Определение координат вектора по координатам его начала и конца: Связь координат вектора и координат начальной и конечной точек вектора — урок. Геометрия, 9 класс.

Нахождение координат вектора через координаты точек. Как найти вектор по двум точкам

Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i→ должно совпадать с осью Ox, а направление вектора j→ с осью Oy.

Определение 1

Векторы i→ и j→ называют координатными векторами.

Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p→ можно разложить по векторам p→=xi→+yj→. Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p→ по координатным векторам называются координатами вектора p→ в данной системе координат.

Координаты вектора записываются в фигурных скобках p→x; y. На рисунке вектор OA→ имеет координаты 2; 1, а вектор b→ имеет координаты 3;-2. Нулевой вектор представляется в виде 0→0; 0.

Если векторы a→ и b→ равны, то и y1=y2. Запишем это так: a→=x1i→+y1j→=b→=x2i→+y2j→, значит x1=x2, y1=y2 .

Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на Oxy заданы координаты точек начала и конца AB→: Axa, ya, Bxb, yb. Найти координаты заданного вектора.

Изобразим координатную ось.

Из формулы сложения векторов имеем OA→+AB→=OB→, где O – начало координат. Отсюда следует, что AB→=OB→-OA→.

OA→ и OB→ – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения OA→=xa, ya, OB→=xb, yb.

По правилу операций над векторами найдем AB→=OB→-OA→=xb-xa, yb-ya.

Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

Пример 1

Найти координаты OA→ и AB→ при значении координат точек A(2,-3), B(-4,-1).

Решение

Для начала определяется радиус-вектор точки A. OA→=(2,-3). Чтобы найти AB→, нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.

Получаем: AB→=(-4-2,-1-(-3))=(-6, 2).

Ответ: OA→=(2,-3), AB→=(-6,-2).

Пример 2

Задано трехмерное пространство с точкой A=(3, 5, 7), AB→=(2, 0,-2). Найти координаты конца AB→.

Решение

Подставляем координаты точки A: AB→=(xb-3, yb-5, zb-7).

По условию известно, что AB→=(2, 0,-2).

Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: xb-3=2yb-5=0zb-7=-2

Отсюда следует, что координаты точки B AB→равны: xb=5yb=5zb=5 

Ответ:  B(5, 5, 5).

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Автор:
Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |


Тема 27.


Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.


Ты уже знаком с понятием координат вектора. Ими называют коэффициенты разложения данного вектора по единичным координатным векторам i⃗ и j⃗.


Сегодня мы ответим на вопрос «Как связаны координаты вектора с координатами его начала и конца?».


Но для начала вернёмся к координатам точки в прямоугольной системе координат.



Напомним, что для их определения нужно опустить перпендикуляры из данной точки к осям.


Точки пересечения данных прямых с осями обозначим как M1 и M2.


Абсциссой точки М является число x, которое является длиной отрезка OM1. А ординатой — число y, которое является длиной отрезка OM2.


M(x; y) x = OM1, y = OM2


Мы вспомнили, как определять координаты точек, а теперь вернёмся к общему случаю и, уже рассмотренной, точке M.


Проведём вектор из точки O к точке M. Запомни, вектор OM⃗ называют радиус-вектором точки M.


Сейчас докажем следующее утверждение: координаты точки M равны соответствующим координатам её радиус-вектора.


Доказать: M(x;y)=OM⃗x;y


Понятно, что вектор OM⃗=ОM1⃗+ОM2⃗ по правилу параллелограмма.


Теперь необходимо доказать, что вектор


OM1⃗=xi⃗, а вектор OM2⃗=yj⃗


Тем самым мы докажем, что вектор OM⃗x;y.


Если x > 0, то x = OM1, а векторы OM1⃗ и i⃗ сонаправлены, поэтому


OM1⃗=OM1∙i⃗=xi⃗



Если x x = OM1, а векторы OM1⃗ и i⃗ противоположно направлены. Поэтому OM1⃗=-OM1∙i⃗=xi⃗.



Наконец, если x = 0


OM1⃗=0⃗ и равенство OM1=xi⃗ в этом случае так же справедливо. Таким образом, в любом случае ОM1⃗=xi⃗. Аналогично доказывается, что ОM2⃗=yj⃗.


Следовательно,OM⃗=ОM1⃗+ОM2⃗=xi⃗+yj⃗


Отсюда следует, что координаты радиус-вектора OM равны (x; y), то есть равны соответствующим координатам точки M.


Пользуясь доказанным утверждением, выразим координаты вектора AB⃗ через координаты его начала A и конца B. Пусть точка A имеет координаты x1;y1, а точка B – координаты x2;y2.



Вектор AB⃗ равен разности векторов OB⃗ и OA⃗, поэтому его координаты равны разностям соответствующих координат векторов OB⃗ и OA⃗. Но OB⃗ и OA⃗ – радиус-векторы точек B и A, и, значит, OB⃗ имеет координаты x2;y2, а OA⃗ имеет координаты x1;y1. Следовательно, вектор AB⃗ имеет координаты x2-x1;y2-y1.


Таким образом, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.


Введение системы координат дает возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат.


Рассмотрим три вспомогательные задачи:


  1. Как найти координаты середины отрезка.


    Пусть в системе координат Oxy точка A имеет координаты x1;y1, а точка B – координаты x2;y2. Выразим координаты x;y середины C отрезка AB через координаты его концов. Так как точка C – середина отрезка AB, то


    OC⃗=12OA⃗+OB⃗.


    x=x1+x22; y=y1+y22


    Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.


  2. Вычисление длины вектора по его координатам.


    Пусть вектор a⃗x;y, тогда длина вектора вычисляется по формуле:


    a⃗=x2+y2


  3. Вычисление расстояния между двумя точками. Пусть точка M1 имеет координаты (x1; y1), точка M2 – координаты (x2; y2). Выразим расстояние d между точками M1 и M2 через их координаты.


Рассмотрим вектор M1M2⃗. Его координаты равны x2-x1;y2-y1. Следовательно, длина этого вектора может быть найдена по формуле:


M1M2⃗=x2-x12+y2-y12


Пример:


  1. Найти длину вектора a⃗-3;4


    a⃗=x2+y2=-32+42=25=5


    Ответ: 5


  2. Найти расстояние между точкой A(2; 7) и точкой B(-2; 7)


    d=-2-22+7-72=16=4


    Ответ: 4

Величина и направление векторов

Горячая математика

Величина вектора

Величина вектора

п

Вопрос

это расстояние между начальной точкой

п

и конечная точка

Вопрос

. В символах величина

п

Вопрос

записывается как

|

п

Вопрос

|

.

Если заданы координаты начальной и конечной точек вектора, то

Формула расстояния

можно использовать для нахождения его величины.

|

п

Вопрос

|

знак равно

(

Икс

2

Икс

1

)

2

+

(

у

2

у

1

)

2


Пример 1:

Найдите величину вектора

п

Вопрос

чья начальная точка

п

я сидела

(

1

,

1

)

и конечная точка находится в

Вопрос

я сидела

(

5

,

3

)

.

Решение:

Используйте формулу расстояния.

Подставьте значения

Икс

1

,

у

1

,

Икс

2

, а также

у

2

.

|

п

Вопрос

|

знак равно

(

5

1

)

2

+

(

3

1

)

2

знак равно

4

2

+

2

2

знак равно

16

+

4

знак равно

20

4,5

Величина

п

Вопрос

около

4,5

.

Направление вектора

Направление вектора — это мера угла, который он образует с

горизонтальная линия

.

Для нахождения направления вектора можно использовать одну из следующих формул:

загар

θ

знак равно

у

Икс

, куда

Икс

горизонтальное изменение и

у

вертикальное изменение

или же

загар

θ

знак равно

у

2

у

1

Икс

2

Икс

1

, куда

(

Икс

1

,

у

1

)

является начальной точкой и

(

Икс

2

,

у

2

)

является конечной точкой.


Пример 2:

Найдите направление вектора

п

Вопрос

чья начальная точка

п

я сидела

(

2

,

3

)

и конечная точка находится в

Вопрос

я сидела

(

5

,

8

)

.

Заданы координаты начальной и конечной точек. Подставляем их в формулу

загар

θ

знак равно

у

2

у

1

Икс

2

Икс

1

.

загар

θ

знак равно

8

3

5

2

знак равно

5

3

Найдите обратный загар, затем воспользуйтесь калькулятором.

θ

знак равно

загар

1

(

5

3

)

59

°

Вектор

п

Вопрос

имеет направление около

59°

.

Векторы в двух- и трехмерных декартовых координатах

Во введении к векторам мы обсуждали векторы без привязки к какой-либо системе координат.
Работая только с геометрическим определением величины и направления
векторов, мы смогли определить такие операции, как сложение, вычитание,
и умножение на скаляры.
Мы также обсудили свойства этих операций.

Часто система координат оказывается полезной, потому что проще управлять координатами вектора, чем напрямую управлять его величиной и направлением. 2$, чтобы обозначить, что его можно описать двумя действительными координатами. 92} = 5$.

Приведенный ниже апплет, повторяющийся из введения вектора, позволяет исследовать взаимосвязь между компонентами вектора и его величиной.

Величина и направление вектора. Синяя стрелка обозначает вектор $\vc{a}$. Два определяющих свойства вектора, величина и направление, показаны красной полосой и зеленой стрелкой соответственно. Длина красной полосы — это величина $\|\vc{a}\|$ вектора $\vc{a}$. Зеленая стрелка всегда имеет длину единицу, но ее направление совпадает с направлением вектора $\vc{a}$. Единственным исключением является случай, когда $\vc{a}$ является нулевым вектором (единственным вектором с нулевой величиной), для которого направление не определено. Вы можете изменить любой конец $\vc{a}$, перетащив его мышью. Вы также можете переместить $\vc{a}$, перетащив середину вектора; однако изменение положения $\vc{a}$ таким образом не меняет вектор, так как его величина и направление остаются неизменными.

Дополнительная информация об апплете.

Векторные операции, которые мы определили во введении к векторам, легко выразить в терминах этих координат.
Если $\vc{a}=(a_1,a_2)$ и $\vc{b}=(b_1,b_2)$, их сумма просто
$\vc{a}+\vc{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2)$, как показано на рисунке ниже.
Также легко видеть, что $\vc{b}-\vc{a} = (b_1-a_1,b_2-a_2)$ и
$\lambda \vc{a} = (\lambda a_1, \lambda a_2)$ для любого скаляра $\lambda$.

Приведенный ниже апплет, также повторяющийся из введения вектора, позволяет вам исследовать взаимосвязь между геометрическим определением сложения векторов и суммированием компонентов вектора.

Сумма двух векторов. Сумма $\vc{a}+\vc{b}$ вектора $\vc{a}$ (синяя стрелка) и вектора $\vc{b}$ (красная стрелка) показана зеленой стрелкой . Поскольку векторы не зависят от их начального положения, обе синие стрелки представляют один и тот же вектор $\vc{a}$, а обе красные стрелки представляют один и тот же вектор $\vc{b}$. Сумму $\vc{a}+\vc{b}$ можно составить, поместив хвост вектора $\vc{b}$ в начало вектора $\vc{a}$. То же самое можно сделать, поместив хвост вектора $\vc{a}$ в начало вектора $\vc{b}$. Обе конструкции вместе образуют параллелограмм, сумма $\vc{a}+\vc{b}$ которого является диагональю. (По этой причине закон перестановки $\vc{a}+\vc{b}=\vc{b}+\vc{a}$ иногда называют законом параллелограмма.) Вы можете изменить $\vc{a} $ и $\vc{b}$, перетаскивая желтые точки.

Дополнительная информация об апплете.

Вы могли заметить, что мы используем одни и те же обозначения для обозначения точки и вектора.
Мы не склонны подчеркивать какое-либо различие между точкой и вектором.
Вы можете думать о точке как о представлении вектора, хвост которого зафиксирован в начале координат.
Вам придется выяснить по контексту, думаем ли мы о векторе или нет.
как с фиксированным хвостом в начале координат.

Другой способ обозначения векторов — стандартные единичные векторы
обозначаются $\vc{i}$ и $\vc{j}$. Единичный вектор — это вектор, длина которого равна единице.
Вектор $\vc{i}$ является единичным вектором в направлении положительной оси $x$.
В координатах мы можем написать $\vc{i}=(1,0)$. Точно так же вектор $\vc{j}$ является единичным вектором в направлении положительной оси $y$: $\vc{j}=(0,1)$.
Мы можем записать любой двумерный вектор в терминах этих единичных векторов как
$\vc{a}=(a_1,a_2) = a_1\vc{i}+a_2\vc{j}$.

Векторы в трехмерном пространстве

В трехмерном пространстве существует стандартная декартова система координат $(x,y,z)$.
Начиная с точки, которую мы называем началом координат, построим три взаимно
перпендикулярные оси, которые мы называем осью $x$, осью $y$ и осью $z$.
Вот один из способов изобразить эти оси.
Встаньте в углу комнаты и посмотрите вниз, в точку, где стены соприкасаются с полом.
Затем пол и стена слева от вас пересекаются по линии, являющейся положительной осью $x$. Пол и стена справа от вас пересекаются по линии, являющейся положительной осью $y$. Стены пересекаются по вертикальной линии, являющейся положительной осью $z$.
Эти положительные оси изображены в приведенном ниже апплете и помечены как $x$, $y$ и $z$.
Отрицательная часть каждой оси находится на противоположной стороне начала координат, где оси пересекаются.

Загрузка апплета

Трехмерные декартовы оси координат. Представление трех осей трехмерной декартовой системы координат. Положительная ось $x$, положительная ось $y$ и положительная ось $z$ — это стороны, помеченные $x$, $y$ и $z$. Начало — это пересечение всех осей. Ветвь каждой оси на противоположной стороне от начала координат (немаркированная сторона) является отрицательной частью. Вы можете перетащить фигуру с помощью мыши, чтобы повернуть ее.

Дополнительная информация об апплете.

Мы установили относительное расположение положительных осей $x$, $y$ и $z$
чтобы сделать систему координат правой системой координат .
Обратите внимание: если согнуть пальцы правой руки от положительной оси $x$ к положительной оси $y$, большой палец правой руки будет указывать в направлении положительной оси $z$.

Если вы поменяли местами положительную ось $x$ и положительную ось $y$,
тогда у вас будет левосторонняя система координат.
Если вы сделаете это, вы будете жить в математической вселенной, в которой некоторые формулы будут отличаться на знак минус от формулы во вселенной, которую мы здесь используем. Ваша вселенная будет такой же достоверной, как и наша, но будет много путаницы.
Мы предлагаем вам жить в нашей вселенной, изучая эти страницы.

С помощью этих осей любой точке $\vc{p}$ в пространстве можно присвоить три координаты
$\vc{p}=(p_1,p_2,p_3)$. Например, учитывая приведенную выше аналогию с углом комнаты,
предположим, вы начинаете с угла комнаты и проходите четыре метра по оси $x$, затем поворачиваете налево и проходите три метра вглубь комнаты. Если ваш рост два метра, то ваша макушка находится в точке $(4,3,2)$. 93$ для обозначения того, что его можно описать тремя действительными координатами. Суммы, разности и скалярные умножения трехмерных векторов выполняются для каждого компонента. Если $\vc{a}=(a_1,a_2,a_3)$ и $\vc{b}=(b_1,b_2,b_3)$, то $\vc{a}+\vc{b}=(a_1+ b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$, $\vc{b}-\vc{a}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)$ и $\lambda\vc{a}= (\лямбда а_1, \лямбда а_2, \лямбда а_3)$.

Загрузка апплета

Вектор в трехмерном пространстве. Представление вектора $\vc{a}=(a_1,a_2,a_3)$ в трехмерной декартовой системе координат. Вектор $\vc{a}$ изображается в виде зеленой стрелки с хвостом, закрепленным в начале координат. Вы можете перетащить мышкой кончик зеленой стрелки, чтобы изменить вектор. Чтобы показать трехмерную перспективу, розовый треугольник соединяет вектор с его проекцией $(a_1,a_2,0)$ на $xy$-плоскость (серая стрелка). Фиолетовые векторы показывают проекции $\vc{a}$ на каждую ось и представляют координаты $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Вы также можете перетаскивать головки фиолетовых векторов, чтобы изменить только одну из координат вектора. Или перетащите вершину серого вектора в плоскости $xy$, чтобы изменить только координаты $x$ и $y$.

Дополнительная информация об апплете.

Так же, как и в двух измерениях, мы также можем обозначать трехмерные векторы is в терминах стандартных единичных векторов $\vc{i}$, $\vc{j}$ и $\vc{k}$.
Эти векторы являются единичными векторами в положительных направлениях $x$, $y$ и $z$ соответственно. В терминах координат мы можем записать их как $\vc{i}=(1,0,0)$, $\vc{j}=(0,1,0)$ и $\vc{k}= (0,0,1)$.
Мы можем выразить любой трехмерный вектор как сумму скалярных кратных этих единичных векторов в форме
$\vc{a}=(a_1,a_2,a_3) = a_1\vc{i}+a_2\vc{j}+a_3\vc{k}$.

Загрузка апплета

Стандартные единичные векторы в трех измерениях. Стандартные единичные векторы в трех измерениях, $\vc{i}$ (зеленый), $\vc{j}$ (синий) и $\vc{k}$ (красный), представляют собой векторы длины один, которые указывают параллельно ось $x$, ось $y$ и ось $z$ соответственно. Перемещение их с помощью мыши не меняет вектора, поскольку они всегда указывают в положительном направлении соответствующей оси.

Дополнительная информация об апплете.

Какова длина вектора $\vc{a}=(a_1,a_2,a_3)$? Мы можем разложить вектор на $(a_1,a_2,a_3) = (a_1,a_2,0)+(0,0,a_3)$, где два вектора
справа соответствуют двум зеленым сегментам линии
в вышеуказанном апплете.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *