Нахождение координат вектора: Как найти координаты вектора? Ответ на webmath.ru

Содержание

Определение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки.

Основное соотношение.Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Формулы определения координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки

Формула определения координат вектора для плоских задач

В случае плоской задачи вектор AB заданный координатами точек A(Ax ; Ay) и B(Bx ; By) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {Bx — Ax ; By — Ay}

Формула определения координат вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи вектор AB заданный координатами точек A(Ax ; Ay ; Az) и B(Bx ; By ; Bz) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {Bx — Ax ; By — Ay ; Bz — Az}

Формула определения координат вектора для n -мерного пространства

В случае n-мерного пространства вектор AB заданный координатами точек A(A1 ; A2 ; . .. ; An) и B(B1 ; B2 ; … ; Bn) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B1 — A1 ; B2 — A2 ; … ; Bn — An}

Примеры задач связанных с определением координат вектора по двум точкам

Примеры для плоских задач

Пример 1. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4), B(3; 1).

Решение: AB = {3 — 1; 1 — 4} = {2; -3}.

Пример 2. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1}, если координаты точки A(3; -4).

Решение:

ABx = Bx — Ax   =>   Bx = ABx + Ax   =>   Bx = 5 + 3 = 8
ABy = By — Ay   =>   By = ABy + Ay   =>   By = 1 + (-4) = -3

Ответ: B(8; -3).

Пример 3. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1}, если координаты точки B(3; -4).

Решение:

ABx = Bx — Ax   =>   Ax = Bx — ABx   =>   Ax = 3 — 5 = -2
ABy = By — Ay   =>   Ay = By — ABy   =>   Ay = -4 — 1 = -5

Ответ: A(-2; -5).

Примеры для пространственных задач

Пример 4. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5), B(3; 1; 1).

Решение: AB = {3 — 1; 1 — 4; 1 — 5} = {2; -3; -4}.

Пример 5. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2}, если координаты точки A(3; -4; 3).

Решение:

ABx = Bx — Ax   =>   Bx = ABx + Ax   =>   Bx = 5 + 3 = 8
ABy = By — Ay   =>   By = ABy + Ay   =>   By = 1 + (-4) = -3
ABz = Bz — Az   =>   Bz = ABz + Az   =>   Bz = 2 + 3 = 5

Ответ: B(8; -3; 5).

Пример 6. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4}, если координаты точки B(3; -4; 1).

Решение:

ABx = Bx — Ax   =>   Ax = Bx — ABx   =>   Ax = 3 — 5 = -2
ABy = By — Ay   =>   Ay = By — ABy   =>   Ay = -4 — 1 = -5
ABz = Bz — Az   =>   Az = Bz — ABz   =>   Az = 1 — 4 = -3

Ответ: A(-2; -5; -3).

Примеры для n -мерного пространства

Пример 7. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5; 5; -3), B(3; 0; 1; -2; 5).

Решение: AB = {3 — 1; 0 — 4; 1 — 5; -2 — 5; 5 — (-3)} = {2; -4; -4; -7; 8}.

Пример 8. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2; 1}, если координаты точки A(3; -4; 3; 2).

Решение:

AB1 = B1 — A1   =>   B1 = AB1 + A1   =>   B1 = 5 + 3 = 8
AB2 = B2 — A2   =>   B2 = AB2 + A2   =>   B2 = 1 + (-4) = -3
AB3 = B3 — A3   =>   B3 = AB3 + A3   =>   B3 = 2 + 3 = 5
AB4 = B4 — A4   =>   B4 = AB4 + A4   =>   B4 = 1 + 2 = 3

Ответ: B(8; -3; 5; 3).

Пример 9. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4; 5}, если координаты точки B(3; -4; 1; 8).

Решение:

AB1 = B1 — A1   =>   A1 = B1 — AB1   =>   A1 = 3 — 5 = -2
AB2 = B2 — A2   =>   A2 = B2 — AB2   =>   A2 = -4 — 1 = -5
AB3 = B3 — A3   =>   A3 = B3 — AB3   =>   A3 = 1 — 4 = -3
AB4 = B4 — A4   =>   A4 = B4 — AB4   =>   A4 = 8 — 5 = 3

Ответ: A(-2; -5; -3; 3).

Нахождение координат вектора через координаты точек

Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i→ должно совпадать с осью Ox, а направление вектора j→ с осью Oy.

Определение 1

Векторы i→ и j→ называют координатными векторами.

Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p→ можно разложить по векторам p→=xi→+yj→. Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p→ по координатным векторам называются координатами вектора p→ в данной системе координат.

Координаты вектора записываются в фигурных скобках p→x; y. На рисунке вектор OA→ имеет координаты 2; 1, а вектор b→ имеет координаты 3;-2. Нулевой вектор представляется в виде 0→0; 0.

Если векторы a→ и b→ равны, то и y1=y2. Запишем это так: a→=x1i→+y1j→=b→=x2i→+y2j→, значит x1=x2, y1=y2 .

Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на Oxy заданы координаты точек начала и конца AB→: Axa, ya, Bxb, yb. Найти координаты заданного вектора.

Изобразим координатную ось.

Из формулы сложения векторов имеем OA→+AB→=OB→, где O – начало координат. Отсюда следует, что AB→=OB→-OA→.

OA→ и OB→ – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения OA→=xa, ya, OB→=xb, yb.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

По правилу операций над векторами найдем AB→=OB→-OA→=xb-xa, yb-ya.

Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

Пример 1

Найти координаты OA→ и AB→ при значении координат точек A(2,-3), B(-4,-1).

Решение

Для начала определяется радиус-вектор точки A. OA→=(2,-3). Чтобы найти AB→, нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.

Получаем: AB→=(-4-2,-1-(-3))=(-6, 2).

Ответ: OA→=(2,-3), AB→=(-6,-2).

Пример 2

Задано трехмерное пространство с точкой A=(3, 5, 7), AB→=(2, 0,-2). Найти координаты конца AB→.

Решение

Подставляем координаты точки A: AB→=(xb-3, yb-5, zb-7).

По условию известно, что AB→=(2, 0,-2).

Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: xb-3=2yb-5=0zb-7=-2

Отсюда следует, что координаты точки B AB→равны: xb=5yb=5zb=5 

Ответ:  B(5, 5, 5).

Координаты точки и вектора — урок. Геометрия, 11 класс.

Координаты точки

Три попарно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей измерения образуют систему координат в пространстве. Точка пересечения всех прямых является началом системы координат.

 

 

Оси координат \(Ox\), \(Oy\) и \(Oz\) называются соответственно: \(Ox\) — ось абсцисс, \(Oy\) — ось ординат, \(Oz\) — ось аппликат.  

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Получаем три координатные плоскости: \((Oxy)\), \((Oyz)\) и \((Oxz)\).

 

 

Положение точки \(A\) в пространстве определяется тремя координатами: \(x\), \(y\) и \(z\).

 

 

Координата \(x\) называется абсциссой точки \(A\), координата \(y\) — ординатой точки \(A\), координата \(z\) — аппликатой точки \(A\).

Записываются так: \(A(x; y; z)\).

Если точка находится на оси \(Ox\), то её координаты \(X(x; 0; 0)\).

Если точка находится на оси \(Oy\), то её координаты \(Y(0; y; 0)\).

Если точка находится на оси \(Oz\), то её координаты \(Z(0; 0; z)\).

 

Если точка находится в плоскости \(Oxy\), то её координаты A1x;y;0.

Если точка находится в плоскости \(Oyz\), то её координаты A20;y;z.

Если точка находится в плоскости \(Oxz\), то её координаты A3x;0;z.

Координаты вектора

 

Если в системе координат от начальной точки отложить единичные векторы i→, j→ и k→, то можно определить прямоугольный базис. Любой вектор можно разложить по единичным векторам и представить в виде OA→=x⋅i→+y⋅j→+z⋅k→.

Коэффициенты \(x\), \(y\) и \(z\) определяются одним-единственным образом и называются координатами вектора.

 

Записываются так: OA→x;y;z.

Рассмотрим правила о том, как с помощью координат записать:

 

— координаты суммы векторов, если даны координаты векторов:

a→x1;y1;z1, b→x2;y2;z2, a→+b→x1+x2;y1+y2;z1+z2;

 

— координаты разности векторов, если даны координаты векторов:
 a→−b→x1−x2;y1−y2;z1−z2;

 

— координаты произведения вектора на число, если даны координаты вектора:

n⋅a→n⋅x1;n⋅y1;n⋅z1;

 

— длину вектора:

a→=x12+y12+z12;

— координаты вектора, если даны координаты начальной и конечной точек вектора:

AxA;yA;zA, BxB;yB;zB, AB→xB−xA;yB−yA;zB−zA;

 

— расстояние между двумя точками, если даны координаты точек:

AB→=AB=xB−xA2+yB−yA2+zB−zA2;

 

— координаты серединной точки отрезка, если даны координаты начальной и конечной точек отрезка:

xC=xA+xB2;yC=yA+yB2;zC=zA+zB2.

Координаты и векторы. Исчерпывающий гид (ЕГЭ — 2021)

Нам нужно найти угол между прямыми \( \displaystyle SB\) и \( \displaystyle CD\).

Таким образом, наша задача сводится к поиску координат точек: \( \displaystyle S,B,C,D\).

Координаты последних трех мы найдем по маленькому рисунку, а коодинату вершины \( \displaystyle S\) найдем через координату точки \( \displaystyle O\).

Работы навалом, но надо к ней приступать!

a) Координата \( \displaystyle D\): ясно, что ее аппликата и ордината равны нулю.

Найдем абсциссу. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник \( \displaystyle EDP\). Увы, в нем нам известна только гипотенуза, которая равна \( \displaystyle 1\). Катет \( \displaystyle DP\) мы будем стараться отыскать (ибо ясно, что удвоенная длина катета \( \displaystyle DP\) даст нам абсциссу точки \( \displaystyle D\)).

Как же нам ее искать?

Давай вспомним, что за фигура у нас лежит в основании пирамиды? Это правильный шестиугольник. \circ \)

Опять-таки, при решении этой задачи я не использовал никаких изошренных приемов, кроме формулы суммы углов правильного n-угольника, а также определения косинуса и синуса прямоугольного треугольника.

3. Поскольку нам опять не даны длины ребер в пирамиде, то я буду считать их равными единице.

Таким образом, поскольку ВСЕ ребра, а не только боковые, равны между собой, то в основании пирамиды и меня лежит квадрат, а боковые грани – правильные треугольники.

Изобразим такую пирамиду, а также ее основание на плоскости, отметив все данные, приведенные в тексте задачи:

Координаты точки и координаты вектора. Как найти координаты вектора

Прямоугольная система координат

Чтобы определить понятие координат точек, нам необходимо ввести систему координат, в которой мы и будем определять ее координаты. Одна и та же точка в разных системах координат может иметь различные координаты. Здесь мы будем рассматривать прямоугольную систему координат в пространстве.

Возьмем в пространстве точку $O$ и введем для нее координаты $(0,0,0)$. Назовем ее началом системы координат. Проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$, как на рисунке 1. Эти оси будут называться осями абсцисс, ординат и аппликат, соответственно. Осталось только ввести масштаб на осях (единичный отрезок) – прямоугольная система координат в пространстве готова (рис. 1)

Рисунок 1. Прямоугольная система координат в пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Координаты точки

Теперь разберем, как определяют в такой системе координаты любой точки. Возьмем произвольную точку $M$ (рис. 2).

Рисунок 2. Произвольная точка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Построим на координатных осях прямоугольный параллелепипед, так, что точки $O$ и $M$ противоположные его вершины (рис. 3).

Рисунок 3. Построение прямоугольного параллелепипеда. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Тогда точка $M$ будет иметь координаты $(X,Y,Z)$, где $X$ – значение на числовой оси $Ox$, $Y$ – значение на числовой оси $Oy$, а $Z$ – значение на числовой оси $Oz$.

Пример 1

Необходимо найти решение следующей задачи: написать координаты вершин параллелепипеда, изображенного на рисунке 4.

Рисунок 4. Параллелепипед. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение.

Точка $O$ начало координат, следовательно, $O=(0,0,0)$.

Точки $Q$, $N$ и $R$ лежат на осях $Ox$, $Oz$ и $Oy$, соответственно, значит

$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1.5)$, $R=(0,2.5,0)$

Точки $S$, $L$ и $M$ лежат в плоскостях $Oxz$, $Oxy$ и $Oyz$, соответственно, значит

$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$

Точка $P$ имеет координаты $P=(2,2.5,1.5)$

Координаты вектора по двум точкам и формула нахождения

Чтобы узнать, как найти вектор по координатам двух точек, необходимо рассмотреть введенную нами ранее систему координат. В ней от точки $O$ по направлению оси $Ox$ отложим единичный вектор $\overline{i}$, по направлению оси $Oy$ — единичный вектор $\overline{j}$, а единичный вектор $\overline{k}$ нужно направлять по оси $Oz$.

Для того чтобы ввести понятие координат вектора, введем следующую теорему (здесь ее доказательство мы рассматривать не будем).

Теорема 1

Произвольный вектор в пространстве может быть разложен по трем любым векторам, которые не лежат в одной плоскости, причем коэффициенты в таком разложении будут единственным образом определены.

Математически это выглядит следующим образом:

$\overline{δ}=m\overline{α}+n\overline{β}+l\overline{γ}$

Так как векторы $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$ построены на координатных осях прямоугольной системы координат, то они, очевидно, не будут принадлежать одной плоскости. Значит любой вектор $\overline{δ}$ в этой системе координат, по теореме 1, может принимать следующий вид

$\overline{δ}=m\overline{i}+n\overline{j}+l\overline{k}$ (1)

где $n,m,l∈R$.

Определение 1

Три вектора $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$ будут называться координатными векторами.

Определение 2

Коэффициенты перед векторами $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$ в разложении (1) будут называться координатами этого вектора в заданной нами системе координат, то есть

$\overline{δ}=(m,n,l)$

Линейные операции над векторами

Теорема 2

Теорема о сумме: Координаты суммы любого числа векторов определяются суммой их соответствующих координат.

Доказательство.

Будем доказывать эту теорему для 2-х векторов. Для 3-х и более векторов доказательство строится аналогичным образом. Пусть $\overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline{β}=(β_1,β_2 ,β_3)$.

Эти вектора можно записать следующим образом

$\overline{α}=α_1\overline{i}+ α_2\overline{j}+α_3\overline{k}$, $\overline{β}=β_1\overline{i}+ β_2\overline{j}+β_3\overline{k}$

$\overline{α}+\overline{β}=α_1\overline{i}+α_2\overline{j}+α_3\overline{k}+β_1\overline{i}+ β_2\overline{j}+β_3\overline{k}=(α_1+β_1 )\overline{i}+(α_2+β_2 )\overline{j}+(α_3+β_3)\overline{k}$

Следовательно

$\overline{α}+\overline{β}=(α_1+β_1,α_2+β_2,α_3+β_3)$

Теорема доказана.

Замечание 1

Замечание: Аналогично, находится решение разности нескольких векторов.

Теорема 3

Теорема о произведении на число: Координаты произведения произвольного вектора на действительное число определяется произведением координат на это число.

Доказательство.

Возьмем $\overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, тогда $\overline{α}=α_1\overline{i}+α_2\overline{j}+α_3\overline{k}$, а

$l\overline{α}=l(α_1\overline{i}+ α_2\overline{j}+α_3\overline{k})=lα_1\overline{i}+ lα_2\overline{j}+lα_3\overline{k}$

Значит

$k\overline{α}=(lα_1,lα_2,lα_3)$

Теорема доказана.

Пример 2

Пусть $\overline{α}=(3,0,4)$, $\overline{β}=(2,-1,1)$. Найти $\overline{α}+\overline{β}$, $\overline{α}-\overline{β}$ и $3\overline{α}$.

Решение.

$\overline{α}+\overline{β}=(3+2,0+(-1),4+1)=(5,-1,5)$

$\overline{α}-\overline{β}=(3-2,0-(-1),4-1)=(1,1,3)$

$3\overline{α}=(3\cdot 3,3\cdot 0,3\cdot 4)=(9,0,12)$

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA1 = √3

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

  

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Координаты вектора

Ранее
вы уже сталкивались с координатами, но указывали их для точек. При этом
работали в прямоугольной координатной плоскости, для задания которой необходимо
было провести две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными на них
направлениями (их называют координатными осями) и выбрать единицу измерения на
каждой из осей.

Это
и позволяло определить координаты любой точки.

На
этом уроке нам предстоит выяснить, что называют координатами вектора.

С
прошлых занятий вам известно, что любой вектор на плоскости можно разложить по
двум неколлинеарным векторам.

От
точки О начала координат отложим векторы ,
длины которых равны единице (в дальнейшем будем называть такие векторы
единичными), так, чтобы направление вектора  совпадало с
направлением оси x, а направление вектора  совпадало
с направлением оси y.

Тогда
векторы   будем
называть координатными векторами. Понятно, что любой вектор  можно разложить по
векторам .
Причём коэффициенты разложения, числа x
и y, определяются единственным образом.

Так
вот коэффициенты разложения вектора  по координатным
векторам называют координатами вектора  в данной системе
координат.

Координаты
вектора
будем записывать в фигурных скобках через точку с
запятой. При этом первым будем записывать коэффициент разложения x,
а вторым — y.

На
одном из прошлых занятий мы разлаживали векторы, изображённые в координатной
плоскости по векторам .

Пользуясь
этими разложениями, запишем координаты данных векторов.

Итак,
вектор  имеет
координаты .

Вектор   имеет
координаты .

Координатами
вектора  являются
числа  ..

Ну,
а координатами вектора  будут
числа .

Обратите
внимание, что такие координаты данные векторы будут иметь только в конкретной
системе координат и при конкретных координатных векторах .

Коэффициенты
разложения нулевого вектора по векторам равны
нулю. Тогда получаем, что нулевой вектор имеет координаты 0 0, причём в любой
системе координат и при любых координатных векторах.

Если
векторы равны, то их разложения по векторам также
будут равны, а значит, равны будут и коэффициенты разложения. Таким образом,
получаем, что координаты равных векторов соответственно равны.

Рассмотрим
ещё один особенный случай — противоположные векторы.

Их
разложения противоположны. Значит, противоположны будут и соответственные
координаты.

Можем
подытожить, что координаты равных векторов соответственно равны, а координаты
противоположных векторов соответственно противоположны.

Пользуясь
полученными выводами, для каждого из данных векторов запишем противоположный и
укажем его координаты.

; ; ; ; .

 

 

 

 

 

Задача. Разложить векторы по
координатным векторам  и , указать их координаты.

Начнём
с вектора .
Его разложение .
Значит, его координатами будут числа 7 и 2.

Далее
запишем разложение вектора .
Коэффициенты разложения 6 и -1 являются его координатами.

Вектор
. Коэффициенты разложения
равны 0 и 3. Значит, вектор .

Следующим
рассмотрим вектор .
Значит, координаты вектора .

Далее обратим своё внимание на вектор . Тогда
координаты данного вектора .

Запишем разложение вектора . Значит, он
имеет координаты .

Последним рассмотрим вектор . Тогда
получаем, .

Видим, что для определения координат вектора достаточно его
разложения по координатным векторам. Поэтому при наличии разложения вектора
можно сразу назвать его координаты. Главное — помнить, что в качестве первой
координаты записывают коэффициент разложения при координатном векторе,
коллинеарном оси x (в данном случае — это вектор ), а в
качестве второй координаты — коэффициент разложения при координатном векторе,
коллинеарном оси y (в данном случае — это вектор ).

Запишем координаты векторов, пользуясь их разложениями по
координатным векторам .

Из разложения вектора  видим, что он имеет координаты
.

, то ;

, то ;

, то ;

, то .

А
теперь, пользуясь только координатами данных векторов, построим их в
прямоугольной координатной плоскости, откладывая каждый вектор от точки О
начала координат.

Координатами
вектора  являются
числа 8 и -1. Значит, чтобы переместиться из точки О на вектор , сначала нужно
переместиться на вектор ,
а затем на вектор .
Соединив точку О с конечной точкой, получим вектор .

Далее
изобразим вектор .
Для этого из точки О переместимся на вектор .
Тем самым получим искомый вектор .

Чтобы
из точки О переместиться на вектор  сначала
переместимся на вектор ,,
а затем на вектор .
Проведём вектор из точки О в конечную точку. Так мы получили вектор .

Далее
построим вектор .

Последним
построим вектор .
Перемещение на этот вектор состоит из перемещений на вектор  и на вектор . Перемещение из точки О
в конечную точку и задаёт вектор

Так
мы рассмотрели примеры построения вектора по его координатам.

Далее,
пользуясь приобретёнными знаниями о координатах вектора, получим правила
нахождения координат векторов, полученных уже известными вам действиями:
сложением, вычитанием и умножением вектора на число.

Сначала
рассмотрим сумму двух векторов , .

Пользуясь
их координатами, можем записать разложения данных векторов по координатным
векторам  , .

Сложим
полученные равенства .
Пользуясь свойствами сложения векторов и произведения вектора на число,
получаем, что координаты вектора суммы векторов  и  равны ,  .

Можем
записать правило.

Каждая
координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат
этих векторов.

Найдём
координаты векторов суммы, если вектор ,
, , .

Координаты
вектора суммы  и
равны .

Координаты
вектора суммы ,
,   равны .

Теперь
рассмотрим разность векторов -.

Из
разложения вектора  вычтем
разложение вектора .

Получаем,
что координаты вектора разности равны .

Запишем
правило. Каждая координата разности двух векторов равна разности
соответствующих координат данных векторов.

Разность
векторов  и
имеет координаты .

Разность
векторов  и
имеет координаты .

Далее
получим координаты произведения вектора  на число k.

Получаем,
что координаты произведения равны .

Запишем
правило. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению
соответствующей координаты вектора на это число.

Найдём
координаты вектора 4.
Они равны .

Координаты
вектора 2,5   равны
.

Вектор
3  имеет координаты .

Ну,
а вектор     имеет
координаты .

Все
три правила, полученные нами, в дальнейшем помогут определять координаты любого
вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с
известными координатами.

Задача.
Найти
координаты векторов  и
 по координатам
данных векторов ,
, , .

                                    

Представим
это выражение в виде суммы.

Вектор
 имеет координаты , или .

Вектор
 имеет
координаты ,
или .

Координаты
вектора . А вот координаты
вектора .

Координаты
вектора  найдём
как суммы соответствующих координат полученных векторов. В результате получаем,
что  имеет
координаты

Далее
найдём координаты вектора .
Запишем второй множитель в виде суммы. Координаты векторов  и . Вектор  имеет координаты , или . Вектор .

Сумма
полученных векторов будет иметь координаты .

Произведение
этого вектора на 3 имеет координаты .
Это и есть координаты вектора .

Подведём
итоги урока. Сегодня, пользуясь уже известным правилом разложения вектора по
двум неколлинеарным векторам, мы ввели понятие координатных векторов и дали
определение координатам вектора. А также получили правила нахождения координат
векторов суммы векторов, разности векторов и произведения вектора на число.
Этих правила позволяют определять координаты векторов, представленных в виде
алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

На
следующем уроке мы найдём связь между координатами вектора и координатами его
начала и конца.

Найти вектор направления по двум точкам

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

2.2 Системы координат и компоненты вектора — University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Опишите векторы в двух и трех измерениях с точки зрения их компонентов, используя единичные векторы вдоль осей.
  • Различают векторные компоненты вектора и скалярные компоненты вектора.
  • Объясните, как величина вектора определяется в терминах компонентов вектора.
  • Определите угол направления вектора на плоскости.
  • Объясните связь между полярными координатами и декартовыми координатами на плоскости.

Векторы обычно описываются в терминах их компонентов в системе координат. Даже в повседневной жизни мы естественно обращаемся к концепции ортогональных проекций в прямоугольной системе координат.Например, если вы спросите кого-нибудь, как добраться до определенного места, вам, скорее всего, предложат пойти на 40 км на восток и 30 км на север, чем на 50 км в направлении 37 ° 37 ° к северу от востока.

В прямоугольной (декартовой) системе координат xy на плоскости точка на плоскости описывается парой координат ( x , y ). Аналогичным образом вектор A → A → на плоскости описывается парой его координат вектора . Координата x вектора A → A → называется его компонентой x , а координата y вектора A → A → называется его компонентом y .Компонент вектора x — это вектор, обозначенный A → xA → x. Вектор y -компонент — это вектор, обозначаемый A → yA → y. В декартовой системе компоненты вектора x и y являются ортогональными проекциями этого вектора на оси x и y соответственно. Таким образом, следуя правилу параллелограмма для сложения векторов, каждый вектор на декартовой плоскости может быть выражен как векторная сумма его векторных компонентов:

А → = А → х + А → у.А → = А → х + А → у.

2,10

Как показано на рисунке 2.16, вектор A → A → — это диагональ прямоугольника, где компонент A → xA → x размером x — сторона, параллельная оси x и компоненту A y → yA → y — сторона, параллельная оси y . Компонента вектора A → xA → x ортогональна компоненту вектора A → yA → y.

Рис. 2.16. Вектор A → A → на плоскости в декартовой системе координат представляет собой векторную сумму его векторных компонент x и y ..

2,12

Если нам известны координаты b (xb, yb) b (xb, yb) начальной точки вектора (где b означает «начало») и координаты e (xe, ye) e (xe, ye ) конечной точки вектора (где e означает «конец»), мы можем получить скалярные компоненты вектора, просто вычитая координаты начальной точки из координат конечной точки:

{Ax = xe-xbAy = ye-yb. {Ax = xe-xbAy = ye-yb.

2,13

Пример 2.3

Смещение указателя мыши

Указатель мыши на мониторе компьютера в исходном положении находится в точке (6.на y — ось направлена ​​вертикально вверх. Начало вектора смещения находится в точке b (6. 0, 1.6), а конец вектора смещения находится в точке e (2.0, 4.5). Подставьте координаты этих точек в уравнение 2.13, чтобы найти скалярные компоненты DxDx и DyDy вектора смещения D → D →. Наконец, подставьте координаты в уравнение 2.12, чтобы записать вектор смещения в форме компонента вектора.

Решение

Отождествляем xb = 6.0xb = 6.0, xe = 2.)см.

2,14

Это решение показано на Рисунке 2.17.

Рисунок 2.17 График вектора смещения. Вектор указывает от начальной точки на b до конечной точки на e .

Значение

Обратите внимание, что физическая единица — здесь 1 см — может быть размещена либо с каждым компонентом непосредственно перед единичным вектором, либо глобально для обоих компонентов, как в уравнении 2.14. Часто второй способ удобнее, потому что он проще., которая параллельна направлению оси + y . Следовательно, вектор D → yD → y, составляющий y , направлен вверх, как показано на рисунке 2. 17. Скалярная y -компонента вектора D → D → равна Dy = + 2.9Dy = + 2.9. Вектор смещения D → D → является равнодействующим его двух компонентов вектора .

Форма векторной составляющей вектора смещения Уравнение 2.14 говорит нам, что указатель мыши был перемещен на мониторе на 4,0 см влево и 2,9 см вверх от своего исходного положения.

Проверьте свое понимание 2.4

Синяя муха приземляется на миллиметровую бумагу в точке, расположенной на 10,0 см справа от ее левого края и на 8,0 см выше ее нижнего края, и медленно идет к точке, расположенной на расстоянии 5,0 см от левого края и 5,0 см от нижнего края. край. Выберите прямоугольную систему координат с началом в левом нижнем углу листа и найдите вектор смещения мухи. Проиллюстрируйте свое решение графиком.

Зная скалярные компоненты AxAx и AyAy вектора A → A →, мы можем найти его величину A и угол направления θAθA. Угол направления — или, для краткости, направление — это угол, который вектор образует с положительным направлением на оси x . Угол θAθA измеряется в направлении против часовой стрелки от оси + x к вектору (рисунок 2.18). Поскольку длины A, , AxAx и AyAy образуют прямоугольный треугольник, они связаны теоремой Пифагора:

A2 = Ax2 + Ay2⇔A = Ax2 + Ay2. A2 = Ax2 + Ay2⇔A = Ax2 + Ay2.

2,15

Это уравнение работает, даже если скалярные компоненты вектора отрицательны.Направляющий угол θAθA вектора определяется через касательную функцию угла θAθA в треугольнике, показанном на рисунке 2.18:

Рисунок 2.18 Когда вектор лежит либо в первом квадранте, либо в четвертом квадранте, где компонент AxAx положительный (рисунок 2.19), угол направления θAθA в уравнении 2.16) идентичен углу θθ.

Когда вектор лежит либо в первом квадранте, либо в четвертом квадранте, где компонент AxAx положительный (рисунок 2. 19), угол θθ в уравнении 2.16 совпадает с направлением угла θAθA. Для векторов в четвертом квадранте угол θθ отрицателен, что означает, что для этих векторов угол направления θAθA измеряется на по часовой стрелке на от положительной оси x . Точно так же для векторов во втором квадранте угол θθ отрицателен. Когда вектор лежит во втором или третьем квадранте, где компонент AxAx отрицательный, угол направления равен θA = θ + 180 ° θA = θ + 180 ° (рисунок 2.19).

Рис. 2.19. Скалярные компоненты вектора могут быть положительными или отрицательными.Векторы в первом квадранте (I) имеют обе скалярные компоненты положительные, а векторы в третьем квадранте имеют обе скалярные компоненты отрицательные. Для векторов в квадрантах II и III угол направления вектора равен θA = θ + 180 ° θA = θ + 180 °.

Пример 2.4

Величина и направление вектора смещения

Вы перемещаете указатель мыши на мониторе из его исходного положения в точке (6,0 см, 1,6 см) к значку, расположенному в точке (2,0 см, 4,5 см). Каковы величина и направление вектора смещения указателя?

Стратегия

В примере 2.3, мы нашли вектор смещения D → D → указателя мыши (см. Уравнение 2.14). Мы идентифицируем его скалярные компоненты Dx = −4.0cmDx = −4.0cm и Dy = + 2.9cmDy = + 2.9cm и подставляем в уравнение 2.15 и уравнение 2.16, чтобы найти звездную величину D и направление θDθD соответственно.

Решение

Величина вектора D → D → равна
D = Dx2 + Dy2 = (- 4,0 см) 2+ (2,9 см) 2 = (4,0) 2+ (2,9) 2 см = 4,9 см D = Dx2 + Dy2 = (- 4,0 см) 2+ (2,9 см) 2 = (4,0) 2+ (2,9) 2 см = 4,9 см.

Угол направления

tanθ = DyDx = + 2,9 см − 4,0 см = −0.) см, найдите его величину и направление.

Во многих приложениях величины и направления векторных величин известны, и нам нужно найти равнодействующую многих векторов. Например, представьте 400 автомобилей, движущихся по мосту Золотые Ворота в Сан-Франциско при сильном ветре. Каждая машина толкает мост в разных направлениях, и мы хотели бы знать, насколько сильным может быть результирующий толчок. У нас уже есть некоторый опыт геометрического построения векторных сумм, поэтому мы знаем, что задача нахождения результирующей путем рисования векторов и измерения их длины и углов может довольно быстро стать неразрешимой, что приведет к огромным ошибкам.Подобные опасения не возникают, когда мы используем аналитические методы. Самый первый шаг в аналитическом подходе — найти компоненты вектора, когда известны направление и величина вектора.

Вернемся к прямоугольному треугольнику на рис. 2.18. Отношение соседней стороны AxAx к гипотенузе A является функцией косинуса угла направления θAθA, Ax / A = cosθAAx / A = cosθA, а отношение противоположной стороны AyAy к гипотенузе A является функцией синуса. из θAθA, Ay / A = sinθAAy / A = sinθA.Когда звездная величина A, и направление θAθA известны, мы можем решить эти соотношения для скалярных компонентов:

{Ax = AcosθAAy = AsinθA. {Ax = AcosθAAy = AsinθA.

2,17

При вычислении компонентов вектора по уравнению 2.17 следует соблюдать осторожность с углом. Направляющий угол θAθA вектора — это угол, измеренный против часовой стрелки от положительного направления на оси x к вектору. Измерение по часовой стрелке дает отрицательный угол.

Пример 2.5

Компоненты векторов смещения

Группа спасения пропавшего ребенка следует за поисковой собакой по кличке Десантник. Солдат много блуждает и делает много пробных обнюхиваний разными путями. Солдат в конце концов находит ребенка, и у истории счастливый конец, но его перемещения на разных ногах кажутся действительно запутанными. На одной из ног он идет 200,0 м на юго-восток, затем бежит на север примерно на 300,0 м. На третьей ноге он внимательно исследует запахи на 50,0 м в направлении 30 ° 30 ° к западу от севера.На четвертом этапе Trooper идет прямо на юг на 80,0 м, улавливает свежий запах и поворачивает на 23 ° 23 ° к западу от юга на 150,0 м. оси y указывает на север.Десантник имеет пять ног, значит, есть пять векторов смещения. Мы начинаем с определения их величин и углов направления, затем используем уравнение 2.17 для нахождения скалярных компонентов смещений и уравнение 2.12 для векторов смещения.

Решение

На первом отрезке величина смещения L1 = 200.0mL1 = 200.0m, направление — юго-восток. В качестве угла направления θ1θ1 мы можем взять либо 45 ° 45 °, измеренное по часовой стрелке с восточного направления, либо 45 ° + 270 ° 45 ° + 270 °, измеренное против часовой стрелки с восточного направления.вдоль оси x и оси y соответственно. Декартова система координат очень удобна для описания перемещений и скоростей объектов, а также сил, действующих на них. Однако это становится громоздким, когда нам нужно описывать вращение объектов. При описании вращения мы обычно работаем в полярной системе координат. .direction указывает, как угол φφ изменяется в направлении против часовой стрелки. Таким образом, точка P , имеющая координаты ( x , y ) в прямоугольной системе, может быть эквивалентно описана в полярной системе координат двумя полярными координатами (r, φ) (r, φ). Уравнение 2.17 справедливо для любого вектора, поэтому мы можем использовать его, чтобы выразить координаты x и y вектора r → r →. Таким образом, мы получаем связь между полярными координатами и прямоугольными координатами точки P :

{х = rcosφy = rsinφ.определяет положительное направление вращения на угол φφ.

Пример 2.6

Полярные координаты

Охотник за сокровищами находит одну серебряную монету на расстоянии 20,0 м от сухого колодца в направлении 20 ° 20 ° к северу от востока и находит одну золотую монету на расстоянии 10,0 м от колодца в направлении 20 ° 20 ° к северу от него. Запад. Каковы полярные и прямоугольные координаты этих находок относительно скважины?

Стратегия

Скважина отмечает начало системы координат, а восток — это направление + x .Мы определяем радиальные расстояния от местоположений до начала координат, которые составляют rS = 20.0mrS = 20.0 м (для серебряной монеты) и rG = 10.0mrG = 10.0 м (для золотой монеты). Чтобы найти угловые координаты, преобразуем 20 ° 20 ° в радианы: 20 ° = π20 / 180 = π / 920 ° = π20 / 180 = π / 9. Мы используем уравнение 2.18, чтобы найти координаты x и y монет.

Решение

Угловая координата серебряной монеты φS = π / 9φS = π / 9, тогда как угловая координата золотой монеты φG = π − π / 9 = 8π / 9φG = π − π / 9 = 8π / 9.Следовательно, полярные координаты серебряной монеты равны (rS, φS) = (20,0 м, π / 9) (rS, φS) = (20,0 м, π / 9), а координаты золотой монеты — (rG, φG) = (10,0 м, 8π / 9) (rG, φG) = (10,0 м, 8π / 9). Мы подставляем эти координаты в уравнение 2.18, чтобы получить прямоугольные координаты. Для золотой монеты координаты
{xG = rGcosφG = (10,0 м) cos8π / 9 = −9,4myG = rGsinφG = (10,0 м) sin8π / 9 = 3,4 м⇒ (xG, yG) = (- 9,4 м, 3,4 м). {xG = rGcosφG = (10,0 м) cos8π / 9 = −9,4myG = rGsinφG = (10,0 м) sin8π / 9 = 3,4 м⇒ (xG, yG) = (- 9,4 м, 3,4 м).

Для серебряной монеты координаты

.
{xS = rScosφS = (20.0 м) cosπ / 9 = 18,9myS = rSsinφS = (20,0 м) sinπ / 9 = 6,8 м⇒ (xS, yS) = (18,9 м, 6,8 м). {XS = rScosφS = (20,0 м) cosπ / 9 = 18,9 myS = rSsinφS = (20,0 м) sinπ / 9 = 6,8 м⇒ (xS, yS) = (18,9 м, 6,8 м).

Векторы в трех измерениях

Чтобы указать положение точки в пространстве, нам нужны три координаты ( x , y , z ), где координаты x и y определяют местоположение на плоскости, а координата z дает вертикальное положение выше или ниже плоскости. Трехмерное пространство имеет три ортогональных направления, поэтому нам нужны не два, а три единичных вектора для определения трехмерной системы координат..

2,19

Если мы знаем координаты его начала b (xb, yb, zb) b (xb, yb, zb) и его конца e (xe, ye, ze) e (xe, ye, ze), то его скалярные компоненты равны полученные путем взятия их разностей: AxAx и AyAy задаются уравнением 2.13, а компонент z равен

Az = ze−zb.Az = ze − zb.

2,20

Величина Значение получается путем обобщения уравнения 2.15 на три измерения:

A = Ax2 + Ay2 + Az2. A = Ax2 + Ay2 + Az2.

2,21

Это выражение для величины вектора получено в результате двойного применения теоремы Пифагора.Как видно на рисунке 2.22, диагональ в плоскости xy имеет длину Ax2 + Ay2Ax2 + Ay2, и ее квадрат прибавляется к квадрату Az2Az2, чтобы получить A2A2. Обратите внимание, что когда -компонента z равна нулю, вектор полностью лежит в плоскости xy , и его описание сокращается до двух измерений.

Рис. 2.22 Вектор в трехмерном пространстве — это векторная сумма трех его векторных компонентов.

Пример 2.7

Взлет дрона

Во время взлета IAI Heron (рисунок 2.23), его положение по отношению к вышке управления — 100 м над землей, 300 м к востоку и 200 м к северу. Минутой позже он находится на высоте 250 м над землей, 1200 м к востоку и 2100 м к северу. Каков вектор смещения дрона по отношению к диспетчерской вышке? Какова величина его вектора смещения?

Рис. 2.23 Дрон IAI Heron в полете. (Источник: SSgt Рейнальдо Рамон, ВВС США)

Стратегия

Возьмем начало декартовой системы координат за диспетчерскую вышку., который указывает вверх от земли. Первое положение дрона — это начало (или, что то же самое, начало) вектора смещения, а его второе положение — конец вектора смещения.

Решение

Мы идентифицируем b (300,0 м, 200,0 м, 100,0 м) и e (1200 м, 2100 м, 250 м) и используем уравнение 2.13 и уравнение 2.20, чтобы найти скалярные компоненты вектора смещения дрона. : {Dx = xe − xb = 1200.0m − 300.0m = 900.0m, Dy = ye − yb = 2100.0m − 200.0m = 1900.0m, Dz = ze − zb = 250.) м / с, какова величина вектора скорости дрона?

Видео с вопросом: Использование векторов для нахождения координат вершины в прямоугольнике

Стенограмма видео

𝐴𝐵𝐶𝐷 — прямоугольник, в котором
координаты точек, 𝐵 и 𝐶 отрицательные 18, отрицательные два; отрицательный
18, минус три; и отрицательная восьмерка, 𝑘, соответственно. Используйте векторы, чтобы найти значение 𝑘
и координаты точки.

Один из способов решения этой проблемы
было бы нарисовать прямоугольник на координатной плоскости; однако нас просят использовать
векторов. Поэтому имеет смысл
рассмотрим некоторые свойства прямоугольника. Прямоугольник состоит из двух пар
равные длины параллельных сторон. Это означает, что вектор 𝐀𝐁
будет равен вектору. Точно так же вектор 𝐃𝐀 будет
равный вектору. Мы также знаем, что углы в
прямоугольник — прямые углы.Это означает, что вектор 𝐀𝐁 является
перпендикулярно вектору. То же верно и для другого
стороны, которые встречаются под прямым углом.

Напомним, что для вычисления вектора
𝐀𝐁, вычтем вектор 𝐀 из вектора 𝐁. В этом вопросе вектор 𝐀𝐁 равен
равно отрицательным 18, отрицательным трем минус отрицательным 18, отрицательным двум. Отрицательный 18 минус отрицательный 18 — это
то же, что отрицательное 18 плюс 18. Это равно нулю. Отрицательные три минус два отрицательных
равно отрицательному.Следовательно, вектор 𝐀𝐁 равен нулю,
отрицательный. Вектор 𝐂𝐁 равен вектору 𝐁
минус вектор 𝐂. Это равно отрицательному 18,
отрицательные три минус отрицательные восемь, 𝑘. Это равно отрицательному 10,
минус три минус 𝑘.

Мы знаем, что если два вектора
перпендикулярно, скалярное произведение равно нулю. Это означает, что скалярное произведение
из и 𝐂𝐁 равняется нулю. Ноль умножить на минус 10 плюс
отрицательная единица, умноженная на отрицательные три минус 𝑘, равна нулю.Это упрощается до нуля, равно
три плюс 𝑘. Вычитая три с обеих сторон
этого уравнения дает нам равно отрицательным трем. Значение 𝑘 равно
отрицательные три, что означает, что 𝐶 имеет координаты отрицательные восемь, отрицательные
три.

Если положить координаты точки
Быть, 𝑦, тогда вектор 𝐃𝐂 равен отрицательным восьми, отрицательным трем минус 𝑥,
𝑦. Это равно отрицательной восьмерке
минус 𝑥, минус три минус.Поскольку векторы 𝐀𝐁 и имеют
одинаковой величины и направления, они должны быть равны. Это означает, что ноль должен быть равен
минус восемь минус. Отрицательный должен быть равен
минус три минус 𝑦. Решая наше первое уравнение, получаем
𝑥 равно отрицательной восьмерке. И решая второе уравнение, мы
get 𝑦 равно отрицательному двум. Координаты точки равны
следовательно, равно отрицательным восьми, отрицательным двум.

Координаты точки, компоненты вектора и середина отрезка

Координаты точки на плоскости

Давайте посмотрим, как векторы используются для присвоения координат точкам на плоскости.

Мы рассматриваем фиксированную точку на плоскости $$ O $$ (известную как начало координат) и базис $$ B = \ {\ overrightarrow {u}, \ overrightarrow {v} \} $$ из $$ V_2 $$. (Космический вектор размерности $$ 2 $$).

Напомним, что в основе $$ V_2 $$ лежат два линейно независимых вектора.Набор, образованный $$ O $$ и $$ B = \ {\ overrightarrow {u}, \ overrightarrow {v} \} $$, составляет систему отсчета на плоскости, поскольку позволяет нам определять положение любой другой точки на плоскости.

Это потому, что любые другие точки $$ P $$ на плоскости определяют вместе с точкой $$ O $$ вектор $$ \ overrightarrow {OP} $$. Пусть $$ (p_1, p_2) $$ — компоненты вектора в базисе $$ B $$. Тогда $$ (p_1, p_2) $$ — координаты точки $$ P $$ в системе отсчета $$ R = \ {O; \ overrightarrow {u}, \ overrightarrow {v} \} $$ и запишем $$ P = (p_1, p_2) $$.

Процедура определения координат точки $$ P $$ в заданной системе отсчета следующая:

  1. Из точек $$ O $$ и $$ P $$ определяем вектор $$ \ overrightarrow {OP} $$

  2. Мы выражаем вектор $$ \ overrightarrow {OP} $$ как линейную комбинацию векторов базиса $$ B = \ {\ overrightarrow {u}, \ overrightarrow {v} \} $$, то есть , $$ \ overrightarrow {OP} = p_1 \ cdot \ overrightarrow {u} + p_2 \ cdot \ overrightarrow {v} $$

  3. $$ P = (p_1, p_2) $$

Экспресс-точка $$ P $$ чертежа в системе отсчета $$ R = \ {O; \ overrightarrow {u}, \ overrightarrow {v} \} $$.

  • Рисуем вектор $$ \ overrightarrow {OP} $$:
  • Мы выражаем вектор $$ \ overrightarrow {OP} $$ как линейную комбинацию векторов базиса $$ B = \ {\ overrightarrow {u}, \ overrightarrow {v} \} $$:
  • Получаем $$ \ overrightarrow {OP} = \ overrightarrow {u} +2 \ overrightarrow {v} $$ и поэтому координаты точки $$ P $$ равны $$ P = (1, 2) $$

С этого момента мы будем рассматривать в качестве системы отсчета $$ R $$ систему, образованную началом координат $$ O = (0, 0) $$ и каноническим базисом $$ V_2 $$ $$ B = \ {\ overrightarrow {i}, \ overrightarrow {j} \} $$.

Составляющие вектора, определяемые двумя точками

Давайте теперь посмотрим, как определить компоненты вектора, если мы знаем координаты его конечных точек:

Пусть $$ P = (p_1, p_2) $$ и $$ Q = (q_1, q_2) $$ — две точки плоскости, а $$ \ overrightarrow {PQ} $$ вектор, идущий от $$ P от $$ до $$ Q $$. Тогда компоненты вектора $$ \ overrightarrow {PQ} $$ равны $$ \ overrightarrow {PQ} = (q_1-p_1, q_2-p_2) $$.

Дано $$ P = (2, 6) $$ и $$ Q = (-3, 9) $$. Компоненты вектора $$ \ overrightarrow {PQ} $$: $$ \ overrightarrow {PQ} = (-3 — 2, 9 — 6) = (-5, 3) $$

Применение вектора к точке

Для данной точки $$ P $$ и вектора $$ \ overrightarrow {v} $$ результатом применения вектора к точке будет новая точка $$ Q $$, помещенная в направлении $$ \ overrightarrow { v} $$ и на расстоянии $$ | \ overrightarrow {v} | $$.(модуль вектора $$ \ overrightarrow {v} $$)

Координаты этой новой точки $$ Q $$ вычисляются из координат $$ P = (p_1, p_2) $$ и $$ \ overrightarrow {v} = (v_1, v_2) $$, таким образом, $$$ Q = P + \ overrightarrow {v} = (p_1 + v_1, p_2 + v_2) $$$

ПРИМЕЧАНИЕ. Очень важно помнить, что эта операция сложения имеет смысл только между точкой и вектором. Мы никогда не должны складывать две точки, и результатом сложения двух векторов будет другой вектор, а не точка!

Рассматривая следующий рисунок, определите координаты точки $$ P $$ фигуры, результат применения вектора $$ \ overrightarrow {v} $$ к точке $$ A $$.

Начнем с вычисления компонентов вектора $$ \ overrightarrow {v} $$: $$$ \ overrightarrow {v} = (2 — (-1), 4-2) = (3, 2) $$$
Поскольку $$ P $$ является результатом применения вектора $$ \ overrightarrow {v} $$ к имеющейся у нас точке $$ A $$, $$$ P = A + \ overrightarrow {v} = (0,4) + (3,2) = (3,6) $$$

Середина отрезка

Рассмотрим теперь сегмент с конечными точками $$ A = (a_1, a_2) $$ и $$ B = (b_1, b_2) $$. Пусть $$ M = (m_1, m_2) $$ — середина указанного выше отрезка.Очевидно, что вышеупомянутый пункт удовлетворяет тому, что $$ \ overrightarrow {AB} = 2 \ cdot \ overrightarrow {AM} $$ или что $$ (b_1-a_1, b_2-a_2) = 2 \ cdot (m_1-a_1, m_2- а_2) $$

Разделяя компонент на компонент, получаем:
$$$ \ begin {array} {rcl} b_1-a_1 & = & 2 \ cdot (m_1-a_1) \\ b_2-a_2 & = & 2 \ cdot (m_2-a_2) \ end {array} $$$
и изолируя мы имеем:
$$$ \ begin {array} {rcl} m_1 & = & \ displaystyle \ frac {a_1 + b_1} {2} \\ m_2 & = & \ displaystyle \ frac {a_2 + b_2} {2} \ end {array} $$$
Чтобы мы могли вычислить координаты средней точки сегмента по координатам его конечных точек.

Рассматривая точки $$ A = (-3, 7) $$ и $$ B = (1, 2) $$, найдите среднюю точку отрезка, который они определяют.

Применяя предыдущие формулы, получаем:
$$$ \ begin {array} {rcl} m_1 & = & \ displaystyle \ frac {a_1 + b_1} {2} = \ frac {-3 + 2} {2} = — 1 \\ m_2 & = & \ displaystyle \ frac {a_2 + b_2} {2} = \ frac {7 + 2} {2} = \ frac {9} {2} \ end {array} $$$
Следовательно, середина сегмента $$ AB $$ равна $$ M = (-1, \ displaystyle \ frac {9} {2}) $$

Составная форма вектора с начальной и конечной точками

Основное отношение.Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точки A и конечной точки B, необходимо вычесть соответствующие координаты начальной точки из конечной точки.

Формулы определения координат вектора по заданным координатам его начальной и конечной точек

Формула векторных координат для плоских задач

В случае плоской задачи вектор AB, заданный координатами точек A (A x ; A y ) и B (B x ; B y ), можно найти по следующей формуле

AB = {B x — A x ; B y — A y }

Формула векторных координат для пространственных задач

В случае пространственной задачи вектор AB задается координатами точек A (A x ; A y ; A z ) и B (B x ; B y ; B . z ) можно найти по следующей формуле

AB = {B x — A x ; B y — A y ; B z — A z }

Формула векторных координат для задач n-мерного пространства

В случае задачи n-мерного пространства вектор AB задается координатами точек A (A 1 ; A 2 ;…; A n ) и B (B 1 ; B 2 ; …; B n ) можно найти по следующей формуле

AB = {B 1 — A 1 ; В 2 — А 2 ; …; B n — A n }

Примеры плоских задач

Пример 1. Найдите координаты вектора AB, если A (1; 4), B (3; 1).

Решение: AB = {3 — 1; 1–4} = {2; -3}.

Пример 2. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1}, если координаты точки A (3; -4).

Решение:

AB x = B x — A x => B x = AB x + A x => B x = 5 + 3 = 8
AB y = B y — A y => B y = AB y + A y => B y = 1 + (-4) = -3

Ответ: В (8; -3).

Пример 3. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1}, если координаты точки B (3; -4).

Решение:

AB x = B x — A x => A x = B x — AB x => A x = 3-5 = -2
AB y = B y — A y => A y = B y — AB y => A y = -4-1 = -5

Ответ: A (-2; -5).

Примеры пространственных задач

Пример 4. Найти координаты вектора AB, если A (1; 4; 5), B (3; 1; 1).

Решение: AB = {3 — 1; 1-4; 1–5} = {2; -3; -4}.

Пример 5. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2}, если координаты точки A (3; -4; 3).

Решение:

AB x = B x — A x => B x = AB x + A x => B x = 5 + 3 = 8
AB y = B y — A y => B y = AB y + A y => B y = 1 + (-4) = -3
AB z = B z — A z => B z = AB z + A z => B z = 2 + 3 = 5

Ответ: B (8 ; -3; 5).

Пример 6. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4}, если координаты точки B (3; -4; 1).

Решение:

AB x = B x — A x => A x = B x — AB x => A x = 3-5 = -2
AB y = B y — A y => A y = B y — AB y => A y = -4-1 = -5
AB z = B z — A z => A z = B z — AB z => A z = 1-4 = -3

Ответ: A ( -2; -5; -3).

Примеры задач в n-мерном пространстве

Пример 7. Найдите координаты вектора AB, если A (1; 4; 5; 5; -3), B (3; 0; 1; -2; 5).

Решение: AB = {3 — 1; 0-4; 1-5; -2 — 5; 5 — (-3)} = {2; -4; -4; -7; 8}.

Пример 8. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2; 1}, если координаты точки A (3; -4; 3; 2).

Решение:

AB 1 = B 1 — A 1 => B 1 = AB 1 + A 1 => B 1 = 5 + 3 = 8
AB 2 = B 2 — A 2 => B 2 = AB 2 + A 2 => B 2 = 1 + (-4) = -3
AB 3 = B 3 — A 3 => B 3 = AB 3 + A 3 => B 3 = 2 + 3 = 5
AB 4 = B 4 — A 4 => B 4 = AB 4 + A 4 => B 4 = 1 + 2 = 3

Ответ: B (8 ; -3; 5; 3).

Пример 9. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4; 5}, если координаты точки B (3; -4; 1; 8).

Решение:

AB 1 = B 1 — A 1 => A 1 = B 1 — AB 1 => A 1 = 3-5 = -2
AB 2 = B 2 — A 2 => A 2 = B 2 — AB 2 => A 2 = -4-1 = -5
AB 3 = B 3 — A 3 => A 3 = B 3 — AB 3 => A 3 = 1-4 = -3
AB 4 = B 4 — A 4 => A 4 = B 4 — AB 4 => A 4 = 8 — 5 = 3

Ответ: A (- 2; -5; -3; 3).

Вектор координат

— обзор

Замечание 1.5.2

Обратите внимание, что процедура определения порога является нелинейной операцией: индексы ( j , k ) сохраненных коэффициентов зависят от функции, которую нужно аппроксимировать. В частности, это означает, что для описания такого адаптивного приближения необходимо хранить как значения сохраненных коэффициентов, так и их индексы. Другой естественный способ определения таких нелинейных приближений — это задание количества сохраняемых коэффициентов, а не порога, т.е.е. определите f N как приближение к вышеупомянутому f, сохраняя его N наибольших вейвлет-коэффициентов. Затем разреженность многомасштабного представления можно измерить по убыванию ‖fN − f‖L2 по мере того, как N переходит к + ∞, то есть супремум всех s таких, что

(1.5.1) ‖fN− f‖L2≤CN − s.

В частном случае приведенного выше примера можно легко получить из оценок на | d j, k | , эта ошибка затухает как N −1 или N −2 при использовании соответственно системы Хаара или базиса Шаудера.Общие результаты по нелинейным приближениям будут представлены в Chapter 4 . В частности, эти результаты будут означать, что (1.5.1) выполняется с произвольно большим s для приведенного выше примера, при условии, что используется вейвлет-базис достаточно высокой точности. Это контрастирует с линейной аппроксимацией, которая определяет f N , сохраняя N первых коэффициентов f, то есть f N : = P j f, когда N = 2 j . В этом случае по существу невозможно улучшить скорость N −1 в приведенном выше примере, даже при использовании вейвлетов высокого порядка, из-за наличия сингулярностей (для базиса Шаудера «сверхсходимость» явление все еще имеет место в нашем примере, поскольку сингулярности расположены в точках грубой сетки, что приводит к искусственно более высокой скорости N −2 log ( N ) ). Это также контрастирует с нелинейным приближением в других базисах, таких как ряд Фурье: коэффициенты Фурье c N ( f ) в приведенном выше примере не являются разреженными в том смысле, что они ведут себя как O (| N | −3/2) для всех N.В свою очередь, ошибки линейного и нелинейного приближения L 2 ведут себя как N −1 .

Теперь мы проиллюстрируем свойства сжатия многомасштабных разложений в случае двумерных функций, связанных с математическим представлением изображений . Цифровое черно-белое изображение представляет собой двумерный массив I ( m , n ), измеряющий интенсивность уровня серого в каждой точке (или «пиксель»: элемент изображения) ( m , n ).В качестве примера на рисунке 1.5.5 показано изображение размером 512 × 512, каждый пиксель квантован по 8 битам, то есть 256 возможных уровней серого (0 для черного, 255 для белого). Многомасштабное разложение тензорного произведения, которое обобщает систему Хаара для функций двух переменных, специально адаптировано для представления таких изображений: мы можем идентифицировать цифровое изображение на рисунке 1.5.5 с функцией в V 9 и перейти к многомасштабное разложение с использованием сепарабельного алгоритма, описанного в § 1.4.

Рисунок 1.5.5. Оцифрованное изображение: 512 × 512 пикселей и 256 уровней серого

Мы отображаем организацию декомпозиции на четырех уровнях на рисунке 1.5.6: коэффициенты самого грубого приближения (в V 5 ) отображаются в верхнем левом углу , а остальная часть массива содержит вейвлет-коэффициенты с промежуточным разрешением.

Рисунок 1.5.6. Многомасштабное разложение тензорного произведения

В рамках обработки изображений иногда нормализует базисные функции в L 1 вместо L 2 : ϕ j, k ( x , y ) = 2 2 j ϕ (2 j x k x , 2 j y k y ), для k = ( k x , k y ), и аналогично для ψ .Эта нормализация позволяет нам визуализировать многомасштабную декомпозицию нашего изображения как другого изображения: коэффициенты аппроксимации — это в точности средние значения изображения на квадратах пикселей и, следовательно, также находятся в диапазоне от 0 до 255, а также абсолютные значения вейвлет-коэффициентов. Мы отображаем это изображение разложения на рис. 1.5.7: коэффициенты самого грубого приближения появляются как упрощенная версия изображения. Остальная часть массива содержит абсолютные значения вейвлет-коэффициентов: как и ожидалось, в основном она разреженная, за исключением краев.Как было отмечено о разложении тензорного произведения (замечание 1.4.1), вертикальные и горизонтальные ребра сопоставляются с помощью определенного вейвлета.

Рисунок 1.5.7. Мультимасштабное разложение изображения

На рисунке 1.5.8 мы реконструировали изображение с 2000 наибольшими коэффициентами (после перенормировки в L 2 ), то есть с уменьшением параметра выше 100.

Рисунок 1.5.8. Реконструкция по 2000 наибольшим коэффициентам

Очевидно, что система Хаара не очень хорошо приспособлена для задачи представления изображений с несколькими коэффициентами: появляются визуальные артефакты, отражающие квадратные разрывы производящих функций.Однако мы снова наблюдаем, что стратегия пороговой обработки генерирует адаптивную аппроксимацию изображения в том смысле, что уровень разрешения увеличивается по краям.

Наконец, мы хотим показать, что многомасштабная декомпозиция также может применяться для «сжатия» операторов в интегральных уравнениях. Такие уравнения возникают во многих контекстах, либо как прямое моделирование физического процесса, либо как альтернативные формулировки дифференциальных уравнений в частных производных. Они включают применение или обращение интегрального оператора T , определенного формулой типа

(1.5.2) Tf (x) = ∫K (x, y) f (y) dy,

, где ядро ​​ K ( x , y ) — это функция, которая поддерживается во всех диапазонах x и y . Распределенный характер K ( x , y ) имеет следующие непосредственные последствия: обычная дискретизация T — на основе методов конечных элементов или прямой выборки K ( x , y ). ) — в результате получаются полностью заполненные матрицы, которые сложно хранить, применять или инвертировать.

Чтобы понять, как многомасштабная декомпозиция может «разрежить» представление T , давайте рассмотрим простой случай, когда x и y находятся в диапазоне I = [0, 1]. Обозначим через V J , J ≥ 0, пространство кусочно-постоянных функций, определенных в §1.2 и адаптированных к I , и φ J, k , k = 0, ⋯ , 2 J — 1, его ортонормированный базис.Затем мы определяем дискретизацию T на V j как матрицу

(1.5.3) TJ = (〈TφJ, m, φJ, n〉) m, n = 0, ⋯, 2J − 1 .

Эта матрица естественно появляется в двух разных ситуациях.

1.

Приблизительное действие T на функцию: при f , найти приближение g J дюйм V J из g = 9095 ТФ . Для этого мы можем начать с аппроксимации f на f J V J , а затем определить g J = P J Tf J , где P J — ортогональная проекция.Затем вычисление вектора координат G J из g J (в базисе φ J, k ) выполняется путем применения T J к вектору координат F J из f J .

2.

Приблизительное действие T −1 на функцию: при f , найти приближение g J V J из

2 g раствор Tg = f .Метод Галеркина заключается в поиске g J V J таких, что 〈TgJ, uJ〉 = 〈f, uJ〉 для всех u J V J , т.е. решение T J G J = F J , где F J — вектор координат f J = P J f и G J вектор координат неизвестного g J .

Корректность системы во второй задаче, а также оценки ошибок, которые могут быть получены в некоторой предписанной норме для обеих задач, конечно, зависят от специфики оператора T и данные f .

Поскольку матричные элементы T J имеют вид

(1.5.4) TJ (m, n) = 〈TφJ, m, φJ, n〉 = ∫K (x, y) φJ, m (x) φJ, n (y) dxdy,

ясно, что распределенная природа K ( x , y ) приведет к полной матрице.Например, если у нас есть равномерная граница | K ( x , y ) | ≤ C , мы уверены, что (1.5.2) определяет ограниченный оператор в L 2 ( I ), и что операторы T J ограничены независимо от J . Мы также получаем из (1.5.4) оценку | TJ (m, n) | <˜2 − J, но эта оценка априори не позволяет аппроксимировать T J по операторной норме разреженной матрицей .

Если теперь использовать многомасштабную основу, то есть φ j 0 , k , k = 0, ⋯ 2 j 0 — 1, и ψ j, k , j 0 j < J , k = 0, ⋯, 2 j — 1, чтобы переформулировать обе задачи, получаем новую матрицу S J , элементы которого обычно имеют вид

(1.5.5) SJ (j, l, m, n) = 〈Tψj, m, ψl, n〉 = ∫K (x, y) ψj, m (x) ψl, n (y) dxdy,

для j 0 < j , l < J — 1, м = 0,, 2 j — 1, n = 0, ⋯, 2 l — 1 (с аналогичными выражениями для тех элементов, которые содержат базисные функции φ j 0 , k ). Из (1.5.5) видно, что S J просто получается путем применения к T J вейвлет-разложения «полного тензорного произведения», описанного в Замечании 1.4.3: дискретизированное ядро ​​«обрабатывается» как цифровое изображение. Структура результирующей матрицы представлена ​​на рисунке 1.5.9 в случае, когда J = 4 и j 0 = 1.

Рисунок 1.5.9. Мультимасштабная дискретизация ядра

Таким образом, мы можем надеяться получить некоторую разреженность, когда ядро ​​будет иметь некоторые свойства гладкости. В частности, если K ( x , y ) равно C 1 на опоре ψj, m (x) ψl, n (y), мы можем использовать тот же метод, что и в замечании 1 .5.1, чтобы получить оценку

(1.5.6) | SJ (j, l, m, n) | ≤ [supIj, m × Il, n | ∇K |] 2−2max {j, l},

что, в отличие от грубой оценки, которая была у нас для T J , может позволить нам отбросить многие коэффициенты, сохранив хорошее приближение к S J .

В качестве примера рассмотрим оператор однослойного логарифмического потенциала, который связывает плотность электрического заряда на бесконечном цилиндре единичного радиуса {(z, ei2πx), z∈ℝ, x∈ [0,1]} с индуцированным потенциал на том же цилиндре, когда обе функции не зависят от переменной z .Ассоциированное ядро ​​

(1.5.6) K (x, y) = log | ei2πx − ei2πy |.

— единственное число на диагонали { x = y }, но интегрируемое.

Начиная с дискретизации T 9 в V 9 , мы вычисляем многомасштабную матрицу S˜9 и определяем разреженную матрицу S 9 , обнуляя все элементы S 9 с модулем менее 10 −2 × 2 −9 . Мы отображаем на рисунке 1.5.10 расположение сохраненных коэффициентов: на каждом подблоке S 9 , что соответствует паре шкалы ( j , l ), неудивительно, что мы находим важные коэффициенты около диагонали, поскольку он соответствует особой части ядра.

Рисунок 1.5.10. Разрезание ядра логарифмического потенциала

Это приближение S 9 содержит приблизительно 30000 ненулевых записей, то есть коэффициент сжатия около 10.Чтобы оценить ее точность, мы можем использовать следующую простую версию леммы Шура для матриц (общую версию см. В главе 4, лемма 4.6.1)

(1.5.8) ‖A‖2≤ [supj∑i | Ai, j |] [supi∑j | Ai, j |],

, что дает оценку ошибки в норме оператора

(1.5.9) ‖S9 − S˜9‖≤10−2.

Расчет координат вектора онлайн

Описание:

Векторный калькулятор позволяет вычислять координаты вектора из координат двух точек в режиме онлайн.

vector_coordinates онлайн


Описание:

Векторный калькулятор позволяет определить координаты вектора из двух точек , он применяется к
точки на плоскости и в пространстве. Векторный калькулятор возвращает шаги расчета.

  1. Вычислить координаты вектора из двух точек на плоскости
  2. Пусть (O, `vec (i)`, `vec (j)`) система, A и B две точки, которые являются соответствующими координатами (`x_a`,` y_ (a) `) и (` x_ (b) ` , `y_ (b)`) в
    система (O, `vec (i)`, `vec (j)`).

    Координаты вектора `vec (AB)` равны (`x_ (b)` -`x_ (a) `,` y_ (b) `-`y_ (a)`) в системе (O, `vec (i) `,` vec (j) `).

    Векторный калькулятор может вычислять числовые или символьные координаты.

    Пусть A (1; 2) B (3; 5) для вычисления координат вектора `vec (AB)`, введите
    vector_coordinates (`[1; 2]; [3; 5]`).

    Пусть A (a; b) B (2 * a; `b / 2`) для вычисления координат вектора` vec (AB) `, введите
    vector_coordinates (`[a; b]; [2 * a; b / 2]`).

  3. Вычислить координаты вектора из двух точек в пространстве
  4. Пусть (O, `vec (i)`, `vec (j)`, `vec (k)`) система, A и B две точки, которые являются соответствующими координатами (`x_a`,` y_ (a) `,` z_ (а) `)
    и (`x_ (b)`, `y_ (b)`, `z_ (a)`) в системе (O, `vec (i)`, `vec (j)`, `vec (k)`) .

    Координаты вектора `vec (AB)` следующие: (`x_ (b)` -`x_ (a) `,` y_ (b) `-`y_ (a)`, `z_ (b)` -`z_ (a) `) в системе (O,` vec (i) `,` vec (j) `,` vec (k) `).

    Векторный калькулятор позволяет вычислять числовые или символьные координаты.

    Пусть A (1; 2; 1) B (3; 5; 2) для вычисления координат вектора `vec (AB)`, введите
    vector_coordinates (`[1; 2; 1]; [3; 5; 2]`)
    , возвращается результат [2; 3; 1].

    Пусть A (a; b, c) B (2 * a; 2-b, c + 1) для вычисления координат вектора `vec (AB)`, введите
    vector_coordinates (`[a; b; c]; [2 * a; 2-b; c + 1]`)
    , возвращается результат [a; 2-2 * b; 1].

  5. Вычислить координаты вектора из 2 точек в системе любой размерности
  6. Векторный калькулятор используется по тому же принципу для систем любой размерности.

Векторный калькулятор позволяет вычислять координаты вектора из координат двух точек в режиме онлайн.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.