Найдите координату точки которая является серединой отрезка: Найдите координату точки которая является серединой отрезка с концами в точках А(2) и В(8)

Содержание

примеры, решения, как найти середину отрезка по координатам

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Определение 1

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок AB.

Если отрезок AB продолжить в обе стороны от точек A и B, мы получим прямую AB. Тогда отрезок AB – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B. Отрезок AB объединяет точки A и B, являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K, лежащую между точками A и B, можно сказать, что точка K лежит на отрезке AB.

Определение 2

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка AB обозначим следующим образом: AB.

Определение 3

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка AB обозначить точкой C, то верным будет равенство: AC=CB

И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C) при заданных координатах концов отрезка (A и B), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Середина отрезка на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая Ox и несовпадающие точки на ней: A и B. Этим точкам соответствуют действительные числа xA и xB. Точка C – середина отрезка AB: необходимо определить координату xC.

Поскольку точка C является серединой отрезка АВ, верным будет являться равенство: |АС| = |СВ|. Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

|АС| = |СВ|⇔xC-xA=xB-xC

Тогда возможно два равенства: xC-xA=xB-xC и xC-xA=-(xB-xC)

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : xC=xA+xB2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: xA=xB , что невозможно, т.к. в исходных данных — несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка AB с концами A(xA) и B(xB):

xA+xB2

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Середина отрезка на плоскости

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости Оxy, две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами AxA, yA и  BxB, yB . Точка C – середина отрезка AB. Необходимо определить координаты xC и yC для точки C.

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей.Ax, Ay ; Bx, By и Cx ,Cy — проекции точек A, B и C на оси координат (прямые Ох и Оy).

Согласно построению прямые AAx, BBx, CCx параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства АС = СВ следуют равенства: АxСx = СxВx и АyСy = СyВy, и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка Сx – середина отрезка АxВx, а Сy – середина отрезка АyВy. И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

xC=xA+xB2 и yC=yA+yB2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка AB на плоскости с координатами концов A (xA,yA) и B (xB, yB) определяются как:

(xA+xB2, yA+yB2)

Середина отрезка в пространстве

Исходные данные: система координат Оxyz и две произвольные точки с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B (xB, yB, zB). Необходимо определить координаты точки C, являющейся серединой отрезка AB.

Ax, Ay, Az ; Bx, By,Bz и Cx, Cy, Cz — проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: AxCx=CxBx, AyCy=CyBy,AzCz=CzBz

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Следовательно, точки Cx, Cy,Cz являются серединами отрезков AxBx, AyBy, AzBz соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

xC=xA+xB2, yc=yA+yB2, zc=zA+ZB2

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат Oxy, точки с заданными координатами A(xA,yA) и B(xB, xB) . Точка C – середина отрезка AB.

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: OC→=12·OA→+OB→ . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов OA→ и OB→ , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: OA→=(xA, yA), OB→=(xB,yB) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах  и получим: 

OC→=12·OA→+OB→=xA+xB2, yA+yB2

Следовательно, точка C имеет координаты:

xA+xB2, yA+yB2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C(xA+xB2, yA+yB2, zA+zB2)

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Пример 1

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (-7,3) и В (2,4). Необходимо найти координаты середины отрезка АВ.

Решение 

Обозначим середину отрезка AB точкой C. Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B.

xC=xA+xB2=-7+22=-52yC=yA+yB2=3+42=72

Ответ: координаты середины отрезка АВ-52, 72.

Пример 2

Исходные данные: известны координаты треугольника АВС: А (-1,0), В (3,2), С (9,-8). Необходимо найти длину медианы АМ.

Решение

  1. По условию задачи AM – медиана, а значит M является точкой середины отрезка BC. В первую очередь найдем координаты середины отрезка BC, т.е. точки M:

xM=xB+xC2=3+92=6yM=yB+yC2=2+(-8)2=-3

  1. Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы АМ:

AM=(6-(-1))2+(-3-0)2=58

Ответ: 58

Пример 3

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Заданы координаты точки C1(1, 1, 0), а также определена точка M, являющаяся серединой диагонали BD1 и имеющая координаты M (4, 2, -4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка АС1. Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: xM=xA+xC12 ⇒xA=2·xM-xC1=2·4-1+7yM=yA+yC12⇒yA=2·yM-yC1=2·2-1=3zM=zA+zC12⇒zA=2·zM-zC1=2·(-4)-0=-8

Ответ: координаты точки А (7,3,-8).

Расстояние между точками на координатной прямой

Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат.

Формула расстояния между точками на координатной прямой:

AB = |ab|,

где  A  и  B  — это произвольные точки, расстояние между которыми надо найти, то есть, найти длину отрезка  ABa  и  b  — координаты точек.

Выражение  |ab|  можно заменить выражением  |b — a|,  так как  a — b  и  b — a  являются противоположными числами и их модули равны.

Следовательно, чтобы найти расстояние между точками координатной прямой надо из координаты одной точки вычесть координату другой точки.

Пример 1. Найти расстояние между точками  L(-3)  и  M(5),  отмеченными на координатной прямой.

Решение. Чтобы найти расстояние между точками  L  и  M  надо из координаты точки  L  вычесть координату точки  M  или наоборот, а в качестве ответа взять модуль полученного результата:

|-3 — 5| = |-8| = 8

или

|5 — (-3)| = |5 + 3| = 8.

Ответ. Расстояние между точками  L  и  M  равно 8.

Пример 2. Найдите координаты середины отрезка  AB,  если  A(-5)  и  B(5).

Решение. Обозначим середину отрезка точкой  C.  Так как  C  — середина отрезка  AB,  то  |AC| = |CB|.  Значит, чтобы найти координату точки  C,  надо сначала вычислить длину отрезка  AB  и разделить её на 2, то есть, на две равные части  AC  и  CB:

AB = |-5 — 5| = |-10| = 10;

10 : 2 = 5,   значит   |AC| = |CB| = 5.

Как видно из чертежа, чтобы найти координату середины отрезка, надо половину длины отрезка либо прибавить к точке с наименьшей координатой, либо отнять от точки с наибольшей координатой:

-5 + 5 = 0

или

5 — 5 = 0.

Ответ. Координата середины отрезка  C(0).

Пример 3. Найдите координату точки  C,  которая является серединой отрезка с концами в точках  A(7)  и  B(25).

Решение.

AB = |7 — 25| = |-18| = 18;

AC = CB = 18 : 2 = 9;

7 + 9 = 16

или

25 — 9 = 16.

Ответ. Координата точки  C  — 16.

Формула нахождения координаты середины отрезка

Начальные геометрические сведения

Понятие отрезка, как и понятие точки, прямой, луча и угла, относится к начальным геометрическим сведениям. С перечисленных понятий начинается изучение геометрии.

Под «начальными сведениями» обычно понимают нечто элементарное и простое. В понимании, возможно, это так и есть. Тем не менее, такие простые понятия часто встречаются и оказываются необходимыми не только в нашей повседневной жизни, но и в производстве, строительстве и прочих сферах нашей жизнедеятельности.

Начнём с определений.

Определение 1

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками (концами).

Если концы отрезка являются точками $A$ и $B$, то образованный отрезок записывают как $AB$ или $BA$. Такому отрезку принадлежат точки $A$ и $B$, а также все точки прямой, лежащие между этими точками.

Помощь со студенческой работой на тему

Формула нахождения координаты середины отрезка

Рисунок 1. Отрезок. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определение 2

Середина отрезка — точка отрезка, которая делит его пополам на два равных отрезка.

Если это точка $C$, то $AC=CB$.

Рисунок 2. Середина отрезка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Измерение отрезка происходит сравнением с определённым отрезком, принятым за единицу измерения. Чаще всего используют сантиметр. Если в заданном отрезке сантиметр укладывается ровно четыре раза, то это означает, что длина данного отрезка равна $4$ см.

Введём простое наблюдение. Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих отрезков.

Формула нахождения координаты середины отрезка

Формула нахождения координаты середины отрезка относится к курсу аналитической геометрии на плоскости.

Дадим определение координатам.

Определение 3

Координаты — это определённые (или упорядоченные) числа, которые показывают положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве.

В нашем случае, координаты отмечаются на плоскости, определённой координатными осями.

Рисунок 3. Координатная плоскость. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Опишем рисунок. На плоскости выбрана точка, называемая началом координат. Её обозначают буквой $O$. Через начало координат проведены две прямые (координатные оси), пересекающиеся под прямым углом, причём одна из них строго горизонтальная, а другая — вертикальная. Такое положение считается обычным. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается $OX$, вертикальная — осью ординат $OY$.

Таким образом, оси определяют плоскость $XOY$.

Координаты точек в такой системе определяются двумя числами.

Существуют разные формулы (уравнения), определяющие те или иные координаты. Обычно в курсе аналитической геометрии изучают разные формулы прямых, углов, длины отрезка и прочие.

Перейдём сразу к формуле координаты середины отрезка.

Определение 4

Если координаты точки $E(x,y)$ — это середина отрезка $M_1M_2$, то:

Рисунок 4. Формула нахождения координаты середины отрезка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Практическая часть

Примеры из школьного курса геометрии достаточно просты. Рассмотрим несколько основных.

Для лучшего понимания, рассмотрим для начала элементарный наглядный пример.

Пример 1

Имеем рисунок:

Рисунок 5. Отрезки на плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На рисунке отрезки $AC, CD, DE, EB$ равны.

  1. Серединой каких отрезков является точка $D$?
  2. Какая точка является серединой отрезка $DB$?

Ответы:

  1. точка $D$ является серединой отрезков $AB$ и $CE$;
  2. точка $E$.

Рассмотрим другой простой пример, в котором нужно вычислить длину.

Пример 2

Точка $B$ — середина отрезка $AC$. $AB = 9$ см. Какая длина $AC$?

Так как т. $B$ делит $AC$ пополам, то $AB = BC= 9$ см. Значит, $AC = 9+9=18$ см.

Ответ: 18 см.

Прочие подобные примеры обычно идентичны и ориентированы на умение сопоставлять значения длин и их представление с алгебраическими действиями. Нередко в задачах встречаются случаи, когда сантиметр не укладывается ровное количество раз в отрезок. Тогда единицу измерения делят на равные части. В нашем случае сантиметр делится на 10 миллиметров. Отдельно измеряют остаток, сравнивая с миллиметром. Приведём пример, демонстрирующий такой случай.

Пример 3

Точка $B$ — середина отрезка $AC$. $AC = 8,4$ см. Какая длина $AB$?

Так как т. $B$ делит $AC$ пополам, то $AB = \frac{8,4}{2}$ см. Значит, $AB = 4,2$ см.

Ответ: 4,2 см.

Если в очередной задаче возникают трудности с пониманием её решения (например, нетипичные случаи с несколькими отрезками, образующими углами и прочими усложнениями), то лучше рассмотреть задачу, сделав по её условию рисунок. Наглядность способствует лучшему пониманию и более скорому нахождению решения.

Теперь решим задачи по аналитической геометрии.

Пример 4

Даны точки $T_1(7,11)$ и $T_2(1,23)$. Требуется найти координаты середины отрезка $T_1T_2$.

Абсцисса середины отрезка: $x=\frac{7+1}{2}=4$.
Ордината: $y=\frac{11+23}{2}=17$.

Ответ: $(4,17)$.

Пример 5

Даны точки $T(6,-1)$ и $S(-4,-8)$. Точка $S$ — середина $TK$. Найти координаты $K$.

Подставим значения и получим уравнения:

$-4=\frac{6+x_2}{2}, -8=\frac{-1+y_2}{2}.$

Найдём координаты:

$-2=6+x_2, -4=-1+y_2; x_2=-8, y_2=-3$.

Ответ: $K(-8,-3)$.

Урок – лекция по геометрии в 10 классе по теме «декартовы координаты в пространстве»

Урок – лекция по
геометрии в 10 классе по теме

«Декартовы
координаты в пространстве»

Учитель: Макеева О. В.

Цели урока:

  1. Повторить
    введение и применение координат на
    прямой и на плоскости; формулы координат
    середины отрезка и расстояния между
    точками.

  2. Ввести
    декартовы координаты в пространстве.

  3. Развивать
    интерес к истории математики.

Оборудование:

  1. Таблица
    «Декартовы координаты в пространстве».

  2. Модель
    трёхмерной системы координат.

  3. Чертежные
    инструменты.

  4. Портрет
    Р. Декарта.

Ход урока

I.
Введение

В 1637 г. во Франции вышла книга,
которая принесла её автору невероятную
известность. По обычаям того времени
она имела довольно длинное название:
«Рассуждение о методе, позволяющем
направлять разум и отыскивать истину
в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры
и Геометрия, которые являются приложениями
этого метода». Автор книги Рене Декарт
(1596 – 1650 г.). В ней он ввел прямоугольную
систему координат, поставил каждой
точке в соответствие пару чисел – её
координаты. Этот прогрессивный метод
позволил решить ряд геометрических
задач алгебраическим методом, что
оказалось очень удобным.

Главные правила метода гласят:

  1. Не принимать за истинное что бы
    то ни было, прежде чем не признал это
    несомненно истинным, т. е. старательно
    избегать поспешности и предубеждения
    и включить в свои рассуждения только
    то, что представляется уму так ясно и
    отчетливо, что никоим образом не может
    дать повод к сомнению.

  2. Делить каждую из рассматриваемых
    трудностей на столько частей, на сколько
    требуется, чтобы лучше их разрешить.

  3. Руководить ходом своих мыслей,
    начиная с предметов простейших и легко
    познаваемых, и восходить мало – помалу,
    как по ступеням, до познания наиболее
    сложных, допуская существования порядка
    даже среди тех, которые в естественном
    порядке вещей не предшествуют друг
    другу.

  4. Делать всюду настолько полные
    перечни и такие общие обзоры, чтобы
    быть уверенным, что ничего не пропущено.

Руководствуясь этими правилами,
начнем с ранее изученного материала.

II.
Повторение. Актуализация знаний

1.
Сначала координаты точки ввели на луче,
потом на прямой.

Координатная прямая – это прямая
с выбранными на ней направлением, началом
отсчета и единичным отрезком.

О А(х)

= ОА

0 1
х

Координатой точки А
называют число, абсолютная
величина которого равна расстоянию от
начала отсчета до точки А.

Если точка расположена справа
от точки О, то её координата положительная,
если слева – то отрицательная.

2. Для определения положения
точки на плоскости одной координаты
недостаточно. Поэтому по примеру
географических координат Декартом были
введены координаты на плоскости, добавив
к оси х перпендикулярную ось и выбрав
на ней направление и единичный отрезок.

y
О – начало
отсчета.

(Повторить
определение абсциссы и

Аy
А(х,y)
ординаты точки на плоскости).

ОАх
=
,
ОАy =
,

1 А
(х;y),
Ах (х;0), Аy
(0;y
)

О
1 Ах
х

III.
Введение координат в пространстве

Первое определение IX
книги «Начала» Евклида гласит: «Тело
есть то, что имеет длину, ширину и
глубину». Тем не менее есть основание
полагать, что в древности нашего понятия
о трехмерном пространстве не существовало.
У Декарта имелись лишь далекие намеки
на возможность распространения метода
координат с двумерного пространства
(плоскости) на трехмерное. Потребовалось
ещё почти 100 лет, чтобы идея пространственных
координат была сформирована, постоянно
и и широко использовалась.

z
(Объяснение с
опорой на трехмерную модель и

Аz
Ayz
таблицу №21).

Система
координат в пространстве представляет

Axz
A
собой три взаимно
перпендикулярные прямые

х, y,
z,
пересекающиеся в одной точке.

О – начало отсчета,

О Ау
у x,
y,
z –
координатные оси,

Ax
Axy
xy,
yz,
xy
– координатные плоскости.

x
Координатные
плоскости делят все пространство

на 8
октантов.

Определим координаты
точки А на плоскости.

Через точку А проведем плоскость,
параллельную плоскости yz.
Она пересекает ось x
в точке Аx
. Координатой х точки А
называется число, равное по абсолютной
величине длине отрезка ОАх
. Аналогично определяются и другие
координаты. Таким образом, точке А в
пространстве ставится в соответствие
тройка чисел – её координаты.

Обозначение: А(x;
y;
z).
(Название координаты z
найти самостоятельно).

Рассмотрим координаты частного
расположения точек в пространстве.

Ах
(х;0;0) Ахy
(х;y;0) О
(0;0;0)

Аy
(0;y;0) Аyz
(0;y;z)

Аz
(0;0;z) Ахz
(х;0;z)

Задача
1.
Дан куб с ребром,
равным 4. Определите координаты его
вершин.

z

В1
С1
Ответы:

А1
D1
А (4;0;0) А1
(4;0;4)

В (0;0;0) В1
(0;0;4)

В С y С
(0;4;0) С1
(0;4;4)

D
(4;4;0) D1
(4;4;4)

А D

x

Задача 2.
Дан прямоугольный параллелепипед,
измерения которого равны 6;4;4. Определите
координаты его вершин.

В1
z
С А1
D1

Ответы:

А1
D1

А (2;-3;0) А1
(2;-3;4)

В
С В (-2;-3;0) В1
(-2;-3;0)

А D
y С (-2;3;0) С1
(-2;3;4)

D
(2;3;0) D1
(2;3;4)

x

IV.
Приложение метода координат

В качестве иллюстрации приложения
метода координат рассмотрим алгебраические
равенства, имеющие простые геометрические
истолкования. Это формулы координат
середины отрезка и расстояния между
точками.

Задача на повторение.
Найдите координаты середины отрезка
АВ и длину отрезка АВ, если:

1 вариант – А (3;-1), В (-2;4)

2 вариант – А (3;4), В (2; -1)

(Проверку работ осуществить на
боковых досках).

Аналогичные формулы применяются
в пространстве. По учебнику прочитать
п.153, 154 и выписать формулы в тетрадь. Два
ученика получают на дом задание — вывод
формул.

Задача №3.
Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2)

Найдите координаты
середины отрезка АВ и его длину.

Решение:

1). Пусть С – середина отрезка
АВ, тогда С (;
;
),
С (2;0;0)

2). АВ =

=

= 2.

V.
Подведение итогов урока

VI.
Домашнее задание:
п.
152 – 154, вопросы № 1 – 3, № 3, 9.

Два ученика получают индивидуальное
задание: вывод формул.

Самостоятельная работа по теме: Простейшие задачи в координатах

Самостоятельная работа по теме: «Простейшие задачи в координатах»

I вариант

1.Найдите координаты вектора АВ, если А (-7; 6),  В (-1; 2).

2.Найдите длину вектора , если А(-7; 6), В(-1; 2).

3.Найдите координаты точки К, которая является серединой отрезка MN ,если М(6; -5), N(3; -9)

4.Найдите расстояние между точками M и N, т.е. длину отрезка MN, если М(6; -5), N(3; -9)

5.Найдите медиану CD треугольника АВС, вершины которого имеют координаты:  А(-1; 2), В(5; -6), С(6; 4)

Самостоятельная работа по теме: «Простейшие задачи в координатах»

II вариант

1.Найдите координаты вектора MN, если M (4;-5) ,  N(7; -9).

2.Найдите длину вектора, если M(4; -5), N(7; -9).

3.Найдите координаты точки C, которая является серединой отрезка AB ,если A(-2; 1), B(-10; -5)

4.Найдите расстояние между точками A и B, т.е. длину отрезка AB, если A(-2; 1), B(-10; -5)

5.Найдите медиану BD треугольника АВС, вершины которого имеют координаты: А(-2; -3),  В(-3; 5), С(4; 1)

Самостоятельная работа по теме: «Простейшие задачи в координатах» I вариант

1.Найдите координаты вектора АВ, если А (-7; 6),  В (-1; 2).

2.Найдите длину вектора , если А(-7; 6), В(-1; 2).

3.Найдите координаты точки К, которая является серединой отрезка MN ,если М(6; -5), N(3; -9)

4.Найдите расстояние между точками M и N, т.е. длину отрезка MN, если М(6; -5), N(3; -9)

5.Найдите медиану CD треугольника АВС, вершины которого имеют координаты:  А(-1; 2), В(5; -6), С(6; 4)

Самостоятельная работа по теме: «Простейшие задачи в координатах» II вариант

1.Найдите координаты вектора MN, если M (4;-5) ,  N(7; -9).

2.Найдите длину вектора, если M(4; -5), N(7; -9).

3.Найдите координаты точки C, которая является серединой отрезка AB ,если A(-2; 1), B(-10; -5)

4.Найдите расстояние между точками A и B, т.е. длину отрезка AB, если A(-2; 1), B(-10; -5)

5.Найдите медиану BD треугольника АВС, вершины которого имеют координаты: А(-2; -3),  В(-3; 5), С(4; 1)

Самостоятельная работа по теме: «Простейшие задачи в координатах» I вариант

1.Найдите координаты вектора АВ, если А (-7; 6),  В (-1; 2).

2.Найдите длину вектора , если А(-7; 6), В(-1; 2).

3.Найдите координаты точки К, которая является серединой отрезка MN ,если М(6; -5), N(3; -9)

4.Найдите расстояние между точками M и N, т.е. длину отрезка MN, если М(6; -5), N(3; -9)

5.Найдите медиану CD треугольника АВС, вершины которого имеют координаты:  А(-1; 2), В(5; -6), С(6; 4)

Самостоятельная работа по теме: «Простейшие задачи в координатах» II вариант

1.Найдите координаты вектора MN, если M (4;-5) ,  N(7; -9).

2.Найдите длину вектора, если M(4; -5), N(7; -9).

3.Найдите координаты точки C, которая является серединой отрезка AB ,если A(-2; 1), B(-10; -5)

4.Найдите расстояние между точками A и B, т.е. длину отрезка AB, если A(-2; 1), B(-10; -5)

5.Найдите медиану BD треугольника АВС, вершины которого имеют координаты: А(-2; -3),  В(-3; 5), С(4; 1)

Координаты симметричных точек | Треугольники

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

I. Две точки A(xA;yA) и B(xB;yB) симметричны относительно точки O(xO;yO), если точка O является серединой отрезка AB.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

   

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от  координат точки A только знаками:

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

Примеры.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Решение:

Пусть B(xB;yB) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

   

   

   

   

   

   

   

Ответ: (13;15).

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Решение:

Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).

Ответ: (-9;4).

II. Две точки A(xA;yA) и B(xB;yB) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

  • Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
  • Найти точку O пересечения прямых f и g.
  • Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.

Пример

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Решение:

Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

5=-0,5·(-4)+b, откуда b=3.

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Найдём координаты точки пересечения прямых:

   

   

   

   

   

   

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Ответ: (3,2;1,4).

Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:

 для точки A(x;y)
симметрия относительно:
оси Ox A1(x;-y)
оси Oy A2(-x;y)

биссектрисы I и II координатных

четвертей (прямой y=x)

A3(y;x)

биссектрисы I b II координатных

четвертей (прямой y= -x)

A4(-y;-x)

ПРОВЕРЬТЕ ПОЖАЛУЙСТА ) — @дневники: асоциальная сеть

пятница, 11 ноября 2011

№1 Даны точки A(-2;3;4) и B(4;-1;6)
а) Найдите координаты середины отрезка АВ
б) Найдите координаты точки С , если точка В — середина отрезка АС.
в) Найдите расстояние от точки В до плоскости Oyz.

Ответы : а) М — середина АВ. М(1;1;5)
б) С(10;-5;8)
в) ответ = 2

№2
vec(a){2;-6;3} и vec(b){-1;2;-2}
Ответы : |vec(a)|-|vec(b)|=4 ?
|vec(a)-vec(b)|= 7 корней из 2. ?

№3
Даны точки А(-1;5;3) , В(-3;7;-5) , С(3;1;-5)
Найти среднюю линию треугольника АВС .
MN — СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ,
Ответ : MN=2 корня из 6 .

№4
Даны точки А(3;-2;5) и В(-1;4;3)
а) Найти координаты точки С — середины отрезка АВ
б) Найти координаты точки D если отрезок АD делится точками В и С ни три равные части .
Ответы : а) С(1;1;4)
б) D(1;-2;5)

№5
Дан вектор vec(a){-6;4;12}
Найдите координаты vec(b) , если |vec(b)|= 28 , а vec(a) и vec(b) противоположно направлены .
Ответ : vec(b){12;-8;-24}

№6
Даны точки А(-1;5;3) , В(-1;-3;9) , С(3;-2;6)
Найдите длину медиану треугольника АВС.
Ответ : МЕДИАНА = 13 .

№7
Найдите координаты четвертой вершины параллелограма ABCD
если B(-7;6;7) , С(4;-2;-3) , D(-3;8;-5)
Ответ : А(0;-4;9)


@темы:
Аналитическая геометрия
Векторная алгебра

  • ← Предыдущая запись
  • Следующая запись →

Этот пост будет безвозвратно удален:

Вы уверены в том, что действительно хотите это сделать?

Да
Нет

Калькулятор средней точки

Калькулятор средней точки берет две координаты в декартовой системе координат и находит точку прямо между ними. Этот момент часто бывает полезен в геометрии. В качестве дополнения к этому калькулятору мы написали статью ниже, в которой обсуждается, как найти среднюю точку и что такое формула средней точки.

Как найти середину

  1. Обозначьте координаты (x₁, y₁) и (x₂, y₂) .
  2. Введите значения в формулу.
  3. Сложите значения в скобках и разделите каждый результат на 2.
  4. Новые значения образуют новые координаты средней точки.
  5. Проверьте свои результаты с помощью калькулятора средней точки.

Предположим, у нас есть отрезок прямой, и мы хотим разрезать его на две равные части. Для этого нам нужно знать центр. Мы можем добиться этого, найдя середину. Вы можете измерить с помощью линейки или просто использовать формулу, включающую координаты каждой конечной точки сегмента.Средняя точка — это просто среднее значение каждой координаты сечения, образующее новую координатную точку. Мы проиллюстрируем это ниже.

Формула средней точки

Если у нас есть координаты (x₁, y₁) и (x₂, y₂) , то середина этих координат определяется как (x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2 . Это формирует новую координату, которую вы можете назвать (x₃, y₃) . Калькулятор средней точки решит эту проблему мгновенно, если вы введете координаты. При вычислении вручную следуйте приведенным выше инструкциям.

Для небольших чисел легко вычислить среднюю точку вручную, но для больших и десятичных значений калькулятор является самым простым и удобным способом вычисления средней точки.

Как найти среднюю точку часто требуется в геометрии, так и расстояние между двумя точками. Расстояние между двумя точками на горизонтальной или вертикальной линии легко вычислить, но процесс усложняется, если точки не выровнены как таковые. Это часто бывает при работе со сторонами треугольника.Поэтому калькулятор расстояний — удобный инструмент для этого.

В некоторых геометрических случаях мы хотим вписать треугольник в другой треугольник, где вершины вписанного треугольника лежат в середине исходного треугольника. Калькулятор средней точки чрезвычайно полезен в таких случаях.

Как найти середину треугольника?

Чтобы найти середину треугольника, технически известную как его центроид , выполните следующие действия:

  1. Найдите середину сторон треугольника.Если вы знаете, как это сделать, переходите к шагу 5 .
  2. Измерьте расстояние между двумя конечными точками и разделите результат на 2. Это расстояние от обоих концов является средней точкой этой линии.
  3. Либо сложите две координаты x конечных точек и разделите на 2. Сделайте то же самое для координат y. В результате вы получите координаты средней точки.
  4. Проведите линию между средней точкой и ее противоположным углом.
  5. Повторите это действие по крайней мере для одной другой пары средней точки и угла или для обеих для наивысшей степени точности .
  6. Место пересечения всех линий — это центр тяжести треугольника.

Что такое середина круга?

Чтобы найти середину или центр круга, следуйте этим инструкциям:

  1. Найдите две точки на окружности, которые полностью противоположны друг другу , т. Е. Разделены диаметром окружности.
  2. Если вы знаете их координаты, сложите две координаты x и разделите результат на 2.Это координата x центра.
  3. Проделайте то же самое с координатами 2 y, что даст вам координату y.
  4. Объедините эти два значения, чтобы получить координаты центроида .
  5. Если вы не знаете координаты, измерьте расстояние между двумя точками вдвое.
  6. Эта половина расстояния между одной конечной точкой и другой является средней точкой.

Как найти середину квадрата?

Чтобы найти середину или центроид квадрата, следуйте этому простому руководству:

  1. Если у вас есть координаты двух противоположных углов квадрата, сложите 2 x координаты и разделите результат на 2.
  2. Проделайте то же самое с координатами y.
  3. Используйте эти два вычисленных числа, чтобы найти центр квадрата, так как они являются его координатами x и y соответственно.
  4. В качестве альтернативы, проведите линию от одного угла до противоположного угла и другую для оставшейся пары.
  5. Место пересечения этих двух точек — центр тяжести квадрата.

Вы округляете средние точки?

Как правило, не округляет средние точки . определенно не подходит для непрерывных данных , поскольку эта точка является реальной точкой в ​​наборе данных.Для дискретных данных вы обычно не используете , вместо этого отметив, что средняя точка — это значение обоих значений по обе стороны от вычисления средней точки.

Какая средняя точка 0 и 5?

2,5 . Чтобы найти середину любого диапазона, сложите два числа и разделите на 2. В этом случае 0 + 5 = 5, 5/2 = 2,5.

Как найти середину трапеции?

Вы можете найти середину или центроид трапеции одним из двух способов:

  1. Проведите линию от одного угла трапеции к противоположному углу.
  2. Проделайте то же самое с оставшейся парой углов.
  3. На пересечении этих двух линий находится центр тяжести .
  4. Идеально сбалансируйте трапецию по ее центру!

Альтернативно:

  1. Возьмем координаты двух противоположных сторон.
  2. Сложите координаты x этих точек вместе и разделите на 2. Это координата x средней точки .
  3. Повторите эти действия для координат 2 y, получив координату y средней точки .

Какая средняя точка 30 и 60?

45 . Чтобы найти середину любых двух чисел, найдите среднее значение этих двух чисел, сложив их вместе и разделив на 2. В этом случае 30 + 60 = 90. 90/2 = 45.

Как найти середину между двумя координатами

Какова формула средней точки?

Иногда вам может понадобиться найти середину между двумя точками. Обычно это вступает в игру, когда в вопросе вас просят разделить строку на две равные половины, или в задачах со словами, когда вас просят найти середину.

Если задуматься, идея найти число, лежащее между набором чисел, довольно проста. Что ты обычно делаешь? Вы возьмете среднее из них. Сначала сложите их, затем разделите на два. Формула средней точки аналогична, и вместо того, чтобы брать среднее значение только числа, вам придется взять среднее значение x и y по двум точкам отдельно.

Средняя точка значения x находится на полпути между значениями x двух точек. Средняя точка значения y находится на полпути между значениями y двух точек.В этом есть смысл, правда?

Конечно, это означает, что вам нужно знать координаты двух рассматриваемых точек, прежде чем вы сможете найти их среднюю точку. Но как только вы знаете конечные точки отрезка линии, вы можете легко найти среднюю точку.

Все это хорошо суммируется с формулой средней точки, которая выглядит следующим образом:

M = (x1 + x22, y1 + y22) M = (\ frac {x_1 + x_2} {2}, \ frac {y_1 + y_2} {2}) M = (2×1 + x2, 2y1 + y2)

Как найти среднюю точку

Чтобы увидеть, как используется формула средней точки, давайте рассмотрим пример.

Вопрос:

Определите среднюю точку линейного сегмента с заданными конечными точками.

A (3,7), B (9,1) A (3, 7), B (9, 1) A (3,7), B (9,1)

Решение:

Мы можем использовать формулу для средней точки, чтобы определить среднюю точку: M = (x1 + x22, y1 + y22) M = (\ frac {x_1 + x_2} {2}, \ frac {y_1 + y_2} {2}) M = (2×1 + x2, 2y1 + y2)

Сначала подставьте значения x и y в формулу:

M = (3 + 92,7 + 12) M = (\ frac {3 + 9} {2}, \ frac {7 + 1} {2}) M = (23 + 9, 27 + 1)

Затем мы можем вычислить среднюю точку:

(6,4) (6, 4) (6,4)

шаги вычисления средней точки

Давайте подробнее рассмотрим шаги из приведенного выше примера.Во-первых, нам даются координаты двух точек, для которых мы должны найти середину отрезка. Это все, что вам нужно, чтобы использовать формулу средней точки.

Во-первых, мы сначала извлечем x-координаты, чтобы мы могли работать над поиском x-координаты средней точки. У нас есть 3 и 9, взятые из точек A и B соответственно. Просто сложите два вместе, а затем разделите на 2, чтобы получить среднее значение, также известное как средняя точка для значения x.

Затем проделайте то же самое с координатами y.У нас 7 и 1 снова из точек A и B соответственно. Сложив это вместе, мы получим 8, а разделив на два, мы получим 4.

Мы определили, что средняя точка между двумя точками лежит точно в координатах (6,4) с помощью правила средней точки с использованием уравнения средней точки. Если вы нанесли линейный сегмент на график, а затем опустили точку на (6,4), вы действительно увидите, что это точка, которая разделяет сегмент на две равные части.

Другое слово, обозначающее точку, разделяющую линию на два равных отрезка, называется биссектрисой.Некоторые вопросы могут попросить вас найти биссектрису линии, которая в основном запрашивает у вас середину. Вы также можете столкнуться с вопросами, спрашивающими, является ли определенная координата биссектрисой, и вам нужно будет определить с помощью формулы средней точки, получите ли вы указанные средние точки. Если нет, то это не биссектриса.

Проверьте, правильно ли вы ответили, обратившись к этому калькулятору средней точки, если вы застряли.

Формула средней точки | Purplemath

Purplemath

Иногда нужно найти точку, которая находится точно посередине между двумя другими точками.Например, вам может потребоваться найти линию, которая делит пополам (делит на две равные половины) данный отрезок линии. Эта средняя точка называется «серединой». Идея возникает нечасто, но формула довольно проста и очевидна, так что вы легко сможете запомнить ее на будущее.

Подумайте об этом так: если вам даны два числа, вы можете найти точное число между ними, усреднив их, сложив их вместе и разделив на два. Например, число, находящееся точно посередине между 5 и 10, будет:

.

MathHelp.com

Формула средней точки работает точно так же. Если вам нужно найти точку, которая находится точно посередине между двумя заданными точками, просто усредните значения x и значения y .

  • Найдите среднюю точку

    P между (–1, 2) и (3, –6).

Сначала я применяю формулу средней точки; тогда я упрощу:

Итак, ответ: P = (1, –2).

Формула средней точки выглядит следующим образом:

Формула средней точки: средняя точка двух точек ( x 1 , y 1 ) и ( x 2 , y 2 ) — точка M , найденная следующая формула:

Но если вы помните, что вы усредняете значения двух точек: x и y , у вас все в порядке.Неважно, какую точку вы выберете в качестве «первой» точки, которую вы подключаете. Просто убедитесь, что вы добавляете x к x и y к y .

  • Найдите среднюю точку

    P между (6.4, 3) и (–10.7, 4).

Я применяю формулу средней точки и упрощаю:

Итак, ответ: P = (–2.15, 3.5).


  • Найдите значение

    p так, чтобы (–2, 2,5) было средней точкой между ( p , 2) и (–1, 3).

Я использую формулу средней точки:

Координаты y уже совпадают.Это сводит проблему к необходимости сравнивать координаты x , «приравнивать» их (то есть устанавливать их равными, потому что они должны быть одинаковыми) и решать полученное уравнение, чтобы выяснить, что такое p . Это даст мне значение, необходимое для совпадения значений x . Итак:

Итак, ответ: p = –3.

Давайте еще несколько примеров ….


URL: https://www.purplemath.com/modules/midpoint.htm

Вычисление средней точки — задача 2

Вы можете найти среднюю точку линейного сегмента, если заданы координаты его конечных точек с помощью формулы средней точки.Конечные точки линейного сегмента задаются (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ). Чтобы найти координату x средней точки, используйте формулу: x = (x 1 + x 2 ) / 2. Чтобы найти координату y, используйте ту же формулу, но на этот раз, используя координаты y конечных точек: y = (y 1 + y 2 ) / 2. Объединяя эти два результата вместе, средняя точка отрезка линии находится в точке (x, y).

Сегмент и координатная плоскость иногда могут быть десятичными.Итак, давайте посмотрим на пример. Здесь у нас есть точки в (5, -2) и (-8,1). Как хороший изучающий геометрию, я сначала нарисую картинку, чтобы иметь представление о том, какой ответ является разумным.

Итак, 5 и -2, я собираюсь перейти от 5 до 2 вниз, так что это будет моя первая точка, мои следующие точки — -8 и +1. Итак, если я соединю эти два, я вижу в средних точках, это может быть где-то во втором или третьем квадранте, но не совсем уверен, где.

Итак, если наша средняя точка находится в (x, y), я говорю, что эта точка здесь, которую я обведу, находится в x и y, вычисляется путем взятия среднего значения ваших X, среднего значения ваших Y, поэтому x1 плюс x2 на 2, и наши x равны 5 и -8.Таким образом, x равно 5 плюс -8 разделить на 2, 5 и -8 равно -3 разделить на 2, и если вы хотите, вы можете преобразовать это в десятичное число, сказав, что это -1,5.

Итак, я сотру этот x и знаю, что наша координата x равна -1,5. Сделайте то же самое, чтобы найти свои Ys. Y равно среднему значению ваших двухлетних координат. У нас есть -2 и +1, поэтому y равно -2 плюс 1, деленное на 2. -2 и 1 равно -1, деленному на 2 и -1/2, мы можем записать как десятичную дробь как -0,5. Итак, сотрите y, и мы знаем, что это -0,5, и рисуем на нем рамку, чтобы сообщить нашему учителю, что это наш ответ.Наша средняя точка находится в диапазоне -1,5 и -0,5, что соответствует нашему третьему квадранту.

Формула средней точки

| Как найти уравнение средней точки // Tutors.com

Содержание

  1. Определение средней точки
  2. Формула средней точки
  3. Как найти среднюю точку
  • Примеры формул средней точки
  • Как найти середину между двумя точками
  • Найдите координаты средней точки
  • Определение средней точки

    Для любых двух упорядоченных пар существует средняя точка , которая находится точно посередине между каждой упорядоченной парой.Это верно для двух измерений (координаты x и y) и трех измерений (координаты x, y и z).

    В двух измерениях у вас есть только две конечные точки, поэтому средняя точка (или среднее значение) также является медианной, что упрощает вашу математику.

    Формула средней точки

    Формула средней точки используется для нахождения точной центральной точки между двумя определенными точками на отрезке линии. Используйте эту формулу для вычисления точки, которая делит пополам отрезок линии

    .

    средняя точка = x1 + x22, y1 + y22

    Как найти среднюю точку

    В координатной сетке отрезки прямых линий могут быть горизонтальными (плоскими, как горизонт, вдоль оси X), вертикальными (прямо вверх и вниз, вдоль оси Y) или диагональными (под наклоном).Вы можете найти только средние точки сегментов линии, но не линии, поскольку линии не имеют конца.

    Вам нужно:

    • Обе конечные точки, чтобы найти среднюю точку
    • Одна конечная точка и средняя точка для поиска другой конечной точки

    Как найти середину отрезков горизонтальной линии

    Чтобы вычислить среднюю точку сегмента горизонтальной линии, сфокусируйтесь на значениях x, сложите их и разделите на два:

    8 + 22

    102 = 5

    Среднее значение и медиана и, следовательно, середина или середина линии, имеют значение x, равное 5. Середина — (5, 4).

    Как найти середину вертикальных отрезков линии

    Чтобы рассчитать длину вертикального отрезка, сконцентрируйтесь на значениях y:

    10 + 32

    132 = 6,5

    Средняя точка находится в (2, 6.5).

    Как найти середину сегментов диагональной линии

    Сегменты диагональной линии намного сложнее, чем найти середину вертикальных или горизонтальных сегментов линии. Вот идеальное место для формулы средней точки, которая, по сути, находит среднее из значений x и значений y:

    средняя точка = x1 + x22, y1 + y22

    Вы видите, как вы складываете два значения x, а затем делите их на 2? Это находит среднее значение, которое является средней точкой для значения x.Повторите эти действия для значений y, и вместе у вас будет упорядоченная пара средней точки.

    Примеры формул средней точки

    Формула средней точки работает с линейными сегментами во всех квадрантах. Предположим, у вас есть это:

    Подключите конечные точки, обращая внимание на отрицательные числа:

    -2 + -82

    -102 = -5

    Затем подключите, чтобы найти y

    -1 + -42

    -52 = -2,5

    Средняя точка находится в (-5, -2.5)

    Как найти середину между двумя точками

    Не расстраивайтесь, когда ваш отрезок линии пересекает один квадрант в другой. Формула средней точки все еще работает. Вы должны быть осторожны со своими значениями x и y, но просто вставьте числа, разделите, и вы получите среднюю точку.

    Подключите две конечные точки:

    -2 + 22

    02 = 0

    Теперь займемся второй конечной точкой:

    4 + -42

    02 = 0

    Средняя точка — это (0, 0) , начало координатной сетки!

    Найдите координаты средней точки

    Иногда вы получаете очень мало информации, например о конечной точке и средней точке.Вас попросят найти другую конечную точку. Ты можешь сделать это!

    Помните, что средняя точка — это среднее значение только двух наборов чисел. Используйте это, чтобы помочь вам найти недостающее значение x и значения y, вторую конечную точку (x2, y2).

    Вам даны (-7, -3) как одна конечная точка (x1, y1) и (0, -1) как средняя точка.

    Вам нужно найти эти значения:

    Для x:

    (-7 + x2) 2 = 0

    Умножить обе стороны на 2

    ((-7 + x2) 2) × 2 = 0 × 2

    Упростить

    -7 + x2 = 0

    х2 — 7 = 0

    Добавить 7 к обеим сторонам

    x2 = 7

    для у:

    (-3 + y2) 2 = -1

    Умножить обе стороны на 2

    ((-3 + y2) 2) × 2 = -1 × 2

    Упростить

    -3 + y2 = -2

    y2 — 3 = -2

    Добавить 3 к обеим сторонам

    y2 = 1

    Это дает конечную точку (x2, y2) (7, 1) .

    Краткое содержание урока

    Теперь, когда вы дошли до этого места, вы можете определить формулу средней точки и определить ее подходящее использование, объяснить себе и другим, как найти среднюю точку вертикального или горизонтального отрезка линии на координатной сетке. Вы также можете использовать формулу средней точки для вычисления конечной точки диагональной линии с учетом средней точки и одной конечной точки и использовать ту же формулу для вычисления средней точки диагональной линии с учетом двух конечных точек.

    Следующий урок:

    Теорема о средней точке

    Калькулятор средней точки — поиск средней точки

    Формула средней точки

    Уравнение средней точки может быть выражено как:

    (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2

    Где x и y представляют точки в декартовой координатной плоскости .

    Калькулятор средней точки — отличная утилита для поиска средней точки сегмента с заданными конечными точками. Мы обсудим, как найти середину отрезка линии, формулу средней точки и многое другое в этом пространстве.

    Что такое средняя точка?

    Средняя точка — это точка на отрезке прямой, которая делит его на две равные части. Она также известна как середина отрезка линии.

    Проще говоря, точка в центре или около центра или рядом с ними называется средней точкой. Он также определяется как точка, линия или плоскость, которая делит линию пополам.

    Как найти середину прямой?

    Выполните следующие действия, чтобы найти среднюю точку без калькулятора .

    Пример:
    Найдите координаты средней точки линии, соединяющей (1, -3), (-5, 7).

    Шаг 1: Определите и запишите значения.

    x1 = 1, y1 = -3
    x2 = -5, y2 = 7

    Шаг 2: Примените формулу средней точки.

    (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2
    = ((1 + (-5)) / 2), (-3 +7) / 2
    = (-4/2 , 4/2)
    = -2, 2

    Помимо ручного метода поиска средней точки, искатель средней точки может упростить весь процесс, если вы торопитесь.

    Часто задаваемые вопросы

    Как найти среднюю точку между двумя местоположениями?

    Середину между двумя местоположениями можно найти с помощью следующего уравнения:

    M = (x 1 + x 2 ) / 2, (y 1 + y 2 ) / 2

    Поместите координаты обоих местоположений в уравнение, чтобы получить среднюю точку.

    Как найти конечную точку по средней?

    Конечная точка может быть рассчитана с помощью следующего уравнения:

    (x 2 , y 2 ) = (2m 1 — x 1 , 2m 2 — y 1 )

    Где, x 2 , y 2 — неизвестные конечные точки, м 1 , m 2 — средние точки, а x 1 , x 2 — заданные конечные точки.Более того, вы также можете найти конечную точку с помощью калькулятора конечных точек.

    Как найти среднюю точку в статистике?

    Средняя точка в статистике может быть рассчитана по следующей формуле:

    Средняя точка = (нижний предел класса + верхний предел класса) / 2

    Ссылки:

    1. Stapel, E. (2021). Формула средней точки | Purplemath.
    2. Формула средней точки | Аналитическая геометрия (статья) | Ханская академия.

    Координаты точки, компоненты вектора и середина отрезка

    Координаты точки на плоскости

    Давайте посмотрим, как векторы используются для присвоения координат точкам на плоскости.

    Мы рассматриваем фиксированную точку на плоскости $$ O $$ (известную как начало координат) и базис $$ B = \ {\ overrightarrow {u}, \ overrightarrow {v} \} $$ из $$ V_2 $$. (Космический вектор размерности $$ 2 $$).

    Напомним, что в основе $$ V_2 $$ лежат два линейно независимых вектора. Набор, образованный $$ O $$ и $$ B = \ {\ overrightarrow {u}, \ overrightarrow {v} \} $$, составляет систему отсчета на плоскости, поскольку позволяет нам определять положение любой другой точки на плоскости.

    Это потому, что любые другие точки $$ P $$ на плоскости определяют вместе с точкой $$ O $$ вектор $$ \ overrightarrow {OP} $$.Пусть $$ (p_1, p_2) $$ — компоненты вектора в базисе $$ B $$. Тогда $$ (p_1, p_2) $$ — координаты точки $$ P $$ в системе отсчета $$ R = \ {O; \ overrightarrow {u}, \ overrightarrow {v} \} $$ и запишем $$ P = (p_1, p_2) $$.

    Процедура определения координат точки $$ P $$ в заданной системе отсчета следующая:

    1. Из точек $$ O $$ и $$ P $$ определяем вектор $$ \ overrightarrow {OP} $$

    2. Мы выражаем вектор $$ \ overrightarrow {OP} $$ как линейную комбинацию векторов базиса $$ B = \ {\ overrightarrow {u}, \ overrightarrow {v} \} $$, то есть , $$ \ overrightarrow {OP} = p_1 \ cdot \ overrightarrow {u} + p_2 \ cdot \ overrightarrow {v} $$

    3. $$ P = (p_1, p_2) $$

    Экспресс-точка $$ P $$ чертежа в системе отсчета $$ R = \ {O; \ overrightarrow {u}, \ overrightarrow {v} \} $$.

    • Рисуем вектор $$ \ overrightarrow {OP} $$:
    • Выразим вектор $$ \ overrightarrow {OP} $$ как линейную комбинацию векторов базиса $$ B = \ {\ overrightarrow {u}, \ overrightarrow {v} \} $$:
    • Получаем $$ \ overrightarrow {OP} = \ overrightarrow {u} +2 \ overrightarrow {v} $$ и поэтому координаты точки $$ P $$ равны $$ P = (1, 2) $$

    С этого момента мы будем рассматривать в качестве системы отсчета $$ R $$ систему, образованную началом координат $$ O = (0, 0) $$ и каноническим базисом $$ V_2 $$ $$ B = \ {\ overrightarrow {i}, \ overrightarrow {j} \} $$.

    Составляющие вектора, определяемые двумя точками

    Давайте теперь посмотрим, как определить компоненты вектора, если мы знаем координаты его конечных точек:

    Пусть $$ P = (p_1, p_2) $$ и $$ Q = (q_1, q_2) $$ — две точки плоскости, а $$ \ overrightarrow {PQ} $$ вектор, идущий от $$ P От $$ до $$ Q $$. Тогда компоненты вектора $$ \ overrightarrow {PQ} $$ равны $$ \ overrightarrow {PQ} = (q_1-p_1, q_2-p_2) $$.

    Дано $$ P = (2, 6) $$ и $$ Q = (-3, 9) $$. Компоненты вектора $$ \ overrightarrow {PQ} $$: $$ \ overrightarrow {PQ} = (-3 — 2, 9 — 6) = (-5, 3) $$

    Применение вектора к точке

    Для данной точки $$ P $$ и вектора $$ \ overrightarrow {v} $$ результатом применения вектора к точке будет новая точка $$ Q $$, помещенная в направлении $$ \ overrightarrow { v} $$ и на расстоянии $$ | \ overrightarrow {v} | $$.(модуль вектора $$ \ overrightarrow {v} $$)

    Координаты этой новой точки $$ Q $$ вычисляются из координат $$ P = (p_1, p_2) $$ и $$ \ overrightarrow {v} = (v_1, v_2) $$, таким образом, $$$ Q = P + \ overrightarrow {v} = (p_1 + v_1, p_2 + v_2) $$$

    ПРИМЕЧАНИЕ. Очень важно помнить, что эта операция сложения имеет смысл только между точкой и вектором. Мы никогда не должны складывать две точки, и результатом сложения двух векторов будет другой вектор, а не точка!

    Рассматривая следующий рисунок, определите координаты точки $$ P $$ фигуры, результат применения вектора $$ \ overrightarrow {v} $$ к точке $$ A $$.

    Начнем с вычисления компонентов вектора $$ \ overrightarrow {v} $$: $$$ \ overrightarrow {v} = (2 — (-1), 4-2) = (3, 2) $$$
    Поскольку $$ P $$ является результатом применения вектора $$ \ overrightarrow {v} $$ к имеющейся у нас точке $$ A $$, $$$ P = A + \ overrightarrow {v} = (0,4) + (3,2) = (3,6) $$$

    Середина сегмента

    Рассмотрим теперь сегмент с конечными точками $$ A = (a_1, a_2) $$ и $$ B = (b_1, b_2) $$. Пусть $$ M = (m_1, m_2) $$ — середина указанного выше отрезка.Очевидно, что вышеупомянутый пункт удовлетворяет тому, что $$ \ overrightarrow {AB} = 2 \ cdot \ overrightarrow {AM} $$, или что $$ (b_1-a_1, b_2-a_2) = 2 \ cdot (m_1-a_1, m_2- а_2) $$

    Разделив компонент на компонент, получим:
    $$$ \ begin {array} {rcl} b_1-a_1 & = & 2 \ cdot (m_1-a_1) \\ b_2-a_2 & = & 2 \ cdot (m_2-a_2) \ end {array} $$$
    и изолируя мы имеем:
    $$$ \ begin {array} {rcl} m_1 & = & \ displaystyle \ frac {a_1 + b_1} {2} \\ m_2 & = & \ displaystyle \ frac {a_2 + b_2} {2} \ end {array} $$$
    Чтобы мы могли вычислить координаты средней точки сегмента по координатам его конечных точек.

    Рассматривая точки $$ A = (-3, 7) $$ и $$ B = (1, 2) $$, найдите среднюю точку отрезка, который они определяют.

    Применяя предыдущие формулы, получаем:
    $$$ \ begin {array} {rcl} m_1 & = & \ displaystyle \ frac {a_1 + b_1} {2} = \ frac {-3 + 2} {2} = — 1 \\ m_2 & = & \ displaystyle \ frac {a_2 + b_2} {2} = \ frac {7 + 2} {2} = \ frac {9} {2} \ end {array} $$$
    Следовательно, середина сегмента $$ AB $$ равна $$ M = (-1, \ displaystyle \ frac {9} {2}) $$

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.