Найдите координату точки которая является серединой отрезка: Найдите координату точки которая является серединой отрезка с концами в точках А(2) и В(8)

Содержание

Координаты симметричных точек | Треугольники

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

I. Две точки A(xA;yA) и B(xB;yB) симметричны относительно точки O(xO;yO), если точка O является серединой отрезка AB.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

   

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от  координат точки A только знаками:

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

Примеры.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Решение:

Пусть B(xB;yB) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

   

   

   

   

   

   

   

Ответ: (13;15).

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Решение:

Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).

Ответ: (-9;4).

II. Две точки A(xA;yA) и B(xB;yB) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

  • Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
  • Найти точку O пересечения прямых f и g.
  • Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.

Пример

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Решение:

Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

5=-0,5·(-4)+b, откуда b=3.

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Найдём координаты точки пересечения прямых:

   

   

   

   

   

   

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Ответ: (3,2;1,4).

Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:

 для точки A(x;y)
симметрия относительно:
оси Ox A1(x;-y)
оси Oy A2(-x;y)

биссектрисы I и II координатных

четвертей (прямой y=x)

A3(y;x)

биссектрисы I b II координатных

четвертей (прямой y= -x)

A4(-y;-x)

Контрольная работа по теме: «Простейшие задачи в координатах»

Геометрия 9 класс

Контрольная работа по теме:

«Простейшие задачи в координатах»

I вариант

Найдите координаты вектора , если А(-10; 7), В(-4; 8).

Найдите длину вектора , если А(-17;1 6), В(-11; 12).

Найдите координаты точки К, которая является серединой отрезка MN , если М(16; -5), N(14; -8)

Найдите расстояние между точками M и N, т.е. длину отрезка MN, если М(6; -5), N(3; -9)

Составить уравнение окружности с центром в точке О(-2;3) и радиус которой равен 11.

Геометрия 9 класс

Контрольная работа по теме:

«Простейшие задачи в координатах»

II вариант

Найдите координаты вектора , если M(4; -7), N(9; -13).

Найдите длину вектора , если M(14; -15), N(17; -19).

Найдите координаты точки C, которая является серединой отрезка AB , если A(-2; 11), B(-10; -15)

Найдите расстояние между точками A и B, т. е. длину отрезка AB, если A(-2; 1), B(-10; -5)

5.Составить уравнение окружности с центром в точке О(-8;15) и радиус которой равен 12

.

Геометрия 9 класс

Контрольная работа по теме:

«Простейшие задачи в координатах»

III вариант

Найдите координаты вектора , если А(11; -6), В(4; 8).

Найдите длину вектора , если А(18; -15), В(12; -13).

Найдите координаты точки К, которая является серединой отрезка MN , если М(3; -5), N(-8; -11)

Найдите расстояние между точками M и N, т.е. длину отрезка MN, если М(1; -5), N(-2; -1)

5. Составить уравнение окружности с центром в точке О(-16;4) и радиус которой равен 16.

Геометрия 9 класс

Контрольная работа по теме:

«Простейшие задачи в координатах»

IV вариант

Найдите координаты вектора , если M(-14; -5), N(12; -6).

Найдите длину вектора , если M(-11; -17), N(12; -13).

Найдите координаты точки C, которая является серединой отрезка AB , если A(15; -9), B(-3; 12)

Найдите расстояние между точками A и B, т.е. длину отрезка AB, если A(5; -4), B(-3; 2)

5. Составить уравнение окружности с центром в точке О1(7;-13) и радиус которой равен 21.

Глава 5. Деление отрезка в заданном отношении

86 Даны концы А(3; -5), В(-1; 1) однородного
стержня. Определить координаты его центра масс.
87 Центр мас однородного стержня находится
в точке М(1; 4), один из его концов Р(-2; 2). Определить
координаты точки Q – другого конца этого стержня.
88 Даны вершины треугольника А(1; -3), В(3; -5),
С(-5; 7). Определить середины его сторон.
89 Даны точки А(3; -1), С(2; 1). Определить:
89.1 Координаты точки М, симметричной точке А
относительно точки В;
89.2 Координаты точки N, симметричной точке В
относительно точки А.
90 Точки А(2; -1), N (-1; 4), P(-2; 2) являются
серединами сторон треугольника. Определить его
вершины.
91 Даны три вершины параллелограмма А(3; -5),
B(5; -3), C(-1; 3). Определить четвертую вершину D,
противоположную B.
92 Даны две смежные вершины
параллелограмма А(-3; 5), B(1; 7) и точка пересечения
его диагоналей M(1; 1). Определить две другие
вершины.
93 Даны три вершины А(2; 3), B(4; -1), C(0; 5)
параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину
D.
94 Даны вершины треугольника A(1; 4), B(3; -9), C(-5;
2). Определить длину его медианы, проведенной из
вершины B.
95 Отрезок, ограниченный точками A(1; -3), B(4; 3)
разделен на три равные части. Определить
координаты точек деления.
96 Даны вершины треугольника A(2; -5), B(1; -2), C(4;
7). Найти точку пересечения биссектрисы его
внутреннего угла при вершине В со стороной АС.
97 Даны вершины треугольника A(3; -5), B(-3; 3), C(-1;
-2). Определить длину биссектрисы его внутреннего
угла при вершине А.
98 Даны вершины треугольника А(-1; -1), B(3; 5),
C(-4; 1). Найти точку пересечения биссектрисы его
внешнего угла при вершине А с продолжением
стороны ВС.
99 Даны вершины треугольника А(3; -5), B(1; -3), C(2;
-2). Определить длину биссектрисы его внешнего
угла при вершине В.
100 Даны точки А(1; 1), В(3; 3), С(4; 7). Определить
отношение , в котором каждая из них делит
отрезок, ограниченный двумя другими.
101 Определить координаты концов А и В
отрезка, который точками P(2; 2), Q(1; 5) разделен на
три равные части.
102 Прямая проходит через точки M1(-12;
-13), M2(-2; -5). На этой прямой найти точку,
абсцисса которой равна 3.
103 Прямая проходит через точки M(2; -3), N(-6, 5).
На этой прямой найти точку, ордината которой
равна –5.
104 Прямая проходит через точки A(7; -3), B(23; -6).
Найти точку пересечения этой прямой с осью
абсцисс.
105 Прямая проходит через точки A(5; 2), B(-4; -7).
Найти точку пересечения этой прямой с осью
ординат.
106 Даны вершины четырехугольника А(-3; 12), B(3;
-4), C(5; -4), D(5; 8). Определить, в каком отношении его
диагональ AC делит диагональ BD.
107 Даны вершины четырехугольника A(-2; 14), B(4;
-2), C(6; -2), D(6; 10). Определить точку пересечения его
диагоналей AC и BD.
108 Даны вершины однородной треугольной
пластинки A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3;
y3). Определить координаты ее центра масс.
Центр масс находится в точке пересечения медиан.
109 Точка M пересечения медиан треугольника
лежт на оси абсцисс, две вершины его – точки А(2; -3)
и B(-5; 1), третья вершина C лежит на оси ординат.
Определить координаты точек M и C.
110 Даны вершины однородной треугольной
пластинки A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3;
y3). Если соединить середины ее сторон, то
образуется новая однородная треугольная
пластинка. Доказать, что центры масс обеих
пластинок совпадают.
111 Однородная пластинка имеет форму
квадрата со стороной, равной 12, в которой сделан
квадратный вырез, прямые разрезы проходят через
центр квадрата, оси координат направлены по
ребрам пластинки (рис. ). Определить центр масс
этой пластинки.

112 Однородная пластинка имеет форму
прямоугольника со сторонами, равными a и b,
в котором сделан прямоугольный вырез; прямые
разреза проходят через центр, оси координат
направлены по ребрам пластинки (Рис). Определить
центр масс этой пластинки.

113 Однородная пластинка имеет форму
квадрата со стороной, равной 2a, от которого
отрезан треугольник; прямая разреза соединяет
середины двух смежных сторон, оси координат
направлены по ребрам пластинки (Рис). Определить
центр масс пластинки.

114 В точках A(x1; y1), B(x2; y2),
C(x3; y3) сосредоточены массы m, n,
p. Определить координаты центра тяжести этой
системы.
115 Точки A(4; 2), B(7; -2), C(1; 6) являются вершинами
треугольника, сделанного из однородной
проволоки. Определить центр масс этого
треугольника.

Калькулятор средней точки

Калькулятор средней точки берет две координаты в декартовой системе координат и находит точку непосредственно между ними. Этот момент часто бывает полезен в геометрии. В дополнение к этому калькулятору мы написали статью ниже, в которой обсуждается, как найти среднюю точку и что такое формула средней точки.

Как найти середину

  1. Обозначьте координаты (x₁, y₁) и (x₂, y₂) .
  2. Введите значения в формулу.
  3. Сложите значения в скобках и разделите каждый результат на 2.
  4. Новые значения образуют новые координаты средней точки.
  5. Проверьте свои результаты с помощью калькулятора средней точки.

Предположим, у нас есть отрезок прямой, и мы хотим разрезать его на две равные части. Для этого нам нужно знать центр. Мы можем добиться этого, найдя середину. Вы можете измерять с помощью линейки или просто использовать формулу, включающую координаты каждой конечной точки сегмента.Средняя точка — это просто среднее значение каждой координаты сечения, образующее новую координатную точку. Мы проиллюстрируем это ниже.

Формула средней точки

Если у нас есть координаты (x₁, y₁) и (x₂, y₂) , то середина этих координат определяется как (x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2 . Это формирует новую координату, которую вы можете назвать (x₃, y₃) . Калькулятор средней точки решит эту проблему мгновенно, если вы введете координаты. При вычислении вручную следуйте приведенным выше инструкциям.

Для небольших чисел легко вычислить среднюю точку вручную, но для больших и десятичных значений калькулятор является самым простым и удобным способом вычисления средней точки.

Как найти среднюю точку часто требуется в геометрии, так и расстояние между двумя точками. Расстояние между двумя точками на горизонтальной или вертикальной линии легко вычислить, но процесс усложняется, если точки не выровнены как таковые. Это часто бывает при работе со сторонами треугольника.Поэтому калькулятор расстояний — удобный инструмент для этого.

В некоторых геометрических случаях мы хотим вписать треугольник в другой треугольник, где вершины вписанного треугольника лежат в середине исходного треугольника. Калькулятор средней точки чрезвычайно полезен в таких случаях.

Как найти середину треугольника?

Чтобы найти середину треугольника, технически известную как его центроид , выполните следующие действия:

  1. Найдите середину сторон треугольника.Если вы знаете, как это сделать, переходите к шагу 5 .
  2. Измерьте расстояние между двумя конечными точками и разделите результат на 2. Это расстояние от обоих концов является средней точкой этой линии.
  3. Либо сложите две координаты x конечных точек и разделите на 2. Сделайте то же самое для координат y. В результате вы получите координаты средней точки.
  4. Проведите линию между средней точкой и ее противоположным углом.
  5. Повторите это действие по крайней мере для одной другой пары средней точки и угла или для обеих для наивысшей степени точности .
  6. Место пересечения всех линий — это центр тяжести треугольника.

Что такое середина круга?

Чтобы найти середину или центр круга, следуйте этим инструкциям:

  1. Найдите две точки на окружности, которые полностью противоположны друг другу , т. Е. Разделены диаметром окружности.
  2. Если вы знаете их координаты, сложите две координаты x и разделите результат на 2.Это координата x центра.
  3. Проделайте то же самое с координатами 2 y, что даст вам координату y.
  4. Объедините эти два значения, чтобы получить координаты центроида .
  5. Если вы не знаете координаты, измерьте расстояние между двумя точками вдвое.
  6. Эта половина расстояния между одной конечной точкой и другой является средней точкой.

Как найти середину квадрата?

Чтобы найти середину или центроид квадрата, следуйте этому простому руководству:

  1. Если у вас есть координаты двух противоположных углов квадрата, сложите 2 x координаты и разделите результат на 2.
  2. Проделайте то же самое с координатами y.
  3. Используйте эти два вычисленных числа, чтобы найти центр квадрата, так как они являются его координатами x и y соответственно.
  4. В качестве альтернативы, проведите линию от одного угла до противоположного угла , а другую — для оставшейся пары.
  5. Место пересечения этих двух точек — центр тяжести квадрата.

Вы округляете средние точки?

Как правило, не округляет средние точки . определенно не подходит для непрерывных данных , поскольку эта точка является реальной точкой в ​​наборе данных.Для дискретных данных вы обычно не используете , вместо этого отмечая, что средняя точка — это значение обоих значений по обе стороны от вычисления средней точки.

Какая средняя точка 0 и 5?

2,5 . Чтобы найти середину любого диапазона, сложите два числа и разделите на 2. В этом случае 0 + 5 = 5, 5/2 = 2,5.

Как найти середину трапеции?

Вы можете найти среднюю точку или центроид трапеции одним из двух способов:

  1. Проведите линию от одного угла трапеции к противоположному углу.
  2. Проделайте то же самое с оставшейся парой углов.
  3. На пересечении этих двух линий находится центр тяжести .
  4. Идеально сбалансируйте трапецию по ее центру!

Альтернативно:

  1. Возьмем координаты двух противоположных сторон.
  2. Сложите координаты x этих точек вместе и разделите на 2. Это координата x средней точки .
  3. Повторите эти действия для координат 2 y, получив координату y средней точки .

Какая средняя точка 30 и 60?

45 . Чтобы найти середину любых двух чисел, найдите среднее значение этих двух чисел, сложив их вместе и разделив на 2. В данном случае 30 + 60 = 90. 90/2 = 45.

Вычисление средней точки — задача 2

Вы можете найти среднюю точку линейного сегмента, если заданы координаты его конечных точек с помощью формулы средней точки. Конечные точки линейного сегмента задаются (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ).Чтобы найти координату x средней точки, используйте формулу: x = (x 1 + x 2 ) / 2. Чтобы найти координату y, используйте ту же формулу, но на этот раз, используя координаты y конечных точек: y = (y 1 + y 2 ) / 2. Соединяя эти два результата вместе, средняя точка отрезка линии находится в точке (x, y).

Сегмент и координатная плоскость иногда могут быть десятичными.Итак, давайте посмотрим на пример. Здесь у нас есть точки в (5, -2) и (-8,1). Как хороший изучающий геометрию, я сначала нарисую картинку, чтобы иметь представление о том, какой ответ является разумным.

Итак, 5 и -2, я собираюсь перейти от 5 до 2 вниз, так что это будет моя первая точка, мои следующие точки — -8 и +1. Итак, если я соединю эти два, я вижу в средних точках, это может быть где-то во втором или третьем квадранте, но не совсем уверен, где.

Итак, если наша средняя точка находится в (x, y), поэтому я говорю, что эта точка здесь, которую я обведу, находится в x и y, вычисляется путем взятия среднего значения ваших X, среднего значения ваших Y, поэтому x1 плюс x2 делится на 2, и наши x равны 5 и -8. Таким образом, x равно 5 плюс -8 разделить на 2, 5 и -8 равно -3 разделить на 2, и если вы хотите, вы можете преобразовать это в десятичное число, сказав, что это -1,5.

Итак, я сотру этот x и знаю, что наша координата x равна -1,5. Сделайте то же самое, чтобы найти свои Ys. Y равно среднему значению ваших двухлетних координат. У нас есть -2 и +1, поэтому y равно -2 плюс 1, деленное на 2. -2 и 1 равно -1, деленному на 2 и -1/2, мы можем записать как десятичную дробь как -0,5. Итак, сотрите y, и мы знаем, что это -0,5, и рисуем на нем рамку, чтобы сообщить нашему учителю, что это наш ответ.Наша средняя точка находится в диапазоне -1,5 и -0,5, что соответствует нашему третьему квадранту.

Формула средней точки

| Как найти уравнение средней точки // Tutors.com

Содержание

  1. Определение средней точки
  2. Формула средней точки
  3. Как найти среднюю точку
  • Примеры формул средней точки
  • Как найти середину между двумя точками
  • Найдите координаты средней точки
  • Определение средней точки

    Для любых двух упорядоченных пар существует средняя точка , которая находится точно посередине между каждой упорядоченной парой. Это верно для двух измерений (координаты x и y) и трех измерений (координаты x, y и z).

    В двух измерениях у вас есть только две конечные точки, поэтому средняя точка (или среднее значение) также является медианной, что упрощает вашу математику.

    Формула средней точки

    Формула средней точки используется для нахождения точной центральной точки между двумя определенными точками на отрезке линии. Используйте эту формулу для вычисления точки, которая делит пополам отрезок линии

    .

    средняя точка = x1 + x22, y1 + y22

    Как найти среднюю точку

    В координатной сетке отрезки прямых линий могут быть горизонтальными (плоскими, как горизонт, вдоль оси X), вертикальными (прямо вверх и вниз, вдоль оси Y) или диагональными (под наклоном).Вы можете найти только средние точки сегментов линии, но не линии, поскольку линии не имеют конца.

    Вам нужно:

    • Обе конечные точки, чтобы найти среднюю точку
    • Одна конечная точка и средняя точка для поиска другой конечной точки

    Как найти середину отрезков горизонтальной линии

    Чтобы вычислить среднюю точку сегмента горизонтальной линии, сфокусируйтесь на значениях x, сложите их и разделите на два:

    8 + 22

    102 = 5

    Среднее значение и медиана и, следовательно, середина или середина линии, имеют значение x, равное 5. Средняя точка — (5, 4).

    Как найти середину вертикальных отрезков линии

    Чтобы рассчитать длину вертикального отрезка, сконцентрируйтесь на значениях y:

    10 + 32

    132 = 6,5

    Средняя точка находится в (2, 6.5).

    Как найти середину сегментов диагональной линии

    Сегменты диагональной линии намного сложнее, чем найти середину вертикальных или горизонтальных сегментов линии. Вот идеальное место для формулы средней точки, которая, по сути, находит среднее из значений x и значений y:

    средняя точка = x1 + x22, y1 + y22

    Вы видите, как вы складываете два значения x, а затем делите их на 2? Это находит среднее значение, которое является средней точкой для значения x.Повторите эти действия для значений y, и вместе у вас будет упорядоченная пара средней точки.

    Примеры формул средней точки

    Формула средней точки работает с линейными сегментами во всех квадрантах. Предположим, у вас есть это:

    Подключите конечные точки, обращая внимание на отрицательные числа:

    -2 + -82

    -102 = -5

    Затем подключите, чтобы найти y

    -1 + -42

    -52 = -2,5

    Средняя точка находится в (-5, -2.5)

    Как найти середину между двумя точками

    Не расстраивайтесь, когда ваш отрезок линии пересекает один квадрант в другой. Формула средней точки все еще работает. Вы должны быть осторожны со своими значениями x и y, но просто вставьте числа, разделите, и вы получите среднюю точку.

    Подключите две конечные точки:

    -2 + 22

    02 = 0

    Теперь займемся второй конечной точкой:

    4 + -42

    02 = 0

    Средняя точка — это (0, 0) , начало координатной сетки!

    Найдите координаты средней точки

    Иногда вы получаете очень мало информации, например о конечной точке и средней точке. Вас попросят найти другую конечную точку. Ты можешь сделать это!

    Помните, что средняя точка — это среднее значение только двух наборов чисел. Используйте это, чтобы помочь вам найти недостающее значение x и значения y, вторую конечную точку (x2, y2).

    Вам даны (-7, -3) как одна конечная точка (x1, y1) и (0, -1) как средняя точка.

    Вам нужно найти эти значения:

    Для x:

    (-7 + x2) 2 = 0

    Умножить обе стороны на 2

    ((-7 + x2) 2) × 2 = 0 × 2

    Упростить

    -7 + x2 = 0

    х2 — 7 = 0

    Добавить 7 к обеим сторонам

    x2 = 7

    для у:

    (-3 + y2) 2 = -1

    Умножить обе стороны на 2

    ((-3 + y2) 2) × 2 = -1 × 2

    Упростить

    -3 + y2 = -2

    y2 — 3 = -2

    Добавить 3 к обеим сторонам

    y2 = 1

    Это дает конечную точку (x2, y2) (7, 1) .

    Краткое содержание урока

    Теперь, когда вы дошли до этого места, вы можете определить формулу средней точки и определить ее подходящее использование, а также объяснить себе и другим, как найти среднюю точку вертикального или горизонтального отрезка линии на координатной сетке. Вы также можете использовать формулу средней точки для вычисления конечной точки диагональной линии с учетом средней точки и одной конечной точки и использовать ту же формулу для вычисления средней точки диагональной линии с учетом двух конечных точек.

    Следующий урок:

    Теорема о средней точке

    Видео с вопросом: Нахождение координат точки по формуле средней точки

    Стенограмма видео

    Дано минус восемь, минус
    три и 𝐶 четыре, один, каковы координаты 𝐵, если 𝐶 — середина линии
    сегмент 𝐴𝐵?

    Для некоторого отрезка 𝐴𝐵
    середина — 𝐶.Это означает расстояние от точки
    𝐴 до точки 𝐶 будет равно расстоянию от точки 𝐶 до точки 𝐵. Нам известны координаты точки 𝐴
    и точка 𝐶. Чтобы найти координаты точки
    𝐵 рассмотрим формулу средней точки. Для средней точки 𝑥, 𝑦
    -координата будет равна среднему из-координат двух
    конечные точки. Мы можем записать это как 𝑥 один плюс 𝑥
    два делятся на два.И 𝑦-координата
    средняя точка будет равна среднему значению 𝑦-координат двух конечных точек,
    здесь написано как один плюс 𝑦 два, разделенные на два.

    Пусть 𝐴 будет единица, 𝑦 единица и 𝐵
    равно 𝑥 two, 𝑦 two, то наша средняя точка 𝐶 — это 𝑥, 𝑦. Оттуда мы подключаем наши известные
    значения, и мы можем решить для точки 𝑥 два, 𝑦 два. Сначала найдем 𝑥-координату
    нашей точки 𝐵, полагая четыре равными отрицательным восьми плюс два над двумя.Умножая обе стороны
    уравнение на два дает нам восемь, равно отрицательные восемь плюс два. Оттуда мы добавляем восемь к обоим
    Частей уравнения, которое дает нам 16, равно 𝑥 два. 𝑥-координата точки должна
    быть 16.

    Мы будем следовать той же процедуре, чтобы
    найти 𝑦-координату. Мы устанавливаем один равным отрицательным трем
    плюс 𝑦 два на два, умножение на два дает нам два, равно отрицательным трем
    плюс 𝑦 два.И добавив по три с обеих сторон
    дает нам 𝑦 два равных пяти. -Координата точки равна
    тогда равно пяти. Отрезок 𝐴𝐵 имеет конечные точки.
    𝐴 и 𝐵 и середина 𝐶. Конечная точка 𝐵 находится в
    координаты 16, пять.

    Калькулятор средней точки ➤ Найдите среднюю точку линейного сегмента

    Используйте этот калькулятор для определения координат средней точки (M) линейного сегмента, определяемой двумя его конечными точками (A, B).Найдите середину отрезка AB.

    Быстрая навигация:

    1. Что такое средняя точка?
    2. Формула средней точки
    3. Средние точки в геометрии
    4. Приложения в физике

    Что такое средняя точка?

    В геометрии средняя точка — это точка на отрезке прямой линии, которая разделяет ее на две равные половины, поэтому иногда ее называют средней точкой .Сегмент однозначно определяется двумя точками (скажем, A и B) и имеет единственную точку (скажем, M), которая находится в его середине. Более технический способ описания средней точки M состоит в том, чтобы сказать, что она делит пополам отрезок AB.

    В двумерной декартовой координатной плоскости каждая точка имеет две координаты — по одной на каждой оси. Простая визуализация средней точки прямой AB и соответствующих координат показана ниже:

    Точка M делит отрезок AB на две равные части.Используя калькулятор средней точки, можно найти координаты средней точки, зная координаты конечных точек. В качестве альтернативы, если известны координаты одной конечной точки и средней точки, можно также определить координаты другой точки. См. Наш калькулятор конечных точек.

    Формула средней точки

    Уравнение для определения координат средней точки прямой AB , определенной точками A и B :

    , где ( x A , y A ) — координаты точки A, ( x B , y B ) — координаты точки B, а ( x A , x A ) — координаты M — средней точки AB, как показано на рисунке выше.

    Как видно из формулы, координата x средней точки M отрезка AB является средним арифметическим координатами x двух конечных точек сегмента. Точно так же y-координата средней точки — это среднее значение y-координат конечных точек. Формулу достаточно легко применить даже без помощи калькулятора, но использование калькулятора формулы средней точки, безусловно, делает это проще простого.

    Средние точки геометрии

    Пример использования уравнения средней точки проще всего дать в геометрии.Если задать (или измерить линейкой) координаты двух конечных точек, можно определить среднюю точку. Пример задачи:

    Какова средняя точка сегмента AB , если координаты первой конечной точки (A) равны (2,6), а второй (B) — (4, 18)?

    Чтобы ответить, что такое средняя точка AB, просто замените значения в формуле, чтобы найти координаты средней точки. В данном случае это (2 + 4) / 2 = 3 и (6 + 18) / 2 = 12. Итак, (x M , y M ) = (3, 12) — это средняя точка определенного сегмента. Авторы A и B.

    Приложения в физике

    В физике вычисления средней точки имеют несколько важных приложений. Например, центр масс данного объекта — это его центр тяжести. Чтобы уравновесить этот объект, необходимо обеспечить опору для средней точки, чтобы противодействовать силе тяжести таким образом, чтобы ни один конец не начал опускаться. Поиск конечной точки имеет очевидную полезность.

    В задачах, связанных с транспортировкой или перемещением объектов по прямой в двухмерном пространстве, вычисление формулы средней точки может быть полезно для определения, в какой точке или когда транспортное средство находится на полпути к месту назначения.Очевидно, что объекты редко имеют возможность перемещаться по прямой на большие расстояния, поэтому такие приложения предназначены в основном для учебных целей.

    Выучите формулу средней точки, как найти среднюю точку с помощью координат

    В этом видео вы узнаете формулу средней точки и как использовать формулу средней точки для вычисления средней точки сегмента линии, если известны две конечные точки. Кроме того, вы узнаете, как рассчитать координаты конечной точки, если заданы средняя и другая конечная точка.После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки предварительной алгебры и практические задачи.

    Какова формула средней точки?

    Формула средней точки основана на среднем значении x-координат и среднем значении y-координат. Формула используется для нахождения координат средней точки отрезка в плоскости x-y.

    Формула средней точки:
    Другими словами, мы просто находим среднее значение двух значений x и двух значений y.

    Чтобы лучше понять, как применять формулу, давайте рассмотрим несколько проблем с формулой средней точки.

    Например:
    Учитывая точки и, найдите среднюю точку.

    Используя формулу средней точки, подставьте каждое значение в формулу https://caddellprep.com/subjects/common-core-geometry/midpoint-formula/? Preview = true

    Объединить похожие термины

    Разделить каждое выражение

    Давайте попробуем пример, где даны только одна конечная точка и средняя точка. В этой задаче мы найдем другую конечную точку.

    Например:
    — это середина.Координаты are и координаты are. Найдите координаты.

    Как и в предыдущем примере, замените значения x и y.

    Разделите уравнение, которое нужно решить для x и y по отдельности
    x

    л

    Примеры формулы средней точки

    Пример 1

    Найдите середину двух точек и.

    Сначала подставьте каждое значение в формулу

    Затем объедините одинаковые термины

    Наконец, разделите каждое выражение

    Пример 2

    Найдите недостающее значение y в точках, и если его середина находится в.

    Сначала подставьте каждое значение в формулу

    Тогда давайте решим, так как это пропущенное значение

    Стенограмма видеоурока

    Давайте рассмотрим формулу средней точки.

    У нас есть две точки — и в системе.

    Средняя точка — это точка посередине этих двух точек.

    Помните, и это отрезок линии, каждый с соответствующими координатами и. Таким образом, средняя точка также имеет координаты и.

    Назовем координаты как и.Точно так же координаты и.

    Средняя точка имеет одинаковое расстояние не только между двумя -координатами и -координатами, но также и между ними.

    Назовем координаты средней точки как и. Координаты средней точки — это среднее значение двух координат.

    Итак, наша формула:

    Например:

    Давайте найдем середину отрезка прямой, который имеет точку с координатами и точку с координатами.

    Давайте воспользуемся нашей формулой — среднее значение двух координат и двух координат.

    Давайте сначала обозначим координаты, чтобы не запутаться.

    Затем подставьте данное

    Итак, наша средняя точка —

    .
    Середина отрезка прямой от точки A до точки B находится путем взятия среднего значения x-координат и среднего значения y-координат.

    Это просто совпадение, что мы пришли к идентичному значению. Но мы можем придумать любое значение для — и -координат.

    Просто следуйте формуле.

    точек, средние точки и расстояния

    точка, средние точки и расстояния

    Аналитическая геометрия: точки и расстояния

    АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

    В Евклидова или плоская геометрия , когда мы доказываем геометрические теоремы или дедукции, мы не используем алгебраические методы с геометрией.С аналитической или координатной геометрией — мы используем одновременно и алгебру , и геометрию , вроде как аудио и видео компоненты телевидения объединяются для создания единого представления. Алгебра — это язык или аудио часть шоу, а геометрия видео часть. В аналитической геометрии уравнение кривой — это имя или адрес этой кривой .

    Аналитическая геометрия была впервые разработана около 1637 года Рене Декартом , французским математиком.Он разработал эту область математики для решения геометрических задач алгебраическими методами и дал нам средства для разработки методов решения задач, которые упрощают многие отрасли науки, такие как инженерия и ракетостроение. Его имя — Рене Декарт — означает « возрожденных карт », поскольку на французском языке Рене означает «возрожденный» и des карт означает »из карты «.А что сделал этот замечательный человек? Он дал нам возможность сопоставить каждую точку вселенной, используя 2 или 3 координаты для определения ее положения — вот что он сделал. И благодаря его трудам математика «возродилась». Вполне уместно для человека по имени Рене Декарт, n’est-ce-pas?

    Это была аналитическая или координатная геометрия, которая позволила ученым определить правильную кривизну для зеркала в космическом телескопе Хаббла, а с ее помощью инженеры построить точные углы крена для кривых шоссе, по которым мы путешествуем.Это аналитическая геометрия, которая позволяет нам составлять карты улиц города и создавать изображения из пикселей на экране монитора, чтобы папа мог получить свою дозу Pac Man или Myst. Без работы Рене Декарта мы были бы в темноте математически, а наши науки были бы далеки от развития.

    Декартова плоскость

    Для создания координатной геометрии Рене Декарт применил оси к плоскости и трехмерному пространству так, чтобы каждая точка имела адрес или набор координат , который определял эту точку исключительно .Вот почему мы ссылаемся на декартову плоскость и декартовы координаты . В этом уроке мы будем работать исключительно с двумерной плоскостью ( R 2 ) и оставим трехмерную работу для более поздних курсов, таких как исчисление и линейная алгебра. Мы увидим, что теперь, когда мы говорим о треугольнике, линии или угле, мы можем точно указать, где находится этот треугольник, линия или угол, и мы можем довольно легко найти значения для длин и площадей.

    Оси координат, квадранты и точки

    Оси координат — это две прямые линии, размеченные в единицах, которые мы используем в качестве ссылок для определения точек на плоскости. Ось X представляет собой горизонтальную линию , которая измеряет движение влево и вправо, а ось Y представляет собой вертикальную линию , которая измеряет движение вверх и вниз.

    Как вы можете видеть на схеме, оси делят плоскость на четыре квадранта или области .

    Оси пересекаются в точке O , называемой исходной точкой . Часть оси x , которая лежит справа исходной точки, является положительной оси x , а часть левой является отрицательной осью x . Обратите внимание на диаграмму, положительные и отрицательные числа на оси x соответствуют правой и левой сторонам. Точно так же на оси y числа выше начала координат положительны , а числа ниже исходной точки отрицательны .

    Итак, в квадранте I , и x и y значения всех точек положительные .

    В квадранте II значения x равны отрицательным , тогда как значения y все еще остаются положительными .

    В квадранте III , и x и y значения всех точек отрицательные .

    В квадранте IV значения x являются положительными , а значения y отрицательными .

    Координаты точки указаны как упорядоченная пара .

    Порядок всегда следующий: x значение сначала и , затем y значение .

    Правильный способ записи координат точки: ( x , y ), поэтому точки P, R и S на диаграмме имеют указанные координаты.Источник находится в ( 0 , 0 ).

    .

    Определения:

      абсцисса: x значение точки. (Обычно просто x -значение )
      ордината: y значение точки (обычно значение точки. только что вызванный y -значение )
      координаты: x и y значения точки, записанные как ( x , y) тот заказ .

    Точки на осях:

    1) Любая точка на оси x имеет значение y из 0 . Таким образом, любая точка на оси x имеет координаты ( x , 0 ).

    2) Любая точка на оси y имеет значение x из 0 . Таким образом, любая точка на оси Y имеет координаты ( 0, y ).

    Середина отрезка линии

    Когда мы знаем координаты конечных точек отрезка линии и хотим знать координаты средней точки , мы усредняем значения x и y значений . Другими словами, мы складываем два значения x и берем половину суммы, чтобы получить координату x средней точки, затем мы складываем два значения y и возьмите половину этой суммы, чтобы получить координату y средней точки.

    Координаты средней точки отрезка

    с координатами конечной точки ( x 0 , y 0 ) и ( x 1 , y 1 ) равны
    ,
    , что является средним значением конечной точки. координаты.

    Чтобы найти среднюю точку , усредните координаты . В конце концов, вы знаете, что среднее — это среднее или среднее значение, и вы научились определять среднее значение в 6 классе.Так что не утруждайте себя изучением другой формулы — вместо этого изучите технику — усредненных координат !!!

    Длина линейного сегмента

    Когда мы знаем координаты конечных точек отрезка прямой и хотим узнать длину отрезка , мы используем технику, основанную на теореме Пифагора, как показано на диаграмме.

    Нам даны две точки A и B с координатами (5, 2) и (-3, -4) соответственно.Когда мы создаем прямоугольный треугольник ABP, мы видим, что длина BP равна разнице между значениями x , а длина AP равна разнице между значениями y . Теперь, применяя теорему Пифагора, мы видим, что длина AB равна квадратному корню из суммы квадратов длин AP и AB.

    Расстояние между точками (x 0 , y 0 ) и (x 1 , y 1 )

    равно

    Это известно как формула расстояния.

    Пример : Найти

    (а) координаты средней точки

    (б) длина отрезка прямой с конечными точками A (-3, 5) и B (17, 21) .

    Решение

    (a) Координаты средней точки отрезка AB равны

    (b) Длина отрезка AB составляет

    .

    Теперь возьмите карандаш, ластик и записную книжку, скопируйте вопросы,

    выполните практические упражнения, а затем проверьте свою работу с решениями.

    Если вы застряли, просмотрите примеры в уроке, а затем попробуйте еще раз.

    Практика

    1) Постройте эти точки на декартовой плоскости и укажите, в каком квадранте они находятся:

    а) А (-3, 2) б) В (4, 7) в) С (-2, -5) d) D (3, -6)

    2) Найдите средние точки AB, BC, CD и AD в вопросе 1.

    3) Найдите длины отрезков AC , BD , AD в вопросе 1.

    4)

    Треугольник ABC имеет вершины в A (2, 7) B (0, 0) и C (5, 1)

      a) Найдите длину сегмента AC .
      б) Найдите координаты M , середины AB .
      c) Найдите координаты N , середины BC .
      г) Найдите длину сегмента MN .
      д) Какая фракция из BC составляет MN ?

    .

    Решения

    1) Постройте эти точки на декартовой плоскости и укажите, в каком квадранте они находятся:

    2) Найдите средние точки AB, BC, CD и AD в вопросе 1.

    середина. из AB =

    midpt. из BC = (1, 1)

    середина. of CD =

    midpt. из AD = (0, -2)

    3) Найдите длины отрезков AC , BD , AD в вопросе 1.

    A = (- 3, 2), C = (- 2, -5): длина AC =

    B = (4, 7), D = (3, -6): длина BD =

    A = (-3, 2), D = (3, -6): длина AD =

    4)

    Треугольник ABC имеет вершины в A (2, 7) B (0, 0) и C (5, 1)

      a) Найдите длину сегмента AC : решение : AC =
      b) Найдите координаты M , средней точки AB .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.