Метод гаусса для решения матриц: Метод Гаусса — примеры c решением, теоремы и формулы

Содержание

Метод Гаусса — примеры c решением, теоремы и формулы

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

О чем статья

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

Обратите внимание!

СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:

  1. Одно решение;
  2. много решений;
  3. совсем не иметь решений.

В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.

Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:

  • перемена мест уравнений системы;
  • почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
  • сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

   

где а, в, с  – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.

Если = = = , тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.

Множественные числа , , называются решением СЛАУ, если при подстановке , , в СЛАУ получим числовые тождества.

Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:

– это основная матрица СЛАУ.

– матрица столбец неизвестных переменных.

– матрица столбец свободных членов.

Если к основной матрице добавить в качестве – ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой , а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:

Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если – матрица невырожденная.

Обратите внимание!

Если с системой уравнений:          

Произвести такие действия:

  • умножать обе части любого из уравнений на произвольное и отличное от нуля число ;
  • менять местами уравнения;
  • к обеим частям любого из уравнений прибавить определённые части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число ,

тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.

Матрица системы – это матрица, которая составляется исключительно с коэффициентами при неизвестных. Что касается расширенной матрицы системы, так, это такая матрица, в которой кроме коэффициентов записаны ещё и свободные члены. Любую из этих матриц называют просто матрицей.

На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:

.

2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).

3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.

5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:

Для удобства умножаем первую строку на (-3):

Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:

В итоге получилось такое преобразование:

Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же и вот что получается:

В матрице верхняя строка преобразовалась:

Первую строку делим на и преобразовалась нижняя строка:

И верхнюю строку поделили на то же самое число :

Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.

Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:

.

Обратите внимание!

Если в примере приведены десятичные дроби, метод Гаусса в этом случае также поможет решить систему линейных алгебраических уравнений. Однако, не стоит забывать, что следует избегать приближённых вычислений, так как ответ будет неверным. Лучше всего использовать десятичные дроби, а от них переходить к обыкновенным дробям.

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Записываем матрицу:

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на и вторую строку прибавили к первой , умноженной на .

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:

Верхнюю строку делим на и приводим матрицу к ступенчатому виду:

Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки.:

находим : ,

,

.

После находим :

,

.

Тогда:

.

Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда . Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.

Дана система уравнений:

Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной . Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно и полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную :

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что . Из второго уравнения находим . И последнее, находим первое уравнение .

Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.

Когда выражается через и в первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:

  • берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на ,
  • берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на .

И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную со второго и третьего уравнения системы:

Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:

В этой системе в первом уравнении нет переменной и поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно , чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.

Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.

В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.

Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной и убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.

Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.

В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества . В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.

Например, вам попалась подобная система:

У нас получается такая ситуация

Как видим, второе уравнение . Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.

Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: , где – число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло  вид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную из всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:

В третьем уравнении получилось равенство . Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных , и , и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.

3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную , и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной . Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной . Если же  уже исключались, тогда переходим к ,  и т. д.

Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная :

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с исключились и . Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной из всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:

Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную из последнего уравнения:

Допусти, что система уравнений стала:

В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к . В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:

В нашем примере это , и . В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:

Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: , , , где , ,  – произвольные числа.

Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: , и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: , а из первого уравнения получаем:

= =

В итоге, получился результат, который можно и записать.

Ответ

,

,

,

,

,

.

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.

Пример 1

Задача 

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решение

Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:

Так как мы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой превратился в . Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на .Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на (разрешающий элемент данного шага).

Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:

Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался . Для этого первую строку нужно умножить на и только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на вторую строку. Вот что получилось:

. Теперь прибавляем со второй строки первую строку . У нас получился , который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:

Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.

Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:

Записываем новую систему уравнений:

Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала :

Так как найден, находим :

.

Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные и :

и .

Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.

Ответ

Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

Пример 2

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:

Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем , а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: . В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем , и . Аналогично, и . И умножаем свободный член . Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:

Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:

Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, . Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:

В результате получилась ступенчатая система уравнений:

Сначала находим : ,

.

Обратный ход:

Итак, уравнение системы решено верно.

Ответ

,

,

.

Пример 3

Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.

Задача

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение                                                                

В уравнении , то есть – ведущий член и пусть  ≠ 0

Из данного уравнения составим расширенную матрицу:

Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: , , . Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную из каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в теперь стоит 0.

Поменяем вторую и третью строку местами и получим:

Получилось так, что = b и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную из третьей и четвёртой строк:

Получилась такая матрица:

Также, учитывая, что  = , умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную и получаем новую систему уравнений:

Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения ,

из третьего: = = =

второе уравнение находим: = = = 2,

из первого уравнения: = .

Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).

Ответ

,

,

,

.

Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

Пример 4

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Записываем расширенную матрицу системы:

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

 

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:

Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:

Получился ступенчатый вид уравнения:

Проверяем:

,

,

,

,

.

.

  Ответ

,

,

.

Заключение

Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.

Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.

Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.

Литература для общего развития:

Умнов А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра, изд. 3: учеб. пособие – М. МФТИ – 2011 – 259 с.

Карчевский Е. М. Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии, учеб. пособие – Казанский университет – 2012 – 302 с.

принцип, теорема и примеры решения задач

Содержание:

  • Историческая справка
  • Принцип метода Гаусса
  • Примеры решения систем уравнений

Историческая справка

Метод Гаусса был предложен известнейшим немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 — 1855) и является одним из
наиболее универсальных методов решения СЛАУ. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений
неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом
решении задачи, расширенная матрица системы с помощью
элементарных преобразований над ее строками приводится к ступенчатому
виду. Далее последовательно находятся все неизвестные, начиная снизу вверх.

Принцип метода Гаусса

Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение
расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под
главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется
методом Гаусса, обратный — методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения
переменных.

Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений,
которые не являются квадратными (чего не скажешь про
метод Крамера и
матричный метод). То есть метод Гаусса — наиболее
универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет
бесконечно много решений или несовместна.

Примеры решения систем уравнений

Пример

Задание. Решить СЛАУ
$\left\{\begin{array}{l}
2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\
x_{1}-x_{2}=-2 \\
3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2
\end{array}\right.$ методом Гаусса.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее
строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса
(сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_{11}$ равнялся 1 (это мы делаем для упрощения
вычислений):

$$\tilde{A}=A \mid B=\left(\begin{array}{rrr|r}
2 & 1 & 1 & 2 \\
1 & -1 & 0 & -2 \\
3 & -1 & 2 & 2
\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & -1 & 0 & -2 \\
2 & 1 & 1 & 2 \\
3 & -1 & 2 & 2
\end{array}\right)$$

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых,
от третьей — три первых:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & -1 & 0 & -2 \\
0 & 3 & 1 & 6 \\
0 & 2 & 2 & 8
\end{array}\right)$$

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $\frac{1}{2}$ ):

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & -1 & 0 & -2 \\
0 & 3 & 1 & 6 \\
0 & 1 & 1 & 4
\end{array}\right)$$

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений
поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 1 & 4 \\
0 & 3 & 1 & 6
\end{array}\right)$$

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & -1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 1 & 4 \\
0 & 0 & -2 & -6
\end{array}\right)$$

Умножив третью строку на $\left(-\frac{1}{2}\right)$ , получаем:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & -1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{array}\right)$$

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю.
Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент $a_{23}$, для этого от второй строки отнимем третью:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & -1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{array}\right)$$

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{array}\right)$$

Полученной матрице соответствует система

$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+0 \cdot x_{2}+0 \cdot x_{3}=-1 \\ 0 \cdot x_{1}+x_{2}+0 \cdot x_{3}=1 \\ 0 \cdot x_{1}+0 \cdot x_{2}+x_{3}=3\end{array}\right.$
   или   $\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=-1 \\
x_{2}=1 \\
x_{3}=3
\end{array}\right.$

Ответ. $\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=-1 \\
x_{2}=1 \\
x_{3}=3
\end{array}\right. $

Читать дальше: однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Исключение Гаусса-Жордана

– объяснение и примеры

Метод исключения Гаусса-Жордана представляет собой алгоритм для решения линейной системы уравнений. Мы также можем использовать его, чтобы найти обратную обратимую матрицу. Давайте сначала посмотрим на определение:

Исключение Гаусса-Жордана или исключение Гаусса — это алгоритм решения системы линейных уравнений путем представления ее в виде расширенной матрицы, сокращения ее с помощью операций над строками и представления системы в сокращенной строке. -ступенчатая форма для нахождения значений переменных.

В этом уроке мы подробно рассмотрим метод исключения Гаусса и способы решения системы линейных уравнений с использованием метода исключения Гаусса-Жордана. Примеры и практические вопросы будут следовать.

Что такое исключение Гаусса?

Исключение Гаусса — это структурированный метод решения системы линейных уравнений. Таким образом, это алгоритм, который можно легко запрограммировать для решения системы линейных уравнений. Основная цель Gauss-Jordan Elimination:

  • для представления системы линейных уравнений в расширенной матричной форме
  • затем выполнение операций со строками $ 3 $ до тех пор, пока не будет получена сокращенная эшелонированная форма строк (RREF)
  • Наконец, мы можем легко распознать решения из RREF

Давайте посмотрим, что такое расширенная матричная форма, $3$ операции над строками, которые мы можем выполнять над матрицей, и уменьшенная эшелонированная форма строки матрицы.

Расширенная матрица

Система линейных уравнений показана ниже:

$ \begin{align*} 2x + 3y &= \,7 \\ x – y  &= 4  \end{align*} $

Мы запишем расширенную матрицу этой системы, используя коэффициенты уравнений и записать его в стиле , показанном ниже:

$ \left[ \begin{array}{ r r | r } 2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 4  \end{array} \right] $

Пример использования одновременных уравнений $ 3 $ показан ниже:

$ \begin{align*} 2x + y + z  &= \,10 \\ x + 2y + 3z &= 1 \\  – x – y – z  &= 2  \end{align*} $

Представление этой системы в виде расширенной матрицы:

$ \left[ \begin{array}{ r r r | r } 2 & 1 & 1 & 10 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ – 1 & – 1 &  – 1  & 2  \end{array} \right] $

Операции со строками над матрицей

Есть $ 3 $ элементарных операций над строками , которые мы можем выполнять над матрицами. Это не изменит решения системы. Это:

  1. Перестановка $ 2 $ строк
  2. Умножение строки на ненулевой ($\neq 0 $) скаляр
  3. Сложение или вычитание скаляра, кратного одной строки, другой строке.

Сокращенная эшелонированная форма строк

Основная цель метода исключения Гаусса Жордана состоит в том, чтобы использовать $ 3 $ элементарных операций со строками над расширенной матрицей, чтобы привести ее к сокращенной эшелонированной форме строк (RREF). Говорят, что матрица находится в сокращенной эшелонированной форме строк , также известной как каноническая форма строк , если выполняются следующие $ 4 $ условия:

  1. строк с нулевыми элементами (все элементы этой строки равны $ 0 $ s) находятся внизу матрицы.
  2. ведущая запись (первая ненулевая запись в строке) каждой ненулевой строки располагается справа   от ведущей записи строки непосредственно над ней.
  3. Начальная запись в любой ненулевой строке равна $ 1 $.
  4. Все записи в столбце, содержащем ведущую запись ($ 1 $), являются нулями.

Как выполнить исключение Гаусса Жордана

В методе исключения Гаусса Жордана нет определенных шагов, но приведенный ниже алгоритм описывает шаги, которые мы выполняем, чтобы получить расширенную матрицу в форме сокращенного эшелона строк.

  1. Поменять местами строки так, чтобы все строки с нулевыми элементами оказались внизу матрицы.
  2. Поменять местами строки так, чтобы строка с самой большой крайней левой цифрой находилась в верхней части матрицы.
  3. Умножьте верхнюю строку на скаляр, который преобразует начальную запись верхней строки в $ 1 $ (если первая запись верхней строки равна $ a $, умножьте ее на $ \frac{ 1 }{ a } $, чтобы получить $1$).
  4. Прибавьте или вычтите кратные числа из верхней строки к другим строкам, чтобы все записи в столбце ведущей записи верхней строки были равны нулю.
  5. Выполните шаги $ 2–4 $ для следующей крайней левой ненулевой записи , пока все ведущие записи каждой строки не станут $ 1 $.
  6. Поменяйте местами строки так, чтобы начальный элемент каждой ненулевой строки находился справа от ведущего элемента строки непосредственно над ним

На первый взгляд, запомнить шаги не так просто. Это вопрос решения нескольких проблем, пока вы не освоите процесс. Существует также фактор интуиции , который играет БОЛЬШУЮ роль в выполнении метода исключения Гаусса-Жордана.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы пояснить процесс решения системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса-Жордана . Пример 1 3x } – 4y  &= { 14 }  \end{align*} $

Решение

Первым шагом является запись расширенной матрицы системы. Мы покажем это ниже:

$ \left[ \begin{array}{ r r | r } – 1 & 2 & – 6 \\ 3 & -4 & 14  \end{array} \right] $

Теперь наша задача состоит в том, чтобы привести матрицу к приведенной эшелонированной форме строк (RREF), выполнив $ 3 $ элементарные операции со строками.

Расширенная матрица, которая у нас есть:

$ \left[ \begin{array}{ r r | r } – 1 & 2 & – 6 \\ 3 & – 4 & 14  \end{array} \right] $

Шаг 1:

Мы можем умножить первую строку на $ – 1 $, чтобы получить начальную запись $ 1 $. Ниже показано:

$ \left[ \begin{array}{ r r | r } 1 & – 2 & 6 \\ 3 & – 4 & 14  \end{array} \right] $

Шаг 2:

Теперь мы можем умножить первую строку на $ 3 $ и вычесть ее из второй ряд. Ниже показано:

$ \left[ \begin{array}{ r r | r } 1 & -2 & 6 \\ {3 – ( 1 \times 3 ) } & { -4 – ( -2 \times 3 ) } & { 14 –  ( 6 \times 3 ) }  \end{array} \ справа] $

$  = \left[  ​​\begin{array}{ r r | r } 1 & – 2 & 6 \\ 0 & 2 & – 4  \end{array} \right] $

У нас есть $ 0 $ в качестве первой записи второй строки.

Шаг 3:

Чтобы сделать вторую запись второй строки $ 1 $, мы можем умножить вторую строку на $ \ frac { 1 }{ 2 } $. Ниже показано:

$  \left[ \begin{array}{ r r | r } 1 & – 2 & 6 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } \times 0} & { \frac{ 1 }{ 2 } \times 2 } & { \frac{ 1 }{ 2 } \times – 4}  \end{массив} \right] $

$  = \left[ \begin{array}{ r r | r } 1 & – 2 & 6 \\ 0 & 1 & – 2  \end{array} \right] $

Шаг 4:

Мы почти у цели!

Вторая запись первой строки должна быть $0 $. Для этого умножаем вторую строку на $2$ и прибавляем к первой строке. Ниже показано:

$ \left[ \begin{array}{ r r | r } { 1 + (0 \times 2 ) } & { – 2 + (1 \times 2 ) } & {6 + ( – 2 \times 2 ) } \\ 0 & 1 & – 2  \end{array} \ справа] $

$  = \left[  ​​\begin{array}{ r r | r } 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & – 2  \end{array} \right] $

Это  сокращенный эшелон строк   формы . Из расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

$ \begin{align*} x  + 0y &= \, 2 \\  0x  + y  &=  -2  \end{align*} $

$ \begin{align*} x &= \, 2 \\ y &= – 2  \end{align*} $

Таким образом, решением системы уравнений является $ x = 2 $ и $ y = – 2$. 9Пример 2 align*} $

Solution

Запишем расширенную матрицу системы уравнений:

$ \left[  ​​\begin{array}{ r r | r } 1 & 2 & 4 \\ 1 & – 2 & 6  \end{array} \right] $

Теперь мы выполняем элементарные операции со строками над этой матрицей, пока не придем к сокращенной ступенчатой ​​форме строк.

Шаг 1:

Умножаем первую строку на $1$ и затем вычитаем ее из второй строки. По сути, это вычитание первой строки из второй строки:

$ \left[ \begin{array}{ r r | r } 1 & 2 & 4 \\ 1 – 1 & – 2 – 2 & 6 – 4  \end{массив} \right] $

$ =\left[ \begin{array}{ r r | r } 1 & 2 & 4 \\ 0 & – 4 & 2  \end{array} \right] $

Шаг 2:

Умножаем вторую строку на $ -\frac{ 1 }{ 4 }$, чтобы получить вторая запись ряда, $1$:

$\left[ \begin{array}{ r r | r } 1 & 2 & 4 \\ 0 \times -\frac{ 1 }{ 4 } & – 4 \times -\frac{ 1 }{ 4 } & 2 \times -\frac{ 1 }{ 4 }  \end {массив} \right] $

$ =\left[ \begin{array}{ r r | r } 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{ 1 }{ 2 }  \end{array} \right] $

Шаг 3:

Наконец, мы умножаем вторую строку на $ – 2 $ и добавьте его к первой строке, чтобы получить уменьшенную форму эшелона строк этой матрицы:

$\left[ \begin{array}{ r r | r } 1+(- 2\times 0) & 2+( — 2 \times 1) & 4 + ( — 2 \times -\frac{ 1 }{ 2 } ) \\ 0 & 1 & -\frac{ 1 }{ 2 }  \end{массив} \right] $

$=\left[ \begin{array}{ r r | r } 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -\frac{ 1 }{ 2 }  \end{array} \right] $

Это  уменьшенный эшелон строк   формы . Из расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

$ \begin{align*} x + 0y &= \, 5 \\ 0x+ y  &= -\frac{ 1 }{ 2 }  \end {align*} $

$ \begin{align*} x &= \, 5 \\ y &= -\frac{ 1 }{ 2 }  \end{align*} $

Таким образом, решение системы уравнений есть $ x = 5 $ и $ y = -\frac{ 1 }{ 2 } $.

Практические вопросы

  1. Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Жордана:

    $ \begin{align*} 2x + y &= \, – 3 \\ – x – y  &= 2  \end{align*} $

  2. Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса-Жордана:

    $ \begin{align*} x + 5y &= \, 15 \\ – x + 5y  &= 25 \end{align*} $

Ответы

  1. Начнем с записи расширенной матрицы системы уравнений:

    $ \left[ \begin{array}{r r | r} 2 & 1 & – 3 \\ – 1 & – 1 & 2  \end{array} \right] $

    Теперь мы выполняем элементарные операции со строками, чтобы получить наше решение.

    Первый,
    Меняем местами знаки второй строки и меняем местами строки. Итак, имеем:
    $ \left[ \begin{array}{r r | r} 1 & 1 & – 2 \\ 2 & 1 & – 3  \end{array} \right] $
    Второй,
    Вычитаем дважды первую строку из второй строки:
    $ \left[ \begin{array}{ р р | r} 1 & 1 & – 2 \\ 2 – ( 2 \times 1 ) & 1 – ( 2 \times 1 ) & – 3 – ( 2 \times – 2 )  \end{array} \right] $
    $ = \left[ \begin{array}{r r | r} 1 & 1 & – 2 \\ 0 & – 1 & 1  \end{array} \right] $
    Третий,
    Инвертируем вторую строку, чтобы получить:
    $ = \left[\begin{array}{r r | r} 1 & 1 & – 2 \\ 0 & 1 & – 1  \end{array} \right] $
    Наконец,
    Вычитаем вторую строку из первой и получаем:
    $ = \left[\begin{ массив}{r r | r} 1 & 0 & – 1 \\ 0 & 1 & – 1  \end{array} \right] $

    Из этой дополненной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

    $ \begin{align*} x + 0y &= \, – 1 \\ 0x+ y  &= – 1   \end{align*} $

    $ \begin{align*} x &= \, – 1 \ \ y &= – 1  \end{align*} $

    Таким образом, решением системы уравнений является $ x = – 1  $ и $ y = – 1 $.

  2. Расширенная матрица системы:
    $ \left[\begin{array}{r r|r} 1 & 5 & 15 \\ – 1 & 5 & 25  \end{array} \right] $
    Давайте привести эту матрицу к сокращенному ступенчатому виду строк и найти решение системы.

    Во-первых,
    Отмените первую строку, затем вычтите ее из второй строки, чтобы получить:
    $ \left[ \begin{array}{r r|r} 1 & 5 & 15 \\ – 1 – ( – 1 ) & 5 – ( – 5 ) & 25 – ( – 15)  \end{массив} \right] $
    $ =\left[ \begin{array}{r r|r} 1 & 5 & 15 \\ 0 & 10 & 40  \end {array} \right] $
    Second,
    Разделите вторую строку на $10$, чтобы получить:
    $ \left[\begin{array}{r r | r} 1 & 5 & 15 \\ 0 & 1 & 4  \end{array} \right] $
    Затем
    Умножьте вторую строку на $ 5 $ и вычтите ее из первой строки, чтобы окончательно получить решение:
    $ \left[\begin{array}{r r | r} 1 – ( 5 \times 0 ) & 5 – ( 5 \times 1 ) & 15 – ( 5 \times 4 ) \\ 0 & 1 & 4  \end{array} \right] $
    $ =\left[ \begin{массив}{r r | r} 1 & 0 & – 5 \\ 0 & 1 & 4  \end{array} \right] $
    Это сокращенная форма эшелона строк (RREF). Из этой дополненной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

    $ \begin{align*} x &= \, – 5 \\ y &= 4  \end{align*} $

    Таким образом, решение системы уравнений $ x = – 5  $ и $ y = 4 $.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Решение системы методом исключения Гаусса

Результаты обучения

  • Используйте метод исключения Гаусса для решения системы уравнений, представленной в виде расширенной матрицы.
  • Интерпретируйте решение системы уравнений, представленной в виде расширенной матрицы.

Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей , а затем, как использовать операции со строками и обратную подстановку, чтобы получить рядно-эшелонная форма . Теперь мы будем использовать исключение Гаусса в качестве инструмента для решения системы, записанной в виде расширенной матрицы. В нашем первом примере мы покажем вам процесс использования исключения Гаусса в системе двух уравнений с двумя переменными.

Пример: Решение системы 2 X 2 методом исключения Гаусса

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

[латекс]\begin{array}{l}2x+3y=6\hfill \\ \text{ }x-y=\frac{1}{2}\hfill \end{array}[/latex]

Показать Решение

Попробуйте

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

[латекс]\begin{array}{l}4x+3y=11\hfill \\ \text{ }\text{}\text{}x — 3y=-1\hfill \end{array}[/latex ]

Показать решение

В следующем примере мы будем решать систему двух уравнений с двумя зависимыми переменными. Напомним, что зависимая система имеет бесконечное число решений, и результатом операций со строками над ее расширенной матрицей будет уравнение типа [латекс]0=0[/латекс]. Мы также рассмотрим написание общего решения для зависимой системы.

Пример: Решение зависимой системы

Решите систему уравнений.

[латекс]\begin{array}{l}3x+4y=12\\ 6x+8y=24\end{массив}[/latex]

Показать решение

Теперь мы перейдем к решению системы линейных уравнений 3 на 3 в виде эшелона строк. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для решения других переменных.

Пример. Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

[латекс]\begin{array}{c}\begin{array}{l}\hfill \\ \hfill \\ x-y+z=8\hfill \end{array}\\ 2x+3y-z =-2\\ 3x — 2y — 9z=9\end{массив}[/latex]

Показать решение

Напомним, что есть три возможных результата для решений линейных систем. В предыдущем примере решение [латекс]\влево(4,-3,1\вправо)[/латекс] представляет точку в трехмерном пространстве. Эта точка представляет собой пересечение трех плоскостей. В следующем примере мы решаем систему, используя операции со строками, и обнаруживаем, что она представляет собой зависимую систему. Зависимая система в 3-х измерениях может быть представлена ​​двумя идентичными плоскостями, как и в 2-х измерениях, где зависимая система представляет собой две идентичные линии.

Пример: Решение зависимой системы 3 x 3

Решите следующую систему линейных уравнений с помощью исключения Гаусса.

[латекс]\begin{массив}{r}\hfill -x — 2y+z=-1\\ \hfill 2x+3y=2\\ \hfill y — 2z=0\end{массив}[/latex ]

Показать решение

Общее решение зависимой системы 3 X 3

Напомним, что при решении зависимой системы линейных уравнений с двумя переменными с помощью исключения или замены можно записать решение [латекс](х,у)[/латекс] в терминах x, потому что существует бесконечно много пар (x,y), которые будут удовлетворять зависимой системе уравнений, и все они попадают на прямую [latex](x, mx+b)[/latex]. Теперь, когда вы работаете в трех измерениях, решение будет представлять собой плоскость, поэтому вы должны записать его в общей форме [латекс](x, m_{1}x+b_{1}, m_{2}x+b_{ 2})[/латекс].

Попробуйте

Решите систему методом исключения Гаусса.

[латекс]\begin{array}{c}x+4y-z=4\\ 2x+5y+8z=15\\ x+3y — 3z=1\end{array}[/latex]

Показать Решение

Вопросы и ответы

Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?

Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.

Как: Решить систему уравнений с помощью матриц с помощью калькулятора

  1. Сохраните расширенную матрицу как матричную переменную [латекс]\влево[А\вправо],\влево[В\вправо],\влево[С\вправо]\текст{,} \точки [/латекс].
  2. Используйте функцию ref( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.

Пример: решение системы уравнений с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

[латекс]\begin{array}{r}\hfill 5x+3y+9z=-1\\ \hfill -2x+3y-z=-2\\ \hfill -x — 4y+5z=1\end {массив}[/латекс]

Показать решение

Приложения систем уравнений

Теперь обратимся к приложениям, для которых используются системы уравнений. В следующем примере мы определяем, сколько денег было инвестировано по двум разным ставкам, учитывая сумму процентов, полученных на обоих счетах.

Пример: Применение матриц 2 × 2 к финансам

Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 долларов США в две муниципальные облигации, одна из которых приносит 10,5% годовых, а другая — 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?

Показать решение

Пример: применение матриц 3 × 3 к финансам

Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов США в три счета, один из которых приносит 5% годовых, другой — 8% годовых, а третий — 9%. Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, вдвое превышала сумму, вложенную под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

Показать решение

Попробуй

Небольшая обувная компания взяла кредит в размере 1 500 000 долларов, чтобы расширить свой ассортимент.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *