Метод переброски при решении квадратных уравнений: Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

Содержание

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений



На сегодняшний день перед выпускниками школ стоит главная задача – это успешная сдача итоговой аттестации, ЕНТ и поступление в ВУЗ. В числе обязательных предметов при сдаче государственного экзамена стоит математика. Математика – точная наука, она требует усердия, внимательности и сообразительности. Формулы, теоремы, доказательства и многое другое, должен знать и помнить ученик. Выучить это все не так-то просто, необходимо также уметь применять свои знания. Я выяснила, что в предложенном национальным центром тестирования пособие по предмету «математика» содержится около 25% заданий, решаемых с помощью квадратного уравнения или сводимых к нему. А это значит, что эффективное и удобное использование метода «переброски» поможет значительно сократить время при решении тестирования. Но чаще всего ученик использует формулу дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения. Но зачем идти трудным путем, когда есть легкое решение?! Необходимо рассмотреть метод «переброски», который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы обратной теореме Виета.

Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем:

1)умножаем обе части на выражение:

2)вводим новую переменную y=ax:

.

Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и .

Применение метода «переброски» при решении квадратных уравнений или уравнений сводящихся к ним.

Пример1:Решить уравнение 3х2 + 10x + 7 = 0.

Решение.

Найдем дискриминант по формуле:

D = b2 – 4ac

D = 100 – 4 * 3 * 7= 16

Найдем корни квадратного уравнения по формуле:

х1,2 = (-b ± √D) / 2a

x1,2 = (-10 ± √16) / 2*3; x1= -7/3; x2 = -1;

Выполним «переброску» и решим это же уравнение с помощью теоремы обратной теореме Виета:

y2 + 10y + 3 · 7 = 0;

y2 + 10y + 21 = 0.

По теореме обратной теореме Виета:

у1+у2 = -10;

у1*y2 = 21.

у1 = -7; y2 = -3;

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 3. Получим:

х1 = -7/3; x2 = -3/3.

После сокращения будем иметь x1 = -7/3; x2 = -1.

Ответ: -7/3; -1.

Пример 2: Решить уравнение √3×2 – 5x – √12 = 0.

Решение.

По методу «переброски» будем работать не с исходным, а с новым квадратным уравнением:

у2 – 5y – √12 · √3 = 0;

y2 – 5y – 6 = 0.

Находим числа, сумма которых равна 5, а произведение равно -6.

у1+у2 = 5;

у1*y2 = -6.

у1=6; y2=-1

Тогда исходное уравнение будет иметь корни:

х1= 6/√3; x2 = -1/√3.

В знаменателе уберем иррациональность. Получим:

x1 = 2√3; x2 = -√3/3.

Ответ: 2√3; -√3/3.

Пример 3: Решите квадратное неравенство: 5×2 – 11x +2 › 0

Решение:

Рассмотрим функцию y=5×2 – 11x +2. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Выясним, как расположена эта парабола относительно оси x. Для этого решим уравнение 5×2 – 11x +2 =0.

Применим метод «переброски».

y2 — 11y + 10 =0

y1 = 10; y2 = 1;

Получим:

x1 = 10/5 =2; x2 = 1/5 = 0,2.

Значит, парабола пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны 2 и 0,2.

Покажем схематически, как расположена парабола на числовой прямой

+ +

0,2 2 x

Ответ: (-∞; 0,2) ᵁ (2; +∞).

Пример 4: Решить тригонометрическое уравнение 3sin2x – 7sinx + 4 = 0.

Решение:

3sin2x – 7sinx + 4 = 0

Введем замену.

sinx = t

3t2 – 7t + 4= 0

Применим метод «переброски».

y2 — 7y+ 12 =0

y1=4; y2= 3;

t1 = 4/3; t2 =1;

1) sinx= 4/3;

нет решения, т.к. sinxне принадлежит отрезку [-1;1]

2) sinx=1;

x= π/2 + 2πn; nϵz.

Ответ: x= π/2 + 2πn; n ϵ z

Пример 5: Решить уравнение 4271×2 – 4272x + 1 = 0.

Решение.

По рассматриваемому методу нам необходимо найти числа, сумма которых равна 4272, а произведение 4271 (после «переброски» свободный член равен 1 · 4271 = 4271). Это будут числа 4271 и 1. Тогда получим:

x1 = 4271/4271; x2 = 1/4271.

А после сокращения будем иметь корни x1 = 1; x2 = 1/4271.

Ответ: 1; 1/4271.

Пример 6: Решить уравнение 5sin2x – 8sinxcosx + 3cos2x = 0.

Данное уравнение является однородным, разделим всё уравнение на cos2x (cos2x≠0).

Получим уравнение:

5tg2x – 8tgx + 3 = 0

Заменяем tgx на tи получаем уравнение:

5t2 – 8t + 3 = 0

Применим метод «переброски»:

у2 – 8у+ 15 = 0

Найдем корни квадратного уравнения:

у1= 3; у2=5.

Следовательно,t1= 3/5; t2=5/5=1.

Вернемся к постановке

1) tgx=3/5;

x = arctg3/5 + πn; n ϵ z.

2) tgx=1;

x = π/4 + πn; n ϵ z.

Ответ: x = arctg3/5 + πn; n ϵ z,

x = π/4 + πn; nϵz.

Пример 7: Дана функция y = 2×2-3x+1. Найдите:

a) нули функции;

b) промежутки в которых y>0, y

Чтобы найти нули функции, приравняем данный квадратный трехчлен к нулю и найдем его корни.

2×2-3x+1=0

Применим метод «переброски»:

у2-3у + 2 =0

у1= 2; у2=1, тогда

х1 =2/2=1; х2 =1/2 = 0,5.

Нули функции: х1=1; х2 = 0,5.

Старший коэффициент функции равен 2, а>0, ветви параболы направлены вверх, следовательно, y>0 при хϵ (-∞; 0,5)ᵁ(1; +∞),

y

Рассмотренный метод «переброски» очень эффективен при решении задач и уравнений, он позволяет устно решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений, а не тратить время на вычисление дискриминанта.

Но следует отметить, что этот метод легко применять тем ученикам, которые быстро справляются с решением приведенных уравнений с применением теоремы обратной теореме Виета.

Литература:

  1. «Алгебра» 8 класс – А. Абылкасымова, 2008г. (стр.39-50)
  2. www.tutoronline.ru
  3. «Алгебра» 9 класс Ю. Макарычев, Н. Миндюк, 1990г. (стр. 39-40)
  4. «Алгебра» 8 класс А.Н. Шыныбеков, 2004г. (стр. 83-85)

Основные термины (генерируются автоматически): квадратное уравнение, уравнение, обратная теорема, решение, исходное уравнение, ответ, помощь теоремы.

Решение квадратных уравнений методом переброски

Метод переброски.

Рассмотрим метод, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0;  (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2 = (b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0.  (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b 4ac, т.о. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3  = 0.

Решение.

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6  = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9;  y2 = 2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6;  x2 = 2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = 1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 1 7x – 15 = 0.

Решение.

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение 60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (15) = 60). Это будут числа 20 и 3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4;  x2 = 3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = 3/4.

Ответ: -3/4; 5.

Пример 3.

Решить уравнение 4271x2 4272x + 1 = 0.

Решение.

По рассматриваемому методу нам необходимо найти числа, сумма которых равна 4272, а произведение 4271 (после «переброски» свободный член равен 1 · 4271 = 4271). Это будут числа 4271 и 1. Тогда получим:

x1 = 4271/4271;  x2 = 1/4271.

А после сокращения будем иметь корни x1 = 1; x2 = 1/4271.

Ответ: 1; 1/4271.

Пример 4.

Найти корни уравнения sin4 · x2 – (sin4 + cos4) · x + cos4 = 0.

Решение.

Воспользуемся методом переброски и перепишем данное уравнение следующим образом:

y2 – (sin4 + cos4) · y + sin4 · cos4 = 0.

Теперь решим полученное уравнение с помощью теоремы Виета, т.е. найдем числа, сумма которых равна
sin4 + cos4, а произведение равно sin4 · cos4.
Очевидно, что искомые числа: sin4 и cos4. Значит y1 = sin4 и y2 = cos4. Теперь найдем корни исходного уравнения. Для этого полученные корни y1,2 поделим на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на sin4. Будем иметь

x1 = sin4 / sin4;  x2 = cos4 / sin4. Упростив получим, что x1 = 1;  x2 = ctg4.

Ответ: 1; ctg4.

Пример 5.

Решить уравнение √3x2 5x √12 = 0.

Решение.

По методу «переброски» будем работать не с исходным, а с новым квадратным уравнением:

y2 – 5y√12 · √3 = 0;

y2 – 5y 6 = 0.

Находим числа, сумма которых равна 5, а произведение равно 6.

Легко видеть, что это будут числа 6 и 1. Тогда исходное уравнение будет иметь корни:

x1 = 6/√3;  x2 = 1/√3.

В знаменателе уберем иррациональность. Получим:

x1 = 2√3;  x2 = √3/3.

Ответ: 2√3; -√3/3.

Рассмотренный метод очень эффективен при решении задач, он позволяет устно решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений, а не тратить время на вычисление дискриминанта.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Решение квадратных уравнений методом «переброски»

Решение квадратных уравнений методом «переброски» – а вы владеете этим способом? Нет – давайте учиться, это просто!

Задача 1. Решить уравнение.

   

Уравнение неприведенное, и по коэффициентам не решается. Давайте используем для его решения метод переброски. Для этого «перебрасываем» коэффициент к коэффициенту , и перемножаем их. Получаем новое уравнение:

   

Решение этого уравнения можно найти по теореме Виета: 3 и 6. А корни нашего уравнения (исходного) вдвое меньше, так как перебрасывали мы двойку, поэтому корни исходного уравнения 1,5 и 3.

 

Задача 2. Решить уравнение.

   

Уравнение неприведенное, и по коэффициентам опять не решается. Давайте используем метод переброски. Для этого «перебрасываем» коэффициент к коэффициенту , и перемножаем их. Получаем новое уравнение:

   

Решение этого уравнения можно найти по теореме Виета: 5 и 6. А корни нашего уравнения (исходного) меньше в 10 раз, так как перебрасывали мы десятку, поэтому корни исходного уравнения 0,5 и 0,6.

Задача 3. Решить уравнение.

   

Уравнение неприведенное, и по коэффициентам тоже не решается. Давайте используем метод переброски. Для этого «перебрасываем» коэффициент к коэффициенту , и перемножаем их. Получаем новое уравнение:

   

Решение этого уравнения можно найти по теореме Виета: 2 и 9. А корни нашего уравнения (исходного) меньше в три раза, так как перебрасывали мы тройку, поэтому корни исходного уравнения и 3.

 

Задача 4. Решить уравнение.

   

Уравнение неприведенное, и по коэффициентам не решается. Давайте используем метод переброски. Для этого «перебрасываем» коэффициент к коэффициенту , и перемножаем их. Получаем новое уравнение:

   

Решение этого уравнения можно найти по теореме Виета: -2 и -10. А корни нашего уравнения (исходного) меньше в четыре раза, так как перебрасывали мы четверку, поэтому корни исходного уравнения и -2,5.

 

Задача 5. Решить уравнение.

   

Уравнение неприведенное, по коэффициентам  решается: сумма коэффициентов 0, поэтому корни 1 и .  Давайте, тем не менее, используем метод переброски. Для этого «перебрасываем» коэффициент к коэффициенту , и перемножаем их. Получаем новое уравнение:

   

Решение этого уравнения можно найти по теореме Виета: -4 и 3. А корни нашего уравнения (исходного) меньше в три раза, так как перебрасывали мы тройку, поэтому корни исходного уравнения и 1.

 

Задача 6. Решить уравнение.

   

Решите его сами с использованием данного метода.

Ответ: Показать

 

Задача 7. Решить уравнение.

   

Решите его сами с использованием данного метода.

Ответ: Показать

 

Задача 8. Решить уравнение.

   

Решите его сами с использованием данного метода.

Ответ: Показать

10 способов решения квадратных уравнений

1. 10 способов решения квадратных уравнений

ПОДГОТОВИЛ УЧАЩИЙСЯ 8 «А» КЛАССА СШ №69 Г.МИНСКА

2. введение

Теория уравнений занимает одно из ведущих мест в алгебре
и математике в целом. Значимость ее заключается в помощи
выполнений практических целей, так как
большинство жизненных задач сводится к решению различных
видов.
В школьной программе математики рассматривается только
2 способа их решения. Но мне стало интересно, какие ещё
способы решения квадратных уравнений ещё существуют.
Поэтому я выбрал тему «10 способов решения
квадратных уравнений».

3. цель и задачи

Цель работы: выявить способы решения уравнений второй
степени и рассмотреть применение данных способов решения
квадратных уравнений на приведённых примерах.
Задачи
1) Проследить историю развития теории и практики решения
квадратных уравнений;
2) Описать технологии различных существующих способов
решения квадратных уравнений;
3) Выявить достоинства и недостатки каждого способа решения
квадратных уравнений;

4. объект и предмет исследования

Объект исследования: квадратные уравнения.
Предмет исследования: способы решения квадратных
уравнений.

5. история появления квадратных уравнений

Уравнения в алгебре возникли в связи с решением разнообразных
задач при помощи этих же уравнений. Обычно в задачах требуется
найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты
некоторых действий, произведенных над искомыми и данными
величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы
нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью
алгебраических действий над данными величинами.
Некоторые алгебраические приемы решения линейных и
квадратных уравнений были известны еще 4200 лет назад в Древнем
Вавилоне.
Правило решения этих уравнений, изложенное в дошедших до нас
вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако
неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

6. виды квадратных уравнений и основные понятия связанные с ними

Квадра́тное уравне́ние – алгебраичное уравнение общего вида
ax2 + bx + c = 0
где x — неизвестное, a , b , c — коэффициенты, причём a ≠ 0.
Выражение ax2 + bx + c = 0 называют квадратным трёхчленом.
Также квадратные уравнения вида ax2 + bx + c = 0, где b ≠ 0 и c ≠ 0 называют полными квадратными
уравнениями
Квадратные уравнения, в которых коэффициент b или свободный член c, или и b и c равны 0 , называются
неполными квадратными уравнениями.
Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида , первый коэффициент которого равен
единице (а = 1) х2 + bx + c = 0
Корень — это значение переменной обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное
уравнение в верное числовое равенство.
Решить квадратное уравнение — это значит найти множество его корней.

7. решение квадратных уравнений при помощи дискриминаната

Решение квадратных уравнений по формуле: Корни уравнения ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0 можно
найти по формуле , где выражение
b2 – 4ac = D — это дискриминант. Выделяют 3 случая решения квадратного уравнения через
дискриминант
Случай 1:
D>0
2×2+ 5x −7 = 0
D = b2− 4ac = 52− 4 · 2 · (−7) = 25 + 56 = 81 > 0
Так-как D > 0, значит в уравнении есть 2 корня, находим корни по формуле:
X1,2 = (-b ± √D) / 2a
X1 = (-b — √D) / 2a = (-5 — √81) / 2a = -14 / 4 = 3,5
X2 = (-b + √D) / 2a = (-5 + √81) / 2a = 4 / 4 = 1
Ответ: 1 ; 3,5

8. решение квадратных уравнений при помощи дискриминаната

D=0
16×2− 8x + 1 = 0
D = b2− 4ac = (−8)2− 4 · 16 · 1 = 64 – 64 = 0
Так- как D = 0, значит в уравнении есть только 1 корень,
находим корень по формуле:
X = -b / 2a
X = 8 / 16 = 0,5
Ответ: 0,5

9. решение квадратных уравнений при помощи дискриминаната

D
9×2− 6x + 2 = 0
D = b2− 4ac = (−6)2− 4 · 9 · 2 = 36 – 72 = −36
Так-как D
Ответ: нет корней.
Главное преимущество этого способа заключается в
неприхотливости к определённым видам уравнений. Недостаток
же этого способа – большой объём времени идущий на
вычисления дискриминанта и корней.

10. решение квадратных уравнений при помощи Теоремы Виета

Теорема Виета позволяет находить целые корни квадратного трехчлена.
Теорема Виета: ax2 + bx + c = 0, где –b = x1+ x2 и c = x1 * x2
Главное преимущество этого способа – экономия времени решения.
Недостаток же этого способа – возможность использовать этот способ
только в приведённых квадратных уравнений.

11. решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата

12. решение квадратных уравнений при помощи раскладывания левой части на множители

13. решение квадратных уравнений методом переброски

14. решение квадратных уравнений при помощи свойств коэффициентов

15. решение квадратных уравнений при помощи свойств коэффициентов

16. решение квадратных уравнений при помощи свойств коэффициентов

17. решение квадратных уравнений при помощи Теоремы Безу

18. решение квадратных уравнений при помощи Теоремы Безу

19. Решение квадратных уравнений графическим способом

20. Решение квадратных уравнений графическим способом

21. Решение квадратных уравнений графическим способом

22. Решение квадратных уравнений при помощи циркуля и линейки

23. Решение квадратных уравнений при помощи номограммы

24. Заключение

Квадратные уравнения находят необычайно широкое применение при решении
тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и
трансцендентных
уравнений и неравенств.
Изложенные в моей работе способы имеют, как плюсы, так и недостатки.
Достоинства способов решения квадратных уравнений при помощи Теоремы
Виета и свойств коэффициентов заключается экономии колоссального количества
времени при решении уравнений, но использовать их можно только при
определённом виде уравнений.
Решение квадратных уравнений через дискриминант – это самый общий способ
решений уравнений, подходящих под любые виды уравнений, но требующий
немалых вычеслений. Главные недостатки это неточные результаты, получаемые
решением некоторых уравнений графическим способом, но дающие
приблизительное представление о правильном ответе.
Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена
вообще, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает
прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.
Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они,
безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя
работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит
перед нами математика.

26. 10 способов решения квадратных уравнений

ПОДГОТОВИЛ УЧАЩИЙСЯ 8 «А» КЛАССА СШ №69 Г.МИНСКА

Об обучении решению квадратных уравнений без использования формулы корней Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ

УДК 372.8:51

Коржевина Елена Константиновна Матыцина Татьяна Николаевна

кандидат физико-математических наук, доцент

Марголина Наталия Львовна

кандидат физико-математических наук, доцент Костромской государственный университет [email protected], [email protected], [email protected]

ОБ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФОРМУЛЫ КОРНЕЙ

Умение решать квадратные уравнения быстро и рационально необходимо при выполнении различных заданий, предусмотренных школьной программой, а также является актуальным в условиях нехватки времени на Едином государственном экзамене. В статье обсуждаются пути обучения школьников и студентов — будущих учителей математики способам решения квадратных уравнений без использования формулы корней, приводятся примеры.

Ключевые слова: учащиеся, обучение, учебное задание, квадратное уравнение, метод переброски, теорема Виета.

Содержание и предметные результаты по математике основного общего образования предполагают, что школьники должны уметь решать квадратные уравнения, выделяя полный квадрат, применяя формулу корней и используя теорему Виета. На практике оказывается, что старшеклассники охотнее всего решают квадратные уравнения «через дискриминант», то есть применяют формулу корней. Опыт работы экспертом единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике показывает (см. [3]), что при решении квадратных уравнений учащимися совершается огромное количество вычислительных ошибок, описок «по-невнимательности». Основные ошибки и анализ результатов проверки заданий с развернутым ответом подробно описан в работах [4; 5] и [6]. Умение быстро найти решение квадратного уравнения особенно важно при решении сложных задач, так как громоздкие выкладки и вычисления отвлекают учеников от основной линии решения. Разумеется, выпускник школы не может овладеть всем разнообразием методов и приемов решения уравнений, если таковыми не владеет его учитель. Поэтому при обучении студентов направления подготовки «Педагогическое образование» направленности «Математика» авторы статьи уделили внимание малоизвестному среди современных школьников методу. Авторы статьи уверены, что будущим учителям математики необходимо знать данный метод и уметь применять его на практике при решении уравнений и неравенств различного уровня сложности.

Все полные квадратные уравнения, корни которых являются рациональными (в частности, целыми) числами можно решать без использования формулы корней, причем это оказывается удобнее и обеспечивают заметный выигрыш во времени, что особенно важно на экзамене или контрольной работе.

Решение полных квадратных уравнений без использования формулы корней основано на следующих теоремах:

Теорема 1. Если для квадратного уравнения

ах2 + Ьх + с = 0 выполняется условие а + Ь + с = 0,

1 с то х = 1, х2 = —.

а

Теорема 2. Если для квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0 выполняется условие Ь = а + с, то

X = -1,

с

2 а

Теорема 3. (теорема Виета для приведенного квадратного уравнения прямая и обратная).

Числа х1 и х2 являются корнями приведенного квадратного уравнения х2 + Ьх + с = 0 тогда и только тогда, когда х1 + х2 =-Ь, х1 ■ х2 = с. 0. Умножим это уравнение на (ап )»-1:

(а» ) х + а»-1 (а» ) х +… + а1 (а» ) х + а0 (а» ) =

Введем новую переменную у = апх. Относительно этой переменной уравнение примет вид

» «-1 / \» — 2 / \» -1 г\

у + а»-1У +… + а1 К) у + а0 К) =

Полученное уравнение имеет не более п корней. Все рациональные корни у. такого уравнения являются целыми числами и делителями свободного члена. Корни х. исходного уравнения получают-

у

ся по формуле х = -1 .

ап

Применим этот прием для квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0. Умножая уравнение на а (так как п = 2), получим а2х2 + аЬх + ас = 0. 2017

© Коржевина Е.К., Матыцина Т.Н., Марголина Н.Л., 2017

Об обучении решению квадратных уравнений без использования формулы корней

Школьникам необязательно знать подоплеку этого метода, достаточно владеть алгоритмом решения. Однако качественно подготовленный учитель математики должен понимать все вышеизложенные выкладки, приводящие к следующему алгоритму:

1. Пусть ах2 + Ьх + с = 0 исходное уравнение, а ф 1. «Перебросим» коэффициент а к свободному члену.

2. Уравнение примет вид у2 + Ьу + ас = 0. Решаем его с использованием теорем 1 или 2, или теоремы Виета. Находим корни у1 и у2.

3. Находим значения х1 = — , х2 = — .

а а

Пример 1. Решить уравнение 2х2 — 9х + 9 = 0.

Решение. Устно проверяем, что теоремы 1, 2 неприменимы, поэтому «перебросим» старший коэффициент к свободному члену. Уравнение у2 — 9у + 18 = 0 решаем по теореме Виета, получаем

л ч 6 3

У1 = 6, у2 = 3, значит х1 = -, Х2 = -.

Ответ: 3; 1,5.

Пример 2. Решить уравнение 7х2 + 15х + 2 = 0.

Решение. Вместо этого уравнения решаем следующее: у2 + 15у + 14 = 0. По теореме 2 (1+14 = 15)

1 14

получаем у1 = -1, у2 = -14, тогда х1 = —, х2 =—.

1 7 7

Ответ: — 7; -2. х + 1) = 0.

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности

«2х2 — 5х-12 = 0, 2со8 х +1 = 0.

К первому уравнению совокупности применяем метод переброски:

у2 — 5у — 24 = 0.

Корни этого уравнения у1 = 8 и у2 = -3 легко находятся по теореме Виета. Тогда исходное уравнение имеет корни х1 = 4 и х2 = -1,5.

Второе уравнение имеет решения 2п

х = ±—+ 2пп, п е Z.

3

Ответ: 4; -1,5; ±—+ 2пп, п е Z.

3

Пример 4. Решить неравенство

2-16-х-17 • 4-х + 8 < 0.

Решение. После замены переменной 4-х = г, г > 0 неравенство приобретает вид 2г2 — 17г + 8 < 0.

Для разложения на множители его правой части нужно решить уравнение

2г2 — 17г + 8 = 0.

«Перебросим» старший коэффициент у2 — 17г + 16 = 0.

По теореме 1 у1 = 1 и у2 = 16, значит г1 = 0,5 и

г2 = 8.

2(г — 8)(г — 0,5) < 0.

Применив метод интервалов, получим 0,5 < г < 8, откуда -1,5 < х < 0,5. Ответ: [-1,5; 0,5].

Авторами статьи для проверки эффективности вышеизложенных методик был проведен эксперимент. Были предложены следующие уравнения:

1. Их2 + 25х — 36 = 0;

2. 10х2 + 27х + 17 = 0;

3. 9х2 — 37х + 4 = 0;

4. 2х2 — 9х + 9 = 0;

5. 10х2 + 13х + 4 = 0;

6. 4х2 + 9х + 2 = 0;

7. 3х2 — 13х + 12 = 0;

8. 345х2 — 137х — 208 = 0;

9. 3>/2х2 +(3 + 72″) х +1 = 0.

Каждое из этих уравнений может быть решено без использования формулы корней квадратного уравнения; без громоздких вычислений; каждое решение уравнения почти устное.

Данная работа, требующая решения девяти уравнений школьного уровня сложности была предложена студентам направления подготовки «Педагогическое образование» направленности «Математика» первого и второго курсов. Студентов I и II группы (это студенты соответственно первого и второго курса) не предупреждали о проведении срезовой проверки. Студенты второкурсники принимали участие в работе методического семинара «Актуальные проблемы математического образования в школе и в ВУЗе» кафедры высшей математики института физико-математических и естественных наук Костромского государственного университета, на заседаниях которого обсуждались методические приемы обучения решению квадратных уравнений, а первокурсники пользовались только знаниями, полученными в школе.

Приведем результаты работы студентов I группы, в эксперименте участвовали 19 человек (см. таб. 1).

Результаты работы студентов II группы (в эксперименте участвовали 17 человек) приведены в таблице 2.

Можно заметить, что вторая группа, принимавшая участие в работе методического семинара, в подавляющем большинстве выполнила работу полностью или без одного задания; остальные до-

Педагогика. ]4 2

129

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ

Таблица 1

Таблица 2

Результаты распределения I группы

Выполнено заданий

6-5

4-3-2

Количество студентов

1

7

6

1

Процент выполнивших от общего числа студентов

0 %

5,3 %

36,8 %

31,6 %

21 %

5,3 %

Результаты распределения II группы

Выполнено заданий 9 8 6-5 2

Количество студентов 7 5 3 2

Процент выполнивших от общего числа студентов 41,2 % 29,5 % 17,6 % 11,7 %

9

8

7

0

0

4

пустили ошибки, которые можно классифицировать так:

1) в теореме Виета не учтено условие х1 + х2 = -Ь, хотя оно и было выписано;

2) не увидели теорему 1 или теорему 2;

3) не вернулись к исходной переменной при использовании метода переброски.

Первая группа решала данные уравнения с использованием формулы корней, не применяя никаких приемов, упрощающих вычисления. Стоит отметить, что время, затраченное на работу, было в среднем в полтора раза больше, чем во второй группе. Также можно выделить следующие проблемы:

1) ошибки в написании формул корней;

2) сложности при вычислениях, особенно при извлечении квадратных корней;

3) работа с выражениями вида а + ь4с .

Результаты эксперимента позволяют сделать

однозначный вывод о повышении эффективности обучения при отработке способов решения квадратных уравнений без использования формулы корней.

Таким образом, при подготовке будущих учителей математики важную роль играет участие студентов в научных и методических мероприятиях, проводимых выпускающей кафедрой.

Библиографический список

1. ЕГЭ: Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И.В. Ященко. — М.: Изд-во «Национальное образование», 2015. — 272 с.

2. ЕГЭ: Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И.В. Ященко. — М.: Изд-во «Национальное образование», 2016. — 256 с.

3. Бабенко А.С., Марголина Н.Л., Матыци-на Т.Н. Особенности подготовки экспертов по проверке заданий с развернутым ответом единого государственного экзамена по математике // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокине-тика. — 2016. — № 3. — С. 177-178.

4. Бабенко А.С., Марголина Н.Л., Матыци-на Т.Н. Анализ результатов проверки заданий с развернутым ответом единого государственного экзамена по математике за 2015 год // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокине-тика. — 2016. — № 2. — С. 14-16.

5. Бабенко А.С., Марголина Н.Л., Матыци-на Т.Н. Анализ структуры заданий единого государственного экзамена по математике за 2016 год по Костромской области // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социокинетика. — 2016. — № 4. -С. 34-37.

6. Марголина Н.Л., Матыцина Т.Н., Ширяев К.Е. Об этапах математического образования в ВУЗе // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социокинетика. — 2017. — № 1. — С. 123-125.

130

Вестник КГУ _J 2017

12 способов решения квадратных уравнений

Оглавление

Введение 3

1.Определение квадратного уравнения, его виды 4

2. Способы решения квадратных уравнений 4

2.1 Решение неполных квадратных уравнений. 4

2.2 Разложение левой части уравнения на множители. 1. СПОСОБ 5

2.3 Метод выделения полного квадрата. 2. СПОСОБ 5

2.4 Решение квадратных уравнений по формуле. 3. СПОСОБ 5

3.5 Решение уравнений с использованием теоремы Виета. 4. СПОСОБ 6

3.6 Решение уравнений с использованием теоремы Виета 5. СПОСОБ 6

(обратной)

3.7 Решение уравнений способом «переброски». 6. СПОСОБ 6

3.8 Свойства коэффициентов квадратного уравнения. 7. СПОСОБ 7

3.9 Графическое решение квадратного уравнения. 8. СПОСОБ 8

3.10 Решение квадратных уравнений с помощью

циркуля и линейки. 9. СПОСОБ 8

3.11 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. 10. СПОСОБ 9

3.12 Геометрический способ решения квадратных уравнений. 11. СПОСОБ 10

3.13 Способ решения квадратных уравнений по теореме Безу. 12. СПОСОБ 10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 11

Выводы 11

Список литературы 12

Приложения

Приложение1 УПРАЖНЕНИЯ

Приложение 2 ЗАДАЧИ

Приложение 3 Из истории квадратных уравнений

ВВЕДЕНИЕ

Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид — при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем, виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта.
Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений  умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н. э.). Об этом свидетельствует найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас шести из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получит решение уравнения вида   . Способ решение полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые  изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.  

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду  , было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 — 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.
Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выделены Виетом в 1591 г.

Актуальность работы

И сейчас квадратные уравнения очень актуальны. Одна из основных тем ОГЭ – это квадратные уравнения.

  • Одной из основных тем, проверяемых на экзамене по математике, является тема «Квадратные уравнения». Данная тема изучается в 8 классе, а на повторение данной темы в 9 классе отводится один час. Я надеюсь , что эта работа поможет сдать экзамен по алгебре на более высокий бал.

  • Также квадратные уравнения используются в физике и в химии для решения задач в 10 и 11 класса, знание данной темы поможет при сдаче ЕГЭ по этим предметам.

Цель работы:

Научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Для достижения цели мы поставили перед собой следующие задачи

1.Изучить литературу по выбранной теме;

2.Изучить историю возникновения и решения квадратных уравнений;

3.Изучить способы решения квадратных уравнений разного вида;

4. Подобрать дидактический материал по теме работы

Объект исследования – квадратные уравнения.

При выполнении исследования применялись такие методы, как сравнительный анализ литературы, сбор и обработка фактов с помощью анализа, сравнения и аналогии.

1.Определение квадратного уравнения, его виды.

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

ax2 + bx + c = 0,

где х— переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х.

Пример: 5х²+7х+3=0 (а=5, b=7, c=3.)

8х-3х²+5=0 (а=-3, b=8, с=5.)

-3+7х+8х²=0 (а=8, b=7, с=-3.)

Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени

Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

х²+рх+q=0 – стандартный вид приведенного квадратного уравнения

кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Обратите внимание: об ах² речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;

3) ах2 = 0.

Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах²+bх+с=0 – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство. 0=0.

Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.

2.Способы решения квадратных уравнений

2.1 Решение неполных квадратных уравнений.

Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать.

Если b=0,то

ах²+ с=0

Если с=0, то

ах²+bх=0

Если b=0, с=0,

то ах²=0

ах²+ с=0,

ах²= -с,

х² = -с/а,

уравнение имеет 2 корня

х=±√-с/а

уравнение корней

не имеет.

ах²+bх=0,

х(ах+b)=0,

х=0,

ах+b=0;

х=0,

х=-b/а.

ах²=0,

х²=0,

х=0.

Пример: а)2х²-7х=0 в)х²-16=0 д)5х²=0

б)-х²+5х=0 г)-2х²+7=0

Решение:

а) 2х²-7х=0; х(2х-7)=0

= х=0, х=0,

2х-7=0; х=3,5;

Ответ: х1=0, х2=3,5.

б) х²-16=0; х²=16

Ответ: х1=4, х2=-4.

в) 5х²=0; х²=0; х=0 ответ: х=0.

Неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень и ни одного корня.

2.2 Разложение левой части уравнения на множители. 1. СПОСОБ

Решим уравнение х2 — 2х — 8 = 0. Разложим левую часть на множители:

х2 — 2х — 8 = х2 — 4х +2х -8 = х(х -4 ) + 2(х -4) = (х + 2)(х -42).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 2)(х -4)=0.

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = -2, а также при х = 4. Это означает, что число — 2 и 4 являются корнями уравнения х2 — 2х — 8 = 0.

2.3 Метод выделения полного квадрата. 2. СПОСОБ:

Решим уравнение х2 + 6х — 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х — 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х — 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 — 32 — 7 = (х + 3)2 — 9 — 7 = (х + 3)2 — 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 — 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 — 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

2.4 Решение квадратных уравнений по формуле. 3. СПОСОБ:

Умножим обе части уравнения

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) — b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 — 4ac,

2ax + b = ± √ b2 — 4ac,

2ax = — b ± √ b2 — 4ac,

Примеры.

а) Решим уравнение:2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 — 4ac = 72 — 4 • 4 • 3 = 49 — 48 = 1,

D 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b2 — 4ac 0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 2 — 4х + 1 = 0,

а = 4, b = — 4, с = 1, D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 • 4 • 1= 16 — 16 = 0, D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 — 4ac = 0, то уравнение

ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 — 4ac = 32 — 4 • 2 • 4 = 9 — 32 = — 13 , D

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 — 4ac , уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

2.5 Решение уравнений с использованием теоремы Виета. 4. СПОСОБ:

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x1 x2 = q,

x1 + x2 = — p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р , то оба корня отрицательны, если р , то оба корня положительны.

Например,

x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 0 и p = — 3

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = — 7 и x2 = — 1, так как q = 7 0 и p= 8 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p , или отрицателен, если p 0 .

Например, x2 + 4x – 5 = 0; x1 = — 5 и x2 = 1, так как q= — 5 и p = 4 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = — 1, так как q = — 9 и p = — 8

2.6 Решение уравнений с использованием теоремы Виета (обратной) 5. СПОСОБ

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если числа х1 и х2 таковы, что х12 = -р, х1х2 = q, то х1 и х2 – корни квадратного уравнения х2 +рх + q = 0.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

Пример

1. Решить уравнение х2 +3х – 28 = 0

Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что х12 = — 3 и х1х2 = — 28

Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями уравнения.

2.7 Решение уравнений способом «переброски». 6. СПОСОБ:

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнениеа2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у1и у2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х1 = у1и х1 = у2. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.

Решим уравнение 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим

у2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5

у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

2.8 Свойства коэффициентов квадратного уравнения. 7. СПОСОБ

А. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + b/a x + c/a = 0.

Согласно теореме Виета

x1 + x2 = — b/a,

x1x2 = 1• c/a.

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x1 + x2 = — а + b/a= -1 – c/a,

x1x2 = — 1• ( — c/a),

т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что м требовалось доказать.

Пример.

Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то х1 = 1, х2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

Пример.

Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k2ac = (- 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение х2 + рх + q= 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнениех2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х1,2 =7± 49+15 =764=78

Ответ: х1 = 15; х2 = -1.

2.9 Графическое решение квадратного уравнения. 8. СПОСОБ

Если в уравнении х2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = — pxq.

Построим графики зависимости у = х2 и у = — px — q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости — прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться (одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры.

1) Решим графически уравнение х2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х1 = — 1 и х2 = 4. Ответ: х1 = — 1; х2 = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 — 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х — 1.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 1.

Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)

и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х — 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.

2.10 Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. 9. СПОСОБ:

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D2; 0), где х1 и х2 — корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OBOD = OAOC, откуда OC = OBOD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

Итак:

1) построим точки S(-b/2а; (а+с)/2а) (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS SK, или R a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1; 0) и D2; 0), где х1 и х2 — корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Пример.

Решим уравнение х2 — 2х — 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х1 = — 1; х2 = 3.

2.11 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

10. СПОСОБ:

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен-

там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена

по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из

подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

z2 + pz + q = 0,причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры.

1) Для уравнения z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12).

2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2,

получим уравнение z2 — 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.

3) Для уравнения z2 — 25z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t,

получим уравнениеt2 — 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим

t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0.

2.12 Геометрический способ решения квадратных уравнений. 11. СПОСОБ:

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

Пример.

Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя

х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата

ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

2.13 Способ решения квадратных уравнений по теореме Безу. 12. СПОСОБ:

При делении P(х) на х — в остатке может получиться лишь некоторое число r (если r = 0, то деление выполняется без остатка):P(x) = (x — ) Q (x) + r. (1)

Чтобы найти значение r, положим в тождестве (1) х = . При этом двучлен х — обращается в нуль, получаем, что P () = r.

Итак, доказано утверждение, называемое теоремой Безу.

Теорема 1 (Безу). Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен х — равен P() (т.е. значению P(x) при х = ).

Если число является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на х — без остатка.

х²-4х+3=0

Р2(х)= х²-4х+3

α; ±1,±3.

α =1, 1-4+3=0

Разделим р(х) на (х-1)

(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3)

(х-1)(х-3)=0

х-1=0; х=1, или х-3=0, х=3; Ответ: х1=2, х2=3.

Заключение

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь мы остановились на вопросе решения квадратных уравнений, а что,

если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Проводя исследования по данной теме, я получила следующие выводы:

1.Квадратные уравнения умели решать ещё более трех тысяч лет назад. Способы решения были сложными. Общее правило решения уравнений вида: ax2 + bx = c, где a  0, b и c – любые, которым мы пользуемся и сейчас сформулировал индийский ученый Брахмагупта (VII в. н. э.).

2.Способов решения квадратных уравнений очень много. Мы нашли 12 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ЕМЭ.

3. Для того чтобы усвоить все методы решения уравнений, нужно прорешать несколько уравнений изучаемым способом. А для этого нужны задания. Я предлагаюм небольшую подборку заданий для решения уравнений.

4. Квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания ВУЗа. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

12

Методы решения квадратных уравнений. Формула Виета для квадратного уравнения

Квадратные уравнения часто появляются в ряде задач по математике и физике, поэтому уметь их решать должен каждый школьник. В этой статье подробно рассматриваются основные методы решения уравнений квадратных, а также приводятся примеры их использования.

Какое уравнение называется квадратным

В первую очередь ответим на вопрос этого пункта, чтобы лучше понимать, о чем пойдет речь в статье. Итак, уравнение квадратное имеет следующий общий вид: c + b*x+a*x2=0, где a, b, c — некоторые числа, которые называются коэффициентами. Здесь a≠0 — это обязательное условие, в противном случае указанное уравнение вырождается в линейное. Остальные коэффициенты (b, c) могут принимать абсолютно любые значения, включая ноль. Так, выражения типа a*x2=0, где b=0 и c=0 или c+a*x2=0,где b=0, или b*x+a*x2=0, где c=0 — это тоже уравнения квадратные, которые называют неполными, поскольку в них либо линейный коэффициент b равен нулю, либо нулевым является свободный член c, либо они оба зануляются.

Уравнение, в котором a=1, называют приведенным, то есть оно вид имеет: x2 + с/a + (b/a)*x =0.

Решение квадратного уравнения заключается в нахождении таких значений x, которые удовлетворяют его равенству. Эти значения называются корнями. Поскольку рассматриваемое уравнение — это выражение второй степени, то это означает, что максимальное число его корней не может превышать двух.

Какие методы решения уравнений квадратных существуют

В общем случае существует 4 метода решения. Ниже перечисляются их названия:

  1. Разложение на множители.
  2. Дополнение до квадрата.
  3. Использование известной формулы (через дискриминант).
  4. Способ решения геометрический.

Как понятно из приведенного списка, первые три метода являются алгебраическими, поэтому они используются чаще, чем последний, который предполагает построение графика функции.

Существует еще один способ решения по теореме Виета уравнений квадратных. Его можно было бы включить 5-м в список выше, однако, это не сделано, поскольку теорема Виета является простым следствием 3-го метода.

Далее в статье рассмотрим подробнее названные способы решения, а также приведем примеры их использования для нахождения корней конкретных уравнений.

Метод №1. Разложение на множители

Для этого метода в математике квадратных уравнений существует красивое название: факторизация. Суть этого способа заключается в следующем: необходимо квадратное уравнение представить в виде произведения двух членов (выражений), которое должно равняться нулю. После такого представления можно воспользоваться свойством произведения, которое будет равно нулю только тогда, когда один или несколько (все) его членов являются нулевыми.

Теперь рассмотрим последовательность конкретных действий, которые нужно выполнить, чтобы найти корни уравнения:

  1. Перебросить все члены в одну часть выражения (например, в левую) так, чтобы в другой его части (правой) остался только 0.
  2. Представить сумму членов в одной части равенства в виде произведения двух линейных уравнений.
  3. Приравнять каждое из линейных выражений к нулю и решить их.

Как видно, алгоритм факторизации является достаточно простым, тем не менее, у большинства школьников возникают трудности во время реализации 2-го пункта, поэтому поясним его подробнее.

Чтобы догадаться, какие 2-а линейных выражения при умножении их друг на друга дадут искомое квадратное уравнение, необходимо запомнить два простых правила:

  • Линейные коэффициенты двух линейных выражений при умножении их друг на друга должны давать первый коэффициент квадратного уравнения, то есть число a.
  • Свободные члены линейных выражений при их произведении должны давать число c искомого уравнения.

После того, как подобраны все числа множителей, следует выполнить их перемножение, и если они дают искомое уравнение, тогда переходить к пункту 3 в изложенном выше алгоритме, в противном случае следует изменить множители, но делать это нужно так, чтобы приведенные правила всегда выполнялись.

Пример решения методом факторизации

Покажем наглядно, как алгоритм решения уравнения квадратного составить и найти неизвестные корни. Пусть дано произвольное выражение, например, 2*x-5+ x2-2*x2 = x2+2+x2+1. Перейдем к его решению, соблюдая последовательность пунктов от 1-го до 3-х, которые изложены в предыдущем пункте статьи.

Пункт 1. Перенесем все члены в левую часть и выстроим их в классической последовательности для квадратного уравнения. Имеем следующее равенство: 2*x+(-8)+x2=0.

Пункт 2. Разбиваем на произведение линейных уравнений. Поскольку a=1, а с=-8, то подберем, например, такое произведение (x-2)*(x+4). Оно удовлетворяет изложенным в пункте выше правилам поиска предполагаемых множителей. Если раскрыть скобки, то получим: -8+2*x+x2, то есть получается точно такое же выражение, как в левой части уравнения. Это означает, что мы правильно угадали множители, и можно переходить к 3-му пункту алгоритма.

Пункт 3. Приравниваем каждый множитель нулю, получаем: x=-4 и x=2.

Если возникают какие-либо сомнения в полученном результате, то рекомендуется выполнить проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение. В данном случае имеем: 2*2+22-8=0 и 2*(-4)+(-4)2-8=0. Корни найдены правильно.

Таким образом, методом факторизации мы нашли, что заданное уравнение два корня различных имеет: 2 и -4.

Метод №2. Дополнение до полного квадрата

В алгебре уравнений квадратных метод множителей не всегда может использоваться, поскольку в случае дробных значений коэффициентов квадратного уравнения возникают сложности в реализации пункта 2 алгоритма.

Метод полного квадрата, в свою очередь, является универсальным и может применяться для квадратных уравнений любого типа. Суть его заключается в выполнении следующих операций:

  1. Члены уравнения, содержащие коэффициенты a и b, необходимо перебросить в одну часть равенства, а свободный член c — в другую.
  2. Далее, следует части равенства (правую и левую) разделить на коэффициент a, то есть представить уравнение в приведенном виде (a=1).
  3. Сумму членов с коэффициентами a и b представить в виде квадрата линейного уравнения. Поскольку a=1, то линейный коэффициент будет равен 1, что касается свободного члена уравнения линейного, то он равен должен быть половине линейного коэффициента приведенного уравнения квадратного. После того, как составлен квадрат линейного выражения, необходимо в правую часть равенства, где находится свободный член, добавить соответствующее число, которое получается при раскрытии квадрата.
  4. Взять квадратный корень со знаками «+» и «-» и решить полученное уже уравнение линейное.

Описанный алгоритм может на первый взгляд быть воспринят, как достаточно сложный, однако, на практике его реализовать проще, чем метод факторизации.

Пример решения с помощью дополнения до полного квадрата

Приведем пример уравнения квадратного для тренировки его решения методом изложенным в предыдущем пункте. Пусть дано уравнение квадратное -10 — 6*x+ x2 = 0. Начинаем решать его, следуя описанному выше алгоритму.

Пункт 1. Используем метод переброски при решении уравнений квадратных, получаем: — 6*x+ x2 = 10.

Пункт 2. Приведенный вид этого уравнения получается путем деления на число 5 каждого его члена (если равенства обе части поделить или умножить на одинаковое число, то равенство сохранится). В результате преобразований получим: x2 — 6/ x = 2.

Пункт 3. Половина от коэффициента — 6/5 равна -6/10 = -3/5, используем это число для составления полного квадрата, получаем: (-3/5+x)2. Раскроем его и полученный свободный член следует вычесть из части равенства левой, чтобы удовлетворить исходному виду квадратного уравнения, что эквивалентно его добавлению в правую часть. В итоге получаем: (-3/5+x)2 = 59/25.

Пункт 4. Вычисляем квадратный корень с положительным и отрицательным знаками и находим корни: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5. Два найденных корня имеют значения: x1 = (√59+3)/5 и x1 = (3-√59)/5.

Поскольку проведенные вычисления связаны с корнями, то велика вероятность допустить ошибку. Поэтому рекомендуется проверить правильность корней x2 и x1. Получаем для x1: ((3+√59)/5)2-6*(3+√59)/5 — 10 = (9+59+6*√59)/5 — 18/5 — 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0. Подставляем теперь x2: ((3-√59)/5)2-6*(3-√59)/5 — 10 = (9+59-6*√59)/5 — 18/5 + 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0.

Таким образом, мы показали, что найденные корни уравнения являются истинными.

Метод №3. Применение известной формулы

Этот метод решения уравнений квадратных является, пожалуй, самым простым, поскольку он заключается в подставлении коэффициентов в известную формулу. Для его использования не нужно задумываться о составлении алгоритмов решения, достаточно запомнить только одну формулу. Она приведена на рисунке выше.

В этой формуле подкоренное выражение (b2— a*c) называется дискриминантом (D). От его значения зависит то, какие корни получатся. Возможны 3-и случая:

  • D>0, тогда уравнение корня два имеет действительных и разных.
  • D=0, тогда получается корень один, который можно вычислить из выражения x = -b/(a*2).
  • D<0, тогда получается два различных мнимых корня, которые представляются в виде комплексных чисел. Например, число 3- i является комплексным, при этом мнимая единица i удовлетворяет свойству: i2=-1.

Пример решения через вычисление дискриминанта

Приведем пример уравнения квадратного для тренировки использования приведенной выше формулы. Найдем корни для -3*x2-6+3*x+ x = 0. Для начала вычислим значение дискриминанта, получаем: D = b2— a*c = 72— (-3)*(-6) = -23.

Поскольку получен D<0, значит, корни рассматриваемого уравнения являются числами комплексными. Найдем их, подставив найденное значение D в приведенную в предыдущем пункте формулу (она также представлена на фото выше). Получим: x = 7/6±√(-23)/(-6) = (7±i*√23)/6.

Метод №4. Использование графика функции

Он также называется графическим методом решения уравнений квадратных. Следует сказать, что применяется он, как правило, не для количественного, а для качественного анализа рассматриваемого уравнения.

Суть метода заключается в построении графика функции квадратичной y = f(x), который представляет собой параболу. Затем, необходимо определить, в каких точках пересекает ось абсцисс (X) парабола, они и будут корнями соответствующего уравнения.

Чтобы сказать, будет ли парабола пересекать ось X, достаточно знать положение ее минимума (максимума) и направление ее ветвей (они могут либо возрастать, либо убывать). Следует запомнить два свойства этой кривой:

  • Если a>0 — параболы ветви направлены вверх, наоборот, если a<0, то они идут вниз.
  • Координата минимума (максимума) параболы всегда равна x = -b/(2*a).

Например, необходимо определить, имеет ли корни уравнение — x+ x2+10 = 0. Соответствующая парабола будет направлена вверх, поскольку a=5>0. Ее экстремум имеет координаты: x=4/10=2/5, y=- 2/5+ (2/5)2+10 = 9,2. Поскольку минимум кривой лежит над осью абсцисс (y=9,2), то она не пересекает последнюю ни при каких значениях x. То есть действительных корней приведенное уравнение не имеет.

Теорема Виета

Как выше было отмечено, эта теорема является следствием метода №3, который основан на применении формулы с дискриминантом. Суть теоремы Виета заключается в том, что она позволяет связать в равенство коэффициенты уравнения и его корни. Получим соответствующие равенства.

Воспользуемся формулой для вычисления корней через дискриминант. Сложим два корня, получаем: x1+x2 = -b/a. Теперь умножим корни друг на друга: x1*x2, после ряда упрощений получается число c/a.

Таким образом, для решения уравнений квадратных по теореме Виета можно использовать полученных два равенства. Если все три коэффициента уравнения известны, тогда корни можно найти путем решения соответствующей системы из этих двух уравнений.

Пример использования теоремы Виета

Необходимо составить квадратное уравнение, если известно, что оно имеет вид x2+c = -b*x и корни его равны 3 и -4.

Поскольку в рассматриваемом уравнении a=1, то формулы Виета будут иметь вид: x2+x1 =-b и x2*x1= с. Подставляя известные значения корней, получаем: b = 1 и c = -12. В итоге восстановленное уравнение квадратное приведенное будет вид иметь: x2-12 = -1*x. Можно подставить в него значение корней и убедиться, что равенство выполняется.

Обратное применение Виета теоремы, то есть вычисление корней по известному виду уравнения, позволяет для небольших целых чисел a, b и c быстро (интуитивно) находить решения.

Выбор метода решения квадратных уравнений — Видео и стенограмма урока

Методы квадратного уравнения

Ниже перечислены четыре наиболее популярных метода решения квадратных уравнений. Каждый из них имеет свои преимущества и лучше всего подходит при определенных условиях. Конечно, иногда тот, который вы используете, просто зависит от того, который вам нравится больше всего.

Метод квадратного корня можно использовать в любое время, когда член bx равен 0. Вы перемещаете константу ( c ) в правую часть знака равенства, делите обе части уравнения на a , а затем извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.У вас будет два значения x (одно положительное и одно отрицательное). Этот рисунок является примером использования метода квадратного корня в действии.

Заполнение квадрата — это метод, который можно использовать для любого квадратного уравнения. Регулируя вашу константу ( c ), вы можете создать идеальный квадрат в левой части уравнения. Полный квадрат можно разложить на два идентичных бинома, которые можно использовать для решения любых допустимых значений x .Следующий рисунок является примером этого метода.

Факторинг — это подход к решению квадратичного уравнения, который требует небольшого анализа. Идея состоит в том, чтобы найти пары чисел, которые будут умножаться вместе, чтобы получить c , и сложить вместе, чтобы получить b . Если вы найдете правильную комбинацию, у вас будет два бинома, каждый из которых можно решить индивидуально. Следующий рисунок является примером этого метода.

Квадратичная формула — это несколько сложное уравнение «подключи и работай», которое позволяет подставить значения для a , b и c , а затем решить уравнение для любых значений x , которые появляются. Это всегда срабатывает. Взгляните на следующий рисунок. В этом примере значение под радикалом отрицательное, поэтому решения нет.

Выбор наилучшего метода для использования

Выбор наилучшего метода для данного уравнения требует, чтобы вы взглянули на свое уравнение и затем принимали решения на основе того, что вы нашли.

Вот несколько шагов, которые помогут:

  1. Если есть общий множитель, разделите обе части уравнения на это число, чтобы упростить ситуацию.
  2. Если b = 0 (нет члена bx ), перейдите к методу квадратного корня. (если c положительный, решений нет).
  3. Если c = 0, тогда одно из ваших решений будет x = 0. Выносим за скобки x и находим другое решение.
  4. Если равно 1, то:
    1. Проверьте идеальный квадрат (квадратная половина b и посмотрите, получите ли вы c ).Если это так, решите биномиальный корень для x . У вас будет одно решение. Или:
    2. Найдите простую ситуацию факторинга и посмотрите на коэффициенты c . Если вы видите пару, которая в сумме дает b , то вы можете быстро решить с помощью факторинга.
    3. Если это непростая ситуация с факторингом, сразу переходите к завершению метода квадратов.
  5. Если не 1:
    1. Вы ​​все еще можете использовать завершение квадрата, но вам придется разделить все на на перед тем, как начать, что может создать беспорядок для построения идеального квадрата.
    2. Возможно, вы сможете использовать факторинг, но проверить комбинации факторинга сложнее, поскольку вам придется иметь дело с комбинациями факторов a и c .
    3. И если вы дошли до стадии выдергивания волос, воспользуйтесь квадратной формулой. Вы можете быстро проверить, сколько существует реальных решений, вычислив часть, которая находится под радикалом, и проверив, будет ли результат отрицательным, возвести в квадрат b , а затем вычесть из него 4 ac .
      1. Если ответ положительный, есть два решения для x .
      2. Если это 0, есть один ответ.
      3. Если отрицательно, то реальных решений нет.

Резюме урока

Хорошо, давайте на минутку вспомним, что мы узнали. Квадратичное уравнение — это любое уравнение, которое можно записать в форме ax ² + bx + c = 0. В этой модели x — это то, что вы ищете, а , . b и c — это числа, с которыми вы будете работать.

  • Метод квадратного корня используется, когда b = 0 и включает в себя перемещение константы ( c ) в правую часть знака равенства (=), деление всего на a , а затем запоминание этого ваш ответ может быть отрицательным или положительным.
  • В , завершающем метод квадрата , вы делите все на a , а затем корректируете c как квадрат половины b . Получается идеальный квадрат, который можно разбить на двучлены и решить.
  • Метод разложения на множители включает в себя поиск комбинаций факторов a и c , которые в сумме дают b , а затем разбивают квадратичный коэффициент на два бинома, которые вы можете решить.
  • В квадратичной формуле вы подставляете свои значения для a , b и c в формулу, показанную на четвертом рисунке ранее в этом уроке, и смотрите, что вы получите для x .

Выбор метода заключается в анализе уравнения и последующем выполнении ряда шагов для принятия решения.

Графические квадратные уравнения с использованием преобразований

Квадратное уравнение


это

многочлен

уравнение

степень

2

. Стандартная форма квадратного уравнения:

0

знак равно

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

куда

а

,

б

и

c

все реальные числа и

а

0

.

Если мы заменим

0

с

у

, то получаем

квадратичная функция

у

знак равно

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

чей график будет

парабола

.

Иногда, глядя на квадратичную функцию, вы можете увидеть, как она была преобразована из простой функции

у

знак равно

Икс

2

.

Затем вы можете построить уравнение, соответствующим образом преобразовав «родительский график».Например, для положительного числа

c

, график

у

знак равно

Икс

2

+

c

такой же, как график

у

знак равно

Икс

2

сдвинутый

c

единиц вверх. Аналогично график

у

знак равно

а

Икс

2

растягивает график по вертикали в раз

а

. (Отрицательные значения

а

переверните параболу вверх дном.)

Мы можем увидеть некоторые другие преобразования в следующих примерах.


Пример 1:

Постройте график функции

у

знак равно

2

Икс

2

5

.

Если мы начнем с

у

знак равно

Икс

2

и умножьте правую часть на

2

, он растягивает график по вертикали в раз

2

.

Тогда, если мы вычтем

5

из правой части уравнения сдвигает график вниз

5

единицы измерения.


Пример 2:

Постройте график функции

у

знак равно

1

2

(

Икс

3

)

2

+

2

.

Если мы начнем с

у

знак равно

Икс

2

и заменить

Икс

с

Икс

3

, это приводит к смещению графика

3

единиц вправо.

Тогда, если мы умножим правую часть на

1

2

, он переворачивает параболу вверх ногами и дает ей вертикальное сжатие (или «сжатие») с коэффициентом

2

.

Наконец, если мы добавим

2

вправо сдвигает график

2

единиц вверх.

Решение квадратных уравнений путем факторизации ответов на листе glencoe algebra 2

Решение квадратных уравнений путем факторизации ответов на листе glencoe algebra 2

Это алгебра Glencoe входит в картину.Эта книга Таты Макгроу Хилл состоит из двух частей: алгебры Гленко 1 и алгебры Гленко 2. В обеих частях учащиеся получат всестороннее изучение темы алгебры в математике. Glencoe Algebra 1 Ответы ISBN: 9780078651137

© y v2X0e1 O21 DKLuEtia 3 6S okfat3w8ahrver UL7L 3C PL q rA hl fl m hr9iTgNhxtWsa 3rEe Ysde6rOvWe9dWsa 3rEe Ysde6rOvWe9dWaRa UR9 ID: 1 Имя _____ Дата_____ Период ____

17 декабря 2009 г. · Методы решения этих типов уравнений, которые мы рассмотрим, — это решение путем факторизации, использования метода квадратного корня, завершения квадрата и использования квадратичного уравнение.Иногда один метод не работает или другой просто быстрее, в зависимости от приведенного квадратного уравнения.

Калифорнийский курс математики 2 книга ответов по предварительной алгебре; квадратные уравнения, учитывающие слишком большой общий множитель; рабочий лист алгебры метода коробки; ти-83 плюс; умножение радикальных выражений; калькулятор онлайн у.е. радикал; алгебра 10 класс; онлайн-калькулятор решения системных уравнений; алгебраические выражения; Клен решает систему уравнений …

Игра с уравнениями в один шаг Развлекайтесь, решая одношаговые уравнения, играя в эту интересную математическую баскетбольную игру.Игра в уравнения В этой интерактивной игре на концентрацию учащиеся попытаются сопоставить каждое уравнение с правильным решением как можно быстрее.

Навыки элементарной алгебры: решение квадратных уравнений путем разложения на множители; решение каждого уравнения путем разложения. Таблица факторинга квадратных уравнений с ключом ответа. Распределительное свойство рабочего листа умножения ii. 1 x2 9x 18 0 2 x2 5x 4 0 3 n2 64 0 4 b2 5b 0 5 35n2 22n 3 0 6 15b2 4b 4 0 7 7p2 38p 24 0 8 3 × 2 14x 49 0 9 3k2 18k 21 0 10 6k2 42k 72 0 …

Найдите факторизованную форму одним из следующих способов. Разложение полинома на множители приведет к двум меньшим выражениям, которые можно умножить, чтобы получить множитель полинома путем группирования. Составьте уравнение так, чтобы вы могли вычесть наибольший общий множитель первых двух членов и последнего …

Начните изучение решения квадратных уравнений: факторинг. Учите словарный запас, термины и многое другое с помощью дидактических карточек, игр и других средств обучения.

350 слов абзац

15 декабря 2020 г. · Рабочие листы по камням и минералам для 6-го класса.4-й год математическое деление 3-й класс задачи со словами математическая помощь веб-сайты бесплатные рабочие листы для двузначного умножения 6-й класс практика геометрии x и y графические бесплатные сайты по математике для 3-го класса прямолинейные фигурные упражнения 3-го класса печатные формы решают мою математическую задачу и демонстрируют использование a и рабочего листа для 1-й 5-й класс … Если вы когда-нибудь обратитесь за советом по математике и, в частности, с ответами из учебного пособия по алгебре Гленко 2 или факторизацией многочленов, приходите к нам на сайт Algebra-equation.com. Мы предоставляем множество высококачественных справочных материалов по темам, начиная с математики.

Инструкции по сборке обогревателя для террасы Fire sense

Предварительный просмотр неформатированного текста: таблица алгебры 2 Факторинг Квадратичное уравнение НАЗВАНИЕ Решите приведенные ниже уравнения на множители.2-2s-35 = 0 путем факторизации выражения слева как (s + 5) (s-7) и нахождения s-значений, которые делают каждый коэффициент равным нулю. Это означает, что у нас есть два возможных ответа на x. так что ответ принимает …

Решение с использованием таблицы квадратичных формул Квадратичная формула: Для квадратных уравнений: ax 2 bx c 0, a b b ac x 2 2 4 Решите каждое уравнение, используя квадратную формулу. 4×2 1 8x 7. Найдите квадратичную функцию: форму вершины. Графы квадратиков в факторизованном виде: Часть 2. 3.2, 3.3. 19-Графическое представление факторизованной формы: 20/12 ноября.Преобразование между тремя формами квадратичной функции. 3.2, 3,3. 20-Сравнение форм примечаний. 20-Рабочий лист преобразования форм 21/18 ноября Решение квадратных уравнений путем факторизации 21-Решение уравнений путем факторизации заметок 21-Функции и …

Косинусное сходство Панд между двумя столбцами

Softmath 1150 N Loop 1604 W Ste. 108-453 Сан-Антонио, Техас 78248 США Телефон: (512) 788-5606 Факс: (512) 519-1805 Свяжитесь с нами

Решите квадратные уравнения вида x 2 + bx + c = 0, заполнив квадрат.Решая уравнения, мы всегда должны делать одно и то же с обеими сторонами уравнения. Это, конечно, верно, когда мы решаем квадратное уравнение, дополняя квадрат. Когда мы добавляем член к одной стороне уравнения, чтобы сделать трехчлен полного квадрата, мы также должны добавить тот же член к другой стороне уравнения.

Мы будем использовать факторинг и свойство нулевого произведения, чтобы легко решить эти уравнения. Свойство нулевого произведения имеет решающее значение в нашем стремлении к решению квадратных уравнений.Теперь давайте перейдем к Решению каждого уравнения путем факторизации. Этот бесплатный рабочий лист содержит 10 заданий, каждое с 24 вопросами … Как решить квадратные уравнения с помощью факторинга — если многочлен помещен в равное значение, то есть целое или другое многочлен, тогда результат становится уравнением. Однако многочлен записывается в виде ax 2 + bx + c = 0, известного как квадратные уравнения. Есть два способа решить это уравнение и найти его корни.

Сандалии Mango

Бесплатная рабочая таблица из 25 вопросов (pdf) с ключом ответов на разложение квадратных уравнений — включает 2 разработанные модельные задачи плюс задачи-задачи 10-й класс Enriched Math — Dr.2 + bx + c = 0 с помощью разложения на множители Урок 4.5 Решение квадратных уравнений путем нахождения квадратных корней Урок 4.6 Выполнение операций с комплексными числами Урок 4.7 Завершение урока с квадратными числами 4.8 Использование квадратичной формулы …

17) 7k2 — 6k + 3 = 3 {6 7, 0} 18) 35 k2 — 22 k + 7 = 4 {1 5, 3 7} 19) 7×2 + 2x = 0 {- 2 7, 0} 20) 10 b2 = 27 b — 18 {6 5 , 3 2} 21) 8×2 + 21 = −59 x {- 3 8, −7} 22) 15 a2 — 3a = 3 — 7a {1 3, — 3 5} -2-Создайте свои собственные рабочие листы, подобные этому, с Бесконечная алгебра 1. Бесплатная пробная версия доступна на KutaSoftware.com Пример математических уравнений: Предварительная алгебра Алгебра Предварительное исчисление Исчисление Линейная алгебра. Углубляйтесь в конкретные шаги Наш решатель делает то, чего не делает калькулятор: разбивает ключевые шаги на более мелкие подэтапы, чтобы показать вам каждую часть решения.

Коды скинов Fortnite ps4 бесплатно

Стиль украшения дома 2016 для 40 роскошных картинок решения квадратных уравнений путем факторинга. Рабочий лист отвечает на алгебру 2, вы можете увидеть 40 роскошных картинок для решения квадратного уравнения путем факторинга. Рабочий лист отвечает на алгебру 2 и другие картинки для Дизайн интерьера дома 2016 60401 at ravenhookah.com.

Решение квадратного уравнения. Квадратное уравнение может иметь один или два различных действительных или комплексных корня в зависимости от характера дискриминанта уравнения. Введите коэффициенты квадратного уравнения от пользователя. Сохраните его в какой-нибудь переменной, например, a, b и c.

Навыки элементарной алгебры Решение квадратных уравнений с помощью факторинга Решите каждое уравнение с помощью факторинга. 1) x2 — 9x + 18 = 0 2) x2 + 5x + 4 = 0 3) n2 — 64 = 0 4) b2 + 5b = 0 Бесплатная практика студентов по математике. Изменить ответ; Математика

Lg slider phone

Навыки элементарной алгебры Решение квадратных уравнений: завершение квадрата Решите каждое уравнение, заполнив квадрат.1) x2 + 2x — 24 = 0 2) p2 + 12p — 54 = 0 3) x2 — 8x + 15 = 0 4) r2 + 18r + 56 = 0 5) m2 — 6m — 55 = 0 6) m2 — 4m — 91 = 0 7) m2 + 16m — 32 = −7 8) r2 — 8r = −8 9) n2 = −14n — 37 10) n2 — 2n = 15

Блок 8_ Домашнее задание по квадратным уравнениям 4 Решение квадратичных уравнений путем факторинга ответа Ключ

Этот раздел иллюстрирует процесс решения уравнений различных форм. Он также показывает вам, как проверить свой ответ тремя разными способами: алгебраическим, графическим и с использованием концепции эквивалентности.В следующей таблице приведены частичные списки типичных уравнений. Ответы по алгебре Гленко 1. В математике алгебра играет очень важную роль. Это первая глава в алгебре Гленко 1. В этой главе студент изучает различные типы алгебраических функций и переменных. Эта глава посвящена основному уроку алгебры по экспоненциальным и квадратичным функциям.

Horizon zero dawn avx fix

В алгебре 1 вы обнаружили, что некоторые квадратные уравнения имеют отрицательные квадратные корни в своих решениях.В ходе исследования было обнаружено, что эти квадратные корни называются мнимыми числами, а корни — комплексными. Давайте освежим эти выводы относительно квадратных уравнений …

Единицы коэффициента демпфирования

Blender запекает карту нормалей из текстуры

Ruger lcp lasermax battery replacement

Forza Horizon 4 lootbox update0004 700295

Алюминиевая спусковая скоба adl

Продажа щенков йорков в ga craigslist

Горное озеро или бассейн, образовавшийся из-за дождя

Нерешенные проблемы безработица tn

Троллинговые грузила с вертлюжками

Cat c13 теряет охлаждающую жидкость

Номер службы экстренной помощи округа Керн

Схема фонокорректора Ne5532

Solangelo Kiss

Стандартные наборы матриц с прогрессивной разверткой abcd

d hk hari ini

Pry open гаражные ворота

Pro tools mastering шаблон

Duramax замена линии подачи масла для турбонагнетателя

Vrchat chromebook

Johnson

baby soap review обновить iphone без Wi-Fi или компьютера

Th5320r1002

Bluetooth led-контроллер Android-приложение

Как преобразовать квадратные уравнения из стандартной в вершинную форму

Стандартная форма квадратного уравнения — y = ax ^ 2 + bx + c, где a, b и c — коэффициенты, а y и x — переменные.2 — 14x) + 10.

Divide Coefficient

Затем разделите коэффициент члена x в скобках на два. Используйте свойство квадратного корня, чтобы возвести это число в квадрат. Использование этого метода свойств квадратного корня помогает найти решение квадратного уравнения путем извлечения квадратных корней из обеих сторон. В этом примере коэффициент перед x в скобках равен -14.

Уравнение баланса

Сложите число в круглых скобках, а затем, чтобы сбалансировать уравнение, умножьте его на коэффициент вне скобок и вычтите это число из всего квадратного уравнения.2 — 88. Квадратное уравнение теперь имеет вершинную форму. Графическое изображение параболы в форме вершины требует использования симметричных свойств функции, сначала выбирая значение в левой части и находя переменную y. Затем вы можете построить точки данных, чтобы построить параболу.

Квадратичная передаточная функция — обзор

2.1.1 Взаимодействия объемных волн

Традиционно прогнозирование волновой нагрузки при взаимодействиях объемных волн при нулевой скорости основывалось на решениях для потенциальных потоков.Рассмотрение вязких эффектов обычно ограничивалось конкретными проблемами, такими как расчет медленного дрейфа морских сооружений, оценка реакции качения, близкой к резонансу качения судов или барж, или оценка резонансных движений замкнутой жидкости между рядное расположение плавучих тел.

Недавно Pessoa et al. (2011) представили экспериментальное исследование сил возбуждения волн первого и второго порядка, действующих на тело простой геометрии, подверженное воздействию длинных гребешковых нерегулярных волн.Корпус симметричен относительно вертикальной оси, как вертикальный цилиндр с закругленным дном, и не может двигаться. Спектральный анализ второго порядка применялся для получения линейных спектров, спектров когерентности и перекрестных би-спектров как возвышения падающей волны, так и сил возбуждения горизонтальных и вертикальных волн. Линейные и квадратичные передаточные функции (QTF) возбуждающих сил были получены из анализа измерений нерегулярных волн. Результаты сравнивались с экспериментами с бихроматическими волнами и с численными предсказаниями на основе кода потенциального потока второго порядка.Несмотря на то, что соответствие экспериментальных и численных результатов было удовлетворительным для линейных сил, был сделан вывод, что измеренные волновые возбуждающие силы включают значительный нелинейный вклад для низкочастотного диапазона.

Результаты исследований, которые были представлены в области основанных на дне конструкций (например, одно- или многорядные цилиндры, фундаменты ветряных турбин, гравитационные опорные конструкции (ОГТ) и т. Д.), Показывают тенденцию к использованию моделирования CFD и приближенной нелинейной дифракции. модели.Например, Morgan и Zang (2010) исследовали использование пакета программного обеспечения CFD OpenFOAM с открытым исходным кодом для моделирования сфокусированных волновых пакетов, взаимодействующих с вертикальным нижним цилиндром. Высота волны вблизи цилиндра сравнивалась с экспериментальными данными. В исходной статье Zang et al. (2010) исследовали влияние дифракции более высокого порядка на нагрузку и продемонстрировали, что этот метод приводит к разумному согласию с экспериментами. Bredmose и Jacobsen (2010) сообщили об исследованиях типичного нижнего фундамента морской ветряной турбины, также с использованием пакета OpenFOAM.В этом исследовании особое внимание было уделено процессу генерации волн. Нагрузка жидкости, полученная из расчетов CFD, сравнивалась с результатами, полученными с помощью комбинации «метода растяжения Уиллера» для кинематики падающей волны и «уравнения Морисона» для нагрузки жидкости. Было показано, что сравнение эмпирических и расчетных результатов удовлетворительное. Роос и Хейвер (2010) и Роос и др. (2009) сообщили об экспериментальном исследовании воздействия волн на элементы конструкции, основанной на гравитации (GBS), состоящей из подводных кессонов для хранения в сочетании с четырьмя вертикальными цилиндрами, пронизывающими поверхность, на относительно мелкой воде.Авторы указывают, что большие ударные нагрузки по сравнению с теми, которые были измерены на нижней стороне настила (например, ударные нагрузки волны на настиле, нагрузки на вертикальные колонны и т. Д.), Могут быть успешно зарегистрированы.

Недавнее расширение рынка плавучих морских установок (FOI) привело к необходимости направить исследования для понимания эффектов различной глубины воды и связанных с ними высокочастотных характеристик таких конструкций на волнах с использованием передовых методов. Например, Йоханнесен (2011) вновь обратился к проблеме высокочастотного резонансного отклика морских сооружений в нерегулярных волнах, используя приближенные модели нелинейной дифракции.Автор пришел к выводу, что при условии тщательного представления спектральных свойств падающей волны такие модели позволяют хорошо представить резонансный отклик стационарных крупных морских структур. Янь и Лю (2010) провели полностью нелинейный анализ пришвартованного судна FPSO на мелководье с использованием метода конечных элементов Лагранжа – Эйлера. Также были проведены исследования влияния глубины воды на силы и накат волн. Численные результаты показывают, что индуцированные силы уменьшаются.Однако нелинейные составляющие могут быть более значительными по мере уменьшения глубины воды. Ли и Ким (2010) рассчитали движения двух плавучих тел (FSRU и LNGC) на мелководье. Авторы пришли к выводу, что в то время как горизонтальное нагонное движение существенно зависит от волновой деформации, помпаж значительно усиливается в низкочастотных волнах за счет нелинейных взаимодействий волна-волна.

Park et al. (2010) изучали движения и нагрузки LNG-FPSO с учетом эффектов раскачивания.Методология основана на совместной модели покачивания и движения во временной области. Было подтверждено, что ударное давление при плескании зависит от периода волны, количества заполненных резервуаров и уровня заполнения резервуара. Ryu et al. (2010) изучали колебательные нагрузки в частично заполненных резервуарах СПГ для СПГ при различных направлениях и состояниях моря. Они описали влияние высоты волны на колебательные нагрузки, особенно для частично заполненных резервуаров СПГ.

решение задач на квадратные уравнения 9 класс pdf

Опубликовано 1 июня 2021 г. пользователем

Оставить комментарий

экзамен по математике в 11 классе.MATH _0110: Промежуточная алгебра. 4 Модель с математикой. … Задача о словах по квадратным уравнениям Задачи со словами о числах Задачи со словами о возрастах Задачи со словами о деньгах … сайт, где он так хорошо генерирует листы по ряду тем в пределах одного класса. Вообще говоря, Алгебра 2 — это курс для 10 или 11 класса, потому что студенты обычно сначала изучают геометрию. Учащимся с любым уровнем подготовки предлагается решать линейные уравнения, системы уравнений, квадратные уравнения и многое другое в рамках школьной программы.К счастью для них, наши рабочие листы по решению уравнений по математике с ответами здесь, чтобы помочь практиковать все типы уравнений через увлекательную практику. Стандартная форма квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0). Простые задачи об уравнениях, сводимые к линейным уравнениям. добавление целых примеров. Ответьте на следующие вопросы. Эта точка, которая лежит на 1. Проанализируйте ситуации, в которых используются линейные функции, и сформулируйте линейные уравнения или неравенства для решения проблем. Департамент образования штата Айдахо> | > Государственная улица 650 Вт, 2 эт.Решайте квадратные уравнения графически., Бизнес из дома Домашняя работа в Интернете, математические задачи фракций упростят. Уровень обучения на курсе зависит от того, изучает ли студент сначала геометрию. Эфиопский учебник математики для 9 классов [PDF] Загрузить: Учебник математики для учащихся предоставляется Министерством образования Эфиопии бесплатно для всех школьников. Обычно студенты изучают алгебру 2 в 9, 10 или 11 классе. Обзор. ПРОЧИТАЙТЕ БУМАГУ. Алгебра II Модуль 3: Арабский язык — Zip-папка с файлами PDF (11.47 МБ) Алгебра II Модуль 3: арабский — Zip-папка документов Word (9,1 МБ) Алгебра II Модуль 3: Упрощенный китайский — Zip-папка файлов PDF (12,16 МБ) Алгебра II Модуль 3: Упрощенный китайский — Zip-папка документов Word ( 10,18 МБ) Мы хотели бы показать вам здесь описание, но сайт не позволяет. Алгебра II Модуль 2: арабский язык — Zip-папка с файлами PDF (8,49 МБ) Алгебра II Модуль 2: арабский язык — Zip-папка с документами Word (18,3 МБ) Модуль 2 алгебры II: упрощенный китайский — Zip-папка с файлами PDF (8.98 МБ) Алгебра II Модуль 2: упрощенный китайский — Zip-папка с документами Word (19,21 МБ), математика, стандарты содержания idaho. ) 3 (2 96 6. Линейные уравнения с двумя переменными: 9x + 6y — 82 = 0. Решение квадратных уравнений (только действительные mysqladmins) путем факторизации, завершения квадрата и квадратной формулы 5 Используйте соответствующие инструменты стратегически. ПРОЕКТ 24 марта 2014 г. 9 сложных Определение математических понятий или принципов, включенных в общий план Решение уравнений и неравенств Написание журнала для самооценки: Выражение понимания квадратных уравнений, квадратичных неравенств и рациональных алгебраических уравнений и их решений или корней печатный лист ответов.Обзор Степени / Сертификаты Курсы Факультет. Это исчерпывающий текст, который охватывает больше вопросов, чем типичный курс предварительного расчета на уровне колледжа на один или два семестра. 2.1a — около 500 — это документ Word. Уравнения бывают разных форм, и есть что распутать. 3 Придумывайте жизнеспособные аргументы и критикуйте рассуждения других. … (PDF — FREEBIE) Решение уравнений с переменными с обеих сторон. Что в Библии Пасхальные раскраски. Департамент образования Джорджии, июль 2019 г. Страница 4 из 8 Расширенная учебная программа GSE Algebra I — Стандарты 1-го семестра для математической практики 1 Разбирайтесь в проблемах и настойчиво их решайте.рождественские занятия по математике 5 класс. Число 2-го класса и чувство числа. Поскольку современные вычислительные устройства часто отображают от 8 до 10 знаков после запятой, учащиеся часто выражают ответы с гораздо большей степенью точности, чем требуется. boise, idaho 83702 Загрузить полный пакет PDF. ПРОЕКТ 24 марта 2014 г. 53 МОДУЛЬ ДЛЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКА 9 УРОК № Онлайн-практика. 2) Метод формул — его можно использовать для любого квадратного уравнения. Содержание организовано с учетом четко определенных целей обучения и включает в себя отработанные примеры, демонстрирующие подходы к решению проблем доступным способом.Стандарты математики Скачать стандарты Распечатать эту страницу Более десяти лет исследования математического образования в странах с высокими показателями пришли к выводу, что математическое образование в Соединенных Штатах должно стать значительно более целенаправленным и последовательным, чтобы улучшить успеваемость по математике в этой стране. Учащиеся упрощают выражения, прежде чем решать линейные уравнения и неравенства с одной переменной, например 3 (2x — 5) + 4 (x — 2) = 12. Краткое изложение этой статьи. Лабиринт по решению уравнений. Упражнения для использования на уроке алгебры 1.Учащиеся решают многоступенчатые задачи, в том числе задачи с текстом, с использованием линейных уравнений и «Решение квадратных уравнений с использованием квадратного корня и квадратной формулы». Это документ Word. … дайте своим ученикам цель решить лабиринт, но единственный способ, которым они могут это сделать, — это получить правильные ответы на математические задачи в упражнениях на решение лабиринта уравнений. Общий вид квадратного уравнения. уравнения, каждое из которых можно изобразить в виде прямой линии, и рассмотреть полученный график из двух линий.Указания: вместе с партнером постарайтесь упростить каждое из следующих выражений. (Word) … / Версия PDF; 6.5b — Решение задач, связанных с операциями с дробями и смешанными числами — это документ Word. Precalculus адаптируется и разработан для удовлетворения потребностей различных курсов предварительного расчета. 2D: РЕШЕНИЕ КВАДРАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ Что нужно ЗНАТЬ: Задание 1. Быть простым — хорошо! Эта бумага. 31 Полный PDF-файл, относящийся к этой статье. 4.NF.B.4c Решать задачи со словами, связанные с умножением дроби на целое число, e.g., используя модели визуальных фракций и уравнения для представления проблемы. Как это решить _поля_ [pdf] Скачать. Как это решить _polya_ [pdf… Рабочие листы для печати с 10 вопросами в формате PDF. Здесь a = 5, b = -5 и c = -35. 2. Решение общих задач химии 5-е издание — Р. Нельсон Смит — Бесплатная электронная книга для скачивания в виде PDF-файла (.pdf), текстового файла (.txt) или прочтите книгу бесплатно в Интернете. решение, рассуждение и доказательство, размышление, выбор инструментов и вычислительных стратегий, соединение, представление и общение.3. решение задач, связанных с измерением. Чтобы кто-то мог твердо понять решение проблем из этой главы, наша команда экспертов подготовила ответы на упражнения, доступные здесь. Решения RD Sharma для класса 10. Для студентов, которые планируют перевод, завершение CSU General-Breadth или IGETC общеобразовательная модель приветствуется. Основные модули в этой главе перечислены ниже: Определение квадратных уравнений. Решатель алгебры с двумя переменными, как решить возведение в степень, Корпоративные рождественские открытки, электронная книга «Понимание базовой статистики», калькулятор для решения вероятностей, последовательные целочисленные квадратичные задачи со словами.MATH _0110 — это подготовительный курс к поступлению в колледж по алгебре, который не дает никаких баллов при получении степени бакалавра. 5 класс по математике, глиняная керамика. Обоснование содержания: этот контент надежно хранится, по сути, это 4-й класс. ax 2 + bx + c = 0, \ (a \ neq 0 \) Пример: 5x 2 — 5y -35 = 0. Квадратные уравнения — а. Учащиеся решают уравнения и неравенства с использованием абсолютных величин. Квадратное уравнение — это уравнение второго порядка, в котором любая из переменных содержит показатель степени 2.) 1 (2 20366 2. Например, если каждый человек на вечеринке съест 2 Разума абстрактно и количественно. Раскраски Кингандсалливан — Дора и друзья для печати. ​​Есть 2 основных метода, которые можно использовать при решении квадратного уравнения: 1) Факторинг метод — используется для конкретных случаев, когда в решении используются целые числа или дроби. Стандарты от детского сада до 8 класса готовят учащихся к высшей математике. Однако оценка, полученная в MATH _0110, действительно засчитывается в общий средний балл студента.Учебное пособие по математике для восьмого класса, онлайн-калькулятор первообразных, калькулятор для решения целых чисел путем сложения и вычитания, нахождение квадратных квадратного уравнения, уравнения сложения и вычитания, рабочие листы 3-го уровня, почему используются плитки алгебры. Что бы это значило, если бы между двумя линиями существовала точка пересечения? Онлайн-практика. ) 3 (2 96 7. Простые ситуационные задачи. Раскраски для подростков с цитатами. Скачать PDF. Каждый из курсов математики для 9-х и 10-х классов включает в себя набор ожиданий, которые в этом документе называются «математическими ожиданиями процесса»). методы решения линейных уравнений и неравенств с использованием конкретных моделей, графиков и свойств равенства; выбрать метод и решить уравнения и неравенства.Квадратные уравнения. Формулировка квадратных уравнений. std 1 вопросы по математике. Радикальные уравнения Министерство образования Федеративной Демократической Республики Эфиопия разработало эту книгу в соответствии с новыми образовательными рамками, определенными… Это также зависит от способностей ученика к математике. Измерение часто используемых предметов и выбор правильных единиц измерения являются частью учебной программы по математике перед старшей школой. В каком классе вы изучаете алгебру 2? Программа математики предоставляет студентам возможность завершить начальную курсовую работу, необходимую для четырехлетних программ по математике.Стандарты требуют изучения математического содержания в контексте реальных ситуаций, использования математики для решения задач и развития «умственных способностей», которые способствуют овладению математическим содержанием, а также математическому пониманию.

Icd-10 Алкогольный цирроз с асцитом,
План реагирования на чрезвычайные ситуации штата Юта,
Женские кроссовки Dior,
Март 2021 года, спойлеры Boxycharm,
Normani Shirt Urban Outfitters,
Винтажные сандалии Gucci,
Тренер по-прежнему в стиле 2020,
Передача теплового запаса при закрытии,

← Convocatòria per l’Assemblea General Ordinària

Блок 2.Ответы на 2 квадратных задачи со словами

Раздел 2.2 Ответы на квадратичные задачи со словами

Урок 6.6: Решение задач с использованием квадратичных моделей, стр. 352–359 Решайте задачи, которые можно моделировать квадратичными отношениями, используя различные инструменты и стратегии. Сетка на 1 день; правитель; графический калькулятор; Урок 6.6 Дополнительная практика в середине главы, стр. 333–335 Обзор главы, стр. 360–362 Самопроверка главы, стр. 363

Урок 6.6: Решение проблем с использованием квадратичных моделей, стр. 352–359 Решайте проблемы, которые можно моделировать квадратичными отношениями, используя различные инструменты и стратегии.Сетка на 1 день; правитель; графический калькулятор; Урок 6.6 Дополнительная практика в середине главы, стр. 333–335 Обзор главы, стр. 360–362 Самопроверка главы, стр. 363

Я пишу, чтобы пожаловаться на этот вопрос, и проблема случилась со мной в те последние недели. Надо! успеваемость 8 (блоки 1-15) — заполнить пропуски пропущенными словами. 1. в прошлый понедельник по телевизору показали отличный фильм. ты видишь это ?

Вы также можете столкнуться с проблемами типа построения, которые связаны с проблемами площади или геометрии, которые имеют дело с прямоугольными треугольниками.К счастью для вас, вы можете решать квадратные уравнения, теперь вам просто нужно научиться применять этот полезный навык. На этой конкретной странице мы собираемся взглянуть на физическую «проблему снаряда». Снаряды — Пример 1

квадратные формулы-задачи-слова-kuta-answers 1/6 Загружено с ny.hearstfdn.org 20 декабря 2020 г. гостем Загрузить квадратные формулы Задачи со словами Kuta Answers Спасибо за загрузку квадратных формул задач со словами kuta ответы. Как вы, возможно, знаете, люди много раз искали свои

. Например, видят x 4 — y 4 как (x 2) 2 — (y 2) 2, таким образом распознавая это как разность квадратов, которую можно разложить на множители как х 2 — у 2) (х 2 + у 2).Напишите выражения в эквивалентной форме для решения проблем. MGSE9-12.A.SSE.3 Выберите и создайте эквивалентную форму выражения, чтобы раскрыть и объяснить свойства величины, представленной …

Рабочий лист задач по квадратному уравнению с ответами на математические вопросы с ответами на поиск максимума и минимума значения, вершина, ось симметрии, интервал увеличения и уменьшения и диапазон квадратичных функций. Вопрос 1 Найдите максимальное или минимальное значение f (x) = 2x 2 + 3x — 5 математических вопросов с ответами (13): квадратичные функции

В некоторых задачах мультипликативного сравнения слов вам дается количество элементов в одном наборе, and you Эти задачи, в которых вы знаете как число в одном наборе, так и множитель, называются «Вернитесь к задаче, чтобы убедиться, что вы ответили на заданный вопрос, и что ваш…

Hells Angels Brooklin

1.6 Проблемы со словом преобразования единиц измерения; 1.7 Пазлы для домашних заданий; Глава 2: Линейные уравнения. 2.1 Элементарные линейные уравнения. 2.2 Решение линейных уравнений; 2.3. Промежуточные линейные уравнения. 2.4. Дробно-линейные уравнения. 2.5. Абсолютные уравнения. 2.6 Работа с формулами; 2.7 Проблемы со словом вариации; 2.8 Загадка Mystery X; Глава 3 … Например, см. X 4 — y 4 как (x 2) 2 — (y 2) 2, таким образом распознавая это как разность квадратов, которую можно разложить на множители как (x 2 — y 2) (x 2 + у 2).Напишите выражения в эквивалентной форме для решения проблем. MGSE9-12.A.SSE.3 Выберите и создайте эквивалентную форму выражения, чтобы раскрыть и объяснить свойства количества, представленного …

Экотуризм ielts чтение ответов

Silvia (intermedio 2 lunes) имеет запросил ответы на тест в Блоке 3, так что мы идем: Страница 50: a: 1. ДТП произошло, когда дорога ремонтировалась (пассивный, в прошлом непрерывный) 2. Убийца, вероятно, никогда не будет найден (пассивный, будет -будущее для прогноза с добавлением «вероятно»…

Вот несколько советов, которые помогут вам ввести проблему в текстовое поле на этом сайте: Клавиша + означает плюс, а клавиша — означает минус. * ([Shift] — [8]) означает времена, а / означает деление. 2 + 2/3 * 8 — это «два плюс два, разделенные на 3 умноженные на 8». Webmath всегда следует правильному «порядку действий» для всего, что вы вводите. Webmath знает, когда размножаться.

Полная интеграция LMS и SIS. Слишком часто округам приходится выбирать между высоким уровнем учебных программ и удобной цифровой платформой. Благодаря партнерству с LearnZillion учителя, учащиеся и общины округа извлекают выгоду из превосходных учебных программ и простоты реализации.Проблемы со словом площади поверхности: Имя: _____ 1.) Косметическая компания, которая производит маленькие цилиндрические бруски мыла, оборачивает бруски в пластик перед отправкой. Найдите площадь поверхности куска мыла, если его диаметр 5 см, а высота 2 см. Используйте 3,14 для π. 2.) Хлоя хочет упаковать подарок в коробку для Сары.

Borax для Candida

Подготовьте студентов к успеху в алгебре 2 и не только! Изучите всю учебную программу по алгебре 2: тригонометрия, логарифмы, полиномы и многое другое.Попробуйте бесплатно!

Кроме того, найденная вами формула может быть не совсем f (x) = x 2 + 2, но будет напоминать ее. (например, бросание объекта в небо — это перевернутая парабола). (например, бросание объекта в небо — это перевернутая парабола).

1. Найдите в тексте слова или словосочетания, заменяющие следующее: 1. любую конкретную отрасль знания. город или страна. 8. Ученые находят ответы на проблемы, с которыми сталкиваются люди. Алгебра 1, квартал 2, блок 2.2 Построение графиков, создание, сравнение и использование функций для моделирования ситуаций Обзор Количество учебных дней: 8 (1 день = 45 минут) Содержание, которое необходимо изучить Математические практики, которые необходимо интегрировать • Интерпретируйте параметры линейной функции в терминах контекста. • Извлеките соответствующую информацию из слова

Силиконовые формы Sea life

Показывает вам пошаговые решения с использованием квадратной формулы! Этот калькулятор решит ваши проблемы.

В этом уроке мы увидим, как моделировать сценарии реального мира, используя линейные уравнения, а затем решать их.Для просмотра рабочего листа, используемого в этом уроке, щелкните: http: // www …

Навыки элементарной алгебры Решение квадратных уравнений с помощью факторинга. Решите каждое уравнение с помощью факторинга. 1) x2 — 9x + 18 = 0 2) x2 + 5x + 4 = 0 3) n2 — 64 = 0 4) b2 + 5b = 0 Canvas, и убедитесь, что выбран параметр Show Bounds Rectangles. См. Полный список на Docs.microsoft.com. Введите «myTextField» в поле «Имя» и нажмите «Подключиться». Xcode создаст Prope

Gravely belt sizes

АЛГЕБРА 10-РЕШЕНИЕ КВАДРАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ КВАДРАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ФАКТОРИНГОМ (ДЕНЬ 1) КАК РЕШИТЬ КВАДРАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ: Шаг 1: Напишите уравнение в стандартной форме.Шаг 2: Разложите квадратное уравнение на множители. Шаг 3: После того, как проблема была учтена, мы завершим шаг, называемый «T-диаграммой». Создайте букву T, разделяющую два ().

4 = 2 × 2 = 2 2 3y = 3 × y ∴ LCM = 22 × 3 × y Чтобы иметь возможность решать рациональные уравнения; (i) Начните с определения НОК знаменателей в каждом уравнении. (ii) Используйте НОК для исключения знаменателей путем умножения каждой дроби или члена на НОК. (iii) Затем решите полученное уравнение. Упражнение 3.6. Сводка единиц

• Коэффициенты из таблицы преобразования: если в таблице указано «преобразовать фунты в кг, умножьте их на 2.2, затем запишите «2,2 фунта / 1 кг». 3. Задайте задачу, используя только то, что вам нужно знать. A. Выберите начальный фактор. • Если возможно, выберите из известных вам факторов фактор, имеющий одну из единиц, которая также в вашем блоке ответов, и это в нужном месте. Блок 1. Информационная супермагистраль. 1 Посмотрите на список слов и фраз. Если возможно, попробуйте с партнером точно предугадать, что происходит 2 Перед чтением текста поработайте с партнером, задайте вопросы и ответьте на них. Основывайте свои ответы на своем возможном знании темы.

Рабочий лист «Пищевые сети и энергетические пирамиды сестер Амеба» отвечает на вопросы

Рабочие листы по алгебре для курсов алгебры I и алгебры II, которые начинаются с простых уравнений и многочленов и переходят к сложным коникам. Большой набор задач по алгебре можно использовать для решения многих вопросов по алгебре.

ОБЗОР БЛОКА 6 Неверные числа. Обзор . a2_unit_6_review.pdf: Размер файла: 119 кб: Тип файла:

Сюда входят задачи со словами. Решение квадратных уравнений с использованием факторизации, завершения квадрата и формулы корней квадратного уравнения.Это включает проблемы со словами. Нахождение значения дискриминации. Например: Найдите значение k, если уравнение _____ имеет два действительных корня. Определение уравнения квадратичной функции. Решение системы уравнений. 3 февраля 2013 г. · Если вы заинтересованы в покупке моей НОВОЙ книги задач / викторин 2012 г., нажмите «КУПИТЬ СЕЙЧАС» в верхней части правой боковой панели. 175 задач, разделенных на 35 тестов с ответами на конце и ПОДРОБНЫЕ РЕШЕНИЯ / @ для первых 8 тестов. Подходит для сдачи SAT I, предметных тестов I / II по математике, общих основных оценок, практических занятий по математике и ежедневных / еженедельных задач…

Определите угол связи для cfcl3

Понедельник, 14 сентября 2009 г. ЧАСТЬ 2 В глазах общественности. Затем прослушайте запись и выясните, был ли ваш ответ правильным. 1. Дэрил любит носить дорогую одежду. 11. Заполните пропуски правильным словом. 1. Швейцария популярна среди лыжников. 2. Карл Льюис известен тем, что выиграл 4 золотые медали в …

Лаборатория модели станции, ответы на часть 2

Все перечисленные ниже виды деятельности являются основными видами деятельности цепочки создания стоимости, за исключением

Наземная антенна цифрового телевидения

Что означает, если девушка пришлет вам свое изображение в ванне?

Викторина по маркировке структуры листа

2020 rzr pro xp specs

Блок 5 полиномиальных функций домашнее задание 2 графических полиномиальных функций Gunfighter grip mod 2 vs 3

Сколько времени требуется керамическому покрытию для отверждения

Практика определения переменных pdf

Головоломки 1000 штук дешево

Java regex только буквы и цифры

95 вопросов викторины сеятеля

Qwiso vs RSO

Всемирная история c hapter 19 review quizlet

Деревообрабатывающие тиски Yost vs Eclipse

Калькулятор пропорциональной шкалы

Служба денежных переводов Bitcoin

Ford ranger raptor fenders

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *