Онлайн матричный способ решения систем линейных уравнений: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Матричный метод онлайн

Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

(1)

Для решения системы линейных уравнений (1) матричным методом запишем ее матричном виде:

Ax=b, (2)

где

Мы будем предполагать, что матрица A имеет обратное, т. е. определитель матрицы A не равен нулю.

Умножим матричное уравнение (2) на обратную матрицу A−1. Тогда

A−1Ax=A−1b. (4)

Учитывая определение обратной матрицы, имеем A−1A=E, где E— единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:

Ex=A−1b. (4)

или, учитывая, что Ex=x:

x=A−1b. (5)

Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b.

Примеры решения системы линейных уравнений матричным методом

Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

.

Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:

.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1. Для этого заменяем местами строки 1 и 2:

.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:

.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого заменяем местами строки 2 и 3:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:

.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строки 1, 2 со строкой 3, умноженной на 17/53, 85/159 соответственно:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:

.

Делим каждую строку матрицы на ведущий элемент соответствующей строки:

.

Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :

.

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда

.

Ответ:

Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

.

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

.

Найдем обратную к матрице A методом алгебраических дополнений. Вычислим определитель матрицы A :

.

Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A:

,
,
,
,
,
,
,
,
.

Обратная матрица вычисляется из следующего выражения:

где Aij − алгебраическое дополнение элемента матрицы A, находящиеся на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, а Δ − определитель матрицы A.

Используя формулу обратной матрицы, получим:

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда

Ответ:

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Этот способ применяется в заданиях, где число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных. Определитель основной матрицы при этом не должен быть нулевым.

В основу калькулятора от Zaochnik заложена система формул, которая позволяет ввести имеющиеся данные и моментально получить точный ответ. Решение систем линейных уравнений матричным методом включает преобразование уравнения, нахождение определителя и обратной матрицы.

Рассмотрим несколько примеров решений СЛАУ с помощью онлайн-калькулятора

Онлайн-калькулятор позволяет находить решение СЛАУ, когда свободные члены, переменные и коэффициенты при них являются вещественными числами. Другими словами, калькулятор работает с целыми числами и дробями, а вот решение систем с комплексными коэффициентами ему не по зубам. Максимальное количество неизвестных в системе– 6.

Пример 1.

Возьмем простую систему уравнений с двумя неизвестными:
x1+2×2=113×1-x2=12

<>Для того, чтобы решить ее матричным методом с помощью онлайн-калькулятора:

  1. Укажем количество неизвестных в системе:
  2. Впишите коэффициенты при переменных в соответствующие поля:
  3. Нажмите «Рассчитать»

    Калькулятор сам произведет все вычисления, а вы сможете не только получить ответ, но и ознакомиться подробным решением:

Пример 2.

Рассмотрим более сложную систему с большим количеством неизвестных:
2×1+10×2-3×3=38-3×1-24×2+5×3=-86×1+x2-5×3=27

По аналогии с первым примером, укажем количество неизвестных, введем в поля соответствующие коэффициенты, и нажмем «Рассчитать»:


Калькулятор выдаст ответ с ходом решения и промежуточными выкладками:


Заметьте, если вы вдруг введете неверные коэффициенты или запишите такую систему, которая не имеет решения, калькулятор выдаст соответствующее сообщение:


 

    Теоретические статьи из справочника, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

    • Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры
    • Уравнение и его корни: определения, примеры
    • Теорема Виета, формулы Виета
    • Нахождение неизвестного слагаемого, множителя: правила, примеры, решения
    • Квадратные неравенства, примеры, решения
    • Решение квадратных неравенств методом интервалов

    Ответ:

    Решение

    Ответ:

    • Матричный метод решения систем линейных уравнений онлайн

      Калькулятором пользуются студенты для подтверждения правильности собственных вычислений, учащиеся профильных школ перед участием в олимпиадах, преподаватели при подготовке заданий ученикам.

      Причины воспользоваться нашим онлайн-калькулятором:

      • Точность расчетов. Чтобы получить ответ, необходимо произвести много последовательных действий. Если ошибка допущена в первом из них во время ручных расчетов, то результат тоже будет неверным. При автоматических вычислениях такой вариант исключен.
      • Доступный алгоритм вычислений. Вы можете развернуть расчеты нажатием кнопки «Показать подробное решение». После этого вы увидите последовательные преобразования. На основе этой информации можно осуществлять самостоятельную подготовку к занятиям, осваивать сложный материал.
      • Бесплатный инструмент. За использование калькулятора на сайте вам не придется вносить оплату. Вы можете тренироваться в расчетах без ограничений.

