Матричное уравнение ax b имеет решение: Решение матричных уравнений: теория и примеры

Содержание

Решение матричных уравнений: теория и примеры

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в
которых присутствует операция умножения. Например,

ax=b,

где x — неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц,
то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

A ⋅ X = B

или

X ⋅ A = B,

где A и B —
известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того,
чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B,
обе его части следует умножить на обратную к A матрицу
слева:

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную
матрицу равно единичной матрице: ,
поэтому

Так как E — единичная матрица, то
E ⋅ X = X. В результате
получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы,
обратной к матрице A, слева, на матрицу B:

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

X ⋅ A = B,

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X
и известной матрицы A матрица A
находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу,
обратную матрице A, и умножать матрицу B
на неё справа:

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как
. Обратная к
A матрица умножается на матрицу B
с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную
матрицу X. То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной
матрицей находится матрица A.

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой
части уравнения неизвестная матрица X находится в середине
произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева
на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на
матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

A ⋅ X ⋅ B = C,

является

Пример 1. Решить матричное уравнение

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B, то
есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы
X матрица A находится слева.
Поэтому решение следует искать в виде ,
то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу,
обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице
A.

Сначала найдём определитель матрицы A:

Найдём алгебраические дополнения матрицы A:

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
A:

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A:

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Решить матричное уравнение самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Решить матричное уравнение

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B, то
есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы
X матрица A находится справа.
Поэтому решение следует искать в виде ,
то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу,
обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице
A.

Сначала найдём определитель матрицы A:

Найдём алгебраические дополнения матрицы A:

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
A:

Находим матрицу, обратную матрице A:

Находим неизвестную матрицу:

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь
матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B, то
есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы
X матрица A находится слева.
Поэтому решение следует искать в виде ,
то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу,
обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице
A.

Сначала найдём определитель матрицы A:

Найдём алгебраические дополнения матрицы A:

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
A:

Находим матрицу, обратную матрице A, и делаем
это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

Находим неизвестную матрицу:

Пример 5. Решить матричное уравнение

Сначала найдём определитель матрицы A:

Найдём алгебраические дополнения матрицы A:

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
A:

Находим матрицу, обратную матрице A:

Находим неизвестную матрицу:

Пример 6. Решить матричное уравнение

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C, то
есть неизвестная матрица X находится в середине
произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде
. Найдём матрицу, обратную матрице
A.

Сначала найдём определитель матрицы A:

Найдём алгебраические дополнения матрицы A:

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей
A:

Находим матрицу, обратную матрице A:

Найдём матрицу, обратную матрице
B.

Сначала найдём определитель матрицы B:

Найдём алгебраические дополнения матрицы B:

Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B:

. {-1}= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\rightarrow X= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -5 & 4\\ -8 & 5 \end{pmatrix}$

ax b

Вы искали ax b? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и ax b матричное уравнение, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «ax b».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как ax b,ax b матричное уравнение,ax b решить матричное уравнение,деление матриц онлайн,для невырожденной квадратной матрицы а решение системы ax b имеет вид,как решить матричное уравнение онлайн,как решить уравнение матрицы,калькулятор для матриц,калькулятор для матриц онлайн,калькулятор для матрицы,калькулятор для матрицы онлайн калькулятор,калькулятор матриц,калькулятор матриц онлайн,калькулятор матриц онлайн с подробным решением,калькулятор матриц онлайн с решением,калькулятор матриц с подробным решением,калькулятор матриц с подробным решением онлайн,калькулятор матриц уравнений,калькулятор матрица,калькулятор матрицы,калькулятор матрицы онлайн,калькулятор матрицы онлайн с подробным решением,калькулятор матрицы онлайн с решением,калькулятор матрицы с решением,калькулятор матриць,калькулятор матриць онлайн,калькулятор матричний,калькулятор матричных уравнений,калькулятор матричных уравнений онлайн,калькулятор онлайн вычисление матриц,калькулятор онлайн для матриц,калькулятор онлайн матрицы,калькулятор онлайн матрицы с подробным решением,калькулятор онлайн матрицы уравнения,калькулятор онлайн по матрицам,калькулятор по матрицам онлайн,калькулятор решение матричных уравнений,калькулятор уравнение матрицы онлайн,калькулятор уравнений матриц,калькуляторы матриц,матриц калькулятор с решением,матриц онлайн калькулятор с подробным решением,матрица калькулятор,матрица калькулятор онлайн,матрица калькулятор онлайн с решением,матрица онлайн калькулятор с подробным решением,матрица онлайн калькулятор с решением,матрица решение онлайн калькулятор,матрица решение уравнений,матрица х,матрицы калькулятор,матрицы калькулятор онлайн,матрицы калькулятор онлайн с подробным решением,матрицы калькулятор онлайн уравнение,матрицы калькулятор с решением,матрицы онлайн калькулятор,матрицы онлайн калькулятор с подробным решением,матрицы онлайн калькулятор уравнения,матрицы решение онлайн калькулятор,матрицы решение уравнений онлайн,матрицы решить уравнение,матрицы уравнение онлайн,матрицы уравнения онлайн калькулятор,матричний калькулятор,матричное уравнение ax b,матричное уравнение калькулятор,матричный калькулятор,матричный калькулятор онлайн,матричный калькулятор онлайн с подробным решением онлайн,матричный калькулятор с подробным решением онлайн,матричный калькулятор с решением,матричный онлайн калькулятор с подробным решением,найти из уравнения матрицу х,найти матрицу х из уравнения,найти неизвестную матрицу x из уравнения,онлайн калькулятор для матриц,онлайн калькулятор матриц с подробным решением,онлайн калькулятор матриц с решением,онлайн калькулятор матрица с подробным решением,онлайн калькулятор матрицы,онлайн калькулятор матрицы с подробным решением,онлайн калькулятор матрицы с решением,онлайн калькулятор матрицы уравнения,онлайн калькулятор по матрицам,онлайн калькулятор решение матриц,онлайн калькулятор решение матричного уравнения,онлайн калькулятор решение матричных уравнений,онлайн калькулятор решения матриц,онлайн калькулятор решить матрицу,онлайн калькулятор с подробным решением матриц,онлайн калькулятор уравнение матрицы,онлайн калькулятор уравнения матрицы,онлайн матрица калькулятор,онлайн матрица посчитать,онлайн подробное решение матриц,онлайн подсчет матриц,подробное решение матриц онлайн,решение матриц калькулятор,решение матриц онлайн калькулятор с подробным решением,решение матриц уравнений онлайн,решение матричного уравнения,решение матричных уравнений онлайн калькулятор,решение матричных уравнений онлайн калькулятор с подробным решением,решение уравнений матриц онлайн,решение уравнений матрицы онлайн,решение уравнений с матрицами,решение уравнений с матрицами онлайн,решите матричное уравнение,решите матричное уравнение онлайн,решить матрицу калькулятор онлайн,решить матрицу онлайн калькулятор,решить матричное уравнение,решить матричное уравнение ax b,решить матричное уравнение xa b,решить матричные уравнения,решить онлайн уравнение матрицы,решить систему линейных уравнений ax b,решить уравнение матрица,решить уравнение матрица равна нулю,решить уравнение матрицы,уравнение матрицы онлайн калькулятор,уравнения матрицы онлайн,уравнения матрицы онлайн калькулятор. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и ax b. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, ax b решить матричное уравнение).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же ax b Онлайн?

Решить задачу ax b вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Axb c матрицы уравнения – Тарифы на сотовую связь

Решение матричных уравнений: как это делается

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,

где x – неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы – это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

где A и B – известные матрицы, X – неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:

.

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому

.

Так как E – единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

.

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

,

,

.

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

.

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

.

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Пример 2. Решить матричное уравнение

.

Пример 3. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Находим неизвестную матрицу:

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

.

Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 5. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 6. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Найдём матрицу, обратную матрице B .

Сначала найдём определитель матрицы B :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы B :

Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :

. <-1>= egin-5 & 3\ 2 & -1 end
ightarrow X= egin3 & 5\ 2 & 1 endcdot egin-5 & 3\ 2 & -1 end= egin-5 & 4\ -8 & 5 end$

Матричный калькулятор онлайн

Инструкция матричного онлайн калькулятора

С помощью матричного онлайн калькулятора вы можете сложить, вычитать, умножить, транспонировать матрицы, вычислить обратную матрицу, псевдообратную матрицу, ранг матрицы, определитель матрицы, m-норму и l-норму матрицы, возвести матрицу в степень, умножить матрицу на число, сделать скелетное разложение матрицы, удалить из матрицы линейно зависимые строки или линейно зависимые столбцы, проводить исключение Гаусса, решить матричное уравнение AX=B, сделать LU разложение матрицы, вычислить ядро (нуль пространство) матрицы, сделать ортогонализацию Грамма-Шмидта и ортонормализацию Грамма-Шмидта.

