Матричный метод как решать: Матричный метод

Содержание

Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений

Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место.

Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод.   

Матричный метод решения — метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом X = A-1 · B, где A-1 — обратная матрица.

Матричный метод решения состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с nнеизвестными:

Её можно переписать в матричной форме: AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A-1 — матрицу, обратную к матрице AA-1 (AX) = A-1B

Так как A-1A = E, получаем X = A-1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A: detA≠ 0.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю.

Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они  понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Теперь найдём союзную матрицу и транспонируем  её, потом подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

Подставляя переменные в формулу, получаем:

Найдем неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу  и столбец свободных членов.

Итак, x=2; y=1; z=4.

Если у Вас есть вопросы или Вам нужна помощь в решении линейных уравнений или систем, записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь.  

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Решение системы линейных уравнений (матричный метод)

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений (СЛУ) матричным методом.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений матричным методом, выберите количество неизвестных величин:
2345

Заполните систему линейных уравнений

Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Решить систему

Воспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод подстановки)
Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)
Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)

Решение системы линейных уравнений матричным методом

Матричный метод решения СЛУ

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то система линейных уравнения сведется к следующему матричному уравнению

A · X = B,

которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю (в противном случае система уравнений будет иметь либо бесконечное количество решений, либо не иметь решений вовсе).

Если определитель матрицы A отличен от нуля, то решение системы уравнений можно найти следующим способом

X = A-1 · B,

где A-1 обратная матрица, которую можно найти используя, например, Онлайн сервис для вычисления обратной матрицы на нашем сайте.

Таким образом, задача решения системы линейных уравнений матричным способом сводится к нахождению обратной матрицы A-1 и последующему умножению её на матрицу-столбец B. Именно эта задача и выполняется с помощью предложенного вам онлайн калькулятора.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: . Поскольку A-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.

Примеры. Решить системы уравнений.

1.

Найдем матрицу обратную матрице A.

,

Таким образом, x = 3, y = – 1.

2.

Итак, х1=4,х2=3,х3=5.

Решите матричное уравнение: XA+B=C, где

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Найдем матрицу А-1.

Проверка:

Решите матричное уравнение AX+B=C, где

Из уравнения получаем .

Следовательно,

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования: перестановка строк или столбцов; умножение строки на число, отличное от нуля; прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

1.

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

2

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

3.

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

Вернемся к системе уравнений.

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ. Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений. Наличие решений.

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva. ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений и неравенств. Системы уравнений. Формулы. Методы. / / Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений. Основные методы решения систем уравнений  / / Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ. Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений. Наличие решений.

Поделиться:   





Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ.


*Бабичева, Болдовская, Справочник по математике. СибАДИ, 2010. (классная книга)

Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Наличие решений.


*Бабичева, Болдовская, Справочник по математике. СибАДИ, 2010. (классная книга)


Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела:

  • Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений с двумя неизвестными. Основные методы решения систем уравнений
  • Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Общий вид, матрица системы, СЛАУ в матричной форме, решение СЛАУ. Разновидности СЛАУ — совместная, несовместная, определенная, неопределенная, однородная, неоднородная… Обратная матрица и ее нахождение.
  • Вы сейчас здесь: Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ. Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений. Наличие решений.
  • Собственные векторы, собственные значения матрицы и их нахождение. Характеристическое уравнение матрицы. Подпространство собственных векторов.
  • Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

    Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.

    Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

    Коды баннеров проекта DPVA.ru
    Начинка: KJR Publisiers

    Консультации и техническая
    поддержка сайта: Zavarka Team

    Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
    Free xml sitemap generator

    Решение систем линейных алгебраических уравнений в системах компьютерной математики. Пантюшина Н.С.

    OpenOffice.org Calc. x 1. x 2. a 12

    Глава 3 Решение систем линейных уравнений. Работа с матрицами OpenOffice.org Calc В этой главе мы изучим возможности пакета OpenOffice.org Calc при решении систем линейных алгебраических уравнений и выполнении

    Подробнее

    Аналитическая геометрия.

    Лекция 1.3

    Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

    Подробнее

    Матричные вычисления в MathCAD

    Лекция 3 Матричные вычисления в MathCAD Символьный процессор MathCAD позволяет выполнять самые разные матричные вычисления. При этом к матричным вычислениям можно применять рассмотренную ранее команду

    Подробнее

    Линейная алгебра Вариант 4

    Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

    Подробнее

    Примеры решений контрольных работ

    Примеры решений контрольных работ Л. И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

    Подробнее

    В число выполняемых действий входит:

    Задания к лабораторной работе по MathCAD. Особенности работы средствами MathCAD I). Изучите методические указания к работе средствами MathCAD II). Средствами MathCAD согласно вашему варианту выполните

    Подробнее

    Математика (БкПл-100, БкК-100)

    Математика (БкПл-100, БкК-100) М.П. Харламов 2009/2010 учебный год, 2-й семестр Лекция 7. Определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера 1 Тема 1: Определители 1.1. Понятие определителя Определитель

    Подробнее

    1 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

    1 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ Цели курса. Целью изучения курса является освоение основных понятий и основных методов линейной алгебры, что поможет использовать их в области будущей деятельности студентов.

    Подробнее

    Математика (БкПл-100)

    Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

    Подробнее

    Mathcad 13 на примерах

    Mathcad 13 на примерах Васильев А.Н. Оглавление Введение 1 Для кого эта книга 2 Структура книги 2 О версии пакета 3 Компакт-диск 3 О списке литературы 3 Благодарности 4 Обратная связь 4 Глава 1. Графический

    Подробнее

    ВАРИАНТЫ З А Д А Н И Й

    ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Тема: Решение систем линейных уравнений работа с матрицами Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Ecel при решении задач линейной алгебры. Приобретение навыков решения систем

    Подробнее

    1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

    ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

    Подробнее

    Теорема Кронекера-Капелли

    Установить совместность и решить систему линейных уравнений 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса Совместность Совместность системы можно установить: а)

    Подробнее

    Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

    Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

    Подробнее

    Математическая система Mathcad

    Математическая система Mathcad Дисциплина «Методы и средства автоматизации профессиональной деятельности» Лектор: к.т.н., Ст. преподаватель кафедры «Электропривода и электрооборудования» Воронина Наталья

    Подробнее

    ЛЕКЦИЯ 3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ

    ЛЕКЦИЯ 3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ Вспомним основные результаты, полученные на предыдущей лекции 1 Норма вектора = u Были введены следующие нормы вектора: =1 1 Октаэдрическая норма: 1 = max u, где p = 2 Кубическая

    Подробнее

    MathCAD MathCAD

    MathCAD MathCad — это математический редактор, позволяющий проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарных арифметических и заканчивая численными. Простые арифметические вычисления

    Подробнее

    Задача 1 Вычислить определитель матрицы

    Задача Вычислить определитель матрицы 4 4 A 4 4 Решение Для вычисления определителя приведем матрицу к треугольному виду. После этого определитель будет равен произведению элементов главной диагонали.

    Подробнее

    Линейная алгебра 12(6) 18(9)

    Линейная алгебра Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. E-mail: [email protected] 1 Линейная

    Подробнее

    ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

    ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,…, x n ), Y =

    Подробнее

    Контрольная по алгебре с решением

    Контрольная по алгебре с решением Линейная алгебра 1-10 Каждый вариант этого раздела содержит четыре пункта, задания к которым соответствуют номеру пункта 1 Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами:

    Подробнее

    Математическая система Mathcad

    Математическая система Mathcad Дисциплина «Программные средства профессиональной деятельности» Лектор: Ст. преподаватель кафедры «Электропривода и электрооборудования» Воронина Наталья Алексеевна Система

    Подробнее

    Тема: Цель: Время: Задание: Литература:

    Тема: Цель: Время: Задание: Литература: Практическая работа 0. Использование абсолютных и относительных адресов ячеек в формулах, решение уравнений и систем линейных алгебраических уравнений с помощью

    Подробнее

    3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

    Лабораторная работа РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Список способ структурирования данных. Элементами списка могут быть любые выражения Mathematca, в том числе и другие списки. С клавиатуры списки вводятся

    Подробнее

    Семинар 7. Линейная алгебра

    1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

    Подробнее

    2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

    Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

    Подробнее

    Рис Ввод матриц на рабочий лист

    МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 11 Умножение матриц 12 Транспонирование матриц 13 Обратная матрица 14 Сложение матриц 15 Вычисление определителей Обратите внимание на особенность

    Подробнее

    Собственные числа и собственные векторы

    Собственные числа и собственные векторы 1 Для понимания этой темы нужно знать тему «Ядро и образ линейного оператора» и уметь вычислять определители Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств

    Подробнее

    Лабораторная работа 3. Обработка матриц

    Лабораторная работа. Обработка матриц Цель работы: изучение возможностей пакета MS Excel при решении задач линейной алгебры. Задачи: изучить возможности применения табличных формул при работе с матрицами;

    Подробнее

    Метод решения системы диофантовых уравнений / Хабр

    Добрый день!

    Как и обещал в первой своей статье, я хочу ознакомить Вас с одним из методов решения системы диофантовых уравнений. Цель статьи ознакомить остальных читателей с этой методикой и донести её в более или менее понятном виде.

    Рассмотрим систему из двух диофантовых уравнений


    и

    Найдем все возможные решения первого уравнения. Как, спросите Вы? Наверняка есть разные методики, но я поделюсь в одной из следующих статей, как бы я решал подобную задачу. А сейчас просто примем что общее решение имеет вид

    Как проверить что я не лгу?

    Достаточно вспомнить матричное исчисление и умножить вектор значений нашего первого диофантового уравнения(без свободного члена) на матрицу всех коэффициентов.

    получили в результате значение свободного члена, а следовательно вычисления правильные

    Следующим этапом мы подставим наше общее решение

    во второе уравнение

    Процедура такая же: умножаем вектор из коэффициентов второго уравнения на общее решение первого

    получаем вот такой результат

    то есть мы получили уравнение вида

    С правой стороны второго диофантового уравнения как был свободный член равный -335, так и остался, то есть наше окончательное решение на этом этапе имеет вид

    Или перенеся свободные члены в правую сторону получим

    Итак, мы получили очередное диофантовое уравнение. Давайте найдем его общее решение и проверим его на истинность.

    то есть общее решение имеет вид

    А теперь делаем обратное преобразование(пусть так называется). То есть в систему

    Мы вместо неизвестных x подставляем то, что получилось на последнем этапе

    В матричном исчислении это решается умножением одной матрицы на другую.

    Но с первой матрицей надо сделать определенную процедуру: убрать (временно) последний столбец с свободными членами, так как этот параметр не участвует в умножении, и будет пользоваться позднее.

    Результат умножения двух матриц порождает

    матрицу

    Последний столбец это свободные члены этой системы.

    Учтем тот столбец который временно удаляли, перед умножением и сложим их

    наш окончательный ответ в виде матрицы

    Проверим?

    Векторное произведение коэффициентов первого уравнения и матрицы

    а векторное произведение коэффициентов второго уравнения и матрицы

    Как видим, результат совпадает с свободным членом каждого из уравнений.

    Таким образом общее решение имеет вид

    где m,p,q — могут принимать любые целые значения

    Таким незамысловатым способом можно решать и более сложные линейные диофантовые уравнения. По следам этого алгоритма создан калькулятор правда, этот калькулятор очень не любит когда вместо значений в коэффициентах первого уравнения начальной системы встречаются нули. Но это проблема конкретной моей реализации этого алгоритма.

    В следующей теме я расскажу как создавать диофантовые уравнения по матрице общего решения. Задача в общем то банальна и делается в одно действие, но вдруг кто то не знает.

    Буду благодарен за замечания, отзывы и предложения.

    Обратная матрица. Матричный метод решения СЛАУ.

    Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

    Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

    Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

    Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

    Тогда её можно переписать в матричной форме:

    , где — основная матрица системы, и — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

    Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице :

    Так как , получаем . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

    .

    Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор , действительно обратное правило: система имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если . Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

    решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы .

    Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ


    С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений .

    Решение.В матричной форме исходная система запишется как , где . Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем , следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее.

    Мы знаем, что для матрицы обратная матрица может быть найдена как , где — алгебраические дополнения элементов .

    В нашем случае

    Тогда
    Выполним проверку полученного решения , подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.

    Следовательно, решение найдено верно.

    Ответ:

    или в другой записи .

    6. Матрицы и линейные уравнения

    М. Борна

    Мы хотим решить систему одновременных линейных уравнений с помощью матриц:

    a 1 x + b 1 y = c 1

    a 2 x + b 2 y = c 2

    Если допустить

    `A = ((a_1, b_1), (a_2, b_2))`, `\ X = ((x), (y)) \` и `\ C = ((c_1), (c_2))`

    , затем AX = C . (Впервые мы увидели это в «Умножении матриц»).

    Если теперь умножить каждую сторону

    AX = C

    слева от

    А -1 , имеем:

    A -1 AX =
    А -1 С .

    Однако мы знаем, что A -1 A =
    I , Матрица идентичности.Получаем

    IX = A -1 C .

    Но IX = X , поэтому решение системы
    уравнения задается следующим образом:

    X = A -1 C

    См. Рамку в верхней части Инверсии матрицы, чтобы узнать больше о том, почему это работает.

    Примечание: Мы, , не можем изменить порядок умножения и использовать CA -1 , потому что
    умножение матриц не коммутативно.

    Пример — решение системы с использованием обратной матрицы

    Решите систему, используя матрицы.

    x + 5 y = 4

    2 x + 5 y = −2

    Всегда проверяйте свои решения!

    Ответ

    У нас:

    `A = ((- 1,5), (2,5)),` `\ X = ((x), (y)) \` и `\ C = ((4), (- 2)) `

    Чтобы решить эту систему, нам понадобится обратное к A , которое мы запишем как A -1 .-1C` `= ((- 0,333,0,333), (0,133,0,067)) ((4), (- 2))` `= ((- 2), (0,4))`

    Этот ответ означает, что мы нашли решение «x = -2» и «y = 0,4».

    Решение правильное?

    Проверяем в исходной системе уравнений:

    `{: (- x + 5y, = 4), (2x + 5y, = — 2):}`

    Подставляя x = -2 и y = 0,4, получаем:

    `- (- 2) + 5 × (0,4) = 2 + 2 = 4` [Проверяет ОК]

    `2 × (−2) + 5 × (0,4)` `= −4 + ​​2« = −2` [Проверяет ОК]

    Итак, решение исходной системы уравнений —

    .

    `х = -2, \ \ у = 0.4`.

    Решение 3 × 3 систем
    Уравнения

    Мы можем распространить вышеуказанный метод на системы любого размера. Мы не можем использовать тот же метод для поиска обратных матриц больше 2 × 2.

    Мы будем
    используйте систему компьютерной алгебры, чтобы найти инверсии больше, чем
    2 × 2.

    Пример — Система 3 × 3
    Уравнения

    Решите систему матричными методами.

    `{: (x + 2y-z = 6), (3x + 5y-z = 2), (- 2x-y-2z = 4):}`

    Я уже упоминал? Хорошая идея — всегда проверять свои решения.-1C`

    `= ((5.5, -2.5, -1.5), (- 4,2,1), (- 3.5,1.5,0.5)) ((6), (2), (4))`

    `= ((22), (- 16), (- 16))`

    Чек:

    `22 + 2 (-16) — (-16) = 6` [ОК]

    `3 (22) + 5 (-16) — (-16) = 2` [ОК]

    `-2 (22) — (16) — 2 (-16) = 4` [ОК]

    Итак, решение — `x = 22`,` y = -16` и `z = -16`.

    Пример — Электронное применение системы 3 × 3
    Уравнения

    Найдите электрические токи, указанные как
    решение матричного уравнения (полученного с использованием закона Кирхгофа)
    возникающие из этой цепи:



    `((I_1 + I_2 + I_3), (- 2I_1 + 3I_2), (- 3I_2 + 6I_3)) = ((0), (24), (0))`

    (Вы можете изучить, что на самом деле означает решение для этого примера, в этом апплете трехмерных интерактивных систем уравнений.-1 ((0), (24), (0)) `

    Используя систему компьютерной алгебры для выполнения обратного и умножения на постоянную матрицу, мы получаем:

    `I_1 = -6 \» A «`

    `I_2 = 4 \» A «`

    `I_3 = 2 \» A «`

    Мы видим, что значение I 1 отрицательное, как и следовало ожидать из принципиальной схемы.

    Упражнение 1

    Найдены следующие уравнения
    в конкретной электрической цепи. Найдите токи с помощью матрицы
    методы.-1C`

    `= ((0,294,0,353,0,294), (0,118, -0,059,0,118), (0,588, -0,294, -0,412)) ((0), (6), (- 3))`

    `= ((1,236), (- 0,708), (- 0,528))`

    Следовательно,

    `I_A = 1,236 \» A «`,

    `I_B = -0,708 \» A «и

    `I_C = -0,528 \» A «`

    Упражнение 2

    Помните об этой проблеме? Если мы знаем используемые одновременные уравнения, мы сможем решить
    система с использованием обратных матриц на компьютере.

    Уравнения схемы с использованием закона Кирхгофа:

    −26 = 72 I 1
    17 I 3
    35 Я 4

    34 = 122 I 2
    35 I 3
    87 I 7

    −4 = 233 I 7
    87 I 2 -34 I 3 -72 I 6

    −13 = 149 I 3
    17 I 1 -35 I 2 -28 I 5
    35 I 6
    34 I 7

    −27 = 105 I 5
    28 I 3 -43 I 4 -34 I 6

    24 = 141 I 6
    35 I 3 -34 I 5 -72 I 7

    5 = 105 I 4
    35 I 1
    43 Я 5

    Каковы отдельные токи, I 1 до I 7 ?

    Пользователи телефона

    ПРИМЕЧАНИЕ: Если вы пользуетесь телефоном, вы можете прокрутить любую матрицу шириной на этой странице вправо или влево, чтобы увидеть все выражение. — 1
    [(-26), (34), (- 4), (- 13), (- 27), (24), (5)] `

    `= [(- 0.-3), (- 0,22243), (- 0,27848), (0,21115), (0,20914)] `

    Ответ означает, что токи в этой цепи равны (с точностью до 4 знаков после запятой):

    `I_1 = -0,4680 \» A «`

    `I_2 = 0,4293 \» A «`

    `I_3 = 0,0005 \» A «`

    `I_4 = -0,2224 \» A «`

    `I_5 = -0,2785 \» A «`

    `I_6 = 0,2112 \» A «`

    `I_7 = 0.2091 \» A «`

    Упражнение 3

    Нам нужно 10 л бензина
    содержащий 2% добавки. У нас есть следующие барабаны:

    Бензин без присадок

    Бензин с 5% присадкой

    Бензин с 6% присадкой

    Нам нужно использовать в 4 раза больше чистого
    бензин в виде 5% присадки к бензину.Сколько нужно каждого?

    Всегда проверяйте свои решения!

    Ответ

    Пусть

    x = нет. литров чистого бензина

    y = нет. литров 5% бензина

    z = нет. литров 6% бензина

    Из первого предложения имеем:

    `x + y + z = 10`

    Второе предложение дает нам:

    Мы НЕ получаем присадок из чистого бензина.

    Получаем (5% от y ) л добавки из второго барабана.

    Получаем (6% от z ) л добавки из третьего барабана.

    НАМ НУЖНО 2% из 10 л добавки = 0,2 л = 200 мл.

    Так

    `0,05y + 0,06z = 0,2`

    Умножение на 100 дает:

    `5y + 6z = 20`

    Второе последнее предложение дает нам:

    `x = 4y`

    Мы можем записать это как:

    `x — 4y = 0`

    Это дает нам систему одновременных уравнений:

    x + y + z = 10

    5 y + 6 z = 20

    x — 4 y = 0

    Так

    `A = ((1,1,1), (0,5,6), (1, -4,0))`, `\ C = ((10), (20), (0))`

    Использование Scientific Notebook для обратного:

    `((1,1,1), (0,5,6), (1, -4,0)) ^ — 1« = ((0.96, -0,16,0,04), (0,24, -0,04, -0,24), (- 0,2,0,2,0,2)) `

    Умножение обратной на матрицу C :

    `((0,96, -0,16,0,04), (0,24, -0,04, -0,24), (- 0,2,0,2,0,2)) ((10), (20), (0))` `= ((6,4 ), (1.6), (2)) `

    Итак, у нас есть 6,4 л чистого бензина, 1,6 л 5% присадок и 2 л 6% присадок.

    Это правильно?

    `6.4 + 1.6 + 2 = 10` L [ОК]

    `5% xx 1,6 + 6% xx 2 = 200` мл [OK OK]

    `4 × 1,6 = 6,4` [ОК]

    Упражнение 4

    Эта задача статики была представлена ​​ранее в разделе 3: Матрицы.

    Из диаграммы получаем следующие уравнения (эти уравнения взяты из теории статики):

    Вертикальные силы:

    F 1 sin 69,3 ° — F 2 sin 71,1 ° — F 3 sin 56,6 ° + 926 = 0

    Горизонтальные силы:

    F 1 cos 69,3 ° — F 2 cos 71,1 ° + F 3 cos 56,6 ° = 0

    Моменты:

    7.80 F 1 sin 69,3 ° — 1,50 F 2 sin 71,1 ° — 5,20 F 3 sin
    56,6 ° = 0

    С помощью матриц найти силы F 1 , F 2 и F 3 .

    Ответ

    Запишем первое уравнение так, чтобы постоянный член оказался в правой части:

    F 1 sin 69,3 ° — F 2 sin 71,1 ° — F 3 sin 56,6 ° = −926

    В матричной форме запишем уравнения как:

    `((грех 69.-1 ((- 926), (0), (0)) `

    `= ((425.5), (1079.9), (362.2))`

    Так

    `F_1 = 425,5 \» N «`

    `F_2 = 1079.9 \» N «`

    `F_3 = 362,2 \» N «`

    Это очень просто и быстро в Scientific
    Ноутбук, Matlab или любая другая система компьютерной алгебры!

    Правило Крамера

    Cramer’s
    Правило


    Дана система линейных
    уравнения, правило Крамера — удобный способ решить только одну из переменных
    без необходимости решать всю систему уравнений.Они обычно не
    учить правилу Крамера таким образом, но это должно быть суть
    Правило: вместо решения всей системы уравнений можно использовать
    Крамеру нужно найти всего одну переменную.

    Воспользуемся следующим
    система уравнений:

    У нас есть левая часть
    системы с переменными («матрица коэффициентов»)
    а в правой части — значения ответов.Позволять
    D
    — определитель матрицы коэффициентов указанной выше системы, и
    пусть D x
    быть определителем, образованным заменой столбца x
    значения со значениями столбца ответа:

    система
    из
    уравнений

    коэффициент
    определитель матрицы

    ответ
    столбец

    D x :
    определитель коэффициента
    со столбцом ответов
    значений в
    x столбец

    2 х
    + 1 y
    + 1 z
    = 3

    1 x
    1 y
    1 z
    = 0

    1 x
    + 2 и
    + 1 z
    = 0

    Аналогично D y
    и D z
    тогда будет: Авторское право
    Элизабет Стапель 2004-2011 Все права защищены

    Оценка каждого детерминанта (с использованием метода, описанного здесь),
    получаем:

    Правило Крамера гласит, что x
    = D x D ,
    y =
    D y D ,
    и z
    = D z D .То есть:

      х
      =
      3 / 3 = 1, y
      =
      6 / 3 = 2 ,
      и z
      =
      9 / 3 = 3

    Вот и все, что нужно для Cramer’s
    Правило.Чтобы найти любую желаемую переменную (назовите ее «» или «бета»),
    просто оцените определяющее частное D
    Д . (Пожалуйста
    не просите меня объяснять, почему это работает. Просто поверьте мне, что детерминанты
    может творить много видов магии.)

    • Учитывая следующее
      Система уравнений, найдите значение
      z .
    • Решить только для z ,
      Сначала я нахожу определитель коэффициента.

      Затем формирую D z
      заменив третий столбец значений столбцом ответов:

      Затем я составляю частное
      и упростить:

    Смысл правила Крамера
    в том, что вам не нужно решать всю систему, чтобы получить одно значение
    тебе нужно.Это сэкономило мне много времени на некоторых тестах по физике. я
    забыть, над чем мы работали (я думаю, что-то с проводами и токами),
    но правило Крамера было намного быстрее, чем любой другой метод решения (и
    Видит Бог, мне нужно было дополнительное время). Не позволяйте всем нижним индексам и прочему
    запутать вас; Правило действительно довольно простое. Вы просто выбираете переменную
    вы хотите найти, замените столбец значений этой переменной в
    определитель коэффициента со значениями столбца ответа, оцените, что
    определитель и разделите на определитель коэффициента.Это все там
    к нему.

    Почти.

    Что делать, если определитель коэффициента
    ноль? Нельзя делить на ноль, что это значит? Я не могу пойти
    в технические детали здесь, но « D
    = 0 «означает, что
    система уравнений не имеет единственного решения. Система может быть несовместимой
    (никакого решения) или зависимое (бесконечное решение, которое может быть
    выражается как параметрическое решение, например «( a ,
    а + 3, а 4) «).С точки зрения правила Крамера: « D
    = 0 «означает, что
    вам придется использовать другой метод (например, матрицу
    строковые операции) в
    решить систему. Если D
    = 0, вы не можете использовать Cramer’s
    Правило.

    Вверх
    | Вернуться к индексу

    Цитируйте эту статью
    как:

    Стапель, Елизавета.«Правило Крамера». Purplemath . Доступна с
    https://www.purplemath.com/modules/cramers.htm .
    Доступ [Дата] [Месяц] 2016

    Система линейных уравнений в матрицах — MathsTips.com

    В математике система линейной системы представляет собой набор из двух или более линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных. Например: 2x — y = 1, 3x + 2y = 12.Это система двух уравнений с двумя переменными, то есть x и y, которая называется двумя линейными уравнениями с двумя неизвестными x и y, а решение линейного уравнения — это значение переменных, при котором выполняются все уравнения.

    В матрице каждое уравнение в системе становится строкой, а каждая переменная в системе становится столбцом, переменные отбрасываются, а коэффициенты помещаются в матрицу.

    Система двух линейных уравнений относительно двух неизвестных x и y имеет следующий вид:

    Пусть,,.

    Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме как:

    = то есть AX = B и X =.

    Если R.H.S., а именно B, равно 0, то система однородна, в противном случае — неоднородна.

    представляет собой однородную систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y.

    — неоднородная система уравнений.

    Система трех линейных уравнений относительно трех неизвестных x, y, z имеет следующий вид:

    .

    Пусть,,.

    Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме как:

    = я.е. AX = B и X =.

    Алгоритм решения линейного уравнения через матрицу

    1. Запишите данную систему в виде матричного уравнения как AX = B.
    2. Найдите определитель матрицы. Если определитель | A | = 0, то не существует, поэтому решение не существует. Напишите «Система несовместима».
    3. Если определитель существует, найдите обратную матрицу, т.е.
    4. Найдите где матрица, обратная величине.
    5. Решите уравнение матричным методом линейного уравнения с формулой и найдите значения x, y, z.

    Пример 1: Решите уравнение: 4x + 7y-9 = 0, 5x-8y + 15 = 0

    Решение: Данное уравнение можно записать в матричной форме как:,,

    Данную систему можно записать как: AX = B, где.

    Найдем определитель: | A | = 4 * (- 8) — 5 * 7 = -32-35 = -67 Итак, решение существует.

    Младший и сомножитель матрицы A: = -8 = -8, = 5 = -5, = 7 = -7, = 4 = 4.

    Матрица сомножителей = и Adj A =

    .

    = = =

    x = и y =

    Пример 2: Решите уравнение: 2x + y + 3z = 1, x + z = 2, 2x + y + z = 3

    Решение: Данное уравнение можно записать в матричной форме как:,,.

    Данную систему можно записать как: AX = B, где.

    Найдем определитель: | A | = 2 (0-1) — 1 (1-2) + 3 (1-0) = -2 + 1 + 3 = 2. Итак, решение существует.

    Минор и сомножитель матрицы A: = -1 = -1, = -1 = 1, = 1 = 1, = -2 = 2, = -4 = -4, = 0 = 0 = 1 = -1, = -1 = -1, = -1 = 1.

    и

    .

    = = = =.

    х = 3, у = -2, г = -1.

    Упражнение

    Решите следующие уравнения:

    1. 2x + 3y = 9, -x + y = -2.
    2. х + 3у = -2, 3х + 5у = ​​4.
    3. х + у = 1, 3у + 3z = 5, 3z + 3х = 4.
    4. x + y + z = 1, 2x + y + 2z = 3, 3x + 3y + 4z = 4.
    5. x + y + z = 6, 3x-y + 3z = 10, 5x + 5y-4z = 3.

    Алгебра — расширенные матрицы

    Решите каждую из следующих систем уравнений.

    a \ (\ begin {align *} 3x + y — 2z & = 2 \\ x — 2y + z & = 3 \\ 2x — y — 3z & = 3 \ end {align *} \) Показать решение

    Давайте сначала запишем расширенную матрицу для этой системы.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & 2 \\ 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 2 & {- 1} & {- 3} & 3 \ end {array}} \ right] \]

    Как и в предыдущих примерах, мы помечаем красным цветом числа, которые мы хотим изменить на данном шаге. Первый шаг здесь — получить 1 в верхнем левом углу, и, опять же, у нас есть много способов сделать это. В этом случае мы заметим, что если мы поменяем местами первую и вторую строки, мы сможем получить 1 в этом месте с относительно небольшой работой.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & 2 \\ 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 2 & {- 1} & {- 3} & 3 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} \ leftrightarrow {R_2}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & 2 \\ {\ color {Red} 2} & {- 1} & {- 3} & 3 \ end {array}} \ right] \]

    Следующий шаг — получить два числа под этой единицей равными нулю.Также обратите внимание, что это почти всегда требует выполнения операции третьей строки. Кроме того, мы можем сделать и то, и другое за один шаг следующим образом.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & 2 \\ {\ color {Red } 2} & {- 1} & {- 3} & 3 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} — 3 {R_1} \ to {R_2 }} \\ {{R_3} — 2 {R_1} \ to {R_3}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & {\ color {Red} 7} & {- 5} & {- 7} \\ 0 & 3 & {- 5} & {- 3} \ end {array}} \ right] \]

    Далее мы хотим превратить 7 в 1.Мы можем сделать это, разделив вторую строку на 7.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & {\ color {Red} 7} & {- 5} & {- 7} \\ 0 & 3 & {- 5} & {- 3} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {\ frac {1} {7} {R_2}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & 1 & {- \ frac {5} {7}} & {- 1} \\ 0 & {\ color {Красный} 3} & {- 5} & {- 3} \ end {array}} \ right] \]

    Итак, здесь фигурирует дробь.Такое случается время от времени, так что не стоит сильно волноваться по этому поводу. Следующий шаг — заменить 3 под этой новой единицей на 0. Обратите внимание, что мы пока не будем беспокоиться о -2 над ней. Иногда так же легко превратить это значение в 0 на том же этапе. Однако в этом случае это, вероятно, так же легко сделать позже, как мы увидим.

    Итак, используя операцию третьей строки, мы получаем

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & 1 & {- \ frac {5} {7}} & {- 1} \\ 0 & { \ color {Red} 3} & {- 5} & {- 3} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_3} — 3 {R_2} \ в {R_3}} \\ \ в \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & 1 & {- \ frac {5} {7}} & { — 1} \\ 0 & 0 & {\ color {Red} — \ frac {{20}} {7}} & 0 \ end {array}} \ right] \]

    Далее нам нужно преобразовать число в правом нижнем углу в 1.Мы можем сделать это с помощью операции второй строки.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & 1 & {- \ frac {5} {7}} & {- 1} \\ 0 & 0 & { \ color {Red} — \ frac {{20}} {7}} & 0 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {- \ frac {7} {{ 20}} {R_3}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & {\ color {Red} 1} & 3 \\ 0 & 1 & {\ цвет {Красный} — \ frac {5} {7}} & {- 1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right] \]

    Теперь нам нужны нули над этой новой единицей.Итак, использование операции третьей строки дважды, как показано ниже, сделает то, что нам нужно.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & {\ color {Red} 1} & 3 \\ 0 & 1 & {\ color {Red} — \ frac {5] } {7}} & {- 1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} + \ frac {5} {7} { R_3} \ to {R_2}} \\ {{R_1} — {R_3} \ to {R_1}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {\ цвет {Красный} — 2} & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & {- 1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right] \]

    Обратите внимание, что в этом случае последний столбец не изменился на этом этапе.Это произошло только потому, что последняя запись в этом столбце была равна нулю. В общем, этого не произойдет.

    Последний шаг — преобразовать -2 над 1 во втором столбце в ноль. Это легко сделать с помощью операции третьего ряда.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {\ color {Red} — 2} & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & {- 1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right ] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} + 2 {R_2} \ to {R_1}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & {- 1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right] \]

    Итак, у нас есть расширенная матрица в окончательном виде и решение будет

    \ [x = 1, \, \, \, y = — 1, \, \, \, z = 0 \]

    Это можно проверить, подставив их во все три уравнения и убедившись, что все они удовлетворяются.

    b \ (\ begin {align *} 3x + y — 2z & = — 7 \\ 2x + 2y + z & = 9 \\ — x — y + 3z & = 6 \ end {align *} \) Показать решение

    Опять же, первый шаг — записать расширенную матрицу.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & {- 7} \\ 2 & 2 & 1 & 9 \\ {- 1} & { — 1} & 3 и 6 \ end {array}} \ right] \]

    На этот раз мы не можем получить 1 в верхнем левом углу, просто поменяв строки местами.Мы могли бы поменять местами первую и последнюю строку, но это также потребовало бы другой операции, чтобы превратить -1 в 1. Хотя это несложно, это две операции. Обратите внимание, что мы можем использовать операцию третьей строки, чтобы получить 1 в этом месте следующим образом.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & {- 7} \\ 2 & 2 & 1 & 9 \\ {- 1} & { — 1} & 3 и 6 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} — {R_2} \ to {R_1}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ {\ color {Red} 2} & 2 & 1 & 9 \\ {\ color {Red} — 1 } & {- 1} & 3 & 6 \ end {array}} \ right] \]

    Теперь мы можем использовать операцию третьей строки, чтобы превратить два красных числа в нули.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ {\ color {Red} 2} & 2 & 1 & 9 \\ { \ color {Red} — 1} & {- 1} & 3 & 6 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} — 2 {R_1} \ to {R_2 }} \\ {{R_3} + {R_1} \ to {R_3}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3 } & {- 16} \\ 0 & {\ color {Red} 4} & 7 & {41} \\ 0 & {- 2} & 0 & {- 10} \ end {array}} \ right] \]

    Следующий шаг — получить 1 на месте, занимаемом красной 4.Мы могли бы сделать это, разделив всю строку на 4, но это добавило бы пару несколько неприятных дробей. Итак, вместо этого мы собираемся поменять местами вторую и третью строки. Причина этого станет очевидной достаточно скоро.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & {\ color {Red} 4} & 7 & {41 } \\ 0 & {- 2} & 0 & {- 10} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} \ leftrightarrow {R_3}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & {\ color {Red} — 2} & 0 & {- 10 } \\ 0 и 4 и 7 и {41} \ end {array}} \ right] \]

    Теперь, если мы разделим вторую строку на -2, мы получим 1 в том месте, которое нам нужно.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & {\ color {Red} — 2} & 0 & { — 10} \\ 0 & 4 & 7 & {41} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {- \ frac {1} {2} {R_2}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & {\ color {Red} 4} & 7 & { 41} \ end {array}} \ right] \]

    Прежде чем перейти к следующему шагу, давайте заметим здесь пару вещей.Во-первых, нам удалось избежать дробей, что всегда хорошо, а во-вторых, эта строка готова. В конечном итоге нам понадобился бы ноль в этом третьем месте, и мы получили его бесплатно. Более того, это не изменится ни в одной из последующих операций. Это происходит не всегда, но если это произойдет, наша жизнь станет легче.

    Теперь давайте воспользуемся операцией третьей строки, чтобы заменить красную 4 на ноль.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & {\ color {Red} 4} & 7 & {41} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_3} — 4 {R_2} \ to {R_3}} \\ \ to \ end {массив } \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & {\ color {Red} 7} & {21} \ end {массив}} \ справа] \]

    Теперь мы можем разделить третью строку на 7, чтобы получить число в правом нижнем углу в единицу.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & {\ color {Red} 7} & {21} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {\ frac {1} {7} {R_3}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {\ color {Red} — 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array}} \ right] \]

    Затем мы можем использовать операцию третьей строки, чтобы заменить -3 на ноль.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {\ color {Red} — 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end { array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} + 3 {R_3} \ to {R _ {\ kern 1pt}}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {\ color {Red} — 1} & 0 & {- 7} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array}} \ right] \]

    Последний шаг — затем снова превратить -1 в 0, используя операцию третьей строки.

    \ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {\ color {Red} — 1} & 0 & {- 7} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array}} \ right ] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} + {R_2} \ to {R _ {\ kern 1pt}}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin { array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & {- 2} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array}} \ right] \]

    Тогда решение этой системы:

    \ [x = — 2, \, \, \, y = 5, \, \, \, z = 3 \]

    Матричный метод

    — обзор

    4.4.3 Метод матрицы жесткости (SMM)

    Подход TMM, описанный в разделе 4.2, является быстрым и эффективным, поскольку он имеет дело с очень маленькими матрицами. Однако этот процесс становится численно нестабильным на высоких частотах (больших значениях ξh). Эта числовая нестабильность возникает из-за численного явления, известного как «малые разности больших чисел», которое создает проблему при выполнении вычислений с конечной мантиссой. Одним из способов предотвращения такой высокочастотной численной нестабильности является использование подхода SMM, как описано ниже.

    Вспомните уравнение. (97) и оцените его сверху и снизу пластинки, т. Е. При x3 = 0 и x3 = h соответственно, так что он явно показывает вклады смещения и напряжения, т. Е.

    (115) {uˆTσˆT} = [ Bu (0) Bσ (0)] η

    (116) {uˆBσˆB} = [Bu (h) Bσ (h)] η

    Развернуть уравнения. (115), (116), чтобы получить

    (117) uˆT = Bu (0) η

    (118) σˆT = Bσ (0) η

    (119) uˆB = Bu (h) η

    (120) σˆB = Bσ (h) η

    Переставить уравнения. (117) — (120), чтобы выразить напряжения через смещения, т.е.е.,

    (121) {σˆTσˆB} = κ {uˆTuˆB}

    , где

    (122) κ = [Bσ (0) Bσ (h)] [(Bu (0)) (Bu (h))] −1 (пластичность)

    Доказательство Ур. (121), (122): исключить η между уравнениями. (117), (118) для записи

    (123) σˆT = Bσ (0) (Bu (0)) — 1uˆT

    Аналогичным образом удалите η между уравнениями. (119), (120) для записи

    (124) σˆB = Bσ (h) (Bu (h)) — 1uˆB

    Объедините уравнения. (123), (124) в матричной форме и получаем

    (125) {σˆTσˆB} = [Bσ (0) Bσ (h)] [(Bu (0)) (Bu (h))] — 1 {uˆTuˆB} QED

    Следующим шагом в подходе SMM является создание матрицы жесткости ламината из матриц жесткости отдельных пластин посредством рекурсивного процесса, где жесткость Kn ламината от слоя 1 до слоя n получается путем объединения жесткость Kn-1 ламината от слоя 1 до слоя n-1 с жесткостью κn слоя n-, т.е.е.,

    (126) Kn = [KnTTKnTBKnBTKnBB] = [Kn − 1TT + Kn − 1TB (κnTT − Kn − 1BB) −1Kn − 1BT − Kn − 1TB (κnTT − Kn − 1BB) −1κnTBκnTT (κ −1BB) −1Kn − 1BTκnBB − κnBT (κnTT − Kn − 1BB) −1κnTB]

    , где

    (127) {σˆ1Tσˆn − 1B} = [Kn − 1TTKn − 1TBKn − 1BTKn − 1BTu] −1 = [Kn − 1TTKn − 1TBKn − 1BTKn − 1BB]

    (128) {σˆ1TσˆnB} = [KnTTKnTBKnBTKnBB] {uˆ1Tuˆn − 1B} Kn = [KnTTTKnTBKnBTˆBn − 1B} Kn = [KnTTTKnTBKnBTNˆBn] κnˆBn (9σκnˆBn) {9σκnˆBn] (9σκnˆBn) {9σκˆˆBn] (9σκˆˆBn) {9σκˆˆBn (9σκ000}) } κn = [κnTTκnTBκnBTκnBB]

    Доказательство Ур. (126): развернуть уравнения.(127), (129) получаем

    (130) σˆ1T = Kn − 1TTuˆ1T + Kn − 1TBuˆn − 1B

    (131) σˆn − 1B = Kn − 1BTuˆ1T + Kn − 1BBuˆn − 1B

    (132) σˆnT = κnTTuˆnT + κnTBuˆnB

    (133) σˆnB = κnBTuˆnT + κnBBuˆnB

    Напомним условия на границе между слоями n − 1 и n, то есть

    (134) uˆnT = uˆ3 0n − 1B 9000

    Используйте уравнения. (134), (135) в уравнения. (130), (131) для получения

    (136) σˆ1T = Kn − 1TTuˆ1T + Kn − 1TBuˆnT

    (137) σˆnT = Kn − 1BTuˆ1T + Kn − 1BBuˆnT

    Исключите σˆnT между уравнениями.(132), (137) и запишем

    (138) κnTTuˆnT + κnTBuˆnB = Kn − 1BTuˆ1T + Kn − 1BBuˆnT

    Решите уравнение. (138) для uˆnT, т.е.

    (139) uˆnT = (κnTT − Kn − 1BB) −1Kn − 1BTuˆ1T− (κnTT − Kn − 1BB) −1κnTBuˆnB

    Подставить уравнение. (139) в уравнения. (133), (136) и запишем

    (140) σˆ1T = [Kn − 1TT + Kn − 1TB (κnTT − Kn − 1BB) −1Kn − 1BT] uˆ1T − Kn − 1TB (κnTT − Kn − 1BB) −1κnTBuˆnB

    (141) σˆnB = κnBT (κnTT − Kn − 1BB) −1Kn − 1BTuˆ1T + [κnBB − κnBT (κnTT − Kn − 1BB) −1κnTB] uˆnB

    Переставить уравнения. (140), (141) в матричной форме, чтобы получить

    (142) {σˆ1TσˆnB} = [Kn − 1TT + Kn − 1TB (κnTT − Kn − 1BB) −1Kn − 1BT − Kn − 1TB (κnTT − Kn − 1BB) ) −1κnTBκnBT (κnTT − Kn − 1BB) −1Kn − 1BTκnBB − κnBT (κnTT − Kn − 1BB) −1κnTB] {uˆ1TuˆnB} QED

    Рекурсивное применение уравнения.(126) позволяет рассчитать общую матрицу KN жесткости композитного ламината, то есть

    (143) KN = [KNTTKNTBKNBTKNBB]

    Используя уравнение. (143) запишем

    (144) {σˆ1TσˆNB} = [KNTTKNTBKNBTKNBB] {uˆ1TuˆNB}

    Напомним граничные условия в верхней и нижней частях формул для ламината. (78), (79), т.е.

    (145) σˆ1T = 0

    (146) σˆNB = 0

    Подстановка уравнений. (145), (146) в уравнение. (144) дает

    (147) [KNTTKNTBKNBTKNBB] {uˆ1TuˆNB} = {00}

    Уравнение (147) представляет собой однородную алгебраическую систему 6 × 6 с ξ и v (или ω, поскольку ω = vξ) в качестве параметров.Возможны нетривиальные решения однородной алгебраической системы, если определитель системы равен нулю. Следовательно, нужно искать конкретные комбинации ξ и v (или v и ω; или ξ и ω), которые аннулируют определитель системы, т. Е. Решать уравнение

    (148) D (ξ, v) = 0

    где

    (149) D (ξ, v) = | KNTTKNTBKNBTKNBB |

    Для каждой пары собственных значений (ξ, v) система уравнений Уравнение (147) имеет матрицу с недостаточным рангом и, следовательно, может быть решено с одной степенью неопределенности в решении.Это означает, что решение будет содержать произвольный масштабный коэффициент, который должен быть определен с помощью соответствующей процедуры нормализации. Это означает, что теперь мы знаем (с одной степенью неопределенности) значения

    (150) uˆ1T = 0

    (151) uˆNB = 0

    Знание uˆ1T и использование уравнения. (145) позволяет нам записать z1 (0), т.е.

    (152) z1 (0) = {uˆ1 (0) σˆ1 (0)} = {uˆ1T0}

    Отсюда расчет формы моды происходит в так же, как и для подхода TMM.Используя процесс, описанный уравнениями. Используя (109) — (114), мы можем построить полную форму моды внутри ламината.

    Решение системных уравнений с помощью матриц | по Тайрин | Intelligentmachines

    Матрицы являются одними из наиболее широко используемых математических конструкций в информатике. Это особенно полезно при быстром решении большого количества уравнений с меньшими вычислительными затратами. Используя повседневный пример, представляем основные концепции матриц и показываем, как их можно использовать для решения системы линейных уравнений.

    Нам нужно разработать быстрый алгоритм , когда нам нужно решить линейную систему уравнений большого размера. Чтобы решить систему быстрее, нам может потребоваться калькулятор с большим объемом оперативной памяти и / или высокой тактовой частотой (ЦП). Но недостаточно, когда «быстрее» означает дни (или больше), если мы решаем проблему неправильно. [5]

    Чтобы уменьшить вычислительные затраты , мы должны придумать хороший алгоритм, умную идею. Но для этого нам нужно использовать некоторые свойства (которые каким-то образом закодированы в коэффициентах матрицы) или некоторую структуру линейной системы.

    В этой статье мы рассмотрим матрицы. Мы решим задачу о яблоках и апельсинах [1] и узнаем:

    • Почему матрицы являются важными кирпичиками для решения одновременных уравнений.
    • Как использовать матрицы для одновременных уравнений.
    • Как узнать цену отдельных товаров с помощью матриц, когда у нас есть только общий счет.

    Матрицы — это объекты, которые вращают и растягивают векторы. И они также являются объектами, которые позволяют нам решать такого рода проблемы.

    Теперь мы знаем, что матрица обладает определенным свойством, которое может иметь решающее значение для разработки быстрого алгоритма или даже для доказательства того, что решение существует, или что решение имеет какое-то хорошее свойство. Следует отметить несколько важных моментов:

    • Линейную систему можно увидеть в матрично-векторной форме.
    • Матрицы выглядят как причудливый и компактный способ записать систему уравнений, простые таблицы чисел.
    • Просто взглянув на матрицу, мы сможем понять, есть ли у этой системы решение.
    • Мы также можем понять, является ли решение неотрицательным (что означает, что все компоненты решения неотрицательны) или нет. Мы не сможем прийти к такому выводу, просто взглянув на систему, не пытаясь ее решить.
    • Мы также можем утверждать, что для решения этой системы, сколько операций нам нужно (одна операция представляет собой одно сложение / вычитание / деление / умножение), даже если мы построим более крупную систему с тем же шаблоном.

    Матрицы можно использовать для компактного написания и работы с системами уравнений, и ими можно манипулировать так же, как и обычным уравнением.Это очень полезно, когда мы начинаем работать с системами уравнений. Полезно понять, как организовать матрицы для решения этих систем. [6]

    Важно сделать следующее:

    • Убедитесь, что все уравнения написаны одинаково, то есть переменные должны быть в одном порядке.
    • Убедитесь, что одна сторона уравнения — это только переменные и их коэффициенты, а другая сторона — просто константы.

    Допустим, мы заходим в магазин фруктов и покупаем два яблока и три апельсина, и предположим, что это стоит 8 долларов.Запишем это в это уравнение:

    2a + 3b = 8

    Теперь предположим, что мы идем в тот фруктовый магазин в другой день и покупаем 10 яблок и 1 апельсин. А владелец магазина берет с нас 13 долларов. Итак, уравнение:

    10a + 1b = 13

    Это пример задачи линейной алгебры.

    Нам нужно будет решить эти одновременных уравнений , чтобы узнать цену отдельных яблок и апельсинов. Знание цен поможет нам решить, какое предложение лучше, или мы можем просто спрогнозировать счет.

    Мы можем подумать, что в магазине обязательно должны быть наклейки с ценами, зачем нам это делать? Но на самом деле такие вещи, определение цен, постоянно происходит во многих компаниях со сложными соглашениями о продуктах и ​​услугах и более дорогими покупками. Подумайте, что происходит, например, когда мы покупаем квартиру или машину.

    Часто бывает довольно сложно решать все эти уравнения вручную. Итак, нам может понадобиться компьютерный алгоритм, который сделает это за нас, который сэкономит время .

    Постоянные линейные коэффициенты в этих уравнениях: 2, 10, 3, 1

    Это связывает входные переменные A и B с выходными 8 и 13. Мы можем рассматривать его как вектор [a, b] , который описывает цены на яблоки и апельсины.

    Здесь 8 и 13 — это стоимость (сколько мы можем захотеть купить).

    Это просто одновременные уравнения, и мы можем записать их другим способом, как матричную задачу:

    Рассмотрим это как…

    [Известные значения] [Неизвестные значения] = [Выходные данные]

    Эта матрица — это объект с числами в 2, 3, 10, 1, где:

    • Наша первая поездка: 2, 3
    • Наша вторая поездка: 10, 1

    Теперь мы умножим это на следующие способ:

    • Мы бы умножили элементы в строках на элементы в столбце.
    • Умножим верхнюю строку на этот столбец: (2 X a) + (3 X b).
    • И мы бы сказали, что (2a + 3b) равно верхней строке с правой стороны.

    2a + 3b = 8

    • И сделайте то же самое для следующей строки, эта строка, умноженная на этот столбец: 10a + 1b , равна строке внизу справа.

    10a + 1b = 13

    Наконец, это похоже на наши два одновременных уравнения:

    Два одновременных уравнения

    Теперь давайте проверим, что произойдет, если мы умножим эту матрицу на единичный базисный вектор (ось x).

    • Шаг 1: (2 X 1) + (3 X 0) = 2
    • Шаг 2: (10 X 1) + (1 X 0) = 10

    Умножение матрицы на единицу измерения (ось x) вектор

    Он берет маленький единичный вектор, который мы назвали e1 hat, и преобразует его в другое место:

    e1 hat

    Давайте сделаем это с другим базисным вектором. Умножить 2, 3, 10, 1 на 0, 1:

    • Шаг 1: (2 X 0) + (3 X 1) = 3
    • Шаг 2: (10 X 0) + (1 X 1) = 1

    Умноженная матрица на вектор оси Y

    Другой базисный вектор e2 hat преобразуется в 3, 1:

    e2 hat

    e1 prime = изменено e1

    e2 prime = изменено e2

    Матрица 2, 3, 10, 1 — это функция, которая

    • работает с входными векторами и дает нам другие выходные векторы, и
    • Она каким-то образом перемещает базисные векторы, она их преобразует, изменяет космос.

    И набор одновременных уравнений здесь предназначен для того, чтобы выяснить, какой вектор нам нужен, чтобы получить преобразованный продукт в позиции 8, 13.

    Мы узнали, почему матрицы являются важными кирпичиками для решения одновременных уравнений и как использовать их. Я надеюсь, что эта статья дала нам представление о том, почему изучение матриц и их свойств имеет решающее значение в попытках повысить эффективность линейных решателей. Я обновлю эту статью и продолжу до следующей.

    Одновременные уравнения

    Одновременные уравнения — это два или более уравнений, каждое с равным числом неизвестных переменных, которые связаны друг с другом и являются «одновременными», потому что они решаются вместе.[2]

    Пример: Эти 2 уравнения имеют одинаковое количество неизвестных переменных…

    2a + 3b = 8

    10a + 1b = 13

    Коэффициент

    Коэффициенты — числа которые умножаются на переменные. Таким образом, для уравнения 2a + 3b = 8 коэффициенты равны 2, 3. [3]

    Матрица

    (Множественное число: Матрицы)

    Матрица — это совокупность / прямоугольное расположение чисел, упорядоченных по строкам и столбцам.Обычно это действительные числа. [4]

    Пример матрицы 2 × 2 (2 строки и 2 столбца):

    Матрица 2 × 2 (2 строки и 2 столбца)

    Вектор

    Вектор может относиться к любому из следующих элементов:

    • В компьютерном программировании вектор — это либо указатель, либо массив только с одним измерением.
    • В математике вектор — это величина, имеющая как величину, так и направление.
    • В компьютерной графике термин вектор описывает линию с начальной и конечной точкой.
    • В области компьютерной безопасности термин «вектор атаки» относится к конкретному методу использования уязвимости системы.

    Единичный вектор

    Единичные векторы — это векторы, величина которых равна точно 1 единице, а единичные векторы [0,1] и [1,0] могут вместе образовывать любой другой вектор. [7]

    Тактовая частота (ЦП)

    Тактовая частота ЦП наиболее полезна для сравнения процессоров одного семейства, и это только один из нескольких факторов, которые могут влиять на производительность при сравнении процессоров в разных семьи.

    Но сама по себе тактовая частота обычно считается неточным показателем производительности при сравнении различных семейств процессоров. Иногда это может вводить в заблуждение, поскольку объем работы, которую могут выполнять разные процессоры за один цикл, различается. Тесты программного обеспечения более полезны. [8]

    [Последнее обновление 24 декабря 2020 г. ]

    Ссылки:

    1. https://www.coursera.org/learn/linear-algebra-machine-learning/
    2. https: // www.http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.07/h/maddie1.html
    3. https: //www.khanacademy. org / math / precalculus / x9e81a4f98389efdf: matrices / x9e81a4f98389efdf: mat-intro / a / intro-to-matrices
    4. https://math.stackexchange.com/questions/160328/what-is-the-usefulness-of-matrices
    5. https://courses.lumenlearning.com/boundless-algebra/chapter/using-matrices-to-solve-systems-of-equations/
    6. https: // www.reddit.com/r/learnmath/comments/68l3mh/unit_vector_vs_unit_basis_vector/
    7. https://en.wikipedia.org/wiki/Clock_rate#Comparing

    Решение систем линейных уравнений с использованием матриц

    Решение систем линейных уравнений

    Однородные и неоднородные системы линейных уравнений

    Система уравнений AX = B называется однородной системой, если B = O. Если B ≠ O, она называется неоднородной системой уравнений.
    , например, 2x + 5y = 0
    3x — 2y = 0
    является однородной системой линейных уравнений, тогда как система уравнений, задаваемая формулой
    , например, 2x + 3y = 5
    x + y = 2
    , является неоднородной системой линейных уравнений.

    Решение неоднородной системы линейных уравнений

    1. Матричный метод: если AX = B, то X = A -1 B дает уникальное решение при условии, что A неособое.
      Но если A — особая матрица, т.е. если | A | = 0, то система уравнения AX = B может быть согласована с бесконечным числом решений или может быть несовместной.
    2. Метод рангов для решения неоднородной системы AX = B
      1. Запишите A, B
      2. Запишите расширенную матрицу [A: B]
      3. Приведите расширенную матрицу к форме Echelon, используя элементарные операции со строками.
      4. Найдите количество ненулевых строк в A и [A: B], чтобы найти ранги A и [A: B] соответственно.
      5. Если ρ (A) ≠ ρ (A: B), то система несовместна.
      6. ρ (A) = ρ (A: B) = количество неизвестных, тогда система имеет единственное решение.
      7. ρ (A) = ρ (A: B) <количество неизвестных, то система имеет бесконечное количество решений.

    Решения однородной системы линейных уравнений

    Пусть AX = O — однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

    1. Запишите данную систему уравнений в виде AX = O и запишите A.
    2. Найти | A |.
    3. Если | A | ≠ 0, то система непротиворечива и x = y = z = 0 — единственное решение.
    4. Если | A | = 0, то система уравнений имеет бесконечно много решений. Чтобы найти это, положите z = k (любое действительное число) и решите любые два уравнения относительно x и y, полученные таким образом с z = k, дайте решение данной системы уравнений.

    Непротиворечивость системы линейных уравнений AX = B, где A — квадратная матрица

    В системе линейных уравнений AX = B, A = (a ij ) n × n называется

    1. Согласовано (с единственным решением), если | A | ≠ 0.
      т.е. если A невырожденная матрица.
    2. Непоследовательно (не имеет решения), если | A | = 0 и (прил A) B — ненулевая матрица.
    3. Согласовано (с бесконечным m любыми решениями), если | A | = 0 и (прил A) B — нулевая матрица.

    Ранг матрицы

    Определение:
    Пусть A — матрица размера m × n. Если мы сохраним любые r строк и r столбцов матрицы A, мы получим квадратную подматрицу порядка r. Определитель квадратной подматрицы порядка r называется минором A порядка r.Рассмотрим любую матрицу A порядка 3 × 4, скажем,
    .
    Это матрица 3 × 4, поэтому мы можем иметь миноры порядка 3, 2 или 1. Возьмем любые три строки и три столбца младшего порядка третьего. Следовательно, минор порядка \ (3 = \ left | \ begin {matrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 6 \\ 1 & 5 & 0 \ end {matrix} \ right | = 0 \)
    Создание двух нулей, а раскрытие над второстепенным — это ноль. Точно так же мы можем рассмотреть любой другой минор 3-го порядка, и можно показать, что он равен нулю. Минор 2-го порядка получается путем взятия любых двух строк и любых двух столбцов.
    Незначительный порядок \ (2 = \ begin {vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \ end {vmatrix} = 2-3 = -1 \ neq 0 \).
    Минор первого порядка — это каждый элемент матрицы.

    Ранг матрицы: Ранг данной матрицы A называется r, если

    1. Каждый минор A порядка r + 1 равен нулю.
    2. Существует по крайней мере один минор A порядка r, который не исчезает. Здесь мы также можем сказать, что ранг матрицы A называется r, если
      • Каждая квадратная подматрица порядка r + 1 сингулярна.
      • Существует по крайней мере одна квадратная подматрица порядка r, которая не является сингулярной.

    Ранг r матрицы A записывается как ρ (A) = r.

    Эшелонированная форма матрицы

    Матрица A называется эшелонированной, если либо A является нулевой матрицей, либо A удовлетворяет следующим условиям:

    1. Каждая ненулевая строка в A предшествует каждой нулевой строке.
    2. Количество нулей перед первым ненулевым элементом в строке меньше количества таких нулей в следующей строке.

    Если легко доказать, что ранг матрицы в форме Echelon равен количеству ненулевой строки матрицы.

    Ранг матрицы в форме Echelon: Ранг матрицы в форме Echelon равен количеству ненулевых строк в этой матрице.

    Решение систем линейных уравнений с помощью матриц Задачи с решениями

    1.

    Решение:

    2.

    Решение:

    3.

    Решение:

    4.

    Решение:

    5.

    Решение:

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.