Онлайн решение матриц метод гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Содержание

Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, выберите количество неизвестных величин:
2345

Заполните систему линейных уравнений

Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Решить систему

Воспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод подстановки)
Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)
Решение системы линейных уравнений (матричный метод)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса

Это классический метод решения системы линейных уравнений, в основе которого лежат элементарные преобразования системы (сложение, вычитание уравнений, умножение на коэффмцменты) для приведения к равносильной системе уравнений треугольного типа, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные неизвестные. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса осуществляется в два этапа.

На нашем сайте решение происходит в режиме онлайн, каждый шаг решения имеет подробное описание, поэтому вы с легкость сможете освоить метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Также мы применяем наиболее полную форму метода Гаусса, когда матрица приводится не к диагональному виду, а к единичной форме. В этом случае правая колонка и будет представлять значения неизвестных переменных. При этом нет необходимости вычислять новые неизвестные через ранее рассчитанные.

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Система линейных уравнений вида:

может быть решена методом Гаусса при помощи нашего калькулятора.

Система уравнений задается в виде расширенной матрицы, т. е. матрицы коэффициентов и свободных членов размерности [n : n+1] вида:

Описание метода Гаусса следует сразу за калькулятором.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

8 3 4 5 31
14 4 33 23 17
15 4 23 7 22
4 11 17 1 51

СЛАУ в матричном виде

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Количество решений

 

Вектор решения системы уравнений

 

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить
close

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Метод Гаусса

Метод был назван в честь гениального немецкого математика XIX века Карла Фридриха Гаусса. Сам Гаусс не был первооткрывателем метода (метод был известен и ранее (еще в I-II веке до н. э. метод упоминался в китайском труде «Математика в девяти книгах»).

Приведение матрицы к ступенчатому виду

На первом шаге решения системы уравнений методом Гаусса матрица коэффициентов и свободных членов приводится к ступенчатому виду:

Матрица превращается в ступенчатую форму путем элементарных преобразований — перемена строк местами, умножение строки на коэффициент, сложение строк.
В нашем калькуляторе для перехода к ступенчатому виду осуществляется последовательное вычитание из нижних строк матрицы, помноженных на , верхних строк , помноженных на коэффициент , где i — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из нижних строк).
При осуществлении этой операции требуется, чтобы коэффициент главной переменной был не нулевым. В случае нулевого коэффициента, строка меняется местами с любой другой нижней строкой, в которой в текущем столбце значение отлично от нуля.

Выражение базисных переменных

Получив ступенчатую матрицу, мы переходим к выражению базисных переменных, для этого сначала выполняется деление текущей строки на коэффициент , затем производится обратное вычитание из верхних строк , этой строки , помноженных на коэффициент , где j — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из верхних строк). Операция повторяется с каждой строкой, начиная от n-й до 1-й.
В результате матрица приобретает диагональный вид:
,
далее, поделив строки матрицы на коэффициент , в столбце свободных членов получаем вектор решений системы уравнений.

вычисление матрицы онлайн методом гаусса онлайн

Вы искали вычисление матрицы онлайн методом гаусса онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычислить систему уравнений онлайн, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «вычисление матрицы онлайн методом гаусса онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как вычисление матрицы онлайн методом гаусса онлайн,вычислить систему уравнений онлайн,гаусс калькулятор,гаусс онлайн,гаусса матрица онлайн,гаусса метод решения систем линейных уравнений онлайн,гаусса онлайн,гаусса онлайн калькулятор,гаусса онлайн решение,гаусса решение онлайн,гауссом решение онлайн,жордана гаусса калькулятор,исследовать на совместность систему онлайн,исследовать систему и если она совместна найти решение онлайн,исследовать систему на совместность онлайн калькулятор,исследовать совместность и найти общее решение системы онлайн,исследовать совместность системы и найти общее решение онлайн,как решить матрицу методом гаусса онлайн,как решить матрицу онлайн методом гаусса,калькулятор гаусс,калькулятор гаусса,калькулятор гаусса жордана,калькулятор гаусса жордана гаусса онлайн калькулятор,калькулятор гаусса онлайн,калькулятор гаусса с подробным решением,калькулятор для матриц метод гаусса,калькулятор для метода гаусса,калькулятор для решения линейных уравнений,калькулятор для решения уравнений линейных,калькулятор для систем уравнений,калькулятор для системы уравнений онлайн,калькулятор жордана гаусса,калькулятор линейного уравнения,калькулятор линейное уравнение,калькулятор линейные уравнения,калькулятор линейных уравнений,калькулятор линейных уравнений онлайн,калькулятор матриц гаусс,калькулятор матриц гаусса,калькулятор матриц гаусса онлайн,калькулятор матриц метод гаусса,калькулятор матриц метод гаусса онлайн,калькулятор матриц метод гаусса с решением,калькулятор матриц методом гаусса,калькулятор матриц методом гаусса онлайн,калькулятор матриц методом гаусса онлайн калькулятор,калькулятор матриц методом гаусса с решением онлайн,калькулятор матриц методом жордана гаусса онлайн калькулятор,калькулятор матриц онлайн гаусса,калькулятор матриц онлайн метод гаусса,калькулятор матриц онлайн методом гаусса,калькулятор матриц онлайн с решением метод гаусса,калькулятор матриц онлайн с решением методом гаусса,калькулятор матриц онлайн с решением методом гаусса онлайн,калькулятор матриц по методу гаусса,калькулятор матриц решение методом гаусса,калькулятор матриц с решением метод гаусса,калькулятор матрица метод гаусса,калькулятор матрицы гаусса,калькулятор матрицы метод гаусса,калькулятор матрицы методом гаусса,калькулятор матрицы методом гаусса онлайн,калькулятор матрицы онлайн метод гаусса,калькулятор матрицы онлайн методом гаусса,калькулятор матрицы онлайн с решением метод гаусса,калькулятор матричный метод гаусса,калькулятор метод гаусса,калькулятор метод гаусса жордана,калькулятор метод гаусса онлайн с решением,калькулятор метод гаусса решения систем линейных уравнений онлайн,калькулятор метод гаусса с подробным решением,калькулятор метод гаусса с решением,калькулятор метод жордана гаусса,калькулятор метода гаусса,калькулятор методом гаусса,калькулятор методом гаусса онлайн,калькулятор онлайн для системы уравнений,калькулятор онлайн линейное уравнение,калькулятор онлайн линейные уравнения,калькулятор онлайн линейных уравнений,калькулятор онлайн матриц гаусса,калькулятор онлайн матриц методом гаусса,калькулятор онлайн матриц методом гаусса онлайн,калькулятор онлайн матриц методом гаусса онлайн калькулятор,калькулятор онлайн матрицы методом гаусса,калькулятор онлайн метод гаусса без дробей,калькулятор онлайн метод гаусса жордана гаусса онлайн калькулятор,калькулятор онлайн решение линейных уравнений,калькулятор онлайн решение матриц методом гаусса,калькулятор онлайн решение методом гаусса,калькулятор онлайн решение методом гаусса онлайн с подробным решением,калькулятор онлайн решение систем,калькулятор онлайн решение системы,калькулятор онлайн решение системы методом гаусса онлайн,калькулятор онлайн решение системы уравнений,калькулятор онлайн решить систему методом гаусса,калькулятор онлайн систем уравнений,калькулятор онлайн системы линейных уравнений,калькулятор онлайн системы линейных уравнений методом гаусса онлайн,калькулятор онлайн системы уравнений,калькулятор онлайн системы уравнений методом гаусса онлайн,калькулятор онлайн слау,калькулятор по методу гаусса,калькулятор решение линейных уравнений онлайн,калькулятор решение матриц методом гаусса,калькулятор решение методом гаусса,калькулятор решение методом гаусса онлайн,калькулятор решение систем линейных уравнений,калькулятор решение систем линейных уравнений методом гаусса,калькулятор решение систем методом гаусса,калькулятор решение систем методом гаусса онлайн,калькулятор решение систем уравнений методом гаусса,калькулятор решение систем уравнений методом гаусса онлайн,калькулятор решение системы методом гаусса,калькулятор решение системы уравнений,калькулятор решение системы уравнений методом гаусса,калькулятор решение слау методом гаусса,калькулятор решение уравнений методом гаусса,калькулятор решение уравнений методом гаусса онлайн,калькулятор решения линейных уравнений,калькулятор решения систем линейных уравнений,калькулятор решения уравнений линейных,калькулятор решить систему методом гаусса,калькулятор систем линейных уравнений,калькулятор систем линейных уравнений методом гаусса,калькулятор систем линейных уравнений онлайн,калькулятор систем онлайн,калькулятор систем уравнений онлайн,калькулятор систем уравнений с решением онлайн,калькулятор система линейных уравнений,калькулятор система уравнений,калькулятор системы линейных уравнений,калькулятор системы линейных уравнений онлайн,калькулятор системы уравнений,калькулятор системы уравнений онлайн,калькулятор системы уравнений онлайн с решением,калькулятор системы уравнений с решением онлайн,калькулятор системы уравнения,калькулятор слау,калькулятор слау методом гаусса,калькулятор слау онлайн,калькулятор слу,калькулятор уравнение линейное,линейное уравнение калькулятор,линейное уравнение калькулятор онлайн,линейное уравнение онлайн,линейное уравнение онлайн калькулятор,линейное уравнение онлайн решение,линейное уравнение решение онлайн,линейное уравнение решить онлайн,линейные уравнения калькулятор,линейные уравнения калькулятор онлайн,линейные уравнения онлайн калькулятор,линейные уравнения онлайн решать,линейные уравнения онлайн решение,линейные уравнения онлайн решить,линейные уравнения решать онлайн,линейные уравнения решение онлайн,матрица гаусса онлайн,матрица калькулятор метод гаусса,матрица калькулятор онлайн метод гаусса,матрица метод гаусса калькулятор,матрица метод гаусса онлайн,матрица метод гаусса онлайн калькулятор,матрица методом гаусса онлайн,матрица онлайн гаусса,матрица онлайн калькулятор метод гаусса,матрица онлайн метод гаусса,матрица онлайн методом гаусса,матрица онлайн решение методом гаусса,матрица расширенная онлайн,матрица решение методом гаусса онлайн,матрица решение онлайн методом гаусса,матрицы гаусса калькулятор,матрицы калькулятор гаусса,матрицы калькулятор метод гаусса,матрицы метод гаусса калькулятор,матрицы метод гаусса онлайн,матрицы метод гаусса онлайн калькулятор,матрицы метод гаусса онлайн калькулятор с подробным решением,матрицы методом гаусса калькулятор,матрицы методом гаусса калькулятор онлайн,матрицы методом гаусса онлайн,матрицы методом гаусса онлайн калькулятор,матрицы онлайн калькулятор метод гаусса,матрицы онлайн калькулятор методом гаусса,матрицы онлайн калькулятор с решением метод гаусса,матрицы онлайн метод гаусса,матрицы онлайн методом гаусса,матрицы решение гаусса онлайн,матричный калькулятор гаусса,матричный калькулятор метод гаусса,матричный калькулятор метод гаусса онлайн,матричный калькулятор методом гаусса,матричный калькулятор онлайн метод гаусса,матричный онлайн калькулятор метод гаусса,метод гаусса для матриц онлайн,метод гаусса жордана гаусса онлайн калькулятор,метод гаусса жордана калькулятор,метод гаусса жордана онлайн,метод гаусса жордана онлайн калькулятор с подробным решением,метод гаусса калькулятор,метод гаусса калькулятор матрицы,метод гаусса калькулятор онлайн,метод гаусса калькулятор онлайн с решением,метод гаусса калькулятор с решением,метод гаусса матриц онлайн калькулятор,метод гаусса матрица онлайн,метод гаусса матрица онлайн калькулятор,метод гаусса матрицы калькулятор,метод гаусса матрицы онлайн,метод гаусса матрицы онлайн калькулятор с подробным решением,метод гаусса матричный калькулятор,метод гаусса онлайн,метод гаусса онлайн калькулятор,метод гаусса онлайн калькулятор без дробей,метод гаусса онлайн калькулятор матриц,метод гаусса онлайн калькулятор с подробным,метод гаусса онлайн калькулятор с подробным решением,метод гаусса онлайн калькулятор с подробным решением и с проверкой,метод гаусса онлайн калькулятор с подробным решением матрицы,метод гаусса онлайн калькулятор с решением,метод гаусса онлайн матрица,метод гаусса онлайн матрицы,метод гаусса онлайн матричный метод,метод гаусса онлайн решение,метод гаусса онлайн решение матриц,метод гаусса онлайн решения,метод гаусса онлайн решить,метод гаусса онлайн с подробным решением,метод гаусса онлайн слау,метод гаусса примеры с решением онлайн,метод гаусса решение матриц онлайн,метод гаусса решение матриц онлайн калькулятор,метод гаусса решение онлайн,метод гаусса решение систем линейных уравнений онлайн,метод гаусса решения онлайн,метод гаусса решения систем линейных уравнений онлайн,метод гаусса решения систем линейных уравнений онлайн калькулятор,метод гаусса решить онлайн,метод гаусса с подробным решением калькулятор,метод гаусса с подробным решением онлайн,метод гаусса слау онлайн,метод жордана гаусса калькулятор,метод жордана гаусса онлайн,метод жордана гаусса онлайн калькулятор,метод жордана гаусса онлайн калькулятор с подробным решением,метод решение гаусса онлайн,метод решения гаусса онлайн,метод решения систем линейных уравнений метод гаусса онлайн,методом гаусса жордана онлайн,методом гаусса калькулятор,методом гаусса матрицы онлайн,методом гаусса найти общее решение системы линейных уравнений онлайн,методом гаусса онлайн калькулятор,методом гаусса решить систему калькулятор,методом гаусса решить систему линейных уравнений онлайн,методом жордана гаусса онлайн,найти матрицу методом гаусса онлайн,найти матрицу онлайн методом гаусса,найти общее решение системы линейных уравнений методом гаусса онлайн,найти общее решение системы линейных уравнений онлайн,найти общее решение системы линейных уравнений онлайн методом гаусса,найти определитель методом гаусса онлайн,найти определитель онлайн методом гаусса,найти решение системы линейных уравнений онлайн,онлайн гаусс,онлайн гаусса,онлайн калькулятор гаусса,онлайн калькулятор гаусса жордана гаусса онлайн,онлайн калькулятор жордан гаусс,онлайн калькулятор исследовать систему на совместность,онлайн калькулятор исследовать систему на совместность онлайн,онлайн калькулятор линейное уравнение,онлайн калькулятор линейных систем уравнений,онлайн калькулятор линейных уравнений,онлайн калькулятор линейных уравнений метод гаусса онлайн,онлайн калькулятор матриц гаусса,онлайн калькулятор матриц метод гаусса,онлайн калькулятор матриц метод гаусса с решением,онлайн калькулятор матриц методом гаусса,онлайн калькулятор матриц с решением метод гаусса,онлайн калькулятор матрица методом гаусса,онлайн калькулятор матрицы метод гаусса,онлайн калькулятор матрицы методом гаусса,онлайн калькулятор матрицы методом гаусса онлайн с решением,онлайн калькулятор матрицы с решением метод гаусса,онлайн калькулятор матричный метод гаусса,онлайн калькулятор метод гаусса,онлайн калькулятор метод гаусса без дробей,онлайн калькулятор метод гаусса матрицы,онлайн калькулятор метод гаусса с решением,онлайн калькулятор методом гаусса,онлайн калькулятор методом гаусса жордана гаусса онлайн,онлайн калькулятор методом гаусса решить систему,онлайн калькулятор методом гаусса решить систему уравнений,онлайн калькулятор решение линейных уравнений,онлайн калькулятор решение линейных уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решение матриц методом гаусса,онлайн калькулятор решение матрицы методом гаусса,онлайн калькулятор решение методом гаусса,онлайн калькулятор решение методом гаусса онлайн с подробным решением,онлайн калькулятор решение систем,онлайн калькулятор решение систем линейных уравнений,онлайн калькулятор решение систем линейных уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решение систем методом гаусса,онлайн калькулятор решение систем уравнений,онлайн калькулятор решение систем уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решение системы,онлайн калькулятор решение системы линейных уравнений,онлайн калькулятор решение системы линейных уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решение системы методом гаусса онлайн,онлайн калькулятор решение системы уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решение слау,онлайн калькулятор решение слау методом гаусса,онлайн калькулятор решение уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решение уравнений методом гаусса онлайн,онлайн калькулятор решения уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решите систему уравнений,онлайн калькулятор решить матрицу методом гаусса,онлайн калькулятор решить систему линейных уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решить систему методом гаусса,онлайн калькулятор решить систему уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор решить уравнение методом гаусса,онлайн калькулятор систем,онлайн калькулятор систем линейных уравнений методом гаусса онлайн,онлайн калькулятор систем уравнений,онлайн калькулятор система линейных алгебраических уравнений,онлайн калькулятор система линейных уравнений,онлайн калькулятор система линейных уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор система уравнений методом гаусса,онлайн калькулятор системы линейных уравнений,онлайн калькулятор системы линейных уравнений методом гаусса онлайн,онлайн калькулятор системы уравнений,онлайн калькулятор системы уравнений методом гаусса онлайн,онлайн калькулятор слау,онлайн калькулятор слау методом гаусса,онлайн калькулятор уравнение методом гаусса онлайн,онлайн линейное уравнение,онлайн линейные уравнения,онлайн матрица гаусса,онлайн матрица метод гаусса,онлайн матрица методом гаусса,онлайн матрицы метод гаусса,онлайн матрицы методом гаусса,онлайн матричный калькулятор метод гаусса,онлайн методом гаусса,онлайн решение гаусса,онлайн решение гауссом,онлайн решение задач методом гаусса,онлайн решение канонических уравнений,онлайн решение линейное уравнение,онлайн решение линейных уравнений,онлайн решение линейных уравнений методом гаусса,онлайн решение матриц гаусса,онлайн решение матриц метод гаусса,онлайн решение матриц методом гаусса,онлайн решение матриц методом гаусса жордана,онлайн решение матриц методом гаусса с решением,онлайн решение матриц по гауссу,онлайн решение матриц по методу гаусса,онлайн решение матрицы гаусса,онлайн решение матрицы метод гаусса,онлайн решение матрицы методом гаусса онлайн с решением,онлайн решение матричных уравнений методом гаусса,онлайн решение метод гаусса,онлайн решение методом гаусса,онлайн решение методом гаусса жордана,онлайн решение методом гаусса жордана гаусса,онлайн решение методом гаусса жордана онлайн,онлайн решение методом гаусса с подробным решением,онлайн решение методом жордана гаусса,онлайн решение систем,онлайн решение систем линейных алгебраических уравнений,онлайн решение систем линейных уравнений,онлайн решение систем методом гаусса,онлайн решение систем методом гаусса онлайн калькулятор,онлайн решение систем уравнений,онлайн решение систем уравнений методом гаусса,онлайн решение система линейных уравнений,онлайн решение систему уравнений,онлайн решение системы,онлайн решение системы линейных уравнений,онлайн решение системы линейных уравнений методом гаусса,онлайн решение системы методом гаусса,онлайн решение системы методом гаусса онлайн с,онлайн решение системы уравнений методом гаусса,онлайн решение системы уравнений методом гаусса онлайн с решением,онлайн решение системы уравнений с тремя неизвестными,онлайн решение системы уравнения,онлайн решение слау методом жордана гаусса,онлайн решение уравнений гаусса,онлайн решение уравнений методом гаусса,онлайн решение уравнений методом жордана гаусса онлайн,онлайн решение уравнений с тремя неизвестными,онлайн решение уравнения методом гаусса,онлайн решения матриц методом гаусса,онлайн решения метод гаусса,онлайн решения методом гаусса онлайн,онлайн решения систем уравнений,онлайн решить систему линейных уравнений методом гаусса,онлайн решить уравнение методом гаусса онлайн,онлайн система,онлайн система гаусса,онлайн система уравнений методом гаусса,онлайн система уравнений методом гаусса онлайн,онлайн система уравнений решение,онлайн системы,онлайн уравнение гаусса,посчитать матрицу методом гаусса онлайн,посчитать матрицу онлайн методом гаусса,проверить на совместимость матрицу онлайн,проверить на совместность систему онлайн,проверить систему на совместность онлайн,проверить совместимость системы уравнений онлайн,проверить совместность системы уравнений онлайн,проверка на совместность матрицы онлайн,расширенная матрица онлайн,решатель систем уравнений онлайн,решать онлайн линейные уравнения,решать онлайн систему уравнений,решение гаусса онлайн,решение гауссом онлайн,решение задач методом гаусса онлайн,решение канонических уравнений онлайн,решение линейное уравнение онлайн,решение линейные уравнения онлайн,решение линейных алгебраических уравнений онлайн,решение линейных систем уравнений калькулятор,решение линейных систем уравнений калькулятор онлайн,решение линейных уравнений калькулятор онлайн,решение линейных уравнений методом гаусса онлайн,решение линейных уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решение линейных уравнений онлайн,решение линейных уравнений онлайн калькулятор,решение линейных уравнений онлайн калькулятор с решением,решение линейных уравнений онлайн методом гаусса,решение матриц гаусса онлайн,решение матриц гауссом онлайн,решение матриц метод гаусса онлайн,решение матриц метод гаусса онлайн калькулятор,решение матриц методом гаусса жордана онлайн,решение матриц методом гаусса калькулятор,решение матриц методом гаусса онлайн,решение матриц методом гаусса онлайн калькулятор,решение матриц методом гаусса онлайн с подробным решением,решение матриц методом гаусса онлайн с решением,решение матриц методом гаусса онлайн с решением подробно,решение матриц методом жордана гаусса онлайн,решение матриц онлайн гаусса,решение матриц онлайн гауссом,решение матриц онлайн калькулятор метод гаусса,решение матриц онлайн калькулятор методом гаусса,решение матриц онлайн метод гаусса,решение матриц онлайн метод гаусса онлайн,решение матриц онлайн методом гаусса,решение матриц онлайн методом гаусса онлайн,решение матриц онлайн методом гаусса онлайн с,решение матриц онлайн методом гаусса с подробным решением,решение матриц онлайн методом гаусса с решением,решение матриц онлайн методом жордана гаусса,решение матриц онлайн по методу гаусса,решение матриц онлайн с подробным решением методом гаусса,решение матриц онлайн с решением методом гаусса,решение матриц по гауссу онлайн,решение матриц по методу гаусса онлайн,решение матрица методом гаусса онлайн,решение матрицы гаусса онлайн,решение матрицы методом гаусса онлайн,решение матрицы методом гаусса онлайн калькулятор,решение матрицы методом гаусса онлайн решение,решение матрицы методом гаусса онлайн с подробным решением,решение матрицы методом гаусса онлайн с решением,решение матрицы методом гаусса онлайн с решением калькулятор,решение матрицы онлайн гаусса,решение матрицы онлайн методом гаусса,решение матрицы онлайн методом гаусса онлайн,решение матрицы онлайн методом гаусса с подробным решением,решение матрицы онлайн методом гаусса с решением,решение матричных уравнений методом гаусса онлайн,решение матричных уравнений онлайн методом гаусса,решение метод гаусса онлайн,решение методом гаусса жордана онлайн,решение методом гаусса калькулятор,решение методом гаусса калькулятор онлайн,решение методом гаусса матрицы онлайн калькулятор,решение методом гаусса онлайн,решение методом гаусса онлайн калькулятор,решение методом гаусса онлайн с подробным решением,решение методом гаусса онлайн с решением,решение методом жордана гаусса онлайн,решение онлайн гаусса,решение онлайн гауссом,решение онлайн линейные уравнения,решение онлайн линейных уравнений методом гаусса,решение онлайн метод гаусса,решение онлайн методом гаусса,решение онлайн методом гаусса с подробным решением,решение онлайн методом жордана гаусса,решение онлайн систем методом гаусса онлайн калькулятор,решение онлайн система линейных уравнений,решение онлайн система уравнений,решение онлайн системы линейных уравнений методом гаусса,решение онлайн системы методом гаусса онлайн с,решение онлайн уравнений с 3 неизвестными,решение по методу гаусса онлайн,решение расширенной матрицы онлайн,решение систем калькулятор онлайн,решение систем линейных алгебраических уравнений онлайн,решение систем линейных уравнений калькулятор,решение систем линейных уравнений калькулятор онлайн,решение систем линейных уравнений метод гаусса онлайн,решение систем линейных уравнений методом гаусса калькулятор,решение систем линейных уравнений методом гаусса онлайн,решение систем линейных уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решение систем линейных уравнений методом гаусса онлайн с решением,решение систем линейных уравнений онлайн,решение систем линейных уравнений онлайн калькулятор,решение систем линейных уравнений онлайн метод гаусса,решение систем линейных уравнений онлайн с решением,решение систем методом гаусса калькулятор,решение систем методом гаусса калькулятор онлайн,решение систем методом гаусса онлайн,решение систем методом гаусса онлайн калькулятор,решение систем онлайн калькулятор,решение систем онлайн методом гаусса,решение систем онлайн с решением,решение систем уравнений калькулятор онлайн,решение систем уравнений методом гаусса калькулятор,решение систем уравнений методом гаусса онлайн,решение систем уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решение систем уравнений методом гаусса онлайн с подробным решением,решение систем уравнений онлайн,решение систем уравнений онлайн калькулятор,решение систем уравнений онлайн метод гаусса онлайн,решение систем уравнений онлайн методом гаусса,решение систем уравнений онлайн с подробным решением,решение систем уравнений онлайн с подробным решением методом гаусса,решение систем уравнения онлайн,решение система линейных уравнений онлайн,решение система уравнений онлайн,решение системных уравнений методом гаусса онлайн,решение системных уравнений онлайн методом гаусса,решение систему уравнений онлайн,решение системы линейных уравнений калькулятор онлайн,решение системы линейных уравнений методом гаусса онлайн,решение системы линейных уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решение системы линейных уравнений методом гаусса онлайн с решением,решение системы линейных уравнений онлайн,решение системы линейных уравнений онлайн калькулятор,решение системы линейных уравнений онлайн методом гаусса,решение системы методом гаусса калькулятор,решение системы методом гаусса онлайн,решение системы методом гаусса онлайн с решением,решение системы онлайн,решение системы онлайн калькулятор,решение системы онлайн методом гаусса,решение системы онлайн методом гаусса онлайн с,решение системы уравнений методом гаусса калькулятор,решение системы уравнений методом гаусса калькулятор онлайн,решение системы уравнений методом гаусса онлайн,решение системы уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решение системы уравнений методом гаусса онлайн с решением,решение системы уравнений онлайн,решение системы уравнений онлайн калькулятор,решение системы уравнений онлайн методом гаусса,решение системы уравнений онлайн методом гаусса онлайн,решение системы уравнений онлайн с решением,решение системы уравнений с тремя неизвестными онлайн,решение системы уравнения онлайн,решение слау калькулятор онлайн,решение слау методом гаусса жордана онлайн,решение слау методом гаусса калькулятор,решение слау методом гаусса онлайн,решение слау методом гаусса онлайн калькулятор,решение слау методом жордана гаусса онлайн,решение слау онлайн,решение слау онлайн калькулятор,решение слау онлайн методом гаусса,решение слау онлайн методом гаусса онлайн,решение слау онлайн методом жордана гаусса,решение слу метод гаусса онлайн,решение слу онлайн,решение слу онлайн метод гаусса,решение уравнений гаусса онлайн,решение уравнений методом гаусса жордана гаусса онлайн,решение уравнений методом гаусса жордана онлайн,решение уравнений методом гаусса калькулятор,решение уравнений методом гаусса калькулятор онлайн,решение уравнений методом гаусса онлайн,решение уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решение уравнений методом гаусса онлайн с решением,решение уравнений методом гаусса решение онлайн калькулятор,решение уравнений методом жордана гаусса онлайн,решение уравнений онлайн гаусса,решение уравнений онлайн методом гаусса,решение уравнений онлайн методом гаусса калькулятор онлайн,решение уравнений онлайн с 3 неизвестными,решение уравнений с 3 неизвестными онлайн,решение уравнения методом гаусса онлайн,решение уравнения онлайн методом гаусса,решения линейных уравнений калькулятор,решения матриц методом гаусса онлайн,решения матриц онлайн методом гаусса,решения онлайн методом гаусса онлайн,решения систем уравнений методом гаусса калькулятор,решите линейное уравнение онлайн,решите систему уравнений методом гаусса онлайн,решите систему уравнений онлайн с решением,решить линейное уравнение методом гаусса онлайн,решить линейное уравнение онлайн,решить линейное уравнение онлайн методом гаусса,решить матрицу методом гаусса онлайн,решить матрицу методом гаусса онлайн калькулятор,решить матрицу методом гаусса онлайн с подробным решением,решить матрицу методом гаусса онлайн с решением,решить матрицу онлайн калькулятор методом гаусса,решить матрицу онлайн методом гаусса,решить матрицу онлайн методом гаусса онлайн,решить матрицу онлайн методом гаусса онлайн с,решить матрицу онлайн методом гаусса с решением,решить метод гаусса онлайн,решить методом гаусса онлайн,решить методом гаусса онлайн с подробным решением,решить методом гаусса систему линейных алгебраических уравнений онлайн,решить методом гаусса систему линейных уравнений онлайн,решить методом гаусса слау онлайн,решить неоднородную систему линейных уравнений методом гаусса,решить неоднородную систему линейных уравнений методом гаусса онлайн,решить онлайн алгебраическое уравнение,решить онлайн линейные уравнения,решить онлайн матрицу методом гаусса,решить онлайн метод гаусса,решить онлайн методом гаусса,решить онлайн систему линейных уравнений методом гаусса,решить онлайн систему уравнение,решить онлайн систему уравнений с решением,решить онлайн системы уравнений,решить онлайн уравнение методом гаусса,решить систему линейных алгебраических уравнений методом гаусса онлайн,решить систему линейных уравнений методом гаусса калькулятор онлайн,решить систему линейных уравнений методом гаусса онлайн,решить систему линейных уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решить систему линейных уравнений методом гаусса онлайн с решением,решить систему линейных уравнений онлайн,решить систему линейных уравнений онлайн методом гаусса,решить систему методом гаусса жордана онлайн,решить систему методом гаусса калькулятор,решить систему методом гаусса калькулятор онлайн,решить систему методом гаусса онлайн,решить систему методом гаусса онлайн калькулятор,решить систему методом гаусса онлайн с подробным решением,решить систему методом жордана гаусса онлайн,решить систему уравнение онлайн с решением,решить систему уравнений калькулятор онлайн,решить систему уравнений калькулятор онлайн с решением,решить систему уравнений методом гаусса калькулятор онлайн,решить систему уравнений методом гаусса онлайн,решить систему уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,решить систему уравнений методом гаусса онлайн с подробным решением,решить систему уравнений методом гаусса онлайн с подробным решением онлайн,решить систему уравнений онлайн калькулятор с решением,решить систему уравнений онлайн методом гаусса,решить систему уравнений онлайн методом гаусса онлайн,решить систему уравнений онлайн с комплексными числами,решить систему уравнений онлайн с подробным решением,решить систему уравнений онлайн с решением,решить систему уравнений с комплексными числами онлайн,решить систему уравнений с тремя неизвестными онлайн,решить систему уравнения онлайн,решить системы линейных уравнений методом гаусса онлайн,решить системы уравнений онлайн,решить слау,решить слау методом гаусса онлайн,решить слау методом гаусса онлайн с решением,решить слау онлайн,решить слау онлайн методом гаусса,решить уравнение методом гаусса онлайн,решить уравнение методом гаусса онлайн калькулятор,решить уравнение онлайн методом гаусса,решить уравнение онлайн методом гаусса онлайн,решить уравнение с тремя неизвестными онлайн,систем линейных уравнений методом гаусса калькулятор,систем линейных уравнений онлайн калькулятор,система гаусса онлайн,система линейных алгебраических уравнений онлайн калькулятор,система линейных уравнений калькулятор,система линейных уравнений калькулятор онлайн,система линейных уравнений методом гаусса калькулятор онлайн,система линейных уравнений методом гаусса онлайн,система линейных уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,система линейных уравнений онлайн,система линейных уравнений онлайн калькулятор,система линейных уравнений онлайн методом гаусса,система линейных уравнений онлайн решение,система линейных уравнений решение онлайн,система методом гаусса онлайн,система уравнений гаусса онлайн,система уравнений калькулятор,система уравнений методом гаусса онлайн,система уравнений методом гаусса онлайн калькулятор,система уравнений онлайн гаусса,система уравнений онлайн калькулятор,система уравнений онлайн калькулятор с подробным решением,система уравнений онлайн методом гаусса,система уравнений онлайн методом гаусса онлайн,система уравнений онлайн решение,системы линейных алгебраических уравнений онлайн,системы линейных уравнений калькулятор онлайн,системы линейных уравнений онлайн,системы линейных уравнений онлайн калькулятор,системы онлайн калькулятор,системы уравнений калькулятор,системы уравнений калькулятор онлайн,системы уравнений методом гаусса калькулятор,системы уравнений онлайн,системы уравнений онлайн калькулятор,слау калькулятор,слау калькулятор онлайн,слау метод гаусса онлайн,слау методом гаусса жордана гаусса онлайн,слау методом гаусса калькулятор,слау методом гаусса онлайн,слау методом гаусса онлайн калькулятор,слау онлайн,слау онлайн калькулятор,слау онлайн метод гаусса,слу калькулятор,слу калькулятор онлайн,слу онлайн калькулятор,слу онлайн решение,слу решить,совместность матрицы онлайн,уравнение гаусса онлайн,уравнение методом гаусса онлайн,уравнение с тремя неизвестными онлайн,уравнения онлайн методом гаусса онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычисление матрицы онлайн методом гаусса онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, гаусс калькулятор).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление матрицы онлайн методом гаусса онлайн Онлайн?

Решить задачу вычисление матрицы онлайн методом гаусса онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Ранг матрицы методом Гаусса | Мозган калькулятор онлайн


Для того что бы вычислить ранг матрицы можно применить метод окаймляющих миноров или метод Гаусса.
Рассмотрим метод Гаусса или метод элементарных преобразований.

Рангом матрицы называют максимальный порядок её миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю.

Рангом системы строк (столбцов) называется максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой системы.

Метод Гаусса использует элементарные преобразования, которые не изменяют ее ранг:

  1. Транспонирование.

  2. Перестановка местами строк или столбцов.

  3. Прибавление одной строки/столбца к другой строке/столбцу умноженного на ненулевое число.

  4. Умножение строки или столбца на ненулевое число.

С помощью данного метода нужно привести матрицу к ступенчатому виду и посчитать количество строк, в которых есть хоть один не нулевой элемент.

Пример

Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы:

Для облегчения дальнейших расчетов поменяем местами строку №1 со строкой №2.

Сделаем элемент a3,1 равный нулю.

Из строки №3 вычтем строку №1, умноженную на 3/2.

Сделаем элемент a4,1 равный нулю.

Из строки №4 вычитаем строку №1, умноженную на 2.

Сделаем элемент a3,2 равный нулю.

Из строки №3 вычтем строку №2, умноженную на -1/4. Мы его получили разделив элимент a3,2 = -0.5 на элимент a2,2 = 2.

Сделаем элемент a4,2 равный нулю.

Из строки №4 вычтем строку №2, умноженную на -1/2.

Сделаем элемент a4,3 равный нулю.

Из строки №4 вычитаем строку №3, умноженную на 2.

В получившейся матрице одна строка содержит нулевые элементы, а три строки имеют не нулевые элементы. Ответ: Ранг=3.

Вычислить определитель матрицы системы методом гаусса онлайн. Вычисление определителя

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн
больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

  1. Записываем расширенную матрицу.
  2. Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
  3. Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите «очень подробное решение» и посмотрите его решение онлайн.

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы
. Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей , он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее:
Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Обозначения
: Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель?
Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число?
Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два»
:

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Определитель матрицы «три на три»
можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 — нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу
.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный
алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке
.
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ
. Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке
, очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ
данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу.
Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу
:

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя .

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ!

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………….. 2

1. Постановка задачи………………………………………………………………………….. 3

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи……………… 5

2.1 Определитель матрицы………………………………………………………………….. 5

2.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений…………………… 6

2.3 Метод Гаусса для вычисления определителя……………………………………. 8

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи…………………….. 9

4. Программная реализация решения задачи………………………………………. 11

5. Пример выполнения программы…………………………………………………….. 16

Заключение………………………………………………………………………………………. 18

Список использованных источников и литературы……………………………… 19

Введение

Многие проблемы, возникающие в экономических исследованиях, планировании и управлении, будучи сформулированными математически, представляют собой задачи, в которых необходимо решить систему алгебраических уравнений.

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для нахождения матрицы, обратной к данной, определения ранга матрицы и нахождения определителя.

Целью данной курсовой работы является реализация вычисления определителя методом исключения Гаусса.

1. Постановка задачи

Вычисление определителя матрицы заключается в выполнении над матрицей алгоритма Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. В результате выполнения алгоритма получаем диагональную матрицу, её определитель равен произведению элементов, стоящих на диагонали.

.

~.

.
.

Вычислить определитель матрицы методом A исключения Гаусса.

.

Приведем матрицу к диагональному виду методом Гаусса.

~.

Тогда определитель матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на диагонали:

.

Знак определяется количеством обменов строк, следовательно определитель матрицы

.

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Определитель матрицы

Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка n, нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка n-1. Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы A будем обозначать

или det A.

Определение. Определителем квадратной матрицы

второго порядка называется число

.

Определителем

квадратной матрицы порядка n,

, называется число
— определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и столбца с номером k.

2.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Пусть дана квадратная матрица A размером NxN. Требуется вычислить её определитель.

Воспользуемся идеями метода Гаусса решения систем линейных уравнений.

Дана система:

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

an1 x1 + an2 x2 + … + ann xn = bn

Выполним следующий алгоритм.

На первом шаге найдём в первом столбце наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на первую строчку (обменяв две соответствующие строки матрицы A и два соответствующих элемента вектора B), а затем будем отнимать это уравнение от всех остальных, чтобы в первом столбце все элементы (кроме первого) обратились в ноль. Например, при прибавлении ко второй строке будем домножать первую строку на -a21/a11, при добавлении к третьей — на -a31/a11, и т.д.

На втором шаге найдём во втором столбце, начиная со второго элемента, наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на вторую строчку, и будем отнимать это уравнение от всех остальных (в том числе и от первого), чтобы во втором столбце все элементы (кроме второго) обратились в ноль. Понятно, что эта операция никак не изменит первый столбец — ведь от каждой строки мы будем отнимать вторую строку, домноженную на некоторый коэффициент, а во второй строке в первом столбце стоит ноль.

Т.е. на i-ом шаге найдём в i-ом столбце, начиная с i-го элемента, наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на i-ю строчку, и будем отнимать это уравнение от всех остальных. Понятно, что это никак не повлияет на все предыдущие столбцы (с первого по (i-1)-ый).

В конце концов, мы приведём систему к так называемому диагональному виду:

Т.е. мы нашли решение системы.

Замечание 1. На каждой итерации найдётся хотя бы один ненулевой элемент, иначе система бы имела нулевой определитель, что противоречит условию.

Замечание 2. Требование, что на каждом шаге мы выбираем наибольший по модулю элемент, очень важно в смысле численной устойчивости метода. Если выбирать произвольный ненулевой элемент, то это может привести к гигантской погрешности, когда получившееся решение будет отличаться в разы от правильного.

2.3 Метод Гаусса для вычисления определителя

Будем выполнять те же самые действия, что и при решении системы линейных уравнений, исключив только деление текущей строки на a[i][i] (точнее, само деление можно выполнять, но подразумевая, что число выносится за знак определителя). Тогда все операции, которые мы будем производить с матрицей, не будут изменять величину определителя матрицы, за исключением, быть может, знака (мы только обмениваем местами две строки, что меняет знак на противоположный, или прибавляем одну строку к другой, что не меняет величину определителя).

Но матрица, к которой мы приходим после выполнения алгоритма Гаусса, является диагональной, и определитель её равен произведению элементов, стоящих на диагонали. Знак, как уже говорилось, будет определяться количеством обменов строк (если их нечётное, то знак определителя следует изменить на противоположный). Таким образом, мы можем с помощью алгоритма Гаусса вычислять определитель матрицы за O(N3).

Осталось только заметить, что если в какой-то момент мы не найдём в текущем столбце ненулевого элемента, то алгоритм следует остановить и вернуть 0.

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

Блок-схема решения задачи представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Блок-схема решения задачи для функции DETERMINATE

4 Программная реализация решения задачи

;ФУНКЦИЯ, ВЫЧИСЛЯЮЩАЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

(DEFUN DETERMINANT (MATRIX SIZE)

;ОБЪЯВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

;ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

(DECLARE (SPECIAL DET))

;ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МАССИВЫ И ПЕРЕМЕННЫЕ

(DECLARE (SPECIAL PAR))

(DECLARE (SPECIAL R))

(DECLARE (SPECIAL T_))

(DECLARE (SPECIAL I))

(DECLARE (SPECIAL II))

;*********************

(SETQ R (MAKE-ARRAY SIZE:ELEMENT-TYPE «FLOAT:INITIAL-ELEMENT 0))

((>= J (- SIZE 1)))

;ИСКЛЮЧАЕМ ДЕЛЕНИЕ НА 0

(IF (= (AREF MATRIX J J) 0)

(SETQ II (+ J 1))

;ИЩЕМ СТРОКУ В КОТОРОЙ J-Й ЭЛЕМЕНТ НЕ 0

((OR (/= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- SIZE 1))))

(SETQ II (+ II 1))

;ЕСЛИ НЕТ ТАКОЙ СТРОКИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН 0

(IF (AND (= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- SIZE 1))) (SETQ T_ 0))

Вычислим определитель методом Гаусса.

Суть метода состоит в следующем:
определитель приводится к треугольному
виду с помощью элементарных преобразований,
и тогда он равен произведению элементов,
стоящих на главной диагонали.

Идея метода состоит в следующем: пусть
дан определитель третьего порядка

элементдолжен быть равен
,
для этого первую строку разделим на.

Получим определитель вида

(2)

Обнулим элементы, стоящие в первом
столбце, кроме первого. Для этого из
второй строки вычтем первую, умноженную
на

,
далее из третьей строки вычтем первую,
умноженную на.
Получим определитель вида
.

Обозначим его элементы буквой с, тогда

(3)

Теперь надо обнулить элемент
.
Элемент
должен быть равен
,
для этого вторую строку разделим на
.
Получим определитель вида
.

.

Обозначим его элементы буквой t,
тогда

(4)

Вот мы привели определитель к треугольному
виду, теперь он равен

.

Разберем теперь это на конкретном
примере.

Пример 4:
Вычислить определительметодом Гаусса.

Решение: Поменяем местами первую и
третью строки (при замене двух столбцов
(строк) определитель меняет знак на
противоположный).

Получили

Из второй строки вычтем первую, умноженную
на 2, далее из третьей строки вычтем
первую, умноженную на 3. Получили

Получили —

§2.Матрицы Виды матриц

Определение 7:
Если в матрицеmстрок иnстолбцов, то она
называетсяразмерностью
mnи пишут
.

Определение 8:
Если
,
то матрица называется квадратной.

Определение 9:
Матрица, состоящая
лишь из одной строки (столбца) называется
матрицей-строкой (столбцом).

Определение 10:
Матрица, состоящая
из нулей, называется нулевой матрицей.

Определение 11:
Диагональной матрицей
называется квадратная матрица, у которой
все элементы, не принадлежащие главной
диагонали равны нулю.

Определение 12:
Единичной матрицей
называется диагональная матрица, у
которой все элементы, стоящие на главной
диагонали равны единице.

Определение 13:
Треугольной называется
квадратная матрица, у которой элементы,
расположенные по одну сторону от главной
диагонали равны нулю.

Действиянад матрицами.

Определение 14:
Две матрицы считаются
равными, если они имеют одинаковое число
строк и столбцов и равные соответствующие
элементы.

Пример 5:

Матрицы А и В равны, т.е.

Определение 15:
Суммой (разностью)
матриц А и В называется такая матрица
С, у которой каждый элемент равен
.

Пример 6:
Найти матрицу
,
если

Решение:

Cвойства сложения

А+В=В+А(переместительное)

2 0 А+О=А, где О-нулевая матрица

3 0 А+(В+С)=(А+В)+С (дистрибутивное)

4 0 А+(-А)=О, где – А противоположная
матрица

(т.е. элементы имеют противоположные
знаки)

Определение 16:
Произведением матрицы
А на число
называется матрица, полученная из
данной умножением всех ее элементов на
число.

Пример 7:


Умножение матиц

Это действие распространяется на так
называемые согласованные матрицы.

Определение 17:
Матрица А называетсясогласованной с матрицей В, если число
столбцов у матрицы А равно числу строк
у матрицы В.

Пример 8:

и
— согласованные

и
— несогласованные

и
несогласованные

Определение 18:
Произведением двух
матриц А и В называется такая матрица
С, каждый элемент которой равен сумме
произведений элементовiстроки матрицы А на соответствующие
элементыj-го столбца
матрицы В.

Если матрица А имеет размерность

,
а матрица В
,
то
.

Пример 9:
Умножить матрицы

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса-Жордана

метод Гаусса–Жордана – один из наиболее известных и широко применяемых методов решения систем линейных уравнений. Матричный метод и метод Крамера обладают тем недостатком,
что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяют лишь единственное решение при detA неравном 0. Еще одним недостатком является то, что объем математических вычислений
в рамках этих методов резко возрастает с ростом числа уравнений. Метод Гаусса практически свободен от этих недостатков.

Алгоритм метода Гаусса

  1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;
  2. Приводим матрицу к “треугольному” виду;
  3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;
  4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через
    переменные которые могут принимать произвольные значения;

Комментарий к шагу 2 Метода Гаусса. Треугольной называют матрицу, в которой все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

  1. Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент aii равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a11 отличен от нуля – переходим к следующему шагу;
  2. Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента Kj=aji/aii;
  3. Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: ajkнов.=ajk-Kj*aik;
    После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n – размерность матрицы A
  4. В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пaii, которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце.
Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк.
Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.

Комментарий к шагу 3 Метода Гаусса. Рангом матрицы A размера m × n называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается через r(A) = rangA = rankA.
Минором M (от латинского “minor” меньший) k-го порядка матрицы A называется определитель некоторой матрицы, составленной из элементов матрицы A, стоящих на пересечении произвольно выбранных k
строк и k столбцов с сохранением их порядка. Если номера столбцов, в которых расположен минор M, совпадают с номерами строк, то этот минор называется главным. Каждая матрица A порядка n имеет
(Ckn)2 миноров k-го порядка. Минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы A.

Основываясь на сравнении полученных значений рангов для основной и расширенной матрицы можно сделать следующие выводы о разрешимости системы:

  • если ранг основной системы равен рангу расширенной и равен числу уравнений системы (rangA=rangA’=n), то система совместна и имеет единственное решение;
  • если ранг основной системы равен рангу расширенной, но меньше числа уравнений в системе (rangA=rangA’
  • если ранг основной системы меньше ранга расширенной (rangA

в чем суть, решение системы уравнений, примеры с объяснением

Благодаря великим ученым было открыто множество эффективных теорем для работы со сложными математическими задачами. Один из таких примеров — метод Гаусса.

Метод Гаусса — что это такое

Метод Гаусса представляет собой методику эквивалентного преобразования исходной системы линейных уравнений в систему, решаемую существенно проще, чем исходный вариант.

Метод Гаусса используют для решения систем линейных алгебраических формул. Такой способ обладает рядом важных преимуществ:

  1. Нет необходимости сравнивать уравнения для оценки совместимости.
  2. Решение систем равенств, в которых число определителей совпадает или не совпадает с количеством неизвестных переменных.
  3. Поиск решений для уравнений с нулевым определителем.
  4. Сравнительно небольшое количество вычислительных операций для получения результата.

Основные определения и обозначения

Матрицы: определение и свойства

Такие системы являются наиболее удобным способом представления данных, с которыми впоследствии производят манипуляции. Матрица имеет вид прямоугольника для удобства расчетов. При использовании метода Гаусса работа осуществляется с треугольными матрицами, при записи которых применяется прямоугольник с нулями на тех местах, где числа отсутствуют. Часто нули не записывают, а только подразумевают.

Важным параметром матрицы является размер:

  • ширина — это количество строк, обозначают буквой m;
  • длину выражают числом столбцов, записывают буквой n.



Источник: bigpicture.ru

Размер матрицы будет записан в формате А m*n. В случае, когда m=n, матрица является квадратной, а m=n служит ее порядком. Номера строк и столбцов изменяются.

Определитель

Матрица обладает крайне важной характеристикой. Таким параметром является определитель. Данную величину рассчитывают с помощью диагонали. Для этого в матрице необходимо провести воображаемые диагональные линии. Затем следует найти произведение элементов, которые располагаются на этих диагоналях, а полученные значения суммировать таким образом:

  1. Если диагональ обладает наклоном в правую сторону, то знак «+».
  2. Для диагоналей, наклоненных влево, знак «–».



Источник: wp.com

Рассчитать определитель представляется возможным лишь в случае работы с квадратной матрицей.

Если необходимо определить данный параметр для прямоугольной матрицы, то следует выполнить следующие манипуляции:

  • из числа строк и числа столбцов выбрать наименьшее и обозначить его k;
  • отметить в матрице произвольным образом k столбцов и k строк.

Элементы, которые расположены на пересечении отмеченных столбцов и строк, образуют новую квадратную матрицу. В случае, когда определитель является числом, не равным нулю, то данный параметр будет обозначен как базисный минор первоначальной прямоугольной матрицы. Перед решением систем уравнений методом Гаусса полезно рассчитать определитель. Если данная характеристика равна нулю, то матрица имеет бесконечное множество решений либо не имеет их вовсе. В таком случае потребуется определить ранг матрицы.

Классификация систем

Ранг матрицы является распространенным понятием. Он обозначает максимальный порядок ее определителя, который не равен нулю. По-другому можно сказать, что ранг матрицы представляет собой порядок базисного минора. Исходя из данного критерия, СЛАУ классифицируют на несколько типов. В совместных системах, которые состоят лишь из коэффициентов, ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной. Для подобных систем характерно одно или множество решений. По этой причине совместные системы подразделяют на следующие типы:

  • определенные, обладающие одним решением, в которых наблюдается равенство ранга матрицы и количество неизвестных;
  • неопределенные;
  • обладающие бесконечным числом решений с рангом матрицы, который меньше количества неизвестных.

В несовместных системах ранги, характеризующие основную и расширенную матрицы, отличаются. С помощью метода Гаусса в процессе решения можно прийти либо к однозначному доказательству несовместности системы, либо к решению общего вида для системы, обладающей бесконечным количеством решений.



Источник: asiaplustj.info

Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса

Перед тем, как решать систему, необходимо ее упростить. На данном этапе выполняют элементарные преобразования, которые не влияют на конечный результат. Определенные манипуляции справедливы лишь в случае матриц, исходниками которых являются СЛАУ. Список элементарных преобразований:

  1. Перестановка строк. При перемене записей в системе местами ее решение не меняется. Можно менять место строк в матрице, учитывая столбец со свободными членами.
  2. Произведение всех элементов строк и некоторого коэффициента. Сокращаются большие числа в матрице, и исключаются нули. При этом множество решений сохраняется без изменений, а дальнейшие манипуляции существенно упрощаются. Важным условием является отличие от нуля коэффициента.
  3. Удаление строк, которые содержат пропорциональные коэффициенты. Данное преобразование следует из предыдущего пункта. При условии, что две или более строк в матрице обладают пропорциональными коэффициентами, то при произведении или делении одной из строк на коэффициент пропорциональности получают две или более абсолютно одинаковые строки. В этом случае лишние строки исключают, оставляя только одну.
  4. Удаление нулевой строки. Бывают случаи, когда в процессе манипуляций с уравнениями возникает строка, все элементы которой, в том числе свободный член, равны нулю. Нулевую строку допустимо исключать из матрицы.
  5. Суммирование элементов одной строки с элементами другой, умноженными на некоторый коэффициент, в соответствующих столбцах. Данное преобразование имеет наиболее важное значение из всех перечисленных.

Особенности использования метода Гаусса для решения СЛАУ

На первом этапе система уравнений записывается в определенном виде. Пример выглядит следующим образом:



Источник: wp.com

Коэффициенты необходимо представить в виде таблицы. С правой стороны в отдельном столбце записаны свободные члены. Данный блок отделен для удобства решения. Матрицу со столбцом со свободными членами называют расширенной.



Источник: wp.com

Затем основная матрица с коэффициентами приводится к верхней треугольной форме. Данное действие является ключевым моментом при решении системы уравнений с помощью метода Гаусса. По итогам преобразований матрица должна приобрести такой вид, чтобы слева внизу находились одни нули:



Источник: wp.com

При записи новой матрицы в виде системы уравнений можно отметить, что последняя строка уже содержит значение одного из корней, которое в дальнейшем подставляется в уравнение выше для нахождения следующего корня и так далее. Подобное описание позволяет разобраться в методе Гаусса в общих чертах.

Обратный и прямой ход метода Гаусса

В первом случае необходимо представить запись расширенной матрицы системы. При выполнении обратного метода Гаусса далее в главную матрицу добавляют столбец со свободными членами.



Источник: wp.com

Суть такого способа заключается в выполнении элементарных преобразований, по итогам которых данная матрица приводится к ступенчатому или треугольному виду. В этом случае над или под главной диагональю матрицы располагаются только нули.



Источник: wp.com

Варианты дальнейших действий:

  • перемена строк матрицы местами, при наличии одинаковых или пропорциональных строк их можно исключить, кроме одной;
  • деление либо умножение строки на любое число, не равное нулю;
  • удаление нулевых строк;
  • добавление строки, умноженной на число, не равное нулю, к другой строке.

Имея преобразованную систему с одной неизвестной Xn, которая становится известной, можно выполнить поиск в обратном порядке остальных неизвестных с помощью подстановки известных х в уравнения системы, вплоть до первого. Данный способ называют обратным методом Гаусса.

Примеры решений с объяснением

Пример 1

Требуется решить с помощью метода Гаусса систему линейных уравнений, которая выглядит следующим образом:



Источник: wp.com

Решение

Необходимо записать расширенную матрицу:



Источник: wp.com

Затем нужно выполнить преобразования. В результате матрица должна приобрести треугольный вид. Для этого следует умножить первую строку на (3) и умножить вторую строку на (-1). В результате суммирования второй и первой строк получается следующее:



Источник: wp.com

Далее следует умножить третью строку на (-1). После добавления третьей строки ко второй получаем следующие преобразования:



Источник: wp.com

После этого необходимо умножить первую строку на (6) и вторую строку на (13). Далее следует добавить вторую строку к первой:



Источник: wp.com

После того, как система преобразована, остается вычислить неизвестные:

\(x_{3}=\frac{98}{49}=2\)

\(x_{2}=\frac{14-7x_{3}}{6}=\frac{14-7*2}{6}=0\)

\(x_{3}=\frac{-9+5x_{2}+6x_{3}}{3}=\frac{-9+5*0+6*2}{3}=1\)

Данный пример демонстрирует единственное решение системы.



Источник: supertics.com

Пример 2

Необходимо решить систему уравнений, которая выглядит следующим образом:



Источник: wp.com

Решение

Необходимо составить матрицу:



Источник: wp.com

Согласно методу Гаусса уравнение первой строки по итогам преобразований не меняется. Удобнее, когда левый верхний элемент матрицы обладает наименьшим значением. В таком случае первые элементы остальных строк после преобразований будут равны нулю. Таким образом, составленная матрица будет решаться проще, если на место первой строки поставить вторую:

вторая строка:

\(k = (-a_{21} /a_{11}) = (-3/1) = -3\)

\(a»_{21} = a_{21} + k×a_{11} = 3 + (-3)×1 = 0\)

\(a» _{22} = a_{22} + k×a _{12} = -1 + (-3)×2 = -7\)

\(a»_{ 23} = a_{23} + k×a_{13} = 1 + (-3)×4 = -11\)

b» 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

третья строка: 

\(k = (-a_{31} /a_{11}) = (-5/1) = -5\)

\(a»_{31} = a_{31} + k×a_{11} = 5 + (-5)×1 = 0\)

\(a»_{32} = a_{32} + k×a_{12} = 1 + (-5)×2 = -9\)

\( a»_{33} = a_{33} + k×a_{13} = 2 + (-5)×4 = -18\)

\( b»_3 = b_3 + k×b_1 = 3 + (-5)×12 = -57\)

Матрица с промежуточными результатами манипуляций будет иметь следующий вид:



Источник: wp.com

Благодаря некоторым операциям можно придать матрице наиболее удобный вид. К примеру, вторую строку можно избавить от всех «минусов» путем умножения каждого элемента на «-1». Можно заметить, что для третьей строки характерны все элементы, кратные трем. В этом случае строка сокращается с помощью произведения каждого элемента на «-1/3». Минус позволит удалить отрицательные значения.



Источник: wp.com

Далее следует приступить к манипуляциям со второй и третьей строками. Необходимо суммировать третью и вторую строки. Вторая строка при этом умножается на такой коэффициент, при котором элемент а 32 будет равен нулю.

\(k = (-a_{32} /a_{22}) = (-3/7) = -3/7\)

В случае, когда некоторые преобразования приводят в результате к получению не целого числа, следует оставить его в этом виде. Таким образом, вычисления будут более точными. Затем при получении ответов можно определиться с его дальнейшем округлением или переводом в другую форму записи.

\(a»_{32} = a_{32} + k×a_{22} = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0\)

\(a»_{33} = a_{33} + k×a_{23} = 6 + (-3/7)×11 = -9/7\)

\(b»_3 = b_3 + k×b_2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7\)

Преобразованная матрица будет иметь следующий вид:



 

 

Матрица обладает ступенчатым видом. Дальнейшие преобразования с помощью метода Гаусса нецелесообразны. В этом случае можно удалить из третьей строки общий коэффициент «-1/7».



Источник: wp.com

Затем необходимо представить запись матрицы в виде системы уравнений для вычисления корней.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Найти корни можно обратным методом Гаусса. Уравнение (3) содержит значение z:

y = (24 — 11×(61/9))/7 = -65/9

С помощью первого уравнения можно определить х:

x = (12 — 4z — 2y)/1 = 12 — 4×(61/9) — 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Подобная система является совместной и определенной, для которого характерно единственное решение. Ответ будет следующим:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Метод Гаусса предполагает последовательное исключение неизвестных. Методика справедлива в случае решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Несмотря на простоту метода, многие студенты сталкиваются с некоторыми трудностями в процессе поиска правильного решения. Это связано с наличием знаков «+» и «-». Поэтому для решения СЛАУ требуется проявить внимательность. А получить квалифицированную помощь можно на ресурсе Феникс.Хелп.

Калькулятор метода исключения Гаусса

— Онлайн-программа для сокращения строк

Поиск инструмента

Исключение по Гауссу

Инструмент для применения метода исключения Гаусса и получения формы сокращенного эшелона строки с шагами, деталями, обратной матрицей и векторным решением.

Результаты

Исключение Гаусса — dCode

Тег (и): Матрица, символьное вычисление

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Рекламные объявления

Калькулятор исключения по Гауссу

Преобразователь системы уравнений в матрицу

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое метод исключения Гаусса?

Алгоритм исключения Гаусса (также называемый методом Гаусса-Жордана или методом поворота) позволяет находить решения системы линейных уравнений и определять обратную матрицу.

Алгоритм работает со строками матрицы путем обмена или умножения строк между ними (с точностью до множителя).

На каждом шаге алгоритм стремится ввести в матрицу на элементах за пределами диагонали нулевые значения.

Как вычислить решения системы линейных уравнений с Гауссом?

Первым шагом из системы линейных уравнений является преобразование уравнений в матрицу.

Пример: $$ \ left \ {\ begin {array} {} x & — & y & + & 2z & = & 5 \\ 3x & + & 2y & + & z & = & 10 \\ 2x & — & 3y & — & 2z & = & — 10 \\\ end {массив} \ право.$$ можно записать в форме умножения «> матричного умножения: $$ \ left (\ begin {array} {ccc} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \ end { array} \ right). \ left (\ begin {array} {c} x \\ y \\ z \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {c} 5 \\ 10 \\ -10 \ end {array} \ right) $$, который соответствует (расширенной) матрице $$ \ left (\ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 2 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 10 \\ 2 & -3 & 2 & -10 \ end {array} \ right) $$

Затем для каждого элемента за пределами ненулевой диагонали выполните соответствующие вычисления, добавляя или вычитая другие строки, чтобы элемент стал 0.

Пример: Вычтите 3 раза (строка 1) из (строка 2), например, элемент в строке 2, столбец 1 станет 0: $$ \ left (\ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 2 & 5 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 2 & -3 & -2 & -10 \ end {array} \ right) $$
Вычтите 2 раза (строка 1) до (строка 3) например, элемент в строке 3, столбец 1 становится 0: $$ \ left (\ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 2 & 5 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & -1 & -6 & -20 \ end {array} \ right) $$
Вычтите 1/5 раз (строка 2) из ​​(строка 3), например, элемент в строке 3, столбец 2 станет 0: $$ \ слева (\ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 2 & 5 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \ end {array} \ right) $$
Вычтите 1/5 раз (строка 2) из ​​(строка 1), например, элемент в строке 1, столбец 2 станет 0: $$ \ left (\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \ end {array} \ right) $$
Отнимите 1/7 раз (строка 3) до (строка 1), например как элемент в строке 1, столбец 3 становится 0: $$ \ left (\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \ end {array} \ right) $$
Вычтите 5/7 раз (строка 3) из (строка 2), например, элемент в строке 2, столбец 3 станет 0: $$ \ left (\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \ end {array} \ right) $$

Упростите каждую строку, разделив значение по диагонали.

Пример: $$ \ left (\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array } \ right) $$

Результирующий вектор — это последний столбец.

Пример: $ {1,2,3} $, что соответствует $ {x, y, z} $, поэтому $ x = 1, y = 2, z = 3 $

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Исключение Гаусса». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любой алгоритм, апплет или фрагмент алгоритма исключения Гаусса (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой алгоритм исключения Гаусса ‘функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанная на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Исключения Гаусса» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

исключение, точка поворота, гаусс, иордан, матрица, система, уравнение

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/gaussian-elimination

© 2021 dCode — Лучший «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

Калькулятор исключения Гаусса

Как найти неизвестные переменные в уравнениях методом исключения Гаусса?

Исключение Гаусса или сокращение строки , это алгоритм решения системы линейных уравнений. Этот метод также называется исключением Гаусса-Жордана. Он представлен последовательностью операций, выполняемых над матрицей.Метод назван в честь Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), хотя был известен китайским математикам.
Метод решения системы линейных уравнений методом исключения Гаусса аналогичен методу решения матриц. Например, существует связь между системой трех линейных уравнений и ее матрицей коэффициентов.
$$ \ begin {align} & a_1x + b_1y + c_1z = {d_1} \\
& a_2x + b_2y + c_2z = {d_2} \\
& a_3x + b_3y + c_3z = {d_3} \\
\ end {align} \ quad \ longmapsto \ left (
\ begin {array} {ccc}
{a_1} & b_1 & c_1 \\
{a_2} & b_2 & c_2 \\
{a_3} & b_3 & c_3 \\
\ end {массив}
\ right) $$
Есть три типа операций с элементарными строками:

  • Замена двух рядов;
  • Умножение строки на ненулевое число;
  • Добавление числа, кратного одной строке, к другой строке.

Метод исключения Гаусса состоит из двух частей. Первая часть сводит данную систему к \ underline {форме эшелона строк}. Из формы эшелона строк мы можем сделать вывод, что у системы нет решений, единственное решение или бесконечно много решений. Вторая часть использует операции со строками, пока не будет найдено решение.
Форма ступенчатого эшелона удовлетворяет следующим свойствам:

  • Старший коэффициент каждой строки должен быть 1 $;
  • Все элементы в столбце ниже $ 1 $ должны быть $ 0 $;
  • Все строки, содержащие нули, находятся внизу матрицы.

Например, следующие матрицы представлены в виде эшелона строк
$$ \ left (
\ begin {array} {cc}
1 и 5 \\
0 и 1 \\
\ end {массив}
\ вправо), \ квад \ влево (
\ begin {array} {cccc}
1 и 1 и 0 и 5 \\
0 и 1, 3 и 4 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\ end {массив}
\ вправо), \ квад \ влево (
\ begin {array} {cccc}
1 и 2 и 3 и 4 \\
0 и 1, 3 и 4 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\ end {массив}
\ right) $$
Матрица находится в форме сокращенного звена строк , если, кроме того, в каждом столбце, содержащем ведущий коэффициент, все другие записи в этом столбце равны нулю.Например, матрицы, показанные ниже, являются примерами матриц в сокращенной форме эшелона строк.
$$ \ left (
\ begin {array} {cc}
1 & 0 \\
0 и 1 \\
\ end {массив}
\ вправо), \ квад \ влево (
\ begin {array} {cccc}
1 & 0 & 0 & 7 \\
0 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\ end {массив}
\ вправо), \ квад \ влево (
\ begin {array} {cccc}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\ end {массив}
\ right) $$
Расширенная матрица — это матрица, полученная путем добавления столбцов двух заданных матриц.В случае решения системы нам необходимо увеличить матрицу коэффициентов и постоянную матрицу. Вертикальная линия указывает разделение между матрицей коэффициентов и постоянной матрицей. Итак, для системы трех уравнений
$$ \ begin {align} & a_1x + b_1y + c_1z = {d_1} \\
& a_2x + b_2y + c_2z = {d_2} \\
& a_3x + b_3y + c_3z = {d_3} \\
\ end {align} $$
расширенная матрица
$$ \ left (
\ begin {array} {ccc | c}
a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\
\ end {массив}
\ right) $$
Количество решений системы зависит только от ранга матрицы, представляющей систему, и ранга соответствующей расширенной матрицы.На основании теоремы Кронекера-Капелли любая система из трех линейных уравнений не имеет решений, если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов. Если ранги этих двух матриц равны, система должна иметь хотя бы одно решение. Решение уникально тогда и только тогда, когда ранг равен количеству переменных, в данном случае, если ранг равен 3 $.
Например, решим решение системы методом исключения Гаусса
$$ \ begin {align} & 4x + 5y + 3z = {10} \\
& 3x + 6y + 7z = {8} \\
& 2x + 3y + 0z = {8} \\
\ end {align} $$
Коэффициенты и постоянные члены системы дают матрицы
$$ \ left (
\ begin {array} {ccc}
4 и 5 и 3 \\
3 и 6 и 7 \\
2 и 3 и 0 \\
\ end {массив}
\ вправо), \ квад \ влево (
\ begin {array} {c}
10 \\
8 \\
8 \\
\ end {массив}
\ right) $$
Расширенная матрица
$$ \ left (
\ begin {array} {ccc | c}
4 и 5 и 3 и 10 \\
3 и 6 и 7 и 8 \\
2 и 3 и 0 и 8 \\
\ end {массив}
\ right) $$
Чтобы решить систему, приведите расширенную матрицу к сокращенной форме эшелона строк следующим образом.

  • Разделите строку $ 1 $ на $ 4 $ ($ R_1 = \ frac {R_1} 4) $, чтобы получить
    $$ \ left (
    \ begin {array} {ccc | c}
    1 & \ frac 54 & \ frac 34 & \ frac {5} 2 \\
    3 и 6 и 7 и 8 \\
    2 и 3 и 0 и 8 \\
    \ end {массив}
    \ right) $$
  • Вычтите строку $ 1 $, умноженную на $ 3 $, из строки $ 2 $ ($ R_2 = R_2-3R_1 $), чтобы получить
    $$ \ left (
    \ begin {array} {ccc | c}
    1 & \ frac 54 & \ frac 34 & \ frac {5} 2 \\
    0 & \ frac 94 & \ frac {19} 4 & \ frac 12 \\
    2 и 3 и 0 и 8 \\
    \ end {массив}
    \ справа) $$
  • Вычтите строку $ 1 $, умноженную на $ 2 $, из строки $ 3 $ ($ R_3 = R_3-2R_1 $), чтобы получить
    $$ \ left (
    \ begin {array} {ccc | c}
    1 & \ frac 54 & \ frac 34 & \ frac {5} 2 \\
    0 & \ frac 94 & \ frac {19} 4 & \ frac 12 \\
    0 & \ frac12 & — \ frac 32 & 3 \\
    \ end {массив}
    \ справа) $$
  • Умножьте строку $ 2 $ на $ \ frac 49 $ ($ R_2 = \ frac49 R_2 $), чтобы получить
    $$ \ left (
    \ begin {array} {ccc | c}
    1 & \ frac 54 & \ frac 34 & \ frac {5} 2 \\
    0 & 1 & \ frac {19} 9 & \ frac 29 \\\
    0 & \ frac12 & — \ frac 32 & 3 \\
    \ end {массив}
    \ справа) $$
  • Вычтите строку $ 2 $, умноженную на $ \ frac 54 $, из строки $ 1 $ ($ R_1 = R_1- \ frac54 R_2 $), чтобы получить
    $$ \ left (
    \ begin {array} {ccc | c}
    1 & 0 & — \ frac {17} 9 & \ frac {20} 9 \\
    0 & 1 & \ frac {19} 9 & \ frac 29 \\
    0 & \ frac12 & — \ frac 32 & 3 \\
    \ end {массив}
    \ справа) $$
  • Вычтите строку $ 2 $, умноженную на $ \ frac 12 $, из строки $ 3 $ ($ R_3 = R_3- \ frac12R_2 $), чтобы получить
    $$ \ left (
    \ begin {array} {ccc | c}
    1 & 0 & — \ frac {17} 9 & \ frac {20} 9 \\
    0 & 1 & \ frac {19} 9 & \ frac 29 \\
    0 & 0 & — \ frac {23} 9 & \ frac {26} 9 \\
    \ end {массив}
    \ right) $$
  • Умножьте строку $ 3 $ на $ — \ frac9 {23} $ ($ R_3 = — \ frac9 {23} R_3 $), чтобы получить
    $$ \ left (
    \ begin {array} {ccc | c}
    1 & 0 & — \ frac {17} 9 & \ frac {20} 9 \\
    0 & 1 & \ frac {19} 9 & \ frac 29 \\
    0 & 0 & 1 & — \ frac {26} {23} \\
    \ end {массив}
    \ справа) $$
  • Добавьте строку $ 3 $, умноженную на $ \ frac {17} 9 $, в строку $ 1 $ ($ R_1 = R_1 + \ frac {17} 9R_3 $), чтобы получить
    $$ \ left (
    \ begin {array} {ccc | c}
    1 & 0 & 0 & \ frac2 {23} \\
    0 & 1 & \ frac {19} 9 & \ frac 29 \\
    0 & 0 & 1 & — \ frac {26} {23} \\
    \ end {массив}
    \ справа) $$
  • Вычтите строку $ 3 $, умноженную на $ \ frac {19} 9 $, из строки $ 2 $ ($ R_2 = R_2- \ frac {19} 9R_3 $), чтобы получить
    $$ \ left (
    \ begin {array} {ccc | c}
    1 & 0 & 0 & \ frac2 {23} \\
    0 & 1 & 0 & \ frac {60} {23} \\
    0 & 0 & 1 & — \ frac {26} {23} \\
    \ end {массив}
    \ right) $$
    Итак, решение системы: $ (x, y, z) = (\ frac {2} {23}, \ frac {60} {23}, — \ frac {26} {23}) $.

Работа исключения Гаусса с шагами показывает полное пошаговое вычисление для поиска решения линейной системы трех уравнений с использованием метода исключения Гаусса. Для любой другой системы просто введите двенадцать действительных чисел в качестве коэффициентов линейных уравнений и нажмите кнопку «Создать работу». Учащиеся начальной школы используют этот Калькулятор исключения Гаусса для создания работы, проверки результатов решения систем линейных уравнений, выведенных вручную, или для эффективного выполнения домашних заданий.Во многих приложениях необходимо вычислить исключение матрицы, где этот онлайн-калькулятор исключения матрицы Гаусса может помочь легко упростить вычисления для соответствующих входных данных.

Онлайн калькулятор: Метод исключения Гаусса

Система линейных уравнений:

может быть решена методом исключения Гаусса с помощью калькулятора.

В методе исключения Гаусса система линейных уравнений представлена ​​как расширенная матрица, то есть матрица, содержащая коэффициенты уравнения и постоянные члены с размерами [n: n + 1]:

Исключение по Гауссу

8 3 4 5 31
14 4 33 23 17
15 4 23 7 22
4 11 17 1 51

Матрица системы линейных уравнений

Точность вычислений

Цифры после десятичной точки: 2

Файл очень большой.Во время загрузки и создания может произойти замедление работы браузера.

Скачать
закрыть

content_copy Ссылка сохранить Сохранить расширение Виджет

Исключение по Гауссу

Метод назван в честь Карла Фридриха Гаусса, гениального немецкого математика 19 века. Сам Гаусс не изобрел этот метод. Метод сокращения строк был известен древним китайским математикам; он был описан в «Девяти главах математического искусства», китайской книге по математике, изданной во II веке.

Ликвидация вперед

Первым шагом исключения Гаусса является получение матрицы строковой формы. Левая нижняя часть этой матрицы содержит только нули, и все нулевые строки находятся ниже ненулевых строк:

Матрица приведена к этой форме с помощью элементарных операций со строками: поменять местами две строки, умножить строку на константу, добавить к одной строке скалярное кратное другой.
Наш калькулятор получает форму эшелона путем последовательного вычитания верхних строк, умножения на нижние строки, умножения на, где i — ведущая строка коэффициентов (ведущая строка).
Важно, чтобы старший коэффициент отличался от нуля. Если он становится равным нулю, строка заменяется более низкой строкой с ненулевым коэффициентом в той же позиции.

Обратная замена

На этом этапе операции с элементарными строками продолжаются до тех пор, пока не будет найдено решение. Наконец, он преобразует матрицу в сокращенный ряд строк:
,

Обратная матрица с использованием исключения Гаусса-Джордана

.

М. Борна

В этом разделе мы увидим, как работает метод исключения Гаусса-Жордана, на примерах.

Вы можете повторно загружать эту страницу сколько угодно раз и каждый раз получать новый набор чисел. Вы также можете выбрать матрицу другого размера (внизу страницы).

(Если вам сначала нужна дополнительная информация, вернитесь к введению в матрицы).

Выберите размер матрицы, который вас интересует, и нажмите кнопку.

Матрица A:

Пример, сгенерированный случайным образом, показан ниже.

Пользователи телефона

ПРИМЕЧАНИЕ: Если вы разговариваете по телефону, вы можете прокрутить любую матрицу шириной на этой странице вправо или влево, чтобы увидеть все выражение.

Пример (3 × 3)

Найдите матрицу, обратную матрице A , используя метод исключения Гаусса-Жордана.

А = 11 12 6
13 5 7
2 8 9

Наша процедура

Запишем матрицу A слева и матрицу идентичности I справа, разделенные пунктирной линией, как показано ниже.Результат называется расширенной матрицей .

Мы включили номера строк, чтобы было понятнее.

1 0 0 Ряд [1]
0 1 0 Ряд [2]
0 0 1 Ряд [3]

Затем мы выполняем несколько операций со строками над двумя матрицами, и наша цель — получить единичную матрицу на левом , например:

? ? ? Ряд [1]
? ? ? Ряд [2]
? ? ? Ряд [3]

(Технически мы сокращаем матрицу A до сокращенной эшелонированной формы строки , также называемой канонической формой строки ).

Результирующая матрица справа будет обратной матрицей для A .

Наша процедура операций со строками выглядит следующим образом:

  1. Получим «1» в верхнем левом углу, разделив первую строку
  2. Тогда мы получим «0» в оставшейся части первого столбца
  3. Затем нам нужно получить «1» во второй строке, втором столбце
  4. Затем мы делаем все остальные записи во втором столбце «0».

Продолжаем так до тех пор, пока слева не останется единичная матрица.

Давайте теперь продолжим и найдем обратное.

Решение

Начнем с:

1 0 0 Ряд [1]
0 1 0 Ряд [2]
0 0 1 Ряд [3]

Новая строка [1]

Разделите строку [1] на 11 (чтобы получить «1» в нужной позиции):

Это дает нам:

1 1.0909 0,5455
13 5 7
2 8 9
0,0909 0 0 Ряд [1]
0 1 0 Ряд [2]
0 0 1 Ряд [3]

Новый ряд [2]

Ряд [2] — 13 × Ряд [1] (чтобы дать нам 0 в желаемой позиции):

13 — 13 × 1 = 0
5 — 13 × 1.0909 = -9,1818
7 — 13 × 0,5455 = -0,0909
0 — 13 × 0,0909 = -1,1818
1 — 13 × 0 = 1
0 — 13 × 0 = 0

Это дает нам новую строку [2]:

1 1.0909 0,5455
0 -9,1818 -0,0909
2 8 9
0,0909 0 0 Ряд [1]
-1.1818 1 0 Ряд [2]
0 0 1 Ряд [3]

Новый ряд [3]

Ряд [3] — 2 × Ряд [1] (чтобы дать нам 0 в желаемой позиции):

2 — 2 × 1 = 0
8 — 2 × 1,0909 = 5,8182
9 — 2 × 0,5455 = 7,9091
0 — 2 × 0,0909 = -0,1818
0 — 2 × 0 = 0
1-2 × 0 = 1

Это дает нам новую строку [3]:

1 1.0909 0,5455
0 -9,1818 -0,0909
0 5,8182 7,9091
0,0909 0 0 Ряд [1]
-1,1818 1 0 Ряд [2]
-0,1818 0 1 Ряд [3]

Новый ряд [2]

Разделите строку [2] на -9.1818 (чтобы поставить нам «1» в желаемой позиции):

Это дает нам:

1 1.0909 0,5455
0 1 0,0099
0 5,8182 7,9091
0,0909 0 0 Ряд [1]
0,1287 -0.1089 0 Ряд [2]
-0,1818 0 1 Ряд [3]

Новая строка [1]

Ряд [1] — 1.0909 × Ряд [2] (чтобы дать нам 0 в желаемой позиции):

1 — 1,0909 × 0 = 1
1,0909 — 1,0909 × 1 = 0
0,5455 — 1,0909 × 0,0099 = 0,5347
0,0909 — 1,0909 × 0,1287 = -0,0495
0 — 1,0909 × -0,1089 = 0,1188
0 — 1,0909 × 0 = 0

Это дает нам новую строку [1]:

1 0 0.5347
0 1 0,0099
0 5,8182 7,9091
-0,0495 0,1188 0 Ряд [1]
0,1287 -0,1089 0 Ряд [2]
-0,1818 0 1 Ряд [3]

Новый ряд [3]

Ряд [3] — 5.8182 × Ряд [2] (чтобы дать нам 0 в желаемой позиции):

0 — 5,8182 × 0 = 0
5,8182 — 5,8182 × 1 = 0
7,9091 — 5,8182 × 0,0099 = 7,8515
-0,1818 — 5,8182 × 0,1287 = -0,9307
0 — 5,8182 × -0,1089 = 0,6337
1 — 5,8182 × 0 = 1

Это дает нам новую строку [3]:

1 0 0,5347
0 1 0,0099
0 0 7.8515
-0,0495 0,1188 0 Ряд [1]
0,1287 -0,1089 0 Ряд [2]
-0,9307 0,6337 1 Ряд [3]

Новый ряд [3]

Разделите строку [3] на 7,8515 (чтобы получить «1» в нужной позиции):

Это дает нам:

1 0 0.5347
0 1 0,0099
0 0 1
-0,0495 0,1188 0 Ряд [1]
0,1287 -0,1089 0 Ряд [2]
-0,1185 0,0807 0,1274 Ряд [3]

Новая строка [1]

Ряд [1] — 0.5347 × Ряд [3] (чтобы дать нам 0 в желаемой позиции):

1 — 0,5347 × 0 = 1
0 — 0,5347 × 0 = 0
0,5347 — 0,5347 × 1 = 0
-0,0495 — 0,5347 × -0,1185 = 0,0139
0,1188 — 0,5347 × 0,0807 = 0,0757
0 — 0,5347 × 0,1274 = — 0,0681

Это дает нам новую строку [1]:

1 0 0
0 1 0,0099
0 0 1
0.0139 0,0757 -0,0681 Ряд [1]
0,1287 -0,1089 0 Ряд [2]
-0,1185 0,0807 0,1274 Ряд [3]

Новый ряд [2]

Ряд [2] — 0,0099 × Ряд [3] (чтобы дать нам 0 в желаемой позиции):

0 — 0,0099 × 0 = 0
1 — 0,0099 × 0 = 1
0.0099 — 0,0099 × 1 = 0
0,1287 — 0,0099 × -0,1185 = 0,1299
-0,1089 — 0,0099 × 0,0807 = -0,1097
0 — 0,0099 × 0,1274 = -0,0013

Это дает нам новую строку [2]:

0,0139 0,0757 -0,0681 Ряд [1]
0,1299 -0,1097 -0,0013 Ряд [2]
-0,1185 0,0807 0.1274 Ряд [3]

Мы достигли нашей цели по созданию матрицы идентичности слева. Таким образом, мы можем заключить, что инверсия матрицы A является правой частью расширенной матрицы:

A -1 = 0,0139 0,0757 -0,0681
0,1299 -0,1097 -0,0013
-0.1185 0,0807 0,1274

Примечания

  1. Приведенное выше объяснение показывает все шаги. Человек обычно может пойти несколькими путями. Кроме того, иногда в правильной позиции уже есть «1» или «0», и в этих случаях нам не нужно ничего делать для этого шага.
  2. Всегда записывайте, что вы делаете на каждом этапе — очень легко заблудиться!
  3. Я показал результаты с точностью до 4 знаков после запятой, но с максимальной точностью использовалась повсюду.Имейте в виду, что небольшие ошибки округления будут накапливаться во всей задаче. Всегда используйте полную точность калькулятора! (Используйте всю память калькулятора.)
  4. Очень иногда возникают странные результаты из-за внутреннего представления чисел компьютером. То есть он может хранить «1» как 0,999999999872.

Смотрите еще?

Вы можете вернуться к началу страницы и выбрать другой пример.

Алгебра — расширенные матрицы

Решите каждую из следующих систем уравнений.

a \ (\ begin {align *} 3x + y — 2z & = 2 \\ x — 2y + z & = 3 \\ 2x — y — 3z & = 3 \ end {align *} \) Показать решение

Давайте сначала запишем расширенную матрицу для этой системы.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & 2 \\ 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 2 & {- 1} & {- 3} & 3 \ end {array}} \ right] \]

Как и в предыдущих примерах, мы помечаем красным цветом числа, которые мы хотим изменить на данном шаге.Первый шаг здесь — получить 1 в верхнем левом углу, и, опять же, у нас есть много способов сделать это. В этом случае мы заметим, что если мы поменяем местами первую и вторую строки, мы сможем получить 1 в этом месте с относительно небольшой работой.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & 2 \\ 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 2 & {- 1} & {- 3} & 3 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} \ leftrightarrow {R_2}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & 2 \\ {\ color {Red} 2} & {- 1} & {- 3} & 3 \ end {array}} \ right] \]

Следующий шаг — получить два числа под этой единицей равными нулю.Также обратите внимание, что это почти всегда требует выполнения операции третьей строки. Кроме того, мы можем сделать и то, и другое за один шаг следующим образом.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & 2 \\ {\ color {Red } 2} & {- 1} & {- 3} & 3 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} — 3 {R_1} \ to {R_2 }} \\ {{R_3} — 2 {R_1} \ to {R_3}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & {\ color {Red} 7} & {- 5} & {- 7} \\ 0 & 3 & {- 5} & {- 3} \ end {array}} \ right] \]

Далее мы хотим превратить 7 в 1.Мы можем сделать это, разделив вторую строку на 7.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & {\ color {Red} 7} & {- 5} & {- 7} \\ 0 & 3 & {- 5} & {- 3} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {\ frac {1} {7} {R_2}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & 1 & {- \ frac {5} {7}} & {- 1} \\ 0 & {\ color {Красный} 3} & {- 5} & {- 3} \ end {array}} \ right] \]

Итак, здесь фигурирует дробь.Такое случается время от времени, так что не стоит сильно волноваться по этому поводу. Следующий шаг — заменить 3 под этой новой единицей на 0. Обратите внимание, что мы пока не будем беспокоиться о -2 над ней. Иногда так же легко превратить это в 0 на том же этапе. Однако в этом случае это, вероятно, так же легко сделать позже, как мы увидим.

Итак, используя операцию третьей строки, мы получаем

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & 1 & {- \ frac {5} {7}} & {- 1} \\ 0 & { \ color {Red} 3} & {- 5} & {- 3} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_3} — 3 {R_2} \ в {R_3}} \\ \ в \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & 1 & {- \ frac {5} {7}} & { — 1} \\ 0 & 0 & {\ color {Red} — \ frac {{20}} {7}} & 0 \ end {array}} \ right] \]

Далее нам нужно преобразовать число в правом нижнем углу в 1.Мы можем сделать это с помощью операции второй строки.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & 1 & {- \ frac {5} {7}} & {- 1} \\ 0 & 0 & { \ color {Red} — \ frac {{20}} {7}} & 0 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {- \ frac {7} {{ 20}} {R_3}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & {\ color {Red} 1} & 3 \\ 0 & 1 & {\ цвет {Красный} — \ frac {5} {7}} & {- 1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right] \]

Теперь нам нужны нули над этой новой единицей.Итак, использование операции третьей строки дважды, как показано ниже, сделает то, что нам нужно.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & {\ color {Red} 1} & 3 \\ 0 & 1 & {\ color {Red} — \ frac {5] } {7}} & {- 1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} + \ frac {5} {7} { R_3} \ to {R_2}} \\ {{R_1} — {R_3} \ to {R_1}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {\ цвет {Красный} — 2} & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & {- 1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right] \]

Обратите внимание, что в этом случае последний столбец не изменился на этом этапе.Это произошло только потому, что последняя запись в этом столбце была нулевой. В общем, этого не произойдет.

Последний шаг — преобразовать -2 над 1 во втором столбце в ноль. Это легко сделать с помощью операции третьего ряда.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {\ color {Red} — 2} & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & {- 1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right ] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} + 2 {R_2} \ to {R_1}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & {- 1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right] \]

Итак, у нас есть расширенная матрица в окончательном виде и решение будет

\ [x = 1, \, \, \, y = — 1, \, \, \, z = 0 \]

Это можно проверить, подставив их во все три уравнения и убедившись, что все они удовлетворяются.

b \ (\ begin {align *} 3x + y — 2z & = — 7 \\ 2x + 2y + z & = 9 \\ — x — y + 3z & = 6 \ end {align *} \) Показать решение

Опять же, первый шаг — записать расширенную матрицу.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & {- 7} \\ 2 & 2 & 1 & 9 \\ {- 1} & { — 1} & 3 и 6 \ end {array}} \ right] \]

На этот раз мы не можем получить 1 в верхнем левом углу, просто поменяв строки местами.Мы могли бы поменять местами первую и последнюю строку, но это также потребовало бы другой операции, чтобы превратить -1 в 1. Хотя это несложно, это две операции. Обратите внимание, что мы можем использовать операцию третьей строки, чтобы получить 1 в этом месте следующим образом.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & {- 7} \\ 2 & 2 & 1 & 9 \\ {- 1} & { — 1} & 3 и 6 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} — {R_2} \ to {R_1}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ {\ color {Red} 2} & 2 & 1 & 9 \\ {\ color {Red} — 1 } & {- 1} & 3 & 6 \ end {array}} \ right] \]

Теперь мы можем использовать операцию третьей строки, чтобы превратить два красных числа в нули.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ {\ color {Red} 2} & 2 & 1 & 9 \\ { \ color {Red} — 1} & {- 1} & 3 & 6 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} — 2 {R_1} \ to {R_2 }} \\ {{R_3} + {R_1} \ to {R_3}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3 } & {- 16} \\ 0 & {\ color {Red} 4} & 7 & {41} \\ 0 & {- 2} & 0 & {- 10} \ end {array}} \ right] \]

Следующий шаг — получить 1 на месте, занимаемом красной 4.Мы могли бы сделать это, разделив всю строку на 4, но это добавило бы пару несколько неприятных дробей. Итак, вместо этого мы собираемся поменять местами вторую и третью строки. Причина этого станет очевидной достаточно скоро.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & {\ color {Red} 4} & 7 & {41 } \\ 0 & {- 2} & 0 & {- 10} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} \ leftrightarrow {R_3}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & {\ color {Red} — 2} & 0 & {- 10 } \\ 0 и 4 и 7 и {41} \ end {array}} \ right] \]

Теперь, если мы разделим вторую строку на -2, мы получим 1 в том месте, которое нам нужно.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & {\ color {Red} — 2} & 0 & { — 10} \\ 0 & 4 & 7 & {41} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {- \ frac {1} {2} {R_2}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & {\ color {Red} 4} & 7 & { 41} \ end {array}} \ right] \]

Прежде чем перейти к следующему шагу, давайте заметим здесь пару вещей.Во-первых, нам удалось избежать дробей, что всегда хорошо, а во-вторых, эта строка готова. В конечном итоге нам понадобился бы ноль в этом третьем месте, и мы получили его бесплатно. Более того, это не изменится ни в одной из последующих операций. Это происходит не всегда, но если это произойдет, наша жизнь станет легче.

Теперь давайте воспользуемся операцией третьей строки, чтобы заменить красную 4 на ноль.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & {\ color {Red} 4} & 7 & {41} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_3} — 4 {R_2} \ to {R_3}} \\ \ to \ end {массив } \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & {\ color {Red} 7} & {21} \ end {массив}} \ справа] \]

Теперь мы можем разделить третью строку на 7, чтобы получить число в правом нижнем углу в единицу.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & {\ color {Red} 7} & {21} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {\ frac {1} {7} {R_3}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {\ color {Red} — 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array}} \ right] \]

Затем мы можем использовать операцию третьей строки, чтобы заменить -3 на ноль.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {\ color {Red} — 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end { array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} + 3 {R_3} \ to {R _ {\ kern 1pt}}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {\ color {Red} — 1} & 0 & {- 7} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array}} \ right] \]

Последний шаг — затем снова превратить -1 в 0, используя операцию третьей строки.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {\ color {Red} — 1} & 0 & {- 7} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array}} \ right ] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} + {R_2} \ to {R _ {\ kern 1pt}}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin { array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & {- 2} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array}} \ right] \]

Тогда решение этой системы:

\ [x = — 2, \, \, \, y = 5, \, \, \, z = 3 \]

3×3 Решатель Системы Уравнений

О правиле Крамера

Этот калькулятор использует правило Крамера для решения систем трех уравнений с тремя
неизвестные.Правило Крамера можно сформулировать следующим образом:

Учитывая систему:

$$
\ begin {выровнено}
a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\
а_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\
a_3x + b_3y + c_3z = d_3
\ end {выровнен}
$$

с

$$
D = \ left | \ begin {array} {ccc}
a_1 и b_1 и c_1 \\
a_2 и b_2 и c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 \\
\ end {array} \ right | \ ne 0
$$
$$
D_x = \ left | \ begin {array} {ccc}
d_1 & b_1 & c_1 \\
d_2 & b_2 & c_2 \\
d_3 & b_3 & c_3 \\
\ end {array} \ right |
$$
$$
D_y = \ left | \ begin {array} {ccc}
a_1 и d_1 и c_1 \\
a_2 & d_2 & c_2 \\
a_3 и d_3 и c_3 \\
\ end {array} \ right |
$$
$$
D_z = \ left | \ begin {array} {ccc}
a_1 и b_1 и d_1 \\
а_2 и b_2 и d_2 \\
a_3 & b_3 & d_3 \\
\ end {array} \ right |
$$

, то решение этой системы:

$$
x = \ frac {D_x} {D}
$$
$$
y = \ frac {D_y} {D}
$$
$$
z = \ frac {D_z} {D}
$$

Пример: Решите систему уравнений, используя правило Крамера

$$
\ begin {выровнено}
4x + 5y -2z = & -14 \\
7x — ~ y + 2z = & 42 \\
3x + ~ y + 4z = & 28 \\
\ end {выровнен}
$$

Решение: Сначала мы вычисляем $ D, ~ D_x, ~ D_y $ и $ D_z $.

$$
\ begin {выровнено}
& D ~~ = \ left | \ begin {массив} {ccc}
{\ color {blue} {4}} & {\ color {red} {~ 5}} & {\ color {green} {- 2}} \\
{\ color {blue} {7}} & {\ color {red} {- 1}} & {\ color {green} {~ 2}} \\
{\ color {blue} {3}} & {\ color {red} {~ 1}} & {\ color {green} {~ 4}}
\ end {array} \ right | = -16 + 30-14-6-8-140 = -154 \\
& D_x = \ left | \ begin {массив} {ccc}
-14 & {\ color {red} {~ 5}} & {\ color {green} {- 2}} \\
~ 42 & {\ color {red} {- 1}} & {\ color {green} {~ 2}} \\
~ 28 & {\ color {red} {1}} & {\ color {green} {~ 4}}
\ end {array} \ right | = 56 + 280 — 84 — 56 + 28 — 840 = -616 \\
& D_y = \ left | \ begin {массив} {ccc}
{\ color {blue} {4}} & -14 & {\ color {green} {- 2}} \\
{\ color {blue} {7}} & ~ 42 & {\ color {green} {~ 2}} \\
{\ color {blue} {3}} & ~ 28 & {\ color {green} {~ 4}}
\ end {array} \ right | = 672 — 84 — 392 + 252 — 224 + 392 = 616 \\
& D_Z = \ left | \ begin {array} {ccc}
{\ color {blue} {4}} & {\ color {red} {~ 5}} & -14 \\
{\ color {blue} {7}} & {\ color {red} {- 1}} & ~ 42 \\
{\ color {blue} {3}} & {\ color {red} {~ 1}} & ~ 28
\ end {array} \ right | = -112 + 630 — 98 — 42 — 168 — 980 = -770 \\
\ end {выровнен}
$$

Следовательно,

$$
\ begin {выровнено}
& x = \ frac {D_x} {D} = \ frac {-616} {- 154} = 4 \\
& y = \ frac {D_y} {D} = \ frac {616} {- 154} = -4 \\
& z = \ frac {D_z} {D} = \ frac {-770} {- 154} = 5
\ end {выровнен}
$$

Примечание: Вы можете проверить решение с помощью вышеуказанного калькулятора

3.3: Решение систем с исключением Гаусса-Джордана

Цели обучения

  • Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
  • Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
  • Решите систему линейных уравнений с помощью матриц и графического калькулятора.
  • Решайте финансовые приложения с помощью матриц и графического калькулятора.

Необходимые навыки

Прежде чем начать, пройдите предварительный тест.

Введите в калькулятор следующие матрицы и затем выполните указанные операции. Если операция не может быть проведена, укажите причину.

\ (A = \ begin {bmatrix} 5 & 1 & -2 \\ 2 & 6 & 7 \\ 4 & 1 & −5 \ end {bmatrix} \), \ (B = \ begin {bmatrix} 3 & -7 \\ 0 & 1 \\ 2 & −8 \ end {bmatrix} \), \ (C = \ begin {bmatrix} 9 & 4 \\ 6 & -5 \\ 7 & −1 \ end {bmatrix} \)

а. \ (А \ cdot B \)

г. \ (B \ cdot A \)

г. \ (4B-2C \)

г.\ (А + С \)

Нажмите здесь, чтобы проверить свой ответ

а. \ (\ begin {bmatrix} 11 & -18 \\ 20 & -64 \\ 2 & 13 \ end {bmatrix} \)

г. Не определено, поскольку количество столбцов в матрице \ (B \) не соответствует количеству строк в матрице \ (A \).

г. \ (\ begin {bmatrix} -6 & -36 \\ — 12 & 14 \\ — 6 & −30 \ end {bmatrix} \)

г. Не определено, поскольку размер матрицы \ (A \) не соответствует размерам матрицы \ (C \).{th} \) века, но он по-прежнему считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика. Его открытия в области теории матриц изменили способ работы математиков за последние два столетия.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).

Ранее в этой главе мы исследовали методы решения систем уравнений.В этом разделе мы изучим другую технику решения систем, на этот раз с использованием матриц.

Расширенные матрицы

Матрица может служить средством представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы. Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по сути заменяя знаки равенства. Когда система написана в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей .

Например, рассмотрим следующую систему уравнений \ (2 × 2 \).

\ [\ begin {align *} 3x + 4y & = 7 \\ 4x-2y & = 5 \ end {align *} \]

Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:

\ (\ left [\ begin {array} {cc | c} 3 & 4 & 7 \\ 4 & -2 & 5 \ end {array} \ right] \)

Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов .

\ (\ begin {bmatrix} 3 & 4 \\ 4 & −2 \ end {bmatrix} \)

Трехкратная система уравнений , например

\ [\ begin {align *} 3x-y-z & = 0 \\ x + y & = 5 \\ 2x-3z & = 2 \ end {align *} \]

имеет матрицу коэффициентов

\ (\ begin {bmatrix} 3 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & −3 \ end {bmatrix} \)

и представлена ​​расширенной матрицей

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 3 & −1 & −1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 5 \\ 2 & 0 & −3 & 2 \ end {array} \ right] \)

Обратите внимание, что матрица написана так, что переменные выстраиваются в свои собственные столбцы: \ (x \) — члены идут в первый столбец, \ (y \) — термины во втором столбце, и \ (z \) — термины в третьем столбце.Очень важно, чтобы каждое уравнение было записано в стандартной форме \ (ax + by + cz = d \), чтобы переменные совпадали. Когда в уравнении отсутствует член переменной, коэффициент равен \ (0 \).

Как: по системе уравнений написать расширенную матрицу

  1. Запишите коэффициенты членов \ (x \) как числа в первом столбце.
  2. Запишите коэффициенты членов \ (y \) в виде чисел во втором столбце.
  3. Если есть \ (z \) — члены, запишите коэффициенты как числа в третьем столбце.
  4. Нарисуйте вертикальную линию и напишите константы справа от нее.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): написание расширенной матрицы для системы уравнений

Напишите расширенную матрицу для данной системы уравнений.

\ [\ begin {align *} x + 2y-z & = 3 \\ 2x-y + 2z & = 6 \\ x-3y + 3z & = 4 \ end {align *} \]

Решение

Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & −1 & 3 \\ 2 & −1 & 2 & 6 \\ 1 & −3 & 3 & 4 \ end {array} \ right] \)

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.

\ [\ begin {align *} 4x-3y & = 11 \\ 3x + 2y & = 4 \ end {align *} \]

Ответ

\ (\ left [\ begin {array} {cc | c} 4 & −3 & 11 \\ 3 & 2 & 4 \ end {array} \ right] \)

Написание системы уравнений из расширенной матрицы

Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решать системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не обременены переменными.Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы поиск решений был более плавным и интуитивно понятным. Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): Написание системы уравнений из расширенной матричной формы

Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & −3 & −5 & -2 \\ 2 & −5 & −4 & 5 \\ — 3 & 5 & 4 & 6 \ end {array} \ right] \)

Решение

Когда столбцы представляют переменные \ (x \), \ (y \) и \ (z \),

\ [\ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & -5 & -2 \\ 2 & -5 & -4 & 5 \\ — 3 & 5 & 4 & 6 \ end {array} \ right] \ rightarrow \ begin {align *} x-3y-5z & = -2 \\ 2x-5y-4z & = 5 \\ -3x + 5y + 4z & = 6 \ end {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 5 \\ 2 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -9 \ end {array} \ right] \)

Ответ

\ (\ begin {align *} x-y + z & = 5 \\ 2x-y + 3z & = 1 \\ y + z & = -9 \ end {align *} \)

Уменьшенная форма рядка-эшелон

Чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать ее матрицу в сокращенную форму строки , в которой единицы по главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого угла, а нули в каждое положение выше и ниже главной диагонали, как показано.

Уменьшенная форма строки-эшелона \ (\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \)

Следующие расширенные матрицы представлены в сокращенной форме строки-эшелона.

\ (\ left [\ begin {array} {cc | c} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 5 \ end {array} \ right] \), \ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \ end {array} \ right] \)

Следующие расширенные матрицы не являются сокращенными строками.

\ (\ left [\ begin {array} {cc | c} 2 & 4 & -6 \\ 4 & 0 & 7 \ end {array} \ right] \), \ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 0 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 5 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array} \ right] \)

Пример \ (\ PageIndex {3} \): матрицы в сокращенной форме строки-эшелон

Запишите систему уравнений из каждой из матриц в приведенной строчно-эшелонированной форме сверху. В чем преимущество этой формы?

а. \ (\ left [\ begin {array} {cc | c} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 5 \ end {array} \ right] \)

г.\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \ end {array} \ right] \)

Решение

а. \ (\ begin {align *} x = -2 \\ y = 5 \ end {align *} \)

г. \ (\ begin {align *} x = 4 \\ y = 3 \\ z = 2 \ end {align *} \)

Преимущество сокращенной формы «строка-эшелон» состоит в том, что решение системы уравнений приводится в правом столбце.

УСТРАНЕНИЕ ПО ГАУСС-ИОРДАНИИ

Метод исключения Гаусса-Жордана относится к стратегии, используемой для получения уменьшенной строковой формы матрицы.Цель состоит в том, чтобы записать матрицу \ (A \) с числом \ (1 \) в качестве записи вниз по главной диагонали и иметь все нули сверху и снизу.

\ (A = \ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \ end {bmatrix} \ xrightarrow {После \ space Gauss-Jordan \ space elimination} A = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \)

Мы можем выполнить операций со строками над матрицей, например сложение, умножение на константу и перестановку строк, чтобы создать сокращенную форму строки-эшелон.Процесс выполнения этих шагов вручную выходит за рамки этого класса. Тем не менее, вы можете найти дополнительную информацию о методе Гаусса-Джордана ЗДЕСЬ.

Решение систем уравнений с исключением Гаусса-Жордана

В рамках этого курса мы продемонстрируем, как найти сокращенную форму строки-эшелон в графическом калькуляторе.

Как: решить систему уравнений с помощью матриц с помощью калькулятора

  1. Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную \ ([A], [B], [C] ,… \)
    1. Press 2 nd MATRIX. На экране отобразится меню матрицы. Дважды нажмите кнопку со стрелкой вправо, чтобы выбрать меню ПРАВКА. В меню EDIT используйте стрелку вниз для перемещения курсора, чтобы выбрать желаемое имя матрицы из меню, и нажмите ENTER. Появится экран ввода матрицы.

    2. Введите размеры общего размера матрицы в виде строк \ (\ times \) столбцов. Введите количество строк, нажмите ENTER, введите количество столбцов и снова нажмите ENTER.Форма матрицы настраивается на экране, чтобы отобразить требуемое количество строк и столбцов. Убедитесь, что форма соответствует желаемой матрице; в противном случае вернитесь в верхний ряд и отрегулируйте размеры. Если матрица слишком велика для экрана, используйте клавиши со стрелками для прокрутки вправо или вниз, чтобы увидеть оставшиеся строки и столбцы.

    3. Введите элементы матрицы, нажимайте ENTER после каждого. Курсор прокручивает матрицу, перемещаясь по каждой строке слева направо, а затем вниз к следующей строке.Использование клавиш со стрелками для перемещения курсора вместо нажатия ENTER может привести к тому, что значение не будет сохранено в памяти калькулятора.

    4. Нажмите 2 nd QUIT, чтобы завершить процесс сохранения и вернуться на главный экран.

  2. Используйте функцию rref (в калькуляторе, чтобы найти сокращенную форму строки-эшелон матрицы.
    1. На главном экране нажмите 2 nd MATRIX.Используйте стрелку вправо один раз, чтобы перейти в меню МАТЕМАТИКА.

    2. Прокрутите вниз (или вверх) до rref (, стараясь не выбрать ref (, и нажмите ENTER.

    3. Снова нажмите 2 nd MATRIX и используйте стрелку вниз (при необходимости) для выбора имени матрицы и нажмите ENTER.

    4. Нажмите ENTER, чтобы завершить операцию.

  3. Если существует сокращенная форма строки-эшелона матрицы, калькулятор отобразит ее на главном экране. ×

Пример \ (\ PageIndex {4} \): решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

\ [\ begin {align *} 6x + 4y + 3z & = -6 \\ x + 2y + z & = \ dfrac {1} {3} \\ -12x-10y-7z & = 11 \ end {align *} \ ]

Решение

Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 6 & 4 & 3 & -6 \\ 1 & 2 & 1 & \ dfrac {1} {3} \\ — 12 & -10 & -7 & 11 \ end {array} \ right] \)

На странице матриц калькулятора введите расширенную матрицу выше как матричную переменную \ ([A] \).

\ ([A] = \ left [\ begin {array} {ccc | c} 6 & 4 & 3 & -6 \\ 1 & 2 & 1 & \ dfrac {1} {3} \\ — 12 & -10 & -7 & 11 \ end {array} \ right] \)

Используйте в калькуляторе функцию rref (, вызывающую матричную переменную \ ([A] \).

rref ([A])

Используйте опцию MATH -> FRAC в калькуляторе, чтобы выразить матричные элементы в виде дробей.

Оценить

\ [\ begin {array} {cc} {\ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & — \ dfrac {2} {3} \\ 0 & 1 & 0 & \ dfrac {5} {2} \\ 0 & 0 & 1 & — 4 \ end {array} \ right] \ rightarrow} & {\ begin {align *} x + 0y + 0z & = — \ dfrac {2} {3} \\ y + 0z & = \ dfrac {5} {2 } \\ z & = -4 \ end {align *}} \ end {array} \]

Таким образом, решение, которое легко найти в правом столбце приведенной строковой формы матрицы, будет \ (\ left (- \ dfrac {2} {3}, \ dfrac {5} {2}, −4 \ справа) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Решите систему уравнений.

\ [\ begin {align *} 4x-7y + 2z & = -5 \\ -x + 3y-8z & = -10 \\ -5x-4y + 6z & = 19 \ end {align *} \]

Ответ

Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 4 & -7 & 2 & -5 \\ -1 & 3 & -8 & -10 \\ -5 & -4 & 6 & 19 \ end {array} \ right] \)

На странице матриц калькулятора введите расширенную матрицу выше как матричную переменную \ ([A] \).

\ ([A] = \ left [\ begin {array} {ccc | c} 4 & -7 & 2 & -5 \\ -1 & 3 & -8 & -10 \\ -5 & -4 & 6 & 19 \ end {array} \ right] \)

Используйте в калькуляторе функцию rref (, вызывающую матричную переменную \ ([A] \).

rref ([A])

Используйте опцию MATH -> FRAC в калькуляторе, чтобы выразить матричные элементы в виде дробей.

Оценить

\ [\ begin {array} {cc} {\ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dfrac {3} {2} \ end {array} \ right] \ rightarrow} & {\ begin {align *} x + 0y + 0z & = -2 \\ y + 0z & = 0 \\ z & = \ dfrac {3} {2} \ end {align *}} \ end {array} \]

Таким образом, решение, которое можно легко прочитать из правого столбца приведенной строковой формы матрицы, будет \ (\ left (-2, 0, \ dfrac {3} {2} \ right) \).

Пример \ (\ PageIndex {5} \): применение матриц \ (2 × 2 \) к финансам

Кэролайн инвестирует в общей сложности \ (12 000 долларов) в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10,5% годовых, а другая — 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил \ (1335 долларов). Сколько было вложено по каждой ставке?

Решение

У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть \ (x = \) сумма, инвестированная под 10,5% годовых, а \ (y = \) сумма, инвестированная под 12%.

\ [\ begin {align *} x + y & = 12,000 \\ 0,105x + 0,12y & = 1,335 \ end {align *} \]

В качестве матрицы имеем

\ (\ left [\ begin {array} {cc | c} 1 & 1 & 12,000 \\ 0.105 & 0.12 & 1335 \ end {array} \ right] \)

Введите эту матрицу как матричную переменную \ ([A] \). Используйте функцию rref (, вызывающую матричную переменную \ ([A] \).

rref ([A])

\ (\ left [\ begin {array} {cc | c} 1 & 0 & 7000 \\ 0 & 1 & 5000 \ end {array} \ right] \)

Таким образом, \ ($ 7000 \) было инвестировано по ставке 10.5% годовых и \ (5000 долларов \) под 12% годовых.

Пример \ (\ PageIndex {6} \): применение матриц \ (3 × 3 \) к финансам

Ava инвестирует в общей сложности \ (10 ​​000 долларов США) в три счета, один из которых платит 5% годовых, другой — 8%, а третий — 9%. Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил \ (770 долларов). Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше суммы, инвестированной под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

Решение

У нас есть система трех уравнений с тремя переменными.Пусть \ (x \) будет суммой, инвестированной под 5% годовых, пусть \ (y \) будет суммой, инвестированной под 8%, и пусть \ (z \) будет суммой, инвестированной под 9%. Таким образом,

\ [\ begin {align *} x + y + z & = 10,000 \\ 0,05x + 0,08y + 0,09z & = 770 \\ 2x-z & = 0 \ end {align *} \]

В качестве матрицы имеем

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 1 & 10,000 \\ 0,05 & 0,08 & 0,09 & 770 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \ end {array} \ right] \)

Введите эту матрицу как матричную переменную \ ([A] \).Используйте функцию rref (, вызывающую матричную переменную \ ([A] \).

rref ([A])

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 0 & 3000 \\ 0 & 1 & 0 & 1000 \\ 0 & 0 & 1 & 6000 \ end {array} \ right] \)

Ответ: \ (3000 долларов \) вложены под 5%, \ (1000 долларов \) вложены под 8%, и \ (6000 долларов \) инвестированы под 9%.

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере \ (1 500 000 долларов США) на расширение своих запасов.Часть денег была взята под 7%, часть — под 8%, часть — под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла \ (130 500 долларов США). Используйте матрицы, чтобы найти сумму, заимствованную по каждой ставке.

Ответ

\ (150 000 долларов \) под 7%, \ (750 000 долларов \) под 8%, \ (600 000 долларов \) под 10%

Медиа

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в решении систем линейных уравнений с использованием метода исключения Гаусса.

Ключевые понятия

  • Расширенная матрица — это матрица, которая содержит коэффициенты и константы системы уравнений. См. Пример \ (\ PageIndex {1} \).
  • Матрица, дополненная постоянным столбцом, может быть представлена ​​как исходная система уравнений. См. Пример \ (\ PageIndex {2} \).
  • Мы можем использовать метод исключения Гаусса-Жордана для решения системы уравнений. См. Пример \ (\ PageIndex {4} \).
  • Многие реальные проблемы можно решить с помощью расширенных матриц.См. Пример \ (\ PageIndex {5} \) и Пример \ (\ PageIndex {6} \).

Авторы и авторство

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.