Наибольшее значение функции как искать: Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Содержание

Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

На рисунках ниже показано, где функция может достигать наименьшего и наибольшего значения.
На левом рисунке наименьшее и наибольшее значения зафиксированы в точках локального минимума и максимума
функции. На правом рисунке — на концах отрезка.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [ab],
то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений. Это, как
уже говорилось, может произойти либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции,
непрерывной на отрезке [ab], нужно
вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее
и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции
f(x) на отрезке [ab].
Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [ab].

Критической точкой называется точка, в которой
функция определена, а её
производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических
точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и
на концах отрезка (f(a) и f(b)).
Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [ab].

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений
функции
.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2].

Решение. Находим производную данной функции .
Приравняем производную нулю ()
и получим две критические точки: и
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на
концах отрезка и в точке ,
так как точка не
принадлежит отрезку [-1, 2]. Эти значения функции — следующие: ,
,
. Из этого следует, что
наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка — в точке
, а наибольшее (тоже
красное на графике), равно 9,
— в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком
(а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок),
то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая
на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет
наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо
следующее свойство непрерывных функций.

Если функция непрерывна в промежутке и имеет единственный экстремум, то он
является наименьшим значением в случае минимума и наибольшим — в случае максимума.

Как наименьшее значение функции, так и её наибольшее значение, могут быть найдены
не только в одной точке, принадлежащей заданного интервала, а, как, например, далее — в двух.

Нередки случаи, когда уравнение, полученное от приравнивания производной функции нулю,
не имеет действительных решений. Тогда наименьшее и наибольшее значения функции можно найти только
на концах отрезка. Таков следующий пример.

Неплохо было бы взять и случаи, когда производная функции вычисляется не одним махом,
как в предыдущих примерах. Это мы сейчас и сделаем, решив пример, где требуется найти
производную частного.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции
не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция —
многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами,
поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных).
Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений
функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют
не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении
прикладных задач возникает дополнительная трудность — составление функций, описывающих рассматриваемое
явление или процесс.

Пример 10. Резервуар ёмкостью 4 ,
имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы
должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x — сторона основания, h — высота резервуара,
S — площадь его поверхности без крышки, V — его объём. Площадь поверхности резервуара
выражается формулой ,
т.е. является функцией двух переменных .
Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что ,
откуда . Подставив
найденное выражение h в формулу для S:

или

.

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в
]0, +∞[, причём

.

Приравниваем производную нулю ()
и находим критическую точку . Кроме того,
при производная не
существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума.
Итак, — единственная
критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём
вторую производную .
При вторая производная
больше нуля (). Значит, при
функция достигает
минимума . Поскольку
этот минимум — единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением. Итак,
сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 11. Из пункта A, находящегося на линии железной
дороги, в пункт С, отстоящий от неё на расстоянии l, должны переправляться грузы.
Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна ,
а по шоссе она равна . К
какой точке М линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из
А в С была наиболее экономичной (участок АВ железной дороги предполагается
прямолинейным)?

Пусть ,
,
(см. рисунок ниже).

Тогда ,
,
. Стоимость провоза
p единиц груза по шоссе СМ составит ,
а по железной дороге МА она составит .
Общая стоимость провоза груза по пути СМА выражается функцией

,

где .

Нужно найти наименьшее значение этой функции. Она дифференцируема при всех значениях
x, причём

.

Приравняв производную нулю, получим иррациональное уравнение ,
решение которого даёт единственную критическую точку
(так как точка не
входит в область определения функции).

Взяв контрольные точки и
слева и справа от
критической точки, убедимся, что производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при
стоимость провоза груза
из А и С является наименьшей, если .
Если же , т. е.
, то шоссе должно пройти
по прямой АС (см. рисунок ниже).

Весь блок «Производная»

Наибольшее и наименьшее значение функции | ЕГЭ по математике (профильной)

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

  1. Найти производную функции $f'(х)$
  2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
  3. Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
  4. Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
  5. Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

  1. Найти производную функции $f'(х)$
  2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
  3. Разложить производную функции на множители.
  4. Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
  5. Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Функция Производная
$c$ $0$
$x$ $1$
$x^n, n∈N$ $nx^{n-1}, n∈N$
${1}/{x}$ $-{1}/{x^2}$
${1}/x{^n}, n∈N$ $-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$
$√^n{x}, n∈N$ ${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$
$sinx$ $cosx$
$cosx$ $-sinx$
$tgx$ ${1}/{cos^2x}$
$ctgx$ $-{1}/{sin^2x}$
$cos^2x$ $-sin2x$
$sin^2x$ $sin2x$
$e^x$ $e^x$
$a^x$ $a^xlna$
$lnx$ ${1}/{x}$
$log_{a}x$ ${1}/{xlna}$

Основные правила дифференцирования

1. 2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

Пример:

$f(x)= cos(5x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= — sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Пример:

Найдите точку минимума функции $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

Решение:

1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$

2. Найдем производную функции $y’=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$

3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю

${2x+21}/{x+11}=0$

Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

$2x+21=0; x≠-11$

$2х=-21$

$х=-10,5$

4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.

$y'(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$

5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ — это точка минимума. 3-5=6-90-5= -89$

Наибольшее значение равно $967$

Ответ: $967$

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму:

1. Находим ОДЗ функции.

2. Находим  производную функции

3. Приравниваем производную  к нулю

4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак,  и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции , то функция возрастает на этом  промежутке.

Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.

5. Находим точки максимума и минимума функции.

В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-«.

В точке минимума функции производная меняет знак с «-» на «+».

6. Находим значение функции в концах отрезка,

  • затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
  • или   сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:

В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.

1. Рассмотрим функцию на отрезке

Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: , а наименьшее — в левом: .

2. Рассмотрим функцию на отрезке

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума , а наименьшее — в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения и и выбрать из них наименьшее.

3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке , то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть  и .

Чтобы найти наименьшее значение функции,  нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума  и в левом конце отрезка, то есть  и .

Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:

1. ОДЗ функции  — множество действительных чисел.

2. 

3. , если  или

Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание — убывание, можно схематично изобразить ее график:

 

Рассмотрим несколько примеров решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике

1. Задание B15 (№ 26695)

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке .

1. Функция определена при всех действительных значениях х

2.

3. 

Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция  возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

y(0)=5

Ответ: 5.

2. Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке [].

1. ОДЗ функции  

2. 

Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:

, следовательно, , значит, , то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция  возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

у(0)=5

Ответ: 5.

3.  Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции   на отрезке [].

1.  ОДЗ функции :

2. 

3.

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Промежутку  принадлежат два числа:  и 

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки  и  производная меняет знак.

Изобразим смену знаков производной функции  на координатной прямой:

Очевидно, что точка  является точкой минимума ( в ней производная меняет знак с «-» на «+»), и чтобы найти наименьшее значение функции  на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .

Схитрим: так как результат должен быть целым числом, или конечной десятичной дробью, а  таковым на является, следовательно подставим в уравнение функции 

Ответ: -1

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Онлайн калькулятор поможет найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Наибольшее значение функции y=f(x) – это значение maxx∈X y=f(x0), которое при любом значении x∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(x)≤f(x0).
Наименьшее значение функции y=f(x) – это значение minx∈X y=f(x0), которое при любом значении x∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(x)≥f(x0).

Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции f(x) на промежутке a,b достигаются в критических точках, то есть в точках в которых производная функции равна нулю f′(x)=0, бесконечности f′(x)=±∞, не существует, либо на концах отрезка a,b.

Синтаксис
основных функций:

xa: x^a
|x|: abs(x)
√x: Sqrt[x]
n√x: x^(1/n)
ax: a^x
logax: Log[a, x]
ln x: Log[x]
cos x: cos[x] или Cos[x]

sin x: sin[x] или Sin[x]
tg: tan[x] или Tan[x]
ctg: cot[x] или Cot[x]
sec x: sec[x] или Sec[x]
cosec x: csc[x] или Csc[x]
arccos x: ArcCos[x]
arcsin x: ArcSin[x]
arctg x: ArcTan[x]
arcctg x: ArcCot[x]
arcsec x: ArcSec[x]

arccosec x: ArcCsc[x]
ch x: cosh[x] или Cosh[x]
sh x: sinh[x] или Sinh[x]
th x: tanh[x] или Tanh[x]
cth x: coth[x] или Coth[x]
sech x: sech[x] или Sech[x]
cosech x: csch[x] или Csch[е]
areach x: ArcCosh[x]
areash x: ArcSinh[x]
areath x: ArcTanh[x]

areacth x: ArcCoth[x]
areasech x: ArcSech[x]
areacosech x: ArcCsch[x]
конъюнкция «И» ∧: &&
дизъюнкция «ИЛИ» ∨: ||
отрицание «НЕ» ¬: !
импликация =>
число π pi : Pi
число e: E
бесконечность ∞: Infinity, inf или oo

Смотрите также

Исследование графика функции.

Минимум и максимум

На рисунке изображен график функции . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

  • область определения функции
  • область значений функции
  • нули функции
  • промежутки возрастания и убывания
  • точки максимума и минимума
  • наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат — вертикальная ось, или ось .

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .

На нашем рисунке область определения функции  — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок  — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества  можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению  соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке  — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке  — точка минимума.

Точка  — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и  на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это  и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны  и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно  и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Урок на тему «Наибольшее и наименьшее значение функции»

Урок на тему «Наибольшее и наименьшее значение функции»

Цели урока.

Образовательные: дать определение наибольшего и наименьшего значений, выявить, в каких точках области определения функция может иметь наибольшее и наименьшее значение, составить алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений.

Развивающие: совершенствование умений по применению приемов мышления, овладение содержанием и структурой поисковой работы.

Воспитательные: умение высказывать и аргументировать свою точку зрения, воспитывать работу в команде.

Структура урока.

I. Актуализация знаний.

Мобилизующее начало

Фронтальный опрос по теме «Исследование функции на монотонность и экстремумы» с целью актуализации знаний

Самостоятельная работа по теме «Исследование функции на монотонность и экстремумы» с целью проверки усвоения темы

Беседа с целью мотивации изучения новой темы, постановка цели и задач урока

II. Формирование новых знаний и способов действия.

Фронтальная исследовательская работа поискового характера с целью определения, при каком значении аргумента функция может принимать наибольшее или наименьшее значение

Обсуждение результатов исследовательской работы и их обобщение с целью определения того, как аналитическими средствами можно найти точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение.

Беседа с целью составления алгоритма для отыскания наибольшего и наименьшего значений

III. Применение знаний, умений и навыков.

Решение задач с целью усвоения алгоритма на материализованном уровне

Подведение итогов урока, постановка домашнего задания

Ход урока.

I. Актуализация знаний.

Мобилизующее начало(1 мин.)

Фронтальный опрос по теме «Исследование функции на монотонность и экстремумы» с целью актуализации знаний

Здравствуйте.

Давайте с вами вспомним, что мы изучали на протяжении последних уроков? (Экстремумы функции) Какие точки мы назвали точками максимума, минимума? (точкой максимума называется такая точка, в которой функция принимает наибольшее значение в окрестности этой точки. Точкой минимума называется такая точка, в которой функция принимает наименьшее значение в окрестности этой точки).

И конечно же давайте вспомним алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

      1. Найти производную функции f`(x)

        Найти стационарные и критические точки: f`(x)=0, f`(x) – не существует.

        Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках

        Записать точки экстремума, опираясь на следующее правило: при переходе через критическую(стационарную) точку производная меняет знак с плюса на минус – точка максимума, производная меняет знак с минуса на плюс – точка минимума.

    Самостоятельная работа по теме «Исследование функции на монотонность и экстремумы» с целью проверки усвоения темы

    Чтобы проверить, как хорошо вы усвоили данную тему, напишем небольшую самостоятельную работу, в которой требуется исследовать функцию на монотонность и экстремумы, а также по графику производной функции определить промежутки возрастания (убывания) и указать точки экстремума.

    Самостоятельная работа.

    1 вариант

    1.Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:

    2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-∞;+ ∞). Укажите точки максимума функции, а также промежутки убывания функции.

    2 вариант

    1.Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:

    2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-∞;+ ∞). Укажите точки минимума функции, а также промежутки возрастания функции.

    Беседа с целью мотивации изучения новой темы, постановка цели и задач урока

    Ребята, посмотрите на график и назовите наибольшее и наименьшее значение функции. ( наибольшее значение = 7, наименьшее значение = -3)

    Все правильно. Как видите, определить наибольшее и наименьшее значение функции по ее графику нам не составило труда. Но нам может быть не дан график, а дано аналитическое задание функции, график которой нам будет сложно построить. Нам снова совершенно необходимо найти способ определения наиб. и наим. значения функции не строя график.

    Для того, чтобы выяснить, в каких точках области определения функция может принимать наибольшее и наименьшее значение, воспользуемся тем, что мы умеем это делать по графику функции.

    Для этого рассмотрим следующие графики:

    — Посмотрите на первый график и скажите, в каких точках функция принимает свое наибольшее и наименьшее значение?(наибольшее в точке с, а наименьшее в точке b)

    — А чем являются эти точки?(точка с – точка максимума функции, точка b – точка минимума функции)

    — Посмотрите на второй график и скажите, в каких точках функция принимает свое наибольшее и наименьшее значение?(наибольшее в точке d, а наименьшее в точке а)

    — А чем являются эти точки?(эти точки – концы области определения функции)

    — Посмотрите на третий график и скажите, в каких точках функция принимает свое наибольшее и наименьшее значение?(наибольшее в точке b, а наименьшее в точке а)

    — А чем являются эти точки?(точка b – это точка максимума функции, точка а – граница области определения функции)

    — Всё верно. Мы рассмотрели различные примеры функций, заданных графически. Давайте сделаем вывод, в каких точках области определения функция может иметь наибольшее и наименьшее значения. ( в точках экстремума или на концах отрезка, являющимся областью определения функции)

    — Как вы думаете, как аналитическими средствами можно найти наибольшее или наименьшее значение функции, опираясь на тот вывод, который мы сделали?(найти значение функции в точках экстремума и на концах отрезка, являющимся областью определения функции)

    — Достаточно ли нам знаний, чтобы это сделать?(да, найти значение функции в точке экстремума – значит найти экстремум функции, а это мы уже умеем делать по алгоритму)

    — А что значит найти значение функции на концах отрезка, являющимся областью определения функции? (для этого нужно подставить граничные значения области определения в функцию)

    — Да, верно! Мы нашли значения функции в точках экстремума и на концах промежутка, как теперь найти наибольшее или наименьшее значение функции? (все полученные значения нужно сравнить: большее число – это будет наибольшее значение функции, меньшее число – наименьшее значение функции)

    — Вы правильно рассуждали, давайте теперь составим алгоритм для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции:

    Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения функции:

     

    Найти критические (и стационарные) точки функции на области определения функции.

    Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка, являющимся областью определения функции

    Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее, если они существуют

      Елена Игоревна, мы специально рассмотрели случай, когда обл. опр-я ф-ции отрезок, а случай с интервалом рассмотрим на примере специально подобранной задачи.

      Решение задач с целью усвоения алгоритма на материализованном уровне.

      — Теперь применим этот алгоритм при решении задач. Он перед вами, поэтому при решении задач проговариваем каждый пункт и выполняем четко его шаги.

      Задание:

      Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [0,2]

      Решение:

      Если останется время, то решаем аналогичные задания.

      Подведение итогов урока, постановка домашнего задания

      – Сегодня на уроке мы с вами научились находить наибольшее и наименьшее значения функции, составили алгоритм для их отыскания.

      Давайте его ещё раз повторим:

      1. Найти критические (и стационарные) точки функции на области определения функции.

      2.Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка, являющимся областью определения функции

      3.Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее, если они существуют

      Домашнее задание аналогично тому, что решали на уроке.

      Наибольшее и наименьшее значение функции. Алгебра

      Дата публикации: .

      Что будем изучать:

      1. Нахождение наибольшего и наименьшего значения по графику функции.
      2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения с помощью производной.
      3. Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции y=f(x) на отрезке [a;b].
      4. Наибольшее и наименьшее значение функции на незамкнутом интервале.
      5. Примеры.

      Нахождение наибольшего и наименьшего значения по графику функции

      Ребята, мы с вами находили наибольшее и наименьшее значения функции и раньше. Мы смотрели на график функции и делали вывод, где функция достигает наибольшего значения, а где — наименьшего.
      Давайте повторим:

      По графику нашей функции видно, что наибольшее значение достигается в точке x= 1, оно равно 2. Наименьшее значение достигается в точке x= -1, и оно равно -2. Данным способом довольно просто находить наибольшие и наименьшие значения, но не всегда существует возможность построить график функции.

      Нахождение наибольшего и наименьшего значения с помощью производной

      Ребята, а как вы думаете, как с помощью производной можно найти наибольшее и наименьшее значение?

      Ответ можно найти в теме экстремумы функции. Там мы с вами находили точки максимума и минимума, не правда ли термины похожи. Однако, путать наибольшее и наименьшее значение с максимум и минимум функции нельзя, это разные понятия.

      Итак, давайте введем правила:
      а) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке.
      б) Наибольшего и наименьшего значения функция может достигать как на концах отрезках, так и внутри него.
      Давайте рассмотрим этот пункт подробнее.

      На рисунке а функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезках [a;b].
      На рисунке б функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения внутри отрезка [a;b].
      На рисунке в точка минимума находится внутри отрезка, а точка максимума — на конце отрезка, в точке b.
      в) Если наибольшее и наименьшее значение достигается внутри отрезка, то только в стационарных или критических точках.

      Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции y= f(x) на отрезке [a;b]

      • Найти производную f'(x).
      • Найти стационарные и критические точки внутри отрезка [a;b].
      • Вычислить значение функции в стационарных и критических точках, а так же в f(a) и f(b). Выбрать наименьшее и наибольшее значения, это и будут точки наименьшего и наибольшего значения функции.3}{3}$ + 2x2 + 4x — 5 на отрезке
        а) [-9;-1], б) [-3;3], в) [3;9].
        Решение: Найдем производную: y’= x2 + 4x + 4.
        Производная существует на всей области определения, тогда нам надо найти стационарные точке.
        y’= 0, при x= -2.
        Дальнейшие расчеты проведем для требуемых отрезков.
        а) Найдем значения функции на концах отрезка и в стационарной точки.
        Тогда yнаим.= -122, при x= -9; yнаиб.= y = -7$\frac{1}{3}$, при x= -1.
        б) Найдем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке.

        Наибольшее и наименьшее значение достигается на концах отрезка.
        Тогда yнаим.= -8, при x= -3, yнаиб.= 34, при x= 3.
        в) Стационарная точка не попадает на наш отрезок, найдем значения на концах отрезка.

        Тогда yнаим.= 34, при x= 3, yнаиб.= 436, при x= 9.

        Пример

        Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x2 — 3x + 5 + |1-x| на отрезке [0;4].
        Решение: Раскроем модуль и преобразуем нашу функцию:
        y= x2 — 3x + 5 + 1 — x, при x ≤ 1.2 + 3}$= $\frac{3√3}{6}$= $\frac{√3}{2}$.

        Ответ: yнаиб.= $\frac{√3}{2}$.

        Задачи для самостоятельного решения

        а) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x4 — 3x3 + 2x2 — 9x + 1
        на отрезке а) [-3;1], б) [2;5], в) [-4;7].
        б) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x2 — 6x + 8 + |x — 2| на отрезке [-1;5].
        в) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= $-2x-\frac{1}{2x}$ на луче (0;+∞).

        Excel MAX функция — примеры формул для поиска максимального значения

        В руководстве объясняется функция MAX с множеством примеров формул, которые показывают, как найти наибольшее значение в Excel и выделить наибольшее число на листе.

        MAX — одна из самых простых и простых в использовании функций Excel. Тем не менее, у него есть несколько хитростей, которые дадут вам большое преимущество. Скажите, как вы используете функцию MAX с условиями? Или как бы вы извлекли абсолютное наибольшее значение? В этом руководстве представлено несколько решений для этих и других связанных задач.

        Функция Excel MAX

        Функция МАКС в Excel возвращает максимальное значение в указанном вами наборе данных.

        Синтаксис следующий:

        МАКС (число1, [число2],…)

        Где число может быть представлено числовым значением, массивом, именованным диапазоном, ссылкой на ячейку или диапазон, содержащий числа.

        Число1 является обязательным, Число2 и последующие аргументы необязательны.

        Функция MAX доступна во всех версиях Excel для Office 365, Excel 2019, Excel 2016, Excel 2013, Excel 2010, Excel 2007 и ниже.

        Как составить формулу МАКС в Excel

        Чтобы создать простейшую формулу MAX, вы можете ввести числа прямо в список аргументов, например:

        = МАКС (1, 2, 3)

        На практике это довольно редкий случай, когда числа «жестко запрограммированы». По большей части вы будете иметь дело с диапазонами и ячейками.

        Самый быстрый способ построить формулу Max, которая находит максимальное значение в диапазоне, — это:

        1. В ячейке введите = MAX (
        2. Выберите диапазон чисел с помощью мыши.
        3. Введите закрывающую круглую скобку.
        4. Нажмите клавишу Enter, чтобы завершить формулу.

        Например, чтобы вычислить наибольшее значение в диапазоне A1: A6, формула будет выглядеть следующим образом:

        = МАКС (A1: A6)

        Если ваши числа находятся в непрерывной строке или столбце (как в этом примере), вы можете заставить Excel автоматически составить формулу Max. Вот как:

        1. Выделите ячейки со своими числами.
        2. На вкладке Home в группе Formats щелкните AutoSum и выберите Max из раскрывающегося списка. (Или щелкните AutoSum > Max на вкладке Formulas в группе Function Library. )

        Это вставит готовую формулу в ячейку под выбранным диапазоном, поэтому убедитесь, что есть хотя бы одна пустая ячейка под списком выбранных чисел:

        5 фактов о функции MAX

        Чтобы успешно использовать формулы Max в ваших таблицах, запомните следующие простые факты:

        1. В текущих версиях Excel формула MAX может принимать до 255 аргументов.
        2. Если аргументы не содержат единственного числа, функция МАКС возвращает ноль.
        3. Если аргументы содержат одно или несколько значений ошибки, возвращается ошибка.
        4. Пустые ячейки игнорируются.
        5. Обрабатываются логические значения и текстовые представления чисел, предоставленные непосредственно в списке аргументов (TRUE оценивается как 1, FALSE оценивается как 0). В ссылках логические и текстовые значения игнорируются.

        Как использовать функцию МАКС в Excel — примеры формул

        Ниже вы найдете несколько типичных вариантов использования функции Excel MAX.Во многих случаях существует несколько различных решений для одной и той же задачи, поэтому я рекомендую вам протестировать все формулы, чтобы выбрать наиболее подходящую для вашего типа данных.

        Как найти максимальное значение в группе

        Чтобы извлечь наибольшее число в группе чисел, передайте эту группу функции MAX в качестве ссылки на диапазон. Диапазон может содержать любое количество строк и столбцов. Например, чтобы получить максимальное значение в диапазоне C2: E7, используйте эту простую формулу:

        = МАКС (C2: E7)

        Найти максимальное значение в несмежных ячейках или диапазонах

        Чтобы создать формулу MAX для несмежных ячеек и диапазонов, необходимо включить ссылку на каждую отдельную ячейку и / или диапазон.Следующие шаги помогут вам сделать это быстро и безупречно:

        1. Начните вводить формулу Max в ячейку.
        2. После того, как вы ввели открывающую скобку, удерживая клавишу Ctrl, выберите ячейки и диапазоны на листе.
        3. После выбора последнего элемента отпустите Ctrl и введите закрывающую скобку.
        4. Нажмите Enter.

        Excel будет использовать соответствующий синтаксис автоматически, и вы получите формулу, подобную этой:

        = МАКС (C5: E5, C9: E9)

        Как показано на снимке экрана ниже, формула возвращает максимальное значение промежуточной суммы из строк 5 и 9:

        Как получить максимальную (последнюю) дату в Excel

        Во внутренней системе Excel даты — это не что иное, как серийные номера, поэтому функция MAX обрабатывает их без проблем.

        Например, чтобы найти последнюю дату доставки в C2: C7, составьте обычную формулу Max, которую вы использовали бы для чисел:

        = МАКС (C2: C7)

        МАКС. Функция в Excel с условиями

        Если вы хотите получить максимальное значение на основе условий, вы можете выбрать из нескольких формул. Чтобы убедиться, что все формулы возвращают одинаковый результат, мы протестируем их на одном и том же наборе данных.

        Задача : с помощью элементов, перечисленных в B2: B15, и показателей продаж в C2: C15, мы стремимся найти самую высокую продажу для определенного элемента, входящего в F1 (см. Снимок экрана в конце этого раздела).

        Формула Excel MAX IF

        Если вы ищете формулу, которая работает во всех версиях Excel 2000 — Excel 2019, используйте функцию ЕСЛИ для проверки условия, а затем передайте полученный массив в функцию MAX:

        = МАКС (ЕСЛИ (B2: B15 = F1, C2: C15))

        Чтобы формула работала, необходимо одновременно нажать Ctrl + Shift + Enter, чтобы ввести ее как формулу массива. Если все сделано правильно, Excel заключит вашу формулу в {фигурные скобки}, что является визуальным указанием на формулу массива.

        Также можно оценить несколько условий в одной формуле, и в следующем руководстве показано, как: MAX IF с несколькими условиями.

        Формула MAX IF без массива

        Если вам не нравится использовать формулы массива в своих листах, объедините MAX с функцией SUMPRODUCT, которая обрабатывает массивы изначально:

        = СУММПРОИЗВ (МАКС ((B2: B15 = F1) * (C2: C15)))

        Для получения дополнительной информации см. MAX IF без массива.

        Функция МАКСЕСЛИМН

        В Excel 2019 и Excel для Office 365 есть специальная функция MAXIFS, которая предназначена для поиска наивысшего значения по 126 критериям.

        В нашем случае есть только одно условие, поэтому формула очень проста:

        = MAXIFS (C2: C15, B2: B15, F1)

        Подробное описание синтаксиса см. В Excel MAXIFS с примерами формул.

        На скриншоте ниже показаны все 3 формулы в действии:

        Получить максимальное значение без учета нулей

        Фактически, это разновидность условного MAX, рассмотренного в предыдущем примере. Чтобы исключить нули, используйте логический оператор «не равно» и поместите выражение «<> 0» либо в критерий MAXIFS, либо в логический тест MAX IF.

        Как вы понимаете, проверка этого условия имеет смысл только в случае отрицательных чисел . Для положительных чисел эта проверка излишняя, потому что любое положительное число больше нуля.

        Чтобы попробовать, давайте найдем самую низкую скидку в диапазоне C2: C7. Поскольку все скидки представлены отрицательными числами, наименьшая скидка на самом деле является наибольшим значением.

        MAX IF

        Обязательно нажмите Ctrl + Shift + Enter, чтобы правильно заполнить эту формулу массива:

        = МАКС (ЕСЛИ (C2: C7 <> 0, C2: C7))

        MAXIFS

        Это обычная формула, и обычного нажатия клавиши Enter будет достаточно.

        = MAXIFS (C2: C7, C2: C7, «<> 0»)

        Найти максимальное значение, игнорируя ошибки

        Когда вы работаете с большим объемом данных, управляемых различными формулами, есть вероятность, что некоторые из ваших формул приведут к ошибкам, что приведет к тому, что формула MAX также вернет ошибку.

        В качестве временного решения можно использовать MAX IF вместе с ISERROR. Учитывая, что вы ищете в диапазоне A1: B5, формула принимает следующую форму:

        = МАКС (ЕСЛИ (ЕСТЬ ОШИБКА (A1: B5)), "", A1: B5))

        Чтобы упростить формулу, используйте функцию ЕСЛИ ОШИБКА вместо комбинации ЕСЛИ ЕСТЬ ОШИБКА.Это также сделает логику более очевидной — если есть ошибка в A1: B5, замените ее пустой строкой (»), а затем получите максимальное значение в диапазоне:

        = МАКС (ЕСЛИОШИБКА (A1: B5; ""))

        Ложка дегтя в том, что вам нужно не забывать нажимать Ctrl + Shift + Enter, потому что это работает только как формула массива.

        В Excel 2019 и Excel для Office 356 функция MAXIFS может быть решением при условии, что ваш набор данных содержит хотя бы одно положительное число или нулевое значение:

        = MAXIFS (A1: B5, A1: B5, "> = 0")

        Поскольку формула выполняет поиск наивысшего значения с условием «больше или равно 0», она не будет работать для набора данных, состоящего только из отрицательных чисел.

        Все эти ограничения не годятся, и мы, очевидно, нуждаемся в лучшем решении. Идеально подходит функция АГРЕГАТ, которая может выполнять ряд операций и игнорировать значения ошибок:

        = АГРЕГАТ (4, 6, A1: B5)

        Число 4 в 1-м аргументе указывает на функцию MAX, число 6 во 2-м аргументе — это параметр «игнорировать ошибки», а A1: B5 — ваш целевой диапазон.

        В идеальных условиях все три формулы возвращают один и тот же результат:

        Как найти абсолютное максимальное значение в Excel

        При работе с диапазоном положительных и отрицательных чисел иногда может потребоваться найти наибольшее абсолютное значение независимо от знака.

        Первая идея, которая приходит в голову, — получить абсолютные значения всех чисел в диапазоне с помощью функции ABS и передать их в MAX:

        .

        {= МАКС (ABS ( диапазон ))}

        Это формула массива, поэтому не забудьте подтвердить ее с помощью сочетания клавиш Ctrl + Shift + Enter. Еще одно предостережение: он работает только с числами и приводит к ошибке в случае нечисловых данных.

        Не нравится эта формула? Тогда давайте построим что-нибудь более жизнеспособное 🙂

        Что, если мы найдем минимальное значение, изменим или проигнорируем его знак, а затем вычислим вместе со всеми другими числами? Да, это отлично подойдет как обычная формула.В качестве дополнительного бонуса он отлично обрабатывает текстовые записи и ошибки:

        С исходными номерами в A1: B5 формулы выглядят следующим образом.

        Формула массива (заполняется с помощью Ctrl + Shift + Enter):

        = МАКС (АБС (A1: B5))

        Обычная формула (заполняется клавишей Enter):

        = МАКС (МАКС (A1: B5), -МИН (A1: B5))

        или

        = МАКС (МАКС (A1: B5), ABS (МИН (A1: B5)))

        На скриншоте ниже показаны результаты:

        Вернуть максимальное абсолютное значение с сохранением знака

        В некоторых ситуациях может потребоваться найти наибольшее абсолютное значение, но вернуть число с исходным знаком, а не абсолютное значение.

        Предполагая, что числа находятся в ячейках A1: B5, вот формула для использования:

        = ЕСЛИ (ABS (MAX (A1: B5))> ABS (MIN (A1: B5)), MAX (A1: B5), MIN (A1: B5))

        Сложный на первый взгляд, логика довольно проста. Сначала вы находите наибольшее и наименьшее числа в диапазоне и сравниваете их абсолютные значения. Если абсолютное максимальное значение больше абсолютного минимального значения, возвращается максимальное число, иначе — минимальное число. Поскольку формула возвращает исходное, а не абсолютное значение, она сохраняет информацию о знаке:

        Как выделить максимальное значение в Excel

        В ситуации, когда вы хотите определить наибольшее число в исходном наборе данных, самый быстрый способ — выделить его с помощью условного форматирования Excel.Приведенные ниже примеры проведут вас через два разных сценария.

        Выделить наибольшее число в диапазоне

        В

        Microsoft Excel есть предопределенное правило для форматирования значений с наивысшим рейтингом, которое идеально соответствует нашим потребностям. Вот шаги, чтобы применить его:

        1. Выберите диапазон чисел (в нашем случае C2: C7).
        2. На вкладке Домашняя страница в группе Стили щелкните Условное форматирование> Новое правило .
        3. В диалоговом окне Новое правило форматирования выберите Форматировать только значения с верхним или нижним рангом .
        4. На нижней панели выберите Top из раскрывающегося списка и введите 1 в поле рядом с ним (это означает, что вы хотите выделить только одну ячейку, содержащую наибольшее значение).
        5. Нажмите кнопку Формат и выберите нужный формат.
        6. Дважды щелкните OK, чтобы закрыть оба окна.

        Готово! Автоматически выделяется самое высокое значение в выбранном диапазоне. Если существует более одного максимального значения (дубликаты), Excel выделит их все:

        Выделить максимальное значение в каждой строке

        Поскольку не существует встроенного правила, позволяющего выделить наибольшее значение из каждой строки, вам придется настроить собственное на основе формулы MAX.Вот как:

        1. Выберите все строки, в которых вы хотите выделить максимальные значения (C2: C7 в этом примере).
        2. На вкладке Домашняя страница в группе Стили щелкните Новое правило > Используйте формулу, чтобы определить, какие ячейки следует форматировать .
        3. В поле «Значения формата , где эта формула верна» введите следующую формулу:

          = C2 = MAX ($ C2: $ E2)

          Где C2 — крайняя левая ячейка, а $ C2: $ E2 — диапазон первой строки.Чтобы правило работало, не забудьте зафиксировать координаты столбца в диапазоне со знаком $.

        4. Нажмите кнопку Формат и выберите нужный формат.
        5. Дважды нажмите «ОК».

        Наконечник. Аналогичным образом можно выделить максимальное значение в в каждом столбце . Шаги точно такие же, за исключением того, что вы пишете формулу для диапазона первого столбца и фиксируете координаты строки: = C2 = MAX (C $ 2: C $ 7)

        Для получения дополнительной информации см. Как создать правило условного форматирования на основе формул.

        Функция Excel MAX не работает

        MAX — одна из самых простых в использовании функций Excel. Если вопреки всем ожиданиям это не сработает, это, скорее всего, одна из следующих проблем.

        Формула

        MAX возвращает ноль

        Если обычная формула MAX возвращает 0, даже если в указанном диапазоне есть более высокие числа, скорее всего, эти числа отформатированы как текст. Это особенно актуально, когда вы запускаете функцию MAX для данных, управляемых другими формулами.Вы можете проверить это с помощью функции ЕЧИСЛО, например:

        = НОМЕР (A1)

        Если приведенная выше формула возвращает ЛОЖЬ, значение в A1 не является числовым. Это означает, что вы должны устранять неполадки с исходными данными, а не с формулой MAX.

        Формула

        MAX возвращает # Н / Д, # ЗНАЧЕНИЕ или другую ошибку

        Внимательно проверьте указанные ячейки. Если какая-либо из указанных ячеек содержит ошибку, формула MAX приведет к той же ошибке. Чтобы обойти это, посмотрите, как получить максимальное значение, игнорируя все ошибки.

        Вот как найти максимальное значение в Excel. Благодарю вас за чтение и надеюсь скоро увидеть вас в нашем блоге!

        Доступных загрузок:

        Образец книги Excel MAX

        Вас также может заинтересовать

        Найдите максимальную ценность функции: практика и обзор — видео и стенограмма урока

        Как определить максимальное значение

        Есть три метода определения максимального значения квадратного уравнения. Каждый из них можно использовать в своей уникальной настройке для определения максимума.

        Первый способ — это построение графика . Вы можете найти максимальное значение визуально, построив уравнение и найдя максимальную точку на графике. Это особенно просто, когда у вас есть графический калькулятор, который сделает всю работу за вас. Опять же, используя этот график, вы можете видеть, что максимальная точка графика находится в точке y = 5.

        Второй способ определить максимальное значение — использовать уравнение y = ax 2 + bx + с .

        Если ваше уравнение имеет вид ax 2 + bx + c , вы можете найти максимум, используя уравнение:

        max = c — ( b 2/4 a ).

        Первый шаг — определить, дает ли ваше уравнение максимум или минимум. Это можно сделать, посмотрев на член x 2. Если этот член положительный, точка вершины будет минимальной. Если он отрицательный, вершина будет максимальной.

        Определив, что у вас действительно будет точка максимума, используйте уравнение, чтобы найти ее.Например, давайте найдем максимальную точку:

        -x 2 + 4 x — 2.

        Поскольку член с x 2 отрицательный, вы знаете, что будет максимальная точка. Чтобы найти его, подставьте значения в уравнение:

        max = c — ( b 2/4 a )

        Это даст нам:

        max = -2 — (42/4 * ( -1))

        4 в квадрате равно 16, а 4 умножить на -1 равно -4. 16 разделить на -4 равно -4. И, -2 минус -4 становится -2 плюс 4, потому что два отрицательных значения становятся положительными, поэтому мы получаем максимальное значение 2.

        Есть еще один способ определить максимальное значение функции, и это из уравнения:

        y = a ( x h ) 2 + k

        As в последнем уравнении член a в этом уравнении должен быть отрицательным, чтобы был максимум. Если член a отрицателен, максимум может быть найден при k . Никаких уравнений или вычислений не требуется — ответ — всего k .

        Например, давайте найдем максимум уравнения:

        -3 ( x — 5) 2-7

        Поскольку член a равен -3, максимум будет -7.

        Примеры из реального мира

        Теперь давайте рассмотрим несколько примеров того, как эта информация может быть полезна в реальном мире.

        Допустим, у вас есть 250 футов ограды и большое поле. Вы хотите построить прямоугольную игровую площадку. Какова максимальная площадь вашей детской площадки? Используйте уравнение:

        y = — x 2 + 125 x

        Поскольку член отрицательный, мы знаем, что для этого квадратного уравнения будет максимум.Чтобы найти этот максимум, который является максимальной площадью, мы можем использовать уравнение:

        max = c — ( b 2/4 a )

        Подставляя наши числа, мы получаем max = 0 — ( (1252) / (4 * -1)), или max = -15625 / -4, что становится max = 3906 футов2. И это будет максимальная площадь нашей игровой площадки с 250-футовым ограждением.

        Давайте посмотрим на еще один. Высота h в футах, на которой объект находится над землей, определяется уравнением: h = -16 t 2 + 64 t + 190, где t — время в секундах.Какая максимальная высота объекта?

        Используя уравнение max = c — ( b 2/4 a ), мы можем найти максимальную высоту.

        Сначала мы подставляем наши числа, чтобы получить max = 190 — ((642) / (4 * -16))

        Затем возводим в квадрат 64 и умножаем знаменатель, чтобы получить max = 190 — (4096 / (-64)) , которое мы можем упростить до max = 190 + 64 или max = 254 фута.

        Сводка урока

        Максимальное значение функции — это место, где функция достигает своей наивысшей точки или вершины на графике.Если ваше квадратное уравнение имеет отрицательное значение или , оно также будет иметь максимальное значение. Есть три способа найти этот максимум, в зависимости от того, какая у вас форма квадратичной. Если у вас есть график или вы можете нарисовать график, максимум — это просто значение y в вершине графика. Если вы не можете нарисовать график, есть формулы, которые вы можете использовать, чтобы найти максимум. Если дана формула y = ax 2 + bx + c , то максимальное значение можно найти по формуле max = c — ( b 2/4 a ).Если у вас есть уравнение y = a ( x h ) 2 + k и член a отрицательный, то максимальное значение будет k .

        Как найти максимальные значения

        Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
        или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
        то
        информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
        ан
        Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
        средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

        Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
        в виде
        ChillingEffects.org.

        Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
        искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
        на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

        Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

        Вы должны включить следующее:

        Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
        Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
        Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
        достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
        а
        ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
        к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
        Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
        Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
        ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
        информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
        либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

        Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

        Чарльз Кон
        Varsity Tutors LLC
        101 S. Hanley Rd, Suite 300
        St. Louis, MO 63105

        Или заполните форму ниже:

        Получить информацию, соответствующую максимальному значению

        В Excel есть несколько очень эффективных способов найти максимальное значение в списке или диапазоне. Мы также можем легко найти соответствующие значения наибольшей ценности.Мы можем комбинировать функции ИНДЕКС, ПОИСКПОЗ и МАКС, чтобы извлечь соответствующие значения. В этом руководстве мы узнаем, как получить информацию, соответствующую максимальному значению в Excel.

        Рисунок 1. Пример получения информации, соответствующей максимальному значению

        Общая формула

        = ИНДЕКС (Диапазон1, ПОИСКПОЗ (МАКС. (Диапазон2), Диапазон2,0)

        Как работает формула

        Во-первых, функция MAX получает максимальное значение из Range2.Мы передаем это значение функции ПОИСКПОЗ в качестве первого аргумента, который является значением lookup_value. Здесь lookup_array также является Range2. Для параметра match_type установлено значение 0, что соответствует точному совпадению.

        Функция ПОИСКПОЗ возвращает относительное положение максимального значения в диапазоне2. Мы передаем это значение функции ИНДЕКС в качестве второго аргумента. Это row_number. Диапазон равен Range1, который является массивом lookup_array. Таким образом, функция ИНДЕКС возвращает значение в относительной позиции в диапазоне Range1.Это основано на максимальном значении в Range2.

        Настройка данных

        В следующем примере используется набор данных микропроцессора. Названия процессоров указаны в столбце A. В столбцах B, C и D указана цена, количество ядер и срок гарантии.

        Рис. 2. Пример набора данных

        Для получения соответствующей информации до максимального значения:

        • Нам нужно выделить ячейку G3 .
        • Назначьте формулу = ИНДЕКС (A $ 2: A $ 6, MATCH (MAX ($ D $ 2: $ D $ 6), $ D $ 2: $ D $ 6,0)) ячейке G3.
        • Нажмите Введите .

        Рис. 3. Назначение формулы для получения соответствующих значений максимальному значению

        • Перетащите формулу, используя маркер заполнения в правом нижнем углу, чтобы скопировать формулу в ячейки ниже. Мы должны изменить ссылку lookup_array на соответствующие столбцы, чтобы получить соответствующий результат.
        • Чтобы получить позицию в ячейке G2, нам нужно присвоить формулу = MATCH (MAX ($ D $ 2: $ D $ 6), $ D $ 2: $ D $ 6,0) ячейке G2.

        Рис. 4. Получение положения максимального значения

        Будет найдено максимальное значение, которое составляет 598,97 долларов США, и отобразится соответствующая информация в столбце G.

        Банкноты

        • Если есть повторяющиеся значения, эта формула возвращает первое совпадение.
        • Если значения в Range2 не являются допустимыми числами, эта формула возвращает ошибку #VALUE .

        В большинстве случаев задача, которую вам нужно решить, будет более сложной, чем простое применение формулы или функции.Если вы хотите сэкономить часы на исследованиях и разочарованиях, попробуйте нашу живую службу Excelchat! Наши эксперты по Excel доступны круглосуточно и без выходных, чтобы ответить на любые ваши вопросы по Excel. Мы гарантируем подключение в течение 30 секунд и индивидуальное решение в течение 20 минут.

        Функция MAX

        — формула, примеры, как использовать MAX в Excel

        Что такое функция MAX?

        Функция MAX относится к категории Статистических функций Excel ФункцииСписок наиболее важных функций Excel для финансовых аналитиков.Эта шпаргалка охватывает 100 функций, которые критически важно знать аналитику Excel. MAX вернет наибольшее значение в заданном списке аргументов. Из заданного набора числовых значений он вернет наибольшее значение. В отличие от функции MAXA, функция MAX будет подсчитывать числа, но игнорировать пустые ячейки, текст, логические значения ИСТИНА и ЛОЖЬ и текстовые значения.

        В финансовом анализе MAX может быть полезен при вычислении наивысшего балла, самого быстрого времени, максимальной суммы расходов или доходов и т. Д.

        Формула

        = МАКС (число1, [число2],…)

        Число1 и число2 — аргументы, используемые для функции, где Число1 является обязательным, а последующие значения — по желанию.

        В MS Excel 2007 и более поздних версиях мы можем предоставить до 255 числовых аргументов функции MAX. Однако в Excel 2003 и более ранних версиях он может принимать не более 30 числовых аргументов.

        Аргументы могут быть предоставлены как константы, как ссылки на ячейки или диапазоны.Если аргумент предоставляется функции как ссылка на ячейку или массив ячеек, функция MAX будет игнорировать пустые ячейки и текстовые или логические значения, содержащиеся в указанном диапазоне ячеек. Однако логические значения и текстовые представления чисел, которые передаются непосредственно в функцию, будут включены в вычисление.

        Как использовать функцию MAX в Excel?

        В качестве функции рабочего листа функцию МАКС можно ввести как часть формулы в ячейку рабочего листа.Чтобы понять использование функции, давайте рассмотрим пример:

        Пример

        Рассчитаем самые высокие оценки по следующим данным:

        Используемая формула:

        Функция MAX проигнорировала пустое значение и вернула 100 в качестве результата.

        Как видно выше, MAX игнорирует пустые значения. В этом примере, если мы предоставим логическое значение, функция проигнорирует его и выдаст тот же результат, как показано ниже:

        Несколько вещей, которые следует помнить о функции MAX

        1. # ЗНАЧЕНИЕ! error — возникает, если какие-либо значения, передаваемые непосредственно в функцию MAX, не являются числовыми.
        2. Если аргументы не содержат чисел, MAX возвращает 0.
        3. Основное различие между MAX и MAXA состоит в том, что MAXA оценивает значения TRUE и FALSE как 1 и 0 соответственно. Следовательно, если мы хотим включить логические значения, нам нужно использовать функцию MAXA.

        Щелкните здесь, чтобы загрузить образец файла Excel

        Дополнительные ресурсы

        Спасибо, что прочитали руководство CFI по важным функциям Excel! Потратив время на изучение и освоение этих функций, вы значительно ускорите свое финансовое моделирование.Чтобы узнать больше, ознакомьтесь с этими дополнительными ресурсами CFI:

        • Функции Excel для FinanceExcel for Finance Это руководство по Excel для финансов научит 10 основных формул и функций, которые вы должны знать, чтобы стать отличным финансовым аналитиком в Excel. В этом руководстве есть примеры, скриншоты и пошаговые инструкции. В конце скачайте бесплатный шаблон Excel, который включает в себя все финансовые функции, описанные в руководстве.
        • Расширенный курс формул Excel
        • Расширенные формулы Excel, которые вы должны знать Расширенные формулы Excel, которые необходимо знатьЭти расширенные формулы Excel очень важно знать и потребуют вашего финансового анализа навыки на новый уровень.Расширенные функции Excel
        • Ярлыки Excel для ПК и MacExcel Ярлыки ПК MacExcel Ярлыки — Список наиболее важных и распространенных ярлыков MS Excel для пользователей ПК и Mac, специалистов в области финансов и бухгалтерского учета. Сочетания клавиш ускоряют ваши навыки моделирования и экономят время. Изучите редактирование, форматирование, навигацию, ленту, специальную вставку, манипулирование данными, редактирование формул и ячеек и другие краткие сведения

        python — определение того, какие входные данные дают наибольшее значение из функции оценки

        То, что вы ищете, это, вероятно, Оптимизация черного ящика или Оптимизация без производных .Формулировка задачи состоит в том, чтобы оптимизировать некоторую функцию, аналитическая форма которой вам неизвестна (черный ящик, вы можете оценивать только входные данные функции), и у вас нет (прямого) доступа к производным. Обратите внимание, что эти методы не гарантируют , а найти глобальный оптимум.

        Для этого есть несколько способов, самый простой из которых работает для чисел с плавающей запятой, как и в вашем примере с целыми числами. Вы определяете сетку с одинаковым интервалом, оцениваете функцию в каждой точке сетки и отслеживаете максимум.Однако, если вы не знаете границ функции или ваша функция является многомерной, этот метод плохо масштабируется и может не найти какой-либо «хороший» оптимум. Несколько лучший подход — определить неоднородную или случайную сетку точек, тогда это будет называться методом Монте-Карло , и он лучше масштабируется в больших измерениях. Более сложная версия, вдохновленная физикой, — Simulated Annealing. Однако проблема незнания границ остается.

        Более сложный подход — это алгоритмы Evolution Strategy , такие как CMA-ES.Вкратце, этот класс алгоритмов предлагает генерацию точек на каждом шаге итерации, выбор лучших из этих точек и предложение следующего поколения точек на основе выбранных. Часто это делается путем предложения функции вероятности (например, нормальной) и использования метода максимального правдоподобия с выбранными точками для оптимизации параметров этой функции. Преимущество здесь в том, что вам не нужно заранее определять или знать границы вашей функции.

        Третий способ оптимизации такой функции черного ящика — это Байесовская оптимизация , которая особенно полезна, если оценка функции обратного ящика является дорогостоящей или когда присутствует шум.Идея состоит в том, чтобы предложить предыдущую функцию для оптимизации, измерения в определенных точках (это важная часть) и обновить наше мнение о том, как выглядит реальная функция. Это делается итеративным способом, часто с использованием гауссовских процессов в качестве класса функций. Честно говоря, этот метод был бы излишним для вашего простого примера.

        Чтобы обратиться к вашему последнему пункту, касающемуся нейронных сетей: нейронные сети — это аппроксиматоры функций, то есть они могут представлять любую функцию, отображая из некоторого входного пространства в некоторое выходное пространство, входы и выходы уже заданы (данные и метки).НС параметризованы и имеют функцию потерь, аналитическая форма которой известна (например, среднеквадратическая ошибка, кросс-энтропия и т. Д.). Поэтому можно использовать методы, которые обращаются к производным, таким как стохастический градиентный спуск, чтобы найти лучшие параметры. В вашем случае функция уже задана (хотя ее нет в аналитической форме), и вы хотите найти входные данные, которые ее максимизируют.

        Как найти максимальное значение числового столбца в SQL

        База данных:
        Операторы:

        MAX

        проблема:

        Вы хотите найти максимальное значение числового столбца.

        Пример:

        В нашей базе данных есть таблица с именем продукт с данными в следующих столбцах: id , name , year и items .

        id name year items
        1 булочки 2018 345
        2 шоколад 2017 123
        3 масло 2019 34
        4 булочки 2019 456
        5 масло 2018 56
        6 сливочное масло 2017 78
        7 шоколад 2019 87
        8 шоколад 2018 76

        Найдем максимальное количество проданных товаров за все годы.

        Решение:
        ВЫБЕРИТЕ MAX (элементы) как max_items
        ОТ продукта;
         

        Вот результат:

        Обсуждение:

        Чтобы найти максимальное значение столбца, используйте агрегатную функцию MAX () ; он принимает в качестве аргумента имя столбца, для которого вы хотите найти максимальное значение. Если вы не указали другие столбцы в предложении SELECT , максимум будет рассчитан для всех записей в таблице. В нашем примере запрос возвращает максимальное число среди всех элементов.

        Конечно, поскольку это агрегатная функция, MAX () также можно использовать с группами. Например, если мы хотим увидеть максимальное количество товаров, проданных за год, мы можем написать такой запрос:

        ВЫБЕРИТЕ год, МАКС. (Шт.) КАК max_items
        ОТ ПРОДУКТА
        ГРУППА ПО году;
         

        Максимум рассчитан для каждой группы:

        год max_items
        2018 345
        2017 123
        2019 456

        .

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован.