Матричный метод решения систем линейных уравнений примеры: Матричный метод решения систем линейных уравнений

Содержание

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матричный метод может применяться в решении систем линейных
уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с
квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных.

Другое условие применимости матричного метода — невырожденность матрицы коэффициентов
при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы.

Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в
матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы
к матрице системы.

Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной
матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица
обозначается символом .

Пусть нужно решить систему линейных уравнений:

Запишем эту систему уравнений в матричном виде:

Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов
при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов

.

Тогда

То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения
умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных
и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.

Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем
примере системы линейных уравнений второго порядка.

Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Решение состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Матрица неизвестных:

Матрица свободных членов:

Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:

По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.

Но сначала проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной, то есть
можем ли вообще применять матричный метод:

.

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

.

Сделаем проверку:

Следовательно, ответ правильный.

Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.

Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Матрица неизвестных:

Матрица свободных членов:

Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:

.

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

.

Сделаем проверку:

Следовательно, ответ правильный.

Решить систему уравнений матричным методом самостоятельно, а затем посмотреть решение

Всё по теме «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

определение, теорема и примеры решения задач

Задание.{3+3}\left|\begin{array}{rr}
2 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right|=-3$$

Таким образом,

$$\tilde{A}=\left(\begin{array}{rrr}
-2 & -2 & 2 \\
-3 & 1 & 5 \\
1 & 1 & -3
\end{array}\right)$$

Определитель матрицы $A$

$$\Delta=\left|\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
3 & -1 & 2
\end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 1+1 \cdot 0 \cdot 3-$$
$$-3 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-4 \neq 0$$

А тогда

$$\tilde{A}=-\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rrr}
-2 & -3 & 1 \\
-2 & 1 & 1 \\
2 & 5 & -3
\end{array}\right)$$

Отсюда искомая матрица

$$X=\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{array}\right)=-\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rrr}
-2 & -3 & 1 \\
-2 & 1 & 1 \\
2 & 5 & -3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}
2 \\
-2 \\
2
\end{array}\right)=$$
$$=\left(\begin{array}{r}
-1 \\
1 \\
3
\end{array}\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=-1 \\
x_{2}=1 \\
x_{3}=3
\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=-1 \\
x_{2}=1 \\
x_{3}=3
\end{array}\right.$$

Решение систем линейных уравнений матричным методом

Дана СЛАУ: $\left\{\begin{array}{c} {x_{1} +3x_{3} =26} \\ {-x_{1} +2x_{2} +x_{3} =52} \\ {3x_{1} +2x_{2} =52} \end{array}\right. $. Решить СЛАУ методом обратной матрицы, если это возможно.

Решение:

$A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right). $

Нахождение определителя матрицы системы:

$\begin{array}{l} {\det A=\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3\cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0} \end{array}$ Так как определитель не равен нулю, то матрица системы имеет обратную матрицу и, следовательно, система уравнений может быть решена методом обратной матрицы.{-1} =\frac{1}{-26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {-2} & {6} & {-6} \\ {3} & {-9} & {-4} \\ {-8} & {-2} & {2} \end{array}\right)=\frac{1}{26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {2} & {-6} & {6} \\ {-3} & {9} & {4} \\ {8} & {2} & {-2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{2}{26} } & {\frac{-6}{26} } & {\frac{6}{26} } \\ {\frac{-3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{4}{26} } \\ {\frac{8}{26} } & {\frac{2}{26} } & {\frac{-2}{26} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right).$

Найдем решение системы:

$X=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {\frac{1}{13} \cdot 26-\frac{3}{13} \cdot 52+\frac{3}{13} \cdot 52} \\ {-\frac{3}{26} \cdot 26+\frac{9}{26} \cdot 52+\frac{2}{13} \cdot 52} \\ {\frac{4}{13} \cdot 26+\frac{1}{13} \cdot 52-\frac{1}{13} \cdot 52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2-12+12} \\ {-3+18+8} \\ {8+4-4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$ — искомое решение системы уравнений.

Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений

Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место.

Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод.   

Матричный метод решения — метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом X = A-1 · B, где A-1 — обратная матрица.

Матричный метод решения состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с nнеизвестными:

Её можно переписать в матричной форме: AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A-1 — матрицу, обратную к матрице AA-1 (AX) = A-1B

Так как A-1A = E, получаем X = A-1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A: detA≠ 0.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю.

Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они  понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Теперь найдём союзную матрицу и транспонируем  её, потом подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

Подставляя переменные в формулу, получаем:

Найдем неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу  и столбец свободных членов.

Итак, x=2; y=1; z=4.

Если у Вас есть вопросы или Вам нужна помощь в решении линейных уравнений или систем, записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь.  

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Матричный метод онлайн

Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить».


Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

(1)

Для решения системы линейных уравнений (1) матричным методом запишем ее матричном виде:

где

Мы будем предполагать, что матрица A имеет обратное, т.е. определитель матрицы A не равен нулю.

Умножим матричное уравнение (2) на обратную матрицу A−1. Тогда

Учитывая определение обратной матрицы, имеем A−1A=E, где E— единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:

или, учитывая, что Ex=x:

Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b.

Примеры решения системы линейных уравнений матричным методом

Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

.

Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:

.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1. Для этого заменяем местами строки 1 и 2:

.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:

.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого заменяем местами строки 2 и 3:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:

.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строки 1, 2 со строкой 3, умноженной на 17/53, 85/159 соответственно:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:

.

Делим каждую строку матрицы на ведущий элемент соответствующей строки:

.

Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :

.

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда

.

Ответ:

Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

.

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

.

Найдем обратную к матрице A методом алгебраических дополнений. Вычислим определитель матрицы A :

.

Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A:

,
,
,
,
,
,
,
,
.

Обратная матрица вычисляется из следующего выражения:

где Aij − алгебраическое дополнение элемента матрицы A, находящиеся на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, а Δ − определитель матрицы A.

Используя формулу обратной матрицы, получим:

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда

Ответ:

Решение СЛАУ матричным методом — презентация онлайн

1. Решение СЛАУ матричным методом

2. Матричный метод решения СЛАУ

Матричный метод – это метод решения
через обратную матрицу квадратных
(с числом уравнений, равным числу
неизвестных) систем линейных
алгебраических уравнений с
ненулевым определителем.

3. Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными
Запишем ее в матричной форме:
A — основная матрица системы, состоящая из
коэффициентов при неизвестных.
B — вектор — столбец свободных членов (слагаемых)
X — вектор – столбец решений системы

4. Запишем СЛАУ в виде матричного уравнения и решим его

AX = B
Умножим это матричное уравнение слева на A − 1 — матрицу,
обратную матрице A:
Так как A − 1A = E по определению обратной матрицы, получаем
E X = A − 1B
X = A − 1B
где A – 1=1/∆ (A*)Т ,
∆≠0
(A*)Т — транспонированная матрица алгебраических дополнений
соответствующих элементов матрицы A.

5. Пример Решить СЛАУ матричным методом:

Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из
коэффициентов при неизвестных СЛАУ не равен нулю.

6. Вычислим алгебраические дополнения для элементов основной матрицы

Вычислим алгебраические дополнения для
элементов основной матрицы

7. Найдём союзную матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы

Найдём союзную матрицу, транспонируем её и подставим
в формулу для нахождения обратной матрицы

8. Найдем неизвестные, перемножив обратную матрицу и столбец свободных членов

Найдем неизвестные, перемножив обратную
матрицу и столбец свободных членов
Ответ: x=2; y=1; z=4.

9. Отдохнем на песочке…

11. Самостоятельная работа

1 вариант
2 вариант
Решить СЛАУ:
Решить СЛАУ:
2 x1 3 x2 x3 7
3 x1 2 x2 x3 5
4 x 7 x 3 x 4
2
3
1
x1 2x 2 — x 3 4
3×1 2 x 3 8
4x — 2x 5x 0
1
2
3

12. Домашнее задание

Решить СЛАУ:

5.2. Матричный метод решения систем линейных уравнений

Пусть
дана система
линейных уравнений снеизвестными:

где

Будем
предполагать, что основная матрица
невырожденная.
Тогда, по теореме 3.1,
существует обратная матрицаПомножив матричное уравнениена матрицуслева, воспользовавшись определением
3.2, а также утверждением 8) теоремы 1.1,
получим формулу, на которой основан
матричный метод решения систем линейных
уравнений:

Замечание.
Отметим, что матричный метод решения
систем линейных уравнений в отличие от
метода Гаусса имеет ограниченное
применение: этим методом могут быть
решены только такие системы линейных
уравнений, у которых, во-первых, число
неизвестных равно числу уравнений, а
во-вторых, основная матрица невырожденная.

Пример.
Решить систему линейных уравнений
матричным методом.

Задана
система трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными
где

Основная
матрица системы уравнений невырожденная,
поскольку её определитель отличен от
нуля:

Обратную
матрицу
составим одним из методов, описанных в
пункте 3.

По
формуле матричного метода решения
систем линейных уравнений получим

5.3. Метод Крамера

Данный
метод так же, как и матричный, применим
только для систем линейных уравнений,
у которых число неизвестных совпадает
с числом уравнений. Метод Крамера основан
на одноимённой теореме:

Теорема
5.2.

Система
линейных уравнений снеизвестными

основная
матрица которой невырожденная, имеет
единственное решение, которое может
быть получено по формулам

где
определитель
матрицы, полученной из основной матрицысистемы уравнений заменой еёго
столбца столбцом свободных членов.

Пример.
Найдём решение системы линейных
уравнений, рассмотренной в предыдущем
примере, методом Крамера. Основная
матрица системы уравнений невырожденная,
поскольку
Вычислим определители

По
формулам, представленным в теореме 5.2,
вычислим значения неизвестных:

6. Исследование систем линейных уравнений.

Базисное
решение

Исследовать
систему линейных уравнений – означает
определить, какой является эта система
– совместной или несовместной, и в
случае её совместности выяснить,
определённая эта система или неопределённая.

Условие
совместности системы линейных уравнений
даёт следующая теорема

Теорема
6.1 (Кронекера–Капелли).

Система
линейных уравнений совместна тогда и
только тогда, когда ранг основной матрицы
системы равен рангу её расширенной
матрицы:

Для
совместной системы линейных уравнений
вопрос о её определённости или
неопределённости решается с применением
следующих теорем.

Теорема
6.2.

Если
ранг основной матрицы совместной системы
равен числу неизвестных, то система
является определённой

Теорема
6.3.

Если ранг основной матрицы совместной
системы меньше числа неизвестных, то
система является неопределённой.

Таким
образом, из сформулированных теорем
вытекает способ исследования систем
линейных алгебраических уравнений.
Пусть n
– количество неизвестных,
Тогда:

  1. при
    система несовместна;

  2. при
    система совместна, причём, если,
    система
    определённая; если же,
    система неопределённая.

Определение
6.1.

Базисным решением неопределённой
системы линейных уравнений называют
такое её решение, в котором все свободные
неизвестные равны нулю.

Пример.
Исследовать систему линейных уравнений.
В случае неопределённости системы найти
её базисное решение.

Вычислим
ранги основной
и расширенной матрицданной системы уравнений, для чего
приведём расширенную (а вместе с тем и
основную) матрицу системы к ступенчатому
виду:

Вторую
строку матрицы сложим с её первой
строкой, умноженной на
третью строку – с первой строкой,
умноженной наа четвёртую строку – с первой, умноженной
наполучим матрицу

К
третьей строке этой матрицы прибавим
вторую строку, умноженную на
а к четвёртой строке – первую, умноженную
наВ результате получим матрицу

удаляя
из которой третью и четвёртую строки
получим ступенчатую матрицу

Таким
образом,
Следовательно, данная система линейных
уравнений совместна, а поскольку величина
ранга меньше числа неизвестных, система
является неопределённой.Полученной
в результате элементарных преобразований
ступенчатой матрице соответствует
система уравнений

Неизвестные
иявляются главными, а неизвестныеисвободными. Придавая свободным неизвестным
нулевые значения, получим базисное
решение данной системы линейных
уравнений:

Решение систем линейных уравнений с использованием матриц

Привет! Эта страница будет иметь смысл только тогда, когда вы немного знаете о системах линейных уравнений и матриц, поэтому, пожалуйста, пойдите и узнайте о них, если вы их еще не знаете!

Пример

Одним из последних примеров систем линейных уравнений был этот:

Пример: Решить

  • х + у + г = 6
  • 2y + 5z = −4
  • 2x + 5y — z = 27

Затем мы решили его, используя метод «исключения»… но мы можем решить это с помощью Матриц!

Использование матриц упрощает жизнь, потому что мы можем использовать компьютерную программу (например, Матричный калькулятор), чтобы выполнять всю «обработку чисел».

Но сначала нам нужно написать вопрос в матричной форме.

в матричной форме?

ОК. Матрица — это массив чисел, верно?

Матрица

Ну, подумайте об уравнениях:

х + л + z = 6
2 года + 5z = −4
2x + 5лет z = 27

Их можно было бы превратить в таблицу чисел вот так:

1 1 1 = 6
0 2 5 = −4
2 5 -1 = 27

Мы могли бы даже разделить числа до и после «=» на:

1 1 1 6
0 2 5 и −4
2 5 -1 27

Теперь похоже, что у нас есть 2 матрицы.

На самом деле у нас есть третий, это [x y z]:

Почему [x y z] идет туда? Потому что, когда мы умножаем матрицы, левая часть становится:

Это исходная левая часть приведенных выше уравнений (вы можете это проверить).

Матричное решение

Мы можем написать это:

как это:

AX = B

где

  • A — это матрица 3×3 коэффициентов x, y и z
  • X — это x, y и z, и
  • .

  • B — это 6, −4 и 27

Тогда (как показано на странице инверсии матрицы) решение таково:

X = A -1 B

Что это значит?

Это означает, что мы можем найти значения x, y и z (матрица X), умножив , инверсную матрицу A , на матрицу B .

Итак, давайте продолжим и сделаем это.

Во-первых, нам нужно найти , обратную матрице A (при условии, что она существует!)

Используя Матричный калькулятор, получаем:

(для упрощения чисел я оставил определитель 1 / вне матрицы)

Затем умножьте A -1 на B (мы снова можем использовать Матричный калькулятор):

И готово! Решение:

x = 5,
y = 3,
z = −2

Как и на странице Системы линейных уравнений.

Довольно изящный и элегантный, человек думает, а компьютер производит вычисления.

Просто для развлечения … Сделай это снова!

Для удовольствия (и для того, чтобы помочь вам учиться), давайте проделаем все это снова, но сначала поставим матрицу «X».

Я хочу показать вам этот путь, потому что многие люди думают, что решение, приведенное выше, настолько изящно, что это, должно быть, единственный способ.

Так что решим так:

XA = B

И из-за способа умножения матриц нам нужно настроить матрицы по-другому.Строки и столбцы необходимо поменять местами («транспонировать»):

И XA = B выглядит так:

Матричное решение

Тогда (также показано на странице инверсии матрицы) решение следующее:

X = BA -1

Это то, что мы получаем для A -1 :

На самом деле это то же самое, что и обратное, которое мы получили раньше, но транспонированное (строки и столбцы меняются местами).

Затем умножаем B на A -1 :

И решение то же:

x = 5, y = 3 и z = −2

Это выглядело не так красиво, как предыдущее решение, но оно показывает нам, что существует более одного способа составления и решения матричных уравнений.Только будьте осторожны со строками и столбцами!

Использование матриц для решения систем уравнений

Матричные уравнения

Матрицы

могут использоваться для компактного написания и работы с системами множественных линейных уравнений.

Цели обучения

Определить, как матрицы могут представлять систему уравнений

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Если [latex] A [/ latex] является матрицей [latex] m \ times n [/ latex], а [latex] x [/ latex] обозначает вектор-столбец (т.е.е. [латекс] n \ умножить на 1 [/ latex] матрицу) [latex] n [/ latex] переменных [latex] x_1, x_2,…, x_n [/ latex], а [latex] b [/ latex] представляет собой [ latex] m \ times 1 [/ latex] вектор-столбец, тогда матричное уравнение будет: [latex] Ax = b [/ latex].
Ключевые термины
  • матрица : прямоугольное расположение чисел или терминов, имеющее различное применение, например, преобразование координат в геометрии, решение систем линейных уравнений в линейной алгебре и представление графиков в теории графов.

Матрицы можно использовать для компактного написания и работы с системами уравнений.Как мы узнали в предыдущих разделах, матрицами можно манипулировать так же, как и нормальным уравнением. Это очень полезно, когда мы начинаем работать с системами уравнений. Полезно понять, как организовать матрицы для решения этих систем.

Написание системы уравнений с матрицами

Можно решить эту систему, используя метод исключения или замены, но это также возможно сделать с помощью матричной операции. Прежде чем приступить к настройке матриц, важно сделать следующее:

  • Убедитесь, что все уравнения написаны одинаково, то есть переменные должны быть в одном порядке.
  • Убедитесь, что одна часть уравнения — это только переменные и их коэффициенты, а другая сторона — просто константы.

Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: [latex] X [/ latex] — это матрица, представляющая переменные системы, а [latex] B [/ latex] — матрица, представляющая константы. Используя матричное умножение, мы можем определить систему уравнений с таким же количеством уравнений в качестве переменных, как:

[латекс] \ displaystyle A \ cdot X = B [/ латекс]

Чтобы решить систему линейных уравнений с использованием обратной матрицы, пусть [latex] A [/ latex] будет матрицей коэффициентов, пусть [latex] X [/ latex] будет переменной матрицей, и пусть [latex] B [/ latex ] — постоянная матрица.

Учитывая систему:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x + 8y & = 7 \\ 2x-8y & = — 3 \ end {align} [/ latex]

Матрица коэффициентов:

[латекс] A = \ begin {bmatrix} 1 & 8 \\ 2 & -8 \ end {bmatrix} [/ latex]

Матрица переменных:

[латекс] \ displaystyle X = \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} [/ latex]

Постоянная матрица:

[латекс] \ displaystyle B = \ begin {bmatrix} 7 \\ -3 \ end {bmatrix} [/ latex]

Таким образом, чтобы решить систему [latex] AX = B [/ latex], для [latex] X [/ latex] умножьте обе стороны на обратную величину [latex] A [/ latex], и мы получим решение:

[латекс] \ Displaystyle X = (A ^ {- 1}) B [/ латекс]

Если существует обратный [латекс] \ left (A ^ {- 1} \ right) [/ latex], эта формула решит систему.

Если матрица коэффициентов необратима, система может быть несовместимой и не иметь решения, или быть зависимой и иметь бесконечно много решений.

Матрицы и операции со строками

Две матрицы эквивалентны строкам, если одна может быть заменена другой последовательностью элементарных операций со строками.

Цели обучения

Объясните, как использовать операции со строками и почему они создают эквивалентные матрицы

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Элементарная операция со строкой — это любое из следующих действий: переключение строк (перестановка двух строк матрицы), умножение строк (умножение строки матрицы на ненулевую константу) или сложение строк (добавление к одной строке матрицы до некоторого числа, кратного другой строке).
  • Если строки матрицы представляют собой систему линейных уравнений, то пространство строк состоит из всех линейных уравнений, которые могут быть выведены алгебраически из уравнений системы.
Ключевые термины
  • пространство строки : набор всех возможных линейных комбинаций его векторов-строк.
  • эквивалент строки : В линейной алгебре, когда одна матрица может быть заменена другой последовательностью элементарных операций со строкой.

Элементарные операции со строками (ERO)

В линейной алгебре две матрицы эквивалентны строкам, если одна может быть заменена другой последовательностью элементарных операций со строками.В качестве альтернативы, две матрицы [latex] m \ times n [/ latex] эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое пространство строк. Пространство строки матрицы представляет собой набор всех возможных линейных комбинаций ее векторов-строк. Если строки матрицы представляют собой систему линейных уравнений, то пространство строк состоит из всех линейных уравнений, которые могут быть выведены алгебраически из уравнений системы. Две матрицы одинакового размера эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда соответствующие однородные системы имеют одинаковый набор решений или, что эквивалентно, матрицы имеют одно и то же нулевое пространство.Поскольку элементарные операции со строками обратимы, эквивалентность строк является отношением эквивалентности. Обычно обозначается тильдой (~).

Операция элементарной строки — это любой из следующих трех ходов:

  1. Переключение строк (перестановка): поменять местами две строки матрицы.
  2. Умножение строк (масштаб): умножение строки матрицы на ненулевую константу.
  3. Сложение строк (сводная): прибавить к одной строке матрицы несколько значений, кратных другой строке.

Создание эквивалентных матриц с использованием элементарных операций со строками

Поскольку матрица по существу является коэффициентами и константами линейной системы, три операции со строками сохраняют матрицу.Например, замена двух строк просто означает изменение их положения в матрице. Кроме того, при решении системы линейных уравнений методом исключения, умножение строк будет таким же, как умножение всего уравнения на число для получения аддитивных обратных величин, так что переменная сокращается. Наконец, добавление строк аналогично методу исключения, когда для получения переменной выбирается сложение или вычитание одинаковых членов уравнений. Следовательно, операции со строками сохраняют матрицу и могут использоваться как альтернативный метод для решения системы уравнений.

Пример 1: Покажите, что эти две матрицы эквивалентны строкам:

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \ end {pmatrix} \ quad B = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \ end {pmatrix} [/ латекс]

Начните с [latex] A [/ latex], добавьте вторую строку к первой:

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \ end {pmatrix} [/ latex]

Затем умножьте вторую строку на 3 и вычтите первую строку из второй:

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \ end {pmatrix} [/ latex]

Наконец, вычтите первую строку из второй:

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \ end {pmatrix} [/ latex]

Вы можете видеть, что [latex] A = B [/ latex], что мы достигли с помощью серии элементарных операций со строками.

Сокращение строк: решение системы линейных уравнений

В редукторе рядов, линейная система:

[латекс] \ displaystyle x + 3y-2z = 5 \\ 3x + 5y + 6z = 7 \ 2x + 4y + 3z = 8 [/ latex]

Представлен в виде расширенной матрицы:

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 3 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 3 & 8 \ end {pmatrix} [/ latex]

Затем эта матрица модифицируется с использованием операций с элементарными строками до тех пор, пока не достигнет уменьшенной формы эшелона строк.

Поскольку эти операции обратимы, полученная расширенная матрица всегда представляет собой линейную систему, эквивалентную исходной.

Существует несколько специальных алгоритмов сокращения строк расширенной матрицы, простейшими из которых являются исключение Гаусса и исключение Гаусса-Жордана. Это вычисление может быть выполнено вручную (с использованием трех типов ERO) или на калькуляторе с использованием матричной функции «rref» (сокращенная форма эшелона строк).

Окончательная матрица представлена ​​в виде уменьшенного ряда строк и представляет систему [латекс] x = -15 [/ latex], [latex] y = 8 [/ latex] [latex] z = 2 [/ latex].

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -15 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \ end {pmatrix} [/ latex]

Упрощение матриц с помощью операций со строками

Используя элементарные операции, метод исключения Гаусса приводит матрицы к форме эшелона строк.

Цели обучения

Используйте операции с элементарными строками, чтобы представить матрицу в упрощенном виде

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Поскольку элементарные операции со строками сохраняют пространство строк матрицы, пространство строк формы эшелона строк такое же, как и у исходной матрицы.
  • Существует три типа операций с элементарными строками: поменять местами две строки, умножить строку на ненулевой скаляр и добавить к одной строке скалярное значение, кратное другой.
  • На практике обычно не рассматривают системы в терминах уравнений, а вместо этого используют расширенную матрицу (которая также подходит для компьютерных манипуляций).
Ключевые термины
  • Расширенная матрица : Матрица, полученная путем добавления столбцов двух заданных матриц, обычно с целью выполнения одних и тех же элементарных операций со строками для каждой из данных матриц.

С помощью конечной последовательности элементарных операций со строками, называемых исключением по Гауссу, любую матрицу можно преобразовать в форму эшелона строк. Это преобразование необходимо для решения системы линейных уравнений.

Прежде чем углубляться в детали, следует упомянуть несколько ключевых терминов:

  • Расширенная матрица : расширенная матрица — это матрица, полученная путем добавления столбцов двух заданных матриц, обычно с целью выполнения одних и тех же операций с элементарной строкой для каждой из данных матриц.
  • Форма верхнего треугольника : Квадратная матрица называется верхней треугольной, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Треугольная матрица — это нижнетреугольная или верхнетреугольная матрица. Матрица, имеющая одновременно верхний и нижний треугольники, является диагональной матрицей.
  • Элементарные операции со строками : Поменять местами строки, добавить строки или умножить строки.

Исключение по Гауссу

  1. Напишите расширенную матрицу для линейных уравнений.
  2. Используйте элементарные операции со строками в расширенной матрице [latex] [A | b] [/ latex], чтобы преобразовать [latex] A [/ latex] в форму верхнего треугольника. Если на диагонали находится ноль, переключайте строки, пока на его месте не окажется ненулевое значение.
  3. Используйте обратную замену, чтобы найти решение.

Пример 1: Решите систему методом исключения Гаусса:

[латекс] \ displaystyle 2x + y-z = 8 \\ -3x-y + 2z = -11 \ -2x + y + 2z = -3 [/ latex]

Запишите расширенную матрицу:

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr | r} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3 \ end {array} \ right] [/ latex]

Используйте элементарные операции со строками, чтобы уменьшить матрицу до уменьшенной формы эшелона строк:

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \ end {array} \ right ] [/ латекс]

Используя элементарные операции со строками для получения сокращенной формы эшелона строк (‘rref’ в калькуляторе), решение системы отображается в последнем столбце: [latex] x = 2, y = 3, z = -1 [/ latex] .

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Мы видели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей , а затем как использовать строковые операции и обратную подстановку для получения строковой формы . Теперь мы перейдем на шаг дальше от строковой формы, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.

Пример 6: Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

[латекс] \ begin {массив} {c} \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ hfill \\ x-y + z = 8 \ hfill \ end {array} \\ 2x + 3y-z = -2 \\ 3x — 2y — 9z = 9 \ end {array} [/ latex]

Решение

Сначала мы пишем расширенную матрицу.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill -1 \\ \ hfill 3 & \ hfill -2 & \ hfill -9 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 8 \\ \ hfill -2 \\ \ hfill 9 \ end {array} \ right] [/ latex]

Затем мы выполняем строковые операции, чтобы получить форму «строка-эшелон».

[латекс] \ begin {array} {rrrrr} \ hfill -2 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} { rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \\ \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -9 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -18 \\ \ hfill & \ hfill 9 \ end {массив} \ right] & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill -3 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -18 \\ \ hfill & \ hfill -15 \ end {array} \ right] \ end {array} [/ latex]

Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбца 1 — это поменять местами [латекс] {R} _ {2} [/ latex] и [latex] {R} _ {3} [/ latex].

[латекс] \ text {Interchange} {R} _ {2} \ text {и} {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill — 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill & \ hfill -15 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill & \ hfill -18 \ end {array} \ right] [/ latex]

Затем

[латекс] \ begin {array} {l} \\ \ begin {array} {rrrrr} \ hfill -5 {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ в \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 57 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -15 \\ \ hfill & \ hfill 57 \ end {array} \ right] & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill — \ frac {1} {57} {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -15 \ \ \ hfill & \ hfill 1 \ end {array} \ right] \ end {array} \ end {array} [/ latex]

Последняя матрица представляет собой эквивалентную систему.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x-y + z = 8 \ hfill \\ \ text {} y — 12z = -15 \ hfill \\ \ text {} z = 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Используя обратную подстановку, мы получаем решение как [latex] \ left (4, -3,1 \ right) [/ latex].

Пример 7: Решение зависимой системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите следующую систему линейных уравнений, используя матрицы.

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill -x — 2y + z = -1 \\ \ hfill 2x + 3y = 2 \\ \ hfill y — 2z = 0 \ end {array} [/ latex]

Решение

Запишите расширенную матрицу.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -1 & \ hfill -2 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill -2 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill -1 \\ \ hfill 2 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

Сначала умножьте строку 1 на [latex] -1 [/ latex], чтобы получить 1 в строке 1, столбце 1. Затем выполните операций со строками , чтобы получить форму строки-эшелон.

[латекс] — {R} _ {1} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 2 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ справа] [/ латекс]

[латекс] {R} _ {2} \ leftrightarrow {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 \ \ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ text {} | \ begin {array} { rr} \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \\ \ hfill & \ hfill 2 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] -2 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

[латекс] {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill \ end { array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 2 \\ \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

Последняя матрица представляет следующую систему.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x + 2y-z = 1 \ hfill \\ \ text {} y — 2z = 0 \ hfill \\ \ text {} 0 = 0 \ hfill \ конец {array} [/ latex]

По тождеству [latex] 0 = 0 [/ latex] мы видим, что это зависимая система с бесконечным числом решений. Затем мы находим общее решение. Решив второе уравнение для [латекс] y [/ латекс] и подставив его в первое уравнение, мы можем решить для [латекс] z [/ латекс] через [латекс] x [/ латекс].

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + 2y-z = 1 \ hfill \\ \ text {} y = 2z \ hfill \\ \ hfill \\ x + 2 \ left (2z \ справа) -z = 1 \ hfill \\ \ text {} x + 3z = 1 \ hfill \\ \ text {} z = \ frac {1-x} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь мы подставляем выражение для [latex] z [/ latex] во второе уравнение, чтобы решить для [latex] y [/ latex] через [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} y — 2z = 0 \ hfill \\ \ text {} z = \ frac {1-x} {3} \ hfill \\ \ hfill \\ y — 2 \ left (\ frac {1-x} {3} \ right) = 0 \ hfill \\ \ text {} y = \ frac {2 — 2x} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex ]

Общее решение — [latex] \ left (x, \ frac {2 — 2x} {3}, \ frac {1-x} {3} \ right) [/ latex].

Попробуй 5

Решите систему, используя матрицы.

[латекс] \ begin {array} {c} x + 4y-z = 4 \\ 2x + 5y + 8z = 15 \ x + 3y — 3z = 1 \ end {array} [/ latex]

Вопросы и ответы

Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?

Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.

Практическое руководство. Для данной системы уравнений решите с помощью матриц с помощью калькулятора.

  1. Сохраните расширенную матрицу как матричную переменную [latex] \ left [A \ right], \ left [B \ right], \ left [C \ right] \ text {,} \ dots [/ latex].
  2. Используйте в калькуляторе функцию ref (, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.

Пример 8: Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 5x + 3y + 9z = -1 \\ \ hfill -2x + 3y-z = -2 \\ \ hfill -x — 4y + 5z = 1 \ end { array} [/ latex]

Решение

Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 5 & \ hfill 3 & \ hfill 9 \\ \ hfill -2 & \ hfill 3 & \ hfill -1 \\ \ hfill -1 & \ hfill -4 & \ hfill 5 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 5 \\ \ hfill -2 \\ \ hfill -1 \ end {array} \ right] [/ latex]

На странице матриц калькулятора введите расширенную матрицу выше как матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex].

[латекс] \ left [A \ right] = \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 9 & \ hfill & \ hfill -1 \\ \ hfill — 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill -2 \\ \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill -4 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill 1 \ end {массив } \ right] [/ latex]

Используйте функцию ref ( в калькуляторе, вызывая матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex].

[латекс] \ text {ref} \ left (\ left [A \ right] \ right) [/ латекс]

Оценить.

[латекс] \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ left [\ begin {array} {rrrr} \ hfill 1 & \ hfill \ frac {3} {5} & \ hfill \ frac {9} {5 } & \ hfill \ frac {1} {5} \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill \ frac {13} {21} & \ hfill — \ frac {4} {7} \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill — \ frac {24} {187} \ end {array} \ right] \ to \ begin {array} {l} x + \ frac {3} {5} y + \ frac {9} {5} z = — \ frac {1} {5} \ hfill \\ \ text {} y + \ frac {13} {21} z = — \ frac {4} {7} \ hfill \\ \ text {} z = — \ frac {24} {187} \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]

При использовании обратной подстановки решение: [latex] \ left (\ frac {61} {187}, — \ frac {92} {187}, — \ frac {24} {187} \ right) [/ latex] .

Пример 9: Применение матриц 2 × 2 к финансам

Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10,5% годовых, а другая — 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?

Решение

У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть [latex] x = [/ latex] сумма, инвестированная под 10,5% годовых, и [latex] y = [/ latex] сумма, инвестированная под 12% годовых.

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + y = 12 000 \ hfill \\ 0.105x + 0.12y = 1335 \ hfill \ end {array} [/ latex]

В качестве матрицы имеем

[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0.105 & \ hfill 0.12 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} { r} \ hfill 12,000 \\ \ hfill 1,335 \ end {array} \ right] [/ latex]

Умножьте строку 1 на [latex] -0.105 [/ latex] и прибавьте результат к строке 2.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0.015 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 12,000 \\ \ hfill 75 \ end {array} \ right] [/ latex]

Затем,

[латекс] \ begin {array} {l} 0,015y = 75 \ hfill \\ \ text {} y = 5,000 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Итак [латекс] 12 000 — 5 000 = 7 000 [/ латекс].

Таким образом, 5000 долларов были инвестированы под 12% годовых и 7000 долларов под 10,5%.

Пример 10: Применение матриц 3 × 3 к финансам

Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов в три счета, один из которых платит 5% годовых, другой — 8%, а третий — 9%.Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше, чем сумма, вложенная под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

Решение

У нас есть система трех уравнений с тремя переменными. Пусть [latex] x [/ latex] будет сумма, инвестированная под 5% годовых, пусть [latex] y [/ latex] будет суммой, инвестированной под 8%, и пусть [latex] z [/ latex] будет инвестированной суммой. под 9% годовых. Таким образом,

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + y + z = 10 000 \ hfill \\ 0.05x + 0,08y + 0,09z = 770 \ hfill \\ \ text {} 2x-z = 0 \ hfill \ end {array} [/ latex]

В качестве матрицы имеем

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0,05 & \ hfill 0,08 & \ hfill 0,09 \\ \ hfill 2 & \ hfill 0 & \ hfill -1 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 10,000 \\ \ hfill 770 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелон.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \ hfill \\ -0.05 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0.03 & \ hfill & \ hfill 0.04 & \ hfill \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 270 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} \ hfill \\ -2 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0.03 & \ hfill & \ hfill 0.04 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 270 \\ \ hfill & \ hfill -20,000 \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ frac {1} {0.03} {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill \ frac {4} {3} & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 9,000 \\ \ hfill & \ hfill -20,000 \ end {array} \ right] \ hfill \\ 2 {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill \ frac {4} {3} & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill — \ frac {1} {3} & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 9,000 \\ \ hfill & \ hfill -2,000 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex]

Третья строка сообщает нам [латекс] — \ frac {1} {3} z = -2,000 [/ latex]; таким образом [латекс] z = 6,000 [/ латекс].

Вторая строка сообщает нам [латекс] y + \ frac {4} {3} z = 9000 [/ latex]. Подставляя [латекс] z = 6,000 [/ latex], получаем

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill y + \ frac {4} {3} \ left (6000 \ right) = 9000 \\ \ hfill y + 8000 = 9000 \\ \ hfill y = 1000 \ end {array} [/ latex]

Первая строка сообщает нам [латекс] x + y + z = 10,000 [/ latex]. Подставляя [латекс] y = 1000 [/ latex] и [latex] z = 6000 [/ latex], получаем

[латекс] \ begin {array} {l} x + 1 000 + 6 000 = 10 000 \ hfill \\ \ text {} x = 3 000 \ text {} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Ответ: 3000 долларов вложены под 5%, 1000 долларов вложены под 8% и 6000 долларов вложены под 9%.

Попробуй 6

Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 долларов на расширение своего ассортимента. Часть денег была взята под 7%, часть — под 8%, часть — под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.

Решение

Решение систем линейных уравнений с использованием матриц

Если нужно, просмотрите

матрицы

,

матричные операции со строками

а также

решение систем линейных уравнений

перед прочтением этой страницы.

В

матричный метод

решения систем линейных уравнений — это просто

метод устранения

в маскировке. При использовании матриц запись становится немного проще.

Предположим, у вас есть система линейных уравнений, например:

{

3

Икс

+

4

у

знак равно

5

2

Икс

у

знак равно

7

Первый шаг — преобразовать это в матрицу.Убедитесь, что все уравнения имеют стандартную форму

(

А

Икс

+

B

у

знак равно

C

)

, и используйте коэффициенты каждого уравнения для формирования каждой строки матрицы. Это может помочь вам разделить правый столбец пунктирной линией.

[

3

4

2

1

|

5

7

]

Далее мы используем

матричные операции со строками

изменить

2

×

2

матрицу слева на

единичная матрица

.Во-первых, мы хотим получить ноль в строке

1

, Столбец

2

. Итак, добавляем

4

раз Строка

2

грести

1

.

[

11

0

2

1

|

33

7

]

добавлен

(

4

×

Строка

2

)

к

Строка

1

Далее мы хотим

1

в верхнем левом углу.

[

1

0

2

1

|

3

7

]

разделенный

Строка

1

от

11

Теперь нам нужен ноль в нижнем левом углу.

[

1

0

0

1

|

3

1

]

добавлен

(

2

×

Строка

1

)

к

Строка

2

Наконец, мы хотим

1

в строке

2

, Столбец

2

.

[

1

0

0

1

|

3

1

]

умноженный

Строка

2

от

1

Теперь, когда у нас есть

2

×

2

Единичная матрица слева, мы можем считать решения из правого столбца:

Икс

знак равно

3

у

знак равно

1

Тот же метод можно использовать для

п

линейные уравнения в

п

неизвестные; в этом случае вы создадите

п

×

(

п

1

)

матрица и используйте операции со строками матрицы, чтобы получить тождество

п

×

п

матрица слева.


Важная заметка:

Если уравнения, представленные исходной матрицей, представляют собой параллельные линии, вы не сможете получить единичную матрицу, используя операции со строками. В этом случае решения либо не существует, либо решений системы бесконечно много.

4.6: Решение систем уравнений с использованием матриц

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Запишите расширенную матрицу для системы уравнений
  • Использовать операции со строками в матрице
  • Решать системы уравнений с помощью матриц

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.2 \).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка] .

Напишите расширенную матрицу для системы уравнений

Решение системы уравнений может быть утомительной операцией, когда простая ошибка может нанести ущерб поиску решения. Доступен альтернативный метод, использующий основные процедуры исключения, но с более простой нотацией. Метод предполагает использование матрицы . Матрица — это прямоугольный массив чисел, упорядоченный по строкам и столбцам.

МАТРИЦА

Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, упорядоченных по строкам и столбцам.

Матрица с m строками и n столбцами имеет порядок \ (m \ times n \). Матрица слева внизу имеет 2 строки и 3 столбца, поэтому она имеет порядок \ (2 \ times 3 \). Мы говорим, что это матрица 2 на 3.

Каждое число в матрице называется элементом или записью в матрице.

Мы будем использовать матрицу для представления системы линейных уравнений.Мы записываем каждое уравнение в стандартной форме, и коэффициенты переменных и константа каждого уравнения становятся строкой в ​​матрице. Тогда каждый столбец будет коэффициентами одной из переменных в системе или констант. Вертикальная линия заменяет знаки равенства. Полученную матрицу назовем расширенной матрицей системы уравнений.

Обратите внимание, что первый столбец состоит из всех коэффициентов x , второй столбец — это все коэффициенты y , а третий столбец — все константы.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 5x − 3y = −1 \\ y = 2x − 2 \ end {array} \ right. \) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array } {l} 6x − 5y + 2z = 3 \\ 2x + y − 4z = 5 \\ 3x − 3y + z = −1 \ end {array} \ right. \)

Ответ

ⓐ Второе уравнение не имеет стандартной формы. Перепишем второе уравнение в стандартном виде.

\ [\ начало {выровнено} y = 2x − 2 \\ −2x + y = −2 \ end {выровнено} \ nonumber \]

Заменим второе уравнение на его стандартную форму.В расширенной матрице первое уравнение дает нам первую строку, а второе уравнение дает нам вторую строку. Вертикальная линия заменяет знаки равенства.

ⓑ Все три уравнения имеют стандартную форму. В расширенной матрице первое уравнение дает нам первую строку, второе уравнение дает нам вторую строку, а третье уравнение дает нам третью строку. Вертикальная линия заменяет знаки равенства.

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 8y = −3 \\ 2x = −5y − 3 \ end {array} \ right.\) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x − 5y + 3z = 8 \\ 3x − y + 4z = 7 \\ x + 3y + 2z = −3 \ end {array} \ right . \)

Ответ

ⓐ \ (\ left [\ begin {matrix} 3 & 8 & -3 \\ 2 & 5 & −3 \ end {matrix} \ right] \)

ⓑ \ (\ left [\ begin {matrix} 2 & 3 & 1 & −5 \\ ​​−1 & 3 & 3 & 4 \\ 2 & 8 & 7 & −3 \ end {matrix} \ right] \)

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 11x = −9y − 5 \\ 7x + 5y = −1 \ end {array} \ right.\) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 5x − 3y + 2z = −5 \\ ​​2x − y − z = 4 \\ 3x − 2y + 2z = −7 \ end {array} \ вправо. \)

Ответ

ⓐ \ (\ left [\ begin {matrix} 11 & 9 & −5 \\ ​​7 & 5 & −1 \ end {matrix} \ right] \)
ⓑ \ (\ left [\ begin {matrix} 5 & −3 & 2 & −5 \\ ​​2 & −1 & −1 & 4 \\ 3 & −2 & 2 & −7 \ end {matrix} \ right] \)

Это важно, поскольку мы решаем системы уравнений с использованием матриц, чтобы иметь возможность перемещаться между системой и матрицей.В следующем примере нам предлагается взять информацию из матрицы и написать систему уравнений.

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице:

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 4 & −3 & 3 & −1 \\ 1 & 2 & −1 & 2 \\ −2 & −1 & 3 & −4 \ end {array} \ right ] \).

Ответ

Мы помним, что каждая строка соответствует уравнению и что каждая запись является коэффициентом переменной или константы.Вертикальная линия заменяет знак равенства. Поскольку эта матрица представляет собой \ (4 \ times 3 \), мы знаем, что она преобразуется в систему трех уравнений с тремя переменными.

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице: \ (\ left [\ begin {matrix} 1 & −1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & −2 & 1 \\ 4 & −1 & 2 & 0 \ end {matrix} \верно] \).

Ответ

\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − y + 2z = 3 \\ 2x + y − 2z = 1 \\ 4x − y + 2z = 0 \ end {array} \ right.\)

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Запишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице: \ (\ left [\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & −1 & 8 \\ 1 & 1 & −1 & 3 \ end {matrix} \ right ] \).

Ответ

\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + y + z = 4 \\ 2x + 3y − z = 8 \ x + y − z = 3 \ end {array} \ right. \)

Использование операций со строками в матрице

Когда система уравнений принимает форму расширенной матрицы, мы будем выполнять операции со строками, которые приведут нас к решению.

Для решения методом исключения не имеет значения, в каком порядке мы размещаем уравнения в системе. Точно так же в матрице мы можем поменять местами строки.

Когда мы решаем методом исключения, мы часто умножаем одно из уравнений на константу. Поскольку каждая строка представляет собой уравнение, и мы можем умножить каждую часть уравнения на константу, аналогичным образом мы можем умножить каждую запись в строке на любое действительное число, кроме 0.

При исключении мы часто добавляем число, кратное одной строке, к другой строке.В матрице мы можем заменить строку с ее суммой на кратное другой строке.

Эти действия называются строковыми операциями и помогут нам использовать матрицу для решения системы уравнений.

РАБОТА С РЯДОМ

В матрице следующие операции могут быть выполнены с любой строкой, и результирующая матрица будет эквивалентна исходной матрице.

  1. Поменяйте местами любые два ряда.
  2. Умножить строку на любое действительное число, кроме 0.
  3. Добавить ненулевое кратное одной строки в другую строку.

Выполнить эти операции легко, но все вычисления могут привести к ошибке. Если мы используем систему для записи операций со строками на каждом шаге, гораздо легче вернуться и проверить нашу работу.

Мы используем заглавные буквы с нижними индексами для обозначения каждой строки. Затем мы показываем операцию слева от новой матрицы. Чтобы показать перестановку ряда:

Чтобы умножить строку 2 на \ (- 3 \):

Чтобы умножить строку 2 на \ (- 3 \) и добавить ее к строке 1:

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Выполните указанные операции над расширенной матрицей:

ⓐ Поменяйте местами 2 и 3 ряды.

ⓑ Строку 2 умножить на 5.

ⓒ Умножить строку 3 на −2−2 и прибавить к строке 1.

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 6 & −5 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & −4 & 5 \\ 3 & −3 & 1 & −1 \ end {array} \ right] \)

Ответ

ⓐ Меняем ряды 2 и 3.

ⓑ Строку 2 умножаем на 5.

ⓒ Строку 3 умножаем на \ (- 2 \) и прибавляем к строке 1.

Пример \ (\ PageIndex {8} \)

Выполните указанные операции над расширенной матрицей:

ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 3.

ⓑ Строку 3 умножить на 3.

ⓒ Строку 3 умножить на 2 и прибавить к строке 2.

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 5 & −2 & -2 & -2 \\ 4 & -1 & −4 & 4 \\ -2 & 3 & 0 & −1 \ end {array} \ справа] \)

Ответ

ⓐ \ (\ left [\ begin {matrix} −2 & 3 & 0 & −2 \\ 4 & −1 & −4 & 4 \\ 5 & −2 & −2 & −2 \ end {matrix} \ right] \ )

ⓑ \ (\ left [\ begin {matrix} −2 & 3 & 0 & −2 \\ 4 & −1 & −4 & 4 \\ 15 & −6 & −6 & −6 \ end {matrix} \ right] \ )

ⓒ \ (\ left [\ begin {matrix} -2 & 3 & 0 & 2 & \\ 3 & 4 & -13 & -16 & -8 \\ 15 & -6 & -6 & -6 & \ end {matrix} \ справа] \)

Пример \ (\ PageIndex {9} \)

Выполните указанные операции над расширенной матрицей:

ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 2,

ⓑ Умножить строку 1 на 2,

ⓒ Строку 2 умножить на 3 и прибавить к строке 1.

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 2 & −3 & −2 & −4 \\ 4 & 1 & −3 & 2 \\ 5 & 0 & 4 & −1 \ end {array} \ right] \)

Ответ

ⓐ \ (\ left [\ begin {matrix} 4 & 1 & −3 & 2 \\ 2 & −3 & −2 & −4 \\ 5 & 0 & 4 & −1 \ end {matrix} \ right] \)
ⓑ \ (\ left [\ begin {matrix} 8 & 2 & −6 & 4 \\ 2 & −3 & −2 & −4 \\ 5 & 0 & 4 & −1 \ end {matrix} \ right] \)
ⓒ \ ( \ left [\ begin {matrix} 14 & −7 & −12 & −8 \\ 2 & −3 & −2 & −4 \\ 5 & 0 & 4 & −1 \ end {matrix} \ right] \)

Теперь, когда мы попрактиковались в операциях со строками, мы рассмотрим расширенную матрицу и выясним, какую операцию мы будем использовать для достижения цели.Это именно то, что мы сделали, когда выполняли выбывание. Мы решили, на какое число умножить строку, чтобы переменная была исключена при сложении строк.

Учитывая эту систему, что бы вы сделали, чтобы исключить x ?

Следующий пример по сути делает то же самое, но с матрицей.

Пример \ (\ PageIndex {10} \)

Выполните необходимую операцию со строкой, чтобы первая запись в строке 2 была равна нулю в расширенной матрице: \ (\ left [\ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 2 \\ 4 & −8 & 0 \ end {array} \ right] \)

Ответ

Чтобы сделать 4 равным 0, мы могли бы умножить строку 1 на \ (- 4 \), а затем добавить ее к строке 2.

Пример \ (\ PageIndex {11} \)

Выполните необходимую операцию со строкой, чтобы первая запись в строке 2 была равна нулю в расширенной матрице: \ (\ left [\ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 2 \\ 3 & −6 & 2 \ end {array} \ right] \)

Ответ

\ (\ left [\ begin {matrix} 1 & −1 & 2 \\ 0 & −3 & −4 \ end {matrix} \ right] \)

Пример \ (\ PageIndex {12} \)

Выполните необходимую операцию со строкой, чтобы первая запись в строке 2 была равна нулю в расширенной матрице: \ (\ left [\ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 3 \\ -2 & −3 & 2 \ end {array} \ right] \)

Ответ

\ (\ left [\ begin {matrix} 1 & −1 & 3 \\ 0 & −5 & 8 \ end {matrix} \ right] \)

Решение систем уравнений с использованием матриц

Чтобы решить систему уравнений с использованием матриц, мы преобразуем расширенную матрицу в матрицу строковой формы , используя строковые операции.Для непротиворечивой и независимой системы уравнений ее расширенная матрица находится в виде эшелона строк, когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали — нули.

ФОРМА ROW-ECHELON

Для непротиворечивой и независимой системы уравнений ее расширенная матрица находится в форме рядов , когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали — нули.

Как только мы получим расширенную матрицу в виде ряда строк, мы можем написать эквивалентную систему уравнений и прочитать значение по крайней мере одной переменной. Затем мы подставляем это значение в другое уравнение, чтобы продолжить поиск других переменных. Этот процесс проиллюстрирован в следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {14} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = 7 \\ x − 2y = 6 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Решение: \ ((4, −1) \).

Пример \ (\ PageIndex {15} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = −4 \\ x − y = −2 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Решение: \ ((- 2,0) \).

Шаги кратко описаны здесь.

РЕШИТЕ ​​СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦ.

  1. Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.
  2. Используя операции со строками, получите запись в строке 1, столбец 1 равной 1.
  3. Используя операции со строками, получите нули в столбце 1 под 1.
  4. Используя операции со строками, получите запись в строке 2, столбце 2, равной 1.
  5. Продолжайте процесс до тех пор, пока матрица не примет вид ряда строк.
  6. Напишите соответствующую систему уравнений.
  7. Используйте подстановку, чтобы найти оставшиеся переменные.
  8. Запишите решение в виде упорядоченной пары или тройки.
  9. Убедитесь, что решение соответствует исходным уравнениям.

Вот наглядное изображение, показывающее порядок получения единиц и нулей в правильном положении для строковой формы.

Мы используем ту же процедуру, когда система уравнений состоит из трех уравнений.

Пример \ (\ PageIndex {16} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 8y + 2z = −5 \\ ​​2x + 5y − 3z = 0 \\ x + 2y − 2z = — 1 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {17} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x − 5y + 3z = 8 \\ 3x − y + 4z = 7 \\ x + 3y + 2z = −3 \ end {array} \ right.\)

Ответ

\ ((6, −1, −3) \)

Пример \ (\ PageIndex {18} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} −3x + y + z = −4 \\ −x + 2y − 2z = 1 \\ 2x − y − z = −1 \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ ((5,7,4) \)

До сих пор мы работали с матрицами только с системами, которые согласованы и независимы, что означает, что у них есть только одно решение.Давайте теперь посмотрим, что происходит, когда мы используем матрицу для зависимой или несовместимой системы.

Пример \ (\ PageIndex {19} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + y + 3z = 0 \\ x + 3y + 5z = 0 \\ 2x + 4z = 1 \ end { array} \ right. \)

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {20} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 2y + 2z = 1 \\ −2x + y − z = 2 \\ x − y + z = 5 \ end {array} \ right.\)

Ответ

нет решения

Пример \ (\ PageIndex {21} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y − 3z = −2 \\ −2x + 3y − z = −1 \\ 2x + y − 2z = 6 \ end {array} \ right. \)

Ответ

нет решения

Последняя система была несовместимой и поэтому не имела решений. Следующий пример зависимый и имеет бесконечно много решений.

Пример \ (\ PageIndex {22} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 2y + 3z = 1 \\ x + y − 3z = 7 \\ 3x − 4y + 5z = 7 \ конец {массив} \ right. \)

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {23} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + y − z = 0 \\ 2x + 4y − 2z = 6 \\ 3x + 6y − 3z = 9 \ конец {массив} \ right. \)

Ответ

бесконечно много решений \ ((x, y, z) \), где \ (x = z − 3; \ space y = 3; \ space z \) — любое действительное число.

Пример \ (\ PageIndex {24} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − y − z = 1 \\ −x + 2y − 3z = −4 \\ 3x − 2y − 7z = 0 \ end {array} \ right. \)

Ответ

бесконечно много решений \ ((x, y, z) \), где \ (x = 5z − 2; \ space y = 4z − 3; \ space z \) — любое действительное число.

Получите доступ к этому онлайн-ресурсу для получения дополнительных инструкций и практики с методом исключения Гаусса.

Ключевые концепции

  • Матрица: Матрица — это прямоугольный массив чисел, расположенных в строках и столбцах. Матрица с m строками и n столбцами имеет порядок \ (m \ times n \). Матрица слева внизу имеет 2 строки и 3 столбца, поэтому она имеет порядок \ (2 \ times 3 \). Мы говорим, что это матрица 2 на 3.

    Каждое число в матрице называется элементом или элементом матрицы.

  • Операции со строками: В матрице следующие операции могут выполняться с любой строкой, и результирующая матрица будет эквивалентна исходной матрице.
    • Поменять местами любые два ряда
    • Умножить строку на любое действительное число, кроме 0
    • Добавить ненулевое кратное одной строки к другой строке
  • Форма рядов-эшелонов: Для согласованной и независимой системы уравнений ее расширенная матрица находится в строчно-эшелонной форме, когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали — нули.
  • Как решить систему уравнений с помощью матриц.
    1. Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.
    2. Используя операции со строками, получить запись в строке 1, столбце 1, чтобы она была 1.
    3. Используя операции со строками, получите нули в столбце 1 под 1.
    4. Используя операции со строками, получите запись в строке 2, столбце 2, равной 1.
    5. Продолжайте процесс до тех пор, пока матрица не примет вид ряда строк.
    6. Напишите соответствующую систему уравнений.
    7. Используйте подстановку, чтобы найти оставшиеся переменные.
    8. Запишите решение в виде упорядоченной пары или тройки.
    9. Убедитесь, что решение соответствует исходным уравнениям.

Глоссарий

матрица
Матрица — это прямоугольный массив чисел, упорядоченный по строкам и столбцам.
рядная форма
Матрица находится в виде эшелона строк, когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали — нули.

Правило Крамера с двумя переменными

Правило Крамера — еще один метод, позволяющий решать системы линейных уравнений с использованием определителей.

В терминах обозначений матрица представляет собой массив чисел, заключенный в квадратные скобки, а определитель представляет собой массив чисел, заключенный в две вертикальные полосы.

Обозначения


Формула для определения определителя матрицы 2 x 2 очень проста.

Давайте быстро рассмотрим:


Определитель матрицы 2 x 2

Быстрые примеры того, как найти детерминанты матрицы 2 x 2

Пример 1 : Найдите определитель матрицы A ниже.


Пример 2 : Найдите определитель матрицы B ниже.


Пример 3 : Найдите определитель матрицы C ниже.

Зная, как найти определитель матрицы 2 x 2, теперь вы готовы изучить процедуры или шаги по использованию правила Крамера.Вот так!


Правила Крамера для систем линейных уравнений с двумя переменными

  • Назначьте имена для каждой матрицы

Матрица коэффициентов:

X — матрица:

Y — матрица:

От

до найдите переменную x.

От

до найдите переменную y.

Несколько моментов, которые следует учитывать при рассмотрении формулы:

1) Столбцы \ large {x}, \ large {y} и постоянные члены \ large {c} получаются следующим образом:

2) Оба знаменателя при решении \ large {x} и \ large {y} совпадают.Они происходят из столбцов \ large {x} и \ large {y}.

3) Глядя на числитель при решении для \ large {x}, коэффициенты столбца \ large {x} заменяются постоянным столбцом (красным).

4) Таким же образом, чтобы найти \ large {y}, коэффициенты \ large {y} -столбца заменяются постоянным столбцом (красным).


Примеры решения систем линейных уравнений с двумя переменными с использованием правила Крамера

Пример 1 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Начните с извлечения трех соответствующих матриц: коэффициент, \ large {x} и \ large {y}.Затем решите каждый соответствующий определитель.

После того, как все три детерминанты вычислены, пора найти значения \ large {x} и \ large {y}, используя приведенную выше формулу.

Я могу записать окончательный ответ как \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({2, — 1} \ right)}.


Пример 2 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Задайте свои коэффициенты, матрицы \ large {x} и \ large {y} из данной системы линейных уравнений.Затем рассчитайте их детерминанты соответствующим образом.

Помните, что мы всегда вычитаем произведений диагональных записей.

  • Для матрицы коэффициентов (используйте коэффициенты обеих переменных x и y )
  • Для X — матрица (заменить столбец x на столбец констант)
  • Для Y — матрица (заменить y-столбец на постоянный)

Надеюсь, вам удобно вычислять определитель двумерной матрицы.Чтобы окончательно решить требуемые переменные, я получаю следующие результаты…

Записав окончательный ответ в точечной нотации, я получил \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({6, — 5} \ right)}.


Пример 3 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Эту проблему на самом деле довольно легко решить методом исключения. Это связано с тем, что коэффициенты переменной x являются «одинаковыми», но только противоположными по знакам (+1 и -1). Чтобы решить эту проблему с помощью метода исключения, вы добавляете соответствующие столбцы, и переменная x исчезает, оставляя вам одношаговое уравнение в \ large {y}.Я говорю об этом, потому что у каждой техники есть недостатки, и лучше выбрать наиболее эффективную. Всегда уточняйте у своего учителя, можно ли использовать другой подход, если метод не указан для данной проблемы.

В любом случае, поскольку мы учимся решать по правилу Крамера, давайте продолжим и разберемся с этим методом.

Я построю три матрицы (коэффициент, \ large {x} и \ large {y}) и оценю их соответствующие детерминанты.

  • Для X — матрица (прописная D с индексом x)
  • Для Y — матрица (прописная D с индексом y)

После получения значений трех требуемых определителей я вычислю \ large {x} и \ large {y} следующим образом.

Окончательный ответ в виде баллов: \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({- 1,2} \ right)}.


Пример 4 : Решить по правилу Крамера систему с двумя переменными

Поскольку мы уже рассмотрели несколько примеров, я предлагаю вам попробовать решить эту проблему самостоятельно. Затем сравните свои ответы с решением ниже.

Если вы сделаете это правильно с первого раза, это означает, что вы становитесь «профи» в отношении правила Крамера. Если вы этого не сделали, попытайтесь выяснить, что пошло не так, и научитесь не совершать ту же ошибку в следующий раз.Так вы станете лучше в математике. Изучите множество проблем и, что более важно, много практикуйтесь самостоятельно.

Вы должны получить ответ ниже…


Пример 5 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

В нашем последнем примере я включил ноль в столбец констант. Каждый раз, когда вы видите число ноль в столбце констант, я настоятельно рекомендую использовать правило Крамера для решения системы линейных уравнений.Почему? Потому что вычисление определителей для матриц \ large {x} и \ large {y} стало очень простым. Убедитесь сами!

Окончательное решение этой проблемы —


Практика с рабочими листами


Возможно, вас заинтересует:

Правило Крамера 3 × 3

Система линейных уравнений — линейная алгебра с приложениями

Практические задачи во многих областях науки, таких как биология, бизнес, химия, информатика, экономика, электроника, инженерия, физика и социальные науки, часто можно свести к решению системы линейных уравнений.Линейная алгебра возникла в результате попыток найти систематические методы решения этих систем, поэтому естественно начать эту книгу с изучения линейных уравнений.

Если, и — действительные числа, график уравнения вида

— прямая линия (если и не равны нулю), поэтому такое уравнение называется линейным уравнением в переменных и. Однако часто удобно записывать переменные как, особенно когда задействовано более двух переменных.Уравнение вида

называется линейным уравнением в переменных. Здесь обозначают действительные числа (называемые коэффициентами соответственно), а также число (называемое постоянным членом уравнения ). Конечный набор линейных уравнений относительно переменных называется системой линейных уравнений с этими переменными. Следовательно,

— линейное уравнение; коэффициенты при, и равны, и, а постоянный член равен.Обратите внимание, что каждая переменная в линейном уравнении встречается только в первой степени.

Для линейного уравнения последовательность чисел называется решением уравнения, если

, то есть, если уравнение удовлетворяется при выполнении замен. Последовательность чисел называется решением системы уравнений, если она является решением каждого уравнения в системе.

Система может вообще не иметь решения, или она может иметь уникальное решение, или она может иметь бесконечное семейство решений.Например, система не имеет решения, потому что сумма двух чисел не может быть одновременно 2 и 3. Система, у которой нет решения, называется несогласованной ; система с хотя бы одним решением называется согласованным .

Покажите, что для произвольных значений и

— это решение системы

Просто подставьте эти значения,, и в каждое уравнение.

Поскольку оба уравнения удовлетворяются, это решение для всех вариантов и.

Величины и в этом примере называются параметрами , а набор решений, описанный таким образом, считается заданным в параметрической форме и называется общим решением для системы. Оказывается, что решения каждой системы уравнений (если являются решениями ) могут быть даны в параметрической форме (то есть, переменные, задаются в виде новых независимых переменных и т. .).

Когда задействованы только две переменные, решения систем линейных уравнений могут быть описаны геометрически, потому что график линейного уравнения представляет собой прямую линию, если оба они не равны нулю. Более того, точка с координатами и лежит на прямой тогда и только тогда, когда — то есть когда, является решением уравнения. Следовательно, решения системы линейных уравнений соответствуют точкам, которые лежат на всех рассматриваемых линиях.

В частности, если система состоит только из одного уравнения, должно быть бесконечно много решений, потому что на прямой бесконечно много точек. Если система имеет два уравнения, есть три возможности для соответствующих прямых:

  • Линии пересекаются в одной точке. Тогда в системе будет уникальных решений, соответствующих этой точке.
  • Линии параллельны (и четкие) и не пересекаются. Тогда в системе нет решения .
  • Строки идентичны. Тогда в системе будет бесконечного числа решений — по одному для каждой точки на (общей) прямой.

С тремя переменными график уравнения может быть показан как плоскость и, таким образом, снова дает «картину» множества решений. Однако у этого графического метода есть свои ограничения: когда задействовано более трех переменных, физическое изображение графов (называемых гиперплоскостями) невозможно. Необходимо обратиться к более «алгебраическому» методу решения.

Перед описанием метода мы вводим понятие, упрощающее вычисления. Рассмотрим следующую систему

трех уравнений с четырьмя переменными. Массив чисел

, встречающееся в системе, называется расширенной матрицей системы. Каждая строка матрицы состоит из коэффициентов переменных (по порядку) из соответствующего уравнения вместе с постоянным членом. Для наглядности константы разделены вертикальной линией.Расширенная матрица — это просто другой способ описания системы уравнений. Массив коэффициентов при переменных

называется матрицей коэффициентов системы, а
называется постоянной матрицей системы.

Элементарные операции

Алгебраический метод решения систем линейных уравнений описывается следующим образом. Две такие системы называются эквивалентами , если они имеют одинаковый набор решений.Система решается путем написания серии систем, одна за другой, каждая из которых эквивалентна предыдущей системе. Каждая из этих систем имеет тот же набор решений, что и исходная; цель состоит в том, чтобы получить систему, которую легко решить. Каждая система в серии получается из предыдущей системы простой манипуляцией, выбранной так, чтобы она не меняла набор решений.

В качестве иллюстрации мы решаем систему таким образом. На каждом этапе отображается соответствующая расширенная матрица.Исходная система —

Сначала вычтите дважды первое уравнение из второго. В результате получается система

.

, что эквивалентно оригиналу. На этом этапе мы получаем, умножив второе уравнение на. В результате получается эквивалентная система

.

Наконец, мы дважды вычитаем второе уравнение из первого, чтобы получить другую эквивалентную систему.

Теперь эту систему легко решить! И поскольку он эквивалентен исходной системе, он обеспечивает решение этой системы.

Обратите внимание, что на каждом этапе в системе (и, следовательно, в расширенной матрице) выполняется определенная операция для создания эквивалентной системы.

Следующие операции, называемые элементарными операциями , могут в обычном порядке выполняться над системами линейных уравнений для получения эквивалентных систем.

  1. Поменять местами два уравнения.
  2. Умножьте одно уравнение на ненулевое число.
  3. Добавьте одно уравнение, кратное одному, к другому уравнению.

Предположим, что последовательность элементарных операций выполняется над системой линейных уравнений. Тогда результирующая система имеет тот же набор решений, что и исходная, поэтому две системы эквивалентны.

Элементарные операции, выполняемые над системой уравнений, производят соответствующие манипуляции с строками расширенной матрицы. Таким образом, умножение строки матрицы на число означает умножение каждой записи строки на.Добавление одной строки к другой означает добавление каждой записи этой строки к соответствующей записи другой строки. Аналогично производится вычитание двух строк. Обратите внимание, что мы считаем две строки равными, если соответствующие записи совпадают.

В ручных вычислениях (и в компьютерных программах) мы манипулируем строками расширенной матрицы, а не уравнениями. По этой причине мы переформулируем эти элементарные операции для матриц.

Следующие операции называются элементарными операциями со строками матрицы.

  1. Поменять местами два ряда.
  2. Умножить одну строку на ненулевое число.
  3. Добавить кратное одной строки в другую строку.

На иллюстрации выше серия таких операций привела к матрице вида

, где звездочки обозначают произвольные числа. В случае трех уравнений с тремя переменными цель состоит в том, чтобы получить матрицу вида

Это не всегда происходит, как мы увидим в следующем разделе.Вот пример, в котором это действительно происходит.

Решение:
Расширенная матрица исходной системы —

Чтобы создать в верхнем левом углу, мы можем умножить строку с 1 на. Однако можно получить без введения дробей, вычтя строку 2 из строки 1. Результат:

Верхний левый угол теперь используется для «очистки» первого столбца, то есть для создания нулей в других позициях в этом столбце.Сначала отнимите строку 1 от строки 2, чтобы получить

.

Затем вычтите строку 1 из строки 3. Результат:

.

Это завершает работу над столбцом 1. Теперь мы используем во второй позиции второй строки, чтобы очистить второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и затем добавляя строку 2 к строке 3. Для удобства обе операции со строками сделано за один шаг. Результат

Обратите внимание, что две последние манипуляции не повлияли на первый столбец (во второй строке там стоит ноль), поэтому наши предыдущие усилия там не были подорваны.Наконец, мы очищаем третий столбец. Начните с умножения строки 3 на, чтобы получить

.

Теперь вычтите умножение строки 3 из строки 1, а затем прибавьте умножение строки 3 к строке 2, чтобы получить

Соответствующие уравнения:, и, которые дают (единственное) решение.

Алгебраический метод, представленный в предыдущем разделе, можно резюмировать следующим образом: Для данной системы линейных уравнений используйте последовательность элементарных операций со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в «красивую» матрицу (что означает, что соответствующие уравнения легко решить. ).В примере 1.1.3 эта красивая матрица приняла вид

.

Следующие определения идентифицируют хорошие матрицы, возникающие в этом процессе.

Матрица, как говорят, находится в строковой форме (и будет называться матрицей рядов , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

  1. Все нулевых строк (полностью состоящие из нулей) находятся внизу.
  2. Первая ненулевая запись слева в каждой ненулевой строке — это a, называемая ведущей для этой строки.
  3. Каждый ведущий элемент находится справа от всех ведущих строк в строках над ним.

Матрица строка-эшелон называется сокращенной строкой-эшелонной формой (и будет называться сокращенной матрицей строка-эшелон , если, кроме того, она удовлетворяет следующему условию:

4. Каждый ведущий элемент — это единственная ненулевая запись в своем столбце.

Матрицы «строка-эшелон» имеют форму «ступеньки», как показано в следующем примере (звездочки указывают произвольные числа).

Ведущие идут «вниз и вправо» через матрицу. Записи выше и справа от ведущих s произвольны, но все записи ниже и слева от них равны нулю. Следовательно, матрица в виде эшелона строк находится в сокращенной форме, если, кроме того, все элементы непосредственно над каждым ведущим равны нулю. Обратите внимание, что матрица в форме эшелона строк может быть приведена к сокращенной форме с помощью еще нескольких операций со строками (используйте операции со строками, чтобы последовательно создавать нули над каждой ведущей единицей, начиная справа).

Важность матриц строка-эшелон вытекает из следующей теоремы.

Каждая матрица может быть приведена к (сокращенной) форме строки-эшелона последовательностью элементарных операций со строками.

Фактически, мы можем дать пошаговую процедуру для фактического нахождения матрицы ряда строк. Обратите внимание: несмотря на то, что существует множество последовательностей операций со строками, которые приведут матрицу к форме ряда строк, та, которую мы используем, является систематической и ее легко программировать на компьютере. Обратите внимание, что алгоритм имеет дело с матрицами в целом, возможно, со столбцами нулей.

Шаг 1. Если матрица полностью состоит из нулей, остановитесь — она ​​уже в виде эшелона строк.

Шаг 2. В противном случае найдите первый столбец слева, содержащий ненулевую запись (назовите его), и переместите строку, содержащую эту запись, в верхнюю позицию.

Шаг 3. Теперь умножьте новую верхнюю строку на, чтобы создать интерлиньяж.

Шаг 4. Вычитая кратные числа этой строки из строк под ней, сделайте каждую запись ниже начального нуля. Это завершает первую строку, и все дальнейшие операции со строками выполняются с оставшимися строками.

Шаг 5. Повторите шаги 1–4 для матрицы, состоящей из оставшихся строк.

Процесс останавливается, когда либо на шаге 5 не остается строк, либо оставшиеся строки состоят полностью из нулей.

Обратите внимание на то, что гауссовский алгоритм является рекурсивным: когда получен первый ведущий, процедура повторяется для оставшихся строк матрицы. Это упрощает использование алгоритма на компьютере. Обратите внимание, что в решении примера 1.1.3 не использовался гауссовский алгоритм в том виде, в котором он был написан, потому что первый ведущий не был создан путем деления строки 1 на.Причина этого в том, что он избегает дробей. Однако общий шаблон ясен: создайте ведущие слева направо, используя каждый из них по очереди, чтобы создать нули под ним. Вот один пример.

Решение:

Соответствующая расширенная матрица —

Создайте первую ведущую, поменяв местами строки 1 и 2

Теперь вычтите умноженную строку 1 из строки 2 и вычтите умноженную строку 1 из строки 3.Результат

Теперь вычтите строку 2 из строки 3, чтобы получить

.

Это означает, что следующая сокращенная система уравнений

эквивалентен исходной системе. Другими словами, у них одинаковые решения. Но эта последняя система явно не имеет решения (последнее уравнение требует этого и удовлетворяет, а таких чисел не существует). Следовательно, исходная система не имеет решения.

Для решения линейной системы расширенная матрица преобразуется в сокращенную форму строки-эшелон, а переменные, соответствующие ведущим, называются ведущими переменными .Поскольку матрица приведена в сокращенной форме, каждая ведущая переменная встречается ровно в одном уравнении, поэтому это уравнение может быть решено для получения формулы для ведущей переменной в терминах не ведущих переменных. Принято называть нелидирующие переменные «свободными» переменными и маркировать их новыми переменными, называемыми параметрами . Каждый выбор этих параметров приводит к решению системы, и каждое решение возникает таким образом. Эта процедура в целом работает и получила название

.

Для решения системы линейных уравнений выполните следующие действия:

  1. Перенести расширенную матрицу \ index {расширенная матрица} \ index {матрица! Расширенная матрица} в сокращенную матрицу-эшелон строк, используя элементарные операции со строками.
  2. Если возникает строка, система несовместима.
  3. В противном случае присвойте не ведущие переменные (если они есть) в качестве параметров и используйте уравнения, соответствующие сокращенной матрице строки-эшелон, чтобы найти ведущие переменные в терминах параметров.

Существует вариант этой процедуры, в котором расширенная матрица переносится только в строчно-эшелонированную форму. Не ведущие переменные, как и раньше, назначаются как параметры. Затем последнее уравнение (соответствующее форме строки-эшелона) используется для решения последней ведущей переменной в терминах параметров.Эта последняя ведущая переменная затем подставляется во все предыдущие уравнения. Затем второе последнее уравнение дает вторую последнюю ведущую переменную, которая также подставляется обратно. Процесс продолжает давать общее решение. Эта процедура называется обратной заменой . Можно показать, что эта процедура численно более эффективна и поэтому важна при решении очень больших систем.

Рейтинг

Можно доказать, что уменьшенная строка-эшелонированная форма матрицы однозначно определяется.То есть, независимо от того, какая серия операций со строками используется для переноса в сокращенную матрицу с эшелонированием строк, результатом всегда будет одна и та же матрица. Напротив, это неверно для матриц ряда строк: разные серии операций со строками могут переносить одну и ту же матрицу в разные матрицы ряда строк. В самом деле, матрица может быть перенесена (с помощью одной строковой операции) в матрицу-эшелон строк, а затем с помощью другой строковой операции в (сокращенную) матрицу-эшелон. Однако — это верно, что количество ведущих единиц должно быть одинаковым в каждой из этих матриц эшелонов строк (это будет доказано позже).Следовательно, количество зависит только от того, каким образом приведено в строй.

Ранг матрицы — это количество ведущих s в любой матрице-эшелоне строки, в которую могут быть перенесены строковые операции.

Вычислить ранг.

Решение:

Приведение к строчной форме

Так как эта матрица эшелонов строк имеет два ведущих s, rank.

Предположим, что ранг, где — матрица со строками и столбцами.Тогда потому что ведущие s лежат в разных строках, и потому что ведущие s лежат в разных столбцах. Более того, у ранга есть полезное приложение к уравнениям. Напомним, что система линейных уравнений называется непротиворечивой, если она имеет хотя бы одно решение.

Проба:

Тот факт, что ранг расширенной матрицы равен, означает, что есть ровно ведущие переменные и, следовательно, точно не ведущие переменные. Все эти нелидирующие переменные назначаются как параметры в гауссовском алгоритме, поэтому набор решений включает в себя именно параметры.Следовательно, если существует хотя бы один параметр, а значит, и решений бесконечно много. Если, нет параметров и поэтому единственное решение.

Теорема 1.2.2 показывает, что для любой системы линейных уравнений существуют ровно три возможности:

  1. Нет решения . Это происходит, когда ряд встречается в форме эшелона строк. Это тот случай, когда система несовместима.
  2. Уникальное решение . Это происходит, когда каждая переменная является ведущей переменной.
  3. Бесконечно много решений . Это происходит, когда система согласована и есть хотя бы одна не ведущая переменная, поэтому задействован хотя бы один параметр.

https://www.geogebra.org/m/cwQ9uYCZ
Пожалуйста, ответьте на эти вопросы после открытия веб-страницы:
1. Для данной линейной системы, что представляет каждая из них?

2. Исходя из графика, что можно сказать о решениях? Есть ли у системы одно решение, нет решения или бесконечно много решений? Почему

3.Измените постоянный член в каждом уравнении на 0, что изменилось на графике?

4. Для следующей линейной системы:

Можете ли вы решить это методом исключения Гаусса? Что вы наблюдаете, глядя на график?

Многие важные проблемы включают линейных неравенств , а не линейных уравнений Например, условие для переменных может принимать форму неравенства, а не равенства.Существует метод (называемый симплексным алгоритмом ) для поиска решений системы таких неравенств, который максимизирует функцию вида где и — фиксированные константы.

Система уравнений с переменными называется однородной , если все постоянные члены равны нулю, то есть если каждое уравнение системы имеет вид

Очевидно, решение такой системы; это называется тривиальным решением .Любое решение, в котором хотя бы одна переменная имеет ненулевое значение, называется нетривиальным решением.
Наша главная цель в этом разделе — дать полезное условие, при котором однородная система имеет нетривиальные решения. Следующий пример поучителен.

Покажите, что следующая однородная система имеет нетривиальные решения.

Решение:

Приведение расширенной матрицы к сокращенной форме эшелона строк описано ниже.

Ведущими переменными являются,, и, например, назначается в качестве параметра.Тогда общее решение:,,,. Следовательно, взяв (скажем), мы получим нетривиальное решение:,,,.

Существование нетривиального решения в примере 1.3.1 обеспечивается наличием в решении параметра. Это связано с тем, что существует нелидирующая переменная (в данном случае). Но здесь должно быть не ведущей переменной, потому что здесь четыре переменных и только три уравнения (и, следовательно, не более три ведущие переменные).Это обсуждение обобщает доказательство следующей основной теоремы.

Если однородная система линейных уравнений имеет больше переменных, чем уравнений, то она имеет нетривиальное решение (фактически бесконечно много).

Проба:

Предположим, что есть уравнения в переменных, где, и пусть обозначают сокращенную строчно-эшелонированную форму расширенной матрицы. Если есть ведущие переменные, есть не ведущие переменные и, следовательно, параметры. Следовательно, достаточно показать это.Но потому что имеет ведущие единицы и строки, и по гипотезе. Итак, что дает.

Обратите внимание, что обратное утверждение теоремы 1.3.1 неверно: если однородная система имеет нетривиальные решения, у нее не должно быть больше переменных, чем у уравнений (система имеет нетривиальные решения, но.)

Теорема 1.3.1 очень полезна в приложениях. В следующем примере представлена ​​иллюстрация из геометрии.

Мы называем график уравнения конической , если числа, и не все равны нулю.Покажите, что есть хотя бы одна коника, проходящая через любые пять точек на плоскости, которые не все лежат на одной прямой.

Решение:

Пусть координаты пяти точек будут,,, и. График проходов if

Это дает пять уравнений, по одному для каждого, линейных по шести переменным,,,,, и. Следовательно, по теореме 1.1.3 существует нетривиальное решение. Если все пять точек лежат на линии с уравнением, вопреки предположению. Следовательно, один из « отличен от нуля.

Линейные комбинации и базовые решения

Что касается строк, два столбца считаются равными , если они имеют одинаковое количество записей и соответствующие записи одинаковы. Позвольте и быть столбцами с одинаковым количеством записей. Что касается операций с элементарными строками, их сумма получается путем сложения соответствующих записей, и, если это число, скалярное произведение определяется путем умножения каждой записи на. Точнее:

Сумма скалярных кратных нескольких столбцов называется линейной комбинацией этих столбцов.Например, это линейная комбинация и для любого выбора чисел и.

Решение:

Для, мы должны определить, существуют ли числа, и такие, что, то есть

Приравнивание соответствующих элементов дает систему линейных уравнений,, и для,, и. Путем исключения Гаусса решение есть, и где — параметр. Взяв, мы видим, что это линейная комбинация, и.

Обращаясь к, снова ищем, и такие, что; то есть

, что приводит к уравнениям,, и для действительных чисел, и.Но на этот раз существует без решения , как может проверить читатель, а также , а не , линейная комбинация, и.

Наш интерес к линейным комбинациям проистекает из того факта, что они предоставляют один из лучших способов описания общего решения однородной системы линейных уравнений. Когда
решает такую ​​систему с переменными, запишите переменные в виде матрицы столбцов:. Обозначено тривиальное решение. В качестве иллюстрации, общее решение в
Пример 1.3.1 — это,,, и, где — параметр, и теперь мы бы выразили это как
, говоря, что общее решение -, где произвольно.

Теперь пусть и — два решения однородной системы с переменными. Тогда любая линейная комбинация этих решений снова оказывается решением системы. В более общем плане:

Фактически, предположим, что типичное уравнение в системе имеет вид, и предположим, что

, являются решениями. Потом и
.
Следовательно, это тоже решение, потому что

Аналогичный аргумент показывает, что Утверждение 1.1 верно для линейных комбинаций более двух решений.

Замечательно то, что каждое решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию определенных частных решений, и, фактически, эти решения легко вычисляются с использованием гауссовского алгоритма. Вот пример.

Решить однородную систему с матрицей коэффициентов

Решение:

Приведение расширенной матрицы к уменьшенной форме —

, поэтому решениями являются,, и методом исключения Гаусса.Следовательно, мы можем записать общее решение в матричной форме

Вот и частные решения, определяемые гауссовским алгоритмом.

Решения и в примере 1.3.5 обозначены следующим образом:

Алгоритм Гаусса систематически выдает решения для любой однородной линейной системы, называемые базовыми решениями , по одному для каждого параметра.

Кроме того, алгоритм дает стандартный способ выразить каждое решение как линейную комбинацию основных решений, как в Примере 1.3.5, где общее решение принимает вид

Следовательно, вводя новый параметр, мы можем умножить исходное базовое решение на 5 и таким образом исключить дроби.

По этой причине:

Любое ненулевое скалярное кратное базового решения будет по-прежнему называться базовым решением.

Таким же образом алгоритм Гаусса выдает базовые решения для в каждой однородной системе, по одному для каждого параметра (есть нет базовых решений, если система имеет только тривиальное решение).Более того, каждое решение задается алгоритмом как линейная комбинация
этих базовых решений (как в Примере 1.3.5). Если имеет ранг, теорема 1.2.2 показывает, что есть ровно параметры, а значит, и базовые решения. Это доказывает:

Найдите основные решения однородной системы с матрицей коэффициентов и выразите каждое решение как линейную комбинацию основных решений, где

Решение:

Приведение расширенной матрицы к сокращенной строчно-эшелонированной форме —

, поэтому общее решение — это,,,, и где, и — параметры.В матричной форме это

Отсюда базовые решения —

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.