Натяжение троса формула: Формула силы натяжения нити в физике

Содержание

Силы упругости: пружины, канаты и нити

В задачах в этой статьи рассмотрены случаи, когда тело поднимают или опускают с ускорением. При этом натяжение нити, на которой подвешен груз, разное. Даны примеры составления уравнений по второму закону Ньютона в проекциях на оси.

Задача 1. Грузовик взял на буксир легковой автомобиль массой т и, двигаясь равноускоренно, за с проехал м. На сколько при этом удлиняется трос, соединяющий автомобили, если его жесткость Н/м? Трение не учитывать.

Удлинение троса можно найти, зная силу упругости:

   

   

Так как трение учитывать не нужно, то по второму закону Ньютона

   

Следовательно,

   

Определим ускорение грузовика:

   

   

Окончательно для удлинения троса получаем:

   

Ответ получен в метрах, можно записать его в мм: 0,64 мм.

 

Задача 2. На нити, выдерживающей натяжение Н, поднимают груз массой кг из состояния покоя вертикально вверх. Считая движение равноускоренным, найти предельную высоту , на которую можно поднять груз за с так, чтобы нить не оборвалась.

К задаче 2

Запишем второй закон Ньютона в проекция на вертикальную ось:

   

Тогда ускорение равно:

   

Высота, на которую тело можно поднять с таким ускорением, равна

   

Ответ: 5 м

 

Задача 3. Веревка выдерживает груз массой кг при вертикальном подъеме его с некоторым ускорением и груз массой кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная масса груза , который можно поднимать или опускать на этой веревке с постоянной скоростью?

К задаче 3

Запишем уравнения по второму закону как для подъема, так и для спуска тела. Направим ось вверх, тогда при подъеме:

   

При спуске:

   

Ускорение по условию одно и то же, тогда:

   

Или

   

Приравняв, можем найти силу натяжения веревки, которую она выдерживает:

   

   

   

   

Если бы груз массой просто висел на такой веревке, то мы бы записали

   

Следовательно,

   

   

Ответ: 190 кг

Задача 4. Груз массой кг подвешен к пружине жесткостью Н/м. Длина пружины в нерастянутом состоянии м. Найти длину пружины , когда на ней висит груз. Какой будет длина пружины, если пружина с грузом будет находиться в лифте, движущемся с ускорением м/с, направленным а) вверх; б) вниз?

К задаче 4

Если груз повешен на пружину, ее длина увеличивается:

   

При движении лифта вверх запишем второй закон (ось направлена вверх):

   

   

Тогда длина пружины в этом случае:

   

При движении лифта вниз запишем второй закон (ось направлена вверх):

   

   

Тогда длина пружины в этом случае:

   

Ответ: , , .

 

Задача 5. Четырьмя натянутыми нитями груз закреплен на тележке. Силы натяжения горизонтальных нитей соответственно и , а вертикальных – и . С каким ускорением движется тележка по горизонтальной плоскости?

К задаче 5

Запишем уравнения по второму закону в проекциях на оси, которые расположим традиционно: ось вправо, ось – вверх. Тогда, если тележка движется вправо, по оси, имеем:

   

   

Из второго уравнения найдем массу груза:

   

   

Тогда ускорение тележки (и груза) равно:

   

   

Если же тележка движется влево (против оси), то изменится только первое уравнение:

   

   

Тогда ускорение тележки (и груза) равно:

   

Сила натяжения нити

Определение 1

Сила натяжения — сила, приложенная к концам объекта и создающая внутри него упругую деформацию. Длина такого объекта, как правило, многократно превышает толщину (веревка, канат, трос, леска, проволока).

Наблюдать силу натяжения можно, на таких примерах, как строительный отвес, растяжки, удерживающие радиоантенны, арматура внутри напряженного бетона, корабельный такелаж и т.п.

В простейшем случае, чтобы определить силу в натянутой под действием веса висящего на ней груза нити с неподвижно закрепленным верхним концом, следует рассчитать силу тяжести как массу груза, умноженную на ускорение свободного падения:

$F = F_{тяж} = m \cdot g$

Если подвешенный груз действует на нить не вертикально, а под углом (например, в маятнике), то формула примет вид

$F_п = m \cdot g \cdot cos(\alpha)$

, где $\alpha$ — угол отклонения. ²}{1} = 8 Н$

Ответ: сила натяжения нити маятника равна $18,64 + 8 = 26,64 Н$.

Шмидт М.П., Шмидт А.М. Равновесие гибкой нерастяжимой подвешенной нити

Задача об определении силы натяжения в подвешенной тяжелой нити связана с проблемой прочности тросов, цепей или проводов линий электропередачи. Будем считать, что нить идеально гибкая и нерастяжимая и что ее провисание происходит только из-за различия между длиной нити L и расстоянием между опорами l. Расстояние f по вертикали между нижней точкой нити и опорами называется стрелой провеса (рис. 1, а).

Рис. 1.

Обозначим через q силу тяжести единицы длины нити. Для пологой кривой можно принять, что сила тяжести равномерно распределена не по кривой АОВ, а по ее проекции АВ. Таким образом, силу тяжести нити будем считать равной .

Рассмотрим условия равновесия правой половины нити. Действующие на нее силы изображены на рис. 1, б. Следует отметить, что сила натяжения в любом сечении нити направлена по касательной к кривой в соответствующем месте (это следует из предположения, что нить идеально гибкая). Поэтому в нижней точке нити О, принятой за начало координатной системы хОу, сила натяжения  (сила, с которой левая часть нити действует на правую) горизонтальна.

Запишем уравнение моментов относительно точки В

                                                         (1)

где  – сила тяжести половины нити. Из этого уравнения находим, что

                                                   (2)

Из выражения (2) следует, что чем меньше стрела провеса нити f, тем больше сила натяжения Т0.

Из двух уравнений для проекций сил на оси x и у можно найти составляющие ХВ и ΥB в силы натяжения нити в точке В.

                             (3)

                             (4)

Сила натяжения в точке B

                       (5)

или

                                    (6)

Второе слагаемое в сумме под знаком корня значительно меньше единицы, и можно воспользоваться приближенной формулой , достаточно точной для малых по модулю значений α. Тогда выражение (6) запишется

                                    (7)

Формула (7) определяет наибольшее натяжение нити в точке подвеса, которое мало отличается от наименьшего натяжения Т0 в средней точке.

Для нахождения Τ0 и ТB по формулам (2) и (7) необходимо знать стрелу провеса f, а для нахождения стрелы провеса f нужно знать уравнение кривой, по которой провисает нить. Для получения требуемого уравнения рассмотрим часть нити, расположенную между началом координат и произвольным сечением с абсциссой x (рис. 1, в).

Для этой части нити запишем два уравнения равновесия (для проекций сил на оси x и y):

                                      (8)

                                       (9)

где  – сила тяжести рассматриваемой части нити, Тх – сила натяжения на правом конце этой части.

Из уравнения (8) следует, что с удалением от нижней точки О, т. е. с увеличением угла α, сила натяжения нити возрастает и достигает максимума в точках подвеса.

Исключив из уравнений (8) и (9) Тх, с учетом уравнения (2) получим

                                     (10)

Так как , равенство (10) запишется

                                      (11)

Соотношение (10) представляет собой дифференциальное уравнение, определяющее форму нити в положении равновесия.

Интегрируя (11), получим

                                (12)

Постоянную интегрирования С найдем из граничного условия. При
х = 0, y = 0. Откуда следует, что С = 0. Тогда выражение (12) запишется

                                       (13)

Таким образом, при сделанных нами предположениях (стрела прогиба f мала по сравнению с длиной пролета l), тяжелая нить в положении равновесия принимает форму параболы. В более точных предположениях (стрела прогиба f не мала по сравнению с длиной пролета l) уравнение кривой равновесия тяжелой нити определяет цепную линию.

Располагая уравнением (13), можно выразить стрелу провеса f через L и l. Бесконечно малый элемент длины нити равен  . Откуда

Для пологой нити квадрат производной . Поэтому

Тогда длина нити

                               (14)

Так как , то выражение (14) запишется

откуда находим стрелу прогиба

                               (15)

Задача. Определите наименьшую и наибольшую силу натяжения троса, если сила тяжести единицы длины q = 10 Н/м, длина пролета l = 20 м, а длина троса L = 21 м.

Решение. По формуле (15) находим стрелу прогиба

Наименьшую силу натяжения определим по формуле (2)

Наибольшую силу натяжения определим по формуле (7)

Ответ: f= 2,74 м, Т0 = 182 Н, ТВ = 209 Н.

Замечание. При более точных предположениях уравнение кривой равновесия тяжелой нити представляет собой не параболу, а цепную линию. Не приводящиеся здесь вычисления дают в этом случае следующие значения искомых величин:

f= 2,76 м, T0 = 185 Н, ТВ = 213 Н.

Сравнение более точных и приближенных значений подтверждает справедливость сделанных нами предположений для практических расчетов.

1. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. – Т.З. – М.: Наука, 1973.

 

Зависимости силы натяжения режущего каната от режимных параметров алмазно-канатной машины АКМ-1 Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 622.23.05

М.М. Исманов

канд. техн. наук, доцент, Кыргызско-Узбекский университет, г. Ош, Киргизия

ЗАВИСИМОСТИ СИЛЫ НАТЯЖЕНИЯ РЕЖУЩЕГО КАНАТА ОТ РЕЖИМНЫХ ПАРАМЕТРОВ АЛМАЗНО-КАНАТНОЙ МАШИНЫ АКМ-1

Аннотация. В данной работе разработана расчетная схема и получены зависимости силы натяжения режущего каната от конструктивных и режимных параметров алмазно-канатной машины АКМ-1. На основе анализа полученных зависимостей выработаны соответствующие рекомендации по определению рациональных режимов работы, силовых и конструктивных параметров алмазно-канатных машин.

Ключевые слова: сила натяжения, режущий канат, рабочий шкив, процесс резания камня, усилие подачи, сила резания, сила упругости, сила сопротивления, скорость режущего каната, угловая скорость рабочего шкива.

M.M. Ismanov, Kyrgyz-Uzbek University, Osh, Kyrgyzstan

DEPENDENCES OF FORCE OF A TENSION OF THE CUTTING ROPE ON REGIME PARAMETERS OF

THE DIAMOND AND ROPE CAR AKM-1

Abstract. In this paper we developed the design scheme and obtained according to the tension force of the rope cutter design and operational parameters of the rough and the cable car AKM-1. On the basis of analysis of the dependencies to make appropriate recommendations for the definition of rational modes of operation, power and design data diamond cable cars.

Keywords: tension force, cutting the rope pulley working, stone cutting process, feed force, cutting force, elastic force, resistance force, the speed of the cutting of the rope, the angular velocity of the pulley working.

Как показывает практика, что через определенное время эксплуатации режущие алмазные канаты часто подвергаются разрыву. В большинстве случаев разрыв режущего каната происходит из-за превышения предельно допустимого значения силы натяжения режущего каната. Возникновение этого явления, особенно у ведущей ветви режущего каната, часто наблюдается при нерациональных режимах резания природного камня [1-4].

Исходя из вышеизложенного, можно отметить, что аналитические исследования в данном направлении актуальны, так как дают возможность произвести расчетную оценку долговечности режущего каната и тем самым повысить эксплуатационные показатели алмазно-канатных машин, пометить пути дальнейшего совершенствования их конструкций.

В связи с этим для решения вышеизложенной проблемы, а также для определения зависимости силы натяжения режущего каната от конструктивных и режимных параметров рассмотрим конструкцию опытного образца алмазно-канатной машины АКМ-1 (рис. 1).

Для проведения аналитических исследований разработана расчетная схема (рис. 2.), с учетом следующих допущений:

1. натяжение троса, ремня, режущего каната в достаточных пределах и их проскальзывание по шкивам отсутствует;

2. сила тяги рабочей тележки тросом равно силе тяжести груза;

3. коэффициенты трения качения подшипников и колес рабочей тележки равны нулю, и они катятся без скольжения.

В процессе резания камня на ведущую ветвь режущего каната действуют суммарные силы сопротивления (рис. 2): силы трения скольжения РТР, силы сопротивления резанию РР и силы упругости РУ. Эти силы, противодействуя усилию протягивания режущего каната РК, оказывают значительное влияние на эксплуатационные показатели алмазно-канатной машины АКМ-1.

Рисунок 1 — Конструктивная схема алмазно-канатной машины АКМ-1: 1 — шасси, 2 — стойки для регулирования угла наклона шасси, 3 — рабочая тележка, 4 — электродвигатель, 5 — клиноременная передача, 6 — рабочий шкив, 7 — алмазный канат, 8 — вертикальная рама, 9,12 — шкивы, 10 — груз, 11 — трос

Как видно из рисунка 2, суммарная сила сопротивления движению режущего каната слагается из следующих составляющих:

Рс = Ртр + Рр + Ру ■ (1)

Суммарную силу трения скольжения можно выразить следующей зависимостью:

Ртр = Рп (Г + С) , (2)

где Рп — усилие подачи, f — коэффициент трения алмазной втулки режущего каната о горную породу, ^ — коэффициент сопротивляемости движению режущего каната в технологической щели.

Исходя из рисунка 2, определим величину усилия подачи в виде

Рп = вГ + вТ ■ эта, (3)

где СГ = тГд — сила тяжести груза, СТ = тТд — сила тяжести рабочей тележки вместе с приводом режущего каната, а — угол наклона рельса к горизонту.

Суммарную силу сопротивления резанию с достаточной степенью точности можно записать в виде:

М щ

Рр = Рк т =

■м,

(4)

где ,а>Ш — соответственно, движущий (вращающий) момент и угловая скорость рабочего шкива, иК — скорость режущего каната, ¡л — коэффициент сопротивляемости пород относительному сдвигу (сцепление) или срезу.

Силу упругости ведущей ветви режущего каната, пренебрегая его вращение, с учетом ранее принятых допущений, определим по следующей формуле:

(5)

Ру = с ■ А/,

где с =

Е Б

— коэффициент жесткости троса, Е — модуль упругости троса, Б =

р ■ сТ2

— площадь

/ ™ 4

поперечного сечения троса, бт — диаметр троса, / и А/ — соответственно, длина и удлинение ведущей ветви режущего каната.

С учетом вышеизложенных зависимостей, силу упругости ведущей ветви режущего ка-

ната запишем в виде

Я = ^ А/d .

(6)

/ 4/

Подставляя значения силы трения скольжения РТР, силы сопротивления резанию РР и силы упругости РУ из (2), (4) и (6) в уравнение (1), получим зависимости суммарной силы сопротивления РС в виде

Рс = Рп (f+fc)+Mli3l m +

PEdL .А/

4/

(7)

Рисунок 2 — Расчетная схема алмазно-канатной машины АКМ-1 м

Для определения зависимости силы натяжения ведущего и ведомого ветвей режущего каната рассмотрим правую часть рисунка 2 и составим другую расчетную схему (рис. 3). При составлении расчетной схемы пренебрегаем силой тяжести элемента режущего каната длиной Ой.

Рисунок 3 — К определению сил натяжения режущего каната

Рассмотрим равновесие элемента режущего каната длиной Ой 81 = Я2 81, где Я2 -радиус дугообразного участка пути резания, т.е. радиус охвата режущим канатом блока камня.

Из рисунка 3 видно, что натяжение режущего каната в точке С имеет величину Т, а в точке й равно величине Т + 8Т . Разность натяжений режущего каната в точке й и С равно 8Т, и она уравновешивается элементарной силой сопротивления движению режущего каната 8РО. С учетом уравнения (7), элементарную силу сопротивления движению режущего каната 8РО запишем в виде:

ЗТ = ЗРО = ЗРТР + ЗРР + ЗРу . (8)

Для рассматриваемого участка, составляя уравнения равновесия действующих сил относительно оси х, получим

ЗМ — ЗРп -(Т + ЗТ) ■ б!п 3 — Т ■ б!п {у | = 0. . (10)

Полагая синус малого угла равным самому углу и пренебрегая малыми высшего порядка, находим силу давление элементарного участка режущего каната Ой на горную породу:

ЗМ = ЗРп + 2Т■ З1 = ЗРп + Т ЗЛ. (11)

Тогда элементарную величину силы трения скольжения, с учетом выражения (11), можно записать зависимостью вида:

ЗРтр = V + о) ■ ЗМ = (V + о) ■ (ЗРп + Т ЗЛ). (12)

Составляя уравнения равновесия действующих сил относительно оси у, получим

(Т + ЗТ) ооб 3 — Т ■ ооб 3-ЗРТР-ЗРУ-ЗРР = 0. (13)

(злл (ЗЛ\ .

Учитывая малость угла I — I и принимая ооб{ — I = 1, получим

ЗТ = ЗРтр +ЗРУ + ЗРР. (14)

Подставляя значения ЗРтр из уравнения (12) в (14), получим

ЗТ = V + о)\ЗРп + ТЗЛ) + ЗРУ + ЗРР . (15)

Беря интегралы слева в пределах от Р’с до Рк (так как натяжения режущего каната в точке А минимальное и равно Р’с , где Л = 0, а в точке К, где Л = р, равно усилию протягивания каната Рк), а справа от 0 до максимальных значений сил (рис. 3), а также беря интегралы от угла Л в пределах от 0 до р, получим

рк р„ р ру рр

16Т = (V + о)|сСРп + (V + о)Т|СЛ+ | ССРу + | ССРр , (16)

Р 0 0 0 0

откуда

Рк = (V + о)■ Рп + V + о)■ (■ Т + Ру + Рр + Рс . (17)

Как видно из рисунка 3, силу натяжения режущего каната на участке й с достаточной степенью точности можно определить по следующей формуле:

Р + Рс

т = Рк + Рс . (18)

Подставляя значение Т из уравнения (18) в выражение (17), имеем

(Р + рс)

Рк = V + о)■ Рп + V + о)■ РЛ К 2 С) + Ру + Рр + Рс . (19)

Проведя определенные преобразования, получим зависимость силы натяжения ведущей ветви режущего каната от режимных и конструктивных параметров алмазно-канатной машины АКМ-1 в виде

Рк =

2/+с) • рп + (2+/+/с) • Рс + 2РУ + 2р

(20)

2 — // + /с)

Исходя из полученного выражения (20), построим диаграммы, характеризующие зависимость силы натяжения режущего каната от усилия подачи РП, силы резания РР и движущего момента Мб (рис. 4а), а также от скорости режущего каната ик, угловой скорости рабочего шкива сШ и коэффициента сопротивляемости пород относительному сдвигу (сцепление) или срезу т (рис. 46). Они построены при средних (постоянных) значениях режимных и конструктивных параметров алмазно-канатной машины АКМ-1: РП = 0,4 кН; РР = 0,3 кН; РУ = 0,01кН; Р’С =

и 3

0,005кН; соШ = 74 рад/с; ик = 26 м/с; Мб = 0,46 кН м; И = 0,2; / = 0,24; /С = 0,1; <р = -ж, рад.

I

з,;

и 3,( о и <и

1’2′

а 2>(

и

£ £ 1 ‘ X ‘ га

О 1,0

Рк

Рк (Рр)

М)

и

1,5 1,4 1,3 1,2 1,1

/

Рк(Я /

Рк(А }ш) ,

Рк( У Л)

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Усилие подачи Ря,кН

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Сила резания Р кН

1,2

0,6

Э 1.

Рисунок 4 — Зависимости силы натяжения режущего каната от режимных параметров машины АКМ-1 при резании камня

Как видно из рисунка 4а, значительное влияние на величину Рк оказывает усилие подачи РП. Из зависимости РК(РП) выявлено, что с увеличением величины РП пропорционально растет значение силы натяжения режущего каната Рк. При РП = 0,2 кН значение Рк = 1,925 кН, а при увеличении РП на 0,2 кН величина силы натяжения режущего каната увеличивается на 0,34 кН и Рк = 2,265 кН, т.е. в этом случае величина Рк увеличивается на 17,6%. Определено, что при ступенчатом увеличении величины усилия подачи РП на 0,2 кН пропорционально растет значение силы натяжения режущего каната Рк на 0,34 кН.

Из анализа следует, что для данного случая наиболее рациональные значения величины РП находятся в пределах от 0,3 до 0,5 кН. Для точного определения рациональных значений РП возникает необходимость проведения экспериментальных исследований алмазно-канатной машины АКМ-1, с учетом физико-механических свойств природного камня, а также упруго-инерционных характеристик режущего каната и рабочего шкива.

Существенное влияние на величину Рк окажет сила резания РР. Как видно из рисунка

4а, с увеличением величины РР наблюдается значительное увеличение силы натяжения режущего каната РК. При РР = 0,1 кН значение РК = 1,275 кН, а при увеличении РР от 0,1 до 0,3 кН значение РК пропорционально растет от 1,275 до 2,275 кН, т.е. величина РК на этом интервале увеличивается на 1,0 кН и рост составляет 78,4%. Каждый раз, когда величина РР увеличивается на 0,2 кН, величина РК растет на 78,4%.

Как показывает проведенный анализ, рациональные значения РР находятся в интервале от 0,25 до 0,35 кН. Из анализа следует, что для достижения надежной работы режущего каната следует выбирать рациональную величину силы резания РР, с учетом коэффициента сопротивляемости пород относительному сдвигу (сцепление) или срезу скорости движения режущего каната и угловой скорости рабочего шкива.

Как показывает зависимость РК(Мб), увеличение величины Мб от 0,2 до 0,4 кНм приводит к росту силы натяжения режущего каната от 1,059 до 1,34 кН (рис. 4а), т.е. на этом интервале РК растет на 0,28 кН. При последующем увеличении величины Мб наблюдается пропорциональный рост значения РК на 28,5%.

Из вышеизложенного следует, что резкое увеличение величины Мб в 2 и более раза в процессе резания природного камня может привести к разрыву режущего каната. Исходя из анализа зависимости РК(Мб) следует, что рациональные значения величины Мб необходимо выбирать в интервале от 0,4 до 0,5 кНм, а процесс резания камня нужно обеспечить при постоянных и рациональных значениях движущего момента Мб.

Зависимость РК(иК) показывает (рис. 46), что увеличение величины скорости движения режущего каната иК положительно влияет на рассматриваемый процесс (рис. 46). При увеличении величины иК наблюдается уменьшение величины силы натяжения режущего каната РК. При иК = 20 м/с величина РК = 1,145 кН, а при иК = 30 м/с величина РК = 1,02 кН, т.е. величина силы натяжения каната РК уменьшается на 0,125 кН.

Следует отметить, что для повышения скорости движения режущего каната требуется увеличение угловой скорости и диаметра рабочего шкива. В свою очередь, чрезмерное увеличение этих параметров приводит к динамической неуравновешенности и появлению вынужденных колебаний алмазно-канатной машины. Из проведенного анализа определено, что наиболее рациональные значения скорости режущего каната иК колеблются в пределах от 35 до 40 м/с.

Из зависимости РК(а>Ш) видно, что на силу натяжения режущего каната свое определенное влияние оказывает величина щШ (рис. 46). При увеличении величины щШ от 60 до 70 раб/с параметр РК растет от 1,0 до 1, 044 кН, т.е. на 4,4%. Учитывая незначительное влияние угловой скорости соШ на величину РК, можно увеличить щШ до рациональных ее значений, с учетом упруго-инерционных характеристик рабочего шкива. Следует отметить, что повышение величины угловой скорости рабочего шкива требует тщательного изучения данного процесса и решения ряда технических задач. С точки зрения наших аналитических исследований и анализа зависимости РК(щШ), наиболее рациональные значения угловой скорости рабочего шкива щШ колеблется в пределах от 74 до 84 раб/с.

Значительное влияние на величину РК оказывает коэффициент сопротивляемости пород относительному сдвигу (сцепление) или срезу л . Как видно из рисунка 46, с увеличением величины л наблюдается значительное увеличение силы натяжения режущего каната РК. При Л = 0,1, значение РК = 0,92 кН, а при л = 0,2, значение РК = 1,06 кН, т.е. РК увеличивается на 14%. При увеличении л от 0,2 до 0,4 значение РК пропорционально растет от 1,06 до 1,34 кН, т. е. величина РК на этом интервале увеличивается в 2 раза. Для минимизации величины РК, возникает необходимость уменьшения коэффициента л. Из анализа следует, что для дости-

жения надежной работы режущего каната, следует минимизировать величину коэффициента сопротивляемости л до 0,1.

Таким образом, на основе анализа зависимостей силы натяжения режущего каната от усилия подачи Рп, силы резания РР и движущего момента Мб, а также от скорости движения режущего каната иК, угловой скорости рабочего шкива щШ и коэффициента сопротивляемости пород относительному сдвигу (сцепление) или срезу л выявлены существенные резервы по совершенствованию данного процесса. Выработаны соответствующие рекомендации по определению рациональных значений силовых и конструктивных параметров, а также режимов работы алмазно-канатных машин. Определены целенаправленные пути увеличения надежности работы рабочего шкива и режущего каната, снижения вибрации алмазно-канатных машин в процессе резания природного камня.

Список литературы:

1. Исманов, М.М. Динамика алмазно-канатной машины АКМ-1 в процессе резания камня [Текст] / М.М. Исманов // Приволжский научный вестник. — Ижевск, 2016. — № 3 (55). -С.40-45.

2. Кокунина, Л.В. Исследование алмазно-канатного резания блочного камня на карьерах [Текст] / Л.В. Кокунина // Изв. вузов. Горный журнал. — 2008.- № 1. — С. 67-69.

3. Кабалдин, Ю.Г. Динамическая модель процесса резания [Текст] / Ю.Г. Кабалдин, А.А. Бурков, М.В. Семибратова, А.А. Александров // Вестник машиностроения. — 2001. — № 8. -С. 33-38.

4. Сарафян, Г.С. Исследование колебаний привода режущей части камнерезных машин [Текст]: дис. … канд. техн. наук: 01.02.06 / Г.С. Сарафян. — Л: ВНИИ МПСМ, 1983. — 144 с.

5. Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики [Текст] / С.М. Тарг. — М.: Высшая школа, 1986. — 416 с.

ЕГЭ по физике, базовый уровень. Законы Ньютона

Разберем задание №2 из ЕГЭ прошлых лет. 

 

Первая задача

 

Груз массой 100 кг поднимают вертикально вверх с помощью троса. На (Рис.1) приведена зависимость проекции скорости V груза на ось, направленную вертикально вверх, от времени t. Определите модуль силы натяжения троса в течение подъёма. Ответ выразите в ньютонах.

 

Рис.1

 

Решение:

 

Проанализируем график, представленный на (Рис.1). Из графика видно, что скорость меняется по линейному закону. Наклон графика говорит о том, что движение является равноускоренным. Ускорение мы можем найти по формуле:

 

а = (V2 – V1) / (t2 – t1) 

 

Подставим числовые значения, взятые из графика:

 

а = (4 м/с – 1 м/с) / (3с – 0с) = 1 м/с2

 

Модуль силы натяжения троса мы найдем, используя Второй закон Ньютона.

По второму закону Ньютона запишем все силы, действующие на груз:

 

ma = T – mg

 

Откуда сила натяжения троса равна:

 

T = ma + mg 

 

Подставим числовые значения:

 

T = 100 кг · 1 м/с2 + 100 кг · 10 м/с2 = 1100 Н

 

Таким образом, сила натяжения троса равна 1100 Н

 

Ответ: 1100.

 

 

Вторая задача

 

Лифт массой 800 кг, закрепленный на тросе, поднимается вертикально вверх. На (Рис.2) изображен график зависимости модуля скорости V лифта от времени t. Чему равна сила натяжения троса? Ответ выразите в ньютонах. Ускорение свободного падения примите равным 10 м/с2.

 

Рис.2

 

Решение:

 

Проанализируем график, представленный на (Рис.2). Из графика видно, что скорость меняется по линейному закону. Наклон графика говорит о том, что движение является равнозамедленным. Ускорение мы можем найти по формуле:

 

а = (V2 – V1) / (t2 – t1) 

 

Подставим числовые значения, взятые из графика:

 

а = (0 м/с – 6 м/с) / (30с – 0с) = — 0,2 м/с2

 

Модуль силы натяжения троса мы найдем, используя Второй закон Ньютона.

По второму закону Ньютона запишем все силы, действующие на лифт:

 

ma = T – mg

 

Откуда сила натяжения троса равна:

 

T = ma + mg 

 

Подставим числовые значения:

 

T = 800 кг · (- 0,2) м/с2 + 800 кг · 10 м/с2 = 7840 Н

 

Таким образом, сила натяжения троса равна 7840 Н

 

Ответ: 7840.

 

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Помогите решить / разобраться (Ф)

Я на форуме новичок, правила по использованию ТеХа прочитал, постараюсь полностью их соблюсти и прошу не судить строго, если не получилось.
А также я не знаю насколько глубоко можно использовать аппарат теормеха и сопромата при выводе.
Задача весьма интересная, я постараюсь воспроизвести логику, которой я пользовался в выводе окончательного решения.
Начал я, как следует, из простых соображений и всевозможных допущений, а затем постепенно задачу усложнял. Мой подход, безусловно, не единственный, но как есть.

Я буду пользоваться Вашими обозначениями, но вот длину свободного пробега тела слева обозначу , а длину свободного пробега тела справа , полная длина троса при выбранном зазоре — , начальная длина не натянутого троса — , тогда свободный пробег: .

Будем для определенности полагать, что сила

1. Пусть изначально трос заранее натянут (я это делаю для того, чтобы Вы потом смогли использовать мои положения для окончательного решения).
Тогда уравнение движения для системы тел запишется в виде
, где — плотность единицы длины троса.

1.1 Пренебрежем силами инерции
Тогда условие прочности через осевое напряжение: , где — площадь поперечного сечения троса, — допускаемое осевое напряжение в тросе.

1.2 С учетом сил инерции
С учетом сил инерции нужно понимать, что трос будет дополнительно растягиваться вследствие вовлечения его в поступательное движение с некоторой силой. Тогда

Итак, данные положения не решают Вашу задачу, но помогут нам с ней.
Вероятно, главной ошибкой в Ваших рассуждениях был пункт 2, предполагающий, что максимальные нагрузки будут возникать при движении системы тел в одном направлении после удара, в то время как именно удар будет определяющим в разрушении троса.

2. Трос не натянут.
Для начала пренебрежем массой троса по отношению к массе концевых тел. Если у Вас получится в рамках такого предположения решить данную задачу, то я расскажу свои соображения насчет корректного учета вовлекаемой массы троса в движение за одним и другим телом.
По пунктам:
— записываем уравнение движения для двух тел под действием различных сил;
— интегрируем эти уравнения от нулевой скорости до до некоторого времени натяжения троса , которое будет, очевидно, одинаковым;
— однозначно связываем скорости между собой;
— преобразуем уравнение движения, воспользовавшись соотношением , где — координата;
— интегрируем это выражение до и , выражаем последние и суммируем, так как ;
— теперь у нас два уравнения с двумя неизвестными скоростями . Разрешаем и находим их;
— в процессе резкого торможения троса работа одной из реакций троса (реакции в общем случае не равны, подумайте какую из двух реакций следует использовать) на величине удлинения должна компенсировать кинетическую энергию тела и работу движущей силы ;
— связывая удлинение через напряжение и модуль упругости (для стального троса он примерно в три раза меньше стального прутка, т.е. порядка 67 ГПа) выражаем напряжение и находим его;
— почти все, осталось лишь учесть, что при динамическом нагружении сталь ведет себя не так, как при статическом, и лучше сопротивляется приложенным нагрузкам. С другой стороны, при динамическом нагружении кривая «истинные напряжения — деформация» ведет себя близко к упругости вплоть до разрушения, стало быть не надо учитывать пластическое упрочнение. Учитывать это или нет, — все зависит от необходимого Вам результата — исключительно теоретического или же с практической значимостью.
Будут вопросы по последнему и другому пункту — спрашивайте.

Способ измерения натяжения рессорного троса

 

Изобретение относится к области электрификации железных дорог, в частности к средствам, обеспечивающим контроль за натяжением рессорного троса. Способ измерения натяжения рессорного троса включает определение стрелы провеса троса и расчет величины натяжения. Предварительно на рессорном тросе выбирают участок, провисающий под действием нагрузки только от собственного веса, расположенный между двумя точками, находящимися в одной горизонтальной плоскости, стрелу провеса троса определяют относительно середины проекции указанного участка на горизонтальную плоскость, в которой находятся указанные точки, а о величине натяжения рессорного троса судят по расчетной величине натяжения выбранного участка, определяемой по формуле Н=qL2/8F, где Н — натяжение провода, Н, q — погонный вес, Н/м, L — расстояние между крайними точками троса, м, F — стрела провеса, м. Технический результат: обеспечение контроля за натяжением рессорного троса в процессе эксплуатации контактной подвески и повышении надежности работы контактной подвески. 2 ил.

Изобретение относится к области электрификации железных дорог, в частности к средствам, обеспечивающим контроль за натяжением рессорного троса.

На железных дорогах при скоростях движения более 120 км/ч применяют рессорные контактные подвески, состоящие из несущего троса, контактного провода и рессорного троса, обеспечивающего совместно со струнами заданное положение контактного провода относительно пути. От длины и натяжения рессорного троса зависят основные характеристики контактной подвески, в частности выравнивание эластичности в пролете. Заданное натяжение рессорного троса на практике должно обеспечиваться как при монтаже, так и в процессе эксплуатации контактной подвески (особенно скоростной, т.е. при скоростях движения более 160 км/ч). Однако в последнем случае контроль натяжения рессорного троса в основном сводится к визуальному наблюдению за состоянием троса и измерению его износа [1]. В настоящее время нет оперативных методов замера величины натяжения рессорного троса в процессе эксплуатации рессорного троса. Из уровня техники известен способ измерения натяжения движущегося кабеля [2]. Согласно известному способу натяжение определяют по трехточечному методу. Две точки фиксируют в пространстве на упорах нитенаправителей устройства. В третьей точке (между двумя опорами) прикладывают силу, величину которой, при заданном прогибе троса, фиксируют и масштабируют в натяжение троса. Известный способ не позволяет измерить натяжение рессорного троса с высокой точностью, так как силовое воздействие допустимо только на абсолютно гибкую нить и не должно менять существенно ее геометрию. Силовое воздействие на рессорный трос изменяет его геометрию не только в точке воздействия, но и изменяет расстояние между точками подвеса из-за малой длины троса и его значительной изгибной жесткости, а также вследствие упругости точек его подвеса (на несущем тросе контактной подвески). Известен способ определения натяжения свободно подвешенного провода, находящегося под действием нагрузки от собственного веса. Натяжение провода, закрепленного в двух точках, в этом случае определяют по следующей формуле: H=qL2/8F, (1) где Н — натяжение провода, Н; q — погонный вес, Н/м; L — расстояние между точками подвеса, м; F — стрела провеса, м. Формула (1) верна при одинаковой высоте подвеса крайних точек провода, при этом характер провисания провода имеет параболическую зависимость [3]. В реальных условиях работы трос находится в сложнонапряженном состоянии под воздействием сил, возникающих от веса несущего, контактного проводов и др. элементов контактной подвески. Поэтому высота точек подвеса троса, как правило, разная (особенно при неодинаковых длинах соседних пролетов и уклоне пути). Погонный вес точно определить достаточно сложно, поскольку необходимо учитывать вес сосредоточенных масс (зажимов, струн, фиксаторов контактного провода). Вышеизложенное указывает на то, что известный способ имеет низкую точность измерения и неприменим для контроля величины натяжения рессорного троса. Последний из аналогов по числу существенных признаков наиболее близок к заявляемому решению и выбран в качестве прототипа. Задачей изобретения является обеспечение измерения натяжения рессорного троса в процессе эксплуатации контактной подвески и, как следствие, повышения ее надежности. Технический результат достигается тем, что в способе измерения натяжения рессорного троса, включающем определение стрелы провеса троса и расчет величины натяжения по формуле H=qL2/8F где H — натяжение провода, Н; q — погонный вес, Н/м; L — расстояние между крайними точками троса, м;
F — стрела провеса, м,
предварительно на рессорном тросе выбирают участок, провисающий под действием нагрузки только от собственного веса, расположенный между двумя точками, находящимися в одной горизонтальной плоскости, стрелу провеса троса определяют относительно середины проекции указанного участка на горизонтальную плоскость, в которой находятся указанные точки, а о величине натяжения рессорного троса судят по расчетной величине натяжения выбранного участка. На части рессорного троса, провисающей под действием только своего веса и находящейся между рессорными струнами вблизи опоры, определяют участок, крайние точки которого расположены в одной горизонтальной плоскости. Для этого используют, например, уровнемер, который с вышки автомототрисы устанавливают на тросе. Далее в центре выбранного участка измеряют стрелу прогиба или с вышки автомототрисы или с земли с помощью, например, лазерного измерителя. Сущность способа состоит в том, что на рессорном тросе с помощью простых, удобных в полевых условиях устройств определяют идеальный участок, натяжение которого рассчитывается на основании зависимости (1). По расчетной величине судят о натяжении всего троса. Заявляемое изобретение поясняется следующими чертежами:
фиг.1 — схема контактной подвески;
фиг.2 — часть контактной подвески вблизи опоры. Подвеска включает несущий трос 1, контактный провод 2, рессорный трос 3, рессорные струны 4, соединяющие рессорный трос 3 и контактный провод 2 вблизи опор 5. Пример реализации способа. На части рессорного троса 3 между точками закрепления на нем струн 4 вблизи опоры 5 с помощью уровнемера 6 определяют участок, провисающей под действием только своего веса, крайние точки которого расположены в одной горизонтальной плоскости. Далее измеряют стрелу провеса в центре выбранного участка с помощью лазерного измерителя. Для рессорного троса М3, характеризующегося следующими параметрами:
q=39,9 H, L=2 м, F=0,6 мм,
натяжение, рассчитанное по формуле (1), составляет 3324 Н (340 кг). Полученная величина коррелирует с точностью 2-3% с натяжением рессорного троса, фиксируемым с помощью динамометра при его монтаже согласно [4]. Заявляемый способ позволяет обеспечить контроль за натяжением рессорного троса в процессе эксплуатации контактной подвески и в конечном счете направлен на повышение надежности работы контактной подвески. Источники, используемые при составлении описания
1. Контактная сеть и воздушные линии. Нормативно-методическая документация по эксплуатации контактной сети и высоковольтным воздушным линиям — справочник. МПС. Москва. 2001, с.161. 2. Информация ЗАО «МЕТРОТЕКС», www.metrotex.ru). 3. Ю. И. Горшков, Н.А. Бондарев «Контактная сеть». М.: Транспорт. 1990, с.110 — прототип. 4. Технологическая документация на работы по реконструкции КС-200. Технологические карты на различные виды работ. Монтаж рессорного троса. МПС, 2000, с.36, п.62.

Формула изобретения

Способ измерения натяжения рессорного троса, включающий определение стрелы провеса троса и расчет величины натяжения по формуле
Н=q L2/8 F,
отличающийся тем, что предварительно на рессорном тросе выбирают участок, провисающий под действием нагрузки только от собственного веса, расположенный между двумя точками, находящимися в одной горизонтальной плоскости, стрелу провеса троса определяют относительно середины проекции указанного участка на горизонтальную плоскость, в которой находятся указанные точки, а о величине натяжения рессорного троса судят по расчетной величине натяжения выбранного участка,
где Н — натяжение провода, Н;
q — погонный вес, Н/м;
L — расстояние между крайними точками троса, м;
F — стрела провеса, м.

РИСУНКИ

Рисунок 1, Рисунок 2

Кабельные нагрузки

Приведенные ниже уравнения также могут использоваться для кабелей, нагруженных только собственным весом, если соотношение высоты провисания (h) к длине (L) меньше 0,1 .

Кабели с равномерной нагрузкой и горизонтальными нагрузками

Кабель повторяет форму притчи, и горизонтальные опорные силы можно рассчитать как

R 1x = R 2x

= q L 2 / (8 ч) (1)

где

R 1x = R 2x = горизонтальных опорных сил (фунт, Н) (равно натяжению в самой нижней точке середины пролета)

q = удельная нагрузка (вес) на кабель (фунт / фут, Н / м)

L = длина кабеля (фут, м)

h = прогиб кабеля (фут, м)

Вертикальные опорные силы на конце кабеля можно рассчитать как

R 1y = R 2y

= q L / 2 (1a)

где

R 1y = R 2y = вертикальных опорных сил (фунт, Н)

Результирующие силы, действующие в концевых опорах — и в направлении кабеля вблизи опор — могут быть рассчитаны как

R 1 = R 2

= (R 1x 2 + R 1 год 2 ) 0.5

= (R 2x 2 + R 2y 2 ) 0,5 (1b)

где

R 1,2 = результирующая сила на опоре (фунт, Н)

Угол θ можно рассчитать как

θ = tan -1 (R 1y / R 1x )

= tan -1 (R 2y / R 2x ) (1c)

Длина провисшего кабеля может быть приблизительно равна

s = L + 8 h 2 / (3 L) (1d)

, где

s = длина кабеля (футы, м)

Обратите внимание, что уравнение недействительно, если h> L / 4.

  • тысяч фунтов = 1000 фунтов
  • тысяч фунтов на погонный фут
Кабели с равномерной нагрузкой при горизонтальных нагрузках — калькулятор

q — равномерная нагрузка (Н / м, фунт / фут)

L — длина (м, фут)

h — провисание (м, фут)

R 12x (Н, фунт): 45
R 12y (Н, фунт): 60
R 12 (Н, фунт): 75
θ (градусы): 53,1
с (м, фут):

Пример — равномерная нагрузка на кабель, британские единицы

Кабель длиной 100 футов и провисанием 30 футов имеет равномерную нагрузку 850 фунтов / фут .Горизонтальные опоры и силы троса в середине могут быть рассчитаны как

R 1x = R 2x

= ( 850 фунтов / фут ) (100 футов) 2 / (8 (30 футов))

= 35417 фунтов

Вертикальные силы на опорах можно рассчитать как

R 1 год = R 2 года

= = = ( 850 фунтов / фут ) (100 футов) /2

= 42500 фунтов

Результирующие силы, действующие в опорах, можно рассчитать как

R 1,2 = (( 35417 фунтов ) 2 + ( 42500 фунтов) 2 ) 0.5

= 55323 фунтов

Угол θ можно рассчитать как

θ = тангенциальный угол -1 ((42500 фунтов) / (35417 фунтов))

= 50,2 o

Длина прогнутого кабеля может быть приблизительно равна

с = (100 футов) + 8 (30 футов) 2 / (3 (100 футов))

= 124 фута

Пример — равномерная нагрузка на кабель, единицы СИ

Кабель длиной 30 м и провисанием 10 м имеет равномерную нагрузку 4 кН / м .Горизонтальные опоры и силы среднего пролета можно рассчитать как

R 1x = R 2x

= (4000 Н / м) (30 м) 2 / (8 (10 м))

= 45000 Н

= 45 кН

Вертикальные опорные силы могут быть рассчитаны как

R 1y = R 2y

= ( 4000 Н / м ) (30 м) /2

= 60000 Н

= 60 кН

Угол может быть рассчитан θ как

θ = tan -1 ((60 кН) / (45 кН))

= 53.1 o

Результирующая сила, действующая в опорах, может быть рассчитана как

R 1,2 = (( 45000 Н ) 2 + ( 60000 Н) 2 ) 0,5

= 75000 Н

= 75 кН

Длина провисшего кабеля может быть приблизительно равна

с = (30 м) + 8 (10 м) 2 / (3 (30 м))

= 38.9 м

Пример — известное натяжение на опорах — расчет провисания и длины кабеля

Для кабеля длиной 30 м с равномерной нагрузкой 4 кН / м результирующее натяжение кабеля на концевых опорах составляет 100 кН .

Вертикальные силы в опорах могут быть рассчитаны как

R 1 год = R 2 года

= ( 4 кН / м ) (30 м) / 2

= 60 кН

Горизонтальные силы в опорах можно рассчитать как

R 1x = R 2x

( ) 2 — (60 кН) 2 ) 0.5

= 80 кН

Угол θ можно рассчитать как

θ = tan -1 ((60 кН) / (80 кН))

= 36.9 o

Прогиб можно рассчитать, изменив уравнение 1 на

h = q L 2 / (8 R 1x )

= (4 кН / м) (30 м ) 2 / (8 (80 кН))

= 5.6 м

Длину провисшего кабеля можно оценить как

с = (30 м) + 8 (5,6 м) 2 / (3 (30 м))

= 32,8 м

Кабели с равномерной нагрузкой и наклонными поясами

Калькулятор наклонного кабеля — с равномерными горизонтальными нагрузками

Калькулятор, представленный ниже, можно использовать для кабелей с наклонными поясами и равномерными нагрузками. Калькулятор основан на итеративном алгоритме, в котором кабель в форме притчи адаптирован для протяженности L , высоты h 1 и h 2 согласно рисунку выше.Уравнение притчи, оцененное ниже, можно использовать для воспроизведения формы в электронных таблицах или системах САПР.

холст

входов

результатов

Горизонтальные опорные силы в направлении x можно рассчитать как

R 1x = R 2x

= qa 2 / (2 h 1 )

= qb 2 / (2 h 2 ) (2a)

Если b> a , можно рассчитать максимальные силы в тросе и на опоре 1 и 2 как

R 2 = (R 2x 2 + (qb) 2 ) 0.5 (2c)

R 1 = (R 1x 2 + (qa) 2 ) 0,5 (2d)

— и вертикальные силы на опоре 1 и 2 можно рассчитать как

R 2y = ( 2 2 — R 2x 2 ) 0,5 (2e)

R 1y = ( 1 рэнд) 2 — R 1x 2 ) 0.5 (2f)

Углы между горизонтальными и результирующими силами могут быть рассчитаны как

θ 2 = cos -1 (R 2x / R 2 ) (2g)

θ 1 = cos -1 (R 1x / R 1 ) (2g)

Длину провисшего кабеля можно оценить как

с b = b (1 + 2/3 (h 2 / b) 2 ) (2h)

s a = a (1 + 2/3 (h 1 / a) 2 ) (2i)

s = s a + s b (2j)

Пример — наклонный кабель с равномерной нагрузкой, единицы СИ

Кабель с пролетом 30 м, длина а = 7.2 м , длина b = 22,8 м, прогиб ч 1 = 1 м и прогиб ч 2 = 10 м имеет равномерную нагрузку 4 кН / м .

Горизонтальные опорные силы можно рассчитать как

R 1x = R 2x

= (4 кН / м) (30 м) 2 / (2 (((1 м)) 0,5 + ( (10 м) ) 0,5 ))

= 104 кН

Полученные опорные силы можно рассчитать как

R 2 = ((103.9 кН) 2 + ((4 кН / м) (22,8 м)) 2 ) 0,5

= 138 кН

R 1 = ( (103,9 кН) 2 + ((4 кН / м) (7,2 м)) 2 ) 0,5

= 108 кН

Вертикальные силы в опорах можно рассчитать как

R 2y = ((138,2 кН) 2 — (103.9 кН) 2 ) 0,5

= 91,2 кН ​​

R 1y = ((107,8 кН) 2 — (103,9 кН) 2 ) 0,5

= 28,8 кН

Углы между результирующими и горизонтальными силами в опоре 1 и 2 можно рассчитать как

θ 2 = cos -1 (( 103.9 кН ) / (138,2 кН) )

= 41,3 o

θ 1 = cos -1 ( ( 103,9 кН ) / (107,8 кН) ) )

= 15,5 o

Длину провисшего кабеля можно рассчитать как

с b = (22,8 м) (1 + 2/3 ((10 м) / (22.8 м)) 2 )

= 25,7 м

с a = (7,2 м) (1 + 2/3 ((1 м) / (7,2 м)) 2 )

= 7,3 м

с = ( 7,3 м ) + ( 25,7 м )

=

Формула натяжения: натяжение в вертикально подвешенном тросе с грузом

Натяжение — это сила , которая действует противоположно силе натяжения, приложенной к веревке, проволоке, струне или любому одномерному материалу.Вы могли заметить, что многие предметы подвешиваются на веревке или тросах. Это могут быть большие мосты, называемые подвесными, или маленькие, как украшения на елку. В этой статье мы рассмотрим больше таких примеров и вычислим формулу натяжения веревки, используемой для подвешивания предметов.

Натяжение таких вертикально подвешенных тросов не может быть рассчитано просто по одной формуле. Мы должны вывести формулу напряжения для каждого случая. Формула натяжения будет варьироваться в зависимости от количества задействованных грузов, количества веревок, угла крепления и других факторов.

Формула натяжения каната с прикрепленным к нему одиночным грузом

Когда к веревке прикреплен груз, возможны три сценария. На этом изображении показана формула напряжения для всех трех сценариев.

Когда к веревке прикреплен груз, возможны три сценария:

  1. Объект покоится.
  2. Объект движется вниз
  3. Объект движется вверх

В первом случае объект находится в состоянии покоя.Таким образом, натяжение струны будет равно силе тяжести mg. Итак, формула для натяжения: T = m * g

Во втором случае объект движется вниз с ускорением (а). Примеры таких случаев включают шкив и подъемник. Вы можете прочитать эту статью, чтобы узнать подробнее о формуле натяжения тросов лифта. Здесь чистая сила (м * а) должна быть равна сумме сил:

м * а = м * г — Т

T = m * g — m * a = m * (g-a)

В третьем случае объект движется вверх с ускорением (а).Этот случай снова наблюдается в лифтах и ​​шкивных системах. Здесь результирующая сила (m * a) снова должна быть равна сумме сил. В этом уравнении натяжение будет положительным, потому что оно движется в направлении движения.

м * а = Т — м * г

Т = м (г + а)

Из приведенных выше формул для натяжения можно увидеть, что натяжение веревки выше, когда веревку тянут вверх, чем когда ее опускают. Это очевидно, поскольку нам требуется больше силы, чтобы поднять объект, чем чтобы его уронить.

Формула натяжения веревки с двумя прикрепленными к ней грузами

Теперь давайте посмотрим на формулу для натяжения, когда два груза m1 и m2 прикреплены к потолку с помощью двух веревок.

Натяжение в вертикально подвешенном тросе с прикрепленными к нему двумя грузами.

Так как веревки разные, обозначим натяжение как Т1 и Т2. На блоки 1 и 2 будут действовать силы тяготения m1 * g и m2 * g соответственно. Сначала изобразим схему свободного тела обоих блоков и найдем уравнения для натяжения канатов.

Диаграмма свободного тела для натяжения в блоке 2

В блоке 2, поскольку блоки находятся в покое, натяжение T2 равно силе тяжести на блоке 2.

T2 = m2 * g —– (1)

Схема натяжения свободного тела в блоке 1

В блоке 1 натяжение обоих канатов будет действовать на блок вместе с силой тяжести (m1g). Чистая сила на блоке равна нулю.

T1-T2-m1g = 0 —– (2)

Из уравнений (1) и (2) можно найти решение для напряжений T1 и T2.

Числовые задачи на натяжение

  1. Найдите массу блока. На находящуюся в состоянии покоя веревку действует натяжение 40 Н.

Числовая задача о натяжении каната

Поскольку система находится в состоянии покоя, мы можем напрямую применить полученную нами формулу натяжения.

Т = м * г

40 = м * 9,8

м = 40 / 9,8 = 4,08 кг

Масса блока составит 4,08 кг. Единица измерения — килограмм, поскольку напряжение было дано в единицах силы СИ.

2. Натяжение троса составляет 40 Н с блоком массы m, прикрепленным к нему на одном конце. Вся система движется вниз с ускорением 4 м / с2. Найдите массу блока.

Численная задача о натяжении каната

Мы снова применим формулу для натяжения в случае ускорения вниз.

T = м (г-а)

40 = м (9,8-4)

м = 40 / 5,8 = 6,9 кг

3. Два блока весом 2 кг и 3 кг скреплены двумя тросами.Найдите натяжение канатов Т1 и Т2.

Натяжение в вертикально подвешенном тросе с грузом.

Из приведенных выше выводов формулы натяжения для аналогичного случая мы пришли к двум уравнениям:

T2 = m2 * g —– (1)

T2 = 3 * 9,8 = 29,4 Н

T1-T2-m1g = 0 —– (2)

Т1-29.4- (2 * 9,8) = 0

T1 = 9,8 Н

Следовательно, значения натяжения канатов составляют 9,8 Н и 29,4 Н.

Для случаев, когда количество блоков больше двух, можно использовать одно и то же вычисление, чтобы получить формулу для натяжения, а затем решить уравнения для значения натяжения, как показано.

Примеры натяжения из жизни:

Натяжение струны, подвешенной вертикально с грузом.
Изображение Ронделла Меллинга с сайта Pixabay

  • Подвесной мост состоит из сети тросов, способных поднять вес всего моста. Мост Золотые ворота в Калифорнии — один из самых известных подвесных мостов в мире.
  • К украшениям на елке прикреплена небольшая веревочка, которая выдерживает весь вес предмета.
  • Люстры в наших домах и церквях имеют прочные цепи, способные выдержать вес такого тяжелого предмета.

См. Также:

Натяжение кабеля контактной сети в Excel

Из этого поста вы узнаете, как рассчитать натяжение контактного кабеля в Excel, решив неявное уравнение. В этом примере будет показано, как использовать Goal Seek для поиска корней уравнений в Excel.

Содержание

Видео

Смотреть на YouTube | Подпишитесь на EngineerExcel на YouTube

Натяжение кабеля контактной сети в Excel — поиск корня неявного уравнения

Фон для контактного кабеля

Контактный кабель — это кабель, подвешенный между двумя точками, разделенными по горизонтали на некоторое расстояние.Единственная нагрузка, действующая на кабель, — это его собственный вес:

.

На изображении ниже показана свободная диаграмма участка кабеля. В самой нижней точке кабеля сила натяжения горизонтальна.

И натяжение в самой нижней точке связано с геометрией кабеля следующим уравнением:

где

  • T — горизонтальная составляющая натяжения
  • W — вес кабеля на единицу длины
  • y 0 — высота самой нижней точки кабеля, измеренная от некоторой ссылки
  • x и y — точки, в которых длина кабеля измеряется от того же эталона.

Расчет натяжения кабеля контактной сети в Excel

Если известны геометрия и массовые характеристики кабеля, это уравнение может быть решено относительно натяжения.

Однако это сложно, потому что T — неявная переменная, и уравнение нельзя изменить так, чтобы поставить только T на одну сторону от знака равенства.

Вместо этого для расчета натяжения можно использовать поиск корней. При нахождении корней уравнение перестраивается так, что ноль стоит только на одной стороне уравнения.

Затем используется итерационный метод для нахождения значения T, при котором правая часть уравнения становится равной нулю.

Как рассчитать натяжение кабеля контактной сети в Excel

Самый быстрый способ найти корни в Excel — использовать Goal Seek. Шаги по нахождению корней приведенного выше уравнения и, следовательно, натяжения в нижней точке кабеля приведены ниже. Электронная таблица уже настроена для хранения входных и выходных данных.

Шаг 1. Введите входные значения для расчета кабеля контактной сети

У проблемы четыре входа:

  1. Вес на единицу длины w имеет значение 20 Н / м
  2. Высота самой нижней точки кабеля y_0 имеет значение 6 метров
  3. Известное вертикальное положение y составляет 18 метров
  4. Известное горизонтальное положение x составляет 45 метров.

Шаг 2: Введите предполагаемое значение натяжения кабеля

Напряжение технически является выходным, но вводится как значение в электронную таблицу. На следующем этапе Goal Seek будет использоваться для автоматического перебора значений T для поиска правильного значения.

Назовите это значение T и введите начальное предполагаемое значение 1500 ньютонов.

Шаг 3. Создайте имена для переменных в уравнении контактного кабеля (необязательно)

Уравнения

Excel намного легче читать и понимать, если присвоить имена ячейкам, которые будут включены в формулу.Этот шаг не является обязательным, но может принести огромную пользу.

Чтобы создать имена для вводов контактного кабеля, выберите все ячейки, содержащие имена и значения переменных. (Это нормально, если также выбраны несколько дополнительных пустых ячеек.)

Затем перейдите на вкладку «Формулы» и выберите «Создать из выделенного».

Убедитесь, что в открывшемся окне выбрано поле левого столбца. Как только он будет выбран, нажмите ОК.

Теперь каждой ячейке присвоено имя, соответствующее имени переменной, введенной в ячейку слева.При нажатии на каждую ячейку имя отображается в поле «Имя» в верхнем левом углу окна Excel.

Шаг 4. Введите формулу для контактного кабеля

С именами, примененными к ячейкам, гораздо проще ввести формулу для кабеля, вызвав ячейки по имени.

Формула включает функцию COSH, которая возвращает гиперболический косинус аргумента в Excel.

Поскольку значение натяжения, введенное в ячейку D9, является лишь предположением, результат формулы не равен нулю.Другими словами, это не корень уравнения.

Шаг 5. Откройте инструмент поиска цели

Goal Seek может начинаться с начального значения предположения и повторяться, чтобы найти значение T, которое сделает результат формулы равным нулю.

Чтобы открыть инструмент поиска цели:

  • Откройте вкладку «Данные»
  • Щелкните «Анализ« что, если »»
  • Выберите «Поиск цели»

Шаг 6. Настройте поиск цели, чтобы найти натяжение в тросе

После открытия Goal Seek настройте его на повторение значения натяжения до тех пор, пока уравнение не станет равным 0.

  • Измените «Установить ячейку» на ячейку D10 (или ячейку, содержащую формулу).
  • Введите значение «0» в поле «До значения:».
  • Наконец, выберите D9 (или ячейку, содержащую значение натяжения кабеля) для поля «Изменяя ячейку:»

Шаг 7. Выполните поиск цели, чтобы рассчитать натяжение кабеля контактной сети в Excel

После заполнения всех этих полей нажмите ОК. Goal Seek должен найти решение в течение нескольких секунд, часто менее чем за секунду.-5, что по существу равно нулю плюс незначительная ошибка. Результирующее напряжение составляет 1726 Ньютонов.

Конечно, имейте в виду, что если любое из значений в разделе «Входы» изменится, поиск цели должен быть запущен снова. Однако можно автоматизировать поиск цели, чтобы он запускался всякий раз, когда в электронной таблице происходят изменения, как описано в этом сообщении.

Связанные темы

Список литературы

Калькулятор ошибки провисания кабеля (эффект контактной кривой)

Получение уравнения кривой контактной сети

Линия цепной передачи описывает форму, которую смещающий кабель принимает под действием одинаковой силы, например силы тяжести.Эта кривая представляет собой форму идеально гибкой цепи, подвешенной за концы и действующей под действием силы тяжести. Уравнение было получено Лейбницем и Бернулли в 1691 году в ответ на вызов Бернулли и Якоба.

Кабель смещения, идеализированный как кривая контактной сети

Уравнение контактной кривой может быть получено путем исследования очень небольшой части кабеля и всех сил, действующих на него (см. Рисунок 2).

Рисунок 2 — Силы, действующие на часть кабеля (Раздел 1-2)

Здесь h — провисание кабеля под действием силы тяжести.Для упрощения рассмотрим две точки на кабеле: точки 1 и 2. Пусть расстояние между точками 1 и 2 равно
настолько мал, что отрезок кабеля 1-2 является линейным. Пусть dx и dy будут проекциями раздела 1-2.
до осей X и Y соответственно.

Усилие затяжки действует в каждой точке кабеля. Он направлен по касательной к изгибу кабеля и
зависит только от координат точки кабеля. Пусть сила затяжки в точке 1 будет Н , а в точке 2 — Н + dN , где dN — небольшое прибавление из-за разницы координат.

Пусть P будет весом сечения кабеля 1-2. Груз направлен вниз, параллельно Y
ось. Пусть α будет углом между осью X и участком 1-2 кабеля.

Чтобы участок 1-2 кабеля находился в состоянии покоя и был уравновешен с остальной частью кабеля, силы, действующие на этот участок, должны уравновешивать друг друга. Сумма этих сил должна быть равна нулю.

Формула Пояснение

Проекции суммы всех сил, действующих в сечении 1-2 на оси X и Y, должны иметь вид формулы 1.Здесь Nx и Ny — проекции силы натяжения N на оси X и Y соответственно. Эти уравнения дают нам значение веса кабеля P (формула 2).

Из рисунка 2 видно, что отношение выступов усилия натяжения (N) является коэффициентом наклона
силы N (см. формулу 3).

Если мы продифференцируем это отношение на x, мы получим вторую производную отношения (формула 4).

При этом вес кабеля P — это вес кабеля на единицу длины (q), умноженный на дифференциал
arc (dS) (формула 5).

Используя формулу 2, мы видим, что первая производная от проецирования усилия затяжки на ось Y может
быть показано дифференциалом дуги (формула 6).

Если сформулировать формулу 7,

мы получаем окончательное уравнение для формы кабеля (формула 8).

Мы решим эту проблему
уравнение с заменой (формула 9).

В итоге мы получаем (формула 10), где C1 и C2 — коэффициенты, которые определяются исходной точкой в ​​рассматриваемой системе. Мы предполагаем, что эта точка является самой нижней точкой кабеля, тогда C1 = 0 и C2 = 1.

Следовательно, уравнение формы кабеля выглядит как формула 11. Эта формула имеет следующий вид:
широко известный как цепь цепи.

Провисание кабеля (h) — это значение уравнения формы кабеля для точки l / 2 (формула 12), где l — расстояние по прямой между датчиком положения и приложением (Рисунок 1).

Для длины кабеля мы будем использовать формулу длины контактной линии (формула 13).

Длина кабеля — это длина контактной сети от точки -l / 2 до точки l / 2 (формула 14).

Таблица 1: Вывод уравнения кривой контактной сети

Проверка калькулятора

Теперь небольшой тест, чтобы проверить наш калькулятор выше. Входные данные у нас:

Поле Sybmol Квартир Значение по умолчанию
Натяжение троса Nx N 3
Расстояние по прямой л кв.м 0.2 9,81

Для этих входов по умолчанию мы можем использовать формулы 7-14 для расчета прогиба кабеля и длины кабеля:

переменная Формула значение
q Масса кабеля на единицу длины * Сила, перпендикулярная длине кабеля 0,0064370277
а (7) 466.053610426439519593
Провисание кабеля h (12) 0.00006705237348283384
Длина кабеля S (14) 0,50000002397877673999

Поскольку масса кабеля на единицу длины настолько мала, а натяжение кабеля относительно велико, провисание кабеля не приводит к какой-либо значительной ошибке, если только длина кабеля не является исключительно большой (более 60 футов (18,28 метра)). Ошибка провисания кабеля незначительна по сравнению с другими источниками ошибок (обычно менее ± 0,0025%).

Простой в использовании калькулятор выше показывает, как провисание кабеля влияет на точность наших датчиков положения.Калькулятор отображает прогиб кабеля в абсолютных единицах, а также в процентах от общей длины кабеля («ошибка измерения»).

Ошибка провисания кабеля практически отсутствует, если на смещающий кабель отсутствуют заметные «боковые нагрузки», например, в космической среде, или когда кабель ориентирован параллельно направлению силы тяжести.

Другие факты о цепочке поставок:

  • Юнгиус опроверг утверждение Галилея о том, что кривая цепи, висящей под действием силы тяжести, была бы параболой в 1669 году.
  • Слово «цепочка» происходит от латинского слова «цепь».
  • Кривая также называется Алисоидой и цепенкой.

Дополнительную информацию о контактной кривой можно найти по адресу:

Другие калькуляторы:

Отсутствие гарантий: этот калькулятор и информация предоставляются «как есть» без каких-либо гарантий, условий или заявлений любого рода, явных или подразумеваемых, включая, помимо прочего, любые гарантии ненарушения прав и подразумеваемые гарантии условий. товарной пригодности и пригодности для определенной цели.Ни при каких обстоятельствах SpaceAge Control, Inc. не несет ответственности за любые прямые, косвенные, особые, случайные, косвенные или другие убытки, независимо от того, возникли ли они по контракту, правонарушению или иным образом, возникшие в результате или в связи с использованием или выполнением информация, содержащаяся на этой веб-странице.

КАК РАССЧИТАТЬ НАПРЯЖЕНИЕ В ПРОВОЛОЧНОЙ СТРОКЕ
————————————————— ————————
В физике натяжение — это сила, прилагаемая веревкой, веревкой, тросом или подобным объектом к одному или нескольким объектам.Все, что натягивается, подвешивается, поддерживается или раскачивается на веревке, веревке, тросе и т. Д., Подвержено силе натяжения. [1] Как и все силы, натяжение может ускорять объекты или вызывать их деформацию. Способность рассчитывать натяжение является важным навыком не только для студентов-физиков, но также для инженеров и архитекторов, которые, чтобы построить безопасные здания, должны знать, может ли натяжение данной веревки или кабеля выдержать нагрузку, вызванную весом объекта. прежде, чем уступить и сломать. См. Шаг 1, чтобы узнать, как рассчитать напряжение в нескольких физических системах.Метод 1 из 2:
Определение натяжения отдельной пряди 1
Определите силы на обоих концах пряди. Натяжение данной пряди струны или веревки является результатом сил, действующих на веревку с любого конца. Напоминаем, что сила = масса × ускорение. Предполагая, что веревка натянута сильно, любое изменение ускорения или массы объектов, которые она поддерживает, вызовет изменение натяжения веревки. Не забывайте постоянное ускорение свободного падения
Для решения большинства физических задач мы предполагаем идеальные струны
В качестве примера рассмотрим систему, в которой груз подвешивается на деревянной балке на одной веревке (см. Рисунок).Ни вес, ни веревка не двигаются
Предполагая, что вес составляет 10 кг, сила натяжения составляет 10 кг × 9,8 м / с2 = 98 Ньютонов. 2
Учитывайте ускорение после определения сил. Гравитация — не единственная сила, которая может повлиять на натяжение веревки.
Предположим, что в нашем примере с грузом весом 10 кг, подвешенным на веревке, вместо того, чтобы быть прикрепленным к деревянной балке, веревка фактически используется для подъема груза вверх с ускорением 1 м / с2. В этом случае мы должны учесть ускорение веса, а также силу тяжести, решив следующее:
Ft = Fg + m × a
Ft = 98 + 10 кг × 1 м / с2
Ft = 108 ньютонов.3
Учитывайте ускорение вращения. Объект, вращающийся вокруг центральной точки с помощью веревки (например, маятника), вызывает деформацию веревки, вызванную центростремительной силой. Центростремительная сила — это дополнительная сила натяжения, которую веревка «втягивает» внутрь, чтобы удерживать объект в движении по дуге, а не по прямой. Чем быстрее движется объект, тем больше центростремительная сила. Центростремительная сила (Fc) равна m × v2 / r, где «m» — масса, «v» — скорость, а «r» — радиус круга, который содержит дугу движения объекта.[3]
Поскольку направление и величина центростремительной силы изменяется по мере того, как объект на веревке движется и меняет скорость, то же самое происходит и с общим натяжением веревки, которая всегда тянется параллельно веревке к центральной точке. Помните также, что сила тяжести постоянно действует на объект в нисходящем направлении. Таким образом, если объект вращается или качается вертикально, общее натяжение наибольшее в нижней части дуги (для маятника это называется точкой равновесия), когда объект движется быстрее всего, и, по крайней мере, в верхней части дуги, когда он движется медленнее всего.[4]
Скажем, в нашем примере задачи, что наш объект больше не ускоряется вверх, а вместо этого качается как маятник. Мы скажем, что наша веревка имеет длину 1,5 метра (4,9 фута) и что наш вес движется со скоростью 2 м / с, когда проходит через основание своей качели. Если мы хотим рассчитать натяжение в нижней части дуги, когда оно наивысшее, мы сначала должны признать, что натяжение из-за силы тяжести в этой точке такое же, как и при неподвижности груза
Fc = m × v2 / r
Fc = 10 × 22 / 1,5
Fc = 10 × 2.67 = 26,7 Ньютона.
Итак, наше полное напряжение будет 98 + 26,7 = 124,7 Ньютона. 4
Поймите, что напряжение из-за силы тяжести изменяется по дуге качающегося объекта. Как отмечалось выше, как направление, так и величина центростремительной силы изменяются при качании объекта. Однако, хотя сила тяжести остается постоянной, напряжение, возникающее в результате гравитации, также изменяется. Когда качающийся объект не находится в нижней части своей дуги (точки равновесия), сила тяжести тянет прямо вниз, а напряжение тянется вверх под углом.Из-за этого натяжение должно противодействовать только части силы из-за силы тяжести, а не полностью.
Разделение гравитационной силы на два вектора может помочь вам визуализировать эту концепцию. В любой заданной точке дуги вертикально качающегося объекта веревка образует угол «θ» с линией, проходящей через точку равновесия и центральную точку вращения. При качании маятника гравитационная сила (m × g) может быть разбита на два вектора — mgsin (θ), действующего по касательной к дуге в направлении точки равновесия, и mgcos (θ), действующего параллельно силе натяжения в противоположном направлении. направление.Напряжение должно только противодействовать mgcos (θ) — силе, действующей против него.
Допустим, когда наш маятник образует угол 15 градусов с вертикалью, он движется со скоростью 1,5 м / с. Мы нашли бы напряжение, решив следующее:
Напряжение под действием силы тяжести (Tg) = 98cos (15) = 98 (0,96) = 94,08 Ньютона
Центростремительная сила (Fc) = 10 × 1,52 / 1,5 = 10 × 1,5 = 15 Ньютонов
Общее напряжение = Tg + Fc = 94,08 + 15 = 109,08 Ньютона. 5
Учитывайте трение. Любой объект, тянущийся веревкой, которая испытывает силу трения от трения о другой объект (или жидкость), передает эту силу натяжению веревки.Сила от трения между двумя объектами рассчитывается так же, как и в любой другой ситуации — с помощью следующего уравнения: Сила от трения (обычно пишется Fr) = (mu) N, где mu — коэффициент трения между двумя объектами, а N — нормальная сила между двумя объектами или сила, с которой они прижимаются друг к другу. Обратите внимание, что статическое трение — трение, возникающее при попытке привести в движение неподвижный объект — отличается от кинетического трения.
Допустим, наш 10-килограммовый груз больше не раскачивается, а теперь тянется горизонтально по земле за веревку.Предположим, что у земли коэффициент кинетического трения 0,5, и что наш вес движется с постоянной скоростью, но мы хотим ускорить его со скоростью 1 м / с2. Эта новая проблема представляет собой два важных изменения.
Нормальная сила (Н) = 10 кг × 9,8 (ускорение свободного падения) = 98 Н
Сила от кинетического трения (Fr) = 0,5 × 98 Н = 49 Ньютонов
Сила от ускорения (Fa) = 10 кг × 1 м / с2 = 10 ньютонов
Общее напряжение = Fr + Fa = 49 + 10 = 59 Ньютонов. Метод 2 из 2:
Расчет натяжения нескольких нитей 1
Поднимите параллельные вертикальные грузы с помощью шкива.Шкивы — это простые машины, состоящие из подвешенного диска, который позволяет силе натяжения каната изменять направление. В простой конфигурации шкива канат или трос проходит от подвешенного груза вверх к шкиву, затем вниз к другому, образуя 2 отрезка каната или троса. Однако натяжение обоих участков каната одинаково, даже если оба конца каната тянутся силами разной величины. Для системы из двух масс, подвешенных на вертикальном шкиве, натяжение равно 2g (m1) (m2) / (m2 + m1), где «g» — ускорение свободного падения, «m1» — масса объекта 1, а « m2 «- масса объекта 2.[5]
Обратите внимание, что обычно в физических задачах предполагаются идеальные шкивы.
Допустим, у нас есть два груза, свисающие вертикально со шкива параллельными прядями. Вес 1 составляет 10 кг, а вес 2 — 5 кг. В этом случае мы найдем напряжение следующим образом:
T = 2g (м1) (м2) / (м2 + м1)
Т = 2 (9,8) (10) (5) / (5 + 10)
Т = 19,6 (50) / (15)
Т = 980/15
T = 65,33 Ньютона.
Обратите внимание: поскольку один груз тяжелее другого при прочих равных условиях, эта система начнет ускоряться, при этом 10 кг будет двигаться вниз, а 5 кг — вверх.2
Поднимайте грузы с помощью шкива с непараллельными вертикальными прядями. Шкивы часто используются для направления натяжения в направлении, отличном от направления вверх или вниз. Если, например, груз подвешен вертикально к одному концу каната, а другой конец прикреплен ко второму грузу на диагональном склоне, система непараллельных шкивов принимает форму треугольника с точками на первом грузе, второй груз и шкив. В этом случае на натяжение каната влияет как сила тяжести, действующая на груз, так и составляющая тягового усилия, параллельная диагональному участку каната.[6]
Допустим, у нас есть система с грузом 10 кг (m1), подвешенная вертикально, связанная шкивом с грузом 5 кг (м2) на пандусе 60 градусов (предположим, что пандус не имеет трения). Проще всего сначала найти уравнения для сил, ускоряющих веса. Действуйте следующим образом:
Подвешенный вес тяжелее, и мы не имеем дело с трением, поэтому мы знаем, что он будет ускоряться вниз. Однако натяжение веревки на нее натягивается, поэтому она ускоряется из-за чистой силы F = m1 (g) — T, или 10 (9.8) — Т = 98
Мы знаем, что вес на рампе ускоряет подъем по рампе. Поскольку рампа не имеет трения, мы знаем, что натяжение тянет ее вверх по рампе, и только собственный вес тянет ее вниз. Составляющая силы, тянущая его вниз по пандусу, определяется как sin (θ), поэтому в нашем случае мы можем сказать, что он ускоряется вверх по пандусу из-за результирующей силы F = T — m2 (g) sin (60) = Т — 5 (9,8) (. 87) = Т
Ускорения двух грузов одинаковы, поэтому (98 — T) / m1 = (T
Используйте несколько прядей, чтобы поддерживать висящий предмет.Наконец, давайте рассмотрим объект, подвешенный на «Y-образной» системе веревок — к потолку прикреплены две веревки, которые встречаются в центральной точке, с которой на третьей веревке висит груз. Натяжение третьей веревки очевидно
Предположим, что в нашей Y-образной системе масса нижнего груза составляет 10 кг, а два верхних троса подходят к потолку под углом 30 градусов и 60 градусов соответственно. Если мы хотим найти натяжение в каждой из верхних веревок, нам нужно будет рассмотреть вертикальные и горизонтальные составляющие каждого натяжения.Тем не менее, в этом примере две веревки перпендикулярны друг другу, что позволяет нам легко вычислить в соответствии с определениями тригонометрических функций следующим образом:
Отношение между T1 или T2 и T = m (g) равно синусу угла между каждой поддерживающей веревкой и потолком. Для T1 sin (30) = 0,5, а для T2 sin (60) = 0,87.
Умножьте натяжение нижней веревки (T = mg) на синус каждого угла, чтобы найти T1 и T2.
T1 = 0,5 × м (г) = 0,5 × 10 (9,8) = 49 Ньютонов.
Т2 =.87 × м (г) = 0,87 × 10 (9,8) = 85,26 … — Услуги по испытаниям под нагрузкой и инспектированию подъемного оборудования

КАК РАССЧИТАТЬ НАПРЯЖЕНИЕ В ТРОСОВОЙ СТРОКЕ
———- ————————————————— ————-
В физике натяжение — это сила, прилагаемая веревкой, веревкой, тросом или подобным объектом к одному или нескольким объектам. Все, что натягивается, подвешивается, поддерживается или раскачивается на веревке, веревке, тросе и т. Д., Подвержено силе натяжения. [1] Как и все силы, натяжение может ускорять объекты или вызывать их деформацию.Способность рассчитывать натяжение является важным навыком не только для студентов-физиков, но также для инженеров и архитекторов, которые, чтобы построить безопасные здания, должны знать, может ли натяжение данной веревки или кабеля выдержать нагрузку, вызванную весом объекта. прежде, чем уступить и сломать. См. Шаг 1, чтобы узнать, как рассчитать напряжение в нескольких физических системах.

Метод 1 из 2:
Определение натяжения на одной пряди

1
Определите силы на любом конце пряди.Натяжение данной пряди струны или веревки является результатом сил, действующих на веревку с любого конца. Напоминаем, что сила = масса × ускорение. Предполагая, что веревка натянута сильно, любое изменение ускорения или массы объектов, которые она поддерживает, вызовет изменение натяжения веревки. Не забывайте о постоянном ускорении силы тяжести — даже если система находится в состоянии покоя, ее компоненты подвержены этой силе. Мы можем представить себе натяжение данной веревки как T = (m × g) + (m × a), где «g» — это ускорение свободного падения любых объектов, которые поддерживает веревка, а «a» — любое другое ускорение. на любых объектах веревка поддерживает.[2]
Для решения большинства физических задач мы предполагаем идеальные струны — другими словами, наша веревка, трос и т. Д. Тонкие, безмассовые и не могут быть растянуты или порваны.
В качестве примера рассмотрим систему, в которой груз подвешивается к деревянной балке на одной веревке (см. Рисунок). Ни груз, ни веревка не двигаются — вся система в покое. Из-за этого мы знаем, что для удержания груза в равновесии сила натяжения должна равняться силе тяжести, действующей на груз.Другими словами, Натяжение (Ft) = Сила тяжести (Fg) = m × g.
Если принять вес в 10 кг, то сила натяжения составит 10 кг × 9,8 м / с2 = 98 Ньютонов.

2
Учет ускорения после определения сил. Гравитация — не единственная сила, которая может повлиять на натяжение веревки, как и любая сила, связанная с ускорением объекта, к которому привязана веревка. Если, например, подвешенный объект ускоряется силой, действующей на веревку или трос, сила ускорения (масса × ускорение) добавляется к натяжению, вызванному весом объекта.
Предположим, что в нашем примере 10 кг груза, подвешенного на веревке, вместо того, чтобы быть прикрепленным к деревянной балке, веревка фактически используется для подъема груза вверх с ускорением 1 м / с2. В этом случае мы должны учесть ускорение веса, а также силу тяжести, решив следующее:
Ft = Fg + m × a
Ft = 98 + 10 кг × 1 м / с2
Ft = 108 ньютонов. .

3
Счет ускорения вращения. Объект, вращающийся вокруг центральной точки с помощью веревки (например, маятника), вызывает деформацию веревки, вызванную центростремительной силой.Центростремительная сила — это дополнительная сила натяжения, которую веревка «втягивает» внутрь, чтобы удерживать объект в движении по дуге, а не по прямой. Чем быстрее движется объект, тем больше центростремительная сила. Центростремительная сила (Fc) равна m × v2 / r, где «m» — масса, «v» — скорость, а «r» — радиус круга, который содержит дугу движения объекта. [3]
Поскольку направление и величина центростремительной силы изменяются по мере того, как объект на канате движется и меняет скорость, то же самое происходит и с общим натяжением каната, которое всегда тянется параллельно канату к центральной точке.Помните также, что сила тяжести постоянно действует на объект в нисходящем направлении. Таким образом, если объект вращается или качается вертикально, общее натяжение наибольшее в нижней части дуги (для маятника это называется точкой равновесия), когда объект движется быстрее всего, и наименьшим в верхней части дуги, когда движется медленнее всего. [4]
Допустим, в нашем примере задачи, что наш объект больше не ускоряется вверх, а вместо этого качается как маятник. Скажем, наша веревка 1.5 метров (4,9 фута) в длину и что наш вес движется со скоростью 2 м / с, когда проходит через основание качелей. Если мы хотим рассчитать натяжение в нижней части дуги, когда оно самое высокое, мы сначала должны признать, что натяжение из-за силы тяжести в этой точке такое же, как и при неподвижном весе — 98 Ньютонов. Чтобы найти дополнительную центростремительную силу, мы бы решили следующим образом:
Fc = m × v2 / r
Fc = 10 × 22 / 1,5
Fc = 10 × 2,67 = 26,7 ньютонов.
Итак, наше полное напряжение будет 98 + 26.7 = 124,7 Ньютона.

4
Поймите, что натяжение из-за силы тяжести изменяется по всей дуге качающегося объекта. Как отмечалось выше, как направление, так и величина центростремительной силы изменяются при качании объекта. Однако, хотя сила тяжести остается постоянной, напряжение, возникающее в результате гравитации, также изменяется. Когда качающийся объект не находится в нижней части своей дуги (точки равновесия), сила тяжести тянет прямо вниз, а напряжение тянется вверх под углом. Из-за этого натяжение должно противодействовать только части силы из-за силы тяжести, а не полностью.
Разделение гравитационной силы на два вектора может помочь вам визуализировать эту концепцию. В любой заданной точке дуги вертикально качающегося объекта веревка образует угол «θ» с линией, проходящей через точку равновесия и центральную точку вращения. При качании маятника гравитационная сила (m × g) может быть разбита на два вектора — mgsin (θ), действующего по касательной к дуге в направлении точки равновесия, и mgcos (θ), действующего параллельно силе натяжения в противоположном направлении. направление.Натяжение должно противостоять только mgcos (θ) — силе, действующей против него, — а не всей гравитационной силе (кроме точки равновесия, когда они равны).
Допустим, когда наш маятник образует угол 15 градусов с вертикалью, он движется со скоростью 1,5 м / с. Мы могли бы найти натяжение, решив следующее:
Напряжение из-за силы тяжести (Tg) = 98cos (15) = 98 (0,96) = 94,08 Ньютона
Центростремительная сила (Fc) = 10 × 1,52 / 1,5 = 10 × 1,5 = 15 Ньютонов
Общее натяжение = Tg + Fc = 94,08 + 15 = 109.08 Ньютонов.

5
Учет трения. Любой объект, тянущийся веревкой, которая испытывает силу трения от трения о другой объект (или жидкость), передает эту силу натяжению веревки. Сила от трения между двумя объектами рассчитывается так же, как и в любой другой ситуации — с помощью следующего уравнения: Сила от трения (обычно пишется Fr) = (mu) N, где mu — коэффициент трения между двумя объектами, а N — нормальная сила между двумя объектами или сила, с которой они прижимаются друг к другу.Обратите внимание, что статическое трение — трение, возникающее при попытке привести в движение неподвижный объект — отличается от кинетического трения — трения, возникающего при попытке удержать движущийся объект в движении.
Допустим, наш 10-килограммовый груз больше не раскачивается, а теперь тянется горизонтально по земле за нашу веревку. Предположим, что у земли коэффициент кинетического трения 0,5, и что наш вес движется с постоянной скоростью, но мы хотим ускорить его со скоростью 1 м / с2.Эта новая проблема представляет собой два важных изменения: во-первых, нам больше не нужно рассчитывать натяжение из-за силы тяжести, потому что наша веревка не поддерживает вес против его силы. Во-вторых, мы должны учитывать напряжение, вызванное трением, а также напряжение, вызванное ускорением массы груза. Решим следующим образом:
Нормальная сила (Н) = 10 кг × 9,8 (ускорение свободного падения) = 98 Н
Сила кинетического трения (Fr) = 0,5 × 98 Н = 49 ньютонов
Сила от ускорения (Fa) = 10 кг × 1 м / с2 = 10 Ньютонов
Полное натяжение = Fr + Fa = 49 + 10 = 59 Ньютонов.

Метод 2 из 2:
Расчет натяжения нескольких нитей

1
Поднимите параллельные вертикальные нагрузки с помощью шкива. Шкивы — это простые машины, состоящие из подвешенного диска, который позволяет силе натяжения каната изменять направление. В простой конфигурации шкива канат или трос проходит от подвешенного груза вверх к шкиву, затем вниз к другому, образуя 2 отрезка каната или троса. Однако натяжение обоих участков каната одинаково, даже если оба конца каната тянутся силами разной величины.Для системы из двух масс, подвешенных на вертикальном шкиве, натяжение равно 2g (m1) (m2) / (m2 + m1), где «g» — ускорение свободного падения, «m1» — масса объекта 1, а « m2 «- масса объекта 2. [5]
Обратите внимание, что обычно физические задачи предполагают идеальные шкивы — безмассовые шкивы без трения, которые не могут сломаться, деформироваться или отделиться от потолка, веревки и т. Д., Которые их поддерживают.
Допустим, у нас есть два груза, свисающие вертикально на шкиве параллельными прядями. Вес 1 составляет 10 кг, а вес 2 — 5 кг.В этом случае натяжение найдем следующим образом:
T = 2g (m1) (m2) / (m2 + m1)
T = 2 (9,8) (10) (5) / (5 + 10)
T = 19,6 (50) / (15)
T = 980/15
T = 65,33 Ньютона.
Обратите внимание: поскольку один груз тяжелее другого, при прочих равных условиях, эта система начнет ускоряться, при этом груз весом 10 кг будет двигаться вниз, а груз весом 5 кг — вверх.
2
Поднимайте грузы с помощью шкива с непараллельными вертикальными нитями. Шкивы часто используются для направления натяжения в направлении, отличном от направления вверх или вниз.Если, например, груз подвешен вертикально к одному концу каната, а другой конец прикреплен ко второму грузу на диагональном склоне, система непараллельных шкивов принимает форму треугольника с точками на первом грузе, второй груз и шкив. В этом случае на натяжение каната влияет как сила тяжести, действующая на груз, так и составляющая тягового усилия, параллельная диагональному участку каната. [6]
Допустим, у нас есть система с грузом 10 кг (м1), подвешенная вертикально, связанная шкивом с грузом 5 кг (м2) на пандусе 60 градусов (предположим, что пандус не имеет трения).Чтобы найти натяжение веревки, проще всего сначала найти уравнения для сил, ускоряющих веса. Выполните следующие действия:
Подвешенный вес тяжелее, и мы не имеем дело с трением, поэтому мы знаем, что он будет ускоряться вниз. Тем не менее, веревка натягивается на него, поэтому он ускоряется из-за действующей силы F = m1 (g) — T, или 10 (9,8) — T = 98 — T.
Мы знаем вес на рампе. ускорится вверх по рампе. Поскольку рампа не имеет трения, мы знаем, что натяжение тянет ее вверх по рампе, и только собственный вес тянет ее вниз.Составляющая силы, тянущая его вниз по пандусу, определяется как sin (θ), поэтому в нашем случае мы можем сказать, что он ускоряется вверх по пандусу из-за результирующей силы F = T — m2 (g) sin (60) = T — 5 (9,8) (. 87) = T — 42,63. [7]
Ускорение двух грузов одинаково, поэтому имеем (98 — T) / m1 = (T — 42,63) / m2. После небольшой тривиальной работы по решению этого уравнения, наконец, мы имеем T = 60,96 Ньютона.

3
Используйте несколько прядей для поддержки висящего предмета. Наконец, давайте рассмотрим объект, подвешенный на «Y-образной» системе веревок — к потолку прикреплены две веревки, которые встречаются в центральной точке, с которой на третьей веревке висит груз.Натяжение третьей веревки очевидно — это просто натяжение, вызванное силой тяжести или м (g). Натяжения в двух других веревках различны и должны в сумме равняться силе гравитации в восходящем вертикальном направлении и равняться нулю в любом горизонтальном направлении, при условии, что система находится в состоянии покоя. На натяжение канатов влияет как масса подвешенного груза, так и угол, под которым каждая веревка встречается с потолком. [8]
Предположим, что в нашей Y-образной системе масса нижнего груза составляет 10 кг, а два верхних троса подходят к потолку под углом 30 градусов и 60 градусов соответственно.Если мы хотим найти натяжение в каждой из верхних веревок, нам нужно будет рассмотреть вертикальные и горизонтальные составляющие каждого натяжения. Тем не менее, в этом примере две веревки оказываются перпендикулярными друг другу, что позволяет нам легко вычислить в соответствии с определениями тригонометрических функций следующим образом:
Отношение между T1 или T2 и T = m (g) равно к синусу угла между каждой поддерживающей веревкой и потолком. Для T1 sin (30) = 0,5, а для T2 sin (60) = 0,87
Умножьте натяжение нижнего троса (T = mg) на синус каждого угла, чтобы найти T1 и T2.
T1 = 0,5 × м (г) = 0,5 × 10 (9,8) = 49 Ньютонов.
T2 = 0,87 × м (г) = 0,87 × 10 (9,8) = 85,26 Ньютона.

домашнее задание и упражнения — Каково уравнение для натяжения концов троса, подвешенного на разной высоте?

Поскольку трос не движется горизонтально, вы знаете, что горизонтальная составляющая натяжения одинакова на обоих концах. Общее натяжение — это горизонтальная составляющая, деленная на косинус угла. Таким образом, соотношение между натяжениями — это отношение косинусов.Поскольку вам известна форма кривой, вы сможете взять ее отсюда.

ОБНОВЛЕНИЕ

Общее уравнение контактной сети (с самой низкой точкой при x = 0):

$$ y = a \ ch \ frac {x} {a} $$

Где

$$ a = \ frac {H} {w} \\
H = \ text {горизонтальное натяжение} \\
w = \ text {вес на единицу длины} $$

Для заданного расстояния по горизонтали и вертикального смещения мы должны вычислить положение самой низкой точки и натяжение — два уравнения, два неизвестных.2} = 2a \ sinh \ frac {h} {2a}, a> 0 $$

, где
$ h $ — горизонтальное расстояние между концами,
$ v $ — вертикальное расстояние между концами,
$ s $ — длина кабеля, а
$ a $ — координата y самой нижней точки.

Далее нам просто нужно найти положение самой нижней точки относительно концов. Чтобы получить фактические местоположения $ x_1 $ и $ x_2 $ (горизонтальные расстояния от самой низкой точки до левого и правого концов, соответственно), вам теперь нужно решить

$$ \ begin {align} \\
v & = a (\ cosh \ frac {x_2} {a} — \ cosh \ frac {x_1} {a}) \\
h & = x_2 + x_1 \ tag1 \\
v & = a \ left (\ cosh \ frac {x_2} {a} — \ cosh \ frac {x_2-h} {a} \ right) \ tag2
\ end {align} $$

Решите (2) для $ x_2 $, затем подставьте в (1), чтобы получить $ x_1 $

Наконец, соотношение натяжений получается из отношения косинусов угла в точке подвешивания:

$$ \ frac {T_2} {T_1} = \ frac {\ cos \ theta_1} {\ cos \ theta_2} $$

Мы знаем, что касательная в точке $ x $ равна

. 2 \ frac {x_1} {a}}}

$

Определение временного изменения сил натяжения в подвесных мостах с использованием частотно-временного анализа

Было проведено технико-экономическое обоснование для разработки нового метода определения временных изменений растягивающих сил в подвесных тросах моста с использованием частотно-временного анализа измерений вибрации окружающей среды.Аналитическая модель подвесных тросов была разработана для оценки функции спектральной плотности мощности (СПМ) кабеля с учетом его жесткости на изгиб. Дискретное кратковременное преобразование Фурье (STFT) использовалось для анализа записанных историй ускорения как во временной, так и в частотной областях. Математическая свертка аналитической функции PSD и частотно-временных данных была завершена для оценки изменений силы натяжения кабеля с течением времени. Метод был реализован с использованием измерений ускорения, собранных на действующем стальном арочном мосту с подвесным настилом, для расчета временного изменения сил кабеля на основе измерений вибрации.Наблюдения послужили подтверждением концепции, что предложенный метод может быть использован для расчета усталостной долговечности кабеля и исследования веса моста в движении.

1. Введение

Долгосрочная жизнеспособность критически важных структурных элементов является серьезной проблемой, поскольку инфраструктура нашей страны стареет. Элементы натяжения мостовых систем, такие как подвесные тросы, чувствительны к усталости при движении автотранспорта. Циклическая нагрузка на растяжение этих элементов может привести к преждевременному усталостному повреждению или отказу [1].Усталостная долговечность элемента зависит от истории нагружения. Традиционно для определения усталостной долговечности используется метод стресс-жизни. Кривые S N эмпирически составлены для связи номинальной амплитуды напряжения ( S ) и количества циклов ( N ) до разрушения. Среднее напряжение, которому подвергается конкретный элемент, представляет собой комбинацию колебательного усталостного напряжения, вызванного переходными нагрузками, и постоянного напряжения, вызванного постоянными нагрузками.Чтобы точно рассчитать усталостную долговечность элемента, эквивалентная амплитуда напряжения должна быть рассчитана по отношению к среднему напряжению с использованием соотношения Гудмана или Гербера [2]. Диаграмма Хая представляет собой график зависимости среднего напряжения от амплитуды напряжения, который также можно использовать для определения усталостной долговечности (рис. 1) [3]. Несколько исследований показывают, что увеличение среднего напряжения может резко снизить расчетную усталостную долговечность элемента [4–6].

Поскольку среднее напряжение оказывает существенное влияние на усталостную долговечность элемента, очень важно получить точную историю сил растяжения в подверженных усталости элементах, таких как кабели.Сух и Чанг провели экспериментальное исследование усталостных характеристик тросов для подвесных тросов подвесных мостов и обнаружили, что среднее напряжение тросов оказывает значительное влияние на усталостные характеристики тросов [7]. Основным методом, который обычно используется для отслеживания изменения силы растяжения в элементах растяжения, является измерение на основе деформации путем сбора данных о деформации с датчиков деформации, прикрепленных к отдельным элементам [8]. Эти данные могут быть использованы для оценки напряжения и остаточного усталостного ресурса элементов конструкции на основе номинальной амплитуды напряжения [9].Если тензодатчики применяются к элементу, несущему постоянные нагрузки, они могут определять только амплитуду колебательного напряжения, а не среднее напряжение. Тензодатчики должны быть применены до начала строительства, чтобы учесть влияние статической нагрузки. Применение методов, основанных на деформации, также является сложной задачей, поскольку тензодатчики должны быть прикреплены к неровной поверхности многожильных кабелей. Прикрепление тензодатчиков к неровным поверхностям затрудняет получение точных показаний. Это основные недостатки анализа усталости на основе деформации.Прямое измерение также может использоваться для определения силы натяжения в кабелях. Однако этот метод является дорогостоящим и требует, чтобы датчик нагрузки был встроен в кабельную сборку, чтобы регистрировать силу, поддерживаемую кабелем.

Определение средней растягивающей силы в кабелях с помощью методов вибрации широко изучается [10–12]. Для измерения силы троса можно просто, быстро и точно использовать частотные методы вибрации. Основным принципом, используемым при формулировке методов вибрации для определения сил натяжения на основе измерений средней частоты, является теория натянутой струны: где — сила натяжения, — массовая плотность, — длина, — номер моды, — это собственная частота.Частотную характеристику кабеля можно зафиксировать, прикрепив акселерометры к отдельным кабелям для измерения вибрации под нагрузкой.

Однако этот метод можно использовать только для расчета средней силы натяжения в тросах. Временные изменения в тросах подвески при действующей нагрузке существенно влияют на усталостную долговечность элемента. Согласно отчету 538 NCHRP, не существует признанного стандарта для проверки или оценки состояния на месте и прочности мостовых кабелей [13]. Таким образом, необходим основанный на вибрации метод для точного определения истории растягивающей нагрузки и остаточного усталостного ресурса кабеля.Методы, основанные на вибрации, уменьшили бы неопределенности, связанные с расчетом среднего напряжения элемента, поскольку общая сила натяжения кабеля напрямую влияет на частоту вибрации кабеля. Общая сила натяжения складывается как из статической нагрузки, так и из эффектов движущейся нагрузки. Следовательно, отслеживая вибрацию кабелей, можно определить точную оценку силы осевого натяжения на кабелях. Путем мониторинга вибрации кабеля в течение заданного временного интервала можно рассчитать временные изменения силы в кабеле.Понимание изменений растягивающих усилий с течением времени может облегчить оценку количества циклов нагружения и степени усталостного повреждения кабелей. Период времени, о котором идет речь, может быть скорректирован с точки зрения годовых, сезонных, месячных, дневных или часовых окон, чтобы фиксировать долгосрочные или краткосрочные изменения силы в кабеле. Дополнительным преимуществом метода, основанного на вибрации, является то, что он не требует применения тензодатчиков или включения тензодатчиков.

Было проведено несколько исследовательских проектов для оценки характеристик кабелей, используемых на подвесных и вантовых мостах.Накамура и Хосокава [14] провели усталостные испытания кабелей с параллельными прядями, которые обычно используются на вантовых мостах. Было отмечено, что усталостная долговечность кабелей зависит от их положения на мосту и случайности схем движения, что требует обширного анализа конструкции, показывающего, что изменение нагрузки отдельных кабелей влияет на ее усталостную прочность. Cunha et al. [15] провели динамическое испытание на мосту Васко да Гама в Португалии, оснастив несколько тросов акселерометрами.Для оценки собственных частот и форм колебаний каждого кабеля были выполнены испытание на вибрацию окружающей среды и испытание на свободную вибрацию. Испытание на свободную вибрацию было завершено с использованием алгоритма идентификации с множеством степеней свободы в частотной области RFP (полином рациональной дроби), когда к конструкции применялась импульсная нагрузка, связывающая вибрацию кабеля с приложенной нагрузкой; однако это не было напрямую связано с силой в отдельных кабелях. Вонг [16] наблюдал за структурным состоянием нескольких мостов в Гонконге, включая Цин Ма, подвесной мост, и Кап Шуй Мун и Тинг Кау, оба вантовых моста.Система мониторинга состояния моста (WASHMS), используемая для этих проектов, оценила силы в опорных тросах на основе амплитуд вибрации тросов и смещения тросов под действующей нагрузкой. Ren et al. [17] разработали набор эмпирических формул для оценки силы натяжения в несущих тросах на основе основной частоты троса для определения средней силы в тросах, но не временных изменений. Некоторые другие уникальные методы, которые использовались для измерения силы троса на месте, включают предложенный Мехраби [18] метод использования лазерного измерения вибрации тросов для определения силы троса и Bao et al.[19] рекомендовал новый подход к расчету изменяющихся во времени сил натяжения кабеля с использованием метода адаптивного разреженного частотно-временного анализа.

Результаты, представленные в этой статье, являются результатами новой методологии, которая была разработана как дополнительная часть обширного исследовательского проекта, направленного на оценку различий сил натяжения кабелей в группах кабелей посредством серии стационарных частотных анализов ускорения кабеля. данные. В этой дополнительной работе была исследована возможность реализации нетрадиционного нестационарного частотного анализа.В этой статье представлены разработка и проверка этого технико-экономического обоснования и создание нового метода для определения колебаний сил натяжения в тросах подвески с течением времени с адекватным временным и частотным разрешением посредством измерений ускорения вибрации троса. В этом исследовании основное внимание уделяется применению нестационарного анализа данных о вибрации кабеля в частотно-временной области. Результаты стационарного частотного анализа представлены в подробном отчете Stromquist-LeVoir et al.[20]. Предлагаемый нестационарный метод представляет собой простой и легко реализуемый альтернативный подход к измерению изменения во времени натяжения кабеля из-за эксплуатационных нагрузок. Цель этой статьи — продемонстрировать, что частотно-временной анализ может использоваться как эффективный и практичный подход для измерения изменения во времени сил троса подвески. В настоящее время частотный анализ проводится в основном для измерения базовых сил, а не временных изменений.

2. Предпосылки и методология

Авторы разработали методологию, которая демонстрирует способность соотносить временные изменения частоты кабеля с изменениями силы осевого натяжения кабеля.Результаты показывают, что амплитуда колебательной силы натяжения и соответствующее усталостное напряжение в подвесном тросе может быть определена путем соотнесения движения транспортных средств, проезжающих по мосту, с вибрационной реакцией троса. Установление взаимосвязи между динамической нагрузкой на мосту и натяжением подвесных тросов может улучшить текущее понимание их краткосрочных и долгосрочных характеристик при ежедневном движении. Если в типичных условиях эксплуатации известны силы троса подвески, то изменение сил из-за различных нагрузок окружающей среды, таких как ветер и тепловые силы, можно учесть в экстремальных условиях.Это позволяет напрямую связать историю растягивающего усилия в одном или нескольких кабелях с частотой вибрации кабеля, вызываемой проезжающими транспортными средствами. Этот подход может использоваться для определения остаточного усталостного ресурса элемента на основе длительного изменения и циклической нагрузки сил натяжения кабеля.

Частотно-временной анализ может быть эффективным и практичным подходом для инженеров для оценки оставшегося усталостного ресурса тросов подвески. Уникальные механизмы несения нагрузки мостов, в которых используются подвесные тросы, не позволяют использовать традиционные методы мониторинга мостов.Историю ускорения троса можно использовать для измерения изменения силы натяжения троса, вызванного пересечением транспортных средств. Следовательно, может быть разработана методология для облегчения анализа усталостной долговечности с использованием набора данных хронологии ускорения кабеля во времени. Простота и точность этого предложенного метода принесут значительную пользу инженерному сообществу.

Обычно, когда ускорения используются в большинстве приложений для мониторинга работоспособности, они требуют только знания частоты конструкции.Однако, чтобы найти дисперсию растягивающих усилий, необходимо изменение частоты вибрации во времени. Спектрограммы мощности отображают изменение частоты во времени, но функции спектральной плотности мощности (PSD) не могут показать изменяющийся во времени характер сигнала. Таким образом, анализ спектрограммы мощности использовался, чтобы связать данные хронологии ускорения вибрирующего кабеля с транспортной нагрузкой, приложенной к конструкции. Спектрограммы мощности были определены с использованием дискретного кратковременного преобразования Фурье (STFT).

Описанный дискретный алгоритм STFT использовался для анализа данных ускорения в частотно-временной области для определения натяжения кабеля во времени. Методология не требует сложных или навязчивых инструментов, в отличие от методов, основанных на деформации, и методов прямого измерения. Это также не предполагало разработки обширной модели. Эффективная и действенная аналитическая динамическая модель кабеля была разработана и подтверждена экспериментальными данными. Новизна этого исследования заключается в разработке усредненных вариаций первых нескольких собственных частот для достижения адекватного разрешения и точности временного анализа подвесных тросов.

Этот метод использовался в тематическом исследовании для оценки изменений сил натяжения тросов, вызванных проезжающими через мост транспортными средствами. Данные об ускорении были собраны с подвесных тросов стального арочного моста с подвесным настилом, расположенного в Коннектикуте, чтобы оценить применимость метода для действующих мостов. Методология и результаты, представленные в этом исследовании, могут быть адаптированы и использованы для документирования данных о силе натяжения для всех применимых мостов в Национальном индексе мостов [21]. Изучение долгосрочных характеристик подвесных тросов также позволит уточнить текущие коэффициенты усталостной нагрузки в AASHTO LRFD [22].

3. Изменение сил натяжения тросов во времени

В следующих разделах описывается процедура для предлагаемой методологии. Изменение сил натяжения кабеля во времени определялось на основе хронологии ускорения следующим образом: (1) были определены компоненты, необходимые для разработки репрезентативной аналитической динамической модели кабельной системы; (2) каждые экспериментальные данные ускорения были преобразованы в функцию PSD; и (3) экспериментальная функция PSD сравнивалась с аналитической моделью путем изменения сил натяжения в аналитической модели.Представленные уравнения использовались для оценки силы натяжения кабеля в течение определенного пользователем периода времени, который может варьироваться от краткосрочного до долгосрочного в зависимости от частоты сбора данных.

3.1. Определение аналитической динамической модели

Аналитическая модель была разработана для моделирования динамики подвесного троса. Система состоит из одного подвесного троса длиной,, подверженного воздействию силы осевого натяжения, как показано на Рисунке 2 [23]. Модель учитывает геометрическую жесткость и жесткость на изгиб.Матрицы массы и жесткости были разработаны путем воздействия на кабель произвольной изменяющейся во времени функции поперечного воздействия. Модальные векторы были ортогональны как матрицам массы, так и матрицам жесткости для моды, где — любой номер моды. Поскольку можно предположить, что жесткость гибкого кабеля относительно мала, граничные условия для модели могут быть идеализированы как «штифт-ролик», поскольку жесткость кабеля не создает значительной фиксации момента.

Из диаграммы свободного тела, бесконечно малое сечение кабеля в состоянии равновесия имеет следующее уравнение движения в частных производных (PDE): где — плотность материала, — площадь поперечного сечения, — вторая производная деформации, которая это кривизна относительно времени, жесткость кабеля на изгиб, кривизна кабеля относительно положения вдоль продольной оси кабеля, сила натяжения в кабеле и произвольная функция поперечного усилия, действующая на систему (на рисунке 2,).

Модальные частоты могут быть получены из PDE движения с использованием модальных координат. Модальная масса и модальная жесткость системы для режима могут быть найдены с помощью (3) и (4), соответственно:

Собственная частота моды,, вычисляется в радианах в секунду. Для подвесного троса, закрепленного на обоих концах, форма колебаний, в данном месте, вдоль кабеля является функцией полусинусоидальных волн, выраженных как

Модальное демпфирование для системы, находится, как где — коэффициент демпфирования для режим.

Масса, жесткость и демпфирование аналитической модели используются для построения уравнений пространства состояний. Уравнения пространства состояний используются для определения функции частотной характеристики. Модальная координата требует, чтобы деформированная функция формы была представлена ​​обобщенными модальными смещениями, как показано следующим уравнением: где — обобщенное модальное смещение системы. Уравнение движения в модальных координатах задается следующим уравнением: где — модальная силовая функция, определяемая по формуле: где — единичная форсирующая функция и — коэффициент участия форсирующей функции для режима.

Форму пространства состояний можно переписать, чтобы определить функцию частотной характеристики аналитической модели: где — матрица нулей со строками по столбцам, а — единичная матрица со строками по столбцам. Выходное уравнение для системы определяется с использованием уравнения развязки, используемого для определения модальной системы, показанной в (8): где — место, в котором требуется отклик кабеля. Эти уравнения в пространстве состояний используются для определения функций частотной характеристики в заданном месте по длине.Это, в свою очередь, может использоваться для вычисления функции PSD.

Уравнения (11) и (12) используются для получения передаточной функции от входа к выходу системы в частотной области. Это достигается за счет преобразования Лапласа обоих уравнений и преобразования (11) в преобразование Лапласа из (12). Наконец, отношение выходного сигнала Лапласа к входному сигналу Лапласа представляет передаточную функцию TF или системы. Используя взаимосвязь между преобразованием Лапласа и собственной частотой, передаточная функция может быть определена следующим уравнением: где и — преобразование Фурье выхода и входа, соответственно.

Графики Боде

использовались для сравнения величины отклика системы в дБ с частотами вибрации кабеля под нагрузкой. График Боде обеспечивает мощную визуализацию откликов системы в частотной области. График Боде включает функции амплитуды r и фазы r для каждой входной силы. Общий TF системы получается путем наложения отдельных TF для определения общего отклика системы. Конечной целью анализа было построение графика функции PSD системы при входном идеальном белом шуме.Входной белый шум был предположением, сделанным для получения графика функции PSD из TF уравнений пространства состояний. При идеальном белом шуме все частоты в интересующей полосе возбуждаются одинаково, а величина входного преобразования Фурье эквивалентна на всех частотах. Если предположение о белом шуме поддерживается, (13) упрощается, чтобы показать, что TF эквивалентен преобразованию Лапласа выходного сигнала,.

Следующее определение позволяет преобразовать Фурье в функцию PSD последующим процессом.Функция PSD определяется как квадрат ряда преобразования Фурье, деленный на его длину: где — функция PSD передаточной функции,. Аналитическая функция PSD сравнивалась с экспериментальной функцией PSD, определенной из значений ускорения, для проверки аналитической динамической модели кабеля. Дальнейшее объяснение приводится в следующем разделе.

3.2. Влияние длины, натяжения, жесткости и демпфирования кабеля на функцию PSD

Чтобы понять влияние некоторых важных параметров кабеля на функцию PSD аналитической модели, было проведено параметрическое исследование.Учитывались такие параметры, как длина кабеля, сила натяжения, жесткость кабеля на изгиб и коэффициент демпфирования. Только один параметр был изменен для каждого режима, чтобы показать влияние этого параметра на первые четыре основные частоты аналитической системы. На рисунках 3–6 показаны изменения основной частоты для каждого из параметров, протестированных в параметрическом исследовании. На рисунке 3 показаны функции PSD для трех кабелей длиной от 15,24 до 20,12 м (от 50 до 66 футов). На рисунке 4 показаны функции PSD для 15.Кабель длиной 24 м (50 футов) подвергается трем силам натяжения от 178 до 267 кН (от 40 до 60 тысяч фунтов). На рисунке 5 показаны функции PSD для кабеля длиной 15,24 м (50 футов) с силой натяжения 222 кН (50 тысяч фунтов) с тремя значениями жесткости на изгиб, варьирующимися от 11,8 кН · м 2 до 35,4 кН · м 2 (4 108 тысячу фунтов на дюйм 2 до 12 323 тысяч фунтов на дюйм 2 ). Наконец, на рисунке 6 показаны функции PSD для кабеля длиной 15,24 м (50 футов) с силой натяжения 222 кН (50 тысяч фунтов) и жесткостью кабеля на изгиб 23.6 кН · м 2 (8 215 тысяч фунтов на дюйм 2 ) и три коэффициента демпфирования, изменяющихся от 1% до 5%. Результаты, представленные на рисунках 3–6, согласуются с зависимостью, представленной в (5). Рисунки 3 и 4 свидетельствуют о том, что изменение длины кабеля или силы натяжения оказывает значительное влияние на первые четыре собственные частоты системы. Рисунок 5 показывает, что изменение жесткости на изгиб не приводит к значительному изменению собственной частоты. Однако изменение коэффициента демпфирования не приводит к значительному изменению значения собственных частот, а изменяет амплитуду каждого пика, как показано на рисунке 6.Таким образом, можно сделать вывод, что вариации длины кабеля и натяжения кабеля оказывают существенное влияние на результаты функции PSD, тогда как коэффициент демпфирования влияет только на величину отклика, а жесткость кабеля практически не влияет. Полный анализ чувствительности может быть проведен для категоризации значимости каждого параметра в результатах функции PSD.




3.3. Экспериментальная спектральная плотность мощности

В этом разделе описывается метод генерации функции PSD из полевых данных.На мостах подвесного типа силы натяжения в тросах меняются из-за переменного возбуждения от транспортной нагрузки. Поскольку сила натяжения в конкретном кабеле изменяется при проезде транспортного средства, анализ в частотной области покажет доминирующие частоты вибрации. STFT использовались для получения ценной информации из меньшего окна данных, чтобы показать изменяющиеся во времени характеристики вибрации. Эти STFT показали изменения собственных частот кабеля с течением времени и, следовательно, соответствующие изменения натяжения кабеля.

Для заданной хронологии ускорения использовалось дискретное преобразование Фурье (ДПФ) для преобразования данных временной области в частотную, как показано следующим уравнением: где — хронология ускорения, преобразованная в частотную область, — общая количество значений в последовательности, и — временной шаг. Временное разрешение частотного содержимого требовалось для наблюдения за изменениями частотного содержимого во времени и для полного понимания краткосрочного поведения данного сигнала.Частотно-временное преобразование проводилось с использованием алгоритма дискретного времени STFT. В то время как исходное преобразование Фурье было применено ко всему набору данных, как указано в (15), STFT разделил набор данных на небольшие окна, которые затем были проанализированы с помощью DFT. Разделение данных было завершено с использованием окна Хэмминга. Функция окна Хэмминга представляет собой гладкую колоколообразную кривую, как показано на рисунке 7. Данные были разделены на отдельные интервалы, чтобы обеспечить фильтрацию данных.Все внешние значения были приняты равными нулю, чтобы уменьшить боковые лепестки, созданные в результате преобразования Фурье. Сегменты окна перемещались и повторялись для каждого временного интервала, позволяя перекрытие для увеличения временного разрешения без ущерба для разрешения по частоте. Математическое представление STFT дается следующим уравнением: где — сигнал ускорения в частотной области, — номер окна, — общее количество окон, — количество точек, используемых в преобразовании Фурье, и — значение для окна в данном сегменте окна и точке данных.Значение для было выбрано как окно Хэмминга, как описано следующим уравнением:

Уравнение (16) использовалось для выполнения преобразований Фурье для многих сегментированных наборов данных. Процесс генерации PSD-функции из STFT идентичен процессу генерации PSD-функции из аналитической модели. То есть функция PSD представляет собой квадрат ряда преобразования Фурье, деленный на его длину, как показано следующим уравнением: где — функция PSD экспериментальных данных.Эта функция была построена на графике в диапазоне частот, чтобы указать собственные частоты для каждого набора экспериментальных данных для заданного пользователем временного окна. Эти временные окна должны быть оптимизированы, чтобы сбалансировать как временное, так и частотное разрешение. Более длинное временное окно будет фиксировать глобальные изменения, в то время как более короткое временное окно будет фиксировать локальные изменения, например, изменения из-за трафика живой нагрузки.

4. Получение временных сил натяжения кабеля (бета-алгоритм)

Временная история силы натяжения была определена путем оценки временных изменений частотной составляющей кабеля, поскольку частотная характеристика динамической кабельной системы изменяется в зависимости от силы натяжения в кабеле. кабель.Временное разрешение функции PSD из (18) должно быть достаточно точным, чтобы отслеживать временные изменения растягивающей силы. Таким образом, записанная история ускорений была разделена на несколько оконных сегментов. Это потребовало автоматизированного подхода для обнаружения и количественной оценки временных изменений сил натяжения. Экспериментальные силы натяжения определялись путем нахождения свертки экспериментальных и аналитических функций PSD. Свертка — это математическая операция над двумя уравнениями, производящая третье, которая дает площадь перекрытия между двумя уравнениями как функцию поступательного сдвига одного из исходных уравнений.Перевод производился изменением номера окна в (16). Функция свертки в этом исследовании оценивается следующим интегралом: где — частота дискретизации в герцах. Диапазон сил натяжения был рассмотрен для создания массива значений, поскольку аналитическая функция PSD, является простой функцией силы натяжения кабеля, как показано в (14). Однако интеграл свертки (19) оценивался не интегрированием, а численным суммированием. Предполагаемое значение силы натяжения троса, которое привело к максимальному значению, определяло силу натяжения троса для конкретного окна.Этот процесс был повторен для всех сегментов окна, чтобы определить изменение силы натяжения кабеля в течение всего диапазона времени, охватываемого сегментами окна. Пошаговый алгоритм, используемый для получения изменения силы натяжения в кабеле во времени, выглядит следующим образом: (1) Была получена функция PSD собранных данных ускорения, и была найдена основная частота. (2) Уравнение (5) было использовано для найти среднее усилие натяжения троса,. (3) Диапазон сил натяжения троса был принят на основе нагрузок, создаваемых весом и конфигурацией оси для проезжающего транспортного средства с центральным значением.Допущения различаются в зависимости от типа и геометрии моста. (4) Используя аналитическую модель, аналитическая функция PSD была рассчитана для каждой силы натяжения в том месте, где были собраны экспериментальные измерения. (5) Преобразование частотно-временной области измеренных данных было получено с использованием STFT. (6) Для каждой аналитической функции PSD, полученной на шаге 4, была найдена свертка с экспериментальной функцией PSD окна,. (7) Для каждого временного окна, растягивающая сила, которая соответствует со значением найдено.(8) График для растягивающего усилия на этапе 7 в зависимости от времени, представляющего временное окно, был создан для получения истории растягивающего усилия.

На практике шаги 1–4 могут быть рассчитаны заранее, а шаги 5–8 могут быть вычислены по мере сбора данных. Историю растягивающего усилия можно использовать для лучшего понимания усталостной долговечности кабелей на месте путем точного определения истинного числа и величины диапазона напряжений в кабелях. Эти потенциальные применения будут дополнительно обсуждаться на примере моста Арригони в следующем разделе.

5. Пример: мост Арригони

Пример моста Арригони был использован для демонстрации предложенной методологии получения временных изменений силы натяжения в подвесных тросах. Мост Арригони был выбран потому, что это стальной арочный мост с подвесными тросами, прикрепленными к мостовому настилу, и предсказуемым распределением сил в поддерживающих тросах. Результаты экспериментов, собранные с помощью этого моста, сравнивались с аналитической моделью для проверки предложенной методологии.

5.1. Мост Арригони

Мост Арригони представляет собой сквозной арочный мост с подвесной палубой, соединяющей города Мидлтаун и Портленд, штат Коннектикут. Мост пересекает реку Коннектикут и был открыт для движения в 1938 году. Два основных пролета имеют длину 183 м (600 футов) каждый. Настил моста представляет собой систему композитных балок, поддерживаемую наборами из четырех вертикальных спиральных подвесных тросов, которые соединяют настил с фермами. Длина кабелей варьируется от 3,35 м до 22,86 м (от 11 футов до 75 футов).Полная разбивка всех комплектов кабелей представлена ​​в Таблице 1. Мост Арригони имеет ежедневную пропускную способность 33 600 автомобилей. Это единственный речной переход протяженностью более 16,1 км (10 миль) в обоих направлениях, что делает его важным звеном в местной транспортной сети. Изображение моста и его подвесных тросов показано на рисунке 8.

два аналогичных


Набор кабелей L2 / L18 L3 / L17 L4 / L16 L5 / L15

L6 / L14 L7 / L13 L8 / L13 L9 / L11 L10

Длина (м) 3.4 7,9 11,9 15,2 18,0 20,1 21,6 22,6 22,9

14

14

два аналогичных моста 91 Следовательно, данные были собраны только с кабелей на одном из участков, и из-за симметрии эти данные могут быть точно расширены для представления другого участка.

5.2. Параметры подвесного кабеля

Система нумерации, используемая для идентификации кабелей, была выровнена с вертикальными элементами стальной фермы, обозначенными от L2 до L18.В каждом наборе отдельные кабели были помечены 1–4, начиная с юго-западного угла и продолжаясь по часовой стрелке. Условные обозначения нумерации показаны на Рисунке 8.

Комплекты кабелей расположены на расстоянии 9,14 м (30 футов). Длина каждого кабеля была определена на основе проектных планов, предоставленных Министерством транспорта Коннектикута, и подтверждена полевыми измерениями. Предполагалось, что длина четырех кабелей в каждом наборе кабелей одинакова.

Подвесные тросы моста Арригони были исследованы с использованием магнитного потока, неразрушающего контроля для определения их общего состояния и выявления аномалий, таких как оборванные или ослабленные жилы [24].Метод магнитного потока определяет состояние кабеля путем регистрации магнитного поля намагниченного кабеля. На основании результатов исследования предполагалось, что подвесные тросы имеют полную площадь поперечного сечения. Номинальный диаметр и площадь поперечного сечения кабелей составляли 41,275 мм (1,625 дюйма) и 1026 мм 2 (1,59 дюйма, 2 ), соответственно. Схема поперечного сечения кабелей показана на рисунке 9.

Масса на единицу длины кабелей была определена путем умножения плотности материала кабеля на площадь поперечного сечения.Предполагалось, что кабели изготовлены из стандартной конструкционной стали плотностью 77 кН / м 3 (490 фунтов / фут 3 ). Это привело к весу на единицу длины 79 Н / м (5,41 фунт / фут) и массе на единицу длины 8,04 г / м (0,168 фунт-с 2 / фут 2 ). Как указано в ASTM A586, минимальный модуль Юнга кабелей составляет 164,5 кН / мм 2 (24 000 фунтов на квадратный дюйм).

5.3. Датчики и сбор данных

Система структурных испытаний компании Bridge Diagnostics Incorporated (BDI) с беспроводным сбором данных (STS-WiFi) использовалась для сбора историй ускорения кабеля.Система состояла из базовой станции, трех узлов, двенадцати акселерометров BDI 50 g, где g означает ускорение свободного падения, и портативного компьютера. Четыре акселерометра и один из узлов показаны на рисунке 10. Базовая станция STS-WiFi объединяет данные и передает их по беспроводной сети на ПК, где данные можно просматривать и сохранять. Акселерометры были ориентированы так, чтобы улавливать вибрацию кабелей вдоль продольной оси моста, то есть горизонтальной оси кабелей. Они были расположены параллельно проезжей части и прикреплены к крышке тросов подвески с помощью липучки.Датчики были размещены на 1,52 м (5 футов) над настилом моста, на 2,9 м (9,5 футов) над нижним якорем тросов. Это дало значение 0,19 для кабеля длиной 15,24 м (50 футов). Датчики были расположены на этой высоте для облегчения доступа и для того, чтобы все полосы на мосту были открыты для движения транспорта во время испытаний. Возбуждение кабеля в этом месте имело достаточную энергию вибрации для определения собственных частот кабелей. Хотя расположение акселерометров для этого тематического исследования не было оптимизировано на основе форм колебаний, было возможно точно рассчитать силы натяжения, подтвердив применимость методологии.

Данные собирались с частотой дискретизации 100 Гц при нормальной вибрации окружающей среды, вызванной движением транспорта и типичным ветром. Сбор данных не зависел от типа трафика, возбуждения и т. Д. Метод оказался способным генерировать надежные результаты даже в случаях с высокими отношениями шум / сигнал из-за типа используемой выборки и реализованного нестационарного управления окнами. Подмножество данных для кабелей L5, L6 и L7 на южной стороне моста Арригони было рассмотрено в настоящем анализе и обсуждении.Данные об ускорении для этих кабелей собирались одновременно. Эти кабели представляли большое количество различных режимов вибрации в анализе спектрограмм данных временной истории. На рисунке 11 показаны истории ускорения отдельных кабелей в каждом наборе кабелей.

Эффективное преобразование данных ускорения в частотно-временную область сильно влияет на эффективность процедуры. MATLAB v7.10.0 [25] использовался для выполнения математических расчетов.Чтобы максимизировать эффективность, были изучены несколько параметров преобразования, чтобы определить, какая комбинация дает наиболее функциональные частотно-временные данные. Эти параметры включают размер и перекрытие окна, а также количество точек быстрого преобразования Фурье (БПФ). Основываясь на изучении этих параметров, STFT были сгенерированы с использованием размера окна Хэмминга 256 точек данных с 90% перекрытием окон. Было выбрано 90% перекрытия окон вместо стандартного 50% перекрытия, чтобы увеличить временное разрешение спектрограммы за счет создания большего количества оконных сегментов.Предел частоты был установлен для используемых результатов, чтобы сбалансировать разрешение как по времени сбора данных, так и по силе натяжения. В частотно-временном анализе существует компромисс между точностью данных и разрешением данных. Поскольку частотное разрешение кабелей имеет решающее значение при определении растягивающих усилий в кабелях, было выбрано большее перекрытие окон. В таблице 2 представлены различные параметры, которые были исследованы, а также их временное и силовое разрешение. Разрешение по времени 0.26 секунд и разрешение по усилию 1,7 кН (0,39 тысячи фунтов) оказались оптимальными для этого исследования.

9133

9133


Размер окна (количество точек) Количество точек преобразования Фурье Временное разрешение (с) Разрешающая способность (кН)
64 0,06 6,98
128 128 0.13 3,47
256 256 0,26 1,73
512 512 9133 9133 512 9133 512

Только первые четыре режима вибрации учитывались в аналитической модели для этого тематического исследования. Было замечено, что более высокие формы колебаний не были четко отображены на кривых БПФ из-за отношения сигнал / шум данных ускорения, собранных на более высоких частотах.Для каждого режима использовалось 3% -ное демпфирование. Это значение демпфирования было выбрано для аналитической модели, чтобы гарантировать, что частота каждой моды вибрации кабеля была захвачена, поскольку регулировка демпфирования для кабеля сдвигает частоту каждой моды. Коэффициент демпфирования 3% был выбран из-за его сильного согласия с экспериментальными результатами модальной частоты кабелей. Модальная частота моделей оказалась критическим значением для определения силы в кабелях. Были исследованы другие коэффициенты демпфирования, но не учитывались модальные частоты, найденные при полевых измерениях.

5.4. Результаты ситуационного исследования

В этом разделе представлены результаты зависимости нагрузки от времени для всех кабелей, кроме кабелей L5-1 и L5-2. Ни один из режимов кабелей L5-1 и L5-2 не имел сильных значений амплитуды, которые можно было бы точно использовать для анализа PSD. Значения амплитуды были низкими для анализа PSD, когда энергия между собственными частотами была слишком большой или возбуждение было слишком низким. Если количество шума между модальными частотами было слишком большим, это не позволяло идентифицировать отдельные пики в данных.Для точного определения силы натяжения кабеля необходимо определить собственную частоту кабеля. Следовательно, изменение силы натяжения в кабелях L5-1 и L5-2 не может быть измерено.

Первоначально факторы участия вынуждающей функции определялись путем сравнения экспериментальных и аналитических функций PSD. В таблице 3 представлены значения для каждого из режимов в этой системе. На рисунке 12 сравниваются экспериментальные и аналитические функции PSD для кабеля L5-3. Резкое падение аналитической функции PSD после четвертого режима было результатом включения в анализ только первых четырех режимов.

9133 9133

9133

0 приблизительно, как описано в Шаге 3 методики.Этот диапазон также использовался для определения эффективного диапазона. Значение основной частоты определялось визуальным осмотром частотного анализа, который использовался для определения. Диапазон возможных сил натяжения в этом тематическом исследовании определяется следующим образом: где — набор возможных сил натяжения кабеля для аналитической функции PSD. Коэффициенты 0,9 и 1,1 были определены, поскольку изменение натяжения кабеля не превышало 6% для всех исследованных случаев. Эти границы не ограничивают алгоритм и фиксируют изменение натяжения кабеля на ± 10%.Свертка экспериментальных и аналитических функций PSD была оценена с интервалом 0,001, чтобы гарантировать, что это было получено с достаточной точностью.

5.5. Оценка истории силы натяжения троса

Истории силы натяжения троса, полученные с использованием предложенного алгоритма, представлены на рисунке 13. Средняя сила натяжения троса для всех тросов в трех наборах тросов варьировалась от 156 кН до 227 кН (от 35 до 51 тысячи фунтов). Сила натяжения в отдельных тросах подвески варьировалась из-за колебаний нагрузки на каждый трос [26].На рисунке 14 показана временная диаграмма для каждого кабеля с колебаниями вибрации вокруг средней силы натяжения отдельных кабелей. Все графики, представленные на рисунке 14, показывают пик примерно через три секунды. Постоянное увеличение произошло из-за того, что в это время по мосту проезжал грузовик. Во время пиковой нагрузки сила в двух тросах в комплекте тросов 5 увеличилась примерно на 5% из-за временной нагрузки, создаваемой грузовиком. Усилие в наборе кабелей 6 увеличилось на 4–6%, а в наборе кабелей 7 — на 4–5%.


Подробный вид истории силы натяжения кабеля показан на рисунке 15. Рисунок показывает, что форма события была аналогичной для кабелей в одном и том же наборе, но увеличение силы натяжения варьируется в зависимости от конкретного человека. кабели. Значения изменения пикового усилия и максимального общего изменения в каждом наборе представлены в таблице 4. Максимальное общее изменение силы натяжения было найдено после сложения всех историй силы каждого кабеля в наборе кабелей.Поскольку значения для двух из четырех кабелей в наборе L5 отсутствовали, максимальное общее изменение было получено путем удвоения значений двух кабелей, которые были измерены.


Комплект кабелей

L5

3 9133 9133 0,10 0,25 0,30 0,50
L7 0,05 0,25 0,50 0,75 0,50 0,75

9141

9133 931 931


Кабельный набор Номер кабеля Среднее пиковое изменение (кН) Максимальное общее изменение (кН)
2 4

L5 9.061 7,442 8,251 33,006
L6 7,024 5,978 9,524 9,71333 8,945 35,781

Согласованные значения, представленные в Таблице 4, свидетельствуют о том, что амплитуда силы натяжения, вызванной транспортным средством перехода, составляла приблизительно 33.4 кН (7,5 тысяч фунтов). В текущей тестовой установке вес транспортных средств, пересекающих мост, неизвестен. Ожидается, что амплитуда силы натяжения не будет такой же, как вес транспортного средства, из-за распределения силы между элементами конструкции. Однако пиковая сила натяжения может использоваться для прогнозирования амплитуды напряжения в отдельных кабелях.

Скорость транспортного средства также можно оценить по результатам, представленным путем вычисления временного интервала между воздействиями пиковой движущейся нагрузки на каждый из наборов тросов подвески, поскольку тросы расположены на одинаковом расстоянии.Расстояние между кабелями составляет 9,14 м (30 футов), что соответствует расстоянию, которое проехал автомобиль. Разделив расстояние между тросами на время между пиковыми усилиями в каждом тросе, можно рассчитать скорость транспортного средства. Поскольку пики в наборах кабелей на Рисунке 16 отстоят друг от друга примерно на 0,5 секунды для максимальных усилий в наборах кабелей L5, L6 и L7, скорость транспортного средства составляет примерно 64 км / ч (40 миль в час), что близко к заявленная скорость 56 км / ч (35 миль / ч).Кроме того, на рис. 15 показано, что пиковые нагрузки в отдельных кабелях в наборах кабелей возникают одновременно, что указывает на то, что различия в пиковых усилиях между наборами кабелей вызваны воздействием внешней временной нагрузки.

Этот метод не только дает амплитуду сил натяжения в отдельных тросах, но также дает среднюю силу натяжения, которая присутствовала в результате постоянных нагрузок на конструкцию. Средняя сила натяжения в сочетании с фактическим временным изменением силы троса неоценима для оценки усталостной долговечности.Использование этих методов позволит властям получить более точную картину истории напряжений тросов и проинформировать владельцев мостов об оставшейся усталостной долговечности тросов подвески.

6. Резюме и выводы

В этом исследовании представлен новый метод оценки временных изменений сил натяжения кабеля. Аналитическая модель, подверженная произвольной изменяющейся во времени функции поперечного воздействия, была использована для разработки системы уравнений в пространстве состояний. Модель учитывала как силу натяжения кабеля, так и жесткость на изгиб.Эти уравнения использовались для оценки функций спектральной плотности мощности (СПМ) аналитической модели. Аналогичным образом, функция PSD была разработана на основе кратковременного преобразования Фурье (STFT) экспериментально измеренных ускорений троса подвески моста. Сила натяжения кабеля была определена путем определения аналитической силы, которая максимизировала результат свертки двух функций PSD, найденных с использованием уравнения бета-алгоритма. Этот процесс определил не только временное изменение натяжения троса, но и базовое натяжение троса с использованием записанных ускорений подвески.Включение базовой силы натяжения имеет решающее значение при исследовании усталостного напряжения кабеля.

Для определения надежности и применимости предложенного метода было проведено тематическое исследование. Экспериментальные данные были собраны с моста Арригони, расположенного между Мидлтауном и Портлендом, штат Коннектикут. Результаты этого тематического исследования показали, что метод позволяет измерять колебания сил натяжения, вызванные проезжающим транспортным средством. Измеренное изменение силы натяжения подвески из-за проезжающего неизвестного грузовика оценивается в 33.4 кН (7,5 тысяч фунтов). Результаты этого тематического исследования свидетельствуют о том, что представленный метод может быть использован для определения существующего базового натяжения кабеля, а также для измерения изменений натяжения кабеля из-за дорожного движения.

7. Дальнейшая работа

Требуются дальнейшие исследования для улучшения методологии, представленной в этом документе. Экспериментальные испытания должны проводиться с использованием прямых измерительных методик, чтобы количественно оценить точность предлагаемого метода. Также следует провести полный вероятностный анализ, чтобы определить влияние каждого параметра на результаты, чтобы можно было точно идентифицировать неопределенности в результатах.Результаты, представленные в этой статье, демонстрируют, что частотно-временной анализ может использоваться как эффективный и практичный подход для измерения изменения во времени сил на тросе подвески. Адаптация этой методологии может позволить инженерам лучше оценить оставшийся усталостный ресурс подвесных тросов путем расчета изменения растягивающего усилия на основе его отношения к частоте вибрации. Этот метод также можно использовать для исследования веса моста в движении (BWIM), если полная аналитическая модель конструкции разработана и откалибрована путем загрузки моста грузовиком известного веса.Представленная процедура может быть применима к мосту любого типа, который включает кабели, в связи с базовой теорией взаимосвязи между силой и частотой вибрации. Однако следует соблюдать осторожность при применении этого метода к натяжным стержням, а не к кабелям из-за дополнительной жесткости на изгиб.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Благодарности

Авторы с благодарностью признают поддержку этого исследования Министерством транспорта Коннектикута и U.С. Федеральное управление шоссейных дорог. Авторы хотели бы поблагодарить Транспортный институт Коннектикута и Департамент транспорта Коннектикута за их помощь в сборе данных, используемых в этой статье.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.