Матричный онлайн калькулятор работает не только с десятичными числами, но и с дробями. Для ввода дроби нужно в исходные матрицы и вводить числа в виде a или a/b, где a и b целые или десятичные числа (b положительное число). Например 12/67, -67.78/7.54, 327.6, -565.

Кнопка в верхем левом углу матрицы открывает меню (Рис.1) для преобразования исходной матрицы (создание единичной матрицы , нулевой матрицы , очищать содержимое ячеек ) и т.д.

Рис.1

При вычислениях пустая ячейка воспринимается как нуль.

Для операций с одной матрицей (т.е. транспонирование, обратное, псевдообратное, скелетное разложение и т.д.) сначала выбирается конкретная матрица с помощью радиокнопки .

Кнопки Fn1, Fn2 и Fn3 переключают разные группы функциий.

Нажимая на вычисленных матрицах открывается меню (Рис.2), что позволяет записать данную матрицу в исходные матрицы и , а также преобразовать на месте элементы матрицы в обыкновенную дробь, смешанную дробь или в десятичное число.

Рис.2

Вычисление суммы, разности, произведения матриц онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить сумму, разность или произведение матриц. Для вычисления суммы или разности матриц, необходимо, чтобы они были одинаковой размерности, а для вычисления произведения матриц, количество столбцов первой матрицы должен быть равным количеству строк второй матрицы.

Для вычисления суммы, разности или произведения матриц:

Введите размерности матриц и .

Введите элементы матриц.

Нажмите на кнопку «A+B «,»A-B» или «A×B».

Вычисление обратной матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить обратную матрицу. Для того, чтобы существовала обратная матрица, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.

Для вычисления обратной матрицы:

Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .

Введите размерность матрицы .

Введите элементы матрицы.

Нажмите на кнопку «обратное «.

Для подробного вычисления обратной матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления обратной матрицы. Теорию вычисления обратной матрицы смотрите здесь.

Вычисление определителя матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить определитель матрицы. Для того, чтобы существовал определитель матрицы, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.

Для вычисления определителя матрицы:

Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .

Введите размерность матрицы .

Введите элементы матрицы.

Нажмите на кнопку «определитель «.

Для подробного вычисления определителя матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления определителя матрицы. Теорию вычисления определителя матрицы смотрите здесь.

Вычисление ранга матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить ранг матрицы.

Для вычисления ранга матрицы:

Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .

Введите размерность матрицы .

Введите элементы матрицы.

Нажмите на кнопку «ранг «.

Для подробного вычисления ранга матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления ранга матрицы. Теорию вычисления ранга матрицы смотрите здесь.

Вычисление псевдообратной матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить псевдообратную матрицу. Псевдообратная к данной матрице всегда существует.

Для вычисления псевдообратной матрицы:

Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .

Введите размерность матрицы.

Введите элементы матрицы.

Нажмите на кнопку «псевдообратное «.

Удаление линейно зависимых строк или столбцов матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятор позволяет удалить из матрицы линейно зависимые строки или столбцы, т.е. создать матрицу полного ранга.

Для удаления линейно зависимых строк или столбцов матрицы:

Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .

Введите размерность матрицы.

Введите элементы матрицы.

Нажмите на кнопку «полный ранг строк » или «полный ранг столбцов».

Скелетное разложение матрицы онлайн

Для проведения скелетного разложения матрицы онлайн

Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .

Введите размерность матрицы.

Введите элементы матрицы.

Нажмите на кнопку «скелетное разложение «.

Решение матричного уравнения или системы линейных уравнений AX=B онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно решить матричное уравнение AX=B по отношению матрицы X. В частном случае, если матрица B является вектор-столбцом, то X , будет решением системы линейных уравнений AX=B.

Для решения матричного уравнения:

Введите размерности матриц и .

Введите элементы матриц.

Нажмите на кнопку «решение AX=B».

Учтите, что матрицы и должны иметь равное количество строк .

Исключение Гаусса или приведение матрицы к треугольному (ступенчатому) виду онлайн

Матричный онлайн калькулятор проводит исключение Гаусса как для квадратных матриц, так и прямоугольных матриц любого ранга. Сначала проводится обычный метод Гаусса. Если на каком то этапе ведущий элемент равен нулю, то выбирается другой вариант исключения Гаусса с выбором наибольшего ведущего элемента в столбце.

Для исключения Гаусса или приведения матрицы к треугольному виду

Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .

Задайте размерность матрицы.

Введите элементы матрицы.

Нажмите на кнопку «Треугольный вид».

LU-разложение или LUP-разложение матрицы онлайн

Данный матричный калькулятор позволяет проводить LU-разложение матрицы (A=LU) или LUP-разложение матрицы (PA=LU), где L нижняя треугольная матрица, U-верхняя треугольная (трапециевидная) матрица, P- матрица перестановок. Сначала программа проводит LU разложение, т.е. такое разложение , при котором P=E, где E-единичная матрица (т.е. PA=EA=A). Если это невозможно, то проводится LUP-разложение. Матрица A может быть как квадратной, так и прямоугольной матрицей любого ранга.

Для LU(LUP)-разложения:

Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .

Задайте размерность матрицы.

Введите элементы матрицы.

Нажмите на кнопку «LU-разложение».

Построение ядра (нуль-пространства) матрицы онлайн

С помощью матричного калькулятора можно построить нуль-пространство (ядро) матрицы.

Для построения нуль-пространства (ядра) матрицы:

Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .

Задайте размерность матрицы.

Введите элементы матрицы.

Нажмите на кнопку «ядро (·)».

Ортогонализация Грамма-Шмидта и Ортонормализация Грамма-Шмидта онлайн

С помощью матричного калькулятора можно сделать ортогонализацию и ортонормализацию Грамма-Шмидта матрицы онлайн.d, А b, как известно, находится внутри подпространства.
Я думал использовать инструменты, поставляемые с numpy, однако они работают только с квадратными матрицами. У меня был подход заполнения матрицы некоторыми линейно независимыми векторами, чтобы «square» ее, а затем решить, но я не мог понять, как выбрать эти векторы так, чтобы они были линейно независимы от базисных векторов, плюс я думаю, что это не единственный подход, и мне не хватает чего-то, что может сделать это проще.
действительно ли существует более простой подход, чем тот, о котором я упоминал? если нет, то как же мне выбрать те векторы, которые завершили бы A в квадратную матрицу?

python

numpy

matrix

Поделиться

Источник

Ron Tubman

23 сентября 2017 в 07:49

2 ответа

Ax=B решите с помощью boost 1_58 для разреженной матрицы

Я пытаюсь изучать boost.2.

Уравнение может быть недо-, хорошо — или завышено (т. е. число линейно независимых строк а может быть меньше, равно или больше числа его линейно независимых столбцов). Если a квадрат и имеет полный ранг, то x (но для ошибки округления) является решением уравнения “exact”.

(жирная аннотация мной)

Это также упоминается в документах оригинала np.linalg.solve :

a должен быть квадратным и иметь полный ранг, то есть все строки (или, что эквивалентно, столбцы) должны быть линейно независимыми; если ни то, ни другое не верно, используйте lstsq для наименьших квадратов best “solution” из system/equation.

Поделиться

sascha

23 сентября 2017 в 11:24

1

Если у вас меньше уравнений, чем неизвестных (предполагая, что вы собирались ввести n < d), вы не ожидаете уникального решения.T, что дает вам одно решение.

Ваше окончательное решение будет тем, которое вы нашли, плюс линейные комбинации базисных векторов нулевого пространства A.

Чтобы найти базисные векторы нулевого пространства A, извлеките столбцы j из Матрицы V, соответствующие сингулярным значениям s_j из Матрицы S, которые равны нулю (или ниже некоторого порога «small»).

Вы можете довольно легко реализовать этот последний бит в Python, используя для циклов & операторы if-тяжелая работа — это сама декомпозиция. Превосходные численные рецепты Press et al охватывают линейную алгебру в главе 2 (свободно доступная версия численных рецептов в C здесь и здесь ). у них есть отличная презентация SVD, которая объясняет как теорию SVD, так и то, как это переводится в алгоритмы (в основном фокусируясь на том, как использовать результат SVD). Они предоставляют объект SVD, который имеет больше функциональности, чем numpy.linalg.svd , но, как уже упоминалось, основная функциональность — это фактическая декомпозиция, и делать такие вещи, как получение базисных векторов nullspace, — это просто одеваться для циклов и операторов if, работающих на U, S и V.

Поделиться

charlesreid1

23 сентября 2017 в 08:16

Похожие вопросы:

Решение Ax=B с использованием LAPACK, где x >= 0

В настоящее время я работаю над приложением iOS, которое обрабатывает химические добавки в воду. Чтобы найти наименьшие возможные дополнения, я решаю Ax=B, где A-матрица 6×6, А B-один столбец….

Решение (плотной) линейной системы Ax=b с использованием boost

У меня есть плотная система уравнений типа Ax=b для решения в моей программе C++, и я надеялся реализовать решение с помощью UBLAS в boost. В некоторых других вопросах я обнаружил, что люди…

Решение плотных линейных систем AX = B с CUDA

Могу ли я использовать новую библиотеку cuSOLVER (CUDA 7) для решения линейных систем вида AX = B где A , X и B -плотные матрицы NxN ?

Ax=B решите с помощью boost 1_58 для разреженной матрицы

Я пытаюсь изучать boost. Я хочу просто посмотреть пример, как решить линейное уравнение Ax=B для разреженной матрицы. Я видел пример использования umfpack, но в версии boost 1_58 нет umfpack, и я…

Диагонали в неквадратичной матрице-python

В предыдущем вопросе я нашел способ получить все диагонали из квадратной матрицы. Это мой код: diags=[[s[y-x][x] for x in range(n) if 0<=y-x<n] for y in range(2*n-1)] Например, у меня есть…

Пикалман с неквадратичной матрицей наблюдения

В документации Pykalman говорится, что он принимает только квадратные матрицы для Аргументов observation_matrices и transition_matrices . Есть ли способ обойти это? Я должен оценить систему…

Numpy — найти произведение Ax=b пользовательской матрицы A nxn и B nx1

Хочу найти x , из Ax=b .First всего я объявил две матрицы , A которых является nxn и B nx1 . Их формулы можно увидеть ниже. для: а для б : Матрицы могут принимать любые n . В моем коде я даю ему…

Python: решение матричного уравнения Ax = b, где A содержит переменные

Я надеюсь решить матричное уравнение вида Ax = b, где A = [[a,0,0], [0,a,0], [0,0,a], [1,1,0], [0,0,1]] x = [b,c,d] b = [0.4,0.4,0.2,0.1,0.05] Если бы я знал значение a , я бы сделал это с помощью…

MemoryError на dask.linalg.solve(A, b) для решения Ax = b

Я хочу решить уравнение Ax=b с большой, симметричной, плотной матрицей A (>100 ГБ). Я пробую Dask, потому что он должен быть хорошим высоким уровнем API для python для работы с большими данными. Это…

Как решить уравнение AX = B с Python (NumPy, SciPy и т. д.), где A, X, B-матрицы и все элементы X должны быть неотрицательными

Мне нужно решить уравнение AX = B, используя Python, где A, X, B-матрицы, и все значения X должны быть неотрицательными. Лучшее решение, которое я нашел, это X = np.linalg.lstsq(A, B, rcond=None) но…

Матричные уравнения и их решение

Определение и формулы матричных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матричным уравнением называется уравнение, состоящее из нескольких матриц-коэффициентов и неизвестной матрицы

Простейшим матричным уравнением есть уравнение вида или ,

где — матрицы.

Алгоритм решения матричных уравнений

1. Матричное уравнение приводится к одному из простейших уравнений:

или

где — известные матрицы, — искомая (неизвестная) матрица.

ЗАМЕЧАНИЕ

Существует также уравнение вида , но оно является комбинацией методов решения двух первых указанных простейших уравнений.

Чтобы привести произвольное матричное уравнение к одному из видов (1), надо все известные матрицы по свойствам уравнений перенести вправо, а неизвестную матрицу в левой части и свести подобные.

2. Разрешаем полученное простейшее уравнение относительно неизвестной матрицы .

2.1 Если в результате преобразований получили простейшее уравнение , то необходимо левую и правую часть этого равенства слева умножить на обратную матрицу к матрице :

ЗАМЕЧАНИЕ

Поскольку умножение матриц некоммутативно, то нужно строго соблюдать умножение слева или справа, иначе это влияет на результат.

2.2 Для простейшего уравнения после умножения справа на обратную матрицу получаем:

ЗАМЕЧАНИЕ

Обратная матрица находится либо методом союзной матрицы, либо методом присоединенной матрицы.

3. Далее вычисляется одно из произведений или , что и определяет искомую матрицу.

4. Делаем проверку, для этого подставляем найденную матрицу в исходное уравнение.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ответов на викторину 1-4

ответов на викторину 1-4

ответов на вопросы викторины 1-4

Вопрос 1. Вектор b — это линейная комбинация столбцов матрицы.
A есть и только тогда, когда уравнение Ax = b имеет хотя бы одно решение.

Ответ: Верно. Это два способа сказать одно и то же.

Вопрос 2. Уравнение Ax = b непротиворечиво, если расширенная матрица
[A b] имеет позицию поворота в каждой строке.м
находится в промежутке столбцов, что является другим способом сказать, что любой b является
линейная комбинация столбцов. Тогда уравнение непротиворечиво (см. Вопрос
1).

Вопрос 4 . Если уравнение Ax = b несовместимо, то b не входит в
набор, охваченный столбцами A.

Ответ: Верно.

Вопрос 5. Множество решений линейной системы, расширенная матрица которой
is [a b c d] то же самое, что и множество решений Ax = d, где A = [a b c].4. Что из следующего верно?

Ответ: Пусть x = x1 + x2. Тогда Ax = A (x1 + x2) = Ax1 + Ax2 = y1 + y2 на
дистрибутивность умножения матриц (см. задачу 35). Таким образом, x является
решение Ax = y, без дополнительной информации. Однако x не обязательно
общее решение, поскольку Ax = y может иметь бесконечное число решений.

Назад к математике 308A, неделя 2, стр.

% PDF-1.4
%
1 0 объект
> / MediaBox [0 0 362.835 272,126] / Аннотации [121 0 R 123 0 R 125 0 R 127 0 R 129 0 R 131 0 R 133 0 R 135 0 R 137 0 R 139 0 R 141 0 R 143 0 R 145 0 R 147 0 R 149 0 R 151 0 R 153 0 R 155 0 R 157 0 R 159 0 R] / Повернуть 0 >>
эндобдж
2 0 obj
> / Родительский 6 0 R / Содержание [161 0 R 162 0 R] / Тип / Страница / Ресурсы 163 0 R / Trans> / MediaBox [0 0 362.835 272.126] / Аннотации [204 0 R 206 0 R 208 0 R 210 0 R 212 0 R 214 0 R 216 0 R 218 0 R 220 0 R 222 0 R 224 0 R 226 0 R 228 0 R 230 0 R 232 0 R 234 0 R 236 0 R 238 0 R 240 0 R 242 0 R] / Повернуть 0 >>
эндобдж
3 0 obj
> / MediaBox [0 0 362.835 272.126] / Аннотации [266 0 R 268 0 R 270 0 R 272 0 R 274 0 R 276 0 R 278 0 R 280 0 R 282 0 R 284 0 R 286 0 R 288 0 R 290 0 R 292 0 R 294 0 R 296 0 R 298 0 R 300 0 R 302 0 R 304 0 R] / Повернуть 0 >>
эндобдж
4 0 obj
> / MediaBox [0 0 362,835 272,126] / Аннотации [347 0 349 р. 351 0 р. 353 0 р. 355 0 р. 357 0 р. 359 0 р. 361 0 р. 363 0 р. 365 0 р. 367 0 р. 369 0 р. 371 0 R 373 0 R 375 0 R 377 0 R 379 0 R 381 0 R 383 0 R 385 0 R] / Повернуть 0 >>
эндобдж
5 0 obj
> / MediaBox [0 0 362,835 272,126] / Аннотации [428 0 430 р. 432 0 р. 434 0 р. 436 0 р. 438 0 р. 440 0 р. 442 0 р. 444 0 р. 446 0 р. 448 0 р. 450 0 р. 452 0 R 454 0 R 456 0 R 458 0 R 460 0 R 462 0 R 464 0 R 466 0 R 468 0 R] / Повернуть 0 >>
эндобдж
11 0 объект
>
эндобдж
16 0 объект
>
эндобдж
20 0 объект
>
эндобдж
22 0 объект
>
эндобдж
23 0 объект
>
эндобдж
25 0 объект
>
эндобдж
26 0 объект
>
эндобдж
27 0 объект
>
эндобдж
28 0 объект
>
эндобдж
30 0 объект
>
эндобдж
31 0 объект
>
эндобдж
33 0 объект
>
эндобдж
34 0 объект
>
эндобдж
36 0 объект
>
эндобдж
470 0 объект
> / Родительский 471 0 R / Содержание [662 0 R] / Тип / Страница / Ресурсы 663 0 R / MediaBox [0 0 524.16 651.96] / Аннотации [701 0 R 704 0 R] / Повернуть 0 >>
эндобдж
471 0 объект
>
эндобдж
472 0 объект
>
эндобдж
473 0 объект
>
эндобдж
474 0 объект
>
эндобдж
475 0 объект
>
эндобдж
476 0 объект
>
эндобдж
477 0 объект
>
эндобдж
478 0 объект
>
эндобдж
479 0 объект
>
эндобдж
480 0 объект
>
эндобдж
481 0 объект
>
эндобдж
482 0 объект
>
эндобдж
483 0 объект
>
эндобдж
484 0 объект
>
эндобдж
485 0 объект
>
эндобдж
486 0 объект
>
эндобдж
487 0 объект
>
эндобдж
488 0 объект
>
эндобдж
489 0 объект
>
эндобдж
490 0 объект
>
эндобдж
491 0 объект
>
эндобдж
492 0 объект
>
эндобдж
493 0 объект
>
эндобдж
494 0 объект
>
эндобдж
495 0 объект
>
эндобдж
496 0 объект
>
эндобдж
497 0 объект
>
эндобдж
498 0 объект
>
эндобдж
499 0 объект
>
эндобдж
500 0 объект
>
эндобдж
501 0 объект
>
эндобдж
502 0 объект
>
эндобдж
503 0 объект
>
эндобдж
504 0 объект
>
эндобдж
505 0 объект
>
эндобдж
506 0 объект
>
эндобдж
507 0 объект
>
эндобдж
508 0 объект
>
эндобдж
509 0 объект
>
эндобдж
510 0 объект
>
эндобдж
511 0 объект
>
эндобдж
512 0 объект
>
эндобдж
513 0 объект
>
эндобдж
514 0 объект
>
эндобдж
515 0 объект
>
эндобдж
516 0 объект
>
эндобдж
517 0 объект
>
эндобдж
518 0 объект
>
эндобдж
519 0 объект
>
эндобдж
520 0 объект
>
эндобдж
521 0 объект
>
эндобдж
522 0 объект
>
эндобдж
523 0 объект
>
эндобдж
524 0 объект
>
эндобдж
525 0 объект
>
эндобдж
526 0 объект
>
эндобдж
527 0 объект
>
эндобдж
528 0 объект
>
эндобдж
529 0 объект
>
эндобдж
530 0 объект
>
эндобдж
531 0 объект
>
эндобдж
532 0 объект
>
эндобдж
533 0 объект
>
эндобдж
534 0 объект
>
эндобдж
535 0 объект
>
эндобдж
536 0 объект
>
эндобдж
537 0 объект
>
эндобдж
538 0 объект
>
эндобдж
539 0 объект
>
эндобдж
540 0 объект
>
эндобдж
541 0 объект
>
эндобдж
542 0 объект
>
эндобдж
543 0 объект
>
эндобдж
544 0 объект
>
эндобдж
545 0 объект
>
эндобдж
546 0 объект
>
эндобдж
547 0 объект
>
эндобдж
548 0 объект
>
эндобдж
549 0 объект
>
эндобдж
550 0 объект
>
эндобдж
551 0 объект
>
эндобдж
552 0 объект
>
эндобдж
553 0 объект
>
эндобдж
554 0 объект
>
эндобдж
555 0 объект
>
эндобдж
556 0 объект
>
эндобдж
557 0 объект
>
эндобдж
558 0 объект
>
эндобдж
559 0 объект
>
эндобдж
560 0 объект
>
эндобдж
561 0 объект
>
эндобдж
562 0 объект
>
эндобдж
563 0 объект
>
эндобдж
564 0 объект
>
эндобдж
565 0 объект
>
эндобдж
566 0 объект
>
эндобдж
567 0 объект
>
эндобдж
568 0 объект
>
эндобдж
569 0 объект
>
эндобдж
570 0 объект
>
эндобдж
571 0 объект
>
эндобдж
572 0 объект
>
эндобдж
573 0 объект
>
эндобдж
574 0 объект
>
эндобдж
575 0 объект
>
эндобдж
576 0 объект
>
эндобдж
577 0 объект
>
эндобдж
578 0 объект
>
эндобдж
579 0 объект
>
эндобдж
580 0 объект
>
эндобдж
581 0 объект
>
эндобдж
582 0 объект
>
эндобдж
583 0 объект
>
эндобдж
584 0 объект
>
эндобдж
585 0 объект
>
эндобдж
586 0 объект
>
эндобдж
587 0 объект
>
эндобдж
588 0 объект
>
эндобдж
589 0 объект
>
эндобдж
590 0 объект
>
эндобдж
591 0 объект
>
эндобдж
592 0 объект
>
эндобдж
593 0 объект
>
эндобдж
594 0 объект
>
эндобдж
595 0 объект
>
эндобдж
596 0 объект
>
эндобдж
597 0 объект
>
эндобдж
598 0 объект
>
эндобдж
599 0 объект
>
эндобдж
600 0 объект
>
эндобдж
601 0 объект
>
эндобдж
602 0 объект
>
эндобдж
603 0 объект
>
эндобдж
604 0 объект
>
эндобдж
605 0 объект
>
эндобдж
606 0 объект
>
эндобдж
607 0 объект
>
эндобдж
608 0 объект
>
эндобдж
609 0 объект
>
эндобдж
610 0 объект
>
эндобдж
611 0 объект
>
эндобдж
612 0 объект
>
эндобдж
613 0 объект
>
эндобдж
614 0 объект
>
эндобдж
615 0 объект
>
эндобдж
616 0 объект
>
эндобдж
617 0 объект
>
эндобдж
618 0 объект
>
эндобдж
619 0 объект
>
эндобдж
620 0 объект
>
эндобдж
621 0 объект
>
эндобдж
622 0 объект
>
эндобдж
623 0 объект
>
эндобдж
624 0 объект
>
эндобдж
625 0 объект
>
эндобдж
626 0 объект
>
эндобдж
627 0 объект
>
эндобдж
628 0 объект
>
эндобдж
629 0 объект
>
эндобдж
630 0 объект
>
эндобдж
631 0 объект
>
эндобдж
632 0 объект
>
эндобдж
633 0 объект
>
эндобдж
634 0 объект
>
эндобдж
635 0 объект
>
эндобдж
636 0 объект
>
эндобдж
637 0 объект
>
эндобдж
638 0 объект
>
эндобдж
639 0 объект
>
эндобдж
640 0 объект
>
эндобдж
641 0 объект
>
эндобдж
642 0 объект
>
эндобдж
643 0 объект
>
эндобдж
644 0 объект
>
эндобдж
645 0 объект
>
эндобдж
646 0 объект
>
эндобдж
647 0 объект
>
эндобдж
648 0 объект
>
эндобдж
649 0 объект
>
эндобдж
650 0 объект
>
эндобдж
651 0 объект
>
эндобдж
652 0 объект
>
эндобдж
653 0 объект
>
эндобдж
654 0 объект
>
эндобдж
655 0 объект
>
эндобдж
656 0 объект
>
эндобдж
657 0 объект
>
эндобдж
658 0 объект
>
эндобдж
659 0 объект
>
эндобдж
660 0 объект
>
эндобдж
661 0 объект
>
эндобдж
662 0 объект
> поток

конечный поток
эндобдж
663 0 объект
> / XObject> / ProcSet [/ PDF / ImageB] >>
эндобдж
664 0 объект
>
эндобдж
665 0 объект
>
эндобдж
17 0 объект
>
эндобдж
19 0 объект
>
эндобдж
666 0 объект
>
эндобдж
667 0 объект
>
эндобдж
668 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
669 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
670 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
671 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
672 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
673 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
674 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
675 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
676 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
677 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
678 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
679 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
680 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
681 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
682 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
683 0 объект
> / Тип / XObject / Subtype / Image / ColorSpace / DeviceGray / Ширина 1456 / BitsPerComponent 1 / Длина 3 / Высота 1811 >> поток
123
конечный поток
эндобдж
684 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
685 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
686 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
687 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
688 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
689 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
690 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
691 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
692 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
693 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
694 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
695 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
696 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
697 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
698 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
699 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
700 0 объект
> поток
123
конечный поток
эндобдж
701 0 объект
> / Подтип / Ссылка / Прямоугольник [51.2173 254,689 83,9092 282,988] / M (D: 20120116134744 + 08’00 ‘) / AP> / H / N / P 470 0 R >>
эндобдж
702 0 объект
>
эндобдж
703 0 объект
> поток
x

линейная алгебра — Как приблизить решение матричного уравнения?

Я хочу кое-что исправить в ответах Антона и las3rjock. Надеюсь, я просто исправляю плохие обозначения.

Способ найти x ‘(используя обозначения в вопросе), как правильно указано в каждом из приведенных выше ответов, состоит в том, чтобы получить связанную проблему A ^T Ax’ = A ^T b и решить ее с помощью исключения Гаусса (также называется методом исключения Гаусса-Джордана, здесь разница техническая и не важна).Это гарантированно найдет решение.

Тот факт, что это правильное решение проблемы, зависит от свойств «ближайшей точки» точки к подпространству. Нам нужна ближайшая к b точка на подпространстве Im A. Назовем это b ‘. Свойства «ближайшей точки» подразумевают, что разница , b — b ‘ортогональна всему в Im A. Просто нарисовать картинку, чтобы убедиться, что если c находится в Im A, а b — c равно не ортогонален всему в Im A, тогда можно немного «подтолкнуть» ca, либо в сторону, либо в сторону начала координат, к c ‘, так что b — c’ короче, чем b — c.

Итак, b — b ‘ортогонален всему в Im A. Поскольку быть ортогональным чему-либо является линейным условием, достаточно проверить, что b — b’ ортогонален остовному множеству для Im A, для которого мы можем взять столбцы A. Поскольку мы используем стандартный внутренний продукт, это означает, что для каждого столбца, скажем, a из A, a ^T (b — b ‘) = 0. Соединяя их вместе, мы получаем соотношение A ^T (b — b ‘) = 0. Поскольку b’ находится в образе A, существует некоторый x ‘такой, что b’ = A x ‘, откуда мы видим, что x’ удовлетворяет A ^T b — A ^T A x ‘= 0, и при перестановке получите желаемую формулу.Это также гарантирует существование решения этого уравнения.

Используя тот факт, что ближайшая точка — это уникальная точка b ‘в Im A, такая, что b — b’ ортогональна всему в Im A, мы можем запустить этот аргумент в обратном порядке, чтобы увидеть, что если x ‘является решением A ^T A x ‘= A ^T b, тогда Ax’ — ближайшая точка к b в Im A.

В тех случаях, когда приведенные выше ответы ошибаются, следует говорить о матрице (A ^T A) ^-1 A ^T.Проблема заключается в том, что A ^T A может не быть обратимым (примите A как матрицу нулей 2 на 3). Существует матрица, которая , когда A ^T A обратима, равна (A ^T A) ^-1 A ^T, и это называется псевдообратной. По сути, A ^T пропускает ядро A ^T A, что означает, что состав всегда четко определен, но он может быть не разложимым, как следует из обозначений.

Это обозначение может быть стандартным, чего я не знаю, но если это так, то это плохое обозначение, потому что оно предполагает свойство, которое может не соблюдаться.По крайней мере, на нем всегда должен находиться всадник, чтобы дать понять, что обозначения носят лишь намекающий характер и не должны восприниматься буквально.

Матричное уравнение Ax = b | StudyPug

Матричное уравнение Ax = b

Что такое матричное уравнение

Из курсов алгебры мы знаем, что определение уравнения — это просто «равенство». Таким образом, уравнение — это математическое выражение, которое содержит знак равенства внутри, определяя как минимум два выражения как равные с использованием одной или нескольких переменных вместе с числовыми значениями (в зависимости от необходимости).Переменные, включенные в такие выражения, также можно назвать неизвестными, и мы решаем их, находя числовые значения, которые делают всю связь уравнения истинной.

Итак, в чем будет разница между регулярным уравнением и матричным уравнением? На самом деле это просто связано с типом обозначений, которые вы используете при написании уравнения. Типичное уравнение записывается в виде алгебраического выражения, а именно: просто коэффициенты и переменные, определяющие математическую связь. Но мы уже видели другой тип уравнения на прошлых уроках: векторное уравнение, и, если вы помните из нашего последнего урока этого курса, векторное уравнение — это уравнение, в котором вы можете выделить все коэффициенты в системе уравнений, которые связаны между собой. для каждой переменной (ниже будет пример этого, или вы можете просто вернуться к уроку о линейных комбинациях и векторных уравнениях в Rn, если вам нужен обзор).

Итак, матричное уравнение — это уравнение, в котором используются обозначения матриц для выражения отношения между его коэффициентами и его переменными. Как вы увидите на этом уроке, матричное уравнение может одновременно представлять более одного простого алгебраического уравнения, и для этого мы обычно используем их для представления систем уравнений.

Как делать матричные уравнения

Поскольку матричное уравнение обычно представляет собой умножение матриц (как вы увидите ниже, некоторые из них являются векторами, некоторые из них являются матрицами коэффициентов), первое, что нам нужно узнать, это как работать и каковы свойства умножения матриц. .
Хотя мы подробно рассмотрим матричное умножение и его свойства в последующих уроках, суть операции видна на следующей диаграмме:

Уравнение 1: умножение матриц

Обратите внимание, как при умножении матриц первый фактор (матрица слева) должен содержать такое же количество столбцов, что и количество строк, найденных во втором множителе (матрица справа при умножении), чтобы быть выполнимым. В зависимости от проблемного случая, который вы пытаетесь решить, умножение матриц упрощает работу с системами уравнений и векторов, поскольку у вас есть упорядоченный способ управления коэффициентом за коэффициентом и переменной за переменной на этом пути.Давайте поработаем над следующими тремя простыми примерами умножения матриц, прежде чем продолжить наш урок:

Пример 1

Вычислите следующее матричное умножение:

Уравнение 2: умножение матриц

Уравнение 3: Выполнение матричного умножения

Пример 2

Вычислите следующее матричное умножение:

Уравнение 4: умножение матриц

Уравнение 5: Выполнение матричного умножения

Пример 3

Вычислите следующее матричное умножение:

Уравнение 6: умножение матриц

Это конкретное умножение не может быть выполнено, поскольку в первой матрице нет того же количества столбцов, что и строк во второй.Обязательно отметим, что это свойство умножения матриц делает его некоммутативным. Другими словами, вы не можете поменять порядок, в котором вы умножаете матрицы, и ожидать получения того же результата, в некоторых случаях вы даже не сможете получить результат, если поменяете их порядок. Возьмите случаи в примерах 1 и 2, если вы поменяете порядок, в котором умножаются матрицы, вы закончите умножениями, в которых первая матрица содержит только один столбец, а вторые матрицы будут иметь несколько строк, поэтому вы не сможете для выполнения этих умножений, в то время как у вас не было проблем с выполнением умножений, как они есть сейчас.

Тогда для матричного уравнения мы обычно находим случай, когда матрица коэффициентов (матрица только с числовыми значениями, называемая коэффициентами, потому что они могут представлять коэффициенты из системы линейных уравнений) умножается на вектор-столбец (обычно только содержащий определенные переменные, но он также может содержать коэффициенты). Давайте возьмем в качестве примера задачу, которую мы видели в нашем последнем уроке, мы начнем с системы линейных уравнений ниже:

Уравнение 7: Система линейных уравнений

, для которого мы можем получить его векторное уравнение и расширенную матрицу:

Уравнение 8: векторное уравнение для расширенной матрицы

Где расширенная матрица — это представление такого векторного уравнения, где вертикальная линия представляет знак равенства.Значения в каждом столбце расширенной матрицы слева от вертикальной линии представляют коэффициенты для каждой переменной в системе линейных уравнений, так что (помните, что имя, которое вы даете переменным, не имеет значения):

Уравнение 9: Расширенная матрица из уравнения 8

Итак, матричное уравнение, которое эквивалентно такой расширенной матрице, выглядит следующим образом:

Уравнение 10: Матричное уравнение

Такое матричное уравнение имеет вид Ax = b! Давайте перейдем к следующему разделу, чтобы объяснить это более подробно.{n} Rn, то произведение A и x представляет собой линейную комбинацию столбцов в A с использованием соответствующих записей в x в качестве весов. Другими словами:

Уравнение 11: Определение матричного уравнения Ax = b

Где b = a1x1 + … + xnana_1x_1 + … + x_n a_n a1 x1 + … + xn an. Обратите внимание, что x соответствует вектору-столбцу, а A — матрице коэффициентов. Используя уравнение 10 в качестве примера для определения частей матрицы уравнения:

Уравнение 12: части матричного уравнения

И, как вы, возможно, уже догадались, важность матричного уравнения Ax = b состоит в том, чтобы предоставить способ решения для x (или, лучше сказать, для переменных в векторе-столбце x), что можно легко сделать, используя три типы матричных операций со строками и метод решения линейной системы с матрицами методом исключения Гаусса.

Здесь вы, возможно, уже заметили, что приведенные выше примеры 1, 2 и 3 являются частями матричного уравнения Ax = b, они фактически являются примерами его левой части: только умножение Ax. Теперь мы знаем, как выполнять такие простые матричные умножения и когда они не могут быть выполнены, поэтому пришло время поработать над упражнениями, в которых мы можем увидеть матричное уравнение, уже связанное с системами линейных уравнений, например, в уравнениях с 7 по 10.

Прежде чем мы перейдем к следующему разделу, где мы начнем практиковать методологию решения матричного уравнения, описанного выше, нам необходимо знать несколько его свойств.{n} Rn, и c — скаляр, тогда:

A (u + v) = Au + AvA \ слева (u + v \ right) = Au + Av A (u + v) = Au + Av

A (cu) = c (Au) A \ left (cu \ right) = c \ left (Au \ right) A (cu) = c (Au)

Используйте такие свойства при работе с матричными уравнениями, сокращении и решении расширенной матрицы для нахождения x или любых других требуемых процессов, которые будут показаны в методах ниже.

Как решить систему уравнений с помощью матрицы

Давайте проработаем несколько различных упражнений, в которых мы поймем, как матричные уравнения полезны при работе с системами линейных уравнений.Принцип, на котором основано использование матрицы для решения системы уравнений, заключается в том, что каждое матричное уравнение Ax = b соответствует векторному уравнению, которое случайно совпадает по своим решениям, поэтому мы можем связать их как систему различных алгебраических выражений с разными переменными.

Пример 4

Мы начинаем с преобразования системы уравнений ниже в векторное уравнение, а затем в матричное уравнение.

Уравнение 12: Система линейных уравнений

Векторное уравнение можно легко записать, разделив все различные переменные (вместе с их коэффициентами) в уравнениях и превратив их в распределение векторов-столбцов.Это векторное уравнение затем может быть преобразовано в расширенную матрицу, которая, наконец, заставит нас написать матричное уравнение само по себе. Подсказка: выполните шаги, описанные в уравнениях с 7 по 10, поскольку это точно такой же процесс, как и здесь. Как видите, здесь мы пропустили шаги, но вы можете увидеть их, следуя предложенным уравнениям или просматривая видеоролики, которые являются частью нашего урока. Результаты:

Уравнение 13: векторное уравнение и матричное уравнение в форме Ax = b из системы линейных уравнений выше

Пример 5

В предыдущем примере мы говорили о том, как мы можем также написать расширенную матрицу либо из системы алгебраических линейных уравнений, либо даже имея компоненты из матричного уравнения Ax = b.Для этого примера у нас будут такие два компонента (матрица A и b), как показано ниже:

Уравнение 14: Компоненты A и b из матричного уравнения Ax = b

Напишите расширенную матрицу для линейной системы, затем решите систему и запишите решение в виде вектора. Начнем с написания матричного уравнения Ax = b для формирования расширенной матрицы:

Уравнение 15: Матричное уравнение в виде Ax = b

Обратите внимание, что для того, чтобы узнать, сколько записей будет у x, мы использовали правило, описанное в уравнении 1 для умножения матриц.Другими словами, если A имеет два столбца, мы знаем, что x ДОЛЖЕН иметь две строки. Кроме того, если размеры mxn для A равны 2×2, а размеры b равны 2×1, что является комбинацией размеров A и x, тогда x ДОЛЖЕН иметь размеры 2×1. Итак, расширенная матрица выглядит следующим образом:

Уравнение 16: Создание расширенной матрицы

Теперь, чтобы решить матричное уравнение Ax = b с помощью этой расширенной матрицы, нам нужно решить его с помощью редукции строк и эшелонированных форм. Итак, процесс идет как:

Уравнение 17: Решение системы за счет уменьшения количества строк

И окончательный ответ в векторной форме:

Уравнение 18: Конечный вектор

Решите матричное уравнение ax b относительно x

Процесс, который мы видели до сих пор в примере 5, начиная с A и b, является общим процессом, которому мы следуем для решения матричного уравнения относительно x.Давайте рассмотрим еще один пример:

Пример 6

Запишите расширенную матрицу для линейной системы, предоставленной A и b, затем решите систему и запишите решение в виде вектора.
Имея:

Уравнение 19: Компоненты A и b из матричного уравнения Ax = b

Запишем матричное уравнение, а затем его расширенную матричную форму:

Уравнение 20: матричное уравнение в форме Ax = b и соответствующая расширенная матрица

Решаем расширенную матрицу сверху через сокращение строки:

Уравнение 21: Решение системы за счет сокращения строк

И последний вектор x:

Уравнение 22: Конечный вектор

Пример 7

Для этого примера мы решим матричное уравнение с учетом значений A и b ниже:

Уравнение 23: A и b для решения матричного уравнения

Обратите внимание, как здесь мы находимся в необходимости решить уравнение, не зная записей значений для b, и поэтому, как мы с этим работаем? Начнем с написания матричного уравнения:

Уравнение 24: Матричное уравнение

Чтобы получить значения b, при которых это уравнение имеет решение, нам нужно преобразовать уравнение в расширенную матричную форму, а затем получить его сокращенную эшелонную форму:

Уравнение 25: Исключение Гаусса-Жордана до приведенной формы эшелона

На этом остановимся, потому что мы нашли условие решения этого уравнения: только при 3b1 + b23b_1 + b_2 3b1 + b2 = 0 матричное уравнение имеет решение, если 3b1 + b23b_1 + b_2 3b1 + b2 Если бы оно было отличным от нуля, то это привело бы к уравнению 0 = любая ненулевая константа, что несовместимо! Итак, на данный момент у нас осталось только одно уравнение (которое является первой строкой расширенной матрицы) для решения нескольких неизвестных! Таким образом, мы пока не можем вычислить конкретное окончательное решение этого уравнения, НО решения существуют! Фактически существует бесконечно много решений для этого уравнения, пока выполняется условие.

Итак, вот как мы завершаем наш урок на сегодня. Мы предлагаем вам просмотреть все видео, включенные в урок, поскольку последняя часть включает доказательство свойств матричного уравнения Ax = b.

На данный момент мы рекомендуем вам посетить следующее резюме урока, содержащее раздел о матричном уравнении Ax = b, а также этот конкретный урок об обратной квадратной матрице имеет интересный раздел внизу, где вы можете увидеть, как Ax = b может использоваться для решения систем линейных уравнений и вычисления x путем обращения A.

Для данной матрицы A определите, имеет ли Ax = b уникальное решение для каждого …

Задача 5 (a) Пусть A — матрица размера n × m, и предположим, что существует матрица B размером am × n такая, что BA = 1- (i) Пусть b є Rn таково, что система уравнений Ax b имеет хотя бы один решение. Докажи это…

Задача 5 (a) Пусть A — матрица размера n × m, и предположим, что существует матрица B размером am × n такая, что BA = 1- (i) Пусть b є Rn таково, что система уравнений Ax b имеет хотя бы один решение.Докажите, что это решение должно быть уникальным. (ii) Должно ли быть так, что система уравнений Ax = b имеет решение для любого b? Докажите или приведите контрпример. (б) Пусть …

б. — 2-1 1 и b Пусть A = Покажите, что уравнение Ax = b …

б. — 2 -1 1 и b Пусть A = Показать, что уравнение Ax = b не имеет решения для всех возможных b, и -3 0 3 4-2 2 b3 описывают множество всех b, для которых Ax b имеет решение Как можно показать, что уравнение Ax = b не имеет решения для всех возможных b? Выберите правильный ответ ниже.O A. Найдите вектор b, для которого …

13. Определите, верно ли следующее утверждение: пусть A — матрица 5×3. Если Ax 0 имеет сингл …

13. Определите, верно ли следующее утверждение: пусть A — матрица 5×3. Если Ax 0 имеет единственное решение, то для каждого b система Ax- b имеет единственное решение 14. Определите, верно ли следующее утверждение: пусть A будет матрицей n × n, а x — вектором nxl. Система AT-0 имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда система Ax 0 имеет нетривиальное решение
13.Определите, верно ли следующее утверждение: пусть …

1-2 и b E Пусть A Покажет, что уравнение Axb не имеет решения для некоторых вариантов b, и опишет множество …

1 -2 и b E Пусть A Покажет, что уравнение Axb не имеет решения для некоторых вариантов b, и опишет множество всех b, для которых Ax b имеет решение посредством -3. Как можно показать, что уравнение Ax b не имеет решения для некоторых вариантов b? О.А. Строку уменьшите расширенную матрицу, чтобы продемонстрировать, что A b имеет опорную позицию в каждой строке A b O…

как проверить матрицу A = m * n с поворотными позициями в каждой строке,
тогда уравнение Ax = b будет …

как проверить матрицу A = m * n с поворотными позициями в каждой строке,
тогда уравнение Ax = b будет иметь решение для каждого элемента b из
Rm.

5. (8 баллов) Предположим, что B — это матрица 4 x 5, и связанное с ней линейное преобразование T (E) Bd находится на. (a) (3) Найдите dim Nul (B) (b) (2) Имеет ли Ba 5 единственное решение для каждого B (c) (3) Задайте геометрию…

5. (8 баллов) Предположим, что B — это матрица 4 x 5, и связанное с ней линейное преобразование T (E) Bd находится на. (a) (3) Найдите dim Nul (B) (b) (2) Имеет ли Ba 5 единственное решение для каждого B (c) (3) Дайте геометрическую интерпретацию множеству решений Bt- 0
5. (8 баллов) Предположим, что B — это матрица 4 x 5, и связанное с ней линейное преобразование T (E) Bd находится на. (a) (3) Найдите тусклый Nul (B) (b) (2) Действительно ли Ba 5 …

6) Предположим, что матричное уравнение Ax = b имеет два решения и ༼ ཡང བ найти an…

6) Предположим, что матричное уравнение Ax = b имеет два решения, и ༼ ཡང བ найти бесконечное число решений с вектором-столбцом, параметризованным t. (Подсказка: попробуйте найти решение однородного уравнения Ax = 0.)

Определите, обратима ли приведенная ниже матрица. Используйте как можно меньше вычислений. Обосновать ответ….

Определите, обратима ли приведенная ниже матрица. Используйте как можно меньше вычислений. Обосновать ответ. — 3 30 20 6 -40 9 Выберите правильный ответ ниже.O A. Матрица обратимая. Данная матрица имеет 2 опорных позиции. O B. Матрица необратима. Если данная матрица — A, столбцы A не образуют линейно независимого множества. OC. Матрица не обратима. Если задана матрица A, уравнение Ax …

1. Если ах-матрица A имеет собственные значения ….., каковы собственные значения a) 4 *, …

1. Если ах-матрица A имеет собственные значения ….., каковы собственные значения a) 4 *, где & — натуральное число.AE? A ‘b)’, если существует обратная матрица. в) A ‘(транспонировать). г) а, где а — действительное число. д) Есть ли какая-либо связь между собственными значениями матрицы A и собственными значениями матрицы A? Подсказка: используйте, чтобы обосновать свой ответ. 2. Вычислить спектральную норму 0 0 б) в) в) 1-1 0 …

Набор решений линейной алгебры

Предположим, что A — это матрица 3 x3 и вектор в R3, такой что уравнение Ax = b НЕ имеет решения. Существует ли вектор y в R3 такой, что уравнение Ax = y имеет единственное решение? Объяснять.

Линейная алгебра 5: Решение Ax = b в необратимых неквадратных матрицах | by adam dhalla

Это продолжение моей серии статей по линейной алгебре, которую следует рассматривать как дополнительный ресурс наряду с классом 18.06 Гилберта Стрэнга по OCW. Это может быть близко к Лекция 8 в его серии.

Здесь мы продолжаем обсуждение решения линейных систем с исключением. В моей серии статей с методом исключения Гаусса мы исследовали, как квадратные обратимые матрицы могут быть решены методом исключения и обмена строками, но мы никогда не углублялись в решение прямоугольных необратимых систем.

На последнем уроке мы изучили, как неквадратные системы могут быть решены с помощью исключения Гаусса. В частности, мы решили системы в формате Ax = 0 и обнаружили векторы нулевого пространства x , которые дали x = 0.

Самая большая разница между Ax = b и Ax = 0 теперь в том, что наша правая часть отлична от нуля, мы должны провести операции по с обеих сторон. Это приводит нас к нашей первой теме, а именно к условию разрешимости .

Условия разрешимости

Все эти примеры будут иметь дело с прямоугольными необратимыми матрицами.Если у вас есть квадратная и обратимая матрица (что часто бывает), используйте более простой метод исключения Гаусса .

Условия разрешимости — это то, как мы распознаем, является ли некий b в Ax = b решением, которое на самом деле является возможным. Это станет совершенно ясно на примере. Помните, что теперь, когда выполняется исключение с матрицами, которые, как мы ожидаем, будут зависимыми, мы не остановимся на на разворотах в нулевом месте. Мы просто перейдем к следующему столбцу.

Наша цель — выяснить, как должен выглядеть ответ b, чтобы проблема была решаемой.

Хорошо, первый пример.

Первая и третья строки кратны друг другу и после исключения будут сокращаться до строки нулей. После использования первой строки для удаления первой и второй строк мы получаем:

Но теперь, когда у нас есть ненулевые числа с правой стороны, мы должны выполнить те же шаги исключения с правой стороны.

Что мы сделали? Чтобы исключить вторую строку, мы умножили первую строку на отрицательную и вычли из нижней строки (или, как вы могли подумать, мы добавили первую строку).Затем мы умножили первую строку на 2 и вычли из последней строки. Итак, теперь, с нашими переменными b, , как это выглядит?

Из-за равенства мы должны выполнить те же операции со строками со строками b. Таким образом, после этого мы можем получить представление о том, как выглядят наши b и .

Условия разрешимости возникают, когда левая часть равна 0. Если бы мы записали это в виде системы уравнений, мы получили бы:

Первые два уравнения не дают нам много информации или ограничений на b, , поскольку они зависят от того, какие значения мы в конечном итоге присваиваем нашим переменным x, y, z и t.

Последнее уравнение, с другой стороны, дает нам определенное ограничение на b. Чтобы Ax = b было истинным, b3 — 2b1 must = 0. Переставляя это, мы получаем ограничение на b , которое:

Теперь мы ограничены в различных b3, которые мы можем поместить в нашу матрицу. Вот несколько примеров векторов b , которые удовлетворяют этому ограничению:

Во всех этих случаях b3 в 2 раза больше b1.

Это может дать нам быстрое представление, возможно ли Ax = b или нет, или, при составлении уравнения, может дать нам представление о возможных ответах, которые мы можем получить.

Это дает нам два разных способа, понять этот конкретный Ax = b.

Используя наши знания о пространстве столбцов, мы знаем, что b должен быть частью пространства столбцов A. Другими словами, b ∈ C (A)

Наше новое понимание — b должно удовлетворить все ограничения по нему.

Теперь, когда мы это знаем, давайте решим проблему.

Решение для полного решения Ax = b

Я беру этот пример прямо со страницы 91 учебника Гилберта Стрэнга «Линейная алгебра и ее приложения», 4-е издание.

Давайте возьмем эту систему:

Чтобы решить эту проблему, нам сначала нужно найти ответ b , который удовлетворяет любым ограничениям, которые могут быть у нас. Чтобы найти эти ограничения (и одновременно перейти от A к U), используйте гауссовское исключение, чтобы удалить левую и правую части.

Мы умножили первую строку на 2 и вычли из второй строки. Затем мы умножили первую строку на -1 и вычли из третьей строки (добавлено). Мы отразили те же изменения в правой части.

Теперь мы должны удалить последнюю строку с нашей второй строкой.

Этот b5 должен быть b3, но мне лень его менять.

Здесь мы дважды вычитаем вторую строку из третьей строки. Нам нужно не забыть делать это с правой стороны. Здесь все становится немного запутанным, так как мы опираемся на прошлые шаги исключения, но мы все еще можем это сделать.

И снова наше условие разрешимости находится в третьей строке. Если упростить это, мы получим наше условие разрешимости.

Теперь, когда у нас есть условие разрешимости, мы можем выбрать ответ b , который с ним работает.Почему бы нам не выбрать (1, 5, 5)? Вы можете сами убедиться, что это работает.

Напоминаем, что как только мы находим наш b , чтобы заменить его в исходном уравнении Ax = b, с A в левой части, а не U.

Теперь мы проходим тот же процесс исключения, только на этот раз с конкретными числами, и, как и было предсказано, он удовлетворяет ограничениям, которые мы на него накладываем.

Примечание о полном решении

Теперь, глядя на это, можно увидеть множество решений.Но важно отметить, что наш окончательный ответ должен также включать все ответы с нулевым пространством.

Позвольте мне объяснить. Поскольку эта матрица A не является независимой, в пустом пространстве обязательно будет хотя бы один вектор x. Этот x решает для Ax = 0.

Таким образом, если мы найдем конкретное решение для этого, некоторый x, который решает Ax = b, мы также должны добавить всех наших векторов пустого пространства для полного ответа. Поскольку все векторы нулевого пространства делают Ax = 0, наш полный ответ должен включать A (x_null + x_particular) = b, поскольку добавление нулевого пространства ничего не делает с b, поскольку Ax_null = 0.

Если в этом нет смысла, давайте продолжим.

Давайте сначала найдем частное решение этого уравнения. Это x , которое непосредственно решает для Ax = b.

Нахождение частного решения

Мы стремимся найти конкретное решение, некоторое значение x, y, z и t, которое является решением для нашего ответа (1, 3, 0). Поскольку у нас есть только и два полных уравнения , мы можем найти только две из этих переменных. Для двух других нам нужно будет установить константы.

Опять же, как и в случае с нулевым пространством, переменные, которые мы установим как константы, будут свободными переменными. Это переменные, связанные со свободными столбцами, которые не содержат сводных столбцов.

Выделены свободные столбцы и переменные.

У нас снова двойная бесконечность ответов, поскольку у нас есть две переменные, которые мы можем установить как любые константы . Таким образом, у нас есть бесконечное количество конкретных ответов, которые решают вопрос (1, 3, 0). Итак, если мы можем выбрать любую константу для y или t, мы можем выбрать самую простую, равную 0, для обоих.

После этого наша линейная комбинация и система уравнений будут выглядеть так:

Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы

Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: [latex] X [/ latex] — это матрица, представляющая переменные системы, а [latex] B [/ latex] — это матрица матрица, представляющая константы. Используя умножение матриц на , мы можем определить систему уравнений с таким же количеством уравнений в качестве переменных, как

[латекс] AX = B [/ латекс]

Чтобы решить систему линейных уравнений с использованием обратной матрицы , пусть [latex] A [/ latex] будет матрицей коэффициентов , пусть [latex] X [/ latex] будет переменной матрицей, и пусть [latex] B [/ latex] — постоянная матрица.Таким образом, мы хотим решить систему [латекс] AX = B [/ latex]. Например, посмотрите на следующую систему уравнений.

[латекс] \ begin {array} {c} {a} _ {1} x + {b} _ {1} y = {c} _ {1} \\ {a} _ {2} x + {b} _ {2} y = {c} _ {2} \ end {array} [/ latex]

Из этой системы матрица коэффициентов равна

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ конец {array} \ right] [/ latex]

Матрица переменных —

[латекс] X = \ left [\ begin {array} {c} x \\ y \ end {array} \ right] [/ latex]

А постоянная матрица

[латекс] B = \ left [\ begin {array} {c} {c} _ {1} \\ {c} _ {2} \ end {array} \ right] [/ latex]

Тогда [latex] AX = B [/ latex] выглядит как

[латекс] \ left [\ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ end { массив} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {c} x \\ y \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {c} {c} _ {1 } \\ {c} _ {2} \ end {array} \ right] [/ latex]

Вспомните обсуждение ранее в этом разделе относительно умножения действительного числа на обратное, [латекс] \ left ({2} ^ {- 1} \ right) 2 = \ left (\ frac {1} {2} \ right) 2 = 1 [/ латекс].{-1} \ right) b \ end {array} [/ latex]

Единственное различие между решением линейного уравнения и системой уравнений , записанной в матричной форме, состоит в том, что поиск обратной матрицы более сложен, а умножение матриц — более длительный процесс. Однако цель та же — изолировать переменную.

Мы рассмотрим эту идею подробно, но полезно начать с системы [латекс] 2 \ times 2 [/ latex], а затем перейти к системе [латекс] 3 \ times 3 [/ latex].{-1} \ right) B \ end {array} [/ latex]

Вопросы и ответы

Если матрица коэффициентов не имеет обратной, означает ли это, что у системы нет решения?

Нет, если матрица коэффициентов необратима, система может быть несовместимой и не иметь решения, или быть зависимой и иметь бесконечно много решений.

Пример 7: Решение системы 2 × 2 с использованием обратной матрицы

Решите данную систему уравнений, используя обратную матрицу.

[латекс] \ begin {массив} {r} \ hfill 3x + 8y = 5 \\ \ hfill 4x + 11y = 7 \ end {array} [/ latex]

Решение

Запишите систему в виде матрицы коэффициентов, матрицы переменных и постоянной матрицы. {- 1} [/ latex].{-1} \ right) B \ hfill \\ \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 11 & \ hfill -8 \\ \ hfill -4 & \ hfill 3 \ end {array} \ right] \ text { } \ left [\ begin {array} {cc} 3 & 8 \\ 4 & 11 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {c} x \\ y \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 11 & \ hfill -8 \\ \ hfill -4 & \ hfill 3 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array } {c} 5 \\ 7 \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ left [\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {c} x \\ y \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {r} \ hfill 11 \ left (5 \ right) + \ left (-8 \ right) 7 \\ \ hfill -4 \ left (5 \ right) +3 \ left (7 \ right) \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ left [\ begin {array} {c} x \\ y \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {r} \ hfill -1 \\ \ hfill 1 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex ]

Решение [латекс] \ left (-1,1 \ right) [/ latex].{-1} [/ latex] находился слева от [latex] A [/ latex] с левой стороны и слева от [latex] B [/ latex] с правой стороны. Поскольку умножение матриц не коммутативно, порядок имеет значение.

Пример 8: Решение системы 3 × 3 с использованием обратной матрицы

Решите следующую систему, используя обратную матрицу.

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 5x + 15y + 56z = 35 \\ \ hfill -4x — 11y — 41z = -26 \\ \ hfill -x — 3y — 11z = -7 \ end { array} [/ latex]

Решение

Напишите уравнение [латекс] AX = B [/ латекс].

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 5 & 15 & 56 \\ -4 & -11 & -41 \\ -1 & -3 & -11 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {c} x \\ y \\ z \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {r} \ hfill 35 \\ \ hfill -26 \\ \ hfill -7 \ конец {массив} \ справа] [/ латекс]

Во-первых, мы найдем инверсию [latex] A [/ latex] путем добавления идентификатора.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 5 & \ hfill 15 & \ hfill 56 \\ \ hfill -4 & \ hfill -11 & \ hfill -41 \\ \ hfill -1 & \ hfill -3 & \ hfill -11 \ end {array} | \ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Умножьте строку 1 на [latex] \ frac {1} {5} [/ latex].

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 3 & \ frac {56} {5} \\ -4 & -11 & -41 \\ -1 & -3 & -11 \ end {array} | \ begin { массив} {ccc} \ frac {1} {5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Умножить строку 1 на 4 и прибавить к строке 2.

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 3 & \ frac {56} {5} \\ 0 & 1 & \ frac {19} {5} \\ -1 & -3 & -11 \ end {array} | \ begin {array} {ccc} \ frac {1} {5} & 0 & 0 \\ \ frac {4} {5} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Добавьте строку 1 к строке 3.

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 3 & \ frac {56} {5} \\ 0 & 1 & \ frac {19} {5} \\ 0 & 0 & \ frac {1} {5} \ конец {массив} | \ begin {array} {ccc} \ frac {1} {5} & 0 & 0 \\ \ frac {4} {5} & 1 & 0 \\ \ frac {1} {5} & 0 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Умножить строку 2 на −3 и прибавить к строке 1.

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & — \ frac {1} {5} \\ 0 & 1 & \ frac {19} {5} \\ 0 & 0 & \ frac {1} {5} \ end {array} | \ begin {array} {ccc} — \ frac {11} {5} & -3 & 0 \\ \ frac {4} {5} & 1 & 0 \\ \ frac {1} {5} & 0 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Умножить строку 3 на 5.

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & — \ frac {1} {5} \\ 0 & 1 & \ frac {19} {5} \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} | \ begin {array} {ccc} — \ frac {11} {5} & -3 & 0 \\ \ frac {4} {5} & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \ end {array} \ right] [/ latex]

Умножьте строку 3 на [latex] \ frac {1} {5} [/ latex] и прибавьте к строке 1.

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ frac {19} {5} \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} | \ begin {array} {ccc} — 2 & -3 & 1 \\ \ frac {4} {5} & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \ end {array} \ right] [/ latex]

Умножьте строку 3 на [latex] — \ frac {19} {5} [/ latex] и добавьте к строке 2.{-1} B: [/ latex]

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -2 & \ hfill -3 & \ hfill 1 \\ \ hfill -3 & \ hfill 1 & \ hfill -19 \\ \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 5 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 5 & \ hfill 15 & \ hfill 56 \\ \ hfill -4 & \ hfill -11 & \ hfill -41 \\ \ hfill -1 & \ hfill -3 & \ hfill -11 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {c} x \\ y \\ z \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -2 & \ hfill -3 & \ hfill 1 \\ \ hfill -3 & \ hfill 1 & \ hfill -19 \\ \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 5 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {r} \ hfill 35 \\ \ hfill -26 \\ \ hfill -7 \ end {array} \ right] [/ latex]

Таким образом,

[латекс] {A} ^ {- 1} B = \ left [\ begin {array} {r} \ hfill -70 + 78-7 \\ \ hfill -105 — 26 + 133 \\ \ hfill 35 + 0 — 35 \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {c} 1 \\ 2 \\ 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

Решение [латекс] \ left (1,2,0 \ right) [/ latex].

Попробовать 4

Решите систему, используя обратную матрицу коэффициентов.

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} 2x — 17y + 11z = 0 \ hfill \\ \ text {} -x + 11y — 7z = 8 \ hfill \\ \ text {} 3y — 2z = -2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Как: решить систему уравнений с обращенными матрицами с помощью калькулятора.

Сохраните матрицу коэффициентов и постоянную матрицу как матричные переменные [latex] \ left [A \ right] [/ latex] и [latex] \ left [B \ right] [/ latex].

Введите умножение в калькулятор, вызывая при необходимости каждую матричную переменную.

Если матрица коэффициентов обратима, калькулятор представит матрицу решения; если матрица коэффициентов необратима, калькулятор выдаст сообщение об ошибке.

Пример 9: Использование калькулятора для решения системы уравнений с инверсной матрицей

Решите систему уравнений с обратными матрицами с помощью калькулятора

[латекс] \ begin {array} {l} 2x + 3y + z = 32 \ hfill \\ 3x + 3y + z = -27 \ hfill \\ 2x + 4y + z = -2 \ hfill \ end {array} [/ латекс]

Решение

На странице матриц калькулятора введите матрицу коэффициентов как матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex] и введите постоянную матрицу как матричную переменную [latex] \ left [B \ right] [/ латекс].

Понравился сайт? Расскажи друзьям!