На рисунке представлен график зависимости модуля скорости v автомобиля от времени: на рисунке представлен график зависимости модуля скорости v автомобиля от времени t

Содержание

/8. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости автомобиля от

/ /15

1. Задание 1 7777 Вариант 3580273 Небольшое тело движется в пространстве. На рисунке показаны графики зависимости от времени t проекций V x, V y и V z скорости этого тела на оси OX, OY и OZ от времени

Подробнее

5. Прямолинейное равноускоренное движение

5. Прямолинейное равноускоренное движение Прямолинейное равноускоренное движение это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т. е. это движение с постоянным

Подробнее

ID_6260 1/5 neznaika.pro

1 Кинематика Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Зависимость координаты

Подробнее

КИНЕМАТИКА задания типа В Стр. 1 из 5

КИНЕМТИК задания типа В Стр. 1 из 5 1. Тело начало движение вдоль оси OX из точки x = 0 с начальной скоростью v0х = 10 м/с и с постоянным ускорением a х = 1 м/c 2. Как будут меняться физические величины,

Подробнее

ПРОМЕЖУТКИ ВОЗРАСТАНИЯ

1) На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f (x). На оси абсцисс отмечены девять точек:. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f (x) отрицательна. В ответе

Подробнее

Кинематика материальной точки.

Кинематика материальной точки. : Скорость материальной точки…. Ускорение материальной точки…. 3 Тангенциальное и нормальное ускорение…. 4 Проекции скорости и ускорения… 5 График скорости… 6 Вращательное

Подробнее

Основные законы и формулы

1.1. Кинематика материальной точки Основные законы и формулы При движении материальной точки в пространстве радиус-вектор, проведённый из начала координат к точке, и координаты этой точки, представляющие

Подробнее

Материальная точка. Система отсчета

Неравномерное Учебник Касьянов В.А. Автор: Шипкина Е.А. 10 класс. Модуль 1 по теме «Кинематика» — 15 часов Материальная точка Система отсчета Механическое движение Равномерное Периодическое Криволинейное

Подробнее

ПРОБНЫЙ ЭКЗАМЕН по теме 1. КИНЕМАТИКА

ПРОБНЫЙ ЭКЗАМЕН по теме. КИНЕМАТИКА Внимание: сначала попытайтесь ответить на вопросы и решить задачи самостоятельно, а потом проверьте свои ответы. Указание: ускорение свободного падения принимать равным

Подробнее

КИНЕМАТИКА Вариант 1

КИНЕМАТИКА Вариант 1 1. При равномерном движении пешеход проходит за 10 с путь 15 м. Какой путь он пройдет при движений с той же скоростью за 2 с? А. 3 м. Б. 30 м. В. 1,5 м. Г. 7,5 м. 2. На рисунке 1 представлен

Подробнее

Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (

Объяснение явлений 1. На рисунке представлен схематичный вид графика изменения кинетической энергии тела с течением времени. Выберите два верных утверждения, описывающих движение в соответствии с данным

Подробнее

ПРЕДИСЛОВИЕ генератором тестов

ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие предназначено для учащихся средних школ, колледжей и техникумов и может быть использовано как при изучении физики, так и при подготовке к ЕГЭ. В пособии представлено 816 разноуровневых

Подробнее

Кинематика 1 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Кинематика 1 1 Точка движется по окружности радиусом 2 м, и ее перемещение равно по модулю диаметру. Путь, пройденный телом, равен 1) 2 м 2) 4 м ) 6,28 м 4) 12,56 м 2 Камень брошен из окна второго этажа

Подробнее

Занятие 1. Вариант t

Занятие. Вариант… Тело движется равномерно по окружности. Найти отношение пройденного пути к величине перемещения тела за четверть периода движения… 3. 4. 3… Движение тела является равномерным, если:.

Подробнее

ОТВЕТ: с -1. ОТВЕТ: c -1

Билет N 5 Билет N 4 Вопрос N 1 Тонкий стержень массы M 0 = 1 кг и длины l = 60 см лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Стержень может свободно вращаться вокруг закреплённой вертикатьной оси, проходящей

Подробнее

Билет N 4. ОТВЕТ: с -1

Билет N 5 Билет N 4 Вопрос N 1 Тонкий стержень массы M 0 = 1 кг и длины l = 60 см лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Стержень может свободно вращаться вокруг закреплённой вертикатьной оси, проходящей

Подробнее

Задания к контрольной работе

Задания к контрольной работе Содержание контрольных работ составляют задания с выбором ответа, теоретический вопрос и расчётная задача. Учитывая результаты исследований по психологии, а также опыт работы

Подробнее

1. КИНЕМАТИКА. Кинематика точки

1 КИНЕМАТИКА Кинематика точки Вектор скорости, модуль вектора скорости, вектор ускорения, модуль вектора ускорения dx v x = — проекция вектора скорости на координатную ось X может быть найдена dt как производная

Подробнее

ЦДО «Уникум» РУДН ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКЕ

ЦДО «Уникум» РУДН ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКЕ Задание 1. Дальность полета снаряда, летящего по навесной траектории, равна максимальной высоте подъема. Какова максимальная высота настильной траектории при той же

Подробнее

если υ 0 а — движение ускоренное

Кинематика Механическое движение изменение положения тела в пространстве с течением времени относительно других тел. Поступательное движение движение, при котором все точки тела проходят одинаковые траектории.

Подробнее

t, с. 2015г.

Уравнения и графики кинематики (методика решения тестов и задач), м/с 1 8 6 4 1 3 4 5, с 6 7 8 Составили: Жаганюк М., Киргизов А. Мягков А., Неделько М., Шарипов М. Руководитель: учитель МОУ СОШ 31 Лукина

Подробнее

Банк заданий по физике 10 класс

Банк заданий по физике 1 класс МЕХАНИКА Равномерное и равноускоренное прямолинейное движение 1 На рисунке приведён график зависимости координаты тела от времени при его прямолинейном движении по оси x.

Подробнее

Вопрос N 1 Два бруска с массами m 1

Билет N 5 Билет N 4 Вопрос N 1 На тело массой m 2,0 кг начинает действовать горизонтальная сила, модуль которой линейно зависит от времени: F t, где 0.7 Н/с. Коэффициент трения k 0,1. Определить момент

Подробнее

Примерные практические задания:

Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Все прототипы задания В8 (2013)

Все прототипы задания В8 (13) ( 7485) Прямая y 7x 5 параллельна касательной к графику функции y x 6x 8 Найдите абсциссу точки касания ( 7486) Прямая y 4x 11 является касательной к графику функции 3 y x

Подробнее

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1.. Кинематика. Кинематика это часть теоретической механики, в которой изучается механическое движение материальных точек и твердых тел. Механическое движение это перемещение

Подробнее

Обучающие задания на тему «ДИНАМИКА»

Обучающие задания на тему «ДИНАМИКА» 1(А) Автобус движется прямолинейно с постоянной скоростью. Выберете правильное утверждение. 1) На автобус действует только сила тяжести. ) Равнодействующая всех приложенных

Подробнее

Разбор тренировочного теста

Разбор тренировочного теста интернет-олимпиады
по физике 2008/2009 года

11 класс. Кинематика

 

Вопрос № 1

По графику, представленному на рисунке, определите скорость
движения велосипедиста через три секунды после начала движения.

 

Решение.

На рисунке представлен график зависимости пути от времени.
График представляет собой прямую линию, значит, велосипедист двигался
равномерно. Определим по графику величину пути, пройденного велосипедистом за
фиксированный отрезок времени. Например, за 3 с велосипедист прошел 9 м.
Скорость велосипедиста V = L / t
= 9/3 = 3 м/с.

 

Вопрос № 2

Пешеход и велосипедист одновременно начали движение
навстречу. Их скорости равны V1 = 6 км/ч и V2 = 30 км/ч, соответственно.
Определите время движения до встречи, если начальное расстояние между ними L = 700 м.

 

Решение.

Определим скорость велосипедиста в системе отсчета пешехода V12
= V1 + V2 = 6 + 30 = 36 км/ч = 10 м/с. Итак, пешеход и
велосипедист сближаются со скоростью 10 м/с, тогда их время движения до встречи
t = L / V12 = 700/10 = 70 с.

 

Вопрос № 3

Автомобиль двигался со скоростью 15 м/с
в течение 5 с. Какой путь он проехал за это время?

 

Решение.

Автомобиль двигался равномерно, поэтому пройденный путь L = V∙t = 15∙5 = 75 м.

 

Вопрос № 4

Брошенный вертикально вверх мяч возвращается в исходное
положение. На рисунке представлен график его скорости от времени. В какой
момент времени мяч достиг максимальной высоты?

 

Решение.

В момент, когда мяч достиг максимальной высоты, его скорость
равна нулю. По графику, представленному на рисунке определяем, что скорость
мяча равна нулю в момент времени t = 2 с.

 

Вопрос № 5

Какие из перечисленных выше величин векторные ? (Отметьте все векторные величины)

 

Решение.

Из перечисленных величин векторными являются скорость,
ускорение и перемещение. Путь — величина скалярная.

 

Вопрос № 6

Спортсмен пробежал дистанцию 400 м по дорожке стадиона и
возвратился к месту старта. Определите путь L, пройденный спортсменом, и модуль
его перемещения S.

 

Решение.

Пройденный спортсменом путь L = 400 м. Модуль перемещения S
= 0, так как спортсмен вернулся в точку, из которой он начал движение.

 

Вопрос № 7

Скорость тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно,
изменилась при перемещении из точки 1 в точку 2 так, как показано на рисунке.
Какое направление имеет вектор ускорения на этом участке пути?

 

Решение.

Из рисунка видно, что модуль скорости тела при перемещении
уменьшается, значит, вектор ускорения направлен навстречу движению, то есть налево.

 

Вопрос № 8

По графику зависимости модуля скорости от времени определите
ускорение прямолинейно движущегося тела в момент времени t
= 2 с.

 

Решение.

По графику определим изменение скорости тела за
фиксированный момент времени. Например, за первые две секунды скорость тела
изменилась на 6 м/с (с V0
= 3 м/с до Vt = 9 м/с). Ускорение a = (Vt – V0) / t
= 6/2 = 3 м/с2.

 

Вопрос № 9

При равноускоренном движении автомобиля в течение пяти
секунд его скорость увеличилась от 10 до 15 м/с. Чему равен модуль ускорения автомобиля?

 

Решение.

Ускорение автомобиля a = (Vt – V0) / t = (15 – 10)/5 = 5/5 = 1 м/с2.

 

 

Вопрос № 10

Автомобиль стартует с места с постоянным ускорением а = 1
м/с2. Какой путь проходит автомобиль за
первые десять секунд движения?

 

Решение.

Автомобиль движется равноускоренно без начальной скорости —
пройденный путь L = a∙t2/2 = 1∙102/2
= 50 м.

 

Вопрос № 11

Плот равномерно плывет по реке со скоростью 3 км/ч. Сплавщик
движется поперек плота со скоростью 4 км/ч. Какова скорость сплавщика в системе отсчета, связанной с
берегом?

 

Решение.

Скорость сплавщика в в
системе отсчета, связанной с берегом

 

Вопрос № 12

Вертолет поднимается вертикально вверх c
постоянной скоростью. Какова траектория движения точки на конце лопасти винта
вертолета в системе отсчета, связанной с корпусом вертолета?

 

Решение.

Представьте себе, что вы находитесь в кабине вертолета, то
есть вы неподвижны относительно корпуса вертолета. В этом случае вы можете
видеть, что любая точка винта вертолета описывает окружность.

 

Вопрос № 13

Тело движется вдоль оси Х по закону, представленному на
рисунке, где х — координата в метрах, t — время в секундах. Определите модуль ускорения тела.

 

Решение.

Уравнение зависимости координаты от времени при
прямолинейном равноускоренном движении в общем виде имеет вид Х(t) = X0 + V∙t + aх∙t2/2, где X0 — начальная
координата, а V
и aх— проекции начальной скорости и ускорения на ось Х.

Приравнивая члены, в которые входит t2, получим aх∙t2/2 = –4,5∙t2. Откуда проекция ускорения aх
= –9 м/с2, а модуль ускорения a =
9 м/с2.

 

Вопрос № 14

На рисунке представлены графики зависимости модуля скорости
от времени для четырех тел. Какое из этих тел (или
какие тела) прошли наибольший путь?

 

Решение.

На рисунке показаны графики зависимости скорости движущихся
тел от времени. Как известно, пройденный телом путь представляет собой площадь,
лежащую под графиком скорости. Из рисунка видно, что фигура максимальной
площади лежит под графиком, для тела 4. Значит, за промежуток времени от 0 до t0
тело 4 прошло наибольший путь.

 

Вопрос № 15

Тело движется прямолинейно. На рисунке представлен график
скорости тела от времени. На каком промежутке (каких промежутках) времени
проекция ускорения отрицательна?

 

Решение.

Проанализируем график:

1.      на
промежутке времени от 0 до 1с скорость тела постоянна, поэтому ах =
0;

2.      на
промежутке времени от 1с до 2с скорость тела уменьшается, поэтому проекция
ускорения ах < 0;

3.      на
промежутке времени от 2с до 3с тело покоится, поэтому ах = 0;

4.      на
промежутке времени от 3с до 4с скорость тела увеличивается, поэтому проекция
ускорения ах > 0.

Итак, проекция ускорения отрицательна на промежутке времени
от 1с до 2с.

 

Вопрос № 16

Двигавшийся с начальной скоростью 20 м/с автомобиль
разгоняется с постоянным ускорением а = 2 м/с2
в течение 5 с. Какой путь он проехал за это время?

 

Решение.

Для расчета пути можно воспользоваться формулой L = V0∙t + a∙t2/2
= 20∙5 + 2∙52/2 = 125 м.

 

Задания для подготовки к ЕГЭ по физике(А1)

Задание 1.1.  На рисунке представлен график зависимости модуля скорости v автобуса от времени t. Определите по графику путь, пройденный автобусом в интервале времени от t1=0 с до t2 = 50 с.

Решение.

По графику зависимости скорости v от времени t, пройденный путь S можно найти как площадь под этим графиком. В данном случае имеем трапецию, ограниченную интервалом времени от 0 до 50 секунд.

Основаниями этой трапеции соответственно равны: a = 50 и b = 50-20=30 секунд и высотой h = 15 м/с. Тогда пройденный путь равен:

 метров.

Ответ: 600.

Задание 1.2.  На рисунке представлен график зависимости модуля скорости v грузовика от времени t. Определите по графику путь, пройденный автобусом в интервале времени от t1 = 40 с до t2 = 100 с.

Решение.

Путь, пройденный автобусом в интервале времени от 40 до 100 с, равен площади под графиком v(t). На рисунке ниже отмечена искомая площадь.

Данная фигура представляет собой прямоугольную трапецию с основаниями a = 100-40=60, b = 80-40=40 и высотой h = 15 м/с. Соответственно, пройденный путь равен:

 м.

Ответ: 750

Задание 1.3.  На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела vx от времени t.

Определите проекцию ускорения этого тела ax в момент времени 8 с.

Решение.

Момент времени t=8 с находится на линейном участке графика от 5 до 10 с. Так как скорость в этот промежуток времени снижалась линейно, то ускорение постоянно. Вычислим ускорение при t от 5 до 10 с, получим:

 м/с2

Ответ: -3.

Задание 1.4.  На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела vx от времени t.

Определите проекцию ускорения этого тела ax в момент времени 15 с.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 3. Задание 1. ЕГЭ 2018. Физика. Демидова М. Ю. 30 вариантов. Решение

Задание 1. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела vx от времени t.

Определите проекцию ускорения этого тела ax в момент времени 8 с.

Решение.

Момент времени t=8 с находится на линейном участке графика от 5 до 10 с. Так как скорость в этот промежуток времени снижалась линейно, то ускорение постоянно. Вычислим ускорение при t от 5 до 10 с, получим:

 м/с2

Ответ: -3.

Ответ задания: 1,875.

Задание 1.5.  На рисунке приведён график зависимости проекции скорости vx от времени t для тела, движущегося прямолинейно по оси x. Определите проекцию ускорения тела ax.

Решение.

График скорости имеет линейную зависимость от времени. Это означает, что скорость менялась с постоянным ускорением. Для вычисления ускорения достаточно взять две точки на прямой следующим образом:

 м/с2.

Ответ: -1,5

Задание 1.6.  На рисунке приведён график зависимости проекции скорости vx от времени t для тела, движущегося прямолинейно по оси х. Определите проекцию ускорения тела ax.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 5. Задание 1. ЕГЭ 2018. Физика. Демидова М. Ю. 30 вариантов. Решение

Задание 1. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости vx от времени t для тела, движущегося прямолинейно по оси x. Определите проекцию ускорения тела ax.

Решение.

График скорости имеет линейную зависимость от времени. Это означает, что скорость менялась с постоянным ускорением. Для вычисления ускорения достаточно взять две точки на прямой следующим образом:

 м/с2.

Ответ: -1,5.

Ответ задания: 0,75.

Задание 1.7.  На рисунке приведён график зависимости проекции скорости vx тела от времени t.

Определите проекцию ускорения этого тела ax в интервале времени от 5 до 10 с.2, где все величины выражены в СИ. Определите проекцию ускорения ax этого тела.

Решение.

1-й способ. Запишем закон изменения координаты тела x:

.

Соотнося эту формулу с выражением , видно, что ускорение тела , так как .

2-й способ. Ускорение – это вторая производная от координаты x(t). Вычислим вторую производную от x(t), получим:

Ответ: -10.

Ответ задания: 6.

Входная 11кл — A на рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени. Какой путь пройден телом за вторую секунду мм мм На левом рисунке представлены вектор скорости тела и вектор равнодействующей всех сил, действующих на тело.

Вариант 1
A 1. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени. Какой путь пройден телом за вторую секунду мм мм На левом рисунке представлены вектор скорости тела и вектор равнодействующей всех сил, действующих на тело. Какой из четырех векторов на правом рисунке указывает направление вектора ускорения этого тела в инерциальной системе отсчета
1) 3 2) 2 3) 1 4) 4
A 3. Камень массой 1 кг брошен вертикально вверх. В начальный момент его энергия равна 200 Дж. На какую максимальную высоту поднимется камень Сопротивлением воздуха пренебречь.
1) 10 мм мм Какое из утверждений правильно
A. Диффузия наблюдается только в газах и жидкостях.
B. Диффузия наблюдается только в твердых телах.
C. Диффузия наблюдается в газах, жидкостях и твердых телах.
1) A 2) B 3) C 4) ни A, ни B, ни C
A 5. Идеальный газ получил количество теплоты 300 Дж и совершил работу
100 Дж. При этом внутренняя энергия газа
1) увеличилась на 400 Дж
2) увеличилась на 200 Дж
3) уменьшилась на 200 Дж
4) уменьшилась на 400 Дж
A 6. Расстояние между двумя точечными электрическими зарядами уменьшили в 2 раза, и один из зарядов уменьшили в 2 раза. Сила взаимодействия между зарядами) увеличилась в 2 раза
2) увеличилась в 4 раза
3) увеличилась враз) не изменилась
A 7. Сила тока в проводнике постоянна и равна 0,5 А. Заряд 60 Кл пройдет по проводнику за время
1) 2 с 2) 30 с 3) 1 мин 4) 2 мин
B 1. В закрытом сосуде находится идеальный газ. Как при охлаждении сосуда с газом изменятся величины давление газа, его плотность и внутренняя энергия Для каждой величины определите соответствующий характер изменения
1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась. Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
Давление газа
Плотность газа
Внутренняя энергия газа
?
?
?
C 1. Два свинцовых шара массами m
1
=
100 г и m
2
= 200 г движутся навстречу друг другу со скоростями v
1
= 4 мс и
v
2
= 5 мс. Какую кинетическую энергию будет иметь второй шар после их неупругого соударения

Вариант 2
A 1. По графику зависимости модуля скорости тела от времени, представленного на рисунке, определите путь, пройденный телом от момента времени 0 с до момента времени 2 см мм м
A 2. Материальная точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью почасовой стрелке. В какой точке траектории ускорение тела направлено по стрелке
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
A 3. Тележка движется со скоростью 3 мс. Еѐ кинетическая энергия равна
27 Дж. Какова масса тележки
1) 6 кг 2) 9 кг 3) 18 кг 4) 81 кг
A 4. Броуновским движением называется
1) упорядоченное движение слоев жидкости (или газа)
2) упорядоченное движение твердых частиц вещества, взвешенных в жидкости или газе)
3) конвекционное движение слоев жидкости при ее нагревании
4) хаотическое движение твердых частиц вещества, взвешенных в жидкости (или газе)
A 5. В процессе эксперимента газ отдал окружающей среде количество теплоты, равное 3 кДж. При этом внутренняя энергия газа уменьшилась на 13 кДж. Следовательно, газ расширился, совершив работу кДж 2) 10 кДж 3) 13 кДж 4) 16 кДж
A 6. Как изменится сила кулоновского взаимодействия двухточечных заряженных тел при увеличении расстояния между ними в 3 раза и увеличении заряда одного из тел в 3 раза
1) увеличится враз) увеличится враз) не изменится
4) уменьшится в 3 раза
A 7. Сила тока в проводнике постоянна и равна 0,5 АЗа минут по проводнику пройдет заряд
1) 600 Кл 2) 40 Кл 3) 100 Кл 4) 10 Кл
B 1. В сосуде под поршнем находится идеальный газ. Если при нагревании газа его давление остается постоянным, то как изменятся величины объем газа, его плотность и внутренняя энергия Для каждой величины определите соответствующий характер изменения
1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась. Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
Объем газа
Плотность газа
Внутренняя энергия газа
?
?
?
C 1. Шары массами 6 и 4 кг, движущиеся навстречу друг другу со скоростью 2 мс каждый относительно Земли, соударяются, после чего движутся вместе. Определите, какое количество теплоты выделится в результате соударения

Инструкция по проверке и оценке работ учащихся по физике Вариант 1 Часть А Номер задания Правильный ответ Баллы
1 3
1 2
1 1
3 2
1 4
3 1
5 2
1 6
1 1
7 4
1 Часть В За полный правильный ответ ставится
2 балла, 1 балл – допущена одна ошибка за неверный ответ (более одной ошибки) или его отсутствие – 0 баллов. Номер задания Правильный ответ Баллы В 232 2 Выставление оценок
11-12 баллов – «5»
8-10 баллов – «4»
5-7 баллов – «3»

Часть С Критерии оценивания выполнения задания Баллы Приведено полное правильное решение, включающее следующие элементы 1) верно записано краткое условие задачи
2) записаны уравнения и формулы, применение которых необходимо и достаточно для решения задачи выбранным способом 3) выполнены необходимые математические преобразования и расчѐты, приводящие к правильному числовому ответу, и представлен ответ. При этом допускается решение по частям (с промежуточными вычислениями)
3 Правильно записаны необходимые формулы, проведены вычисления, и получен ответ верный или неверный, но допущена ошибка в записи краткого условия или переводе единиц в СИ, или представлено правильное решение только в общем виде, без каких-либо числовых расчѐтов, или записаны уравнения и формулы, применение которых необходимо и достаточно для решения задачи выбранным способом, нов математических преобразованиях или вычислениях допущена ошибка
2 Записаны и использованы не все исходные формулы, необходимые для решения задачи, или записаны все исходные формулы, нов одной из них допущена ошибка
1 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в
1, 2, 3 балла
0 Максимальный балл
3 Два свинцовых шара массами m
1
= 100 г и m
2
= 200 г движутся навстречу друг другу со скоростями v
1
= 4 мс и
v
2
= 5 мс. Какую кинетическую энергию будет иметь второй шар после их неупругого соударения Решение Запишем формулу для нахождения кинетической энергии шара после соударения По закону сохранения импульса откуда Имеем Ответ 0,4 Дж.

Вариант 2 Часть А Часть В За полный правильный ответ ставится 2 балла, 1 балл – допущена одна ошибка за неверный ответ (более одной ошибки) или его отсутствие – 0 баллов. Номер задания Правильный ответ Баллы В 121 2 Выставление оценок
11-12 баллов – «5»
8-10 баллов – «4»
5-7 баллов – «3» Номер задания Правильный ответ Баллы
1 2
1 2
3 1
3 1
1 4
4 1
5 2
1 6
4 1
7 1
1

Часть С Критерии оценивания выполнения задания Баллы Приведено полное правильное решение, включающее следующие элементы 1) верно записано краткое условие задачи
2) записаны уравнения и формулы, применение которых необходимо и достаточно для решения задачи выбранным способом 3) выполнены необходимые математические преобразования и расчѐты, приводящие к правильному числовому ответу, и представлен ответ. При этом допускается решение по частям (с промежуточными вычислениями)
3 Правильно записаны необходимые формулы, проведены вычисления, и получен ответ верный или неверный, но допущена ошибка в записи краткого условия или переводе единиц в СИ, или представлено правильное решение только в общем виде, без каких-либо числовых расчѐтов, или записаны уравнения и формулы, применение которых необходимо и достаточно для решения задачи выбранным способом, нов математических преобразованиях или вычислениях допущена ошибка
2 Записаны и использованы не все исходные формулы, необходимые для решения задачи, или записаны все исходные формулы, нов одной из них допущена ошибка
1 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в
1, 2, 3 балла
0 Максимальный балл
3 Шары массами 6 и 4 кг, движущиеся навстречу друг другу со скоростью 2 мс каждый относительно Земли, соударяются, после чего движутся вместе. Определите, какое количество теплоты выделится в результате соударения. Решение Согласно закону сохранения импульса Отсюда скорость шаров после удара Согласно закону сохранения энергии можно найти выделявшееся количество теплоты как изменение кинетической энергии системы тел дои после взаимодействия Отсюда Ответ 19,2 Дж.

Всего вопросов: 20

Вопрос 1. Изображен график скорости движения мотоцикла от времени. Чему равна скорость мотоцикла в момент времени t=5c?

Вопрос 2. На рисунке изображен график зависимости скорости прямолинейного движения тела от времени. Чему равно ускорение тела?

Вопрос 3. На рисунке изображен график зависимости скорости прямолинейного движения тела от времени. Чему равно ускорение тела?

Вопрос 4. На рисунке изображена зависимость скорости движения тела от времени. На каком из участков тело движется равноускоренно?

Вопрос 5. На рисунке представлен график зависимости скорости движения тела от времени. На каком из участков тело движется равноускоренно?

Вопрос 6. На рисунке представлен график зависимости скорости движения тела от времени. На каком из участков тело движется равноускоренно?

Вопрос 7. На рисунке изображен график зависимости скорости движения тела от времени. Используя данные графика, запишите уравнение зависимости скорости от времени движения тела.

Вопрос 8. Проекция скорости тела изменяется с течением времени так, как показано на рисунке. Какое из нижеприведенных уравнений соответствует зависимости координаты этого тела от времени? (В момент начала наблюдения тело находилось на расстоянии двух метров левее начала координат)

Вопрос 9. Проекция скорости тела изменяется с течением времени так, как показано на рисунке. Какое из нижеприведенных уравнений, соответствует зависимости координаты этого тела от времени? (Учитывая, что в момент начала наблюдения рассматриваемая точка находилась на расстоянии 5 м левее начала координат)

Вопрос 10. По графику зависимости модуля скорости от времени, представленному на рисунке, определите перемещение тела за 2 с.

Вопрос 11. Используя информацию, приведенную на рисунке, определить проекцию перемещения тела через 14 с после начала движения.

Вопрос 12. Используя информацию, приведенную на рисунке, определить путь пройденный телом за девять секунд.

Вопрос 13. Автомобиль начинает двигаться равноускоренно и вдруг тормозит. Какой вид графика соответствует зависимости ускорения автомобиля от времени?

Вопрос 14. На рисунке 1 изображен график зависимости ускорения от времени движения тела. Как зависит скорость движения этого тела от времени (рисунок 2), если начальная скорость равна нулю?

Вопрос 15. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени. Определить в какой момент времени тело остановилось.

Вопрос 16. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости от проекции перемещения. Определить ускорение этого тела.

Вопрос 17. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости двух тел от времени. Определите скорость первого тела через три секунды после начала движения.

Вопрос 18. Определить, в каком соотношении между собой находятся проекции перемещения тел, графики зависимости проекций скоростей от времени которых, показаны на рисунке, в момент времени, когда скорости тел одинаковы?

Вопрос 19. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости трех тел от времени. В каком из нижеприведенных соотношений находятся значения модулей ускорений и перемещений этих тел в момент времени 10 с?

Вопрос 20. Тело, имеющее начальную скорость 2 м/с, направленную против выбранной оси координат, двигается с ускорением, график зависимости проекции которого от времени приведен на рисунке. Какой из нижеприведенных графиков соответствует зависимости проекции скорости этого тела от времени для промежутка времени (0, 8) с?


4. На рисунке представлен график зависимости модуля равнодействующей силы F, действующей на тело, от времени. 6. Две силы F1 30 Н и F2 40 Н приложены к одной точке тела. Угол между векторами F1 и F2 равен 900.DOC724 байта

Первый закон Ньютона. Масса. Сила
Вариант 1
Какая из названных ниже величин векторная? 1. Масса. 2. Сила.
А. Только первая. Б. Только вторая. В. Первая и вторая. Г. Ни первая, ни вторая.

Равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю. Движется это тело или находится в состоянии покоя?
А. Тело находится в состоянии покоя. Б. Тело движется равномерно прямолинейно или находится в состоянии покоя. В. Тело движется равномерно прямолинейно. Г. Тело движется равноускоренно.
3. На рис. А представлены направления векторов скорости v и ускорения а мяча. Какое из представленных на рис. Б направлений имеет вектор равнодействующей F всех сил, приложенных к мячу?

А. 1. Б. 2. В. 3. Г. F-0.

4. На рисунке представлен график зависимости модуля равнодействующей силы F, действующей на тело, от времени. Чему равно изменение скорости тела массой 2 кг за 3 с?
А. 9 м/с. Б. 12 м/с. В. 18 м/с. Г. 36 м/с.

5. На экспериментальной установке, изображенной на рисунке, установлены два шара массами mx и mэ (mэ = 0,1 кг), скрепленные сжатой легкой пружиной. Чему равна масса mx если после пережигания нити l1 = 0,5 м, 12 == 1м?

А. 0,025 кг. Б. 0,05 кг. В. 0,2 кг. Г. 0,4 кг.

6. Две силы F1 = 30 Н и F2 = 40 Н приложены к одной точке тела. Угол между векторами F1 и F2 равен 900. Чему равен модуль равнодействующей этих сил?
А. 10Н. Б.50Н. В.70Н. Г.35Н.
Вариант 2
1. Какая из названных ниже величин скалярная? 1. Масса. 2. Сила.
А. Только первая. Б. Только вторая. В. Первая и вторая. Г. Ни первая, ни вторая.
2. Векторная сумма всех сил, действующая на движущийся мяч относительно инерциальной системы отсчета, равна нулю. Какова траектория движения мяча?
А. Точка. Б. Прямая. В. Парабола. Г. Траектория может быть любой.
3. На рис. А представлены направления векторов скорости и Т равнодействующей всех сил, приложенных к мячу. Какое из представленных на рис. Б направлений имеет вектор ускорения а?
А. 1. Б. 2. В. 3. Г. а = 0.

4. На рисунке представлен график зависимости модуля равнодействующей силы F, действующей на прямолинейно движущееся тело, от времени. Чему равно изменение скорости тела массой 2 кг за 4 с?
А. 4 м/с. Б. 8 м/с. В. 16 м/с. Г. 32 м/с.
5. На экспериментальной установке, изображенной на рисунке, установлены два шара массами mx и mэ (mэ = 0,1 кг), скрепленные сжатой легкой пружиной. Чему равна масса mx, если после пережигания нити l1 = 1 м, 12 = 0,5м?

А. 0,025 кг. Б. 0,05 кг. В. 0,2 кг. Г. 0,4 кг.

6. Две силы F1 = 2 Ни F2 = 3 Н приложены к одной точке тела. Угол между векторами F1 и F2 равен 90°. Чему равен модуль равнодействующей этих сил?

А. 1 Н. Б. 13 EMBED Equation.3 1415 Н. В. 5Н. Г. 13 Н.
13 EMBED Word.Picture.8 1415

13 EMBED Word.Picture.8 1415

Root Entry

Приложенные файлы

  • 20720369
    Размер файла: 87 kB Загрузок: 0

Анализ графиков — Физика — 10 класс


Просмотр содержимого документа

«Анализ графиков»

Анализ графиков

1. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости автомобиля от времени. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале от момента времени 0 с до момента времени 5 с после начала отсчета времени. (Ответ дайте в метрах.)

2. На рисунке представлен график зависимости пути от времени. Определите по графику скорость движения велосипедиста в интервале от момента времени 1 с до момента времени 3 с после начала движения. (Ответ дайте в метрах в секунду.)

3.  Тело движется по оси  Ох. По графику зависимости проекции скорости тела vx от времени t установите, какой путь прошло тело за время от t1 = 0 до t2 = 4 с. (Ответ дайте в метрах.)

4. На рисунке изображены графики зависимости модуля скорости движения четырёх автомобилей от времени. Один из автомобилей за первые 15 с движения проехал наибольший путь. Найдите этот путь. Ответ выразите в метрах.

 

5. Небольшое тело начинает равноускоренно двигаться вдоль оси OX без начальной скорости. На рисунке приведён график зависимости координаты x этого тела от времени t. Чему равна проекции скорости vx этого тела в момент времени t = 3 c? Ответ выразите в м/с.

6. Точечное тело движется вдоль оси Оx. В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой  x0 =  − 5 м. На рисунке изображена зависимость проекции скорости Vx этого тела от времени t. Чему равна координата этого тела в момент времени t = 4 с? (Ответ дайте в метрах.)

 

7. Точечное тело движется вдоль оси Оx. В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой x0  = 5 м. На рисунке изображена зависимость проекции скорости Vx этого тела от времени t. Чему равна координата этого тела в момент времени t = 4 с? (Ответ дайте в метрах.)

 

8. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела Vx от времени. Чему равна проекция ускорения этого тела ax в интервале времени от 8 до 10 с? Ответ выразите в м/с2.

9. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела vx от времени. Определите проекцию ускорения этого тела ax в интервале времени от 15 до 20 с. Ответ выразите в м/с2.

10. Автомобиль движется вдоль прямой дороги. На рисунке представлен график зависимости проекции a его ускорения от времени t. Известно, что при t = 0 автомобиль покоился. Какой путь прошёл автомобиль за промежуток времени от 10 с до 15 с? Ответ выразите в метрах.

6.2 Равномерное круговое движение — Физика

Задачи обучения разделу

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

  • Описывать центростремительное ускорение и связывать его с линейным ускорением
  • Опишите центростремительную силу и свяжите ее с линейной силой
  • Решение проблем, связанных с центростремительным ускорением и центростремительной силой

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим ученикам овладеть следующими стандартами:

  • (4) Научные концепции.Учащийся знает и применяет законы движения в самых разных ситуациях. Ожидается, что студент:
    • (C) анализировать и описывать ускоренное движение в двух измерениях с использованием уравнений, включая примеры снарядов и кругов.
    • (D) вычислить влияние сил на объекты, включая закон инерции, соотношение между силой и ускорением и характер пар сил между объектами.

Кроме того, Руководство лаборатории по физике для старших классов рассматривает содержание этого раздела лаборатории под названием «Круговое и вращательное движение», а также следующие стандарты:

  • (4) Научные концепции.Учащийся знает и применяет законы движения в самых разных ситуациях. Ожидается, что студент:
    • (C) анализировать и описывать ускоренное движение в двух измерениях с использованием уравнений, включая примеры снарядов и кругов.

Раздел Ключевые термины

Центростремительное ускорение

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] [OL] Проверьте равномерное круговое движение.Попросите учащихся привести примеры кругового движения. Просмотрите линейное ускорение.

В предыдущем разделе мы определили круговое движение. Простейшим случаем кругового движения является равномерное круговое движение, когда объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью . Обратите внимание, что, в отличие от скорости, линейная скорость объекта при круговом движении постоянно меняется, потому что он всегда меняет направление. Из кинематики мы знаем, что ускорение — это изменение скорости либо по величине, либо по направлению, либо по обоим направлениям.Следовательно, объект, совершающий равномерное круговое движение, всегда ускоряется, даже если величина его скорости постоянна.

Вы сами испытываете это ускорение каждый раз, когда едете в машине на повороте. Если во время поворота удерживать рулевое колесо неподвижно и двигаться с постоянной скоростью, вы совершаете равномерное круговое движение. Вы замечаете ощущение скольжения (или отбрасывания, в зависимости от скорости) от центра поворота. На вас действует не настоящая сила — это происходит только потому, что ваше тело хочет продолжать движение по прямой (согласно первому закону Ньютона), в то время как машина сворачивает с этого прямолинейного пути.Внутри машины создается впечатление, что вас оттесняют от центра поворота. Эта фиктивная сила известна как центробежная сила. Чем резче кривая и чем выше ваша скорость, тем заметнее становится этот эффект.

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] [OL] [AL] Продемонстрируйте круговое движение, привязывая груз к веревке и вращая ее. Спросите студентов, что произойдет, если вы внезапно перережете веревку? В каком направлении движется объект? Почему? Что это говорит о направлении ускорения? Попросите учащихся привести примеры, когда они столкнулись с центростремительным ускорением.

На рис. 6.7 показан объект, движущийся по круговой траектории с постоянной скоростью. Направление мгновенной тангенциальной скорости показано в двух точках вдоль пути. Ускорение происходит в направлении изменения скорости; в этом случае он указывает примерно на центр вращения. (Центр вращения находится в центре круговой траектории). Если мы представим, что ΔsΔs становится все меньше и меньше, тогда ускорение будет указывать точно на к центру вращения, но этот случай трудно изобразить.Мы называем ускорение объекта, движущегося в равномерном круговом движении, центростремительным ускорением a c , потому что центростремительное означает поиска центра .

Рисунок 6.7 Показаны направления скорости объекта в двух разных точках, и видно, что изменение скорости ΔvΔv указывает приблизительно на центр кривизны (см. Маленькую вставку). При очень малом значении ΔsΔs ΔvΔv указывает точно на центр круга (но это трудно нарисовать).Поскольку ac = Δv / Δtac = Δv / Δt, ускорение также направлено к центру, поэтому a c называется центростремительным ускорением.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Обратите внимание на рисунок 6.7. На рисунке показан объект, движущийся по круговой траектории с постоянной скоростью, и направление мгновенной скорости двух точек на траектории. Ускорение происходит в направлении изменения скорости и указывает на центр вращения. Это строго верно только при стремлении ΔsΔs к нулю.

Теперь, когда мы знаем, что центростремительное ускорение направлено к центру вращения, давайте обсудим величину центростремительного ускорения. Для объекта, движущегося со скоростью по круговой траектории с радиусом , величина центростремительного ускорения составляет

.

Центростремительное ускорение больше на высоких скоростях и на крутых поворотах (меньший радиус), как вы могли заметить при вождении автомобиля, потому что автомобиль фактически толкает вас к центру поворота.Но немного удивительно, что a c пропорционально квадрату скорости. Это означает, например, что при повороте на 100 км / ч ускорение в четыре раза больше, чем при 50 км / ч.

Мы также можем выразить a c через величину угловой скорости. Подставляя v = rωv = rω в приведенное выше уравнение, мы получаем ac = (rω) 2r = rω2ac = (rω) 2r = rω2. Следовательно, величина центростремительного ускорения с точки зрения величины угловой скорости составляет

Советы для успеха

Уравнение, выраженное в форме a c = 2 , полезно для решения задач, в которых вам известна угловая скорость, а не тангенциальная скорость.

Virtual Physics

Движение божьей коровки в 2D

В этом моделировании вы экспериментируете с положением, скоростью и ускорением божьей коровки при круговом и эллиптическом движении. Переключите тип движения с линейного на круговое и наблюдайте за векторами скорости и ускорения. Затем попробуйте эллиптическое движение и обратите внимание, как векторы скорости и ускорения отличаются от векторов кругового движения.

Проверка захвата

Какой угол между ускорением и скоростью при равномерном круговом движении? Какое ускорение испытывает тело при равномерном круговом движении?

  1. Угол между ускорением и скоростью равен 0 °, и тело испытывает линейное ускорение.
  2. Угол между ускорением и скоростью равен 0 °, и тело испытывает центростремительное ускорение.
  3. Угол между ускорением и скоростью составляет 90 °, и тело испытывает линейное ускорение.
  4. Угол между ускорением и скоростью составляет 90 °, и тело испытывает центростремительное ускорение.

Центростремительная сила

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] [OL] [AL] Используя ту же демонстрацию, что и раньше, попросите учащихся предсказать отношения между величинами угловой скорости, центростремительного ускорения, массы, центростремительной силы.Предложите студентам поэкспериментировать, используя веревки разной длины и веса.

Поскольку объект в равномерном круговом движении испытывает постоянное ускорение (за счет изменения направления), мы знаем из второго закона движения Ньютона, что на объект должна действовать постоянная чистая внешняя сила.

Любая сила или комбинация сил могут вызвать центростремительное ускорение. Вот лишь несколько примеров: натяжение веревки на тросе, сила притяжения Земли на Луне, трение между дорогой и шинами автомобиля при движении по кривой или нормальная сила американских горок. следите за тележкой во время петли.

Любая чистая сила, вызывающая равномерное круговое движение, называется центростремительной силой. Направление центростремительной силы — к центру вращения, такое же, как и для центростремительного ускорения. Согласно второму закону движения Ньютона, чистая сила вызывает ускорение массы согласно F net = м a . Для равномерного кругового движения ускорение является центростремительным: a = a c . Следовательно, величина центростремительной силы F c равна Fc = macFc = mac.

Используя две разные формы уравнения для величины центростремительного ускорения, ac = v2 / rac = v2 / r и ac = rω2ac = rω2, мы получаем два выражения, включающих величину центростремительной силы F c . Первое выражение относится к тангенциальной скорости, второе — к угловой скорости: Fc = mv2rFc = mv2r и Fc = mrω2Fc = mrω2.

Обе формы уравнения зависят от массы, скорости и радиуса круговой траектории. Вы можете использовать любое более удобное выражение для центростремительной силы.Второй закон Ньютона также гласит, что объект будет ускоряться в том же направлении, что и чистая сила. По определению центростремительная сила направлена ​​к центру вращения, поэтому объект также будет ускоряться к центру. Прямая линия, проведенная от круговой траектории к центру круга, всегда будет перпендикулярна тангенциальной скорости. Обратите внимание, что если вы решите первое выражение для r , вы получите

Из этого выражения мы видим, что для данной массы и скорости большая центростремительная сила вызывает малый радиус кривизны, то есть резкую кривую.

Рисунок 6.8 На этом рисунке сила трения f служит центростремительной силой F c . Центростремительная сила перпендикулярна тангенциальной скорости и вызывает равномерное круговое движение. Чем больше центростремительная сила F c , тем меньше радиус кривизны r и тем круче кривизна. Нижняя кривая имеет ту же скорость v , но большая центростремительная сила F c дает меньший радиус r’r ‘.

Watch Physics

Центростремительная сила и ускорение Intuition

В этом видео объясняется, почему центростремительная сила создает центростремительное ускорение и равномерное круговое движение. Он также охватывает разницу между скоростью и скоростью и показывает примеры равномерного кругового движения.

Поддержка учителей
Предупреждение о неправильном представлении
Поддержка учителей

Некоторые студенты могут запутаться между центростремительной силой и центробежной силой. Центробежная сила — это не реальная сила, а результат ускоряющейся системы отсчета, такой как вращающийся автомобиль или вращающаяся Земля.Центробежная сила относится к вымышленному центру , убегающему от силы .

Проверка захвата

Представьте, что вы качаете йойо по вертикальному кругу по часовой стрелке перед собой, перпендикулярно направлению, в которое вы смотрите. Если веревка порвется, когда йо-йо достигнет самого нижнего положения, ближайшего к полу. Что будет с йо-йо после разрыва струны?

  1. Йо-йо полетит внутрь в направлении центростремительной силы.
  2. Йо-йо полетит наружу в направлении центростремительной силы.
  3. Йо-йо полетит влево в направлении тангенциальной скорости.
  4. Йо-йо полетит вправо в направлении тангенциальной скорости.

Решение проблем центростремительного ускорения и центростремительной силы

Чтобы получить представление о типичных величинах центростремительного ускорения, мы проведем лабораторию по оценке центростремительного ускорения теннисной ракетки, а затем, в нашем первом рабочем примере, сравним центростремительное ускорение автомобиля, огибающего кривую, с ускорением свободного падения.Для второго рабочего примера мы вычислим силу, необходимую для того, чтобы автомобиль проехал по кривой.

Snap Lab

Оценка центростремительного ускорения

В этом упражнении вы будете измерять движение клюшки для гольфа или теннисной ракетки, чтобы оценить центростремительное ускорение конца клюшки или ракетки. Вы можете сделать это в замедленном режиме. Напомним, что уравнение центростремительного ускорения имеет вид ac = v2rac = v2r или ac = rω2ac = rω2.

  • Одна теннисная ракетка или клюшка для гольфа
  • Один таймер
  • Одна линейка или рулетка

Порядок действий

  1. Работа с партнером.Стойте на безопасном расстоянии от вашего партнера, когда он или она размахивает клюшкой для гольфа или теннисной ракеткой.
  2. Опишите движение качелей — это равномерное круговое движение? Почему или почему нет?
  3. Постарайтесь сделать свинг как можно ближе к равномерному круговому движению. Какие корректировки нужно было внести вашему партнеру?
  4. Измерьте радиус кривизны. Что вы измерили физически?
  5. Используя таймер, найдите либо линейную, либо угловую скорость, в зависимости от того, какое уравнение вы решите использовать.
  6. Каково примерное центростремительное ускорение на основе этих измерений? Как вы думаете, насколько они точны? Почему? Как вы и ваш партнер можете сделать эти измерения более точными?
Подставка для учителя
Подставка для учителя

Размах клюшки или ракетки может быть очень близок к равномерному круговому движению. Для этого человек должен перемещать его с постоянной скоростью, не сгибая руки. Длина руки плюс длина клюшки или ракетки — это радиус кривизны.Точность измерения угловой скорости и углового ускорения будет зависеть от разрешающей способности используемого таймера и ошибки наблюдения человека. Размах клюшки или ракетки может быть очень близок к равномерному круговому движению. Для этого человек должен перемещать его с постоянной скоростью, не сгибая руки. Длина руки плюс длина клюшки или ракетки — это радиус кривизны. Точность измерения угловой скорости и углового ускорения будет зависеть от разрешающей способности используемого таймера и ошибки наблюдения человека.

Проверка захвата

Было ли более полезным использовать в этом упражнении уравнение ac = v2rac = v2r или ac = rω2ac = rω2? Почему?

  1. Должно быть проще использовать ac = rω2ac = rω2, потому что измерение угловой скорости путем наблюдения было бы проще.
  2. Должно быть проще использовать ac = v2rac = v2r, потому что измерение тангенциальной скорости посредством наблюдения было бы проще.
  3. Должно быть проще использовать ac = rω2ac = rω2, потому что измерение угловой скорости путем наблюдения было бы затруднительно.
  4. Должно быть проще использовать ac = v2rac = v2r, потому что измерение тангенциальной скорости посредством наблюдения было бы затруднительно.

Рабочий пример

Сравнение центростремительного ускорения автомобиля, огибающего кривую, с ускорением под действием силы тяжести

Автомобиль следует кривой радиусом 500 м со скоростью 25,0 м / с (около 90 км / ч). Какова величина центростремительного ускорения автомобиля? Сравните центростремительное ускорение для этой довольно пологой кривой, снятой на скорости по шоссе, с ускорением свободного падения ( g ).

Стратегия

Поскольку дана линейная, а не угловая скорость, наиболее удобно использовать выражение ac = v2rac = v2r, чтобы найти величину центростремительного ускорения.

Решение

Ввод данных значений v = 25,0 м / с и r = 500 м в выражение для a c дает

ac = v2r = (25,0 м / с) 2500 м = 1,25 м / с 2. ac = v2r = (25,0 м / с) 2500 м = 1,25 м / с2.

Обсуждение

Для сравнения с ускорением свободного падения ( g = 9.80 м / с 2 ), берем соотношение ac / g = (1,25 м / с2) / (9,80 м / с2) = 0,128 ac / g = (1,25 м / с2) / (9,80 м / с2) = 0,128. Следовательно, ac = 0,128gac = 0,128g, что означает, что центростремительное ускорение составляет примерно одну десятую ускорения свободного падения.

Рабочий пример

Сила трения на шинах автомобиля, огибающих кривую
  1. Рассчитайте центростремительную силу, действующую на автомобиль массой 900 кг, который движется по кривой радиусом 600 м на горизонтальной поверхности со скоростью 25,0 м / с.
  2. Статическое трение предотвращает скольжение автомобиля.Найдите величину силы трения между шинами и дорогой, которая позволяет автомобилю обогнуть поворот, не соскальзывая по прямой.

Стратегия и решение для (а)

Мы знаем, что Fc = mv2rFc = mv2r. Следовательно,

Fc = mv2r = (900 кг) (25,0 м / с) 2600 м = 938 Н. Fc = mv2r = (900 кг) (25,0 м / с) 2600 м = 938 Н.

Стратегия и решение для (b)

На изображении выше показаны силы, действующие на автомобиль при повороте кривой. На этой диаграмме автомобиль движется по странице, как показано, и поворачивает налево.Трение действует влево, ускоряя автомобиль к центру поворота. Поскольку трение — единственная горизонтальная сила, действующая на автомобиль, в этом случае оно обеспечивает всю центростремительную силу. Следовательно, сила трения является центростремительной силой в этой ситуации и направлена ​​к центру кривой.

Обсуждение

Поскольку мы нашли силу трения в части (b), мы также можем найти коэффициент трения, поскольку f = μsN = μsmgf = μsN = μsmg.

Практические задачи

9.

Какое центростремительное ускорение ощущают пассажиры автомобиля, движущегося со скоростью 12 м / с по кривой радиусом 2,0 м?

  1. 3 м / с 2
  2. 6 м / с 2
  3. 36 м / с 2
  4. 72 м / с 2

10.

Вычислить центростремительное ускорение объекта, движущегося по траектории с радиусом кривизны 0,2 м и угловой скоростью 5 рад / с.

  1. 1 м / с
  2. 5 м / с
  3. 1 м / с 2
  4. 5 м / с 2

Проверьте свое понимание

11.

Что такое равномерное круговое движение?

  1. Равномерное круговое движение — это когда объект ускоряется по круговой траектории с постоянно увеличивающейся скоростью.
  2. Равномерное круговое движение — это когда объект движется по круговой траектории с переменным ускорением.
  3. Равномерное круговое движение — это когда объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью.
  4. Равномерное круговое движение — это когда объект движется по круговой траектории с переменной скоростью.

12.

Что такое центростремительное ускорение?

  1. Ускорение объекта, движущегося по круговой траектории и радиально направленного к центру круговой орбиты
  2. Ускорение объекта, движущегося по круговой траектории и тангенциально направленного по круговой траектории
  3. Ускорение объекта, движущегося по линейной траектории и направленного в направлении движения объекта
  4. Ускорение объекта, движущегося по линейной траектории и направленного в направлении, противоположном движению объекта

13.

Существует ли чистая сила, действующая на объект при равномерном круговом движении?

  1. Да, объект ускоряется, поэтому на него должна действовать чистая сила.
  2. Да потому что разгона нет.
  3. Нет, потому что ускорение есть.
  4. Нет, потому что разгона нет.

14.

Укажите два примера сил, которые могут вызвать центростремительное ускорение.

  1. Сила притяжения Земли на Луну и нормальная сила
  2. Сила притяжения Земли на Луну и натяжение веревки на вращающемся тезерболе
  3. Нормальная сила и сила трения, действующие на движущийся автомобиль
  4. Нормальная сила и натяжение троса на тезерболе

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Используйте вопросы «Проверьте свое понимание», чтобы оценить, усвоили ли учащиеся учебные цели этого раздела.Если учащиеся борются с определенной целью, формирующая оценка поможет определить, какая цель вызывает проблему, и направит учащихся к соответствующему содержанию.

4.2 Вектор ускорения | Университетская физика, том 1,

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Рассчитайте вектор ускорения с учетом функции скорости в единичном векторе.
  • Опишите движение частицы с постоянным ускорением в трех измерениях.
  • Используйте одномерные уравнения движения вдоль перпендикулярных осей, чтобы решить задачу в двух или трех измерениях с постоянным ускорением.
  • Выразите ускорение в единичном векторе.

Мгновенное ускорение

Помимо получения векторов смещения и скорости движущегося объекта, мы часто хотим знать его ускорение вектор в любой момент времени на его траектории. Этот вектор ускорения представляет собой мгновенное ускорение, и его можно получить из производной по времени функции скорости, как мы видели в предыдущей главе.Единственная разница в двух или трех измерениях состоит в том, что теперь это векторные величины. Взяв производную по времени [latex] \ overset {\ to} {v} (t), [/ latex], находим

[латекс] \ overset {\ to} {a} (t) = \ underset {t \ to 0} {\ text {lim}} \ frac {\ overset {\ to} {v} (t + \ text {Δ } t) — \ overset {\ to} {v} (t)} {\ text {Δ} t} = \ frac {d \ overset {\ to} {v} (t)} {dt}. [/ латекс]

Ускорение по компонентам

[латекс] \ overset {\ to} {a} (t) = \ text {} \ frac {d {v} _ {x} (t)} {dt} \ hat {i} + \ frac {d {v} _ {y} (t)} {dt} \ hat {j} + \ frac {d {v} _ {z} (t)} {dt} \ hat {k}.{2}) \ hat {i} + 5t \ hat {j} + 5t \ text {} \ hat {k} \ text {m}. [/ latex] (а) Какая скорость? б) Что такое ускорение? (c) Опишите движение от t до = 0 с.

Стратегия

Мы можем получить некоторое представление о проблеме, посмотрев на функцию положения. Оно линейно по y и z , поэтому мы знаем, что ускорение в этих направлениях равно нулю, когда мы берем вторую производную. Также обратите внимание, что положение в направлении x равно нулю для t = 0 с и t = 10 с.{2}. [/ latex] Вектор ускорения постоянен в отрицательном направлении оси x.

(в)

Покажи ответ
Траекторию движения частицы можно увидеть на (Рисунок).

Давайте сначала посмотрим в направлениях y и z. Положение частицы постоянно увеличивается в зависимости от времени с постоянной скоростью в этих направлениях. Однако в направлении x частица следует по положительному положительному x до тех пор, пока t = 5 с, когда она меняет направление на противоположное. Мы знаем это, глядя на функцию скорости, которая в этот момент становится равной нулю, а затем становится отрицательной.Мы также знаем это, потому что ускорение отрицательное и постоянное, то есть частица замедляется или ускоряется в отрицательном направлении. Положение частицы достигает 25 м, после чего она меняет направление и начинает ускоряться в отрицательном направлении по оси x. Положение достигает нуля при t = 10 с.

Рис. 4.9 Частица начинается в точке (x, y, z) = (0, 0, 0) с вектором положения [latex] \ overset {\ to} {r} = 0. {2}, [/ latex] где a, b, и c — константы.Что можно сказать о функциональном виде функции скорости?

Показать решение

Вектор ускорения постоянный и не меняется со временем. Если a, b и c не равны нулю, то функция скорости должна быть линейной во времени. У нас есть [латекс] \ overset {\ to} {v} (t) = \ int \ overset {\ to} {a} dt = \ int (a \ hat {i} + b \ hat {j} + c \ hat {k}) dt = (a \ hat {i} + b \ hat {j} + c \ hat {k}) t \, \ text {m / s}, [/ latex], поскольку взятие производной функция скорости производит [латекс] \ overset {\ to} {a} (t).[/ latex] Если любой из компонентов ускорения равен нулю, то этот компонент скорости будет постоянным.

Постоянное ускорение

Многомерное движение с постоянным ускорением можно рассматривать так же, как показано в предыдущей главе для одномерного движения. Ранее мы показали, что трехмерное движение эквивалентно трем одномерным движениям, каждое по оси, перпендикулярной другим. {2} +2 {a} _ {y} (y- {y} _ {0}).[/латекс]

Здесь индекс 0 обозначает начальное положение или скорость. (Рисунок) на (Рисунок) можно заменить на (Рисунок) и (Рисунок) без компонента z , чтобы получить вектор положения и вектор скорости как функцию времени в двух измерениях:

[латекс] \ overset {\ to} {r} (t) = x (t) \ hat {i} + y (t) \ hat {j} \, \ text {и} \, \ overset {\ to } {v} (t) = {v} _ {x} (t) \ hat {i} + {v} _ {y} (t) \ hat {j}. [/ латекс]

Следующий пример иллюстрирует практическое использование кинематических уравнений в двух измерениях.{2} [/ latex] вниз по склону [латекс] 15 \ text {°} [/ latex] на t = 0. С началом системы координат в передней части ложи, ее начальное положение и скорость

[латекс] \ overset {\ to} {r} (0) = (75,0 \ hat {i} -50,0 \ hat {j}) \, \ text {m} [/ latex]

и

[латекс] \ overset {\ to} {v} (0) = (4.1 \ hat {i} -1.1 \ hat {j}) \, \ text {m / s}. [/ латекс]

(a) Каковы составляющие x- и y положения и скорости лыжника как функции времени? (b) Каковы ее положение и скорость при t = 10.{2} [/ latex] по склону [латекс] 15 \ text {°}. [/ latex] Начало системы координат находится на лыжной базе.

Стратегия

Поскольку мы оцениваем компоненты уравнений движения в направлениях x и y , нам нужно найти компоненты ускорения и поместить их в кинематические уравнения. Компоненты ускорения находятся в системе координат на (Рисунок). Затем, вставив компоненты начального положения и скорости в уравнения движения, мы можем найти ее положение и скорость в более позднее время t .{2}) (10.0 \, \ text {s}) = — 6.5 \, \ text {m / s}. [/ latex] Положение и скорость при t = 10,0 с, наконец,

[латекс] \ overset {\ to} {r} (10.0 \, \ text {s}) = (216.0 \ hat {i} -88.0 \ hat {j}) \, \ text {m} [/ latex] [латекс] \ overset {\ to} {v} (10.0 \, \ text {s}) = (24.1 \ hat {i} -6.5 \ hat {j}) \ text {m / s}. [/ latex] Величина скорости лыжника на 10,0 с составляет 25 м / с, что составляет 60 миль / ч.

Значение

Полезно знать, что, учитывая начальные условия положения, скорости и ускорения объекта, мы можем найти положение, скорость и ускорение в любое более позднее время.

С (Рисунок) — (Рисунок) мы завершили набор выражений для положения, скорости и ускорения объекта, движущегося в двух или трех измерениях. Если траектории объектов выглядят как «красные стрелки» на начальном рисунке главы, то выражения для положения, скорости и ускорения могут быть довольно сложными. В следующих разделах мы исследуем два частных случая движения в двух и трех измерениях, рассматривая движение снаряда и круговое движение.

Сводка

  • В двух и трех измерениях вектор ускорения может иметь произвольное направление и не обязательно указывать вдоль заданного компонента скорости.
  • Мгновенное ускорение вызывается изменением скорости за очень короткий (бесконечно малый) период времени. Мгновенное ускорение — это вектор в двух или трех измерениях. Он находится путем взятия производной функции скорости по времени.
  • В трех измерениях ускорение [latex] \ overset {\ to} {a} (t) [/ latex] может быть записано как векторная сумма одномерных ускорений [latex] {a} _ {x} (t ), {a} _ {y} (t), \ text {and} \, {a} _ {z} (t) [/ latex] вдоль x- , y — и z- осей.
  • Кинематические уравнения для постоянного ускорения могут быть записаны как векторная сумма уравнений постоянного ускорения в направлениях x , y и z .

Концептуальные вопросы

Если функция положения частицы является линейной функцией времени, что можно сказать о ее ускорении?

Если объект имеет постоянную составляющую скорости x и внезапно испытывает ускорение в направлении x , изменяется ли составляющая его скорости x ?

Показать решение

Нет, движения в перпендикулярных направлениях независимы.{2} \ hat {i}. [/ latex] Сильный ветер толкает лодку, придавая ей дополнительную скорость [latex] 2.0 \, \ text {м / с} \ hat {i} +1.0 \, \ text {m / s} \ hat { j}. [/ latex] (a) Какова скорость лодки при t = 10 с? (b) Каково положение лодки на отметке t = 10 с? Нарисуйте эскиз траектории и положения лодки на отметке t = 10 с, показывая оси x- и y .

Положение частицы для t > 0 определяется выражением [latex] \ overset {\ to} {r} (t) = (3.{2} [/ латекс],

г. [латекс] \ overset {\ to} {v} (2.0s) = (12.0 \ hat {i} -84.0 \ hat {j} +1.25 \ hat {k}) \ text {m / s} [/ latex] ,

г. [латекс] \ overset {\ to} {v} (1.0 \, \ text {s}) = 6.0 \ hat {i} -21.0 \ hat {j} +10.0 \ hat {k} \ text {m / s} , \, | \ overset {\ to} {v} (1.0 \, \ text {s}) | = 24.0 \, \ text {m / s} [/ latex]

[латекс] \ overset {\ to} {v} (3.0 \, \ text {s}) = 18.0 \ hat {i} -189.0 \ hat {j} +0,37 \ hat {k} \ text {м / с }, [/ latex] [latex] | \ overset {\ to} {v} (3.0 \, \ text {s}) | = 199.0 \, \ text {m / s} [/ latex],

e. [латекс] \ overset {\ to} {r} (t) = (3.{-2} \ hat {k}) \ text {cm} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {cc} \ hfill {\ overset {\ to} {v}} _ {\ text {avg}} & = 9.0 \ hat {i} -49.0 \ hat {j} -6.3 \ hat {k} \ text {m / s} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Ускорение частицы — постоянная величина. При t = 0 скорость частицы равна [latex] (10 \ hat {i} +20 \ hat {j}) \ text {m / s}. [/ latex] При t = 4 с скорость [латекс] 10 \ hat {j} \ text {м / с}. [/ latex] а) Каково ускорение частицы? б) Как положение и скорость меняются со временем? Предположим, что частица изначально находится в начале координат.

У частицы есть функция положения [latex] \ overset {\ to} {r} (t) = \ text {cos} (1.0t) \ hat {i} + \ text {sin} (1.0t) \ hat { j} + t \ hat {k}, [/ latex], где аргументы функций косинуса и синуса выражены в радианах. а) Что такое вектор скорости? б) Что такое вектор ускорения?

Показать решение

а. [латекс] \ overset {\ to} {v} (t) = \ text {−sin} (1.0t) \ hat {i} + \ text {cos} (1.0t) \ hat {j} + \ hat { k} [/ латекс], б. [латекс] \ overset {\ to} {a} (t) = \ text {−cos} (1.0t) \ hat {i} — \ text {sin} (1.0t) \ hat {j} [/ latex]

Реактивный самолет Lockheed Martin F-35 II Lighting взлетает с авианосца с длиной взлетно-посадочной полосы 90 м и скоростью взлета 70 м / с в конце взлетно-посадочной полосы.{2} [/ latex] на [latex] 30 \ text {°} [/ latex] по отношению к горизонтали. (а) Каково начальное ускорение F-35 на палубе авианосца, чтобы он поднялся в воздух? (b) Запишите положение и скорость F-35 в единичном векторе с точки, когда он покидает палубу авианосца. (c) На какой высоте находится истребитель через 5,0 с после выхода из палубы авианосца? (г) Каковы его скорость и скорость в это время? д) Как далеко он прошел по горизонтали?

Глоссарий

Вектор ускорения
мгновенное ускорение, полученное путем взятия производной функции скорости по времени в обозначении единичного вектора

16.6 Стоячие волны и резонанс

На протяжении этой главы мы изучали бегущие волны или волны, переносящие энергию из одного места в другое. При определенных условиях волны могут подпрыгивать взад и вперед через определенную область, фактически становясь стационарными. Они называются стоячими волнами .

Другой связанный эффект известен как резонанс. В книге «Колебания» мы определили резонанс как явление, при котором движущая сила малой амплитуды может вызывать движение большой амплитуды.Представьте ребенка на качелях, которые можно смоделировать как физический маятник. Толчки со стороны родителя относительно небольшой амплитуды могут вызывать колебания большой амплитуды. Иногда этот резонанс хорош — например, при создании музыки на струнном инструменте. В других случаях последствия могут быть разрушительными, например, обрушение здания во время землетрясения. В случае стоячих волн стоячие волны с относительно большой амплитудой создаются наложением составляющих волн с меньшей амплитудой.

Стоячие волны

Иногда кажется, что волны не двигаются; скорее, они просто вибрируют на месте. Вы можете увидеть неподвижные волны, например, на поверхности стакана с молоком в холодильнике. Вибрация двигателя холодильника создает волны на молоке, которые колеблются вверх и вниз, но не движутся по поверхности. (Рисунок) показывает эксперимент, который вы можете попробовать дома. Возьмите миску с молоком и поставьте ее на обычный вентилятор. Вибрация вентилятора вызывает в молоке стоячие круглые волны.Волны на фото видны благодаря отражению от лампы. Эти волны образуются наложением двух или более бегущих волн, как показано на (Рисунок) для двух идентичных волн, движущихся в противоположных направлениях. Волны движутся друг сквозь друга, и их возмущения добавляются по мере прохождения. Если две волны имеют одинаковую амплитуду и длину волны, то они чередуются между конструктивной и деструктивной интерференцией. Результирующая волна выглядит как стоячая волна и, следовательно, называется стоячей волной.

Рис. 16.25 Стоячие волны образуются на поверхности миски с молоком, установленной на ящичном веере. Вибрация вентилятора заставляет поверхность молока колебаться. Волны видны из-за отражения света от лампы.

рисунок 16.26 Временные снимки двух синусоидальных волн. Красная волна движется в направлении -x, а синяя волна движется в направлении + x. Результирующая волна показана черным цветом. Рассмотрим результирующую волну в точках [latex] x = 0 \, \ text {m}, 3 \, \ text {m}, 6 \, \ text {m}, 9 \, \ text {m}, 12 \ , \ text {m}, 15 \, \ text {m} [/ latex] и обратите внимание, что результирующая волна всегда равна нулю в этих точках, независимо от времени.Эти точки называются фиксированными точками (узлами). Между каждыми двумя узлами находится пучность, место, где среда колеблется с амплитудой, равной сумме амплитуд отдельных волн.

Рассмотрим две одинаковые волны, движущиеся в противоположных направлениях. Первая волна имеет волновую функцию [латекс] {y} _ {1} (x, t) = A \, \ text {sin} (kx- \ omega t) [/ latex], а вторая волна имеет волну функция [латекс] {y} _ {2} (x, t) = A \, \ text {sin} (kx + \ omega t) [/ latex]. Волны интерферируют и образуют результирующую волну

[латекс] \ begin {array} {c} y (x, t) = {y} _ {1} (x, t) + {y} _ {2} (x, t), \ hfill \\ y (x, t) = A \, \ text {sin} (kx- \ omega t) + A \, \ text {sin} (kx + \ omega t).\ hfill \ end {array} [/ latex]

Это можно упростить с помощью тригонометрического идентификатора

[латекс] \ text {sin} (\ alpha ± \ beta) = \ text {sin} \, \ alpha \, \ text {cos} \, \ beta ± \ text {cos} \, \ alpha \, \ текст {sin} \, \ beta, [/ latex]

, где [latex] \ alpha = kx [/ latex] и [latex] \ beta = \ omega t [/ latex], что дает нам

[латекс] y (x, t) = A [\ text {sin} (kx) \ text {cos} (\ omega t) — \ text {cos} (kx) \ text {sin} (\ omega t) + \ text {sin} (kx) \ text {cos} (\ omega t) — \ text {cos} (kx) \ text {sin} (\ omega t)], [/ latex]

, что упрощается до

[латекс] y (x, t) = [2A \, \ text {sin} (kx)] \ text {cos} (\ omega t).[/ латекс]

Обратите внимание, что результирующая волна является синусоидальной волной, которая является функцией только положения, умноженной на функцию косинуса, которая является функцией только времени. Графики x ( x , t ) в зависимости от x для различных моментов времени показаны на (Рисунок). Красная волна движется в отрицательном направлении x , синяя волна движется в положительном направлении x , а черная волна является суммой двух волн. По мере того, как красная и синяя волны движутся друг через друга, они входят и выходят из-за конструктивной интерференции и деструктивной интерференции.

Первоначально, в момент времени [latex] t = 0, [/ latex] две волны находятся в фазе, и в результате получается волна, которая в два раза превышает амплитуду отдельных волн. Волны также находятся в фазе в момент времени [latex] t = \ frac {T} {2}. [/ latex] На самом деле волны находятся в фазе в любом целом числе кратном половине периода:

[латекс] t = n \ frac {T} {2} \, \ text {where} \, n = 0,1,2,3 \ text {…}. \, \ Text {(в фазе)}. [/ латекс]

В других случаях две волны [latex] 180 \ text {°} (\ pi \, \ text {radians}) [/ latex] не совпадают по фазе, и результирующая волна равна нулю.Это происходит на

[латекс] t = \ frac {1} {4} T, \ frac {3} {4} T, \ frac {5} {4} T \ text {,…}, \ frac {n} {4} T \, \ text {где} \, n = 1,3,5 \ text {…}. \, \ Text {(не в фазе)}. [/ латекс]

Обратите внимание, что некоторые положения результирующей волны x всегда равны нулю, независимо от фазового соотношения. Эти позиции называются узлами . Где встречаются узлы? Рассмотрим решение суммы двух волн

[латекс] y (x, t) = [2A \, \ text {sin} (kx)] \ text {cos} (\ omega t). [/ латекс]

Нахождение позиций, в которых функция синуса равна нулю, обеспечивает положение узлов.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ text {sin} (kx) & = \ hfill & 0 \ hfill \\ \ hfill kx & = \ hfill & 0, \ pi, 2 \ pi, 3 \ pi \ text {,…} \ hfill \\ \ hfill \ frac {2 \ pi} {\ lambda} x & = \ hfill & 0, \ pi, 2 \ pi, 3 \ pi \ text {,…} \ hfill \ \ \ hfill x & = \ hfill & 0, \ frac {\ lambda} {2}, \ lambda, \ frac {3 \ lambda} {2} \ text {,…} = n \ frac {\ lambda} {2} \ quad n = 0,1,2,3 \ text {,…}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Есть также позиции, где y колеблется между [латексом] y = \ text {±} A [/ latex].Это пучностей . Мы можем найти их, посчитав, какие значения x приводят к [latex] \ text {sin} (kx) = \ text {±} 1 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ text {sin} (kx) & = \ hfill & ± 1 \ hfill \\ \ hfill kx & = \ hfill & \ frac {\ pi} {2}, \ frac {3 \ pi} {2}, \ frac {5 \ pi} {2} \ text {,…} \ hfill \\ \ hfill \ frac {2 \ pi} {\ lambda} x & = \ hfill & \ frac {\ pi} {2}, \ frac {3 \ pi} {2}, \ frac {5 \ pi} {2} \ text {,…} \ hfill \\ \ hfill x & = \ hfill & \ frac { \ lambda} {4}, \ frac {3 \ lambda} {4}, \ frac {5 \ lambda} {4} \ text {,…} = n \ frac {\ lambda} {4} \ quad n = 1 , 3,5 \ текст {,…}.\ hfill \ end {array} [/ latex]

В результате получается стоячая волна, как показано на (Рисунок), где показаны снимки результирующей волны двух идентичных волн, движущихся в противоположных направлениях. Результирующая волна выглядит как синусоидальная волна с узлами в целых кратных полуволнах. Пучины колеблются между [латексом] y = \ text {±} 2A [/ latex] из-за члена косинуса, [latex] \ text {cos} (\ omega t) [/ latex], который колеблется между [латексом] ± 1 [/ латекс].

Результирующая волна кажется неподвижной, без видимого движения в направлении x , хотя она состоит из одной волновой функции, движущейся в положительном направлении, тогда как вторая волна движется в отрицательном направлении x .(Рисунок) показывает различные снимки результирующей волны. Узлы отмечены красными точками, а пучности отмечены синими точками.

Рисунок 16.27 Когда две идентичные волны движутся в противоположных направлениях, результирующая волна является стоячей волной. Узлы появляются в целых числах, кратных половине длины волны. Пучины появляются с нечетными числами, кратными четверти длины волны, где они колеблются между [латексом] y = \ text {±} A. [/ latex] Узлы отмечены красными точками, а пучности отмечены синими точками.

Типичным примером стоячих волн являются волны, создаваемые струнными музыкальными инструментами. Когда струна защипывается, импульсы проходят по струне в противоположных направлениях. Концы струн фиксируются на месте, поэтому на концах струн появляются узлы — граничные условия системы, регулирующие резонансные частоты в струнах. Резонанс, создаваемый струнным инструментом, можно смоделировать в физической лаборатории с помощью устройства, показанного на (Рисунок).

Рисунок 16.28 Лабораторная установка для создания стоячих волн на струне. У струны есть узел на каждом конце и постоянная линейная плотность. Длина между фиксированными граничными условиями равна L. Подвешенная масса обеспечивает натяжение струны, а скорость волн на струне пропорциональна квадратному корню из натяжения, деленному на линейную плотность массы.

Лабораторная установка показывает струну, прикрепленную к струнному вибратору, который колеблет струну с регулируемой частотой f .Другой конец струны проходит над шкивом без трения и привязан к подвешенной массе. Величина натяжения тетивы равна весу подвешенной массы. Струна имеет постоянную линейную плотность (масса на длину) [латекс] \ mu [/ latex], а скорость, с которой волна распространяется по струне, равна [латексу] v = \ sqrt {\ frac {{F} _ {T }} {\ mu}} = \ sqrt {\ frac {mg} {\ mu}} [/ latex] (рисунок). Симметричные граничные условия (узел на каждом конце) определяют возможные частоты, которые могут возбуждать стоячие волны.Начиная с нулевой частоты и медленно увеличивая частоту, появляется первая мода [латекс] n = 1 [/ латекс], как показано на (Рисунок). Первая мода, также называемая основной модой или первой гармоникой, показывает, что сформировалась половина длины волны, поэтому длина волны равна удвоенной длине между узлами [латекс] {\ lambda} _ {1} = 2L [/ latex ]. Основная частота , или частота первой гармоники, которая управляет этим режимом, равна

.

[латекс] {f} _ {1} = \ frac {v} {{\ lambda} _ {1}} = \ frac {v} {2L}, [/ latex]

, где скорость волны [латекс] v = \ sqrt {\ frac {{F} _ {T}} {\ mu}}.[/ latex] Сохранение постоянного напряжения и увеличение частоты приводит ко второй гармонике или режиму [latex] n = 2 [/ latex]. Этот режим представляет собой полноразмерный [латекс] {\ lambda} _ {2} = L [/ latex], а частота в два раза превышает основную частоту:

[латекс] {f} _ {2} = \ frac {v} {{\ lambda} _ {2}} = \ frac {v} {L} = 2 {f} _ {1}. [/ латекс]

Рисунок 16.29 Стоячие волны, создаваемые на струне длиной L. Узлы возникают на каждом конце струны. Узлы — это граничные условия, которые ограничивают возможные частоты, возбуждающие стоячие волны.(Обратите внимание, что амплитуды колебаний поддерживаются постоянными для визуализации. Возможные модели стоячих волн на струне известны как нормальные режимы. Проведение этого эксперимента в лаборатории приведет к уменьшению амплитуды по мере увеличения частоты.)

Следующие две моды, или третья и четвертая гармоники, имеют длины волн [латекс] {\ lambda} _ {3} = \ frac {2} {3} L [/ latex] и [латекс] {\ lambda} _ {4} = \ frac {2} {4} L, [/ latex], управляемый частотами [латекс] {f} _ {3} = \ frac {3v} {2L} = 3 {f} _ {1} [/ latex] и [latex] {f} _ {4} = \ frac {4v} {2L} = 4 {f} _ {1}.[/ latex] Все частоты выше частоты [latex] {f} _ {1} [/ latex] известны как обертоны . Уравнения для длины волны и частоты можно резюмировать как:

[латекс] {\ lambda} _ {n} = \ frac {2} {n} L \ quad n = 1,2,3,4,5 \ text {…} [/ latex]

[латекс] {f} _ {n} = n \ frac {v} {2L} = n {f} _ {1} \ quad n = 1,2,3,4,5 \ text {…} [/ латекс]

Модели стоячей волны, которые возможны для струны, первые четыре из которых показаны на (Рисунок), известны как нормальные режимы с частотами, известными как нормальные частоты.Таким образом, первая частота, вызывающая нормальный режим, называется основной частотой (или первой гармоникой). Любые частоты выше основной частоты являются обертонами. Вторая частота нормального режима струны [latex] n = 2 [/ latex] — это первый обертон (или вторая гармоника). Частота нормальной моды [latex] n = 3 [/ latex] — это второй обертон (или третья гармоника) и так далее.

Решения, показанные как (Уравнение) и (Уравнение), предназначены для строки с граничным условием узла на каждом конце.Когда граничные условия с обеих сторон одинаковы, говорят, что система имеет симметричные граничные условия. (Уравнение) и (Уравнение) подходят для любых симметричных граничных условий, то есть узлов на обоих концах или пучностей на обоих концах.

Пример

Стоячие волны на струне

Рассмотрим строку [латекс] L = 2.00 \, \ text {m}. [/ latex] прикреплен к струнному вибратору с регулируемой частотой, как показано на (Рисунок). Волны, создаваемые вибратором, проходят по струне и отражаются фиксированным граничным условием на шкиве.Струна, имеющая линейную массовую плотность [латекс] \ mu = 0,006 \, \ text {кг / м,} [/ latex], проходит через шкив без трения с незначительной массой, а натяжение обеспечивается за счет 2,00 -кг подвесная масса. а) Какова скорость волн на струне? (b) Нарисуйте эскиз первых трех нормальных мод стоячих волн, которые могут возникать на струне, и пометьте каждой длиной волны. (c) Перечислите частоты, на которые струнный вибратор должен быть настроен, чтобы произвести первые три нормальные моды стоячих волн.

Рисунок 16.30 Струна, прикрепленная к струнному вибратору с регулируемой частотой.

Стратегия

  1. Скорость волны можно найти с помощью [latex] v = \ sqrt {\ frac {{F} _ {T}} {\ mu}}. [/ latex] Натяжение обеспечивается весом подвешенной массы.
  2. Стоячие волны будут зависеть от граничных условий. На каждом конце должен быть узел. Первая мода будет составлять половину волны. Вторую можно найти, добавив половину длины волны.Это самая короткая длина, которая приведет к образованию узла на границах. Например, добавление одной четверти длины волны приведет к образованию пучности на границе и не является режимом, который удовлетворял бы граничным условиям. Это показано на (Рисунок).
  3. Поскольку скорость волны равна длине волны, умноженной на частоту, частота равна скорости волны, деленной на длину волны.

    Рисунок 16.31 (a) На рисунке представлен второй режим строки, который удовлетворяет граничным условиям узла на каждом конце строки.(b) Этот рисунок не может быть нормальным режимом для струны, потому что он не удовлетворяет граничным условиям. На одном конце есть узел, а на другом — пучность.

Раствор
  1. Начните со скорости волны на струне. Натяжение равно весу подвешенной массы. Даны линейная массовая плотность и масса подвешенной массы:

    [латекс] v = \ sqrt {\ frac {{F} _ {T}} {\ mu}} = \ sqrt {\ frac {mg} {\ mu}} = \ sqrt {\ frac {2 \, \ текст {кг} (9,8 \ frac {\ text {m}} {\ text {s}})} {0.006 \ frac {\ text {kg}} {\ text {m}}}} = 57,15 \, \ text {m / s}. [/ латекс]

  2. Первая нормальная мода с узлами на каждом конце — это половина длины волны. Следующие две моды находятся путем добавления половины длины волны.
  3. Частоты первых трех режимов находятся с помощью [latex] f = \ frac {{v} _ {w}} {\ lambda}. [/латекс]

    [латекс] \ begin {array} {} \\ {f} _ {1} = \ frac {{v} _ {w}} {{\ lambda} _ {1}} = \ frac {57.15 \, \ text {m / s}} {4.00 \, \ text {m}} = 14.29 \, \ text {Hz} \ hfill \\ {f} _ {2} = \ frac {{v} _ {w}} { {\ lambda} _ {2}} = \ frac {57.15 \, \ text {m / s}} {2,00 \, \ text {m}} = 28,58 \, \ text {Hz} \ hfill \\ {f} _ {3} = \ frac {{v} _ { w}} {{\ lambda} _ {3}} = \ frac {57.15 \, \ text {m / s}} {1.333 \, \ text {m}} = 42.87 \, \ text {Hz} \ hfill \ конец {array} [/ latex]

Значение

Три режима стоя в этом примере были созданы путем поддержания натяжения струны и регулировки частоты возбуждения. Сохранение постоянного натяжения струны приводит к постоянной скорости. Те же самые режимы можно было бы получить, сохраняя постоянную частоту и регулируя скорость волны в струне (изменяя висящую массу.)

Проверьте свое понимание

Уравнения для длин волн и частот мод волны, создаваемой на струне:

[латекс] \ begin {array} {} \\ {\ lambda} _ {n} = \ frac {2} {n} L \ quad n = 1,2,3,4,5 \ text {…} \ , \ text {и} \ hfill \\ {f} _ {n} = n \ frac {v} {2L} = n {f} _ {1} \ quad n = 1,2,3,4,5 \ текст {…} \ hfill \ end {array} [/ latex]

были получены путем рассмотрения волны на струне, где были симметричные граничные условия узла на каждом конце. Эти режимы являются результатом двух синусоидальных волн с идентичными характеристиками, за исключением того, что они движутся в противоположных направлениях, ограниченных областью L с узлами, необходимыми на обоих концах.Будут ли работать те же уравнения при наличии симметричных граничных условий с пучностями на каждом конце? Как бы выглядели нормальные режимы для среды, которая могла бы свободно колебаться на каждом конце? Не беспокойтесь, если вы не можете представить себе такую ​​среду, просто рассмотрите две синусоидальные волновые функции в области длиной L с пучностями на каждом конце.

Да, уравнения будут одинаково хорошо работать для симметричных граничных условий среды, свободно колеблющейся на каждом конце, где на каждом конце есть пучности.Ниже показаны нормальные режимы первых трех режимов. Пунктирная линия показывает положение равновесия среды.

Обратите внимание, что первая мода составляет две четверти или половину длины волны. Вторая мода — это четверть длины волны, за которой следует половина длины волны, за которой следует четверть длины волны, или одна полная длина волны. Третья мода — полторы длины волны. Это тот же результат, что и у строки с узлами на каждом конце. Уравнения для симметричных граничных условий одинаково хорошо работают как для фиксированных граничных условий, так и для свободных граничных условий.К этим результатам мы вернемся в следующей главе, когда будем обсуждать звуковую волну в открытой трубе.

Свободные граничные условия, показанные в последней проверке понимания, могут показаться трудными для визуализации. Как может быть система, которая может свободно колебаться на каждом конце? На (Рисунок) показаны две возможные конфигурации металлических стержней (показаны красным), прикрепленных к двум опорам (показаны синим). В части (а) стержень поддерживается на концах, и на обоих концах имеются фиксированные граничные условия.При соответствующей частоте стержень может быть приведен в резонанс с длиной волны, равной длине стержня, с узлами на каждом конце. В части (b) стержень поддерживается в положениях, составляющих одну четверть длины от каждого конца стержня, и на обоих концах имеются свободные граничные условия. При правильной частоте этот стержень также можно привести в резонанс с длиной волны, равной длине стержня, но на каждом конце есть пучности. Если у вас возникли проблемы с визуализацией длины волны на этом рисунке, помните, что длину волны можно измерить между любыми двумя ближайшими идентичными точками, и примите во внимание (рисунок).

Рисунок 16.32 (a) Металлический стержень длиной L (красный), поддерживаемый двумя опорами (синий) на каждом конце. При движении с соответствующей частотой стержень может резонировать с длиной волны, равной длине стержня с узлом на каждом конце. (b) Тот же металлический стержень длиной L (красный), поддерживаемый двумя опорами (синий) на расстоянии четверти длины стержня с каждого конца. При движении на соответствующей частоте стержень может резонировать с длиной волны, равной длине стержня с пучностями на каждом конце.

Рисунок 16.33 Длину волны можно измерить между двумя ближайшими повторяющимися точками. На волне на веревке это означает одинаковую высоту и наклон. (a) Длина волны измеряется между двумя ближайшими точками, где высота равна нулю, а наклон является максимальным и положительным. (b) Длина волны измеряется между двумя идентичными точками, где высота максимальна, а наклон равен нулю.

Обратите внимание, что изучение стоячих волн может стать довольно сложным. На (Рисунок) (а) показана мода стоячей волны [латекс] n = 2 [/ латекс], в результате чего длина волны равна L .В этой конфигурации режим [латекс] n = 1 [/ латекс] также был бы возможен с стоячей волной, равной 2 L . Можно ли получить режим [latex] n = 1 [/ latex] для конфигурации, показанной в части (b)? Ответ — нет. В этой конфигурации помимо граничных условий устанавливаются дополнительные условия. Поскольку стержень установлен в точке, составляющей четверть длины с каждой стороны, там должен существовать узел, и это ограничивает возможные режимы стоячих волн, которые могут быть созданы.Мы оставляем читателю в качестве упражнения подумать, возможны ли другие режимы стоячих волн. Следует отметить, что когда система приводится в действие на частоте, которая не вызывает резонанс системы, вибрации все еще могут возникать, но амплитуда колебаний будет намного меньше, чем амплитуда при резонансе.

Область машиностроения использует звук, производимый вибрирующими частями сложных механических систем, для устранения проблем с системами. Предположим, часть автомобиля резонирует с частотой двигателя автомобиля, вызывая нежелательные вибрации в автомобиле.Это может привести к преждевременной поломке двигателя. Инженеры используют микрофоны для записи звука, производимого двигателем, затем используют метод, называемый анализом Фурье, для поиска частот звука, производимого с большими амплитудами, а затем просматривают список деталей автомобиля, чтобы найти деталь, которая будет резонировать на этой частоте. Решение может быть таким простым, как изменение состава используемого материала или изменение длины рассматриваемой детали.

Есть и другие многочисленные примеры резонанса стоячих волн в физическом мире.Воздух в трубке, например, в музыкальном инструменте, таком как флейта, может быть вызван резонансом и производить приятный звук, как мы обсуждаем в разделе «Звук».

В других случаях резонанс может вызвать серьезные проблемы. Более пристальный взгляд на землетрясения дает доказательства наличия условий, подходящих для резонанса, стоячих волн, а также конструктивных и деструктивных помех. Здание может колебаться в течение нескольких секунд с частотой возбуждения, соответствующей частоте собственной вибрации здания, создавая резонанс, в результате которого одно здание рушится, а соседние — нет.Часто здания определенной высоты разрушаются, в то время как другие более высокие здания остаются нетронутыми. Высота здания соответствует условию создания стоячей волны для данной высоты. Также важен пролет крыши. Часто можно увидеть, что спортзалы, супермаркеты и церкви страдают от повреждений, в то время как отдельные дома страдают гораздо меньше. Крыши с большой площадью поверхности, поддерживаемые только краями, резонируют с частотами землетрясений, вызывая их обрушение. Когда волны землетрясения распространяются по поверхности Земли и отражаются от более плотных горных пород, в определенных точках возникает конструктивная интерференция.Часто участки, расположенные ближе к эпицентру, не повреждаются, а участки дальше — повреждены.

PPLATO | ЗАСЛОНКА | MATH 4.1: Введение в дифференциацию

1.1 Введение в модуль

Многие концепции и законы, которые необходимо изучить физикам, включают скорость изменения одной величины по отношению к другой. Движение, которое включает в себя такие идеи, как положение , скорость и ускорение , дает множество важных примеров.Скорость объекта определяется скоростью изменения его положения относительно времени. Ускорение объекта аналогично определяется скоростью изменения скорости относительно времени. Фактически, темпы изменений имеют такое общее значение, что породили важную отрасль математики — дифференциальное исчисление . Этот предмет, созданный Исааком Ньютоном (1642–1727) и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646–1716), позволяет сделать повседневное понятие «скорость изменения» математически точным и находит множество приложений в науке и технологиях.

Этот модуль определяет важную концепцию производной и объясняет ее роль в оценке темпов изменения. В разделе 2 мы применяем графический подход к скорости изменений и отождествляем их с градиентами касательных к графам. Это делается в контексте линейного движения , вводя как скорость , так и ускорение как градиенты соответственно построенных графиков. (Материал в этом разделе по существу повторяет обсуждение линейного движения в физике FLAP .Если вы уже изучили этот материал, вам нужно только напомнить себе терминологию и основные результаты.)

Хотя обсуждение в разделе 2 ограничено простыми случаями, этот графический подход громоздок, и совершенно ясно, что простая алгебраическая техника для вычисления градиентов будет иметь большую ценность. Математический процесс, известный как дифференцирование , обеспечивает именно такую ​​технику, и именно здесь в обсуждение вступает производная .В подразделе 3.1 связь между функциями и графиками (по сути, представление о том, что кривая может быть описана уравнением) используется для введения идеи производной, в то время как в подразделе 3.2, подразделах 3.2 и подразделе 3.33.3 вводится и используется его дифференцирование. найти простые производные. Формальное определение производной дано в подразделе 3.4 и применяется к скорости и ускорению в подразделе 3.5. Линейное движение продолжает обеспечивать контекст и мотивацию на протяжении всего обсуждения, но в подразделе 3.6 показано, как деривативы также могут быть использованы во множестве других обстоятельств.

В этом модуле упор делается на основные идеи и понимание, а не на сложные вычисления. Основная цель состоит в том, чтобы вы понимали математический подход к скорости изменения, уметь интерпретировать производные, такие как $ \ dfrac {dx} {dt} $, $ \ dfrac {dv} {dt} $ и $ \ dfrac {dy } {dx} $ графически и вычисляйте их алгебраически в простых ситуациях. Полная разработка методов и приложений дифференцирования оставлена ​​на усмотрение других модулей.

1.2 Ускоренные вопросы

Рисунок 1 Графическое описание поездки автомобиля.

Вопрос F1

Рисунок 1 представляет собой график положения и времени для автомобиля, движущегося по прямой дороге. Опишите поездку на автомобиле повседневным языком.

На каких участках пути ускорение (а) отрицательное, (б) нулевое и (в) положительное?

Ответ F1

Автомобиль трогается с места в момент 0 и движется в положительном направлении (вперед), увеличивая свою скорость до момента A, после чего он движется с постоянной скоростью до момента B.Затем он замедляется и на мгновение останавливается в точке C. Затем он меняет направление с увеличением скорости (скорость становится все более отрицательной) до момента времени D, когда он замедляется, останавливаясь в момент времени E. In остается неподвижным до момента времени F. когда он движется вперед, увеличивая свою скорость до момента времени G, когда он начинает замедляться, и он на мгновение останавливается, а затем меняет направление в момент времени H. Теперь он увеличивает скорость, с которой он поворачивает (опять же, скорость становится все более отрицательной), пока I, когда он начинает замедляться и останавливается в начальной точке в момент времени J.

(a) Ускорение отрицательное между B и D и между G и I.

(b) Ускорение равно нулю между A и B и между E и F.

(c) Ускорение положительное в периоды от O до A, от D до E, от F до G, от I до J.

Вопрос F2

Положение x ( t ) тела в момент времени t задается формулой x ( t ) = — pt + qt 2 где p и q — константы.

(a) Опишите природу и значение dx / dt , запишите его формальное определение и используйте это определение, чтобы найти выражение для dx / dt в терминах p , q и т .

(b) Если p = 2 м с −1 и q = 3 м с −2 , в какое время скорость v x равна нулю? Какая позиция в то время? Какое ускорение a x в то время?

Ответ F2

(a) dx / dt — скорость изменения положения во времени, т.е.е. скорость v 2 . Это функция времени, и в любой конкретный момент времени t ее значение равно градиенту касательной к графику положение – время в это время.

Его формальное определение —

.

$ \ displaystyle \ dfrac {dx} {dt} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left (\ dfrac {\ Delta x} {\ Delta t} \ right) = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left [\ dfrac {x (t + \ Delta t) -x (t)} {\ Delta t} \ right] $

Чтобы применить это определение, мы вычисляем

x ( t + ∆ t ) = — p ( t + ∆ t ) + q ( t + ∆ t ) 2 = — pt p (∆ t ) + qt 2 + 2 qt (∆ t ) + q (∆ ) 2

Так x ( t + ∆ t ) — x ( t ) = — p (∆ t ) + 2 qt (∆ т ) + q (∆ т ) 2

Разделив обе стороны на ∆ t , получим

$ \ left [\ dfrac {x (t + \ Delta t) -x (t)} {\ Delta t} \ right] = -p + 2qt + q (\ Delta t) $

Итак, $ \ displaystyle \ dfrac {dx} {dt} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left (\ dfrac {\ Delta x} {\ Delta t} \ right) = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left [\ dfrac {x (t + \ Delta t) -x (t)} {\ Delta t} \ right] = -p + 2qt $

(b) Скорость равна v x = — p + 2 qt и равна нулю, когда $ t = p / (2q) = \ frac13 $ s.{-1} $.

1.3 Готовы учиться?

Вопрос R1

На наборе двумерных декартовых_координатных осей нанесите точки A = (1, 1), B = (3, 3), C = (2, 6). Вычислите градиенты прямых AB, BC, AC.

Рисунок 20 См. Ответ R1.

Ответ R1

См. Рисунок 20. градиент линий следующие:

$ \ text {градиент AB} = \ dfrac {\ text {разница в} y \ text {-координаты}} {\ text {разница в} x \ text {-координаты}} = \ dfrac {3-1} {3-1} = 1

долларов США

$ \ text {градиент BC} = \ dfrac {\ text {разница в} y \ text {-координаты}} {\ text {разница в} x \ text {-координаты}} = \ dfrac {6-3} {2-3} = \ dfrac {3} {- 1} = -3

долларов США

$ \ text {градиент AC} = \ dfrac {\ text {разница в} y \ text {-координаты}} {\ text {разница в} x \ text {-координаты}} = \ dfrac {6-1} {2-1} = \ dfrac51 = 5

долларов США

Вопрос R2

Постройте график линейной функции x ( t ) = 1.2 + 3 т . Каков его градиент?

Рисунок 21 См. Ответ R2.

Ответ R2

График x ( t ) = 1,2 + 3 t приведен на рисунке 21. Градиент равен 3. Его можно найти по разнице координат между любыми двумя точками на линии (как в Ответ R1) или как константа, которая умножает t в исходной функции.

Вопрос R3

Нарисуйте график квадратичной функции x ( t ) = 5 + t + 3 t 2 , для t ≥ 0.

Рисунок 22 См. Ответ R2.

Ответ R3

График x ( t ) = 5 + t + 3 t 2 приведен на рисунке 22.

Вопрос R4

Для функции x ( t ) = — 4 + 6 t + 2 t 2 , оценка:

(a) x (0), (b) x (2), (c) | x (-1) |, (г) x (2.5) — x (2), (e) x (2,1) — x (2).

(f) Если ∆ t = 0,50, вычислить $ \ dfrac {x (2+ \ Delta t) -x (2)} {0,50} $

(g) Если ∆ t = 0,10 и t = 2, вычислить $ \ dfrac {x (t + \ Delta t) -x (t)} {\ Delta t} $

Ответ R4

(а) x (0) = — 4 + 0 + 0 = −4

(б) x (2) = −4 + ​​6 × 2 + 2 × 4 = 16

(c) | x (-1) | = | −14 — 6 + 2 (−1) 2 | = | −8 | = 8 (| x | следует читать как « модуль из x »)

(г) x (2.5) — x (2) = −14 + 15 + 2 × 6,25 — 16 = 7,5

(д) x (2,1) — x (2) = −14 + 12,6 + 2 × 4,41 — 16 = 1,42

(f) $ \ dfrac {x (2+ \ Delta t) -x (2.0)} {0.50} = \ dfrac {x (2.5) -x (2.0)} {0.50} = 7.50 / 0.50 = 15.00 $

(g) $ \ dfrac {x (t + \ Delta t) -x (t)} {\ Delta t} = \ dfrac {x (2.1) -x (2.0)} {0.10} = 1.42 / 0.10 = 14.20 $

Вопрос R5

Учитывая, что переменные x и t охватывают один и тот же диапазон значений, какие (если есть) из следующих функций эквивалентны?

(a) s ( t ) = 1 + 2 t + t 2 , (b) y ( x ) = (1 + x ) 2 , (c) v ( t ) = (1- t ) 2 + 4 t .

Ответ R5

Все они представляют одну и ту же функцию . Буквы не важны. Могут использоваться любые другие буквы при условии, что они всегда последовательно заменяются. Таким образом, (b) можно записать как s ( t ) = (1 + t ) 2 , заменив y на s и x на t . Но (1 + t ) 2 = 1 + 2 t + t 2 , что является (a).Аналогично, расширение и упрощение правой части (c) при замене v на s также дает (a). (Предполагается, что все функции имеют один и тот же кодомен .)

2.1 Графики положения и времени и постоянная скорость

Современная наука основана на идее, что мир можно понять, только предварительно выполнив тщательные наблюдения и измерения. Графики предоставляют важный способ представить такие измерения. Хотя в реальном мире многие объекты движутся по криволинейной траектории, очевидно, что проще начать с linear motion , т.е.е. движение по прямой. Это оказывается менее ограничительным, чем может показаться на первый взгляд, поскольку любое движение, не связанное с вращающимися объектами, может быть выражено как комбинация движений по двум или трем прямым линиям.

Рисунок 2 Пример одномерного движения.

Таблица 1 Положение автомобиля в разное время.
Координата положения
x / м
Время
т / с
Координата положения
x / м
Время
т / с
0 0.0 35 68,0
5 1,7 40 84,0
10 6,8 45 99,0
15 15,0 50 115,0
20 26,0 55 130,0
25 39,0 60 146,0
30 53.0

Рисунок 3 График «Положение – время» из Таблицы 1.

На рис. 2 показан автомобиль и пешеход, движущиеся по прямой линии. Линия обозначена как ось x некоторой правильно выбранной системы декартовых координат , которая имеет свое начало в фиксированной точке, указанной на рисунке. В любой момент времени t позиция автомобиля или пешехода полностью определяется его координатой положения x , которая определяет его смещение от начала координат в этот момент.Обратите внимание, что x измеряется в метрах и может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, с какой стороны от начала координат расположена точка. В конкретный момент, изображенный на Рисунке 2, автомобиль находится в точке x = 30 м, а пешеход находится в точке x = -20 м. я

Положение точки автоматически определяет другую величину — ее расстояние от начала координат. Это величина его смещения от начала координат. Конечно, расстояния должны быть положительными величинами (нет смысла говорить о расстоянии , равном -20 м), поэтому мы определяем расстояние от начала координат до любой точки на прямой как | x |, модуль или абсолютное значение его координаты положения.Вы помните, что абсолютные значения всегда положительны, поэтому | −20 м | = 20 м.

В таблице 1 показано положение автомобиля с интервалом в 5 секунд, начиная с момента, когда он проехал через исходную точку.

Соответствующий график, называемый графиком положение – время движения, показан на рисунке 3. i Как вы можете видеть, примерно через 30 с график представляет собой прямую линию (т. Е. Линейную), указывающую на то, что координата положения автомобиля равна увеличиваясь на равные количества через равные промежутки времени.Другими словами, скорость изменения положения автомобиля относительно времени остается постоянной примерно через 30 с.

Теперь для объекта, движущегося по оси x , скорость изменения его координаты положения x относительно времени определяет его скорость , v x , которая сообщает нам, насколько быстро он движется. и в каком направлении. (Если объект движется таким образом, что x увеличивается со временем, тогда v x положительно; если он движется в противоположном направлении, так что x уменьшается со временем, тогда v x отрицательно .) i Таким образом, мы можем интерпретировать линейную часть графика положение – время как указание на то, что автомобиль имеет постоянную (или равномерную ) скорость примерно через 30 с.

✦ Используя данные таблицы 1, оцените скорость автомобиля v x в интервалах времени от 40 до 50 с и от 50 до 60 с.

✧ С 40 с до 50 с координата положения изменяется с 84 м до 115 м, поэтому скорость равна

v x = (115 м — 84 м) / (50 с — 40 с) = 3.1 м с −1

От 50 до 60 с, скорость

v x = (146 м — 115 м) / (60 с — 50 с) = 3,1 м с −1

Обратите внимание, что в этом случае скорость не зависит от временного интервала, в течение которого она оценивается, т.е. она движется с постоянной скоростью. Также обратите внимание, что координата положения увеличивается со временем, поэтому скорость положительная.

Рисунок 4 Увеличенный сегмент линейной части рисунка 3.

✦ На рисунке 4 показана увеличенная линейная часть рисунка 3. Как бы вы интерпретировали вычисления, выполненные в последнем вопросе, с точки зрения рисунка 4?

✧ Каждый из вычислений скорости включал деление «подъема» графика (изменение в x ) на соответствующий «пробег» (соответствующее изменение в t ), то есть нахождение градиента прямой линия по общей формуле

$ {\ rm gradient} = \ dfrac {\ rm rise} {\ rm run} = \ dfrac {x_2-x_1} {t_2-t_1}

долларов

Мы можем резюмировать это обсуждение следующим образом:

Для линейного движения с равномерной скоростью график положения-времени является линейным, а градиент графика положения-времени представляет скорость изменения положения во времени, т.е.е. скорость.

Вопрос T1

Создайте таблицу, аналогичную таблице 1, и нарисуйте примерно соответствующий график положения и времени при измерении координат положения:

(a) от новой исходной точки на 20 м вправо от старой исходной точки, с позициями вправо, определенными как положительные;

(b) от новой исходной точки, определенной в части (a), но на этот раз с позициями до слева , определенными как положительные.

Как ваши графики соотносятся с графиком на Рисунке 3?

Рисунок 23 См. Ответ T1 (a).

Таблица 6 Положение
автомобиля в разное время.
Координата позиции
x / м
Время
т / с
0 -20,0
5 −18,3
10 −13,2
15 −5,0
20 6,0
25 19,0
30 33.0
35 48,0
40 64,0
45 79,0
50 95,0
55 110,0
60 126,0

Ответ T1

(a) Данные представлены в таблице 6 и показаны на рисунке 23. Рисунок 23 — это рисунок 3, сдвинутый вниз. Различные варианты выбора опорной точки (начала координат) просто сдвигают график положения и времени вверх или вниз, не меняя его формы.Новый выбор начала координат не повлиял на градиент, поэтому скорости, найденные с помощью этого графика, будут точно такими же, как и на рис. 3.

Рисунок 24 См. Ответ T1 (b).

Таблица 7 См. Ответ T1 (b).
Координата положения x / м Время т / с
0 20,0
5 18,3
10 13.2
15 5,0
20 −6,0
25 −19,0
30 −33,0
35 −48,0
40 −64,0
45 −79,0
50 −95,0
55 -110,0
60 −126.0

(b) Данные представлены в таблице 7 и показаны на рисунке 24. Рисунок 24 — это рисунок 23, перевернутый вверх ногами. Изменение положительного направления на противоположное переворачивает график вверх ногами. Выбор положительного направления влияет на знак градиента, и, следовательно, скорости, найденные на этом графике, будут иметь знак, противоположный тем, которые найдены на Рисунке 23 — теперь автомобиль движется в отрицательном направлении, поэтому его скорость отрицательна.

Важно отметить, что движение по оси x с равномерной скоростью v x означает, что движущийся объект всегда движется в одном и том же направлении .Иногда нам может потребоваться узнать, с какой скоростью движется объект, но нам может быть безразлично его направление движения. При таких обстоятельствах нас, вероятно, заинтересует величина , скорость объекта, заданная как

.

v = | v x | = величина скорости

Начиная с | v x | никогда не может быть отрицательным, ясно, что скорость v никогда не может сказать нам ничего о направлении движения.Объекты, движущиеся в противоположных направлениях со скоростью 20 м с -1 и -20 м с -1 , оба будут иметь скорость 20 м с -1 .

Вопрос T2

На рисунке 5 показаны графики положения и времени для четырех разных тел, каждое из которых движется с разной постоянной скоростью по оси x . Если предположить, что координаты и временные шкалы в каждом случае одинаковы:

(a) Расположите тела в порядке увеличения скорости.

(b) Какое тело имеет наибольшую скорость?

(c) Какое тело имеет наименьшую скорость?

Рисунок 5 См. Вопрос T2.

Ответ T2

(a) Чем круче график, тем больше изменение положения в заданный интервал времени и, следовательно, больше скорость. Итак, с точки зрения увеличения скорости порядок: B, D, A, C.

(b) Графики A и B имеют положительный градиент (поскольку x увеличивает при уменьшении t ). Градиент A больше (т.е. более положительный), чем B, поэтому A имеет наибольшую скорость из четырех.

(c) Графики C и D имеют отрицательный градиент (поскольку x уменьшается, при увеличении t ).Градиент C более отрицательный, чем D, поэтому C имеет наименьшую скорость из четырех.

Рисунок 6 Увеличение изогнутой части рисунка 3.

2.2 Графики положения и времени и мгновенная скорость

В предыдущем подразделе вы видели, что градиент линейного графика положения и времени может представлять постоянную скорость. Идея использования градиентов также является ключом к работе с непостоянными скоростями. Фиг. 6 — увеличенное изображение Фиг. 3 в интервале от 0 до 20 с.В этом случае график изогнут, что указывает на изменение скорости. Как вы увидите, верно то, что скорость в любой конкретный момент времени задается градиентом графика в это время, но что именно мы подразумеваем под градиентом в конкретное время, когда график изогнут? Например, на рисунке 6, каков градиент кривой при t = 5 с? Определение градиента в точке изогнутого графа более чем заняло Ньютона и Лейбница, основоположников исчисления, и теперь мы рассмотрим этот вопрос в контексте графиков положения и времени.

Как нам приступить к нахождению скорости автомобиля при t = 5 с? Давайте попробуем что-то похожее на наш подход в предыдущем подразделе.

Рисунок 7 Средние скорости автомобиля в зависимости от продолжительности временных интервалов, для которых они были вычислены.

В интервале 15 с от 5 до 20 с координата положения изменяется на 24,3 м, с 1,7 м до 26,0 м. Если разделить изменение координаты положения на временной интервал, мы получим среднюю скорость $ \ langle v_x \ rangle $ за этот временной интервал.

Итак, на интервале от 5 до 20 с

$ \ langle v_x \ rangle $ = 24,3 м / 15 с = 1,6 м с −1

Теперь мы можем измерить среднюю скорость в более коротком интервале, начиная с 5 с. Например, в интервале от 5 до 15 с изменение координаты положения составляет 13,3 м.

Итак, на интервале от 5 до 15 с

$ \ langle v_x \ rangle $ = 13,3 м / 10 с = 1,3 м с −1

Значения показаны на Рисунке 7

В принципе, мы могли бы продолжать так, используя все более короткие интервалы, но на практике становится невозможным продолжать, когда интервал становится настолько коротким, что изменение координаты положения не может быть надежно определено по графику.К счастью, в этом нет необходимости, как вы сейчас увидите.

Вопрос T3

Используя рисунок 6, как можно точнее определите средние скорости в следующих интервалах: (a) от 5 до 10 с, (b) от 5 до 9 с, (c) от 5 до 8 с. Затем нанесите три дополнительные точки на график на Рисунке 7.

Рисунок 25 См. Ответ T3.

Ответ T3

Вы должны получить значения, указанные в таблице 8, с погрешностью около 5% или около того.На рисунке 25 показаны точки из таблицы 8, добавленные к рисунку 7.

Таблица 8 См. Ответ T3.
Интервал Средняя скорость
от 5,0 до 10,0 с (7,0 м — 1,8 м) / (10,0 — 5,0 с) = 1,0 мс −1
от 5,0 до 9,0 с (5,5 м — 1,8 м) / (9,0 — 5,0 с) = 0,95 м с −1
от 5,0 до 8,0 с (4,5 м — 1,8 м) / (8,0 — 5,0 с) = 0.90 м с −1

Теперь представьте, что вы используете интервалы, начинающиеся с 5 секунд, которые намного короче, чем в вопросе T3, для оценки некоторых более средних скоростей.

✦ Как вы думаете, где эти точки будут находиться на графике рисунка 7?

✧ Они будут лежать на показанной пунктирной линии, которая пересекает ось примерно на 0,70 м с -1 .

Рисунок 8 Средние скорости, представленные на Рисунке 7, представляют собой градиенты линий, проходящих через точку, соответствующую времени t = 5 с.

Скорость 0,70 м с -1 называется пределом средней скорости, то есть значение, которое достигается, когда интервал времени от 5 с становится все меньше и меньше. Этот предел дает нам определение мгновенной скорости в любой конкретный момент:

мгновенная скорость в момент времени t = предел средней скорости в интервале около t , поскольку этот интервал становится все меньше и меньше

Обратите внимание, что с помощью этой процедуры ограничения мы можем понять фразу «мгновенная скорость», даже если движущийся объект не может действительно пройти какое-либо расстояние за «мгновение».В общем, «скорость» объекта используется для обозначения его мгновенной скорости в конкретный момент времени. Аналогично, «скорость» обычно используется для обозначения мгновенной скорости , то есть величины (мгновенной) скорости.

Полезно посмотреть, что мы сделали с точки зрения градиентов хорд , то есть прямых линий, пересекающих кривую в двух точках.

На рисунке 8 верхняя прямая линия проходит через точки на графике, соответствующие временам t = 5 с и t = 20 с.Градиент этой прямой составляет среднюю скорость за этот интервал времени. Другие средние скорости на более коротких интервалах задаются градиентами других линий на Рисунке 8, каждая из которых пересекает кривую в начале и в конце соответствующего интервала. По мере того, как интервалы становятся все меньше и меньше, линии сливаются вместе и становятся почти неотличимыми друг от друга. Это соответствует приближению средней скорости к своему пределу.

Рисунок 9 Мгновенная скорость автомобиля при t = 5 с — это градиент касательной к графику при t = 5 с.

На рисунке 9 показана прямая линия, которая только касается графика через 5 с. Эта линия является «пределом» линий, нарисованных на рисунке 8. Она называется tangent_to_a_curvetangent при t = 5 с, а ее градиент дает мгновенную скорость при t = 5 с.

✦ Измерьте наклон касательной через 5 с на рисунке 9.

✧ Ответ: приблизительно 0,70 м с −1 , мгновенная скорость, выведенная из рисунка 7.

Несмотря на ограниченную точность из-за сложности рисования касательных, теперь у нас есть альтернативное определение мгновенной скорости. В любое время т. :

мгновенная скорость = градиент касательной к графику положение – время

В конце концов, этот подход позволит нам разработать алгебраическую технику, которую гораздо проще применять, чем графический метод, но перед этим мы рассмотрим, как идеи, которые мы уже разработали, позволяют нам справляться с ускорением.

2.3 График скорости-времени и мгновенное ускорение

Таблица 2 показывает измеренную скорость v x в шесть моментов для шара, свободно падающего из состояния покоя. Точно так же, как Таблица 1 использовалась для построения графика положения-времени, мы можем использовать Таблицу 2 для получения графика скорость-время , показанного на Рисунке 10.

В этом случае график представляет собой прямую линию, т.е. для любого заданного интервала времени скорость изменяется на постоянную величину. Скорость изменения скорости относительно времени называется ускорением , и ее можно найти по градиенту графика скорость – время.i На рисунке 10 показано, что для нашего свободно падающего шара ускорение в первую секунду является постоянным или равномерным.

Рисунок 10 График скорость-время падающего шара в течение первой секунды после выпуска.

Для линейного движения с постоянным (или равномерным ) ускорением график скорость – время является линейным, а его градиент представляет скорость изменения скорости во времени, то есть ускорение.

Таблица 2 Мгновенная скорость падающего шара в течение
первой секунды после выхода из состояния покоя.
Время с момента выпуска
т / с
Скорость падающего шара
v x 1 /
м с −1
0,0 0,00
0,2 1,97
0,4 3,93
0,6 6,10
0,8 7,81
1,0 9,80

✦ Каков градиент линейного графика на рисунке 10? (Позаботьтесь о включении соответствующих единиц СИ.)

✧ Уклон составляет примерно 10 м с −2 .

(Единицы измерения: (мс −1 ) / с = мс −2 ).

Ускорение, как и скорость, имеет направление и величину. Придавая скоростям в Таблице 2 положительный знак, мы говорим, что направление вниз положительно, и, поскольку скорости увеличиваются со временем, ускорение также положительное. Если бы скорости уменьшались по величине, но оставались положительными, ускорение было бы отрицательным.

Стоит отметить, что отрицательное ускорение не всегда замедляет работу, как показывает следующий вопрос.

✦ Предположим, что объект движется в отрицательном направлении x — и подвергается отрицательному ускорению. Увеличивается или уменьшается величина его скорости (то есть скорость)?

✧ Начальная скорость отрицательная, а отрицательное ускорение сделает ее более отрицательной, но величина скорости (то есть скорость) будет увеличиваться.

Рис. 11 График скорости падающего шара от времени. Наклон касательной линии на 3,75 с дает мгновенное ускорение мяча на 3,75 с.

Термин замедление часто используется для описания замедления тела. Иногда утверждается, что замедление — это отрицательное ускорение, но, как показывает вопрос выше, это не обязательно так — отрицательное ускорение вызывает снижение скорости только в том случае, если движение происходит в направлении, определенном как положительное.

Точное измерение ускорения свободно падающих предметов при отсутствии сопротивления воздуха дает значение 9,8 мс −2 (с двумя значащими цифрами). Однако наш мяч не падает в вакууме, поэтому сопротивление воздуха i имеет тенденцию замедлять его падение, как показано на рисунке 11. Через несколько секунд график изгибается, поднимаясь все менее и менее круто. Следовательно, скорость увеличивается медленнее, и ускорение больше не является постоянным. (Это связано с тем, что сопротивление воздуха увеличивается с увеличением скорости мяча.)

Столкнувшись с этим изменяющимся ускорением, мы можем применить тот же подход к мгновенному ускорению , что и к мгновенной скорости: провести касательную к кривой в соответствующий момент времени и измерить ее градиент. На рисунке 11 касательная проведена в точке кривой, где время составляет 3,75 с. Касательная имеет градиент 3,9 м с −2 , так что это мгновенное ускорение мяча за 3,75 с. Итак, для линейного перемещения в любое время t :

мгновенное ускорение = градиент касательной к графику скорость-время

Рисунок 12 См. Вопрос T4.

Вопрос T4

На рисунке 12 показан график скорости автомобиля во время короткого путешествия по прямой дороге. Измерьте мгновенное ускорение через 10, 40 и 55 секунд. Опишите путешествие одним предложением, используя повседневный язык.

Ответ T4

Проведя касательные через 10 с, 40 с и 55 с и измерив их градиенты, мы выяснили, что ускорения составят 0,66 м с −2 , 0 м с −2 и −1,3 м с −2 , соответственно.

Автомобиль ускоряется из состояния покоя до постоянной скорости 17,5 м с -1 примерно за 34 с, остается на этой скорости примерно 10 с, а затем замедляется до состояния покоя еще примерно через 15 с.

2.4 Градиенты и скорость изменения в целом

Ключевое соотношение в нашем обсуждении было между градиентом касательной в точке на кривой и скоростью изменения. Градиент касательной в точке на кривой положение – время дает скорость изменения положения относительно времени, т.е.е. мгновенная скорость в момент времени, соответствующий точке касательной. Градиент касательной в точке на кривой скорость-время дает скорость изменения скорости относительно времени, то есть мгновенное ускорение, снова в момент времени, соответствующий тому, где проводится касательная. Этот подход работает во многих других ситуациях. Например, если у нас есть график, показывающий, как температура объекта изменяется со временем, то градиент касательной в точке на этом графике дает мгновенную скорость изменения температуры относительно времени в это конкретное время.Градиенты касательных в разных точках кривой дают скорости изменения температуры в разное время. Хотя используется выражение «скорость изменения», количество, нанесенное на график по горизонтали, не обязательно должно быть временем. Если температура отображается в зависимости от высоты, то рисование касательной к кривой и определение ее градиента даст скорость изменения температуры по отношению к высоте на высоте, соответствующей точке, где проводится касательная. Другой пример — это график зависимости силы пружины от ее растяжения.Опять же, градиент в любой точке дает скорость изменения величины силы по отношению к растяжению в этой точке.

Рисунок 13 См. Вопрос T5.

Вопрос T5

На рисунке 13 показан график зависимости объема V пробы газа от его давления P ( V измеряется в литрах (л) и P в атмосферах (атм)). i Оцените скорость изменения объема по отношению к давлению при P = 1 атм.Что происходит со скоростью изменения объема по отношению к давлению при увеличении давления? Что происходит со скоростью изменения давления по отношению к объему при увеличении объема?

Ответ T5

Скорость изменения объема по отношению к давлению составляет приблизительно -4,5 литра атм. -1 и определяется градиентом касательной к кривой при P = 1 атм. По мере увеличения давления скорость изменения объема по отношению к давлению увеличивается (т.е.е. становится менее отрицательным). Чтобы найти скорость изменения давления по отношению к объему, вам действительно нужен график P против V , хотя вы можете представить себе, как он выглядит из рисунка 13. В любом случае, скорость изменения давление по отношению к объему также является отрицательным, и оно тоже увеличивается (т.е. становится менее отрицательным) по мере увеличения объема, поскольку газ становится легче сжимать, и данное увеличение объема соответствует все меньшему и меньшему снижению давления.

Раздел 2 должен был убедить вас, что определение градиентов касательных может предоставить полезную информацию во многих ситуациях. Однако графическое выполнение этой задачи очень утомительно и не всегда точно. К счастью, существует неграфический метод вычисления градиентов, который можно применить, если мы знаем уравнение, описывающее форму графика. Этот метод называется дифференциация . Это часть раздела математики, известного как исчисление , и изначально была разработана для изучения движения.В этом разделе мы кратко рассмотрим концепцию функции , а затем введем дифференцирование.

3.1 Функции, графики и производные

Грубо говоря, функция — это правило (обычно записываемое как алгебраическое уравнение), которое связывает два набора (обычно наборы чисел или значений). Например, правило x = t 2 связывает любое действительное число t с неотрицательным действительным числом x .Мы показываем, что x определяется как t , записывая

x ( t ) = t 2 для любого действительного числа t

, и мы говорим, что x — это функция из t . Для любого значения t мы можем использовать данное правило, чтобы вычислить соответствующее значение x ; если t = 2, то x = 4, если t = 3, то x = 9 и т. д.(Обратите внимание, что когда мы пишем x ( t ) в этом контексте, мы делаем , а не , что означает x × t .)

Рисунок 14 График функции x ( t ) = t 2 .

Таблица 3 Таблица значений
для функции x ( t ) = t 2 .
т x ( т )
0.0 0,00
0,5 0,25
1,0 1,00
1,5 2,25
2,0 4,00
2,5 6,25
3,0 9,00

При работе с такими функциями мы вызываем переменные x и t и говорим, что x является зависимой переменной , значение которой зависит от значения независимой переменной т .

В таблице 3 перечислены некоторые типичные значения x ( t ) для различных значений t , а на рисунке 14 показан график функции, полученной путем построения x ( t ) вдоль по вертикальной оси и t по горизонтальной оси. я

Вопрос T6

Постройте график функции x ( t ) = 4 t + 7.

Рисунок 26 См. Ответ T6.

Ответ T6

График x ( t ) = 4 t + 7 показан на рисунке 26.

Обсудить линейное движение в терминах функций несложно. Например, предположим, что объект движется по оси x системы координат с постоянной скоростью u x . Если мы позволим t представить время, прошедшее с тех пор, как объект прошел через начало координат, мы можем сказать, что позиция x объекта является функцией времени t и задается

x ( т ) = u x т

Точно так же положение объекта, который начинается из состояния покоя в начале координат в момент времени t = 0 и движется с постоянным ускорением a x , задается функцией

x ( t ) = ½ a x t 2 i

Обратите внимание, что функции в этих двух случаях различаются, потому что физические условия (постоянная скорость в первом случае, постоянное ускорение во втором) различны.В общем, можно ожидать, что любой конкретный вид линейного движения будет соответствовать определенной форме для функции x ( t ).

Теперь процесс дифференциации имеет следующую цель:

Учитывая функцию x ( t ), i процесс дифференцирования может предоставить связанную функцию x ′ ( t ), так что значение x ′ ( t ) при любом конкретном значении t равно градиенту касательной к графику x против t при этом конкретном значении t .

Новая функция x ′ ( t ), полученная в процессе дифференцирования, называется производной функцией или производной от x ( t ) и обычно обозначается символом $ \ dfrac {dx} {dt} $ или, более формально, $ \ dfrac {dx} {dt} (t) $, чтобы напомнить нам, что:

  • его значение при любом конкретном значении t равно градиенту графика x против t при этом значении t .
  • это функция из t ;

Обратите внимание, что $ \ dfrac {dx} {dt} $ — это , а не , соотношение двух величин: dx и dt , это один символ, который представляет конкретную функцию. Вот почему мы иногда пишем это как $ \ dfrac {dx} {dt} (t) $.

Рисунок 15 Графическое представление функции x ( t ) = 0,5 t + 2.

Рисунок 16 Графики (a) x ( t ) = mt + c и (b) ее производная, которая является постоянной функцией x ′ ( t ) = м .

3.2 Линейная функция и ее производная

В этом подразделе используется алгебраический вид функции для вычисления производных и, следовательно, градиентов графиков функций. Вскоре вы сможете вообще отказаться от графиков и напрямую рассчитывать производные.

Наиболее общая форма линейной функции : x ( t ) = mt + c , где m и c — константы.График такой функции представляет собой прямую с градиентом м , которая пересекает вертикальную ось в точке c . На рисунке 15 показан график x ( t ) = 0,5 t + 2. Градиент графика в точке, соответствующей t = 2, составляет 0,5, и ясно, что градиент имеет то же значение в любой другой точке графика. Другими словами, производная x ( t ) = 0,5 t + 2 равна 0.5 при t = 2 и при любом другом значении t . Итак, в этом случае x ′ ( t ) = dx / dt = 0,5 для всех значений t .

✦ Каков градиент в точке, соответствующей t = 2 на графике функции x ( t ) = mt + c ? Каков градиент в всех точках на графике? Какая производная (производная функция) от x ( t )?

✧ Уклон составляет м при t = 2 и для всех остальных значений t .

Производная x ( t ) равна dx / dt = m для всех значений t .

На рисунке 15 x и t представляют числовые величины, но если бы они представляли положение объекта x (в метрах) в момент времени t (в секундах), тогда градиент графика был бы представляют скорость объекта v x (в м с −1 ).Таким образом, производная $ \ dfrac {dx} {dt} (t) $ описывает скорость в момент времени t .

Мы можем резюмировать этот результат на Рисунке 16 и следующим образом:

Производная линейной функции x ( t ) = mt + c — постоянная функция, которая везде принимает значение m . Это соответствует тому результату, что если координата положения, x , линейно увеличивается со временем, t , то скорость v x постоянна.

Вопрос T7

Скорость, v x , объекта, движущегося по прямой линии, задается функцией v x ( t ) = u x + a x t , где u x и a x — константы. Найдите производную v x ( t ) при t = 2 с.Какая производная при произвольном значении t ? В свете вашего результата интерпретируйте значение констант a x и u x .

Ответ T7

Поскольку график v x ( t ) является прямой линией, производной является градиент, который равен a x , не только когда t = 2 с, но и во всех остальных случаях. стоимости т .Итак, x , как следует из обозначений, — это ускорение. Когда t = 0, v x = u x , поэтому u — начальная скорость.

3.3 Квадратичная функция и ее производная

Рисунок 8 Средние скорости, представленные на Рисунке 7, представляют собой градиенты линий, проходящих через точку, соответствующую времени t = 5 с.

Рисунок 17 Хорда, соединяющая точки, соответствующие t = 3 и t = 3 + ∆ t на кривой x ( t ) = t 2 .

Теперь, когда вы узнали, как дифференцировать линейные функции, давайте рассмотрим квадратичную функцию . Вспомните рисунок 8, на котором мы использовали последовательность из хорд i для аппроксимации касательной к кривой и, таким образом, нашли градиент кривой в точке. Применим эту технику к дифференцированию простой квадратичной функции.

Предположим, что функция, которую мы хотим дифференцировать, — это x ( t ) = t 2 , и предположим, что мы хотим найти градиент, когда t = 3.Соответствующее значение x составляет x (3) = 3 2 . Представьте, что рисуем хорду, которая разрезает график x ( t ) при t = 3 и снова обрезает его при другом значении, которое мы обозначаем t = 3 + ∆ t (см. Рисунок 17). . я

Поскольку x ( t ) = t 2 , значение x , соответствующее t = 3 + ∆ t , составляет x = (3 + ∆ t ) 2 .2} {\ Delta t} = 6+ \ Delta t $

Давайте воспользуемся этим выражением, чтобы вычислить градиенты последовательности различных хорд, которые обеспечивают все более близкие приближения к касательной при t = 3. Хорда, которая пересекает кривую при t = 3 и t = 4 имеет ∆ t = 1 и, следовательно, градиент 6 + ∆ t = 6 + 1 = 7. Градиенты других хорд с меньшим ∆ t приближаются к градиенту касательной, когда ∆ t приближается к нулю. .Но градиент каждой хорды равен 6 + ∆ t , что приближается к 6, когда ∆ t приближается к нулю. Итак, 6 — это значение градиента касательной при t = 3. Вы можете продемонстрировать это для себя в вопросе T8.

Таблица 4 См. Вопрос T8.
т + ∆ т т Градиент
3,5 0,5 6,5
3.4
0,2
6,01

Вопрос T8

Заполните Таблицу 4, где третий столбец представляет собой градиент хорды, соединяющей точки на кривой, соответствующие t = 3 и t = (3 + ∆ t ).

Таблица 9 См. Ответ T8.
т + ∆ т т Градиент
3.5 0,5 6,5
3,4 0,4 6,4
3,2 0,2 6,2
3,01 0,01 6,01

Ответ T8

Заполненная таблица 4 приведена в таблице 9. Напомним, что градиент равен 6 + ∆ t .

Теперь мы можем обобщить этот процесс, чтобы получить градиент для любого значения , равного t . 2} {\ Delta t} = 2t + \ Дельта т $

Теперь позвольте хорде приблизиться к касательной в точке t , т.е.{\ prime} (t) = \ dfrac {dx} {dt} (t) $.

Итак, производная квадратичной функции x ( t ) = t 2 равна $ \ dfrac {dx} {dt} (t) = 2t $ i

Обратите внимание, что производная dx / dt = 2 t равна нулю, когда t = 0, и отрицательна, когда t меньше нуля. Это именно то, что мы ожидаем от градиента графика x ( t ) = t 2 — нарисуйте график самостоятельно, если вы не уверены.

3.4 Формальное определение производного инструмента

В линейных и квадратичных примерах, которые мы исследовали до сих пор, мы обнаружили, что при любом значении t производная dx / dt функции x ( t ) аппроксимируется градиентом ∆ x / ∆ t хорды. (В этом выражении ∆ x = x ( t + ∆ t ) — x ( t ), и это представляет собой изменение x в интервале от t От до т + ∆ т .) Мы также обнаружили, что градиент ∆ x / ∆ t обеспечивает все более хорошее приближение к dx / dt , когда ∆ t приближается к нулю. Действительно, в пределе, когда ∆ t стремится к нулю, оно станет в точности равным производной x ( t ) при t .

В общем случае для любой функции x ( t ) мы определяем производную x ( t ) на

$ \ displaystyle \ dfrac {dx} {dt} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left (\ dfrac {\ Delta x} {\ Delta t} \ right) = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left [\ dfrac {x (t + \ Delta t) -x (t)} {\ Delta t} \ right] $ (1)

Обратите внимание, что при любом конкретном значении t x / ∆ t представляет собой отношение двух величин (∆ x и ∆ t ), но dx / dt не равно . соотношение dx и dt .Скорее, вы должны думать о dx / dt при любом конкретном значении t как о значении функции — производной функции x ′ ( t ) — при этом значении t .

Определение производной в уравнении 1 подлежит дополнительной оговорке «если существует уникальный предел». Оговорка необходима, потому что есть некоторые функции, которые нельзя дифференцировать в каждой точке своей области. i Иногда вместо dx / dt пишется $ \ dfrac {dx} {dt} (t) $, чтобы подчеркнуть, что производная является функцией.

Математическое примечание Точное определение предела выражения, когда ∆ t приближается к нулю, на удивление сложно. Предел — это выражение, которое не включает ∆ t , но к которому можно подойти так близко, как мы хотим, сделав ∆ t достаточно малым. Сложность заключается в придании точного значения фразам «настолько близко, насколько мы хотим» и «достаточно мало». В случаях, когда мы выйдем, предел очевиден. Например, $ \ displaystyle \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} (6+ \ Delta t) = 6 $, но есть случаи, когда предел гораздо менее ясен.

Хотя сейчас мы думаем исключительно в терминах функций, а не графиков, процесс поиска производной выглядит примерно так же, как и раньше. Например,

, если x ( t ) = 4-2 t + 3 t 2

, затем x ( t + ∆ t ) = 4-2 ( t + ∆ t ) + 3 ( t + ∆ t ) 2

таким образом ∆ x = x ( t + ∆ t ) — x ( t ) = 4-2 t — 2 (∆ t ) + 3 t 2 + 6 t (∆ t ) + 3 (∆ t ) 2 — (4-2 t + 3 t 2 ) = −2 (∆ t ) + 6 t (∆ t ) + 3 (∆ t ) 2

Отсюда ∆ x / ∆ t = — 2 + 6 t + 3∆ t

Итак, $ \ displaystyle \ dfrac {dx} {dt} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow t} \ left (\ dfrac {\ Delta x} {\ Delta t} \ right) = -2 + 6t $

Вопрос T9

Найдите dx / dt для каждой из следующих функций: (a) x ( t ) = 14 — t (b) x ( t ) = 1 + т + т 2 (в) x ( т ) = (1- т ) 2

Ответ T9

(a) x ( t ) = 14- t , поэтому x ( t + ∆ t ) = 14 — ( t + ∆ t ) .

Таким образом, ∆ x = x ( t + ∆ t ) — x ( t ) = 14 — ( t + ∆ t ) — (14 — t ) = — t — ∆ t + t = −∆ t

, поэтому $ \ dfrac {\ Delta x} {\ Delta t} = \ dfrac {- \ Delta t} {\ Delta t} = -1 $

, следовательно, $ \ displaystyle \ dfrac {dx} {dt} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left (\ dfrac {\ Delta x} {\ Delta t} \ right) = -1 $

Альтернативный способ ответа — отметить, что график положение – время представляет собой прямую линию с градиентом -1.

(б) x ( т ) = 1 + т + т 2

так x ( t + ∆ t ) = 1 + ( t + ∆ t ) + ( t + ∆ t ) 2

Таким образом, ∆ x = ∆ t + ( t + ∆ t ) 2 t 2 = ∆ t + t 2 + 2 t (∆ t ) + (∆ t ) 2 t 2 = ∆ t + 2 t (∆ t ) + (∆ t ) 2

so∆ x / ∆ t = 1 + 2 t + (∆ t )

, следовательно, $ \ displaystyle \ dfrac {dx} {dt} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left (\ dfrac {\ Delta x} {\ Delta t} \ right) = 1 + 2t $

(c) x ( t ) = (1 — t ) 2 = 1-2 t + t 2

так x ( t + ∆ t ) = 1-2 ( t + ∆ t ) + ( t + ∆ t ) 2 = 1 — 2 t — 2∆ t + t 2 + 2 t t + (∆ t ) 2

Таким образом, ∆ x = −2∆ t + 2 t t + (∆ t ) 2

so∆ x / ∆ t = −2 + 2 t + ∆ t

, следовательно, $ \ displaystyle \ dfrac {dx} {dt} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left (\ dfrac {\ Delta x} {\ Delta t} \ right) = -2 + 2t = -2 (1-т) $

3.5 Скорость и ускорение как производные

В этом подразделе мы соберем вместе наши результаты, касающиеся производных, и применим их к положению, скорости и ускорению.

Предположим, что x ( t ), v x ( t ), a x ( t ) — это, соответственно, позиция, скорость и ускорение объекта в момент времени t при движении по оси x системы координат.i Поскольку скорость — это скорость изменения положения относительно времени, мы можем написать

$ v_x (t) = \ dfrac {dx} {dt} $ = скорость изменения положения относительно времени (2)

Аналогично, поскольку ускорение — это скорость изменения скорости во времени

$ a_x (t) = \ dfrac {dv_x} {dt} $ = скорость изменения скорости во времени (3)

Таким образом, путем двух последовательных дифференциаций мы можем перейти от выражения, задающего положение, к выражению, дающему ускорение.Следующие вопросы иллюстрируют это, а также дают некоторые полезные общие результаты о дифференцировании.

Вопрос T10

В момент времени t положение x объекта, движущегося по прямой линии, определяется как x ( t ) = p + qt + rt 2 где p , q и r — константы. Покажите, что скорость в момент времени t равна v x ( t ) = q + 2 rt .

Ответ T10

x ( t ) = p + qt + rt 2 , следовательно,

x = x ( t + ∆ t ) — x ( t )
x = p + q 900
+ ∆ t ) + r ( t + ∆ t ) 2 p qt rt 2
x 9099 ∆ t + 2 rt (∆ t ) + r (∆ t ) 2

So∆ x / ∆ t = q + 2 rt + r t

, следовательно, $ \ displaystyle \ dfrac {dx} {dt} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left (\ dfrac {\ Delta x} {\ Delta t} \ right) = q + 2rt $

Это скорость v x .

Чтобы найти ускорение этого объекта, мы должны снова дифференцировать.

✦ Если v x ( t ) = q + 2 rt , найдите $ \ dfrac {dv_x} {dt} $.

✧ $ \ displaystyle \ dfrac {dv_x} {dt} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left [\ dfrac {v_x (t + \ Delta t) -v_x (t)} {\ Delta t} \ right ] $

$ \ displaystyle \ phantom {\ dfrac {dv_x} {dt}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left [\ dfrac {q + 2r (t + \ Delta t) -q-2rt} {\ Delta t} \ right] $

$ \ displaystyle \ phantom {\ dfrac {dv_x} {dt}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left (\ dfrac {2r \ Delta t} {\ Delta t} \ right) = 2r $

Если x ( t ) — квадратичная функция

x ( t ) = p + qt + rt 2 (4)

, где p , q и r — константы, тогда

dx / dt = q + 2 rt (5)

и если v x ( t ) является линейной функцией

v x ( t ) = q + 2 rt (6) i

, затем

dv x / dt = a x ( t ) = 2 r (7)

✦ Каковы физические интерпретации констант p , q и r ?

✧ Если мы посмотрим на выражения для x и v x , когда t = 0, мы увидим, что p должно быть начальной позицией x (0) и q должно быть начальной скоростью v x (0).Выражение для dv x / dt показывает, что r составляет половину (постоянного) ускорения.

Поскольку r является константой, мы обнаружили, что тело, положение которого является квадратичной функцией времени, должно двигаться с постоянным ускорением. На самом деле верно и обратное, и положение является квадратичной функцией тогда и только тогда, когда ускорение является постоянным.

Вопрос T11

Если p = −2 м, q = −3 м с −1 , r = 1 м с −2 в уравнениях 4–7, что будет t , когда скорость равна нулю. ?

Ответ T11

Из уравнения 6,

v x ( t ) = q + 2 rt (уравнение 6)

v x ( t ) = 0, когда t = — q /2 r = 1.5 с. Исходное положение, p , не влияет на v x .

Наконец, отметим, что при обсуждении линейного движения обычной практикой является описание местоположения движущегося объекта с точки зрения его смещения на s x ( t ) от его исходного положения x (0). i Таким образом, вместо того, чтобы основывать обсуждение на позиции x ( t ), акцент делается на разнице позиций:

s x ( t ) = x ( t ) — x (0)

Это имеет то преимущество, что когда t = 0, мы обязательно найдем s x (0) = 0.Поскольку x (0) является фиксированной точкой , обязательно будет верно, что $ \ dfrac {ds_x} {dt} = \ dfrac {dx} {dt} $, поэтому в любой момент t скорость движущегося объекта будет

$ v_x (t) = \ dfrac {ds_x} {dt} $ i

Вопрос T12

Движение объекта, движущегося с постоянным ускорением a x вдоль оси x –оси системы координат описывается уравнениями

s x ( t ) = u x t + ½ a x t 2 (8)

v x ( t ) = u x + a x t (9)

, где u x — скорость в момент времени t = 0.Покажите, что уравнение 9 является следствием уравнения 8.

Ответ T12

Поскольку $ v_x (t) = \ dfrac {dx} {dt} $ и s 2 ( t ) является квадратичной функцией, это следует из уравнений 4 и 5:

x ( t ) = p + qt + rt 2 (уравнение 4)

dx / dt = q + 2 rt (уравнение 5)

(или в отличие от основных принципов, как в вопросе T10), что v x = u x + a x t по мере необходимости.

3.6 Производные финансовые инструменты и общие темпы изменений

Рисунок 18 Пружина, выровненная по оси x — оси системы координат.

Мы видели, что и скорость, и ускорение — это скорости изменения во времени. Однако понятие «скорость изменения» имеет более широкое применение и не должно ограничиваться изменением во времени. Например, на рисунке 18 показана пружина, выровненная по оси x –оси системы координат таким образом, что, когда пружина выдвигается так, что ее свободный конец находится под углом x (где x ≥ 0), сила F x (направленная в отрицательном направлении x -), прилагаемая пружиной к ее свободному концу, равна F x ( x ) = — kx , где k — постоянная величина.(На практике такое выражение для F x ( x ) может быть верным в ограниченном диапазоне значений для x .) Если вы хотите знать, насколько сложно будет значительно увеличить расширение вы вполне можете спросить: «Какова скорость изменения F x по отношению к x ?» Другими словами, какова производная от F x ( x ) относительно x ? ‘

dF x / dx вычисляется так же, как dx / dt — изменились только буквы, но не лежащие в основе идеи.Поскольку F x ( x ) = — kx является линейной функцией градиента k , следует, что, dF x / dx = — k . Обратите внимание, что в этом случае x — это независимая переменная , а F x зависимая переменная .

Хотя мы использовали x для представления координаты положения на протяжении большей части этого модуля, нет причин, по которым он всегда должен иметь это значение.Фактически, общепринято использовать букву x для представления общей независимой переменной, в то время как общая зависимая переменная обычно представлена ​​как y . (Именно в этом духе мы называем горизонтальную и вертикальную оси графика осями x и y соответственно.) I

Если мы примем эти общие обозначения и рассмотрим y как функцию от x , тогда, независимо от конкретного значения, которое мы придаем x и y , мы можем определить скорость изменения y с учетом до x на

$ \ displaystyle \ dfrac {dy} {dx} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left (\ dfrac {\ Delta y} {\ Delta x} \ right) = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left [\ dfrac {y (x + \ Delta x) -y (x)} {\ Delta x} \ right] $ (10) i

Помните, что если существует уникальный предел для всех значений x в домене y ( x ), эта процедура определяет функцию — производную функцию y ′ ( x ) — который имеет тот же домен, что и исходная функция.

Вопрос T13

Предположим, что изменение температуры воздуха, T , с высотой, h , задается как T ( h ) = ah + b , где a и b — константы. . Найдите dT / dh , скорость изменения температуры по отношению к высоте. Каковы физические интерпретации констант a и b , и каковы их единицы в системе СИ? ( T измеряется в кельвинах K или градусах Цельсия ° C.)

Рисунок 27 См. Ответ T13.

Ответ T13

График зависимости температуры от высоты (Рисунок 27) является линейным, поэтому dT / dh = a . Физически a — это скорость изменения температуры по отношению к высоте, а b — температура на высоте h = 0. (Выбор, где h = 0, является произвольным и обычно принимается должно быть на уровне моря.) Единицами СИ для и будут К · м −1 или ° C · м −1 (поскольку T уменьшается с увеличением высоты, и будут иметь отрицательный знак) и СИ единицы b будут K или ° C.См. Рисунок 27, на котором имеется градиент a = −2,5 × 10 −3 ° C м −1 .

Вопрос T14

Кинетическая энергия, E кинет , тела массой м , движущегося со скоростью v, равна E кинет ( v ) = ½ mv 2 . Запишите или придумайте выражение для dE kin / dv и объясните его физический смысл.

Ответ T14

Функция E kin ( v ) = ½ mv 2 имеет ту же форму, что и функция x ( t ) = ½ mt 2 и сравнение с Уравнения 4 и 5:

x ( t ) = p + qt + rt 2 (уравнение 4)

dx / dt = q + 2 rt (уравнение 5)

показывает, что в этом случае (с p = q = 0 и r = m /2) dx / dt = mt .

Так dE кин / dv = mv .

Выражение dE kin / dv представляет скорость изменения кинетической энергии относительно скорости.

4.1 Важность дифференциации

Большая часть физики связана с динамическими процессами, связанными с изменениями и развитием. Дифференциальное исчисление — это математика изменений. Поэтому неудивительно, что многие физики сказали бы, что развитие исчисления было самым важным достижением в математике со времен древних греков.Неудивительно и то, что овладение техникой исчисления является важным шагом в развитии каждого физика.

В этом модуле мы в основном касались определений и ограничились рассмотрением дифференцирования линейных и квадратичных функций. На практике физикам редко приходится беспокоиться об ограничениях и таких математических тонкостях, как области и кодомены; они полагаются на знание производных некоторых простых функций и нескольких основных правил, которые позволяют им различать более сложные функции.Вооруженные этими знаниями, они могут использовать дифференциацию для решения удивительного круга проблем, которые в противном случае были бы весьма трудноразрешимыми. Эти более широкие навыки и их приложения являются предметом других модулей FLAP .

5.1 Обзор модуля

1

В линейном перемещении положение движущегося объекта может быть задано одной координатой положения x в любое время t .

2

( мгновенная ) скорость v x объекта в линейном движении — это скорость изменения его координаты положения относительно времени.

3

При линейном перемещении график x против t называется графиком положение – время . Градиент касательной к такому графику при любом конкретном значении t определяет (мгновенную) скорость движущегося объекта в это время. Скорость постоянна тогда и только тогда, когда график положение – время представляет собой прямую линию.

4

( мгновенное ) ускорение a x объекта в линейном движении — это скорость изменения его скорости во времени.

5

При линейном движении график v x против t называется графиком скорость – время . Градиент касательной к такому графику при любом конкретном значении t определяет (мгновенное) ускорение движущегося объекта в это время. Ускорение является постоянным тогда и только тогда, когда график скорость – время представляет собой прямую линию.

6

Если одно значение зависимой переменной x может быть связано с каждым значением независимой переменной t в некотором заданном домене, то мы говорим, что x является функцией из t , и мы говорим функции x ( t ) (произносится как « x из t »).

7

Учитывая функцию x ( t ), скорость изменения x относительно t при любом конкретном значении t определяется как

$ \ displaystyle \ dfrac {dx} {dt} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left (\ dfrac {\ Delta x} {\ Delta t} \ right) = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left [\ dfrac {x (t + \ Delta t) -x (t)} {\ Delta t} \ right] $ (уравнение 1)

Если для всех значений t существует уникальный предел в некотором домене, то эта формула определяет функцию, называемую производной или производной функцией , записанной x ′ ( t ) или $ \ dfrac {dx} {dt} (t) $.

8

Значение производной dx / dt функции x ( t ) при любом заданном значении t равно градиенту касательной к графику x относительно т при этом значении т .

9

При линейном движении координата положения движущегося объекта может рассматриваться как функция времени и записываться как x ( t ).Для такого объекта:

v x ( t ) = dx / dt = скорость изменения координаты положения относительно времени

a x ( t ) = dv x / dt = скорость изменения скорости во времени

10

Обычно, если y является функцией x , производная dy / dx описывает скорость изменения y по отношению к x .

Если y ( x ) является линейной функцией y ( x ) = ax + b , то dy / dx = a

Если y ( x ) — квадратичная функция y ( x ) = ax 2 + bx + c , то dy /991 = 2 ось + b

5.2 достижения

Завершив этот модуль, вы должны уметь:

A1

Определите термины, которые выделены жирным шрифтом и помечены на полях модуля.

A2

Нарисуйте графики положение – время и скорость – время.

A3

Поймите взаимосвязь между скоростью изменения и градиентами касательных и то, как они могут быть аппроксимированы градиентами хорд.

A4

Интерпретировать градиент касательной к графику положение – время или скорость – время как скорость или ускорение соответственно.

A5

Распознавайте линейный график положения и времени как описывающий постоянную скорость, а линейный график скорость – время как описывающий постоянное ускорение.

A6

Знайте определение производной как предела и дайте графическую интерпретацию этого определения.

A7

Используйте определение производной как предел для вычисления производных линейных и квадратичных функций.

A8

Запишите выражение для производной заданной линейной или квадратичной функции.

A9

Выразите скорость и ускорение как производные для случая линейного движения и решите простые задачи линейного движения.

A10

Интерпретировать скорость изменения в терминах производной одной величины по отношению к другой.

5.3 Выходной тест

Вопрос E1 ( A2 и A9 )

Нарисуйте примерно график положения и времени камня, выпущенного из состояния покоя на высоте 10 м над землей.Возьмите вниз как положительное направление x и обратите внимание, что (без учета сопротивления воздуха) такой камень имеет постоянное ускорение a x = 9,8 м с −2 . (Возьмите начало координат за начальное положение камня.)

Рисунок 28 См. Ответ E1.

Ответ E1

Из уравнения 4,

x ( t ) = p + qt + rt 2 (уравнение 4)

с p = q = 0 и r = a x /2 x ( t ) = a x t /2

Соответствующий график положения и времени показан на Рисунке 28.

(Перечитайте подраздел 2.1, подраздел 2.1 и подраздел 3.53.5, если у вас возникли трудности с этим вопросом.)

Вопрос E2 ( A4 )

На рисунке 19 показан график положения и времени пяти различных тел, каждое из которых движется с разной постоянной скоростью. Если предположить, что координаты и временные шкалы в каждом случае одинаковы:

(a) Расположите тела в порядке увеличения скорости.

(b) Какое тело имеет наибольшую скорость?

(c) Какое тело имеет наименьшую скорость?

Рисунок 19 См. Вопрос E2.

Ответ E2

(a) Чем круче график, тем больше изменение положения в заданный интервал времени и, следовательно, больше скорость. Итак, с точки зрения увеличения скорости порядок: B, A, C, E, D.

(b) Графики C и D имеют положительный градиент (поскольку x увеличивает при увеличении t ). Градиент D больше (т.е. более положительный), чем C, поэтому D имеет наибольшую скорость из пяти.

(c) Графики A и E имеют отрицательный градиент (поскольку x уменьшается, , когда t увеличивается).Градиент E более отрицательный, чем A, поэтому E имеет наименьшую скорость из пяти.

(Перечитайте подраздел 2.2, если у вас возникли трудности с этим вопросом.)

Таблица 5 См. Вопрос E3.
Время / с Позиция / м
0,0 0,00
0,1 0,05
0,2 0,20
0,3 0,40
0.4 0,80
0,5 1,20
0,6 1,80
0,7 2,40
0,8 3,20

Вопрос E3 ( A2 и A3 )

В таблице 5 показаны измерения положения и времени шара, падающего из состояния покоя под действием силы тяжести.

(a) Постройте график положения и времени.

(b) Используя график, определите мгновенную скорость при 0.2 с.

(c) Повторите процедуру через 0,6 с.

Рисунок 29 См. Ответ E3.

Ответ E3

(a) На рисунке 29 показан график положения и времени, касательные нанесены на точках 0,2 и 0,6 с.

(b) Скорость при 0,2 с = градиент при 0,2 с = (1,4 м — 0 м) / (0,8 с — 0,1 с) = (1,4 м) / (0,7 с) = 2 м с −1 .

(c) Скорость при 0,6 с = градиент при 0,6 с = (3,0 м — 0 м) / (0,8 с — 0,3 с) = (3,0 м) / (0,5 с) = 6 м с −1 .

(Перечитайте подраздел 2.2, если у вас возникли трудности с этим вопросом.)

Вопрос E4 ( A2 , A3 и A5 )

Дайте определение термину скорость и объясните два метода получения мгновенной скорости из графика положения и времени.

Ответ E4

Скорость — это скорость изменения позиции. Мгновенная скорость — это градиент касательной к кривой положение-время в конкретный момент времени, и ее можно получить с помощью:

(a) рисование касательной и вычисление ее градиента.

(b) аппроксимация касательной хордами, вычисление градиентов хорд и принятие предела по мере приближения хорд к касательной.

(Перечитайте подраздел 2.2, подраздел 2.2, подраздел 3.13.1 и подраздел 3.43.4, если у вас возникли трудности с этим вопросом.)

Вопрос E5 ( A5 и A6 )

Запишите определение производной как предел и используйте его, чтобы найти dx / dt , когда:

(a) x ( t ) = 3 t + 6, (b) x ( t ) = 6 t 2 + 4 t

Ответ E5

$ \ displaystyle \ dfrac {dx} {dt} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left (\ dfrac {\ Delta x} {\ Delta t} \ right) = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ left [\ dfrac {x (t + \ Delta t) -x (t)} {\ Delta t} \ right] $

(a) ∆ x = x ( t + ∆ t ) — x ( t ) = 3 ( t + ∆ t ) + 6 — (3 т + 6) = 3 (∆ т )

So∆ x / ∆ t = 3 и, следовательно, dx / dt = 3.

(b) ∆ x = x ( t + ∆ t ) — x ( t ) = 6 ( t + ∆ t ) 2 + 4 ( t + ∆ t ) — (6 t 2 + 4 t ) = 12 t (∆ t ) + 6 (∆ т ) 2 + 4 (∆ т )

Таким образом, ∆ x / ∆ t = 12 t + 6 t + 4 и, следовательно, dx / dt = 12 t + 4.

(Перечитайте подраздел 3.2, подраздел 3.2, подраздел 3.33.3 и подраздел 3.43.4, если у вас возникли трудности с этим вопросом.)

Вопрос E6 ( A7 )

Используйте формулы для производной линейных и квадратичных функций, чтобы записать производные по t : i

(a) x ( t ) = −14 + 7 t -3 t 2 , (b) x ( t ) = (5 t ) + 7) (2 t — 6), (c) x ( t ) = uxt — ½ gt 2 где u x и g являются константами.

Ответ E6

(a) Если x ( t ) = −14 + 7 t -3 t 2 , то dx / dt = 7-6 t .

(b) Если x ( t ) = (5 t + 7) (2 t -6) = 10 t 2 -16 t -42, то dx / dt = 20 t −16.

(c) Если x ( t ) = u x t — ½ gt 2 , где u x и g константы, то dx / dt = u x gt .

(Перечитайте подраздел 3.2, подраздел 3.2, подраздел 3.33.3 и подраздел 3.53.5, если у вас возникли трудности с этим вопросом.)

Вопрос E7 ( A7 и A8 )

Если x ( t ) = p qt + rt 2 , найдите ускорение в момент времени t = 2 с, если p = 13 м, q = 11 м с −1 , r = 7 м с −2 .

Ответ E7

Скорость составляет v x ( t ) = dx / dt = — q + 2 rt , а ускорение — a x ( ) = dv x / dt = 2 r = 14 м с −2 для всех значений t

(Перечитайте подраздел 3.2, подраздел 3.2, подраздел 3.33.3 и подраздел 3.53.5, если у вас возникли трудности с этим вопросом.)

Вопрос E8 ( A9 )

Площадь A окружности с радиусом r равна πr 2 .

(а) Что означает dA / dr ? Найдите выражение для dA / dr .

(b) Запишите выражение для разницы, D , между площадью квадрата со стороной 2 r и окружности радиуса r .

(c) Найдите выражение для dD / dr и интерпретируйте его.

Ответ E8

(a) dA / dr — скорость изменения площади относительно радиуса. dA / dr = 2 πr , что показывает, что площадь увеличивается со скоростью, линейно пропорциональной радиусу.

(b) Разница, D , между площадью квадрата со стороной 2 r и окружности радиуса r может быть выражена как

D ( r ) = 4 r 2 πr 2 = (4- π ) r 2

(c) dD / dr = 8 r — 2 πr = 2 (4- π ) r .Это всегда положительно и увеличивается с увеличением r . Следовательно, разница между этими двумя областями также увеличивается со скоростью, линейно пропорциональной радиусу.

(Перечитайте подраздел 3.5, 3.5 и 3.63.6, если у вас возникли трудности с этим вопросом.)

(PDF) Зависящая от времени проблема маршрутизации транспортных средств с гибкостью маршрута

Правительство Пекина, 2015 г. Строительство и жизнеобеспечение города Пекина в 2014 г .: Пробки на дорогах.

http://zhengwu.beijing.gov.cn/gzdt/bmdt/t1379770.htm, на китайском языке, последний доступ 30 декабря 2015 г.

Bektas¸, T., Laporte, G., 2011. Загрязнение- проблема маршрутизации. Транспортные исследования, Часть B: Методологические 45 (8), 2343–2350.

Brodal, G. S., Jacob, R., 2004. Зависящие от времени сети как модели для выполнения быстрых точных запросов к таблице времени. Электронные заметки по теории

Компьютерные науки 92, 3–15.

Китайская федерация логистики и закупок, 2014 г.Почему стоимость логистики в Китае высока?

http://www.chinawuliu.com.cn/zixun/201402/27/283124.shtml, на китайском языке, последний доступ 27 января 2015 г.

Dabia, S., Demir, E., Van Woensel, T ., 2016. Точный подход к варианту задачи о маршрутизации загрязнения. Транспортная наука, 1–22.

Дене, Ф., Омран, М. Т., Сак, Дж.-Р., 2012. Кратчайшие пути в сетях FIFO, зависящих от времени. Algorithmica 62 (1–2), 416–435.

Демир Э., Бекташ Т., Лапорт Г., 2012.Эвристика адаптивного поиска больших окрестностей для задачи маршрутизации загрязнения. Европейский журнал

Operational Research 223 (2), 346–359.

Демир, Э., Бекташ, Т., Лапорт, Г., 2014a. Проблема двухцелевого маршрута загрязнения. Европейский журнал операционных исследований 232 (3), 464–478.

Демир, Э., Бекташ, Т., Лапорт, Г., 2014b. Обзор недавних исследований экологичных грузовых автомобильных перевозок. Европейский оперативный журнал

Research 237 (3), 775–793.

Эглезе, Р., Маден, В., Слейтер, А., 2006. Дорожное расписание, помогающее прокладывать маршруты и планировать движение транспортных средств. Компьютеры и исследования операций 33 (12),

3508–3519.

Эмке, Дж., Кэмпбелл, А., Томас, Б., 2016a. Подходы на основе данных для маршрутов с минимизацией выбросов в городских районах. Компьютеры и операции

Исследования 67, 34–47.

Эмке, Дж., Кэмпбелл, А., Томас, Б., 2016b. Маршрутизация транспортных средств для минимизации зависящих от времени выбросов в городских районах. Европейский журнал операций —

,

251 (2), 478–494.

Ehmke, J., Steinert, A., Mattfeld, D., 2012. Расширенная маршрутизация для городских поставщиков логистических услуг на основе времени в пути. Журнал

Computational Science 3 (4), 193–205.

Erdo

gan, S., Miller-Hooks, E., 2012. Проблема маршрутизации зеленого транспорта. Транспортные исследования, Часть E: Обзор логистики и транспорта 48 (1),

100–114.

Фиглиоцци, М., 2011. Влияние заторов на зависящие от времени городские грузовые распределительные сети уровни выбросов CO2: результаты исследования случая

в Портленде, штат Орегон.Транспортные исследования, часть C: Новые технологии 19 (5), 766–778.

Флейшманн, Б., Гитц, М., Гнутцманн, С., 2004. Изменяющееся во времени время в пути при маршрутизации транспортных средств. Транспортная наука 38 (2), 160–173.

Franceschetti, A., Honhon, D., Van Woensel, T., Bektas¸, T., Laporte, G., 2013. Задача маршрутизации загрязнения, зависящей от времени. Транспорт

Исследование, часть B: Методологические 56, 265–293.

Garaix, T., Artigues, C., Feillet, D., Josselin, D., 2010.Проблемы с маршрутизацией транспортных средств с альтернативными путями: приложение для перевозки по требованию.

Европейский журнал операционных исследований 204 (1), 62–75.

Гавиш, Б., Грейвс, С., 1981. Планирование и маршрутизация в системах транспортировки и распределения: формулировки и новые релаксации. Рабочий документ

, серия

, № 8202, Рочестерский университет.

Gendreau, M., Ghiani, G., Guerriero, E., 2015. Проблемы маршрутизации, зависящие от времени: обзор. Компьютеры и исследования операций 64, 189–197.

Ghiani, G., Guerriero, E., 2014. Заметка о модели времени путешествия Ichoua, Gendreau, and Potvin (2003). Транспортная наука 48 (3), 458–462.

Хикман, А. Дж., Хассель, Д., Жумар, Р., З., С., Соренсон, С., 1999. MEET-методология расчета выбросов от транспорта и потребления энергии —

. Технический отчет 3011746, Транспортная исследовательская лаборатория.

Хилл, А. В., Бентон, В. К., 1992. Моделирование внутригородских зависящих от времени скоростей движения для задачи планирования транспортных средств.Журнал Operational

Research Society 43 (4), 343–351.

Ичуа, С., Жендро, М., Потвин, Дж., 2003. Диспетчеризация транспортных средств с зависящим от времени временем в пути. Европейский журнал операционных исследований

144 (2), 379–396.

Infrastructure Australia, 2015. Аудит инфраструктуры в Австралии: проблемы нашей инфраструктуры. http://infrastructureaustralia.gov.au/policy-

публикации / публикации / Australian-Infrastructure-Audit.aspx, последний доступ 28 августа 2015 г.

39

5 Коробки передач | Стоимость, эффективность и внедрение технологий экономии топлива для легких транспортных средств

EPA / NHTSA. 2010. Документ о совместной технической поддержке: разработка правил для установления стандартов выбросов парниковых газов для легковых автомобилей и корпоративных стандартов средней экономии топлива, апрель.

EPA / NHTSA. 2012. Документ о совместной технической поддержке, Заключительное нормотворчество на 2017–2025 гг. Стандарты выбросов парниковых газов малой мощности и корпоративные стандарты средней экономии топлива.EPA-420-R-12-901.

Эрикссон, Л., и Л. Нильсен. 2014. Моделирование и управление двигателями и трансмиссиями (автомобильная серия). John Wiley & Sons, SAE International, апрель.

Гарофало, Ф., Л. Глиельмо, Л. Яннелли и Ф. Васка. 2001. Плавное включение сухого автомобильного сцепления. Труды 40-й конференции IEEE по решениям и контролю, Орландо, Флорида, декабрь: 529-534.

Gartner, L. и M. Ebenhock. 2013. АКПП ZF 9HP48 Система трансмиссии, конструкция и механические детали.SAE Int. J. Passeng. Машины — мех. Syst. 6 (2): 908-917. DOI: 10.4271 / 2013-01-1276.

Говиндсвами К., К. Бэйли и Т. Д’Анна. 2013. Выбор правильной архитектуры передачи с учетом приемлемости клиентов. SAE Int. Вебинар, 18 сентября.

Gracey & Associates. нет данных Доза вибрации: определения, термины, единицы и параметры. Акустический глоссарий. http://www.acoustic-glossary.co.uk/vibration-dose.htm.

Греймел, Х. 2014. Генеральный директор ZF: Мы не гонимся за 10 скоростями.Автомобильные новости, 23 ноября.

Guzzella, L. и A. Sciarretta A. 2007. Двигательные системы транспортных средств: Введение в моделирование и оптимизацию, третье издание. Springer.

Хили, Дж. И К. Вудьярд. 2013. GM и Ford совместно разрабатывают 10-ступенчатые коробки передач. USA Today, 15 апреля.

Kiencke, U., and L. Nielsen. 2000. Автомобильные системы управления. Springer, SAE International.

Ким Д., Х. Пэн, С. Бай и Дж. М. Магуайр. 2007. Управление интегрированной трансмиссией с электронной дроссельной заслонкой и автоматической коробкой передач.IEEE Transactions по технологии систем управления 15 (3), май.

Ли, Б. 2010. Система отключения полного привода. СИМПОЗИУМ Schaeffler 2010: 360-64. http://www.schaeffler.com/remotemedien/media/_shared_media/08_media_library/01_publications/schaeffler_2/symposia_1/downloads_11/Schaeffler_Kolloquium_2010_27_en.pdf.

Мартин, К. 2012. Развитие эффективности передачи. Симпозиум SAE по трансмиссиям и трансмиссиям: конкуренция за будущее, 17-18 октября. Детройт, штат Мичиган.

Моавад А. и А. Руссо. 2012. Влияние передающих технологий на топливную эффективность — Заключительный отчет. DOE HS 811 667, август.

Ngo, V.-D., A. Jose, C. Navarrete, T. Hofman, M. Steinbuch и A. Serrarens. 2013. Оптимальные стратегии переключения передач для экономии топлива и управляемости. Proc. IMechE Часть D, Журнал автомобильной инженерии 227 (10): 1398-1413, октябрь.

Ноулз, Дж. 2013. Разработка трансмиссионных жидкостей, обеспечивающих повышенную топливную эффективность за счет отображения реакции трансмиссии на изменения вязкости и присадок.Презентация на симпозиуме SAE Transmission & Driveline, Трой, Мичиган, 16-17 октября. http://www.sae.org/events/ctf/2013/2013_ctf_guide.pdf.

NSK Europe. 2014. Новое уплотнение TM-Seal с низким коэффициентом трения для автомобильных трансмиссий. http://www.nskeurope.com/cps/rde/dtr/eu_en/nsk_innovativeproduct_IP-E-2066.pdf.

О, Дж. И С. Чой. 2014. Оценка передаваемого крутящего момента на каждом сцеплении для наземных транспортных средств с коробками передач с двойным сцеплением в реальном времени. IEEE / ASME Transactions по мехатронике, февраль.

Пауэлл, Б., Дж. Куинн, В. Миллер, Дж. Эллисон, Дж. Хайнс и Р. Билс. Замена магнием алюминиевых литых компонентов в серийном двигателе V6 для эффективного снижения массы. http://energy.gov/sites/prod/files/2014/03/f8/deer10_powell.pdf. По состоянию на 13 апреля 2015 г.

Ricardo, Inc. 2011. Компьютерное моделирование технологий легковых автомобилей для сокращения выбросов парниковых газов в период 2020-2025 годов. Агентство по охране окружающей среды США, EPA-420-R-11-020.

Шерман, Д. 2013. Трансмиссии CVT. Автомобиль и водитель, декабрь. http://www.caranddriver.com/features/how-cvt-transmissions-are-getting-their-groove-back-feature.

Shidore, N. et. al. 2014. Влияние передовых технологий на цели двигателей. Проект VSS128, Обзор заслуг Министерства энергетики США, июнь.

Шулвер, Д. 2013. Снижение расхода топлива благодаря оптимизированной технологии трансмиссионных насосов. Презентация на симпозиуме SAE Transmission & Driveline, Трой, Мичиган, 16-17 октября.http://www.sae.org/events/ctf/2013/2013_ctf_guide.pdf.

Skippon, S.M. 2014. Как водители-потребители понимают характеристики транспортных средств: последствия для электромобилей. Транспортные исследования, часть F: Психология дорожного движения и поведение 23: 15-31.

Ф. Васка, Л. Яннелли, А. Сенаторе и Г. Реале. 2011. Оценка передаваемого крутящего момента при включении сухого автомобильного сцепления. IEEE / ASME Transactions по мехатронике 16 (3): 564-573, июнь.

У. Вагнер, Р. Бергер, М.Эрлих и М. Хомм. 2006. Электромоторные приводы для коробок передач с двойным сцеплением. Материалы 8-го симпозиума LuK.

ZF. 2013. Движение и мобильность. Корпоративный отчет ZF. Фридрихсхафен, Германия.

Zoppi, M., C. Cervone, G. Tiso, and F. Vasca. 2013. Программное обеспечение в модели контура и управления разъединением для автомобильных трансмиссий с двойным сцеплением. 3-я Международная конференция по системам и контролю, Алжир, Алжир, октябрь.

Страница не найдена | MIT

Перейти к содержанию ↓

  • Образование
  • Исследовать
  • Инновации
  • Прием + помощь
  • Студенческая жизнь
  • Новости
  • Выпускников
  • О MIT
  • Подробнее ↓

    • Прием + помощь
    • Студенческая жизнь
    • Новости
    • Выпускников
    • О MIT

Меню ↓

Поиск

Меню

Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали!
Попробуйте поискать что-нибудь еще!

Что вы ищете?

Увидеть больше результатов

Предложения или отзывы?

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.