Найти координаты векторов: Найдите координаты вектора АВ, если А(3;-4) и В(1;-6)

Как найти координаты вектора: формулы, примеры

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Геометрия Нахождение координат вектора

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

  • Нахождение координат вектора
  • Примеры задач

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора

Для плоских задач AB = {Bx — Ax; By — Ay}
Для трехмерных задач AB = {Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az}
Для n-мерных векторов Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).

Решение:
AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.

Задание 2
Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
Bx = ABx + Ax = 6 + 2 = 8.
By = ABy + Ay = 14 + 5 = 19.

Таким образом, B = (8; 19).

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Как найти координаты вектора

Предварительные сведения

Здесь мы ограничимся двумерным случаем. Введение понятия для трехмерного случая проводится аналогично. Для того, чтобы ввести понятие координат вектора сначала введем и докажем следующие лемму и теорему.

Лемма 1: Если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны, и вектор $\overrightarrow{a}$ не является нулевым, то существует действительное число $k$, такое что выполняется равенство$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$

Доказательство.

Возможны два случая:

  1. $\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{b}$

    Обозначим число $k$ следующим образом: $k=\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$. Так как векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ сонаправлены, а $k\ge 0$, то векторы $k\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ сонаправлены. Далее, имеем, что

    \[\left|k\overrightarrow{a}\right|=\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|=\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}\left|\overrightarrow{a}\right|=|\overrightarrow{b}|\]

    Из этого всего следует, что $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$.

  2. $\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{b}$

    Обозначим число $k$ следующим образом: $k=-\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$. Так как векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ противоположно направленные, а $k
    \[\left|k\overrightarrow{a}\right|=\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|=\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}\left|\overrightarrow{a}\right|=|\overrightarrow{b}|\]

    Из этого всего следует, что $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$.

Лемма доказана.

Теорема 1

Любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом:

\[\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\]

Доказательство.

Существование: Докажем, что такое разложение имеет место. Здесь возможны два случая:

  1. Вектор $\overrightarrow{c}$ коллинеарен (к примеру) вектору $\overrightarrow{b}$.

    По лемме 1, будем иметь

    \[\overrightarrow{c}=n\overrightarrow{b}\]

    Значит, если число $m=0$, то получим

    \[\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\]

  2. Вектор $\overrightarrow{c}$ не коллинеарен векторам $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

    Возьмем произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$. Пусть Проведем прямую $CD||OB$ (рис. 1)

    Рисунок 1. Иллюстрация теоремы 1

    По правилу треугольника для сложения векторов, получим

    \[\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}\]

    По построению, получаем что векторы $\overrightarrow{OD}||\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{DC}||\overrightarrow{b}$, следовательно, по лемме 1, имеем

    \[\overrightarrow{OD}=m\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{DC}=n\overrightarrow{b}\]

    Значит

    \[\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\]

Единственность: Предположим противное, что помимо разложения$\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$ существует разложение $\overrightarrow{c}=m’\overrightarrow{a}+n’\overrightarrow{b}$. Вычтем эти два равенства из друг друга:

Получаем систему:

Рисунок 2.

Следовательно, разложение единственно.

Теорема доказана.

Координаты вектора

Рассмотрим далее систему координат. От начала координат $O$ в направлении оси $Ox$ отложим вектор $\overrightarrow{i}$, а в направлении оси $Oy$ отложим вектор $\overrightarrow{j}$, длины которых равны единице.

Определение 1

Векторы $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$ называются координатными векторами.

Так как векторы $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$ не коллинеарны то, по теореме 1, любой вектор можно разложить в виде $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{i}+n\overrightarrow{j}$.

Определение 2

Коэффициенты разложения вектора $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{i}+n\overrightarrow{j}$ называются координатами данного вектора в данной системе координат, то есть

\[\overrightarrow{c}=\{m,\ n\}\]

Линейные операции над векторами

Теорема 2

Теорема о сумме векторов: Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.

Доказательство.

Докажем теорему для двух векторов. Теорема для большего количества векторов доказывается аналогично. Пусть $\overrightarrow{a}=\left\{x_1,\ y_1\right\}$, $\overrightarrow{b}=\{x_2,\ y_2\}$, тогда

Следовательно

Теорема доказана.

Теорема 3

Теорема о разности векторов: Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат этих векторов.

Доказательство.

Докажем теорему для двух векторов. Теорема для большего количества векторов доказывается аналогично. Пусть $\overrightarrow{a}=\left\{x_1,\ y_1\right\}$, $\overrightarrow{b}=\{x_2,\ y_2\}$, тогда

Следовательно

Теорема доказана.

Теорема 4

Теорема о произведении вектора на число: Координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат это число.

Доказательство.

Пусть $\overrightarrow{a}=\left\{x,\ y\right\}$, тогда $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+\ y\overrightarrow{j}. $

Следовательно

Теорема доказана.

Пример задачи на нахождение координат вектора

Пример 1

Пусть $\overrightarrow{a}=\left\{3,\ 4\right\}$, $\overrightarrow{b}=\{2,\ -1\}$. Найти $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ и $3\overrightarrow{a}$.

Решение.

\[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left\{3+2,\ 4-1\right\}=\{5,\ 3\}\] \[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left\{3-2,\ 4+1\right\}=\{1,\ 5\}\] \[3\overrightarrow{a}=\left\{3\cdot 3,3\cdot 4\right\}=\{9,12\}\]

Видео-вопрос: Использование векторов для нахождения координат вершины квадрата и его площади

𝐴𝐵𝐶𝐷 — это квадрат, в котором координаты точек 𝐴, 𝐵 и 𝐶 равны (1, −8), (3, −10) и (5, −8). Используйте векторы для определения координат точки 𝐷 и площади квадрата.

Стенограмма видео

𝐴𝐵𝐶𝐷 — квадрат, в котором координаты точек 𝐴, 𝐵 и 𝐶 равны единице минус восемь; три, минус 10; и пять, минус восемь. Используйте векторы для определения координат точки 𝐷 и площади квадрата.

Во-первых, важно помнить, что здесь мы имеем дело с квадратом. Мы знаем, что в квадрате противоположные стороны параллельны и равны по длине. Мы также знаем, что соседние стороны находятся под прямым углом друг к другу, хотя это может быть полезно, а может и нет, когда мы будем решать этот вопрос. Нам также говорят, что 𝐴, 𝐵 и 𝐶 — это точки один, минус восемь; три, минус 10; и пять, минус восемь, соответственно. И поэтому мы могли бы нанести эти точки на координатную сетку, как показано.

Отсюда следует, что 𝐷, четвертая вершина квадрата, должна быть где-то здесь. И на самом деле, есть пара способов, которыми мы могли бы использовать векторы для определения точных координат этой точки. Теперь это может выглядеть не так на моей диаграмме, но мы знаем, что векторы, соединяющие 𝐴 с 𝐷 и 𝐵 с 𝐶, должны быть параллельны и равны по длине.

Итак, начнем с поиска вектора 𝐵𝐶. Один из способов сделать это — вычесть вектор 𝑂𝐵 из вектора 𝑂𝐶. В качестве вектора-столбца 𝑂𝐶 равно пяти отрицательным, восьми, а 𝑂𝐵 равно трем, отрицательным 10. Чтобы вычесть векторы, мы просто вычитаем их отдельные компоненты. Пять минус три равно два. И минус восемь минус минус 10 тоже два. Итак, мы видим, что вектор 𝐵𝐶 равен двум, двум.

Это, в свою очередь, означает, что вектор 𝐴𝐷 тоже должен быть два, два. И один из способов, которым мы могли бы путешествовать из точки 𝑂 в 𝐷, чтобы помочь нам найти вектор 𝑂𝐷, состоял бы в том, чтобы путешествовать из 𝑂 в 𝐴 — это вектор 𝑂𝐴 — и затем путешествовать из 𝐴 в 𝐷. Поэтому мы бы добавили вектор 𝐴𝐷. 𝑂𝐴 имеет вектор один, минус восемь. И мы только что обнаружили, что вектор 𝐴𝐷 равен двум, двум. Их сумма равна трем, минус шесть. И мы находим, что вектор 𝑂𝐷 равен трем минус шести. Следовательно, координата 𝐷 должна быть равна трем минус шести.

Во второй части этого вопроса нам нужно найти площадь квадрата. Итак, мы помним, что для нахождения площади квадрата мы просто возводим в квадрат его ширину или высоту. 3 $ 9Т
$$
это означает:
$$
\begin{случаи}
х=-5\\
5х+у=-2\\
2x-4y+z=0
\end{случаи}
$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Цель упражнения — найти вещественные числа $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ такие, что
$$\begin{bmatrix}-5\\-2\\0\end{bmatrix}=\lambda_1 \begin{bmatrix}1\\5\\2\end{bmatrix}+\lambda_2 \begin{bmatrix}0 \\1\\-4\end{bmatrix}+\lambda_3 \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} $$
Теперь задача довольно проста, не так ли? Просто сравните коэффициенты обеих частей равенства, начиная с $\lambda_1$, затем $\lambda_2$ и, наконец, $\lambda_3$.

Ваш вектор в новом базисе будет тогда задан
$$ \begin{bmatrix}\lambda_1\\\lambda_2\\ \lambda_3\end{bmatrix}.$$

Так как это эквивалентно тому, что
$$\begin{bmatrix}-5\\-2\\0\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}1& 0 & 0\\5 & 1 & 0\\2& -4 & 1\end {bmatrix}}_{:=T}\begin{bmatrix}\lambda_1\\\lambda_2\\ \lambda_3\end{bmatrix}. $$
Вы также можете найти обратную матрицу $T$, и тогда вы получите
$$\begin{bmatrix}\lambda_1\\\lambda_2\\ \lambda_3\end{bmatrix}=T^{-1}\begin{bmatrix}-5\\-2\\0\end{bmatrix}.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *