Найти общее решение каждой из двух систем линейных уравнений: Общее и частное решение системы линейных уравнений. Примеры решений

Общее и частное решение системы линейных уравнений. Примеры решений



Пример 1. Найти общее решение и какое–нибудь частное решение системы

  • Решение
  • Видео решение

Решение выполняем с помощью калькулятора. Выпишем расширенную и основную матрицы:

Пунктиром отделена основная матрица A. Сверху пишем неизвестные системы, имея в виду возможную перестановку слагаемых в уравнениях системы. Определяя ранг расширенной матрицы, одновременно найдем ранг и основной. В матрице B первый и второй столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один, поэтому перенесем, например, первый столбец за пунктирную черту с обратным знаком. Для системы это означает перенос членов с x1 в правую часть уравнений.

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Работаем с первой строкой: умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ко второй и третьей строкам по очереди. Затем первую строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой.

Вторая и третья строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например вторую, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию второго уравнения системы, так как оно является следствием третьего.

Теперь работаем со второй строкой: умножим ее на (-1) и прибавим к третьей.

Минор, обведенный пунктиром, имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rangA = rangB = 3.

Минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x2, x3, x4, значит, неизвестные x2, x3, x4 – зависимые, а x1, x5 – свободные.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор (что соответствует пункту 4 приведенного выше алгоритма решения).

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид

Методом исключения неизвестных находим:

x4=3-4x5, x3=3-4x5-2x4=3-4x5-6+8x5=-3+4x5
x2=x3+2x4-2+2x1+3x5 = -3+4x5+6-8x5-2+2x1+3x5 = 1+2x1-x5
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x2, x3, x4 через свободные x1 и x5, то есть нашли общее решение:

Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Найдем два частных решения:

1) пусть x1 = x5 = 0, тогда x2 = 1, x3 = -3, x4 = 3;

2) положим x1 = 1, x5 = -1, тогда x2 = 4, x3 = -7, x4 = 7.

Таким образом, нашли два решения: (0,1,-3,3,0) – одно решение, (1,4,-7,7,-1) – другое решение.


Пример 2. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы

Решение. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.

Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:

Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:

Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:

Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:

Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:

-x1=-3 → x1=3; x2=3-x1 → x2=0; x3=1-2x1 → x3=5.

x4 = 10- 3x1 – 3x2 – 2x3 = 11.

Пример 3. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.

Решение. Составляем расширенную матрицу системы.

Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:

Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:

Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:

Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть rB > rA.

Задание. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления.

Решение

Пример. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера. (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)

Решение:doc:doc:xls

Ответ: 2,-1,3.

Пример. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.

Решение

Ответ:x3 = — 1 + x4 + x5; x2 = 1 — x4; x1 = 2 + x4 — 3x5

Задание. Найти общее и частное решения каждой системы.

Решение.
Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.

Выпишем расширенную и основную матрицы:

1 1 14 0 2 0
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1
x1 x2 x3 x4 x5

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0 -1 40 -3 6 -1
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0 -1 40 -3 6 -1
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4,x5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -1 3 -6
2 3 -3 1 -3 2
x1 x2 x3 x4 x5


Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
27x3 =
— x2 + 13x3 = — 1 + 3x4 — 6x5
2x1 + 3x2 — 3x3 = 1 — 3x4 + 2x5
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4,x5, то есть нашли общее решение:
x3 = 0
x2 = 1 — 3x4 + 6x5
x1 = — 1 + 3x4 — 8x5
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.

Задание. Решить систему уравнений.

Ответ😡2 = 2 — 1.67x3 + 0.67x4
x1 = 5 — 3.67x3 + 0.67x4
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной

Пример. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.

Решение: Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера — Капелли. Согласно теореме Кронекера — Капелли, из того, что следует несовместность исходной системы.

Ответ: система не совместна.

Решение

Пример 3, Пример 4, Пример 5, Пример 6, Решение

2.3.6. Примеры решения задач по теме «Системы уравнений общего вида. Метод Гаусса»

Задача 1.

Указать базисный минор матрицы

Указание

Определите вначале ранг матрицы А, а затем найдите ненулевой минор, порядок которого равен R(A).

Решение

Определим R(A). Вторая и четвертая строки А равны, поэтому после вычитания из 4-й строки 2-й получаем:

Вычислим минор полученной матрицы, составленный из первых трех столбцов:

Таким образом, найден минор максимально возможного (3-го) порядка, не равный нулю. Следовательно, ранг матрицы А равен рангу преобразованной матрицы, то есть равен 3, а рассмотренный минор является базисным.

Ответ:

Задача 2.

Определить количество решений системы линейных уравнений

.

Указание

Сравните ранги матрицы системы и расширенной матрицы.

Решение

Сравним ранги матрицы системы

И расширенной матрицы

.

Для удобства вычислений будем искать ранг матрицы А1, отделив ее последний столбец вертикальной чертой. Тогда столбцы, стоящие слева от черты, образуют матрицу А, и мы одновременно найдем ранги обеих матриц.

А1 ~ .

Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей – первую, умноженную на 3:

А1 ~ ~ .

Таким образом, R(A) = 2, a R(A1) = 3, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система несовместна.

Задача 3.

Найти общее решение линейной системы

.

Указание

Убедившись в том, что система совместна, определите базисные и свободные неизвестные и выразите базисные неизвестные через свободные.

Решение

Найдем R(A) и R(A1):

Итак, R = R(A) = R(A1) = 2, а число неизвестных П = 5. Следовательно, R < N, и система имеет бесконечно много решений (совместна, но не определена).

Число базисных неизвестных равно R, то есть двум. Выберем в качестве базисных неизвестных Х1 и Х2, коэффициенты при которых входят в базисный минор преобразованной матрицы А: .

Соответственно Х3, Х4, Х5 – свободные неизвестные.

Запишем систему, равносильную исходной, коэффициентами в которой являются элементы полученной матрицы:

И выразим базисные неизвестные через свободные:

.

Получено общее решение системы. Одно из частных решений можно найти, положив все свободные неизвестные равными нулю: Х3 = Х4 = Х5 = 0. Тогда

Ответ:

Задача 4.

Найти общее решение системы, выразив в ответе первые неизвестные через последние:

Указание

Приведите расширенную матрицу к виду

Решение

Минор, состоящий из первых трех столбцов полученной матрицы,

Поэтому R(A) = R(A1) = 3, выбранный минор является базисным, а Х1, Х2, Х3, коэффициенты при которых составляют базисный минор, – базисными неизвестными. Тогда свободное неизвестное – Х4, и система, равносильная исходной, имеет вид:

Откуда

Ответ:

Задача 5.

Найти фундаментальную систему решений однородной линейной системы

Указание

Количество решений, образующих фундаментальную систему, равно числу

Свободных неизвестных. Задайте свободным неизвестным значения 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1 и вычислите соответствующие значения базисных неизвестных.

Решение

Количество решений, образующих фундаментальную систему, равно числу

Свободных неизвестных.

Матрица А1 отличается от матрицы А только добавлением нулевого столбца свободных членов, поэтому все ее ненулевые миноры являются минорами матрицы А, то есть R(A) = R(A1). Найдем R(A):

Выберем в качестве базисного минора

Значит, R(A) = 2. Пусть Х4, Х5 – базисные неизвестные, Х1, Х2, Х3 – свободные неизвестные. Запишем для них новую систему:

Откуда

Фундаментальная система решений состоит из трех столбцов. Рассмотрим три набора значений свободных неизвестных:

1) Х1 = 1, Х2 = Х3 = 0.

Тогда Х4 = -0,2, Х5 = 1,2, и решение можно записать в виде столбца

2) Х1 = 0, Х2 = 1, Х3 = 0.

При этом Х4 = 1,2, Х5 = 3,8, и следующее решение системы имеет вид

3) Х1 = Х2 = 0, Х3 = 1. Отсюда Х4 = -0,8, Х5 = -0,2, и последний столбец

Фундаментальная система решений, построенная при таком выборе свободных неизвестных, называется Нормальной. Поскольку столбцы свободных неизвестных , , линейно независимы, это гарантирует линейную независимость решений Х1, Х2, Х3.

Итак, в качестве фундаментальной системы решений можно выбрать

При этом любое решение данной системы имеет вид: Х = с1Х1 + С2Х2 + С3Х3, где С1, С2, С3 – произвольные постоянные. Эта формула задает общее решение системы.

Ответ:

Задача 6.

Составить однородную систему из двух уравнений, для которой столбцы

Образуют фундаментальную систему решений.

Указание

Пусть искомая система имеет вид:

Подставьте вместо Х1, …, Х5 элементы столбцов Х1, Х2, Х3 и решите полученную систему уравнений для коэффициентов Aij.

Решение

Существует бесконечно много систем однородных линейных уравнений, для каждой из которых фундаментальная система решений имеет указанный вид. Число уравнений в таких системах может быть различным. При этом можно указать их наименьшее требуемое количество, а увеличивать их число можно неограниченно.

Определим вначале, из какого наименьшего числа уравнений может состоять такая система.

Число элементов каждого столбца равно пяти, следовательно, в системе пять неизвестных (П = 5). Количество столбцов, составляющих фундаментальную систему, равно трем, то есть N R = 3, поэтому R = 5 – 3 = 2. Значит, матрица А должна иметь по крайней мере 2 строки. Следовательно, система уравнений с заданной фундаментальной системой решений может состоять из двух и более уравнений.

Пусть искомая система имеет вид:

Подставим вместо Х1, …, Х5 элементы столбцов Х1, Х2, Х3. Получим:

Разобьем полученные 6 уравнений на две системы, одна из которых содержит A1I, а вторая – A2I:

Найдем какое-либо частное решение этой системы. Приведем ее матрицу к треугольному виду:

Откуда

Следовательно,

Выберем А14 = А15 = 4, тогда А11 = 0, А12 = 8, А13 = -4.

2) Так же выглядит общее решение системы для A2I:

Выберем свободные неизвестные так, чтобы получить решение, линейно независимое с предыдущим.

Пусть А24 = 4, А25 = 0, тогда А21 = 5, А22 = 5, А23 = -3.

Итак, используя найденные значения коэффициентов, можно составить линейную однородную систему:

Фундаментальная система решений которой имеет вид, приведенный в условии задачи.

Ответ:

Задача 7.

Найти общее решение неоднородной линейной системы

С помощью фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы.

Указание

Убедитесь в том, что система совместна. Затем составьте соответствующую однородную систему и найдите для нее фундаментальную систему решений. Далее используйте то, что общее решение неоднородной системы линейных уравнений является суммой общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы.

Решение

Убедимся в том, что система совместна:

Итак, R(A) = R(A1) = 2 – система совместна.

Составим по преобразованной матрице однородную систему:

И найдем для нее фундаментальную систему решений:

Фундаментальная система решений может быть выбрана так:

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений является суммой общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы.

Теперь найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы

Положим Х3 = Х4 = Х5 = 0, тогда . Следовательно,

и общее решение системы имеет вид:

Х = с1Х1 + С2Х2 + С3Х3 + Хчастн, где С1, С2, С3 – произвольные постоянные.

Ответ:

Задача 8.

Решить систему методом Гаусса:

.

Указание

Поменяйте местами 1-е и 2-е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при Х равнялся единице, а затем исключите Х из второго и третьего уравнений.

Решение

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для удобства его применения поменяем местами 1-е и

2-е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при Х равнялся единице:

Теперь исключим Х из второго и третьего уравнений. Для этого вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 3, а из третьего – первое, умноженное на 2:

Далее можно легко исключить Z из третьего уравнения, если прибавить к нему второе:

Из последнего уравнения получаем, что У = 0. Подставляя это значение в первое и второе уравнения, находим остальные неизвестные: Z = 3, Х = 1.

Ответ: Х = 1, У = 0, Z = 3.

При применении метода Гаусса совсем не обязательно приводить систему к «классическому» треугольному виду:

.

Достаточно, чтобы матрица коэффициентов, например, системы трех уравнений с тремя неизвестными содержала два нуля в одном столбце и одновременно два нуля в одной строке, причем один из нулей стоял на пересечении этих строки и столбца.

Задача 9.

Решить систему методом Гаусса:

Указание

Исключите Х2 из 2-го и 4-го уравнений, используя 1-е уравнение, а затем вычтите из 3-го уравнения 2-е, чтобы исключить Х3.

Решение

Исключим Х2 из 2-го и 4-го уравнений. Для этого из 2-го уравнения вычтем 1-е, а к 4-му прибавим 1-е, умноженное на 2:

Вычтем из 3-го уравнения 2-е, чтобы исключить Х3:

Теперь вычтем из 4-го уравнения удвоенное 3-е:

Из последнего уравнения находим . Тогда из 3-го уравнения Х1 = 0, из 2-го , из 1-го Х2 = 2.

Ответ:

< Предыдущая   Следующая >

Общее решение системы уравнений

На уроках алгебры, если система уравнений имеет бесконечно много решений, вы просто пишете «бесконечно много решений» и переходите к следующей задаче. Однако, когда мы говорим «бесконечно много решений», происходит гораздо больше. В этой статье мы рассмотрим эту идею с общими решениями.

реклама

Содержание:

  1. Запись общего решения
  2. Нахождение конкретных решений на основе общего решения
  3. Краткое описание шагов

Запись общего решения

Сначала давайте рассмотрим, как записать общее решение данной системы уравнений. Для этого рассмотрим пример.

Пример

Найдите общее решение системы уравнений:

\(
\begin{array}{c}
x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 18x_4 = 11\\
x_1 + x_2 + 5x_3 +11x_4 = 10\\
\конец{массив}\)

Как и в любой системе уравнений, мы будем использовать расширенную матрицу и сокращение строк.

\(
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 8 & 18 & 11\\
1 & 1 & 5 & 11 & 10\\
\end{массив}
\right ]
\sim
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 & 4 & 9\\
0 & 1 & 3 & 7 & 1\\
\end{массив}
\справа]
\)

Теперь выпишите уравнения из этой сокращенной матрицы.

\(
\begin{array}{c}
x_1 + 2x_3 + 4x_4 = 9\\
x_2 + 3x_3 + 7x_4 = 1\\
\end{массив}\)

Обратите внимание, что в матрице начальные единицы (первая ненулевая запись в каждой строке) находятся в столбцах для \(x_1\) и \(x_2\).

Найдите эти переменные.

\(
\begin{array}{c}
x_1 = 9 – 2x_3 – 4x_4\\
x_2 = 1 – 3x_3 – 7x_4\\
\end{массив}\)

Остальные переменные являются свободными переменными , что означает, что они могут принимать любое значение. Значения \(x_1\) и \(x_2\) основаны на значении этих двух переменных. В общем решении, вы хотите отметить это.

Общее решение:

\(
\boxed{
\begin{array}{l}
x_1 = 9 – 2x_3 – 4x_4\\
x_2 = 1 – 3x_3 – 7x_4\\
x_3 \text{ свободен}\\
x_4 \text{ свободен}\\
\end{array}
}
\)

Существует бесконечно много решений этой системы уравнений, использующих разные значения двух свободных переменных.

Поиск конкретных решений

Предположим, вы хотите привести пример конкретного решения приведенной выше системы уравнений. Их бесконечно много, поэтому у вас есть большой выбор! Вам просто нужно рассмотреть возможные значения свободных переменных.

Пример решения

Пусть:

\(
\begin{array}{l}
x_3 = 0\\
x_4 = 1\\
\end{массив}
\)

Не было особой причины выбирать 0 и 1. Опять же, это будет работать для ЛЮБОГО значения, которое вы выберете для этих двух переменных.

Используя эти значения, решение:

\(
\begin{array}{l}
x_1 = 9 – 2x_3 – 4x_4 = 9 – 2(0) – 4(1)\\
x_2 = 1 – 3x_3 – 7x_4 = 1 – 3(0) – 7 (1)\\
x_3 = 0\\
x_4 = 1\\
\end{массив}
\rightarrow
\boxed{
\begin{array}{l}
x_1 = 5\\
x_2 = -6\\
x_3 = 0\\
x_4 = 1\\
\end{array}
}
\)

Вы можете проверить эти значения в исходной системе уравнений, чтобы быть уверенным:

\(
\begin{array}{l}
x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 18x_4 = 11\\
x_1 + x_2 + 5x_3 +11x_4 = 10\\
\end{array}
\rightarrow
\begin{array} {l}
(5) + 2(-6) + 8(0) + 18(1) = 11 \text{ (true)}\\
(5) + (-6) + 5(0) +11 (1) = 10 \text{ (истина)}\\
\конец{массив}
\)

Поскольку оба уравнения верны для этих значений, мы знаем, что нашли одно из многих решений. Если бы мы хотели найти больше решений, мы могли бы просто выбрать разные значения для двух свободных переменных \(x_1\) и \(x_2\).

реклама

Краткое изложение шагов

Учитывая систему уравнений, шаги для записи общего решения следующие:

  1. Сокращение строки расширенной матрицы для системы.
  2. Выпишите уравнения из матрицы с уменьшенной строкой.
  3. Найдите переменные, в столбце которых стоит первая единица.
  4. Пометьте оставшиеся переменные как свободные переменные.

Подпишитесь на нашу рассылку!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем дополнительные учебные пособия, руководства по калькуляторам и наборы задач.

Подпишитесь, чтобы время от времени получать электронные письма (раз в пару или три недели), сообщающие о новинках!

Объяснение урока: Общее решение системы линейных уравнений

В этом объяснении мы узнаем, как найти общее решение системы линейных уравнений, независимо от того, имеет ли она единственное решение, бесконечное число решений или не имеет решения.

При работе с системой линейных уравнений есть 3 возможные категории решений, которые можно найти. Наиболее знакомым случаем будет система линейных уравнений, имеющая единственное решение. Возьмем, к примеру, систему линейных уравнений
2𝑥+3𝑦=1,−4𝑥+𝑦=−9.

Решение этой системы линейных уравнений любым методом даст 𝑥=2 и 𝑦=−1. Учитывая, что обе переменные
𝑥 и 𝑦 имеют только одно возможное значение, мы бы сказали, что решение единственно.

Предположим, что вместо этого мы имеем систему линейных уравнений
𝑥−3𝑦=2,−3𝑥+9𝑦=−6.

В этом примере мы видим, что нижнее уравнение, по сути, является просто копией первого уравнения, где каждый член умножается на
−3. На самом деле, мы можем умножить каждый член в левой части на −13.
без изменения решения, и система станет
𝑥−3𝑦=2,𝑥−3𝑦=2.

Первое и второе уравнения идентичны, а это означает, что записывать их оба бесполезно. Мы не теряем информации, записывая систему линейных уравнений более кратко, как
𝑥−3𝑦=2.

Это показывает, что в отличие от предыдущего примера, где у нас было единственное решение, теперь возможно
𝑥 и 𝑦 принимать бесконечно много значений, при этом решая
оригинальная система линейных уравнений. Если бы мы решили приведенное выше уравнение для 𝑥, то мы бы нашли 𝑥=2+3𝑦. Если бы мы выбрали значение примера 𝑦=1, то мы бы нашли 𝑥=5
и мы могли бы проверить, действительно ли эта пара значений решает исходную систему. В равной степени мы бы выбрали
𝑦=−3,
что дало бы 𝑥=−7. Это также тот случай, когда эта пара значений решает исходную
система уравнений.

Учитывая, что мы можем выбрать любое значение 𝑦 и найти соответствующее значение 𝑥 из уравнения 𝑥=2+3𝑦,
следовательно, у нас есть бесконечно много возможных решений. Именно этот тип решения мы обсудим в этом объяснении.

В завершение кратко упомянем окончательный возможный тип решения. Рассмотрим систему линейных уравнений
3𝑥+𝑦=−2,6𝑥+2𝑦=−6.

Мы видим, что второе уравнение очень похоже на первое уравнение. Умножаем все члены второго уравнения на 12, что дает
3𝑥+𝑦=−2,3𝑥+𝑦=−3.

Теперь у нас есть довольно любопытная пара уравнений с одинаковыми левыми частями, но разными правыми. Читая два приведенных выше уравнения, мы должны найти значения 𝑥 и 𝑦, которые при объединении вместе в
точно так же, как-то дают разные результаты. Это заведомо смехотворно и недостижимо, т. е. данная система
линейных уравнений не имеет решения. Мы бы сказали, что система несовместима или неразрешима. Естественно, мы не
обычно интересуются такими типами систем линейных уравнений.

Способ и трудность решения системы уравнений с бесконечным числом решений не примечательны
отличается от ситуации, когда существует единственное решение. Метод в основном такой же и не требует дополнительных знаний
типа решения, опираясь на метод исключения Гаусса–Жордана для завершения вычислений. Это только наполовину через
расчетов, когда тип решения определен, подход метода начинает отклоняться. Независимо от типа решения
система линейных уравнений, мы всегда можем найти ее, используя тот же подход к группировке коэффициентов этой системы в
конкретная матрица, которую мы затем манипулируем операциями со строками, чтобы найти решение.

Определение: расширенная матрица коэффициентов

Рассмотрим общую систему линейных уравнений с переменными 𝑥, 𝑥,…, 𝑥 и коэффициентами 𝑎:
𝑎𝑥+𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏, 𝑎𝑥+𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏, ⋮⋮⋮ ⋮⋮⋮ 𝑎𝑥+𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏. 

Тогда система линейных уравнений также описывается матричным уравнением
⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ ⋯ 𝑎 ⋮⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑎 ⋯ 𝑎⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝𝑥𝑥 ⋮ 𝑥⎞⎟⎟⎠ = ⎛⎜⎜⎜⎝𝑏𝑏 𝑏⎞⎟⎟⎟⎠. 

Расширенная матрица коэффициентов системы
⎛⎜⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ ⋯ 𝑎𝑏 ⋮⋮ ⋱ ⋮⋮ 𝑎𝑎 ⋯.

Предположим, что мы хотим решить систему линейных уравнений, определяемую как
𝑥−2𝑦=−3,5𝑥−10𝑦=−15.

К этому моменту уже очевидно, что второе уравнение совпадает с первым уравнением,
за исключением того, что каждый член умножается на 5. Мы можем разумно предположить, что будет бесконечное количество решений,
но сначала мы не будем исходить из таких предположений. Расширенная матрица коэффициентов этой системы уравнений имеет вид
1−2−35−10−15.

Вторая строка является копией первой строки после того, как каждая запись была умножена на 5. Причина записи системы линейных уравнений в этой форме заключается в том, что легче затем манипулировать
матрицу в виде, представляющем решение системы. Это можно понять из следующей теоремы.

Теорема: расширенная матрица коэффициентов и редуцированная ступенчатая форма

Если система линейных уравнений имеет расширенную матрицу коэффициентов
⎛⎜⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ ⋯ 𝑎𝑏 ⋮⋮ ⋱ ⋮⋮ 𝑎𝑎 ⋯ 𝑎𝑏⎞⎟⎟⎟⎠,  
то решение системы уравнений кодируется редуцированной ступенчатой ​​формой этой матрицы.

Мы продемонстрируем эту теорему, используя систему линейных уравнений, которую мы имели выше:
𝑥−2𝑦=−3,5𝑥−10𝑦=−15,
который имеет расширенную матрицу коэффициентов
1−2−35−10−15.

Мы выделили опорные точки в строке выше, потому что мы будем использовать их в качестве ориентира, чтобы начать процесс размещения
матрица в уменьшенной эшелонированной форме. Для каждого поворота нам нужно убедиться, что все остальные записи в том же столбце имеют нулевое значение. Это означает, что мы можем удалить опорную точку в первой строке или опорную точку во второй строке. Наиболее разумно держать точку опоры в
верхнюю строку, поэтому мы используем элементарную операцию строки 𝑟→𝑟−5𝑟, чтобы преобразовать матрицу в
1−2−3000.

Эта матрица теперь имеет редуцированную ступенчатую форму и, согласно приведенной выше теореме, дает нам решение исходной
система линейных уравнений. Мы могли бы записать решение в виде
𝑥−2𝑦=−3, как мы сделали выше, но этого соглашения будет недостаточно, когда мы перейдем к системам линейных уравнений
которые имеют более двух переменных, поэтому мы решили записать решение в определенном формате, который будет полезен нам позже.

При выражении решения системы линейных уравнений полезно идентифицировать все переменные, соответствующие опорной точке в
сокращенную эшелонированную форму матрицы, а затем решить каждое полученное уравнение для этих переменных. В нашем случае у нас есть только одна сводная переменная,
𝑥, которое мы выражаем через неосевую переменную 𝑦 как
𝑥=−3+2𝑦.

Хотя это может показаться тривиальным, мы затем запишем несводные переменные в терминах самих себя:
𝑦=𝑦.

Выравнивание этих двух уравнений дает
𝑥=−3+2𝑦𝑦=𝑦.

Хотя это может показаться очень запутанным, это вполне адекватное изложение решения проблемы.
оригинальная система уравнений. На самом деле мы можем пойти дальше и сгруппировать термины в векторной форме как
𝑥𝑦=−30+𝑦21.

Обычно считается лучшей практикой записывать любые переменные в правой части как независимый параметр, поэтому вместо этого мы записываем решение как
𝑥𝑦=−30+𝑡21.

Теперь, когда у нас есть все инструменты, необходимые для решения любой системы линейных уравнений, имеющей бесконечное множество решений,
мы применим эти методы к ряду вопросов, которые включают в себя более крупные расширенные матрицы коэффициентов.

Пример 1. Система линейных уравнений с 3 переменными и 3 уравнениями

Найдите общее решение линейной системы
0−121011−25𝑥𝑦𝑧=1−11.

Ответ

Сначала составим расширенную матрицу коэффициентов данной системы линейных уравнений:
⎛⎜⎜⎝0−121101−11−251⎞⎟⎟⎠.

Мы будем использовать элементарные операции со строками, чтобы привести матрицу к редуцированному ступенчатому виду, тем самым дав решение
к исходной системе уравнений. Чтобы помочь с этим, мы сначала выделяем опорные точки каждой строки, которые являются первыми ненулевыми элементами:
⎛⎜⎜⎝0−121101−11−251⎞⎟⎟⎠.

Будет легче достичь уменьшенной формы эшелона, если мы сможем сохранить значение 1 в верхнем левом элементе,
поэтому мы сначала выполняем замену строк 𝑟↔𝑟, давая
⎛⎜⎜⎝1−251101−10−121⎞⎟⎟⎠.

Нам нужно удалить любую ненулевую запись, которая находится выше или ниже опорной точки в первой строке. Есть только одна такая запись,
который является стержнем во втором ряду. Это можно устранить с помощью операции строки 𝑟→𝑟−𝑟,
который производит матрицу
⎛⎜⎜⎝1−25102−4−20−121⎞⎟⎟⎠.

Всякий раз, когда это возможно, обычно разумнее всего удалять постоянные множители из целых строк, если мы можем сделать это, не вводя
дроби в наши расчеты. В матрице каждый элемент во второй строке делится на 2, поэтому мы масштабируем эту строку с помощью операции
𝑟→12𝑟, что дает более простую матрицу
⎛⎜⎜⎝1−25101−2−10−121⎞⎟⎟⎠.

Теперь мы должны удалить ненулевую запись, которая находится ниже опорной точки во второй строке, с помощью операции строки
𝑟→𝑟+𝑟. Это дает матрицу
⎛⎜⎜⎝1−25101−2−10000⎞⎟⎟⎠,
который теперь имеет нулевую строку в третьей строке, что означает, что будет бесконечно много решений системы,
при условии, что это не противоречие. Чтобы удалить ненулевую запись над опорной точкой во второй строке, мы выполняем
𝑟→𝑟+2𝑟, что дает форму редуцированного эшелона
⎛⎜⎜⎝101−101−2−10000⎞⎟⎟⎠.

Теперь у нас есть решение исходной системы линейных уравнений. Обратите внимание, что переменные, соответствующие опорным точкам
являются 𝑥 и 𝑦, а переменная, которая не соответствует ни одной опорной точке, — это 𝑧. Запишем матрицу в терминах исходных переменных,
не включая нулевую строку:
𝑥+𝑧=−1𝑦−2𝑧=−1.

Решение обоих этих уравнений для опорных переменных дает
𝑥=−1−𝑧𝑦=−1+2𝑧.

У нас также есть несводная переменная 𝑧=𝑧. Запись этих 3 уравнений вместе дает
𝑥=−1−𝑧𝑦=−1+2𝑧𝑧=𝑧.

Мы могли бы эквивалентно выразить это решение в виде
𝑥𝑦𝑧=−1−10+𝑡−121,
где 𝑡 — независимый параметр.

Пример 2. Система линейных уравнений с 3 переменными и 3 уравнениями

Найдите общее решение линейной системы
0−121−211−45𝑥𝑦𝑧=1−11.

Ответ

Сначала создадим расширенную матрицу коэффициентов системы линейных уравнений, выделив опорные элементы:
⎛⎜⎜⎝0−1211−21−11−451⎞⎟⎟⎠.

Нам нужно представить эту матрицу в виде сокращенного эшелона. Чтобы поместить 1 в верхний левый элемент, мы сначала поменяем местами строки 𝑟↔𝑟:
⎛⎜⎜⎝1−4511−21−10−121⎞⎟⎟⎠.

Мы не можем представить матрицу в виде редуцированного эшелона, если есть какие-либо опорные точки ниже опорной в верхней строке,
поэтому мы должны удалить опорную точку, которая в настоящее время отображается во второй строке. Элементарная операция строки 𝑟→𝑟−𝑟
добьется этого:
⎛⎜⎜⎝1−45102−4−20−121⎞⎟⎟⎠.

Будет полезно, если стержень во второй строке сделать равным 1, что в данном случае может быть достигнуто без введения дробей
в строку, используя операцию строки 𝑟→12𝑟, чтобы получить
⎛⎜⎜⎝1−45101−2−10−121⎞⎟⎟⎠.

Теперь ясно, что третья строка является копией второй строки, за исключением изменения знака в каждой записи. Таким образом, мы можем удалить всю третью строку с помощью операции строки 𝑟→𝑟+𝑟:
⎛⎜⎜⎝1−45101−2−10000⎞⎟⎟⎠.

Уменьшенная форма эшелона затем достигается с помощью последней операции строки 𝑟→𝑟+4𝑟:
⎛⎜⎜⎝10−3−301−2−10000⎞⎟⎟⎠.

Переменные 𝑥 и 𝑦 относятся к двум столбцам, которые содержат опорные точки и переменную
𝑧 нет. Записав соответствующие уравнения
𝑥−3𝑧=−3𝑦−2𝑧=−1
и решение обоих для опорных переменных дает
𝑥=−3+3𝑧𝑦=−1+2𝑧.

В сочетании с переменной, не являющейся сводной, 𝑧=𝑧 дает
𝑥=−3+3𝑧𝑦=−1+2𝑧𝑧=𝑧.

Это полное решение, и мы также решили записать его в матричной форме как
𝑥𝑦𝑧=−3−10+𝑡321.

Все рассмотренные выше методы можно сразу же использовать с более крупной системой линейных уравнений. Пока мы
опыт работы с строками и полное понимание формы сокращенного эшелона, метод немного отличается
к любому из предыдущих примеров, которые мы практиковали. В следующем примере мы покажем, как точно такой же
метод может быть применен, чтобы найти решение большей системы уравнений.

Пример 3. Система линейных уравнений с 4 переменными и 4 уравнениями

Найдите общее решение линейной системы
⎛⎜⎜⎝10111−1103−1323303⎞⎟⎟⎠𝑥𝑦𝑧𝑤=⎛⎜⎜⎝1243⎞⎟⎟⎠.

Ответ

Создадим расширенную матрицу коэффициентов и выделим опорные элементы:
⎛⎜⎜⎜⎝101111−11023−132433033⎞⎟⎟⎟⎠.

Нам нужно удалить все ненулевые записи ниже опорной точки в первой строке. Мы можем сделать это с помощью трех элементарных строк
операции 𝑟→𝑟−𝑟, 𝑟→𝑟−3𝑟 и
𝑟→𝑟−3𝑟. Результирующая матрица
⎛⎜⎜⎜⎝101110−10−110−10−1103−300⎞⎟⎟⎟⎠.

Учитывая, что третья строка является копией второй строки, мы можем удалить всю строку с помощью операции
𝑟→𝑟−𝑟. Это дает матрицу, где третья строка является нулевой строкой:
⎛⎜⎜⎜⎝101110−10−110000003−300⎞⎟⎟⎟⎠,
которую мы перемещаем в конец матрицы с помощью операции замены строк 𝑟↔𝑟, что дает
⎛⎜⎜⎜⎝101110−10−1103−30000000⎞⎟⎟⎟⎠.

Две нижние опорные переменные можно масштабировать, чтобы получить значение 1, с которым обычно удобнее работать, с помощью операций со строками
𝑟→−𝑟 и 𝑟→13𝑟. Это дает
⎛⎜⎜⎜⎝101110101−101−10000000⎞⎟⎟⎟⎠.

Теперь нам нужно удалить опорную запись в третьей строке, потому что она находится непосредственно под опорной точкой во второй строке. Операция строки 𝑟→𝑟−𝑟 достигает этого:
⎛⎜⎜⎜⎝101110101−100−1−1100000⎞⎟⎟⎟⎠.

На предпоследнем шаге мы масштабируем сводную запись в третьей строке с помощью 𝑟→−𝑟, что дает
⎛⎜⎜⎜⎝101110101−10011−100000⎞⎟⎟⎟⎠
и позволяет нам удалить оставшуюся ненулевую запись над опорной точкой в ​​​​третьей строке с помощью операции строки 𝑟→𝑟−𝑟:
⎛⎜⎜⎜⎝100020101−10011−100000⎞⎟⎟⎟⎠.

Матрица теперь представлена ​​в виде уменьшенного эшелона с опорными точками, соответствующими переменным
𝑥, 𝑦 и 𝑧. Оставшаяся переменная 𝑤
представлен четвертым столбцом, который не содержит опорных точек. Выписывание соответствующих уравнений дает
𝑥=2𝑦+𝑤=−1𝑧+𝑤=−1.

Теперь мы решаем три уравнения для опорных переменных, что дает
𝑥=2𝑦=−1−𝑤𝑧=−1−𝑤.

Учитывая неосевую переменную 𝑤, полное решение
𝑥=2𝑦=−1−𝑤𝑧=−1−𝑤𝑤=𝑤.

Записанный в векторной форме, мы имеем
𝑥𝑦𝑧𝑤=⎛⎜⎜⎝2−1−10⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝0−1−11⎞⎟⎟⎠.

Хотя в этом не было строгой необходимости, мы решили представить приведенные выше решения в очень конкретной форме, с точки зрения
векторов, а также с точки зрения некоторых произвольных параметров. Причины этого не совсем поверхностны, так как часто полезно иметь
решение системы линейных уравнений, записанное в этой векторной форме, кодирующее ключевую информацию, которая определяет связанное векторное пространство. В отличие от решения, записанного в виде уравнений, гораздо легче понять ключевые компоненты векторного пространства, когда они представлены.
в векторной форме.

До сих пор в этом объяснении мы не обсуждали, как мы будем записывать решение в терминах векторов, если имеется более одной опорной переменной. В качестве примера предположим, что нам дана система линейных уравнений, из которой мы уже создали расширенную матрицу коэффициентов и
нашел редуцированную эшелонированную форму
⎛⎜⎜⎜⎝1−10220011−30000000000⎞⎟⎟⎟⎠.

Предполагая, что исходными переменными были 𝑥, 𝑦, 𝑧 и 𝑤, мы получили бы соответствующие уравнения
𝑥−𝑦+2𝑤=2,𝑧+𝑤=−3.

Сводные переменные будут 𝑥 и 𝑧, а несводные переменные будут 𝑦 и 𝑤. Мы решаем два приведенных выше уравнения для опорных переменных:
𝑥=2+𝑦−2𝑤,𝑧=−3−𝑤.

Теперь мы включаем два тривиальных уравнения 𝑦=𝑦 и 𝑤=𝑤 для неосевых переменных
𝑥=2+𝑦−2𝑤𝑦=𝑦𝑧=−3−𝑤𝑤=𝑤.

Сгруппируйте их вместе как векторы, и, используя два независимых параметра, мы получим полное решение
𝑥𝑦𝑧𝑤=⎛⎜⎜⎝20−30⎞⎟⎟⎠+𝑠⎛⎜⎜⎝1100⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝−20−11⎞⎟⎟⎠.

В приведенном выше примере нам потребовалось 3 вектора, чтобы полностью выразить решение. Конечно, векторов может быть больше 3.
который необходимо использовать для выражения полного решения, а количество этих векторов связано с рангом и недействительностью матрицы, как
из которых являются ключевыми понятиями линейной алгебры.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *