Нахождение длины вектора по его координатам: Как найти длину вектора? Ответ на webmath.ru

Содержание

примеры и решения, формулы и теоремы

Длина вектора — основные формулы

Длину вектора a→ будем обозначать a→. Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан некоторый вектор a→ с координатами ax;ay. Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a→ через координаты ax и ay.

От начала координат отложим вектор OA→=a→. Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как Ax и Ay . Теперь рассмотрим прямоугольник OAxAAy с диагональю OA.

Из теоремы Пифагора следует равенство OA2=OAx2+OAy2, откуда OA=OAx2+OAy2. Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что OAx2=ax2 и OAy2=ay2, а по построению длина OA равна длине вектора OA→, значит, OA→=OAx2+OAy2.

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay имеет соответствующий вид: a→=ax2+ay2.

Если вектор a→ дан в виде разложения по координатным векторам a→=ax·i→+ay·j→, то вычислить его длину можно по той же формуле a→=ax2+ay2, в данном случае коэффициенты ax и ay выступают в роли координат вектора a→ в заданной системе координат.

Пример 1

Вычислить длину вектора a→=7;e, заданного в прямоугольной системе координат.

Решение

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатамa→=ax2+ay2: a→=72+e2=49+e

Ответ: a→=49+e.

Формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay;az по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае OA2=OAx2+OAy2+OAz2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда OA=OAx2+OAy2+OAz2. Из определения координат вектора можем записать следующие равенства OAx=ax; OAy=ay; OAz=az; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, OA→=OAx2+OAy2+OAz2.

Отсюда следует, что длина вектора a→=ax;ay;az равна a→=ax2+ay2+az2.

Пример 2

Вычислить длину вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, где i→,j→,k→ — орты прямоугольной системы координат.

Решение

Дано разложение вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, его координаты равны a→=4,-3,5. Используя выше выведенную формулу получим a→=ax2+ay2+az2=42+(-3)2+52=52.

Ответ:a→=52.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A(ax;ay) и B(bx;by), отсюда вектор AB→ имеет координаты (bx-ax; by-ay)значит, его длина может быть определена по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2

А если даны точки с заданными координатами A(ax;ay;az) и B(bx;by;bz) в трехмерном пространстве, то длину вектора AB→ можно вычислить по формуле

AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2

Пример 3

Найти длину вектора AB→, если в прямоугольной системе координат A1, 3, B-3, 1.

Решение

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2: AB→=(-3-1)2+(1-3)2=20-23.

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: AB→=(-3-1; 1-3)=(-4; 1-3); AB→=(-4)2+(1-3)2=20-23.-

Ответ: AB→=20-23.

Пример 4

Определить, при каких значениях  длина вектора AB→ равна 30, еслиA(0, 1, 2); B(5, 2, λ2) .

Решение

Для начала распишем длину вектора AB→ по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2=(5-0)2+(2-1)2+(λ2-2)2=26+(λ2-2)2

Затем полученное выражение приравняем к 30, отсюда найдем искомые λ:

 26+(λ2-2)2=3026+(λ2-2)2=30(λ2-2)2=4λ2-2=2 или λ2-2=-2  λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

Ответ: λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов AB→, AC→ и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора BC→ или CB→. В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ABC, вычислить длину стороны BC, которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Пример 5

Длины векторов AB→ и AC→ равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π3. Вычислить длину вектора BC→.

Решение

Длина вектора BC→ в данном случае равна длине стороны BC треугольника △ABC. Длины сторон AB и AC треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов:BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos∠(AB,→AC→)=32+72-2·3·7·cosπ3=37 ⇒BC=37 Таким образом, BC→=37.

Ответ:BC→=37.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a→=ax2+ay2 или a→=ax2+ay2+az2, по координатам точек начала и конца вектора AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2 или AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2, в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Модуль вектора. Длина вектора.

Навигация по странице:

Определение длины вектора

Определение.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Основное соотношение. Длина вектора |a| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Формулы длины вектора

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = {ax ; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = {ax ; ay ; az} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства модуль вектора a = {a1 ; a2; . .. ; an} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = ( n ai2)1/2
Σ
i=1

Примеры задач на вычисление длины вектора

Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Пример 1. Найти длину вектора a = {2; 4}.

Решение: |a| = √22 + 42 = √4 + 16 = √20 = 2√5.

Пример 2. Найти длину вектора a = {3; -4}.

Решение: |a| = √32 + (-4)2 = √9 + 16 = √25 = 5.

Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи

Пример 3. Найти длину вектора a = {2; 4; 4}.

Решение: |a| = √22 + 42 + 42 = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Пример 4. Найти длину вектора a = {-1; 0; -3}.

Решение: |a| = √(-1)2 + 02 + (-3)2 = √1 + 0 + 9 = √10.

Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3

Пример 5. Найти длину вектора a = {1; -3; 3; -1}.

Решение: |a| = √12 + (-3)2 + 32 + (-1)2 = √1 + 9 + 9 + 1 = √20 = 2√5

Пример 6. Найти длину вектора a = {2; 4; 4; 6 ; 2}.

Решение: |a| = √22 + 42 + 42 + 62 + 22 = √4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √76 = 2√19.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

вектор длина

Вы искали вектор длина? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление длины вектора, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «вектор длина».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как вектор длина,вычисление длины вектора,вычисление длины вектора по его координатам,вычисление длины вектора по его координатам доказательство,вычислить длину вектора,длина вектор,длина вектора,длина вектора c,длина вектора в пространстве,длина вектора как найти,длина вектора как обозначается,длина вектора модуль вектора,длина вектора определение,длина вектора по двум точкам,длина вектора по его координатам,длина вектора по координатам,длина вектора по координатам начала и конца,длина вектора по координатам точек,длина вектора по координатам формула,длина вектора равна,длина вектора равна квадратному корню из суммы его координат,длина вектора формула,длина вектора формула по координатам,длина вектора через координаты,длина вектора это,длина векторов,длина векторов по координатам,длина через координаты вектора,длину вектора,длины векторов,длины векторов как найти,как в прямоугольнике найти длины векторов,как вычислить длину вектора,как вычислить длину вектора по координатам,как зная координаты вектора найти его длину,как зная координаты найти длину вектора,как найти длина вектора,как найти длину вектора,как найти длину вектора ав,как найти длину вектора если известны его координаты,как найти длину вектора если известны координаты вектора,как найти длину вектора зная его координаты,как найти длину вектора зная его координаты начала и конца,как найти длину вектора зная координаты,как найти длину вектора зная координаты его начала и конца,как найти длину вектора и координаты,как найти длину вектора по двум точкам,как найти длину вектора по его координатам,как найти длину вектора по координатам,как найти длину вектора по координатам двух точек,как найти длину вектора по координатам начала и конца,как найти длину вектора формула,как найти длину вектора через координаты,как найти длину векторов,как найти длину и координаты вектора,как найти длины векторов,как найти длины векторов по координатам,как найти квадрат длины вектора,как найти координаты вектора если известна длина вектора,как найти координаты вектора зная длину,как найти координаты вектора зная его длину,как найти координаты вектора зная его длину и координаты начала,как найти координаты вектора и длину,как найти координаты вектора через длину,как найти координаты и длину вектора,как находить длину вектора,как обозначается длина вектора,как определить длину вектора,как определить длину вектора по координатам,как узнать длину вектора,как узнать длину вектора по координатам,квадрат длины вектора формула,координаты вектора длина вектора,модуль вектора длина вектора,модуль вектора определение,найдите длину и координаты вектора,найдите длины векторов,найти длину вектора,найти длину вектора по координатам,найти длину вектора по координатам точек,найти длину и координаты вектора,найти длину по координатам точек вектора,найти длины векторов,найти координаты вектора и длину,найти координаты и длину вектора,нахождение длины вектора,нахождение длины вектора по его координатам,определение вектора длина вектора,определение вектора длины,определение вектора длины вектора,определение длина вектора,определение длины вектора,определение модуль вектора,по координатам точек найти длину вектора,формула вычисления длины вектора,формула вычисления длины вектора по его координатам,формула длина вектора,формула длины вектора,формула длины вектора по его координатам,формула для вычисления длины вектора по его координатам,формула для нахождения длины вектора,формула как найти длину вектора,формула квадрат длины вектора,формула модуля вектора,формула нахождения длины,формула нахождения длины вектора,формула нахождения длины вектора по его координатам,чему равна длина вектора,что такое длина вектора. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и вектор длина. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, вычисление длины вектора по его координатам).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вектор длина Онлайн?

Решить задачу вектор длина вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Нахождение длины вектора через координаты начала и. Вектор. Координаты вектора

На оси абсцисс и ординат называются координатами
вектора
.
Координаты вектора общепринято указывать в виде (х, у)
, а сам вектор как: =(х, у).

Формула определения координат вектора для двухмерных задач.

В случае двухмерной задачи вектор с известными координатами точек
A(х 1 ;у 1)
и B(x
2
;
y
2
)
можно вычислить:

= (x 2 — x 1 ; y 2
— y 1).

Формула определения координат вектора для пространственных задач.

В случае пространственной задачи вектор с известными координатами точек
A(х 1 ;у 1 ;
z
1
)
и B(x
2
;
y
2
;
z
2
)
можно вычислить применив формулу:

= (x
2

x
1
;
y
2

y
1
;
z
2

z
1
).

Координаты дают всеобъемлющую характеристику вектора, поскольку по координатам есть возможность построить и сам вектор. Зная координаты, легко вычислить и длину вектора
. (Свойство 3, приведенное ниже).

Свойства координат вектора.

1. Любые равные векторы
в единой системе координат имеют равные координаты
.

2. Координаты коллинеарных векторов
пропорциональны. При условии, что ни один из векторов не равен нулю.

3. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат
.

4.При операции умножения вектора
на действительное число
каждая его координата умножается на это число.

5. При операции сложения векторов вычисляем сумму соответствующие координаты векторов
.

6. Скалярное произведение
двух векторов равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор, как находить его длину, и как умножать вектор на число, а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.

Как обычно, немного самой необходимой теории.

Вектор
— это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:

Здесь точка А — начало вектора, а точка В — его конец.

У вектора есть два параметра: его длина и направление.

Длина вектора
— это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается

Два вектора называются равными
, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Два вектора называются сонаправленными
, если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора и сонаправлены:

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора и , а также и направлены в противоположные стороны:

Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными
: вектора , и — коллинеарны.

Произведением вектора
на число
называется вектор, сонаправленный вектору , если title=»k>0″>, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :

Чтобы сложить два вектора
и , нужно начало вектора соединить с концом вектора . Вектор суммы соединяет начало вектора с концом вектора :

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника
.

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма
, нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку начала векторов с противоположным углом параллелограмма:

Разность двух векторов
определяется через сумму: разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор :

Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов
: чтобы из вектора вычесть вектор , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора с концом вектора (то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):

Чтобы найти угол между вектором и вектором
, нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами:

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Предлагаю вам решить задачи из Открытого банка заданий для , а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:

1
. Задание 4 (№ 27709)

Две стороны прямоугольника ABCD
равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов и .

2
. Задание 4 (№ 27710)

Две стороны прямоугольника ABCD
равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

3
. Задание 4 (№ 27711)

Две стороны прямоугольника ABCD
O
. Найдите длину суммы векторов и .

4
. Задание 4 (№ 27712)

Две стороны прямоугольника ABCD
равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O
. Найдите длину разности векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

5
. Задание 4 (№ 27713)

Диагонали ромба ABCD
равны 12 и 16. Найдите длину вектора .

6
. Задание 4 (№ 27714)

Диагонали ромба ABCD
равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .

7
.Задание 4 (№ 27715)

Диагонали ромба ABCD
равны 12 и 16. Найдите длину вектора — .(чертеж из предыдущей задачи).

8
.Задание 4 (№ 27716)

Диагонали ромба ABCD
равны 12 и 16. Найдите длину вектора — .

9
. Задание 4 (№ 27717)

Диагонали ромба ABCD
пересекаются в точке O
и равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .

10
. Задание 4 (№ 27718)

Диагонали ромба ABCD
пересекаются в точке O
и равны 12 и 16. Найдите длину вектора — .(чертеж из предыдущей задачи).

11
.Задание 4 (№ 27719)

Диагонали ромба ABCD
пересекаются в точке O
и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов и .(чертеж из предыдущей задачи).

12
. Задание 4 (№ 27720)

ABC
равны Найдите длину вектора +.

13
. Задание 4 (№ 27721)

Стороны правильного треугольника ABC
равны 3. Найдите длину вектора -.(чертеж из предыдущей задачи).

14
. Задание 4 (№ 27722)

Стороны правильного треугольника ABC
равны 3. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр «Час ЕГЭ», попробуйте скачать
Firefox

Oxy

О
А
ОА
.

, откуда ОА
.

Таким образом, .

Рассмотрим пример.

Пример.

Решение.

:

Ответ:

Oxyz
в пространстве.

А
ОА
будет диагональю.

В этом случае (так как ОА
ОА
.

Таким образом, длина вектора .

Пример.

Вычислите длину вектора

Решение.

, следовательно,

Ответ:

Прямая на плоскости

Общее уравнение

Ax + By + C ( > 0).

Вектор = (А; В)
— нормальный вектор прямой.

В векторном виде: + С = 0
, где — радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

Частные случаи:

1) By + C = 0
— прямая параллельна оси Ox
;

2) Ax + C = 0
— прямая параллельна оси Oy
;

3) Ax + By = 0
— прямая проходит через начало координат;

4) y = 0
— ось Ox
;

5) x = 0
— ось Oy
.

Уравнение прямой в отрезках

где a, b
— величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Нормальное уравнение прямой
(рис. 4.11)

где — угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox
; p
— расстояние от начала координат до прямой.

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь — нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C
, если и произвольно, если C = 0
.

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора будем обозначать . Из-за такого обозначения длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy
. Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

Отложим от начала координат (от точки О
) вектор . Обозначим проекции точки А
на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА
.

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координатмы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА
равна длине вектора , следовательно, .

Таким образом, формула для нахождения длины вектора
по его координатам на плоскости имеет вид .

Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

Решение.

Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :

Ответ:

Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz
в пространстве.

Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А
на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА
будет диагональю.

В этом случае (так как ОА
– диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА
равна искомой длине вектора, следовательно, .

Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат
, то есть, находится по формуле .

Пример.

Вычислите длину вектора , где — орты прямоугольной системы координат.

Решение.

Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

Определение 3

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

Определение 4

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:
1. Они сонаправлены;
1. Их длины равны (рис. 2).

Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ — единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.

Определение 5

Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

$\overline{c}={m,n}$

Как найти длину вектора?

Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

Пример 1

Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.

Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. 2}$.

Вывод:
Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

Пример задач

Пример 2

Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.

Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что

Сумма векторов. Длина вектора. Дорогие друзья, в составе типов задний экзамена присутствует группа задач с векторами. Задания довольно широкого спектра (важно знать теоретические основы). Большинство решается устно. Вопросы связаны с нахождением длины вектора, суммы (разности) векторов, скалярного произведения. Так же много заданий, при решении которых необходимо осуществить действия с координатами векторов.

Теория касающаяся темы векторов несложная, и её необходимо хорошо усвоить. В этой статье разберём задачи связанные с нахождением длины вектора, также суммы (разности) векторов. Некоторые теоретические моменты:

Понятие вектора

Вектор — это направленный отрезок.

Все векторы, имеющие одинаковое направление и равные по длине являются равными.

*Все представленные выше четыре вектора равны!

То есть, если мы будем при помощи параллельного переноса перемещать данный нам вектор, то всегда получим вектор равный исходному. Таким образом, равных векторов может быть бесчисленное множество.

Обозначение векторов

Вектор может быть обозначен латинскими заглавными буквами, например:

При данной форме записи сначала записывается буква обозначающая начало вектора, затем буква обозначающая конец вектора.

Ещё вектор обозначается одной буквой латинского алфавита (прописной):

Возможно также обозначение без стрелок:

Суммой двух векторов АВ
и ВС
будет являться вектор АС
.

Записывается как АВ
+ВС
=АС
.

Это правило называется – правилом треугольника
.

То есть, если мы имеем два вектора – назовём их условно (1) и (2), и конец вектора (1) совпадает с началом вектора (2), то суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом вектора (1), а конец совпадает с концом вектора (2).

Вывод: если мы имеем на плоскости два вектора, то всегда сможем найти их сумму. При помощи параллельного переноса можно переместить любой из данных векторов и соединить его начало с концом другого. Например:

Перенесём вектор b
, или по-другому – построим равный ему:

Как находится сумма нескольких векторов? По тому же принципу:

* * *

Правило параллелограмма

Это правило является следствием изложенного выше.

Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Построим вектор равный вектору b
так, чтобы его начало совпадало с концом вектора a
, и мы можем построить вектор, который будет являться их суммой:

Ещё немного важной информации, необходимой для решения задач.

Вектор, равный по длине исходному, но противоположно направленный, обозначается также но имеет противоположный знак:

Эта информация крайне полезна для решения задач, в которых стоит вопрос о нахождении разности векторов. Как видите, разность векторов это та же сумма в изменнёном виде.

Пусть даны два вектора, найдём их разность:

Мы построили вектор противоположный вектору b, и нашли разность.

Координаты вектора

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть соответствующие координаты начала:

То есть, координаты вектора представляют собой пару чисел.

Если

И координаты векторов имеют вид:

То c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

Если

То c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2

Модуль вектора

Модулем вектора называется его длина, определяется по формуле:

Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:

Рассмотрим задачи:

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину разности векторов АО
и ВО
.

Найдём вектор, который будет являться результатом АО
–ВО:

АО
–ВО
=АО
+(–ВО
)=АВ

То есть разность векторов АО и
ВО будет являться вектор АВ. А его длина равна восьми.

Диагонали ромба ABCD
равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ
+AD
.

Найдём вектор, который будет являться суммой векторов AD
и AB
BC
равен вектору AD
. Значит AB
+AD
=AB
+BC
=AC

AC
это длина диагонали ромба АС
, она равна 16.

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O
и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО
+ВО
.

Найдём вектор, который будет являться суммой векторов АО
и ВО
ВО
равен вектору OD, з
начит

AD
это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы в прямоугольном треугольнике AOD. Вычислим катеты:

По теореме Пифагора:

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО
–ВО
.

Найдём вектор, который будет являться результатом АО
–ВО
:

АВ
это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы АВ в прямоугольном треугольнике AOB. вычислим катеты:

По теореме Пифагора:

Стороны правильного треугольника ABC равны 3.

Найдите длину вектора АВ
–АС
.

Найдём результат разности векторов:

СВ
равна трём, так как в условии сказано, что треугольник равносторонний и его стороны равны 3.

27663. Найдите длину вектора а
(6;8).

27664. Найдите квадрат длины вектора АВ
.

Вычисление длины вектора по его координатам правило. Как найти координаты вектора. Как найти координаты вектора онлайн

Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .

От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .

Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора
a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .

Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.

Пример 1

Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.

Решение

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Ответ:

a → = 49 + e .

Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Пример 2

Вычислить длину вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной системы координат.

Решение

Дано разложение вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , — 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 .

Ответ:

a → = 5 2 .

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A (a x ; a y) и B (b x ; b y) , отсюда вектор A B → имеет координаты (b x — a x ; b y — a y) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2

А если даны точки с заданными координатами A (a x ; a y ; a z) и B (b x ; b y ; b z) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле

A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 + (b z — a z) 2

Пример 3

Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B — 3 , 1 .

Решение

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2: A B → = (- 3 — 1) 2 + (1 — 3) 2 = 20 — 2 3 .

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = (- 3 — 1 ; 1 — 3) = (- 4 ; 1 — 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 — 3) 2 = 20 — 2 3 . —

Ответ:

A B → = 20 — 2 3 .

Пример 4

Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A (0 , 1 , 2) ; B (5 , 2 , λ 2) .

Решение

Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 + (b z — a z) 2 = (5 — 0) 2 + (2 — 1) 2 + (λ 2 — 2) 2 = 26 + (λ 2 — 2) 2

Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ:

26 + (λ 2 — 2) 2 = 30 26 + (λ 2 — 2) 2 = 30 (λ 2 — 2) 2 = 4 λ 2 — 2 = 2 и л и λ 2 — 2 = — 2 λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Ответ:

λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Пример 5

Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .

Решение

Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 — 2 · A B · A C · cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 — 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .

Ответ:

B C → = 37 .

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 или A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 + (b z — a z) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

  • 6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
  • 11. Выражение скалярного произведения вектора через координаты сомножителей. Теорема.
  • 12. Длина вектора, длина отрезка, угол между векторами, условие перпендикулярности векторов.
  • 13. Векторное произведение векторов, его свойства. Площадь параллелограмма.
  • 14. Смешанное произведение векторов, его свойства. Условие компланарности вектора. Объем параллелепипеда. Объём пирамиды.
  • 15. Способы задания прямой на плоскости.
  • 16. Нормальное уравнение прямой на плоскости (вывод). Геометрический смысл коэффициентов.
  • 17. Уравнение прямой на плоскости в отрезках (вывод).
  • Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках.
  • 18. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом (вывод).
  • 19. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки (вывод).
  • 20. Угол между прямыми на плоскости (вывод).
  • 21. Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод).
  • 22. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости (вывод).
  • 23. Уравнение плоскости. Нормальное уравнение плоскости (вывод). Геометрический смысл коэффициентов.
  • 24. Уравнение плоскости в отрезках (вывод).
  • 25. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (вывод).
  • 26. Угол между плоскостями (вывод).
  • 27. Расстояние от точки до плоскости (вывод).
  • 28. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей (вывод).
  • 29. Уравнения прямой в r3. Уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки (вывод).
  • 30. Канонические уравнения прямой в пространстве (вывод).
  • Составление канонических уравнений прямой в пространстве.
  • Частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.
  • Канонические уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства.
  • Переход от канонических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой.
  • 31. Угол между прямыми (вывод).
  • 32. Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод).
  • Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения.
  • Первый способ нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
  • Второй способ, позволяющий найти расстояние от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
  • Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
  • Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.
  • Первый способ нахождения расстояния от точки до прямойaв пространстве.
  • Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямойaв пространстве.
  • 33. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
  • 34. Взаимное расположение прямых в пространстве и прямой с плоскостью.
  • 35. Классическое уравнение эллипса (вывод) и его построение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид, где– положительные действительные числа, причём.Как построить эллипс?
  • 36. Классическое уравнение гиперболы (вывод) и его построение. Асимптоты.
  • 37. Каноническое уравнение параболы (вывод) и построение.
  • 38. Функция. Основные определения. Графики основных элементарных функций.
  • 39. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
  • 40. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теорема о связи между ними, свойства.
  • 41. Теоремы о действиях над переменными величинами, имеющими конечные пределы.
  • 42. Число e.
  • Содержание
  • Способы определения
  • Свойства
  • История
  • Приближения
  • 43. Определение предела функции. Раскрытие неопределённостей.
  • 44. Замечательные пределы, их вывод. Эквивалентные бесконечно малые величины.
  • Содержание
  • Первый замечательный предел
  • Второй замечательный предел
  • 45. Односторонние пределы. Непрерывность и разрывы функции. Односторонние пределы
  • Левый и правый пределы функции
  • Точка разрыва первого рода
  • Точка разрыва второго рода
  • Точка устранимого разрыва
  • 46. Определение производной. Геометрический смысл, механический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой и точке.
  • 47. Теоремы о производной обратной, сложной функций.
  • 48. Производные простейших элементарных функций.
  • 49. Дифференцирование параметрических, неявных и степенно-показательных функций.
  • 21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
  • 21.1. Неявно заданная функция
  • 21.2. Функция, заданная параметрически
  • 50. Производные высших порядков. Формула Тейлора.
  • 51. Дифференциал. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
  • 52. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
  • 53. Теорема о необходимом и достаточном условиях монотонности функции.
  • 54. Определение максимума, минимума функции. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования экстремума функции.
  • Теорема (необходимое условие экстремума)
  • 55. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования точек перегиба.
  • Доказательство
  • 57. Определители n-ого порядка, их свойства.
  • 58. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы.
  • Определение
  • Связанные определения
  • Свойства
  • Линейное преобразование и ранг матрицы
  • 59. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.
  • 60. Системы линейных уравнений. Матричное решение систем линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.
  • Решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры.
  • Определения, понятия, обозначения.
  • Решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений.
  • Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
  • Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).
  • Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
  • Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида.
  • Теорема Кронекера – Капелли.
  • Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.
  • Запись общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических с помощью векторов фундаментальной системы решений.
  • Решение систем уравнений, сводящихся к слау.
  • Примеры задач, сводящихся к решению систем линейных алгебраических уравнений.
  • Вектором
    называется направленный отрезок.
    Длиной
    или модулем вектора называется длина
    соответствующего направленного отрезка.

    Модуль
    вектора a

    обозначается
    .
    Векторa

    называется единичным, если
    .
    Векторы называются коллинеарными, если
    они параллельны одной прямой. Векторы
    называются компланарными, если они
    параллельны одной плоскости.

    2. Умножение вектора на число. Свойства операции.

    Умножение
    вектора
    на
    число,
    даёт противоположно направленный вектор
    в длиной враз
    больше. Умножение вектора на число в
    координатной форме производится
    умножением всех координат на это число:

    Исходя
    из определения получается выражение
    для модуля вектора, умноженного на
    число:

    Аналогично
    как и числами, операции сложение вектора
    с самим с собой можно записать через
    умножение на число:

    А
    вычитание векторов можно переписать
    через сложение и умножение:

    Исходя
    из того, что умножение на
    не
    меняет длины вектора, а меняет только
    направление и учитывая определение
    вектора, получаем:

    3.

    Сложение векторов, вычитание векторов.

    В
    координатном представлении вектор
    суммы получается суммированием
    соответствующих координат слагаемых:

    Для
    геометрического построения вектора
    суммы
    используют
    различные правила (методы), однако они
    все дают одинаковый результат.
    Использование того или иного правила
    обосновывается решаемой задачей.

    Правило
    треугольника

    Правило
    треугольника наиболее естественно
    следует из понимания вектора как
    переноса. Ясно, что результат
    последовательного применения двух
    переносов
    инекоторой
    точки будет тем же, что применение сразу
    одного переноса,
    соответствующего этому правилу. Для
    сложения двух векторовипо
    правилутреугольника

    оба эти вектора переносятся параллельно
    самим себе так, чтобы начало одного из
    них совпадало с концом другого. Тогда
    вектор суммы задаётся третьей стороной
    образовавшегося треугольника, причём
    его начало совпадает с началом первого
    вектора, а конец с концом второго вектора.

    Это
    правило прямо и естественно обобщается
    для сложения любого количества векторов,
    переходя в правило
    ломаной
    :

    Правило
    многоугольника

    Начало
    второго вектора совмещается с концом
    первого, начало третьего — с концом
    второго и так далее, сумма же
    векторов
    есть вектор, с началом, совпадающим с
    началом первого, и концом, совпадающим
    с концом-го
    (то есть изображается направленным
    отрезком, замыкающим ломаную). Так же
    называется правилом ломаной.

    Правило
    параллелограмма

    Для
    сложения двух векторов
    ипо
    правилупараллелограмма

    оба эти векторы переносятся параллельно
    самим себе так, чтобы их начала совпадали.
    Тогда вектор суммы задаётся диагональю
    построенного на них параллелограмма,
    исходящей из их общего начала. (Легко
    видеть, что эта диагональ совпадает с
    третьей стороной треугольника при
    использовании правила треугольника).

    Правило
    параллелограмма особенно удобно, когда
    есть потребность изобразить вектор
    суммы сразу же приложенным к той же
    точке, к которой приложены оба слагаемых —
    то есть изобразить все три вектора
    имеющими общее начало.

    Модуль
    суммы векторов

    Модуль
    суммы двух векторов

    можно вычислить, использую теорему
    косинусов
    :

    Где

    косинус угла между векторамии.

    Если
    векторы изображены в соответствии с
    правилом треугольника и берется угол
    по рисунку — между сторонами
    треугольника — что не совпадает с
    обычным определением угла между
    векторами, а значит и с углом в приведенной
    формуле, то последний член приобретает
    знак минус, что соответствует теореме
    косинусов в ее прямой формулировке.

    Для
    суммы произвольного количества векторов

    применима аналогичная формула, в которой
    членов с косинусом больше: по одному
    такому члену существует для каждой пары
    векторов из суммируемого набора.
    Например, для трех векторов формула
    выглядит так:

    Вычитание
    векторов

    Два
    вектора
    и
    вектор их разности

    Для
    получения разности в координатной форме
    надо вычесть соответствующие координаты
    векторов:

    Для
    получения вектора разности
    начала
    векторов соединяются и началом векторабудет
    конец,
    а концом — конец.
    Если записать, используя точки векторов,
    то.

    Модуль
    разности векторов

    Три
    вектора
    ,
    как и при сложении, образуют треугольник,
    и выражение для модуля разности получается
    аналогичным:

    где

    косинус угла между векторамии

    Отличие
    от формулы модуля суммы в знаке перед
    косинусом, при этом надо хорошо следить,
    какой именно угол берется (вариант
    формулы модуля суммы с углом между
    сторонами треугольника при суммировании
    по правилу треугольника по виду не
    отличается от данной формулы для модуля
    разности, но надо иметь в виду, что для
    тут берутся разные углы: в случае суммы
    берётся угол, когда вектор
    переносится
    к концу вектора,
    когда же ищется модель разности, берётся
    угол между векторами, приложенными к
    одной точке; выражение для модуля суммы
    с использованием того же угла, что в
    данном выражении для модуля разности,
    отличается знаком перед косинусом).

    Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

    Определение 1

    Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

    Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

    Определение 2

    Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

    Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

    Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

    Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

    Определение 3

    Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

    Обозначение: $|\overline{a}|$

    Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

    Определение 4

    Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:
    1. Они сонаправлены;
    1. Их длины равны (рис. 2).

    Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ — единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.

    Определение 5

    Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

    $\overline{c}={m,n}$

    Как найти длину вектора?

    Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

    Пример 1

    Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.

    Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. 2}$.

    Вывод:
    Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

    Пример задач

    Пример 2

    Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.

    Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что

    Oxy

    О
    А
    ОА
    .

    , откуда ОА
    .

    Таким образом, .

    Рассмотрим пример.

    Пример.

    Решение.

    :

    Ответ:

    Oxyz
    в пространстве.

    А
    ОА
    будет диагональю.

    В этом случае (так как ОА
    ОА
    .

    Таким образом, длина вектора .

    Пример.

    Вычислите длину вектора

    Решение.

    , следовательно,

    Ответ:

    Прямая на плоскости

    Общее уравнение

    Ax + By + C ( > 0).

    Вектор = (А; В)
    — нормальный вектор прямой.

    В векторном виде: + С = 0
    , где — радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

    Частные случаи:

    1) By + C = 0
    — прямая параллельна оси Ox
    ;

    2) Ax + C = 0
    — прямая параллельна оси Oy
    ;

    3) Ax + By = 0
    — прямая проходит через начало координат;

    4) y = 0
    — ось Ox
    ;

    5) x = 0
    — ось Oy
    .

    Уравнение прямой в отрезках

    где a, b
    — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

    Нормальное уравнение прямой
    (рис. 4.11)

    где — угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox
    ; p
    — расстояние от начала координат до прямой.

    Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

    Здесь — нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C
    , если и произвольно, если C = 0
    .

    Нахождение длины вектора по координатам.

    Длину вектора будем обозначать . Из-за такого обозначения длину вектора часто называют модулем вектора.

    Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

    Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy
    . Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

    Отложим от начала координат (от точки О
    ) вектор . Обозначим проекции точки А
    на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА
    .

    В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координатмы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА
    равна длине вектора , следовательно, .

    Таким образом, формула для нахождения длины вектора
    по его координатам на плоскости имеет вид .

    Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

    Рассмотрим пример.

    Пример.

    Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

    Решение.

    Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :

    Ответ:

    Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz
    в пространстве.

    Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А
    на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА
    будет диагональю.

    В этом случае (так как ОА
    – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА
    равна искомой длине вектора, следовательно, .

    Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат
    , то есть, находится по формуле .

    Пример.

    Вычислите длину вектора , где — орты прямоугольной системы координат.

    Решение.

    Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

    Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

    Определение 1

    Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

    Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

    Определение 2

    Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

    Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

    Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

    Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

    Определение 3

    Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

    Обозначение: $|\overline{a}|$

    Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

    Определение 4

    Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:
    1. Они сонаправлены;
    1. Их длины равны (рис. 2).

    Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ — единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.

    Определение 5

    Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

    $\overline{c}={m,n}$

    Как найти длину вектора?

    Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

    Пример 1

    Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.

    Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно (рис. 3).

    Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$, следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$, значит

    $=x$, $[ OA_2]=y$

    Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим

    $|\overline{α}|^2=^2+^2$

    $|\overline{α}|^2=x^2+y^2$

    $|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$

    Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.

    Вывод:
    Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

    Пример задач

    Пример 2

    Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.

    Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что

    Найти длину вектора известны координаты точек. Нахождение длины вектора по координатам

    Найдем длину вектора по его координатам (в прямоугольной системе координат), по координатам точек начала и конца вектора и по теореме косинусов (задано 2 вектора и угол между ними).

    Вектор – это направленный отрезок прямой.
    Длина этого отрезка определяет числовое значение вектора и называется
    длиной вектора или модулем вектора.

    1. Вычисление длины вектора по его координатам

    Если даны координаты вектора в плоской (двухмерной) прямоугольной системе координат, т.е. известны a x и a y , то длину вектора можно найти по формуле

    В случае вектора в пространстве добавляется третья координата

    В MS EXCEL выражение =КОРЕНЬ(СУММКВ(B8:B9))
    позволяет вычислить модуль вектора (предполагается, что координаторы вектора введены в ячейки B8:B9
    , см. файл примера
    ).

    Функция СУММКВ()
    возвращает сумму квадратов аргументов, т.е. в данном случае эквивалентна формуле =B8*B8+B9*B9
    .

    В файле примера
    также вычислена длина вектора в пространстве.

    Альтернативной формулой является выражение =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(B8:B9;B8:B9))
    .

    2. Нахождение длины вектора через координаты точек

    Если вектор задан через координаты точек его начала и конца, то формула будет другой =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C28:C29;B28:B29))

    В формуле предполагается, что координаты точек начала и конца введены в диапазоны C28:C29

    и B28:B29

    соответственно.

    Функция СУММКВРАЗН()
    в
    озвращает сумму квадратов разностей соответствующих значений в двух массивах.

    По сути, в формуле сначала вычисляются координаты вектора (разности соответствующих координат точек), затем вычисляется сумма их квадратов.

    3. Нахождение длины вектора по теореме косинусов

    Если требуется найти длину вектора по теореме косинусов, то обычно заданы 2 вектора (их модули и угол между ними).

    Найдем длину вектора с используя формулу =КОРЕНЬ(СУММКВ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

    В ячейках B43:B43

    содержатся длины векторов а и b, а в ячейке В45

    — угол между ними в радианах (в долях числа ПИ()
    ).

    Если угол задан в градусах, то формула будет немного отличаться =КОРЕНЬ(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*ПИ()/180))

    Примечание
    : для наглядности в ячейке со значением угла в градусах можно применить , см. например, статью

    Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

    Определение 1

    Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

    Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

    Определение 2

    Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

    Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

    Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

    Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

    Определение 3

    Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

    Обозначение: $|\overline{a}|$

    Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

    Определение 4

    Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:
    1. Они сонаправлены;
    1. Их длины равны (рис. 2).

    Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ — единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.

    Определение 5

    Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

    $\overline{c}={m,n}$

    Как найти длину вектора?

    Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

    Пример 1

    Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.

    Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$.2}$.

    Вывод:
    Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

    Пример задач

    Пример 2

    Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.

    Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что

    Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

    Определение 1

    Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

    Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

    Определение 2

    Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

    Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

    Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

    Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

    Определение 3

    Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

    Обозначение: $|\overline{a}|$

    Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

    Определение 4

    Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:
    1. Они сонаправлены;
    1. Их длины равны (рис. 2).

    Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ — единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.

    Определение 5

    Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

    $\overline{c}={m,n}$

    Как найти длину вектора?

    Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

    Пример 1

    Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.

    Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно (рис. 3).

    Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$, следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$, значит

    $=x$, $[ OA_2]=y$

    Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим

    $|\overline{α}|^2=^2+^2$

    $|\overline{α}|^2=x^2+y^2$

    $|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$

    Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.

    Вывод:
    Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

    Пример задач

    Пример 2

    Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.

    Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что

    Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

    А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
    Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18
    метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

    Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

    Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

    Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8
    м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

    Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

    Вот другой пример.
    Автомобиль движется из A
    в B
    . Конечный результат — его перемещение из точки A
    в точку B
    , то есть перемещение на вектор .

    Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора
    называется длина этого отрезка. Обозначается: или

    До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

    Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
    Теперь мы знакомимся с векторами.

    Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

    А вот понятие равенства для векторов есть.
    Равными
    называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
    Единичным
    называется вектор, длина которого равна 1
    . Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

    Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x
    и y
    , абсцисса и ордината.
    Вектор также задается двумя координатами:

    Здесь в скобках записаны координаты вектора — по x
    и по y
    .
    Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

    Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

    Сложение векторов

    Для сложения векторов есть два способа.

    1
    . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

    Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

    2
    . Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

    По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

    Представьте, что вы идете из пункта А
    в пункт В
    , из В
    в С
    , из С
    в D
    , затем в Е
    и в F
    . Конечный результат этих действий — перемещение из А
    в F
    .

    При сложении векторов и получаем:

    Вычитание векторов

    Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

    Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

    Умножение вектора на число

    При умножении вектора на число k
    получается вектор, длина которого в k
    раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k
    больше нуля, и направлен противоположно , если k
    меньше нуля.

    Скалярное произведение векторов

    Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

    Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

    Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

    Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
    А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

    Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

    Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

    В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
    Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике , знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

    Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

    длина суммы векторов и теорема косинусов

    Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются)
    даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся
    суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и
    операции над векторами».

    Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося
    результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из
    пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы
    пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги.
    Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются
    во всех их полноте.

    Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень
    из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

    .

    Перейдём к примерам.

    Проверить решение можно на Калькуляторе
    онлайн
    .

    Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение


    Пример 3. Даны длины векторов
    и длина их суммы .
    Найти длину их разности .

    Решение.

    Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти
    косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

    Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла
    будет со знаком плюс.

    Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

    Проверить решение можно на Калькуляторе
    онлайн
    .

    Пример 4. Даны длины векторов
    и длина их разности .
    Найти длину их суммы .

    Решение.

    Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти
    косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

    Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного
    угла между и
    :

    Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

    Проверить решение можно на Калькуляторе
    онлайн
    .

    Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы

    и , чтобы имели место
    слелующие соотношения:

    1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. ,

    2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. ,

    3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. ?

    Решение.

    Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

    То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности,
    необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие
    выполняется, когда углы образуют прямой угол.

    Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

    Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса
    смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов,
    необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

    Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

    Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса
    смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов,
    необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

    Проверить решение можно на Калькуляторе
    онлайн
    .

    Поделиться с друзьями

    Начало темы «Векторы»

    Продолжение темы «Векторы»

    MathScene — Векторы — Урок 3

    MathScene — Векторы — Урок 3

    2008 Расмус Эхф и Джанн Сак

    Урок
    3

    Векторы в системе координат


    Пример 1

    В
    точка A имеет координаты (2, 2), а точка B — координаты (6, 5) (см. диаграмму).Координаты вектора

    Мы
    можно использовать формулу для расстояния между двумя точками, чтобы найти расстояние
    между A и B, то есть длина вектора

    (см. Правило Пифагора в уроке 2). Формула выглядит следующим образом:

    Подставляя заданные координаты в формулу, получаем:

    Мы видим, что числа под квадратным корнем — это просто координаты
    вектор.Это, конечно, потому, что длина вектора — это просто
    гипотенуза в прямоугольном треугольнике с более короткими сторонами 3 и 4.

    Формула длины вектора, начинающегося в точке
    A = (x 1 , y 1 ) и заканчивается на B = (x 2 ,
    y 2 ) составляет:

    Если координаты вектора равны

    то у нас есть следующее правило:


    Пример 2

    Найдите вектор

    что параллельно

    и который имеет длину 2 единицы
    (видеть
    диаграмму).

    Два треугольника на диаграмме похожи, поэтому соответствующие
    стороны находятся в одинаковом соотношении.
    ||
    = t ∙ ||.

    Число t — это соотношение между соответствующими сторонами. Соотношение есть.

    Мы можем найти координаты как
    следует:

    Если
    векторы
    а также
    находятся
    параллельно, то существует такое число t, что:

    = т ∙


    Пример 3

    Какие из следующих векторов параллельны
    а также

    .

    Если
    векторов
    а также

    находятся
    параллельно, то существует такое число t, что =
    т ∙.
    Если векторы
    а также

    находятся
    параллельно существует такое число r, что
    знак равно
    г ∙.

    Мы
    можно найти числа t и r, используя координаты x, а затем проверить, чтобы увидеть
    будут ли найдены те же значения, когда мы используем координаты y.

    = т ∙

    3 = t ∙ 13 дает t = 3/13 = 2/9

    4 = t ∙ 18 также дает t = 4/18 = 2/9

    В
    векторов
    и

    соток
    параллель
    .

    = г ∙

    3 = r ∙ 6 дает r =

    4 = r ∙ 9 дает r = 4/9

    В
    векторов
    и

    соток
    не параллельно

    (Это значит, что
    а также

    находятся
    тоже не параллельно).

    Вектор на схеме имеет координаты
    .

    В
    вектор начинается в точке (0, 0) и заканчивается в (3, 2), поэтому координаты
    конечная точка совпадает с координатами самого вектора.Это верно для
    все векторы, которые начинаются в начале системы координат, то есть в
    точка (0, 0).

    Вектор, начинающийся в точке (0, 0), имеет те же координаты, что и
    его конечная точка. Этот вектор называется вектором положения для A.

    Каждая точка в системе координат может быть представлена ​​своим вектором положения.
    Координаты точки и ее вектор положения совпадают.Это может быть
    очень полезно при просмотре переводов в системе координат.


    Пример 4

    Треугольник, изображенный на схеме, должен быть переведен на вектор
    .

    Мы используем векторы положения точек вершин (−3, 0),
    (2, −2) и (3, 1) и складываем вектор

    каждому из них.

    Это дает нам новый вектор положения каждой вершины.Схема ниже
    показывает перевод.


    Пример 5

    Теперь мы будем использовать векторы положения, чтобы найти середину отрезка AB, если
    A = (1, 2) и B = (4, 3).

    Как обычно, точка O является началом системы координат. Если M середина
    AB тогда:

    знак равно

    + ∙

    Вектор
    является
    вектор положения точки M и, следовательно, имеет те же координаты, что и
    точка M, которую мы хотим вычислить.Вектор
    вектор положения A. Чтобы достичь средней точки M, нам нужно добавить половину
    вектор.
    Нарисуйте диаграмму, чтобы увидеть это.

    Сначала нам нужно найти вектор
    .

    Теперь мы можем найти

    .

    знак равно

    + ∙

    Координаты M такие же, как у вектора положения.

    или (2, 2) .


    Легко найти формулу, по которой мы сможем найти координаты
    середина отрезка AB.

    2
    = + ∙
    + — ∙

    Мы видим, что вектор положения середины отрезка линии является своего рода
    среднее из векторов положения конечных точек. Таким образом, мы можем найти
    координаты средней точки путем нахождения среднего значения координат x и y
    координаты соответственно.
    Это приводит нас к правилу, которое мы называем правилом средней точки.

    Середина M отрезка AB задается правилом:

    .

    Правило использования координат:


    Пример 6

    Вершины треугольника ABC равны A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0).

    Найдите длину прямой от A до середины стороны BC (медиана
    треугольник ABC).

    Начнем с поиска середины BC, используя указанное выше правило.

    Назовем среднюю точку M и найдем ее вектор положения
    (видеть
    диаграмму).

    Следовательно, M, середина BC имеет координаты
    М = (3, 1).

    Далее находим координаты вектора
    .

    Наконец, мы можем найти длину вектора как
    обязательный.


    2,55

    =
    +

    =
    + ∙

    =
    — ∙
    — ∙

    Когда мы складываем их вместе,
    гаснет и получаем:

    3 =

    + +

    Чтобы найти координаты T, мы берем среднее значение x
    и y координаты вершин соответственно.

    Таким образом, мы находим точку пересечения T медиан
    треугольник, найдя своего рода среднее из векторов положения
    вершины. Таким образом, это правило является расширением правила средней точки.


    Пример 7

    Найдите точку пересечения T медиан треугольника ABC (
    центр) при условии, что A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0) (см.
    диаграмму).

    Центр T =
    (2,
    1)
    .


    Попробовать викторину
    3
    по векторам.
    Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

    Вектор положения

    — объяснение и примеры

    Мы можем использовать вектор положения , ​​чтобы сообщить нам расположение одного объекта относительно другого.В частности, вектор положения:

    «Вектор, который указывает местоположение или положение данной точки относительно произвольной контрольной точки, такой как начало координат».

    В этом разделе мы обсудим следующие аспекты векторов положения:

    • Что такое вектор положения?
    • Как найти вектор положения

    Что такое вектор положения?

    Часто векторы, которые начинаются в начале координат и заканчиваются в любой произвольной точке, называются векторами положения.Они используются для определения положения точки относительно начала координат.

    Направление вектора положения указывает от начала координат к данной точке. В c \ декартовой системе координат, если точка O — начало координат, а Q — некоторая точка (x1, y1), тогда вектор положения, направленный из точки O в точку Q, представлен как OQ . В трехмерном пространстве, если O = (0,0,0) и Q = (x1, y1, z1), то вектор положения r точки Q представлен следующим образом:

    r = x1i + y1j + z1k

    Предположим, у нас есть два вектора, A, и B, с векторами положения a = (2,4) и b = (3, 5) соответственно.Затем мы можем записать координаты векторов A и B как:

    A = (2,4), B = (3, 5)

    Как найти вектор положения

    Перед определяя вектор положения точки, нам сначала нужно определить координаты этой точки. Предположим, у нас есть две точки, M и N, где M = (x1, y1) и N = (x2, y2). Затем мы хотим найти вектор положения из точки M в точку N, вектор MN . Чтобы определить этот вектор положения, мы вычитаем соответствующие компоненты M из N :

    MN = (x2-x1, y2-y1)

    Формула вектора положения

    Используя информацию выше, мы можем обобщить формула, которая будет определять вектор положения между двумя точками, если бы мы знали положение точек в плоскости xy.

    Например, рассмотрим точку P, которая имеет координаты (xk, yk) в плоскости xy, и другую точку Q, которая имеет координаты (xk + 1, yk + 1). Формула для определения вектора положения от P до Q:

    PQ = ((xk + 1) -xk, (yk + 1) -yk)

    Помните, что вектор положения PQ относится к вектору, который начинается в точке P и заканчивается в точке Q. Точно так же, если мы хотим найти вектор положения из точки Q в точку P, мы можем написать:

    QP = (xk — (xk + 1), yk — (yk + 1))

    Примеры

    В этом разделе мы обсудим некоторые примеры задач вектора положения и их пошаговые решения.Это поможет глубже понять векторы позиций.

    Пример 1

    Учитывая две точки A = (-4, 6) и B = (5, 12), определите вектор положения AB. Затем , вычисляют величину вектора AB .

    Решение

    Учитывая две точки в системе координат xy, мы можем использовать следующую формулу, чтобы найти вектор положения AB :

    AB = (x2-x1, y2-y1)

    Где x1, y1 представляют координаты точки A, а x2, y2 представляют координаты точки B.Таким образом, просто подставляя значения точек A и B в приведенное выше уравнение, мы можем найти вектор положения AB :

    AB = (5 — (- 4), 12-6)

    AB = ((5+ 4), 12-6)

    AB = (9, 6)

    Таким образом, вектор положения AB эквивалентен вектору, который начинается в начале координат и направлен в точку на 9 единиц, чтобы вправо по оси x и на 6 единиц вверх по оси y. 2

    | AB | = √81 + 36

    | AB | = √117

    | AB | = 3√13

    Пример 2

    Учитывая две точки A = (-4, 6) и B = (5, 12), определите вектор положения BA. Затем вычислите величину вектора BA и опишите взаимосвязь между вектором положения AB и вектором положения BA .

    Решение

    Учитывая две точки в системе координат xy, мы можем использовать следующую формулу, чтобы найти вектор положения BA :

    BA = (x1-x2, y1-y2)

    Где x1, y1 представляют координаты точки A, а x2, y2 представляют координаты точки B.Обратите внимание, что вектор положения BA представляет собой вектор, направленный от точки B к точке A. Он отличается от вектора положения AB, , ​​который направлен от A к B. Таким образом, просто помещая значения точек A и B в приведенном выше уравнении мы можем найти вектор положения BA:

    BA = (-4-5), 6-12)

    BA = (-9, -6)

    Таким образом, вектор положения BA эквивалентен вектору, который начинается в начале координат и направлен в точку на 9 единиц влево по оси x и на 6 единиц вниз по оси y.2

    | BA | = √81 + 36

    | BA | = √117

    | BA | = 3√13

    Напомним, что в первом примере мы нашли вектор положения AB для тех же точек, а в этом примере мы определили вектор положения BA. Два вектора положения имеют одинаковую величину. Поскольку они имеют противоположные направления, отношения между ними следующие:

    BA = -1 * (9, 6)

    BA = -1 * AB

    BA = — AB

    Таким образом, два вектора положения параллельны друг другу и противоположны друг другу.То есть они отрицания друг друга.

    Пример 3

    Учитывая, что вектор положения точки, S1, равен OS1 = (2, 3), и что вектор S1S2 = (-3, 6), определить вектор положения точки точка S2, OS2 .

    Решение

    Сначала мы строим вектор OS1 с его начальной точкой в ​​начале координат (0,0) и конечной точкой в ​​точке (2,3). Мы также строим вектор OS2, , ​​который начинается в начале координат и заканчивается в точке S2.Обозначим неизвестное положение S2 произвольными координатными точками (x, y). Поскольку мы знаем вектор положения S1S2 и знаем, что он дает связь между S1 и S2, мы также можем нарисовать S1S2. Это направленный вектор, начальная точка которого находится в S1 и направлен на три единицы влево и на шесть единиц вверх. Из изображения ниже видно, что у нас есть треугольник 0S1S2. Таким образом, теперь мы можем использовать закон треугольника (или правило «голова к хвосту») сложения векторов для определения координат точки S2 следующим образом:

    S1S2 = OS1 + OS2

    OS2 = S1S2 — OS1

    Подставляя данные значения в это уравнение, мы получаем:

    OS2 = (-3, 6) — (2, 3)

    OS2 = (-3, 6) + ( -2, -3)

    OS2 = (-3-2, 6-3)

    OS2 = (-5, 3)

    Таким образом, OS2 = (- 5, 3) является вектор положения для точки S2.

    Пример 4

    Учитывая две точки M = (4, m) и Q = (-n, -3), определите вектор положения QM.

    Решение

    Учитывая две точки в системе координат xy, мы можем использовать следующую формулу для определения вектора положения Q :

    QM = (-n-4, -3-m) .

    Поскольку нам неизвестны координаты QM или значения n и m, мы не можем упростить уравнение.2

    | R | = √100 + 25 + 9

    | R | = √100 + 25 + 9

    | R | = √134

    Пример 6

    Учитывая точки, c = 5i + 6j + 3k и d = 2i + 5j — 2k в ортогональной системе, определите вектор положения между этими двумя точками, CD.

    Решение

    Учитывая две точки, мы можем использовать следующую формулу для определения вектора положения CD :

    CD = (2-5, 5-5, -2-3)

    CD = (-3, 0, -5)

    CD = -3i + 0j -5k

    Практические вопросы

    1. Пусть u = (-1, 4) и v = (2 , 5).Определите вектор положения, представленный UV .
    2. Пусть u = (-1, 4) и v = (2, 5). Определите вектор положения, представленный VU .
    3. Пусть v = (3, 5) и VM = (-6, 3). Найдите вектор положения точки m.
    4. Для данного b = (3,2,5) определите его вектор положения, R. Затем найдите длину вектора
    5. Пусть вектор AB начинается с a = (1, 2) и заканчивается на Ь = (2, 3). Определите его вектор положения и его длину.
    6. Пусть вектор OB начинается с o = (0,0) и заканчивается в b = (-2, 6). Определите его вектор положения.

    Ответы

    1. UV = (3,1). Направление UV на 3 единицы вправо по оси x и на 1 единицу вверх.
    2. VU = (-3, -1). Направление VU — на 3 единицы влево по оси x и на 1 единицу вниз. Два вектора UV и VU, противоположны по направлению.
    3. Вектор положения точки m может быть задан OM = (-9, -2)
    4. R = 3i + 2j + 5k — вектор положения, и его длина | R | = √38
    5. Вектор положения равен AB = (1,1), а его длина равна | AB | = √2
    6. Вектор положения равен OB = (-2,6), а его длина равна | OB | = √40

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Векторы

    Это вектор:

    Вектор имеет величину звездной величины (размер) и направление :

    Длина линии показывает ее величину, а стрелка указывает направление.

    Мы можем сложить два вектора, соединив их голова к хвосту:

    И неважно, в каком порядке мы их добавляем, результат будет тот же:

    Пример: самолет летит на север, но дует ветер с северо-запада.

    Два вектора (скорость, создаваемая гребным винтом, и скорость ветра) приводят к несколько меньшей путевой скорости при движении немного к востоку от севера.

    Если бы вы смотрели на самолет с земли, казалось бы, он немного поскользнулся вбок.

    Вы когда-нибудь видели это? Возможно, вы видели птиц, борющихся с сильным ветром, которые, кажется, летят боком. Векторы помогают это объяснить.

    Скорость, ускорение, сила и многое другое — векторы.

    Вычитание

    Мы также можем вычесть один вектор из другого:

    • сначала мы меняем направление вектора, который мы хотим вычесть,
    • , затем добавьте их как обычно:

    а б

    Обозначение

    Вектор часто пишется полужирным шрифтом , например a или b .

    Вектор также может быть записан в виде букв
    его головы и хвоста со стрелкой над ним, например:

    Расчеты

    А теперь … как мы будем делать расчеты?

    Самый распространенный способ — сначала разбить векторы на части x и y, например:

    Вектор a разбит на
    два вектора a x и a y

    (Позже мы увидим, как это сделать.)

    Добавление векторов

    Затем мы можем сложить векторы на , добавив части x и , добавив части y :

    Сумма вектора (8, 13) и вектора (26, 7) равна вектору (34, 20)

    Пример: сложите векторы

    a = (8, 13) и b = (26, 7)

    c = a + b

    с = (8, 13) + (26, 7) = (8 + 26, 13 + 7) = (34, 20)

    Когда мы разбиваем вектор таким образом, каждая часть называется компонентом :

    Вычитание векторов

    Для вычитания сначала переверните вектор, который мы хотим вычесть, а затем сложите.

    Пример: вычесть

    k = (4, 5) из v = (12, 2)

    a = v + — k

    a = (12, 2) + — (4, 5) = (12, 2) + (−4, −5) = (12−4, 2−5) = (8, −3)

    Величина вектора

    Величина вектора показана двумя вертикальными полосами по обе стороны от вектора:

    | a |

    ИЛИ можно написать с двойной вертикальной чертой (чтобы не путать с абсолютным значением):

    || a ||

    Мы используем теорему Пифагора для его вычисления:

    | a | = √ (х 2 + y 2 )

    Пример: какова величина вектора

    b = (6, 8)?

    | b | = √ (6 2 + 8 2 ) = √ (36 + 64) = √100 = 10

    Вектор с величиной 1 называется единичным вектором.

    Вектор против скалярного

    Скаляр имеет звездную величину (размер) только .

    Скаляр: просто число (например, 7 или -0,32) … определенно не вектор.

    Вектор имеет величину и направление и часто выделяется полужирным шрифтом , поэтому мы знаем, что это не скаляр:

    • , поэтому c — вектор, он имеет величину и направление
    • , но c — это просто значение, например 3 или 12.4

    Пример: k

    b на самом деле является скалярным k, умноженным на вектор b .

    Умножение вектора на скаляр

    Когда мы умножаем вектор на скаляр, это называется «масштабированием» вектора, потому что мы меняем размер вектора.

    Пример: умножить вектор

    m = (7, 3) на скаляр 3

    a = 3 м = (3 × 7, 3 × 3) = (21, 9)

    По-прежнему указывает в том же направлении, но в 3 раза длиннее

    (И теперь вы знаете, почему числа называются «скалярами», потому что они «масштабируют» вектор вверх или вниз.)

    Умножение вектора на вектор (скалярное произведение и кросс-произведение)

    Как нам умножить два вектора вместе? Есть несколько способов!

    (Подробности см. На этих страницах.)

    Более двух измерений

    Векторы также отлично работают в трех и более измерениях:

    Вектор (1, 4, 5)

    Пример: складываем векторы

    a = (3, 7, 4) и b = (2, 9, 11)

    c = a + b

    с = (3, 7, 4) + (2, 9, 11) = (3 + 2, 7 + 9, 4 + 11) = (5, 16, 15)

    Пример: какова величина вектора

    w = (1, −2, 3)?

    | w | = √ (1 2 + (−2) 2 + 3 2 ) = √ (1 + 4 + 9) = √14

    Вот пример с 4-мя измерениями (но его сложно нарисовать!):

    Пример: вычесть (1, 2, 3, 4) из (3, 3, 3, 3)

    (3, 3, 3, 3) + — (1, 2, 3, 4)
    = (3, 3, 3, 3) + (−1, −2, −3, −4)
    = (3 −1, 3−2, 3−3, 3−4)
    = (2, 1, 0, −1)

    Величина и направление

    Мы можем знать величину и направление вектора, но нам нужны его длины по осям x и y (или наоборот):

    <=>
    Вектор a в полярных координатах Вектор a в декартовых координатах

    Вы можете прочитать, как преобразовать их в полярные и декартовы координаты, но вот краткое описание:

    От полярных координат (r, θ )
    до декартовых координат (x, y)
    От декартовых координат (x, y)
    к полярным координатам (r, θ)
    • x = r × cos ( θ )
    • y = r × sin ( θ )
    • r = √ (x 2 + y 2 )
    • θ = загар -1 (y / x)

    Пример

    Сэм и Алекс тянут ящик.

    • Сэм тянет с силой 200 Ньютонов при 60 °
    • Алекс тянет с силой 120 Ньютонов под углом 45 °, как показано на рисунке

    Что такое объединенная сила и ее направление?

    Давайте сложим два вектора голова к хвосту:

    Первое преобразование из полярной системы в декартовую (до 2 десятичных знаков):

    Вектор Сэма:

    • x = r × cos ( θ ) = 200 × cos (60 °) = 200 × 0,5 = 100
    • y = r × sin ( θ ) = 200 × sin (60 °) = 200 × 0.8660 = 173,21

    Вектор Алекса:

    • x = r × cos ( θ ) = 120 × cos (-45 °) = 120 × 0,7071 = 84,85
    • y = r × sin ( θ ) = 120 × sin (-45 °) = 120 × -0,7071 = -84,85

    Теперь у нас:

    Добавьте их:

    (100, 173,21) + (84,85, -84,85) = (184,85, 88,36)

    Этот ответ верен, но давайте вернемся к полярному, поскольку вопрос был в полярном:

    • r = √ (x 2 + y 2 ) = √ (184.85 2 + 88,36 2 ) = 204,88
    • θ = tan -1 (y / x) = tan -1 (88,36 / 184,85) = 25,5 °

    И у нас есть этот (округленный) результат:

    А у Сэма и Алекса это выглядит так:

    Они могли бы получить лучший результат, если бы стояли плечом к плечу!

    3D векторов | Суперпроф

    Мы живем в трехмерном мире, что означает, что у нас есть 3 оси в качестве ориентира.Эти оси — ось x, ось y и ось z. Векторное знание применимо в реальной жизни, что в конечном итоге означает, что применяются все векторные законы, но в предыдущих источниках мы были привязаны к 2-мерному, изменяет ли 3-хмерный мир все законы? Абсолютно! но неужели это изменение слишком велико? Нет, все, что вам нужно сделать, это добавить третье измерение (ось z) ко всем этим законам. Трехмерный вектор — это отрезок прямой в трехмерном пространстве, проходящий от точки A (хвост) до точки B (голова).

    Каждый вектор имеет величину (или длину) и направление.Помните, что основы не изменятся, потому что мы просто добавляем здесь еще одно измерение. Это не означает, что то, что вы изучали раньше, будет полностью изменено, всего несколько изменений в формуле, но концепция останется той же. Если у вас есть хорошее понимание предыдущих законов, то понимание законов в 3-х измерениях не будет для вас проблемой.

    Компоненты трехмерного вектора

    Когда мы работаем в трехмерном пространстве, мы всегда рассматриваем все три базы координат, которые являются осью x, осью y и осью z.Например, у нас есть две точки в трехмерном пространстве, и это точка A и точка B. Координаты точек A и B будут записаны (в трехмерном пространстве) следующим образом:

    и. Ваш учитель также попросил вас найти вектор, но как вы это сделаете в трехмерном пространстве? Та же голова без хвоста? Да точно так же! Вам нужно вычесть координату головы из координаты хвоста.

    Вычислите компоненты векторов, которые можно нарисовать в треугольнике с вершинами

    и.

    Не забывайте, что вектор состоит из двух вещей: одна — это направление, а другая — величина. Если вы перевернете направление, это означает, что все координаты вектора также будут перевернуты:

    Лучшие доступные репетиторы по математике

    Первый урок бесплатно

    Величина или длина вектора

    Величина — ключ элемент вектора и вектор без величины — это просто направление без мощности.Величина вектора вектора — это длина отрезка линии, который его определяет. Величина вектора всегда представлена ​​положительным числом, и только нулевой вектор имеет величину ноль .

    Расчет величины для определения ее компонентов

    Возможно, вы знакомы с формулой величин, которая равна

    , но с третьим новым измерением все будет немного иначе. Чтобы найти величину трехмерного вектора, вам нужно просуммировать все возведенные в квадрат компоненты различных осей, а затем извлечь квадратный корень из ответа.

    Ниже решенный вопрос для уточнения.

    Учитывая векторы

    и, найдите величины и ·

    Расчет модуля, зная координаты точек

    Чтобы вычислить величину, мы воспользуемся формулой расстояния, но с небольшим изменением. Возможно, вы раньше сталкивались с проблемами двух измерений, поэтому в то время вы использовали только компоненты x и y, но теперь все изменилось.На этот раз вы будете использовать три компонента, но не волнуйтесь, если вы хорошо понимаете формулу расстояния, это будет для вас кусок пирога. Например, у вас есть две точки A и B. Координаты точки A равны

    , а координаты точки B равны.

    Первый шаг — вычесть компонент хвоста из компонента головы, как вы делали это раньше. Найдите разницу для всех компонентов, а затем возьмите квадрат всех этих ответов. Сложите все эти квадраты ответов, а затем извлеките квадратный корень из полученного ответа, и это будет ваша величина из двух разных векторов, или вы можете использовать приведенную ниже формулу и просто подставить значения и найти ответ всего за один шаг.

    Расстояние между двумя точками

    Формула для расстояния между двумя точками аналогична найденной величине двух векторов.

    ПРИМЕР

    Найдите расстояние между точками

    и.

    Единичный вектор

    Векторы бывают самых разных форм и размеров, но как мы описываем эти векторы? С помощью единичного вектора. Определение единичного вектора довольно просто, это вектор с величиной

    .Это означает, что любой вектор, величина которого равна единице, независимо от направления, называется единичным вектором. Один из наиболее распространенных терминов, которые мы используем в главе, посвященной векторам, называется нормализация. Нормализация означает получение другого единичного вектора в том же направлении. Чтобы нормализовать вектор, вам нужно разделить компоненты этого вектора на величину вектора.

    Нахождение координат точек с помощью векторов? (См. Рисунок)

    Чтобы найти координаты A B C , ​​нам нужно найти пересечение векторных линий.Это можно сделать, приравняв каждую пару векторных линий.

    Чтобы найти точку A , ​​воспользуемся векторными линиями AB и AC . См. Диаграмму.

    #AB = AC #

    # ((0), (2)) + r ((2), (1)) = ((0), (5)) + t ((1), (- 1)) #

    # цвет (белый) (->) 2r = t #
    # 2 + r = 5-t #

    Решение для # r # и # t #:

    # г = 3-т #

    # 2 (3-т) = t => t = 2 #

    # 2r = 2 => r = 1 #

    Использование в #AB = AC #

    # ((0), (2)) + 1 ((2), (1)) = ((0), (5)) + 2 ((1), (- 1)) #

    # ((2), (3)) = ((2), (3)) #

    Координата A : #color (white) (8) (2 color (white) (1), 3) #

    Для поиска точки B воспользуемся векторными линиями AB и BC .

    #AB = BC #

    # ((0), (2)) + r ((2), (1)) = ((8), (6)) + s ((- 1), (- 2)) #

    # цвет (белый) (888) 2r = 8-s #
    # 2 + r = 6-2s #

    # г = 4-2с #

    # 2 (4-2s) = 8-s => s = 0 #
    # 2 + r = 6-2 (0) => r = 4 #

    Использование в #AB = BC #

    # ((0), (2)) + 4 ((2), (1)) = ((8), (6)) + 0 ((- 1), (- 2)) #

    # ((8), (6)) = ((8), (6)) #

    Координата B : #color (white) (8) (8 color (white) (1), 6) #

    Чтобы найти точку C , ​​воспользуемся векторными линиями AC и BC .

    # AC = BC #

    # ((0), (5)) + t ((1), (- 1)) = ((8), (6)) + s ((- 1), (- 2)) #

    # цвет (белый) (8888) t = 8-s #
    # 5-t = 6-2s #

    # 5- (8-с) = 6-2с => s = 3 #
    # t = 8-3 => t = 5 #

    Использование в #AC = BC #

    # ((0), (5)) + 5 ((1), (- 1)) = ((8), (6)) + 3 ((- 1), (- 2)) #

    # ((5), (0)) = ((5), (0)) #

    Координата C : #color (white) (8) (5 color (white) (1), 0) #

    Чтобы вычислить длины сторон, мы могли бы использовать формулу расстояния или найти векторы #vec (AB), vec (AC) и vec (CB) # и найти их величину.2)) = sqrt (45) = 3sqrt (5) #

    Стороны AB и BC имеют одинаковую длину.

    Координаты:

    # A = (2, 3) #
    # B = (8, 6) #
    # C = (5, 0) #

    Длина сторон:

    # AB = 3sqrt (5) #
    # BC = 3sqrt (5) #
    # AC = 3sqrt (2) #

    Векторная алгебра:

    ВЕКТОРНЫЕ МЕТОДЫ

    Приоритетные направления:

    1. Векторы и
      векторное сложение
    2. Единичные векторы
    3. Базовые векторы
      и компоненты вектора
    4. прямоугольный
      координаты в 2-D
    5. прямоугольный
      координаты в 3-D
    6. Вектор
      соединение двух точек
    7. Точечный продукт
    8. Перекрестное произведение
    9. Трехместный
      товар
    10. Трехместный
      векторное произведение

    Векторы и
    векторное сложение:

    Скаляр — это величина, такая как масса или температура, которая имеет только величину.» на жирном символе (т.е.,). Следовательно,

    Любой вектор можно превратить в единичный вектор, разделив его на длину.

    Любой вектор можно полностью представить, указав его величину и единицу измерения.
    вектор вдоль его направления.

    Базовые векторы и
    компоненты вектора:

    Базовые векторы — это набор векторов, выбранных в качестве базовых для представления всех остальных
    векторов.Идея состоит в том, чтобы построить каждый вектор из сложения векторов
    по базовым направлениям. Например, вектор на рисунке можно записать
    как сумма трех векторов u 1 , u 2 и
    u 3 , каждый по направлению одного из базовых векторов e 1 ,
    e 2 и e 3 , так что

    Каждый из векторов u 1 , u 2 и u 3
    параллельна одному из базовых векторов и может быть записана как скалярное кратное
    эта база.Пусть u 1 , u 2 и u 3
    обозначим эти скалярные множители так, чтобы получилось

    Оригинальный вектор u банка
    теперь будет записано как

    Скалярные множители u 1 , u 2 и u 3
    известны как компоненты и в базе, описанной базой
    векторы e 1 , e 2 и e 3 .Если базовые векторы являются единичными векторами, то компоненты представляют собой
    длины трех векторов соответственно u 1 , u 2 ,
    и u 3 . Если базовые векторы являются единичными векторами и взаимно
    ортогонально, то основание называется ортонормированным, евклидовым или декартовым
    база.

    Вектор может быть разрешен по любым двум направлениям в плоскости, содержащей его.
    На рисунке показано, как правило параллелограмма используется для построения векторов a
    и b , что в сумме дает c .

    В трех измерениях вектор может быть разрешен вдоль любых трех некомпланарных
    линий. На рисунке показано, как можно разрешить вектор по трем направлениям.
    сначала найдя вектор в плоскости двух направлений, а затем
    разрешение этого нового вектора по двум направлениям на плоскости.

    Когда векторы представлены в виде базовых векторов и компонентов,
    сложение двух векторов приводит к сложению компонентов
    векторов.Следовательно, если два вектора A и B представлены как

    тогда,

    прямоугольный
    компоненты в 2-D:

    Базовые векторы прямоугольной системы координат x-y задаются формулой
    единичные векторы и вдоль x и y
    направления соответственно.

    Используя базовые векторы, можно представить любой вектор F как

    Из-за ортогональности оснований имеются следующие соотношения.

    прямоугольный
    координаты в 3-D:

    Базовые векторы прямоугольной системы координат задаются набором
    три взаимно ортогональных единичных вектора, обозначенных,, и что
    расположены вдоль координатных направлений x , y и z ,
    соответственно, как показано на рисунке.

    Показанная система является системой для правой руки, поскольку большой палец правой руки
    указывает в направлении z , если пальцы таковы, что представляют
    вращение вокруг оси z — от x до y . Эта система может
    можно превратить в левостороннюю систему, изменив направление любого из
    координатные линии и связанный с ними базовый вектор.

    В прямоугольной системе координат компонентами вектора являются
    проекции вектора вдоль x , y и z
    направления. Например, на рисунке проекции вектора A
    вдоль направлений x, y, и z задаются A x , A y ,
    и A z соответственно.

    В результате теоремы Пифагора и ортогональности базы
    векторов, величина вектора в прямоугольной системе координат может быть
    рассчитано по

    Направляющий косинус:

    Направляющие косинусы определены как

    где углы, и —
    углы показаны на рисунке.Как показано на рисунке, направляющие косинусы
    представляют собой косинусы углов между вектором и тремя
    координаты направления.

    Направляющие косинусы могут быть вычислены из
    компоненты вектора и его величина через соотношения

    Три направляющих косинуса не являются независимыми
    и должен удовлетворять соотношению

    Эти результаты формируют тот факт, что

    Единичный вектор может быть построен вдоль вектора
    используя направляющие косинусы в качестве компонентов вдоль x , y и
    z направлений.Например, единичный вектор вдоль вектора A
    получается из

    Следовательно,

    Вектор
    соединение двух точек:

    Вектор, соединяющий точку A с точкой B
    дается

    A единичный вектор вдоль линии A-B может быть получен из

    Вектор F вдоль линии A-B и величиной F может
    таким образом получается из соотношения

    Точечный продукт:

    Скалярное произведение обозначается «» между двумя векторами.В
    скалярное произведение векторов A и B приводит к скаляру, заданному
    отношение

    где — угол между двумя векторами. Порядок не важен в
    скалярное произведение, как видно из определения скалярных произведений. В результате один
    получает

    Скалярное произведение имеет следующие свойства.

    Поскольку косинус 90 o равен нулю, скалярное произведение двух
    ортогональные векторы приведут к нулю.

    Поскольку угол между вектором и самим собой равен нулю, а косинус нуля
    единица, величина вектора может быть записана в терминах скалярного произведения
    используя правило

    Прямоугольные координаты:

    При работе с векторами, представленными в
    прямоугольная система координат по компонентам

    , то скалярное произведение может быть оценено из
    отношение

    Это можно проверить прямым умножением
    векторы и отмечая, что из-за ортогональности базовых векторов a
    прямоугольная система

    Проекция вектора на линию:

    Ортогональная проекция вектора вдоль прямой
    получается перемещением одного конца вектора на линию и опусканием
    перпендикулярно линии от другого конца вектора.Результирующий
    отрезок на прямой — это ортогональная проекция вектора или просто его
    проекция.

    Скалярная проекция вектора A вдоль направления
    единичный вектор — длина ортогональной проекции A
    вдоль линии, параллельной, и может быть оценен с помощью скалярного произведения. В
    отношение для проекции

    Векторная проекция A вдоль агрегата.
    вектор просто умножает скалярную проекцию на единичный вектор, чтобы
    получить вектор вместе.Это дает соотношение

    Крест
    товар:

    Перекрестное произведение векторов a и b представляет собой вектор, перпендикулярный
    к обоим a и b и имеет величину, равную площади
    параллелограмм, полученный из a и b . Направление креста
    продукт определяется правилом правой руки.Перекрестное произведение обозначается
    «» между векторами

    Порядок важен в перекрестном произведении. Если порядок операций изменится
    в перекрестном произведении направление результирующего вектора меняется на противоположное. То есть

    Перекрестное произведение имеет следующие свойства.

    Прямоугольные координаты:

    При работе в прямоугольных системах координат,
    перекрестное произведение векторов a и b , заданных

    можно оценить с помощью правила

    Можно также использовать прямое умножение основания
    векторов с использованием соотношений

    Тройной
    товар:

    Тройное произведение векторов a , b и c равно

    Стоимость тройного произведения равна объему параллелепипеда.
    построенный из векторов.Это видно из рисунка с

    Тройной продукт имеет следующие свойства

    Прямоугольные координаты:

    Рассмотрим векторы, описанные в прямоугольнике.
    система координат как

    Тройное произведение можно оценить с помощью
    отношение

    Тройной вектор
    товар:

    Произведение тройного вектора имеет свойства

    Как умножить векторы — Скалярное (точечное) произведение

    Как умножить векторы

    Ключевые термины

  • Единичный вектор
  • Скалярное (точечное) произведение
  • Цели

  • Определите концепцию единичных векторов
  • Использовать единичные векторы для алгебраического представления векторов
  • Определить умножение скаляра и вектора
  • Используйте скалярное произведение, чтобы вычислить длину вектора

  • В этой статье мы рассмотрим другое представление векторов, а также основы умножения векторов.

    Единичные векторы

    Хотя координатная форма для представления векторов ясна, мы также можем представить их в виде алгебраических выражений с использованием единичных векторов. В наших стандартных прямоугольных (или евклидовых) координатах ( x, y, и z ) единичный вектор — это вектор длины 1, параллельный одной из осей. В двумерной координатной плоскости единичные векторы часто называются i, и j, , ​​как показано на графике ниже.Для трех измерений мы добавляем единичный вектор k , ​​соответствующий направлению оси z . Эти векторы определяются алгебраически следующим образом.

    i = (1, 0) или (1, 0, 0)

    j = (0, 1) или (0, 1, 0)

    к = (0, 0, 1)

    Прежде чем мы представим алгебраическое представление векторов с помощью единичных векторов, мы должны сначала ввести умножение векторов — в данном случае на скаляры.

    Векторное умножение на скаляры

    Умножение векторов сложнее, чем умножение только скаляров, поэтому мы должны относиться к предмету осторожно. Начнем с простейшего случая: умножения вектора на скаляр. Ниже приведено определение умножения скаляра c на вектор a, , ​​где a = ( x, y ). (Опять же, мы можем легко расширить эти принципы до трех измерений.)

    Скалярное умножение коммутативно, поэтому . Но что означает это умножение? Как оказалось, умножение на скаляр c увеличивает длину вектора в c. Это наиболее ясно видно с единичными векторами, но это применимо к любому вектору. (Однако умножение на отрицательный скаляр меняет направление вектора на противоположное.На приведенном ниже графике показаны некоторые примеры с использованием c = 2. (Напомним, что расположение вектора не влияет на его значение.)

    Практическая задача: Для вектора a = (3, 1) найдите вектор в том же направлении, что и a , ​​но вдвое больше его длины.

    Решение: Когда мы умножаем вектор на скаляр, направление вектора произведения совпадает с направлением множителя.Единственная разница в том, что длина умножается на скаляр. Итак, чтобы получить вектор, который в два раза длиннее a , ​​но в том же направлении, что и a, просто умножьте на 2.

    2 a = 2 • (3, 1) = (2 • 3, 2 • 1) = (6, 2)

    Алгебраическое представление векторов

    Мы можем использовать скалярное умножение с векторами для алгебраического представления векторов.Обратите внимание, что любой двумерный вектор v может быть представлен как сумма длины, умноженной на единичный вектор i , ​​и другой длины, умноженной на единичный вектор j. Например, рассмотрим вектор (2, 4). Примените правила векторов, которые мы узнали до сих пор:

    (2, 4) = (2, 0) + (0, 4) (правило сложения для векторов)

    (2, 4) = 2 • (1, 0) + 4 • (0, 1) (правило умножения для скаляров и векторов)

    (2, 4) = 2 i + 4 j

    Графически мы складываем два вектора в единичных направлениях, чтобы получить произвольный вектор.

    Обратите внимание, что единичные векторы действуют почти идентично переменным. Таким образом, мы можем сложить два вектора a и b следующим образом.

    a = 3 i — 2 j b = i + 3 j

    a + b = (3 i -2 j ) + ( i + 3 j ) = 3 i + i -2 j + 3 j = 4 i + j

    Это представление обеспечивает большую гибкость, чем представление координат, но оно эквивалентно.

    Практическая задача: Вычислить сумму и разность ( t u ) векторов t = -2 i + 3 j и u = 6 i — 4 j .

    Решение: Мы можем довольно легко решить эту задачу алгебраически.

    t + u = (-2 i + 3 j ) + (6 i -4 j ) = 4 i j = (4, -1)

    t u = (-2 i + 3 j ) — (6 i — 4 j ) = -2 i + 3 j — 6 i + 4 j = -8 i + 7 j = (-8, 7)

    Векторное умножение: скалярное (точечное) произведение

    Умножение двух векторов немного сложнее, чем скалярное умножение.Определены два типа умножения с участием двух векторов: так называемое скалярное произведение (или «скалярное произведение») и так называемое векторное произведение (или «перекрестное произведение»). Для простоты мы обратимся только к скалярному произведению, но на этом этапе у вас должна быть достаточная математическая база для понимания векторного произведения. Скалярное произведение (или скалярное произведение ) двух векторов определяется следующим образом в двух измерениях. Как всегда, это определение можно легко расширить до трех измерений — просто следуйте шаблону.Обратите внимание, что операция всегда должна обозначаться точкой (•), чтобы отличать от векторного произведения, в котором используется символ раз () — отсюда и названия скалярное произведение и перекрестное произведение.

    Однако значение этого продукта может быть вам не совсем понятно на данном этапе. Мы можем проиллюстрировать это, посмотрев на простой случай: скалярное произведение произвольного вектора v и единичных векторов i и j.

    Таким образом, v i является «частью» вектора v в направлении I.

    Однако это объяснение работает только для векторов длины 1.Когда два произвольных вектора умножаются, скалярное произведение имеет аналогичное значение, но величина числа немного отличается. Мы не будем углубляться в это, но мы можем рассмотреть особый случай, когда скалярное произведение дает ценную информацию.

    Длина вектора

    Рассмотрим случай скалярного произведения вектора v на себя.

    Давайте посмотрим на эту ситуацию графически.

    В результате получается прямоугольный треугольник с горизонтальным участком длиной x и вертикальным участком длиной y. Эти длины соответствуют длинам составляющих векторов x i и y j, соответственно. Но мы знаем из теоремы Пифагора, что — это квадрат длины вектора v. . Не случайно, это то же самое, что скалярное произведение v на себя. Таким образом, длина любого вектора v, , ​​записанного как (или иногда ), является квадратным корнем из скалярного произведения.

    В простом случае единичных векторов

    Эти простые случаи помогают проверить эту интерпретацию скалярного произведения.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.