Обратная теорема виета формула: формула, примеры, как решать, доказательство

Содержание

формула, примеры, как решать, доказательство

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

  • не имеют корней;
  • имеют один корень;
  • имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b2 − 4ac. Его свойства:

  • если D < 0, корней нет;
  • если D = 0, есть один корень;
  • если D > 0, есть два различных корня.

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета



Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: 

Теорема Виета

Сумма корней x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

  • x₁ + x₂ = −b,
  • x₁ * x₂ = c.

Формулы корней

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

  1. Объединим числитель и знаменатель в правой части.

     

  2. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

     

  3. Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

     

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

  1. Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

     

  2. Перемножаем числители и знаменатели между собой:

     

  3. Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a2 − b2. Получаем:

     

  4. Далее произведем трансформации в числителе:

     

  5. Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

     

  6. Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

     

  7. Сократим:

     

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

 

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x2 + bx + c = 0.

  1. Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

  2. Подставим m в уравнение вместо x, а выражение −m − n подставим вместо b:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

  1. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
  2. При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x2 − 6x + 8 = 0.

Неприведенное квадратное уравнение 

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax2 + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x2.

  1. Получилось следующее приведенное уравнение:
  1. Получается коэффициент равен , свободный член — . Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

  2. Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x2, то есть на 4.

  3. Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен , а свободный член .
  4. Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:

  5. Метод подбора помогает найти корни: −1 и 

 



Записывайте вашего ребенка на бесплатное вводное занятие по математике в Skysmart: порешаем задачки и головоломки на интерактивной платформе и покажем, что математика может быть увлекательным путешествием!

Теорема Виета и обратная формула Виета для чайников

Теорема Виета помогает решать квадратные уравнения путём подбора. В этой статье даны определения, доказательства, формулы и примеры решений квадратных уравнений для чайников.

Что такое теорема Виета

Франсуа Виет (1540-1603 гг) – математика, создатель знаменитых формул Виета

Теорема Виета нужна для быстрого решения квадратных уравнений (простыми словами).

Если более подробно, то теорема Виета – это сумма корней данного квадратного уравнения равняется второму коэффициенту, который взят с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Это свойство обладает любым приведённым квадратным уравнением, у которого есть корни.

При помощи теоремы Виета можно легко решать квадратные уравнения путём подбора, поэтому скажем “спасибо” этому математику с мечем в руках за наш счастливый 7 класс.

Доказательство теоремы Виета

Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться известными формулами корней, благодаря которым составим сумму и произведение корней квадратного уравнения. Только после этого мы сможем убедиться, что они равны и, соответственно, .

Допустим у нас есть уравнение: . У этого уравнения есть такие корни: и . Докажем, что , .

По формулам корней квадратного уравнения:

, .

1. Найдём сумму корней:

.

Разберём это уравнение, как оно у нас получилось именно таким:

= .

Шаг 1. Приводим дроби к общему знаменателю, получается:

= = .

Шаг 2. У нас получилась дробь, где нужно раскрыть скобки:

= = . Сокращаем дробь на 2 и получаем:

.

Мы доказали соотношение для суммы корней квадратного уравнения по теореме Виета.

2. Найдём произведение корней:

=

= = = = = .

Докажем это уравнение:

.

Шаг 1. Есть правило умножение дробей, по которому мы и умножаем данное уравнение:

.

Шаг 2. Далее выполняется умножение скобку на скобку (в числителе). Можно воспользоваться формулой сокращённого умножения (ФСУ) – формула разности, откуда получается:

.

Теперь вспоминаем определение квадратного корня и считаем:

= .

Шаг 3. Вспоминаем дискриминант квадратного уравнения: . Поэтому в последнюю дробь вместо D (дискриминанта) мы подставляем , тогда получается:

= .

Шаг 4. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые к дроби:

.

Шаг 5. Сокращаем «4a» и получаем .

Вот мы и доказали соотношение для произведения корней по теореме Виета.

ВАЖНО! Если дискриминант равняется нулю, тогда у квадратного уравнения всего один корень.

Теорема, обратная теореме Виета

По теореме, обратной теореме Виета можно проверять, правильно ли решено наше уравнение. Чтобы понять саму теорему, нужно более подробно её рассмотреть.

Если числа и такие:

и , тогда они и есть корнями квадратного уравнения .

Доказательство обратной теоремы Виета

Шаг 1. Подставим в уравнение выражения для его коэффициентов:

Шаг 2. Преобразуем левую часть уравнения:

;

.

Шаг 3. Найдём Корни уравнения , а для этого используем свойство о равенстве произведения нулю:

или . Откуда и получается: или .

Примеры с решениями по теореме Виета

Пример 2

Задание

Решите уравнение . При этом не применяйте формулы квадратного уравнения.

Решение

У данного уравнения есть корни, которые по дискриминанту (D) больше нуля. Соответственно, по теореме Виета сумма корней этого уравнения равна 4, а произведение – 5. Сначала определяем делители числа , сумма которых равняется 4. Это числа «5» и «-1». Их произведение равно – 5, а сумма – 4. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного уравнения.

Ответ

и

Пример 3

Задание

Найдите, если это возможно, сумму и произведение корней уравнения:

Решение

. Так как дискриминант меньше нуля, значит у уравнения нет корней.

Ответ

Нет корней.

Пример 4

Задание

Составьте уравнение, каждый корень которого в два раза больше соответствующего корня уравнения:

Решение

По теореме Виета сумма корней данного уравнения равна 12, а произведение = 7. Значит, два корня положительны.

Сумма корней нового уравнения будет равна:

, а произведение .

По теореме, обратной теореме Виета, новое уравнение имеет вид:

Ответ

Получилось уравнение, каждый корень которого в два раза больше: 

Итак, мы рассмотрели, как решать уравнение при помощи теоремы Виета. Очень удобно пользоваться данной теоремой, если решаются задания, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. То есть, если в формуле свободный член – число положительное, и если в квадратном уравнении имеются действительные корни, тогда они оба могут быть либо отрицательными, либо положительными. {k} a_{k}$ равно сумме всех возможных произведений из $k$ корней.

Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.
Названы в честь французского математика Франсуа Виета (1540 — 1603).

Если старший коэффициент многочлена $a_{0} \neq 1$, то есть многочлен
не является приведенным, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на $a_{0}$ (это не влияет на значение корней многочлена).
В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует,
что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для
составления многочлена по заданным корням.

Теорема Виета. Примеры и решение

Теорема Виета:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

x2 + px + q = 0

равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

x1 + x2 = -p,    x1 · x2 = q.

Доказательство:

Если приведённое квадратное уравнение имеет вид

x2 + px + q = 0,

то его корни равны:

,

где  D = p2 — 4q.  Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

,

а теперь найдём их произведение:

Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

x1 + x2 = —p,

x1 · x2 = q

называются формулами Виета.

Примечание: если дискриминант равен нулю  (D = 0),  то подразумевается, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня.

Обратная теорема

Теорема:

Если сумма двух чисел равна  -p,  а их произведение равно  q,  то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения:

x2 + px + q = 0.

Доказательство:

Пусть дано  x1 + x2 = —p,  значит,  x2 = —p — x1.  Подставим это выражение в равенство  x1 · x2 = q,  получим:

x1(-px1) = q;

px1x12 = q;

x12 + px1 + q = 0.

Это доказывает, что число  x1  является корнем уравнения   x2 + px + q = 0.  Точно так же можно доказать, что и число  x2  является корнем для этого уравнения.

Решение примеров

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример 1. Найти корни уравнения:

x2 — 3x + 2 = 0.

Решение: Так как

x1 + x2 = -(-3) = 3;

x1 · x2 = 2;

очевидно, что корни равны  1  и  2:

1 + 2 = 3;

1 · 2 = 2.

Подставив числа  1  и  2  в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

12 — 3 · 1 + 2 = 0

и

22 — 3 · 2 + 2 = 0.

Ответ:  1,  2.

Пример 2. Найти корни уравнения:

x2 + 8x + 15 = 0.

Решение:

x1 + x2 = -8;

x1 · x2 = 15.

Методом подбора находим, что корни равны  -3  и  -5:

-3 + -5 = -8;

-3 · -5 = 15.

Ответ:  -3,  -5.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

x1 = -3,    x2 = 6.

Решение: Так как  x1 = -3,  x2 = 6  корни уравнения  x2 + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

p = -(x1 + x2) = -(-3 + 6) = -3;

q = x1 · x2 = -3 · 6 = -18.

Следовательно, искомое уравнение:

x2 — 3x — 18 = 0.

Ответ:  x2 — 3x — 18 = 0.

Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:

x1 = 2,    x2 = 3.

Решение:

p = -(x1 + x2) = -(2 + 3) = -5;

q = x1 · x2 = 2 · 3 = 6.

Ответ:  x2 — 5x + 6 = 0.

Теорема Виета

Предварительные навыки

Что называют теоремой?

Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.

Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.

Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.

Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:

«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».

А затем привести такое доказательство:

Пусть, имеется дробь . Умнóжим числитель и знаменатель этой дроби на число с. Тогда полýчится дробь . Докáжем, что дроби  и равны. То есть докажем, что равенство является верным.

Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:

Поскольку равенство является пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби и равны. Теорема доказана.


Теорема Виета

Французский математик Франсуа Виет выявил интересную взаимосвязь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и корнями этого же уравнения. Эта взаимосвязь представлена в виде теоремы и формулируется так:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения xbx = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней равно свободному члену.

То есть, если имеется приведённое квадратное уравнение xbx = 0, а его корнями являются числа x1 и x2, то справедливы следующие два равенства:

Знак системы (фигурная скобка) говорит о том, что значения x1 и x2 удовлетворяют обоим равенствам.

Покажем теорему Виета на примере приведённого квадратного уравнения x+ 4+ 3 = 0.

Мы пока не знаем какие корни имеет уравнение x+ 4+ 3 = 0. Но по теореме Виета можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту 4, взятому с противоположным знáком. Если коэффициент 4 взять с противоположным знáком, то получим −4. Тогда:

А произведение корней по теореме Виета будет равно свободному члену. В уравнении x+ 4+ 3 = 0 свободным членом является 3. Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна −4, и равно ли произведение 3. Для этого найдём корни уравнения x+ 4+ 3 = 0. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Корнями уравнения являются числа −1 и −3. По теореме Виета их сумма должна была равняться второму коэффициенту уравнения x+ 4+ 3 = 0, взятому с противоположным знаком. Действительно, так оно и есть. Вторым коэффициентов в уравнении x+ 4+ 3 = 0 является 4. Если взять его с противоположным знаком и приравнять сумму корней xx2 к этому коэффициенту, то получается верное равенство:

А произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно было равняться свободному члену уравнения x+ 4+ 3 = 0, то есть числу 3. Видим, что это условие тоже выполняется:

Значит выражение  является справедливым.


Рассмотрим квадратное уравнение x− 8+ 15 = 0. По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Второй коэффициент равен −8. Если взять его с противоположным знаком, то получим 8. Тогда:

А произведение корней равно свободному члену. В уравнении x− 8+ 15 = 0 свободным членом является 15. Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна 8, и равно ли произведение 15. Для этого найдём корни данного уравнения. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента. В этот раз пропустим нéкоторые подробные записи:

Видим, что корнями уравнения x− 8+ 15 = 0 являются числа 5 и 3. Их сумма равна 8. То есть сумма корней равна второму коэффициенту уравнения x− 8+ 15 = 0, взятому с противоположным знаком.

А произведение чисел 5 и 3 равно 15. То есть равно свободному члену уравнения x− 8+ 15 = 0.

Значит выражение является справедливым.

Замечание. Чтобы теорема Виета выполнялась, квадратное уравнение обязательно должно быть приведённым и иметь корни.

Например, рассмотрим квадратное уравнение x− 2+ 4 = 0. Напишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Но уравнение x− 2+ 4 = 0 не имеет корней, сумма которых равна 2, а произведение которых равно 4. Убедиться в этом можно, вычислив дискриминант:

D1 = k− ac = (−1)− 1 × 4 = −3

А значит записывать выражение не имеет смысла.

Теорема Виета полезна тем, что позволяет до начала решения узнать знаки корней уравнения.

Например, запишем для уравнения x− 5+ 6 = 0 сумму и произведение его корней. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Посмотрев на эти два равенства можно сразу понять, что оба корня должны быть положительными. Потому что произведение x× x= 6 будет выполняться только в двух случаях: если значения x1 и x2 положительны либо они оба отрицательны. Если эти значения будут отрицательными, то не будет выполняться равенство xx= 5, поскольку его правая часть равна положительному числу. А значения x1 и x2 должны удовлетворять как равенству xx= 5, так и равенству x× x= 6.

Ещё одна польза от теоремы Виета в том, что корни можно найти методом подбора. В данном примере корни должны быть такими, чтобы они удовлетворяли как равенству xx= 5 так и равенству x× x= 6. Очевидно, что таковыми являются корни 3 и 2

Значит, x= 3, x= 2


Доказательство теоремы Виета

Пусть дано приведённое квадратное уравнение xbx = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что равенства xx= −b и x× xc имеют место быть.

Вспомним формулы корней квадратного уравнения:

Найдём сумму корней x1 и x2. Для этого подставим в выражение xx2 вместо x1 и x2 соответствующие выражения из правой части формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что в приведённом квадратном уравнении xbx = 0 старший коэффициент a равен единице. Тогда в процессе подстановки знаменатель станет равен просто 2

Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим дробь на 2, тогда получим −b

Значит xx2 действительно равно −b

xx= −b

Теперь аналогично докажем, что произведение x× x2 равно свободному члену c.

Подставим вместо x1 и x2 соответствующие выражения из формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что коэффициент a всё ещё равен единице:

Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:

В числителе теперь содержится произведение суммы двух выражений и разности этих же выражений. Воспользуемся тождеством (a + b)(a − b) = a− b2. Тогда в числителе полýчится А знаменатель будет равен 4

Теперь в числителе выражение (−b)2 станет равно b2, а выражение станет равно просто D

Но D равно b− 4ac. Подстáвим это выражение вместо D, не забывая что = 1. То есть вместо b− 4ac надо подставить b− 4c

В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим получившуюся дробь на 4

Значит x× x2 действительно равно c.

x× xc

Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения xbx = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком (xx= −b), а произведение корней равно свободному члену (x× xc). Теорема доказана.


Теорема, обратная теореме Виета

Когда записана сумма и произведение корней приведённого квадратного уравнения, обычно начинается подбор подходящих корней к этому уравнению. В этот момент в работу включается так называемая теорема, обратная теореме Виета. Она формулируется так:

Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения xbx = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел x1 и x2 равно свободному члену уравнения xbx = 0, то числа x1 и x2 являются корнями уравнения xbx = 0.

Обратные теоремы бывают поставлены так, что их утверждением является заключение первой теоремы.

Так, доказывая теорему Виета мы пришли к заключению, что сумма x1 и x2 равна −b, а произведение x1 и x2 равно c. В обратной же теореме это заключение служит утверждением.

Ранее мы решили уравнение x− 5+ 6 = 0 и написали для него такую сумму и произведение корней:

А затем подобрали корни 3 и 2. По сути мы применили теорему, обратную теореме Виета. Числа 3 и 2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x− 5+ 6 = 0, взятому с противоположным знаком (числу 5), а произведение чисел 3 и 2 равно свободному члену (числу 6). Значит числа 3 и 2 являются корнями уравнения x− 5+ 6 = 0.


Пример 2. Решить квадратное уравнение x− 6+ 8 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

В данном уравнении = 1. Значит квадратное уравнение является приведённым. Его можно решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сначала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма корней будет равна 6, поскольку второй коэффициент исходного уравнения равен −6. А произведение корней будет равно 8

Теперь имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни. Они должны удовлетворять как равенству xx= 6, так и равенству x× x= 8

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Используя равенство x× x= 8 нужно найти такие x1 и x2, произведение которых равно 8.

Число 8 можно получить если перемножить числа 4 и 2 либо 1 и 8.

4 × 2 = 8
1 × 8 = 8

Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли не только равенству x× x= 8, но и равенству xx= 6.

Сразу делаем вывод, что значения 1 и 8 не годятся, поскольку они хоть и удовлетворяют равенству x× x= 8, но не удовлетворяют равенству xx= 6.

Зато значения 4 и 2 подходят как равенству x× x= 8, так и равенству xx= 6, поскольку эти значения удовлетворяют обоим равенствам:

Значит корнями уравнения x− 6+ 8 = 0 являются числа 4 и 2.

Обратная теорема, как и любая теорема нуждается в доказательстве. Докажем теорему, обратную теореме Виета. Для удобства корни x1 и x2 обозначим как m и n. Тогда утверждение теоремы, обратной теореме Виета примет следующий вид:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения xbx = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения xbx = 0, то числа m и n являются корнями уравнения xbx = 0

Для начала запишем, что сумма m и n равна −b, а произведение mn равно c

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения xbx = 0, нужно поочередно подстáвить буквы m и n в это уравнение вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями уравнения xbx = 0.

Помимо букв m и n нам нужно знать чему равен параметр b. Выразим его из равенства m + n = −b. Легче всего это сделать, умножив обе части этого равенства на −1

Теперь всё готово для подстановок. Подстáвим m в уравнение xbx = 0 вместо x, а выражение −m − n подставим вместо b

Видим, что при x = m получается верное равенство. Значит число m является корнем уравнения xbx = 0.

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения xbx = 0. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим mn, поскольку c = mn.

Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.

Следовательно, числа m и n являются корнями уравнения xbx = 0.


Примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета

Пример 1. Решить квадратное уравнение x− 4+ 4 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму корней x1 и x2 и приравняем её к второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Также запишем произведение корней x1 и x2 и приравняем его к свободному члену:

В данном примере очевидно, что корнями являются числа 2 и 2. Потому что их сумма равна 4 и произведение равно 4

Значение x1 совпадает с x2. Это тот случай, когда квадратное уравнение имеет только один корень. Если мы попробуем решить данное уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения, то обнаружим что дискриминант равен нулю, и корень вычисляется по формуле

Данный пример показывает, что теорема обратная теореме Виета, работает и для уравнений, имеющих только один корень. Признаком того, что квадратное уравнение имеет только один корень является то, что значения x1 и x2 совпадают.


Пример 2. Решить уравнение x+ 3+ 2 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Теперь подберём значения x1 и x2. Здесь начинается самое интересное. Произведение корней равно 2. Число 2 можно получить перемножив 1 и 2. Но сумма корней xx2 равна отрицательному числу −3. Значит значения 1 и 2 не подходят.

Сумма бывает отрицательной если оба слагаемых отрицательны либо отрицательным является одно слагаемое, модуль которого больше.

Если подберём корни с разными знаками, то не будет выполняться равенство x× x= 2.

Если подберем положительные корни, то будет выполняться равенство x× x= 2, но не будет выполняться равенство xx= −3.

Очевидно, что корнями являются два отрицательных числа. Произведение отрицательных чисел есть положительное число. А сумма отрицательных чисел есть отрицательное число.

Тогда равенствам будут удовлетворять числа −1 и −2.

Итак, корнями являются числа −1 и −2


Пример 3. Решить уравнение x+ 16+ 15 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Как и в прошлом примере сумма корней равна отрицательному числу, а произведение корней — положительному числу.

Произведение бывает положительным если оба сомножителя положительны либо оба сомножителя отрицательны. Первый вариант отпадает сразу, поскольку сумма корней равна отрицательному числу. Тогда получается, что оба корня будут отрицательными. Попробуем подобрать их.

Число 15 можно получить, если перемножить числа −1 и −15 или (−3) и (−5). В данном случае подходит первый вариант, поскольку сумма чисел −1 и −15 равна −16, а их произведение равно 15. Значит корнями уравнения x+ 16+ 15 = 0 являются числа −1 и −15


Пример 4. Решить уравнение x− 10− 39 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Произведение корней равно отрицательному числу. Значит один из корней является отрицательным. Число −39 можно получить если перемножить числа −3 и 13 либо −13 и 3. Из этих комбинаций больше годится комбинация −3 и 13, поскольку при перемножении этих чисел получается −39, а при сложении 10

Значит корнями уравнения x− 10− 39 = 0 являются числа −3 и 13


Пример 5. Первый корень уравнения xbx + 45 = 0 равен 15. Найти второй корень этого уравнения, а также значение коэффициента b.

По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену. В данном случае это произведение равно 45

x1 × x2 = 45

При этом один из корней уже известен — это корень 15.

15 × x2 = 45

Тогда второй корень будет равен 3, потому что число 45 получается, если 15 умножить на 3

15 × 3 = 45

Значит x2 = 3

Этот второй корень также можно было бы получить, выразив из равенства 15 × x2 = 45 переменную x2

Теперь определим значение коэффициента b. Для этого напишем сумму корней уравнения:

15 + 3 = 18

По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней равна 18, а 18 это положительное число, то в самóм уравнении этот коэффициент будет отрицательным:

x2 − 18+ 45 = 0

Значит = −18.

Обычно решение к такой задаче записывают так. Сначала записывают основную теорему Виета в виде суммы и произведения корней:

Затем в это выражение подставляют имеющиеся известные значения. В нашем случае известно, что первый корень равен 15, а свободный член уравнения xbx + 45 = 0 равен 45

Из этой системы следует найти x2 и b. Выразим эти параметры:

Из этой системы мы видим, что x2 равно 3. Подставим его в первое равенство:

Теперь из первого равенства мы видим, что −b равно 18

Но нас интересует b, а не −b. Следует помнить, что −b это −1b. Чтобы найти b нужно 18 разделить на −1. Тогда b станет равно −18

Этот же результат можно получить если в выражении умножить первое равенство на −1

Теперь возвращаемся к исходному уравнению xbx + 45 = 0 и подставляем найденное значение b

Выполним умножение −18 на x. Получим −18x

Раскроем скобки:


Пример 6. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа 2 и 8.

В этом задании корни уже известны. То есть x= 2, x= 8. По ним надо составить квадратное уравнение вида xbx = 0.

Запишем сумму и произведение корней:

По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней 2 и 8 равна 10, то в самóм уравнении число 10 должно быть с противоположным знаком. Значит = −10.

Произведение корней по теореме Виета равно свободному члену. У нас это произведение равно 16.

Значит = −10, = 16. Отсюда:

x2 − 10+ 16 = 0


Пример 7. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа и .

Запишем сумму и произведение корней:

Сумма корней равна 2. Тогда в уравнении второй коэффициент будет равен −2. А произведение корней равно −1. Значит свободный член будет равен −1. Тогда:

x2 − 2x − 1 = 0


Когда квадратное уравнение неприведённое

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым.

Если квадратное уравнение не является приведённым, но всё равно возникла необходимость применить теорему Виета, то обе части неприведённого квадратного уравнения следует разделить на коэффициент, который располагается перед x2.

Если к примеру в квадратном уравнении axbx = 0 коэффициент a не равен единице, то данное уравнение является неприведённым. Чтобы сделать его приведённым, надо разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на a

Получилось уравнение , которое является приведённым. В нём второй коэффициент равен , а свободный член равен . Тогда сумма и произведение корней будут выглядеть так:

Например, решим квадратное уравнение 4x+ 5+ 1 = 0. Это уравнение не является приведённым. Приведённым оно станет, если разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на 4

Получили приведённое квадратное уравнение. В нём второй коэффициент равен , а свободный член . Тогда по теореме Виета имеем:

Отсюда методом подбора находим корни −1 и

Возможно этот метод вы редко будете использовать при решении квадратных уравнений. Но знать о нём не помешает.


 

Пример 2. Решить квадратное уравнение 3x− 7+ 2 = 0

Данное уравнение не является приведённым, а значит его пока нельзя решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сделаем данное уравнение приведенным. Разделим обе части на коэффициент, который располагается перед x2

Получили уравнение . Запишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и


Пример 3. Решить квадратное уравнение 2x− 3− 2 = 0

Это неприведённое квадратное уравнение. Чтобы сделать его приведённым, нужно разделить обе его части на 2. Сделать это можно в уме. Если 2x2 разделить на 2, то полýчится x2

Далее если −3x разделить на 2, то полýчится . Чтобы видеть где коэффициент, а где переменная, такое выражение записывают в виде

Далее если −2 разделить на 2, то полýчится −1

Прирáвниваем получившееся выражение к нулю:

Теперь применяем теорему Виета. Сумма корней будет равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней свободному члену:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Задание 2. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Задание 3. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:

Решение:

Задание 4. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 5. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 6. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 7. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 8. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:

Задание 9. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

Решение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Теорема Виета, формулы Виета

В квадратных уравнениях существует целый ряд соотношений. Основными являются отношения между корнями и коэффициентами. Также в квадратных уравнениях работает ряд соотношений, которые задаются теоремой Виета.

В этой теме мы приведем саму теорему Виета и ее доказательство для квадратного уравнения, теорему, обратную теореме Виета, разберем ряд примеров решения задач. Особое внимание в материале мы уделим рассмотрению формул Виета, которые задают связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени n и его коэффициентами.

Формулировка и доказательство теоремы Виета

Формула корней квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0 вида x1=-b+D2·a, x2=-b-D2·a, где D=b2−4·a·c, устанавливает соотношения x1+x2=-bax1·x2=ca. Это подтверждает и теорема Виета.

Теорема 1

В квадратном уравнении a·x2+b·x+c=0, где x1 и x2 – корни, сумма корней будет равна соотношению коэффициентов b и a, которое было взято с противоположным знаком, а произведение корней будет равно отношению коэффициентов c и a, т. е. x1+x2=-bax1·x2=ca.

Доказательство 1

Предлагаем вам следующую схему проведения доказательства: возьмем формулу корней, составим суму и произведение корней квадратного уравнения и затем преобразуем полученные выражения для того, чтобы убедиться, что они равны -ba и ca соответственно.

Составим сумму корней x1+x2=-b+D2·a+-b-D2·a. Приведем дроби к общему знаменателю -b+D2·a+-b-D2·a=-b+D+-b-D2·a. Раскроем скобки в числителе полученной дроби и приведем подобные слагаемые: -b+D+-b-D2·a=-b+D-b-D2·a=-2·b2·a. Сократим дробь на: 2-ba=-ba.

Так мы доказали первое соотношение теоремы Виета, которое относится к сумме корней квадратного уравнения.

Теперь давайте перейдем ко второму соотношению.

Для этого нам необходимо составить произведение корней квадратного уравнения: x1·x2=-b+D2·a·-b-D2·a.

Вспомним правило умножения дробей и запишем последнее произведение следующим образом: -b+D·-b-D4·a2.

Проведем в числителе дроби умножение скобки на скобку или же воспользуемся формулой разности квадратов для того, чтобы преобразовать это произведение быстрее: -b+D·-b-D4·a2=-b2-D24·a2.

Воспользуемся определением квадратного корня для того, чтобы осуществить следующий переход: -b2-D24·a2=b2-D4·a2. Формула D=b2−4·a·c отвечает дискриминанту квадратного уравнения, следовательно, в дробь вместо D можно подставить b2−4·a·c:

b2-D4·a2=b2-(b2-4·a·c)4·a2

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим: 4·a·c4·a2. Если сократить ее на 4·a, то остается ca. Так мы доказали второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.

Запись доказательства теоремы Виета может иметь весьма лаконичный вид, если опустить пояснения:

x1+x2=-b+D2·a+-b-D2·a=-b+D+-b-D2·a=-2·b2·a=-ba,x1·x2=-b+D2·a·-b-D2·a=-b+D·-b-D4·a2=-b2-D24·a2=b2-D4·a2==D=b2-4·a·c=b2-b2-4·a·c4·a2=4·a·c4·a2=ca.

При дискриминанте квадратного уравнения  равном нулю уравнение будет иметь только один корень. Чтобы иметь возможность применить к такому уравнению теорему Виета, мы можем предположить, что уравнение при дискриминанте, равном нулю, имеет два одинаковых корня. Действительно, при D=0 корень квадратного уравнения равен: -b2·a, тогда x1+x2=-b2·a+-b2·a=-b+(-b)2·a=-2·b2·a=-ba и x1·x2=-b2·a·-b2·a=-b·-b4·a2=b24·a2, а так как D=0, то есть, b2-4·a·c=0, откуда b2=4·a·c, то b24·a2=4·a·c4·a2=ca.

Чаще всего на практике теорема Виета применяется по отношению к приведенному квадратному уравнению вида x2+p·x+q=0, где старший коэффициент a равен 1. В связи с этим и формулируют теорему Виета именно для уравнений такого вида. Это не ограничивает общности в связи с тем, что любое квадратное уравнение может быть заменено равносильным уравнением. Для этого необходимо поделить обе его части на число a, отличное от нуля.

Приведем еще одну формулировку теоремы Виета.

Теорема 2

Сумма корней в приведенном квадратном уравнении x2+p·x+q=0  будет равна коэффициенту при x, который взят с противоположным знаком, произведение корней будет равно свободному члену, т.е. x1+x2=−p, x1·x2=q.

Теорема, обратная теореме Виета

Если внимательно посмотреть на вторую формулировку теоремы Виета, то можно увидеть, что для корней x1 и x2 приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0 будут справедливы соотношения x1+x2=−p, x1·x2=q. Из этих соотношений x1+x2=−p, x1·x2=q следует, что x1 и x2 – это корни квадратного уравнения x2+p·x+q=0. Так мы приходим к утверждению, которое является обратным теореме Виета.

Предлагаем теперь оформить это утверждение как теорему и провести ее доказательство.

Теорема 3

Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2=−p и x1·x2=q, то x1 и x2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0.

Доказательство 2

Замена коэффициентов p и q на их выражение через x1 и x2 позволяет преобразовать уравнение x2+p·x+q=0 в равносильное ему x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0.

Если в полученное уравнение подставить число x1 вместо x, то мы получим равенство x12−(x1+x2)·x1+x1·x2=0. Это равенство при любых x1 и x2 превращается в верное числовое равенство 0=0, так как x12−(x1+x2)·x1+x1·x2=x12−x12−x2·x1+x1·x2=0. Это значит, что x1 – корень уравнения x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0, и что x1 также является корнем равносильного ему уравнения x2+p·x+q=0.

Подстановка в уравнение x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0  числа x2вместо x позволяет получить равенство x22−(x1+x2)·x2+x1·x2=0. Это равенство можно считать верным, так как x22−(x1+x2)·x2+x1·x2=x22−x1·x2−x22+x1·x2=0. Получается, что x2  является корнем уравнения x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0, а значит, и уравнения x2+p·x+q=0.

Теорема, обратная теореме Виета, доказана.

Примеры использования теоремы Виета

Давайте теперь приступим к разбору наиболее типичных примеров по теме. Начнем с разбора задач, которые требуют применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее можно применять для проверки чисел, полученных в ходе вычислений, на предмет того, являются ли они корнями заданного квадратного уравнения. Для этого необходимо вычислить их сумму и разность, а затем проверить справедливость соотношений x1+x2=-ba, x1·x2=ac.

Выполнение обоих соотношений свидетельствует о том, что числа, полученные в ходе вычислений, являются корнями уравнения. Если же мы видим, что хотя бы одно из условий не выполняется, то данные числа не могут быть корнями квадратного уравнения, данного в условии задачи.

Пример 1

Какая из пар чисел 1) x1=−5, x2=3, или 2) x1=1-3, x2=3+3, или 3) x1=2+72, x2=2-72 является парой корней квадратного уравнения 4·x2−16·x+9=0?

Решение

Найдем коэффициенты квадратного уравнения 4·x2−16·x+9=0. Это a=4, b=−16, c=9. В соответствии с теоремой Виета сумма корней квадратного уравнения должна быть равна -ba, то есть, 164=4, а произведение корней должно быть равно ca, то есть, 94.

Проверим полученные числа, вычислив сумму и произведение чисел из трех заданных пар и сравнив их с полученными значениями.

В первом случае x1+x2=−5+3=−2. Это значение отлично от 4, следовательно, проверку можно не продолжать. Согласно теореме, обратной теореме Виета, можно сразу сделать вывод о том, что первая пара чисел не является корнями данного квадратного уравнения.

Во втором случае x1+x2=1-3+3+3=4.  Мы видим, что первое условие выполняется. А вот второе условие нет: x1·x2=1-3·3+3=3+3-3·3-3=-2·3. Значение, которое мы получили, отлично от 94. Это значит, что вторая пара чисел не является корнями квадратного уравнения.

Перейдем к рассмотрению третьей пары. Здесь x1+x2=2+72+2-72=4 и x1·x2=2+72·2-72=22-722=4-74=164-74=94. Выполняются оба условия, а это значит, что  x1 и x2 являются корнями заданного квадратного уравнения.

Ответ: x1=2+72, x2=2-72

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Мы также можем использовать теорему, обратную теореме Виета, для подбора корней квадратного уравнения. Наиболее простой способ – это подбор целых корней приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Можно рассматривать и другие варианты. Но это может существенно затруднить проведение вычислений.

Для подбора корней мы используем тот факт, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения.

Пример 2

В качестве примера используем квадратное уравнение x2−5·x+6=0. Числа x1 и x2 могут быть корнями этого уравнения в том случае, если выполняются два равенства x1+x2=5 и x1·x2=6. Подберем такие числа. Это числа 2 и 3, так как 2+3=5 и 2·3=6. Получается, что 2 и 3 – корни данного квадратного уравнения.

Теорему, обратную теореме Виета, можно использовать для нахождения второго корня, когда первый известен или очевиден. Для этого мы можем использовать соотношения x1+x2=-ba, x1·x2=ca.

Пример 3

Рассмотрим квадратное уравнение 512·x2−509·x−3=0. Необходимо найти корни данного уравнения.

Решение

Первым корнем уравнения является 1, так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Получается, что x1=1.

Теперь найдем второй корень. Для этого можно использовать соотношение  x1·x2=ca. Получается, что 1·x2=−3512, откуда x2=-3512.

Ответ: корни заданного в условии задачи квадратного уравнения 1 и -3512.

Подбирать корни, используя теорему, обратную теореме Виета, можно лишь в простых случаях. В остальных случаях лучше проводить поиск с использованием формулы корней квадратного уравнения через дискриминант.

Благодаря теореме, обратной теореме Виета, мы также можем составлять квадратные уравнения по имеющимся корням x1 и x2. Для этого нам необходимо вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при x с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член.

Пример 4

Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа −11 и 23.

Решение

Примем, что x1=−11 и x2=23. Сумма и произведение данных чисел будут равны: x1+x2=12 и x1·x2=−253. Это значит, что второй коэффициент -12, свободный член −253.

Составляем уравнение: x2−12·x−253=0.

Ответ: x2−12·x−253=0.

Мы можем использовать теорему Виета для решения заданий, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. Связь между теоремой Виета связана со знаками корней приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0 следующим образом:

  • если квадратное уравнение имеет действительные корни и если свободный член q является положительным числом, то эти корни будут иметь одинаковый знак «+» или «-»;
  • если квадратное уравнение имеет корни и  если свободный член q является отрицательным числом, то один корень будет «+», а второй «-».

Оба этих утверждения являются следствием формулы x1·x2=q и правила умножения положительных и отрицательных чисел, а также чисел с разными знаками.

Пример 5

Являются ли корни квадратного уравнения x2−64·x−21=0положительными?

Решение

По теореме Виета корни данного уравнения не могут быть оба положительными, так как для них должно выполняться равенство x1·x2=−21. Это невозможно при положительных x1 и x2.

Ответ: Нет

Пример 6

При каких значениях параметра r квадратное уравнение x2+(r+2)·x+r−1=0будет иметь два действительных корня с разными знаками.

Решение

Начнем с того, что найдем значения каких r, при которых в уравнении будет два корня. Найдем дискриминант и посмотрим, при каких r он будет принимать положительные значения. D=(r+2)2−4·1·(r−1)=r2+4·r+4−4·r+4=r2+8. Значение выражения r2+8 положительно при любых действительных r, следовательно, дискриминант будет больше нуля при любых действительных r. Это значит, что исходное квадратное уравнение будет иметь два корня при любых действительных значениях параметра r.

Теперь посмотрим, когда корни будут иметь разные знаки. Это возможно в том случае, если их произведение будет отрицательным. Согласно теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Значит, правильным решением будут те значения r, при которых свободный член r−1 отрицателен. Решим линейное неравенство r−1<0, получаем r<1.

Ответ: при r<1.

Формулы Виета

Существует ряд формул, которые применимы для осуществления действий с корнями и коэффициентами не только квадратных, но также кубических и других видов уравнений. Их называют формулами Виета.

Для алгебраического уравнения степени n вида a0·xn+a1·xn-1+…+an-1·x+an=0  считается, что уравнение имеет nдействительных корней x1, x2, …, xn , среди которых могут быть совпадающие:
x1+x2+x3+…+xn=-a1a0,x1·x2+x1·x3+…+xn-1·xn=a2a0,x1·x2·x3+x1·x2·x4+…+xn-2·xn-1·xn=-a3a0,…x1·x2·x3·…·xn=(-1)n·ana0

Определение 1

Получить формулы Виета нам помогают:

  • теорема о разложении многочлена на линейные множители;
  • определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов.

Так, многочлен a0·xn+a1·xn-1+…+an-1·x+an  и его разложение на линейные множители вида a0·(x-x1)·(x-x2)·…·(x-xn) равны.

Если мы раскрываем скобки в последнем произведении и приравниваем соответствующие коэффициенты, то получаем формулы Виета. Приняв n=2, мы можем получить формулу Виета для квадратного уравнения: x1+x2=-a1a0, x1·x2=a2a0.

Определение 2

Формула Виета для кубического уравнения:
x1+x2+x3=-a1a0,x1·x2+x1·x3+x2·x3=a2a0,x1·x2·x3=-a3a0

Левая часть записи формул Виета содержит так называемые элементарные симметрические многочлены.

Теорема Виета по алгебре 8 класса: формула, уравнения, примеры

В данной публикации мы рассмотрим теорему Виета, определяющую взаимосвязи между коэффициентами многочлена и его корнями, а также, научимся применять ее на практике для решения задач.

Формулировка теоремы

Если c1, c2…, cn являются корнями многочлена xn + a1xn−1 + a2xn−2 + … + an, где каждый корень взят соответствующее его кратности число раз, то:

коэффициенты a1, a2…, an можно выразить в виде симметрических многочленов от корней, т.е.:

  • a1 = −(c1 + c2 + … + cn)
  • a2 = c1c2 + c1c3 + … + c1cn + c2c3 + … + cn−1cn
  • a3 = −(c1c2c3 + c1c2c4 + … + cn−2cn−1cn)
  • an−1 = (−1)n−1(c1c2 … cn−1 + c1c2 … cn−2cn + … + c2c3 … cn
  • an = (−1)nc1c2 … cn

Другими словами, (−1)kak равняется сумме всех возможных произведений из k корней.

Примечание: теорема названа в честь французского маетиматика Франсуа Виета.

Квадратное уравнение

Для квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 с корнями x1 и x2 справедливо:

Если уравнение имеет вид x2 + px + c = 0 (приведенная форма при a = 1), то:

Кубическое уравнение

Для кубического уравнения p(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0 с корнями x1, x2 и x3 справедливо:

Обратная теорема

Если для чисел x1 и x2 справедливы соотношения x1 + x2 = −p, а x1x2 = q, значит они являются корнями приведенного квадратного уравнения x2 + px + c = 0.

Примеры задач

Задание 1
Дано квадратное уравнение x2 − 70x + 600 = 0. Найдите его корни, используя теорему Виета.

Решение:
Используем соотношение корней для приведенного уравнения (т.к. a = 1):
x1 + x2 = 70
x1x2 = 600
Остается только подобрать числа x1 и x2, которые будут одновременно соответствовать данным уравнениям. В нашем случае – это 10 и 60.

Задание 2
Составьте уравнение, если известно, что его корни x1 и x2 равны 2 и −6, соответственно.

Решение:
Допустим, что у нас приведенное квадратное уравнение вида x2 + px + c = 0. В этом случае, исходя из установленных для него соотношений корней получаем:
p = −(x1 + x2) = −(2 + (−6)) = 4
q = x1x2 = 2 ⋅ (−6) = −12
Получаем уравнение, подставив найденные значения в формулу общего вида: x2 + 4x − 12 = 0. {n-1} + \ cdots + a_0P (x) = xn + an − 1 xn − 1 + ⋯ + a0 такое, что ai = ± 1a_i = \ pm 1ai = ± 1 для всех 0≤i≤n − 10 \ leq i \ leq n-10 ≤i≤n − 1, удовлетворяющее условию вещественности всех корней P (x) P (x) P (x).{n-1} + \ cdots + c_1 x + c_0 $, можно рассматривать уравнения Виета, связывающие $ n $ корней $ x_k $ и $ n $ оставшихся коэффициентов $ c_j $, как систему одновременных нелинейных уравнений, а затем применить к ним многомерную версию Ньютона-Рафсона.

Для остроумия отметим, что якобиан системы (я использую здесь четвертый регистр, чтобы упростить задачу)

$$ \ begin {align *} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = & — c_3 \\ x_1 x_2 + x_3 x_2 + x_4 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_3 x_4 = & c_2 \\ x_1 x_2 x_3 + x_1 x_4 x_3 + x_2 x_4 x_3 + x_1 x_2 x_4 = & — c_1 \\ x_1 x_2 x_3 x_4 = & c_0 \ end {align *} $$

это

$$ \ begin {split} & \ mathbf J (\ mathbf x) = \ mathbf J (x_1, x_2, x_3, x_4) = \\ & \ small \ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_2 + x_3 + x_4 & x_1 + x_3 + x_4 & x_1 + x_2 + x_4 & x_1 + x_2 + x_3 \\ x_2 x_3 + x_4 x_3 + x_2 x_4 & x_1 x_3 + x_4 x_3 + x_1 x_4 & x_1 x_2 + x_4 x_2 + x_1 x_4 & x_1 x_2 + x_3 x_2 + x_1 x_3 \\ x_2 x_3 x_4 & x_1 x_3 x_4 & x_1 x_2 x_4 & x_1 x_2 x_2 x_3 \ end {pmatrix} \ end {split} $$

с инверсией

$$ \ begin {split} & \ mathbf J ^ {- 1} (\ mathbf x) = \ mathbf J ^ {- 1} (x_1, x_2, x_3, x_4) = \\ & \ tiny \ begin {pmatrix } \ frac {x_1 ^ 3} {(x_1-x_2) (x_1-x_3) (x_1-x_4)} & \ frac {x_1 ^ 2} {(x_1-x_2) (x_1-x_3) (x_4-x_1)} & \ frac {x_1} {(x_1-x_2) (x_1-x_3) (x_1-x_4)} & \ frac1 {(x_2-x_1) (x_1-x_3) (x_1-x_4)} \\ \ frac {x_2 ^ 3} {(x_2-x_1) (x_2-x_3) (x_2-x_4)} & \ frac {x_2 ^ 2} {(x_1-x_2) (x_2-x_3) (x_2-x_4)} & \ frac {x_2} {(x_2-x_1) (x_2-x_3) (x_2-x_4)} & \ frac1 {(x_1-x_2) (x_2-x_3) (x_2-x_4)} \\\ frac {x_3 ^ 3} {(x_1- x_3) (x_2-x_3) (x_3-x_4)} & \ frac {x_3 ^ 2} {(x_1-x_3) (x_3-x_2) (x_3-x_4)} & \ frac {x_3} {(x_1-x_3) (x_2-x_3) (x_3-x_4)} & \ frac1 {(x_1-x_3) (x_3-x_2) (x_3-x_4)} \\\ frac {x_4 ^ 3} {(x_4-x_1) (x_4-x_2 ) (x_4-x_3)} & \ frac {x_4 ^ 2} {(x_1-x_4) (x_4-x_2) (x_4-x_3)} & \ frac {x_4} {(x_4-x_1) (x_4-x_2) ( x_4-x_3)} & \ frac1 {(x_1-x_4) (x_4-x_2) (x_4-x_3)} \ end {pmatrix} \ end {split} $$

и, следовательно, итерационная функция Ньютона-Рафсона выглядит так:

$$ \ mathbf x- \ mathbf J ^ {- 1} (\ mathbf x) \ begin {pmatrix} s_1 + c_3 \\ s_2-c_2 \ s_3 + c_1 \\ s_4-c_0 \ end {pmatrix} $$

или явно

$$ \ begin {align *} x_1 — & \ frac {c_3 x_1 ^ 3 + c_2 x_1 ^ 2 + c_1 x_1 + c_0 + x_1 ^ 4} {(x_1-x_2) (x_1-x_3) (x_1-x_4) } \\ x_2 — & \ frac {c_3 x_2 ^ 3 + c_2 x_2 ^ 2 + c_1 x_2 + c_0 + x_2 ^ 4} {(x_2-x_1) (x_2-x_3) (x_2-x_4)} \\ x_3- & \ frac {c_3 x_3 ^ 3 + c_2 x_3 ^ 2 + c_1 x_3 + c_0 + x_3 ^ 4} {(x_3-x_1) (x_3-x_2) (x_3-x_4)} \\ x_4 — & \ frac {c_3 x_4 ^ 3 + c_2 x_4 ^ 2 + c_1 x_4 + c_0 + x_4 ^ 4} {(x_4-x_1) (x_4-x_2) (x_4-x_3)} \ end {align *} $$

Это приложение многомерного метода Ньютона-Рафсона к формулам Виета называется алгоритмом Дюрана-Кернера для одновременного определения корней многочлена:

$$ x_i ^ {(k + 1)} = x_i ^ {(k)} — \ frac {p (x_i ^ {(k)})} {\ prod \ limits_ {j \ neq i} (x_i ^ { (k)} — x_j ^ {(k)})}, \ qquad i = 1 \ dots n; \; k = 0,1, \ точки $$

, где $ x_i ^ {(0)} $ — это начальные приближения (которые, как и любой метод Ньютона-Рафсона, обязательны).Как и обычный метод Ньютона-Рафсона, он квадратично сходится. Однако примечательно, что этот метод не так требователен к начальным условиям, как это обычно бывает с Ньютоном-Рафсоном. (На практике, однако, в качестве отправной точки для метода обычно берутся точки, расположенные на равном расстоянии друг от друга по окружности на комплексной плоскости, где радиус определяется исходя из границ корней.)

См. Исходную статью Кернера для получения более подробной информации о происхождении.


Алгоритм также иногда называют методом Вейерштрасса-Дюрана-Кернера, поскольку Карл Вейерштрасс использовал его в своем конструктивном доказательстве фундаментальной теоремы алгебры.Подробнее об этом см. Статью Вейерштрасса.

Альтернативное доказательство формулы Виета (формула для суммирования корней многочлена)

Обратимся к комбинаторике и исчислению! Пойдем!

Фундамент (после этого раздела все гладко, обещаю!):

Рассмотрим многочлен степени $ n $, факторизованный следующим образом:

$$ P (x) = a (x-x_1) (x-x_2) . n P_ {qw} $$

В приведенном выше примере возьмем, например, суммирование $ P_ {12} $, это то же самое, что и $ P_ {21} $ из-за порядка, в котором мы удаляем корни, не имеет значения.{n} \ text {произведение n-k корней} $$

Это в точности утверждение Формулы

Виета.

(PDF) Треугольный массив Виета и связанное с ним семейство многочленов

Journal of Applied Mathematics and Decision Sciences

Special Issue on

Decision Support for Intermodal Transport

Call for Papers

Интермодальные перевозки относятся к перемещению товаров в

единичная грузовая единица, которая использует последовательные различные виды транспорта

транспорта (автомобильный, железнодорожный, водный) без обработки товаров

во время переездов.

Интермодальные перевозки стали важным вопросом политики, главным образом потому, что они рассматриваются как

как одно из средств снижения заторов, вызываемых одномодовым автомобильным транспортом

, и являются более экологически безопасными, чем одномодовые. дорожный транспорт. За обеими оценками последовало увеличение внимания к исследованиям интермодальных грузовых перевозок

.

Проблемы решения различных интермодальных грузовых перевозок

требуют математических моделей их поддержки.

Поскольку интермодальная транспортная система более сложна, чем одномодовая система

, этот факт предлагает интересные и сложные возможности для разработчиков моделей в прикладной математике. Этот специальный выпуск

призван заполнить некоторые пробелы в программе исследования

принятия решений в области интермодальных перевозок.

Математические модели могут быть типа оптимизации

или типа оценки, чтобы получить представление о интермодальных операциях

.Математические модели нацелены на поддержку решений на стратегическом, тактическом и оперативном уровнях. Лица, принимающие решения

, принадлежат к различным игрокам в мире модальных перевозок

, а именно, операторам дрейферов, операторам терминалов

, операторам сетей или операторам интермодальных перевозок.

Темы, имеющие отношение к этому типу принятия решений, как в

временных горизонтах, так и в терминах операторов:

• Проектирование интермодальных терминалов

• Конфигурация сети инфраструктуры

• Расположение терминалов

• Сотрудничество между транспортными компаниями

приемников к терминалу

• Стратегии ценообразования

• Уровни мощности оборудования и рабочей силы

• Рабочие процедуры и планировочная структура

• Перераспределение грузовых единиц, железнодорожных вагонов, барж и т. д.

вперед

• Планирование командировки или рабочие места

• Распределение мощности по рабочим местам

• Заказы на загрузку

• Выбор маршрутизации и обслуживания

Перед подачей заявки авторам следует внимательно прочитать Правила для авторов журнала

, которые находятся по адресу http: // www

.hindawi.com/journals/jamds/guidelines.html.Prospective

Авторы

должны представить электронную копию своей полной рукописи

через журнал Manuscript Tracking Sys-

tem по адресу http://mts.hindawi.com/, согласно по следующему расписанию

:

Рукопись должна быть сдана 1 июня 2009 г.

Первый раунд проверки 1 сентября 2009 г.

Дата публикации 1 декабря 2009 г.

Главный приглашенный редактор

Геррит К. Янсенс, Транспортный научно-исследовательский институт

(IMOB), Университет Хасселта, Агоралаан, корпус D, 3590

Дипенбек (Хасселт), Бельгия; Геррит[email protected]

Приглашенный редактор

Кэти Мачарис, Департамент математики, операционная

Исследования, статистика и информация для систем (MOSI),

Исследовательская группа по транспорту и логистике, менеджмент

Школа, Vrije Universiteit Brussel, Pleinlaan 2, 1050 Брюссель,

Бельгия; [email protected]

Hindawi Publishing Corporation

http://www.hindawi.com

pdf-файлы теоремы Виета

pdf-файлы теоремы Виета

Эта теорема говорит нам, когда два многочлена на самом деле являются одним и тем же многочленом.Читайте дальше, чтобы узнать, как объединить несколько PDF-файлов в macos и windows 10. Давайте сформулируем 6 формул vieta для шестнадцатеричных уравнений, а затем заполним левую часть формул корнями уравнений и правую часть формул коэффициенты уравнений. Вывод происходит из основной теоремы алгебры. Самым простым применением формулы Виетеса является квадратичная теория, которая используется специально в алгебре. Одно из его достоинств — введение букв вместо общих чисел.Их можно использовать для действительных и комплексных корней, но в этой демонстрации рассматриваются только маленькие целые корни. Формулы Виеты Ховард Халим 27 ноября 2017 г. Введение Формулы Виеты — это несколько формул, которые связывают коэффициенты многочлена с его корнями. Тогда другой корень равен 4r, согласно условию. В этом случае полезны формулы Виета, поскольку они устанавливают отношения между корнями без необходимости их вычислять. Горадам определил полиномы Вьета Фибоначчи и Вьета Лукас с помощью. В переводе с текста вариньонов можно сказать обратное, поскольку линия, пропорционально разрезающая треугольник, параллельна.В этой статье объясняется, что такое PDF-файлы, как их открыть, а также разными способами.

Они известны как формулы vietas для многочленов степени 2. Можно заметить, что асимптотическое разложение коэффициентов ak позволяет восстановить хорошо известные vietas. Пример 2 проверяет справедливость теоремы Кошиса о среднем значении для функций f x x 4 и g x x 2 бесплатная загрузка просмотр pdf просмотр файлов pdf мгновенно с помощью viewpdf. Француз Пелетарий еще в 1558 году заметил, что корень уравнения является делителем последнего члена.Формулы Виета — это несколько формул, связывающих коэффициенты многочлена с его корнями. Формулы Виета и теорема тождества pdf скачать бесплатно. Обобщенные vietajacobsthal и vietajacobsthallucas.

Формула Виетаса о сумме корней многочленов в. Центральная предельная теорема, проиллюстрированная четырьмя вероятностными распределениями. Фундаментальная теорема исчисления для интеграла Лебега Витали, теорема о покрытии максимальной функции f в l1 mf в слабой теореме Хардилтлвуда 23 l1. Однако, если функция f z имеет нули и полностью разложена на нули, формулы Виеты верны для бесконечного произведения.Формулы Виета были открыты французским математиком Франсуа Вите. Теорема Лебега о дифференцировании множества Лебега фундаментальной теоремы исчисления i для функции l1. Доказательство даос в оригинальном доказательстве теоремы, предполагается, что среди кандидатов есть беспристрастность. Негабаритный PDF-файл может быть сложно отправить по электронной почте, и он может не загружаться в определенные файловые менеджеры. Я предлагаю вам запомнить формулы биномиальных теорем на всю жизнь. Объединить PDF-файлы с другими документами и изображениями проще, чем вы думаете.Обобщенное неравенство Минковского — еще одно доказательство распределения неравенства Юнга. Формула Виета о сумме корней многочленов. Файл pdf — это файл переносимого формата документа, разработанный Adobe Systems.

Точно так же, как описано в доказательстве теоремы 1 и. Решение проблем. Примеры примеров теоремы Вьетнама 1 пример 1. Сегодня файлы PDF могут содержать различное содержимое, помимо плоского текста и графики, включая элементы логической структуризации, интерактивные элементы, такие как аннотации и поля форм, слои, мультимедийные материалы, включая видеоконтент и трехмерные объекты. .Я заплатил за профессиональное членство специально, чтобы включить эту функцию. Альтернативное доказательство формулы vietas formula for the. Поиск определенного типа документа в Интернете иногда похож на поиск иголки в стоге сена.

Решение: данное уравнение совпадает с 0, что эквивалентно 0. Мишель Рэй, 24 января 2020 г., знание того, как объединять файлы PDF, не зарезервировано. Создать логотип в формате pdf на удивление легко и важно для большинства веб-дизайнеров. Если ваш сканер сохраняет файлы как файлы формата документа pdf portbale, существует возможность объединить отдельные файлы в один документ.Попытайтесь решить приведенные ниже проблемы, не обнаруживая a и b. По теореме о равенстве многочленов два многочлена равны, если их коэффициенты по собственным степеням равны, получаем. Конспект лекций по математике измерения и интеграции. Формула Виетаса для определения полиномиальных уравнений. Формулы Виета можно использовать, чтобы связать сумму и произведение корней многочлена с его коэффициентами. Формула Виеты, прыжки с вьетнамскими прыжками, пример теоремы Вьеты, Франсиско Вьета, Теорема Вьета, решенные задачи по формуле Вьетна, уравнения ВьетнамаФормулы, названные в честь Франсуа Вите, чаще называемого латинизированной формой его имени, franciscus vieta, используются в алгебре.

Pdf — чрезвычайно популярный формат для документов просто потому, что он не зависит от оборудования или приложения, использованного для создания этого файла. Формулы Виета и теорема тождества этот рабочий лист проработает материал нашего класса по 32120 с некоторыми примерами, которые должны вам помочь. Px и gx, и оба они имеют степень меньше n.По основной теореме алгебры он имеет три корня. PDF-файл или конвертируйте PDF-файл в docx, jpg или другой формат файла. Некоторые авторы называют это утверждение основной теоремой алгебры. Как только вы это сделаете, вы сможете легко отправлять созданные вами логотипы клиентам, делать их доступными для загрузки или прикреплять их к электронным письмам в формате fo. Мы видели, что vieta частично знала отношения между корнями и коэффициентами. Точнее, форма теоремы vieta в гельфандретахе несколько сильнее, чем утверждение.Формулы Виета, иначе называемые законами Виетеса, представляют собой набор уравнений, связывающих корни и коэффициенты многочленов.

История математики от современной европы до Декарта. Объединяя эти две части информации, мы получаем это. Формулы Виета — это формулы, связывающие коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней. Если вы действительно хотите увидеть, насколько важны формулы vieta, решайте эти задачи обоими способами: одним классическим методом, а другим — методом vieta.Сумма двух действительных чисел равна 10, а произведение их равно 22. Этот простейший случай vieta s утверждает следующее. Затем мы можем переписать его в терминах его корней, поскольку это стало возможным благодаря фундаментальной теореме алгебры.

Метод прыжков vieta, иногда называемый переворачиванием корня, — это метод решения одного из типов задач теории чисел. Формулы Виета франсуа вите 15401603 франсуа вите был французским юристом и математиком. Приведем 4 формулы vieta для уравнений четвертой степени, а затем заполним левую часть формул корнями уравнений, а правую часть формул — коэффициентами уравнений.В математике формулы vietas — это формулы, которые связывают коэффициенты многочлена с. Теперь они хотят, чтобы мы построили квадратное уравнение полинома с корнями и. Хотя в данном конкретном примере это довольно тривиально, формула Виеты чрезвычайно полезна в более сложных алгебраических многочленах со многими корнями или когда корни многочлена нелегко вывести.

Как и другие случаи спуска, это происходит, когда вам нужно решить диофантово уравнение или систему уравнений, сравнений или неравенств, решения которых имеют некоторую рекурсивную структуру.Формат переносимого документа pdf — широко популярный тип формата документа, созданный Adobe. Если jcj 3, то свойства u, r, nd и iia несовместимы. Теорема о максимальном количестве нулей полином не может иметь больше действительных нулей, чем его степень. Pdf был стандартизирован как открытый формат, iso 32000, в 2008 году. Биномиальная теорема помогает расширить бином, данный для любого положительного интеграла n. Центральная предельная теорема с четырьмя вероятностными распределениями d. К счастью, существует множество бесплатных и платных инструментов, с помощью которых можно сжать PDF-файл всего за несколько простых шагов.Решение проблем с примерами примеров теоремы Вьетнама. Продвинутые задачи по теореме Вьеты, проблема 1, один из корней уравнения четыре раза обращается к другому корню. Список тригонометрических тождеств 2 тригонометрические функции основные тригонометрические функции — синус и косинус угла. Альтернативное доказательство формулы vieta s формула для суммирования корней многочлена задать вопрос, заданный 4 года. О формулах vietas и определении набора.

Его также можно определить как коэффициенты многочленов или сумму или произведение их корней или произведение корней, взятых в группе.Кен уордс страницы математики формулы корня vieta формулы vieta связывают коэффициенты многочлена с его корнями. Формула Виетаса о сумме корней многочленов sciendo. Adobe Systems — производитель программного обеспечения, создавший множество программ для редактирования документов и мультимедиа. Он был юристом по профессии и служил тайным советником Генриха III и Генриха IV французских.

Основная формула vieta s в любом общем полиноме степени n. Каково значение m, при котором один корень является обратной величиной.Важно понимать, что такое прыжки с трамплина. Adobe разработала формат переносимых документов, или pdf, как платформу для документов, которую можно просматривать практически в любой современной операционной системе. Объединить файлы PDF в один документ PDF проще, чем кажется.

Формулы Виета, также называемые формулами Виетеса, позволяют быстро определить сумму, произведение и т. Д. Формула Pdf vietas о сумме корней многочленов. Классный опыт подсказывает, что учащиеся находят формулы vieta, названные в честь французского математика franciscus vieta на французском, francois viete.Это соответствует результатам, которые мы видели выше с использованием формулы квадратичного уравнения. В частности, эти статьи содержат новые доказательства некоммутативной теоремы Виета 12,14,8.

Формат PDF позволяет создавать документы в бесчисленных приложениях и делиться ими с другими для просмотра. У вас есть несколько файлов PDF, которые вам нужно объединить в один большой документ. Формулы биномиальной теоремы для класса 11 по математике, глава 8. Здесь формула Вьета связана с коэффициентом или корнями многочленов. 09 февраля 2014 г. Задачи формул vietas пусть a и b являются корнями x2 3x 1 0.В каждом из этих двух уравнений первый член в скобках представляет собой биномиальный коэффициент, а последняя тригонометрическая функция равна единице или минус единице или нулю, так что половина записей в каждой из сумм удаляется. Как сжать слишком большой pdf-файл techwalla. Помогите научиться редактировать файл загрузки последних изменений портала сообщества.

В зависимости от типа сканера, вы можете сканировать только одну страницу документа за раз. Доказательство этого двойственного факта значительно проще.Теорема невозможности Стрелка для систем общественного выбора. Решение пусть и будет двумя корнями данного квадратного уравнения 0. Прыжки Виета — это прозвище для особого вида метода спуска, который стал довольно популярным в задачах теории чисел математических олимпиад более высокого уровня. Теорема о монотонной последовательности. Обратите внимание, как раздражает демонстрация явной сходимости последовательности. Было бы неплохо, если бы у нас были простые общие теоремы, гарантирующие сходимость последовательности. Матрицы Вандермонда и экспоненциальный d-архив.Тем, кто расширил теорию уравнений несколько дальше, чем вьетна, был фламандец Альбер Жирар 1590–1634. В общем, 1kank — это сумма всех kfold произведений корней. Как объединить PDF-файлы на Mac, Mac, Mac, Catalina, и YouTube. Сумма квадратов длин катетов прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы. Это означает, что его можно просматривать на нескольких устройствах, независимо от базовой операционной системы.

21 1592 217 734 781 742 666 1497 898 1091 1039 1005 1429 1555 731 230 1164 573 1498 879

% PDF-1.5
%
3297 0 объект>
эндобдж

xref
3297 713
0000000016 00000 н.
0000014653 00000 п.
0000017951 00000 п.
0000018001 00000 п.
0000018042 00000 п.
0000018219 00000 п.
0000018294 00000 п.
0000018417 00000 п.
0000018464 00000 п.
0000018579 00000 п.
0000018623 00000 п.
0000018742 00000 п.
0000018786 00000 п.
0000018898 00000 п.
0000018943 00000 п.
0000019056 00000 п.
0000019101 00000 п.
0000019266 00000 п.
0000019311 00000 п.
0000019472 00000 п.
0000019517 00000 п.
0000019625 00000 п.
0000019670 00000 п.
0000019804 00000 п.
0000019849 00000 п.
0000019985 00000 п.
0000020030 00000 н.
0000020157 00000 п.
0000020203 00000 п.
0000020314 00000 п.
0000020360 00000 п.
0000020513 00000 п.
0000020559 00000 п.
0000020658 00000 п.
0000020704 00000 п.
0000020870 00000 п.
0000020916 00000 п.
0000021013 00000 п.
0000021059 00000 п.
0000021187 00000 п.
0000021233 00000 п.
0000021353 00000 п.
0000021399 00000 н.
0000021524 00000 п.
0000021570 00000 п.
0000021712 00000 п.
0000021758 00000 п.
0000021878 00000 п.
0000021924 00000 п.
0000022075 00000 п.
0000022121 00000 п.
0000022220 00000 н.
0000022266 00000 п.
0000022435 00000 п.
0000022481 00000 п.
0000022601 00000 п.
0000022647 00000 п.
0000022814 00000 п.
0000022860 00000 п.
0000022981 00000 п.
0000023027 00000 н.
0000023169 00000 п.
0000023215 00000 п.
0000023332 00000 п.
0000023378 00000 п.
0000023501 00000 п.
0000023547 00000 п.
0000023679 00000 п.
0000023725 00000 п.
0000023824 00000 п.
0000023870 00000 п.
0000024041 00000 п.
0000024087 00000 п.
0000024194 00000 п.
0000024240 00000 п.
0000024355 00000 п.
0000024401 00000 п.
0000024524 00000 п.
0000024570 00000 п.
0000024684 00000 п.
0000024730 00000 п.
0000024860 00000 п.
0000024906 00000 п.
0000025047 00000 п.
0000025093 00000 п.
0000025192 00000 п.
0000025238 00000 п.
0000025407 00000 п.
0000025453 00000 п.
0000025554 00000 п.
0000025600 00000 п.
0000025736 00000 п.
0000025782 00000 п.
0000025899 00000 н.
0000025945 00000 п.
0000026084 00000 п.
0000026130 00000 п.
0000026249 00000 п.
0000026295 00000 п.
0000026412 00000 п.
0000026458 00000 п.
0000026557 00000 п.
0000026603 00000 п.
0000026773 00000 п.
0000026819 00000 п.
0000026924 00000 п.
0000026970 00000 п.
0000027087 00000 п.
0000027133 00000 п.
0000027257 00000 п.
0000027303 00000 п.
0000027455 00000 п.
0000027501 00000 п.
0000027600 00000 н.
0000027646 00000 н.
0000027808 00000 п.
0000027854 00000 п.
0000027959 00000 н.
0000028005 00000 п.
0000028127 00000 п.
0000028173 00000 п.
0000028295 00000 п.
0000028341 00000 п.
0000028456 00000 п.
0000028502 00000 п.
0000028618 00000 п.
0000028664 00000 п.
0000028763 00000 п.
0000028809 00000 п.
0000028968 00000 п.
0000029014 00000 н.
0000029116 00000 п.
0000029162 00000 п.
0000029291 00000 п.
0000029337 00000 п.
0000029462 00000 п.
0000029508 00000 п.
0000029639 00000 п.
0000029685 00000 п.
0000029823 00000 п.
0000029869 00000 п.
0000029998 00000 н.
0000030044 00000 п.
0000030173 00000 п.
0000030219 00000 п.
0000030341 00000 п.
0000030387 00000 п.
0000030486 00000 п.
0000030532 00000 п.
0000030719 00000 п.
0000030765 00000 п.
0000030883 00000 п.
0000030929 00000 п.
0000031050 00000 п.
0000031096 00000 п.
0000031219 00000 п.
0000031265 00000 п.
0000031403 00000 п.
0000031449 00000 п.
0000031548 00000 п.
0000031594 00000 п.
0000031755 00000 п.
0000031801 00000 п.
0000031950 00000 п.
0000031996 00000 п.
0000032102 00000 п.
0000032148 00000 п.
0000032261 00000 п.
0000032307 00000 п.
0000032460 00000 п.
0000032506 00000 п.
0000032621 00000 п.
0000032667 00000 п.
0000032766 00000 п.
0000032812 00000 п.
0000032972 00000 н.
0000033018 00000 п.
0000033122 00000 п.
0000033168 00000 п.
0000033282 00000 п.
0000033328 00000 п.
0000033457 00000 п.
0000033503 00000 п.
0000033602 00000 п.
0000033648 00000 п.
0000033822 00000 н.
0000033868 00000 п.
0000033975 00000 п.
0000034021 00000 п.
0000034136 00000 п.
0000034182 00000 п.
0000034318 00000 п.
0000034364 00000 п.
0000034495 00000 п.
0000034541 00000 п.
0000034669 00000 п.
0000034715 00000 п.
0000034814 00000 п.
0000034860 ​​00000 п.
0000035040 00000 п.
0000035086 00000 п.
0000035196 00000 п.
0000035242 00000 п.
0000035364 00000 п.
0000035410 00000 п.
0000035539 00000 п.
0000035585 00000 п.
0000035717 00000 п.
0000035763 00000 п.
0000035862 00000 п.
0000035908 00000 п.
0000036063 00000 п.
0000036109 00000 п.
0000036222 00000 п.
0000036268 00000 п.
0000036398 00000 п.
0000036445 00000 п.
0000036566 00000 п.
0000036613 00000 п.
0000036739 00000 п.
0000036786 00000 п.
0000036914 00000 п.
0000036961 00000 п.
0000037060 00000 п.
0000037107 00000 п.
0000037272 00000 п.
0000037319 00000 п.
0000037464 00000 п.
0000037511 00000 п.
0000037612 00000 п.
0000037659 00000 п.
0000037785 00000 п.
0000037832 00000 п.
0000037947 00000 п.
0000037994 00000 п.
0000038093 00000 п.
0000038140 00000 п.
0000038313 00000 п.
0000038360 00000 п.
0000038478 00000 п.
0000038525 00000 п.
0000038654 00000 п.
0000038701 00000 п.
0000038827 00000 п.
0000038874 00000 п.
0000038988 00000 п.
0000039035 00000 п.
0000039158 00000 п.
0000039205 00000 п.
0000039331 00000 п.
0000039378 00000 п.
0000039500 00000 н.
0000039547 00000 п.
0000039646 00000 п.
0000039693 00000 п.
0000039885 00000 п.
0000039932 00000 н.
0000040056 00000 п.
0000040103 00000 п.
0000040228 00000 п.
0000040275 00000 п.
0000040415 00000 п.
0000040462 00000 п.
0000040585 00000 п.
0000040632 00000 п.
0000040765 00000 п.
0000040812 00000 п.
0000040936 00000 п.
0000040983 00000 п.
0000041082 00000 п.
0000041129 00000 п.
0000041312 00000 п.
0000041359 00000 п.
0000041464 00000 п.
0000041511 00000 п.
0000041631 00000 н.
0000041678 00000 п.
0000041799 00000 н.
0000041846 00000 п.
0000041971 00000 п.
0000042018 00000 п.
0000042147 00000 п.
0000042194 00000 п.
0000042293 00000 п.
0000042340 00000 п.
0000042488 00000 п.
0000042535 00000 п.
0000042637 00000 п.
0000042684 00000 п.
0000042818 00000 п.
0000042865 00000 п.
0000042986 00000 п.
0000043033 00000 п.
0000043154 00000 п.
0000043201 00000 п.
0000043326 00000 п.
0000043373 00000 п.
0000043490 00000 н.
0000043537 00000 п.
0000043663 00000 п.
0000043710 00000 п.
0000043809 00000 п.
0000043856 00000 п.
0000044046 00000 п.
0000044093 00000 п.
0000044261 00000 п.
0000044308 00000 п.
0000044427 00000 п.
0000044474 00000 п.
0000044588 00000 п.
0000044635 00000 п.
0000044753 00000 п.
0000044800 00000 п.
0000044935 00000 п.
0000044982 00000 п.
0000045099 00000 п.
0000045146 00000 п.
0000045280 00000 п.
0000045327 00000 п.
0000045443 00000 п.
0000045490 00000 п.
0000045621 00000 п.
0000045668 00000 п.
0000045803 00000 п.
0000045850 00000 п.
0000045949 00000 п.
0000045996 00000 п.
0000046158 00000 п.
0000046205 00000 п.
0000046322 00000 п.
0000046369 00000 п.
0000046500 00000 п.
0000046547 00000 п.
0000046685 00000 п.
0000046732 00000 п.
0000046844 00000 п.
0000046891 00000 п.
0000047008 00000 п.
0000047055 00000 п.
0000047175 00000 п.
0000047222 00000 п.
0000047358 00000 п.
0000047405 00000 п.
0000047537 00000 п.
0000047584 00000 п.
0000047683 00000 п.
0000047730 00000 п.
0000047913 00000 п.
0000047960 00000 п.
0000048082 00000 п.
0000048129 00000 п.
0000048278 00000 н.
0000048325 00000 н.
0000048455 00000 п.
0000048502 00000 п.
0000048627 00000 н.
0000048674 00000 п.
0000048807 00000 п.
0000048854 00000 п.
0000048980 00000 п.
0000049027 00000 н.
0000049126 00000 п.
0000049173 00000 п.
0000049339 00000 п.
0000049386 00000 п.
0000049525 00000 п.
0000049572 00000 п.
0000049696 00000 п.
0000049743 00000 п.
0000049873 00000 п.
0000049920 00000 н.
0000050071 00000 п.
0000050118 00000 п.
0000050243 00000 п.
0000050290 00000 п.
0000050389 00000 п.
0000050436 00000 п.
0000050589 00000 п.
0000050636 00000 п.
0000050761 00000 п.
0000050808 00000 п.
0000050923 00000 п.
0000050970 00000 п.
0000051098 00000 п.
0000051145 00000 п.
0000051278 00000 п.
0000051325 00000 п.
0000051467 00000 п.
0000051514 00000 п.
0000051644 00000 п.
0000051691 00000 п.
0000051790 00000 п.
0000051837 00000 п.
0000052019 00000 п.
0000052066 00000 п.
0000052215 00000 п.
0000052262 00000 п.
0000052364 00000 п.
0000052411 00000 п.
0000052546 00000 п.
0000052593 00000 п.
0000052725 00000 п.
0000052772 00000 н.
0000052903 00000 п.
0000052950 00000 п.
0000053075 00000 п.
0000053122 00000 п.
0000053242 00000 п.
0000053289 00000 п.
0000053418 00000 п.
0000053465 00000 п.
0000053564 00000 п.
0000053611 00000 п.
0000053782 00000 п.
0000053829 00000 п.
0000053930 00000 н.
0000053977 00000 п.
0000054105 00000 п.
0000054152 00000 п.
0000054269 00000 п.
0000054316 00000 п.
0000054457 00000 п.
0000054504 00000 п.
0000054631 00000 п.
0000054678 00000 п.
0000054798 00000 п.
0000054845 00000 п.
0000054944 00000 п.
0000054991 00000 п.
0000055163 00000 п.
0000055210 00000 п.
0000055333 00000 п.
0000055380 00000 п.
0000055521 00000 п.
0000055568 00000 п.
0000055693 00000 п.
0000055740 00000 п.
0000055839 00000 п.
0000055886 00000 п.
0000056068 00000 п.
0000056115 00000 п.
0000056223 00000 п.
0000056270 00000 п.
0000056394 00000 п.
0000056441 00000 п.
0000056570 00000 п.
0000056617 00000 п.
0000056716 00000 п.
0000056763 00000 п.
0000056931 00000 п.
0000056978 00000 п.
0000057087 00000 п.
0000057134 00000 п.
0000057263 00000 п.
0000057310 00000 п.
0000057442 00000 п.
0000057489 00000 п.
0000057619 00000 п.
0000057666 00000 п.
0000057765 00000 п.
0000057812 00000 п.
0000057967 00000 п.
0000058014 00000 п.
0000058123 00000 п.
0000058170 00000 п.
0000058302 00000 п.
0000058349 00000 п.
0000058486 00000 п.
0000058533 00000 п.
0000058668 00000 п.
0000058715 00000 п.
0000058848 00000 п.
0000058895 00000 п.
0000058994 00000 п.
0000059041 00000 п.
0000059234 00000 п.
0000059281 00000 п.
0000059438 00000 п.
0000059485 00000 п.
0000059611 00000 п.
0000059658 00000 п.
0000059787 00000 п.
0000059834 00000 п.
0000059957 00000 н.
0000060004 00000 п.
0000060133 00000 п.
0000060180 00000 п.
0000060315 00000 п.
0000060362 00000 п.
0000060461 00000 п.
0000060508 00000 п.
0000060680 00000 п.
0000060727 00000 п.
0000060840 00000 п.
0000060887 00000 п.
0000061014 00000 п.
0000061061 00000 п.
0000061201 00000 п.
0000061248 00000 п.
0000061369 00000 п.
0000061416 00000 п.
0000061515 00000 п.
0000061562 00000 п.
0000061732 00000 п.
0000061779 00000 п.
0000061887 00000 п.
0000061934 00000 п.
0000062055 00000 п.
0000062102 00000 п.
0000062244 00000 п.
0000062291 00000 п.
0000062424 00000 п.
0000062471 00000 п.
0000062613 00000 п.
0000062660 00000 п.
0000062759 00000 п.
0000062806 00000 п.
0000062976 00000 п.
0000063023 00000 п.
0000063124 00000 п.
0000063171 00000 п.
0000063313 00000 п.
0000063360 00000 п.
0000063507 00000 п.
0000063554 00000 п.
0000063680 00000 п.
0000063727 00000 п.
0000063860 00000 п.
0000063907 00000 п.
0000064006 00000 п.
0000064053 00000 п.
0000064198 00000 п.
0000064245 00000 п.
0000064346 00000 п.
0000064393 00000 п.
0000064512 00000 п.
0000064559 00000 п.
0000064672 00000 н.
0000064719 00000 п.
0000064848 00000 н.
0000064895 00000 п.
0000065014 00000 п.
0000065061 00000 п.
0000065178 00000 п.
0000065225 00000 п.
0000065350 00000 п.
0000065397 00000 п.
0000065527 00000 п.
0000065574 00000 п.
0000065696 00000 п.
0000065743 00000 п.
0000065868 00000 п.
0000065915 00000 п.
0000066054 00000 п.
0000066101 00000 п.
0000066222 00000 п.
0000066269 00000 п.
0000066398 00000 п.
0000066445 00000 п.
0000066544 00000 п.
0000066591 00000 п.
0000066765 00000 п.
0000066812 00000 п.
0000066975 00000 п.
0000067022 00000 п.
0000067133 00000 п.
0000067180 00000 п.
0000067317 00000 п.
0000067364 00000 н.
0000067483 00000 п.
0000067530 00000 п.
0000067665 00000 п.
0000067712 00000 п.
0000067838 00000 п.
0000067885 00000 п.
0000068017 00000 п.
0000068064 00000 п.
0000068195 00000 п.
0000068242 00000 п.
0000068341 00000 п.
0000068388 00000 п.
0000068550 00000 п.
0000068597 00000 п.
0000068698 00000 п.
0000068745 00000 п.
0000068869 00000 п.
0000068916 00000 п.
0000069041 00000 п.
0000069088 00000 н.
0000069230 00000 п.
0000069277 00000 п.
0000069408 00000 п.
0000069455 00000 п.
0000069584 00000 п.
0000069631 00000 п.
0000069755 00000 п.
0000069802 00000 п.
0000069918 00000 п.
0000069965 00000 н.
0000070064 00000 п.
0000070111 00000 п.
0000070273 00000 п.
0000070320 00000 п.
0000070423 00000 п.
0000070470 00000 п.
0000070586 00000 п.
0000070633 00000 п.
0000070756 00000 п.
0000070803 00000 п.
0000070922 00000 п.
0000070969 00000 п.
0000071120 00000 п.
0000071167 00000 п.
0000071268 00000 п.
0000071315 00000 п.
0000071433 00000 п.
0000071480 00000 п.
0000071602 00000 п.
0000071649 00000 п.
0000071762 00000 п.
0000071809 00000 п.
0000071929 00000 п.
0000071976 00000 п.
0000072097 00000 п.
0000072144 00000 п.
0000072276 00000 п.
0000072323 00000 п.
0000072433 00000 п.
0000072480 00000 п.
0000072645 00000 п.
0000072692 00000 п.
0000072792 00000 п.
0000072839 00000 п.
0000072953 00000 п.
0000073000 00000 п.
0000073114 00000 п.
0000073161 00000 п.
0000073275 00000 п.
0000073322 00000 п.
0000073436 00000 п.
0000073483 00000 п.
0000073597 00000 п.
0000073644 00000 п.
0000073758 00000 п.
0000073805 00000 п.
0000073919 00000 п.
0000073966 00000 п.
0000074080 00000 п.
0000074127 00000 п.
0000074242 00000 п.
0000074289 00000 п.
0000074404 00000 п.
0000074451 00000 п.
0000074566 00000 п.
0000074613 00000 п.
0000074728 00000 п.
0000074775 00000 п.
0000074890 00000 н.
0000074937 00000 п.
0000075052 00000 п.
0000075099 00000 п.
0000075214 00000 п.
0000075261 00000 п.
0000075376 00000 п.
0000075423 00000 п.
0000075538 00000 п.
0000075585 00000 п.
0000075700 00000 п.
0000075747 00000 п.
0000075862 00000 п.
0000075909 00000 п.
0000076024 00000 п.
0000076071 00000 п.
0000076186 00000 п.
0000076233 00000 п.
0000076348 00000 п.
0000076395 00000 п.
0000076510 00000 п.
0000076557 00000 п.
0000076672 00000 п.
0000076719 00000 п.
0000076834 00000 п.
0000076881 00000 п.
0000076996 00000 п.
0000077043 00000 п.
0000077158 00000 п.
0000077205 00000 п.
0000077320 00000 п.
0000077367 00000 п.
0000077482 00000 п.
0000077529 00000 п.
0000077644 00000 п.
0000077691 00000 п.
0000077806 00000 п.
0000077853 00000 п.
0000077968 00000 п.
0000078015 00000 п.
0000078130 00000 п.
0000078177 00000 п.
0000078292 00000 п.
0000078339 00000 п.
0000078440 00000 п.
0000078487 00000 п.
0000078604 00000 п.
0000078651 00000 п.
0000078771 00000 п.
0000078818 00000 п.
0000078928 00000 п.
0000078975 00000 п.
0000079076 00000 п. C» -RVT @ V1 (訫 PZ] u 촻 3hwgfr? \

Устойчивость Ляпунова — обзор

Уравнение Эйлера: линейная и нелинейная устойчивость / неустойчивость

Мы завершаем эту краткую статью некоторым обсуждением неустойчивостей в невязких уравнениях Эйлера, существование которых, вероятно, будет важным «спусковым крючком» для развития неустойчивостей в вязких потоках с высокими числами Рейнольдса.Как мы уже упоминали, уравнения Эйлера сильно отличаются от уравнений Навье – Стокса по своей математической структуре. Уравнения Эйлера вырождены и неэллиптичны. Таким образом, спектр линеаризованного оператора L E не поддается стандартной спектральной теории эллиптических операторов. Например, в отличие от оператора Навье – Стокса спектр L E не является чисто дискретным даже в ограниченных областях. Чтобы определить L E , мы рассматриваем установившийся поток Эйлера U0x, P0x, где

[12a] U0⋅∇U0 = −∇P0

[12b] ∇⋅U0 = 0

Мы предполагаем, что U0∈C ∞.Для уравнений Эйлера подходящие граничные условия включают нулевую нормальную составляющую U0 на жесткой границе или условия периодичности (т. Е. Поток на торе) или подходящий распад на бесконечности в неограниченной области. Теоремы, которые мы будем описывать, доказаны в основном в случаях второго и третьего условий, указанных выше. Существует много классов векторных полей U0x в двух и трех измерениях, которые удовлетворяют [12a] и [12b]. Запишем [4a] и [4b] в форме возмущения как

[13] qx, t = U0x + ux, t

с

[14a] ∂u∂t = LEu + Nu, u

[14b] ∇⋅u = 0

Здесь

[15] LEu≡− (U0⋅∇) u− (u⋅∇) U0 − ∇P1

[16] Nu, u≡− (u⋅∇) u − ∇ P2

Линейная (спектральная) неустойчивость установившегося потока Эйлера U0x касается структуры спектра L E .Предполагая U0∈C∞Tn, линейное уравнение

[17] ∂u∂t = LEu, ∇⋅u = 0

определяет сильно непрерывную группу в каждом пространстве Соболева Ws, p с образующей L E . Обозначим эту группу через expLEt. Для вопроса о спектральной неустойчивости уравнения Эйлера оказывается полезным изучить не только спектр L E , но и спектр оператора эволюции expLEt. Это позволяет разработать явную формулу для скорости роста малого возмущения, обусловленного существенным (или непрерывным) спектром.Вишик (1996) доказал, что величина Λ , называемая «жидким показателем Ляпунова», дает максимальную скорость роста существенного спектра expLEt. Эта величина получается путем вычисления экспоненциальной скорости роста определенного вектора, который удовлетворяет конкретной системе ОДУ по траекториям потока U0x. Это оказывается эффективным механизмом обнаружения нестабильностей в основном спектре, возникающих из-за высокочастотных возмущений. Например, по этой причине любой поток U0x с гиперболической фиксированной точкой линейно нестабилен с ростом в смысле L 2 -нормы.В двух измерениях Λ равно максимальному классическому показателю Ляпунова (т.е. экспоненциальному росту касательного вектора над ОДУ x. = U0 (x)). В трехмерном случае из существования ненулевого классического показателя Ляпунова следует, что Λ> 0. Однако в трех измерениях есть также примеры, когда классический показатель Ляпунова равен нулю, но при этом Λ> 0. Отметим, что деликатный вопрос нестабильного существенного спектра сильно зависит от функционального пространства для возмущений и что Λ для данного U 0 будет изменяться вместе с этим функциональным пространством.Более подробную информацию и примеры нестабильностей в существенном спектре можно найти в ссылках в библиографии.

В отличие от нестабильностей в основном спектре, существование дискретных нестабильных собственных значений не зависит от нормы, в которой измеряется рост. С этой точки зрения такие нестабильности можно считать «сильными». Однако для большинства потоков U0x нам неизвестно о существовании таких нестабильных собственных значений. Насколько нам известно, для полностью трехмерных потоков нет примеров, где было бы доказано существование таких нестабильных собственных значений для потоков со стандартными метриками.В литературе наибольшее внимание уделяется «относительно простому» случаю плоскопараллельного сдвигового потока. Проблема собственных значений регулируется уравнением Рэлея (которое является невязкой версией уравнения Орра – Зоммерфельда [11]):

[18] (U − iλk) [d2dz2 − k2] ϕ − U ″ ϕ = 0ϕ = 0atz = ± 1

Знаменитый критерий устойчивости Рэлея гласит, что достаточным условием для того, чтобы собственные значения λ были чисто мнимыми, является отсутствие точки перегиба в профиле сдвига Uz.Обратное доказать труднее; однако недавно было получено несколько результатов, которые показывают, что осциллирующие профили действительно создают нестабильные собственные значения. Например, если Uz = sinmz, доказательство непрерывной дроби Мешалкина и Синая может быть адаптировано для отображения полного нестабильного спектра для [18]. Отметим, что «жидкий показатель Ляпунова» Λ равен нулю для всех сдвиговых течений; таким образом, единственный способ, которым нестабильный спектр может быть непустым для сдвиговых потоков, — это использование дискретных нестабильных собственных значений.

Как мы уже обсуждали, можно показать, что многие классы устойчивых потоков Эйлера являются линейно неустойчивыми либо из-за непустого неустойчивого существенного спектра (т.е., случаи, когда Λ> 0) или из-за нестабильных собственных значений, или, возможно, по обеим причинам. Естественно спросить, что это означает об устойчивости / неустойчивости полных нелинейных уравнений Эйлера [14] — [16]. Проблема нелинейной устойчивости является сложной, и существует несколько естественных точных определений нелинейной устойчивости и ее обратной неустойчивости.

Одно определение состоит в рассмотрении нелинейной устойчивости в энергетической норме L 2 и норме энстрофии H 1 , которые являются естественными функциональными пространствами для измерения роста возмущений, но не являются «правильными» пространствами для Эйлера. уравнения в терминах доказанных свойств существования и единственности решений нелинейного уравнения.Под это определение попадает наиболее часто используемый метод доказательства нелинейной устойчивости, элегантный метод, разработанный Арнольдом (см. Арнольд и Хесин (1998) и ссылки в нем). Это основано на существовании так называемых энергоказимиров. Завихренность q переносится движением жидкости, так что в момент времени t она получается из завихренности в момент времени t = 0 посредством сохраняющего объем диффеоморфизма. В терминологии Арнольда поля скорости, полученные таким образом в любые два момента времени, называются изовихревыми.Для данного поля U0x класс изовихревых полей представляет собой бесконечномерное многообразие M , которое является орбитой группы сохраняющих объем диффеоморфизмов в пространстве бездивергентных векторных полей. Установившиеся потоки — это в точности критические точки функционала энергии E , ограниченного M . Если критическая точка является строгим локальным максимумом или минимумом E , то стационарный поток нелинейно устойчив в пространстве J 1 бездивергентных векторов ux, t (удовлетворяющих граничным условиям), имеющих конечную норму ,

[19] ‖u‖J1≡‖u‖L2 + ‖curlu‖L2

Эту теорию можно применить, например, чтобы показать, что любое сдвиговое течение без точек перегиба в профиле Uz нелинейно неустойчиво в функции space J 1 , то есть классический критерий Рэлея предполагает не только спектральную стабильность, но и нелинейную устойчивость.

Отметим, что метод устойчивости Арнольда не может быть применен к уравнениям Эйлера в трех измерениях, потому что второе изменение энергии, определенное в касательном пространстве к M , никогда не определено в критической точке U0x. Этот результат наводит на размышления, но не доказывает, что большинство потоков Эйлера в трех измерениях нелинейно неустойчивы в смысле Арнольда. По словам Арнольда, в контексте уравнений Эйлера «кажется, что существует бесконечно большое количество нестабильных конфигураций.”

В последние годы был получен ряд результатов, касающихся нелинейной неустойчивости для уравнения Эйлера. Большинство этих результатов доказывают нелинейную неустойчивость при определенных предположениях о структуре спектра линеаризованного оператора Эйлера. На сегодняшний день ни один из подходов не доказывает окончательный результат, который в общем случае линейной неустойчивости влечет за собой нелинейную неустойчивость. Как мы уже отмечали, для Эйлера это гораздо более деликатный вопрос, чем для Навье – Стокса из-за существования для общего потока Эйлера непустого существенного неустойчивого спектра.Чтобы дать представление о математической трактовке нелинейной неустойчивости для уравнений Эйлера, мы представляем один недавний результат и отсылаем заинтересованного читателя к статьям, перечисленным в разделе «Дополнительная литература» для получения дальнейших результатов и обсуждения.

В контексте двумерных уравнений Эйлера мы принимаем следующее определение устойчивости по Ляпунову.

Определение 4

Равновесное решение U0x называется устойчивым по Ляпунову, если для каждого ɛ > 0 существует δ > 0, так что для любого бездивергентного вектора ux, 0∈W1 + s, p, s> 2 / p, такое, что ‖u (x, 0) ‖L2 <δ, единственное решение ux, t задачи [14] - [16] удовлетворяет

‖u (x, t) ‖L2 <ɛfort∈ [0, ∞ )

Заметим, что мы требуем, чтобы начальное значение ux, 0 находилось в пространстве Соболева W1 + s, p, s> p / 2, поскольку известно, что двумерные уравнения Эйлера глобально во времени хорошо помещаются в этой функции космос.

Определение 5

Любой установившийся поток U0x, для которого нарушаются условия определения 4, называется нелинейно нестабильным в L 2 .

Обратите внимание, что открытые проблемы (в трех измерениях) неединственности или отсутствия решений для [14] — [16], согласно определению 5, будут сценариями нестабильности.

Теорема 6

(Нелинейная неустойчивость для двумерных потоков Эйлера). Пусть U0x∈C∞T2 удовлетворяет [12]. Пусть Λ — максимальный показатель Ляпунова в ОДУ x. = U0 (x). Предположим, что существует собственное значение λ в спектре L 2 линейного оператора L E , задаваемого формулой [15] с Re λ > Λ . Тогда в смысле определения 5 U0x является неустойчивым по Ляпунову относительно роста L 2 нормы .

Доказательство этого результата дано в Vishik and Friedlander (2003) и использует так называемый аргумент «бутстрапа», происхождение которого можно найти в ссылках в этой статье.Заметим, что приведенный результат дает нелинейную неустойчивость по отношению к росту энергии возмущения, которая кажется физически разумной мерой неустойчивости.

Чтобы применить теорему 6 к конкретному двумерному потоку, необходимо знать, что линейный оператор L E имеет собственное значение с Re λ > Λ . Как мы уже говорили, такие знания отсутствуют для общего потока U0x. И снова обратимся к сдвиговым потокам.Как мы отметили Λ = 0 для сдвиговых течений, любой профиль сдвига, для которого было доказано существование неустойчивых собственных значений, представляет собой пример нелинейной неустойчивости по отношению к росту энергии.

В заключение мы отмечаем соблазн предположить, что, учитывая сложность потоков в трех измерениях, большинство, если не все, такие невязкие потоки нелинейно нестабильны. Из концепции жидкого показателя Ляпунова ясно, что растяжение в потоке связано с неустойчивостью, и существует больше механизмов растяжения в трех измерениях, а не в двух.Однако на сегодняшний день практически нет математических результатов для задачи нелинейной устойчивости для полностью трехмерных течений, и многие сложные вопросы остаются полностью открытыми.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.