Нестандартные методы решения неравенств: Нестандартные методы решения уравнений и неравенств

Содержание

Нестандартные методы решения уравнений и неравенств

Автор: 

Творогова Алина Юрьевна

Руководитель: 

Трояновская Наталья Ивановна

Учреждение: 

МАОУ № 186 «Авторская академическая школа», г. Нижнего Новгорода

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» ученицей 10 класса школы была поставлена и реализована цель изучить новые методы решения уравнений и неравенств. Каждый из методов был описан и продемонстрирован отдельно.

Подробнее о проекте:

В ученической исследовательской работе по математике «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» автор проводит анализ учебно-методической литературы и находит интересные сведения о способах решения неравенств и примеров с переменной. Также в проекте описаны некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» учащейся приведены характеристики таких методов решения уравнений, как метод разложения на множители, метод замены переменной, метод решения уравнений с помощью теоремы Виета и метод интервалов, а также продемонстрированы нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств, метод рационализации, учёт ОДЗ и метод мажорант.

Оглавление

Введение    
1. Теория уравнений и неравенств.
1.1 Основные понятия теории уравнений и неравенств.
1.2 Методы решения уравнений и неравенств.
1.2.1 Метод разложения на множители.
1.2.2 Метод замены переменной.
1.2.3 Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета.
1.2.4 Метод интервалов.        
2. Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств.
2.1 Метод рационализации.
2.2 Учёт ОДЗ.
2.3 Метод мажорант (оценки).
2.4 Использование свойств функций.
2.4.1 Использование ОДЗ.
2.4.2 Использование монотонности функции.
2.4.3 Использование графиков.
2.5 Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений.
2.5.1 Угадывание корня уравнения.
3. Разработка интерактивного тренажера «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств».
3.1 Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт.
3.2 Создание контента тренажёра.
3. 3 Описание созданного продукта.
3.4 Апробация продукта.
Заключение           
Список литературы        

Введение

Данный проект посвящен решению уравнений и неравенств с помощью нестандартных методов решений. Проект является

актуальным

, т.к. на ЕГЭ очень важно правильно распределять и экономить время, поэтому для успешной сдачи экзамена требуются новые методы решения, обеспечивающие наиболее быстрое выполнение заданий. На занятиях математики в школе я столкнулась с такой проблемой — способы решения данных заданий, изучаемые в школе, зачастую занимают много времени, чтоговорит о нехватке знаний о наиболее оптимальных способах решения уравнений и неравенств.

Объектом исследования являются уравнения и неравенства.

Предмет исследования: некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

В начале работы над проектом была сформулирована гипотеза: благодаря новым методам решения уравнений и неравенств, удастся сократить количество шагов решения в алгоритме и снизить вероятность допущения ошибки. Исходя из этого вывода, была поставлена цель проекта: изучить новые методы решения уравнений и неравенств.

Продуктом проекта были выбраны дидактические материалы с алгоритмом решения уравнений и неравенств новыми методами и тренажёры для отработки заданий подобного типа. Для продуктивного и удобного использования тренажера необходимо установить критерии оценки продукта проекта:понятный и удобный интерфейс, наличие мобильной версии, возможность использования русского языка, возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера, тиражируемость (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования).

В процессе создания проекта были сформулированы некоторые задачи:

  1. Изучить всевозможные источники информации по данной теме, структурировать собранную информацию
  2. Провести опрос
  3. Разработать алгоритмы решения уравнений и неравенств определенным (нестандартным) способом
  4. Анализ имеющихся тренажёров, подобрать задания, решаемые нестандартным способом, решить их
  5. Создать тренажёр
  6. Апробировать продукт
  7. Провести опрос об эффективности продукта
  8. Собрать статистику
  9. Распространить продукт

Методы исследования, используемые при работе над проектом: анализ, обобщение, синтез, классификация, систематизация, сравнение, прототипирование.

Научная новизна: разработаны уникальные дидактические материалы

Теоретическая значимость: расширение представления о некоторых методах решения уравнений и неравенств.

Практическая значимость: продукт проекта может быть использован учениками при подготовке к ЕГЭ, а также учителями математики.

Социальная значимость: проект может помочь ученикам 9-11 классов при подготовке к экзамену.

Основные понятия теории уравнений и неравенств

Прежде чем переходить к решению уравнений и неравенств, важно вспомнить теорию.

Введём список основных понятий:

Уравнение – равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти.

Корень (решение) уравнения – это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение — найти его корни или доказать, что корней нет.

Неравенство – два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков: <, >, ≤, ≥.

Основные свойства уравнений:

  • Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
  • Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Решение неравенства – то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – найти все его решения или установить, что их нет.

Методы решения уравнений и неравенств

Теперь, после перечисления основных понятий, следует вспомнить известные нам из школьной программы способы решения уравнений и неравенств.

Метод разложения на множители

Для разложения на множители используют формулы сокращённого умножения (ФСУ), вынесение общего множителя за скобку, способ группировки, деление многочлена на многочлен.

Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль.

Метод замены переменной

Цель данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид. Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной.

Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета

Важно!!! Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Приведенное квадратное уравнение – это уравнение, в котором старший коэффициент «a = 1». В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом: х2 + px + q = 0. разница с обычным общим видом квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 в том, что в приведённом уравнении x2 + px + q = 0 коэффициент а = 1.

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x2 + px + q = 0» гласит что справедливо следующее:

x1 + x2 = −p,

x1 · x2 = q, где x1 и x2 — корни этого уравнения.

Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств. Метод рационализации

Приведем алгоритм решения уравнений и неравенств методом рационализации:

  • Нахождение ОДЗ уравнения/неравенства
  • Привести данное неравенство к стандартному виду: слева дробь (или произведение), справа – ноль.
  • Заменить выражения левой части на более простые, эквивалентные им по знаку.
  • Решить полученное неравенство, например, методом интервалов.

Учёт ОДЗ

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решение уравнения (или неравенства) непосредственно подстановкой чисел из ОДЗ.

Приведём алгоритм решения уравнений и неравенств методом учёта ОДЗ:

  • Найти ОДЗ уравнения/неравенства.
  • Подставить значение ОДЗ в исходное уравнение/неравенство, чтобы проверить, является ли оно корнем.

Метод мажорант (оценки)

Этим методом можно решать нестандартные уравнения; уравнения повышенной сложности, например, уравнения в левой и правой части которой находятся функции, имеющие различную природу; уравнения или системы уравнений, в которых количество переменных превышает количество уравнений; задачи с параметром.

Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства.

Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р, называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции.

Приведём алгоритм решения уравнений и неравенств методом использования монотонности функции:

  • Определить монотонность и область определения функции (ООФ).
  • Методом подбора найти корень уравнения/неравенства.
  • Исходя из монотонности функции делаем вывод о количестве корней.

Использование графиков

При решении уравнений и неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ ещё надо обосновать.

Приведём алгоритм решения уравнений и неравенств с помощью использования графиков:

  • Определить ОДЗ уравнения/неравенства.
  • Представить левую и правую части уравнения/неравенства как функции и построить их графики.
  • По графику определить решение уравнения/неравенства.
  • Доказать справедливость ответа.

Угадывание корня уравнения

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

Приведём алгоритм решения уравнений методом угадывания корня:

  • Методом подбора определить корень уравнения.
  • Найти ОДЗ уравнения.
  • Привести многочлен к стандартному виду.
  • Определить остальные корни уравнения.

Разработка интерактивного тренажера «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств»

В качестве продукта проекта был выбран интерактивный тренажер, который позволит практиковаться в решении уравнений и неравенств с помощью новых, нестандартных методов решения. Размещение тренажера на сетевой платформе позволит сделать данный продукт доступным для всех, кто хочет разобраться в этой теме.

Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт

При создании продукта были проанализированы следующие сетевые сервисы:

  • LearningApps,
  • Quizizz
  • Wordwall,
  • PurposeGames

Платформы были проанализированы по критериям:

  • Понятный и удобный интерфейс сайта
  • Возможность составления разнотипных заданий, для создания интересного и разнообразного контента
  • Наличие мобильной версии
  • Возможность использования русского языка
  • Возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера
  • Доступность (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования)
  • В данной таблице приведены результаты оценки сетевых сервисов по выбранным критериям:
Сетевой сервис Интерфейс Разнотипность Мобильная версия
Quizizz + +
Wordwall + + +
PurposeGames + + +
Wizer. me + + +
LearningApps + + +
Сетевой сервис Русский Бесплатность Доступность
Quizizz + +
Wordwall + +
PurposeGames + +
Wizer.me + +
LearningApps + + +

В результате сравнения сетевых сервисов по указанным критериям для создания интерактивного тренажера была выбрана платформа LearningApps, которая соответствует наибольшему количеству требований.

Во время создания проекта был проведен социальный опрос, целью

которого было подтверждение актуальности выбранной темы и определение продукта проекта, который был бы интересен для потенциальной аудитории (учеников старшей школы). В результате были опрошены 16 человек, среди которых ученики 10-11 классов и студенты.

В ходе опроса выяснилось, что 100% опрошенных часто сталкиваются с необходимостью решать уравнения и неравенства, при этом 38% из них сталкиваются с проблемами при решении таких заданий.

Также опрос показал, что самые распространенные проблемы при решении уравнений и неравенств среди учеников – проблема с выбором рационального решения и неочевидное решение.

По результатам данной статистики можно сделать вывод о справедливости выдвинутой в данном исследовании проблемы. Кроме того, большинство опрошенных высказали желание узнать новые способы решения уравнений и неравенств, а также готовы практиковаться в данной теме.

Результатами опроса подтвердился также выбор формата продукта. 75% опрошенных отметили, что им было бы удобно практиковаться в предложенной теме в формате онлайн- тренажера, что в итоге и было выбрано продуктом проекта.

Создание контента тренажёра

В процессе размышления над идеей контента тренажёра было принято решение представить продукт, объединив теорию и тренажёры (упражнения) в одну презентацию.

Презентация. Основная задача презентации заключается в наглядном представлении алгоритмов решения уравнений/неравенств, примеров решения, а также в размещении ссылок на онлайн-тренажёры для каждого метода.

Тренажёр. Для каждого метода решения уравнений/неравенств создано несколько тренажёров (упражнений): на проработку алгоритма, проработку ключевых формул (если такие имеются) и на тренировку самого решения.

Описание созданного продукта

Созданный продукт, презентация – тренажер, отвечает следующим критериям:

  1. Понятность информации, представленной в тренажёре
  2. Удобный интерфейс
  3. Эффективность упражнений для практики методов решения уравнений и неравенств
  4. Тиражируемость (возможность распространения и использования)
  5. Возможность бесплатного использования
  6. Возможность использования русского языка
  7. Наличие мобильной версии

Данный вывод о соответствии продукта заданным критериям можно сделать на основании проведённого опроса.

Апробация продукта

После создания продукта была проведена его апробация среди учеников 10-х классов и студентов ВУЗа, которая позволила провести оценку тренажёра относительно поставленных ранее критериев и ввести коррективы для его лучшей работы.

После представления тренажера были предоставлены следующие результаты опроса:

Критерии Результаты апробации
Соответствие идее
Понятность информации
Удобный интерфейс
Эффективность

Также была проведена экспертная оценка продукта студентами ВУЗа и констатирован факт соответствия продукта определённым изначально критериям.

Вывод

Данная глава была посвящена практической части проекта. Первым делом было проведено сравнение сетевых сервисов, что помогло выбрать один из них, отвечающий всем заявленным критериям. После этого было продумано осуществление идеи тренажёра, а после – его создание. Наконец, была проведена апробация продукта, позволившая определить соответствие продукта заявленным ранее критериям.

Заключение

В данной работе были исследованы некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

Для углубления знаний в данной теме были изучены некоторые учебники, математические статьи и несколько исследовательских работ. После обобщения собранной информации были составлены алгоритмы решения уравнений и неравенств некоторыми нестандартными методами, а после они были использованы на практике. Выяснилось, что решение уравнений и неравенств нестандартными способами занимает в 2 раза меньше времени, чем решение методами, изучаемыми в школе.

В ходе проекта была изменена концепция тренажёра, что позволило объединить теорию и практику в одну презентацию. Таким образом, изучение некоторых нестандартных методов решения уравнений и неравенств стало более наглядным и структурированным. Создание такого информативного, эффективного, удобного в использовании и общедоступного тренажера позволяет решить выявленную ранее проблему.

Подводя итог данной теме, стоит отметить, что использование нестандартных методов решения уравнений и неравенств, к сожалению, отодвигается на второй план, несмотря на то, что данные способы являются наиболее эффективными в решении. Именно поэтому необходимо изучать данные методы, ведь они в действительности являются незаменимыми при решении уравнений и неравенств.

Список литературы

Учебники:

  1. Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин.
  2. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: базовый и углубленный уровни. 7-е изд. М.: Просвещение, 2019. – 384 с.
  3. Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин.
  4. Математика: алгебра и начала математического анализа. 11 класс: базовый и профильный уровни. 2-е изд. М.: Просвещение, 2010. – 336 с.

Справочники:

  1. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И.
  2. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: справочник. 1997. – 219 с.

Образовательные порталы:

  1. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Сдам ГИА: Решу ЕГЭ. ЕГЭ – 2021, Математика профильного уровня: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина. Задания: №13, №15.

Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:

Некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств




В статье автор рассматривает применение некоторых нестандартных методов с целью оптимизации решения уравнений и неравенств. Представляется созданный автором уникальный онлайн-тренажер как способ самостоятельной подготовки к решению уравнений и неравенств, представленных, в том числе, в заданиях ЕГЭ.

Для успешной сдачи ЕГЭ очень важно правильно распределять и экономить время, поэтому требуются новые методы решения, обеспечивающие наиболее быстрое выполнение заданий.

На уроках математики в школе изучаются такие методы решения уравнений и неравенств, как: разложение на множители, замена переменной, схема Горнера, теорема Безу, теорема Виета, метод интервалов и др. Однако их применение не всегда обеспечивают быстроту решения и минимальность ошибок. Это обуславливает необходимость в поиске методов решения уравнений и неравенств, позволяющих сократить количество шагов решения в алгоритме и снизить вероятность допущения ошибки.

К числу таких методов относятся: метод рационализации, учет ОДЗ, метод мажорант (метод оценки), использование свойств функции, графиков функций, угадывание корня.


Метод рационализации

(метод декомпозиции, метод замены множителей) заключается в замене сложного выражения

на более простое выражение

, при котором неравенство

∨ 0 равносильно неравенству

∨ 0 в области определения выражения

.

Приведем

алгоритм

решения уравнений и неравенств

методом рационализации

:

  1. Нахождение ОДЗ уравнения/неравенства.
  2. Привести данное неравенство к стандартному виду: слева дробь (или произведение), справа — ноль.
  3. Заменить выражения левой части на более простые, эквивалентные им по знаку.
  4. Решить полученное неравенство, например, методом интервалов.

Ниже приведена таблица наиболее часто встречающихся замен:

Раскроем применение составленного нами алгоритма при решении неравенства

  1. Определим ОДЗ неравенства:
  1. Приведем логарифмы к одному основанию:
  1. Упростим выражение. Для этого воспользуемся формулой

,

Отсюда

и

  1. Продолжаем упрощение с помощью формулы

    :

  1. Сравним каждый множитель левой части неравенства с нулём:

и

  1. Решим каждое неравенство:

  1. Используем метод интервалов с учетом ОДЗ:

Отсюда

(0;1)


(1;2)


(2;


+∞


).


Учёт ОДЗ


.

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решение уравнения (или неравенства) непосредственно подстановкой чисел из ОДЗ.

Приведём

алгоритм

решения уравнений и неравенств

методом учёта ОДЗ

:

  1. Найти ОДЗ уравнения/неравенства.
  2. Подставить значение ОДЗ в исходное уравнение/неравенство, чтобы проверить, является ли оно корнем.

Покажем

решение уравнения

раскрываемым методом.

Для этого найдём ОДЗ уравнения: оно состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям

и

, т. е. ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, т. к. установлено, что ни одно число не может являться решением т. е. что уравнение не имеет корней.


Метод мажорант

также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства.


Мажорантой

данной функции

f(х)

на множестве

Р

, называется такое число

М

, что либо

f(х) ≤ М

для всех

х ϵ Р

, либо

f(х) ≥ М

для всех

х ϵ Р

.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции.


Алгоритм решения

указанного метода состоит из следующих шагов:

  1. Оценить левую часть уравнения/неравенства.
  2. Оценить правую часть.
  3. Составить систему уравнений/неравенств.
  4. Решить систему и сделать вывод.
  5. Выполнить проверку.
  6. Записать ответ.

Покажем применение алгоритма при решении такого уравнения

  1. Оценим левую и правую части уравнения:

Так как левая часть уравнения приравнивается к нулю, то равенство возможно только в том случае, если оба слагаемых равны нулю.

  1. Составим систему уравнений:

  1. Решим систему уравнений:
  1. Выполним проверку:

При

При

:


.


Использование монотонности функции.


Утверждение 1

. Если функция

монотонна, то уравнение

(где А – любое действительное число) имеет не более одного корня.


Утверждение 2.

Если функция

монотонно возрастает, а функция

монотонно убывает, то уравнение

имеет не более одного корня.

С помощью утверждений 1 и 2 можно обосновать единственность решения уравнения в тех случаях, когда решить его стандартными способами не представляется возможным, но при этом удается подобрать корень уравнения, который, как правило, является целым числом. При этом надо учитывать, что решение уравнения «методом подбора» не будет засчитано при проверке без обоснования того, что уравнение не имеет других корней. Такое обоснование часто удается сделать, опираясь на свойства монотонности функций.

Приведём

алгоритм

решения уравнений и неравенств

методом использования монотонности функции:

  1. Определить монотонность и область определения функции (ООФ).
  2. Методом подбора найти корень уравнения/неравенства.
  3. Исходя из монотонности функции делаем вывод о количестве корней.

При

решении уравнения


:

  1. Воспользуемся методом замены:

Пусть

. Тогда

. Получаем:

,


.

  1. Определим монотонность функций:
  1. Методом подбора находим корень
  2. Разделим обе части уравнения на

    :

  1. Снова определим монотонность полученных функций:

Отсюда следует, что

  1. Вернемся к замене:


Использование графиков функции.

При решении уравнений и неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ ещё надо обосновать.

Приведём

алгоритм

решения уравнений и неравенств

с


помощью использования графиков:

  1. Определить ОДЗ уравнения/неравенства.
  2. Представить левую и правую части уравнения/неравенства как

функции и построить их графики.

  1. По графику определить решение уравнения/неравенства.
  2. Доказать справедливость ответа.

Применим построенный алгоритм при решении неравенства

  1. Определим ОДЗ неравенства:
  1. Представим функции

    и

    в виде графиков:

Из рисунка следует, что для всех х из ОДЗ исходное неравенство справедливо.

  1. Докажем справедливость ОДЗ:

При

х ∈ [-1;1]:

.

Значит, решениями исходного неравенства будут все х из промежутка [-1;1].


Угадывание корня уравнения


(искусственный метод решения уравнений).

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

Раскроем

алгоритм

решения уравнений

методом угадывания корня

:

  1. Методом подбора определить корень уравнения.
  2. Найти ОДЗ уравнения.
  3. Привести многочлен к стандартному виду.
  4. Определить остальные корни уравнения.

При решении уравнения

:


:

  1. Методом подбора определим корень уравнения:
  1. Приведём многочлен к стандартному виду:
  1. Найдём остальные корни:

Отсюда следует, что

– единственный корень уравнения

В качестве проектного продукта проведенного исследования был выбран интерактивный тренажер, который позволит практиковаться в решении уравнений и неравенств с помощью новых, нестандартных методов решения. Размещение тренажера на сетевой платформе позволит сделать данный продукт доступным для всех, кто хочет разобраться в этой теме.

В таблице ниже приведены результаты оценки сетевых сервисов по выбранным критериям:


Сетевой сервис


Критерии оценивания


Интерфейс


Разнотипность


Мобильная версия

Quizizz

+

+

Wordwall

+

+

+

PurposeGames

+

+

+

Wizer. me

+

+

+

LearningApps

+

+

+


Сетевой сервис


Критерии оценивания


Русский


Бесплатность


Доступность

Quizizz

+

+

Wordwall

+

+

PurposeGames

+

+

Wizer. me

+

+

LearningApps

+

+

+

В результате сравнения сетевых сервисов по указанным критериям для создания интерактивного тренажера была выбрана платформа LearningApps, которая соответствует наибольшему количеству требований.

В процессе размышления над идеей контента тренажёра было принято решение представить продукт, объединив теорию и тренажёры (упражнения) в одну презентацию.


Презентация.

Основная задача презентации заключается в наглядном представлении алгоритмов решения уравнений/неравенств, примеров решения, а также в размещении ссылок на онлайн-тренажёры для каждого метода.


Тренажёр.

Для каждого метода решения уравнений/неравенств создано несколько тренажёров (упражнений): на проработку алгоритма, проработку ключевых формул (если такие имеются) и на тренировку самого решения.

Доступ к тренажеру обеспечивается ссылкой https://infourok.ru/prezentaciya-po-algebre-na-temu-nekotorye-nestandartnye-metody-resheniya-uravnenij-i-neravenstv-9–11-klass-5183275.html и QR кодом.

В ходе создания продукта была выбрана концепция тренажёра, позволяющая объединить теорию и практику. Апробация показала, что изучение некоторых нестандартных методов решения уравнений и неравенств становится более наглядным и структурированным. Создание такого информативного, эффективного, удобного в использовании и общедоступного тренажера позволяет решить проблему увеличения скорости решения и минимизации ошибок.

Считаем необходимостью изучение рассмотренных методов, ведь они в действительности являются незаменимыми при решении уравнений и неравенств.

Литература:

  1. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: справочник. 1997. — 219 с.
  2. Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: базовый и углубленный уровни. 7-е изд. М.: Просвещение, 2019. — 384 с.
  3. Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Математика: алгебра и начала математического анализа. 11 класс: базовый и профильный уровни. 2-е изд. М.: Просвещение, 2010. — 336 с.
  4. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Сдам ГИА: Решу ЕГЭ. ЕГЭ — 2021, Математика профильного уровня: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина. Задания: № 13, № 15.

неравенств

неравенств

Графер
Калькулятор
Возврат
Справка
Точечная диаграмма

Содержание : Эта страница соответствует § 2. 5 (стр. 216)
текст.

Предполагаемые проблемы из текста:

р. 225 #11, 12, 13, 14, 16, 28, 33, 35, 38, 41, 53, 56, 62, 63, 68, 69

Линейные неравенства

Комбинации неравенств

Неравенства, включающие абсолютные значения

Полиномиальные неравенства

Рациональные неравенства


Линейные неравенства

Неравенство — это сравнение выражений по формулам «меньше» (<), «меньше или равно». до" (<=), "больше" (>) или «больше или равно» (>=). Обратите внимание, что Html
не поддерживает стандартные символы «меньше или равно» и «больше или равно»,
поэтому мы используем <= и >= для этих отношений.

Пример 1 . х + 3 <= 10

Решение для неравенства относительно х — это такое число, что, когда мы подставляем это число вместо х, мы получаем
истинное утверждение. Итак, 4 — это решение для примера 1, а 8 — нет. Набор решений неравенства равен
множество всех решений. Обычно неравенство имеет бесконечно много решений, и множество решений легко
описывается с помощью интервальной записи.

Набор решений примера 1 — это набор всех x <= 7. В интервальной нотации это набор (-inf, 7], где мы используем inf для обозначения бесконечности.

Линейное неравенство такое, что если мы заменим неравенство отношением равенства, то мы получим
линейное уравнение.
Решение линейных неравенств очень похоже на решение линейных уравнений с одним важным отличием.

Когда вы умножаете или делите обе части неравенства на отрицательное число, направление
неравенство переворачивается.

Вы можете увидеть это, используя неравенство без переменных.

Пример 2 .

3 < 7. Это ИСТИНА.

(3)(-2) < (7)(-2). Это ЛОЖЬ, потому что -6 находится справа от -14 на числовой прямой. Следовательно, -6 > -14.

(3)(-2) > (7)(-2). Это верно. Итак, когда мы умножаем исходное неравенство на -2, мы должны обратить
направление для получения другого истинного утверждения.

Примечание : В общем случае мы не можем умножать или делить обе части неравенства на выражение с переменной,
потому что некоторые значения переменной могут сделать выражение положительным, а некоторые — отрицательным.

Пример 3 .

7 — 2x < 3.

-2x < -4.

х > 2.

Примечание : Когда мы разделили обе части неравенства на -2, мы изменили направление неравенства.

Посмотрите на графики функций по обе стороны от неравенства.

Чтобы удовлетворить неравенство, 7 — 2x должно быть меньше 3. Итак, мы ищем такие числа x, что точка
на графике y = 7 — 2x ниже точки на графике y = 3. Это верно для x > 2. В интервале
обозначения набор решений (2, inf).

Есть еще один способ использовать графическую утилиту для решения этого неравенства. В Java Grapher выражение
(7-2*x)L3 имеет значение 1 для чисел x, удовлетворяющих неравенству, и значение 0 для остальных чисел
Икс. На рисунке ниже показан график (7-2*x)L3, нарисованный графером.

Упражнение 1:

Решите неравенство 4 — x > 1 + 3x. Ответ

Вернуться к содержанию

Комбинации неравенств

Пример 4 .

Найдите все числа x такие, что -3 < 5 - 2x и 5 — 2x < 9.

-3 < 5 - 2x

-8 < -2x

4 > x

(-inf, 4)

И

5 — 2x < 9

-2x < 4

x > -2

(-2, inf)

Чтобы удовлетворить обоим неравенствам, число должно быть в обоих наборах решений. Итак, числа, удовлетворяющие обоим
неравенства — это значения на пересечении двух наборов решений, которые представляют собой набор (-2, 4) в интервале
обозначение.

Приведенная выше задача обычно записывается как двойное неравенство .

-3 < 5 - 2x < 9 означает -3 < 5 - 2x и 5 — 2x < 9.

Примечание: Когда мы решали два неравенства по отдельности, шаги в двух задачах были
такой же. Следовательно, нотация двойного неравенства может использоваться для одновременного решения неравенств.

-3 < 5 - 2x < 9.

-8 < -2x < 4.

4 > х > -2.

С точки зрения графов, эта задача соответствует нахождению таких значений x, что соответствующая точка на
график y = 5 — 2x находится между графиками y = -3 и y = 9.

Пример 5 .

Найдите все числа x такие, что x + 1 < 0 или   x + 1 > 3.

В приведенном выше примере 4 мы искали числа, удовлетворяющие обоим неравенствам. Здесь мы хотим найти числа
которые удовлетворяют любому из неравенств. Это соответствует объединению наборов решений вместо пересечения.

Не используйте запись двойного неравенства в этой ситуации.

х + 1 < 0

х < -1

(-inf, -1)

ИЛИ х + 1 > 3

х > 2

(2, инф)

Набор решений представляет собой объединение двух интервалов (-inf, -1) и (2, inf).

Упражнение 2:

(а) 1 < 3 + 5x < 7 Ответ

(б) 2 — х < 1 или 2 - х > 5 Ответ

Вернуться к содержанию

Неравенства, включающие абсолютные значения

Неравенства с абсолютными значениями можно переписать как комбинации неравенств.

Пусть a будет положительным числом.

|х| < а тогда и только тогда, когда -а < х < а.

|х| > а тогда и только тогда, когда х < -а или х > а.

Чтобы понять эти утверждения, подумайте о числовой прямой. Абсолютное значение числа — это расстояние
число начинается с 0 на числовой прямой. Итак, неравенство |x| < a удовлетворяют числа, расстояние которых от 0 меньше а. Это набор чисел между -а и а.

Неравенство |x| > a удовлетворяют числа, расстояние которых от 0 больше, чем a. Это означает числа
которые либо больше а, либо меньше -а.

Пример 6 .

| 3 + 2x | <= 7.

-7 <= 3 + 2x <= 7.

-10 <= 2x <= 4.

-5 <= х <= 2.

х находится в [-5, 2].

С точки зрения графиков, мы ищем такие значения x, что соответствующая точка на графике y = | 3 +
2x | либо ниже, либо равен точке на графике y = 7,

Пример 7 .

| 5 — 2x | > 3.

5 — 2x < -3 или 5 - 2x > 3.

-2x < -8 или -2x > -2.

х > 4 или х < 1.

x входит в (4, inf) объединение (-inf, 1).

Этот набор решений соответствует области, где график y = | 5 — 2x | находится над графиком y = 3,

Упражнение 3 :

Решите следующие неравенства. Используйте графическую утилиту, чтобы проверить свои ответы.

(а) | 3 + х | < 4.

(б) | 2 — х | > 3.

Вернуться к содержанию

Полиномиальные неравенства

Пример 8 .

х 2 — х — 6 < 0.

Первый шаг — найти нули многочлена x 2 — x — 6.

х 2 — х — 6 = 0.

(х + 2)(х — 3) = 0,

х = -2 или х = 3.

-2 и 3 называются критическими числами неравенства.

Примечание: -2 и 3 не входят в набор решений неравенства. Мы ищем значения
x, где многочлен отрицателен. Множество решений неравенства соответствует области, где график
полинома находится ниже оси x. Критические числа -2 и 3 — это места пересечения графика.
ось х.

Критические числа делят ось x на три интервала, называемых проверочными интервалами для неравенства.

Интервалы проверки: (-inf, -2), (-2, 3), (3, inf).

Мы собираемся использовать тот факт, что полиномиальные функции непрерывны . Это означает, что их графики
без рывков и скачков.

Так как мы нашли все точки пересечения x графика x 2 — x — 6 на протяжении каждого тестового интервала
график должен располагаться либо над осью X, либо под ней. Здесь нам нужно знать, что граф не имеет
любые перерывы. Это означает, что мы можем выбрать любое число на тестовом интервале и оценить полином на
это число, чтобы увидеть, находится ли график выше или ниже оси x на протяжении всего интервала тестирования.

(-inf, -2): -5 находится в интервале. (-5) 2 — (-5) — 6 = 24 > 0, поэтому график y = x 2
— x — 6 выше оси x на всем интервале (-inf, -2).

(-2, 3): 0 находится в интервале. 0 2 — 0 — 6 = -6 < 0, поэтому график y = x 2 — x — 6
находится ниже оси абсцисс на всем интервале.

(3, inf): 4 в промежутке. 4 2 — 4 — 6 = 6 > 0, поэтому график y = x 2 — х — 6
находится выше оси абсцисс на всем интервале.

Поскольку мы ищем области, где график находится ниже оси, набор решений равен -2 < x < 3 или (-2, 3).

Распространенная ошибка

Мы будем использовать задачу из примера 8, чтобы проиллюстрировать распространенную ошибку.

х 2 — х — 6 < 0.

(x + 2)(x — 3) < 0 ОК.

x + 2 < 0 или x - 3 < 0 НЕПРАВИЛЬНО!

Если произведение двух чисел равно 0, то хотя бы одно из чисел должно быть 0. Однако произведение
двух отрицательных чисел не является отрицательным, поэтому этот подход не подходит для решения неравенств.

Пример 9 .

1,2 х 3 + 3,07 х 2 — х — 3,71 > 0,

Эта задача намного сложнее, чем неравенство в предыдущем примере! Рассчитать не просто, поэтому
мы не сможем найти точные значения критических чисел. Мы будем использовать графическую утилиту для аппроксимации
критические числа. График полинома показан ниже.

у = 1,2 х 3 + 3,07 х 2 — х — 3,71

Критические числа составляют примерно -2,35, -1,25 и 1,05. В этой задаче мы ищем регионы, где
график находится над осью.

Набор растворов : (-2,35, -1,25) союз (1,05, инф).

Упражнение 4 :

Решите неравенство x 2 + 3x — 4 > 0. Используйте графическую утилиту, чтобы проверить свое решение.

Вернуться к содержанию

Рациональные неравенства

Рациональное выражение имеет вид полиномиальное деление на полиномиальное. В общем случае графики рациональных функций
есть перерывы. Они не определены в нулях знаменателя. Это единственные места, где есть
разрывы, поэтому мы можем использовать ту же технику для решения рациональных неравенств, что и для полиномиальных неравенств.

Пример 10 .

Критическими числами рационального неравенства являются все нули числителя и знаменателя. С
числитель и знаменатель уже учтены в этом примере, мы видим, что критических чисел равны
-3, 5 и 1.

Три критических числа делят числовую прямую на четыре проверочных интервала.

(-inf, -3): -4 находится в интервале, а рациональная функция, оцененная в -4, равна -9/15. Поскольку значение отрицательное,
график рациональной функции ниже по оси x на протяжении всего интервала.

(-3, 1): 0 находится в интервале. Значение функции в 0 равно 5, что положительно. График функции
находится на выше по оси абсцисс на протяжении всего интервала.

(1, 5): 2 находится в интервале. Значение 2 равно -5. График функции: ниже по оси x.

(5, inf): 6 в промежутке. Значение в 6 равно 9/15. График функции над по оси x.

Мы ищем области, где график находится выше оси x, поэтому набор решений представляет собой объединение (-3, 1)
(5, инф).

Примечание: Графическую утилиту можно использовать, чтобы увидеть, на какой стороне оси x находится график в
различные интервалы проверки. В некоторых случаях вы должны решить алгебраически, чтобы найти точные значения критических чисел,
но как только это будет сделано, граф предоставляет быстрый способ решить проблему.

График y = (x + 3)(x — 5)/3(x — 1)

При работе с неравенствами следует помнить о двух важных моментах:

1. Нам нужно сравнить выражение с 0. Итак, если мы начнем с задачи

x 2 — 3x — 11 < x + 10, мы должны вычесть x и 10 с обеих сторон, чтобы получить

x 2 — 4x — 21 < 0,

2. Не умножайте обе части неравенства на выражение с переменной.

Например, учитывая задачу, сделать
не
умножить обе части на х. Правильный способ решения этой проблемы выглядит следующим образом:

Теперь мы видим, что критическими числами являются 0 (из знаменателя), 1 и -1.

Упражнение 5 :

(a) Завершите решение x 2 — 3x — 11 < x + 10 и проверьте свое решение с помощью графической утилиты.

(b) Завершите решение и проверьте свое решение
с графической утилитой.

Вернуться к содержанию


Графер
Калькулятор
Возврат
Справка
Точечная диаграмма

Решение линейных неравенств (Алгебра 1, Линейные неравенства) – Mathplanet

График линейного неравенства с одной переменной представляет собой числовую прямую. Используйте открытый кружок для < и > и закрытый кружок для ≤ и ≥.

График для x > -3

График для x ≥ 2

Неравенства, имеющие одно и то же решение, называются эквивалентными. Есть свойства неравенства, а есть свойства равенства. Все приведенные ниже свойства верны и для неравенств с участием ≥ и ≤.

Свойство сложения неравенства гласит, что добавление одного и того же числа к каждой части неравенства дает эквивалентное неравенство

$$If \: x>y,\: then\: x+z>y+z$$

$$If\: x

Свойство вычитания неравенства говорит нам, что вычитание одного и того же числа из обеих частей неравенства дает эквивалентное неравенство.

$$If \: x>y,\: then\: x-z>y-z$$

$$If\: x

Свойство умножения неравенства говорит Нам известно, что умножение обеих частей неравенства на положительное число дает эквивалентное неравенство.

$$If \: x>y \: and\: z>0,\: then\: xz>yz$$

$$If\: x0,\: then \: xz

Умножение в каждой части неравенства с отрицательным числом, с другой стороны, не дает эквивалентного неравенства, если мы также не реверсируем направление символа неравенства

$$If \: x>y \: и\: z<0,\: тогда\: xz

$$If\: xyz$$

То же самое относится и к свойству деления неравенства.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *