Модули векторов: Модуль вектора — урок. Геометрия, 9 класс.

Длина вектора — как найти? Формулы и примеры

Сегодня мы поговорим с вами о таких понятиях, как вектор и его длина. Эти термины достаточно популярны в алгебре, геометрии и физике. С их помощью можно решать как очень легкие задачи, так и комплексные с разными физическими величинами и математическими правилами. Сложная ли эта тема? Нет, совсем несложная, но очень и очень важная, поэтому мы посвятим сегодняшнюю статью ей. Приятного чтения!

Что такое векторы и какими они бывают

Как обычно, мы начнем с самого важного: с определения.

Вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Вектор обозначают знаком →, например . Как вы заметили, вектор можно выразить одной латинской буквой, а можно — сочетанием двух букв, которыми мы назовем точками начала и конца вектора.

Нулевой вектор — вектор, начало которого совпадает с его концом. Обозначается он так: .

Как вы уже знаете, векторы бывают коллинеарными и неколлинеарными, сонаправленными и противоположно направленными. Теперь давайте подумаем, что объединяет все виды векторов без исключения. Правильно, у всех есть длина! О том, что это такое, мы и поговорим дальше.

Демо урок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Длина вектора

Длиной или модулем вектора называется длина направленного отрезка, определяющего вектор.

Иногда в математике длину вектора называют модулем. Это легко запомнить, так как длина вектора обозначается с помощью знака | |. Например: . Альтернативное название длины вектора дает нам отличную подсказку: она не может быть отрицательной, в какую бы сторону вектор ни был направлен. А вот нулевой — пожалуйста!

Длина нулевого вектора всегда равна нулю.

Здесь вам может стать интересно, зачем нам нужно знать, как найти длину вектора, и это очень хороший вопрос. Причин может быть множество, но мы выделим несколько главных:

  1. Чтобы определить равенство векторов, необходимо знать их длины. Векторы являются равными, если равны их длины, и сами векторы — сонаправленные.

  2. Вычислив модуль вектора, мы можем рассчитать другие величины.

  3. Например, в физике сила — это векторная величина, т. е. имеет направление. Если вычислить модуль силы, мы можем рассчитать массу тела, его ускорение и т. д.

  4. В геометрии с помощью длины векторов мы можем определить угол между ними, их скалярное произведение.

Достаточно весомые аргументы для нахождения этой величины, правда? Самое время перейти от слов к делу: давайте научимся вычислять длину вектора через свои координаты!

Как можно найти длину вектора по его координатам

Используя прямоугольную систему координат, нарисуем вектор АВ (х, у) из точки (0; 0). Тогда его можно будет считать радиус-вектором для векторов АВ1 и АА1.

Давайте обозначим длину вектора |АВ1| = у, длину вектора |АА1| = х. Треугольники АА1В и АВ1В являются прямоугольными, где АВ — гипотенуза. Теперь вспомните, как можно найти длину гипотенузы, зная длины катетов. Верно, через теорему Пифагора! Составим выражение для АВ:

Это значит, чтобы найти длину вектора нужно взять квадратный корень из суммы квадратов его координат. В общем виде эту формулу для длины вектора записывают так — длина вектора :

Если мы будем рассматривать векторы в трехмерном пространстве, формулу нахождения длины вектора можно рассчитать так:

Давайте разберемся, как работают эти формулы для нахождения длины вектора, на примерах. Вы можете решать задания самостоятельно, а потом свериться с нами: так будет еще эффективнее!

Пример № 1

Найдите модуль вектора .

Решение:

Ответ:

Пример № 2

Проведите вычисление длины вектора по его координатам {-2; 0; 5}.

Решение:

Ответ:

Пример № 3

Определите координату х вектора , если его координата по у равна 6, а длина вектора 10.

Решение:

,

,

,

.

,

,

,

.

Ответ: .

Уверены, что у вас все блестяще получилось!

Как найти длину вектора по двум точкам

Давайте подумаем, как решать задачи, если нам не даны координаты вектора. Для этого нужно понять, как найти длину вектора по двум точкам — координатам начала и конца. Вспомним: координаты вектора с точкой А (х_а; у_а) и В (х_в; у_в) можно рассчитать так: (х_в – х_а; у_в – у_а). А значит, длину вектора мы определим, если подставим эти выражения в формулу для ее нахождения:

Пример № 4

Найти длину вектора , если В (4; 6), С (-2; 0).

Решение:

Ответ:

Как найти длину вектора по теореме косинусов

Пришло время разобраться, как длина вектора связана с теоремой косинусов. К сожалению, не во всех задачах дано нужное количество информации, чтобы определить длину вектора — тут-то нам и поможет теорема. Вспомним ее!

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Итак, чтобы определить длину стороны треугольника, нужно сложить квадраты двух других сторон, вычесть удвоенное произведение длин сторон на косинус угла между ними и взять корень из полученного числа. Так мы получим формулу нахождения длины вектора через теорему косинусов.

Предположим, что нам необходимо узнать длину вектора или . Тогда, чтобы воспользоваться теоремой косинусов, нам нужно найти длину векторов и и угол между ними.

Пример № 5

Длины векторов и равны 5 и 12 соответственно, а угол между ними равен π/3. Проведите вычисление длины вектора .

Решение:

Ответ:

Сегодня мы обсудили с вами все основные моменты, которые касаются длины вектора: изучили теорию и дополнили ее базовыми задачами. Дело осталось за малым — выучить весь материал и практиковаться! В этом вам помогут курсы по профильной математике в школе Skysmart. Уникальная платформа, учителя-профессионалы, индивидуальная программа — уроки просто созданы для того, чтобы стать уверенными в математике. Ждем вас на занятиях и до новых встреч!

 

Шпаргалки по математике родителей

Все формулы по математике под рукой

Понятие вектора. Задачи 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Определение понятия вектора

 

Многие физические величины характеризуются не только числом, но и направлением. Например, скорость, сила и т.д. Такие величины называются векторными величинами, или векторами. Нам необходимо ввести понятие вектора, понятие равенства векторов, определить правила сложения векторов, умножения вектора на число и т.д.

 

Итак, начнем с определения. Пусть задан отрезок АВ, и он имеет конкретную длину. Если считать, что точка А – это начало отрезка, а точка В – его конец, получаем направленный отрезок, который и будет называться вектором АВ (см. Рис. 1).

Рис. 1

Имеем право назвать данный вектор одной буквой, в таком случае .

При работе с векторами обязательно нужно ставить стрелки или черточку над именем вектора.

Определение

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая концом, называется направленным вектором или отрезком.

Теперь если мы знаем, что вектор  обозначает какую-то силу, то мы знаем, куда эта сила направлена и какова она по величине.

Мы ввели понятие вектора, теперь нужно определить равенство векторов.

Представим шоссе, по которому машины в соседних рядах едут с разными скоростями.

Пусть первая машина едет со скоростью , скорость второй в два раза больше, то есть , скорость третьей еще больше, и т.д. (см. Рис. 2).

Рис. 2

Таким образом, рассмотрим вектора, лежащие на параллельных прямых. Такие вектора носят название коллинеарные. Машины на встречной полосе едут в обратную сторону с произвольной скоростью, не важно, большой или малой, но все равно и эти векторы будут коллинеарными заданным, так как те и другие лежат на параллельных прямых.  

 

Коллинеарные векторы

 

 

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых. Нулевой вектор, то есть вектор нулевой длины, считается коллинеарным любому вектору.

 

Если мы имеем векторы  и , лежащие на параллельных прямых, они могут быть сонаправленными или противонаправленными (см. Рис. 3, 4).

Векторы  и  коллинеарны противонаправлены:

Рис. 3

Векторы  и  коллинеарны сонаправлены:

Рис. 4

Теперь если заданы векторы  и , они коллинеарны и сонаправлены и длины их равны, то мы имеем равные векторы.

 

Понятие равенства векторов

 

 

Векторы называются равными, если они сонаправлены и длины их равны.

 

Длина вектора называется модулем и обозначается так: .

Итак, из определения равенства векторов мы получаем:

.

Пример 1 – задача 738: отметьте точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Постройте все ненулевые векторы, начало и конец которых совпадают с двумя из этих точек, выпишите эти векторы, укажите их начало и конец.

Соединим точки А и В, получаем вектор , А – начало, В – конец, аналогично получаем вектора  и .

Поменяем для вектора  начало и конец между собой, получим вектор , В – начало, В – конец, аналогично получаем вектора  и  (см. Рис. 5).

Рис. 5

Данная задача показывает нам, что любые две точки могут быть соединены отрезком, и если в нем выбрать начало и конец, мы получим вектор.

Пример 2 – задача 749: точки S и T являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции. Равны ли векторы  и ? Векторы  и ? Векторы  и ? Векторы  и ?

Напомним, что вектор – это направленный отрезок, а все ранее изученные нами фигуры – треугольники, четырехугольники, в частности, трапеции, состоят из отрезков, каждый из которых можно представить, как вектор.

Согласно условию, трапеция равнобедренная, отсюда .

Стороны NL и MK параллельны как основания трапеции (см. Рис. 6). Если векторы направлены по этим прямым, то они называются коллинеарными, они могут быть сонаправленными либо противонаправленными.  

Рис. 6

Очевидно, что векторы  и  не равны, так как они даже не коллинеарны – не принадлежат параллельным прямым (см. Рис. 7).

Векторы  и  коллинеарны, т.к. принадлежат одной прямой – боковой стороне трапеции; данные векторы сонаправлены. Кроме того, в условии сказано, что S – середина MN, отсюда модули векторов равны. Таким образом, данные векторы равны между собой.

Рис. 7

Векторы  и  не равны, хотя их длины одинаковы – трапеция по условию равнобедренная (см. Рис. 8). Но данные два вектора не являются сонаправленными по определению трапеции (трапецией называется такой четырехугольник, у которого две стороны – основания – лежат на параллельных прямых, а две остальных стороны не параллельны).

Рис. 8

Векторы  и  равны, так как Т – середина KL, отсюда , таким образом, модули векторов равны. Также очевидно, что данные векторы коллинеарны – они принадлежат одной прямой, боковой стороне трапеции KL, и сонаправлены.  Таким образом, заданные два вектора равны (см. Рис. 9).

Рис.  9

 

Решение задач

 

 

Пример 3 – задача 751: определить вид четырехугольника ABCD, если , .

 

Данный четырехугольник – ромб. Обоснуем. Мы знаем, что векторы  и  равны, отсюда следует, что равны их модули – то есть длины отрезков, векторы сонаправленны и коллинеарны, то есть принадлежат параллельным прямым, таким образом, заданный четырехугольник – параллелограмм (см. Рис. 10). Данный факт обоснован признаком параллелограмма: если две стороны четырехугольника принадлежат параллельным прямым и длины их равны, то данный четырехугольник –

Рис. 10

параллелограмм. Согласно второму условию, , соседние стороны параллелограмма равны друг другу, а такой параллелограмм является ромбом.

Итак, мы начали изучение большой и важной темы – векторы, то есть такие величины, для которых важна не только величина, но и направление. Мы дали определение вектора, ввели понятие коллинеарных векторов, сонаправленных и противонаправленных векторов. Рассмотрели понятие равенства векторов.

 

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. E-science.ru (Источник).
  2. Oldskola1.narod.ru (Источник).
  3. Webmath.ru (Источник).

 

Домашнее задание

Задание 1: выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изображающие полет самолета сначала на 300 км на юг от города А до В, а потом на 500 км на восток от города В до С. Затем начертите вектор , который изображает перемещение из начальной точки в конечную.

Задание 2: начертите два неколлинеарных вектора  и . Изобразите несколько векторов:

          а) сонаправленных с вектором ;

          б) сонаправленных с вектором ;

          в) противонаправленных вектору ;

          г) противонаправленных вектору ;

Задание 3: начертите два вектора: имеющих равные длины и неколлинеарных; имеющих разные длины и сонаправленных; имеющих равные длины и противонаправленных.

 

 

Измерительные модули CSM – гибкая, точная и надежная технология измерения Этаж 41

Handelskai 94-96

1200 Вена

Vector Austria GmbH

Башня Тысячелетия, Etage 41
Handelskai 94-96

1200 Вена

Vector Austria GmbH

Millennium Tower, Etage 41
Handelskai 94-96

1200 Вена

Vector Austria GmbH

Millennium Tower, Etage 41
Handelskai 94-96

1200 Вена

Штаб-квартира Служба поддержки продажVectorAcademy

Vector Informática Brasil Ltda.

Rua Verbo Divino 1488, 3º andar

4719-904 Сан-Паулу — SP

Vector Informática Brasil Ltda.

Rua Verbo Divino 1488, 3º andar

4719-904 Сан-Паулу — SP

Vector Informática Brasil Ltda.

Rua Verbo Divino 1488, 3º andar

4719-904 Сан-Паулу — SP

Vector Informática Brasil Ltda.

Rua Verbo Divino 1488, 3º andar

4719-904 Сан-Паулу — SP

Штаб-квартира Офис в Пекине Офис в ШэньчжэнеПродажиПоддержкаМаркетинг и мероприятияVectorAcademy

Vector Automotive Technology (Shanghai) Co. , Ltd.

Sunyoung Center
Комната 2701-2703, № 398 Jiang Su Road
Район Чаннин

Шанхай 200050

Vector Automotive Technology (Shanghai) Co., Ltd.

801, 8-й этаж, Indigo Plaza,
№ 20 Jiuxianqiao Road,
Район Чаоян

Пекин 100016

Офис в Шанхае

Sunyoung Center
Комната 2701-2703, No.398 Jiang Su Road
Район Чаннин

Шанхай 200050

Офис в Шанхае

Sunyoung Center
Комната 2701-2703, № 398 Jiang Su Road
Район Чаннин

Шанхай 200050

Офис в Шанхае

Sunyoung Center
Комната 2701-2703, № 398 Jiang Su Road
Район Чаннин

Шанхай 200050

Офис в Шанхае

Sunyoung Center
Комната 2701-2703, No.398 Jiang Su Road
Changning District

Shanghai 200050

Vector Automotive Technology (Shanghai) Co., Ltd.

Комната 1008, Galaxy Development Building, No. 18, Zhongxin 5th Road
Futian District

Shenzhen 518048

Штаб-квартираVector France ToulouseSquoring Technologies SASSalesSupportVectorAcademy

Vector France S. A.S.

106 avenue Marx Dormoy

92120 Montrouge

Vector France S.A.S.

106 проспект Маркса Дормуа

92120 Montrouge

Vector France S.A.S.

106 avenue Marx Dormoy

92120 Montrouge

Vector France S.A.S.

9 Rue Matabiau

31000 Toulouse

Squoring Technologies SAS

9 Rue Matabiau

31000 Toulouse

Телефон: +33 170 952 200

E-mail: [email protected]

Vector France S.A.A.A.A.A.A.A.A.A.A.A.A.A.A.A.A.

106 avenue Marx Dormoy

92120 Montrouge

Главный офисSupportSales

Vector Informatik GmbH

Адрес для посетителей: Holderäckerstr. 36

70499 Штутгарт

Адрес для доставки:
Motorstr. 56
70499 Штутгарт
Германия

Vector Informatik GmbH

Адрес посетителя: Holderäckerstr. 36

70499 Штутгарт

Vector Informatik GmbH

Адрес посетителя: Holderäckerstr. 36

70499 Штутгарт

Главный офисSalesSupportVectorAcademy

Vector GB Ltd.

2480 Риджентс-Корт
Полумесяц
Birmingham Business Park

West Midlands B37 7YE

НДС №: GB 941 2528 36
Зарегистрирован в Англии Номер 06699692

Vector GB Ltd.

2480 Regents Court
Полумесяц
Birmingham Business Park

West Midlands B37 7YE

Vector GB Ltd.

2480 Regents Court
Полумесяц
Бирмингем Бизнес Парк

West Midlands B37 7YE

Vector GB Ltd.

2480 Regents Court
Полумесяц
Birmingham Business Park

West Midlands B37 7YE

Штаб-квартираVector India – офис в Бангалоре Служба поддержкиVectorAcademy

Vector Informatik India Pvt. ООО

№ 11-14, 5-й и 6-й этаж, Тара Хайтс,
Old Mumbai Pune Road, Wakadewadi

Shivaji Nagar, Pune 411003

Vector Informatik India Pvt. ООО

№ 11-14, 5 и 6 этаж, Тара Хайтс,
Old Mumbai Pune Road, Wakadewadi

Shivaji Nagar, Pune 411003

Vector Informatik India Pvt. ООО

№ 11-14, 5-й и 6-й этаж, Тара Хайтс,
Old Mumbai Pune Road, Wakadewadi

Shivaji Nagar, Pune 411003

Vector Informatik India Pvt. Ltd. – офис в Бангалоре

Kalyani Solitaire 2-й и 3-й этаж
№ 165/2, макет Кришна Раджу
Дорайсанипалья, Off Bannerghatta Road

Бангалор 560076

Vector Informatik India Pvt. ООО

№ 11-14, 5-й и 6-й этаж, Тара Хайтс,
Old Mumbai Pune Road, Wakadewadi

Shivaji Nagar, Pune 411003

Штаб-квартираЦентр обслуживания клиентов аэрокосмической отраслиЦентр обслуживания клиентов BrunswickVector Consulting ServicesЦентр разработки в КарлсруэЦентр обслуживания клиентов в МюнхенеЦентр обслуживания клиентов и разработки в РегенсбургеЦентр разработки в МюнхенеОбщие продажиТехнические продажи Решения для встраиваемого программного обеспечения и AUTOSARТестирование для веб-сайтовAUTOSARTechDaysSupport0003

Vector Informatik GmbH

Адрес для посетителей: Holderäckerstr. 36

70499 Stuttgart

Тел.: +49 711 80670-0

Факс: +49 711 80670-111

Электронная почта: [email protected]

9 9016 Motors 56
70499 Stuttgart
Германия

Vector Informatik GmbH

Borsteler Bogen 27

Hamburg

Телефон: +49 40 2020130-0

Fax: +49 4020130130-20

.

Vector Informatik GmbH

Frankfurter Str. 286

38122 Брауншвейг

Телефон: +49 531 121990

Факс: +49 531 12199 20

Эл. 20

70499 Штутгарт

Почтовый адрес:
Ingersheimer Str. 24

Vector Informatik GmbH

Philipp-Reis-Str. 1

76137 Карлсруэ

Телефон: +49721 91430 100

Факс: +49 721 91430 101

Электронная почта: [email protected]

Vector Informatik GmbH

Otto-Hahn-Str. 20

85609 Ашхайм

Тел.: +49 89 94384220

Факс: +49 711 80670-111

Эл. 8

93053 Регенсбург

Телефон: +49 941 208650

Факс: +49 941 20865 111

Электронная почта: [email protected] com

Vector Informatik GmbH

Адрес для посетителей: Holderäckerstr. 36

70499 Stuttgart

Телефон: +49 711 80670 500

Факс: +49 711 80670 555

E-mail: [email protected]

Технические продажи встроенные программное обеспечение и Autosar

. Польдевание для посетителя: Holderäckerstr. 36

70499 Штутгарт

Vector Informatik GmbH

Адрес посетителя: Holderäckerstr. 36

70499 Штутгарт

Телефон: +49 711 80670 200

Факс: +49 711 80670-111

Электронная почта: [email protected]

Часы работы: с понедельника по пятницу с 8:30 до 17:00 (центрально-европейское время).

Vector Informatik GmbH

Адрес для посетителей: Holderäckerstr. 36

70499 Штутгарт

Vector Informatik GmbH

Ingersheimer Str. 24

70499 Штутгарт

Vector Informatik GmbH

Адрес для посетителей: Holderäckerstr. 36

70499 Штутгарт

Vector Informatik GmbH

Адрес для посетителей: Holderäckerstr. 36

70499 Штутгарт

Vector Informatik GmbH

Адрес посетителя: Holderäckerstr. 36

70499 Stuttgart

Телефон: +49 711 80670 4618

Факс: +49 711 80670 499

E-mail: [email protected]

Ваша контакт:
666. и автоматизированные тестовые системы

Vector Informatik GmbH

Baierbrunner Str. 23

81379 Munich

Телефон: +49 89 74 7377-0

Факс: +49 89 74 7377-99

E-mail: [email protected]

Штаб-квартира.

Корсо Семпионе 68

20154 Милан

Vector Italia s.r.l.

Корсо Семпионе 68

20154 Милан

Vector Italia s.r.l.

Корсо Семпионе 68

20154 Милан

Vector Italia s.r.l.

Корсо Семпионе 68

20154 Милан

Штаб-квартира Офис в НагоеОфис в ОсакеПродажи в ТокиоПродажи в НагоеВстраиваемые системы поддержкиПродажиВстроенная поддержкаVectorAcademy

Vector Japan Co. Ltd.

Seafort Square Center Bldg.
2-3-12 Higashi-shinagawa, Shinagawa-ku

Tokyo 140-0002

Vector Japan Co. Ltd.

Global Gate,
4-60-12 Hiraike-cho, Nakamura-ku, Nagoya-shi

Aichi, 453-6110

Vector Japan Co. Ltd.

Shin-Osaka Doi Building No.5
1-2-4 Miyahara, Yodogawa-Ku, Osaka-Shi

Osaka 532-0003

Vector Japan Co. Ltd.

東京 品川 区 東品川 2-3-12 シーフォート センタービル

〒140-0002

Vector Japan Co. Ltd.

愛知 県 名古屋 市 中村区 平池 町 4-60-12 グローバル ゲート

〒453-6110

Vector Japan Co. Ltd.

Seafort Square Center.
2-3-12 Higashi-shinagawa, Shinagawa-ku

Tokyo 140-0002

Vector Japan Co. Ltd.

Tokyo Seafort Square Center Building
2-3-12 Higashi-Shinagawa, Shinagawa-ku

Tokyo 140-0002

Интернет: https://support.vector.com

Часы работы стойки регистрации указаны ниже:
— Телефон 10-12 / 13 -17 (Пн-Пт, кроме выходных)
— Электронная почта, факс / круглосуточно в любое время

    Vector Japan Co. Ltd.

    Seafort Square Center Bldg.
    2-3-12 Higashi-shinagawa, Shinagawa-ku

    Tokyo 140-0002

    Vector Japan Co.Ltd…

    Seafort Square Center Bldg.
    2-3-12 Higashi-shinagawa, Shinagawa-ku

    Tokyo 140-0002

    Штаб-квартираОбщий отдел продажТехнический отдел продаж встроенного программного обеспечения и AUTOSAR KoreaSupportVectorAcademy (Корея)

    Vector Korea IT Inc.

    9F, Yongsan Prugio, Summit 09
    69, Hangang-daero, Yongsan-gu

    Seoul 04378

    Vector Korea IT Inc.

    9F, Yongsan Prugio Summit Office-dong,
    69, Hangang-daero, Yongsan-gu

    Сеул 04378

    Vector Korea It Inc.

    용산구 한강 대로 69 용산 써 밋 업무동

    서울 04378

    Vector Korea It Inc.

    9F, Юнсан Пругио Суммит Долд,
    69, Hangang-daero, Yongsan-gu

    Seoul 04378

    Vector Korea IT Inc.

    602, Yongsan Prugio Summit Office-dong

    Seoul 04378

    HeadquarterSalesSupport

    Vector North America

    66 Bovet Road, Suite 300

    Сан-Матео, Калифорния 94402

    Vector North America

    66 Bovet Road, Suite 300

    Сан -Матео, CA 94402

    Vector North America

    66 Bovet Road, Suite 300

    San Mateo, CA 94402

    . 39500 Орчард Хилл Плейс
    Suite 500

    Нови, Мичиган 48375

    Операционные продажи автомобилей

    Vector North America

    39500 Orchard Hill Place
    Suite 500

    Нови, Мичиган 48375

    Vector North America

    39500 Orchard Hill Place
    Suite 500

    Novi, Michigan 48375

    Телефон: +1 248 449 9290 Опция 1

    Факс: +1 248 449-9704

    Электронная почта: [email protected] 0 0 Северная Америка 90

    3

    Орчард Хилл Плейс
    Suite 500

    Novi, Michigan 48375

    Headquarter SalesSupport

    Vector North America

    1351 South County Trail, Suite 310

    East Greenwich, RI 02818

    Тестирование программного обеспечения для разработки
    Оперативные продажи неавтомотический

    Vector North America

    1351 South County Trail, Suite 310

    East Greenwich, RI 02818

    Штаб-квартира VecScan AB (Linköping) SalesSupportVectorAcademy

    VecScan AB

    Theres Svenssons Gata 9

    417 55 Gothenburg

    VecScan AB

    Theres Svenssons Gata 9

    417 55 Gothenburg

    VecScan AB

    Theres Svenssons Gata 9

    417 55 Gothenburg

    VecScan AB

    Theres Svenssons Gata 9

    417 55 Gothenburg

    VecScan AB

    Teknikringen 9

    SE-583 30 Linköping

    Тел. : +46 (0)13–560 18 17 3 9 6 +

    Факс 18 17 3 96

    Электронная почта: [email protected]

    Показать на карте

    Модуль 26 — Векторы


    На этом уроке вы научитесь определять векторы, использовать различные обозначения для описания векторов и выполнять два типа умножения векторов: скалярное умножение и скалярное произведение. Будут обсуждены единичные векторы и проиллюстрированы векторные проекции.



    Определение векторов

    Величины, которые имеют как величину, так и направление, называются векторами и часто представляются направленными отрезками, как показано ниже.


    Показанный вектор имеет начальную точку в точке O и конечную точку в точке P .


    Представление векторов

    Любой двумерный вектор может быть представлен в виде направленного отрезка с начальной точкой в ​​начале координат, а векторы, имеющие начальную точку в начале координат, могут быть представлены координатами кончика стрелки. Например, вектор, идущий от начала координат к точке (3, 2), представляется с помощью обозначения <3, 2>. Для вектора V = < A , B >, A и B называются или , , 9069, 9069, или , , 9069, или , , 9069, или , , 9069, или , , , или , , или . координата из по .


    Единичные векторы i и j

    Вектор i имеет длину в одну единицу и указывает вдоль положительной оси x и вектора j имеет длину в одну единицу и указывает вдоль положительной оси y . Поскольку векторы i и j имеют длину в одну единицу, они называются единичными векторами . Оба i и j показаны ниже вместе с вектором a , который имеет конечную точку (3, 2).


    Обратите внимание, что a , i и j выделены жирным шрифтом, чтобы показать, что они являются векторами.


    Представление векторов с помощью i и j

    Вектор также может быть представлен с использованием единичных векторов i и j . Например, вектор a = <3, 2> можно записать как


    a = 3 i + 2 j .


    Длина вектора

    Длина или величина любого вектора a = равна

    .

    Длина a = <3, 2> равна

    единицы.


    Скалярное умножение векторов

    Пусть c представляет собой

    Скаляр — это действительное число. У него есть величина, но нет направления.

    скаляр и a представляют вектор, скаляр , кратный c a из a is

    1. вектор, длина которого |c| раз больше длины и
    2. вектор, направление которого

      1. то же, что a , если c положительно и
      2. противоположное направление от до , если c отрицательно.

    Координаты c a находятся путем умножения каждой координаты a на c .


    26.1.1 Что такое скаляр, кратный 2 <3, -1>? Щелкните здесь, чтобы получить ответ.


    Единичный вектор

    Любой вектор, величина которого равна единице, называется единичный вектор . Часто бывает полезно найти единичный вектор, который указывает в том же направлении, что и заданный вектор a . Чтобы найти этот вектор, каждый компонент a делится на величину a .

    Чтобы определить единичный вектор, который указывает в том же направлении, что и a = <3,2>, найдите величину a , а затем умножьте вектор на величину, обратную величине.

    Величина на равна

    , поэтому единичный вектор равен

    .

    26.1.2 Определите единичный вектор, который указывает в том же направлении, что и a = <-2, 5>. Щелкните здесь, чтобы получить ответ.


    Скалярные произведения векторов

    Существует второй тип умножения с участием векторов, называемый 9-кратным.0693 скалярный продукт . Скалярные произведения широко используются в физике. Например, они используются для расчета работы силы, действующей на объект.

    Скалярное произведение двух векторов

    а также

    определяется как


    а · б = а 1 б 1 + а 2 б
    30694 2 .

    То есть скалярное произведение двух векторов представляет собой сумму произведений их соответствующих компонентов. Обратите внимание, что результатом скалярного произведения двух векторов является действительное число , а не вектор.

    26.1.3 Пусть

    а также

    . Вычислите скалярное произведение a · b . Щелкните здесь, чтобы получить ответ.


    Альтернативное определение скалярного произведения

    Скалярное произведение также может быть определено как произведение величины a , величины b и косинуса угла между a и b . Если

    угол между a и b

    .


    Проецирование одного вектора на другой вектор

    Проекцию можно получить, опустив перпендикуляр из начала одного вектора на линию, содержащую другой. Когда два вектора имеют одну и ту же начальную точку, проекция b на a

    1. параллелен и и
    2. имеет длину проекции на b .

    На приведенной ниже диаграмме показана проекция b на a в двух разных случаях. Проекция записывается как proj a b и отображается более темным вектором.


    Компонент b вдоль a

    Величина проекции b на a , |proj a b |, также называется компонентой b вдоль . Он обозначается как comp a b и равен величине b , умноженной на косинус

    , угол между a и b .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *