Основные геометрические фигуры на плоскости: Основные Геометрические Фигуры 🟢🟨🔺 и их названия

Содержание

Геометрические фигуры на плоскости — Студопедия

Геометрическая фигура называется плоской, если все тонки фигу­ры принадлежат одной плоскости.

Примером плоских геометрических фигур являются: прямая, от­резок, круг, различные многоугольники и др. Не являются плоски­ми такие фигуры, как шар, куб, цилиндр, пирамида и др.

На плоскости различают выпуклые и невыпуклые фигуры.

Геометрическая фигура называется выпуклой, если она целиком со­держит отрезок, концами которого служат любые две точки, принад­лежащие фигуре (рис. 54).

Примерами выпуклых фигур являются: круг, различные треу­гольники, квадрат. Точку, прямую, луч, отрезок, плоскость также считают выпуклыми фигурами.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Эти термины часто применяются даже в работе с дошкольниками. Необходимо своевременно научить детей узнавать эти фигуры, изображать их, понимать и правильно выполнять зада­ния.

Основные свойства точек и прямых раскрываются в аксиомах:

1. Существуют точки, принадлежащие и не принадлежащие пря­мой.

2. Через две различные точки можно провести единственную прямую.

3. Две различные прямые либо не пересекаются, либо пере­секаются в одной точке.

Дети, например, в процессе игр или рисования знакомятся с точкой, отрезком, различными линиями, выделяя из них прямую, кривую, ломаную, учатся распознавать некоторые их свойства.

Примеры:

1. «Какая дорога от леса до дома короче?» (рис. 55).

2. «Поросята живут в домиках, расположенных на берегах реки. Они не умеют плавать. Кто из поросят может пойти в гости друг к другу?» (рис. 56).

Замкнутая линия делит плоскость на внешнюю и внутреннюю об­ласти. Дети рано усваивают, что значит «внутри» и «вне». Напри­мер, это происходит при выполнении задания на закрашивание фи­гуры, то есть ее внутренней области.

Геометрические фигуры, с которыми рано знакомятся дети (круг, квадрат, треугольник и др.), представляют собой замкнутые линии (границы фигур) с их внутренней областью. Границей круга

является окружность. Границей многоугольников является ломаная линия, которая состоит из отрезков. В геометрии все эти понятия имеют определения.

Отрезок — часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными точками, называемых кон­цами отрезка.

Луч (полупрямая) — это часть прямой, состоящая из всех ее то­чек, лежащих по одну сторону от заданной на ней точки (начала луча).

Угол — это меньшая часть плоскости, ограниченная двумя луча­ми, выходящими из одной точки. Эти лучи называются сторонами угла, а их общая точка — вершиной угла (рис. 59).

 

Круг можно определить как фигуру, состоящую из окружности и ее внутренней области.


Окружность — это множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки. Данная точка О называется центром окружнос­ти, а заданное расстояние R — ее радиусом (рис. 64).

В детском саду дети также знакомятся с овалом («фигурой, похо­жей на круг тем, что у нее нет углов и сторон, но отличающейся от круга своей вытянутостью»). В геометрии такой термин не рассмат­ривается, но изучается эллипс. Его нецелесообразно предлагать де­тям из-за сложности построения. Так как в быту часто используют слова «овал», «предмет овальной формы», знания об овале необхо­димы детям как элемент сенсорного воспитания и речевого раз­вития.

Многоугольники

Многоугольник — часть плоскости, ограниченная простой за­мкнутой ломаной. Звенья ломаной называются сторонами много­угольника, а вершины — вершинами многоугольника. Границу много­угольника (простую замкнутую ломаную) также называют многоу­гольником.

В работе с дошкольниками обычно рассматриваются модели фигур из картона, пластмассы или дерева, предлагаются задания по рисованию многоугольников при помощи трафаретов и обводок, за­крашиванию фигур. В процессе этой деятельности дети знакомятся с названиями фигур, их структурой и некоторыми свойствами, ис­пользуют такие термины, как: граница фигуры, внутренняя область фигуры и др.

Выпуклый многоугольник лежит в одной полуплоскости от­носительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 65).

Простейшие геометрические фигуры — Сайт учителя математики

Уроки 3 — 4 Простейшие геометрические фигуры.Так
же как самые большие здания складываются из маленьких кирпичей, так и
сложные геометрические фигуры составляются из простейших геометрических
фигур.

Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости.

Древнегреческий 
учёный Евклид говорил: «точка» – это то, что не имеет частей».

Слово
«точка» в переводе с латинского языка означает результат мгновенного
касания, укол.

Точка является основой для построения любой
геометрической фигуры. Всякая более сложная геометрическая фигура — это множество точек, которые обладают определенным свойством, характерным только для этой фигуры.
Точки обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С, D, Е и др.

Прямая линия или просто прямая – это линия, вдоль которой расстояние
между двумя точками является кратчайшим. Прямую можно представить себе как бесчисленное множество точек,
которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На
листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна.
Прямая изображается так:

 Прямые обозначают строчными буквами а, b, c, d, e и др. Прямую можно
обозначить и двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней.
Например, прямую a можно обозначить АВ. Можно сказать, что точки АВ лежат на прямой а или принадлежат прямой
а. А можно сказать, что прямая а проходит через точки А и В.

Простейшие геометрические фигуры на плоскости – это отрезок, луч, ломаная линия. Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком прямой, или отрезком. Отрезок изображается так:


Луч
— это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца. Луч изображается так:

Если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбивается па два луча, противоположно направленных. Такие лучи называются дополнительными.

Ломаная линия — это несколько отрезков,
соединенных между собой так, что конец первого отрезка является началом
второго отрезка, а конец второго отрезка — началом третьего отрезка и т.
д., при этом соседние (имеющие одну общую точку) отрезки
расположены не на одной прямой. Если конец последнего отрезка не
совпадает с началом первого, то такая ломаная линия называется
незамкнутой.

Это трехзвенная ломаная линия.

Если конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом первого
отрезка, то такая ломаная линия называется замкнутой. Примером замкнутой
ломаной служит любой многоугольник:

Четырехзвенная замкнутая ломаная линия — четырехугольник
Трехзвенная замкнутая ломаная линия — треугольник

Плоскость, как и прямая, — это первичное понятие, не
имеющее определения. У плоскости, как и у прямой, нельзя видеть ни
начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая
ограничена замкнутой ломаной линией.

Примером плоскости является поверхность вашего рабочего
стола, тетрадный лист, любая гладкая поверхность. Плоскость можно
изобразить как заштрихованную
геометрическую фигуру:

Геометрические фигурки и их названия. Удивительные фигуры в геометрии. Линейные геометрические фигуры

Геометрические фигуры представляют собой комплекс точек, линий, тел или поверхностей. Эти элементы могут располагаться как на плоскости, так и в пространстве, формируя конечное количество прямых.

Термин «фигура» подразумевает под собой несколько множеств точек. Они должны располагаться на одной или нескольких плоскостях и одновременно ограничиваться конкретным числом оконченных линий.

Основными геометрическими фигурами считаются точка и прямая. Они располагаются на плоскости. Кроме них, среди простых фигур выделяют луч, ломаную линию и отрезок.

Точка

Это одна из главных фигур геометрии. Она очень маленькая, но ее всегда используют для построения различных форм на плоскости. Точка — это основная фигура для абсолютно всех построений, даже самой высокой сложности. В геометрии ее принято обозначать буквой латинской алфавита, к примеру, A, B, K, L.

С точки зрения математики точка — это абстрактный пространственный объект, не обладающий такими характеристиками, как площадь, объем, но при этом остающийся фундаментальным понятием в геометрии. Этот нульмерный объект просто не имеет определения.

Прямая

Это фигура полностью размещается в одной плоскости. У прямой нет конкретного математического определения, так как она состоит из огромного количества точек, располагающихся на одной бесконечной линии, у которой нет предела и границ.

Существует еще и отрезок. Это тоже прямая, но она начинается и заканчивается с точки, а значит, имеет геометрические ограничения.

Также линия может превратиться в направленный луч. Такое происходит, когда прямая начинается с точки, но четкого окончания не имеет. Если же поставить точку посредине линии, то она разобьется на два луча (дополнительных), причем противоположно направленных друг к другу.

Несколько отрезков, которые последовательно соединяются друг с другом концами в общей точке и располагаются не на одной прямой, принято называть ломаной линией.

Угол

Геометрические фигуры, названия которых мы рассмотрели выше, считают ключевыми элементами, использующимися при построении более сложных моделей.

Угол — это конструкция, состоящая из вершины и двух лучей, которые выходят из нее. То есть стороны этой фигуры соединяются в одной точке.

Плоскость

Рассмотрим еще одно первичное понятие. Плоскость — это фигура, у которой нет ни конца, ни начала, равно как и прямой, и точки. Во время рассмотрения этого геометрического элемента во внимание берется лишь его часть, ограниченная контурами ломаной замкнутой линии.

Любую гладкую ограниченную поверхность можно считать плоскостью. Это может быть гладильная доска, лист бумаги или даже дверь.

Четырехугольники

Параллелограмм — это геометрическая фигура, противоположные стороны которой параллельны друг другу попарно. Среди частных видов этой конструкции выделяют ромб, прямоугольник и квадрат.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все стороны соприкасаются под прямым углом.

Квадрат — это четырехугольник с равными сторонами и углами.

Ромб — это фигура, у которой все грани равны. При этом углы могут быть совершенно разными, но попарно. Каждый квадрат считается ромбом. Но в противоположном направлении это правило действует не всегда. Далеко не каждый ромб является квадратом.

Трапеция

Геометрические фигуры бывают совершенно разными и причудливыми. Каждая из них имеет своеобразную форму и свойства.

Трапеция — это фигура, которая чем-то схожа с четырехугольником. Она имеет две параллельные противоположные стороны и при этом считается криволинейной.

Круг

Эта геометрическая фигура подразумевает расположение на одной плоскости точек, равноудаленных от ее центра. При этом заданный ненулевой отрезок принято называть радиусом.

Треугольник

Это простая геометрическая фигура, которая очень часто встречается и изучается.

Треугольник считается подвидом многоугольника, расположенным на одной плоскости и ограниченным тремя гранями и тремя точками соприкосновения. Эти элементы попарно соединены между собой.

Многоугольник

Вершинами многоугольников называют точки, соединяющие отрезки. А последние, в свою очередь, принято считать сторонами.

Объемные геометрические фигуры

  • призма;
  • сфера;
  • конус;
  • цилиндр;
  • пирамида;

Эти тела имеют нечто общее. Все они ограничиваются замкнутой поверхностью, внутри которой находится множество точек.

Объемные тела изучают не только в геометрии, но и в кристаллографии.

Любопытные факты

Наверняка вам будет интересно ознакомиться с информацией, предоставленной ниже.

  • Геометрия сформировалась как наука еще в давние века. Это явление принято связывать с развитием искусства и разнообразных ремесел. А названия геометрических фигур свидетельствуют об использовании принципов определения подобия и схожести.
  • В переводе с древнегреческого термин «трапеция» обозначает столик для трапезы.
  • Если вы возьмете различные фигуры, периметр которых будет одинаковым, то наибольшая площадь гарантированно будет у круга.
  • В переводе с греческого языка термин «конус» обозначает сосновую шишку.
  • Существует известная картина Каземира Малевича, которая начиная с прошлого века притягивает к себе взгляды многих живописцев. Работа «Черный квадрат» всегда была мистической и загадочной. Геометрическая фигура на белом полотне восхищает и поражает одновременно.

Существует большое количество геометрических фигур. Все они отличаются параметрами, а порой даже удивляют формами.

Цели урока
:

  • Познавательная
    : создать условия для ознакомления с понятиями плоские
    и объёмные геометрические фигуры,
    расширить представление о видах объёмных фигур, научить определять вид фигуры, сравнивать фигуры.
  • Коммуникативная
    : создать условия для формирования умения работать в парах, группах; воспитание доброжелательного отношения друг к другу; воспитывать у учащихся взаимопомощь, взаимовыручку.
  • Регулятивная
    : создать условия для формирования планировать учебную задачу, выстраивать последовательность необходимых операций, корректировать свою деятельность.
  • Личностная
    : создать условия для развития вычислительных навыков, логического мышления, интереса к математике, формирования познавательных интересов, интеллектуальных способностей учащихся, самостоятельность в приобретении новых знаний и практических умений.

Планируемые результаты:

личностные:

  • формирование познавательных интересов, интеллектуальных способностей учащихся; формирование ценностных отношений друг к другу;
    самостоятельность в приобретении новых знаний и практических умений;
  • формирование умений воспринимать, перерабатывать полученную информацию, выделять основное содержание.

метапредметные:

  • овладение навыками самостоятельного приобретения новых знаний;
  • организация учебной деятельности, планирования;
  • развитие теоретического мышления на основе формирования умений устанавливать факты.

предметные:

  • усвоить понятия плоские и объёмные фигуры, научиться сравнивать фигуры, находить плоские и объёмные фигуры в окружающей действительности, научиться работать с развёрткой.

УУД общенаучные
:

  • поиск и выделение необходимой информации;
  • применение методов информационного поиска, осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной форме.

УУД личностные
:

  • оценивать свои и чужие поступки;
  • проявление доверия, внимательности, доброжелательности;
  • умение работать в паре;
  • выражать положительное отношение к процессу познания.

Оборудование
: учебник, интерактивная доска, смайлики, модели фигур, развёртки фигур, светофоры индивидуальные, прямоугольники -средства обратной связи, Толковый словарь.

Тип урока
: изучение нового материала.

Методы
: словесные, исследовательские, наглядные, практические.

Формы работы
: фронтальная, групповая, парная, индивидуальная.

1. Организация начала урока.

Утром солнышко взошло.
Новый день нам принесло.
Сильными и добрыми
Новый день встречаем мы.
Вот мои руки, я раскрываю
Их навстречу солнцу.
Вот мои ноги, они твердо
Стоят на земле и ведут
Меня верной дорогой.
Вот моя душа, я раскрываю
Её навстречу людям.
Наступи, новый день!
Здравствуй, новый день!

2. Актуализация знаний.

Создадим хорошее настроение. Улыбнитесь мне и друг другу, садитесь!

Чтобы дойти до цели, надо прежде всего идти.

Перед вами высказывание, прочитайте. Что означает это высказывание?

(Чтобы чего-то добиться, нужно что-то делать)

И действительно, ребята, попадающим в цель может стать только тот, кто настраивает себя на собранность и организованность своих действий. И вот я надеюсь, что мы с вами на уроке достигнем своей цели.

Начнем наш путь к достижению цели сегодняшнего урока.

3. Подготовительная работа.

Посмотрите на экран. Что вы видите? (Геометрические фигуры)

Назовите эти фигуры.

Какое задание, вы можете предложить своим одноклассникам? (разделите фигуры на группы)

У вас на партах лежат карточки с этими фигурами. Выполните это задание в парах.

По какому признаку вы разделили эти фигуры?

  • Плоские и объемные фигуры
  • По основаниям объемных фигур

С какими фигурами мы уже работали? Что учились находить у них? Какие фигуры встречаются нам на геометрии впервые?

Какая же тема нашего урока? (Учитель добавляет слова на доске: объёмные, на доске появляется тема урока: Объёмные геометрические фигуры.)

Чему мы должны научиться на уроке?

4. «Открытие» нового знания в практической исследовательской работе.

(Учитель показывает куб и квадрат.)

Чем они похожи?

Можно ли сказать, что это одно и тоже?

Чем же отличается куб от квадрата?

Давайте проведём опыт. (Ученики получают индивидуальные фигуры – куб и квадрат.)

Попробуем приложить квадрат к плоской поверхности порты. Что видим? Он весь (целиком) лёг на поверхность парты? Вплотную?

!
Как назовём фигуру, которую можно целиком расположить на одной плоской поверхности? (Плоской фигурой.)

Можно ли куб полностью (весь) прижать к парте? Проверим.

Можно ли назвать куб плоской фигурой? Почему? Есть ли пространство между рукой и партой?

!
Значит, что мы можем сказать о кубе? (Занимает определённое пространство, является объёмной фигурой.)

ВЫВОДЫ: Чем же отличаются плоские и объёмные фигуры? (Учитель вывешивает на доске выводы.)

  • Можно целиком расположить на одной плоской поверхности.

ОБЪЁМНЫЕ

  • занимают определённое пространство,
  • возвышаются над плоской поверхностью.

Объёмные фигуры:
пирамида, куб, цилиндр, конус, шар, параллелепипед.

4. Открытие новых знаний.

1. Назовите фигуры, изображенные на рисунке.

Какую форму имеют основания этих фигур?

Какие еще формы можно увидеть на поверхности куба и призмы?

2. Фигуры и линии на поверхности объемных фигур имеют свои названия.

Предложите свои названия.

Боковые стороны, образующие плоскую фигуру называются гранями. А боковые линии – рёбра. Углы многоугольников – вершины. Это элементы объемных фигур.

Ребята, а как вы думаете, как называются такие объемные фигуры, у которых много граней? Многогранники.

Работа с тетрадями: чтение нового материала

Соотнесение реальных объектов и объёмных тел.

А теперь подберите для каждого предмета ту объёмную фигуру, на которую он похож.

Коробка – параллелепипед.

  • Яблоко – шар.
  • Пирамидка – пирамида.
  • Банка – цилиндр.
  • Горшок из-под цветка — конус.
  • Колпачок – конус.
  • Ваза – цилиндр.
  • Мяч – шар.

5. Физминутка.

1. Представьте себе большой шар, погладьте его со всех сторон. Он большой, гладкий.

(Ученики «обхватывают» руками и гладят воображаемый шар.)

А теперь представьте себе конус, дотроньтесь до его вершины. Конус растёт вверх, вот он уже выше вас. Допрыгните до его вершины.

Представьте, что вы внутри цилиндра, похлопайте по его верхнему основанию, потопайте по нижнему, а теперь руками по боковой поверхности.

Цилиндр стал маленькой подарочной коробочкой. Представьте, что вы сюрприз, который находится в этой коробочке. Я нажимаю кнопку и… сюрприз выскакивает из коробочки!

6. Групповая работа
:

(Каждая группа получает одну из фигур: куб, пирамиду, параллелепипед.Полученную фигуру дети изучают, выводы записывают в подготовленную учителем карточку
.)
Группа 1.
(Для изучения параллелепипеда)

Группа 2.
(Для изучения пирамиды)

Группа 3.
(Для изучения куба)

7. Решение кроссворда

8. Итог урока. Рефлексия деятельности.

Решение кроссворда в презентации

Что нового вы для себя сегодня открыли?

Все геометрические фигуры можно разделить на объёмные и плоские.

А я узнал названия объёмных фигур


Геометрия
— это раздел математики, в котором изучаются формы и их свойства.

Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой, по имени древнегреческого учёного Евклида (III век до н. э.).

Изучение геометрии начинается с планиметрии. Планиметрия
— это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры, все части которых находятся в одной плоскости.

Геометрические фигуры

В окружающем нас мире существует множество материальных предметов разных форм и размеров: жилые дома, детали машин, книги, украшения, игрушки и т. д.

В геометрии вместо слова предмет говорят геометрическая фигура. Геометрическая фигура
(или кратко: фигура
) — это мысленный образ реального предмета, в котором сохраняются только форма и размеры, и только они принимаются во внимание.

Геометрические фигуры разделяют на плоские
и пространственные
. В планиметрии рассматриваются только плоские фигуры. Плоской геометрической фигурой называется такая, все точки которой лежат на одной плоскости. Представление о такой фигуре даёт любой рисунок, сделанный на листе бумаги.

Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны, например, треугольник, квадрат, окружность и др.:

Часть любой геометрической фигуры (кроме точки), также является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур, тоже будет являться геометрической фигурой. На рисунке ниже левая фигура состоит из квадрата и четырёх треугольников, а правая фигура состоит из окружности и частей окружности.

Раиса Баландина

«Объемные геометрические фигуры»

Конспект НОД в подготовительной группе на тему
:

«Объемные геометрические фигуры
»
.

Задачи
:

Упражнять в счёте в пределах 20 в прямом и обратном порядке

Закрепить знания о последовательности дней недели, времён года

Закрепить представления детей о геометрических фигурах

НОД занятия.

Ребята, посмотрите, сегодня утром я шла в детский сад и встретила почтальона. Он мне дал вот такое интересное письмо. Его прислал Буратино. Он уже ходит в школу. Вот,что он пишет
:

«Дорогие ребята! Для того чтобы хорошо учиться в школе, надо много знать, уметь, думать, догадываться. А также решать необычные задачи, выполнять задания на смекалку и сообразительность. Вот мне и задали такие задания, а я затрудняюсь их выполнить. Помогите мне, пожалуйста».

Ребята, давайте поможем Буратино.

1 задание.Ответьте на вопросы
:

Какое время года сейчас? (Весна)

Назовите весенние месяцы

Какой месяц сейчас идёт? (март)

Сколько дней в недели? (семь)

Назови их;

Какой сегодня день недели? (вторник)

Какой четверг по счету? (четвертый)

Вчера какой был день недели?

Завтра какой будет день недели?

2 задание.

Ребята, Буратино, не может выполнить следующее задание.Давайте ему поможем
:

Какой бывает счет? (прямой и обратный)

Считай от 10 до 20;

Считай от 20 обратно;

Назови число меньше пятнадцати;

Назови соседа 11 и 14;

Сравни числа 16 и 18;

Сравни числа 15 и 15;

3 задание.

Воспитатель
: А сейчас мы будем работать с карточкой, которую прислал Буратино. Вы должны рассказать, где и как расположены фигуры
.

Воспитатель
: — Где находиться прямоугольник?

Ребенок
: — Прямоугольник находится посередине.

Воспитатель
: — Где находится овал?

Ребенок
: — Овал находится справа от прямоугольника

Воспитатель
: — Где находится круг?

Ребенок
: — Круг находится внизу, под прямоугольником

Воспитатель
: — Где находится квадрат?

Ребенок
: — Квадрат находится слева от прямоугольника

Воспитатель
: — Где находится треугольник?

Ребенок
: — Треугольник находится сверху, над прямоугольником.

Физминутка.

Поработали, ребятки,

А теперь все на зарядку!

Столько раз ногою топнем (показываю цифру 6)

Столько раз руками хлопнем (показываю цифру 10)

Мы присядем столько раз (показываю цифру 7)

Мы наклонимся сейчас (показываю цифру 4)

Мы подпрыгнем ровно столько (показываю цифру 8)

Ай да счёт! Игра и только.

4 задание.

На столе перед детьми расположены объёмные геометрические фигуры
(шар, куб, цилиндр, конус)

— Следующее задание
: Дети что это? Какие фигуры
? Сколько их? Какая фигура стоит первой
? Второй? Третьей? Какая стоит последней?

Воспитатель
: Ребята, а вы знаете, что геометрические фигуры можно нарисовать
, начертить в тетради, вырезать из цветной бумаги. А еще их можно выложить из счетных палочек. И не одну, а сразу несколько. Давайте попробуем.

А)- отсчитайте три палочки и сделайте треугольник

Отсчитайте еще две палочки и сделайте еще один треугольник

Сколько треугольников получилось? (два)

Сколько палочек вы отсчитали?

Б)- отсчитайте четыре палочки и сделайте квадрат.

Отсчитайте еще три палочки и сделайте еще один квадрат

Какая фигура у вас получилась
? (прямоугольник)

Сколько четырехугольников получилось? (три)

А сколько многоугольников получилось? (три)

Назовите их (два квадрата и один многоугольник)

На какие делятся геометрические фигуры
? (объёмные и плоские)

Чем они отличаются друг от друга? (плоские можно расположить на плоскости, а объёмные нет)
.

Мы сейчас с вами выкладывали на столе объемные или плоские фигуры
?

А сейчас мы с вами сделаем из палочек и пластилина фигуру
, которая состоит из нескольких… а чего? Вы узнаете,отгадав загадку
:

Три вершины в нем видны,

Три угла, три стороны,

С ним знаком даже дошкольник

Ведь фигура –
(треугольник)
.

Ребята, как называется фигура
, которая состоит из нескольких треугольников? (пирамида)

Давайте, сделаем из пластилина и счетных палочек пирамиду.

5 задание.

Ребята, Буратино говорит, что вы уже устали — давайте поиграем. Эта игра — испытание «Верно-неверно»
— поможем исправить ошибки, которые Буратино специально кое-где оставил.

Если вы услышите то, что считаете правильным, хлопайте в ладоши, если же то, что не правильно – покачайте головой

Утром солнышко встает; (верно)

По утрам нужно делать зарядку; (верно)

Нельзя умываться по утрам; (неверно)

Днем ярко светит луна; (неверно)

Утром дети идут в детский сад; (верно)

Ночью люди обедают; (неверно)

Вечером вся семья собирается дома; (верно)

В неделе 7 дней; (верно)

За понедельником следует среда; (неверно)

После субботы идет воскресение; (верно)

Перед пятницей стоит четверг; (верно)

Всего 5 времен года; (неверно)

Весна наступает после лета; (неверно)
.

8 задание. А теперь Буратино приготовил вам графический диктант. Вы должны нарисовать один из признаков (явлений весны)
.

Дети, поставьте карандаш на выделенную точку и рисуйте по клеткам.

Посмотрите и сравните получившийся у вас рисунок с образцом.

Молодцы, ребята!

Итог занятия.

Вот и выполнили вы все задания Буратино. Что же мы сегодня нового узнали? Какие задания с вами выполняли? Какие задания были трудными?

Буратино благодарит вас за помощь.

Тема урока

Геометрические фигуры

Что такое геометрическая фигура

Геометрические фигуры – это совокупность множества точек, линий, поверхностей или тел, которые расположены на поверхности, плоскости или пространстве и формирует конечное количество линий.

Термин «фигура» в какой-то степени формально применяется к множеству точек, но как правило фигурой принято называть такие множества, которые расположенные на плоскости и ограничиваются конечным числом линий.

Точка и прямая — это основные геометрические фигуры, расположенные на плоскости.

К самым простым геометрическим фигурам на плоскости принадлежат — отрезок, луч и ломаная линия.

Что такое геометрия

Геометрия – это такая математическая наука, которая занимается изучением свойств геометрических фигур. Если дословно перевести на русский язык термин «геометрия», то он обозначает «землемерие», так как в стародавние времена основной задачей геометрии, как науки, стало измерение расстояний и площадей на поверхности земли.

Практическое применение геометрии бесценно во все времена и независимо от профессии. Без знаний геометрии не может обойтись ни рабочий, ни инженер, ни архитектор и даже художник.

В геометрии есть такой раздел, который занимается изучением различных фигур на плоскости и называется планиметрия.

Вам уже известно, что фигурой называют произвольное множество точек, находящиеся на плоскости.

К геометрическим фигурам принадлежат: точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, квадрат, круг и другие фигуры, которые изучает планиметрия.

Точка

Из выше изученного материала вам уже известно, что точка относится к главным геометрическим фигурам. И хотя это самая малая геометрическая фигура, но она необходима для построения других фигур на плоскости, чертеже или изображении и является основой для всех остальных построений. Ведь построение более сложноватых геометрических фигур складывается из множества точек, характерных для данной фигуры.

В геометрии точки обозначают прописными буквами латинского алфавита, например, такими, как: А, В, С, D ….

А теперь подведем итог, и так, с математической точки зрения, точка является таким абстрактным объектом в пространстве, который не имеет объема, площади, длины и других характеристик, но остается одним из фундаментальных понятий в математике.
Точка – это такой нульмерный объект, которые не имеет определения. По определению Евклида, точкой называют то, что невозможно определить.

Прямая

Как и точка, прямая относится к фигурам на плоскости, которая не имеет определения, так как состоит из бесконечного множества точек, находящихся на одной линии, которая не имеет ни начала ни конца. Можно утверждать, что прямая линия бесконечна и не имеет предела.

Если же прямая начинается и заканчивается точкой, то она уже не является прямой и называется отрезком.

Но иногда прямая, с одной стороны имеет точку, а с другой нет. В таком случае прямая превращается в луч.

Если же взять прямую и на ее средине поставить точку, то она разобьет прямую на два противоположно направленных луча. Данные лучи являются дополнительными.

Если же перед вами несколько отрезков, соединенных между собой так, что конец первого отрезка становиться началом второго, а конец второго отрезка — началом третьего и т. д., и эти отрезки находятся не на одной прямой и при соединении имеют общую точку, то такая цепочка является ломаной линией.

Задание

Какая ломаная линия называется незамкнутой?
Как обозначается прямая?
Как называется ломаная линия, у которой четыре замкнутых звена?
Какое название имеет ломаная линия с тремя замкнутыми звеньями?

Когда конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом 1-го отрезка, то такую ломаную линию называют замкнутой. Примером замкнутой ломаной является любой многоугольник.

Плоскость

Как точка и прямая, так и плоскость является первичным понятием, не имеет определения и у нее нельзя увидеть ни начала, ни конца. Поэтому, при рассмотрении плоскости, мы рассматриваем только ту ее часть, которая ограничивается замкнутой ломаной линией. Таким образом, плоскостью можно считать любую гладкую поверхность. Этой поверхностью может быть лист бумаги или стола.

Угол

Фигура, которая имеет два луча и вершину, называется углом. Место соединения лучей, является вершиной этого угла, а его сторонами считаются лучи, которые этот угол образуют.

Задание:

1. Как в тексте обозначают угол?
2. Какими единицами можно измерить угол?
3. Какие бывают углы?

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

Прямоугольник, квадрат и ромб являются частными случаями параллелограмма.

Параллелограмм, имеющий прямые углы равные 90 градусам, является прямоугольником.

Квадрат — это тот же параллелограмм, у него и углы и стороны равны.

Что до определения ромба, то это такая геометрическая фигура, все стороны которого равны.

Кроме того, следует знать, что любой квадрат является ромбом, но не каждый ромб может быть квадратом.

Трапеция

При рассмотрении такой геометрической фигуры, как трапеция, можно сказать, что в частности она, как и четырехугольник имеет одну пару параллельных противолежащих сторон и является криволинейной.

Окружность и круг

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Треугольник

Также к простым геометрическим фигурам принадлежит и уже изучаемый вами треугольник. Это один из видов многоугольников, у которого часть плоскости ограничена тремя точками и тремя отрезками, которые соединяют эти точки попарно. Любой треугольник имеет три вершины и три стороны.

Задание:
Какой треугольник называют вырожденным?

Многоугольник

К многоугольникам относятся геометрические фигуры разных форм, у которых замкнутая ломаная линия.

В многоугольнике все точки, которые соединяют отрезки, являются его вершинами. А отрезки, из которых состоит многоугольник, являются его сторонами.

А известно ли вам, что возникновение геометрии уходит в глубину веков и связано с развитием различных ремесел, культуры, искусства и наблюдением за окружающим миром. Да и название геометрических фигур является тому подтверждением, так как их термины, возникли не просто так, а благодаря своей схожести и подобию.

Ведь термин «трапеция» в переводе с древнегреческого языка от слова «трапезион» обозначает столик, трапеза и другие производные слова.

«Конус» произошел от греческого слова «конос», что в переводе звучит, как сосновая шишка.

«Линия» имеет латинские корни и происходит от слова «линум», в переводе это звучит, как льняная нить.

А знаете ли вы, что если взять геометрические фигуры с одинаковым периметром, то среди них обладателем самой большой площади оказался круг.

ТЕМА 19. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ СВОЙСТВА

Содержание

1. Понятие геометрической фигуры.

2. Углы.

3. Параллельные и перпендикулярные прямые.

4. Треугольники.

5. Четырехугольники.

6. Многоугольники.

7. Окружность и круг.

8. Построение геометрических фигур на плоскости.

9. Преобразования геометрических фигур. Понятие преобразования

Основная литература [4, 5, 13, 14, 15, 28, 29, 34];

Дополнительная литература [13, 49, 51, 65, 68, 75, 76, 78, 85]

Понятие геометрической фигуры

Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.

Отрезок, прямая, круг, шар — геометрические фигуры.

Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской.

Например, отрезок, прямоугольник — это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.

Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множества, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.

Например, объединением двух лучей АВ и МК (рис. 1) является прямая КВ, а их пересечение есть отрезок АМ.

К А М В


Рис. 1

Различают выпуклые и невыпуклые фигуры.

Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.

Фигура F1, изображенная на рисунке 2, выпуклая, а фигура F2 невыпуклая.

F2

X

 

Y

 

 


Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок, точка. Нетрудно убедиться в том, что выпуклой фигурой является круг (рис. 3). Если продолжить отрезок XY до пересечения с окружностью, то получим хорду АВ. Так как хорда содержится в круге, то отрезок XY тоже содержится в круге и, значит, круг — выпуклая фигура.

Для многоугольников известно другое определение: многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.

Так как равносильность этого определения и данного выше для многоугольника доказана, то можно пользоваться и тем, и другим.

Основываясь на этих понятиях, рассмотрим другие геометрические фигуры, изучаемые в школьном курсе планиметрии. Рассмотрим их определения и основные свойства, принимая их без доказательства. Знание этого материала и умение применять к решению несложных геометрических задач является той основой, на которой можно строить методику обучения младших школьников элементам геометрии.

Углы

Напомним, что угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Лучи называются сторонами угла, а их общее начало — его вершиной.

Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и две точки на сторонах угла: ÐА, Ð(k,l), ÐАВС.

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.

Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым.

Кроме понятия угла, данного выше, в геометрии рассматривают понятие плоского угла.

Плоский угол — это часть плоскости, ограни­ченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки.

Углы, которые рассматривают в планиметрии, не превосходят развернутого.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Сумма смежных углов равна 180°. Справедливость этого свойства вытекает из определения смежных углов.


Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. Углы АОВ и СОВ, а также углы АОС и D0В — вертикальные (рис. 4).

Узнать еще:

Тема 19. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства

Содержание

  1. Понятие
    геометрической фигуры.

  2. Углы.

  3. Параллельные
    и перпендикулярные прямые.

  4. Треугольники.

  5. Четырехугольники.

  6. Многоугольники.

  7. Окружность
    и круг.

  8. Построение
    геометрических фигур на плоскости.

9.
Преобразования геометрических фигур.
Понятие преобразования

Основная
литература
4,
5, 13, 14, 15, 28, 29, 34;

Дополнительная
литература
13,
49, 51, 65, 68, 75, 76, 78, 85

1. Понятие геометрической фигуры

Геометрическую
фигуру

определяют как любое множество точек.

Отрезок,
прямая, круг, шар

— геометрические фигуры.

Если
все точки геометрической фигуры
принадлежат одной плоскости, она
называется плоской.

Например,
отрезок, прямоугольник — это плоские
фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся
плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.

Так
как понятие геометрической фигуры
определено через понятие множества, то
можно говорить о том, что одна фигура
включена в другую (или содержится в
другой), можно рассматривать объединение,
пересечение и разность фигур.

Например,
объединением двух лучей АВ
и МК
(рис.
1) является прямая КВ,
а их пересечение есть отрезок АМ.

К А М
В

Рис.
1

Различают
выпуклые и невыпуклые фигуры.

Фигура
называется выпуклой,
если она вместе с любыми двумя своими
точками содержит также соединяющий их
отрезок.

Фигура
F1,
изображенная на рисунке 2, выпуклая, а
фигура F2

невыпуклая.

F2

X

Y

Выпуклыми
фигурами являются плоскость, прямая,
луч, отрезок, точка. Нетрудно убедиться
в том, что выпуклой фигурой является
круг (рис. 3). Если продолжить отрезокXY
до
пересечения с окружностью, то получим
хорду АВ.
Так
как хорда содержится в круге, то отрезок
XY
тоже содержится в круге и, значит, круг

выпуклая
фигура.

Для
многоугольников известно другое
определение: многоугольник
называется выпуклым, если он лежит по
одну сторону от каждой прямой, содержащей
его сторону
.

Так
как равносильность этого определения
и данного выше для многоугольника
доказана, то можно пользоваться и тем,
и другим.

Основываясь
на этих понятиях, рассмотрим другие
геометрические фигуры, изучаемые в
школьном курсе планиметрии. Рассмотрим
их определения и основные свойства,
принимая их без доказательства. Знание
этого материала и умение применять к
решению несложных геометрических задач
является той основой, на которой можно
строить методику обучения младших
школьников элементам геометрии.

2. Углы

Напомним,
что угол
— это геометрическая фигура, которая
состоит из точки и двух лучей, исходящих
из этой точки.

Лучи
называются сторонами угла, а их общее
начало — его вершиной.

Угол
обозначают по-разному: указывают либо
его вершину, либо его стороны, либо три
точки: вершину и две точки на сторонах
угла: А,
(k,l),
АВС.

Угол
называется развернутым,
если его стороны лежат на одной прямой.

Угол,
составляющий половину развернутого
угла, называется прямым.
Угол, меньший прямого, называется острым.
Угол, больший прямого, но меньший
развернутого, называется тупым.

Кроме
понятия угла, данного выше, в геометрии
рассматривают понятие плоского угла.

Плоский
угол — это часть плоскости, ограни­ченная
двумя различными лучами, исходящими из
одной точки.

Углы,
которые рассматривают в планиметрии,
не превосходят развернутого.

Два
угла называются смежными,
если у них одна сторона общая, а другие
стороны этих углов являются дополнительными
полупрямыми.

Сумма
смежных углов равна 180
°.
Справедливость
этого свойства вытекает из определения
смежных углов.

Два
угла называютсявертикальными,
если стороны одного угла являются
дополнительными полупрямыми сторон
другого. Углы АОВ и СОВ, а также углы АОС
и D0В
— вертикальные (рис. 4).

Вертикальные
углы равны.

Справедливость
этого свойства вытекает из определения
верти­кальных углов и свойства смежных
углов.

Какие геометрические фигуры простейшие?

К простейшим геометрическим фигурам относятся точка, прямая, отрезок, луч, полуплоскость и угол.

Даже среди простейших фигур выделяется самая простейшая — это точка. Все остальные фигуры состоят из множества точек. В геометрии принято обозначать точки прописными (большими) латинскими буквами. Например, точка A, точка L.

Прямая — это бесконечная линия, на которой если взять две любые точки, то кратчайшее расстояние между ними будет проходить как раз по этой прямой. Прямые чаще всего обозначают одной строчной (маленькой) латинской буквой. Например, прямая a, прямая b. Однако в некоторых случаях и двумя большими. Например, прямая AB, прямая CD.

Отрезок — это часть прямой вместе с ограничивающими эту часть точками. То есть отрезок состоит из двух точек, лежащих на прямой, и участка этой прямой между этими двумя точками. Точки отрезка называют концами отрезка. Понятно, что две точки не должны совпадать, то есть лежать в одном и том же месте на прямой. Иначе отрезок будет иметь нулевую длину и по-сути будет точкой. Обозначают отрезки двумя большими буквами, которыми обозначаются концы отрезка. Например, если концами отрезка будут точки A и B, то отрезок будет обозначен как AB.

Если прямая поделена на две части одной точкой, то на ней можно выделить два луча. Один исходит из точки в одну сторону, а другой в другую. Таким образом, если отрезок ограничен с обоих концов, то луч только с одной, а другая сторона луча бесконечна, как у прямой. Обозначают лучи также как и прямые: либо одной маленькой буквой, либо двумя большими.

Полуплоскость — это часть плоскости, лежащая с той или иной стороны от прямой. Отсюда следует, что прямая делит плоскость на две полуплоскости, а сама является их границей.

Угол, состоит из точки и отходящих от нее двух лучей. Такое понятие угла близко к тому, как выше было введено понятие о луче: точка делит прямую на два луча. Но в том случае речь шла о том, что оба луча лежат на одной прямой. А здесь это далеко не обязательно. Два луча могут принадлежать разным прямым, главное — это то, что точка, из которой они исходят, является для них общей. Эта точка называется вершиной угла, в то время как лучи называются сторонами угла.

Углы обозначают по-разному — одной буквой, двумя, тремя. Но всегда перед ними стоит знак ∠ (угол). Например ∠ABC, ∠B, ∠ac.

Реферат на тему: Геометрические фигуры.

Башантинский колледж имени Ф.Г.Попова (филиал)

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего образования

«Калмыцкий государственный университет имени Б.Б. Городовикова»

Реферат на тему:

Геометрические фигуры.

Выполнила студентка

Специальности 44.02.02

Преподавание в начальных

классах углубленной подготовки

3 курса 231 группы

Боденова Валерия Сергеевна

Руководитель: преподаватель

Абушинова Татьяна Анатольевна

Оценка____________________

Городовиковск, 2020

Содержание

Введение…………………………………………………………………………3

1.Основные геометрические понятия…………………………………………4

1.1.Точка…………………………………………………………………………4

1.2.Прямая………………………………………………………………………4

2.Параллелограмм………………………………………………………………6

3.Трапеция………………………………………………………………………7

4.Окружность……………………………………………………………………8

5.Треугольник…………………………………………………………………10

5.1.Теоремы треугольника……………………………………………………11

5.2.Признаки треугольника. ………………………………………………….11

5.3.Прямоугольный треугольник…………………………………………….11

5.4. История изучения треугольника…………………………………………12

6.Многоугольник………………………………………………………………14

7. Многранники. Виды многранников……………………………………….15

7.1.Призма……………………………………………………………………..15

7.2.Параллелепипед……………………………………………………………15

7.3.Пирамида…………………………………………………………………..15

7.4.Цилиндр……………………………………………………………………16

7.5.Конус……………………………………………………………………….16

7.6. Сфера и шар………………………………………………………………16

7.7. Двойной квадрат…………………………………………………………17

7.8. Восьмиугольные звезды………………………………………………….17

8. «Золотое сечение»………………………………………………………….18

Заключение…………………………………………………………………….19

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ………………………..20

ВВЕДЕНИЕ

Геометрия — наука, давшая людям возможность находить площади и объемы, правильно чертить проекты зданий и машин. Таким образом, она является основной частью «фундамента», на котором строится другое не менее важное направление деятельности человека — архитектура.

Цель – показать необходимость изучения этой науки (геометрии), которая дает возможность понять, а также рассмотреть значение геометрических законов и закономерностей, их практическое применение при проектировании и постройке сооружений.

Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений. Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D …. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d ….

1.Основные геометрические понятия. 

Основные геометрические понятия возникли еще в доисторические времена. Наблюдая за формами растений и животных, гор и извилинами рек, за особенностями ландшафта и далекими планетами, человек заимствовал у природы ее правильные формы, размеры и свойства. Материальные потребности побуждали человека строить жилища, изготавливать орудия труда и охоты, лепить из глины посуду и прочее. Все это постепенно способствовало тому, что человек пришел к осознанию основных геометрических понятий. Одним из первых достижений абстрактного мышления древнего человека стало понимание прямой линии.

1.1.Точка.

Точки (пункты) на геометрических чертежах и рисунках обозначают прописными буквами латинского алфавита, а прямые — строчными.
Следует напомнить, что линия будь то прямая или кривая состоит из бесчисленного множества точек. Поэтому справедливы выражения: «Точка А лежит на прямой l » или «прямая l проходит через точку В».
Прямая бесконечна. Однако на рисунках мы изображаем лишь часть прямой, при этом не забываем, что она бесконечна.

Прямая не проходит через точку, если точка не принадлежит ей.

1.2. Прямая.

Пряма́я — одно из фундаментальных понятий геометрии.
При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии (евклидовой).Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками. Аналитически прямая задаётся уравнением (в трёхмерном пространстве — системой уравнений) первой степени.

К основным свойствам прямой относятся:

Черед две различные точки проходит одна единственная прямая. Следовательно две прямые не могут иметь более одной общей точки.

Две разные прямые, имеющие общую точку, пересекаются в ней. В связи с тем, что две точки определяют прямую, проходящую через них, прямую обозначают сочетанием букв, к примеру, прямая АВ, прямая PQ.

Точка М, лежащая на прямой а, разбивает её на две части. Каждая из которых называется полупрямой или лучом. Точка М служит началом каждого их этих лучей. Две точки М и N разбивают прямую на три части: два луча МР и NQ и отрезок MN.

Прямая разбивает плоскость на 2 части. Часть плоскости лежащая по одну сторону от этой прямой, называется полуплоскостью.

Если прямые не имеют общих точек, говорят, что они параллельны.

Если две прямые имеют одну общую точку, говорят, что они пересекаются в этой точке.

Две прямые в трёхмерном евклидовом пространстве скрещиваются, если не существует плоскости, их содержащей. Иначе говоря, две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными.

2. Параллелограмм.

Параллелограмм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — черта, линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Признаки параллелограмма:
Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:
1. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырёхугольник — параллелограмм
2. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм
3. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.
Теорема. Если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.
Теорема. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.

3.Трапеция.

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда», отсюда русское — трапеза (застолье)) — четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Две параллельные стороны называются основанием трапеции, а две другие — это боковые стороны.
Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Основные свойства:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.

В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.
Свойства равнобедренной трапеции.

Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.

В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

4.Окружность.

Окружность – это плоская замкнутая линия, все точки  которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой  точки (точки О), которая называется центром окружности.
(Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.)
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Точка О также называется центром круга. Расстояние от точки окружности до её центра, а также отрезок, соединяющий центр окружности с её точкой, называется радиусом окружности/круга.

Хорда — греческое — струна, стягивающая что-то
Диаметр — «измерение через»
Углы могут встречаться во все более возрастающем количестве, приобретать, соответственно, все больший разворот – пока не исчезнут окончательно и плоскость не станет кругом. Это очень простой и одновременно очень сложный случай, о котором мне хотелось бы поговорить подробно. Здесь необходимо отметить, что как простота, так и сложность обусловлены отсутствием углов. Круг прост, поскольку давление его границ, в сравнении с прямоугольными формами, нивелировано – различия здесь не так велики. Он сложен, поскольку верх неощутимо перетекает в левое и правое, а левое и правое – в низ.

В Древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно, в каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это свойство окружности сделало возможным возникновение колеса, поскольку ось и втулка колеса должны все время быть в соприкосновении. В школе изучается много полезных свойств окружности. Одной из самых красивых теорем является следующая: проведем через заданную точку прямую, пересекающую заданную окружность, тогда произведение расстояний от этой точки до точек пересечения окружности с прямой не зависит от того, как именно была проведена прямая. Этой теореме около двух тысяч лет. Эта фигура получается, если провести дуги окружностей с центрами в вершинах равностороннего треугольника, соединяющие две другие вершины. Если провести к этой фигуре две параллельные касательные, то расстояние между ними будет равно длине стороны исходного равностороннего треугольника, так что такие катки ничем не хуже круглых. В дальнейшем были придуманы и другие фигуры, способные выполнять роль катков.

У каждого треугольника имеется, и притом единственная, окружность девяти точек. Это окружность, проходящая через следующие три тройки точек, положение которых определено для треугольника : основания его высот D1 D2 и D3, основания его медиан D4, D5 и D6 середины D7, D8 и D9 отрезков прямых от точки пересечения его высот Н до его вершин. Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали этого учителя Карл Фейербах (он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха). Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это -точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида. Одна из этих окружностей вписанная, остальные три — вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек D10, D11, D12 и D13 называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек. Окружность эту очень легко построить, если знать два ее свойства. Во-первых, центр окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной около треугольника окружности с точкой Н- его ортоцентром (точка пересечения его высот). Во-вторых, ее радиус для данного треугольника равен половине радиуса описанной около него окружности.

5.Треугольник.

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.
Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла.

Вершины — три точки А, В и С. Стороны — отрезки АВ, ВС и СА.
Углы — ∟ ВАС, ∟ СВА и ∟ АСВ.
Периметр треугольника — сумма длин трех сторон треугольника.

Медиана треугольника (m)— отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Биссектриса треугольника (b) — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Высота треугольника (h)— перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.

Теорема. Сумма углов треугольника 180°. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

В треугольнике:

1) против большей стороны лежит больший угол.

2) против большего угла лежит большая сторона.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета

Классификация треугольников по углам. В треугольнике может быть только один тупой угол. В треугольнике может быть только один прямой угол. По сторонам.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.

5.1. Теоремы треугольника.

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Равносторонний треугольник — все стороны и углы равны.

Если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы.

5.2.Признаки треугольника.

ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам  другого треугольника, то такие треугольники равны.

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

5.3.Прямоугольный треугольник.

ГИПОТЕНУЗА — сторона прямоугольного треугольника, лежащая прготив прямого угла.  (греческое «гипо» — под, снизу, внизу, «тейнейн» — натягивать (тетеву лука)).
КАТЕТ — одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол. Название «катет» происходит от греческого káthetos — перпендикуляр, опущенный, отвесный. Название также встречается в архитектуре и означает отвес через средину задка ионической капители.

СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

• Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
• Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
• Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету.

5.4. История изучения треугольника.

Треугольник — это простейшая фигура: три стороны и три вершины. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений. Землемеры при своих вычислениях площадей земельных участков и астрономы при нахождении расстояний до планет и звезд используют свойства треугольников. Так возникла наука тригонометрия — наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы. Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника: достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Правда, верную формулу для площади треугольника удалось найти не сразу. В одном египетском папирусе 4000-летней давности говорится, что площадь равнобедренного треугольника равна произведению половины основания на боковую сторону (а не на высоту).
Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника ведется очень активно. Пифагор открывает свою теорему. Герон Александрийский находит формулу, выражающую площадь треугольника через его стороны; становится известным, что биссектрисы, как меридианы и высоты, пересекаются в одной точке.
Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV-XVI веках. Вот одна из красивейших теорем того времени, принадлежащая Леонарду Эйлеру: «Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения, лежат, на одной окружности». Эта окружность получила название «окружности девяти точек». Ее центр оказался в се-редине отрезка, соединяющего точку пересечения высот с центром описанной окружности.
Император Франции Наполеон свободное время посвящал занятиям математикой. Ему приписывает такую красивую, с теорему: «Если на  сторонах треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего треугольника». Этот треугольник называется внешним треугольником Наполеона. » Аналогично строится и внутренний треугольник Наполеона.
Огромное количество работ по геометрии треугольника, проведенное в XY-XIX веках, создало впечатление, что о треугольнике уже известно все.
Тем удивительнее было открытие, сделанное американским математиком Франком Морли. Он доказал, что если в треугольнике провести через вершины лучи, делящие углы на три равные части, то точки пересечения смежных трисектрис углов  являются вершинами равностороннего треугольника (1899).

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.

6.Многоугольник.

Многоугольник — фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
Точки А, В, С, D, Е… — вершины многоугольника. Отрезки АВ, ВС, CD, DE, ЕА,… — стороны многоугольника.
Периметр многоугольника (гречечкое пери — вокруг, около) — сумма длин всех сторон.
Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон.
Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.
Диагональ многоугольника (греческое dia — через, gonia — угол, т.е. проходящая через углы) — отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

Многоугольник называется выпуклым:

1) если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины

2) если вместе с любыми своими 2 точками он содержит и соединяющий их отрезок.

Сумма углов выпуклого п-угольника равна (n- 2) 180°.

Многоугольником может называться замкнутая ломаная с самопресечениями и правильные звёздчатые многоугольники.

Площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

Свойства площадей:

1) равные многоугольники имеют равные площади;

2) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;
3) площадь квадрата равна квадрату его стороны.

7. Многранники. Виды многранников

В современном мире нас окружает множество построек состоящих из сложных геометрических фигур, большинство из которых являются многогранниками. Примеров тому очень много, достаточно посмотреть по сторонам и мы заметим что здания, в которых мы живём, магазины, в которые ходим, школы и детские сады и т.д. представлены в виде многогранников.

7.1.Призма

Призма – это многогранник, две грани которой ABCDE и abcde ( основания призмы ) – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани ( AabB, BbcC и т.д. ) — параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой ( Aa, или Bb, или Cc и т.д. По основанию:

Треугольная призма

-Небоскрёб Flat Iron (Утюг) на пересечении Бродвея и Пятого Авеню. Построен в 1902 году. 21 этаж, 87 метров

-Здание университета

-Пентагон  — здание Министерства обороны США в форме пятиугольника. Находится в штате Вирджиния недалеко от Вашингтона.

-Наклонная призма – боковое ребро наклонено к основанию под углом отличны от 90є.

Прямая призма – боковое ребро расположено перпендикулярно к основанию.

7.2. Параллелепипед

Параллелепипед — призма, в основании которой находится параллелограмм.

Наклонный, Прямой, Прямоугольный – это прямой параллелепипед,

в основании которого прямоугольник.

Куб – это прямой параллелепипед,

все грани которого квадраты

7.3. Пирамида

Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n-угольник, а остальные “n” граней – треугольники, имеющие общую вершину.

-Университетский волейбольно-баскетбольный стадион в Калифорнии

В основании — Квадрат

-Торговый центр в Турции

7.4. Цилиндр.

Цилиндр – это тело, ограниченное частью замкнутой цилиндрической поверхности и частью двух плоскостей, параллельных между собой

Водонапорная башня в Минске, Нефтехранилища, Небоскреб в США

7.5. Конус

Конус — это геометрическое тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины и частью пересекающей её плоскости.

Как самостоятельные сооружения конусы в строительстве не используются. Практически всегда они составляют какую-то часть здания, например крыши и архитектурные украшающие детали.

Также в строительстве используют конические сваи.

7.6. Сфера и шар.

Сфера – это множество всех точек пространства, находящихся на положительном расстоянии R от данной точки О, называемой центром сферы.

Шар – это множество всех точек пространства, расстояние которых от данной точки не превосходит заданного положительного числа R. Шар получается при вращении полукруга относительно диаметра.

Части шара

Шаровой слой – это часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями.

Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него плоскостью.

ТРК Вояж, г. Санкт-Петербург, Здание в Париже (Франция)

Здание Национального Конгресса в США

Итак, при постройке, как современных зданий, так и зданий прошлых веков необходимы знания геометрии. Архитектурное формообразование с помощью геометрических построений сохраняется во всех случаях. Эта проблема стояла перед архитекторами прошлых веков, не исчезла она и сегодня.

7.7. Двойной квадрат

Два квадрата, сложенные вместе, образуют двойной квадрат. Сложив два двойных квадрата, получим квадрат, повторяющий своими очертаниями исходный квадрат. Это простое аддитивное свойство квадрата широко использовалось в архитектуре эпохи Возрождения.

7.8. Восьмиугольные звезды.

Использование восьмиугольных звезд в архитектурных конструкциях не вызывает никаких сомнений. Автором этого проекта является Леонардо да Винчи.

8. «Золотое сечение»

Золото́е сече́ние (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

«Золотое сечение» было известно архитекторам Возрождения, но они не использовали его достаточно эффективно как инструмент получения пропорций. «Золотое сечение» Лука Пачоли называл божественной пропорцией.

Методом пропорций пользовались итальянские архитекторы эпохи ренессанс.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для достижения нами поставленной цели были проделаны следующие задачи:

  1. Были выделены основные геометрические фигуры.

  2. Проведен эксперимент по исследованию наиболее часто употребляемых геометрических фигур в конструировании.

  3. Были выделены основные геометрические фигуры.

  4. Проведено наблюдение природных объектов с целью определения их геометрической формы.

  5. Проведен эксперимент на установление связи между геометрическими фигурами и природными объектами

В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

Человек постепенно сокращает число используемых геометрических форм, в частности в архитектуре, в пользу прямолинейных (кубов и
параллелепипедов), тем самым обедняя окружающий его мир.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.Энц. «Я познаю мир. Математика», 2006.
2. Энц. справочник юного математика, 1989.

3.http://geometry-and-art.ru/geomfig.html.
4.http://refy.ru/56/210964-geometricheskie-figury.html.

15

Геометрические формы и типы фигур

Что такое геометрических фигур на плоскости ? Какие у них характеристики? Это вопросы, на которые мы ответим в этом посте.

основных геометрических плоских форм :

Круг

Окружность — это форма, которую можно создать, отслеживая кривую, которая всегда находится на одинаковом расстоянии от точки, которую мы называем центром. Расстояние вокруг круга называется окружностью окружности.

Треугольник

Треугольник — это форма, образованная 3 прямыми линиями, которые называются сторонами. Существуют разные способы классификации треугольников по их сторонам или углам.

  1. По углам:
  • Прямой треугольник: наибольший из трех углов — прямой.
  • Острый треугольник: самый большой из трех углов — это острый угол (менее 90 градусов).
  • Тупой треугольник: самый большой из трех углов — тупой угол (более 90 градусов).

2. По сторонам:

  • Равносторонний треугольник: все 3 стороны одинаковой длины.
  • Равнобедренный треугольник: у него 2 (или более) стороны равной длины. (Равносторонний треугольник тоже равнобедренный.)
  • Чешуйчатый треугольник: нет двух равных сторон.

Прямоугольник

Прямоугольник — это фигура, имеющая 4 стороны. Отличительной особенностью прямоугольника является то, что все четыре угла составляют 90 градусов.

Ромб

Ромб представляет собой форму, образованную 4 прямыми линиями. Его четыре стороны имеют одинаковую длину, но, в отличие от прямоугольника, любой из четырех углов составляет 90 градусов.

Площадь

Квадрат — это разновидность прямоугольника, но также разновидность ромба. У него есть характеристики обоих из них. То есть все 4 угла являются прямыми, а все 4 стороны равны по длине.

Трапеция

Трапеция также имеет 4 стороны. У него две стороны, которые параллельны, а две другие — нет.

Вы можете попрактиковаться с геометрическими плоскими формами, зарегистрировавшись в Smartick.

Подробнее:

Команда по созданию контента.
Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать максимально возможное математическое содержание.

Плоские формы | 2D-формы | Различные типы

Форму можно определить как границу или контур объекта. Плоская фигура — это двумерная замкнутая фигура, не имеющая толщины. Плоскость в геометрии — это плоская поверхность, уходящая в бесконечность во всех направлениях. Он имеет бесконечную ширину и длину, нулевую толщину и нулевую кривизну. На самом деле сложно представить себе самолет в реальной жизни, нет ничего, что можно было бы использовать в качестве реального примера геометрической плоскости. Мы можем видеть пример плоскости в координатной геометрии, где положение любой заданной точки на плоскости определяется с помощью упорядоченной пары чисел или координат.Координаты показывают правильное расположение точек на плоскости. Давайте узнаем о плоских формах подробнее.

Что такое открытые и закрытые формы?

Замкнутая фигура может состоять из прямых или изогнутых линий. В нем нет отверстия, тогда как открытая фигура состоит из прямых или изогнутых линий. Однако у него есть как минимум одно отверстие. Примеры закрытых и открытых фигур показаны на изображении ниже.

Стороны и углы фигур

Мы узнали, что такое плоскости и как они выглядят.Плоские формы бывают двухмерными, например квадраты, треугольники и круги. Прямые линии, образующие плоскую форму, называются сторонами. Точки пересечения двух сторон называются углами.

Чем отличаются 2D-формы?

Посмотрите на лист бумаги. Вы можете увидеть, какой он длины и ширины. Это 2 измерения, известные как длина и ширина. Двумерная форма не имеет глубины. 2D-фигуры — это замкнутые фигуры, которые создаются путем соединения прямых / изогнутых линий.
Распространенные 2D-формы:

Имя формы Количество сторон Количество углов Недвижимость

Площадь

4 4 Квадрат — это четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами.

Прямоугольник

4 4 Прямоугольник — это четырехугольник с двумя парами равных и параллельных противоположных сторон и четырьмя прямыми углами.

Круг

0 0 Круг образован набором точек, которые находятся на постоянном или фиксированном расстоянии (радиусе) от фиксированной точки (центра) на плоскости.

Треугольник

3 3 Треугольник — это замкнутая фигура или фигура с 3 сторонами, 3 углами и 3 вершинами.

Многоугольник

3 и более 3 сторон 3 или более углов Многоугольник — это замкнутая двумерная фигура с тремя или более прямыми линиями.

Овал

0 0 Овал не имеет прямой линии, угла или стороны.Это замкнутая форма из изогнутых линий.

Давайте узнаем о полигонах.

Что такое полигоны?

В геометрии многоугольник — это замкнутая двумерная фигура с тремя или более прямыми линиями. Греческое слово «Многоугольник» состоит из Poly, означающего «много», и gon, означающего «угол». Мы видим много разных многоугольников вокруг себя. Например, вы когда-нибудь видели соты? Можете ли вы в идеале угадать, сколько сторон может быть у соты? Соты имеют шестиугольную форму.Вы можете очень хорошо связать форму 6-стороннего многоугольника с сотами.

Типы полигонов подразделяются на три основные формы:

Посмотрите на несколько разных типов многоугольников, показанных на изображении ниже.

Важные примечания

  • Четырехугольники — это четырехсторонние замкнутые фигуры, состоящие из прямых линий.
  • Многоугольники — это замкнутые геометрические фигуры, состоящие из прямых линий. Они названы по количеству сторон, которые у них есть.

Связанные темы о плоских формах

Часто задаваемые вопросы о формах плоскостей

Круг — это многоугольник?

Многоугольник — это замкнутая форма, образованная прямыми линиями. Круг — это круглая форма, образованная изогнутыми линиями. Следовательно, круг не является многоугольником.

В чем разница между 2D и 3D фигурами?

2D-фигура имеет два измерения, тогда как 3D-фигура имеет три измерения — длину, ширину и высоту.

Когда к 2D-форме добавляется глубина, она становится?

Когда к 2D-фигуре добавляется глубина с длиной и шириной, она становится 3D-формой.

Сколько треугольников в Пентагоне?

Количество треугольников в пятиугольнике равно 35, когда все диагонали сформированы.

Какие бывают формы плоскости?

Основные формы плоскости — это треугольник, квадрат, прямоугольник, овал, круг и многоугольники.

Какая форма у транспортира?

Транспортир имеет форму полукруга с разметкой углов от 0 ° до 180 °. Есть еще один тип транспортира, с помощью которого мы можем измерять полные углы в 360 градусов.Он известен как угломер с углом обзора 360 градусов и имеет круглую форму.

Твердая сфера или плоская форма?

Сфера — это твердая форма, определенная в трехмерном пространстве. У него нет ребер или вершин (углов).

Плоская фигура

Плоская фигура — это геометрическая фигура без толщины. Он полностью лежит в одной плоскости. Ниже приведены примеры различных типов плоских фигур.

Плоская фигура может состоять из отрезков линий, кривых или их комбинации.Плоские фигуры часто делятся на открытые или закрытые

.

Открыть

Сегменты или кривые открытой фигуры не всегда связаны. По крайней мере, одна конечная точка одной стороны не подключена к остальной. Сегменты линий, кривые, углы и многие другие фигуры открыты.

Закрыт

Сегменты линии или кривые, образующие замкнутую фигуру, являются непрерывными, что означает отсутствие разрыва. Линии / кривые также должны образовывать замкнутую область, чтобы считаться замкнутой формой. У замкнутой фигуры есть площадь и периметр.Ниже приведены несколько примеров.

Замкнутые фигуры можно разделить на многоугольные плоские фигуры и неполигональные плоские фигуры.

Фигуры многоугольные плоские

Многоугольник — это замкнутая плоская фигура, образованная только отрезками прямых. Отрезки называются сторонами. У многоугольника не менее трех сторон. Существует множество классификаций полигонов; их часто классифицируют по количеству сторон многоугольника.

N-сторонний многоугольник называется n-угольником.

Неполигональные плоские фигуры

Если какая-либо сторона или часть плоской фигуры изогнута (не прямая), это не многоугольник. Два наиболее распространенных типа неполигональных плоских фигур, которые мы видим в геометрии, — это круг и эллипс.

Круг

Круг — это плоская фигура, образованная множеством всех точек на плоскости, которые равноудалены от заданной фиксированной точки, называемой центром.

Эллипс

Эллипс — это плоская фигура в форме овала.Обычно мы думаем об этом как о «сплющенном» или «растянутом» круге. На рисунке ниже показаны два эллипса.

Хотя круг и эллипс являются наиболее распространенными неполигональными плоскими фигурами, которые мы видим в геометрии, существует множество других. Пока любая сторона или часть плоской фигуры изогнута, это не полигональная плоская фигура.

Что такое плоские формы? — Определение и примеры — Видео и стенограмма урока

Квадрат и прямоугольник

Плоская фигура с четырьмя сторонами одинаковой длины и четырьмя прямыми углами называется квадратом.Вы можете видеть квадраты на шахматных досках, на клавишах клавиатуры, на стороне кубика Рубика или на кухонной плитке. Каждый раз, когда четырехгранная форма имеет равные стороны и прямые углы, это квадрат.

Плоская форма с четырьмя прямыми сторонами и четырьмя прямыми углами называется прямоугольником. Разница между квадратом и прямоугольником в том, что стороны прямоугольника не обязательно должны быть одинаковой длины. У листа бумаги две длинные стороны и две короткие стороны, так что это прямоугольник.

Круги

Подумайте о бумажной тарелке. Бумажная тарелка не имеет углов или даже сторон, потому что она продолжает вращаться. Это потому, что бумажная тарелка представляет собой круг. Круг — это плоская форма, у которой нет сторон и углов, потому что она идеально круглая.

Треугольники

Вы когда-нибудь ели Дорито или чипсы из тортильи? Доритос — это пример треугольника. Треугольник — это фигура с тремя сторонами и тремя углами. Стороны могут быть любой длины, если их всего три.

Octagon

Знаки остановки повсюду, и они помогают нам быть в безопасности. Это означает, что везде есть восьмиугольники. Восьмиугольники — это плоские формы с восемью сторонами и восемью углами.

Резюме урока

Плоская фигура — это плоская или двумерная форма, которая замкнута. Прямые линии, составляющие форму, — это стороны , где части, где две стороны сходятся вместе, — это углы . У квадрата четыре стороны и четыре угла, которые все одинаковы, а у прямоугольника также четыре стороны и четыре угла, но две стороны длинные, а две короткие.У круга нет сторон и углов, потому что он идеально круглый; у треугольника три стороны и три угла; и восьмиугольник имеет восемь сторон и восемь углов.

Введение в геометрию | SkillsYouNeed

Когда вы начинаете изучать геометрию, важно знать и понимать некоторые основные концепции.

Эта страница поможет вам понять концепцию размеров в геометрии и понять, работаете ли вы в одном, двух или трех измерениях.

Он также объясняет некоторые основные термины и указывает на другие страницы для получения дополнительной информации.

На этой странице представлены точки, линии и плоскости.

На других страницах этой серии рассказывается об углах и формах, включая многоугольники, круги и другие изогнутые формы, а также трехмерные формы.

Что такое геометрия?


Геометрия , н. та часть математики, которая рассматривает свойства точек, линий, поверхностей и твердых тел…


Словарь английского языка Чемберса, издание 1989 г.

Геометрия происходит от греческого слова «измерение земли» и представляет собой визуальное изучение форм, размеров и узоров, а также того, как они сочетаются друг с другом в пространстве.Вы обнаружите, что наши страницы геометрии содержат множество диаграмм, которые помогут вам понять предмет.

Когда вы сталкиваетесь с проблемой, связанной с геометрией, может быть очень полезно нарисовать диаграмму самостоятельно.


Работа с разными размерами

Нет, не континуум пространства-времени! Мы говорим о формах в одном, двух и трех измерениях.

То есть объекты, которые имеют длину (одно измерение), длину и ширину (два измерения) и длину, ширину и глубину или высоту (три измерения).

Очки: особый случай: без размеров

Точка — это отдельная точка в пространстве. Он часто представлен точкой на странице, но на самом деле не имеет реального размера или формы.

Вы не можете описать точку с точки зрения длины, ширины или высоты, поэтому она является безразмерной . Однако точку можно описать координатами. Координаты ничего не определяют о точке, кроме ее положения в пространстве по отношению к контрольной точке с известными координатами.Вы встретите координаты точек во многих приложениях, например, когда вы рисуете графики или читаете карты.

Практически все в геометрии начинается с точки, будь то линия или сложная трехмерная форма.

Линии: Одно измерение

Линия — кратчайшее расстояние между двумя точками. Он имеет длину, но не ширину, что делает его одномерным.

Везде, где встречаются или пересекаются две или более прямых, есть точка, и говорят, что эти две линии имеют общую точку:


Отрезки и лучи

Есть два типа линий: те, которые имеют определенную начальную и конечную точки, и те, которые продолжаются вечно.

Линии, которые перемещаются между двумя точками, называются сегментами . Они начинаются с определенной точки и переходят к другой, конечной точке. Как и следовало ожидать, они нарисованы как линия между двумя точками.

Второй тип линий называется луч , и они продолжаются вечно. Их часто проводят в виде линии, начинающейся от точки со стрелкой на другом конце:


Параллельные и перпендикулярные линии

Есть два типа линий, которые особенно интересны и / или полезны в математике. Параллельные линии никогда не пересекаются и не пересекаются. Они просто идут вечно бок о бок, как железнодорожные пути. Условием показа параллельности линий на диаграмме является добавление «перьев», которые выглядят как наконечники стрелок.

Перпендикулярные линии пересекаются под прямым углом, 90 °:


Плоскости и двумерные формы

Теперь, когда мы разобрались с одним измерением, пора перейти к двум.

Плоскость — это плоская поверхность, также известная как двумерная.Технически он неограничен, что означает, что он продолжается вечно в любом заданном направлении, и поэтому его невозможно нарисовать на странице.

Одним из ключевых элементов геометрии является количество измерений, с которыми вы работаете в любой момент времени. Если вы работаете в одной плоскости, то это либо одна (длина), либо две (длина и ширина). При наличии более чем одной плоскости он должен быть трехмерным, потому что высота / глубина также учитываются.

Двумерные фигуры включают многоугольники, такие как квадраты, прямоугольники и треугольники, у которых есть прямые линии и точки в каждом углу.

Более подробная информация о полигонах представлена ​​на нашей странице Polygons . Другие двумерные формы включают круги и любую другую форму, которая включает кривую. Вы можете узнать больше об этом на нашей странице Curved Shapes .

Три измерения: многогранники и изогнутые формы

Наконец, есть также трехмерных фигур , таких как кубы, сферы, пирамиды и цилиндры.

Чтобы узнать больше об этом, посетите нашу страницу Трехмерные фигуры .


Знаки, символы и терминология

Показанная здесь форма представляет собой неправильный пятиугольник, пятиугольный многоугольник с разными внутренними углами и длинами линий (подробнее об этих формах см. Нашу страницу о Многоугольники ).

Градусы ° являются мерой поворота и определяют величину угла между двумя сторонами.

Углы обычно обозначаются в геометрии с использованием сегмента окружности (дуги), если только они не являются прямым углом, когда они «возведены в квадрат».В данном примере угловые метки обозначены зеленым цветом. См. Нашу страницу о Angles для получения дополнительной информации.

Отметки (показаны оранжевым цветом) обозначают стороны фигуры одинаковой длины (стороны фигуры совпадают с или совпадают). Одиночные линии показывают, что две вертикальные линии имеют одинаковую длину, а двойные линии показывают, что две диагональные линии имеют одинаковую длину. Нижняя горизонтальная линия в этом примере отличается по длине от остальных 4 линий и поэтому не отмечена.Отметки также могут называться « штриховки ».

Вершина — это точка пересечения линий (линии также называются лучами или ребрами). Множественное число вершин — это вершины. В этом примере пять вершин помечены как A, B, C, D и E. Называть вершины буквами — обычное дело в геометрии.

В замкнутой форме, такой как в нашем примере, математическое соглашение гласит, что буквы всегда должны располагаться в порядке по часовой стрелке или против часовой стрелки.Нашу форму можно описать как «ABCDE», но было бы неправильно обозначать вершины так, чтобы форма была, например, «ADBEC». Это может показаться несущественным, но в некоторых сложных ситуациях важно избегать путаницы.

Символ угла ‘’ используется как сокращенный символ в геометрии при описании угла. Выражение ∠ABC является сокращением для описания угла между точками A и C в точке B. Средняя буква в таких выражениях всегда является вершиной угла, который вы описываете — порядок сторон не важен. ∠ABC совпадает с ∠CBA, , и оба описывают вершину B в этом примере.

Если вы хотите записать измеренный угол в точке B в сокращенном виде, вы должны использовать:

m∠ABC = 128 ° (m просто означает «мера»)

или

м∠CBA = 128 °

В нашем примере мы также можем сказать:

м∠EAB = 90 °

м∠BCD = 104 °


Почему эти концепции имеют значение?

Точки, линии и плоскости лежат в основе почти всех концепций геометрии.Углы образуются между двумя линиями, начинающимися от общей точки. Фигуры, двухмерные или трехмерные, состоят из линий, соединяющих точки. Плоскости важны, потому что двумерные формы имеют только одну плоскость; трехмерные их два и более.

Другими словами, вам действительно нужно понять идеи на этой странице, прежде чем вы сможете перейти к любой другой области геометрии.


Дополнительная литература по навыкам, которые вам нужны


Руководство по навыкам, которые вам нужны

Это руководство из четырех частей познакомит вас с основами математики от арифметики до алгебры с остановками на дробях, десятичных дробях, геометрии и статистике.

Если вы хотите освежить в памяти основы или помочь своим детям в учебе, эта книга для вас.


Plane Geometry — My ACT Guide

Plane Geometry ставит под сомнение такие понятия геометрии плоскости, как свойства и отношения плоских фигур.

Фигуры на плоскости включают треугольники; Круги; Прямоугольники; Параллелограммы; Трапеции; Углы, параллельные и перпендикулярные линии; Периметр, площадь и объем.

Свойства и отношения плоских фигур

Треугольники

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами и тремя углами. Если размеры всех трех углов в треугольнике одинаковы и все три стороны треугольника имеют одинаковую длину, тогда треугольник будет равносторонним треугольником . Если размеры двух углов и двух сторон треугольника одинаковы, то это равнобедренный треугольник .

Сумма внутренних углов в треугольнике всегда равна 180 °.Если мера одного из углов в треугольнике равна 90 ° (прямой угол), то треугольник будет прямоугольным треугольником . У некоторых прямоугольных треугольников есть уникальные отношения между углами и длинами сторон. Эти называются специальными прямоугольными треугольниками .

Периметр треугольника — это сумма длин сторон.

Площадь треугольника равна A = ½ (основание) (высота).

Для любого прямоугольного треугольника теорема Пифагора утверждает, что a 2 + b 2 = c 2 , где a и b — катеты (стороны), а c — гипотенуза.

Круги

Уравнение окружности с центром в точке (h, k): (x — h) 2 + (y — k) 2 = r 2 , где r — радиус окружности. Радиус круга — это расстояние от центра круга до любой точки на окружности. Диаметр круга в два раза больше радиуса.

Формула для окружности круга — C = 2πr, а формула для площади круга — A = πr 2 .

Прямоугольники

Прямоугольник — это многоугольник с двумя парами конгруэнтных параллельных сторон и четырьмя прямыми углами. Сумма углов в прямоугольнике всегда равна 360 °. Периметр прямоугольника равен P = 2l + 2w, где l — длина, а w — ширина.

Площадь прямоугольника равна A = lw. Длины диагоналей прямоугольника равны или равны. Квадрат — это особый прямоугольник, все четыре стороны которого имеют одинаковую длину.

Параллелограммы

Параллелограмм — это многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами, которые не являются прямыми углами. У параллелограмма два набора конгруэнтных сторон и два набора конгруэнтных углов.

Опять же, сумма углов параллелограмма равна 360 °. Периметр параллелограмма P = 2l + 2w. Площадь параллелограмма A = (основание) (высота). Высота — это расстояние сверху вниз. Ромб — это особый параллелограмм с четырьмя равными сторонами.

Трапеции

Трапеция — это многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами.Основания трапеции (верх и низ) никогда не бывают одинаковой длины. Стороны трапеции могут быть одинаковой длины (равнобедренная трапеция), а могут и не быть.

Периметр трапеции равен сумме длин сторон.

Площадь трапеции равна A = ½ (База 1 + База 2 ) (Высота). Высота — это расстояние между основаниями.

Диагонали равнобедренной трапеции имеют уникальную особенность. Когда диагонали трапеции пересекаются, отношение верха диагоналей к низу диагоналей такое же, как отношение верхнего основания к нижнему основанию.

Углы, параллельные и перпендикулярные линии

Углы можно разделить на острые, тупые или правые. Острый угол — это любой угол меньше 90 °. Тупой угол — это любой угол больше 90 ° и меньше 180 °. Прямой угол — это угол 90 °.

Когда две параллельные линии пересекаются перпендикулярной линией, образуются прямые углы. Когда две параллельные линии пересекаются трансверсалом , созданные углы имеют особые свойства. Каждая из параллельных линий, пересеченных поперечным сечением, имеет четыре угла, окружающие пересечение, которые совпадают по размеру и положению
с аналогом на другой параллельной линии.Вертикальные (противоположные) углы равны, а соседние углы — дополнительными; то есть сумма двух дополнительных углов составляет 180 °.

Периметр, площадь и объем

Периметр

Формулы для расчета периметра фигур, которые появляются в тесте ACT по математике, следующие:

Треугольник: сумма сторон

Прямоугольник и параллелограмм: 2l + 2w

Квадрат: 4s (s — длина стороны)

Трапеция: сумма сторон

Круг (окружность): 2р

Площадь

Формулы для расчета площади фигур, которые появляются в тесте по математике ACT, следующие:

Треугольник: ½ (основание) (высота)

Прямоугольник и квадрат: (длина) (ширина)

Параллелограмм: (Основание) (Высота)

Трапеция: ½ (основание 1 + основание 2 ) (высота)

Круг: πr 2

Объем

Формулы для расчета объема основных трехмерных фигур, которые появляются в тесте ACT по математике, следующие:

Прямоугольная коробка и куб: (длина) (ширина) (высота)

Сфера: 4/3 πr 3

Правый круговой цилиндр: πr 2 h (h — высота)

Правый круговой конус: 1/3 πr 2 h (h — высота)

Призма: (Площадь основания) (Высота)

Aplusmath: геометрические термины

Сегменты перпендикулярной линии два линейных сегмента, которые пересекаются, образуя углы 90 градусов
Прямой угол угол 90 градусов
Равносторонний треугольник треугольник со всеми сторонами равными и всеми углами равными
Чешуйчатый треугольник треугольник с тремя неравными сторонами и углами
Вершина точка пересечения двух сторон плоской фигуры
Правый треугольник треугольник с одним внутренним углом, равным 90 градусам
Пентагон многоугольник с 5 сторонами и 5 углами
Квадрат прямоугольник, у которого все четыре стороны равны по длине
Сегменты пересекающихся линий отрезки пересекающиеся друг с другом
Острый угол угол меньше 90 градусов, но больше 0 градусов
аккорд отрезок линии между двумя точками на заданной кривой
Радиус прямая линия, идущая от центра круга или сферы до окружности или поверхности
Линейный сегмент одна часть строки
Строка непрерывная протяженность
Путевая точка позиция в космосе
Параллелограмм четырехугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны друг другу

Примечание:
квадраты и прямоугольники тоже четырехугольники

Прямоугольник параллелограмм с четырьмя прямыми углами

Примечание:
квадрат — это тоже прямоугольник

Ромб равносторонний параллелограмм с косыми углами
Сегменты параллельной линии отрезки линии, которые не пересекаются
Четырехугольник многоугольник с четырьмя сторонами

Примечание:
квадраты, прямоугольники и трапеции тоже четырехугольники

восьмиугольник многоугольник, имеющий восемь углов и восемь сторон
Круг замкнутая плоская кривая, состоящая из всех точек на заданном расстоянии от точки внутри нее, называемой центром
Трапеция четырехугольная плоская фигура, имеющая две параллельные и две непараллельные стороны
Луч часть прямой линии, которая, как считается, начинается в точке на линии и продолжается в одном направлении от этой точки
Замкнутая кривая кривая, которая является непрерывной и имеет концы, которые встречаются в одной точке
Равнобедренный треугольник треугольник, у которого две стороны равны
Шестигранник многоугольник с шестью сторонами и шестью углами
Диаметр прямая линия, проходящая через центр круга или сферы и встречающаяся с окружностью или поверхностью на каждом конце
Тупой угол угол больше 90 градусов, но меньше 180 градусов

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *