Не сонаправленные векторы: Сонаправленные вектора, формулы и примеры

Содержание

Векторы — Умскул Учебник

На этой странице вы узнаете

  • Что вектор украл у точки? 
  • Какими могут быть коллинеарные векторы?

Понятие вектора

Невероятная эффективность: каждый раз, когда мы двигаем стул, мы строим сразу четыре вектора.

Вектор – это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом.

Записывается вектор по следующим правилам: первая буква – это буква начала вектора, а вторая буква – буква конца вектора.

Что вектор украл у точки?

Практически всё! Это вообще законно?

Существует такой необычный вектор, который называется нулевым. На плоскости он обозначается как точка.

Что такое коллинеарные векторы?

Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных.

По данной картинке \(\vec{AB}\), \(\vec{CD}\) и \(\vec{EF}\) являются коллинеарными векторами

Какими могут быть коллинеарные векторы?

Коллинеарные векторы бывают сонаправленными и противоположно направленными.

Сонаправленные векторы – это коллинеарные векторы, направленные в одну сторону.
Противоположно направленные векторы – это коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны.

Важно: нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

Как можно записать длину вектора?

Длина вектора – это длина отрезка. Она не зависит от направления вектора и всегда неотрицательна, поэтому записывается в модульных скобках.

|\(\vec{AB}\)| и |\(\vec{DC}\)| — длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\)

Теперь давайте рассмотрим равенство векторов.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
А противоположными называют векторы с равными длинами и противоположными направлениями.

Действия с вектором

Играя в футбол или бильярд, мы не задумываясь совершаем множество действий с векторами. Давай разберем их с точки зрения геометрии. 

Сложение векторов

Сумма векторов – это перемещение. 

Для сложения векторов используют специальные правила, одним из них является правило треугольника.

Правило треугольника

Если начало одного вектора находится в конце другого вектора, тогда можно из начала первого вектора провести вектор в конец второго. Данное перемещение будет суммой векторов.

Что делать, если векторы отложены не друг за другом?

В таком случае можно сделать параллельный перенос. Это означает, что вектор можно сдвигать в пространстве, не меняя его направления и размера.

Существует еще одно правило сложения векторов.

Правило параллелограмма

Если оба вектора отложены от одной точки, тогда можно достроить данный рисунок до параллелограмма и провести вектор по диагонали из начальной точки. Полученный вектор будет суммой двух изначальных векторов.

Для сложения большего количества векторов применяются те же правила. Сначала складываются первый со вторым вектором, далее складывается сумма с третьим вектором и т. д.

Вычитание векторов

Чтобы вычесть из одного вектора другой, нужно привести их разность к сумме одного изначального вектора и одного противоположного вектора. А далее воспользоваться методами сложения.

Умножение на число

Произведением ненулевого вектора \(\vec{a}\) на число k называется такой вектор \(\vec{b}\), длина которого равна |k| * |\(\vec{a}\)|.

При k > 0, \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) – сонаправлены.
При k < 0, \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) – противоположно направленные.

Например:

Существуют также специальные законы сложения и умножения для векторов, аналогично законам для обычных чисел.

Законы сложения и умножения для векторов:
\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) = \(\vec{b}\) + \(\vec{a}\)
(\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)) + \(\vec{c}\) = \(\vec{a}\) + (\(\vec{b}\) + \(\vec{c}\))
(\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)) * k = \(\vec{a}\) * k + \(\vec{b}\) * k
(с + b) * \(\vec{a}\) = \(\vec{a}\) * с + \(\vec{a}\) * b

Фактчек

  • Вектор – это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом.
  • Коллинеарные векторы бывают сонаправленными и противоположно направленными
  • Векторы могут быть равными и противоположными.
  • Для сложения векторов применяется правило треугольника и правило параллелограмма.
  • Также векторы можно вычитать и умножать на число.
  • Существуют законы сложения и умножения для векторов, подобно законам сложения и умножения для обычных чисел.

Проверь себя

Задание 1.
Какие векторы изображены на картинке?

  1. Сонаправленные 
  2. Противоположно направленные
  3. Равные 
  4. Противоположные

Задание 2.
Какие векторы изображены на картинке?

  1. Сонаправленные 
  2. Противоположно направленные
  3. Равные 
  4. Противоположные

Задание 3.
Выберите верное утверждение для векторов на картинке

  1. Вектора сонаправленные
  2. Вектора равные
  3. Это нулевые вектора
  4. Длины данных векторов равны

Задание 4.
Какие векторы изображены на картинке?

  1. Равные
  2. Противоположно направленные
  3. Сонаправленные
  4. Противоположные

Ответы: 1. – 2; 2. – 1; 3. – 4; 4. – 3

Вопросы к главе IV

1. Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны; б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены; в) любые два равных вектора коллинеарны; г) любые два сонаправленных вектора равны; д) если а↑↓b, b↑↓c, то a↑↓c; е) существуют векторы а, b и с такие что а и с не коллинеарны, b и с не коллинеарны, а a и b коллинеарны?

а) Да, так как они лежат на параллельных прямых. б) Нет, они могут быть противоположно направлены. в) Да. г) Нет, например a и 2a. д) Нет, a↑↑c. е) Да, например три стороны параллелограмма.

2. Точки A и С симметричны относительно точки О и AD = BC. Симметричны ли точки В и D относительно точки О?

Да, так как ABCD — параллелограмм и BD — его диагональ, а О — центр.

3. Точки A и С симметричны относительно прямой а и AD = BC. Могут ли точки В и D быть: а) симметричными относительно прямой а; б) несимметричными относительно прямой а?

а) Да, (рис. 226 а), б) Да, (рис. 226 б).

4. Точки A и С, а также точки В и D симметричны относительно плоскости α. Могут ли векторы АВ и CD быть: а) равными; неравными?

а) Да; б) Да.

5. Известно, что векторы а и a+b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы а и b?

Да, так как a и a — (a + b) коллинеарны.

6. Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого из слагаемых?

Да, например

7. Может ли длина суммы нескольких ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?

Да, если все векторы сонаправлены.

8. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?

Да, если эти векторы противоположно направлены.

9. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной разности длин этих векторов?

Да, если эти векторы сонаправлепы.

10. Может ли длина суммы двух ненулевых векторов быть равна длине разности этих векторов?

Да, если эти векторы перпендикулярны.

11. На какое число нужно умножить ненулевой вектор а, чтобы получить вектор b, удовлетворяющий следующим условиям:

а) На 1; б) на — 3; в) на — k; г) на 0.

12. Известно, что AB = k⋅CD, причем точки А, В и С не лежат на одной прямой. При каком значении k прямые AC и BD являются: а) параллельными; б) пересекающимися? Могут ли прямые АС и BD быть скрещивающимися?

а) Эти прямые параллельны при k = 1 б) При k ≠ 1 и k ≠ 0 эти прямые пересекаются. Прямые АС и BD не могут быть скрещивающимися, т. к. лежат в одной плоскости.

13. Компланарны ли векторы: а) а, b, 2а, 3b; б) а, b, a+b, а — b?

а, б) Да, эти векторы лежат в плоскости, проходящей через вектора a и b.

14. Известно, что векторы а, b и с компланарны. Компланарны ли векторы: а) а, 2b, 3с; б) а+b, а+2с, 2b — Зс?

Да.

15. Точки А, В и С лежат на окружности, а точка О не лежит в плоскости этой окружности. Могут ли векторы ОА, ОВ и ОС быть компланарными?

Нет, так как если эти вектора лежат в одной плоскости, то точка О лежит в плоскости ABC, но точка О не лежит в этой плоскости.

Источник:

Решебник

по

геометрии

за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №0
к главе «Глава IV. Векторы в пространстве § 3. Компланарные вектора ».

Все задачи

← 375. В тетраэдре ABCD точки К и М — середины ребер АВ и CD Докажите, что середины отрезков КС, KD, МА и MB являют ся вершинами некоторого параллелограмма.

376. Лан параллелепипед MNРQМ1N1P1Q1. Докажите, что: →

терминология — Что такое термин для вектора в том же направлении, но с разной длиной

спросил

Изменено
5 лет, 9 месяцев назад

Просмотрено
2к раз

$\begingroup$

Я скажу, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат на одной прямой, например (1, 2, 3) и (-1, -2, -3).
Как мне назвать два вектора в одном направлении, но с разной длиной? как (1, 2, 3) и (2, 4, 6). (Конечно, они коллинеарны, но есть ли для них более конкретный термин?)

  • векторы
  • терминология

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Можно сказать, что (1,2,3) и (2,4,6) параллельны.

Как $ \vec{a} = k \vec{b}$

Правка — Разница между параллельным и коллинеарным

Если два параллельных вектора имеют между собой угол = 0, то есть оба имеют одинаковое направление, но коллинеарные векторы лежат в одной плоскости, они могут быть параллельны или антипараллельны, то есть угол = 180.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Правильным термином является то, что один вектор является положительным скалярным множителем другого. Или вы могли бы сказать, что они дают один и тот же нормализованный вектор (то есть вектор, полученный путем деления их на их собственную длину). В более неформальном обсуждении вы могли бы сказать, что векторы указывают в одном направлении.

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Два вектора идут в одном направлении, если?

Задавать вопрос

спросил

Изменено
4 года, 11 месяцев назад

Просмотрено
20 тысяч раз

$\begingroup$

Направлены ли два вектора в одном направлении, если их скалярное произведение больше нуля/положительно? Я знаю, что они ортогональны, если их скалярное произведение равно 0, поэтому они не могут быть в одном направлении. Я также читал, что если вектор u является скалярным кратным v , они в одном направлении? Я не могу найти окончательный ответ.

  • векторных пространств
  • векторов

$\endgroup$

6

$\begingroup$

Два вектора $\mathbf v$ и $\mathbf w$ имеют одинаковое направление тогда и только тогда, когда $$\frac{\mathbf{v}}{v}\cdot\frac{\mathbf{w} }{w}=1$$

Один из многих способов перефразировать это: $\mathbf{\hat v}=\mathbf{\hat w}$.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *