Матрицы система линейных уравнений: Матричный метод решения систем линейных уравнений

Содержание

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матричный метод может применяться в решении систем линейных
уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с
квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных.

Другое условие применимости матричного метода — невырожденность матрицы коэффициентов
при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы.

Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в
матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы
к матрице системы.

Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной
матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица
обозначается символом .

Пусть нужно решить систему линейных уравнений:

Запишем эту систему уравнений в матричном виде:

Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов
при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов

.

Тогда

То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения
умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных
и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.

Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем
примере системы линейных уравнений второго порядка.

Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Решение состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Матрица неизвестных:

Матрица свободных членов:

Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:

По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.

Но сначала проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной, то есть
можем ли вообще применять матричный метод:

.

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

.

Сделаем проверку:

Следовательно, ответ правильный.

Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.

Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Матрица неизвестных:

Матрица свободных членов:

Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:

.

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

.

Сделаем проверку:

Следовательно, ответ правильный.

Решить систему уравнений матричным методом самостоятельно, а затем посмотреть решение

Всё по теме «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

I.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы

(схема 17)

Матрица, имеющая отличный от нуля определитель,
называется невырожденной;   имеющая равный
нулю определитель  –  вырожденной.

Матрица A-1  называется
обратной
для  заданной квадратной  матрицы , если   при  умножении матрицы    на обратную ей как
справа, так и слева,  получается
единичная матрица, то есть

A-1A=AA-1=E.                                                                                                                                                                                          (1.7)

Заметим, что в данном случае произведение матриц A и A-1   коммутативно.

Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием существования
обратной матрицы для заданной квадратной матрицы, является отличие от нуля
определителя заданной матрицы

Если главная матрица системы оказалась при проверке
вырожденной, то для нее не существует обратной, и рассматриваемый метод
применить нельзя.

Для невырожденной матрицы  можно найти обратную
ей матрицу A-1  по
следующему алгоритму.

1. 
Транспонируем матрицу A  в матрицу AT  .

2.  Вычисляем
алгебраические дополнения  элементов матрицы AT
и записываем их в матрицу .

3.  Составим
обратную матрицу A-1 по
формуле:

.                                                                                                                                                                                      (1.8)

4. Сделаем проверку правильности найденной матрицы А-1 согласно формуле
(1.7).  Заметим, что данная проверка
может быть включена в итоговую проверку самого решения системы.

Система (1.5) линейных алгебраических уравнений может
быть представлена в виде матричного уравнения: AX=B, где A – главная матрица системы,  – столбец неизвестных,  – столбец свободных
членов.   Умножим это уравнение слева на обратную матрицу A-1,
получим:  A-1AX=A-1B.    Так как  по  определению обратной матрицы A-1A=E, то уравнение принимает вид 

EX=A-1B  или X=A-1B  .                                                                                                                                                                       (1.9)

Таким образом, чтобы решить систему линейных
алгебраических уравнений нужно
столбец свободных членов умножить  слева
на матрицу, обратную для главной матрицы системы. После этого следует сделать
проверку полученного решения.

Пример 1.6.  Решить систему
методом обратной матрицы

Решение. Вычислим главный определитель системы

Следовательно, матрица  невырожденная и
обратная к ней матрица существует.  

Найдём алгебраические дополнения всех элементов
главной матрицы :  

Запишем
алгебраические дополнения в матрицу

. Воспользуемся формулами (1.8) и (1.9) для нахождения решения
системы
. Отсюда x=2, y=0, z=1 

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы онлайн


Одним из популярных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является
метод обратной матрицы.
Рассмотрим этот метод подробнее на примере решения СЛАУ, состоящей из двух уравнений с двумя неизвестными.


a11xa12yb1a21xa22yb2


Введем обозначения:
A
— матрица СЛАУ, которая имеет вид:


Aa11a12a21a22


X
— вектор столбец неизвестных, которые нам нужно найти:


Xxy


B
— вектор столбец свободных коэффициентов:


Bb1b2


В результате, исходную СЛАУ можно записать в матричной форме:


AXB


Решим это матричное уравнение, для чего домножим его обе части слева на матрицу
A-1:


A1AXA1B


Здесь,
A-1
— это матрица, обратная к матрице
A.
Такая матрица существует для любой квадратной невырожденной матрицы (т.е. такой, определитель которой не равен нулю).


Эти условия показывают границы применимости метода обратной матрицы для решения СЛАУ. Во-первых: матрица СЛАУ
A
должна быть квадратной. Это означает, что количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных. Во-вторых: определитель матрицы
A
должен быть отличен от нуля:


A0


Кроме того, обратная матрица обладает ещё одним замечательным свойством: её произведение на исходную матрицу коммутативно и равно единичной матрице:


A1AAA1E


Возвращаясь к решению нашего матричного уравнения, получаем:


EXXA1B


Таким образом, для того, чтобы решить СЛАУ методом обратной матрицы, сначала нам нужно убедиться, что обратная матрица существует, затем найти её и умножить на вектор
B.


Наш онлайн калькулятор предназначен для
решения СЛАУ методом обратной матрицы.
Калькулятор выдаёт пошаговое решение с описанием действий на русском языке. Уравнения СЛАУ вводятся в калькулятор в естественном виде. В качестве коэффициентов уравнения можно вводить не только числа и дроби, но и параметры — в этом случае калькулятор выдаст решение в общем виде.

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Общий вид, матрица системы, СЛАУ в матричной форме, решение СЛАУ. Разновидности СЛАУ — совместная, несовместная, определенная, неопределенная, однородная, неоднородная… Обратная матрица и ее нахождение.

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений и неравенств. Системы уравнений. Формулы. Методы. / / Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений. Основные методы решения систем уравнений  / / Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Общий вид, матрица системы, СЛАУ в матричной форме, решение СЛАУ. Разновидности СЛАУ — совместная, несовместная, определенная, неопределенная, однородная, неоднородная… Обратная матрица и ее нахождение.

Поделиться:   





Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Основные понятия. Общий вид, матрица системы, СЛАУ в матричной форме,  решение СЛАУ.


*Бабичева, Болдовская, Справочник по математике. СибАДИ, 2010. (классная книга)

Разновидности систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — совместная, несовместная, определенная, неопределенная, однородная, неоднородная, вырожденная, невырожденная. Обратная матрица и ее нахождение. 


*Бабичева, Болдовская, Справочник по математике. СибАДИ, 2010. (классная книга)


Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:


Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.

Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator

Решение систем линейных уравнений с использованием матриц

Если нужно, просмотрите

матрицы

,

матричные операции со строками

а также

решение систем линейных уравнений

перед прочтением этой страницы.

В

матричный метод

решения систем линейных уравнений — это просто

метод устранения

в маскировке. При использовании матриц запись становится немного проще.

Предположим, у вас есть система линейных уравнений, например:

{

3

Икс

+

4

y

знак равно

5

2

Икс

y

знак равно

7

Первый шаг — преобразовать это в матрицу.Убедитесь, что все уравнения имеют стандартную форму

(

А

Икс

+

B

y

знак равно

C

)

, и используйте коэффициенты каждого уравнения для формирования каждой строки матрицы. Это может помочь вам разделить правый столбец пунктирной линией.

[

3

4

2

1

|

5

7

]

Далее мы используем

матричные операции со строками

изменить

2

×

2

матрицу слева на

единичная матрица

.Во-первых, мы хотим получить ноль в строке

1

, Столбец

2

. Итак, добавляем

4

раз Строка

2

грести

1

.

[

11

0

2

1

|

33

7

]

добавлен

(

4

×

Строка

2

)

к

Строка

1

Далее мы хотим

1

в верхнем левом углу.

[

1

0

2

1

|

3

7

]

разделенный

Строка

1

от

11

Теперь нам нужен ноль в нижнем левом углу.

[

1

0

0

1

|

3

1

]

добавлен

(

2

×

Строка

1

)

к

Строка

2

Наконец, мы хотим

1

в строке

2

, Столбец

2

.

[

1

0

0

1

|

3

1

]

умноженный

Строка

2

от

1

Теперь, когда у нас есть

2

×

2

Единичная матрица слева, мы можем считать решения из правого столбца:

Икс

знак равно

3

y

знак равно

1

Тот же метод можно использовать для

п

линейные уравнения в

п

неизвестные; в этом случае вы создадите

п

×

(

п

1

)

матрица и используйте операции со строками матрицы, чтобы получить тождество

п

×

п

матрица слева.


Важная заметка:

Если уравнения, представленные вашей исходной матрицей, представляют собой параллельные линии, вы не сможете получить единичную матрицу, используя операции со строками. В этом случае решения либо не существует, либо существует бесконечно много решений системы.

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Мы видели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей , а затем как использовать строковые операции и обратную подстановку для получения эшелонированной формы .Теперь мы перейдем на шаг дальше от строковой формы, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.

Пример 6: Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

[латекс] \ begin {массив} {c} \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ hfill \\ x-y + z = 8 \ hfill \ end {array} \\ 2x + 3y-z = -2 \\ 3x — 2y — 9z = 9 \ end {array} [/ latex]

Решение

Сначала мы пишем расширенную матрицу.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill -1 \\ \ hfill 3 & \ hfill -2 & \ hfill -9 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 8 \\ \ hfill -2 \\ \ hfill 9 \ end {array} \ right] [/ latex]

Затем мы выполняем операции со строками для получения формы «строка-эшелон».

[латекс] \ begin {array} {rrrrr} \ hfill -2 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} { rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \\ \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -9 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -18 \\ \ hfill & \ hfill 9 \ end {массив} \ right] & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill -3 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -18 \\ \ hfill & \ hfill -15 \ end {array} \ right] \ end {array} [/ latex]

Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбца 1 — это поменять местами [латекс] {R} _ {2} [/ latex] и [latex] {R} _ {3} [/ latex].

[латекс] \ text {Interchange} {R} _ {2} \ text {и} {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill — 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill & \ hfill -15 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill & \ hfill -18 \ end {array} \ right] [/ latex]

Затем

[латекс] \ begin {array} {l} \\ \ begin {array} {rrrrr} \ hfill -5 {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ в \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 57 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -15 \\ \ hfill & \ hfill 57 \ end {array} \ right] & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill — \ frac {1} {57} {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -15 \ \ \ hfill & \ hfill 1 \ end {array} \ right] \ end {array} \ end {array} [/ latex]

Последняя матрица представляет собой эквивалентную систему.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x-y + z = 8 \ hfill \\ \ text {} y — 12z = -15 \ hfill \\ \ text {} z = 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Используя обратную подстановку, мы получаем решение как [latex] \ left (4, -3,1 \ right) [/ latex].

Пример 7: Решение зависимой системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите следующую систему линейных уравнений, используя матрицы.

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill -x — 2y + z = -1 \\ \ hfill 2x + 3y = 2 \\ \ hfill y — 2z = 0 \ end {array} [/ latex]

Решение

Запишите расширенную матрицу.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -1 & \ hfill -2 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill -2 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill -1 \\ \ hfill 2 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

Сначала умножьте строку 1 на [latex] -1 [/ latex], чтобы получить 1 в строке 1, столбце 1. Затем выполните операций со строками , чтобы получить форму эшелона строк.

[латекс] — {R} _ {1} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 2 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ справа] [/ латекс]

[латекс] {R} _ {2} \ leftrightarrow {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 \ \ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ text {} | \ begin {array} { rr} \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \\ \ hfill & \ hfill 2 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] -2 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill \ end { array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 2 \\ \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

Последняя матрица представляет следующую систему.

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + 2y-z = 1 \ hfill \\ \ text {} y — 2z = 0 \ hfill \\ \ text {} 0 = 0 \ hfill \ конец {array} [/ latex]

По тождеству [latex] 0 = 0 [/ latex] мы видим, что это зависимая система с бесконечным числом решений. Затем мы находим общее решение. Решив второе уравнение для [латекс] y [/ латекс] и подставив его в первое уравнение, мы можем решить для [латекс] z [/ латекс] через [латекс] x [/ латекс].

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + 2y-z = 1 \ hfill \\ \ text {} y = 2z \ hfill \\ \ hfill \\ x + 2 \ left (2z \ справа) -z = 1 \ hfill \\ \ text {} x + 3z = 1 \ hfill \\ \ text {} z = \ frac {1-x} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь мы подставляем выражение для [latex] z [/ latex] во второе уравнение, чтобы решить для [latex] y [/ latex] через [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} y — 2z = 0 \ hfill \\ \ text {} z = \ frac {1-x} {3} \ hfill \\ \ hfill \\ y — 2 \ left (\ frac {1-x} {3} \ right) = 0 \ hfill \\ \ text {} y = \ frac {2 — 2x} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex ]

Общее решение — [latex] \ left (x, \ frac {2 — 2x} {3}, \ frac {1-x} {3} \ right) [/ latex].

Попробовать 5

Решите систему, используя матрицы.

[латекс] \ begin {array} {c} x + 4y-z = 4 \\ 2x + 5y + 8z = 15 \ x + 3y — 3z = 1 \ end {array} [/ latex]

Вопросы и ответы

Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?

Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.

Как: дана система уравнений, решите с помощью матриц с помощью калькулятора.

  1. Сохраните расширенную матрицу как матричную переменную [latex] \ left [A \ right], \ left [B \ right], \ left [C \ right] \ text {,} \ dots [/ latex].
  2. Используйте в калькуляторе функцию ref (, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.

Пример 8: Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 5x + 3y + 9z = -1 \\ \ hfill -2x + 3y-z = -2 \\ \ hfill -x — 4y + 5z = 1 \ end { array} [/ latex]

Решение

Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 5 & \ hfill 3 & \ hfill 9 \\ \ hfill -2 & \ hfill 3 & \ hfill -1 \\ \ hfill -1 & \ hfill -4 & \ hfill 5 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 5 \\ \ hfill -2 \\ \ hfill -1 \ end {array} \ right] [/ latex]

На странице матриц калькулятора введите расширенную матрицу выше как матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex].

[латекс] \ left [A \ right] = \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 9 & \ hfill & \ hfill -1 \\ \ hfill — 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill -2 \\ \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill -4 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill 1 \ end {массив } \ right] [/ latex]

Используйте функцию ref ( в калькуляторе, вызывая матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex].

[латекс] \ text {ref} \ left (\ left [A \ right] \ right) [/ латекс]

Оценить.

[латекс] \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ left [\ begin {array} {rrrr} \ hfill 1 & \ hfill \ frac {3} {5} & \ hfill \ frac {9} {5 } & \ hfill \ frac {1} {5} \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill \ frac {13} {21} & \ hfill — \ frac {4} {7} \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill — \ frac {24} {187} \ end {array} \ right] \ to \ begin {array} {l} x + \ frac {3} {5} y + \ frac {9} {5} z = — \ frac {1} {5} \ hfill \\ \ text {} y + \ frac {13} {21} z = — \ frac {4} {7} \ hfill \\ \ text {} z = — \ frac {24} {187} \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]

При использовании обратной подстановки решение: [latex] \ left (\ frac {61} {187}, — \ frac {92} {187}, — \ frac {24} {187} \ right) [/ latex] .

Пример 9: Применение матриц 2 × 2 к финансам

Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10,5% годовых, а другая — 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?

Решение

У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть [latex] x = [/ latex] сумма, инвестированная под 10,5% годовых, и [latex] y = [/ latex] сумма, инвестированная под 12% годовых.

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + y = 12 000 \ hfill \\ 0.105x + 0.12y = 1335 \ hfill \ end {array} [/ latex]

В качестве матрицы имеем

[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0.105 & \ hfill 0.12 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} { r} \ hfill 12,000 \\ \ hfill 1,335 \ end {array} \ right] [/ latex]

Умножьте строку 1 на [latex] -0.105 [/ latex] и прибавьте результат к строке 2.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0.015 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 12,000 \\ \ hfill 75 \ end {array} \ right] [/ latex]

Затем,

[латекс] \ begin {array} {l} 0,015y = 75 \ hfill \\ \ text {} y = 5,000 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Итак [латекс] 12 000 — 5 000 = 7 000 [/ латекс].

Таким образом, 5000 долларов были инвестированы под 12% годовых и 7000 долларов под 10,5%.

Пример 10: Применение матриц 3 × 3 к финансам

Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов в три счета, один из которых платит 5% годовых, другой — 8%, а третий — 9%.Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше, чем сумма, вложенная под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

Решение

У нас есть система трех уравнений с тремя переменными. Пусть [latex] x [/ latex] будет сумма, инвестированная под 5% годовых, пусть [latex] y [/ latex] будет суммой, инвестированной под 8%, и пусть [latex] z [/ latex] будет инвестированной суммой. под 9% годовых. Таким образом,

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + y + z = 10 000 \ hfill \\ 0.05x + 0,08y + 0,09z = 770 \ hfill \\ \ text {} 2x-z = 0 \ hfill \ end {array} [/ latex]

В качестве матрицы имеем

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0,05 & \ hfill 0,08 & \ hfill 0,09 \\ \ hfill 2 & \ hfill 0 & \ hfill -1 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 10,000 \\ \ hfill 770 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелон.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \ hfill \\ -0.05 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0.03 & \ hfill & \ hfill 0.04 & \ hfill \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 270 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} \ hfill \\ -2 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0.03 & \ hfill & \ hfill 0.04 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 270 \\ \ hfill & \ hfill -20,000 \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ frac {1} {0.03} {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill \ frac {4} {3} & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 9,000 \\ \ hfill & \ hfill -20,000 \ end {array} \ right] \ hfill \\ 2 {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill \ frac {4} {3} & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill — \ frac {1} {3} & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 9,000 \\ \ hfill & \ hfill -2,000 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex]

Третья строка сообщает нам [латекс] — \ frac {1} {3} z = -2,000 [/ latex]; таким образом [латекс] z = 6,000 [/ латекс].

Вторая строка сообщает нам [латекс] y + \ frac {4} {3} z = 9000 [/ latex]. Подставляя [латекс] z = 6,000 [/ latex], получаем

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill y + \ frac {4} {3} \ left (6000 \ right) = 9000 \\ \ hfill y + 8000 = 9000 \\ \ hfill y = 1000 \ end {array} [/ latex]

Первая строка сообщает нам [латекс] x + y + z = 10,000 [/ latex]. Подставляя [латекс] y = 1000 [/ latex] и [latex] z = 6000 [/ latex], получаем

[латекс] \ begin {array} {l} x + 1 000 + 6 000 = 10 000 \ hfill \\ \ text {} x = 3 000 \ text {} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Ответ: 3000 долларов вложены под 5%, 1000 долларов вложены под 8% и 6000 долларов вложены под 9%.

Попробуйте 6

Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 долларов на расширение своего ассортимента. Часть денег была взята под 7%, часть — под 8%, часть — под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.

Решение

Использование матриц при решении системы уравнений (Алгебра 2, Матрицы) — Mathplanet

Матрицы могут использоваться для решения систем уравнений, но сначала нужно освоить, чтобы найти обратную матрицу, C -1 .{-1} = \ frac {1} {ad-bc} \ begin {bmatrix} d & -b \\ -c & a \ end {bmatrix} $$

Теперь мы на примере покажем, как решать системы уравнений с использованием матриц и обратных матриц.


Пример

Рассмотрим следующие одновременные уравнения (этот пример также показан в нашем видеоуроке)

$$ \ left \ {\ begin {matrix} 3x + y = 5 \\ 2x-y = 0 \\ \ end {matrix} \ right. $$

При условии, что мы знаем, как умножать матрицы, мы понимаем, что наши уравнения могут быть записаны как

$$ \ begin {bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} x \\ y \\ \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 5 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

Сначала находим обратную матрицу коэффициентов:

$$ C ^ {- 1} = \ frac {1} {3 \ cdot -1-1 \ cdot 2} \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 3 \ end {bmatrix} = $$

$$ = — \ frac {1} {5} \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 3 \ end {bmatrix} $$

Следующий шаг — умножить обе части матричного уравнения на обратную матрицу:

$$ — \ frac {1} {5} \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \ end {bmatrix } \ cdot \ begin {bmatrix} x \\ y \\ \ end {bmatrix} = — \ frac {1} {5} \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 5 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ — \ frac {1} {5} \ begin {bmatrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = — \ frac {1} {5} \ begin {bmatrix} -5 \\ -10 \ end {bmatrix} $$

$$ \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \ end { bmatrix} $$

Наше решение — (1,2), самый простой способ проверить, правы ли мы, — это подставить наши значения в наши исходные уравнения.


Видеоурок

Пример выше в видеоформате.

Решение систем линейных уравнений с матрицами

Legal Matrix Operations

Рисунок 1

На Рисунке 1 выше вы можете видеть нормальный
решение системы уравнений черным шрифтом написание слева. Этот
Система была решена путем сложения двух уравнений.Это добавление вызвало
переменная y , которую нужно отбросить, и в результате получилось уравнение с одной переменной. Этот
позволил нам решить для x . Как только мы узнали x , мы могли легко
найти y .

Справа на Рисунке 1 выше, в
синяя надпись
, вы можете увидеть аналогичную работу, выполняемую над строками матрицы.
Строка матрицы 1,1,8 просто представляет уравнение: 1 x + 1 y = 8.
Таким образом, строка матрицы — это просто коэффициенты из уравнения.Матрица
ряд 1, -1,4
представляет собой уравнение:
1 x — 1 y = 4.

Так же, как для нас это законное добавление двух уравнений
слева мы можем добавлять в строки справа. Вы можете это увидеть
в строке с надписью a + b -> a , где вы видите
новый ряд 2,0,12. Это просто сумма строк a и b . Следующий ряд: a b -> b.
показывает результат вычитания строки b из строки a , а именно,
0,2,4.

Последний раздел справа показывает, что просто
так как разрешено умножать уравнение на число или делить уравнение на
число, также допустимо умножение или деление строки матрицы на число
(скаляр).

В левом нижнем углу краткое изложение юридических
операции с матрицами. Вы можете законно пройти любую из этих трех процедур.
Вы также можете выполнить любую комбинацию этих трех операций. Действительно, эти легальные
операции — это те же юридические операции, которым вы ранее научились
использовать в алгебре.

Решение системы уравнений с использованием
Алгебра

Рисунок 2

На рисунке 2 выше мы принимаем решение
система сначала использует методы алгебры, которые вы должны знать из своей алгебры
задний план. Система трех уравнений показана вверху слева. Сначала я
напоминают вам о том, что если вы решаете систему с 3-мя переменными, вы
нужно 3 уравнения. Если вы решаете систему с 9 переменными, вам нужно 9
уравнения.В общей ситуации, если вы решаете систему с n
переменных, вам нужно n уравнений. Итак, вы видите, что для этой системы с 3
переменных, у нас есть 3 уравнения.

В процессе решения такой системы мы
необходимо исключить переменные, пока мы не придем к уравнению с 1 переменной.
Поэтому нам нужно найти способы легального избавления от некоторых переменных.

Вы можете заметить, что если вы добавите уравнения a
и b , вы можете отбросить переменную y ​​.Вы также можете получить
y, чтобы отбросить, если вы добавите уравнения b и c .

Теперь у нас осталось 2 уравнения с 2
переменные. Выше эти уравнения обозначены уравнениями d и e .
Нам еще нужно избавиться от еще одной переменной. Мы видим, что если мы умножим
уравнение d на 2, и прибавив его к уравнению e , мы действительно можем решить
для одной из наших переменных. Получаем, что x = 1.Это не займет слишком много времени
дольше, чтобы увидеть из уравнения b, что y должен быть равен -2. И наконец,
подставив x = 1 и y ​​ = -2 в уравнение a , мы можем
найдите, что z должно быть равно -1. Мы не закончим, пока не проверим все три
приводит к каждому из трех уравнений, с которых мы начали.

Красная стрелка на рисунке 2 указывает на матрицу
форму тех же трех уравнений, с которых мы начали. Эта матрица 3 x 4 имеет квадрат
матрица слева и дополнительный столбец справа.Поскольку в этой матрице
была добавлена, ее иногда называют расширенной матрицей . Сейчас
мы будем работать над решением этой же системы, просто используя матрицу.

Рисунок 3

На рисунке 3 выше показаны два важных элемента.
для нашей процедуры матричного решения. В верхней части рисунка 3 вы видите
«желаемая цель». Это форма, в которой мы хотим, чтобы наша матрица была
по образцу. Обратите внимание, что мы хотим, чтобы левая часть матрицы стала тождеством
матрица
.Также будет дополнительный столбец с тремя величинами
в них. Эти величины a , b и c , причем
решения системы. Верхняя строка гласит: «1 x + 0 y ​​ + 0 z
= a «, что фактически говорит:» x = a «.
вторая действующая строка говорит: « y ​​ = b ». Третья линия
в действительности говорит: « z = c .»Итак, матрица в таком виде
полностью решено.

Вторая часть рисунка 3 выше — это
рекомендуемый стратегический порядок получения левой части матрицы
преобразованы в единичную матрицу . Причина дать вам
этот рекомендуемый стратегический порядок состоит в том, чтобы минимизировать или исключить потраченные впустую
усилие. По мере того, как мы решаем проблему ниже, вы в конечном итоге увидите, что это
порядок поможет исключить любую бесполезную работу.

Рисунок 4

На Рисунке 4 выше мы видим, что 1 в
второй ряд обведен кружком. Это потому, что в нашем стратегическом плане заказов мы в первую очередь
преобразовывая эту первую ячейку во вторую строку. Что мы хотим этого
первая ячейка во второй строке стать? Беглый взгляд на рисунок 3 должен сказать
нам, что мы хотим, чтобы это было нулем. Как мы можем сделать так, чтобы это стало нулем? Хорошо,
мы, конечно, должны следовать только юридическим операциям, показанным на Рисунке 1.Один
план, который достигнет этого, состоит в том, чтобы умножить строку b на -2 и добавить
Результат в строке и . Затем мы поместим результат в строку b . Этот
символизируется выше с обозначением -2 b + a -> b .
Конечно, мы должны выполнить эту операцию для каждого числа в строке b .
(всего их 4) Во второй матрице вы можете увидеть результат после переноски
из этой операции.

Рисунок 5

Следующее число, которое нам нужно изменить, — это
нижний левый элемент, обведенный кружком на Рисунке 5 выше. Нам снова нужно это
число, которое нужно преобразовать в ноль. Мы видим, что строка b не делает
хорошо. Ноль плюс ничего не меняет. Итак, теперь мы знаем, что у нас есть
использовать строку и . Мы могли бы взять 3 раза строку a и -2 раза строку c .
Сложение этих двух вместе даст ноль в первой позиции.Рисунок 5.
показывает, что произойдет, если вы выполните этот план для всего ряда.

Фиг.6

Следующее число, которое нам нужно изменить, — это
второй элемент в строке c . Нам нужно, чтобы этот элемент был нулем. Это очень
на данном этапе проблемы важно помнить, что пока мы хотим
измените второй элемент в строке c , нам нужно защитить ноль, который мы
ранее поменял на ноль. Чтобы защитить ноль в первом
позиции, нам нужно работать со строкой, у которой также есть ноль в первом
должность.Это говорит нам, что нам нужно выполнить операцию, которая включает строку b .
Наш план состоит в том, чтобы умножить -3 на строку c , прибавить к b и положить c .
Проделайте эту операцию и посмотрите, получите ли вы тот же нижний ряд, что и на рисунке 6.
выше.

Рисунок 7

Следующее число, которое нам нужно изменить, — это
второй элемент в строке b . Это первый элемент, который мы хотим
преобразовать в 1.Вам понравятся эти преобразования. Чтобы преобразовать
element на 1, требуется только однострочная операция. Все, что вам нужно сделать, это
разделите каждый элемент строки b на -3. Результаты вернутся в
ряд б . См. Результаты на Рисунке 7 выше.

Рисунок 8

Следующий элемент, который необходимо преобразовать
является третьим элементом в строке c . Его нужно преобразовать в 1.
Преобразование элемента в единицу является самым простым из всех.Опять же, все мы
необходимо умножить каждый элемент в строке c на -1/20.

Рисунок 9

Наше следующее преобразование — это третий элемент в
ряд б . Этот элемент должен быть нулем. Проблема здесь заключается в том, чтобы
«защитить» первые два элемента этого ряда, над которыми мы работали
трудно получить в их нынешнем виде. Два начальных нуля в строке c равны
идеальная защита для этих двух элементов.Следовательно, мы хотим сделать b, c
операция. Наш план состоит в том, чтобы умножить строку c на 1/3 и добавить результат к b .

Фиг.10

Два ряда готово! Обратите внимание, что теперь строки b
и c полностью выполнены. Сейчас мы работаем над преобразованием третьего
элемент в строке от до нуля. В строке и нет ничего, что
нуждается в защите. Мы просто вычтем строку из минус строка c и
верните результат в строку a .

Рисунок 11

Теперь нам нужно преобразовать второй элемент в
ряд в ноль. У нас есть один элемент для защиты в строке и ,
поэтому мы замечаем, что строка b является идеальной защитой, потому что она имеет ноль в
третья позиция. Здесь мы можем просто добавить строку a к строке b и положить
обратно в ряд .

Рисунок 12

Последний элемент для преобразования.Потому что это
Элемент должен быть единицей, мы можем просто разделить строку и на 2. Готово!
Теперь, поскольку матрица имеет единичную матрицу слева, наши ответы таковы:
сидит в третьем столбце. Система решена.

Особые ситуации

Некоторые системы уравнений не имеют решения. Если вы изображаете
система уравнений выше как система трех линий в трехмерном
космос.тогда вы можете хорошо представить, что 3 такие линии не должны пересекаться в
1 общая точка. На самом деле, они довольно редко пересекаются за один
общая точка.

При решении матриц мы пытаемся
левая часть матрицы в единичную матрицу. Если в матрице нет
решение, то вы увидите матрицы, которые в конечном итоге будут выглядеть так:

Обратите внимание, что нижняя строка фактически сообщает нам, что 0 * X + 0 * Y
+ 0 * Z = 1, что невозможно.Это наша реплика, что это невозможно
матрица для поиска единственного решения.

Другой тип матрицы может возникнуть в результате наших усилий по достижению
единичная матрица в левой части матрицы. Ниже представлен этот тип:

Здесь у нас уникальный нижний ряд всех нулей. Алгебраический
уравнение, которое это представляет, а именно, 0 * X + 0 * Y + 0 * Z = 0, верно. это
правда, но это определенно ничего не говорит нам о системе
уравнения.Эта система имеет бесконечно много решений.

Вы должны уметь распознавать эти два особых типа
результатов матрицы и что они означают.

Матрицы и системы уравнений

6.1 — Матрицы и системы уравнений

Определение матрицы

  • Прямоугольный массив действительных чисел
  • м рядов по n столбцов
  • Названо заглавными буквами
  • Первый нижний индекс — строка, второй нижний индекс — столбец

Терминология

  • Матрица с m строками и n столбцами называется матрицей порядка m x n .
  • Квадратная матрица — это матрица с равным количеством строк и столбцов. Поскольку количество
    строки и столбцы одинаковы, говорят, что он имеет порядок n .
  • Основная диагональ квадратной матрицы — это элементы от верхнего левого угла до нижнего правого угла.
    матрица.
  • Матрица-строка — это матрица, содержащая только одну строку.
  • Матрица столбцов — это матрица, имеющая только один столбец.
  • Матрица только с одной строкой или одним столбцом называется вектором.

Преобразование систем линейных уравнений в
Матрицы

Каждое уравнение в системе превращается в строку. Каждая переменная в
система становится колонной. Переменные отбрасываются, а
коэффициенты помещаются в матрицу. Если правая часть включена,
это называется расширенной матрицей. Если правая сторона не указана, это
называется матрицей коэффициентов.

Система линейных уравнений …

 х + у - г = 1
3х - 2у + г = 3
4x + y - 2z = 9 

становится расширенной матрицей…

х y z справа
1 1 -1 1
3 -2 1 3
4 1 -2 9

Операции с элементарной строкой

Элементарные операции со строками — это операции, которые могут быть выполнены с матрицей, которая даст
эквивалентная строка матрица.Если матрица является расширенной матрицей, построенной из системы линейных
уравнений, то эквивалентная строка матрица будет иметь то же решение, что и исходная матрица.

При работе с системами линейных уравнений вы могли выполнять три операции.
что не повлияет на набор решений.

  1. Поменять местами два уравнения.
  2. Умножьте уравнение на ненулевую константу.
  3. Умножьте уравнение на ненулевую константу и добавьте его к другому уравнению, заменив это
    уравнение.

Когда система линейных уравнений преобразуется в расширенную матрицу, каждое уравнение становится
строка. Итак, теперь есть три элементарные операции со строками, которые производят эквивалент строки
матрица.

  1. Поменять местами два ряда
  2. Умножить строку на ненулевую константу
  3. Умножьте строку на ненулевую константу и добавьте ее в другую строку, заменив эту строку.

Формы рядов-эшелонов и сокращенных рядов-эшелонов

Это эквивалентные строкам формы матрицы.Несложно решить систему линейных уравнений
когда матрицы находятся в одной из этих форм.

Форма рядного эшелона

Матрица находится в виде эшелона строк, когда выполняются следующие условия.

  1. Если есть строка со всеми нулями, то она находится внизу матрицы.
  2. Первый ненулевой элемент любой строки — это единица. Этот элемент называется ведущим.
  3. Первая строка любой строки находится справа от первой строки предыдущей строки.

Банкноты

  • Первая строка в строке не обязательно должна быть непосредственно справа от первой строки
    предыдущий ряд.
  • Матрица в виде строки-эшелона будет иметь нули под ведущими.
  • Метод исключения Гаусса переводит матрицу в форму строки-эшелон, а затем выполняется обратная подстановка.
    требуется, чтобы завершить поиск решений системы.
  • Форма строки-эшелон матрицы не обязательно уникальна.

Уменьшенная форма рядка-эшелон

Матрица находится в сокращенной форме строки-эшелона, когда выполняются все условия формы строка-эшелон.
и все элементы выше и ниже, ведущие равны нулю.

  1. Если есть строка со всеми нулями, то она находится внизу матрицы.
  2. Первый ненулевой элемент любой строки — это единица. Этот элемент называется ведущим.
  3. Первая строка любой строки находится справа от первой строки предыдущей строки.
  4. Все элементы выше и ниже ведущего равны нулю.

Банкноты

  • Первая строка в строке не обязательно должна быть непосредственно справа от первой строки
    предыдущий ряд.
  • Матрица в виде эшелона строк будет иметь нули как над, так и под ведущими.
  • Метод исключения Гаусса-Жордана переводит матрицу в сокращенную форму строки-эшелона.
  • Для завершения поиска решений системы обратная подстановка не требуется.
  • Приведенная строка-эшелонированная форма матрицы уникальна.

Исключение по Гауссу

  • Запишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
  • Выполните элементарные операции со строками, чтобы преобразовать матрицу в эшелонированную форму строки
  • Преобразуйте матрицу обратно в систему линейных уравнений
  • Используйте обратную замену, чтобы получить все ответы

Гаусс-Джордан Ликвидация

  • Запишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
  • Выполните элементарные операции со строками, чтобы преобразовать матрицу в сокращенную форму строки-эшелон
  • Преобразуйте матрицу обратно в систему линейных уравнений
  • Обратная замена не требуется

Поворотный

  • Поворот — это процесс, который автоматизирует операции со строками, необходимые для помещения матрицы в
    рядный эшелон или редуцированный рядный эшелон
  • В частности, при повороте элементы выше или ниже ведущей единицы превращаются в нули

Типы решений

Существует три типа решений, которые возможны при решении системы линейных уравнений.

Независимый

  • Согласованный
  • Уникальное решение
  • Матрица с сокращенной строкой имеет такое же количество ненулевых строк, что и
    переменные
  • Левая часть обычно представляет собой единичную матрицу, но не обязательно
  • Для получения независимого решения должно быть как минимум столько же уравнений, сколько переменных.
х y z справа
1 0 0 3
0 1 0 1
0 0 1 2

Когда вы конвертируете расширенную матрицу обратно в форму уравнения, вы получаете x = 3,
y = 1 и z = 2.

Зависимые

  • Согласованный
  • Множество решений
  • Запишите ответ в параметрической форме
  • Матрица с сокращенной строкой содержит больше переменных, чем ненулевых строк
  • Ряд нулей быть не обязательно, но обычно он есть.
  • Это также может произойти, когда уравнений меньше, чем переменных.
х y z справа
1 0 3 4
0 1 -2 3
0 0 0 0

Первое уравнение будет x + 3z = 4.Решение относительно x дает x = 4 — 3z.

Второе уравнение будет y — 2z = 3. Решение для
y дает y = 3 + 2z.

Столбец z не очищается (все нули, кроме
одно число), поэтому другие переменные будут определены через z. Следовательно,
z
будет параметром
t и решение …

x = 4 — 3t, y = 3 + 2t, z = t

Несоответствие

  • Нет решения
  • Матрица с сокращенной строкой имеет строку нулей слева, но
    правая часть не равна нулю.
х y z справа
1 0 3 4
0 1 -2 3
0 0 0 2

Тут решения нет.Вы можете записать это как нулевой набор Ø,
пустой набор {} или нет решения.

Системы линейных уравнений и матриц

Марко Табога, доктор философии

В этой лекции мы покажем, как
матрицы и векторы могут
использоваться для представления и анализа систем линейных уравнений.

Системы линейных уравнений

Система

линейные уравнения в

неизвестные — это набор
уравнения, где

являются

неизвестные, и

(для
а также
)
а также

(для
)
— известные константы.

Решения

Неизвестные — это значения, которые мы хотели бы найти. Решение системы
линейные уравнения означают нахождение набора значений для

такие, что выполняются все уравнения. Такой набор называется решением
система.

Пример
Определите систему
Это
представляет собой систему 2-х уравнений с 2-мя неизвестными. Решение системы
это что
можно проверить, подставив эти два значения в
система:

В общем, решение не гарантируется.Если он существует, это не так.
гарантированно будет уникальным. Следовательно, теория линейных уравнений
касается трех основных аспектов:

  • вывод условий существования решений линейной системы;

  • понимание того, является ли решение уникальным, и как много решений
    связаны друг с другом;

  • методы поиска, позволяющие находить решения линейной системы.

Матричное представление системы

Вышеупомянутая система

линейные уравнения в

неизвестные могут быть представлены компактно с помощью матриц в виде
следует: где:

Чтобы понять, как работает представление, обратите внимание, что

это

вектор, чей
-го
элемент равен точке
продукт
-го
ряд

а также
,
что
является,

Следовательно,

Наличие решений

Записав систему линейных уравнений в матричной форме, мы легко можем обеспечить
общие условия существования решения.

Предложение
Линейная система
имеет
решение тогда и только тогда, когда

принадлежит промежутку столбцов
из
.

Проба

Уникальность решения

Приведем общее условие единственности решения.

Предложение
Если линейная система
имеет
решение, то решение уникально тогда и только тогда, когда столбцы

линейно
независимый

Проба

Давайте сначала докажем, что часть if.У нас есть
Выше было доказано, что решение существует тогда и только тогда, когда

принадлежит к промежутку столбцов
.
Если столбцы

линейно независимы, то они образуют
основа для их продолжительности.
Кроме того, представление любого вектора промежутка в виде линейного
сочетание основы уникально. Следовательно, если столбцы
находятся
линейно независимыми, существует только одна их линейная комбинация, которая дает

в результате, то есть решение системы уникально.Давайте теперь докажем
только если часть. Мы собираемся доказать, что если столбцы не
независимо, то есть более одного решения. Позволять

быть решением, что
isWhen
столбцы

линейно зависимы, существует ненулевой вектор

что
удовлетворяет
как следствие, есть бесконечные решения, потому что

является решением системы для любого скаляра
:

Несколько решений

Справедливо следующее утверждение о кратном решении.

Предложение
Если линейная система
имеет
решение и столбцы

не являются линейно независимыми, то существует бесконечное количество решений.

Проба

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с объясненными решениями.

Упражнение 1

Найдите матричное представление системы

Решение

Упражнение 2

DefineWrite
вниз по уравнениям
система

Решение

Два уравнения систем
находятся

Как цитировать

Укажите как:

Табога, Марко (2017).«Системы линейных уравнений и матрицы», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-algebra/systems-of-linear-equations-and-matrices.

Решение линейных систем с использованием матричной алгебры — концепция

Одно из наиболее часто используемых приложений квадратных матриц — решение систем линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений с использованием алгебры матриц намного более эффективны, чем ручное вычисление систем с использованием подстановки.Это особенно верно при работе с системами из 3 и более переменных. Два метода матричной алгебры включают сокращение строк и поиск обратного.

Матричные алгебры можно использовать для решения линейных систем уравнений. Сейчас мы покажем вам, как это сделать, но прежде всего позвольте мне взглянуть на 3 матрицы a, x и b. И давайте заметим, что это уравнение, матричное уравнение ax = b означает умножение на это, теперь ax равно 5, -3, 7, -4 справа x is xy это 2 на 1.И если я умножу это, я получу 5x-3y и 7x-4y правильно, я получу эту матрицу 2 на 1, и эта матрица равна b 5,6. Теперь вы знаете, что две матрицы равны только в том случае, если они имеют одинаковые размеры, они обе 2 на 1, и обе имеют одинаковые точные равные элементы, поэтому 5x-3y должно быть равно 5, а 7x-4y должно быть равно 6, поэтому позвольте мне просто запишите, что 5x-3y = 5, 7x-4y = 6, теперь эта система представляет собой систему линейных уравнений, эта линейная система полностью эквивалентна матричному уравнению ax = b, и это предлагает способ, которым мы можем использовать матричные уравнения для решения линейные системы, поэтому давайте сосредоточимся на решении этой линейной системы.
Теперь сначала, когда вы превращаете линейную систему в матричное уравнение, давайте заметим, что в левой части вам нужны члены x и y, и вы хотите, чтобы они были в таком порядке, так что эти числа здесь называются коэффициентами и что вы хотите сделать, вы хотите придумать матрицу коэффициентов для системы, и это может быть 5, -3, 7, -4, это матрица a, а затем переменная матрица xy, которая это, а затем постоянная матрица 5,6 матрица b.
Как теперь решить матричное уравнение ax = b? Что ж, оказывается, что это в основном похоже на линейное уравнение с действительными числами, с той лишь разницей, что мы не можем делить на матрицы, нет способа делить на матрицы, но вы можете умножить на обратное, поэтому, если матрица a имеет обратную форму, вы можно умножить на обратное и вспомнить, когда вы умножаете обе стороны на матрицу, вам нужно умножить либо обе стороны слева, либо обе стороны справа, потому что умножение матриц не коммутативно хорошо, что вы собираетесь получить здесь обратное время a — это единичная матрица, умноженная на x, и единичная матрица, умноженная на x, будет x, так что это x равно обратному b, это на самом деле ваше решение, у вас будет xy, равное, а затем некоторые числа, поэтому все, что вам нужно сделать, это выяснить, что обратная матрица a есть.Теперь предположим, что мы знаем, что обратная матрица равна -4, 3-7, 5, хорошо скажем, что мы решили обратную матрицу и нашли это, тогда x будет равно обратному b, который равен -4, 3, -7, 5 умножить на b, что равно 5,6. Позвольте мне просто сделать это умножение, это -20 + 18 -2, -35 + 30-5, верно, и это x, y, так что это наше, что дает нам решение x = -2, y = -5, вот и все.
Итак, когда вы решаете линейную систему с использованием матриц, первым делом нужно написать матричное уравнение, подобное этому, у вас будет ax = b.И второй шаг — это просто найти матрицу, обратную матрице коэффициентов. Затем третий шаг — умножить эту обратную матрицу на постоянную матрицу b, этот парень, верно? Умножьте слева, и вы получите свои решения. Это так просто, поэтому очень важно знать, как инвертировать матрицы для решения этой проблемы, чтобы использовать этот процесс, но вы обнаружите, что это очень быстрый процесс, если вы хорошо умеете инвертировать матрицы.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.