Общее решение дифференциального уравнения и частное решение: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Содержание

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные
уравнения

Задача
1.

Найти общее
решение
дифференциального
уравнения x у’-у = x 2еx и
частное
решение,
удовлетворяющее
начальному
условию у0 =0
при х0 =1.

Решение.
Это линейное
дифференциальное
уравнение
первого
порядка. Оно
приводится к
виду . Для
этого
поделим обе
части этого
уравнения на х.
Получим . Общее
решение
этого
уравнения
будем искать
в виде
произведения
двух функций .

Уравнение
примет вид  , или

.  (*)

Решаем
в следующем
порядке.

1. Функцию v следует
взять так,
чтобы .

Решим
это
уравнение:

 или v=х;

2. Найдем
функцию u, для
этого
подставим в
уравнение (*)
вместо 
v.

Получим .

3. Общее
решение
исходного
уравнения
имеет следующий
вид:

.

4. Для того
чтобы найти
частное
решение, удовлетворявшее
данным
начальным
условиям, нужно
в общее
решение
подставить  и . Получим 0=1(е+с),
отсюда с =-е.

Итак,
частное
решение
имеет вид .

 

Задача 2.
Найти общее
решение дифференциального
уравнения

 и
частное
решение,
удовлетворяющее
начальному
условию  при .

Решение.
Это
однородное
дифференциальное
уравнение
второго
порядка с
постоянными
коэффициентами.
Составим
характеристическое
уравнение и
решим его.

.

Тогда
общее
решение
данного
уравнения
будет иметь
вид

,

т.е. .

Найдем
частное
решение, для
этого найдем у’.

.

Подставим
в общее
решение и в
его производную
данные
начальные
условия.
Получим систему
двух
уравнений с
неизвестными
.

 или

Получим . Итак,
частное
решение
имеет вид

.

1.5. Общее и частные решения дифференциального уравнения

Рассматривая простейшее дифференциальное уравнение (1.6) и уравнения с разделяющимися переменными вида (1.8), мы получили для них решение, которое включает не только переменные и , но и произвольную постоянную . То есть, решение этих уравнений можно представить в виде:

. (1.12)

Этот факт имеет место для всех уравнений первого порядка вида (1.4) или (1.5). Решение уравнения первого порядка, содержащее произвольную постоянную , называется Общим решением дифференциального уравнения.

При конкретном значении произвольной постоянной получим Частное решение дифференциального уравнения:

. (1.13)

Изменяя значение , будем получать различные частные решения. Таким образом, общее решение (1.12) является множеством всех частных решений вида (1.13). Для нахождения из общего решения конкретного частного решения задают начальное условие вида (1.7)

или ,

Где и – некоторые числа.

Если общее решение известно, то чтобы определить частное решение аналитически, необходимо подставить начальное условие в общее решение (1.12)

.

Из полученного уравнения необходимо вычислить значение произвольной постоянной . Если это возможно, то, подставляя найденное значение в общее решение (1.12), получим то частное решение, которое удовлетворяет начальному условию

.

С геометрической точки зрения общее решение (1.16) представляет собой семейство интегральных кривых. Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, значит выделить из множества интегральных кривых ту кривую, которая проходит через точку .

Пример 1.2. Легко показать, что для дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Общее решение имеет вид

.

Геометрически оно представляет семейство гипербол. Зададим начальное условие

.

Подставим начальное условие в общее решение

.

Отсюда , а значит искомое частное решение

.

Зададим теперь начальное условие

.

Получим

,

Откуда видно, что соответствующее значение найти нельзя. Такое начальное условие не является допустимым. Действительно, через точку не проходит ни одна из интегральных гипербол.

< Предыдущая   Следующая >

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную,
неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения,
связывающие независимые переменные ,
неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только
обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово «обыкновенные».

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго
порядка, уравнение (5) — первого порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все
её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные
некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции;
в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции.
Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при
подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде .
Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть
первообразная для , т. е.

.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать
различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное
явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором
произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

,

,

.

В результате мы получили общее решение —

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов
их значения и получим

.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде ,
то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и
и находят значение произвольной постоянной C,
а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1
при условии .

Решение. Подставим в общее решение
значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

.

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

.

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования
и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть ,
тогда .

Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной
функции, так как x и есть сложная функция («яблоко» — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень
«одна вторая», а «фарш» — самое выражение под корнем):

Находим интеграл:

Возвращаясь к переменной x, получаем:

.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных
уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть
независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со
школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального
исчисления, что производная может быть записана также в виде .
В результате уравнение приобретает вид

,

то есть, в нём в некотором виде появился x.

Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции
выткают следующие пропорции:

,

то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду

,

после чего интегрируем обе части уравнения:

.

Оба интеграла — табличные, находим их:

и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:

.

Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и
должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Поделиться с друзьями

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными [wiki.eduVdom.com]

subjects:diffury:уравнения_с_разделяющимися_переменными

Уравнения вида $\varphi_1(x)\Psi_1(y)dx=\varphi_2(x)\Psi_2(y)dy$ , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от X и только от Y называется уравнением с разделяющими переменными. Путём деления на произведение $\varphi_1(y)\varphi_2(x)$ оно приводится к уравнению с разделёнными переменными:

$$
\frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx
=
\frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy
$$

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

$$
\int \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx
=
\int \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy
=
C
$$

Примеры

Пример 1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
${xy}’-y=1$

Решение дифференциального уравнения:


Пример 2.
Найти частное решение уравнения $(1+e^{x})y{y}’=e^{x}$, удовлетворяющее начальному условию $y|_{x=0}=1$ (задача Коши)

Решение.{3} $$

Решение дифференциального уравнения:


Пример 5.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
$$ \frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x} $$

Решение дифференциального уравнения:


Пример 6.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
$$ \frac{dy}{dx}=-xy $$

Решение дифференциального уравнения:


Пример 7.
$$ {y}'={\rm tg}\,x\cdot{\rm tg}\,y $$

Решение:


Пример 8.

Решение дифференциального уравнения:


subjects/diffury/уравнения_с_разделяющимися_переменными.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:25 —

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме "Дифференциальные уравнения"

I. Обыкновенные дифференциальные
уравнения


1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется
уравнение, связывающее между собой
независимую переменную x, искомую
функцию y и её производные или
дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение
записывается так:

F(x,y,y')=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y',y",.., y(n))=0

Дифференциальное уравнение называется
обыкновенным, если искомая функция зависит
от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения
называется такая функция ,
которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения
называется порядок старшей производной,
входящей в это уравнение

Примеры.

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение
первого порядка

Решением этого уравнения является
функция y = 5 ln x. Действительно, ,
подставляя y' в уравнение, получим
– тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть
решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
второго порядка y" - 5y' +6y = 0. Функция
– решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение,
получим: ,

– тождество.

А это и значит, что функция
– есть решение этого дифференциального
уравнения.

Интегрированием дифференциальных
уравнений
называется процесс нахождения
решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального
уравнения
называется функция вида ,в
которую входит столько независимых
произвольных постоянных, каков порядок
уравнения.

Частным решением дифференциального
уравнения
называется решение, полученное
из общего решения при различных числовых
значениях произвольных постоянных.
Значения произвольных постоянных
находится при определённых начальных
значениях аргумента и функции.

График частного решения
дифференциального уравнения называется интегральной
кривой
.

Примеры

1.Найти частное решение дифференциального
уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.


Решение. Интегрируя обе части уравнения,
получим

Замечание. Произвольную постоянную С,
полученную в результате интегрирования,
можно представлять в любой форме, удобной
для дальнейших преобразований. В данном
случае, с учётом канонического уравнения
окружности произвольную постоянную С
удобно представить в виде .


- общее решение дифференциального
уравнения.

Частное решение уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям y =
4 при x = 3 находится из общего
подстановкой начальных условий в общее
решение: 32 + 42= C2; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x2
+y2
= 52.

Это есть частное решение
дифференциального уравнения, полученное из
общего решения при заданных начальных
условиях.

2. Найти общее решение дифференциального
уравнения

Решением этого уравнения является всякая
функция вида ,
где С – произвольная постоянная.
Действительно, подставляя в уравнения ,
получим: ,
.

Следовательно, данное дифференциальное
уравнение имеет бесконечное множество
решений, так как при различных значениях
постоянной С равенство
определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой
можно убедиться, что функции
являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное
решение уравнения y' = f(x,y) 
удовлетворяющее начальному условию y(x0)
= y0
, называется задачей Коши.

Решение уравнения y' = f(x,y),
удовлетворяющее начальному условию, y(x0)
= y0
, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой
геометрический смысл. Действительно,
согласно данным определениям, решить
задачу Коши y' = f(x,y)  при условии y(x0)
= y0
,, означает найти интегральную
кривую уравнения y' = f(x,y)  которая
проходит через заданную точку M0(x0,y0).

II. Дифференциальные уравнения первого
порядка


2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого
порядка называется уравнение вида F(x,y,y') =
0.

В дифференциальное уравнение первого
порядка входит первая производная и не
входят производные более высокого порядка.

Уравнение y' = f(x,y) называется
уравнением первого порядка, разрешённым
относительно производной.

Общим решением дифференциального
уравнения первого порядка называется
функция вида ,
которая содержит одну произвольную
постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное
уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является
функция .

Действительно, заменив в данном уравнении,

его значением, получим


то есть 3x=3x

Следовательно, функция
является общим решением уравнения
при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения,
удовлетворяющее начальному условию y(1)=1
Подставляя начальные условия x = 1, y =1 
в общее решение уравнения ,
получим
откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из
общего
подставив в это уравнение, полученное
значение C = 0
– частное решение.


2.2. Дифференциальные уравнения с
разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с
разделяющимися переменными называется
уравнение вида: y'=f(x)g(y) или через
дифференциалы ,
где f(x)  и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых ,
уравнение y'=f(x)g(y) равносильно уравнению,

в котором переменная y присутствует
лишь в левой части, а переменная x- лишь в
правой части. Говорят, «в уравнении y'=f(x)g(y
разделим переменные».

Уравнение вида
называется уравнением с разделёнными
переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения
по x, получим G(y) = F(x) + C– общее
решение уравнения, где G(y) и F(x)
некоторые первообразные соответственно
функций
и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального
уравнения первого порядка с разделяющимися
переменными

  1. Производную функции переписать через её
    дифференциалы
  2. Разделить переменные.
  3. Проинтегрировать обе части равенства,
    найти общее решение.
  4. Если заданы начальные условия, найти
    частное решение.


Пример 1

Решить уравнение y' = xy


Решение. Производную функции y'
заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Пример 2

Найти частное решение уравнения

2yy' = 1- 3x2,
если y0 = 3 при x0 = 1

Это—уравнение с разделенными
переменными. Представим его в
дифференциалах. Для этого перепишем данное
уравнение в виде
Отсюда

Интегрируя обе части последнего
равенства, найдем

Подставив начальные значения x0 = 1,
y0 = 3
найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл
будет
или

Пример 3

Составить уравнение кривой, проходящей
через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым
коэффициентом


Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися
переменными. Разделив переменные, получим:

 Проинтегрировав обе части уравнения,
получим:

Используя начальные условия, x = 2  и y
= - 3
найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет
вид


2.3. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением
первого порядка называется уравнение вида y'
= f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) - некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то
линейное дифференциальное уравнение
называется однородным и имеет вид:  y' = f(x)y

Если
то уравнение y' = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного
дифференциального уравнения y' = f(x)y задается формулой:
где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением
является  y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет
вид y' = ky где k - некоторая постоянная, то его общее решение
имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения y' = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения
соответствующего линейного однородного
уравнения и частного решения
данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения
вида y'
= kx + b
,

где k и b-
некоторые числа и частным
решением будет являться постоянная функция
.
Поэтому общее решение имеет вид .


Пример. Решить уравнение y' + 2y +3 = 0


Решение. Представим уравнение в виде y'
= -2y - 3
где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно,
где С – произвольная постоянная.

Ответ:


2.4. Решение линейных дифференциальных
уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного
дифференциального уравнения первого
порядка y' = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных
уравнений с разделенными переменными с
помощью подстановки y=uv,
где u и v - неизвестные функции от x.
Этот метод решения называется методом
Бернулли.

 Алгоритм решения линейного дифференциального
уравнения первого порядка

y' = f(x)y + g(x)

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y' =
u'v + uv'

3. Подставить y и y' в данное уравнение:  
u'v + uv' = f(x)uv + g(x) или u'v + uv' +  f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы
u вынести
за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти
функцию

Это уравнение с разделяющимися
переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда .
.

6. Подставить полученное значение v в уравнение
(из п.4):

и найти функцию
Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: ,
т.е. .

Пример 1


Найти частное решение уравнения y' = -2y
+3 = 0
  если y =1  при x = 0


Решение. Решим его с помощью
подстановки y=uv, .y' = u'v + uv'

Подставляя y и y'
в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое
левой части уравнения, вынесем общий
множитель u за
скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и,
решив полученное уравнение, найдем функцию v
= v(x)

Получили уравнение с разделенными
переменными. Проинтегрируем обе части
этого уравнения:
Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение
Получим:

Это уравнение с разделенными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения:
Найдем функцию u = u(x,c)
Найдем общее решение:
Найдем частное решение уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при
x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших
порядков


3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго
порядка называется уравнение, содержащее
производные не выше второго порядка. В
общем случае дифференциальное уравнение
второго порядка записывается в виде: F(x,y,y',y")
= 0

Общим решением дифференциального
уравнения второго порядка называется
функция вида ,
в которую входят две произвольные
постоянные C1 и C2.

Частным решением дифференциального
уравнения второго порядка называется
решение, полученное из общего
при некоторых значениях произвольных
постоянных C1 и C2.


3.2. Линейные однородные дифференциальные
уравнения второго порядка с




постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным
уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами
называется уравнение вида
y" + py' +qy = 0, где pи q-
постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных
уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в
виде: y" + py' +qy = 0.

2. Составить его характеристическое
уравнение, обозначив y" через r2,
y'  через r, yчерез
1:r2 + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант  D = p2 -4q
и найти корни характеристического
уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно,
характеристическое уравнение имеет два
различных действительных корня .
Общее решение дифференциального уравнения
выражается в виде ,
где C1 и C2 - произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно,
характеристическое уравнение имеет равные
действительные корни .
Общее решение дифференциального уравнения
выражается в виде

в) D < 0; следовательно,
характеристическое уравнение имеет
комплексные корни,
Общее решение дифференциального уравнения
выражается, в виде 


Примеры.

1. Найти частное решение дифференциального
уравнения

Решение. Составим характеристическое
уравнение


D>0,

Общее решение

Дифференцируя общее решение, получим

Составим систему из двух уравнений

Подставим вместо ,и

заданные начальные условия:

Таким образом, искомым частным решением
является функция

.

2. Найти частное решение уравнения


Решение

<0,

Общее решение

-
частное решение.

IV. Практическая работа


Вариант 1

1. Составить уравнение кривой, проходящей
через точку M(1;2) и имеющей угловой коэффициент .

2. Найти частные решения дифференциальных
уравнений:

а)

б)

в)

г)


Вариант 2

1. Составить уравнение кривой, проходящей
через точку M(2;1) и имеющей угловой коэффициент

2. Найти частные решения дифференциальных
уравнений:

а)

б)

в)

г)

V. Ответы







Вариант 1

Вариант 2

1.

 1.

2. а)

2. а)

б)

б)

в)

в)

г)

г)

Дифференциальные уравнения: виды, методы решения

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2-го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y'=dxdy, если y является функцией аргумента x.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y'=f(x)

Начнем с примеров таких уравнений.

Пример 1

y'=0, y'=x+ex-1, y'=2xx2-73

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f(x)·y'=g(x) является метод деления обеих частей на f(x). Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y'=g(x)f(x). Оно является эквивалентом исходного уравнения при f(x) ≠ 0.

Пример 2

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

ex·y'=2x+1, (x+2)·y'=1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х, при которых функции f(x) и g(x)одновременно обращаются в 0. В качестве дополнительного решения в уравнениях f(x)·y'=g(x) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х.

Пример 3

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x·y'=sin x, (x2-x)·y'=ln(2x2-1)

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y'=f2(y)·g2(x)

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у, разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫f(y)dy=∫f(x)dx

Пример 4

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y23dy=sin xdx, eydy=(x+sin 2x)dx

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f2(y) ⋅ g1(x). Так мы придем к уравнению f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx. Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f2(y) ≠ 0 и g1(x) ≠ 0. Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

Пример 5

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: dydx=y·(x2+ex), (y2+arccos y)·sin x·y'=cos xy.

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = ax+by. Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y'=f(ax+by), a,b∈R.

Пример 6

Подставив z = 2x+3y в уравнение y'=1e2x+3y получаем dzdx=3+2ezez.

Заменив z=xy или z=yx в выражениях y'=fxy или y'=fyx, мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример 7

Если произвести замену z=yx в исходном уравнении y'=yx·lnyx+1, получаем x·dzdx=z·ln z.

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Пример 8

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y'=y2-x22xy. Нам необходимо привести его к виду y'=fxy или y'=fyx. Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x2 или y2.

Пример 9

Нам дано уравнение y'=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R.

Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y'=fxy или y'=fyx, нам необходимо ввести новые переменные u=x-x1v=y-y1, где (x1;y1) является решением системы уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0

Введение новых переменных u=x-1v=y-2 в исходное уравнение y'=5x-y-33x+2y-7 позволяет нам получить уравнение вида dvdu=5u-v3u+2v.

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u. Также примем, что z=uv. Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u·dzdu=5-4z-2z23+2z.

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y'+P(x)·y=Q(x)

Приведем примеры таких уравнений.

Пример 10

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка относятся:

y'-2xy1+x2=1+x2;y'-xy=-(1+x)e-x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y(x) = u(x)v(x). Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y'+P(x)y=Q(x)ya

Приведем примеры подобных уравнений.

Пример 11

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y'+xy=(1+x)e-xy23;y'+yx2+1=arctgxx2+1·y2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z=y1-a, которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y(x) = u(x)v(x).

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Уравнения в полных дифференциалах P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Если для любых значений x и y выполняется ∂P(x,y)∂y=∂Q(x,y)∂x, то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y)=0, то есть, dU(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y)=0 по ее полному дифференциалу.

Пример 12

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения (x2-y2)dx-2xydy=0 представляет собой полный дифференциал функции x33-xy2+C=0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  y''+py'+qy=0, p,q∈R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k2+pk+q=0. Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q:

  • действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k1≠k2, k1, k2∈R;
  • действительные и совпадающие k1=k2=k, k∈R;
  • комплексно сопряженные k1=α+i·β, k2=α-i·β.

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

  • y=C1ek1x+C2ek2x;
  • y=C1ekx+C2xekx;
  • y=ea·x·(C1cos βx+C2sin βx).

Пример 13

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y''+3y'=0. Найдем корни характеристического уравнения k2+3k=0. Это действительные и различные k1 =-3 и k2=0. Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y=C1ek1x+C2ek2x⇔y=C1e-3x+C2e0x⇔y=C1e-3x+C2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y''+py'+qy=f(x), p,q∈R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y0, которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y''+py'+qy=0, и частного решения y~ исходного уравнения. Получаем: y=y0+y~.

Способ нахождения y0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y~ мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

Пример 14

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y''-2y'=(x2+1)ex;y''+36y=24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y''+p(x)·y'+q(x)·y=0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y''+p(x)·y'+q(x)·y=f(x)

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке [a; b] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y''+p(x)·y'+q(x)·y=0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y1 и y2 этого уравнения, то есть, y=C1y1+C2y2.

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1) 1, x, x2, ..., xn2) ek1x, ek2x, ..., eknx3) ek1x, x·ek1x, ..., xn1·ek1x,ek2x, x·ek2x, ..., xn2·ek2x,...ekpx, x·ekpx, ..., xnp·ekpx4) 1, chx, shx

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Пример 15

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение xy''-xy'+y=0.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y''+p(x)·y'+q(x)·y=f(x) мы можем найти в виде суммы y=y0+y~, где y0 - общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y0 можно описанным выше способом. Определить y~ нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Пример 16

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение xy''-xy'+y=x2+1.

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y(k)=p(x) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F(x, y(k), y(k+1), ..., y(n))=0, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка.

В этом случае y(k+1)=p'(x), y(k+2)=p''(x), ..., y(n)=p(n-k)(x), и исходное дифференциальное уравнение сведется к F1(x, p, p', ..., p(n-k))=0. После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене y(k)=p(x) и определить неизвестную функцию y.

Пример 17

Дифференциальное уравнение y'''xln(x)=y'' после замены y''=p(x) станет уравнением с разделяющимися переменными y''=p(x), и его порядок с третьего понизится до первого.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F(y, y', y'', ..., y(n))=0, порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену dydx=p(y), где p(y(x)) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

d2ydx2=dpdydydx=dpdyp(y)d3ydx3=ddpdyp(y)dx=d2pdy2dydxp(y)+dpdydpdydydx==d2pdy2p2(y)+dpdy2p(y)

Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Пример 18

Рассмотрим решение уравнения 4y3y''=y4-1. Путем замены dydx=p(y) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4y3pdpdy=y4-1.

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=0 и y(n)+fn-1·y(n-1)+...+f1·y'+f0·y=f(x)

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

  • находим корни характеристического уравнения kn+fn-1·kn-1+...+f1·k+f0=0;
  • записываем общее решение ЛОДУ y0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y=y0+y~, где y~ - частное решение неоднородного дифференциального уравнения. 

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y~ целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Пример 19

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y(4)+y(3)-5y''+y'-6y=xcosx+sinx соответствует линейное однородное ДУ y(4)+y(3)-5y''+y'-6y=0.

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f1(x)·y'+f0(x)·y=0 и y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f1(x)·y'+f0(x)·y=f(x)

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y=y0+y~, где y0 - общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y1, y2, ..., yn, каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+...+f1(x)·y'+f0(x)·y=0 в тождество. Частные решения y1, y2, ..., yn обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y=y0+y~=∑Cj·yj+y~j=1n

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида dxdt=a1x+b1y+c1dydt=a2x+b2y+c2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

  • решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
  • написание лабораторных, рефератов и курсовых
  • выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

  • Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
  • Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
  • Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
  • Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

  1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

    Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

  2. Выбрать платежную систему.
  3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
  4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

Общие и частные решения

Общие и частные решения

Здесь
научимся находить общее решение дифференциального уравнения,
и используйте это общее решение, чтобы найти конкретное решение. Мы будем
также примените это к задачам ускорения, в которых мы используем
ускорение и начальные условия объекта для определения положения
функция.

Пример 1: Поиск частного решения

Найдите частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданному начальному условию:

Во-первых, нам нужно найти общее решение.Для этого нам нужно проинтегрировать обе стороны, чтобы найти y:

Это дает нам общее решение. Чтобы найти
конкретное решение, нам нужно применить начальные условия, заданные для
us (y = 4, x = 0) и решаем относительно C:

После того, как мы решаем C, у нас есть конкретное решение.

Пример 2: Поиск частного решения

Найдите частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданному начальному условию:

Во-первых, нам нужно интегрировать обе стороны, что дает нам общее решение:

Теперь мы применяем начальные условия (x = 1, y = 4) и решаем для C, которое мы используем для создания нашего конкретного решения:

Пример 3: Поиск частного решения

Найдите частное решение дифференциала уравнение, которое удовлетворяет заданному начальному условию:

Сначала мы находим общее решение, интегрируя обе части:

Теперь, когда у нас есть общее решение, мы можем применить
начальные условия и найти конкретное решение:

Скорость и ускорение

Здесь
мы будем применять конкретные решения для нахождения функций скорости и положения от ускорения объекта.

Пример 4: Поиск функции положения

Найдите функцию положения движущейся частицы
с заданными ускорением, начальным положением и начальной скоростью:

У нас есть функция ускорения, начальная
скорость 10, и начальное положение 5, и ищем
функция положения. Мы знаем, что интеграл ускорения равен
скорость, поэтому начнем с этого:

Теперь у нас есть общее решение для скорости
функция.Чтобы получить конкретное решение, нам нужна начальная скорость.
Поскольку это начальная скорость, это скорость в момент времени t = 0; следовательно, наше начальное условие v = 10, t = 0:

Теперь, когда у нас есть конкретное решение скорости, мы можем интегрировать его, чтобы найти положение:

Теперь мы можем применить наши начальные условия к этому
общее решение, чтобы получить частное решение, которое является позицией
функция, которую мы хотим.Как и раньше, x 0 - это начальная позиция
, что означает, что время t = 0, а x = 5:

Это функция положения частицы.

Пример 5: Поиск функции положения

Найдите функцию положения движущейся частицы
с заданными ускорением, начальным положением и начальной скоростью:

У нас есть уравнение ускорения, начальное
скорость 7 и начальное положение 0.Первый шаг - найти
частное решение скорости частицы:

Теперь мы можем использовать функцию скорости, чтобы найти
функция положения. Помните, нам нужно будет найти конкретный
решение функции положения, а не только общее решение:

Пример 6: Применение дифференциального уравнения

Здесь мы будем использовать реальный пример, чтобы применить то, что мы только что узнали.

Мяч бросается вниз с начальным
скорость 20 футов / с от вершины здания высотой 300 футов.Игнорирование воздушного трения, dow
долго ли мяч достигает земли, и с какой скоростью
это ударило?

Чтобы решить эту проблему, нам нужно поставить
это в терминах, которые мы можем понять. Единицы измерения даны в футах и
футов в секунду; ускорение свободного падения в этих устройствах составляет -32 фут / с 2 .

Мы знаем, что мяч был брошен вниз с начальной скоростью (t = 0) 20 футов / с; так как он идет вниз, скорость будет отрицательной (v 0 = -10).

Наконец, здание достигает 300 футов в высоту, и
мяч брошен сверху. Поскольку мяч начинается с места
вверх от уровня земли, начальное положение будет положительным 300 (x 0 = 300). Давайте представим все это в уравнении, аналогичном предыдущим примерам:

Теперь мы куда-то идем! Вопрос задает
о мяч, когда он падает на землю. Чтобы понять
информация о том, когда он падает на землю, нам нужно знать, во сколько он
хиты.Уравнение, которое связывает положение со временем, - это положение
функция, которую мы уже знаем, как получить из предыдущих примеров:

Теперь, когда у нас есть функция позиции, мы можем
начните решать за время, которое требуется, чтобы мяч коснулся земли, а
скорость, с которой он ударяется. Каждое из этих уравнений должно знать
время; например, если мы подставим 2 вместо t в функцию скорости, это даст нам скорость в t
= 2 или 2 секунды после броска мяча.Нам нужно знать, в какое время
мяч падает на землю; для этого нам нужно установить позицию
функция, равная 0, и решите относительно t.
Мяч стартовал в 300 футах от земли, и мы использовали 300 в качестве нашего
исходное положение. Если мы установим нашу позицию равной 0, это скажет нам
когда мяч падает на землю:

Мы получаем два значения для t:
-5 и 3,75. Мы можем отбросить -5, так как у нас не может быть отрицательного
ценность времени. Следовательно, время, необходимое мячу для достижения
земля 3.75 секунд. Чтобы найти скорость, когда мяч попадает в
на земле, мы просто подставляем 3,75 для t в наше уравнение скорости и решаем:

Скорость мяча при ударе о землю составляет -140 фут / с

Пример 7: Применение дифференциального уравнения

Тормоза автомобиля срабатывают, когда он движется по
60 км / ч, обеспечивая постоянное замедление 12 м / с 2 . Как далеко машина проезжает до остановки и сколько времени это занимает?

Хорошо, давайте разберемся с этим.Мы знаем, что ускорение составляет -12 м / с 2 . Начальная скорость 60 км / ч; это нужно будет преобразовать в м / с (у нас не может быть проблем с разными единицами):

Начальная скорость автомобиля составляет 16,7 м / с. Мы также можем назвать начальное положение x = 0, так как это когда машина начинает замедляться. Собираем все вместе:

Мы знаем, что нам понадобится функция позиции в
какой-то момент, так как нам нужно выяснить, как далеко проехала машина, прежде чем
подходит к остановке, так что давайте продолжим и уберем это с дороги:

Теперь нам нужно выяснить, в какое время машина
останавливается.Мы не знаем, где будет находиться машина.
этот момент, но мы знаем, что скорость будет равна 0. Чтобы узнать
когда скорость равна 0, нам нужно установить скорость равной 0 и
решить:

Автомобиль останавливается через 1,4 секунды после нанесения.
тормоза. Как далеко он проходит до остановки? Нам нужно подключить t = 1,4 к функции положения, чтобы узнать:

Автомобиль проходит 11,6 метра до остановки

Дифференциальные уравнения - неопределенные коэффициенты

Показать общее уведомление

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Это немного заранее, но я хотел сообщить всем, что мои серверы будут проходить техническое обслуживание 17 и 18 мая с 8:00 AM CST до 14:00 PM CST.Будем надеяться, что единственное неудобство будет заключаться в периодическом «потерянном / разорванном» соединении, которое следует исправить, просто перезагрузив страницу. В остальном обслуживание (скрестив пальцы) должно быть «невидимым» для всех.

Пол
6 мая 2021 г.

Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-9: Неопределенные коэффициенты

В этом разделе мы рассмотрим первый метод, который можно использовать для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения.

\ [y '' + p \ left (t \ right) y '+ q \ left (t \ right) y = g \ left (t \ right) \]

Одним из основных преимуществ этого метода является то, что он сводит задачу к задаче алгебры. Алгебра иногда может запутаться, но для большинства задач это не будет очень сложно. Еще одна приятная особенность этого метода заключается в том, что дополнительное решение не будет требоваться явно, хотя, как мы увидим, в некоторых случаях потребуется знание дополнительного решения, и поэтому мы, как правило, также обнаружим это.

У этого метода есть два недостатка. Во-первых, это будет работать только для довольно небольшого класса \ (g (t) \) ’s. Класс \ (g (t) \), для которого работает метод, действительно включает некоторые из наиболее распространенных функций, однако есть много функций, для которых неопределенные коэффициенты просто не будут работать. Во-вторых, это обычно полезно только для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Способ довольно простой. {5t}} \]

Показать решение

Дело здесь в том, чтобы найти конкретное решение, однако первое, что мы собираемся сделать, это найти дополнительное решение этого дифференциального уравнения.{6t}} \]

На данный момент причина, по которой нужно сделать это в первую очередь, не будет очевидна, однако мы хотим, чтобы вы имели привычку находить ее до того, как мы начнем работу по поиску конкретного решения. В конце концов, как мы увидим, наличие дополнительного решения будет полезным, и поэтому лучше иметь привычку сначала находить его, прежде чем выполнять работу с неопределенными коэффициентами.

Теперь приступим к поиску конкретного решения. Как упоминалось до начала этого примера, нам нужно сделать предположение относительно формы конкретного решения этого дифференциального уравнения.{5t}} \ end {align *} \]

Итак, чтобы наша догадка стала решением, нам нужно выбрать \ (A \) так, чтобы коэффициенты экспонент по обе стороны от знака равенства были одинаковыми. {5t}} \]

Прежде чем продолжить, давайте еще раз отметим, что мы начали решение, указанное выше, с поиска дополнительного решения.Технически это не является частью метода неопределенных коэффициентов, однако, как мы в конечном итоге увидим, наличие этого метода до того, как мы сделаем предположение о конкретном решении, может сэкономить нам много работы и / или головной боли. Сначала найти дополнительное решение - это просто хорошая привычка, поэтому мы постараемся научить вас этой привычке в течение следующих нескольких примеров. На этом этапе не беспокойтесь о том, почему это хорошая привычка. В конце концов мы поймем, почему это хорошая привычка.

А теперь вернемся к работе.Обратите внимание, что в последнем примере мы все время говорили «конкретное решение», а не «конкретное решение». Это потому, что есть другие возможности для конкретного решения, которое нам только что удалось найти. Любой из них подойдет для записи общего решения дифференциального уравнения.

Кстати… Этот раздел посвящен поиску конкретных решений, и в большинстве примеров будет поиск только конкретного решения.{5t}} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} y \ left (0 \ right) = \ frac {{18}} {7} \ hspace {0,25 дюйма} y '\ left (0 \ right) = - \ frac {1} {7} \]

Показать решение

Мы знаем, что общее решение будет иметь вид

\ [y \ left (t \ right) = {y_c} \ left (t \ right) + {Y_P} \ left (t \ right) \]

, и у нас уже есть как дополнительное, так и частное решение из первого примера, поэтому нам действительно не нужно выполнять дополнительную работу для этой проблемы.

Одна из наиболее распространенных ошибок в этих задачах - найти дополнительное решение, а затем, поскольку мы, вероятно, привыкли это делать, применить начальные условия к дополнительному решению, чтобы найти константы.Однако это неверно. Дополнительное решение - это только решение однородного дифференциального уравнения, и мы ищем решение неоднородного дифференциального уравнения, и начальные условия должны удовлетворять этому решению, а не дополнительному решению. {5t}} \]

Это будет единственная IVP в этом разделе, поэтому не забывайте, как это делается для неоднородных дифференциальных уравнений!

Давайте посмотрим на другой пример, который даст второй тип \ (g (t) \), для которого будут работать неопределенные коэффициенты.

Пример 3 Найдите частное решение для следующего дифференциального уравнения.

\ [y '' - 4y '- 12y = \ sin \ left ({2t} \ right) \]

Показать решение

Еще раз отметим, что нам, вероятно, следует найти дополнительное решение, прежде чем мы перейдем к угадыванию конкретного решения. Однако, поскольку однородное дифференциальное уравнение для этого примера такое же, как и для первого примера, мы не будем беспокоиться об этом здесь.

Теперь давайте возьмем наш опыт из первого примера и применим его здесь.В первом примере в \ (g (t) \) была экспоненциальная функция, и наше предположение было экспоненциальным. Это дифференциальное уравнение имеет синус, поэтому давайте попробуем следующее предположение для конкретного решения.

\ [{Y_P} \ left (t \ right) = A \ sin \ left ({2t} \ right) \]

Дифференцирование и включение в дифференциальное уравнение дает,

\ [- 4A \ sin \ left ({2t} \ right) - 4 \ left ({2A \ cos \ left ({2t} \ right)} \ right) - 12 \ left ({A \ sin \ left ({ 2t} \ right)} \ right) = \ sin \ left ({2t} \ right) \]

Собирая одинаковые термины, получаем

\ [- 16A \ sin \ left ({2t} \ right) - 8A \ cos \ left ({2t} \ right) = \ sin \ left ({2t} \ right) \]

Нам нужно выбрать \ (A \), чтобы мы получили одинаковую функцию по обе стороны от знака равенства.Это означает, что коэффициенты при синусах и косинусах должны быть равны. Или

\ [\ begin {align *} & \ cos \ left ({2t} \ right) \ ,: & - 8A & = 0 \ hspace {0,25in} \ Rightarrow \ hspace {0,25in} A = 0 \\ & \ sin \ left ({2t} \ right) \,: & - 16A & = 1 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} A = - \ frac {1} {{16}} \ end {align *} \]

Обратите внимание на две вещи. Во-первых, поскольку с правой стороны нет косинуса, это означает, что с этой стороны коэффициент должен быть равен нулю.Что еще более важно, у нас здесь серьезная проблема. Чтобы косинус выпал, как это должно быть для того, чтобы предположение удовлетворяло дифференциальному уравнению, нам нужно установить \ (A = 0 \), но если \ (A = 0 \), синус также будет падать и этого не может произойти. Точно так же, если выбрать \ (A \) для сохранения синуса, также будет сохранен косинус.

Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Если мы получаем несколько значений одной и той же константы или не можем найти значение константы, значит, мы ошиблись.

Один из приятных аспектов этого метода заключается в том, что, когда мы ошибаемся, наша работа часто предлагает исправление. В этом случае проблема заключалась в появившемся косинусе. Итак, чтобы противостоять этому, давайте добавим к нашему предположению косинус. Наше новое предположение -

\ [{Y_P} \ left (t \ right) = A \ cos \ left ({2t} \ right) + B \ sin \ left ({2t} \ right) \]

Подключаем это к дифференциальному уравнению и собираем одинаковые члены, получаем

\ [\ begin {align *} - 4A \ cos \ left ({2t} \ right) - 4B \ sin \ left ({2t} \ right) - 4 \ left ({- 2A \ sin \ left ({2t} \ right) + 2B \ cos \ left ({2t} \ right)} \ right) - \\ 12 \ left ({A \ cos \ left ({2t} \ right) + B \ sin \ left ({2t} \ right)} \ right) & = \ sin \ left ({2t} \ right) \\ \ left ({- 4A - 8B - 12A} \ right) \ cos \ left ({2t} \ right) + \ left ({- 4B + 8A - 12B} \ right) \ sin \ left ({2t} \ right) & = \ sin \ left ({2t} \ right) \\ \ left ({- 16A - 8B} \ right) \ cos \ left ({2t} \ right) + \ left ({8A - 16B} \ right) \ sin \ left ({2t} \ right) & = \ sin \ left ({2t} \ right) \ end { выровнять*}\]

Теперь установите коэффициенты равными

.

\ [\ begin {align *} & \ cos \ left ({2t} \ right) \ ,: & - 16A - 8B & = 0 \\ & \ sin \ left ({2t} \ right) \ ,: & 8A - 16B & = 1 \ end {align *} \]

Решение этой системы дает нам

\ [A = \ frac {1} {{40}} \ hspace {0.25 дюймов} \ hspace {0,25 дюйма} B = - \ frac {1} {{20}} \]

Мы нашли константы и на этот раз угадали правильно. Тогда частным решением дифференциального уравнения является

\ [{Y_P} \ left (t \ right) = \ frac {1} {{40}} \ cos \ left ({2t} \ right) - \ frac {1} {{20}} \ sin \ left ( {2t} \ right) \]

Обратите внимание, что если бы у нас был косинус вместо синуса в последнем примере, то наше предположение было бы таким же. Фактически, если обнаружились и синус, и косинус, мы увидим, что то же предположение также будет работать.3} - t + 3 \]

Показать решение

Опять же, как правило, сначала нам нужно иметь дополнительное решение, но мы снова работаем с тем же однородным дифференциальным уравнением (в конечном итоге вы поймете, почему мы продолжаем работать с той же однородной задачей), поэтому мы снова просто обратимся к первому примеру. {n - 1}} + \ cdots {A_1} t + {A_0} \)

Обратите внимание, что на самом деле существует только три вида функций, указанных выше.Если задуматься, то функции одиночного косинуса и одиночного синуса - это действительно частные случаи, когда присутствуют как синус, так и косинус. Кроме того, мы еще не обосновали предположение для случая, когда присутствуют и синус, и косинус. Мы обосновываем это позже.

Теперь нам нужно перейти к более сложным функциям. Более сложные функции возникают из произведения и сумм основных видов функций. Давайте сначала посмотрим на продукты.

Пример 5 Найдите частное решение для следующего дифференциального уравнения.{4t}} \]

Показать решение

Вы, вероятно, устали от вступительного комментария, но опять же, сначала найти дополнительное решение - действительно хорошая идея, но опять же, мы уже выполнили работу в первом примере, поэтому мы не будем делать это снова. Мы обещаем, что в конечном итоге вы поймете, почему мы продолжаем использовать одну и ту же однородную проблему и почему мы говорим, что сначала неплохо иметь дополнительное решение. {4t}} \ left ({ACt + BC} \ верно)\]

Если мы умножим \ (C \) на две части, мы увидим, что предположение может быть записано таким образом, что на самом деле есть только две константы.{4t}} \]

Этот последний пример проиллюстрировал общее правило, которому мы будем следовать, когда продукты включают экспоненту. Когда продукт включает экспоненту, мы сначала вычеркнем экспоненту и запишем предположение для части функции без экспоненты, затем мы вернемся назад и выберем экспоненту без какого-либо ведущего коэффициента.

Давайте взглянем на еще несколько товаров. Для краткости мы просто запишем предположение для конкретного решения и не будем вдаваться в подробности поиска констант.{7t}} \ sin \ left ({10t} \ right) \) Показать решение

Итак, у нас есть экспонента в функции. Помните правило. Мы проигнорируем экспоненту и запишем предположение для \ (16 \ sin \ left ({10t} \ right) \), а затем вернем экспоненту.

Предположение для синуса -

\ [A \ cos \ left ({10t} \ right) + B \ sin \ left ({10t} \ right) \]

Теперь, чтобы получить собственное предположение для конкретного решения, мы возьмем вышеприведенное предположение и прибавим к нему экспоненту.2} + BEt + CE} \ right) \ sin t \ end {array} \]

Обратите внимание, что везде, где встречается одна из неизвестных констант, она является произведением неизвестных констант. Это означает, что если мы пройдемся и будем использовать это в качестве нашего предположения, система уравнений, которую нам нужно будет решить для неизвестных констант, будет иметь в себе произведения неизвестных. Эти типы систем, как правило, очень трудно решить.

Итак, чтобы избежать этого, мы сделаем то же самое, что и в предыдущем примере.{- 2t}} \ left ({3 - 5t} \ right) \ cos \ left ({9t} \ right) \) Показать решение

Эта последняя часть состоит из трех частей. Во-первых, мы проигнорируем экспоненту и запишем предположение для.

\ [- \ left ({3 - 5t} \ right) \ cos \ left ({9t} \ right) \]

Знак минус также можно игнорировать. Предположительное значение

.

\ [\ left ({At + B} \ right) \ cos \ left ({9t} \ right) + \ left ({Ct + D} \ right) \ sin \ left ({9t} \ right) \]

Теперь вернем экспоненту обратно, и готово.{- 2t}} \ left ({Ct + D} \ right) \ sin \ left ({9t} \ right) \]

Обратите внимание, что мы поместили экспоненту в оба члена.

Есть несколько общих правил, которые нужно помнить для продуктов.

  1. Если \ (g (t) \) содержит экспоненту, проигнорируйте ее и запишите предположение для остатка. Затем снова прикрепите экспоненту без ведущего коэффициента.
  2. Для произведений полиномов и триггерных функций вы сначала записываете предположение только для полинома и умножаете его на соответствующий косинус.Затем добавьте новое предположение для многочлена с разными коэффициентами и умножьте его на соответствующий синус.

Если вы помните эти два правила, вы не ошибетесь с продуктами. Записать предположения о продуктах обычно не так сложно. Сложность возникает, когда вам действительно нужно найти константы.

Теперь давайте взглянем на суммы основных компонентов и / или продуктов основных компонентов. Для этого нам понадобится следующий факт.

Факт

Если \ (Y_ {P1} (t) \) является частным решением для

\ [y '' + p \ left (t \ right) y '+ q \ left (t \ right) y = {g_1} \ left (t \ right) \]

и если \ (Y_ {P2} (t) \) является частным решением для

\ [y '' + p \ left (t \ right) y '+ q \ left (t \ right) y = {g_2} \ left (t \ right) \]

, то \ (Y_ {P1} (t) \) + \ (Y_ {P2} (t) \) является частным решением для

\ [y '' + p \ left (t \ right) y '+ q \ left (t \ right) y = {g_1} \ left (t \ right) + {g_2} \ left (t \ right) \]

Этот факт можно использовать как для нахождения частных решений дифференциальных уравнений, в которых есть суммы, так и для записи предположений для функций, в которых есть суммы. {- 3t}} \ cos \ left ({6t} \ right) - \ sin \ left ({6t} \ right) \)

Показать все решения Скрыть все решения

a \ (g \ left (t \ right) = 4 \ cos \ left ({6t} \ right) - 9 \ sin \ left ({6t} \ right) \) Показать решение

Это первое, что мы уже рассказали вам, как это сделать.Это в таблице основных функций. Однако мы хотели оправдать высказанное там предположение. Используя факт сумм функций, у нас может возникнуть соблазн записать предположение для косинуса и предположение для синуса. Это даст.

\ [\ underbrace {A \ cos \ left ({6t} \ right) + B \ sin \ left ({6t} \ right)} _ {{\ mbox {угадайте косинус}}} + \ underbrace {C \ cos \ left ({6t} \ right) + D \ sin \ left ({6t} \ right)} _ {{\ mbox {угадайте синус}}} \]

Итак, мы получили бы косинус из каждого предположения и синус из каждого предположения.Проблема с этим как предположением состоит в том, что мы получим только два уравнения, которые нужно решить после подключения к дифференциальному уравнению, и все же у нас есть 4 неизвестных. Мы никогда не сможем решить для каждой из констант.

Чтобы исправить это примечание, мы можем объединить некоторые термины следующим образом.

\ [\ left ({A + C} \ right) \ cos \ left ({6t} \ right) + \ left ({B + D} \ right) \ sin \ left ({6t} \ right) \]

Сделав это, мы увидим, что у нас действительно есть один косинус с коэффициентом и один синус с коэффициентом, поэтому мы можем просто использовать

\ [{Y_P} \ left (t \ right) = A \ cos \ left ({6t} \ right) + B \ sin \ left ({6t} \ right) \]

Общее эмпирическое правило для записи предположений для функций, которые включают суммы, - всегда объединять одинаковые члены в отдельные члены с одними коэффициентами.Это значительно упростит работу по поиску коэффициентов.

b \ (g \ left (t \ right) = - 2 \ sin t + \ sin \ left ({14t} \ right) - 5 \ cos \ left ({14t} \ right) \) Показать решение

Для этого мы получим два набора синусов и косинусов. {- 8t} } \]

Обратите внимание, что это возникло из-за того, что у нас было два члена в нашем \ (g (t) \), единственная разница которых заключалась в том, что многочлен стоял перед ними.{- 3t}} \ left ({B \ cos \ left ({6t} \ right) + C \ sin \ left ({6t} \ right)} \ right) + D \ cos \ left ({6t} \ right) ) + E \ sin \ left ({6t} \ right) \]

Мы можем комбинировать предположения, только если они идентичны с точностью до константы. Итак, мы не можем объединить первую экспоненту со второй, потому что вторая действительно умножается на косинус и синус, и поэтому две экспоненты на самом деле являются разными функциями. Точно так же последний синус и косинус нельзя комбинировать с синусом в среднем члене, потому что синус и косинус в среднем члене на самом деле умножаются на экспоненту и поэтому различаются.

Итак, имея дело с суммами функций, убедитесь, что вы ищете идентичные предположения, которые могут содержаться или не содержаться в других предположениях, и объедините их. {6t}} \]

Теперь, не беспокоясь о дополнительном решении еще пару секунд, давайте продолжим и приступим к работе над конкретным решением.{6t}} \ end {align *} \]

Хмммм…. Здесь что-то не так. Ясно, что экспонента не может быть нулем. Итак, что пошло не так? Наконец, нам нужно дополнительное решение. Обратите внимание, что второе слагаемое в дополнительном решении (указанном выше) - это в точности наше предположение о форме частного решения, и теперь вспомним, что обе части дополнительного решения являются решениями однородного дифференциального уравнения,

\ [y '' - 4y '- 12y = 0 \]

Другими словами, нам лучше было бы получить ноль, подставив нашу догадку в дифференциальное уравнение, это решение однородного дифференциального уравнения!

Итак, как это исправить? Чтобы исправить это, нужно добавить \ (t \) к нашему предположению следующим образом.{6t}} \]

Итак, что мы узнали из этого последнего примера. Хотя технически нам не нужно дополнительное решение для получения неопределенных коэффициентов, вы можете проделать большую работу только для того, чтобы в конце выяснить, что вам нужно добавить \ (t \) к предположению, потому что оно появилось в дополнительное решение. Этой работы можно избежать, если мы сначала найдем дополнительное решение и сравним наше предположение с дополнительным решением и посмотрим, отображается ли какая-либо часть вашего предположения в дополнительном решении.

Если часть вашего предположения все же отображается в дополнительном решении, нам нужно будет изменить эту часть предположения, добавив \ (t \) к той части предположения, которая вызывает проблемы. Однако нам нужно быть немного осторожными и убедиться, что мы добавляем \ (t \) в правильное место. Следующий набор примеров покажет вам, как это сделать.

Пример 10 Запишите предположение для частного решения данного дифференциального уравнения.{10t}} + \ left ({Et + F} \ right) \ cos t + \ left ({Gt + H} \ right) \ sin t \]

Обратите внимание, что если мы умножим экспоненциальный член на круглые скобки, мы получим часть дополнительного решения. Поскольку проблемная часть возникает из первого члена, весь первый член будет умножен на \ (t \). Второй и третий термины в порядке сами по себе.

Правильное предположение о форме конкретного решения в этом случае -.{- 2t}} \ left ({A \ cos \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) + B \ sin \ left ({\ frac {t} {2}} \ right)} \ right) + \ left ({Ct + D} \ right) \ cos \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) + \ left ({Et + F} \ right) \ sin \ left ({ \ frac {t} {2}} \ right) \]

В этом случае и второй, и третий члены содержат части дополнительного решения. Однако первый член этого не имеет, поскольку при умножении и синус, и косинус будут иметь экспоненту, и это не является частью дополнительного решения.{- 2t}} \ left ({A \ cos \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) + B \ sin \ left ({\ frac {t} {2}} \ right)} \ right) + \ left ({Ct + D} \ right) \ cos \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) + \ left ({Et + F} \ right) \ sin \ left ({ \ frac {t} {2}} \ right) \]

Однако на этот раз проблемы вызывает первый член, а не второй или третий. Фактически, первый член является в точности дополнительным решением, поэтому для него потребуется \ (t \). Напомним, что у нас будет проблема с членом в нашем предположении, только если он отличается от дополнительного решения только константой.{- 4t}} \]

После умножения ни один из членов не входит в дополнительное решение, так что все будет в порядке.

Как показал этот последний набор примеров, нам действительно нужно иметь в наличии дополнительное решение, прежде чем даже записывать первое предположение для конкретного решения. Таким образом мы сможем сравнить наше предположение с дополнительным решением, и если появится какое-либо из условий вашего конкретного решения, мы будем знать, что у нас возникнут проблемы.Как только проблема идентифицирована, мы можем добавить \ (t \) к термину (ам) проблемы и сравнить наше новое предположение с дополнительным решением. Если проблем нет, мы можем приступить к решению проблемы, если есть проблемы, добавьте еще один \ (t \) и снова сравните.

Можете ли вы увидеть общее правило относительно того, когда потребуется \ (t \), а когда - t 2 для дифференциальных уравнений второго порядка?

17.2: Неоднородные линейные уравнения - Математика LibreTexts

В этом разделе мы исследуем, как решать неоднородные дифференциальные уравнения.Терминология и методы отличаются от тех, которые мы использовали для однородных уравнений, поэтому давайте начнем с определения некоторых новых терминов.

Общее решение неоднородного линейного уравнения

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение

\ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x). \ nonumber \]

Соответствующее однородное уравнение

\ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = 0 \ nonumber \]

называется дополнительным уравнением .Мы увидим, что решение дополнительного уравнения является важным шагом в решении неоднородного дифференциального уравнения.

Определение: частное решение

Решение \ (y_p (x) \) дифференциального уравнения, не содержащее произвольных констант, называется частным решением этого уравнения.

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ

Пусть \ (y_p (x) \) будет любым частным решением неоднородного линейного дифференциального уравнения

\ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x).\]

Кроме того, пусть \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \) обозначает общее решение дополнительного уравнения. Тогда общее решение неоднородного уравнения равно

\ [y (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + y_p (x). \]

Проба

Чтобы доказать, что \ (y (x) \) является общим решением, мы должны сначала показать, что оно решает дифференциальное уравнение, и, во-вторых, что любое решение дифференциального уравнения может быть записано в этой форме. Подставляя \ (y (x) \) в дифференциальное уравнение, получаем

\ [\ begin {align} a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = a_2 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) ″ + a_1 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) ′ \ nonumber \\ \; \; \; \; + a_0 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) \ nonumber \\ = [a_2 (x) (c_1y_1 + c_2y_2) ″ + a_1 (x) (c_1y_1 + c_2y_2) ′ + a_0 (x) (c_1y_1 + c_2y_2)] \ nonumber \\ \; \; \; \; + a_2 (x) y_p ″ + a_1 (x) y_p ′ + a_0 (x) y_p \ nonumber \\ = 0 + r (x) \\ = r (x).\ nonumber \ end {align} \ nonumber \]

Итак, \ (y (x) \) - решение.

Пусть теперь \ (z (x) \) будет любым решением \ (a_2 (x) y '' + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x). \) Тогда

\ [\ begin {align *} a_2 (x) (z − y_p) ″ + a_1 (x) (z − y_p) ′ + a_0 (x) (z − y_p) = (a_2 (x) z ″ + a_1 (x) z ′ + a_0 (x) z) \ nonumber \\ \; \; \; \ ;−( a_2 (x) y_p ″ + a_1 (x) y_p ′ + a_0 (x) y_p) \ nonumber \\ = r (x) −r (x) \ nonumber \\ = 0, \ nonumber \ end {align *} \ nonumber \]

, поэтому \ (z (x) −y_p (x) \) является решением дополнительного уравнения. Но \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \) является общим решением дополнительного уравнения, поэтому существуют константы \ (c_1 \) и \ (c_2 \) такие, что

\ [z (x) −y_p (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x).\ nonumber \]

Отсюда видим, что

\ [z (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + y_p (x). \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \): проверка общего решения

Учитывая, что \ (y_p (x) = x \) является частным решением дифференциального уравнения \ (y ″ + y = x, \), запишите общее решение и проверьте, убедившись, что решение удовлетворяет уравнению.

Решение

Дополнительное уравнение \ (y ″ + y = 0, \) имеет общее решение \ (c_1 \ cos x + c_2 \ sin x.\) Итак, общее решение неоднородного уравнения

\ [у (х) = с_1 \ соз х + с_2 \ грех х + х. \ nonumber \]

Чтобы убедиться, что это решение, подставьте его в дифференциальное уравнение. У нас

\ [y ′ (x) = - c_1 \ sin x + c_2 \ cos x + 1 \ nonumber \]

и

\ [y ″ (x) = - c_1 \ cos x − c_2 \ sin x. \ nonumber \]

Затем

\ [\ begin {align *} y ″ (x) + y (x) = −c_1 \ cos x − c_2 \ sin x + c_1 \ cos x + c_2 \ sin x + x \ nonumber \\ = x. \ nonumber \ end {align *} \]

Итак, \ (y (x) \) является решением \ (y ″ + y = x \).{4x} −2 \]

В предыдущем разделе мы узнали, как решать однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Следовательно, для неоднородных уравнений вида \ (ay ″ + by ′ + cy = r (x) \) мы уже знаем, как решить дополнительное уравнение, и задача сводится к нахождению частного решения для неоднородного уравнения. Теперь рассмотрим два метода для этого: метод неопределенных коэффициентов и метод вариации параметров.

Неопределенные коэффициенты

Метод неопределенных коэффициентов включает в себя обоснованные предположения о форме конкретного решения на основе формы \ (r (x) \).Когда мы берем производные от полиномов, экспоненциальных функций, синусов и косинусов, мы получаем многочлены, экспоненциальные функции, синусы и косинусы. Поэтому, когда \ (r (x) \) имеет одну из этих форм, возможно, что решение неоднородного дифференциального уравнения может принять ту же самую форму. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как это работает.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): неопределенные коэффициенты, когда \ (r (x) \) является многочленом

Найдите общее решение задачи \ (y ″ + 4y ′ + 3y = 3x \).{−3x} \). Поскольку \ (r (x) = 3x \), конкретное решение может иметь вид \ (y_p (x) = Ax + B \). Если это так, то мы имеем \ (y_p ′ (x) = A \) и \ (y_p ″ (x) = 0 \). Чтобы \ (y_p \) было решением дифференциального уравнения, мы должны найти такие значения для \ (A \) и \ (B \), что

\ [\ begin {align} y ″ + 4y ′ + 3y = 3x \ nonumber \\ 0 + 4 (A) +3 (Ax + B) = 3x \ nonumber \\ 3Ax + (4A + 3B) = 3x. \ nonumber \ end {align} \ nonumber \]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых слагаемых, получаем

\ [\ begin {align *} 3A = 3 \\ 4A + 3B = 0.{−3x} + x− \ frac {4} {3}. \ nonumber \]

Обратите внимание, что в примере \ (\ PageIndex {2} \), даже несмотря на то, что \ (r (x) \) не включал постоянный член, нам необходимо было включить постоянный член в наше предположение. Если бы мы предположили решение вида \ (y_p = Ax \) (без постоянного члена), мы не смогли бы найти решение. (Проверьте это!) Если функция \ (r (x) \) является полиномом, наша догадка для конкретного решения должна быть полиномом той же степени, и она должна включать все члены более низкого порядка, независимо от того, являются ли они присутствует в \ (r (x) \).{2t} + \ sin t + \ cos t \]

В предыдущей контрольной точке \ (r (x) \) включал как синусоидальные, так и косинусные члены. Однако даже если \ (r (x) \) включает только синусоидальный член или только косинусный член, в предположении должны присутствовать оба члена. Метод неопределенных коэффициентов также работает с произведениями полиномов, экспонент, синусов и косинусов. Некоторые ключевые формы \ (r (x) \) и связанные с ними предположения для \ (y_p (x) \) суммированы в Таблице \ (\ PageIndex {1} \).

Таблица \ (\ PageIndex {1} \): ключевые формы для метода неопределенных коэффициентов
\ (r (x) \) Первоначальное предположение для \ (y_p (x) \)
\ (k \) (постоянная) \ (A \) (постоянная)
\ (ах + b \) \ (Ax + B \) ( Примечание : предположение должно включать оба члена, даже если \ (b = 0 \).{−2x} \).

СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ: МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

  1. Решите дополнительное уравнение и запишите общее решение.
  2. Основываясь на форме \ (r (x) \), сделайте начальное предположение для \ (y_p (x) \).
  3. Проверьте, является ли какой-либо член в предположении для \ (y_p (x) \) решением дополнительного уравнения. Если это так, умножьте предположение на \ (x. \). Повторяйте этот шаг до тех пор, пока в \ (y_p (x) \) не останется членов, решающих дополнительное уравнение.
  4. Подставьте \ (y_p (x) \) в дифференциальное уравнение и приравняйте аналогичные члены, чтобы найти значения для неизвестных коэффициентов в \ (y_p (x) \).
  5. Добавьте общее решение дополнительного уравнения и только что найденное частное решение, чтобы получить общее решение неоднородного уравнения.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): решение неоднородных уравнений

Найдите общие решения следующих дифференциальных уравнений.{−3x} \) (шаг 1). Основываясь на форме \ (r (x) = - 6 \ cos 3x, \), наше первоначальное предположение для конкретного решения будет \ (y_p (x) = A \ cos 3x + B \ sin 3x \) (шаг 2) . Ни один из членов в \ (y_p (x) \) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (шаг 3).
Теперь мы хотим найти значения для \ (A \) и \ (B, \), поэтому подставляем \ (y_p \) в дифференциальное уравнение. У нас есть

\ [y_p ′ (x) = - 3A \ sin 3x + 3B \ cos 3x \ text {and} y_p ″ (x) = - 9A \ cos 3x − 9B \ sin 3x, \]

поэтому мы хотим найти такие значения \ (A \) и \ (B \), что

\ [\ begin {align *} y ″ −9y = −6 \ cos 3x \\ - 9A \ cos 3x − 9B \ sin 3x − 9 (A \ cos 3x + B \ sin 3x) = −6 \ cos 3x \\ −18A \ cos 3x − 18B \ sin 3x = −6 \ cos 3x.2 + Bt \) (шаг 3). Проверяя это новое предположение, мы видим, что ни один из членов в \ (y_p (t) \) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (снова шаг 3). Теперь мы хотим найти значения для \ (A \) и \ (B, \), поэтому мы подставляем \ (y_p \) в дифференциальное уравнение. У нас есть \ (y_p ′ (t) = 2At + B \) и \ (y_p ″ (t) = 2A \), поэтому мы хотим найти такие значения AA и BB, что

\ [\ begin {align *} y ″ −3y ′ = −12t \\ 2A − 3 (2At + B) = −12t \\ −6At + (2A − 3B) = −12t. \ end {align *} \]

Следовательно,

\ [\ begin {align *} - 6A = −12 \\ 2A − 3B = 0.{2t} −5 \ cos 2t + \ sin 2t \)

Изменение параметров

Иногда \ (r (x) \) не является комбинацией многочленов, экспонент или синусов и косинусов. В этом случае метод неопределенных коэффициентов не работает, и мы должны использовать другой подход, чтобы найти конкретное решение дифференциального уравнения. Мы используем подход под названием метод изменения параметров .

Чтобы немного упростить наши вычисления, мы собираемся разделить дифференциальное уравнение на \ (a, \), чтобы у нас был старший коэффициент, равный 1.Тогда дифференциальное уравнение имеет вид

\ [y ″ + py ′ + qy = r (x), \]

где \ (p \) и \ (q \) - константы.

Если общее решение дополнительного уравнения дается выражением \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \), мы будем искать частное решение вида

\ [y_p (x) = u (x) y_1 (x) + v (x) y_2 (x). \]

В этом случае мы используем два линейно независимых решения дополнительного уравнения, чтобы сформировать наше частное решение. Однако мы предполагаем, что коэффициенты являются функциями от \ (x \), а не константами.Мы хотим найти функции \ (u (x) \) и \ (v (x) \) такие, что \ (y_p (x) \) удовлетворяет дифференциальному уравнению. У нас

\ [\ begin {align *} y_p = uy_1 + vy_2 \\ y_p ′ = u′y_1 + uy_1 ′ + v′y_2 + vy_2 ′ \\ y_p ″ = (u′y_1 + v′y_2) ′ + u ′ y_1 ′ + uy_1 ″ + v′y_2 ′ + vy_2 ″. \ end {align *} \]

Подставляя в дифференциальное уравнение, получаем

\ [\ begin {align *} y_p ″ + py_p ′ + qy_p = [(u′y_1 + v′y_2) ′ + u′y_1 ′ + uy_1 ″ + v′y_2 ′ + vy_2 ″] \\ \; \ ; \; \; + p [u′y_1 + uy_1 ′ + v′y_2 + vy_2 ′] + q [uy_1 + vy_2] \\ = u [y_1 ″ + p_y1 ′ + qy_1] + v [y_2 ″ + py_2 ′ + qy_2] \\ \; \; \; \; + (u′y_1 + v′y_2) ′ + p (u′y_1 + v′y_2) + (u′y_1 ′ + v′y_2 ′).\ end {align *} \]

Обратите внимание, что \ (y_1 \) и \ (y_2 \) являются решениями дополнительного уравнения, поэтому первые два члена равны нулю. Таким образом, имеем

\ [(u′y_1 + v′y_2) ′ + p (u′y_1 + v′y_2) + (u′y_1 ′ + v′y_2 ′) = r (x). \]

Если мы упростим это уравнение, наложив дополнительное условие \ (u′y_1 + v′y_2 = 0 \), первые два члена равны нулю, и это сведется к \ (u′y_1 ′ + v′y_2 ′ = r ( Икс)\). Итак, с этим дополнительным условием мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

\ [\ begin {align *} u′y_1 + v′y_2 = 0 \\ u′y_1 ′ + v′y_2 ′ = r (x).\ end {align *} \]

Решение этой системы дает нам \ (u ′ \) и \ (v ′ \), которые мы можем проинтегрировать, чтобы найти \ (u \) и \ (v \).

Тогда \ (y_p (x) = u (x) y_1 (x) + v (x) y_2 (x) \) является частным решением дифференциального уравнения. Решение этой системы уравнений иногда бывает сложной задачей, поэтому давайте воспользуемся этой возможностью, чтобы рассмотреть правило Крамера, которое позволяет нам решать систему уравнений с использованием определителей.

ПРАВИЛО

: ПРАВИЛО КРЕМЕРА

Система уравнений

\ [\ begin {align *} a_1z_1 + b_1z_2 = r_1 \\ [4pt] a_2z_1 + b_2z_2 = r_2 \ end {align *} \]

имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель коэффициентов не равен нулю. 2 \\ r_1 (x) = 0 \\ r_2 (х) = 2х.2} \), \ (z_2 = \ frac {2x + 2} {11x} \)

СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ: МЕТОД ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ

  1. Решите дополнительное уравнение и запишите общее решение \ [c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x). \]
  2. Используйте правило Крамера или другой подходящий метод, чтобы найти функции \ (u ′ (x) \) и \ (v ′ (x) \), удовлетворяющие \ [\ begin {align} u′y_1 + v′y_2 = 0 \\ u ′ Y_1 ′ + v′y_2 ′ = r (x). \ end {align} \]
  3. Интегрируйте \ (u ′ \) и \ (v ′ \), чтобы найти \ (u (x) \) и \ (v (x) \).т \ лн | т | \ tag {step 5} \]

  4. Дополнительное уравнение \ (y ″ + y = 0 \) с соответствующим общим решением \ (c_1 \ cos x + c_2 \ sin x \). Итак, \ (y_1 (x) = \ cos x \) и \ (y_2 (x) = \ sin x \) (шаг 1). Затем мы хотим найти функции \ (u ′ (x) \) и \ (v ′ (x) \) такие, что

    \ [\ begin {align *} u ′ \ cos x + v ′ \ sin x = 0 \\ −u ′ \ sin x + v ′ \ cos x = 3 \ sin _2 x \ end {align *}. 2 x \ cos x ( \ text {step 2}).т $.

    Общее решение начального дифференциального уравнения будет тогда общим решением однородного плюс найденное вами частное решение.

    Дополнительную информацию и примеры этого метода можно найти здесь.

    $ \ mathbf {2} $ - Преобразование Лапласа:

    Это очень быстрый и прямой способ решения проблемы, но он требует некоторого свободного владения техниками преобразования Лапласа. Обратите внимание, что вы можете применить преобразование Лапласа даже без начальных условий, просто указав их как константы.tt $ можно использовать вариацию параметров, чтобы найти окончательное общее решение, вычислив вронскиан и найдя интегралы:

    $$ v_1 (t) = - \ int \ frac {f (t) y_ {b_2} (t)} {W (t)} \ mathrm {d} t \ quad \ text {and} \ quad v_2 (t ) = \ int \ frac {f (t) y_ {b_1} (t)} {W (t)} \ mathrm {d} t $$

    Дополнительную информацию и примеры этого метода можно найти здесь.

    4.1 Основы дифференциальных уравнений - Исчисление Том 2

    Цели обучения

    • 4.1.1 Определите порядок дифференциального уравнения.
    • 4.1.2 Объясните, что подразумевается под решением дифференциального уравнения.
    • 4.1.3. Различают общее решение и частное решение дифференциального уравнения.
    • 4.1.4 Определите проблему начального значения.
    • 4.1.5. Определите, является ли данная функция решением дифференциального уравнения или задачей с начальным значением.

    Исчисление - это математика изменений, а скорость изменения выражается производными. Таким образом, один из наиболее распространенных способов использования исчисления - это составить уравнение, содержащее неизвестную функцию y = f (x) y = f (x) и ее производную, известное как дифференциальное уравнение .Решение таких уравнений часто дает информацию о том, как меняются количества, и часто дает представление о том, как и почему происходят изменения.

    Методы решения дифференциальных уравнений могут принимать множество различных форм, включая прямое решение, использование графиков или компьютерные вычисления. Мы представляем основные идеи в этой главе и более подробно опишем их позже в курсе. В этом разделе мы изучаем, что такое дифференциальные уравнения, как проверять их решения, некоторые методы, которые используются для их решения, а также некоторые примеры общих и полезных уравнений.

    Общие дифференциальные уравнения

    Рассмотрим уравнение y ′ = 3x2, y ′ = 3x2, которое является примером дифференциального уравнения, поскольку оно включает производную. Между переменными xx и y существует связь: yy: y - неизвестная функция от x.x. Кроме того, левая часть уравнения - это производная от y.y. Следовательно, мы можем интерпретировать это уравнение следующим образом: начните с некоторой функции y = f (x) y = f (x) и возьмите ее производную. Ответ должен быть равен 3x2,3x2. У какой функции есть производная, равная 3x2? 3x2? Одна из таких функций - y = x3, y = x3, поэтому эта функция считается решением дифференциального уравнения.

    Определение

    Дифференциальное уравнение - это уравнение, включающее неизвестную функцию y = f (x) y = f (x) и одну или несколько ее производных. Решение дифференциального уравнения - это функция y = f (x) y = f (x), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению, когда ff и его производные подставляются в уравнение.

    Некоторые примеры дифференциальных уравнений и их решений приведены в таблице 4.1.

    Уравнение Решение
    y ′ = 2xy ′ = 2x у = х2у = х2
    y ′ + 3y = 6x + 11y ′ + 3y = 6x + 11 y = e − 3x + 2x + 3y = e − 3x + 2x + 3
    y ′ ′ - 3y ′ + 2y = 24e − 2xy ′ ′ - 3y ′ + 2y = 24e − 2x y = 3ex − 4e2x + 2e − 2xy = 3ex − 4e2x + 2e − 2x

    Таблица 4.1 Примеры дифференциальных уравнений и их решений

    Обратите внимание, что решение дифференциального уравнения не обязательно является уникальным, в первую очередь потому, что производная константы равна нулю. Например, y = x2 + 4y = x2 + 4 также является решением первого дифференциального уравнения в таблице 4.1. Мы вернемся к этой идее чуть позже в этом разделе. А пока давайте сосредоточимся на том, что означает, что функция является решением дифференциального уравнения.

    Пример 4.1

    Проверка решений дифференциальных уравнений

    Убедитесь, что функция y = e − 3x + 2x + 3y = e − 3x + 2x + 3 является решением дифференциального уравнения y ′ + 3y = 6x + 11.у '+ 3у = 6х + 11.

    Решение

    Чтобы проверить решение, мы сначала вычисляем y′y ′, используя цепное правило для производных. Это дает y ′ = - 3e − 3x + 2.y ′ = - 3e − 3x + 2. Затем подставляем yy и y′y ′ в левую часть дифференциального уравнения:

    (−3e − 2x + 2) +3 (e − 2x + 2x + 3). (- 3e − 2x + 2) +3 (e − 2x + 2x + 3).

    Результирующее выражение можно упростить, предварительно распространив его, исключив круглые скобки, давая

    −3e − 2x + 2 + 3e − 2x + 6x + 9. − 3e − 2x + 2 + 3e − 2x + 6x + 9.

    Объединение одинаковых членов приводит к выражению 6x + 11,6x + 11, которое равно правой части дифференциального уравнения.Этот результат подтверждает, что y = e − 3x + 2x + 3y = e − 3x + 2x + 3 является решением дифференциального уравнения.

    КПП 4.1

    Убедитесь, что y = 2e3x − 2x − 2y = 2e3x − 2x − 2 является решением дифференциального уравнения y′ − 3y = 6x + 4.y′ − 3y = 6x + 4.

    Удобно определять характеристики дифференциальных уравнений, которые упрощают их обсуждение и категоризацию. Самая основная характеристика дифференциального уравнения - это его порядок.

    Определение

    Порядок дифференциального уравнения - это наивысший порядок любой производной неизвестной функции, которая появляется в уравнении.

    Пример 4.2

    Определение порядка дифференциального уравнения

    Каков порядок каждого из следующих дифференциальных уравнений?

    1. y′ − 4y = x2−3x + 4y′ − 4y = x2−3x + 4
    2. x2y ‴ −3xy ″ + xy′ − 3y = sinxx2y ‴ −3xy ″ + xy′ − 3y = sinx
    3. 4xy (4) −6x2y ″ + 12x4y = x3−3x2 + 4x − 124xy (4) −6x2y ″ + 12x4y = x3−3x2 + 4x − 12
    Решение
    1. Старшая производная в уравнении - y ′, y ′, поэтому порядок равен 1.1.
    2. Старшая производная в уравнении - y ‴, y ‴, поэтому порядок равен 3.3.
    3. Старшая производная в уравнении - y (4), y (4), поэтому порядок равен 4,4.

    Контрольно-пропускной пункт 4.2

    Каков порядок следующего дифференциального уравнения?

    (x4−3x) y (5) - (3x2 + 1) y ′ + 3y = sinxcosx (x4−3x) y (5) - (3x2 + 1) y ′ + 3y = sinxcosx

    Общие и частные решения

    Мы уже отмечали, что дифференциальное уравнение y ′ = 2xy ′ = 2x имеет по крайней мере два решения: y = x2y = x2 и y = x2 + 4.y = x2 + 4. Единственная разница между этими двумя решениями - это последний член, который является константой.Что, если последний член - другая константа? Будет ли это выражение по-прежнему решением дифференциального уравнения? Фактически, любая функция вида y = x2 + C, y = x2 + C, где CC представляет любую константу, также является решением. Причина в том, что производная x2 + Cx2 + C равна 2x, 2x, независимо от значения C.C. Можно показать, что любое решение этого дифференциального уравнения должно иметь вид y = x2 + C.y = x2 + C. Это пример общего решения дифференциального уравнения. График некоторых из этих решений представлен на рисунке 4.2. ( Примечание : на этом графике мы использовали четные целые значения для CC в диапазоне от -4-4 до 4,4. Фактически, нет никаких ограничений на значение C; C; оно может быть целым или нет.)

    Рис. 4.2 Семейство решений дифференциального уравнения y ′ = 2x.y ′ = 2x.

    В этом примере мы можем выбрать любое решение, какое захотим; например, y = x2−3y = x2−3 является членом семейства решений этого дифференциального уравнения. Это называется частным решением дифференциального уравнения. Конкретное решение часто можно однозначно идентифицировать, если нам предоставить дополнительную информацию о проблеме.

    Пример 4.3

    Поиск конкретного решения

    Найдите частное решение дифференциального уравнения y ′ = 2xy ′ = 2x, проходящее через точку (2,7). (2,7).

    Решение

    Любая функция вида y = x2 + Cy = x2 + C является решением этого дифференциального уравнения. Чтобы определить значение C, C, мы подставляем значения x = 2x = 2 и y = 7y = 7 в это уравнение и решаем относительно C: C:

    y = x2 + C7 = 22 + C = 4 + CC = 3. y = x2 + C7 = 22 + C = 4 + CC = 3.

    Следовательно, частное решение, проходящее через точку (2,7) (2,7), имеет вид y = x2 + 3.у = х2 + 3.

    КПП 4.3

    Найдите частное решение дифференциального уравнения

    , проходящее через точку (1,7), (1,7), при условии, что y = 2x2 + 3x + Cy = 2x2 + 3x + C, является общим решением дифференциального уравнения.

    Проблемы с начальным значением

    Обычно данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное количество решений, поэтому естественно спросить, какое из них мы хотим использовать. Чтобы выбрать одно решение, необходима дополнительная информация. Некоторая конкретная информация, которая может быть полезна, - это начальное значение, которое представляет собой упорядоченную пару, которая используется для поиска конкретного решения.

    Дифференциальное уравнение вместе с одним или несколькими начальными значениями называется задачей начальных значений. Общее правило состоит в том, что количество начальных значений, необходимых для задачи с начальными значениями, равно порядку дифференциального уравнения. Например, если у нас есть дифференциальное уравнение y ′ = 2x, y ′ = 2x, тогда y (3) = 7y (3) = 7 является начальным значением, и, взятые вместе, эти уравнения образуют задачу с начальным значением. Дифференциальное уравнение y ″ −3y ′ + 2y = 4exy ″ −3y ′ + 2y = 4ex второго порядка, поэтому нам нужны два начальных значения.В задачах с начальным значением порядка больше единицы одно и то же значение следует использовать для независимой переменной. Примером начальных значений для этого уравнения второго порядка может быть y (0) = 2y (0) = 2 и y ′ (0) = - 1.y ′ (0) = - 1. Эти два начальных значения вместе с дифференциальным уравнением образуют начальную задачу. Эти проблемы названы так потому, что часто независимой переменной в неизвестной функции является t, t, которая представляет время. Таким образом, значение t = 0t = 0 представляет начало проблемы.

    Пример 4.4

    Проверка решения проблемы с начальным значением

    Проверить, что функция y = 2e − 2t + ety = 2e − 2t + et является решением задачи начального значения

    y ′ + 2y = 3et, y (0) = 3. y ′ + 2y = 3et, y (0) = 3.

    Решение

    Чтобы функция удовлетворяла задаче с начальным значением, она должна удовлетворять как дифференциальному уравнению, так и начальному условию. Чтобы показать, что yy удовлетворяет дифференциальному уравнению, мы начнем с вычисления y′.y ′. Это дает y ′ = - 4e − 2t + et.y ′ = - 4e − 2t + et. Затем мы подставляем yy и y′y ′ в левую часть дифференциального уравнения и упрощаем:

    y ′ + 2y = (- 4e − 2t + et) +2 (2e − 2t + et) = - 4e − 2t + et + 4e − 2t + 2et = 3et.y ′ + 2y = (- 4e − 2t + et ) +2 (2e − 2t + et) = - 4e − 2t + et + 4e − 2t + 2et = 3et.

    Это равно правой части дифференциального уравнения, поэтому y = 2e − 2t + ety = 2e − 2t + et решает дифференциальное уравнение. Затем мы вычисляем y (0): y (0):

    y (0) = 2e − 2 (0) + e0 = 2 + 1 = 3. y (0) = 2e − 2 (0) + e0 = 2 + 1 = 3.

    Этот результат подтверждает исходное значение. Следовательно, данная функция удовлетворяет начальной задаче.

    КПП 4.4

    Убедитесь, что y = 3e2t + 4sinty = 3e2t + 4sint является решением задачи начального значения

    y′ − 2y = 4cost − 8sint, y (0) = 3. y′ − 2y = 4cost − 8sint, y (0) = 3.

    В примере 4.4 задача начального значения состояла из двух частей. Первой частью было дифференциальное уравнение y ′ + 2y = 3ex, y ′ + 2y = 3ex, а второй частью было начальное значение y (0) = 3.y (0) = 3. Эти два уравнения вместе образуют начальную задачу.

    То же и в целом. Задача начальной стоимости будет состоять из двух частей: дифференциального уравнения и начального условия.Дифференциальное уравнение имеет семейство решений, а начальное условие определяет значение C.C. Семейство решений дифференциального уравнения из примера 4.4 имеет вид y = 2e − 2t + Cet.y = 2e − 2t + Cet. Это семейство решений показано на рис. 4.3, с помеченным частным решением y = 2e − 2t + ety = 2e − 2t + et.

    Рис. 4.3. Семейство решений дифференциального уравнения y ′ + 2y = 3et.y ′ + 2y = 3et. Отмечено частное решение y = 2e − 2t + ety = 2e − 2t + et.

    Пример 4.5

    Решение задачи с начальным значением

    Решите следующую задачу с начальным значением:

    y ′ = 3ex + x2−4, y (0) = 5.y ′ = 3ex + x2−4, y (0) = 5.

    Решение

    Первым шагом в решении этой начальной задачи является поиск общего семейства решений. Для этого находим первообразную обеих частей дифференциального уравнения

    ∫y′dx = ∫ (3ex + x2−4) dx, ∫y′dx = ∫ (3ex + x2−4) dx,

    а именно

    y + C1 = 3ex + 13x3−4x + C2.y + C1 = 3ex + 13x3−4x + C2.

    (4,1)

    Мы можем интегрировать обе стороны, потому что термин y появляется сам по себе. Обратите внимание на две константы интегрирования: C1C1 и C2.C2. Решение уравнения 4.1 для yy дает

    y = 3ex + 13x3−4x + C2 − C1.y = 3ex + 13x3−4x + C2 − C1.

    Поскольку C1C1 и C2C2 являются константами, C2-C1C2-C1 также является константой. Следовательно, мы можем определить C = C2 − C1, C = C2 − C1, что приводит к уравнению

    y = 3ex + 13x3−4x + C.y = 3ex + 13x3−4x + C.

    Далее мы определяем значение C.C. Для этого мы подставляем x = 0x = 0 и y = 5y = 5 в уравнение 4.1 и решаем относительно C: C:

    5 = 3e0 + 1303−4 (0) + C5 = 3 + CC = 2,5 = 3e0 + 1303−4 (0) + C5 = 3 + CC = 2.

    Теперь мы подставляем значение C = 2C = 2 в уравнение 4.1. Решение начальной задачи: y = 3ex + 13x3−4x + 2.y = 3ex + 13x3−4x + 2.

    Анализ

    Разница между общим решением и частным решением состоит в том, что общее решение включает в себя семейство функций, определенных явно или неявно, от независимой переменной. Начальное значение или значения определяют, какое конкретное решение в семействе решений удовлетворяет желаемым условиям.

    КПП 4.5

    Решите задачу начального значения

    y ′ = x2−4x + 3−6ex, y (0) = 8.y ′ = x2−4x + 3−6ex, y (0) = 8.

    В физических и инженерных приложениях мы часто рассматриваем силы, действующие на объект, и используем эту информацию, чтобы понять результирующее движение, которое может произойти. Например, если мы начнем с объекта на поверхности Земли, первичной силой, действующей на этот объект, будет гравитация. Физики и инженеры могут использовать эту информацию вместе со вторым законом движения Ньютона (в форме уравнения F = ma, F = ma, где FF представляет силу, mm представляет массу, а aa представляет ускорение), чтобы вывести уравнение, которое может быть решено. .

    Рис. 4.4. При падении бейсбольного мяча в воздухе единственной силой, действующей на него, является сила тяжести (без учета сопротивления воздуха).

    На рисунке 4.4 мы предполагаем, что единственная сила, действующая на бейсбольный мяч, - это сила тяжести. Это предположение игнорирует сопротивление воздуха. (Сила, создаваемая сопротивлением воздуха, рассматривается в более позднем обсуждении.) Ускорение свободного падения на поверхности Земли, g, g, составляет примерно 9,8 м / с и 2,9,8 м / с2. Мы вводим систему отсчета, в которой поверхность Земли находится на высоте 0 метров.Пусть v (t) v (t) представляет скорость объекта в метрах в секунду. Если v (t)> 0, v (t)> 0, мяч поднимается, а если v (t) <0, v (t) <0, мяч падает (рисунок 4.5).

    Рис. 4.5. Возможные скорости восходящего / падающего бейсбольного мяча.

    Наша цель - найти скорость v (t) v (t) в любой момент времени t.t. Для этого мы создаем задачу с начальным значением. Предположим, масса мяча равна m, m, где мм измеряется в килограммах. Мы используем второй закон Ньютона, который гласит, что сила, действующая на объект, равна его массе, умноженной на его ускорение (F = ma).(F = ma). Ускорение - это производная скорости, поэтому a (t) = v ′ (t) .a (t) = v ′ (t). Следовательно, сила, действующая на бейсбольный мяч, определяется выражением F = mv ′ (t) .F = mv ′ (t). Однако эта сила должна быть равна силе тяжести, действующей на объект, которая (опять же с использованием второго закона Ньютона) задается формулами Fg = −mg, Fg = −mg, поскольку эта сила действует в направлении вниз. Следовательно, мы получаем уравнение F = Fg, F = Fg, которое превращается в mv ′ (t) = - mg.mv ′ (t) = - mg. Разделив обе части уравнения на мм, получим уравнение

    v ′ (t) = - g.v ′ (t) = - g.

    Обратите внимание, что это дифференциальное уравнение остается неизменным независимо от массы объекта.

    Теперь нам нужно начальное значение. Поскольку мы решаем для скорости, в контексте задачи имеет смысл предположить, что мы знаем начальную скорость или скорость в момент времени t = 0. t = 0. Это обозначается v (0) = v0.v (0) = v0.

    Пример 4.6

    Скорость движущегося бейсбольного мяча

    Бейсбольный мяч подбрасывается вверх с высоты 33 метра над поверхностью Земли с начальной скоростью 10 м / с, 10 м / с, и единственная сила, действующая на него, - это сила тяжести.Мяч имеет массу 0,15 кг 0,15 кг на поверхности Земли.

    1. Найдите скорость v (t) v (t) бейсбольного мяча в момент времени t.t.
    2. Какова его скорость через 22 секунды?
    Решение
    1. Из предыдущего обсуждения дифференциальное уравнение, которое применяется в этой ситуации, равно
      .
      v ′ (t) = - g, v ′ (t) = - g,
      где g = 9,8 м / с2. g = 9,8 м / с2. Начальное условие: v (0) = v0, v (0) = v0, где v0 = 10 м / с. V0 = 10 м / с. Следовательно, начальная задача v ′ (t) = - 9.8 м / с2, v (0) = 10 м / с. V ′ (t) = - 9,8 м / с2, v (0) = 10 м / с.
      Первым шагом в решении этой начальной задачи является взятие первообразной обеих частей дифференциального уравнения. Это дает
      ∫v ′ (t) dt = ∫ − 9.8dtv (t) = - 9.8t + C.∫v ′ (t) dt = ∫ − 9.8dtv (t) = - 9.8t + C.
      Следующий шаг - найти C.C. Для этого подставляем t = 0t = 0 и v (0) = 10: v (0) = 10:
      v (t) = - 9,8t + Cv (0) = - 9,8 (0) + C10 = C. v (t) = - 9,8t + Cv (0) = - 9,8 (0) + C10 = C.
      Следовательно, C = 10C = 10 и функция скорости определяется как v (t) = - 9,8t + 10.v (t) = - 9.8т + 10.
    2. Чтобы найти скорость через 22 секунды, подставьте t = 2t = 2 в v (t) .v (t).
      v (t) = - 9,8t + 10v (2) = - 9,8 (2) + 10v (2) = - 9,6.v (t) = - 9,8t + 10v (2) = - 9,8 (2) + 10v ( 2) = - 9,6.
      Единицы измерения скорости - метры в секунду. Поскольку ответ отрицательный, объект падает со скоростью 9,6 м / с. 9,6 м / с.

    КПП 4.6

    Предположим, что скала падает с высоты 100-100 метров, и единственная сила, действующая на нее, - это сила тяжести. Найдите уравнение для скорости v (t) v (t) как функции времени, измеряемой в метрах в секунду.

    Естественный вопрос, который нужно задать после решения проблемы такого типа, - насколько высоко объект будет находиться над поверхностью Земли в данный момент времени. Пусть s (t) s (t) обозначает высоту объекта над поверхностью Земли, измеряемую в метрах. Поскольку скорость является производной от положения (в данном случае от высоты), это предположение дает уравнение s ′ (t) = v (t) .s ′ (t) = v (t). Необходимо начальное значение; в этом случае подходит начальная высота объекта. Пусть начальная высота задается уравнением s (0) = s0.s (0) = s0. Вместе эти предположения дают задачу начальной стоимости

    s ′ (t) = v (t), s (0) = s0.s ′ (t) = v (t), s (0) = s0.

    Если функция скорости известна, то можно также найти функцию положения.

    Пример 4.7

    Высота движущегося бейсбольного мяча

    Бейсбольный мяч подбрасывается вверх с высоты 33 метра над поверхностью Земли с начальной скоростью 10 м / с, 10 м / с, и единственная сила, действующая на него, - это сила тяжести. У поверхности Земли шар имеет массу 0,150,15 кг.

    1. Найдите положение s (t) s (t) бейсбольного мяча в момент времени t.t.
    2. Какова его высота через 22 секунды?
    Решение
    1. Мы уже знаем, что функция скорости для этой задачи равна v (t) = - 9,8t + 10.v (t) = - 9,8t + 10. Начальная высота бейсбольного мяча составляет 33 метра, поэтому s0 = 3.s0 = 3. Следовательно, задача с начальным значением для этого примера -
      .
      Чтобы решить задачу с начальным значением, мы сначала находим первообразные:
      ∫s ′ (t) dt = ∫ − 9.8t + 10dts (t) = - 4.9t2 + 10t + C.∫s ′ (t) dt = ∫ − 9.8t + 10dts (t) = - 4.9t2 + 10t + C.
      Затем мы подставляем t = 0t = 0 и решаем относительно C: C:
      s (t) = - 4.9t2 + 10t + Cs (0) = - 4.9 (0) 2 + 10 (0) + C3 = Cs (t) = - 4.9t2 + 10t + Cs (0) = - 4.9 (0 ) 2 + 10 (0) + С3 = С.
      Следовательно, функция положения равна s (t) = - 4.9t2 + 10t + 3.s (t) = - 4.9t2 + 10t + 3.
    2. Высота бейсбольного мяча после 2s2s определяется выражением s (2): s (2):
      s (2) = - 4,9 (2) 2 + 10 (2) + 3 = −4,9 (4) + 23 = 3,4. s (2) = - 4,9 (2) 2 + 10 (2) + 3 = −4,9 (4) + 23 = 3,4.
      Следовательно, через 22 секунды бейсбольный мяч оказывается на высоте 3,43,4 метра над поверхностью Земли.Стоит отметить, что масса мяча полностью уменьшилась в процессе решения задачи.

    Раздел 4.1 Упражнения

    Определите порядок следующих дифференциальных уравнений.

    2.

    (y ′) 2 = y ′ + 2y (y ′) 2 = y ′ + 2y

    3.

    y ‴ + y ″ y ′ = 3x2y ‴ + y ″ y ′ = 3x2

    4.

    y ′ = y ″ + 3t2y ′ = y ″ + 3t2

    6.

    dydx + d2ydx2 = 3x4dydx + d2ydx2 = 3x4

    7.

    (dydt) 2 + 8dydt + 3y = 4t (dydt) 2 + 8dydt + 3y = 4t

    Убедитесь, что следующие функции являются решениями данного дифференциального уравнения.

    8.

    y = x33y = x33 решает y ′ = x2y ′ = x2

    9.

    y = 2e − x + x − 1y = 2e − x + x − 1 решает y ′ = x − yy ′ = x − y

    10.

    y = e3x − ex2y = e3x − ex2 решает y ′ = 3y + exy ′ = 3y + ex

    11.

    y = 11 − xy = 11 − x решает y ′ = y2y ′ = y2

    12.

    y = ex2 / 2y = ex2 / 2 решает y ′ = xyy ′ = xy

    13.

    y = 4 + lnxy = 4 + lnx решает xy ′ = 1xy ′ = 1

    14.

    y = 3 − x + xlnxy = 3 − x + xlnx решает y ′ = lnxy ′ = lnx

    15.

    y = 2ex − x − 1y = 2ex − x − 1 решает y ′ = y + xy ′ = y + x

    16.

    y = ex + sinx2 − cosx2y = ex + sinx2 − cosx2 решает y ′ = cosx + yy ′ = cosx + y

    17.

    y = πe − cosxy = πe − cosx решает y ′ = ysinxy ′ = ysinx

    Проверьте следующие общие решения и найдите частное решение.

    18.

    Найдите частное решение дифференциального уравнения y ′ = 4x2y ′ = 4x2, которое проходит через (−3, −30), (- 3, −30), учитывая, что y = C + 4x33y = C + 4x33 является общим решением .

    19.

    Найдите частное решение дифференциального уравнения y ′ = 3x3y ′ = 3x3, которое проходит через (1,4.75), (1,4.75), учитывая, что y = C + 3x44y = C + 3x44 является общим решением.

    20.

    Найдите частное решение дифференциального уравнения y ′ = 3x2yy ′ = 3x2y, которое проходит через (0,12), (0,12), учитывая, что y = Cex3y = Cex3 является общим решением.

    21.

    Найдите частное решение дифференциального уравнения y ′ = 2xyy ′ = 2xy, которое проходит через (0,12), (0,12), учитывая, что y = Cex2y = Cex2 является общим решением.

    22.

    Найдите частное решение дифференциального уравнения y ′ = (2xy) 2y ′ = (2xy) 2, которое проходит через (1, −12), (1, −12), учитывая, что y = −3C + 4x3y = −3C + 4x3 - общее решение.

    23.

    Найдите частное решение дифференциального уравнения y′x2 = yy′x2 = y, которое проходит через (1,2e), (1,2e), учитывая, что y = Ce − 1 / xy = Ce − 1 / x является общее решение.

    24.

    Найдите частное решение дифференциального уравнения 8dxdt = −2cos (2t) −cos (4t) 8dxdt = −2cos (2t) −cos (4t), которое проходит через (π, π), (π, π), учитывая, что x = C − 18sin (2t) −132sin (4t) x = C − 18sin (2t) −132sin (4t) - общее решение.

    25.

    Найдите частное решение дифференциального уравнения dudt = tanududt = tanu, которое проходит через (1, π2), (1, π2), учитывая, что u = sin − 1 (eC + t) u = sin − 1 (eC + t ) - общее решение.

    26.

    Найдите частное решение дифференциального уравнения dydt = e (t + y) dydt = e (t + y), которое проходит через (1,0), (1,0), учитывая, что y = −ln (C − et ) y = −ln (C − et) - общее решение.

    27.

    Найдите частное решение дифференциального уравнения y ′ (1 − x2) = 1 + yy ′ (1 − x2) = 1 + y, которое проходит через (0, −2), (0, −2), учитывая, что y = Cx + 11 − x − 1y = Cx + 11 − x − 1 - общее решение.

    Найдите общее решение дифференциального уравнения для следующих задач.

    29.

    y ′ = lnx + tanxy ′ = lnx + tanx

    30.

    y ′ = sinxecosxy ′ = sinxecosx

    32.

    y ′ = sin − 1 (2x) y ′ = sin − 1 (2x)

    34.

    x ′ = cotht + lnt + 3t2x ′ = cotht + lnt + 3t2

    Решите следующие задачи с начальным значением, начиная с y (0) = 1y (0) = 1 и y (0) = - 1.y (0) = - 1. Нарисуйте оба решения на одном графике.

    Решите следующие задачи с начальным значением, начиная с y0 = 10.y0 = 10. В какое время yy увеличится до 100100 или упадет до 1? 1?

    Напомним, что семейство решений включает решения дифференциального уравнения, которые отличаются на константу.Для следующих задач используйте свой калькулятор, чтобы построить график семейства решений данного дифференциального уравнения. Используйте начальные условия от y (t = 0) = - 10y (t = 0) = - 10 до y (t = 0) = 10y (t = 0) = 10 с увеличением на 2,2. Есть ли критическая точка, в которой поведение решения начинает меняться?

    51.

    [T] y ′ = x + yy ′ = x + y ( Подсказка: y = Cex − x − 1y = Cex − x − 1 - общее решение)

    52.

    [T] y ′ = xlnx + sinxy ′ = xlnx + sinx

    53.

    Найдите общее решение для описания скорости шара массой 1 фунт1 фунт, который подбрасывается вверх со скоростью aa ft / sec.

    54.

    В предыдущей задаче, если начальная скорость мяча, брошенного в воздух, равна a = 25a = 25 фут / с, запишите частное решение для скорости мяча. Решите, чтобы найти время, когда мяч упадет на землю.

    55.

    Вы подбрасываете два объекта разной массы m1m1 и m2m2 вверх в воздух с одинаковой начальной скоростью aa ft / s. Какая разница в их скорости через 11 секунд?

    56.

    [T] Вы бросаете шар массой 11 кг вверх со скоростью a = 25a = 25 м / с на Марс, где сила тяжести g = −3.711g = −3,711 м / с 2 . Используйте свой калькулятор, чтобы приблизительно определить, насколько дольше мяч находится в воздухе на Марсе, чем на Земле, где g = -9,8 м / с2g = -9,8 м / с2.

    57.

    [T] Для предыдущей задачи воспользуйтесь калькулятором, чтобы приблизительно определить, насколько выше поднялся шар на Марсе, где g = -9,8 м / с2g = -9,8 м / с2.

    58.

    [T] Автомобиль на автостраде ускоряется в соответствии с a = 15cos (πt), a = 15cos (πt), где tt измеряется в часах. Задайте и решите дифференциальное уравнение, чтобы определить скорость автомобиля, если его начальная скорость составляет 5151 миль в час.Какова скорость водителя после 4040 минут езды?

    59.

    [T] Для автомобиля в предыдущей задаче найдите выражение для расстояния, которое автомобиль проехал за время t, t, предполагая, что начальное расстояние равно 0,0. Сколько времени нужно автомобилю, чтобы проехать 100100 миль? Округлите ответ до часов и минут.

    60.

    [T] Для предыдущей задачи найдите общее расстояние, пройденное за первый час.

    61.

    Подставьте y = Be3ty = Be3t в y′ − y = 8e3ty′ − y = 8e3t, чтобы найти конкретное решение.

    62.

    Подставьте y = acos (2t) + bsin (2t) y = acos (2t) + bsin (2t) в y ′ + y = 4sin (2t) y ′ + y = 4sin (2t), чтобы найти конкретное решение.

    63.

    Подставьте y = a + bt + ct2y = a + bt + ct2 на y ′ + y = 1 + t2y ′ + y = 1 + t2, чтобы найти конкретное решение.

    64.

    Замените y = aetcost + betsinty = aetcost + betsint на y ′ = 2etcosty ′ = 2etcost, чтобы найти конкретное решение.

    65.

    Решите y ′ = ekty ′ = ekt с начальным условием y (0) = 0y (0) = 0 и решите y ′ = 1y ′ = 1 с тем же начальным условием. Что вы замечаете, когда kk приближается к 0,0?

    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

    Пример 2.{\ prime \ prime} _1} = 0. \]

    Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем:

    \ [
    {0 + A - 6 \ left ({Ax + B} \ right) = 36x, \; \;} \ Rightarrow
    {A - 6Ax - 6B = 36x.}
    \]

    Последнее уравнение должно быть справедливым для всех значений \ (x, \), поэтому коэффициенты с одинаковыми степенями \ (x \) в правой и левой частях должны быть идентичны:

    \ [\ left \ {\ begin {array} {l}
    - 6А = 36 \\
    А - 6В = 0
    \ end {array} \ right .. \]

    Мы находим из этой системы, что \ (A = -6, \) \ (B = -1.{\ prime \ prime} _1} = - 4A \ cos 2x} - {4B \ sin 2x.} \]

    Подставляя это обратно в дифференциальное уравнение, получаем:

    \ [
    {- 4A \ cos 2x - 4B \ sin 2x} + {16 \ left ({A \ cos 2x + B \ sin 2x + C} \ right)}
    = {\ cos 2x + 1,}
    \]

    \ [
    {- 4A \ cos 2x - 4B \ sin 2x} + {16A \ cos 2x + 16B \ sin 2x + 16C}
    = {\ cos 2x + 1,}
    \]

    \ [{12A \ cos 2x + 12B \ sin 2x} + {16C} = {\ cos 2x + 1.} \]

    Последнее выражение идентично. 2} x}
    \ end {array} \ right.2} x}}}}
    = {\ frac {1} {2} \ ln \ left | {\ frac {{1 + \ sin x}} {{1 - \ sin x}}} \ right | + {A_2}.}
    \]

    В результате общее решение неоднородного уравнения представляется в виде:

    \ [
    {y \ left (x \ right)} = {{C_1} \ left (x \ right) \ cos x + {C_2} \ left (x \ right) \ sin x}
    = {\ left ({- \ frac {1} {{\ cos x}} + {A_1}} \ right) \ cos x}
    + {\ left ({\ frac {1} {2} \ ln \ left | {\ frac {{1 + \ sin x}} {{1 - \ sin x}}} \ right | + {A_2}} \ справа) \ sin x}
    = {{A_1} \ cos x + {A_2} \ sin x - 1}
    + {\ frac {{\ sin x}} {2} \ ln \ left | {\ frac {{1 + \ sin x}} {{1 - \ sin x}}} \ right |,}
    \]

    , где \ ({A_1}, {A_2} \) - постоянные числа.{\ prime \ prime} - 7y ’+ 12y = 8 \ sin x, \; \;} \ Rightarrow
    {- A \ cos x - B \ sin x}
    - {7 \ left ({- A \ sin x + B \ cos x} \ right)}
    + {12 \ left ({A \ cos x + B \ sin x} \ right)}
    = {8 \ sin x, \; \;} \ Rightarrow
    {- \ color {blue} {A \ cos x} - \ color {red} {B \ sin x}} + {\ color {red} {7A \ sin x} - \ color {blue} {7B \ cos x }}
    + {\ color {синий} {12A \ cos x} + \ color {красный} {12B \ sin x}}
    = {8 \ sin x,} \; \; \ Rightarrow
    {\ left ({11A - 7B} \ right) \ cos x} + {\ left ({11B + 7A} \ right) \ sin x} = {8 \ sin x.}
    \]

    Следовательно,

    \ [{\ left \ {\ begin {array} {l}
    11А - 7В = 0 \\
    11В + 7А = 8
    \ end {array} \ right.{3x}}.}
    \]

    Метод неопределенных коэффициентов

    Чтобы дать полное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения, теорема B говорит, что частное решение должно быть добавлено к общему решению соответствующего однородного уравнения.

    Если неоднородный член d ( x ) в общем неоднородном дифференциальном уравнении второго порядка

    относится к определенному особому типу, то метод неопределенных коэффициентов может быть использован для получения конкретного решения.С помощью этого метода можно обрабатывать специальные функции, которые имеют конечное семейство производных, то есть функции, обладающие тем свойством, что все их производные могут быть записаны в терминах только конечного числа других функций.

    Например, рассмотрим функцию d = sin x . Его производные -

    и цикл повторяется. Обратите внимание, что все производные от d могут быть записаны в терминах конечного числа функций.[В данном случае это sin x и cos x , а набор {sin x , cos x } называется семейством (производных) d = sin x .] Это критерий, который описывает те неоднородные члены d ( x ), которые делают уравнение (*) восприимчивым к методу неопределенных коэффициентов: d должно иметь конечное семейство.

    Вот пример функции, не имеющей конечного семейства производных: d = tan x .Его первые четыре производные -

    Обратите внимание, что n -я производная ( n ≥ 1) содержит член, включающий tan n -1 x , поэтому, когда берутся все более и более высокие производные, каждая из них будет содержать все более и более высокую степень of tan x , поэтому невозможно записать все производные в терминах конечного числа функций. Метод неопределенных коэффициентов не может быть применен, если неоднородный член в (*) равен d = tan x .Итак, каковы же функции d ( x ), семейства производных которых конечны? См. Таблицу 1.

    Пример 1: Если d ( x ) = 5 x 2 , то его семейство будет { x 2 , x , 1}. Обратите внимание, что любые числовые коэффициенты (например, 5 в данном случае) игнорируются при определении семейства функций.

    Пример 2 : Поскольку функция d ( x ) = x sin 2 x является произведением x и sin 2 x , семейство d ( x ) будет состоять из всех произведений членов семейства функций x и sin 2 x .То есть

    Линейные комбинации n функций . Линейная комбинация двух функций y 1 и y 2 была определена как любое выражение в форме

    , где c 1 и c 2 - константы. В общем, линейный, линейная комбинация n функций y 1 y 2 ,…, y n является любым выражением формы

    , где c 1 ,…, c n - константы.Используя эту терминологию, неоднородные члены d ( x ), для обработки которых предназначен метод неопределенных коэффициентов, являются теми, для которых каждая производная может быть записана как линейная комбинация членов данного конечного семейства функций.

    Центральная идея метода неопределенных коэффициентов заключается в следующем: сформировать наиболее общую линейную комбинацию функций из семейства неоднородного члена d ( x ), подставить это выражение в данное неоднородное дифференциальное уравнение и решить для коэффициентов линейной комбинации.

    Пример 3 : Найдите частное решение дифференциального уравнения

    Как отмечено в Примере 1, семейство d = 5 x 2 равно { x 2 , x , 1}; следовательно, наиболее общая линейная комбинация функций в семействе y = Ax 2 + Bx + C (где A , B и C - неопределенные коэффициенты).Подставляя это в данное дифференциальное уравнение, получаем

    Теперь, комбинируя одинаковые термины, получаем

    Для того чтобы это последнее уравнение было тождественным, необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x с обеих сторон уравнения. То есть A , B и C должны быть выбраны так, чтобы

    Первое уравнение сразу дает. Подстановка этого во второе уравнение дает, и, наконец, подстановка обоих этих значений в последнее уравнение дает.Следовательно, частным решением данного дифференциального уравнения является

    Пример 4 : Найдите частное решение (и полное решение) дифференциального уравнения

    Поскольку семейство d = sin x есть {sin x , cos x }, наиболее общая линейная комбинация функций в семействе y = A sin x + B cos x (где A и B - неопределенные коэффициенты).Подставляя это в данное дифференциальное уравнение, получаем

    Теперь, комбинируя одинаковые термины и упрощая, дает

    Чтобы это последнее уравнение было тождественным, коэффициенты A и B должны быть выбраны так, чтобы

    Из этих уравнений сразу следует A = 0 и B = ½. Таким образом, частным решением данного дифференциального уравнения является

    Согласно теореме B, объединение этого y с результатом примера 12 дает полное решение данного неоднородного дифференциального уравнения: y = c 1 e x + c 2 xe x + ½ cos x .

    Пример 5 : Найдите частное решение (и полное решение) дифференциального уравнения

    Поскольку семейство d = 8 e −7 x - это просто { e −7 x }, наиболее общая линейная комбинация функций в семействе просто y = Ae −7 x (где A - неопределенный коэффициент). Подставляя это в данное дифференциальное уравнение, получаем

    Упрощение доходности

    Чтобы это последнее уравнение было тождественным, необходимо выбрать коэффициент A так, чтобы сразу получить A = ¼.Таким образом, частным решением данного дифференциального уравнения является, а затем, согласно теореме B, объединение y с результатом примера 13 дает полное решение неоднородного дифференциального уравнения: y = e −3 x ( c 1 cos 4 x + c 2 sin 4 x ) + ¼ e −7 x .

    Пример 6 : Найдите решение IVP

    Первый шаг - получить общее решение соответствующего однородного уравнения

    Поскольку вспомогательное полиномиальное уравнение имеет различные действительные корни,

    общее решение соответствующего однородного уравнения: y h = c 1 e - x + c 2 e 3

    x

    Теперь, поскольку неоднородный член d ( x ) является (конечной) суммой функций из таблицы 1, семейство d ( x ) представляет собой объединение семейств отдельных функций .То есть, поскольку семейство - e x - это { e x }, а семейство 12 x - это { x , 1},

    Наиболее общая линейная комбинация функций из семейства d = - e x + 12 x , следовательно, y = Ae x + Bx + C (где A , B и C - неопределенные коэффициенты).Подставляя это в данное дифференциальное уравнение, получаем

    Объединение одинаковых терминов и упрощение дает

    Чтобы это последнее уравнение было тождественным, необходимо выбрать коэффициенты A , B и C так, чтобы

    Первые два уравнения сразу дают A = ⅙ и B = −2, после чего третье означает C = ⅓. Таким образом, частным решением данного дифференциального уравнения является

    Согласно теореме B, тогда объединение этого y с y h дает полное решение неоднородного дифференциального уравнения: y = c 1 e −2 x + c 2 e 3 x + ⅙ e x –2 x + ⅓.Теперь, чтобы применить начальные условия и оценить параметры c 1 и c 2 :

    Решение последних двух уравнений дает c 1 = ⅓ и c 2 = ⅙. Следовательно, желаемое решение IVP -

    Теперь, когда проиллюстрирован основной процесс метода неопределенных коэффициентов, пора упомянуть, что не всегда так просто. Проблема возникает, если член семейства неоднородных членов оказывается решением соответствующего однородного уравнения. В этом случае это семейство должно быть изменено до того, как общая линейная комбинация может быть заменена в исходное неоднородное дифференциальное уравнение для решения неопределенных коэффициентов. Конкретная процедура модификации будет представлена ​​посредством следующего изменения Примера 6.

    Пример 7 : Найдите полное решение дифференциального уравнения

    Общее решение соответствующего однородного уравнения было получено в Примере 6:

    Обратите внимание, что семейство { e 3 x } неоднородного члена d = 10 e 3 x содержит решение соответствующего однородного уравнения (возьмите c 1 = 0 и c 2 = 1 в выражении для y h ).«Неверное» семейство модифицируется следующим образом: Умножьте каждого члена семейства на x и повторите попытку.

    Поскольку модифицированное семейство больше не содержит решения соответствующего однородного уравнения, теперь можно продолжить метод неопределенных коэффициентов. (Если бы xe 3 x был снова решением соответствующего однородного уравнения, вы должны выполнить процедуру модификации еще раз: Умножьте каждый член семейства на x и попробуйте снова.) Следовательно, подстановка y = Ax 3 x в данное неоднородное дифференциальное уравнение дает

    Этот расчет подразумевает, что y = 2 xe 3 x является частным решением неоднородного уравнения, поэтому объединение его с y h дает полное решение:

    Пример 8 : Найдите полное решение дифференциального уравнения

    Сначала получим общее решение соответствующего однородного уравнения

    Поскольку вспомогательное полиномиальное уравнение имеет различные действительные корни,

    общее решение соответствующего однородного уравнения равно

    Семейство для члена 6 x 2 - это { x 2 , x , 1}, а семейство для -3 e x /2 член просто { e x /2 }.Это последнее семейство не содержит решения соответствующего однородного уравнения, но семейство { x 2 , x , 1} содержит (оно содержит постоянную функцию 1, которая соответствует y h , когда c 1 = 1 и c 2 = 0). Следовательно, необходимо изменить всю эту семью (а не только «нарушителя»):

    Семейство, которое будет использоваться для построения линейной комбинации y, теперь является объединением

    Это означает, что y = Ax 3 + Bx 2 + Cx + De x /2 (где A , B , C D - неопределенные коэффициенты) следует подставить в данное неоднородное дифференциальное уравнение.Это дает

    , которое после объединения одинаковых терминов читается как

    Чтобы это последнее уравнение было тождественным, необходимо выбрать коэффициенты A , B , C и D так, чтобы

    Эти уравнения определяют значения коэффициентов: A = −1, B = C = и D = 4. Следовательно, частным решением данного дифференциального уравнения является

    Согласно теореме B, тогда объединение этого y с y h дает полное решение неоднородного дифференциального уравнения: y = c 1 + c 2 e 2 x - x 3 x 2 x + 4 e x /2

    Пример 9 : Найдите полное решение уравнения

    Сначала получим общее решение соответствующего однородного уравнения

    Поскольку вспомогательное полиномиальное уравнение имеет различные сопряженные комплексные корни,

    общее решение соответствующего однородного уравнения равно

    Пример 2 показал, что

    Обратите внимание, что это семейство содержит sin 2 x и cos 2 x , которые являются решениями соответствующего однородного уравнения.Следовательно, все это семейство должно быть изменено:

    Ни один из членов этого семейства не является решением соответствующего однородного уравнения, поэтому теперь решение может идти как обычно. Поскольку семейство постоянного члена - это просто {1}, семейство, используемое для построения y, представляет собой объединение

    Это означает, что y = Ax 2 sin 2 x + Bx 2 cos 2 x + Cx sin 2 x + Dx cos 2 x + (где A , B , C , D и E - подорванные коэффициенты) следует подставить в данное неоднородное дифференциальное уравнение y ″ + 4 y = x грех 2 х + 8.Это дает

    Чтобы это последнее уравнение было тождеством, необходимо выбрать A , B , C , D и E , чтобы

    Эти уравнения определяют коэффициенты: A = 0, B = −⅛, C =, D = 0 и E = 2.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.