      Если решение СЛАУ матричным методом онлайн или других задач не привело к желаемому результату, обратитесь за помощь к консультанту на сайте. Он сможет подобрать для вас специалиста или оформить заказ, включающий задачи любого уровня сложности.

      Понравился калькулятор? Поделись с друзьями!

      Решение систем линейных уравнений с помощью матриц

      Привет! Эта страница будет иметь смысл только в том случае, если вы немного разбираетесь в системах линейных уравнений и матрицах, поэтому, пожалуйста, идите и узнайте о них, если вы еще этого не знаете!

      Пример

      Одним из последних примеров по системам линейных уравнений был этот:

      Пример: решить

      • x + y + z = 6
      • 2г + 5г = -4
      • 2x + 5y — z = 27

      Затем мы решили ее с помощью «исключения»… но мы можем решить ее с помощью Матриц!

      Использование матриц облегчает жизнь, потому что мы можем использовать компьютерную программу (такую ​​как Калькулятор матриц) для выполнения всей «арифметики».

      Но сначала нам нужно написать вопрос в матричной форме.

      В форме матрицы?

      ОК. Матрица — это массив чисел, верно?

      Матрица А

      Ну, вдумайтесь в уравнения:

      х + и + из = 6
          2 года + = −4
      2x + 5 лет из = 27

      Их можно превратить в таблицу чисел, например:

      1   1   1 = 6
      0   2   5 = −4
      2   5   −1 = 27

      Мы могли бы даже разделить числа до и после «=» на:

      1 1 1   6
      0 2 5 и −4
      2 5 −1   27

      Теперь похоже, что у нас есть 2 матрицы.

      На самом деле у нас есть третий, который [x y z]:

       

      Почему [x y z] идет туда? Потому что, когда мы умножаем матрицы, левая часть становится:

      , что является исходной левой частью наших уравнений выше (вы можете проверить это).

      Решение матрицы

      Мы можем написать это:

      так:

      AX = B

      где

      • A — матрица 3×3 x, y и 3s

        204

      • X равно x, y и z и
      • B это 6, −4 и 27

      Тогда (как показано на странице, обращенной к матрице) решение таково:

      X = A -1 B

       

      Что это значит?

      Это означает, что мы можем найти значения x, y и z (матрица X) путем умножения , обратного матрице A , на матрицу B .

      Итак, давайте сделаем это.

      Во-первых, нам нужно найти , обратную матрице A (при условии, что она существует!)

      Используя матричный калькулятор, мы получаем это:

      (я оставил определитель 1/ вне матрицы, чтобы сделать числа проще )

      Затем умножьте A -1 на B (снова воспользуемся Калькулятором матриц):

      Готово! Решение:

      x = 5,
      y = 3,
      z = −2

      Точно так же, как на странице «Системы линейных уравнений».

      Довольно аккуратно и элегантно, и человек думает, а компьютер делает вычисления.

       

      Просто для удовольствия… Сделай это снова!

      Для развлечения (и чтобы помочь вам в обучении) давайте проделаем все это снова, но сначала поставьте матрицу «X».

      Я хочу показать вам этот способ, потому что многие люди думают, что приведенное выше решение настолько изящно, что должно быть единственным способом.

      Итак, мы решим это следующим образом:

      XA = B

      И из-за того, как перемножаются матрицы, нам нужно настроить матрицы по-другому. Ряды и столбцы должны быть переключены («транспонированы»):

      И XA = B выглядит следующим образом:

      Решение матрицы

      Тогда (также показано на странице, обращенной к матрице) решение таково:

      X = BA -1

      0 это то, что мы получаем для A

      -1 :

      На самом деле это точно так же, как инверсия, которую мы получили раньше, но транспонированная (строки и столбцы меняются местами).

      Далее умножаем B на A -1 :

      И решение то же самое:

      x = 5, y = 3 и z = −2

      Это решение выглядело не так аккуратно, как предыдущее, но оно показывает нам, что существует более одного способа составления и решения матричных уравнений. Только будьте осторожны со строками и столбцами!

       

       

      Система линейных уравнений и обращение матриц

      Система линейных уравнений и обращение матриц

      Этот учебный объект JavaScript E-labs предназначен для поиска решения систем линейных уравнений до трех уравнений с тремя неизвестными. Это также позволяет нам найти обратную матрицу.

      Другие учебные объекты JavaScript для принятия решений из этой серии сгруппированы по разным областям применения в разделе МЕНЮ на этой странице.

      Профессор Хоссейн Аршам    


      При вводе данных для перехода от ячейки к ячейке в матрице данных используйте клавишу Tab , а не клавиши со стрелками или клавиши ввода.

      Инструкции и приложения:

      1. Имена неизвестных переменных: X1, X2, X3,.. и X10, в зависимости от того, есть ли у вас одно уравнение, два уравнения или три уравнения с одной неизвестной, двумя неизвестными или тремя неизвестными переменными соответственно.
      2. Начиная с левого верхнего угла, замените столько нулей в матрице данных коэффициентами неизвестных переменных в уравнениях вместе с их правыми значениями, сколько необходимо. Матрица коэффициентов должна представлять собой квадратную матрицу, расположенную в верхнем левом углу матрицы данных, поэтому не оставляйте пустых строк между ними.
      3. JavaScript основан на операциях строки Gauss-Jordan (GJ). Требование для операций GJ состоит в том, что первый элемент в матрице коэффициентов должен быть ненулевым. Поэтому сначала введите коэффициент всех уравнений, имеющих ненулевой коэффициент X1; затем введите все остальные уравнения. То есть любое уравнение с нулевыми коэффициентами для X1 должно стоять в конце таблицы ввода данных.

        Численный пример 1. Рассмотрим следующую систему уравнений:

        Х2 + Х3 = 5
        3X1 + X3 = 6
        -Х1 + Х2 = 1

        Матрица коэффициентов переменных:

        0    1    1
        3    0    1
        -1    1    0

        Первая запись первого столбца равна нулю, хотя в нем всегда есть хотя бы один ненулевой элемент. Следовательно, мы должны перестроить систему уравнений таким образом, чтобы любое уравнение с нулевым коэффициентом X1 оказалось среди последнего набора уравнений. То есть, рассматривая эквивалентную систему уравнений:

        3X1 + X3 = 6
        -Х1 + Х2 = 1
        Х2 + Х3 = 5

        Решите эту эквивалентную систему уравнений, введя ее коэффициент и значения RHS в таблицу ввода данных, затем нажмите кнопку «Рассчитать». Выходом является решение: X1 = 1, X2 = 2 и X3 = 3, что можно проверить подстановками.

      4. Нахождение обратной матрицы с помощью системы уравнений: Чтобы найти обратную квадратную матрицу размера n, решите n систем уравнений с единичным вектором в правой части. Следующий числовой пример иллюстрирует этот процесс:

        Численный пример 2. Предположим, мы хотим найти обратную (A -1 ) следующую матрицу (если она существует) A:

        2   1
        А =
        1
        -1

        В общем найти А -1 , столбец за столбцом, решить n систем уравнений, имеющих матрицу коэффициентов A, но с n различными векторами идентичности в качестве их правых значений.

        Для этого числового примера мы должны решить следующие две системы уравнений:

        2Х1 + Х1 = 1
        Х1 — Х2 = 0

        а также

        2Х1 + Х1 = 0
        Х1 — Х2 = 1

        Обратите внимание, что коэффициенты переменных X1 и X2 являются матрицей A в обеих системах уравнений, однако RHS являются двумя единичными векторами в n = 2-мерном пространстве.

        Решения первой и второй систем уравнений в соответствии с вышеуказанной инструкцией дают первый и второй столбцы матрицы A -1 .

        Чтобы найти первый столбец A -1 , решите:

        2Х1 + Х1 = 1
        Х1 — Х2 = 0

        Это дает X1 = 1/3, X2 = 1/3. Чтобы найти второй столбец A -1 , решите:

        2Х1 + Х1 = 0
        Х1 — Х2 = 1

        Это дает X1 = 1/3, X2 = -2/3. Следовательно, A -1 p является

        1/3   1/3
        А -1 =
        1/3
        -2/3

      5. Примечание: Матрица, имеющая обратную, называется неособый или обратимый. Матрица называется вырожденной, если она не имеет обратной. Например, следующая матрица является сингулярной:

        1    6    4
        2    4   -1
        -1    2    5

        Поэтому при применении описанной выше процедуры обращения матрицы, если матрица вырожденная, то по крайней мере из систем уравнений не имеет решения.

      6. Для редактирования ваших данных, включая добавление/изменение/удаление, вам не нужно нажимать на кнопку «очистить», а заново вводить свои данные заново. Вы можете просто добавить, изменить число на другое в той же ячейке или удалить число из ячейки, установив его значение равным нулю. После редактирования нажмите кнопку «Рассчитать».

        Это полезно, например. найти обратную матрицу A 10×10 , где мы должны изменить только значения RHS.

        Для расширенного редактирования или использования JavaScript для нового набора данных используйте кнопку «Очистить».


      X1 Х2 Х3 Х4 Х5

      Х6

      Х7 Х8 Х9 х 10 RHS
       

      Раствор
      Есть:

      Х1

      Х2

      Х3

      Х4

      Х5

      Х6

      Х7

      Х8

      Х9

      Х10

       
       

       


      Для получения технических сведений вернуться к:
      Темы по линейной алгебре


      Пожалуйста, отправьте ваши комментарии по адресу:
      Профессор Хоссейн Аршам



      МЕНЮ

      Инструменты принятия решений в экономике и финансах

      • Классификация инвентаризации ABC
      • Авторегрессионный временной ряд
      • Бета и ковариационные вычисления
      • Двумерные дискретные распределения
      • Анализ безубыточности и прогнозирование
      • Категории вероятностных и статистических инструментов
      • Обнаружение тренда и автокреляции
      • Определение выбросов
      • Прогнозирование сглаживанием
      • Модели управления запасами
      • Решатели линейной оптимизации

      • для загрузки
      • Линейная оптимизация с чувствительностью
      • Денежная математика: анализ сложных процентов
      • Алгебра матриц и цепи Маркова
      • Оценка среднего и дисперсии
      • Измерение точности прогноза
      • Другие полиномиальные регрессии
      • Оптимальный возраст для замены
      • Параметрическая система линейных уравнений
      • Показатели эффективности для портфелей
      • График временного ряда
      • Прогнозы по регрессии
      • Оценка доли
      • Квадратичная регрессия
      • Регрессионное моделирование
      • Сезонный индекс
      • Инвентаризационный анализ за один период
      • Суммируйте свои данные
      • Система уравнений и обращение матриц
      • Испытание на случайные колебания
      • Тест на сезонность
      • Тест для стационарных временных рядов
      • Статистика временных рядов

      Вероятностное моделирование

      • Байесовский вывод для среднего
      • Пересмотренная вероятность Байеса
      • Двумерные дискретные распределения
      • Сравнение двух случайных величин
      • Принятие решений в условиях неопределенности
      • Определение полезной функции
      • Принятие рискованных решений
      • Измерьте качество вашего решения
      • Полиномиальные распределения
      • Игры с нулевой суммой для двух человек
       

      Статистика

      • Ковариационный анализ
      • Дисперсионный анализ для сжатых наборов данных
      • Дисперсионный анализ для зависимых групп населения
      • ANOVA: проверка средств
      • Байесовский статистический вывод
      • Статистика двумерной выборки
      • Хи-квадрат Тест на родство
      • Совместимость нескольких счетчиков
      • Доверительные интервалы для двух совокупностей
      • Описательная статистика
      • Определение выбросов
      • Эмпирическая функция распределения
      • Равенство многовариантности
      • Оценки с уверенностью
      • Согласие для дискретных переменных
      • Тестирование идентичных популяций
      • Номера индексов с приложениями
      • Тест К-С на равенство двух совокупностей
      • Тест Лиллифорса для экспоненциального
      • Множественные регрессии
      • Процент: оценка и тестирование
      • Тест парной пропорции
      • Полиномиальные регрессии
      • Объединение средних и отклонений
      • P-значения для популярных дистрибутивов
      • Квадратичная регрессия
      • Определение объема выборки
      • Пересмотр среднего значения и дисперсии
      • Рассеянная диаграмма и выбросы
      • Простая линейная регрессия
      • Субъективная оценка оценок
      • Субъективность при проверке гипотез
      • Проверка нескольких коэффициентов корреляции
      • Испытание на однородность совокупности
      • Тест на нормальность
      • Испытание на равномерное распределение
      • Тестирование процесса Пуассона
      • Тест на случайность
      • Проверка нескольких пропорций
      • Проверка среднего значения
      • Тестирование медиан
      • Проверка коэффициента корреляции
      • Тестирование двух популяций
      • Проверка дисперсии
      • Тест «до и после»
      • Другие средства
      • Двухфакторный дисперсионный анализ
      • Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями


      Заявление об авторских правах.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *