Математика система уравнений: Урок 50. системы уравнений. методы решения систем уравнений — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Содержание

Решение задач с помощью систем уравнений 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей


94. Решение задач с помощью систем уравнений.


Некоторые задачи проще решать с помощью системы уравнений. Обычно это те задачи, в которых нужно найти две величины. Существует алгоритм, выполняя который легко решать задачи с помощью системы уравнений.


Чтобы решить задачу с двумя неизвестными, нужно:


  1. Обозначить неизвестные величины буквами (обычно это те величины, значения которых и нужно найти в задаче).

  2. Используя условие задачи, составить систему линейных уравнений.

  3. Решить систему.

  4. Истолковать полученный ответ в соответствии с условием задачи.


Пример 1. Основание равнобедренного треугольника на 8 дм больше боковой стороны. Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен 44 дм.


Решение: у треугольника три стороны. Длины этих сторон нам неизвестны. Но нам известно, что треугольник равнобедренный – это значит, что его боковые стороны равны. То есть у нас есть две неизвестные величины: длина боковой стороны и длина основания.


Пусть х (см) – длина боковой стороны равнобедренного треугольника,


у (см) – длина основания равнобедренного треугольника.


Так как нам известно, что основание треугольника больше его боковой стороны на 7 дм, мы можем составить первое уравнение


у-х = 8


Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Выразим ее через переменные х и у.


х+х+у = 2х+у (дм)


Нам известно, что периметр треугольника равен 44 дм. Используя это, составим второе уравнение


2х+у = 45


Запишем систему уравнений


y-x=82x+y=44


Умножим первое уравнение на 2


2y-2x=162x+y=44


Применим способ сложения


3y=602x+y=44


y=202x+20=44


y=192x=24


y=20x=12


Мы получили два числа. Вспомним, что за х мы обозначали боковую сторону треугольника, значит, боковая сторона треугольника равна 12 см. А за у обозначали основание треугольника. То есть основание треугольника равно 20 см. В задаче требуется найти только боковую сторону треугольника. Значит ответ будет выглядеть так: боковая сторона треугольника равна 12 см.

Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений с двумя неизвестными. Основные методы решения систем уравнений




























Понятие системы уравнений.

  • Система уравнений — набор уравнений с несколькими неизвестными.
  • Решение системы уравнений — совокупность значений неизвестных, обращающих каждое из уравнений системы в тождество.
  • Решить систему уравнений — найти все её решения или доказать, что их нет. Система не имеющая решений решений, называется несовместной.
  • Равносильные системы — системы, множества решений которых совпадают. Все несовместимые системы — равносильны.

Свойства систем уравнений:

Линейные системы уравнений с двумя неизвестными:

Линейные системы уравнений с двумя переменными — это система вида:

Прямые — графики уравнений системы пересекаются в одной точке. Система имеет единственное решение:

Прямые — графики уравнений системы — параллельны. Система не имеет решений.

Прямые — графики уравнений системы совпадают. Система имеет бесконечно много решений:

Основные методы решения систем уравнений:

Графический метод:
1. Построить в одной системе координат графики обоих уравнений:
2. Найти координаты точек пересечения графиков.
Метод подстановки:
1. Выразить одну переменную через другую в одном из уравнений.
2. Подставить это выражение в другое уравнение и получить уравнение с одной переменной.
3. Найти корни уравнения с одной переменной.
4. Подставить найденные корни в выражение для первой переменной и получить ее значение.
Метод сложения (вычитания):

1. Сложить почленно уравнения системы, предварительно умножив каждое из уравнений на такой множитель:

2. Найти корни уравнения с одной переменной.
3. Подставить найденные корни в любое из уравнений системы и получить уравнение с одной неизвестной.
4. Найти корни этого уравнения.
Метод введения новых переменных:

1. Вместо исходных переменных x и y ввести такие новые переменные:

чтобы система с ними стала проще.

2. Решить систему с новыми переменными.
3. Найти значения исходных переменных.

6.9.3. Решение систем линейных уравнений методом сложения.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 1.3k. Опубликовано

Чтобы решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения, надо:

1) умножить левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в уравнениях стали противоположными числами;

2) сложить почленно полученные уравнения и найти значение одной из переменных;

3) подставить найденное значение одной переменной в одно из данных уравнений и найти значение второй переменной.

Если в данной системе коэффициенты при одной переменной являются противоположными числами, то решение системы начнём сразу с пункта 2).

Примеры. Решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения.

Так как коэффициенты при у являются противоположными числами (-1 и 1), то решение начинаем с пункта 2). Складываем уравнения почленно и получим уравнение 8х = 24.  Вторым уравнением системы можно записать любое уравнение исходной системы.

 

Найдём х и подставим его значение во 2-ое уравнение.

 

Решаем 2–ое уравнение: 9-у = 14, отсюда у = -5.

Сделаем проверку. Подставим значения х = 3 и у = -5 в первоначальную систему уравнений.

Примечание. Проверку можно сделать устно и не записывать, если наличие проверки не оговорено в условии.

 

Ответ: (3; -5).

 

Если мы умножим 1-ое уравнение на (-2), то коэффициенты при переменной х станут противоположными числами:

Сложим эти равенства почленно.

Мы получим равносильную систему уравнений, в которой 1-ое уравнение есть сумма двух уравнений прежней системы, а 2-м уравнением системы мы запишем 1-ое уравнение исходной системы (обычно записывают уравнение с меньшими коэффициентами):

Находим у из 1-го уравнения и полученное значение подставляем во 2-ое.

 

Решаем последнее уравнение системы и получаем х = -2.

Ответ: (-2; 1).

Сделаем коэффициенты при переменной у противоположными числами. Для этого все члены 1-го уравнения умножим на 5, а все члены 2-го уравнения на 2.

Подставим значение х=4 во 2-ое уравнение.

· 4 — 5у = 27. Упростим: 12 — 5у = 27, отсюда -5у = 15, а у = -3.

Ответ: (4; -3).

Системы уравнений (учебное пособие для школьников)

Самаров К.Л.

Учебное пособие для школьников по математике

Системы уравнений

СОДЕРЖАНИЕ

  1. Метод последовательного исключения неизвестных
  2. Простейшие нелинейные системы из двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными
  3. Системы, сводящиеся к однородным уравнениям
  4. Системы из трех уравнений с тремя неизвестными
  5. Линейные системы, содержащие параметр. Число решений системы в зависимости от параметра
  6. Системы, содержащие логарифмы
  7. Системы, содержащие показательные функции

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Скачать пособие «Системы уравнений» (формат pdf,  247кб)

С необходимыми теоретическими сведениями, используемыми при решении задач, можно ознакомиться в разделе «Алгебра» нашего «Справочника по математике для школьников».

Рекомендуем также ознакомиться с методами и примерами решения систем уравнений, представленных в разделах нашего справочника «Системы линейных уравнений», «Системы с нелинейными уравнениями».

Со свойствами логарифмов можно ознакомиться в разделе «Логарифмы» нашего справочника.

С понятиями степени с целочисленным показателем и арифметического корня можно также ознакомиться в разделе «Степень с целочисленным показателем и арифметический корень» нашего справочника.

С понятием степени с рациональным показателем и свойствами степеней можно ознакомиться в разделе «Степень с рациональным показателем» нашего справочника.

Графики логарифмических функций представлены в разделе «Графики степенных, показательных и логарифмических функций» нашего справочника.

Открытая Математика. Функции и Графики. Решение систем уравнений и неравенств

Уравнение g (x, y) = 0 задает на координатной плоскости некоторую кривую, каждая точка M (x; y) которой удовлетворяет этому уравнению.

Некоторые кривые являются графиками функций y = f (x), что означает равносильность уравнений g (x, y) = 0 и y = f (x). К таковым, например, относится кривая, задаваемая уравнениями x + y – 1 = 0 или y – x2 = 0. Другим не соответствуют никакие функции, например, x2+y2-1=0
  (в данном случае каждому значению

x∈(-1; 1)

соответствуют два значения y).

Окружность с центром в точке (-2; 1)

Гипербола, задаваемая уравнением x2 – y2 = 1.

Уравнением окружности с центром в точке (a; b) и радиусом r > 0 является

(x – a)2 + (y – b)2 = r2.

Уравнение (x – a)2 + (y – b)2 = 0 задает точку с координатами (a; b), уравнение x2 – y2 = a2 – гиперболу.

Уравнение вида

f (x, y) · g (x, y) = 0


задает на плоскости объединение линий f (x, y) = 0 и g (x, y) = 0. Каждая точка этой фигуры является решением совокупности уравнений

[fx, y=0;gx, y=0.

Система уравнений с двумя переменными

Пусть задана система уравнений

{fx, y=0,gx, y=0.

Ее решением является совокупность пар чисел (xi; yi), подстановка которых в каждое из уравнений превращает его в верное равенство. Построим на координатной плоскости кривые, задаваемые уравнениями f (x, y) = 0 и g (x, y) = 0. Тогда можно сказать, что геометрически решением системы уравнений является совокупность всех точек Mi (xi; yi), в которых пересекаются кривые, задаваемые этими уравнениями.

Если кривые не пересекаются, то система уравнений решений не имеет. В этом случае говорят, что система несовместна.

Систему

{fx, y=0,gx, y=0,hx, y=0,

геометрически можно представить как совокупность точек, в которых пересекаются три кривые f (x, y) = 0, g (x, y) = 0 и h (x, y) = 0. Если не существует точки, в которой пересекаются все три кривые, то система также несовместна.

Аналогичным образом уравнение f (x, y, z) = 0 задает поверхность в трехмерной декартовой системе координат. Геометрически решением системы уравнений

{fx, y, z=0,gx, y, z=0,hx, y, z=0,

будет совокупность координат точек Mi (xi; yi; zi), в которых пересекаются поверхности, задаваемые этими уравнениями.

Так, уравнения x2 + y2 + z2 = 1, y = 0, z = 0 задают в пространстве сферу единичного радиуса с центром в начале координат и две координатные плоскости, перпендикулярные соответственно оси ординат и оси аппликат. Плоскость z = 0 пересекает сферу по окружности x2 + y2 = 1, лежащей в плоскости z = 0. Плоскость y = 0 пересекает эту окружность в двух точках с координатами M1 (–1; 0; 0) и M2 (1; 0; 0). Таким образом, решением системы уравнений

{x2+y2+z2=1,y=0,z=0,

являются две тройки чисел (±1; 0; 0).

Иногда при решении задач графики могут ввести в заблуждение. Так, на эскизе кажется, что графики функций y = (1/16)x и y = log1/16 x пересекаются только в одной точке, лежащей на биссектрисе первого координатного угла. И только при более внимательном рассмотрении у уравнения (1/16)x = log1/16 x находятся еще два корня x = 1/2 и x = 1/4. Увеличьте масштаб графика, чтобы убедиться в этом

Кривая f (x, y) = 0 делит координатную плоскость на несколько областей, внутри каждой из которых функция f сохраняет знак. Для решения неравенства

f (x, y) > 0


графическим методом необходимо в каждой из таких областей взять пробную точку и вычислить ее знак, после чего отобрать области, в которых функция f принимает положительные значения. Присоединяя к полученному решению саму кривую, получим решение неравенства

f (x, y) ≥ 0.

Чтобы решить графически систему

{fx, y>0gx, y>0,

нужно изобразить на координатной плоскости решения каждого из неравенств f (x, y) > 0, g (x, y) > 0, а затем найти их пересечение. Аналогичным образом поступают, если неравенств больше двух.

Системы уравнений. Способы решения систем уравнений

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

  x — 4y = 2
3x — 2y = 16

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

  x — 4y = 2
3x — 2y = 16

Сначала найдём, чему равен  x  в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное  x,  в правую часть:

x — 4y = 2;

x = 2 + 4y.

Так как  x,  на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

3x — 2y = 16;
3(2 + 4y) — 2y = 16.

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен  y.  Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

3(2 + 4y) — 2y = 16;
6 + 12y — 2y = 16;
6 + 10y = 16;
10y = 16 — 6;
10y = 10;
 y = 10 : 10;
 y = 1.

Мы определили что  y = 1.  Теперь, для нахождения численного значения  x,  подставим значение  y  в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен  x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

  x — 4y = 2
3x — 2y = 16

найдём в обоих уравнениях, чему равен  y  (можно сделать и наоборот — найти, чему равен  x):

x — 4y = 2 3x — 2y = 16
-4y = 2 — x -2y = 16 — 3x
y = (2 — x) : — 4       y = (16 — 3x) : -2

Составляем из полученных выражений уравнение:

Решаем уравнение, чтобы узнать значение  x:


2 — x  · (-4) =  16 — 3x  · (-4)
-4 -2
2 — x = 32 — 6x
x + 6x = 32 — 2
5x = 30
x = 30 : 5
x = 6

Теперь подставляем значение  x  в первое или второе уравнение системы и находим значение  y:

x — 4y = 2 3x — 2y = 16
6 — 4y = 2 3 · 6 — 2y = 16
-4y = 2 — 6       -2y = 16 — 18
-4y = -4 -2y = -2
 y = 1  y = 1

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

Рассмотрим систему:

  x — 4y = 2
3x — 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

(3x — 2y) · -2 = 16 · -2

-6x + 4y = -32

Получим:

  x — 4y = 2
-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

+ x  —  4y = 2
 -6x + 4y = -32
 -5x         = -30

Находим значение  x  (x = 6).   Теперь, подставив значение  x  в любое уравнение системы, найдём  y = 1.

Если уравнять коэффициенты у  x,  то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном  x,  умножив все члены первого уравнения на  3:

(x — 4y) · 3 = 2 · 3

3x — 12y = 6

Получим:

  3x — 12y = 6
3x — 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

3x  —  12y = 6
  3x  —   2y = 16
          -10y = -10

Находим значение  y  (y = 1).  Теперь, подставив значение  y  в любое уравнение системы, найдём  x = 6:

3x — 2y = 16
3x — 2 · 1 = 16
3x — 2 = 16
3x = 16 + 2
3x = 18
x = 18 : 3
x = 6

Ответ:  x = 6,  y = 1. 5 == 0, x]

Out[2]=

Функция Reduce сводит системы неравенств к простой форме:

(Наберите <= для ввода символа .)

In[1]:=

Reduce[{0 < x < 2, 1 <= x <= 4}, x]
Out[1]=

Упрощенная форма может состоять из нескольких интервалов:

In[2]:=

Reduce[(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) > 0, x]
Out[2]=

Функция NumberLinePlot — это удобный способ визуализации этих результатов:

In[3]:=

NumberLinePlot[x < 1 || 2 < x < 3 || x > 4, {x, -10, 10}]
Out[3]=

Большое число уравнений и формул доступно через естественную форму ввода:

In[1]:= X

quadratic equation
Out[1]=

Справочная информация: Полиномиальные уравнения »

Справочная информация: Решение уравнений »

Hands–on Start to
Wolfram Mathematica »

Полная документация »

Demonstrations Project »

Системы линейных уравнений: определения

Системы
линейных уравнений: определения
(стр.
1 из 7)

Разделы: определения, решения
путем построения графиков, подстановки, исключения / добавления, исключения Гаусса.

А «система»
уравнения — это набор или набор уравнений, с которыми вы работаете вместе
сразу.Линейные уравнения (те, которые отображаются в виде прямых линий) проще
чем нелинейные уравнения, и простейшая линейная система — это система с
два уравнения и две переменные.

Вспомните линейные уравнения.
Например, рассмотрим линейное уравнение y = 3 x — 5. «Решение»
к этому уравнению была любая точка x , y , которая «работала»
в уравнении. Итак (2,
1) было решением, потому что,
подключение 2 для x :

С другой стороны, (1,
2) не было решением,
потому что, подключение 1 для x :

. .. что не равно и (что было 2,
для этого пункта). Конечно, в практическом плане решений вы не нашли
в уравнение, выбирая случайные точки, вставляя их и проверяя
чтобы увидеть, «работают» ли они в уравнении. Вместо этого вы выбрали значения x .
а затем вычислили соответствующие значения и .
И вы использовали ту же процедуру для построения графика
уравнение. Этот
указывает на важный факт: каждая точка на графике была решением
к уравнению, и любое решение уравнения отмечалось точкой на графике.

Теперь рассмотрим следующее
двухпараметрическая система линейных уравнений:

С
два приведенных выше уравнения составляют систему, мы решаем их вместе
в то же время. В частности, мы можем изобразить их вместе на
та же система осей, например:

Решение единственного уравнения — это любая точка, лежащая на линии этого уравнения. А
решение для системы уравнений — это любая точка, лежащая на каждой строке системы.
Например, красная точка справа не является решением системы,
потому что его нет ни в одной строке:

В
синяя точка справа не является решением системы, потому что она
лежит только на одной из линий, а не на на обеих из них:

В
фиолетовая точка справа — это решение системы, потому что она лежит
по обеим линиям:

В частности, этот фиолетовый
точка отмечает пересечение двух линий. Поскольку эта точка находится на
обе строки, таким образом, он решает оба уравнения, поэтому он решает всю систему
уравнения. И это соотношение всегда верно: для систем уравнений
«решения» — это «пересечения». Вы можете подтвердить
решение, подставив его в систему уравнений и подтвердив, что
решение работает в каждом уравнении.


    Проверить данные возможные
    решения, я просто подключаю x
    и y — координаты
    в уравнения и проверьте, работают ли они.

    Авторские права
    © Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены

    Поскольку данная точка работает в каждом уравнении,
    это решение системы. Теперь проверю другой пункт (который
    мы уже знаем, глядя на график, это не решение):

    Итак, решение работает в одном из уравнений.
    Но чтобы решить систему, она должна работать в обоих уравнениях. Продолжая
    чек:

    Но –2 не равно –6,
    так что это «решение» не проверяет. Тогда ответ:

      только точка (–1,
      –5)
      — это
      решение системы

Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Возвращаться
к указателю Вперед >>

Цитируйте эту статью
как:

Стапель, Елизавета.«Системы линейных уравнений: определения». Purplemath . Доступна с
https://www.purplemath.com/modules/systlin1.htm .
Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

Системы линейных уравнений, примеры решений, изображения и практические задачи.

Система справедлива..

Что такое система уравнений?

Отвечать

Система уравнений просто означает «более одного уравнения». Система линейных уравнений — это не более 1 строки, см. Рисунок:

Хорошо, а что такое

, решение системы уравнений?

Отвечать

Решение — это место, где уравнения «встречаются» или пересекаются.Красная точка — это решение системы.

Сколько решений могут иметь системы линейных уравнений?

Отвечать

Может быть нулевое решение, одно решение или бесконечное количество решений — каждый случай подробно описан ниже.
Примечание. Хотя системы линейных уравнений могут иметь 3 или более уравнений, мы собираемся обратиться к наиболее распространенному случаю — стержню с ровно 2 линиями.

Вариант I: 1 Решение

Это наиболее распространенная ситуация, когда линии пересекаются ровно в одной точке.


Дело 2: Нет решений

Это происходит только тогда, когда линии параллельны. Как видите, параллельные линии никогда не встретятся.

Пример стержня, у которого нет решения:

  • Строка 1: $$ y = 5x + 13 $$
  • Строка 2: $$ y = 5x + 12 $$

Вариант III: Бесконечные решения

Это самый редкий случай, и он возникает только тогда, когда у вас есть та же строка
Рассмотрим, например, две строки ниже (y = 2x + 1 и 2y = 4x + 2).Эти два уравнения — одна и та же линия.

Пример системы с бесконечным числом решений:

  • Строка 1: y = 2x + 1
  • Строка 2: 2y = 4x + 2
Как мы можем найти решения систем уравнений?

Найти решение систем линейных уравнений можно любым из следующих способов:

Системы уравнений | Энциклопедия.com

Неизвестные и линейные уравнения

Решения линейных уравнений

Системы с тремя или более переменными

Ресурсы

В математике системы уравнений, иногда называемые одновременными уравнениями, представляют собой группу взаимосвязей между различными неизвестными переменными, которые могут быть выражается в терминах алгебраических выражений. Решения для простой системы уравнений могут быть получены путем построения графика, замены и исключения добавлением. Однако эти методы стали слишком громоздкими, чтобы их можно было использовать в более сложных системах, и был разработан метод с использованием матриц для поиска только сложных решений.Системы уравнений сыграли важную роль в развитии бизнеса. Продолжается поиск более быстрых методов решения.

Часто математические задачи связаны с отношениями между двумя переменными. Например, расстояние, которое автомобиль проезжает со скоростью 55 миль в час за единицу времени, можно описать уравнением y = 55x. В этом случае y — это пройденное расстояние, x — время, а уравнение известно как линейное уравнение с двумя переменными. Обратите внимание, что для каждого значения x существует значение y, которое делает уравнение истинным.Например, когда x равен 1, y равен 55. Аналогично, когда x равен 4, y равен 220. Любая пара значений или упорядоченная пара, которые делают уравнение истинным, известны как решение уравнения. Набор всех упорядоченных пар, которые делают уравнение истинным, называется набором решений. Линейные уравнения обычно записываются как ax + by = c, где a, b и c представляют собой константы, а x и y представляют собой неизвестные.

Часто два неизвестных могут быть связаны друг с другом более чем одним уравнением. Система уравнений включает в себя все линейные уравнения, связывающие неизвестные.Пример системы уравнений можно описать следующей задачей, касающейся возраста двух человек. Предположим, в этом году Линн вдвое старше Рути, но два года назад Линн была в три раза старше Рути. Для этой задачи можно написать два уравнения. Если принять x = возраст Линн, а y = возраст Рути, то два уравнения, связывающие неизвестный возраст, будут x = 2y и x — 2 = 3 (y — 2). Соотношения могут быть переписаны в общем формате для получения линейных уравнений:

(Ур.1) x — 2y = 0

(уравнение 2) 2x — 3y = –4

Решением этой системы уравнений будет любая упорядоченная пара, которая делает оба уравнения истинными. Эта система имеет только решение, упорядоченную пару x = 8 и y = 4, и поэтому называется согласованной.

Поскольку предыдущая проблема возраста представляет собой систему с двумя уравнениями и двумя неизвестными, она называется системой с двумя переменными. Как правило, используются три метода для определения решений для системы с двумя переменными, включая графический, замену и исключение.

Построив графики линий, образованных каждым из линейных уравнений в системе, можно было бы получить решение возрастной проблемы. Координаты любой точки, в которой графики пересекаются или встречаются, представляют решение системы, потому что они должны удовлетворять обоим уравнениям. Из графика этих уравнений очевидно, что существует только одно решение системы. В общем, прямые в системе координат связаны только тремя способами. Во-первых, это могут быть параллельные линии, которые никогда не пересекаются и, таким образом, представляют собой противоречивую систему без решения.Во-вторых, они могут пересекаться в одной точке, как в предыдущем примере, представляя согласованную систему с одним решением. И, в-третьих, они могут совпадать или пересекаться во всех точках, что указывает на зависимую систему, имеющую бесконечное количество решений. Хотя он может предоставить некоторую полезную информацию, графический метод часто бывает трудным в использовании, потому что он обычно дает только приблизительные значения для решения системы уравнений.

Методы замены и исключения сложением дают результаты с хорошей степенью точности.Метод подстановки включает использование одного из уравнений системы для решения одной переменной через другую. Затем это значение подставляется в первое уравнение и получается решение. Применяя этот метод к системе уравнений в задаче о возрасте, можно сначала переписать уравнение 1 в терминах x так, чтобы оно стало x = 2y. Затем это значение x можно было бы подставить в уравнение 2, которое превратилось бы в 2y — 3y = –4 или просто y = 4. Затем значение x получается путем подстановки y = 4 в любое уравнение.

Вероятно, наиболее важным методом решения системы уравнений является метод исключения, поскольку его можно использовать для систем более высокого порядка. Метод исключения путем сложения предполагает замену систем уравнений более простыми уравнениями, называемыми эквивалентными системами. Рассмотрим систему со следующими уравнениями: уравнение 1, x — y = 1; и уравнение 2, x + y = 5. Методом исключения одна из переменных исключается путем сложения обоих уравнений и получения более простой формы.Таким образом, уравнение 1 + уравнение 2 приводит к более простому уравнению 2x = 6 или x = 3. Затем это значение возвращается в первое уравнение, чтобы получить y = 2.

Часто необходимо умножить уравнения на другие переменные или числа. использовать метод исключения. Это можно проиллюстрировать системой, представленной следующими уравнениями:

(уравнение 1) 2x — y = 2

(уравнение 2) x + 2y = 10

В этом случае сложение уравнений не приведет к в одном уравнении с одной переменной.Однако, умножая обе части уравнения 2 на –2, оно преобразуется в –2x — 4y = –20. Теперь это эквивалентное уравнение можно добавить к первому уравнению, чтобы получить простое уравнение, — 3 y = — 18 или y = 6.

Возможны системы уравнений с более чем двумя переменными. Линейное уравнение с тремя переменными может быть представлено уравнением ax + by + cz = k, где a, b, c и k — константы, а x, y и z — переменные. Для этих систем набор решений будет содержать все тройки чисел, которые делают уравнение истинным.Чтобы получить решение любой системы уравнений, количество неизвестных должно быть равно количеству имеющихся уравнений. Таким образом, чтобы решить систему с тремя переменными, должны существовать три разных уравнения, связывающих неизвестные.

КЛЮЧЕВЫЕ УСЛОВИЯ

Согласованная система — Система уравнений, решение которой представлено только одной упорядоченной парой.

Зависимая система —Система уравнений, набор решений которой имеет бесконечное количество упорядоченных пар.

Исключение — метод решения систем уравнений, который включает комбинирование уравнений и приведение их к более простой форме.

Графическое решение — метод поиска решения системы уравнений, который включает построение уравнений в виде графиков и определение точек пересечения.

Несогласованная система —Система уравнений, не имеющая решения.

Линейное уравнение —Алгебраическое выражение, которое связывает две переменные и график которого представляет собой линию.

Матрица — прямоугольный массив чисел, записанный в скобках и используемый для поиска решений сложных систем уравнений.

Упорядоченная пара — пара значений, которые могут представлять переменные в системе уравнений.

Набор решений —Набор всех упорядоченных пар, которые делают систему уравнений истинной.

Подстановка —Метод определения решений системы уравнений, который включает определение одной переменной в терминах другой и подстановку ее в одно из уравнений.

Методы решения системы уравнений с тремя переменными аналогичны методам, используемым для решения системы с двумя переменными, и включают в себя графический метод, замену и исключение. Следует отметить, что графики этих систем представлены геометрическими плоскостями вместо линий. Решения путем замены и исключения, хотя и более сложные, аналогичны системам с двумя переменными.

Для систем уравнений с более чем тремя уравнениями и тремя неизвестными методы построения графиков и подстановки не подходят для определения решения.Решения для этих типов систем определяются с помощью математического изобретения, известного как матрица. Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, записанных в скобках. Каждое число в матрице называется элементом. Матрицы классифицируются по количеству строк и столбцов.

Позволяя элементам в матрице представлять константы в системе уравнений, можно получить значения переменных, которые решают уравнения.

Системы уравнений сыграли важную роль в развитии бизнеса, промышленности и вооруженных сил со времен Второй мировой войны (1939–1945).В этих областях решения систем уравнений получаются с использованием компьютеров и метода максимизации параметров системы, называемого линейным программированием.

См. Также Графики и графики; Решение уравнения.

КНИГИ

Биттингер, Марвин Л. и Давик Элленбоген. Промежуточная алгебра: концепции и приложения . 6-е изд. Ридинг, Массачусетс: Издательство Аддисон-Уэсли, 2001.

Бертон, Дэвид М. История математики: Введение .Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, 2007.

Дим, Клайв Л. Принципы математического моделирования . Амстердам, Нидерланды, и Бостон, Массачусетс: Elsevier Academic Press, 2004.

Farmelo, Graham, ed. Это должно быть красиво: великие уравнения современной науки . Лондон, Великобритания: Granta, 2002.

Luthar, I.S. Наборы, функции и числа . Оксфорд, Великобритания: Alpha Science International, 2005.

Сетек, Уильям М. Основы математики . Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall, 2005.

Перри Романовски

Системы линейных уравнений: две переменные

Результаты обучения

  • Решайте системы уравнений с помощью построения графиков, подстановок и сложений.
  • Определите несовместимые системы уравнений, содержащие две переменные.
  • Выразите решение системы зависимых уравнений, содержащей две переменные, в стандартных обозначениях.

Производитель скейтбордов представляет новую линейку досок.Производитель отслеживает свои затраты, то есть сумму, которую он тратит на производство плат, и свой доход, который представляет собой сумму, которую он зарабатывает от продажи своих плат. Как компания может определить, получает ли она прибыль от своей новой линии? Сколько скейтбордов необходимо произвести и продать, чтобы можно было получить прибыль? В этом разделе мы рассмотрим линейные уравнения с двумя переменными, чтобы ответить на эти и подобные вопросы.

(Источник: Thomas Sørenes)

Введение в системные решения

Чтобы исследовать такие ситуации, как ситуация с производителем скейтборда, нам необходимо признать, что мы имеем дело с более чем одной переменной и, вероятно, более чем с одним уравнением.Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, составленных из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно. Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное количество решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть по крайней мере столько же уравнений, сколько переменных.Но даже в этом случае это не гарантирует уникального решения.

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений с двумя переменными, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = 15 \\ [1 мм] 3x-y & = 5 \ end {align} [/ latex]

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — это любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо.В этом примере упорядоченная пара [латекс] (4,7) [/ латекс] является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям. Вскоре мы исследуем методы поиска такого решения, если оно существует.

[латекс] \ begin {align} 2 \ left (4 \ right) + \ left (7 \ right) & = 15 && \ text {True} \\ [1 мм] 3 \ left (4 \ right) — \ left (7 \ right) & = 5 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Помимо учета количества уравнений и переменных, мы можем классифицировать системы линейных уравнений по количеству решений.Согласованная система уравнений имеет по крайней мере одно решение. Согласованной системой считается независимая система , если она имеет единственное решение, такое как пример, который мы только что исследовали. Две линии имеют разные уклоны и пересекаются в одной точке на плоскости. Согласованной системой считается зависимая система , если уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковые перехваты y . Другими словами, линии совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же линию.Каждая точка на линии представляет пару координат, удовлетворяющую системе. Таким образом, существует бесконечное количество решений.

Другой тип системы линейных уравнений — это несовместимая система , в которой уравнения представляют собой две параллельные линии. Линии имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y- . Для обеих линий нет общих точек; следовательно, у системы нет решения.

Общее примечание: типы линейных систем

Существует три типа систем линейных уравнений с двумя переменными и три типа решений.

  • Независимая система имеет ровно одну пару решений [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]. Точка пересечения двух линий — единственное решение.
  • Несогласованная система не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекутся.
  • Зависимая система имеет бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

Ниже приводится сравнение графических представлений каждого типа системы.

Как сделать: для данной системы линейных уравнений и упорядоченной пары определите, является ли упорядоченная пара решением.

  1. Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение системы.
  2. Определите, являются ли истинные утверждения результатом подстановки в обоих уравнениях; в таком случае заказанная пара является решением.

Пример: определение того, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] решением данной системы уравнений.

[латекс] \ begin {align} x + 3y & = 8 \\ 2x-9 & = y \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Подставьте упорядоченную пару [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] в оба уравнения.

[латекс] \ begin {align} \ left (5 \ right) +3 \ left (1 \ right) & = 8 \\ [1mm] 8 & = 8 && \ text {True} \\ [3mm] 2 \ left (5 \ right) -9 & = \ left (1 \ right) \\ [1 мм] 1 & = 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Упорядоченная пара [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому это решение системы.

Анализ решения

Мы можем ясно увидеть решение, построив график каждого уравнения. Поскольку решение представляет собой упорядоченную пару, удовлетворяющую обоим уравнениям, это точка на обеих прямых и, следовательно, точка пересечения двух прямых.

Попробуй

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс] \ left (8,5 \ right) [/ latex] решением следующей системы.

[латекс] \ begin {align} 5x-4y & = 20 \\ 2x + 1 & = 3y \ end {align} [/ latex]

Решение систем уравнений с помощью построения графиков

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений.Для системы линейных уравнений с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, построив систему уравнений на одном и том же наборе осей.

Пример: решение системы уравнений с двумя переменными с помощью построения графиков

Решите следующую систему уравнений, построив график. Определите тип системы.

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = — 8 \\ x-y & = — 1 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Решите первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = — 8 \\ y & = — 2x-8 \ end {align} [/ latex]

Решите второе уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} x-y & = — 1 \\ y & = x + 1 \ end {align} [/ latex]

Постройте оба уравнения на одном и том же наборе осей:

Кажется, что линии пересекаются в точке [латекс] \ влево (-3, -2 \ вправо) [/ латекс]. Мы можем убедиться, что это решение системы, подставив упорядоченную пару в оба уравнения.

[латекс] \ begin {align} 2 \ left (-3 \ right) + \ left (-2 \ right) & = — 8 \\ [1 мм] -8 = -8 && \ text {True} \\ [ 3 мм] \ left (-3 \ right) — \ left (-2 \ right) & = — 1 \\ [1 мм] -1 & = — 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Решением системы является упорядоченная пара [латекс] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex], поэтому система независима.

Попробуй

Решите следующую систему уравнений, построив график.

[латекс] \ begin {собрано} 2x — 5y = -25 \\ -4x + 5y = 35 \ end {собрано} [/ latex]

Показать решение

Решением системы является упорядоченная пара [латекс] \ left (-5,3 \ right) [/ latex].

Вопросы и ответы

Можно ли использовать построение графиков, если система непоследовательна или зависима?

Да, в обоих случаях мы можем построить график системы для определения типа системы и решения.Если две линии параллельны, система не имеет решения и непоследовательна. Если две линии идентичны, система имеет бесконечное количество решений и является зависимой системой.

Попробуй

Постройте три разные системы с помощью онлайн-графического инструмента. Отнесите каждое решение к категории непротиворечивых или непоследовательных. Если система непротиворечива, определите, является ли она зависимой или независимой. Возможно, вам будет проще построить каждую систему по отдельности, а затем очистить свои записи, прежде чем строить следующую.
1)
[латекс] 5x-3y = -19 [/ латекс]
[латекс] x = 2y-1 [/ латекс]

2)
[латекс] 4x + y = 11 [/ латекс]
[латекс] -2y = -25 + 8x [/ латекс]

3)
[латекс] y = -3x + 6 [/ latex]
[латекс] — \ frac {1} {3} y + 2 = x [/ latex]

Показать решение

  1. Одно решение — последовательное, независимое
  2. Нет решений, непоследовательные, ни зависимые, ни независимые
  3. Множество решений — последовательные, зависимые

Решение систем уравнений подстановкой

Решение линейной системы двух переменных с помощью построения графиков хорошо работает, когда решение состоит из целочисленных значений, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод.Мы рассмотрим еще два метода решения системы линейных уравнений , которые более точны, чем построение графиков. Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение, чтобы найти вторую переменную. Напомним, что мы можем решать только одну переменную за раз, поэтому метод подстановки является одновременно ценным и практичным.

Как: дана система двух уравнений с двумя переменными, решите, используя метод подстановки.

  1. Решите одно из двух уравнений относительно одной из переменных через другую.
  2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем найдите оставшуюся переменную.
  3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
  4. Проверьте решение в обоих уравнениях.

Пример: решение системы уравнений с двумя переменными подстановкой

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

[латекс] \ begin {align} -x + y & = — 5 \\ 2x-5y & = 1 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Сначала мы решим первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} -x + y & = — 5 \\ y & = x — 5 \ end {align} [/ latex]

Теперь мы можем заменить выражение [latex] x — 5 [/ latex] на [latex] y [/ latex] во втором уравнении.

[латекс] \ begin {align} 2x — 5y & = 1 \\ 2x — 5 \ left (x — 5 \ right) & = 1 \\ 2x — 5x + 25 & = 1 \\ -3x & = — 24 \\ x & = 8 \ end {align} [/ latex]

Теперь мы подставляем [latex] x = 8 [/ latex] в первое уравнение и решаем относительно [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {align} — \ left (8 \ right) + y & = — 5 \\ y & = 3 \ end {align} [/ latex]

Наше решение — [латекс] \ left (8,3 \ right) [/ latex].

Проверьте решение, подставив [latex] \ left (8,3 \ right) [/ latex] в оба уравнения.

[латекс] \ begin {align} -x + y & = — 5 \\ — \ left (8 \ right) + \ left (3 \ right) & = — 5 && \ text {True} \\ [3mm] 2x — 5y & = 1 \\ 2 \ left (8 \ right) -5 \ left (3 \ right) & = 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Попробуй

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

[латекс] \ begin {align} x & = y + 3 \\ 4 & = 3x — 2y \ end {align} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (-2, -5 \ вправо) [/ латекс]

Вопросы и ответы

Можно ли методом подстановки решить любую линейную систему с двумя переменными?

Да, но этот метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.

Следующее видео длится ~ 10 минут и представляет собой мини-урок по использованию метода подстановки для решения системы линейных уравнений.Мы представляем три разных примера, а также используем инструмент построения графиков, чтобы подытожить решение для каждого примера.

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения

Третий метод решения систем линейных уравнений — это метод сложения , этот метод также называется методом исключения . В этом методе мы складываем два члена с одинаковой переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю.Конечно, не все системы созданы с двумя членами одной переменной, имеющими противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения умножением, чтобы одна переменная была исключена сложением.

Как: решить систему уравнений методом сложения.

  1. Запишите оба уравнения с переменными x и y слева от знака равенства и константами справа.
  2. Напишите одно уравнение над другим, выстроив соответствующие переменные.Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
  3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
  4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и решите вторую переменную.
  5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Пример: решение системы методом сложения

Решите данную систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = — 1 \\ -x + y & = 3 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Оба уравнения уже установлены равными константе. Обратите внимание, что коэффициент [латекс] x [/ латекс] во втором уравнении, –1, противоположен коэффициенту [латекс] x [/ латекс] в первом уравнении, 1.Мы можем сложить два уравнения, чтобы исключить [latex] x [/ latex] без умножения на константу.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = — 1 \\ -x + y & = 3 \\ \ hline 3y & = 2 \ end {align} [/ latex]

Теперь, когда мы удалили [latex] x [/ latex], мы можем решить полученное уравнение для [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 3y & = 2 \\ y & = \ dfrac {2} {3} \ end {align} [/ latex]

Затем мы подставляем это значение для [latex] y [/ latex] в одно из исходных уравнений и решаем для [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} -x + y & = 3 \\ -x + \ frac {2} {3} & = 3 \\ -x & = 3- \ frac {2} {3} \\ -x & = \ frac {7} {3} \\ x & = — \ frac {7} {3} \ end {align} [/ latex]

Решение этой системы — [латекс] \ left (- \ frac {7} {3}, \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].

Проверьте решение в первом уравнении.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = — 1 \\ \ left (- \ frac {7} {3} \ right) +2 \ left (\ frac {2} {3} \ right) & = \\ — \ frac {7} {3} + \ frac {4} {3} & = \\ \ — \ frac {3} {3} & = \\ -1 & = — 1 && \ text {True} \ end {align} [/ латекс]

Анализ решения

Мы получаем важное представление о системах уравнений, глядя на графическое представление.Посмотрите на график ниже, чтобы увидеть, что уравнения пересекаются в решении. Нам не нужно спрашивать, может ли быть второе решение, потому что наблюдение за графиком подтверждает, что система имеет ровно одно решение.

Пример: использование метода сложения, когда требуется умножение одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения .

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = — 11 \\ x — 2y & = 11 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Добавление этих уравнений в представленном виде не устраняет переменную.Однако мы видим, что в первом уравнении есть [latex] 3x [/ latex], а во втором уравнении — [latex] x [/ latex]. Итак, если мы умножим второе уравнение на [latex] -3, \ text {} [/ latex], элементы x прибавятся к нулю.

[латекс] \ begin {align} x — 2y & = 11 \\ -3 \ left (x — 2y \ right) & = — 3 \ left (11 \ right) && \ text {Умножаем обе стороны на} -3 \ \ -3x + 6y & = — 33 && \ text {Использовать свойство распределения}. \ end {align} [/ latex]

А теперь добавим их.

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = — 11 \\ −3x + 6y & = — 33 \\ \ hline 11y & = — 44 \\ y & = — 4 \ end {align} [/ latex]

На последнем этапе мы подставляем [latex] y = -4 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решаем для [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = — 11 \\ 3x + 5 \ left (-4 \ right) & = — 11 \\ 3x — 20 & = — 11 \\ 3x & = 9 \\ x & = 3 \ end {align} [/ latex]

Наше решение — упорядоченная пара [латекс] \ left (3, -4 \ right) [/ latex]. Проверьте решение в исходном втором уравнении.

[латекс] \ begin {align} x — 2y & = 11 \\ \ left (3 \ right) -2 \ left (-4 \ right) & = 3 + 8 \\ & = 11 && \ text {True} \ конец {align} [/ latex]

Попробуй

Решите систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x — 7y & = 2 \\ 3x + y & = — 20 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (-6, -2 \ вправо) [/ латекс]

Пример: использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3y & = — 16 \\ 5x — 10y & = 30 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Одно уравнение имеет [латекс] 2x [/ латекс], а другое — [латекс] 5x [/ латекс].Наименьшее общее кратное — [latex] 10x [/ latex], поэтому нам придется умножить оба уравнения на константу, чтобы исключить одну переменную. Давайте удалим [latex] x [/ latex], умножив первое уравнение на [latex] -5 [/ latex], а второе уравнение на [latex] 2 [/ latex].

[латекс] \ begin {align} -5 \ left (2x + 3y \ right) & = — 5 \ left (-16 \ right) \\ -10x — 15y & = 80 \\ [3 мм] 2 \ left (5x — 10y \ right) & = 2 \ left (30 \ right) \\ 10x — 20y & = 60 \ end {align} [/ latex]

Затем мы складываем два уравнения.

[латекс] \ begin {align} -10x-15y & = 80 \\ 10x-20y & = 60 \\ \ hline -35y & = 140 \\ y & = — 4 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = -4 [/ latex] в исходное первое уравнение.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3 \ left (-4 \ right) & = — 16 \\ 2x — 12 & = — 16 \\ 2x & = — 4 \\ x & = — 2 \ end {align} [ / латекс]

Решение: [латекс] \ left (-2, -4 \ right) [/ latex]. Проверьте это в другом уравнении.

[латекс] \ begin {align} 5x — 10y & = 30 \\ 5 \ left (-2 \ right) -10 \ left (-4 \ right) & = 30 \\ -10 + 40 & = 30 \\ 30 & = 30 \ end {align} [/ latex]

Пример: использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

[латекс] \ begin {align} \ frac {x} {3} + \ frac {y} {6} & = 3 \\ [1 мм] \ frac {x} {2} — \ frac {y} {4 } & = 1 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Сначала очистите каждое уравнение от дробей, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

[латекс] \ begin {align} 6 \ left (\ frac {x} {3} + \ frac {y} {6} \ right) & = 6 \ left (3 \ right) \\ [1 мм] 2x + y & = 18 \\ [3 мм] 4 \ left (\ frac {x} {2} — \ frac {y} {4} \ right) & = 4 \ left (1 \ right) \\ [1 мм] 2x-y & = 4 \ end {align} [/ latex]

Теперь умножьте второе уравнение на [latex] -1 [/ latex], чтобы мы могли исключить x .

[латекс] \ begin {align} -1 \ left (2x-y \ right) & = — 1 \ left (4 \ right) \\ [1 мм] -2x + y & = — 4 \ end {align} [/ латекс]

Сложите два уравнения, чтобы исключить x , и решите полученное уравнение относительно y .

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = 18 \\ −2x + y & = — 4 \\ \ hline 2y & = 14 \\ y & = 7 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = 7 [/ латекс] в первое уравнение.

[латекс] \ begin {align} 2x + \ left (7 \ right) & = 18 \\ 2x & = 11 \\ x & = \ frac {11} {2} \\ & = 7.5 \ end {align} [/ latex]

Решение: [латекс] \ left (\ frac {11} {2}, 7 \ right) [/ latex]. Проверьте это в другом уравнении.

[латекс] \ begin {align} \ frac {x} {2} — \ frac {y} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {\ frac {11} {2}} {2} — \ frac {7} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {11} {4} — \ frac {7} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {4} {4} & = 1 \ end {align} [/ latex]

Попробуй

Решите систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3y & = 8 \\ 3x + 5y & = 10 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (10, -4 \ вправо) [/ латекс]

в следующем видео мы представляем больше примеров того, как использовать метод сложения (исключения) для решения системы двух линейных уравнений.

Классифицируйте решения по системам

Теперь, когда у нас есть несколько методов решения систем уравнений, мы можем использовать эти методы для выявления несовместимых систем. Напомним, что несовместимая система состоит из параллельных линий, которые имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения [latex] y [/ latex]. Они никогда не пересекутся. При поиске решения несовместимой системы мы получим ложное утверждение, например [latex] 12 = 0 [/ latex].

Пример: решение несовместимой системы уравнений

Решите следующую систему уравнений.

[латекс] \ begin {gather} & x = 9 — 2y \\ & x + 2y = 13 \ end {gather} [/ latex]

Показать решение

Мы можем подойти к этой проблеме двумя способами. Поскольку одно уравнение для [латекс] x [/ латекс] уже решено, наиболее очевидным шагом является использование замены.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = 13 \\ \ left (9 — 2y \ right) + 2y & = 13 \\ 9 + 0y & = 13 \\ 9 & = 13 \ end {align} [/ latex]

Ясно, что это утверждение противоречит тому, что [латекс] 9 \ ne 13 [/ латекс].Следовательно, у системы нет решения.

Второй подход заключается в том, чтобы сначала манипулировать уравнениями так, чтобы они оба были в форме пересечения наклона. Мы манипулируем первым уравнением следующим образом.

[латекс] \ begin {собрано} x = 9 — 2y \\ 2y = -x + 9 \\ y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {9} {2} \ end {собрано} [ / латекс]

Затем мы преобразуем второе уравнение, выраженное в форму пересечения наклона.

[латекс] \ begin {собрано} x + 2y = 13 \\ 2y = -x + 13 \\ y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {13} {2} \ end {собрано} [ / латекс]

Сравнивая уравнения, мы видим, что они имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения y .Следовательно, линии параллельны и не пересекаются.

[латекс] \ begin {gather} y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {9} {2} \\ y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {13} {2 } \ end {gather} [/ latex]

Анализ решения

Запись уравнений в форме пересечения наклона подтверждает, что система несовместима, потому что все линии в конечном итоге будут пересекаться, если они не параллельны. Параллельные линии никогда не пересекаются; таким образом, две линии не имеют общих точек. Графики уравнений в этом примере показаны ниже.

Попробуй

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {gather} 2y — 2x = 2 \\ 2y — 2x = 6 \ end {gather} [/ latex]

Показать решение

Нет решения. Это противоречивая система.

Выражение решения системы зависимых уравнений, содержащих две переменные

Напомним, что зависимая система уравнений с двумя переменными — это система, в которой два уравнения представляют собой одну и ту же линию.Зависимые системы имеют бесконечное количество решений, потому что все точки на одной линии также находятся на другой линии. После использования замены или добавления результирующее уравнение будет идентичным, например [латекс] 0 = 0 [/ латекс].

Пример: поиск решения зависимой системы линейных уравнений

Найдите решение системы уравнений с помощью метода сложения .

[латекс] \ begin {собрано} x + 3y = 2 \\ 3x + 9y = 6 \ end {собрано} [/ latex]

Показать решение

С помощью метода сложения мы хотим исключить одну из переменных, добавив уравнения.В этом случае давайте сосредоточимся на удалении [латекс] х [/ латекс]. Если мы умножим обе части первого уравнения на [latex] -3 [/ latex], то мы сможем исключить переменную [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} x + 3y & = 2 \\ \ left (-3 \ right) \ left (x + 3y \ right) & = \ left (-3 \ right) \ left (2 \ right) \\ -3x — 9y & = — 6 \ end {align} [/ latex]

Теперь сложите уравнения.

[латекс] \ begin {align} −3x − 9y & = — 6 \\ + 3x + 9y & = 6 \\ \ hline 0 & = 0 \ end {align} [/ latex]

Мы видим, что будет бесконечное число решений, удовлетворяющих обоим уравнениям.

Анализ решения

Если бы мы переписали оба уравнения в форме пересечения наклона, мы могли бы знать, как будет выглядеть решение перед добавлением. Давайте посмотрим, что происходит, когда мы преобразуем систему в форму с пересечением наклона.

[латекс] \ begin {align} \ begin {gather} x + 3y = 2 \\ 3y = -x + 2 \\ y = — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ конец {собрано} \ hspace {2cm} \ begin {gather} 3x + 9y = 6 \\ 9y = -3x + 6 \\ y = — \ frac {3} {9} x + \ frac {6} {9} \ \ y = — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ end {gather} \ end {align} [/ latex]

Посмотрите на график ниже.Обратите внимание, что результаты такие же. Общее решение системы — [латекс] \ left (x, — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].

Написание общего решения

В предыдущем примере мы представили анализ решения следующей системы уравнений:

[латекс] \ begin {собрано} x + 3y = 2 \\ 3x + 9y = 6 \ end {собрано} [/ latex]

После небольшой алгебры мы обнаружили, что эти два уравнения в точности совпадают. Затем мы записали общее решение как [latex] \ left (x, — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].Зачем нам писать решение именно так? В некотором смысле это представление о многом говорит нам. Он говорит нам, что x может быть любым, x — это x . Это также говорит нам, что y будет зависеть от x , точно так же, как когда мы пишем правило функции. В этом случае, в зависимости от того, что вы указали для x , y будет определено в терминах x как [латекс] — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} [ /латекс].

Другими словами, существует бесконечно много пар ( x , y ), которые удовлетворяют этой системе уравнений, и все они попадают на линию [латекс] f (x) — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} [/ латекс].

Попробуй

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {собрано} y — 2x = 5 \\ -3y + 6x = -15 \ end {собрано} [/ latex]

Показать решение

Система является зависимой, поэтому существует бесконечно много решений вида [латекс] \ left (x, 2x + 5 \ right) [/ latex].

Использование систем уравнений для исследования прибыли

Используя то, что мы узнали о системах уравнений, мы можем вернуться к проблеме производства скейтбордов в начале раздела.Функция дохода производителя скейтбордов — это функция, используемая для расчета суммы денег, поступающей в бизнес. Это может быть представлено уравнением [латекс] R = xp [/ latex], где [latex] x = [/ latex] количество и [latex] p = [/ latex] цена. Функция дохода показана оранжевым цветом на графике ниже.

Функция затрат — это функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса. Он включает постоянные затраты, такие как аренда и заработная плата, и переменные затраты, такие как коммунальные услуги.Функция стоимости показана синим цветом на графике ниже. Ось x представляет количество в сотнях единиц. Ось y представляет собой стоимость или доход в сотнях долларов.

Точка пересечения двух линий называется точкой безубыточности . Из графика видно, что если произведено 700 единиц, стоимость составит 3300 долларов, а выручка также составит 3300 долларов. Другими словами, компания сломается, даже если произведет и продаст 700 единиц. Они не зарабатывают и не теряют деньги.

Заштрихованная область справа от точки безубыточности представляет объемы, от которых компания получает прибыль. Заштрихованная область слева представляет объемы, по которым компания терпит убытки. Функция прибыли — это функция дохода за вычетом функции затрат, записываемая как [латекс] P \ left (x \ right) = R \ left (x \ right) -C \ left (x \ right) [/ latex]. Очевидно, что знание количества, при котором затраты равны выручке, имеет большое значение для бизнеса.

Пример: определение точки безубыточности и функции прибыли с помощью подстановки

Дана функция стоимости [латекс] C \ left (x \ right) = 0.85x + 35 {,} 000 [/ latex] и функция дохода [latex] R \ left (x \ right) = 1,55x [/ latex], найдите точку безубыточности и функцию прибыли.

Показать решение

Напишите систему уравнений, используя [latex] y [/ latex], чтобы заменить обозначение функции.

[латекс] \ begin {align} y & = 0,85x + 35 {,} 000 \\ y & = 1,55x \ end {align} [/ latex]

Подставьте выражение [latex] 0.85x + 35 {,} 000 [/ latex] из первого уравнения во второе уравнение и решите относительно [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {собрано} 0.85x + 35 {,} 000 = 1,55x \\ 35 {,} 000 = 0,7x \\ 50 {,} 000 = x \ end {в собранном виде} [/ latex]

Затем мы подставляем [latex] x = 50 {,} 000 [/ latex] либо в функцию стоимости, либо в функцию дохода.

[латекс] 1,55 \ слева (50 {,} 000 \ справа) = 77 {,} 500 [/ латекс]

Точка безубыточности — [latex] \ left (50 {,} 000,77 {,} 500 \ right) [/ latex].

Функция прибыли находится по формуле [латекс] P \ left (x \ right) = R \ left (x \ right) -C \ left (x \ right) [/ latex].

[латекс] \ begin {align} P \ left (x \ right) & = 1.55x- \ left (0.85x + 35 {,} 000 \ right) \\ & = 0.7x — 35 {,} 000 \ end {align} [/ latex]

Функция прибыли: [латекс] P \ left (x \ right) = 0,7x — 35 {,} 000 [/ latex].

Анализ решения

Стоимость производства 50 000 единиц составляет 77 500 долларов США, а выручка от продажи 50 000 единиц также составляет 77 500 долларов США. Чтобы получить прибыль, бизнес должен произвести и продать более 50 000 единиц.

Из графика ниже видно, что функция прибыли имеет отрицательное значение до тех пор, пока [latex] x = 50 {,} 000 [/ latex] не пересечет ось x .Затем график переходит в положительные значения y и продолжает движение по этому пути, поскольку функция прибыли представляет собой прямую линию. Это показывает, что точка безубыточности для предприятий наступает, когда функция прибыли равна 0. Область слева от точки безубыточности представляет работу с убытками.

Написание системы линейных уравнений для ситуации

Редко можно получить уравнения, которые четко моделируют поведение, с которым вы сталкиваетесь в бизнесе, скорее, вы, вероятно, столкнетесь с ситуацией, для которой вы знаете ключевую информацию, как в приведенном выше примере.Ниже мы суммируем три ключевых фактора, которые помогут вам преобразовать ситуацию в систему.

Как сделать: в ситуации, которая представляет собой систему линейных уравнений, напишите систему уравнений и найдите решение.

  1. Определите входные и выходные данные каждой линейной модели.
  2. Определите наклон и пересечение y каждой линейной модели.
  3. Найдите решение, установив две линейные функции равными другой и решив для x , или найдите точку пересечения на графике.

А теперь давайте попрактикуемся, чтобы задействовать эти ключевые факторы. В следующем примере мы определяем, сколько разных типов билетов продано, учитывая информацию об общей выручке и количестве билетов, проданных на мероприятие.

Пример: запись и решение системы уравнений с двумя переменными

Стоимость билета в цирк составляет 25 долларов для детей и 50 долларов для взрослых. В определенный день посещаемость цирка составляет 2000 человек, а общий доход от ворот составляет 70 000 долларов.Сколько детей и сколько взрослых купили билеты?

Показать решение

Пусть c = количество детей и a = количество взрослых, посещающих школу.

Общее количество человек — 2000 человек. Мы можем использовать это, чтобы написать уравнение количества людей в цирке в тот день.

[латекс] c + a = 2 {,} 000 [/ латекс]

Доход от всех детей можно найти, умножив 25 долларов США на количество детей, [латекс] 25c [/ латекс]. Доход от всех взрослых можно найти, умножив 50 долларов.00 по количеству взрослых, [латекс] 50а [/ латекс]. Общий доход составляет 70 000 долларов. Мы можем использовать это, чтобы написать уравнение дохода.

[латекс] 25c + 50a = 70 {,} 000 [/ латекс]

Теперь у нас есть система линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {gather} c + a = 2,000 \\ 25c + 50a = 70 {,} 000 \ end {gather} [/ latex]

В первом уравнении коэффициент при обеих переменных равен 1. Мы можем быстро решить первое уравнение для [латекса] c [/ латекса] или [латекса] a [/ латекса].Решим за [латекс] [/ latex].

[латекс] \ begin {собрано} c + a = 2 {,} 000 \\ a = 2 {,} 000-c \ end {собрано} [/ latex]

Подставьте выражение [latex] 2 {,} 000-c [/ latex] во второе уравнение для [latex] a [/ latex] и решите для [latex] c [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 25c + 50 \ left (2 {,} 000-c \ right) & = 70 {,} 000 \\ 25c + 100 {,} 000 — 50c & = 70 {,} 000 \ \ -25c & = — 30 {,} 000 \\ c & = 1 {,} 200 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [latex] c = 1 {,} 200 [/ latex] в первое уравнение для решения относительно [latex] a [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 1 {,} 200 + a & = 2 {,} 000 \\ a & = 800 \ end {align} [/ latex]

Мы обнаружили, что 1200 детей и 800 взрослых купили билеты в цирк в тот день.

Попробуй

Билеты в цирк стоят 4 доллара для детей и 12 долларов для взрослых. Если было куплено 1650 билетов на питание на общую сумму 14 200 долларов, сколько детей и сколько взрослых купили билеты на питание?

Иногда система уравнений может помочь в принятии решения. В нашем следующем примере мы помогаем ответить на вопрос: «Какая компания по аренде грузовиков предоставит наилучшую стоимость?»

Пример: построение системы линейных моделей для выбора компании по аренде грузовиков

Джамал выбирает между двумя компаниями по аренде грузовиков.Первый, Keep on Trucking, Inc., взимает предоплату в размере 20 долларов, затем 59 центов за милю. Второй, Move It Your Way, требует предоплаты в размере 16 долларов США, затем 63 цента за милю. Когда компания Keep on Trucking, Inc. станет лучшим выбором для компании Jamal?

Показать решение

Двумя важными величинами в этой задаче являются стоимость и количество пройденных миль. Поскольку нам нужно рассмотреть две компании, мы определим две функции.

Ввод d , пройденное расстояние в милях
Выходы K ( d ): стоимость в долларах для аренды у Keep on Trucking M ( d ) стоимость в долларах для аренды у Move It Your Way
Начальное значение Авансовый платеж: K (0) = 20 и M (0) = 16
Скорость изменения K ( d ) = 0 руб.59 за милю и P ( d ) = 0,63 доллара за милю

Линейная функция имеет вид [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex]. Используя скорости изменения и начальные расходы, мы можем записать уравнения

[латекс] \ begin {align} K \ left (d \ right) = 0,59d + 20 \\ M \ left (d \ right) = 0,63d + 16 \ end {align} [/ latex]

Используя эти уравнения, мы можем определить, когда Keep on Trucking, Inc. будет лучшим выбором. Поскольку все, что нам нужно сделать, это затраты, мы ищем, когда Move It Your Way будет стоить меньше, или когда [латекс] K \ left (d \ right)

Эти графики схематично изображены выше, причем K ( d ) выделены синим цветом.

Чтобы найти пересечение, мы приравниваем уравнения и решаем:

[латекс] \ begin {align} K \ left (d \ right) & = M \ left (d \ right) \\ 0,59d + 20 & = 0,63d + 16 \\ 4 & = 0,04d \\ 100 & = d \ \ d & = 100 \ end {align} [/ latex]

Это говорит нам о том, что стоимость проезда для двух компаний будет одинаковой, если проехать 100 миль.Либо посмотрев на график, либо отметив, что [латекс] K \ left (d \ right) [/ latex] растет медленнее, мы можем сделать вывод, что Keep on Trucking, Inc. будет дешевле, когда больше, чем Проехано 100 миль, то есть [латекс] d> 100 [/ латекс].

Приложения для систем кажутся почти бесконечными, но мы просто покажем еще одно. В следующем примере мы определяем количество 80% раствора метана, которое нужно добавить к 50% раствору, чтобы получить окончательный раствор 60%.

Пример: решение проблемы химической смеси

У химика есть 70 мл 50% раствора метана.Сколько 80% раствора она должна добавить, чтобы окончательный раствор состоял из 60% метана?

Показать решение

Мы воспользуемся следующей таблицей, чтобы помочь нам решить эту проблему со смесью:

Сумма Часть Всего
Начало
Добавить
Финал

Начнем с 70 мл раствора, и неизвестное количество может быть x .Часть представляет собой проценты или концентрацию раствора 0,5 для начала, 0,8 для доп.

Сумма Часть Всего
Начало 70 мл 0,5
Добавить [латекс] х [/ латекс] 0,8
Финал [латекс] 70 + x [/ латекс] 0,6

Добавьте столбец суммы, чтобы получить окончательную сумму.Часть этого количества равна 0,6, потому что мы хотим, чтобы окончательный раствор содержал 60% метана.

Сумма Часть Всего
Начало 70 мл 0,5 35
Добавить [латекс] х [/ латекс] 0,8 [латекс] 0,8x [/ латекс]
Финал [латекс] 70 + x [/ латекс] 0,6 [латекс] 42 + 0,6x [/ латекс]

Умножьте сумму на часть, чтобы получить сумму.обязательно распределить по последнему ряду: [латекс] (70 + х) 0,6 [/ латекс].

Если мы сложим начало и добавим записи в столбце «Итого», мы получим окончательное уравнение, которое представляет общую сумму и ее концентрацию.

[латекс] \ begin {align} 35 + 0,8x & = 42 + 0,6x \\ 0,2x & = 7 \\ \ frac {0,2} {0,2} x & = \ frac {7} {0,2} \\ x & = 35 \ конец {align} [/ latex]

35 мл 80% раствора необходимо добавить к 70 мл 50% раствора, чтобы получить 60% раствор метана.

Тот же процесс можно использовать, если к начальной и конечной сумме привязана цена, а не процент.

Ключевые понятия

  • Система линейных уравнений состоит из двух или более уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.
  • Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо.
  • Системы уравнений классифицируются как независимые с одним решением, зависимые с бесконечным числом решений или несовместимые с отсутствием решения.
  • Один из методов решения системы линейных уравнений с двумя переменными — построение графиков. В этом методе мы строим уравнения на одном и том же наборе осей.
  • Другой метод решения системы линейных уравнений — подстановка. В этом методе мы решаем одну переменную в одном уравнении и подставляем результат во второе уравнение.
  • Третий метод решения системы линейных уравнений — это сложение, в котором мы можем исключить переменную, добавив противоположные коэффициенты соответствующих переменных.
  • Часто необходимо умножить одно или оба уравнения на константу, чтобы упростить исключение переменной при сложении двух уравнений.
  • Любой метод решения системы уравнений приводит к ложному утверждению для несовместимых систем, потому что они состоят из параллельных линий, которые никогда не пересекаются.
  • Решение системы зависимых уравнений всегда будет верным, потому что оба уравнения описывают одну и ту же линию.
  • Системы уравнений могут использоваться для решения реальных задач, которые включают более одной переменной, например, относящиеся к выручке, затратам и прибыли.

Глоссарий

метод сложения алгебраический метод, используемый для решения систем линейных уравнений, в котором уравнения складываются таким образом, чтобы исключить одну переменную, позволяя решить полученное уравнение для оставшейся переменной; затем используется подстановка для решения первой переменной

точка безубыточности точка, в которой функция затрат пересекает функцию дохода; где прибыль нулевая

согласованная система система, для которой существует единое решение для всех уравнений в системе, и это независимая система, или если существует бесконечное количество решений, и это зависимая система

функция затрат функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса; обычно состоит из двух частей: постоянных затрат и переменных затрат

зависимая система система линейных уравнений, в которой два уравнения представляют одну и ту же линию; существует бесконечное количество решений зависимой системы

несовместимая система система линейных уравнений без общего решения, поскольку они представляют собой параллельные линии, не имеющие общей точки или прямой

независимая система система линейных уравнений с ровно одной парой решений [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]

функция прибыли функция прибыли записывается как [латекс] P \ left (x \ right) = R \ left (x \ right) -C \ left (x \ right) [/ latex], выручка минус затраты

функция дохода функция, которая используется для расчета дохода, просто записывается как [латекс] R = xp [/ latex], где [latex] x = [/ latex] количество и [latex] p = [/ latex] цена.

метод подстановки алгебраический метод, используемый для решения систем линейных уравнений, в котором одно из двух уравнений решается для одной переменной, а затем подставляется во второе уравнение для решения для второй переменной

система линейных уравнений набор из двух или более уравнений с двумя или более переменными, которые должны рассматриваться одновременно.


Решение системы уравнений — методы и примеры

Как решить систему уравнений?

К настоящему моменту у вас есть представление о том, как решать линейные уравнения, содержащие одну переменную. Что, если бы вам представили множественных линейных уравнений, содержащих более одной переменной ? Набор линейных уравнений с двумя или более переменными известен как система уравнений .

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений.

Эта статья научит решать линейные уравнения, используя обычно используемые методы , а именно замену и исключение.

Метод замены

Замена — это метод решения линейных уравнений, в котором переменная в одном уравнении выделяется, а затем используется в другом уравнении для определения оставшейся переменной.

Общие шаги для замены:

  • Сделайте предмет формулы для переменной в одном из данных уравнений.
  • Подставьте значение этой переменной во второе уравнение. ’
  • Решите уравнение, чтобы получить значение одной из переменных.
  • Подставьте полученное значение в любое из уравнений, чтобы также получить значение другой переменной.

Давайте решим пару примеров, используя метод подстановки.

Пример 1

Решите следующие системы уравнений.

b = a + 2

a + b = 4.

Решение

Подставьте значение b во второе уравнение.

a + (a + 2) = 4

Теперь решите для

a + a + 2 = 4

2a + 2 = 4

2a = 4-2

a = 2/2 = 1

Подставьте полученное значение a в первое уравнение.

b = a + 2

b = 1 + 2

b = 3

Следовательно, решение двойного уравнения: a = 1 и b = 3.

Пример 2

Решите следующие уравнения с помощью замены.
7x — 3y = 31 ——— (i)

9x — 5y = 41 ——— (ii)

Решение

Из уравнения (i)

7x — 3y = 31

Сделайте y предмет формулы в уравнении:

7x — 3y = 31

Вычтем 7x из обеих частей уравнения 7x — 3y = 31, чтобы получить;

— 3y = 31 — 7x

3y = 7x — 31

3y / 3 = (7x — 31) / 3

Следовательно, y = (7x — 31) / 3

Теперь подставим уравнение y = ( 7x — 31) / 3 во второе уравнение: 9x — 5y = 41

9x — 5 × (7x — 31) / 3 = 41

Решение уравнения дает;

27x — 35x + 155 = 41 × 3

–8x + 155 — 155 = 123 — 155

–8x = –32

8x / 8 = 32/8

x = 4

Подставляя значение x в уравнении y = (7x — 31) / 3, получаем;

y = (7 × 4 — 31) / 3

y = (28 — 31) / 3

y = –3/3

y = –1

Следовательно, решение этих систем уравнений x = 4 и y = –1

Пример 3

Решите следующие наборы уравнений:

2x + 3y = 9 и x — y = 3

Решение

Сделать x темой формула во втором уравнении.

х = 3 + у.

Теперь подставьте это значение x в первое уравнение: 2x + 3y = 9.

⇒ 2 (3 + y) + 3y = 9

⇒ 6 + 2y + 3y = 9

y = ⅗ = 0,6

Подставляем полученное значение y во второе уравнение — y = 3.

⇒ x = 3 + 0,6

x = 3,6

Следовательно, решение будет x = 3,6 и y = 0,6

Метод исключения

При решении систем уравнений методом исключения выполняются следующие шаги:

  • Приравняйте коэффициенты данных уравнений путем умножения на константу.
  • Вычтите из новых уравнений общие коэффициенты с одинаковыми знаками и сложите, если общие коэффициенты имеют противоположные знаки,
  • Решите уравнение, полученное в результате сложения или вычитания
  • Подставьте полученное значение в любое из уравнений, чтобы получить значение другого Переменная.

Пример 4

4a + 5b = 12,

3a — 5b = 9

Решение

Поскольку коэффициенты b в двух уравнениях одинаковы, мы складываем члены по вертикали.

4a + 3a) + (5b — 5b) = 12 + 9

7a = 21

a = 21/7

a = 3

подставляем полученное значение a = 3 в уравнение первое уравнение

4 (3) + 5b = 12,

12 + 5b = 12

5b = 12-12

5b = 0

b = 0/5 = 0

Следовательно, решение a = 3 и b = 0.

Пример 5

Решите, используя метод исключения.

2x + 3y = 9 ———– (i)

x — y = 3 ———– (ii)

Решение

Умножьте два уравнения на 2 и выполните вычитание.

2x + 3y = 9

(-)

2x — 2y = 6

-5y = -3

y = ⅗ = 0,6

Теперь подставим полученное значение y во второе уравнение: x — y = 3

x — 0,6 = 3

x = 3,6

Следовательно, решение: x = 3,6 и y = 0,6

Практические вопросы

1. Решите данную систему уравнений:

2y + 3x = 38

y — 2x = 12

2. Решите x — y = 12 и 2x + y = 22

3.Решить x / 2 + 2/3 y = -1 и x — 1 / 3y = 3

4. Решить 2a — 3 / b = 12 и 5a — 7 / b = 1

5. Решить систему уравнений x + 2y = 7 и 2x + 3y = 11

6. Решите систему уравнений 5x — 3y = 1 и 2x + y = -4

7. Решите 2x — 3y = 1 и 3x — 4y = 1

8 Решите систему уравнений 3x — 5y = -23 и 5x + 3y = 7

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Искусство решения проблем

Система уравнений — это набор уравнений, которые используют одни и те же переменные.Ниже приведен пример системы уравнений.

Содержание

  • 1 Решите 2 уравнения с переменными менее чем за 5 секунд !!!
  • 2 Решение линейных систем
    • 2.1 Исключение Гаусса
      • 2.1.1 Проблема
      • 2.1.2 Решение
    • 2.2 Замена
      • 2.2.1 Проблема
      • 2.2.2 Решение
    • 2.3 Графики
      • 2.3.1 Проблема
      • 2.3.2 Решение
    • 2.4 Расширенные методы
  • 3 удобные системы
    • 3.1 Симметрия
    • 3,2 Умная замена
  • 4 Проблемы
    • 4.1 Вводный
    • 4.2 Средний
  • 5 См. Также

Решите 2 уравнения с переменными менее чем за 5 секунд !!!

Ссылка на видео: https://youtu.be/pSYT95hSH6M

Решение линейных систем

Система линейных уравнений — это система, в которой все переменные находятся в степени 1.Существует три элементарных способа решения системы линейных уравнений.

Исключение по Гауссу

Исключение Гаусса включает удаление переменных из системы путем сложения постоянных кратных двух или более уравнений. Давайте посмотрим на пример:

Проблема

Найдите заказанную пару, для которой

Решение

Мы можем исключить, добавив дважды второе уравнение к первому:

Таким образом.Затем мы можем подключиться к любому из уравнений:

Итак, решение системы есть.

Замена

Второй метод, подстановка, требует решения переменной и последующего включения этой переменной в другое уравнение, что сокращает количество переменных. Мы покажем, как решить ту же задачу из раздела исключения с помощью подстановки.

Проблема

Найдите заказанную пару, для которой

Решение

Первое уравнение можно решить для:

Подставляя это во второе уравнение, получаем

Таким образом.Подключаем это к любому из уравнений и решаем для получения урожайности.

Графики

Третий метод решения системы линейных уравнений состоит в том, чтобы изобразить их на плоскости и наблюдать, где они пересекаются. Мы вернемся к нашему примеру, чтобы проиллюстрировать это.

Проблема

Найдите заказанную пару, для которой

Решение

Изобразим две линии следующим образом:

Из графика видно, что решение системы есть.

Продвинутые методы

Матрицы также могут использоваться для решения систем линейных уравнений. Фактически, они дают возможность сделать гораздо более широкие утверждения о системах линейных уравнений.

Существует целая область математики, посвященная изучению линейных уравнений, которая называется линейной алгеброй.

Удобные системы

Некоторые системы можно решить, используя определенные формы. Однако сначала может показаться, что такие системы сложно решить.

Симметрия

Рассмотрим систему ниже.

Ключевым моментом здесь является использование симметрии. Если мы сложим все 5 уравнений, мы получим в общей сложности 4 каждой переменной на LHS. На RHS у нас будет. Таким образом,

Итак, вычитание из этого первого уравнения оставляет на левой и правой стороне. Вычитание этого уравнения из второго уравнения оставляет на левой и правой сторонах. И таким образом мы продолжаем таким образом, чтобы найти, что

Умная замена

Рассмотрим систему ниже.

Мы можем позволить и получить двухвариантную линейную систему, представленную ниже.

Решение системы дает и. Подстановка этого обратно приводит к и. Мы можем сделать другую замену, позволив и подставив получить. Переставляем результаты в так. Наконец, подставив обратно, мы получим. Обратное подключение удовлетворяет систему.

Проблемы

Вводный

  • 2002 AMC 8 Проблемы / Проблема 17
  • 2007 iTest Проблемы / Проблема 2

Средний

  • 1989 AIME Проблемы / Проблема 8
  • 1993 AIME Проблемы / Проблема 3

См. Также

  • Алгебра
  • Замена

Что такое система уравнений? — Класс по математике [видео 2021 года]

Сравнение скорости двух бегунов

Итак, я хотел бы привести вам пример системы уравнений, но сначала я собираюсь начать с небольшой справочной информации.

Люблю бегать. Я выхожу время от времени, и я даже участвовал в нескольких гонках. Несколько лет назад я тоже занимался триатлоном. Но моя девушка на самом деле очень хорошо бегает и бегает почти каждый день. Мы решили, что будет весело провести гонку вместе, поэтому начали бегать друг с другом, чтобы подготовиться к ней, но быстро поняли, что она намного быстрее меня. Поэтому, чтобы это было интересно нам обоим, мы решили дать мне небольшую фору и посмотреть, сможет ли она меня поймать.

Я могу пробегать около 1 мили каждые 9 минут, но она может пробегать 1 милю каждые 7 минут. Итак, если бы мы собирались тренироваться на полумарафоне, то есть на 13 миль, и у меня была бы фора в 2 мили, смогла бы она меня догнать?

Это представляет собой систему уравнений, потому что у нас есть два уравнения — одно, которое представляет меня, а другое, которое представляет ее. Решая ее, мы пытаемся выяснить, когда эти уравнения совпадают.

Теперь мы можем сделать это двумя способами: с помощью графа или алгебры.Как всегда, график даст нам хорошую визуальную оценку, но алгебра сделает гораздо лучшую работу, дав нам точный ответ.

Построение системы уравнений

Итак, давайте продолжим и начнем сначала с графика, чтобы мы могли понять, что происходит, и, возможно, предположить, о чем мы думаем, а затем мы будем использовать алгебру для проверки наше предположение.

Если мы начнем с построения графика, я начну уже на 2 мили вперед даже после того, как пройдет ноль минут, так что моя первая точка здесь на 2 мили.Затем каждые 1 милю я поднимаюсь на 9 минут вперед, так что моя следующая точка будет прямо здесь. Затем я поднимался еще на милю за 9 минут, и моя следующая точка была прямо здесь. Мы можем продолжать подниматься на 1 милю за 9 минут и получаем кучу очков подряд.

Но я не просто волшебным образом телепортируюсь между точками; Я как бы медленно добираюсь туда. Итак, между этими точками есть множество маленьких точек. Я как бы медленно добираюсь до этой точки, и если вы поставите достаточно маленьких точек в ряд, они в конечном итоге превратятся в сплошную линию.В итоге мы получаем прямую линию, которая точно показывает, где я нахожусь через определенное количество минут.

Причина, по которой это прямая линия, в том, что мы предполагаем, что я могу все время двигаться с одинаковой скоростью. Я никогда не замедляюсь и никогда не ускоряюсь. Это линейное уравнение. Я всегда увеличиваю каждый раз на одну и ту же величину.

График системы уравнений

Ее уравнение начинается с нуля, потому что у нее нет форы.Она начинает здесь с нуля, но затем каждые 1 милю поднимается, ей нужно идти только более 7 минут. Итак, если мы продолжим этот шаблон, мы получим кучу маленьких точек подряд; соединяем все точки и для нее тоже получаем линию.

И то, что мы ищем, — это то место, где она меня ловит, то есть там, где линии пересекаются; место, где они находятся в одном месте. Кажется, прямо здесь. Похоже, она меня побьет, но давайте продолжим и проверим с помощью алгебры.

Настройка системы уравнений

Итак, поскольку оба эти уравнения являются линиями, это означает, что они линейные уравнения, что означает, что я могу записать их в форме пересечения наклона ( mx + b ). Итак, единственные две вещи, которые мне нужно найти для каждого уравнения, — это наклон (на сколько мы движемся) и интервал y (где мы начинаем).

Если мы сначала проведем мое уравнение, моя начальная точка будет на 2 милях, потому что я получаю фору на 2 мили. Итак, мое значение b равно 2.Уклон, который представляет собой подъем над бегом, составляет 1 милю и более 9 минут. Итак, мой наклон равен 1/9, что означает, что мое уравнение: y = (1/9) x +2.

У нее, с другой стороны, нет форы, поэтому ее интервал y равен нулю. Мы могли поставить «плюс ноль» в конце или вообще не писать. Ее наклон, насколько она продвигается (подъем над бегом), каждый раз она поднимается на 1 милю и более 7 минут. Ее уклон 1/7. Ее уравнение: y = (1/7) x .

Решение относительно x в системе уравнений

Решение системы уравнений

Поскольку мы пытаемся найти, где эти два уравнения совпадают, мы просто хотим знать, в какой точке совпадают y s и x s. Итак, если я хочу, чтобы и были такими же — если я хочу, чтобы мои и были такими же, как и ее и , — я могу просто заменить то, что, как я знаю, мои и будут на ее . y .Так что там, где я вижу ее и , я ставлю то, что у меня и . Это означает, что я беру выражение (1/9) x +2 и помещаю его там, где было ее y . Я получаю новое уравнение: (1/9) x +2 = (1/7) x . Теперь у меня есть линейное уравнение с одной переменной, которое я могу решить с помощью обратных операций.

Я могу отменить (1/9) x с вычитанием на другую сторону. Мне нужно сделать вычитание дробей, поэтому я должен сделать (1/7) x минус (1/9) x , что означает получение общего знаменателя.(9/63) x минус (7/63) x дает мне (2/63) x .

С другой стороны уравнения у нас все еще есть наши 2. Теперь нам нужно отменить дробь. Я могу отменить дробь, умножив ее на обратную. Итак, я умножаю обе стороны на 63/2. x теперь само по себе, и 2 * 63/2, используя некоторое дробное умножение, говорит нам, что x равно 63.

Если мы вернемся к нашему графику, мы увидим, что ось x составляет минуты, и мы только что обнаружили, что она поймает меня через 63 минуты.Но мы не совсем уверены, было ли это до или после того, как мы закончили 13 миль, поэтому, чтобы узнать, где на трассе это было, мы должны снова подставить 63 в любое уравнение. На самом деле не имеет значения, какой именно, потому что мы находимся в одном месте, поэтому в любом случае мы получим один и тот же ответ.

Решение системы показывает точную точку, где встречаются бегуны.

Я решу подключить его к ее, потому что это немного проще (нам не нужно добавлять 2 на конце).И я получаю y = (1/7) * 63. Решая еще одну задачу на быстрое умножение дробей, мы получаем y = 9 миль. Это означает, что ей потребовалось 63 минуты, чтобы догнать меня, и мы прошли 9 миль в гонке, поэтому она полностью победила меня.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *