любой логарифм, поэтому давайте попробуем натуральный логарифм.x} & = \ ln 9 \\ x \ ln 7 & = \ ln 9 \ end {align *} \]

    Теперь нам нужно найти \ (x \). Это проще, чем кажется. Если бы у нас было \ (7x = 9 \), то мы все могли бы решить для \ (x \), просто разделив обе части на 7. Здесь это работает точно так же. И ln7, и ln9 — просто числа. По общему признанию, потребуется калькулятор, чтобы определить, что это за числа, но это числа, и поэтому мы можем сделать то же самое здесь.

    \ [\ begin {align *} \ frac {{x \ ln 7}} {{\ ln 7}} & = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} \\ x & = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} \ end {align *} \]

    Это технически точный ответ.Однако в этом случае обычно лучше получить десятичный ответ, так что давайте сделаем еще один шаг.

    \ [x = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} = \ frac {{2.19722458}} {{1.945

    }} = 1.12

    7 \]

    Обратите внимание, что ответы на эти вопросы чаще всего являются десятичными.

    Также будьте осторожны, чтобы не допустить следующей ошибки.

    \ [1.12

    7 = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} \ ne \ ln \ left ({\ frac {9} {7}} \ right) = 0.y} = 0 \) Показать решение

    В этом случае мы не можем просто поставить логарифм перед обеими сторонами. На это есть две причины. Сначала в правой части у нас есть ноль, и мы знаем из предыдущего раздела, что не можем логарифмировать ноль. Затем, чтобы сместить показатель вниз, он должен быть на всем члене внутри логарифма, и этого не будет с этим уравнением в его нынешнем виде.

    Итак, первым делом переместим члены на другую сторону от знака равенства, затем мы возьмем логарифм обеих сторон, используя натуральный логарифм.y} \\ \ left ({4y + 1} \ right) \ ln 2 & = y \ ln 3 \ end {align *} \]

    Ладно, это выглядит неаккуратно, но опять же, это действительно не так уж и плохо. Давайте сначала посмотрим на следующее уравнение.

    \ [\ begin {align *} 2 \ left ({4y + 1} \ right) & = 3y \\ 8y + 2 & = 3y \\ 5y & = — 2 \\ y & = — \ frac {2} { 5} \ end {align *} \]

    Мы все можем решить это уравнение, а это значит, что мы можем решить то, что у нас есть. Опять же, ln2 и ln3 — это просто числа, поэтому процесс точно такой же.Ответ будет сложнее, чем это уравнение, но процесс идентичен. Вот работа для этого.

    \ [\ begin {align *} \ left ({4y + 1} \ right) \ ln 2 & = y \ ln 3 \\ 4y \ ln 2 + \ ln 2 & = y \ ln 3 \\ 4y \ ln 2 — y \ ln 3 & = — \ ln 2 \\ y \ left ({4 \ ln 2 — \ ln 3} \ right) & = — \ ln 2 \\ y & = — \ frac {{\ ln 2} } {{4 \ ln 2 — \ ln 3}} \ end {align *} \]

    Итак, мы получили все члены с \ (y \) в них с одной стороны и всеми остальными членами с другой стороны.{е \ влево (х \ вправо)}} = е \ влево (х \ вправо) \]

    Мы видели это в предыдущем разделе (в более общем виде), и, используя это здесь, мы значительно упростим нашу жизнь. Использование этого свойства дает

    \ [\ begin {align *} t + 6 & = \ ln 2 \\ t & = \ ln \ left (2 \ right) — 6 = 0,69314718 — 6 = — 5,30685202 \ end {align *} \]

    Обратите внимание на скобки вокруг 2 в логарифме на этот раз. Они нужны для того, чтобы мы не допустили следующей ошибки.{2z + 4}} & = \ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right) \\ 2z + 4 & = \ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right ) \\ 2z & = \ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right) — 4 \\ z & = \ frac {1} {2} \ left ({\ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right) — 4} \ right) = \ frac {1} {2} \ left ({0,470003629 — 4} \ right) = — 1,76499819 \ end {align *} \]

    Решение экспоненциальных уравнений без логарифмов

    Показательное уравнение включает в себя неизвестную переменную в показателе экспоненты. В этом уроке мы сосредоточимся на экспоненциальных уравнениях, которые не требуют использования логарифма.{\ color {red} N}}

    , затем {\ color {blue} M} = {\ color {red} N}

    • Другими словами, если вы можете выразить экспоненциальные уравнения с одинаковым основанием с обеих сторон, то можно установить их степени или показатели равными друг другу.

    Вы также должны помнить свойства экспонент, чтобы успешно решать экспоненциальные уравнения.


    Основные свойства экспонент

    1) Нулевая собственность

    2) Свойство с отрицательной экспонентой

    3) Правило продукта

    4) Правило частного

    5) Правило власти над властью

    Давайте взглянем на несколько примеров!


    Примеры решения экспоненциальных уравнений без логарифмов

    Пример 1: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.3}.

    Примените свойство отрицательной экспоненты.

    • На этом этапе основания одинаковы, поэтому установите одинаковые мощности.
    • Это простое линейное уравнение с одним шагом.
    • Чтобы найти x, разделите обе части на 3. Вот и все!

    Окончательный ответ здесь x = — 1.


    Пример 2: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.8}.

    Примените правило продукта слева, а правило мощности — справа.

    • Здесь мы готовы установить равные силы друг другу, так как мы можем создавать единые базы, одинаковые с обеих сторон.
    • Решите простое линейное уравнение.
    • Вычтите обе стороны на 7x, чтобы выделить x. Сделанный!

    Окончательный ответ: x = 3.


    Пример 3: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.0}, используя нулевое свойство экспоненты.

    • Теперь у нас есть желаемая конфигурация — одинаковые основания с обеих сторон.
    • Установите показатель степени в левой части уравнения равным показателю в правой части, затем решите уравнение для переменной x.
    • Чтобы решить уравнение, начните с добавления обеих частей на 12, чтобы переместить константу вправо.
    • Наконец, разделите обе стороны на 4, чтобы получить значение x.3}

      • Примените свойство отрицательной экспоненты к левой части уравнения.
      • Умножьте внутренние показатели степени на внешние, используя правило «Степень на степень».
      • Так как у них общая база, добавьте экспоненты с помощью правила продукта.
      • Очевидно, что, имея одну и ту же базу с обеих сторон, мы теперь можем установить каждую степень равной друг другу.
      • Решите линейное уравнение, сложив обе части на 6, чтобы получить x = 9.3}

        • Умножьте внутренний и внешний экспоненты, применив Степень к Правилу мощности.
        • На этом этапе мы можем добавить показатели в левой части уравнения, потому что теперь они имеют общие основания.
        • Примените правило произведения, добавляя экспоненты, когда основания равны.
        • Ясно, что мы можем положить степени обеих частей уравнения равными друг другу.
        • В результате получается простое многоступенчатое уравнение.
        • Итак, мы сначала добавляем 6x с обеих сторон. Затем вычтите на 4. И, наконец, разделите на -1, чтобы полностью выделить x !

        Ответ: x = 7. Легкий!


        Пример 6: Решите показанное ниже экспоненциальное уравнение, используя основные свойства экспонент.

        Решение :

        • Выразите каждое число с основанием 2.

        Затем умножьте внутренние показатели степени на внешние экспоненты, используя правило «Степень на степень».

        • Чтобы сгенерировать единую базу с левой стороны, используйте правило продукта — скопируйте общую базу 2 и добавьте экспоненты.
        • Это когда мы применяем Правило продукта.
        • После сложения экспонент у нас есть по одной базе с каждой стороны.

        Пришло время установить равные мощности.

        • Приравняв степени, мы приходим к квадратному уравнению.

        Нам нужно переместить все члены на одну сторону, заставляя противоположную сторону равняться нулю.

        • Решите квадратное уравнение, используя метод факторизации. Выносим за скобки 5 в трехчлене, затем выносим простой трехчлен как произведение двух биномов.
        • Используя свойство Zero, мы получаем эти значения для x.

        Правильные ответы: x = 2 и x = — 1.


        Пример 7: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.

        Решение :

        • Выразите каждое число как экспоненциальное число с основанием 7.
        • Примените свойство отрицательной экспоненты с левой стороны.

        Кроме того, символ квадратного корня можно переписать как показатель степени \ large {1 \ over 2}.

        • Примените силу к правилу мощности с левой стороны.
        • Выразите левую часть одной базой, используя правило продукта, скопировав общую базу и добавив экспоненты.
        • Теперь мы можем установить степени равными друг другу, а затем решить.
        • Чтобы найти x, вычтите обе части на 2.
        • Чтобы закончить это, разделите обе стороны на 12.

        Окончательное решение: x = — {\ large {1 \ over 8}}.


        Пример 8: Решите показанное ниже экспоненциальное уравнение, используя основные свойства экспонент.

        Решение :

        • Выразите числа, используя основание 5.

        Затем умножьте внутреннюю и внешнюю экспоненты с помощью правила степени на степень.

        • Похоже, мы можем использовать правило частных, потому что у нас одинаковые основания для числителя и знаменателя.
        • Вычтем показатель степени в числителе на показатель степени в знаменателе.

        Теперь можно установить «степени» или показатели равными друг другу, а затем решить квадратное уравнение.

        • Решите квадратное уравнение, разложив трехчлен на два бинома. Затем установите каждый бином равным 0, чтобы найти x. 3 \ qquad \ text {Используйте определение натурального логарифма} \ end {align *} \]

          Рисунок \ (\ PageIndex {3} \) представляет график уравнения.3,3) \), что приблизительно равно \ ((20.0855, 3) \).

          Использование однозначного свойства логарифмов для решения логарифмических уравнений

          Как и в случае с экспоненциальными уравнениями, мы можем использовать свойство однозначности для решения логарифмических уравнений. Однозначное свойство логарифмических функций говорит нам, что для любых действительных чисел \ (x> 0 \), \ (S> 0 \), \ (T> 0 \) и любого положительного действительного числа \ (b \ ), где \ (b ≠ 1 \),

          \ ({\ log} _bS = {\ log} _bT \) тогда и только тогда, когда \ (S = T \).

          Например,

          Если \ ({\ log} _2 (x − 1) = {\ log} _2 (8) \), то \ (x − 1 = 8 \).

          Итак, если \ (x − 1 = 8 \), то мы можем решить для \ (x \), и мы получим \ (x = 9 \). Для проверки мы можем подставить \ (x = 9 \) в исходное уравнение: \ ({\ log} _2 (9−1) = {\ log} _2 (8) = 3 \). Другими словами, когда логарифмическое уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, аргументы должны быть равны. Это также применимо, когда аргументы являются алгебраическими выражениями. Следовательно, когда дано уравнение с журналами с одинаковым основанием на каждой стороне, мы можем использовать правила логарифмов, чтобы переписать каждую сторону как единый логарифм. Затем мы используем тот факт, что логарифмические функции взаимно однозначны, чтобы установить аргументы, равные друг другу, и найти неизвестное.

          Например, рассмотрим уравнение \ (\ log (3x − 2) — \ log (2) = \ log (x + 4) \). Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмов, чтобы переписать левую часть как единый логарифм, а затем применить свойство «один к одному», чтобы найти \ (x \):

          \ [\ begin {align *} \ log (3x-2) — \ log (2) & = \ log (x + 4) \\ \ log \ left (\ dfrac {3x-2} {2} \ right ) & = \ log (x + 4) \ qquad \ text {Применить правило частного логарифмов} \\ \ dfrac {3x-2} {2} & = x + 4 \ qquad \ text {Применить свойство «один к одному» логарифма} \\ 3x-2 & = 2x + 8 \ qquad \ text {Умножьте обе части уравнения на 2} \\ x & = 10 \ qquad \ text {Вычтите 2x и добавьте 2} \ end {align *} \ ]

          Чтобы проверить результат, подставьте \ (x = 10 \) в \ (\ log (3x − 2) — \ log (2) = \ log (x + 4) \).T \ text {тогда и только тогда, когда} S = T \ end {align} \]

          Обратите внимание: при решении уравнения, включающего логарифмы, всегда проверяйте, правильный ли ответ или является ли это посторонним решением.

          Как: решить уравнение, содержащее логарифмы, с помощью свойства «один к одному».

          1. Используйте правила логарифмов для объединения одинаковых членов, если необходимо, чтобы результирующее уравнение имело форму \ ({\ log} _bS = {\ log} _bT \).
          2. Используйте свойство «один к одному», чтобы установить равные аргументы.2) = \ ln1 \).

            Ответ

            \ (x = 1 \) или \ (x = −1 \)

            Решение прикладных задач с использованием экспоненциальных и логарифмических уравнений

            В предыдущих разделах мы изучили свойства и правила как для экспоненциальных, так и для логарифмических функций. Мы видели, что любую экспоненциальную функцию можно записать в виде логарифмической функции и наоборот. Мы использовали показатели для решения логарифмических уравнений и логарифмы для решения экспоненциальных уравнений.Теперь мы готовы объединить наши навыки для решения уравнений, которые моделируют реальные ситуации, независимо от того, находится ли неизвестное в экспоненте или в логарифме.

            Одно из таких приложений — в науке, для расчета времени, необходимого для распада половины нестабильного материала в образце радиоактивного вещества, называемого периодом полураспада . В таблице \ (\ PageIndex {1} \) перечислены периоды полураспада некоторых наиболее распространенных радиоактивных веществ.

            Таблица \ (\ PageIndex {1} \)
            Вещество Использование Период полураспада
            галлий-67 ядерная медицина 80 часов
            кобальт-60 производство 5.3 года
            технеций-99m ядерная медицина 6 часов
            америций-241 строительство 432 года
            углерод-14 археологическая датировка 5715 лет
            уран-235 атомная сила 703 800 000 лет

            Мы видим, насколько сильно различаются периоды полураспада этих веществ. {\ tfrac {\ ln (0.M) = M \\ t & = 703 800 000 \ times \ dfrac {\ ln (0.9)} {\ ln (0,5)} \ qquad \ text {лет Решить для t} \ t & \ приблизительно 106 979 777 \ qquad \ text {лет} \ end {align *} \]

            Анализ

            Десять процентов от \ (1000 \) граммов составляют \ (100 \) граммы. Если распадется \ (100 \) граммов, количество оставшегося урана-235 составит \ (900 \) граммов.

            Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)

            Сколько времени пройдет, прежде чем двадцать процентов нашей 1000-граммовой пробы урана-235 распадутся?

            Ответ

            \ (t = 703 800 000 × \ dfrac {\ ln (0.8)} {\ ln (0.5)} \) лет ≈ 226 572 993 года.

            Медиа

            Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практических занятий с экспоненциальными и логарифмическими уравнениями.

            • Решение логарифмических уравнений
            • Решение экспоненциальных уравнений с логарифмами

            экспоненциальных уравнений в науке I | Математика в естественных науках

            Остров Св. Мэтью — удаленный остров в Беринговом море у Аляски. В 1944 году Береговая охрана США создала на острове станцию ​​для помощи самолетам и кораблям в плавании в Беринговом море.Чтобы обеспечить запас продовольствием 19 мужчин на станции, на остров были завезены 29 оленей, в том числе 24 самки и 5 самцов (рис. 1). Спустя несколько лет береговая охрана покинула остров, оставив оленей. В 1957 году исследователь Дэйв Кляйн, биолог, работающий в Службе рыбной ловли и дикой природы США, посетил остров и насчитал 1350 здоровых оленей, популяция которых резко выросла из-за отсутствия хищников и обилия лишайников, их основного источника пищи.Кляйн вернулся на остров в 1963 году и был поражен, обнаружив, что его популяция превысила 6000 человек, что составляет 47 оленей на квадратную милю.

            Рисунок 1: Изображение северного оленя острова Св. Мэтью © Дэвид Р. Кляйн, почетный профессор Университета Аляски в Фэрбенксе.

            Три года спустя, в 1966 году, Кляйн и другие вернулись на остров и обнаружили, что поголовье оленей резко упало с 6000 здоровых оленей до 42 больных.Из этих 42 человек 41 женщина и 1 мужчина с ненормальными рогами, что является признаком того, что он, вероятно, не может воспроизводить потомство. Чрезмерный выпас уничтожил запасы лишайников, которые являются важным источником зимней пищи для северных оленей. Этот недостаток корма привел к снижению массы тела животных на 40% и сделал их менее способными выдерживать суровые зимы острова Св. Мэтью (Klein, 1968). К 1980-м годам на острове не осталось оленей.

            На рис. 2 показан график численности оленей на острове Св. Клейна, составленный Дэйвом Кляйном.Остров Мэтью. Обратите внимание, что вначале популяция северных оленей на острове менялась от года к году относительно медленно, но с течением времени она увеличивалась все больше и больше. Эта модель роста должна иметь интуитивный смысл: чем больше оленей заселяет остров, тем больше рождаются. Таким образом, с течением времени популяция увеличивается быстрее, что приводит к изогнутой, вогнутой форме графика — по крайней мере, до 1963 года.

            Рисунок 2: График предполагаемого прироста поголовья оленьего стада на Св.Остров Мэтью. Фактические измерения населения указаны на графике. От Кляйна, Д. 1968. Интродукция, рост и гибель оленей на острове Св. Матфея. Journal of Wildlife Management , 32 (2): 350-367.image © Wiley

            В отличие от наклона прямой линии, наклон кривой на графике непостоянен, поэтому уравнение, описывающее график, должно иметь форма, отличная от линейного уравнения (которое записывается в форме y = mx + b ; дополнительную информацию см. в нашем модуле «Линейные уравнения в науке: взаимосвязи с двумя переменными»).Вместо этого уравнение, описывающее эту форму, имеет переменную как показатель степени, например y = 5 x , и поэтому называется экспоненциальным уравнением .

            Быстрый рост поголовья оленей на острове Св. Матфея можно описать экспоненциальным уравнением и называется экспоненциальным ростом . Этот тип роста (и его противоположность, экспоненциальный спад) — обычное естественное явление, и поэтому экспоненциальные уравнения часто используются во всех областях науки.После более подробного описания таких уравнений мы определим уравнение, описывающее рост популяции северных оленей.

            Ранняя история экспоненциальных уравнений

            Некоторые из самых ранних записей о решении математических задач пришли из Древнего Египта в виде папирусов, которые были написаны между 1850 и 1600 годами до нашей эры. Один из них, Математический папирус Райнда, представляет собой сборник математических задач, написанных около 1650 г. до н.э. и озаглавленный «Правильный метод подсчета для понимания смысла вещей и знания всего сущего, неясностей… и всех секретов» (см. Рис. 3). для изображения Папируса Райнда).Это не был чисто академический документ: проблемы в папирусе использовались, среди прочего, для управления поставками продуктов питания в города.

            Рисунок 3: Фрагмент математического папируса Райнда, написанного в 1650 г. до н.э. в Египте, демонстрирующий задачу, которая включает геометрическую прогрессию.

            Спрашивает одна проблема:

            В одном селе было 7 домов; в каждом доме было по 7 кошек; каждая кошка поймала по 7 мышей; каждая мышь съела бы (если бы не кошки) по 7 ушей полбы; каждый початок полбы при сборе урожая давал 7 гектаров зерна.Сколько гекатов зерна удалось сэкономить благодаря кошкам? (цитируется по Curtis, 1978).

            Если мы поместим эту информацию в виде таблицы, то получим следующее:

            Таблица 1: Таблица данных из задачи о папирусе Райнда.
            Арт. Сколько? Экспоненциальное представление Итого
            номер
            Дом 7 7 1 7
            Кошки дома 7 х 7 7 2 49
            Мыши 7 x 7 кошек x 7 домиков 7 3 343
            Уши спельты 7 x 7 мышей x 7 кошек x 7 домов 7 4 2401
            Hekats 7 x 7 ушей x 7 мышей x 7 кошек x 7 домиков 7 5 16807

            Числа быстро увеличиваются за счет умножения одного и того же числа на себя в так называемой геометрической прогрессии .Египтяне не использовали символическое обозначение экспоненты, которое мы используем сегодня, но они были хорошо знакомы с идеей геометрической прогрессии.

            Использование экспоненциальной записи появилось намного позже, когда Рене Декарт определил запись a 2 как эквивалент aa , «для умножения на на себя» и на 3 как «для умножив его еще раз на , на и так далее до бесконечности »(Декарт, 1637).В то время, однако, Декарт не использовал слово «экспонента» ( разоблачитель по-французски). Фактически, не совсем ясно, когда слово «показатель степени» стало использоваться для описания использования правого верхнего индекса в качестве математического выражения, и большинство, похоже, в то время считало, что это не нуждается в объяснении. Чтобы восполнить этот недостаток объяснения, Чарльз Рейно опубликовал в 1708 году Analyze demontrée , в котором он заявляет: «Единственное вычисление, которое не объясняется в теориях алгебры, должно быть упомянуто, и это показатели или степени» (Cajori, 1913 г.).Таким образом, к началу 1700-х годов как математическая концепция экспоненциальных уравнений, так и обозначение экспонент были прочно установлены.

            Контрольная точка понимания

            Первая письменная запись математических задач, в которых используется геометрическая прогрессия ,

            .

            Что такое экспоненциальные уравнения?

            Показательное уравнение — это уравнение, в котором переменная входит в показатель степени.Например, y = 5 x является экспоненциальным уравнением, поскольку показатель степени является переменной x (также обозначается как «5 в степени x»), а y = x 5 не является экспоненциальным уравнением. поскольку показатель степени равен 5, а не переменной. Мы часто записываем экспоненциальные уравнения как y = ab x , где a и b — константы (числа, не меняющие значения), а x и y — переменные. Кроме того, a называется начальным значением, а b называется базовым значением.Как и в большинстве областей математики и естествознания, x считается независимой или управляемой переменной, а y является зависимой переменной или переменной ответа, потому что значение, которое мы получаем для y , зависит от того, что мы подставляем вместо x . .

            В экспоненциальных уравнениях значение b , базовое значение, имеет некоторые ограничения. Константа b не может быть равна 1 и должна быть больше 0.Почему? Если b = 1 , то независимо от значения x значение y всегда будет одним и тем же числом a ; если b = 0 , то значение y всегда равно 0. Когда мы строим график уравнения с этими значениями, мы получим горизонтальную линию (таким образом, линейное уравнение) вместо экспоненциальной кривой. Если b, некоторые значения x приведут к значениям y , которые не являются реальными. Например, если x представляет собой дробь наподобие ½ и b = -2 , тогда (-2) ½ = √-2 , что не является действительным числом и не может быть нанесено на ось действительных чисел. .

            Построение экспоненциального уравнения

            Давайте посмотрим на поведение экспоненциального уравнения, y = 5 x , и сравним его с линейным уравнением, y = 5x + 1 . Чтобы увидеть различия, мы построим график обоих уравнений, предварительно заполнив таблицу значений, показанную ниже.

            Таблица 2a: Таблица, показывающая значения y для различных значений x для линейного уравнения.
            Линейное уравнение
            x y = 5x + 1 y Изменение значения y
            -1 5 (-1) +1 -4 н / д
            0 5 (0) +1 1 +5 («плюс 5»)
            1 5 (1) +1 6 +5
            2 5 (2) +1 11 +5
            3 5 (3) +1 16 +5
            Таблица 2b: Таблица, показывающая значения y для различных значений x для экспоненциального уравнения.
            Экспоненциальное уравнение
            x y = 5 x y Изменение значения y
            -1 5 -1 1/5 н / д
            0 5 0 1 x5 («умножить на 5»)
            1 5 1 5 x5
            2 5 2 25 x5
            3 5 3 125 x5

            Значения y линейного уравнения являются результатом простого добавления одного и того же значения снова и снова (в данном случае 5), что называется арифметической прогрессией .Напротив, значения y экспоненциального уравнения являются результатом многократного умножения на ту же величину (снова 5), называемую геометрической прогрессией . Мы можем сравнить эти два набора результатов графически, как показано на графике на Рисунке 4.

            Рисунок 4 : График линейного уравнения y = 5x + 1 (красная линия) по сравнению с графиком экспоненциального уравнения y = 5 x (синяя линия).

            График линейного уравнения представляет собой прямую линию, которая увеличивается с постоянной или постоянной скоростью. С другой стороны, график экспоненциального уравнения не является прямой линией и увеличивается со скоростью , увеличиваясь на , образуя кривую. Поскольку степени в экспоненциальном выражении указывают, сколько раз базовое число должно умножаться само себя, например, 2 3 = 2 * 2 * 2, то по мере увеличения степеней мы все больше и больше умножаем на одно и то же значение. .Это соотношение заставляет y увеличиваться сначала медленно, а затем более быстро по мере увеличения значений x , что приводит к тому, что график выглядит изогнутым или вогнутым.

            График экспоненциального уравнения, когда начальное значение, a , положительно, может быть классифицирован как экспоненциальный рост (увеличение вправо) или экспоненциальный спад (уменьшение вправо) в зависимости от значения b ; см. два графика на рисунке 5, чтобы сравнить рост и распад.

            Рисунок 5 : Два графика, сравнивающие экспоненциальный рост и спад.

            Экспоненциальный рост происходит, когда b> 1 и y -значения увеличиваются вправо. Экспоненциальный спад происходит, когда значения 0 и y уменьшаются вправо. Оба графика вогнуты вверх.

            Когда a, графики экспоненциальных уравнений становятся вогнутыми на вниз , и увеличение значений x дает все более отрицательных значений y .Хотя это вполне приемлемо с математической точки зрения, в науке редко бывает, чтобы начальное значение a было отрицательным. Таким образом, большинство графиков, которые мы используем в науке, выглядят как кривые экспоненциального роста или спада, показанные на рисунке 5.

            Контрольная точка понимания

            График экспоненциального уравнения —

            Пример задачи 1

            Предположим, вы выпускник колледжа 2015 года, и вам предложили работу эколога с начальным окладом в 40 000 долларов в год.Чтобы усилить предложение, компания обещает вам ежегодное повышение в размере 5% в год как минимум в течение первых пяти лет работы. Давайте посмотрим, как изменится ваша зарплата за пятилетний период.

            Пусть x = количество лет с начала действия вашего контракта, и пусть y = годовая зарплата (в долларах) через x лет. Повышение дает 100% (исходная сумма) + 5% (прибавка) = 105%, или 1,05, умноженные на вашу предыдущую зарплату.(Имейте в виду, что вы должны выражать проценты в виде десятичной дроби.) Результаты этих вычислений показаны в таблице ниже.

            Таблица 3: Таблица расчетов для примера задачи 1.
            x Годы Расчет заработной платы с надбавкой на 5% Годовая зарплата после повышения
            0 40 000.00 = 40 000,00 • (1,05) 0 40 000,00 долл. США
            1 40 000,00 (1,05) = 40 000,00 • (1,05) 1 42 000,00 долл. США
            2 [40,000.00 (1,05)] (1,05) = 40 000,00 • (1,05) 2 44 100,00 $
            3 [40 000,00 (1,05) 2 ] (1,05) = 40 000,00 • (1,05) 3 46 305,00 $
            4 [40,000.00 (1,05) 3 ] (1,05) = 40 000,00 • (1,05) 4 48 620,25 долл. США
            5 [40 000,00 (1,05) 4 ] (1,05) = 40 000,00 • (1,05) 5 $ 51 051,26

            Обратите внимание, что в год 0, представляющий начальный год работы, не будет множителя для определения заработной платы, или вы можете подумать, что 40 000 долларов.00 • (1,05) 0 = 40 000,00 долларов США • 1 = 40 000 долларов США. Затем для первого года 40000 долларов умножается на (1,05) 1 , или просто на 1,05. Для года 2 40 000 долларов умножаются на (1,05) дважды: один раз, чтобы получить прибавку за первый год, и второй раз, чтобы получить дополнительную прибавку за год 2. Это дает нам 40 000,00 долларов • (1,05) 2 . Эта модель сохраняется для каждого дополнительного года, причем показатель степени для 1,05 совпадает с номером года, x .

            В сценарии зарплаты начальная зарплата составляет a , начальное значение.Значение b = (1 + 0,05) или 1,05, что можно представить как 100% заработной платы предыдущего года плюс 5% -ное увеличение. Подставляя оба значения, уравнение принимает вид y = 40000 (1,05) x , где x — количество лет с момента приема на работу. Это экспоненциальное уравнение позволяет нам найти вашу зарплату после любого количества лет работы, пока ничего не изменится.

            Контрольная точка понимания

            Чтобы рассчитать свой будущий доход после ежегодного повышения на определенный процент, используйте

            Пример задачи 2

            Вернемся к оленям на Св.Мэтью и напишите экспоненциальное уравнение, чтобы представить рост их населения. Поскольку у нас нет данных каждый год или через определенные промежутки времени, для решения этой проблемы требуется немного больше манипуляций. Во-первых, нам нужно преобразовать год (например, 1957) в годы, прошедшие с момента появления оленей, или годы с 1944 года. Количество лет, прошедших с момента появления оленей, составляет в этом уравнении x , а y — количество олени на острове. У нас есть три точки данных, с которыми нужно работать: 1944 год, или 0 лет после внедрения; 1957 г., через 13 лет после внедрения, и 1963 г., через 19 лет после введения (см. Таблицу ниже).

            Таблица 4: Таблица данных по северным оленям острова Св. Матфея.
            Год Годы с момента введения
            (Год — 1944)
            Поголовье
            оленей
            1944 0 29
            1957 13 1350
            1963 19 6000

            Первоначальная численность оленей на острове составляла 29, поэтому a = 29 .Нам нужно определить, что такое b , чтобы написать полное уравнение, но у нас нет регулярных интервалов времени, чтобы легко определить это вручную. С помощью графического калькулятора или программы для работы с электронными таблицами вы можете ввести упорядоченные пары из приведенной выше таблицы ((0, 29), (13, 1350) и (19, 6000)) в функцию списка и найти экспоненциальное уравнение для данных набор. Уравнение, созданное с помощью этого статистического процесса, называемого регрессией, составляет y = 30,14 (1,33) x , и значение b определяется равным 1.33. Сравните это со значением b из примера задачи 1, 1.05, где темп роста заработной платы составлял 5% в год. Используя ту же логику (1,33 — 1,00 = 0,33 или 33%), полученное нами уравнение предполагает, что прирост популяции оленей составляет 33% в год!

            Это уравнение можно использовать для приблизительного определения количества оленей на острове в течение любого года с 1944 по 1963 год. Однако мы должны помнить, что это математическая модель, полученная на основе ограниченных данных, и фактические данные могут немного отличаться от значения, генерируемые экспоненциальным уравнением.Например, если мы хотим предсказать количество оленей на острове в 1963 году, мы можем заменить 19 (при условии, что 1963-1944 = 19) показатель степени x .

            y = 29 (1,33) 19 = 6520 оленей

            Но это значение выше, чем действительное количество северных оленей, подсчитанных на острове в это время. Разница между подсчитанным количеством оленей и математическим прогнозом может быть связана с рядом факторов, в том числе с ошибками подсчета, выполненными исследователями, естественной изменчивостью популяции оленей и неточной математической моделью, которая могла быть результатом наличия только трех точки данных, с которыми можно работать (дополнительную информацию о математических моделях см. в нашем модуле «Моделирование в научных исследованиях»).

            Экспоненциальные уравнения в науке

            Экспоненциальные уравнения применяются в самых разных ситуациях в науке, от моделирования распространения вирусного заболевания в популяции до оценки атмосферного давления на заданной высоте и цепных реакций при делении ядер. Все эти процессы включают геометрическую прогрессию: например, один человек с вирусом может заразить десять других, а каждый из этих десяти человек может заразить еще десять.Во всех этих случаях реальные данные могут быть смоделированы с использованием экспоненциальных уравнений, и эти уравнения могут обеспечить предсказание будущего поведения. Решение экспоненциальных уравнений — ценный инструмент для поиска переменных, таких как скорость роста, скорость распада, количество прошедшего времени или количество чего-либо в данный момент.

            Сводка

            Экспоненциальные уравнения незаменимы в науке, поскольку их можно использовать для определения скорости роста, скорости распада, прошедшего времени или количества чего-либо в данный момент.Этот модуль описывает историю экспоненциальных уравнений и показывает, как они построены на графике. Примеры задач, включая рассмотрение темпа роста популяции северных оленей на острове Св. Матфея в Беринговом море, иллюстрируют, как экспоненциальные уравнения используются в реальном мире.

            Ключевые понятия

            • Экспоненциальные уравнения имеют переменную в качестве показателя степени и принимают форму y = ab x .

            • Значения y (или решения) экспоненциального уравнения следуют геометрической прогрессии и являются результатом многократного умножения на ту же величину.

            • Форма графиков экспоненциальных уравнений указывает на экспоненциальный рост или спад.

            • Экспоненциальный рост и спад являются общими процессами, и экспоненциальные уравнения могут использоваться для моделирования и прогнозирования во многих дисциплинах.

            • Ссылки
            • Каджори, Ф. (1913). История экспоненциального и логарифмического понятий. The American Mathematical Monthly, 20 (2), 35-47.

            • Кертис, Л. Дж. (1978). Концепция экспоненциального закона до 1900 г. American Journal of Physics, 46 (9), 896-906.
            • Декарт Р. (1637). La Géométrie . Лейде: Ян Мэр.
            • Кляйн, Д. Р. (1968). Появление, рост и гибель оленей на острове Св. Матфея. Журнал управления дикой природой, 32 (2), 350-367.

            Энн Э. Эггер, доктор философии, Джанет Шивер, доктор философии, Тери Уиллард, ред. «Экспоненциальные уравнения в науке I» Visionlearning Vol.МАТ-3 (2), 2014.

            Как найти уравнения для экспоненциальных функций

            Что такое экспоненциальные функции?

            Прежде чем мы перейдем к экспоненциальным функциям и построению графиков экспоненциальных функций, давайте сначала взглянем на общую формулу и теорию, лежащую в основе экспоненциальных функций.

            Ниже приведена одна из наиболее общих форм экспоненциального графика:

            Общий пример экспоненциального графика

            Уравнение экспоненциальной функции для этого графика: y = 2xy = 2 ^ xy = 2x, и это самый простой экспоненциальный график, который мы можем построить.{d (x-c)} + ky = abd (x − c) + k

            Приведенная выше формула немного сложнее, чем предыдущие функции, с которыми вы, вероятно, работали, поэтому давайте определим все переменные.

            y — значение по оси y

            a — коэффициент вертикального растяжения или сжатия

            б — базовое значение

            x — значение по оси x

            c — коэффициент горизонтального перевода

            d — коэффициент горизонтального растяжения или сжатия

            k — коэффициент вертикального перевода

            В этом уроке мы рассмотрим только самые простые экспоненциальные функции, поэтому вам не нужно беспокоиться о некоторых из перечисленных выше переменных.xy = 2x по его значениям y. Чтобы найти «a», глядя на график, самое важное, что нужно заметить, это то, что когда x = 0 и у нас нет значения для «k», точка пересечения y нашего графика всегда будет равно «а».

            2) Переменная «b»

            Также известное как «базовое значение», это просто число, к которому прикреплена экспонента. (x-2)

            Сделав это преобразование, мы сдвинули весь график вправо на две единицы.x + 2y = 2x + 2, k = 2, и поэтому горизонтальная асимптота равна 2. Нет значения для x, которое мы могли бы использовать, чтобы сделать y = 2.

            И это все переменные! Опять же, некоторые из них сложнее других, поэтому потребуется время, чтобы привыкнуть работать со всеми ними и научиться их находить. Чтобы лучше познакомиться с экспоненциальными функциями и ознакомиться с приведенным выше общим уравнением, посетите этот отличный веб-сайт графического калькулятора здесь. Не торопитесь, чтобы поиграть с переменными и лучше почувствовать, как изменение каждой из переменных влияет на характер функции.

            А теперь приступим к делу. Учитывая график экспоненциальной функции, как мы можем найти экспоненциальное уравнение?

            Как найти экспоненциальные функции

            Нахождение уравнения экспоненциальных функций часто представляет собой многоэтапный процесс, и каждая задача отличается в зависимости от информации и типа графа, который нам дан. Учитывая график экспоненциальных функций, нам нужно иметь возможность брать некоторую информацию из самого графика, а затем решать то, что мы не можем взять непосредственно из графика.Ниже приведен список всех переменных, которые нам, возможно, придется искать, и того, как их обычно находить:

            a — решите его по алгебре, иначе дадут

            b — решите его по алгебре, иначе дадут

            c — пусть x = 0 и представьте, что «c» там нет, значение y будет равно пересечению по оси y; теперь посчитайте, на сколько единиц значение y для точки пересечения y от оси y, и это будет равно «c»

            d — решите это с помощью алгебры

            k — равно значению горизонтальной асимптоты

            Конечно, это лишь общие шаги, которые необходимо предпринять, чтобы найти уравнение экспоненциальной функции.xy = abx данного графа.

            Нахождение экспоненциальной функции по ее графику

            Чтобы решить эту проблему, нам нужно найти переменные «a» и «b». Кроме того, нам придется решить оба этих вопроса алгебраически, поскольку мы не можем определить их из самого графика экспоненциальной функции.

            Шаг 1. Найдите «a»

            Чтобы найти «a», мы должны выбрать точку на графике, где мы можем исключить bx, потому что мы еще не знаем «b», и поэтому мы должны выбрать y-точку пересечения (0,3).{dx} + ky = a2dx + k данного графа.

            Нахождение экспоненциальной функции по ее графику

            Чтобы решить эту проблему, нам нужно найти переменные «a», «d» и «k». Помните, что мы можем найти «k» на графике, поскольку это горизонтальная асимптота. Однако для «a» и «d» нам придется решать их алгебраически, поскольку мы не можем определить их из самого графика экспоненциальной функции.

            Шаг 1. Найдите «k» на графике

            Чтобы найти «k», все, что нам нужно сделать, это найти горизонтальную асимптоту, которая явно равна y = 6.n, (6) 1m = 1n,

            , где a ≠ 0a \ neq0a = 0 и b ≠ 0.b \ neq0.b = 0. Всегда будьте осторожны с (5) (5) (5) и (6) (6) (6); никогда не забывайте проверять, работает ли установка нуля в экспоненту, и есть ли основания, равные 1.

            Свойства сил и корней

            Содержимое этой страницы:


            Введение

            Экспоненциальное уравнение — это единица
            который имеет экспоненциальные выражения,
            другими словами, силы, которые есть в
            их выражения экспоненты с
            неизвестный фактор x .6 $$

            Очевидно, что значение, которое x должно принять, чтобы равенство было истинным, равно 3.

            Чтобы получить этот тип выражений, мы должны разложить на множители ,
            выразить все числа в виде степеней ,
            примените свойства степеней и запишите корни как степени.

            Иногда нам нужно изменить переменную, чтобы преобразовать
            уравнение в квадратичном.

            Мы также можем решить с помощью логарифмов, но оставим этот тип
            процедуры для более сложных уравнений с разными базами в
            экспоненциальные выражения, что делает невозможным использование предыдущего
            метод уравнивания.x $$

            , у которого есть реальное решение с использованием логарифмов

            $$ x = \ frac {3 ln (3)} {ln \ left (\ frac {5} {3} \ right)} $$


            Прежде, чем мы начнем … давайте вспомним свойства степеней

            Товар

            Мощность

            Частное

            Отрицательная экспонента

            Обратное

            Обратный обратный


            Уравнение 1

            Показать решение

            С учетом того, что

            $$ 27 = 3 ^ 2 $$

            Мы можем переписать уравнение как

            Следовательно,


            Уравнение 2

            Показать решение

            С учетом того, что

            Мы можем переписать уравнение как

            Следовательно,


            Уравнение 3

            Показать решение

            С учетом того, что

            Оперируем выражением, используя свойства степеней

            Следовательно, мы имеем линейное уравнение


            Уравнение 4

            Показать решение

            С учетом того, что

            Мы можем переписать уравнение как

            Таким образом, мы можем извлечь общий множитель 2 x :

            Следовательно,


            Уравнение 5

            Показать решение

            С учетом того, что

            Мы можем переписать уравнение как

            У нас есть общая база 3 x , но поскольку одна из них возведена в квадрат,
            пишем

            После подстановки уравнение заканчивается как

            Другими словами, квадратное уравнение:

            Умножаем полное уравнение на 9:

            Решаем:

            Следовательно,

            Итак, получаем

            Второй вариант невозможен, потому что он отрицательный.Следовательно,

            Откуда получаем


            Уравнение 6

            Показать решение

            С учетом того, что

            Перепишем уравнение как

            Звоним t = 3 x :

            После подстановки уравнение заканчивается как

            Решаем квадратное уравнение:

            Итак,

            Итак,

            Второе решение невозможно, потому что оно отрицательное, а первое — возможно.


            Уравнение 7

            Показать решение

            С учетом того, что

            Перепишем уравнение как

            Звоним

            После подстановки уравнение заканчивается как

            Решаем предыдущее уравнение:

            Следовательно,

            Второй вариант невозможен.Итак,

            Следовательно,


            Уравнение 8

            Показать решение

            С учетом того, что

            Перепишем уравнение как

            Звоним

            После подстановки уравнение заканчивается как

            Решаем квадратное уравнение:

            Следовательно,

            Обратите внимание, что

            Итак, оба являются степенью 3.

            Тогда два решения —


            Уравнение 9

            Показать решение

            С учетом того, что

            Мы можем переписать уравнение как

            Звоним

            После подстановки уравнение заканчивается как

            Решаем уравнение:

            Итак, у нас

            Но решения

            невозможны, потому что один равен нулю, а другой отрицателен.

            Итак, единственное решение —


            Уравнение 10

            Показать решение

            С учетом того, что

            Мы можем переписать уравнение как

            Следовательно,


            Уравнение 11

            Показать решение

            С учетом того, что

            Мы можем переписать уравнение как

            Звоним

            Подставляя, получаем квадратное уравнение

            Решаем:

            Так

            Первое решение невозможно, потому что оно равно нулю.Затем


            Уравнение 12

            Показать решение

            С учетом того, что

            перепишем уравнение как

            Звоним

            Подставляя, получаем квадратное уравнение:

            Решаем:

            Следовательно,

            Первое решение невозможно, потому что оно равно нулю.

            Следовательно, решение — x = 1 .


            Уравнение 13

            Показать решение

            Обратите внимание, что

            Итак, уравнение можно записать как

            Поскольку у нас есть экспоненциальное деление,
            мы умножаем на него полное уравнение, и оно исчезает:

            Сейчас звоним

            После подстановки уравнение заканчивается как

            Решаем:

            Следовательно,

            Второе решение невозможно, потому что оно отрицательное.

            Итак, решение


            Уравнение 14

            Показать решение

            Обратите внимание, что

            Итак, мы запишем уравнение как

            Звоним

            Итак,

            Подставляя, получаем уравнение четвертой степени (уравнение четвертой степени):

            Решаем:

            Первое решение невозможно, потому что оно равно нулю.

            Итак,


            Уравнение 15

            Показать решение

            Обратите внимание, что

            Итак, мы можем записать уравнение как

            Поскольку у нас есть экспоненциальное деление,
            мы умножаем на него полное уравнение, и оно исчезает:

            Звоним

            Подставляя, получаем кубическое уравнение (третья степень)

            Переписываем

            Применяем правило Руффини:

            Одно из решений: t = 4 .

            Рассчитываем два других:

            Но это невозможные решения, потому что они отрицательны.

            Следовательно,


            Уравнение 16

            Показать решение

            Перепишем уравнение:

            Следовательно, решение


            Уравнение 17

            Показать решение

            Перепишем уравнение:

            Умножаем полное уравнение на экспоненту, и оно исчезает:

            Следовательно,


            Уравнение 18

            Показать решение

            Обратите внимание, что

            Перепишем уравнение:

            Мы работаем:

            Следовательно,


            Уравнение 19

            Показать решение

            Обратите внимание, что

            Итак, мы перепишем уравнение как

            Звоним

            Тогда получаем выражение

            Теперь определим

            Обратите внимание, что

            Предположим, что

            Следовательно,

            Так

            А это невозможно.

            Итак, предположим,

            Следовательно,

            Одно из решений: t = 0 , но, как и раньше, это невозможно.

            Другое решение —

            Но мы предположили, что k = -1 , и мы должны проверить, что это правда:

            Поскольку это правда, решение уравнения — x = 2 .


            Уравнение 20

            Показать решение

            Перепишем уравнение как

            Мы используем 25 = 5 2 и свойства
            степеней (корень пишем в виде степени):

            У нас

            Наконец, мы решаем уравнение:


            Уравнение 21

            Показать решение

            Запишем корни в виде степеней

            Мы хотим, чтобы это было правдой:

            Следовательно, у нас есть два решения:

            $$ x = 0, \ x = -2 $$


            Уравнение 22

            Показать решение

            У нас есть три вложенных корня (один внутри другого).

            Запишем корни в виде степеней.

            Уравнения заканчиваются как

            Решаем уравнение и получаем решение


            Уравнение 23

            Показать решение

            Запишем корни в виде степеней:

            Мы хотим, чтобы это было правдой:

            Наконец, мы решаем линейное уравнение:


            Уравнение 24

            Показать решение

            Пишем корень в виде степеней:

            Мы хотим, чтобы это было правдой:

            С учетом того, что x не может быть 0.

            Применяем правило Руффини:

            Одно решение: x = 2 . Рассчитываем остальные:

            Реальных решений нет.

            Следовательно, единственное решение экспоненциального уравнения —

            $$ x = 2 $$


            Уравнение 25

            Показать решение

            Запишем корни в виде степеней.

            Уравнение заканчивается так:

            Обратите внимание, что -8 = (-2) 3

            Мы хотим, чтобы это было правдой:


            Matesfacil.com
            от J. Llopis под лицензией
            творческий
            Международная лицензия Commons Attribution-NonCommercial 4.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.