Область определения функции y 3 x 1 3: найти область определения функции у=3(х-1) в минус 3 степени

Содержание

Как найти область определения функции?

Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно углубить знания данной статьей. Будут рассмотрены  различные сложнейшие комбинации функций вида y=x+x-2 или y=5·x2+1·x3, y=xx-5 или y=x-15-3. Рассмотрим теорию  и решим несколько примеров с подобными заданиями.

Что значит найти область определения

После того, как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y=f(x) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Ограничение области определения

Область определения рассматривается еще в школьной курсе. у действительных чисел она может быть (0, +∞) или такой [−3, 1)∪[5, 7). Еще по виду функции можно визуально определить ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

Определение 1

  • при имеющемся знаменателе необходимо производить деление такого типа функции как y=x+2·xx4-1;
  • при наличии переменной под знаком корня необходимо обращать внимание на корень четной степени типа y=x+1 или y=23·x+3x;
  • при наличии переменной в основании степени с отрицательным или нецелым показателем такого типа, как y=5·(x+1)-3, y=-1+x113, y=(x3-x+1)2, которые определены не для всех чисел;
  • при наличии переменной под знаком логарифма или в основании вида y=lnx2+x4 или y=1+logx-1(x+1) причем основание является числом положительным, как и число под знаком логарифма;
  • при наличии переменной, находящейся под знаком тангенса и котангенса вида y=x3+tg2·x+5 или y=ctg(3·x3-1), так как они существуют не для любого числа;
  • при наличии переменной, расположенной под знаком арксинуса или арккосинуса вида y=arcsin(x+2)+2·x2, y=arccosx-1+x, область определения которых определяется ни интервале от -1 до 1.

При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом. Рассмотрим пример функции вида y=x4+2·x2-x+12+223·x. Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

Правила нахождения области определения

Для примера рассмотрим функцию типа y=2·x+1. Для вычисления ее значения можем определить x. Из выражения 2·x+1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.

Если задана функция типа y=3x-1, а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3x-1знаменатель равняется нулю при х=1, поэтому искомая область определения данной функции примет вид (−∞, 1)∪(1, +∞) и считается числовым множеством.

На рассмотрении примера y=x2-5·x+6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x2−5·x+6≥0. После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как (−∞, 2]∪[3, +∞).

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно, чтобы имело место следующее утверждение:

Когда функция ff считается суммой n функций f1, f2, …, fn, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y=f1(x)+f2(x)+…+fn(x), тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций  f1, f2, …, fn. Данное утверждение можно записать как:

D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом для понимания перечисления числовых множеств.

Пример 1

Найти область определения функции вида y=x7+x+5+tgx.

Решение

Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем 7,степенной с показателем 1, постоянной, функции тангенса.

По таблице определения видим, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞), D(f3)=(−∞, +∞), причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме π2+π·k, k∈Z.

Областью определения заданной функции f является пересечение областей определения f1, f2, f3 и f4. То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит π2+π·k, k∈Z.

Ответ: все действительные числа кроме π2+π·k, k∈Z.

Для нахождения области определения произведения функций необходимо применять правило:

Определение 2

Когда функция f считается произведением n функций f1, f2, f3 и fn, тогда существует такая функция f, которую можно задать при помощи формулы y=f1(x)·f2(x)·…·fn(x), тогда ее область определения считается областью определения для всех функций.

Запишется D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)

Пример 2

Найти область определения функции y=3·arctg x·ln x.

Решение

Правая часть формулы рассматривается как f1(x)·f2(x)·f3(x), где за f1является постоянной функцией, f2является арктангенсом, f3– логарифмической функцией с основанием e. По условию имеем, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞) и  D(f3)=(0, +∞). Мы получаем, что

D(f)=D(f1)D(f2)D(fn)=(-∞, +∞)(-∞, +∞)D(0, +∞)=(0, +∞)

Ответ: область определения y=3·arctg x·ln x – множество всех действительных чисел.

Необходимо остановиться на нахождении области определения y=C·f(x), где С является действительным числом.  Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими. 

Функция y=C·f(x)– произведение постоянной функции и f. Область определения – это все действительные числа области определения D(f). Отсюда видим, что область определения функции y=C·f(x)является -∞, +∞D(f)=D(f).

Получили, что область определения y=f(x) и y=C·f(x), где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y=x считается [0, +∞), потому как область определения функции y=-5·x — [0, +∞).

Области определения y=f(x) и y=−f(x)совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

Пример 3

Найти область определения  функции y=log3x−3·2x.

Решение

Необходимо рассмотреть как разность двух функций f1 и f2.

f1(x)=log3x и f2(x)=3·2x. Тогда получим, что D(f)=D(f1)D(f2).

Область определения записывается как D(f1)=(0, +∞). Приступим к области определения f2 . в данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что D(f2)=(−∞, +∞).

Для нахождения области определения функции y=log3x−3·2x получим, что

D(f)=D(f1)D(f2)=(0, +∞)-∞, +∞

Ответ: (0, +∞).

Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 является множество действительных чисел.

Рассмотрим y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, где  в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n+1)-ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R.

Пример 4

Найти область определения f1(x)=x5+7×3-2×2+12.

Решение

Примем обозначение f за разность двух функций, тогда получим, что f1(x)=x5+7×3-2×2+12 и f2(x)=3·x-ln 5. Выше  было показано, что D(f1)=R. Область определения для f2 является совпадающей со степенной при показателе –ln5, иначе говоря, что D(f2)=(0, +∞).

Получаем, что D(f)=D(f1)D(f2)=-∞, +∞(0, +∞)=(0, +∞).

Ответ: (0, +∞).

Область определения сложной функции

Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида  y=f1(f2(x)). Известно, что D(f)является множеством всех x из определения функции f2, где область определения f2(x) принадлежит области определения f1.

Видно, что область определения сложной функции вида y=f1(f2(x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). В стандартном обозначении это примет вид

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Пример 5

Найти область определения y=ln x2.

Решение

Данную функцию представляем в виде y=f1(f2(x)), где имеем, что f1 является логарифмом с основанием e, а f2 – степенная функция с показателем 2.

Для решения необходимо использовать известные области определения D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞).

Тогда получим систему неравенств вида

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-∞, +∞x2∈(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, +∞)x2>0⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)

Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.

Ответ: (−∞, 0)∪(0, +∞).

Пример 6

Найти область определения функции y=(arcsin x)-12.

Решение

Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как y=f1(f2(x)), где f1 является степенной функцией с показателем -12, а f2 функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=[−1, 1].  Теперь найдем все множества значений x, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). Получаем систему неравенств вида

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-1, 1arcsin x∈(0, +∞)⇔⇔x∈-1, 1arcsin x>0

Для решения arcsin x>0 необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения [−1, 1], причем обращается в ноль при х=0, значит, что arcsin x>0 из определения x принадлежит промежутку (0, 1].

Преобразуем систему вида

x∈-1, 1arcsin x>0⇔x∈-1, 1x∈(0, 1]⇔x∈(0, 1]

Область определения искомой функции имеет интервал равный (0, 1].

Ответ: (0, 1].

Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y=f1(f2(…fn(x)))). Область определения такой функции ищется из x∈D(fn)fn(x)∈D(fn-1)fn-1(fn(x))∈D(fn-2)…f2(f3(…(fn(x)))∈D(f1).

Пример 7

Найти область определения y=sin(lg x4).

Решение

Заданная функция может быть расписана, как y=f1(f2(f3(x))), где имеем f1 – функция синуса, f2 – функция с корнем 4 степени, f3– логарифмическая функция.

Имеем, что по условию D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=[0, +∞), D(f3)=(0, +∞). Тогда областью определения  функции – это пересечение множеств таких значений, где x∈D(f3), f3(x)∈D(f2), f2(f3(x))∈D(f1). Получаем, что

x∈D(f3)f3(x)∈D(f2)f2(f3(x))∈D(f1)⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞

Условие lg x4∈-∞, +∞ аналогично условию lg x∈[0, +∞), значит

x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔x∈(0, +∞)lg x≥0⇔⇔x∈(0, +∞)lg x≥lg 1⇔x∈(0, +∞)x≥1⇔⇔x∈[1, +∞)

Ответ: [1, +∞).

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

Рассмотрим функцию вида f1(x)f2(x). Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f2(х) не должна обращаться  в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Запишем функцию y=f1(x)f2(x) в виде y=f1(x)·(f2(x))-1. Тогда получим произведение функций вида y=f1(x) с y=(f2(x))-1. Областью определения функции y=f1(x) является множество D(f1), а для сложной y=(f2(x))-1 определим из системы вида x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f2)f2(x)≠0.

Значит, x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 8

Найти область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6.

Решение

Заданная функция дробная, поэтому f1 – сложная функция, где y=tg(2·x+1) и f2 – целая рациональная функция, где y=x2−x−6, а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде

x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0

Представление сложной функции y=f3(f4(x)), где f3–это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме π2+π·k, k∈Z, а f4– это целая рациональная функция y=2·x+1 с областью определения D(f4)=(−∞, +∞). После чего приступаем к нахождению области определения f1:

x∈D(f4)2·x+1∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)2x+1≠π2+π·k, k∈Z⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Z

Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6. Тогда получаем, что

x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx∈-∞, +∞x2-x-6≠0⇔⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx≠-2x≠3

Ответ: множество действительных чисел, кроме -2, 3 и π4-12+π2·k, k∈Z.

Область определения логарифма с переменной в основании

Определение 3

Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1. Отсюда видно, что функция y=logf2(x)f1(x) имеет область определения, которая выглядит так:

x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1. После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y=logaf1(x) и y=logaf2(x) можно определить из получившейся системы вида x∈D(f1)f1(x)>0 и x∈D(f2)f2(x)>0. Иначе эту область можно записать в виде y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1, что означает нахождение y=logf2(x)f1(x) из самой системы вида

x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0logaf2(x)≠0=x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

Пример 9

Обозначить область определения функции y=log2·x(x2-6x+5).

Решение

Следует принять обозначения f1(x)=x2−6·x+5 и f2(x)=2·x, отсюда D(f1)=(−∞, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞). Необходимо приступить к поиску множества x, где  выполняется условие x∈D(f1), f1(x)>0, x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1. Тогда получаем систему вида

x∈(-∞, +∞)x2-6x+5>0x∈(-∞, +∞)2·x>02·x≠1⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 1)∪(5, +∞)x∈(-∞, +∞)x>0x≠12⇔⇔x∈0, 12∪12, 1∪(5, +∞)

Отсюда видим, что искомой областью функции y=log2·x(x2-6x+5) считается множнство, удовлетворяющее условию 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).

Ответ: 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).

Область определения показательно-степенной функции

Показательно-степенная функция задается формулой вида y=(f1(x))f2(x).  Ее область определения  включает в себя такие значения x, которые удовлетворяют системе x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y=aloga(f1(x))f2(x)=af2(x)·logaf1(x), где где a>0, a≠1.

Пример 10

Найти область определения показательно-степенной функции y=(x2-1)x3-9·x.

Решение

Примем за обозначение f1(x)=x2−1 и f2(x)=x3-9·x.

Функция f1определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида D(f1)=(−∞, +∞). Функция f2является сложной, поэтому ее представление примет вид y=f3(f4(x)), а f3 – квадратным корнем с областью определения  D(f3)=[0, +∞), а функция f4 – целой рациональной,D(f4)=(−∞, +∞). Получаем систему вида

x∈D(f4)f4(x)∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)x3-9·x≥0⇔⇔x∈(-∞, +∞)x∈-3, 0∪[3, +∞)⇔x∈-3, 0∪[3, +∞)

Значит, область определения для функции  f2имеет вид D(f2)=[−3, 0]∪[3, +∞). После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

Получаем систему вида x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x2-1>0⇔x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x∈(-∞, -1)∪(1, +∞)⇔⇔x∈-3, -1∪[3, +∞)

Ответ: [−3, −1)∪[3, +∞)

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.Ф

Функция Ее область определения

Сумма, разность, произведение функций

f1, f2,…, fn

Пересечение множеств

D(f1), D(f2), …, D(fn)

Сложная функция

y=f1(f2(f3(…fn(x))))

 

 

 

В частности, 

y=f1(f2(x))

Множество всех x, одновременно удовлетворяющих условиям

x∈D(fn),fn(x)∈D(fn-1),fn-1(fn(x))∈D(fn-2),… ,f2(f3(…fn(x)))∈D(f1)

 

x∈D(f2),f2(x)∈D(f1)

Расположим функции и их области определения.

Функция Ее область определения

Прямая пропорциональность y=k·x

R
Линейная y=k·x+b R

Обратная пропорциональность  y=kx

-∞, 0∪0, +∞
Квадратичная y=a·x2+b·x+c R
y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 R
Целая рациональная R
y=C·f(x), где C — число D(f)

Дробная y=f1(x)f2(x)

 

 

В частности, если f1(x), f2(x) — многочлены

Множество всех x, которые одновременно удовлетворяют условиям
x∈D(f1), x∈D(f2), f2(x)≠0

 

f2(x)≠0

y=f(x)n, где n — четное x∈D(f1), f(x)≥0

y=logf2(x)f1(x)

 

 

В частности, y=logaf1(x)

 

В частности, y=logf2(x)a

x∈D(f1), f1(x)>0,x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1

 

x∈D(f1), f1(x)>0

 

x∈D(f2), f2>0, f2(x)≠1

Показательно-степенная y=(f1(x))f2(x) x∈D(f1), x∈D(f2), f1(x)>0

Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. {3} + 2 x\right) — 6\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = — \frac{1}{3} \sqrt[3]{3 \sqrt{705} + 81} — \frac{2}{\sqrt[3]{3 \sqrt{705} + 81}}$$
Зн. экстремумы в точках:

                                                                                                3                                               
                                                   /                           ________________\                               ________________ 
                                                   |                        3 /          _____ |                            3 /          _____  
                                                   |           2            \/  81 + 3*\/ 705  |             4            2*\/  81 + 3*\/ 705   
                                              -3 + |- ------------------- - -------------------|  - ------------------- - --------------------- 
                            ________________       |     ________________            3         |       ________________             3           
                         3 /          _____        |  3 /          _____                       |    3 /          _____                          
            2            \/  81 + 3*\/ 705         \  \/  81 + 3*\/ 705                        /    \/  81 + 3*\/ 705                           
(- ------------------- - -------------------, -------------------------------------------------------------------------------------------------)
      ________________            3                                                                                  2                          
   3 /          _____                                                   /                           ________________\                           
   \/  81 + 3*\/ 705                                                    |                        3 /          _____ |                           
                                                                        |           2            \/  81 + 3*\/ 705  |                           
                                                                        |- ------------------- - -------------------|                           
                                                                        |     ________________            3         |                           
                                                                        |  3 /          _____                       |                           
                                                                        \  \/  81 + 3*\/ 705                        /                           

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = — \frac{1}{3} \sqrt[3]{3 \sqrt{705} + 81} — \frac{2}{\sqrt[3]{3 \sqrt{705} + 81}}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -(3*sqrt(705) + 81)**(1/3)/3 - 2/(3*sqrt(705) + 81)**(1/3)]

Возрастает на промежутках

[-(3*sqrt(705) + 81)**(1/3)/3 - 2/(3*sqrt(705) + 81)**(1/3), oo)

Область определения и множество значений

$f(x)=
\begin{cases}
1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x>0\\
0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x=0\\
-1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x

$f(x)=f_1 \cup f_2 \cup f_3=
\begin{cases}
f_1 = \lbrace (x,y) | x \in \mathbb{R^+} \,\,,\,\, y=1 \rbrace \\
f_2 = \lbrace (0,0) \rbrace \\
f_3 = \lbrace (x,y) | x \in \mathbb{R^-} \,\,,\,\, y=-1 \rbrace
\end{cases}$

функция и обозначается как $\textit{Sgn(x)}$. 2-x}}$

Определение:
Пол — функция, которая определяет действительное число относительно предыдущего целого. Точнее, $\lfloor x \rfloor$ определяет наибольшее целое не большее $x$.
График функции пол

Определение:
Дробная часть, обозначаемая $\lbrace x \rbrace$ for real $x$, задается формулой

$\lbrace x \rbrace = x — \lfloor x \rfloor$

Очевидно, что

$ 0 \leq \lbrace x \rbrace
Свойства:
1) $ \lfloor x \rfloor = max \lbrace a \in \mathbb{Z} | a \leq x \rbrace$

2) $ \lfloor x \rfloor \leq x \leq \lfloor x \rfloor +1$

3) $x-1 \leq \lfloor x \rfloor \leq x$

4) $\lfloor x-\lfloor x \rfloor \rfloor =0$

5) $\lfloor x+a \rfloor = \lfloor x \rfloor +a \,\,\,\, a \in \mathbb{Z}$

6) $ \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x+y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor +1$

7) $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor=$
$\begin{cases}
0 \,\,\,\,\,\, x \in \mathbb{Z} \\
-1 \,\,\,\, x \in \mathbb{R}-\mathbb{Z}
\end{cases}$

8)$\lfloor \lfloor x \rfloor \rfloor=\lfloor x \rfloor$

9) $\lfloor \dfrac{x+m}{n} \rfloor= \lfloor \dfrac{\lfloor x \rfloor+m}{n} \rfloor \,\,\,\, m,n \in \mathbb{Z} \,\,,\,\, n>0 $

10)$\lfloor n \rfloor =\lfloor \dfrac{n}{m} \rfloor + \lfloor \dfrac{n+1}{m} \rfloor \cdots + \lfloor \dfrac{n+m-1}{m} \rfloor \,\,\,\, m,n \in \mathbb{Z} \,\,,\,\, m>0$

11) $\lfloor mx \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor x+\dfrac{1}{m} \rfloor + \cdots + \lfloor x+\dfrac{m-1}{m} \rfloor \,\,\,\, m \in \mathbb{Z} \,\,,\,\, m>0$

12) $ \lfloor \dfrac{\lfloor \dfrac{x}{m} \rfloor}{n} \rfloor = \lfloor \dfrac{x}{mn} \rfloor \,\,\,\, m,n \in \mathbb{N}$

Для нахождения области определения и множества значений функции пол стоит использовать приведенные свойства.

Пример:
Найти область определения и множество значений $f(x)=\dfrac{x-\lfloor x-\lfloor x \rfloor \rfloor}{x+\lfloor x \rfloor+\lfloor -x \rfloor}$.

Решение:
Согласно свойствам

$\lfloor x-\lfloor x \rfloor \rfloor =0$

и

$ \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor =
\begin{cases}
0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x \in \mathbb{Z} \\ \\
-1 \,\,\,\,\,\,\, x \in \mathbb{R}-\mathbb{Z}
\end{cases}$

So

$y=
\begin{cases}
\dfrac{x}{x}=1 \,\,\,\, x \in \mathbb{Z} — \lbrace 0 \rbrace
\\
\\
\dfrac{x}{x-1} \,\,\,\,\, x \in \mathbb{R}-\mathbb{Z}
\end{cases}$

Следовательно

$D_f=\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace$

Также для множества значений

$x \in \mathbb{R}-\mathbb{Z}: y=\dfrac{x}{x-1} \rightarrow x =\dfrac{y}{y-1} \in \mathbb{R} — \mathbb{Z} \rightarrow y =\neq 1$

$R_f=\mathbb{R}- \lbrace \dfrac{k}{k-1} | k \in \mathbb{Z}- \lbrace 1 \rbrace \rbrace $

Пример:
Найти область определения и множество значений $f(x)=\dfrac{\lfloor x+1 \rfloor+\lfloor -x \rfloor}{\lfloor 1-x \rfloor+\lfloor x \rfloor}$

Решение:

$f(x)=\dfrac{\lfloor x+1 \rfloor+\lfloor -x \rfloor}{\lfloor 1-x \rfloor+\lfloor x \rfloor}=\dfrac{\lfloor x \rfloor+\lfloor -x \rfloor+1}{\lfloor -x \rfloor+\lfloor x \rfloor+1}=
\begin{cases}
1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x \in \mathbb{Z}
\\
Undefined \,\,\,\,\,\,\,\, x \in \mathbb{R}-\mathbb{Z}
\end{cases}$

Следовательно

$D_f=\mathbb{Z} \,\,\,\,,\,\,\,\, R_f=\lbrace 1 \rbrace$

Графиком $f$ является

Упражнения

Найти область определения и множество значений. {\lfloor x-5 \rfloor+\lfloor 5-x \rfloor} $

Часть 2

Электронная почта:
© 2005 — 2021
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.

Тема 7. Функции — Материалы для подготовки к вступительным экзаменам в СГГА

Тема 7. Функции

1. Понятие функции

    Функция y=f(x) – соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется единственное число y из множества E.

    x– аргумент функции, y – значение функции; D или D(f) – область определения функции; это совокупность всех значений x, для которых можно вычислить значение функции. E или E(f) – область значений функции; это совокупность всех значений, которые может принимать выражение f(x).

    График функции y=f(x) – множество точек (x,y) на координатной плоскости, где x принимает все возможные значения из D(f), а y=f(x).

    Четная функция: f(-x)=f(x) для всех ;    Нечетная функция: f(-x)=-f(x) для всех ;

    График четной функции симметричен относительно оси OY. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

        Периодическая функция с периодом T>0: f(x+T)=f(x) для всех .

    Нули функции – значения x такие, что f(x)=0. Интервалы знакопостоянства – множества значений аргумента, при которых значения функции только положительны или только отрицательны.

    На рисунке изображена функция с областью определения [a, e]. Нули функции: x=b, x=c, x=d; интервалы знакопостоянства: y>0  при ; y.        Функция возрастает на множестве X, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть для любых , если x12, то f(x1)2). Функция убывает на множестве X, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Т.е. для любых , если x12, то  f(x1)>f(x2).            

3. Некоторые алгебраические функции

    а) линейная .    График функции – прямая линия, проходящая через точки (0, b) и .

    Функция возрастает при a>0, убывает при a<0.

    Частные случаи: y=b – прямая, параллельная оси OX;

    y=ax – прямая, проходящая через начало координат.

    б) квадратичная .    График функции – парабола. Ветви параболы направлены вверх при a>0, вниз при a.

    Точки пересечения с осями координат:

    с осью OX  – (x1, 0) и (x2, 0),

    где , D=b2-4ac – корни квадратного трехчлена;

    с осью OY – (0, c).

Пример 1. График какой функции является возрастающим:

    а) ; б) у = х3 – 27; в) y=2-x?

    Решение:

        Рассмотрим каждую из функций в отдельности:

        а)  – степенная функция. Область определения этой функции: . На всей области определения функция монотонна.

        Возьмём два значения х1 = 1 и х2 = 4. Им соответствует у1 = – 1, у2 = – 2. Видим, что если х1 < x2 , то у1 > у2.         Функция убывающая.

        б) у = х3 – 27 – алгебраическая функция. Область определения – множество всех действительных чисел. На всей области определения функция монотонна. Возьмём два значения х1 = 3, х2 = 4. Им соответствует у1 = 0, у2 = 37.

        Видим, что если х1 < x2 , то и у1 < у2. Функция возрастающая.

        в) y=2-x – показательная функция. Областью определения является множество всех действительных чисел. На всей области определения функция монотонна. Пусть х1 = 0, х2 = 1. Им соответствуют у1 = 1, у2 = 0,5.

        Видим, что если х1 < x2 , то у1 > у2. Функция убывающая.

    Ответ: б) у = х3 – 27.

Пример 2. Парабола у = 2х2 – (а – 3)х + а + 3 проходит через начало координат. Найдите абсциссу вершины параболы.

    Решение:

        Найдём значение параметра а. Т.к. парабола проходит через начало системы координат, то координаты точки (0; 0) являются корнями уравнения параболы:  0 = 2 ∙ 02 – (а – 3) ∙ 0 + а + 3;  а = – 3. 

        Уравнение параболы примет вид: у = 2х2 + 6х.

        Абсцисса вершины параболы находится по формуле: . Получаем .

    Ответ: – 1, 5.

Пример 3. В каких точках график функции f(x) = x2 – 3 пересекает прямую у(х) = х – 1?

    Решение:

        Ответом на данный вопрос является решение системы

        х2 – 3 = х – 1;  х2 – х – 2 = 0;  х1= – 1, или х2 = 2. 

        Соответственно, у1 = – 2, у2 = 1.

    Ответ: (– 1; – 2), (2; 1).

Пример 4. При каких значениях k прямые – kх + 7у = – 13 и 14у – 3х + 5 = 0 параллельны?

    Решение:

        Две различные прямые у = k1х + b1 и у = k2х + b2 параллельны, если k1 = k2, но при этом b1 ≠ b2.

        В обоих уравнениях выразим у через х.

        . Следовательно, . При этом .

    Ответ: при k = – 1,5.

Пример 5. Найти точки пересечения прямой у = 5 + х с осями координат.

    Решение:

        Когда график функции пресекает ось ОХ, значение у = 0.

        Получаем уравнение 5 + х = 0, х = – 5. 

        Когда график функции пересекает ось OY, значение х = 0, т.е. у = 5.

    Ответ: (– 5; 0), (0; 5).

Пример 6. Найти нули функции у = (х + 1)∙(х – 2).

    Решение:

        Решаем уравнение (х + 1)∙(х – 2) = 0.

        х + 1 = 0 или х – 2 = 0; х1 = – 1, х2 = 2.

    Ответ: (– 1; 0), (2; 0).

Пример 7. Найти область значений функции .

    Решение:

        Оцениваем последовательно:

       .    Ответ: .

Пример 8. Найдите сумму целых значений функции у = 3 – 2 sin x.

    Решение:

        Оценим значение 3 – 2 sin x.

        .

        Сумма целых чисел: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

    Ответ: 15.

Пример 12. Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной в точке А(0; 2), проходящая через точку В(2; – 6). Задайте эту функцию формулой.

    Решение:

        Уравнение квадратичной функции у = ах2 + bх + с.

        1) точка А является вершиной параболы, следовательно .

            Уравнение примет вид: у = ах2 + с.

        2) точка А принадлежит графику, следовательно её координаты удовлетворяют уравнению, т.е. 2 = а ∙ 0 + с; с = 2. 

            Уравнение примет вид: у = ах2 + 2.

        3) график проходит через точку В. Её координаты также удовлетворяют уравнению: – 6 = а ∙ 22 + 2, – 8 = 4 ∙ а,          а = – 2.

        Получили уравнение у = – 2х2 + 2.

    Ответ: у = – 2х2 + 2.

Пример 13. Найдите g (x) , если f (x) = 2x – 3, g (f (x)) = x. Вычислите g (1).

    Решение:

        Так как нужно вычислить g (1), то это значит, что нужно найти x такое, что f (x) = 1.

        2x – 3 = 1, х = 2.

        Следовательно, g (f (x)) = 2, т.е. g (1) = 2.

    Ответ: g (1) = 2.

Пример 14. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения кривых y=52x, y=53x-1 и через точку параболы y=(2x-1)2, в которой производная функции, задающей параболу, равна 8.

    Решение:

        1) найдём точку пересечения кривых:

          

        2) найдём точку параболы, в которой производная равна 8:  

                 3) прямая проходит через две точки (1; 25) и (1,5; 4). Согласно уравнению прямой, проходящей через две точки, имеем: 

        – 21х + 21 = 0,5у – 12,5;  – 42х + 42 = у – 25;  у = – 42х + 47.

    Ответ: у = – 42х + 47.

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

    1) Вычислите значение функции  в точке х0 = 1.     2) Найдите значение функции  при х = 4.    3) Для функции  вычислите f(-1)-f(1).    4) Найдите g(f(x)), если  Вычислите g(f(2)).

Укажите длину интервала области определения для функций: 

    24) .

    25) y=log4(5x+6-x2)  

    26) y=log6(x2+3).

Укажите области значения функций:

    27) y=-3sinx.

    28) y=0,7cos3x.

    29) .

Решите задачи:

    30) Сколько натуральных значений может принять функция y=log2(4-x2) на всей области определения?

    31) Найдите сумму целых значений функции y=3cosx-5.

    32) Укажите функцию, областью значений которой является множество .    .

    33) Укажите график функции, возрастающей на отрезке [-3; 2]. 

    

    34) Укажите функцию, которая возрастает на всей области определения.

    1) y=-x0,5; 2) y=1-e-x; 3) y=ctg2x; 4) y=|-x|.

    35) Найдите нули функции .    36) Найдите нули функции  

    37) Найдите наименьшее значение функции f(x)=32x-1 на промежутке [-3; 1].

    38) Вычислите координаты точек пересечения графика функции у = – 2х2 + 4х + 6 с осью OY.

    39) Вычислите ординату точки пересечения прямой у = 5 – 2х с осью ОY.

    40) Укажите точки пересечения графиков функций у = 2х + 4 и у = – 2х.

    41) В каких точках график функции f (x) = 3x2 + 6x пересекает прямую у = 6 – х?

    42) Укажите промежутки возрастания функции y=sin3x на интервале .    43) Укажите промежутки убывания функции y=-2cosx на интервале .

Ответы

1) 0; 2) -3/14; 3) – 1; 4) 3; 5) ; 6) ; 7) 

Как найти область определения функции

После этого экскурса в важную составную матанализа многие согласятся, что найти
область определения функции не очень сложно. Ненамного сложнее, чем Московскую область на карте.

Во-первых, нужно различать виды функций (корень, дробь, синус и др.). Во-вторых,
решать уравнения и неравенства с учетом вида функции (например, на что нельзя делить, какое выражение
не может быть под знаком корня и тому подобное). Согласитесь, не так уж много и не так сложно.

Итак, чтобы находить области определения распространённых функций, порешаем
уравнения и неравенства с одной переменной. А в конце урока обобщим понятие на уровне теории. Пока же —
краткое определение. Область определения функции y=f(x)
— это множество значений X, для которых существуют значения Y
.

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
посмотреть ответы.

Приступаем к практике. На рисунке изображён график функции .
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на нуль делить нельзя. Поэтому, приравнивая знаменатель
нулю, получаем значение, не входящее в область определения функции: 1. То есть, область определения заданной функции —
это все значения «икса» от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности
. Это хорошо
видно на графике. Приведённый здесь пример функции относится к виду дробей. На уроке разберём решения
всех распространённых видов функций.

Пример 0. Как найти область
определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять)
()? Нужно всего лишь
решить неравенство

x — 5 ≥ 0,

так как для того, чтобы мы получили действительное значение игрека, подкоренное
выражение должно быть больше или равно нулю. Получаем решение: область определения функции — все значения икса
больше или равно пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти включительно до плюс бесконечности).

На чертеже сверху — фрагмент числовой оси. На ней область опредения рассмотренной функции
заштрихована, при этом в «плюсовом» направлении штриховка продолжается бесконечно вместе с самой осью.

Постоянная (константа) определена при любых действительных
значениях x, следовательно, данная функция определена на всём
множестве R действительных чисел. Это можно записать и так:
областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[.

Пример 1. Найти область определения функции
y = 2.

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого
определения имеется в виду естественная область определения. Выражение
f(x) = 2 определено при любых действительных
значениях x, следовательно, данная функция определена на всём
множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус
бесконечности до плюс бесконечности.

В случае, когда функция задана формулой и n — натуральное число:

Пример 2. Найти область определения функции
.

Решение. Как следует из
определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть,
если — 1 ≤ x ≤ 1.
Следовательно, область определения данной функции — [- 1; 1].

Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху — это область определения
данной функции.

Область определения степенной функции с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a — положительное, то областью определения функции является множество
всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[;

если a — отрицательное, то областью определения функции является
множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[,
то есть вся числовая прямая за исключением нуля.

На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка,
соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).

Пример 3. Найти область определения функции
.

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором
слагаемом можно представить в виде единицы — так же целого числа.
Следовательно, область определения данной функции — вся числовая прямая, то есть
]- ∞; + ∞[.

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если
— положительное, то областью определения функции является множество [0; + ∞[;

если
— отрицательное, то областью определения функции является множество ]0; + ∞[.

Пример 4. Найти область определения функции
.

Решение. Оба слагаемых в выражении функции — степенные функции с положительными
дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции —
множество [0; + ∞[.

На чертеже сверху заштрихована часть числовой прямой от нуля (включительно) и больше,
причём штриховка продолжается вместе с самой прямой до плюс бесконечности.

Пример 5. Найти область определения функции
.

Решение. Дробный показатель степени данной степенной функции — отрицательный.
Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля::

.

Дикриминант получился отрицательный. Следовательно сопряжённое неравенству
квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что квадратный трёхчлен ни при каких значениях
«икса» не равен нулю. Таким образом, область определения данной функции — вся числовая ось, или,
что то же самое — множество R действительных чисел, или,
что то же самое — ]- ∞; + ∞[.

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой ,
областью определения функции является вся числовая прямая, то есть
]- ∞; + ∞[.

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция
определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество
]0; + ∞[.

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение


Область определения функции y = cos(x) —
так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) —
множество R действительных чисел, кроме чисел
.

Область определения функции y = ctg(x) —
множество R действительных чисел, кроме чисел
.

Пример 8. Найти область определения функции
.

Решение. Внешняя функция — десятичный логарифм и на область её определения
распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент
должен быть положительным. Аргумент здесь — синус «икса». Поворачивая воображаемый циркуль по
окружности, видим, что условие sin x > 0
нарушается при «иксе» равным нулю, «пи», два, умноженном на «пи» и вообще равным произведению числа «пи»
и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k — целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x) —
множество [-1; 1].

Область определения функции y = arccos(x) —
так же множество [-1; 1].

Область определения функции y = arctg(x) —
множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) —
так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции
.

Решение. Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок
[- 4; 4].

Пример 10. Найти область определения функции
.

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок
[0; 1].

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе
дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел,
кроме таких x, при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции
.

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции — множество
]- ∞; — 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[.

Пример 12. Найти область определения функции
.

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции —
]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 13. Найти область определения функции
.

Решение. Область определения первого слагаемого — данной функции — множество
R действительных чисел, второго слагаемого — все
действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять
условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции — все
x, кроме -2 и 2.

Пример 14. Найти область определения функции
.

Решение. Решим уравнение:

Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных
числах. Таким образом, получаем область определения данной функции — вся числовая прямая или, что
то же самое — множество R действительных чисел или,
что то же самое — ]- ∞; + ∞[.

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо «икса», знаменатель никогда не
будет равен нулю.

Пример 15. Найти область определения функции
.

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции —
]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 16. Найти область определения функции
.

Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под
корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:

График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой
направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках
1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения
квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена
на отрезке [1; 2].

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение


Если функция задана формулой вида y = kx + b,
то область определения функции — множество
R действительных чисел.

А теперь обобщим решения рассмотренных примеров. Каждой точке графика функции соответствуют:

  • определённое значение «икса» — аргумента функции;
  • определённое значение «игрека» — самой функции.

Верны следующие факты.

  • От аргумента — «икса» — вычисляется «игрек» — значения функции.
  • Область определения функции — это множества всех значений «икса», для которых существует, то есть может
    быть вычислен «игрек» — значение функции. 2$ и $y=0$.

    1. Найти кооординаты центра масс (полагая распределение масс равномерным)

    а) симметричного параболического сегмента с основанием $a$ и высоты $h$;

    б) дуги окружности радиуса $R$, стягивающей центральный угол $\alpha $.

    2. Найти момент инерции (полагая распределение масс равномерным)

    а) полукруга радиуса $R$ относительно его диаметра;

    б) конуса с радиусом основания $R$, высоты $H$, относительно его оси;

    в) шара радиуса $R$ относительно его диаметра.

    Как найти область определения функции???

    При решении многих задач приходится искать область определения функции. Особенно это нужно знать при построении графика и исследовании функции. Именно поэтому я решил рассмотреть основные варианты, которые могут быть при нахождении области определения функции. Их не так много, наверняка, многие это знают и сами, но думаю, напомнить не будет лишним.

    И так, область определения функции – это множество всех тех значений переменной х, при каких функция f(x) имеет смысл. То есть значения переменной х, при которых функция от этой переменной существует, а могут быть и такие, при каких она не существует, нам нужны, только те, при которых – существует.

    Рассмотрим конкретные варианты, в каких случаях функция может существовать не при всех значениях переменной:

    • Во-первых, когда есть дробь, в этом случае знаменатель дроби, недолжен быть равным нулю, потому, что такая дробь не может существовать. То есть, если ваша функция — дробь и в знаменателе есть переменная (потому, что если там только число, то оно никогда не станет нулём) то вам надо всё то выражение, что в знаменателе прировнять к нулю. И решив полученное уравнение, вы найдёте те значения переменной x, которые необходимо исключить с области определения.
    • Во-вторых, когда есть корень чётной степени, думаю, вы знаете, что в поле вещественных чисел, корень чётной степени может быть только с положительного числа. То есть если в вас есть функция с корнем чётной степени, то что бы найти те числа, которые не будут попадать в область определения, вам надо решить неравенство, где выражение, что под корнем будет меньше нуля.
    • В-третьих, когда есть логарифм. Здесь понятно, что область определения логарифма все числа, которые больше ноля. То есть что бы найти те значения переменной, которые надо исключить с области определения, вам надо составить и решить неравенство, где выражение, которое будет под логарифмом должно быть меньше нуля.
    • В-четвёртых, не надо забыть о таких обратных тригонометрических функциях, как арксинус и арккосинус, которые определены, только на промежутке [-1;1]. Соответственно вам надо следить, что бы выражение, которое будет под этими функциями, также попадало в этот промежуток и исключить все значения переменной, которые туда не попадают.
    • И в-пятых, в одном примере может быть несколько этих случаев. Надо разбирать всё, до мельчайших подробностей. Например, в знаменателе дроби, может быть корень из арксинуса :), поэтому вам надо отобрать, только те значения переменной, при которых существует арксинус, при чём значение этого арксинуса должно не должно быть равное нулю (так как оно в знаменателе) и также не должно быть отрицательным (так как есть корень).

    Я постарался собрать самые основные случаи, когда область определения функции – это не все вещественные числа. Конечно, примеры могут быть на много сложнее, потому что даже эти четыре варианты можно так скомбинировать, что на то что бы разобраться, что там и от чего зависит, пойдёт не мало времени. И ещё, я даже не все перечислил.

    Материалы по теме:

    Поделиться с друзьями:

    Загрузка…

    Домен и Диапазон | Precalculus I

    ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

    К концу этого урока вы сможете:

    • Найдите область определения функции, определяемой уравнением.
    • График кусочно-определенных функций.

    Если вы настроены на фильм ужасов, вы можете посмотреть один из пяти самых популярных фильмов ужасов всех времен — Я — легенда , Ганнибал , Кольцо , Обида , и Заклятие .На диаграмме 1 показана сумма в долларах, которую получил каждый из этих фильмов на момент выхода, а также продажи билетов на фильмы ужасов в целом по годам. Обратите внимание, что мы можем использовать эти данные для создания функции суммы заработка каждого фильма или общей суммы продаж билетов на все фильмы ужасов по годам. Создавая различные функции с использованием данных, мы можем идентифицировать различные независимые и зависимые переменные, а также можем анализировать данные и функции для определения области , и диапазона.В этом разделе мы исследуем методы определения области и диапазона таких функций.

    Найдите область определения функции, заданной уравнением

    В разделе «Функции и обозначение функций» мы познакомились с концепциями домена и диапазона . В этом разделе мы попрактикуемся в определении доменов и диапазонов для конкретных функций. Имейте в виду, что при определении доменов и диапазонов мы должны учитывать, что физически возможно или значимо в реальных примерах, таких как продажи билетов и год в примере из фильма ужасов выше.Мы также должны учитывать то, что математически разрешено. Например, мы не можем включать какое-либо входное значение, которое приводит к извлечению четного корня из отрицательного числа, если домен и диапазон состоят из действительных чисел. Или в функции, выраженной в виде формулы, мы не можем включать в домен какое-либо входное значение, которое привело бы к делению на 0.

    Рисунок 2

    Мы можем визуализировать домен как «зону хранения», которая содержит «сырье» для «функциональной машины», а ассортимент — как еще одну «зону хранения» для продукции машины.

    Мы можем записать домен и диапазон в нотации интервала , которая использует значения в скобках для описания набора чисел. В обозначении интервала мы используем квадратную скобку [, когда набор включает конечную точку и круглую скобку (чтобы указать, что конечная точка либо не включена, либо интервал неограничен. Например, если у человека есть 100 долларов, чтобы потратить, он или она необходимо указать интервал, который больше 0, но меньше или равен 100, и написать [latex] \ left (0, \ text {} 100 \ right] [/ latex].Мы обсудим обозначения интервалов более подробно позже.

    Обратимся к поиску области определения функции, уравнение которой дано. Часто, чтобы найти область таких функций, нужно запомнить три разные формы. Во-первых, если у функции нет знаменателя или четного корня, подумайте, может ли домен состоять только из действительных чисел. Во-вторых, если в уравнении функции есть знаменатель, исключите значения в области, которые заставляют знаменатель быть равным нулю. В-третьих, если есть четный корень, подумайте об исключении значений, которые сделали бы подкоренное выражение отрицательным.

    Прежде чем мы начнем, давайте рассмотрим соглашения об обозначении интервалов:

    • Первым записывается наименьший член интервала.
    • Наибольший член в интервале записывается вторым после запятой.
    • Круглые скобки (или) используются для обозначения того, что конечная точка не включена, что называется исключительной.
    • Скобки, [или] используются для обозначения того, что конечная точка включена, называемая включающей.

    В таблице ниже приведены краткие сведения об обозначениях интервалов.

    Пример 1: Нахождение домена функции как набора упорядоченных пар

    Найдите домен следующей функции: [latex] \ left \ {\ left (2, \ text {} 10 \ right), \ left (3, \ text {} 10 \ right), \ left (4, \ текст {} 20 \ right), \ left (5, \ text {} 30 \ right), \ left (6, \ text {} 40 \ right) \ right \} [/ latex].

    Решение

    Сначала определите входные значения. Входное значение — это первая координата в упорядоченной паре . Нет никаких ограничений, так как упорядоченные пары просто перечислены.Домен — это набор первых координат упорядоченных пар.

    [латекс] \ влево \ {2,3,4,5,6 \ вправо \} [/ латекс]

    Попробуй 1

    Найдите домен функции:

    [латекс] \ влево \ {\ влево (-5,4 \ вправо), \ влево (0,0 \ вправо), \ влево (5, -4 \ вправо), \ влево (10, -8 \ вправо) , \ влево (15, -12 \ вправо) \ вправо \} [/ латекс]

    Решение

    Практическое руководство. Для заданной функции, записанной в форме уравнения, найдите область определения.

    1. Определите входные значения.
    2. Определите любые ограничения на ввод и исключите эти значения из домена.{2} -1 [/ латекс].

      Решение

      Входное значение, показанное переменной [latex] x [/ latex] в уравнении, возводится в квадрат, а затем результат уменьшается на единицу. {3} [/ latex].

      Решение

      Практическое руководство. Для функции, записанной в форме уравнения, которое включает дробь, найдите область определения.

      1. Определите входные значения.
      2. Укажите любые ограничения на ввод. Если в формуле функции есть знаменатель, установите знаменатель равным нулю и решите относительно [латекс] x [/ латекс]. Если формула функции содержит четный корень, установите подкоренное выражение больше или равным 0, а затем решите.
      3. Запишите домен в форме интервала, убедившись, что исключены любые запрещенные значения из домена.

      Пример 3: Нахождение области определения функции, содержащей знаменатель (рациональная функция)

      Найдите область определения функции [latex] f \ left (x \ right) = \ frac {x + 1} {2-x} [/ latex].

      Решение

      Когда есть знаменатель, мы хотим включить только значения входных данных, которые не заставляют знаменатель быть нулевым. Итак, мы установим знаменатель равным 0 и решим для [latex] x [/ latex].

      [латекс] \ begin {case} 2-x = 0 \ hfill \\ -x = -2 \ hfill \\ x = 2 \ hfill \ end {case} [/ latex]

      Теперь мы исключим 2 из домена.Все ответы — действительные числа, где [латекс] x <2 [/ latex] или [latex] x> 2 [/ latex]. Мы можем использовать символ, известный как объединение, [latex] \ cup [/ latex], чтобы объединить два набора. В обозначении интервалов запишем решение: [latex] \ left (\ mathrm {- \ infty}, 2 \ right) \ cup \ left (2, \ infty \ right) [/ latex].

      Рисунок 3

      В интервальной форме домен [latex] f [/ latex] равен [latex] \ left (- \ infty, 2 \ right) \ cup \ left (2, \ infty \ right) [/ latex].

      Попробуй 3

      Найдите область определения функции: [latex] f \ left (x \ right) = \ frac {1 + 4x} {2x — 1} [/ latex].

      Решение

      Как сделать: для заданной функции, записанной в форме уравнения, включающего четный корень, найдите домен.

      1. Определите входные значения.
      2. Поскольку существует четный корень, исключите все действительные числа, которые дают отрицательное число в подкоренном выражении. Установите подкоренное выражение больше или равное нулю и решите для [latex] x [/ latex].
      3. Решение (я) — это область определения функции. Если возможно, запишите ответ в интервальной форме.

      Пример 4: Нахождение домена функции с четным корнем

      Найдите домен функции [latex] f \ left (x \ right) = \ sqrt {7-x} [/ latex].

      Решение

      Если в формуле есть четный корень, мы исключаем все действительные числа, которые приводят к отрицательному числу в подкоренном выражении.

      Установите подкоренное выражение больше или равное нулю и решите для [latex] x [/ latex].

      [латекс] \ begin {case} 7-x \ ge 0 \ hfill \\ -x \ ge -7 \ hfill \\ x \ le 7 \ hfill \ end {case} [/ latex]

      Теперь мы исключим из домена любое число больше 7. Все ответы — действительные числа, меньшие или равные [latex] 7 [/ latex] или [latex] \ left (- \ infty, 7 \ right] [/ latex].

      Попробуй 4

      Найдите область определения функции [латекс] f \ left (x \ right) = \ sqrt {5 + 2x} [/ latex].

      Решение

      Вопросы и ответы

      Могут ли быть функции, у которых домен и диапазон вообще не пересекаются?

      Да. Например, функция [latex] f \ left (x \ right) = — \ frac {1} {\ sqrt {x}} [/ latex] имеет набор всех положительных вещественных чисел в качестве области своей области, но набор всех отрицательные действительные числа в качестве диапазона.В качестве более крайнего примера входные и выходные данные функции могут быть совершенно разными категориями (например, названия дней недели в качестве входных данных и числа в качестве выходных данных, как на диаграмме посещаемости), в таких случаях домен и диапазон не имеют общих элементов.

      В предыдущих примерах мы использовали неравенства и списки для описания области функций. Мы также можем использовать неравенства или другие утверждения, которые могут определять наборы значений или данных, чтобы описать поведение переменной в нотации построителя множеств.Например, [latex] \ left \ {x | 10 \ le x <30 \ right \} [/ latex] описывает поведение [latex] x [/ latex] в нотации конструктора множеств. Фигурные скобки {} читаются как «набор из», а вертикальная черта | читается как «такой, что», поэтому мы читаем [latex] \ left \ {x | 10 \ le x <30 \ right \} [/ latex] как «набор значений x , таких что 10 меньше чем или равно [latex] x [/ latex], а [latex] x [/ latex] меньше 30 ».

      В таблице ниже сравниваются обозначения неравенства, обозначения построителя множеств и обозначения интервалов.

      Чтобы объединить два интервала с использованием нотации неравенства или нотации для построения множеств, мы используем слово «или». Как мы видели в предыдущих примерах, мы используем символ объединения, [latex] \ cup [/ latex], чтобы объединить два несвязанных интервала. Например, объединение наборов [latex] \ left \ {2,3,5 \ right \} [/ latex] и [latex] \ left \ {4,6 \ right \} [/ latex] есть множество [латекс] \ left \ {2,3,4,5,6 \ right \} [/ латекс]. Это набор всех элементов, которые принадлежат одному или другому (или обоим) из двух исходных наборов.Для наборов с конечным числом таких элементов, элементы не должны быть перечислены в порядке возрастания числового значения. Если исходные два набора имеют некоторые общие элементы, эти элементы должны быть указаны в объединенном наборе только один раз. Для наборов действительных чисел на интервалах другой пример объединения —

      .

      [латекс] \ left \ {x | \ text {} | x | \ ge 3 \ right \} = \ left (- \ infty, -3 \ right] \ чашка \ left [3, \ infty \ right) [ / латекс]

      В этом видео рассказывается, как использовать обозначение интервалов для описания набора.

      В этом видео рассказывается, как использовать нотацию Set-Builder для описания набора.

      Общее примечание: обозначение построителя множеств и обозначение интервалов

      Нотация конструктора наборов — это метод определения набора элементов, удовлетворяющих определенному условию. Он принимает форму [латекс] \ left \ {x | \ text {утверждение о} x \ right \} [/ latex], которое читается как «множество всех [латексных] x [/ латексных] таких, что утверждение про [латекс] х [/ латекс] верно.Например,

      [латекс] \ левый \ {x | 4

      Обозначение интервала — это способ описания наборов, которые включают в себя все действительные числа между нижним пределом, который может или не может быть включен, и верхним пределом, который может или не может быть включен. Значения конечных точек указаны в скобках или скобках. Квадратная скобка указывает на включение в набор, а скобка указывает на исключение из набора. Например,

      [латекс] \ влево (4,12 \ вправо] [/ латекс]

      Практическое руководство. Для линейного графика опишите набор значений, используя интервальную нотацию.

      1. Определите интервалы, которые должны быть включены в набор, определив, где жирная линия перекрывает реальную линию.
      2. В левом конце каждого интервала используйте [, чтобы каждое конечное значение было включено в набор (сплошная точка) или (для каждого исключенного конечного значения (открытая точка).
      3. В правом конце каждого интервала используйте] с каждым конечным значением, которое должно быть включено в набор (закрашенная точка) или) для каждого исключенного конечного значения (открытая точка).
      4. Используйте символ объединения [latex] \ cup [/ latex], чтобы объединить все интервалы в один набор.

      Пример 5: Описание множеств в строке действительных чисел

      Опишите интервалы значений, показанные на рисунке 4, используя нотацию неравенства, нотацию создателя множеств и нотацию интервалов.

      Рисунок 4

      Решение

      Для описания значений [latex] x [/ latex], включенных в показанные интервалы, мы бы сказали: «[latex] x [/ latex] — это действительное число, большее или равное 1 и меньшее или равное 3 или действительное число больше 5.”

      Неравенство [латекс] 1 \ le x \ le 3 \ text {или} x> 5 [/ латекс]
      Обозначение конструктора набора [латекс] \ left \ {x | 1 \ le x \ le 3 \ text {или} x> 5 \ right \} [/ latex]
      Обозначение интервалов [латекс] \ left [1,3 \ right] \ чашка \ left (5, \ infty \ right) [/ латекс]

      Помните, что при записи или чтении обозначений интервала использование квадратных скобок означает, что граница включена в набор. Использование круглых скобок означает, что граница не включена в набор.

      Попробуй 5

      На рисунке 5 укажите набор в виде графика в

      .

      1. слов
      2. обозначение конструктора наборов
      3. обозначение интервала

      Рисунок 5

      Решение

      Поиск домена и диапазона из графиков

      Другой способ определить область и диапазон функций — использовать графики. Поскольку домен относится к набору возможных входных значений, домен графа состоит из всех входных значений, показанных на оси x .Диапазон — это набор возможных выходных значений, которые отображаются на оси y . Имейте в виду, что если график выходит за пределы видимой части графика, домен и диапазон могут быть больше, чем видимые значения. См. Рисунок 6.

      Рисунок 6

      Мы можем заметить, что граф простирается по горизонтали от [latex] -5 [/ latex] вправо без границ, поэтому доменом является [latex] \ left [-5, \ infty \ right) [/ latex]. График по вертикали — это все значения диапазона [latex] 5 [/ latex] и ниже, поэтому диапазон равен [latex] \ left (\ mathrm {- \ infty}, 5 \ right] [/ latex].Обратите внимание, что домен и диапазон всегда записываются от меньших к большим значениям или слева направо для домена и от нижней части графика до верхней части графика для диапазона.

      Пример 6: Поиск домена и диапазона из графика

      Найдите область и диапазон функции [latex] f [/ latex], график которой показан на рисунке 7.

      Рисунок 7

      Решение

      Мы можем заметить, что горизонтальная протяженность графа составляет от –3 к 1, поэтому домен [latex] f [/ latex] равен [latex] \ left (-3,1 \ right] [/ latex].

      Рисунок 8

      График по вертикали составляет от 0 до –4, поэтому диапазон равен [latex] \ left [-4,0 \ right) [/ latex].

      Пример 7: Поиск области и диапазона по графику добычи нефти

      Найдите домен и диапазон функции [latex] f [/ latex], график которой показан на рисунке 9.

      Решение

      Введенное количество по горизонтальной оси — «годы», которые мы представляем переменной [latex] t [/ latex] для времени.Выходное количество составляет «тысячи баррелей нефти в день», что мы представляем переменной [латекс] b [/ латекс] для баррелей. График может продолжаться влево и вправо за пределы того, что просматривается, но на основе видимой части графика мы можем определить домен как [латекс] 1973 \ le t \ le 2008 [/ latex], а диапазон — как примерно [латекс] 180 \ ле б \ ле 2010 [/ латекс].

      В интервальной записи домен равен [1973, 2008], а диапазон — примерно [180, 2010]. Для области и диапазона мы аппроксимируем наименьшие и наибольшие значения, поскольку они не попадают точно на линии сетки.

      Попробуй 6

      Учитывая график на рисунке 10, определите домен и диапазон, используя интервальную нотацию.

      Рисунок 10

      Решение

      Вопросы и ответы

      Могут ли домен и диапазон функции совпадать?

      Да. Например, домен и диапазон функции корня куба являются набором всех действительных чисел.

      Поиск домена и диапазона из графиков

      Теперь мы вернемся к нашему набору функций инструментария, чтобы определить домен и диапазон каждой из них.

      11

      Рисунок 11. Для постоянной функции [latex] f \ left (x \ right) = c [/ latex], домен состоит из всех действительных чисел; ограничений на ввод нет. Единственное выходное значение — константа [latex] c [/ latex], поэтому диапазон — это набор [latex] \ left \ {c \ right \} [/ latex], который содержит этот единственный элемент. В обозначении интервалов это записывается как [latex] \ left [c, c \ right] [/ latex], интервал, который начинается и заканчивается [latex] c [/ latex].

      12

      Рисунок 12. Для функции идентификации [latex] f \ left (x \ right) = x [/ latex] нет ограничений на [latex] x [/ latex]. И домен, и диапазон представляют собой набор всех действительных чисел.

      13

      Рис. 13. Для функции абсолютного значения [latex] f \ left (x \ right) = | x | [/ latex] нет ограничений на [latex] x [/ latex]. Однако, поскольку абсолютное значение определяется как расстояние от 0, выходные данные могут быть только больше или равны 0.

      14

      Рисунок 14.{3} [/ latex], домен состоит из действительных чисел, потому что горизонтальная протяженность графика представляет собой целую линию действительных чисел. То же самое относится к вертикальному экстенту графика, поэтому домен и диапазон включают все действительные числа.

      16

      Рисунок 16. Для обратной функции [latex] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} [/ latex] мы не можем делить на 0, поэтому мы должны исключить 0 из домена. Кроме того, 1, деленная на любое значение, никогда не может быть 0, поэтому диапазон также не будет включать 0. В нотации конструктора множеств мы также могли бы написать [latex] \ left \ {x | \ text {} x \ ne 0 \ right \} [/ latex], набор всех действительных чисел, не равных нулю.{2}} [/ latex], мы не можем разделить на [latex] 0 [/ latex], поэтому мы должны исключить [latex] 0 [/ latex] из домена. Также нет [latex] x [/ latex], который может дать на выходе 0, поэтому 0 также исключается из диапазона. Обратите внимание, что результат этой функции всегда положительный из-за квадрата в знаменателе, поэтому диапазон включает только положительные числа.

      18

      Рисунок 18. Для функции квадратного корня [latex] f \ left (x \ right) = \ sqrt [] {x} [/ latex], мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного действительного числа, поэтому домен должен быть 0 или больше.Диапазон также исключает отрицательные числа, поскольку квадратный корень положительного числа [латекс] x [/ latex] определен как положительный, хотя квадрат отрицательного числа [латекс] — \ sqrt {x} [/ latex] также дает нам [латекс] х [/ латекс].

      19

      Рисунок 19. Для функции корня куба [latex] f \ left (x \ right) = \ sqrt [3] {x} [/ latex], домен и диапазон включают все действительные числа. Обратите внимание, что нет проблем с получением кубического корня или любого нечетно-целочисленного корня отрицательного числа, и результирующий результат будет отрицательным (это нечетная функция).

      Как сделать: учитывая формулу функции, определите домен и диапазон.

      1. Исключить из домена любые входные значения, которые приводят к делению на ноль.
      2. Исключить из домена любые входные значения, которые имеют нереальные (или неопределенные) выходы числа.
      3. Используйте допустимые входные значения, чтобы определить диапазон выходных значений.
      4. Посмотрите на график функции и значения в таблице, чтобы подтвердить фактическое поведение функции.

      Пример 8: Поиск домена и диапазона с помощью функций Toolkit

      Найдите домен и диапазон [латекс] f \ left (x \ right) = 2 {x} ^ {3} -x [/ latex].

      Решение

      Нет ограничений по домену, так как любое действительное число может быть построено в кубе, а затем вычтено из результата.

      Домен [latex] \ left (- \ infty, \ infty \ right) [/ latex] и диапазон также [latex] \ left (- \ infty, \ infty \ right) [/ latex].

      Пример 9: Поиск домена и диапазона

      Найдите домен и диапазон [латекса] f \ left (x \ right) = \ frac {2} {x + 1} [/ latex].

      Решение

      Мы не можем оценить функцию в [latex] -1 [/ latex], потому что деление на ноль не определено.Домен [latex] \ left (- \ infty, -1 \ right) \ cup \ left (-1, \ infty \ right) [/ latex]. Поскольку функция никогда не равна нулю, мы исключаем 0 из диапазона. Диапазон: [латекс] \ left (- \ infty, 0 \ right) \ cup \ left (0, \ infty \ right) [/ latex].

      Пример 10: Нахождение домена и диапазона

      Найдите домен и диапазон [латекс] f \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x + 4} [/ latex].

      Решение

      Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому значение внутри радикала должно быть неотрицательным.

      [латекс] x + 4 \ ge 0 \ text {when} x \ ge -4 [/ латекс]

      Область [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] — [латекс] \ left [-4, \ infty \ right) [/ latex].

      Затем мы находим диапазон. Мы знаем, что [latex] f \ left (-4 \ right) = 0 [/ latex], и значение функции увеличивается по мере увеличения [latex] x [/ latex] без какого-либо верхнего предела. Мы заключаем, что диапазон [latex] f [/ latex] составляет [latex] \ left [0, \ infty \ right) [/ latex].

      Анализ решения

      На рисунке 20 представлена ​​функция [латекс] f [/ латекс].

      Рисунок 20

      Попробуй 7

      Найдите домен и диапазон [латекс] f \ left (x \ right) = — \ sqrt {2-x} [/ latex].

      Решение

      Графические кусочно-определенные функции

      Иногда мы сталкиваемся с функцией, которая требует более одной формулы для получения заданного результата. Например, в функциях инструментария мы ввели функцию абсолютного значения [latex] f \ left (x \ right) = | x | [/ latex]. С областью всех действительных чисел и диапазоном значений больше или равным 0, абсолютное значение может быть определено как величина или модуль действительного числового значения независимо от знака.Это расстояние от 0 на числовой прямой. Все эти определения требуют, чтобы результат был больше или равен 0.

      Если мы вводим 0 или положительное значение, выход будет таким же, как и вход.

      [латекс] f \ left (x \ right) = x \ text {if} x \ ge 0 [/ латекс]

      Если мы вводим отрицательное значение, выход будет противоположным входному.

      [латекс] f \ left (x \ right) = — x \ text {if} x <0 [/ latex]

      Поскольку для этого требуются два разных процесса или части, функция абсолютного значения является примером кусочной функции.Кусочная функция — это функция, в которой используется более одной формулы для определения вывода для разных частей домена.

      Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или отношение изменяется, когда входное значение пересекает определенные «границы». Например, в бизнесе мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда стоимость единицы определенного товара снижается, если заказанное количество превышает определенное значение. Налоговые скобки — еще один пример кусочных функций из реальной жизни.Например, рассмотрим простую налоговую систему, в которой доход до 10 000 долларов США облагается налогом по ставке 10%, а любой дополнительный доход облагается налогом по ставке 20%. Налог на общий доход S составит 0,1S, если [latex] {S} \ le \ [/ latex] 10 000 долларов США, и 1000 + 0,2 (S — 10 000 долларов США), если S> 10 000 долларов США.

      Общее примечание: кусочная функция

      Кусочная функция — это функция, в которой для определения вывода используется более одной формулы. Каждая формула имеет свою собственную область определения, а область определения функции представляет собой объединение всех этих меньших областей.Мы записываем эту идею так:

      [латекс] f \ left (x \ right) = \ begin {cases} \ text {формула 1, если x находится в домене 1} \\ \ text {формула 2, если x находится в домене 2} \\ \ text {формула 3, если x находится в домене 3} \ end {ases} [/ latex]

      В кусочной записи функция абсолютного значения равна

      .

      [латекс] | x | = \ begin {case} x \ text {if} x \ ge 0 \\ -x \ text {if} x <0 \ end {cases} [/ latex]

      Как сделать: для данной кусочной функции напишите формулу и определите область для каждого интервала.


      1. Определите интервалы, для которых применяются разные правила.
      2. Определите формулы, описывающие, как вычислить выход из входа в каждом интервале.
      3. Используйте фигурные скобки и операторы if для написания функции.

      Пример 11: Написание кусочной функции

      Музей взимает 5 долларов США с человека за экскурсию с группой от 1 до 9 человек или фиксированную плату в размере 50 долларов США за группу из 10 или более человек. Напишите функцию , связывающую количество людей [латекс] n [/ латекс] со стоимостью [латекс] C [/ латекс].

      Решение

      Потребуются две разные формулы.Для n — значения меньше 10, C = 5n. Для значений n, равных 10 или больше, C = 50.

      C (n) = [латекс] \ begin {case} {5n} \ text {if} {0} <{n} <{10} \\ 50 \ text {if} {n} \ ge 10 \ end { футляры} [/ латекс]

      Анализ решения

      Функция представлена ​​на рисунке 21. График представляет собой диагональную линию от [latex] n = 0 [/ latex] до [latex] n = 10 [/ latex] и константу после нее. В этом примере две формулы совпадают в точке встречи, где [latex] n = 10 [/ latex], но не все кусочные функции обладают этим свойством.

      Рисунок 21

      Пример 12: Работа с кусочной функцией

      Компания сотовой связи использует приведенную ниже функцию для определения стоимости [latex] C [/ latex] в долларах за [latex] g [/ latex] гигабайт передачи данных.

      [латекс] C \ left (g \ right) = \ begin {cases} {25} \ text {if} {0} <{g} <{2} \\ {25 + 10} \ left (g - 2 \ right) \ text {if} {g} \ ge {2} \ end {case} [/ latex]

      Найдите стоимость использования 1,5 гигабайт данных и стоимость использования 4 гигабайт данных.

      Решение

      Чтобы определить стоимость использования 1,5 гигабайт данных, C (1,5), мы сначала смотрим, в какую часть домена попадает наш ввод. Поскольку 1,5 меньше 2, мы используем первую формулу.

      C (1,5) = 25

      долларов США

      Чтобы найти стоимость использования 4 гигабайт данных, C (4), мы видим, что наш ввод 4 больше 2, поэтому мы используем вторую формулу.

      C (4) = 25 + 10 (4-2) = 45

      долларов США

      Как сделать: для данной кусочной функции нарисуйте график.

      1. Укажите на оси x границы, определяемые интервалами на каждой части домена.{2} \ text {if} {x} \ le {1} \\ {3} \ text {if} {1} & lt {x} \ le 2 \\ {x} \ text {if} {x} & gt {2} \ end {case} [/ latex]

        Решение

        Каждая из функций компонента взята из нашей библиотеки функций набора инструментов, поэтому мы знаем их форму. Мы можем представить себе построение графика каждой функции, а затем ограничение графика указанной областью. На конечных точках домена мы рисуем пустые кружки, чтобы указать, где конечная точка не включена из-за неравенства «меньше или больше»; мы рисуем замкнутый круг, где конечная точка включена из-за неравенства «меньше или равно» или «больше или равно».{3} \ text {if} {x} & lt {-1} \\ {-2} \ text {if} {-1} & lt {x} & lt {4} \\ \ sqrt {x} \ text {если } {x} & gt {4} \ end {case} [/ latex]

        Вопросы и ответы

        Можно ли применить более одной формулы из кусочной функции к значению в домене?

        Нет. Каждое значение соответствует одному уравнению в кусочной формуле.

        Ключевые понятия

        • Область функции включает в себя все реальные входные значения, которые не заставят нас попытаться выполнить неопределенную математическую операцию, такую ​​как деление на ноль или извлечение квадратного корня из отрицательного числа.
        • Область функции может быть определена путем перечисления входных значений набора упорядоченных пар.
        • Область функции также может быть определена путем идентификации входных значений функции, записанной в виде уравнения.
        • Значения интервалов, представленные в числовой строке, можно описать с помощью обозначений неравенства, обозначений построителя множеств и обозначений интервалов.
        • Для многих функций домен и диапазон можно определить по графику.
        • Понимание функций инструментария может быть использовано для поиска предметной области и диапазона связанных функций.
        • Кусочная функция описывается более чем одной формулой.
        • Кусочная функция может быть построена на графике с использованием каждой алгебраической формулы в назначенной ей подобласти.
        1. Почему домен различается для разных функций?
        2. Как определить область определения функции, заданной уравнением?
        3. Объясните, почему домен [latex] f \ left (x \ right) = \ sqrt [3] {x} [/ latex] отличается от домена [latex] f \ left (x \ right) = \ sqrt [] {x} [/ латекс]. {3} -50x} [/ латекс] по:

          а. используя алгебру.
          г. построение графика функции в подкоренном выражении и определение интервалов на оси x , для которых подкоренное выражение неотрицательно.

          Для следующих упражнений запишите домен и диапазон каждой функции, используя интервальную нотацию.

          27.

          Домен: ________ Диапазон: ________

          28.

          29.

          30.

          31.

          32.

          33.

          34.

          35.

          36.

          37.

          Для следующих упражнений нарисуйте график кусочной функции. Запишите домен в интервальной записи.

          38. [латекс] f (x) = \ begin {cases} {x} + {1} & \ text {if} & {x} <{-2} \\ {- 2x - 3} & \ text { if} & {x} \ ge {-2} \\ \ end {case} [/ latex]

          39.[латекс] f \ left (x \ right) = \ begin {case} {2x — 1} & \ text {if} & {x} <{1} \\ {1 + x} & \ text {if} & {x} \ ge {1} \ end {case} [/ latex]

          40. {2} & \ text {if} & {x} <{0} \\ {1-x} & \ текст {if} & {x}> {0} \ end {case} [/ latex]

          43.{3} & \ text {if} & x \ ge 1 \ end {case} [/ latex]

          45. [латекс] f \ left (x \ right) = \ begin {cases} | x | & \ text {if} & {x} <{2} \\ {1} & \ text {if} & { x} \ ge {2} \ end {case} [/ latex]
          Для следующих упражнений, учитывая каждую функцию [latex] f [/ latex], оцените [latex] f \ left (-3 \ right), f \ left (-2 \ right), f \ left (-1 \ right) [/ latex] и [latex] f \ left (0 \ right) [/ latex].

          46. [латекс] f \ left (x \ right) = \ begin {cases} {x + 1} & \ text {if} & {x} <{-2} \\ {-2x - 3} & \ текст {if} & {x} \ ge {-2} \ end {case} [/ latex]

          47.{2} + {3} & \ text {if} & {x} \ le {-1} \\ {5x} — {7} & \ text {if} & {x}> {-1} \ end { case} [/ latex]
          Для следующих упражнений, учитывая каждую функцию [latex] f [/ latex], оцените [latex] f \ left (-1 \ right), f \ left (0 \ right), f \ left (2 \ справа) [/ латекс] и [латекс] f \ влево (4 \ справа) [/ латекс]. {2} {-2} & \ text {if} & {x} <{2} \\ {4+ | x - 5 |} & \ text {if} & {x} \ ge {2} \ end {case} [/ latex]

          51.{2}} [/ latex] в окне просмотра [латекс] \ left [-0,5, -0,1 \ right] [/ latex] и [latex] \ left [0,1,0,5 \ right] [/ latex]. Определите соответствующий диапазон для смотрового окна. Покажи графики.

          56. График [latex] y = \ frac {1} {x} [/ latex] в окне просмотра [latex] \ left [-0,5, -0,1 \ right] [/ latex] и [latex] \ left [ 0,1, \ text {} 0,5 \ right] [/ latex]. Определите соответствующий диапазон для смотрового окна. Покажи графики.

          57. Предположим, что диапазон функции [latex] f [/ latex] равен [latex] \ left [-5, \ text {} 8 \ right] [/ latex].Какой диапазон [латекс] | f \ left (x \ right) |? [/ Latex]

          58. Создайте функцию, в которой весь диапазон представляет собой неотрицательные действительные числа.

          59 .Создайте функцию, в которой домен [latex] x> 2 [/ latex].

          60. Стоимость изготовления изделий из [латекса] x [/ латекса] в долларах определяется функцией [латекс] C \ left (x \ right) = 10x + 500 [/ latex].

          A. Фиксированная стоимость определяется, когда произведено ноль единиц продукции. Найдите фиксированную стоимость для этого товара.
          B. Сколько стоит изготовление 25 предметов?
          С.{2} + 96т [/ латекс]. Какова область применения функции? Что означает домен в контексте проблемы?

          Глоссарий

          обозначение интервалов
          — способ описания набора, который включает в себя все числа от нижнего предела до верхнего предела; нижнее и верхнее значения указаны в скобках или скобках, квадратная скобка указывает на включение в набор, а скобка указывает на исключение
          кусочная функция
          функция, в которой для определения вывода используется более одной формулы
          обозначение конструктора набора
          метод описания набора правилом, которому подчиняются все его члены; он принимает форму [латекс] \ left \ {x | \ text {утверждение о} x \ right \} [/ latex]

          Нахождение обратной функции

          Находка
          Обратная функция
          (стр.
          3 из 7)

          Разделы: Определение
          / Инвертирование графика, обратная функция — это функция ?,
          Нахождение обратного, доказательство обратного


          Обычный метод
          поиск обратного — это один из вариантов метода, который я собираюсь использовать ниже.Какой бы метод вы ни использовали, убедитесь, что вы выполняете точно такие же шаги в
          один и тот же порядок каждый раз, поэтому вы запомните эти шаги, когда получите
          к тесту.

          • Найти обратное
            из и
            = 3 x 2.
          • Вот как процесс
            работ:

              Вот
              моя первоначальная функция:

              Сейчас
              Я попробую решить для « x
              = «:

              Один раз
              У меня « x
              знак равно
              Я переключусь на x
              и y ;
              « y
              = «- это
              обратный.

            Если вам нужно найти
            домен и диапазон,
            посмотрите на исходную функцию и ее график. Домен оригинала
            функция — это набор всех допустимых значений x ;
            в этом случае функция была простым полиномом, поэтому область определения
            «все реальные числа». Диапазон исходной функции — весь
            и -значения
            вы передадите график; в этом случае прямая линия продолжается
            всегда в любом направлении, поэтому диапазон также представляет собой «все действительные числа».Чтобы найти домен и диапазон обратного, просто поменяйте местами домен и
            диапазон от исходной функции.

              По графику,
              легко видеть, что эта функция не может иметь обратного,
              поскольку он нарушает тест горизонтальной линии:

            Обычно считается
            приемлемо для построения приведенного выше графика, проведите по нему горизонтальную линию,
            дважды пересекает график, а затем произнесите что-то вроде «Обратный
            этой функции не является функцией из-за горизонтальной линии
            Контрольная работа».Но некоторые учителя все равно хотят изучать алгебру. Быть уверенным
            чтобы уточнить у учителя, какой ответ будет приемлемым
            — и сделайте это перед тестом ! Авторские права
            Элизабет Стапель 2000-2011 Все права защищены

              Как это будет выглядеть
              когда я пытаюсь найти обратное алгебраически? Вертикаль
              Line Test говорит
              что у меня не может быть двух и
              с общим значением x .То есть каждый x
              должен иметь УНИКАЛЬНЫЙ соответствующий
              y
              значение. Но посмотрите, что происходит, когда я пытаюсь найти « x
              = «:

                Мой
                исходная функция:

                Решение
                для « x
                = «:

              Ну я решил для « x
              знак равно
              но я не получил УНИКАЛЬНЫЙ « x
              знак равноВместо этого я показал, что любое заданное значение x
              фактически будет соответствовать двум различным значениям y ,
              один от «плюса» от квадратного корня, а другой от
              «минус».

            Каждый раз, когда вы придумываете
            знак «», вы можете быть уверены, что обратное не
            функция.

              Единственная разница
              между этой функцией и предыдущей заключается в том, что домен
              был ограничен только отрицательной половиной
              x — ось.Это ограничение делает график таким:

              Эта функция будет
              иметь обратное, что
              тоже функция. Практически каждый раз, когда они задают вам проблему, где
              они постарались ограничить домен, вы должны позаботиться
              с алгеброй и нарисуйте красивую картинку, потому что обратное, вероятно,
              — это функция, но, вероятно, потребуются дополнительные усилия, чтобы показать это.В данном случае, поскольку размер домена x
              < 0 и
              диапазон (из графика) равен 1
              < y ,
              то обратный будет иметь область 1
              < x и
              диапазон y
              < 0. Вот
              как выглядит алгебра:

                В
                исходная функция:

                Решить
                для « x
                = «:

                Автор
                выясняя область и диапазон обратного, я знаю, что
                Я должен выбрать знак минуса для квадратного корня:

                Сейчас
                Я переключу x
                и y ;

                новый « y
                = «- это
                обратный:

              x
              >
              1 «ограничение
              исходит из того, что x
              находится внутри квадратного корня.)

              Так
              инверсия: y
              = sqrt ( x 1), x > 1,
              и эта инверсия также является функцией.

              Вот график:

            << Предыдущая Вверх | 1
            | 2 | 3 | 4 |
            5 | 6 | 7
            | Вернуться к указателю Далее
            >>

            Цитируйте эту статью
            как:

            Стапель, Елизавета.«Нахождение обратной функции». Purplemath .
            Доступно по номеру
            https://www.purplemath.com/modules/invrsfcn3.htm .
            Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

          предварительное вычисление алгебры — Найдите область определения и диапазон рациональной функции $ f (x) = \ frac {3x-1} {x + 2} $ и ее обратной

          Поскольку $ f $ — рациональная функция, она определена для всех действительных чисел, кроме тех случаев, когда знаменатель равен нулю, поэтому область определения $ f $ равна $ \ mathbb {R} \ setminus \ {- 2 \} $.Теперь диапазон $ f $ — это все действительные числа $ y $, такие, что существует некоторый вход $ x $, где $ f (x) = y $. Итак, чтобы найти все такие $ y $, мы можем просто взять $ f (x) $ равным некоторому произвольному выходу $ y $ и изменить рациональное выражение ($ \ star $) так, чтобы найти, для какого $ y $ существует такой $ x $:
          $$
          \ tag {$ \ star \ star $}
          \ begin {align}
          f (x) & = y
          \\ [1em] \ подразумевает \ qquad
          \ frac {3x-1} {x + 2} & = y
          \\ [1em] \ подразумевает \ qquad
          x & = \ frac {2y + 1} {- y + 3}
          \ end {align}
          $$
          Мы видим, что такой $ x $ существует для всех выходов, кроме $ y = 3 $, где знаменатель рационального выражения для $ x $ равен нулю.{-1} $.

          Область и диапазон рациональных функций

          В

          домен

          из

          функция

          ж

          Икс

          — это набор всех значений, для которых определена функция, а

          диапазон

          функции — это набор всех значений, которые

          ж

          берет.

          Рациональная функция — это функция вида

          ж

          Икс

          знак равно

          п

          Икс

          q

          Икс

          , где

          п

          Икс

          а также

          q

          Икс

          являются многочленами и

          q

          Икс

          0

          .

          Область определения рациональной функции состоит из всех действительных чисел

          Икс

          кроме тех, для которых знаменатель

          0

          . Чтобы найти эти

          Икс

          значения, которые нужно исключить из области определения рациональной функции, приравнять знаменатель к нулю и решить для

          Икс

          .

          Например, домен

          родительская функция

          ж

          Икс

          знак равно

          1

          Икс

          это набор всех действительных чисел, кроме

          Икс

          знак равно

          0

          .Или область определения функции

          ж

          Икс

          знак равно

          1

          Икс

          4

          это набор всех действительных чисел, кроме

          Икс

          знак равно

          4

          .

          Теперь рассмотрим функцию

          ж

          Икс

          знак равно

          Икс

          +

          1

          Икс

          2

          Икс

          2

          . По упрощению, когда

          Икс

          2

          он становится линейной функцией

          ж

          Икс

          знак равно

          Икс

          +

          1

          .Но исходная функция не определена в

          Икс

          знак равно

          2

          . Это оставляет график с дырой, когда

          Икс

          знак равно

          2

          .

          Один из способов найти диапазон рациональной функции — найти область определения обратной функции.

          Другой способ — нарисовать график и определить диапазон.

          Снова рассмотрим родительскую функцию

          ж

          Икс

          знак равно

          1

          Икс

          .Мы знаем, что функция не определена, когда

          Икс

          знак равно

          0

          .

          В виде

          Икс

          0

          по обе стороны от нуля,

          ж

          Икс

          . Аналогично, как

          Икс

          ±

          ,

          ж

          Икс

          0

          .

          График приближается

          Икс

          -ось как

          Икс

          стремится к положительной или отрицательной бесконечности, но никогда не касается

          Икс

          -ось.То есть функция может принимать все реальные значения, кроме

          0

          .

          Итак, диапазон функции — это набор действительных чисел, кроме

          0

          .


          Пример 1:

          Найдите домен и диапазон функции

          y

          знак равно

          1

          Икс

          +

          3

          5

          .

          Чтобы найти исключенное значение в области определения функции, приравняйте знаменатель к нулю и решите относительно

          Икс

          .

          Икс

          +

          3

          знак равно

          0

          Икс

          знак равно

          3

          Итак, область определения функции — это набор действительных чисел, кроме

          3

          .

          Диапазон функции такой же, как и у обратной функции. Итак, чтобы найти диапазон, определите обратную функцию.

          Поменять местами

          Икс

          а также

          y

          .

          Икс

          знак равно

          1

          y

          +

          3

          5

          Решение для

          y

          ты получаешь,

          Икс

          +

          5

          знак равно

          1

          y

          +

          3

          y

          +

          3

          знак равно

          1

          Икс

          +

          5

          y

          знак равно

          1

          Икс

          +

          5

          3

          Итак, обратная функция

          ж

          1

          Икс

          знак равно

          1

          Икс

          +

          5

          3

          .

          Исключенное значение в области определения обратной функции можно определить, приравняв знаменатель к нулю и решив для

          Икс

          .

          Икс

          +

          5

          знак равно

          0

          Икс

          знак равно

          5

          Итак, область определения обратной функции — это набор действительных чисел, кроме

          5

          . То есть диапазон данной функции — это набор действительных чисел, кроме

          5

          .

          Следовательно, область определения данной функции равна

          {

          Икс

          |

          Икс

          3

          }

          и диапазон

          {

          y

          |

          y

          5

          }

          .


          Пример 2:

          Найдите домен и диапазон функции

          y

          знак равно

          Икс

          2

          3

          Икс

          4

          Икс

          +

          1

          .

          Используйте графический калькулятор, чтобы построить график функции.

          Когда вы множите числитель и отменяете ненулевые общие множители, функция сводится к линейной функции, как показано.

          y

          знак равно

          Икс

          +

          1

          Икс

          4

          Икс

          +

          1

          знак равно

          Икс

          +

          1

          Икс

          4

          Икс

          +

          1

          знак равно

          Икс

          4

          Итак, график линейный с дырой в

          Икс

          знак равно

          1

          .

          Используйте график, чтобы определить домен и диапазон.

          Функция не определена для

          Икс

          знак равно

          1

          . Итак, домен

          {

          Икс

          |

          Икс

          1

          }

          или же

          ,

          1

          1

          ,

          .

          Диапазон функции:

          {

          y

          |

          y

          k

          где

          y

          1

          знак равно

          k

          }

          .

          Для

          Икс

          1

          , функция упрощается до

          y

          знак равно

          Икс

          4

          .Функция не определена в

          Икс

          знак равно

          1

          или функция не принимает значение

          1

          4

          знак равно

          5

          . Это,

          k

          знак равно

          5

          .

          Следовательно, диапазон функции равен

          {

          y

          |

          y

          5

          }

          или же

          ,

          5

          5

          ,

          .

          Асимптоты рациональной функции:

          An

          асимптота

          это линия, к которой график функции приближается, но никогда не касается. В родительской функции

          ж

          Икс

          знак равно

          1

          Икс

          , как

          Икс

          — а также

          y

          -оси — это асимптоты. График родительской функции будет приближаться к асимптотам, но никогда не касается их.

          Чтобы найти вертикальную асимптоту рациональной функции, приравняйте знаменатель к нулю и решите относительно

          Икс

          .

          Если степень многочлена в числителе меньше степени знаменателя, то горизонтальная асимптота — это

          Икс

          -ось или

          y

          знак равно

          0

          .

          Функция

          ж

          Икс

          знак равно

          а

          Икс

          ,

          а

          0

          имеет тот же домен, диапазон и асимптоты, что и

          ж

          Икс

          знак равно

          1

          Икс

          .

          Теперь график функции

          ж

          Икс

          знак равно

          а

          Икс

          б

          +

          c

          ,

          а

          0

          гипербола, симметричная относительно точки

          б

          ,

          c

          .Вертикальная асимптота функции равна

          Икс

          знак равно

          б

          а горизонтальная асимптота равна

          y

          знак равно

          c

          .

          В более общем виде функция

          ж

          Икс

          знак равно

          а

          Икс

          +

          б

          c

          Икс

          +

          d

          имеет вертикальную асимптоту при

          Икс

          знак равно

          d

          c

          и горизонтальная асимптота при

          y

          знак равно

          а

          c

          .В более общем смысле, если и числитель, и знаменатель имеют одинаковую степень, то горизонтальная асимптота будет иметь вид

          y

          знак равно

          k

          где

          k

          — отношение старшего коэффициента числителя к знаменателю.

          Если степень знаменателя на единицу меньше степени числителя, то функция имеет наклонную асимптоту.


          Пример 3:

          Найдите вертикальную и горизонтальную асимптоты функции

          ж

          Икс

          знак равно

          5

          Икс

          1

          .

          Чтобы найти вертикальную асимптоту, приравняйте знаменатель к нулю и решите относительно

          Икс

          .

          Икс

          1

          знак равно

          0

          Икс

          знак равно

          1

          Итак, вертикальная асимптота равна

          Икс

          знак равно

          1

          Поскольку степень многочлена в числителе меньше степени знаменателя, горизонтальная асимптота имеет вид

          y

          знак равно

          0

          .

          Домен

          и диапазон — Бесплатная справка по математике

          При работе с функциями часто встречаются два термина: домен и диапазон . Что такое домен ? Что такое серия ? Почему они важны? Как мы можем определить домен и диапазон для данной функции?

          Определение домена

          Домен : набор всех возможных входных значений (обычно это переменная «x»), которые производят действительный выход из конкретной функции.Это набор всех значений, для которых функция математически определена. Довольно часто домен представляет собой набор всех действительных чисел , поскольку многие математические функции могут принимать любой ввод.

          Например, многие упрощенные алгебраические функции имеют области, которые могут показаться… очевидными. Какова область определения функции \ (f (x) = 2x + 1 \)? Какие значения мы можем ввести для входа (x) этой функции? Ну ничего! Ответ — все реальные числа. Только когда мы дойдем до определенных типов алгебраических выражений, нам нужно будет ограничить область.

          Мы также можем продемонстрировать домен визуально. Рассмотрим простое линейное уравнение, подобное приведенному ниже графику, построенному на основе функции \ (y = \ frac {x} {2} +10 \). Какие значения являются допустимыми входными данными? Это не вопрос с подвохом — можно вводить любое действительное число! Домен функции — это все действительные числа, потому что вы ничего не можете подставить для x, что не сработает. Визуально мы видим это как линию, которая продолжается вечно в направлениях x (влево и вправо).

          Для других линейных функций (линий) линия может быть очень и очень крутой, но если вы представите себе «уменьшение масштаба» достаточно далеко, в конечном итоге любое значение x появится на графике.С другой стороны, прямая горизонтальная линия была бы самым ярким примером неограниченной области всех действительных чисел.

          Какие функции не имеют области , состоящей из всех действительных чисел? Что могло бы помешать нам, изучающим алгебру, вставить какое-либо значение во входные данные функции? Что ж, если домен — это набор всех входов, для которых определена функция, то логически мы ищем пример функции, которая нарушает для определенных входных значений. Нам нужна функция, которая для определенных входов не выдает допустимый выход , т.е.е., функция для этого входа не определена. Вот пример:

          Эта функция определена для почти любого действительного x. Но каково значение y, когда x = 1? Ну, это \ (\ frac {3} {0} \), то есть undefined . Деление на ноль не определено. Следовательно, 1 не входит в область действия этой функции. Мы не можем использовать 1 в качестве входных данных, потому что это нарушает функцию. Все остальные действительные числа являются допустимыми входными данными, поэтому доменом являются все действительные числа, кроме x = 1. Имеет смысл, правда?

          Деление на ноль — одно из самых распространенных мест, на которое обращают внимание при решении для области определения функции.Найдите места, которые могут привести к делению на ноль, и запишите значения x, при которых знаменатель будет равен нулю. Это ваши ценности, которые нужно исключить из домена.

          Если деление на ноль — обычное место для поиска ограничений в домене, то знак «квадратный корень», вероятно, является вторым по распространенности. Конечно, мы знаем, что это на самом деле называется радикальным символом, но вы, несомненно, называете это знаком квадратного корня. Почему это вызывает проблемы с доменом? Потому что, по крайней мере, в области действительных чисел, мы не можем найти квадратный корень из отрицательного значения.

          Что, если нас попросят найти домен \ (f (x) = \ sqrt {x-2} \). Какие значения исключены из домена? Значение меньше 2 приводит к отрицательному числу внутри квадратного корня, что является проблемой. Следовательно, в домене все действительные числа больше или равны 2.

          У каких других функций есть домены, не все из которых являются действительными числами? Некоторые «обратные» функции, такие как обратные триггерные функции, также имеют ограниченную область применения. Поскольку синусоидальная функция может иметь только выходов от -1 до +1, ее обратная функция может принимать только входов от -1 до +1.Область обратного синуса от -1 до +1. Однако, , наиболее распространенный пример ограниченного домена — это, вероятно, проблема деления на ноль . Когда вас попросят найти домен функции, начните с простого: сначала найдите любые значения, которые заставляют вас делить на ноль. Помните также, что мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому следите за ситуациями, когда подкоренное выражение («материал» внутри знака квадратного корня) может привести к отрицательному значению. В этом случае это будет недопустимый ввод, поэтому домен не будет включать такие значения.

          Определение диапазона

          Диапазон : Диапазон — это набор всех возможных выходных значений (обычно это переменная y или иногда выражается как \ (f (x) \)), которые возникают в результате использования определенной функции.

          Диапазон простой линейной функции почти всегда будет , все действительные числа . График типичной линии, такой как показанный ниже, будет продолжаться бесконечно в любом направлении y (вверх или вниз). Диапазон негоризонтальной линейной функции — это все действительные числа, независимо от того, насколько пологим может выглядеть наклон.

          Есть одно заметное исключение: когда y равно константе (например, \ (y = 4 \) или \ (y = 19 \)). Когда у вас есть функция, в которой y равно константе, ваш график представляет собой действительно горизонтальную линию, как график ниже для \ (y = 3 \). В этом случае диапазон — это только одно-единственное значение. Никакие другие возможные значения не могут быть получены из этой функции!

          Многие другие функции имеют ограниченный диапазон. Хотя только несколько типов имеют ограниченные домены, вы часто будете видеть функции с необычными диапазонами.4 \) и т.д …) приведет, например, только к положительному результату. Специальные функции, такие как тригонометрические функции, также, безусловно, будут иметь ограниченные возможности.

          Сводка : Область функции — это все возможные входных значений, для которых функция определена, а диапазон — все возможные выходных значений.

          Если вы все еще не уверены, вы можете разместить свой вопрос на нашей доске сообщений или прочитать урок другого веб-сайта по домену и диапазону, чтобы получить другую точку зрения.Или вы можете использовать калькулятор ниже, чтобы определить домен и диапазон ЛЮБОГО уравнения:

          Калькулятор домена и диапазона

          Нахождение области определения функции

          Хорошо, допустим, у нас нет
          график функции, как в последнем разделе …

          Можем ли мы еще найти домен и
          диапазон?

          Домены: Да (пока алгебра

          не становится слишком волосатым… а для нас не будет.)
          Диапазоны: Не совсем (обычно нужен
          Изображение
          — если это не что-то действительно базовое
          .)

          Итак, мы будем делать домены на
          эти — в любом случае, именно здесь и происходит действие.

          Просить
          домен
          функция такая же, как при запросе


          «Что все
          возможно x
          ребята
          что я могу воткнуть в эту штуку? »

          Иногда то, что
          вы действительно будете искать это

          «Есть что-нибудь
          Я НЕ МОГУ вставлять? «

          Проверьте это:

          Найдем домен
          из

          Вы видите
          Икс
          ребята, что могло бы вызвать здесь проблемы?

          А как насчет

          ?



          Итак,
          Икс
          знак равно
          3 — плохой парень! Все
          в остальном все в порядке.

          The
          домен — это все вещественные числа, кроме
          3.

          Что бы
          обозначение интервала быть?

          Если есть сомнения, график
          это на номерной строке:

          Сделайте интервал
          обозначение двумя частями:


          домен


          ВАШ ЧАСТЬ:

          Найдите
          домен


          Иногда вы не можете найти домен быстрым взглядом.

          Проверьте это:

          Давайте найдем
          домен

          Хм … Это не так
          так очевидно!

          НО, мы все еще
          ищу то же самое:

          Плохое
          Икс
          Значит, знаменатель
          равен 0!

          Как мы его находим?
          Легкий!

          Установить знаменатель
          = 0
          и решай!

          В
          домен

          ПОПРОБОВАТЬ:

          Найдите домен
          * показать работу !!

          Как насчет
          Вот этот?

          Квадратные корни — что
          мы знаем о квадратных корнях?

          … Итак, 16
          можно вставить.

          … Итак, 0
          в порядке.

          … Фу! Но,
          3,2
          в порядке.

          … Неа! Не могу!


          * Нам нужны только реальные числа!

          Никаких негативов нет!

          The
          внутри
          радикальный не может быть отрицательным, если мы хотим
          только реальные ответы (нет
          я
          ребята).Итак, внутри
          радикал должен быть 0 или положительным
          номер.

          Набор и реши!

          А теперь давайте найдем
          домен

          Итак, домен это .

          ПОПРОБОВАТЬ:

          Найдите
          домен
          .
          * Показать работы !!

          Вот
          грязный:

          Найдем домен
          из

          Набор

          и решай!

          Домен .

          ВАШ ЧАСТЬ:

          Найдите домен .
          * Показать работы!

          Обратные функции

          Обратная функция — наоборот!

          Начнем с примера:

          Здесь у нас есть функция f (x) = 2x + 3 , записанная в виде блок-схемы:

          Обратная функция идет другим путем:

          Таким образом, обратное: 2x + 3: (y-3) / 2

          Обратное значение обычно отображается путем добавления небольшого «-1» после имени функции, например:

          ф -1 (у)

          Мы говорим « f инверсия

          Итак, обратная величина к f (x) = 2x + 3 записывается:

          f -1 (y) = (y-3) / 2

          (я также использовал y вместо x , чтобы показать, что мы используем другое значение.)

          Вернуться туда, где мы начали

          Самое замечательное в обратном преобразовании состоит в том, что он должен вернуть нам исходное значение:

          .

          Когда функция f превращает яблоко в банан,

          Затем обратная функция f -1 превращает банан обратно в яблоко

          Пример:

          Используя приведенные выше формулы, мы можем начать с x = 4:

          f (4) = 2 × 4 + 3 = 11

          Затем мы можем использовать обратное для 11:

          ф -1 (11) = (11-3) / 2 = 4

          И мы волшебным образом снова получаем 4 !

          Мы можем написать это одной строкой:

          f -1 (f (4)) = 4

          «f, обратное f 4, равно 4»

          Таким образом, применение функции f, а затем ее обратного f -1 возвращает нам исходное значение снова:

          f -1 (f (x)) = x

          Мы могли бы также расположить функции в другом порядке, и он все еще работает:

          f (f -1 (x)) = x

          Пример:

          Начать с:

          ф -1 (11) = (11-3) / 2 = 4

          А потом:

          f (4) = 2 × 4 + 3 = 11

          Итак, мы можем сказать:

          f (f -1 (11)) = 11

          «f f, обратное 11, равно 11»

          Решить с помощью алгебры

          Мы можем вычислить обратное, используя алгебру. Положите y вместо f (x) и решите относительно x:

          Функция: f (x) = 2x + 3
          Поместите y вместо f (x): y = 2x + 3
          Вычтем 3 с обеих сторон: г-3 = 2x
          Разделите обе стороны на 2: (у-3) / 2 = x
          Стороны поменять местами: x = (у-3) / 2
          Решение (вместо «x» подставьте «f -1 (y)»): ф -1 (у) = (у-3) / 2

          Этот метод хорошо подходит для более сложных инверсий.

          Фаренгейта в Цельсия

          Полезный пример — преобразование между градусами Фаренгейта и Цельсия:

          Для преобразования Фаренгейта в Цельсия: f (F) = (F — 32) × 5 9

          Обратная функция (градусы Цельсия обратно по Фаренгейту): f -1 (C) = (C × 9 5 ) + 32

          Для вас: посмотрите, сможете ли вы сделать шаги, чтобы создать инверсию!

          Инверсия общих функций

          До сих пор это было легко, потому что мы знаем, что обратное к умножению — это деление, а обратное к сложению — вычитание, но как насчет других функций?

          Вот список, который вам поможет:

          (Примечание: вы можете узнать больше об обратном синусе, косинусе и тангенсе.)

          Осторожно!

          Вы видели «Осторожно!» столбец выше? Это потому, что некоторые инверсии работают только с определенными значениями .

          Пример: квадрат и квадратный корень

          Когда мы возводим в квадрат отрицательное число , а затем делаем обратное, происходит следующее:

          Квадрат: (- 2) 2 = 4

          Обратная величина (квадратный корень): √ (4) = 2

          Но мы не вернули исходное значение! Мы получили 2 вместо −2 .Наша вина в том, что мы не проявляем осторожности!

          Итак, функция квадрата (как она есть) не имеет обратной

          Но мы можем это исправить!

          Ограничить домен (значения, которые могут входить в функцию).

          Пример: (продолжение)

          Только убедитесь, что мы не используем отрицательные числа.

          Другими словами, ограничьте его до x ≥ 0 , и тогда мы сможем получить обратное.

          Итак, мы имеем такую ​​ситуацию:

          • x 2 имеет ли не инверсию
          • но {x 2 | x ≥ 0} (в котором говорится, что «x возведен в квадрат так, что x больше или равен нулю» с использованием нотации создателя множеств) имеет ли обратное.

          Нет обратного?

          Давайте посмотрим наглядно, что здесь происходит:

          Чтобы иметь возможность иметь инверсию, нам нужно уникальных значения .

          Подумайте … если есть два или более x-значений для одного y-значения , как мы узнаем, какое из них выбрать, когда вернемся?

          Общие функции
          Без обратного

          Представьте, что мы перешли от x 1 к определенному значению y, куда мы вернемся? x 1 или x 2 ?

          В этом случае у нас не может быть обратного.

          Но если мы можем иметь ровно один x для каждого y, мы можем получить обратное.

          Это называется «однозначным соответствием» или биективным, например

          Биективная функция
          Имеет инверсию

          Функция должна быть «биективной», чтобы иметь инверсию.

          Таким образом, биективная функция подчиняется более строгим правилам, чем общая функция, что позволяет нам иметь обратную функцию.

          Домен и диапазон

          Так что же все эти разговоры о « ограничении домена »?

          В простейшей форме домен — это все значения, входящие в функцию (а диапазон , — это все значения, которые выходят).

          В его нынешнем виде функция, приведенная выше, не имеет инверсии , а не , потому что некоторые значения y будут иметь более одного значения x.

          Но мы могли бы ограничить домен так, чтобы для каждого y был уникальный x

          … и теперь у нас может быть обратное:

          Также примечание:

          • Функция f (x) переходит из области в диапазон,
          • Обратная функция f -1 (y) переходит из диапазона обратно в домен.

          Давайте изобразим их оба в терминах x … так что теперь это f -1 (x) , а не f -1 (y) :

          f (x) и f -1 (x) похожи на зеркальные изображения

          (перевернут по диагонали).

          Другими словами:

          График f (x) и f -1 (x) симметричны по линии y = x

          Пример: квадрат и квадратный корень (продолжение)

          Первый , мы ограничиваем Домен до x ≥ 0 :

          • {x 2 | x ≥ 0} «x в квадрате, так что x больше или равно нулю»
          • {√x | x ≥ 0} «квадратный корень из x такой, что x больше или равен нулю»

          И вы видите, что это «зеркальные отражения»

          друг друга по диагонали y = x.

          Примечание: когда мы ограничиваем область до x ≤ 0 (меньше или равно 0), обратное значение будет f -1 (x) = −√x :

          • {x 2 | х ≤ 0}
          • {−√x | x ≥ 0}

          Которые тоже обратные.

          Не всегда разрешимо!

          Иногда невозможно найти обратную функцию.

          Пример: f (x) = x / 2 + sin (x)

          Мы не можем вычислить обратное, потому что мы не можем решить для «x»:

          у = х / 2 + грех (х)

          г …? = х

          Примечания к обозначениям

          Несмотря на то, что мы пишем f -1 (x), «-1» — это , а не показатель степени (или степени):

          f -1 (x) … отличается от … f (x) -1
          Функция, обратная функции f f (x) -1 = 1 / f (x)

          (Взаимный)

          Сводка

          • Значение, обратное f (x), равно f -1 (y)
          • Мы можем найти обратное, перевернув «блок-схему»
          • Или мы можем найти обратное с помощью алгебры:
            • Вместо f (x) подставьте «y» и
            • Решить относительно x
          • Нам может понадобиться ограничить домен , чтобы функция имела инверсию

          .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.