Определения треугольника: Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Содержание

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.




Определение. Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.


Типы треугольников

По величине углов

  1. Остроугольный треугольник — все углы треугольника острые.
  2. Тупоугольный треугольник — один из углов треугольника тупой (больше 90°).
  3. Прямоугольный треугольник — один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

  1. Разносторонний треугольник — все три стороны не равны.
  2. Равнобедренный треугольник — две стороны равны.
  3. Равносторонним треугольник или правильный треугольник — все три стороны равны.

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

α + β + γ = 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β, тогда a > b

если α = β, тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:


a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a  =  b  =  c  = 2R
sin α sin β sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a2 = b2 + c2 — 2bc·cos α

b2 = a2 + c2 — 2ac·cos β

c2 = a2 + b2 — 2ab·cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 23√2(mb2 + mc2) — ma2

b = 23√2(ma2 + mc2) — mb2

c = 23√2(ma2 + mb2) — mc2

Медианы треугольника

Определение. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

  2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

    AOOD = BOOE = COOF = 21

  3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

    S∆ABD = S∆ACD

    S∆BEA = S∆BEC

    S∆CBF = S∆CAF

  4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

    S∆AOF = S∆AOE = S∆BOF = S∆BOD = S∆COD = S∆COE

  5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 12√2b2+2c2-a2

mb = 12√2a2+2c2-b2

mc = 12√2a2+2b2-c2

Биссектрисы треугольника

Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

  1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

  2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

    AEAB = ECBC

  3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

    Угол между lc и lc‘ = 90°

  4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√bcp(p — a)b + c

lb = 2√acp(p — b)a + c

lc = 2√abp(p — c)a + b

где p = a + b + c2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2bc cos α2b + c

lb = 2ac cos β2a + c

lc = 2ab cos γ2a + b

Высоты треугольника

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

  • внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
  • совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
  • проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

ha:hb:hc = 1a:1b:1c = (bc):(ac):(ab)

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол:

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

ha = 2Sa

hb = 2Sb

hc = 2Sc

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:

ha = bc2R

hb = ac2R

hc = ab2R

Окружность вписанная в треугольник

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны:


r = (a + b — c)(b + c — a)(c + a — b)4(a + b + c)

Радиус вписанной в треугольник окружности через три высоты:

Окружность описанная вокруг треугольника

Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Свойства углов

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь:

Радиус описанной окружности через площадь и три угла:


R = S2 sin α sin β sin γ

Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов):

R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.

rR = 4 sinα2sinβ2sinγ2 = cos α + cos β + cos γ — 1

Средняя линия треугольника

Определение. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

1. Любой треугольник имеет три средних линии

2. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

MN = 12AC     KN = 12AB     KM = 12BC

MN || AC     KN || AB     KM || BC

3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника

S∆MBN = 14 S∆ABC

S∆MAK = 14 S∆ABC

S∆NCK = 14 S∆ABC

4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

∆MBN ∼ ∆ABC

∆AMK ∼ ∆ABC

∆KNC ∼ ∆ABC

∆NKM ∼ ∆ABC

Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон

P = a + b + c

Формулы площади треугольника

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты


    S = 12a · ha

    S = 12b · hb

    S = 12c · hc


  2. Формула площади треугольника по трем сторонам

    Формула Герона


    S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

    где p = a + b + c2 — полупериметр треугльника.


  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.


    S = 12a · b · sin γ

    S = 12b · c · sin α

    S = 12a · c · sin β


  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Равенство треугольников

Определение. Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.

Свойства. У равных треугольников равны и их
соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)

Признаки равенства треугольников

Теорема 1.

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними


Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 2.

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам


Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3.

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам


Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобие треугольников

Определение. Подобные треугольники — треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α1, β = β1, γ = γ1 и ABMN = BCNK = ACMK = k,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников


Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников


Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников


Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Свойства. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S∆АВСS∆MNK = k2


Что такое треугольник: определение, классификация, свойства

В данной публикации мы рассмотрим определение, классификацию и свойства одной из основных геометрических фигур – треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

Определение треугольника

Треугольник – это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из трех сторон, которые образованы путем соединения трех точек, не лежащих на одной прямой. Для обозначения используется специальный символ – △.

  • Точки A, B и C – вершины треугольника.
  • Отрезки AB, BC и AC – стороны треугольника, которые часто обозначаются в виде одной латинской буквы. Например, AB = a, BC = b, AC = c.
  • Внутренность треугольника – часть плоскости, ограниченная сторонами треугольника.

Стороны треугольника в вершинах образуют три угла, традиционно обозначающиеся греческими буквами – α, β, γ и т.д. Из-за этого треугольник еще называют многоугольником с тремя углами.

Углы можно, также, обозначать с помощью специального знака ““:

  • α – ∠BAC или ∠CAB
  • β – ∠ABC или ∠CBA
  • γ – ∠ACB или ∠BCA

Классификация треугольников

В зависимости от величины углов или количества равных сторон выделяют следующие виды фигуры:

1. Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°.

2. Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

3. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и AC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (BC).

4. Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

5. Равнобедренный – треугольник, имеющие две равные стороны, которые называются боковыми (AB и BC). Третья сторона – это основание (AC). В данной фигуре углы при основании равны (∠BAC = ∠BCA).

6. Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

Свойства треугольника

1. Любая из сторон треугольника меньше двух оставшихся, но больше их разности. Для удобства примем стандартные обозначения сторон – a, b и с. Тогда:

b – c < a < b + c, при b > с

Это свойство применяется для проверки отрезков на предмет того, могут ли они образовывать треугольник.

2. Сумма углов любого треугольника равняется 180°. Из этого свойства следует, что в тупоугольном треугольнике два угла всегда являются острыми.

3. В любом треугольнике напротив большей стороны находится больший угол, и наоборот.

Примеры задач

Задание 1
В треугольнике известны два угла – 32° и 56°. Найдите значение третьего угла.

Решение
Примем известные углы за α (32°) и β (56°), а неизвестный – за γ.
Согласно свойству о сумме всех углов, α + β + γ = 180°.
Следовательно, γ = 180° – α – β = 180° – 32° – 56°  = 92°.

Задание 2
Даны три отрезка длиной 4, 8 и 11. Выясните, могут ли они образовать треугольник.

Решение
Составим неравенства для каждого из заданных отрезков, исходя из свойства, рассмотренного выше:
11 – 4 < 8 < 11 + 4
8 – 4 < 11 < 8 + 4
11 – 8 < 4 < 11 + 8

Все они верны, следовательно, данные отрезки могут быть сторонами треугольника.

Что такое треугольник? Ответ на webmath.ru

Содержание:

Определение треугольника

Определение

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной
прямой, трех отрезков, которые последовательно соединяют эти точки и ограниченной ними части плоскости.

Точки
$A$, $B$ и $C$ называются \lt strong>вершинами \lt /strong>, а отрезки $AB$, $BC$, $AC$ — сторонами треугольника.

Углы $\angle A B C, \angle B A C, \angle A C B$ — углы треугольника
$\triangle A B C$. Их можно обозначать также одной буквой: $\angle A, \angle B, \angle C$ или
$\alpha, \beta, \gamma$ — соответственно.{\circ}$.

Подробнее в теореме о сумме углов треугольника.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Проверить могут ли данные отрезки образовывать треугольник:

1) $a=3 ; b=4 ; c=2$

2) $a=3 ; b=4 ; c=7$

Решение. 1) Наибольшим из этих отрезков является отрезок
$b=4$, сумма двух других
$a+c=3+2=5$, получаем
$b \lt a +c$. Значит, отрезки
$a=3 ; b=4 ; c=2$ образуют треугольник.

2) Среди отрезков $a=3 ; b=4 ; c=7$, наибольшим является отрезок $c=7$.
Сумма оставшихся $a+b=3+4=7$. Получаем $c=a+b$, поэтому отрезки $a=3 ; b=4 ; c=7$ не могут образовывать треугольник.

Ответ. Oтрезки  $a=3 ; b=4 ; c=2$  образуют треугольник.

Отрезки  $a=3 ; b=4 ; c=7$  не могут образовывать треугольник.

Слишком сложно?

Что такое треугольник не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание.{\circ}$

Читать дальше: что такое внешний угол треугольника.

Понятие треугольника — Геометрия — Математика

Тестирование онлайн

  • Основные понятия треугольника

Понятие треугольника

Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, получим треугольник. Одну из сторон треугольника часто называют его основанием.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 1800

Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.

Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол; против равных сторон — равные углы, и обратно. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, а также больше разности двух других сторон.

Продолжив одну из сторон треугольника, получим внешний угол. Угол АВD — внешний.

Признаки равенства треугольников

Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

Теорема. Два треугольника равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого.

Теорема. Два треугольника равны, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим углам другого.

Теорема. Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам.

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Замечательные точки треугольника. 1) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

3) Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
4) Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Теорема.\circ\).

Вертикальные углы равны: \(\alpha=\gamma\).

 

Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.

Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.

 

Теоремы: признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.\circ\).

 

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

 

Замечание

Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).

 

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

 

\[{\Large{\text{Параллельные прямые}}}\]

Определение

Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

 

Замечание

Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

 

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.\circ\), то \(\angle 4 = \angle 1 + \angle 2\), что и требовалось доказать.
 

\[{\Large{\text{Равнобедренный треугольник}}}\]

Определения

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона — основанием.

 

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

 

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

 

Доказательство

Пусть \(ABC\) – равнобедренный треугольник, \(AB = BC\), \(BD\) – биссектриса (проведённая к основанию).

Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(BCD\): \(AB = BC\), \(\angle ABD =
\angle CBD\), \(BD\) – общая. Таким образом, \(\triangle ABD =
\triangle BCD\) по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства этих треугольников следует, что \(AD = DC\), следовательно, \(BD\) – медиана.\circ = \angle CDB\), то есть \(BD\) – высота.

 

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

 

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

 

Доказательство

Проведем биссектрису \(BD\) (см. рисунок из предыдущей теоремы). Тогда \(\triangle ABD=\triangle CBD\) по первому признаку, следовательно, \(\angle A=\angle C\).

 

Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

 

2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
 

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.\circ\).

 

Треугольник, все про треугольники

Определение треугольника

В любом треугольнике три угла и три стороны.

Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Виды треугольников

Треугольники бывают

Треугольник называется

Основные линии треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой угла треугольника называется луч, исходящий из вершины треугольника и делящий его пополам.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне.

В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.

Два треугольника называются равными, если у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы.

Признаки равенства треугольников

I признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

II признак (по стороне и прилежащим углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

III признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.

Признаки подобия треугольников

Треугольники называются подобными, если их стороны пропорциональны.

I признак. Если два угла одного треугольника раны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

II признак. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

III признак. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Подробнее про признаки подобия треугольников читайте по ссылке.

Теоремы треугольников

Для любого треугольника справедливы следующие теоремы.

Подробнее про теорему косинусов читайте по ссылке.

Подробнее про теорему синусов читайте по ссылке.

Примеры решения задач

Определить возможность существования треугольника по сторонам

Ниже приведены решения задачи на языке программирования Паскаль двумя способами. В первом случае все стороны проверяются в одном операторе if; во втором случае каждое условие проверяется отдельно, а программа содержит вложенные операторы if-else.

Программа 1 (предпочтительный способ решения):

В языке Паскаль логический оператор and имеет приоритет над операторам >, < и т. п. Поэтому для изменения последовательности выполнения действий в заголовке условного оператора используются скобки.

В условии if проверяется, что каждая из сторон меньше суммы других. Если хотя бы одна будет больше, то все логическое выражение вернет ложь (false). В таком случае сработает ветка else.

var a, b, c: integer;
 
begin
    write (' Длины сторон: ');
    readln (a,b,c);
 
    if (a < b+c) and (b < a+c) and (c < a+b) then
        writeln ('Треугольник существует.')
    else
        writeln ('Треугольник не существует.');
 
readln
end.

Программа 2:

В данном случае существование треугольника проверяется по-этапно. Если первое условие возвращает ложь, то программа переходит к последнему else. Если же первое условие соблюдено, то поток выполнения программы оказывается у вложенного if. Здесь проверяется уже второе условие. Если оно возвращает ложь, то программа переходит к предпоследнему else. Если и второе логическое выражение возвращает истину (true), то программа идет к третьему условию. При его соблюдении выполняется тело самого вложенного оператора if. При его несоблюдении сработает самое вложенное else.

Несмотря на то, что данная программа кажется длиннее, в определенных ситуациях она может выполняться быстрее, чем первая. Здесь если внешнее if возвращает ложь, то остальные логические выражения вообще не проверяются. В первой программе могут и проверяться (это зависит от особенностей языка программирования).

var a, b, c: integer;
 
begin
    write ('Длины сторон: ');
    readln (a,b,c);
 
    if a < b+c then
        if b < a+c then
            if c < a+b then
                writeln ('Треугольник существует.')
            else
                writeln ('Треугольник не существует.')
        else
            writeln ('Треугольник не существует.')
    else
        writeln ('Треугольник не существует.');
 
readln
end.

Что такое треугольник? — [Определение, факты и примеры]

Triangle Games

Типы треугольников

Классифицируйте треугольники на основе длин сторон и углов. Ищите острые, тупые и прямые углы и определяйте равные стороны.

охватывает Common Core Curriculum 4.G.2Играть сейчасПосмотреть все игры по геометрии >>

Учитесь с помощью полной программы обучения математике K-5

Что такое треугольник?

В геометрии треугольник — это замкнутая двумерная форма с тремя прямыми сторонами.Треугольник — это тоже многоугольник.

Мы можем найти форму треугольника в флаге, треугольнике музыкального инструмента и придорожной вывеске.

Свойства треугольника

  • Треугольник имеет три стороны, три вершины и три угла.
  • Сумма трех внутренних углов треугольника всегда равна 180 °.
  • Сумма длины двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.
  • Треугольник с вершинами P, Q и R обозначается как △ PQR.
  • Площадь треугольника равна половине произведения его основания и высоты.

Различные типы треугольников

Чтобы классифицировать треугольники по их углам, мы измеряем каждый из его внутренних углов. Треугольники можно классифицировать по углам, как:

У острого треугольника все внутренние углы острые (меньше 90 °), у прямоугольного треугольника один прямой угол (равный 90 °), а у тупого треугольника один тупой угол (больше 90 °).

Чтобы классифицировать треугольники по их сторонам, мы измеряем длину каждой из его сторон. Треугольники можно классифицировать по сторонам:

Чтобы классифицировать треугольники по углам и сторонам, мы измеряем внутренние углы и длину сторон треугольника. Вот несколько примеров треугольников, классифицируемых как по углам, так и по сторонам:

  • Острый равносторонний треугольник

Интересные факты

  • Треугольник всегда можно разделить на два прямоугольных, независимо от его ориентации.
  • Треугольники — это многоугольники с наименьшим количеством сторон.

Давайте споем!

Дженна любит треугольники!

Крошечные треугольники на блузке,

Красная крыша ее кукольного домика,

Кусок сыра для ее мышки.

Давай сделаем это!

Вместо того, чтобы раздавать своим детям рабочие листы по математике, попросите ребенка наблюдать / определять предметы треугольной формы.

Вы также можете дать им зубочистки или соломинки и попросить их сформировать из них самые разные треугольники.

Сопутствующая математическая лексика —

Что такое масштабный треугольник? [Определение, факты и пример]

Что такое масштабный треугольник?

Треугольник — это многоугольник, состоящий из трех сторон и трех углов.

Мы можем классифицировать треугольники по длине их сторон.

(i) Равносторонний треугольник : Если все стороны треугольника равны, то он называется равносторонним треугольником.

(ii) Равнобедренный треугольник : Если две стороны треугольника равны, то он называется равнобедренным треугольником.

(iii) Масштабный треугольник : если ни одна из трех сторон треугольника не равны друг другу, он называется неравномерным треугольником.

Свойства разностороннего треугольника:

Все углы разностороннего треугольника неравны. Разносторонний треугольник не имеет линии симметрии. Угол, противоположный самой длинной стороне, будет наибольшим углом, и наоборот.

У данного разностороннего треугольника все стороны не равны.

Данный треугольник нельзя разделить на две одинаковые половины. Нет линии симметрии.

В этом треугольнике угол E будет наибольшим углом, поскольку он противоположен наибольшей стороне GO, а угол O будет наименьшим углом, поскольку он противоположен наименьшей стороне GE.

Разносторонний треугольник может быть остроугольным, тупоугольным или прямоугольным.

Тупоугольный разносторонний треугольник Острый разносторонний треугольник Правый разносторонний треугольник

Примеры из жизни

Интересные факты

  • Термин «разносторонний треугольник» происходит от латинского «scalēnus» и древнегреческого слова «σκᾰληνός», что означает неравный или неравный.

Определение треугольника по Merriam-Webster

три · ан · гл

| \ ˈTrī-aŋ-gəl

\

: Ударный инструмент, состоящий из стального стержня, согнутого в форме треугольника, открытого под одним углом и звучащего путем удара небольшим металлическим стержнем.

б

: чертежный инструмент, состоящий из тонкого плоского прямоугольного треугольника из дерева или пластика с острыми углами 45 градусов или 30 градусов и 60 градусов.

3

: ситуация, в которой один член пары вовлечен в любовную связь с третьим лицом.

треугольников — равносторонние, равнобедренные и чешуйчатые

Треугольник имеет три стороны и три угла

Три угла всегда складываются в 180 °

Равносторонний, равнобедренный и чешуйчатый

Треугольникам даны три специальных названия, которые показывают, сколько сторон (или углов) равны.

Может быть 3 , 2 или Нет равных сторон / углов:

Равносторонний треугольник

Три равных стороны
Три равных угла, всегда 60 °

Равнобедренный треугольник

Две равные стороны
Два равных угла

Чешуйчатый треугольник

Нет равные стороны
Нет равные углы

Как запомнить? По алфавиту идут 3, 2, нет:

  • Равносторонний : «равный» — боковой (латеральный означает сторону), поэтому у них все равные стороны
  • Равнобедренный : означает «равные ноги», а у нас две ноги , верно? Также i SOS celes имеет два равных «S ides», соединенных стороной « O dd».
  • Scalene : означает «неровный» или «нечетный», поэтому нет равных сторон.

Какой тип угла?

Треугольники также могут иметь имена, которые сообщают вам, какой тип угла находится внутри :

Острый треугольник

Все углы меньше 90 °

Правый треугольник

Имеет прямой угол (90 °)

Тупой треугольник

Имеет угол более 90 °

Объединение имен

Иногда у треугольника будет два имени, например:

Правый равнобедренный треугольник

Имеет прямой угол (90 °), а также два равных угла.

Вы можете угадать, каковы равные углы?

Играй с ним…

Попробуйте перетащить точки и составить разные треугольники:

Вы также можете поиграть с Интерактивным треугольником.

Уголки

Три внутренних угла всегда составляют 180 °

Периметр

Периметр — это расстояние по краю треугольника: просто сложите три стороны:

Площадь

Площадь равна половине высоты основания, умноженной на .

  • «b» — расстояние по основанию
  • «h» — высота (измеренная под прямым углом к ​​основанию)

Площадь = ½ × ш × в

Формула работает для всех треугольников.

Примечание: более простой способ записать формулу — bh / 2

Пример: Какова площадь этого треугольника?

(Примечание: 12 — это высота , а не длина левой стороны)

Высота = h = 12

База = b = 20

Площадь = ½ × b × h = ½ × 20 × 12 = 120

Основание может быть любой стороной. Убедитесь, что высота измеряется под прямым углом к ​​основанию. :

(Примечание: вы также можете рассчитать площадь, исходя из длин всех трех сторон, используя формулу Герона.)

Почему область «половина bh»?

Представьте, что вы «удвоили» треугольник (перевернули его вокруг одного из верхних краев), чтобы получить квадратную форму (параллелограмм), которую можно изменить на простой прямоугольник:

ЗАТЕМ вся площадь составляет bh , что соответствует обоим треугольникам, поэтому только один будет ½ × bh .

типов треугольников — объяснения и примеры

В геометрии треугольник является наиболее важной формой , определяемой как замкнутая двумерная диаграмма, содержащая 3 стороны, 3 угла и 3 вершины.Проще говоря, треугольник — это многоугольник с 3 сторонами. Слово «треугольник» происходит от латинского слова «triangulus», что означает треугольник.

В древние времена астрономы создали метод, называемый триангуляцией, для определения расстояний до далеких звезд. Они измеряют расстояние от двух разных мест, а затем измеряют угол, образованный сдвигом или параллаксом, образованным движением наблюдателя между двумя точками. Затем они применяли закон синусов для вычисления необходимого расстояния.

Египтяне создали пирамиды около 2900 г. до н. Э. Его форма на самом деле напоминает трехмерную пирамиду с треугольными гранями. Это идеально спроектированная модель, длина и углы которой одинаковы со всех сторон. Милет (624 г. до н.э. — 547 г. до н.э.), греческий математик, перенял геометрию Египта и был доставлен в Грецию.

Аристарх (310 г. до н.э. — 250 г. до н.э.), греческий математик, использовал вышеуказанный метод, чтобы найти расстояние между Землей и Луной. Эратосфен (276 г. до н.э. — 195 г. до н.э.) снова использовал тот же метод для определения расстояния вокруг поверхности Земли (называемого окружностью).

В этой статье обсуждается значение треугольника , различных типов треугольников и их свойства, а также их практическое применение.

Что такое треугольник?

Треугольник — это двумерная замкнутая фигура с 3 сторонами. Это многоугольник с тремя углами, тремя вершинами и тремя углами, соединенными вместе, которые образуют замкнутую диаграмму. Мы используем символ ∆ для обозначения треугольника.

Рисунки A и B представляют собой треугольники.

Различные типы треугольников

Типы треугольников классифицируются на основе:

  • Длины сторон
  • Внутренние углы

Классификация треугольников по величине внутренних углов

По измерению внутренних углов мы можем разделить треугольники на три категории:

  1. Острый угол
  2. Тупоугольный
  3. Прямоугольный
Острый треугольник

Треугольник с острым углом — это треугольник, в котором все три внутренние углы менее 90 градусов.

Каждый из углов a, b и c меньше 90 градусов.

Тупой треугольник

Тупой треугольник — это треугольник, в котором один из внутренних углов больше 90 градусов.

Угол a более тупой, а углы b и c острые.

Прямой треугольник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов равен точно 90 градусам. Гипотенуза — это сторона прямоугольного треугольника с наибольшей длиной.

На рисунке выше угол a = 90 градусов, а углы b и c — острые углы.

Классификация треугольников по длине их сторон

Мы можем классифицировать треугольники на 3 типа в зависимости от длины их сторон:

  1. Скален
  2. Равнобедренный
  3. Равносторонний
Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны и два угла равны. Треугольники одинаковой длины показаны по дуге с каждой стороны.

На диаграмме выше , длина стороны AB = AC и ∠ ABC = ∠ ACB.

Равносторонний треугольник

У равностороннего треугольника все три стороны равны, и все три внутренних угла также равны. В этом случае каждый внутренний угол равностороннего треугольника составляет 60 градусов. Равносторонний треугольник иногда называют равносторонним треугольником, потому что все три угла равны.

В равностороннем треугольнике стороны AB = BC = AC и ∠ ABC = ∠ ACB = BAC

Обратите внимание, что углы равностороннего треугольника не зависят по длинам сторон.

Масштабный треугольник

Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все стороны имеют разные размеры, и все внутренние углы также разные.

Свойства треугольника

Свойства треугольников широко используются. Многие математики использовали его при решении своих задач. Евклидова геометрия и тригонометрия широко используют свойства треугольников.

Вот несколько основных свойств треугольника:

  • Треугольник — это двумерный многоугольник
  • Треугольник имеет 3 стороны, 3 угла и 3 вершины.
  • Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины оставшейся стороны.
  • Сумма длин трех сторон дает периметр треугольников.
  • Площадь треугольника равна произведению основания на высоту.

Рабочие примеры на различных типах треугольников

Пример 1

Найдите значение угла x в треугольнике ниже.

Решение

Это равнобедренный треугольник, в котором две стороны равны, а также два угла равны.Следовательно,

x = (180 ° — 70 °) / 2

x = 110 ° / 2

= 55 °

Пример 2

Найдите угол y в прямоугольном треугольнике, показанном ниже.

Решение

Один угол прямоугольного треугольника равен 90 °. Итак, мы;

y + 50 + 90 = 180

y = (180 — 140) °

y = 40 °

Пример 3

Классифицируйте следующий треугольник.

Решение

Это разносторонний треугольник, потому что все стороны и углы имеют разные размеры.Точно так же треугольник также можно классифицировать как тупой треугольник, потому что один угол тупой.

Пример 4

Классифицируйте треугольник, показанный ниже.

Решение

Это равнобедренный треугольник. Две стороны равны, и два угла равны по размеру.

Применение треугольников

Давайте рассмотрим некоторые из реальных приложений треугольников:

  • Дорожные знаки. Большинство дорожных знаков отображаются на треугольных структурах.
  • Пирамиды Египта: пирамиды — древние памятники, построенные египтянами. Пирамиды имеют треугольную форму.
  • Ферма: Фермы крыш или мостов изготавливаются треугольной формы, потому что треугольник считается самой прочной формой.
  • Бермудский треугольник: Бермудский треугольник — это треугольная область в Атлантическом океане, где считается, что любое судно или самолет, проходящие через точку, проглатываются. Считается, что в Бермудском треугольнике загадочным образом исчезли 50 кораблей и 20 самолетов.
  • Глобальная система позиционирования (GPS) работает с алгоритмами триангуляции для определения долготы и широты объекта.
  • Лестница, прислоненная к стене, имеет форму треугольника.
  • Эйфелева башня имеет треугольную форму.
  • Концепция треугольников позволяет рассчитать высоту или высоту высоких объектов, таких как флагштоки, горы, здания и т. Д.
  • Сэндвичи и кусочки пиццы имеют треугольную форму.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Что такое треугольник? (Определение, свойства и примеры) // Репетиторы.com

Треугольник (определение, свойства и примеры)


видео
Определение
Характеристики

30-футовая лестница может пригодиться. В 1923 году шесть заключенных использовали 30-футовую лестницу ручной работы, чтобы сбежать из Восточной государственной тюрьмы в Филадельфии, штат Пенсильвания. Это может показаться не очень примечательным, но стены внутри тюрьмы имеют высоту всего 20 футов, что позволяет лестнице образовывать гипотенузу прямоугольного треугольника под удобным углом для подъема, стоящим далеко от основания толстой каменной стены.

Поднявшись на стену, убегающие заключенные потянули лестницу вверх, чтобы спуститься наружу, что, по их мнению, было бы легким спуском. Внешние стены 30 футов высотой . Их лестница была почти бесполезна. Он не мог образовать никакого треугольника, так как стена и гипотенуза (лестница) были одинаковой длины.

Дизайнеры тюрьмы сделали внутренние прогулочные дворы на 10 футов выше уровня улицы, что сделало побег практически невозможным. Это был мощный замысел.Треугольники тоже мощные, но что они из себя представляют?

Что вы узнаете:

Проработав этот урок и видео, вы сможете:

  • Вспомните и определите характеристики треугольника
  • Определите три стороны треугольника и три угла
  • Распознать и найти основание и высоту (или высоту) треугольника
  • Найдите противоположный угол для данной стороны и найдите смежные стороны для данной стороны или угла

Определение треугольника

Треугольник — это трехсторонний многоугольник, замыкающийся в пространстве.Он использует линии, отрезки или лучи (в любой комбинации) для формирования трех сторон. Когда три стороны образуются и встречаются, они образуют три вершины или угла.

Углы внутри треугольника являются внутренними углами. Углы вне треугольника — это внешние углы. Слово «треугольник» буквально означает три угла, «три» — это латинский префикс для трех, например трехколесный велосипед (три колеса), трио (три члена группы) или трицепс (три мышцы в группе).

[вставьте полуреалистичный мультяшный рисунок каменной стены высотой 20 футов, наклонной лестницы высотой 30 футов и базовым расстоянием 22.36 футов от стены до низа лестницы]

Вот грубая версия могучей стены Восточной государственной тюрьмы. Его высота составляет 20 футов, и он образует одну из двух сторон прямоугольного треугольника. Лестница для спасения заключенных была 30 футов высотой и образует наклонную гипотенузу. Расстояние от стены до лестницы — основание нашего треугольника. Наш прямоугольный треугольник называется △ ESP. Имеет три стороны:

  1. ES — 20 футов (стена)
  2. SP — 22,36 фута (расстояние от низа стены до ножек лестницы)
  3. PE — 30 футов (гипотенуза; сама лестница)

Имеет три угла:

  1. ∠E, острый угол около 41 °
  2. ∠S, прямой угол, размер точно 90 °
  3. ∠P, другой острый угол около 48 °

Основание треугольника

Каждая сторона треугольника может быть его основанием .Вы выделяете основу только тогда, когда планируете построить высоту или высоту для своего треугольника. В большинстве случаев база представлена ​​вам горизонтально, но в этом нет необходимости. Где бы ни строилась высота, сторона, которую она пересекает, является основанием.

Высота треугольника (высота)

Помните наклонную лестницу убегающих заключенных? Стена тюрьмы была высотой; лестница представляла собой гипотенузу, которая длиннее высоты прямоугольного треугольника. Высота или высота треугольника находится путем построения перпендикулярной линии от одной стороны треугольника к противоположному углу.

В прямоугольном треугольнике у вас есть две готовые высоты, две стороны которых составляют , а не гипотенузу.

В △ ESP сторона ES — это высота, на которой сейчас выглядит треугольник. Если повернуть всю картинку на 90 °, боковая SP теперь будет высотой. Если мы повернем треугольник так, чтобы гипотенуза (сторона лестницы) была горизонтальной, мы могли бы построить высоту от этой гипотенузы до ∠S. Мы обнаружили, что эта высота составляет 14,91 фута в высоту.

Высота, или высота, всегда перпендикулярно основанию и всегда пересекает противоположный угол.Каждый треугольник имеет три высоты. Только в равностороннем треугольнике все три высоты будут совпадать.

Противоположный угол

Каждая сторона имеет противоположный угол. Гипотенуза PE имеет противоположную S; сторона ES имеет противоположную P, а сторона SP — противоположную E.

Это также означает, что у каждого угла есть противоположная сторона. ∠S имеет противоположную сторону PE, гипотенузу и так далее.

Соседние стороны

Выберите любую сторону треугольника. Две стороны, соприкасающиеся с ним, являются смежными , что означает, что они соприкасаются.Таким образом, для стороны PE стороны ES и SP являются смежными.

Выберите любой угол треугольника. Две стороны, образующие его, являются его смежными сторонами. Итак, для ∠E стороны ES и PE смежны.

Краткое содержание урока

Теперь, когда вы внимательно прочитали урок и изучили видео и рисунки, вы можете вспомнить и определить характеристики треугольника, определить три стороны и три угла треугольника, распознать и определить местонахождение основания и высоты (или высоты) треугольника, и найдите противоположный угол для данной стороны и расположите смежные стороны для данной стороны или угла.

Следующий урок:

Классифицирующие треугольники

Определение и свойства треугольника — Math Open Reference

Определение и свойства треугольника — Math Open Reference

Замкнутая фигура, состоящая из трех отрезков, соединенных встык.
Трехсторонний многоугольник.

Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждую вершину
чтобы изменить форму треугольника.

Свойства треугольника

Вершина Вершина (множественное число: вершины)
угол треугольника.Каждый треугольник имеет три вершины.
База Основание треугольника может быть любой из трех сторон, обычно нарисованной снизу.
Вы можете выбрать любую сторону в качестве основы.
Обычно используется как справочная сторона для расчета
площадь треугольника.
В равнобедренном треугольнике за основу обычно принимается неравная сторона.
Высота Высота треугольника — это перпендикуляр от основания к противоположной вершине.(Возможно, потребуется расширить базу).
Поскольку существует три возможных базы, есть также три возможных высоты. Три высоты пересекаются в
единственная точка, называемая ортоцентром треугольника.
См. «Ортоцентр треугольника».
На рисунке выше вы можете увидеть одну возможную базу и соответствующую высоту.
Медиана Медиана
треугольника — это линия от вершины до середины противоположной стороны.
Три медианы пересекаются в одной точке, называемой центром тяжести треугольника.Увидеть центроид треугольника
Площадь См. Площадь треугольника и
Формула Герона
Периметр Расстояние вокруг треугольника. Сумма его сторон. Увидеть периметр треугольника
Уголки внутренние Три угла внутри треугольника в каждой вершине. См. Внутренние углы треугольника
Наружные углы Угол между стороной треугольника и продолжением соседней стороны.См. Внешние углы треугольника.

Также:

  1. Самая короткая сторона всегда противоположна наименьшему внутреннему углу
  2. Самая длинная сторона всегда противоположна наибольшему внутреннему углу

Подробнее об этом см. Взаимосвязь стороны / угла в треугольнике.

Терминология

Обычно каждую вершину треугольника называют одной заглавной (заглавной) буквой. Стороны могут быть названы одним
маленькая (строчная) буква и названа в честь противоположного угла.Итак, на рисунке выше вы можете видеть, что сторона b противоположна вершине B, сторона c — противоположна вершине C и так далее.

В качестве альтернативы сторону треугольника можно рассматривать как
отрезок, соединяющий две вершины. Тогда сторона b будет называться
AC.
Эта форма используется на этом сайте, потому что она одинакова для всех форм, а не только для треугольников.

Свойства всех треугольников

Это некоторые хорошо известные свойства всех треугольников. См. Полный список в разделе ниже.

Типы треугольников

Ниже перечислены семь типов треугольников.Обратите внимание, что данный треугольник
может быть более одного типа одновременно.
Например, разносторонний треугольник (без сторон одинаковой длины) может иметь один внутренний угол 90 °, что делает его также прямоугольным.
Это можно было бы назвать «прямоугольным разносторонним треугольником».

Классифицирующие треугольники

Семь типов треугольников можно классифицировать двумя способами: по сторонам и по внутренним углам.
Подробнее об этом см. Классификация треугольников.

Построение треугольников

Многие типы треугольников могут быть построены с помощью циркуля и линейки с использованием традиционных
Евклидовы методы построения.Для получения дополнительной информации см. «Конструкции с использованием циркуля и линейки».

Другие темы треугольника

Общий

Периметр / Площадь

Типы треугольников

Центры треугольника

Конгруэнтность и сходство

Решение треугольников

Тесты и упражнения на треугольник

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.

Все права защищены.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.