Математика прямая линия: Прямая и ее части – что такое в математике, правило

Содержание

Математика 1 класс «Точка. Кривая линия. Прямая линия. Отрезок. Луч»

Тема: Точка. Кривая линия. Прямая линия. Отрезок. Луч.( 25.11.2017г.)

Цели: уточнить и обобщить геометрические представления детей, полученные ими в  дошкольном возрасте; расширить геометрические представления школьников; сформировать представления о понятиях «прямая», «кривая», «отрезок», «луч»; развивать пространственное воображение; внимание учащихся, наблюдательность, стремление к точности и аккуратности.

Тип урока: изучение нового материала.

Технологии: игровая, групповая, ИКТ технология, здоровьесберегающая.

Личностные умения: проявлять интерес к изучению темы; осознание   собственной успешности при изучении темы; умение выслушивать своего товарища при работе в паре.

Метапредметные умения

Познавательные:  определять геометрическую фигуру: точка, прямая и кривая линии и обосновывать своё мнение; сравнивать геометрические фигуры и обосновывать свое мнение; использовать приобретенные знания при выполнении заданий.

Регулятивные: выполнять учебные задания в соответствии с целью; оценивать правильность выполнения действий; соотносить поставленную цель и полученный результат деятельности.

Коммуникативные:  формулировать высказывание, используя математические термины, в рамках учебного диалога; оформлять речевое высказывание, представляя свою позицию; адекватно использовать речевые средства для представления результата деятельности; умение работать в паре.

Предметные умения: называть геометрическую фигуру; распознавать геометрическую фигуру на плоскости; выполнять построение геометрической фигуры: точка, кривая линия, прямая линия,  отрезок, луч.

Оборудование:  учебник «Математика 1 класс Моро М. И., С. И. Волкова,

С. В. Степанова; рабочая тетрадь, линейки, простые карандаши.

Ход урока.

1.Организационный момент.

Прозвенел звонок-

Начинается урок.

Наши ушки на макушке,

Глазки шире открываем,

Слушаем, запоминаем,

Ни минуты не теряем.

2.Повторение изученного материала.

Разминка.

*Сколько шей у пяти журавлей?

*Какой первый день недели?

*Назовите осенние месяца.

*Назовите три математических знака( «+», «-», «=» )

Игра «Заселяем домики»

Выполняем Упражнение на дыхание « Свеча»

3.Работа над новой темой урока.

Сообщение темы, постановка целей.

(На доске изображены геометрические фигуры. )

.

Посмотрите на доску. Что на ней изображено? ( геометрические фигуры, линии , многоугольники, четырехугольники, точка и т.д.)

Все ли они одинаковые? ( нет)

Назовите и покажите те геометрические фигуры, которые вам знакомы.

Для того чтобы их изобразить, что рисовали? (линии и точки)

О чем же будем говорить на уроке? (о линиях)

Это и будет темой нашего урока.

Точка. Прямая и кривая линии. Луч. Отрезок.(тема записывается на доске)

Как вы думаете, что нам предстоит выяснить на уроке математики? (познакомиться подробнее и узнать как называются эти фигуры)

Какие ещё задачи мы можем решить на уроке? ( научимся их различать, чертить)
А кто уже сейчас может дать название этим линиям? ( кривые, прямые)

( на доске записаны опорные слова цели урока)

1)Познакомиться

2)Научиться

Это и есть план нашего урока. Давайте работать по нему для достижения целей.

Но сначала немного отдохнем.

Физкультурная минутка (У жирафа пятна….)

Сегодня мы с вами отправляемся в увлекательное путешествие по стране Геометрии. А, отгадав загадку, вы узнаете, кто будет нам помогать в путешествии. (рисунок)

Я чёрный, красный, желтый, синий,

С начинкой твёрдой в середине,

Я с острым ножиком дружу

И что хочу – изображу. (Карандаш)

Правильно, вместе с нами будет путешествовать Карандаш. Это не простой Карандаш, а волшебный. Он знает много нового и интересного и познакомит нас с жителями страны Геометрии. Главные инструменты, которые нужны в этой стране это Линейка , угольник, цыркуль…..

  1. Точка. Прямая линия. Кривая.

Итак, наш волшебный Карандаш ткнул «носом» в лист бумаги.

— Что же получилось? (Точка)

— Поставьте и вы в тетрадях несколько точек. Дети выполняют.

— А теперь соедините две любые точки.

— Что у вас получилось? (Линия).

— А как вы думаете, можно ли нарисовать линию без точек? (Можно).

— Начертите и вы линию и отметьте на ней, сколько хотите, точек.

Дети выполняют.

— Сколько у вас получилось точек? (Множество).

— Какие линии у вас получились? (Кривые).

— Почему они называются кривыми? (Они неровные, проводятся от руки).

— Ровную линию провести очень трудно. Чтобы провести ровно, нужен инструмент. А как он называется, вы узнаете, отгадав загадку:

Я люблю прямоту, я сама прямая.

Сделать ровную черту всем я помогаю.

Что-нибудь без меня начертить сумей-ка.

Угадайте-ка, друзья, кто же я ?… (Линейка)

— Как пользоваться линейкой? ( Надо прижать её к бумаге и вести карандаш вдоль линейки.)

— Попробуйте сами начертить такую линию. (Дети чертят прямую линию)

— Как бы вы назвали эту линию? (Прямая)

Прямая линия у нас нарисовалась в первый раз!

— Почему вы назвали эту линию прямой? Чем она отличается от кривой линии?

— Отметьте на своей прямой какую-нибудь точку.

Дети выполняют.

— А вот задание трудное. Поставьте точку на листе бумаги и попробуйте провести через неё прямую линию.

Дети выполняют.

— Попробуйте провести ещё линию, ещё одну линию.

— Сколько у вас получилось линий? (Много)

— А теперь поставьте две точки и соедините их прямой линией. Сколько таких линий можно провести? (Одну).

— Какое важное открытие мы для себя сделали при помощи волшебного карандаша? (Через одну точку можно провести много линий, через две точки – только одну).

4. Физкультминутка.

  1. Отрезок.

    • А теперь я расскажу вам сказку, — сказал Карандаш.

    • Жила-была точка. Она была очень любопытная и хотела всё знать. Увидит любую линию и непременно спросит:

    • Какая это линия, длинная или короткая?

    • Подумала однажды точка: «Как же я всё смогу узнать, если всегда буду жить в одном месте?» И отправилась точка путешествовать по прямой линии.

Шла она шла. Долго шла. Устала и говорит:

Засмеялась прямая линия:

  • Эх ты, точка, разве ты не знаешь, что у прямой нет конца?

  • Тогда я пойду назад, — сказала точка.

  • И в другую сторону не будет конца. У прямой вообще не бывает концов.

  • Что же мне делать, — задумалась точка, — Не могу же я вечно гулять по прямой.

  • А ты позови на помощь ножницы, — подсказала прямая.

Тут, откуда ни возьмись появились ножницы, щёлкнули раз, щёлкнули два, и разрезали прямую.

  • Как интересно, что же получилось из моей прямой?

  • Это отрезок, — сказали ножницы, теперь ты на отрезке прямой.

  • Отрезок прямой, отрезок прямой. – повторила точка.

  • И вы, ребята, повторите, что получилось из прямой.

Математику люблю.

Спину ровно я держу.

Вправо, влево наклоняюсь,

Как прямая, выправляюсь.

Руки в стороны раздвину,

Вверх ладошки подниму

И отрезок покажу.

Раз присядем, два присядем

И на место тихо сядем.

5.Закрепление изученного материала.

Работа по учебнику.

  • Рассмотрите рисунок вверху на с. слева (с. 36).

  • Кто изображён на этом рисунке?

  • Какая линия у зайца?

  • Какая линия у волка?

  • Рассмотри чертёж под рисунком.

  • Какого цвета на рисунке прямые линии? Кривые линии? Назови отрезки.

  • Рассмотрите рисунки 1 и 2 внизу страницы.

  • Сколько кривых линий можно провести через одну точку?

  • Сколько прямых можно провести через одну точку?

  • Рассмотрите рисунок 3.

  • Сколько кривых можно провести через две точки?

  • Сколько прямых можно провести через две точки?

  • Рассмотрите рисунок на странице справа (с. 37).

  • Покажите на рисунке кривые линии; отрезки.

6.Итог урока, рефлексия.

— Что мы узнали на уроке?

— Что научились делать с помощью чертёжного инструмента?

— Приведите пример кривых линий вокруг нас.

— А прямых линий?

— Ребята, карандаш решил открыть вам тайну: идеальных прямых в природе нет.

Рефлексия.

«Красный карандаш» Вы считаете, что урок прошёл для вас плодотворно, с пользой. Вы научились и можете помочь другим.

«Зеленый карандаш» Вы считаете, что знаете отличие линий друг от друга, но вам ещё нужна помощь.

«Синий карандаш» Вы считаете, что было трудно на уроке.

Конспект урока «Точка,прямая линия ,отрезок»


 


 


Тема урока:«Точка. Прямая линия. Кривая линия. Отрезок»


Цели и задачи урока:


-Повторить счет от 0 до 10 и обратно


-Закрепить состав чисел:6,7 и умение решать примеры, основанные на знании состава этих чисел.


-Познакомить детей с геометрическими фигурами: прямая линия, кривая линия, точка, отрезок.


-Провести практическую работу по построению этих геометрических фигур.


-Научить детей делать выводы и обобщения после проведения практических действий.


-Продолжать развивать внимание и наблюдательность.


 


1. 


 


2.  Устный счет:


 


  • сосчитай от 3 до 8


    • от 2 до 6

    • от 9 до 5

    • от 7 до 2

  • Назовите соседей  числа 5. Какое число расположено левее, чем 5? Какое число расположено правее, чем 5? Какое число больше 5 или 4? Почему? Какое число меньше 5 или 6? Почему?


 


  • Назови следующее по счету число числу: 4,6,2,7,0.

  • Назови предшествующее по счету число числу: 8,3,9,5,3.

  • Назови соседей числа:  4, 6, 9, 2  (Слайд 1)

  •  


3. Актуализация знаний


  • Как можно продолжить ряд фигур? (Слайд 2)


 


 


  • Игра «Заселяем домики»: (Слайд 3)


 


 


Назови пропущенное число: (Слайд 4)


4. Объяснение новой темы


 


— Сегодня на уроке мы с вами совершим путешествие в страну геометрию, где живут геометрические фигуры.


— Назовите геометрические фигуры, с которыми вы уже знакомы.


Сегодня мы познакомимся  с новыми жителями:


 


 


                                               ТЕМА УРОКА


Это точка-королева Геометрии, потому что ни одну геометрическую фигуру без неё нельзя построить.


фигуру без неё нельзя построить.


 


 


Это прямые линии. Они не имеют ни начала, ни конца, их можно продолжить, к ним можно приложить линейку.


 


 


Это кривые линии. Они тоже не имеют ни начала, ни конца, но к ним нельзя приложить линейку.


 


 А сейчас вы поймете, почему точку называют КОРОЛЕВОЙ  ГЕОМТРИИ


 — Что у меня в руках? (КЛУБОК)


 


Какая геометрическая фигура?


(Прямая линия)


— Я отрезаю её небольшую часть и  ставлю точку, чтобы её нельзя было продолжить в одну сторону. Получилась новая геометрическая фигура. Луч. Его можно продолжить только в одну сторону.


 


— Теперь с другой стороны я поставлю точку и отрежу. Теперь нельзя продолжить ни в одну сторону. Это отрезок. Чем он отличается от прямой и кривой линий?


(У него есть начало и конец, его нельзя продолжить.)


— Из чего состоит отрезок?


 


Назовите эти геометрические фигуры.


(Точка, прямая линия)


Физкультминутка


 


 


5 Закрепление нового материала


-Что вы запомнили о прямой линии, луче и отрезке?


 


-С помощью какого инструмента будем чертить прямую?


 


-Отрезок?


-Как начертить отрезок? (Поставить две точки и соединить)


 


Практическая работа тетрадь стр. 15


Индивидуальная работа


-На какие 2 группы можно разделить?(2,3,5- прямые и кривые 1,4)


-Сколько прямых можно провести через 2 точки?(Одну)


-А кривых?(Много)


 


-Прочитайте следующее задание. Раскрасьте рисунки самостоятельно


 


 


 


  • Посмотрите на слайд

  • Как узнать, какой отрезок самый длинный? Посчитайте и скажите


Какой самый короткий?


 


 


Работа в парах


 


Рассмотрите рисунок стр.41


Какие линии вы видите. Расскажите соседу по парте.


 


 


— Рассмотрите рисунок слева. (Слайд 18)


 


 


 


  • Сколько цыплят было? Что изменилось? Сколько цыплят стало?

  •  Какая запись подходит к этому рисунку?

  • Рассмотрите рисунок справа. Сколько утят было? Что изменилось? Сколько утят стало?

  • Какая запись подходит к этому рисунку?


Записать в тетради


 


Физкультминутка


 


6.Самостоятельная работа учащихся на листках. (Слайд 19)


 


 


На листочках изображена паутинка.


— Найдите  кривые, обведите их синим карандашом, а на прямых выполните вычисления


-Обведите лучи на рисунке зелёным карандашом.


-Как начертить отрезок?


-Есть ли на рисунке отрезки?


Подпишите работы


 


 6.Рефлексия


-Посмотрите на рисунок, паучок притаился на паутинке.


Оцените свою работу на уроке при помощи выражения мимики паучка.


Передайте работы


 


8 Итог урока:


— Вот и подошло к завершению наше увлекательное путешествие.


 Что вам больше всего понравилось оно?


 


-Как называется страна в которую мы путешествовали?


-Каких героев повстречали в этой стране?


 — С какими геометрическими фигурами мы сегодня познакомились?


-Назовите фигуры, которые не имеют ни начала, ни конца.


— Чем они отличаются друг от друга?


— Какая фигура является королевой Геометрии?


 — Какая фигура получится из двух точек и прямой?


— Найдите на картинке прямые линии, кривые линии, отрезки.


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 

Конспект урока по Математике «Точка.

Кривая линия. Прямая линия. Отрезок. Луч»

Тема: Точка. Кривая линия. Прямая линия. Отрезок. Луч.

Цель:

Познакомить детей с понятиями: точка, прямая линия, кривая линия, отрезок, луч.

Задачи:

  • Закрепить прямой и обратный счёт в пределах 10.

  • Закрепить состав числа 4.

  • Учить решать задачи в стихотворной форме.

  • Научить строить линии, отрезок, луч по линейке.

  • Уметь находить заданные линии на рисунке.

  • Уметь работать в парах и оценивать работу товарища.

Ход урока

  1. Организационный момент.

Учитель:

Математика зовёт

Первоклашек на урок,

Числа нас ведут вперёд

Будем знать всё «на зубок».

Постановка цели, задач урока.

— Сегодня на уроке мы познакомимся с такими линиями, как прямая, кривая, луч и отрезок. Напомним нашему котику счёт в прямом и обратном порядке, а так же, как можно составить число 4.

2. Повторение. Устная работа (10 мин., презентация «математика, первый слайд)

а) Прямой и обратный счёт в пределах 10.

У: Покажем нашему котику, как мы умеем считать до 10.

Индивидуальный опрос.

У: Теперь будем считать от 10 до 1.

б) Задачи в стихах:

Тишка – кот такой глупышка,

Очень рыбу любит Тишка.

На рыбалке побывал,

Два пескарика поймал,

Щуки две и два ерша.

Жизнь у Тишки хороша!

Кто быстрее сосчитал,

Сколько рыбок кот поймал?

На забор взлетел петух,

Повстречал ещё там двух.

Сколько стало петухов?

Кто быстрее сосчитал,

Сколько рыбок кот поймал?

По тропинке в лесок

Покатился колобок.

Встретил серого зайчишку,

Встретил волка, встретил мишку,

Да плутовку лису

Повстречал он в лесу

Отвечай поскорей

Сколько встретил колобок зверей.

в) Игра « Запусти рыбок в аквариум». (работа с демонстрационным материалом)

У: В аквариуме плавало 2 рыбки,

сколько нужно запустить рыбок, чтобы их стало 4?

Ребёнок выставляет 2 рыбки.

Картинка аквариума с 3 рыбками,

сколько нужно вставить рыбок, чтобы их стало 4.

Картинка с 1 рыбкой, сколько нужно вставить рыбок, чтобы их стало 4.

Значит, как мы получили число 4?

Дети называют способы: 4 это 2 и 2; 4 это 3 и 1; 4 это 1 и 3.

3. На 10 минуте физпауза. (2 мин.)

Давайте с котиком отдохнём

(презентация «математика, второй слайд)

Мы листики осенние,

На ветках мы сидим.

Дунул ветер-полетели.

Мы летели, мы летели.

И на землю тихо сели.

Ветер снова набежал

И листочки все поднял.

Закружились, полетели

И на землю тихо сели.

(презентация «математика, третий слайд)

Каждый день по утрам

Делаем зарядку (ходьба на месте).

Очень нравится нам

Делать по порядку (приседания),

Весело шагать,

Руки поднимать,

Приседать и вставать,

Прыгать и скакать.

4. Презентация. Новый материал (7мин., презентация «математика, четвертый – восьмой слайд)

У: 4 слайд. Светило солнышко. Наш котик увидел солнечный лучик и побежал по прямой дорожке.

5 слайд. Потом дорожка стала извилистой.

6 слайд. Тут попался на пути клубок и Тишка разыгрался с ним.

7 слайд. Ниточка размоталась и привела котика к закрытой дорожке. Дальше хода нет.

8 слайд. Ребята, в математике эти линии называют «прямая линия» не имеет ни начала, ни конца, «кривая линия», «отрезок» имеет начало и конец, «луч», имеет начало, но не имеет конца.

Работа на доске.

Учитель: Посмотрите, что я отмечаю на доске? Ставлю три точки.

Дети: Это точки.

У: Правильно, это точки. Скажите, сколько, по вашему мнению, через одну точку (ставлю) можно провести прямых?

Д: Да, бесконечно много.

У: Сколько кривых можно провести через одну точку.

Д.: Бесконечно много.

У: Сколько отрезков и прямых может пройти через две точки? (ставлю две точки)

Д.: Только одна прямая через две точки может пройти. И только один отрезок.

У: А сколько кривых может пройти через две точки? (ставлю две точки, провожу несколько кривых)

Д.: Много кривых может пройти через две точки.

На 20 минуте физпауза. (2 мин., игра с пальцами)

-Покажем Тишке, как играем с пальчиками:

Мой мизинчик, где ты был?

С этим братцем – в лес ходил.

С этим братцем – щи варил.

С этим братцем – песни пел.

Ну, а этого встречал

И конфеткой угощал.

«Буратино»

Буратино потянулся

Раз нагнулся, два нагнулся

Руки в стороны развел

Видно ключик не нашел

Чтобы ключик нам достать

На носочки нужно встать

«Лебеди»

Лебеди летят

Крыльями машут

Пригнулись над водой

Качают головой

Прямо и гордо умеют держаться

Тихо, бесшумно на воду садятся

5. Работа в тетради (8 мин.)

У: Тишка хочет научиться изображать прямую, отрезок, луч. С помощью чего можно начертить линии ровно?

Д: С помощью линейки.

Учитель показывает на доске и поясняет.

У: Сначала нужно поставить 2 точки. Взять линейку и положить её так, чтобы она проходила через 2 точки. Затем взять карандаш и провести линию по линейке от точки до точки. Получился отрезок. У отрезка есть начало и конец.

У: Начерчу луч. Ставлю точку, от неё по линейке веду прямую. У луча есть начало, но нет конца.

А теперь начертите в тетради прямую, отрезок, луч и кривую линию, по которым побежит кот Тишка.

Обсудить в парах начерченные линии.

6. Итог урока (1 мин. (презентация «математика, восьмой слайд))

— Молодцы, ребята! Тишке понравилось, как вы работали.

— С какими линиями познакомились?

Дети: Прямая, отрезок, кривая, луч.

— Что вам запомнилось больше всего?

Презентация — Математика 1 класс «Точка — Кривая линия — Прямая линия

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

1 класс Математика
Точка Кривая линия Прямая линия Отрезок

Слайд 2

Разминка
— Сколько шей у пяти гусей?

Слайд 3

Разминка
— Как называется утренняя еда до обеда?

Слайд 4

Разминка
— Назови первый день недели.

Слайд 5

Разминка
— Назови осенние месяцы.

Слайд 6

Разминка
— Назови три математических знака.

+
=

Слайд 7

Слайд 8

5
4
4
4
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
3
1
2
4

Слайд 9

Слайд 10

3 + 2 = 5
5 — 1 = 4
3 + 1 = 4
4 — 3 = 1
2 + 2 = 4
4 — 1 = 3

Слайд 11

Найди недостающую фигуру

Слайд 12

Работа со счётными палочками

Слайд 13

Постройте фигуру так, как показано на рисунке. Сколько здесь квадратов?

Слайд 14

Уберите 2 палочки, чтобы осталось 2 квадрата.

Слайд 15

страна ГЕОМЕТРИЯ

Слайд 16

отрезок
прямая

Слайд 17

Физкультминутка
Буратино потянулся, Раз нагнулся, два нагнулся, Руки вытянул, согнул, И по улице шагнул.

Слайд 18

Работа по учебнику
стр. 40 – 41

Слайд 19

Покажи на рисунке кривые и прямые линии, отрезки прямых (отрезки)

Слайд 20

Покажи на рисунке кривые и прямые линии, отрезки прямых (отрезки)

Слайд 21

Сколько кривых и сколько прямых линий можно провести через 1 точку?
Сколько кривых и сколько прямых линий можно провести через 2 точки?
36

Слайд 22

Покажи на рисунке кривые линии, отрезки.
41

Слайд 23

41
Какая запись подходит к каждой картинке?
4 + 1 = 5
4 – 1 = 3
5 – 1 = 4
5 – 2 = 3

Слайд 24

41
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
5
5
4
4
4
5
2
2

Слайд 25

Работа в тетради
стр. 15

Слайд 26

Слайд 27

кривая
прямая
1
4
2
3
5

Слайд 28

Слайд 29

Слайд 30

Слайд 31

Спасибо за внимание!

Интернет-урок по математике «Точка. Прямая и кривая линия»

Сегодня у нас не простой интернет урок. И  не просто по математике. Есть такая математическая наука — геометрия, которая изучает геометрические фигуры. Интересно? Начнём?

 

Посмотрите на линии. На какие группы можно разделить их?

 

Верно, кривые и прямые. Обведи на чертеже кривые линии синим карандашом, а прямые линии с помощью линейки — красным.

 

А ещё линии бывают…

Задание 1. 

Задание 2. Сколько прямых проведено через точку А?

Можно ли провести через точку А другие прямые? Сколько?

Задание 3. Отметь точку В и проведи через неё 4 прямые.

Задание 4. 

Задание 5.  Задание 6. 

 

Задание 7. 

Раскрась предметы, которые по форме похожи на кривую линию зелёным цветом, а предметы похожие на прямую линию — желтым цветом. 

Задание 8. 

Попробуй сам начертить прямую линию в тетради. Запомни! Прямая линия бесконечна, её можно продолжить как вправо, так и влево.

Поставь точку на листе бумаги и попробуй провести через неё прямую линию. Попробуй провести ещё линию, ещё одну линию. Сколько у тебя получилось линий?

Теперь поставь две точки. Проведи прямую линию.

Как ты думаешь, сколько прямых линий можно провести через эти две точи?

Задание 9.

Поставь точку на листе бумаги и попробуй провести через неё кривую линию.

Попробуй провести ещё линию, ещё одну линию. Сколько у тебя получилось линий?

Поставь ещё 2 точки. Проведи кривую линию.

Можно ли через эти 2 точки провести ещё другие кривые линии? Попробуй. Используй цветные карандаши.

Что ты узнал? Так чем прямые линии отличаются от кривых?

Конспект урока по математике 1 класс УМК Школа России «Точка. Кривая линия. Прямая линия. Отрезок. Луч» | План-конспект урока по математике (1 класс):

Конспект урока по математике в 1 классе.
УМК «Школа России». Математика 1 класс М.И. Моро и др.

Тема урока: «Точка. Кривая линия. Прямая линия. Отрезок. Луч».
Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Цель: первоначальное ознакомление с понятиями: точка, кривая линия, прямая линия, отрезок, луч. В ходе выполнений практических заданий и наблюдений научить различать разные виды линий.
Планируемые результаты: 
Предметные — учащиеся научатся различать и называть прямую линию, кривую, отрезок, луч, ломаную; пользоваться линейкой для черчения; соотносить реальные предметы и их элементы с изученными геометрическими линиями и фигурами;
Регулятивные — выполнять мыслительные операции анализа и синтеза и делать умозаключения; применять полученные ранее знания в измененных условиях;
Коммуникативные — слушать учителя и выполнять его требования; оценивать себя, границы своего знания и незнания; работать в паре и оценивать товарища.
Технологии: проблемно-диалогические, информационно-коммуникативные, здоровье-сберегающие.
Используемые учебники и учебные пособия: УМК «Школа России».
Математика 1 класс М.И. Моро и др.
Используемое оборудование: 
·цветные карандаши
·карточки с заданием
·компьютер;
·музыкальные эффекты;
·карточки с заданиями для групповой работы.
Ход урока. 
Организационный момент.

 Прозвенел звонок и смолк,
Нам пора начать урок.
— Улыбнитесь друг другу. Пусть ваши улыбки улучшат всем настроение.
Актуализация знаний.
Устный счёт- зарядка для ума.
Игра «Засели все этажи»
Минутка для любознательных.
Решите задачу. Раскрасьте квадрат, который нарисован между треугольником и кругом, красным цветом, а круг, нарисованный между треугольниками, синим.
Учитель делит уч-ся на две команды.
На классной доске.
Поставь в кружок, сколько может быть жильцов в каждом домике, а затем заселим все этажи.
Учитель читает задачу медленно, но один раз.
По дороге шла ежиха,
А за нею — пять ежат.
На иголках у ежат
По два яблочка лежат.
Что за чудо! Посмотри!
Сколько всего яблочек? Скажите!
Карточка учащегося.
Учащиеся делятся на две команды.
Какая команда быстрее и правильно заселит дом.
Дети внимательно слушают, по необходимости пользуются кружочками, считая яблоки.
Самоопределение к деятельности. 

Есть такая наука- геометрия, где изучают геометрические фигуры. А фигуры в этой научной стране живут разные. С некоторыми из них вы уже знакомы. Какие геометрические фигуры вы знаете? Назовите их. (показ слайдов: круг, квадрат, прямоугольник, треугольник).
А сегодня в гости к нам придут Точка, Кривая линия, Прямая линия, Отрезок и Луч.
Слайд на доске
А вот прямая и ломаная линии – это геометрические фигуры?
Да. Любое множество точек на плоскости называется геометрической фигурой.
Давайте проведем эксперимент: поставим много точек. Что же у нас получится?
Вывод:
Прямая линия самая длинная, нет ни начала, ни конца. Она бесконечна.
Луч – он тоже очень длинный, но всё-таки не такой, как прямая линия. У него появилось начало, но нет конца.
А вот отрезок — у него есть и начало и конец.
Игра «На что похожи геометрические фигуры»
Запоминать геометрические фигуры просто так – скучно. Давайте представим, что они «ожили» и во что – ни будь превратились.
Вот что увидели дети. (Рисунок на доске).
Посмотрите, какие это были линии?
Сколько прямых линий?
Сколько кривых?
Наборы геометрических фигур: дети находят
круг, квадрат, прямоугольник, треугольник.
Слайд на доске: точка, кривая линия, прямая линия, отрезок, луч.
Да — это геометрические фигуры.
Слайд на доске: солнце, дом, дорожка от дома, дерево,
Дети рисуют точками на доске разные фигуры, а за тем делают вывод.
Прямые и кривые. прямые линии похожи на натянутые веревочки, а не натянутые – это кривые линии.
Две.
Три.
Прямая линия – провода, верёвка, железная дорога.
Ломаная линия – край крыши дома, молния, трещина на асфальте, стене, земле.
Луч- люстра на потолке, ветка дерева, луч солнца, дождик, гвоздь.
От дома идет прямая дорожка, она совсем как отрезок, доска.
Точка-капля, которая упала с кисти на лист бумаги, гвоздь, забитый в доску.
Работа по теме урока.
Практическая работа. О каких линиях вы узнали?
Что узнали о прямой линии?
Возьмем две катушки ниток, натягиваем их, изображая прямую линию, и растягиваем в оба конца до бесконечности.
Что узнали о луче?
Отрезаем нитку, делаем узелок и показываем, что линию можно продолжить только в одну сторону.
Что узнали об отрезке?
Отрезаем нитку с обеих сторон.
Делаем узелки и показываем, что есть начало и есть конец. О прямой, кривой, луче, отрезке.
Она не имеет ни начала ни конца. Она бесконечна.
У него есть начало, но нет конца.
У него есть начало и конец.
Работа с учебником. Откройте учебник на с 40. Что вы видите на рисунке?
Чем прямая линия отличается от кривой?
Что вы запомнили о прямой линии, луче, отрезке Линии – прямая и кривая.
Прямая линия – ровная, а кривая — нет.
Дети рассказывают.
Робота в тетради Откройте тетради. Отступите от записи 4 клетки и поставьте точку.
Точка нам показывает, что на этой линии мы будем работать – чертить прямую линию, отрезок, луч
Но с начала мы вспомним алгоритм действий: как работать с линейкой.
1шаг: найти на линейке точку 0.
2шаг: положить линейку по линии клеток ровно.
3шаг: взять карандаш, придерживая линейку пальчиками одной руки, провести линию по краю линейки.
Как начертить прямую линию?
Как начертить отрезок?
Как начертить луч?
Учитель чертит на доске прямую, отрезок, луч- дети в тетрадях Алгоритм действий висит на доске
Провести по линейке линию.
Поставить две точки и соединить их.
Поставить точку и от нее провести линию.
Дети в тетрадях чертят прямую, отрезок, луч.
Физкультминутка
Закрепление изученного материала.
Работа в тетради с печатной основой
Работа по учебнику
Работа в парах Вышли мыши как-то раз (шаги на месте)
Посмотреть: «Который час» (смотрят по сторонам)
Час, два, три, четыре. (считают, загибая пальчики)
Мышки дёрнули за гири. (дергая приседают)
Вдруг раздался страшный звон.
Побежали мышки вон. (бег на месте)
Откройте тетради на с 15. Рассмотрите линии. Как их можно разделить, на какие группы?
Выполните следующее задание.
Сколько прямых можно провести через две точки?
Сколько кривых можно провести через две точки?
Прочитайте следующее задание.
Выполните его самостоятельно.
Посмотрите на полях с. 40 задание.
Что нам надо узнать?
Как узнать, что сделать?
Какой отрезок самый длинный?
Какой отрезок самый короткий?
Повторение правил работы в парах.
Говорим тихо по очереди.
Слушаем внимательно друг друга
Добавляем, что пропустили.
Рассмотрите рис на с 41. Расскажите друг другу, какие линии вы видите.
Какие записи подходят к рисункам?
Объясните их смысл.
На фоне музыки
Прямые-2,3,5 и кривые- 1, 4.
Одну
Много
Дети раскрашивают рисунки.
Какой отрезок самый длинный.
По линейке измерить, или посчитать, сколько клеточек составляет длина каждого отрезка.
Синий
Красный
4+1=5 – к 4 цыплятам прибежал ещё один. Стало 5 цыплят.
5-2=3 – плавали 5 утят, 2 утенка ушли. Осталось 3 утенка.
Запись 4-1=3 и 5-1=4 не подходят.
Рефлексия
Нарисуйте в тетради смайлик, который отражает ваше отношение к материалу урока.
Покажите учителю и друг другу.
Что вас огорчило?
Что порадовало?
Кому ещё нужно немножко потренироваться?
Оцените свою работу на уроке.
Подведение итогов урока. 

О чём мы сегодня говорили на уроке?
Что нового узнали?
Что запомнилось больше всего?
Домашнее задание. 

Нарисовать рисунок, используя различные геометрические фигуры на тему: «Что на что похоже?»

«ТОЧКА. КРИВАЯ ЛИНИЯ. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ. ОТРЕЗОК»

Конспект урока по математике на тему: «ТОЧКА. КРИВАЯ ЛИНИЯ.
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ. ОТРЕЗОК»

Цели урока: дать учащимся первичные представления о кривой линии, прямой линии, отрезке; продолжать работу по усвоению учащимися состава чисел 2–5; продолжать пропедевтику темы «Задача».

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Изучение нового материала.

1. Знакомство с новыми понятиями.

На доске изображено несколько разных линий.

Учитель просит детей внимательно посмотреть на доску и сказать, что они заметили.

В результате беседы учащиеся под руководством учителя делят все изображённые на доске объекты на 4  г р у п п ы:

точки, кривые линии, прямые линии, отрезки.

2. Графическое изображение изученных линий. Выводы.

– Чем прямая линия отличается от кривой?

– Каким чертёжным инструментом нужно воспользоваться, чтобы начертить прямую линию? (Линейкой.)

– Как вы думаете, почему линейку так назвали?

– Про линейку даже есть стихотворение:

Я – линейка. Прямота –

 Моя  главная  черта.

– Начертите в ваших тетрадях одну прямую линию и одну кривую.

– Нужна ли линейка, для того чтобы начертить кривую линию?

– Поставьте в ваших тетрадях точку.

– Как вы думаете, сколько прямых линий можно провести через одну точку? (Высказывания детей.)

– Проведите одну прямую линию.

– Можно ли провести ещё?

– Проведите.

– А ещё можно провести прямую линию через эту же точку?

– Проведите.

– А ещё можно?

– Проведите.

– Какой  в ы в о д  можно сделать? (Через одну точку можно провести бесконечно много прямых линий.)

– Как вы думаете, можно ли через одну точку провести бесконечно много кривых линий?

– Попробуйте это сделать.

– Какой вывод из этого следует?

– А теперь поставьте в ваших тетрадях две точки.

– Сколько через них можно провести прямых линий? (Высказывания детей.)

– Проведите прямую линию.

– Проведите ещё одну прямую через эти же точки. (Дети пытаются выполнить задание учителя и приходят к выводу, что это сделать невозможно.)

– Получилось ли у вас это сделать?

– Какой  в ы в о д  из этого следует? (Через две точки можно провести только одну прямую линию.)

– Поставьте ещё две точки в ваших тетрадях.

– Сколько кривых можно провести через них?

– Проведите одну кривую линию.

– Можно ли провести ещё одну кривую линию через эти же две точки?

– Попробуйте это сделать.

– А ещё одну?

– Проведите.

– Какой  в ы в о д  из этого следует? (Через две точки можно провести много кривых линий.)

– Проведите прямую линию.

– Поставьте на ней две точки.

– Часть прямой от одной точки до другой выделите цветным карандашом.

– Посмотрите внимательно на доску и найдите линии, похожие на полученную вами.

– Как называются эти линии? (Отрезки.)

– Чем отрезок отличается от прямой линии?

Учитель помогает детям сделать  в ы в о д. (Отрезок – это часть прямой линии. Отрезок имеет начало и конец, то есть ограничен с двух сторон точками, в отличие от прямой линии, которая не имеет ни начала, ни конца, то есть бесконечна.)

– Начертите в ваших тетрадях два отрезка.

В з а и м о п р о в е р к а.

 

III. Пропедевтика темы «Задача».

Учитель предлагает учащимся рассмотреть задание 2 (с. 37 учебника, часть 1).

– Как вы думаете, какое задание предстоит выполнить?

– Составьте рассказы и поставьте к ним вопросы.

– Какое числовое выражение соответствует первому рисунку?

– Какое числовое выражение соответствует второму рисунку?

– Какие числовые выражения оказались «лишними»?

– Составьте по ним рассказы.

 

IV. Составление и чтение равенств.

Учитель может использовать задание 3 (с. 37 учебника, часть 1) и задание 1 (с. 10 в тетради № 1).

Р а б о т а    п о   у ч е б н и к у.

– Составьте выражения в соответствии с рисунками. (Выражения могут записываться учащимися в тетрадях с комментированием, а могут быть записаны только на доске.)

Учителю следует добиваться от учащихся того, чтобы каждое из записанных выражений они читали разными способами.

Р а б о т а   в   т е т р а д и.

Учащиеся читают первое из записанных выражений и закрашивают фигуры, из которых состоит рисунок, в соответствии с выражением.

Например: дано выражение 3 + 2 = 5. Учащиеся закрашивают 3 квадрата синим цветом, а 2 квадрата – зелёным.

Вся работа выполняется  ф р о н т а л ь н о.

V. Итог урока.

– Какие открытия сделали?

– Какая линия называется прямой?

– Что такое «отрезок»?

– Сколько прямых линий можно провести через 1 точку?

– А через две? 

Градиент (уклон) прямой

Градиент (также называемый уклоном) прямой линии показывает, насколько крутой является прямая линия.

Рассчитать

Для расчета градиента:

Разделите изменение высоты на изменение горизонтального расстояния

Градиент = Изменение Y Изменение X

Поиграйте (перетащите точки):

Примеры:

Градиент =
3
3
= 1

Таким образом, градиент равен 1

Градиент =
4
2
= 2

Линия круче, поэтому Градиент больше.

Градиент =
3
5
= 0,6

Линия менее крутая, поэтому Градиент меньше.

Положительный или отрицательный?

Двигаясь слева направо, велосипедист должен пройти P на выезде P Угол наклона:

При измерении линии:

  • Если начать слева и пройти через вправо, то
    положителен (а слева — отрицательно).
  • Вверх положительный , а вниз отрицательный

Градиент =
−4
2
= −2

Эта линия идет на вниз на по мере вашего движения, поэтому градиент у нее отрицательный.

Прямо через

Градиент =
0
5
= 0

Прямая линия (горизонтальная) имеет нулевой градиент.

Прямо вверх и вниз

Градиент =
3
0
= undefined

Последний вариант немного сложен … вы не можете разделить на ноль,
, поэтому градиент «прямой вверх и вниз» (вертикальной) линии «неопределен».

Взлетай и беги

Иногда горизонтальное изменение называется «бегом», а вертикальное изменение — «подъемом» или «падением»:

Это просто разные слова, никакие вычисления не меняются.

2. Прямая линия

Форма прямой линии с пересечением уклона

Форма пересечения наклона (также известная как форма «градиент, y -пересечение») линии задается следующим образом:

y = м x + b

Это говорит нам о том, что наклон линии составляет м, и
y — перехват строки b .

Пример 1

Линия у =
2 x + 4 имеет

  • уклон `м = 2` и
  • y -intercept `b =
    4`.

Нам не нужно создавать таблицу значений для рисования этой линии. Начиная с точки пересечения y (`y = 4`), мы рисуем нашу линию, поднимаясь на 2 единицы на каждую единицу, которую мы идем вправо (так как в этом примере наклон равен 2). .

Чтобы найти точку пересечения x , положим y = 0.

2 х + 4 = 0

`x = -2`

Мы замечаем, что это функция . То есть каждое значение
x , которое у нас есть, дает одно соответствующее значение
л .

Подробнее о функциях и графиках.

Прямая линия с остроконечным уклоном

Нам нужны и другие формы прямой. Полезный
форма точка-уклон форма (или точка-градиент
форма). Мы используем эту форму, когда нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через точку ( x 1 , y 1 ) с уклоном м :

y — y 1 = м ( x x 1 )

Пример 2

Найдите уравнение
прямой, проходящей через `(-2, 1)` с наклоном `-3`.

Ответ

Мы используем:

`y-y_1 = m (x-x_1)`

Здесь,

`x_1 = -2`

`y_1 = 1`

м = -3

Итак, требуемое уравнение:

`y-1 = -3 (x — (- 2) = — 3x-6`

`y = -3x-5`

Мы оставили его в виде пересечения склона. Мы видим наклон
равно -3, а интервал y равен -5.

Общий вид прямой

Другая форма прямой линии, с которой мы сталкиваемся, это
общая форма:

Ax + По + C = 0

Это может быть полезно для рисования линий путем поиска
y -перехват (положите x = 0) и x -перехват
(положим `y = 0`).

Мы также используем общую форму при нахождении перпендикулярного расстояния от точки до линии.

Пример 3

Проведите линию 2 x + 3 y + 12 = 0.

Ответ

Если `x = 0`, мы имеем:` 3y + 12 = 0`, поэтому `y = -4`.

Если `y = 0`, имеем:` 2x + 12 = 0`, поэтому `x = -6`.

Итак, строка:

Обратите внимание, что перехват y — это `-4`, а перехват x -` -6`.

Упражнения

1.Какое уравнение линии
перпендикулярно линии, соединяющей (4, 2) и (3, -5) и проходящей
через (4, 2)?

[Нужно напоминание? См. Раздел «Уклоны перпендикулярных линий».]

Ответ

Линия, соединяющая `(4, 2)` и `(3, -5)`, имеет наклон `m = (- 7) / (- 1) = 7` и показана зеленой пунктирной линией.

Нам нужно найти уравнение пурпурной (розовой) линии.

Линия , перпендикулярная зеленой пунктирной линии, имеет наклон «-1/7».`

Прямая, проходящая через `(4, 2)` с наклоном `-1 / 7`, имеет уравнение:

`y-2 = -1 / 7 (x-4)`

`= -x / 7 + 4 / 7`

`y = -x / 7 + 2 4 / 7`

2. Если «4x — ky = 6» и «6x + 3y + 2 = 0» перпендикулярны, каково значение «k»?

Ответ

(2) Можно вычислить наклон 4 x ky = 6
путем повторного выражения в форме пересечения наклона:

`y = 4 / kx-6 / k`

Итак, мы видим, что наклон равен «4 / k».

Наклон 6x + 3y + 2 = 0 также может быть
вычисляется путем повторного выражения в форме пересечения наклона:

`y = (- 6) / 3x-2/3 = -2x-2 / 3`

Итак, мы видим, что наклон равен «-2».

Чтобы линии были перпендикулярными, нам нужно

`4 / kxx-2 = -1`

Это дает k = 8.

В результате получается строка «4x-8y = 6», которую мы можем упростить до «2x-4y = 3». Вот график ситуации:

12-1-2-3-4-5-61234-1-2-3-4-5xy

`6x + 3y + 2 = 0`

`2x-4y = 3`

Перпендикулярные линии

Коническое сечение: прямое

Каждая из линий и кривых в этой главе представляет собой конических сечения , что означает, что кривые образуются, когда мы разрезаем конус под определенным углом.

Как мы можем получить прямую линию, разрезав конус?

Начнем с двойного конуса (2 правых круговых конуса, расположенных от вершины к вершине):

Если мы разрежем двойной конус плоскостью, касающейся одного края двойного конуса, пересечение будет прямой линией , как показано.

Используя уравнение прямой | Математика

Уравнение прямой обычно преподается в форме:

y = м x + c

, который кратко выражает тот факт, что если мы построим график y против x и переменные будут подчиняться соотношению этой формы, мы получим график прямой линии с градиентом или наклоном м и пересечением (где линия пересекает y- ось) c ( рис 1 )

В химии буква c часто используется для обозначения концентрации, поэтому это может сбивать с толку.Буква, используемая для обозначения точки пересечения, довольно произвольна, поэтому вполне допустимо использовать — как и в оставшейся части этой статьи — уравнение в форме y = mx + b как b . менее часто используемый символ. Действительно, эта форма уравнения обычно используется в некоторых других странах, и несколько вариантов используются по всему миру.

Для учащихся важно уметь использовать это уравнение и понимать концепции, лежащие в его основе, поскольку многие взаимосвязи в химии могут быть выражены в линейной форме.Эта важность даже подтолкнула математиков к разговору о « чувстве символа » — алгебраической параллели с « чувством чисел », известном как чувство числа, — которое включает в себя необходимость для каждого иметь возможность сканировать таблицу данных и предлагать символические отношения между переменные. 1

Представляем уравнение

Хотя уравнение прямой линии хорошо известно, возможно, стоит потратить некоторое время на изучение его более подробно. Проверить уравнение на конкретном примере очень просто, например:

y = 5 x + 2

Легко составить таблицу x против y для нескольких выбранных значений x , например:

Построение этих данных ( рис. 2 ) ясно показывает, что точка пересечения равна 2, а уклон м можно рассчитать как:

Конечно, в это упражнение можно внести больше разнообразия, включив десятичные значения.Это также имеет то преимущество, что делает результаты менее очевидными для тех, кто уже знаком с концепцией.

Может быть более удовлетворительным будет вывести уравнение, которое опять же относительно простое. Начнем с нашего определения градиента, как показано ( рис. 3) :

Мы можем переместить точку P так, чтобы она располагалась на оси y ( рис. 4 ). Немного подумав, покажем, что x 1 = 0 и y 1 = b.Затем мы заменяем x 2 и y 2 на x и y соответственно — в конце концов, это всего лишь произвольные символы, которые представляют числа, которые могут меняться. Уклон м сейчас составляет:

.

Мы можем изменить это по шагам так, чтобы:

y b = м x

и:

y = м x + b

Конечно, уравнения в химии обычно не такие простые, особенно потому, что переменные обычно не равны x и y .И не только ученые заменяют x и y более сложными символами и выражениями, математики также делают это, чтобы сделать задачи более реалистичными и, следовательно, интересными. 2

Я обычно переписываю определяющее уравнение как:

Y = м X + b

, где X является функцией x , а Y является функцией y . Это первый шаг к отходу от простых переменных x и y и учитывает более сложные функции переменных, которые обычно встречаются в уравнениях, связанных с химией.Также может быть полезно разумно использовать скобки, чтобы облегчить сравнение с уравнениями, в которых градиент определяется комбинацией констант. Дальнейшая модификация дает:

Y = ( м ) X + b

Примеры

из химии

1. Закон Бера-Ламберта

Этот закон используется в спектрометрии и гласит, что оптическая плотность A компонента изменяется линейно как с концентрацией раствора c , так и с коэффициентом экстинкции ε, когда свет проходит через расстояние, известное как длина пути и обозначенное по л .Соотношение между этими величинами:

A = ε класс

Если мы понимаем, что ε и l будут постоянными для указанного решения в ячейке с фиксированной длиной пути, мы можем заключить эти константы в скобки и написать:

A = (ε l ) c

Если мы также поймем, что можем добавить к нему ноль без изменения значения, мы получим:

A = (ε l ) c + 0

По сравнению с нашим определяющим уравнением Y = mX + b теперь дает:

X = c
Y = A
м = ε l
b = 0

Таким образом, построение графика A против c даст прямолинейный график с градиентом ε l и нулевой точкой пересечения.Другими словами, график будет проходить через начало координат.

2. Уравнение Нернста

Это связывает электродвижущую силу (ЭДС) E электрохимического элемента с его стандартной ЭДС E o и коэффициентом реакции Q :

, где R — газовая постоянная, а F — постоянная Фарадея. Q рассчитывается из концентраций реагирующих частиц, а n — количество заряда, переносимого в протекающей реакции.Т — абсолютная температура.

Прежде всего переписываем уравнение так, чтобы в конце появилась уединенная постоянная E o :

Если мы теперь узнаем, что T и n будут константами для данной реакции при указанной температуре, мы можем сгруппировать константы в первом члене в скобках, чтобы получить:

Сравнение с определяющим уравнением Y = м X + b теперь дает:

, поэтому, если мы построим E против ln Q , мы получим прямую линию и пересечем E o и градиент

3.Кинетика первого порядка

Kinetics дает несколько примеров прямолинейных графиков. Действительно, выбор подходящей функции для построения графика — это метод определения порядка реакции. Уравнение реакций первого порядка может быть записано в нескольких эквивалентных формах, которые можно перестроить так:

ln c = ln c o узлы

, где c o — начальная концентрация реагента, а c — концентрация после времени t .Другая присутствующая величина — это константа скорости k .

Первое, что нужно сделать при определении переменных для построения графика, — это определить константы в уравнении. Термин «константа скорости» дает здесь сильный намек, и нам также необходимо понимать, что начальная концентрация c o будет постоянной. Кроме того, если c o является константой, ln c o также будет константой. Мы перемещаем этот член в конец уравнения, так что он становится:

ln c = — kt + ln c o

, которое можно сравнить с определяющим уравнением Y = м X + b , чтобы получить:

Y = ln c
X = t
m = — k
b = ln c o

Следовательно, если мы построим ln c против t , мы получим прямой график с градиентом — k и пересечением ln c o .

В качестве примера рассмотрим гидролиз 1-хлор-1-метилциклоундекана в 80% этаноле при температуре 25 o C. 3 Фактически мы можем контролировать любое количество, которое пропорционально концентрации, так что в этом случае значения c даны как относительные величины, не требующие единиц измерения. В таблице показано изменение c со временем t , а также значения ln c .

Поскольку это реакция первого порядка, график ln c (рисунок 5) против t действительно является прямой линией.График этого графика составляет -0,13 h -1 . Следовательно:

к = -0,13 ч -1

А:

к = 0,13 час -1

Хотя этот график и результирующий градиент были сгенерированы с использованием программного обеспечения для работы с электронными таблицами, исследование показало, что вычислительные инструменты могут быть не такими эффективными, как можно было бы ожидать при развитии концептуального понимания в этой области. 4

Пол Йейтс — ведущий специалист по физическим наукам в Академии высшего образования.

Прямая линия — Cuemath

В этом мини-уроке мы исследуем мир прямых линий, понимая уравнения прямых линий в различных форматах и ​​способы решения вопросов, основанных на прямых линиях. Мы также откроем для себя интересные факты о них

В геометрии часто путают сегмент и линию.

Отрезок имеет определенное начало и определенный конец, причем каждый конец представлен точкой.

Примеры сегментов: длина стола, расстояние до прямой дороги и т. Д.

С другой стороны, строка не имеет определенного начала или конца.

Сегмент является частью линии, но линия не является частью сегмента.

Мы можем видеть так много примеров прямых линий вокруг нас, края здания, дороги, по которым мы путешествуем.

В этом уроке мы узнаем о прямых линиях.

План урока

Что такое прямая линия?

Прямая линия — это фигура, образованная, когда две точки \ (A (x_1, y_1) \) и \ (B (x_2, y_2) \) соединены с минимальным расстоянием между ними, а оба конца вытянуты в бесконечность.

Прямая линия AB представлена ​​как:

Хотя прямые линии не имеют определенного начала или конца, они представлены в нашей повседневной жизни такими примерами, как железнодорожные пути или автострады.


Типы прямых

Прямые линии классифицируются на основе их совмещения.

Горизонтальные линии

Горизонтальные линии называются горизонтальными линиями.

\ (\ overline {\ text {AB}} \) — горизонтальная линия.

Вертикальные линии

Линии, нарисованные вертикально, называются вертикальными линиями.

\ (\ overline {\ text {CD}} \) — вертикальная линия.

Косые или наклонные линии

Линии, нарисованные под наклоном или образующие угол, отличный от 0, 90, 180, 270, 360 градусов, с горизонтальными или вертикальными линиями, называются наклонными или наклонными линиями.

\ (\ overline {\ text {EF}} \ text {and} \ overline {\ text {GH}} \) — вертикальная линия.


Уравнение прямой

Прямая линия на декартовой плоскости может иметь разные представления, некоторые из них:

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой может быть записано как:

Где \ (a, b, c \) — константы, а \ (x, y \) — переменные.

Форма уклона и пересечения по оси Y

Прямая линия с наклоном \ (m = tan \ theta \), где \ (\ theta \) — угол, образованный линией с положительной осью x, а точка пересечения y как \ (c \) задается по формуле:

Форма точки наклона

Прямая линия с наклоном \ (m = tan \ theta \), где \ (\ theta \) — угол, образованный линией с положительной осью x и проходящей через точку \ ((x_1, y_1) \) выдает:

Двухточечная форма

Прямая линия, проходящая через точки \ ((x_1, y_1) \) и \ ((x_2, y_2) \), определяется выражением:

\ [y — y_1 = (\ dfrac {y_2 — y_1} {x_2 — x_1}) (x — x_1) \]

Форма перехвата

Прямая линия, имеющая точку пересечения по оси x как \ (a \) и точку пересечения по оси y как \ (b \), как показано на рисунке ниже, где точка A находится на оси x (здесь вертикально), а точка B находится на оси y ( здесь горизонтально), определяется по формуле:

\ [\ dfrac {x} {a} + \ dfrac {y} {b} = 1 \]
  • Прямая линия не может проходить через три неколлинеарных точки.
  • Если две прямые \ (l \) и \ (m \) совпадают, то они подчиняются соотношению \ (l = k \ times m \), где k — действительное число.
  • Острый угол \ (\ theta \) между двумя прямыми с уклоном \ (m_1 \) и \ (m_2 \), где \ (m_2> m_1 \) может быть вычислен по формуле \ (tan \ theta = \ dfrac { m_2 — m_1} {1 + m_2 \ times m_1} \).

Прямые линии Геометрия

Может быть множество типов линий.

Линия, параллельная осям

Уравнение прямой, параллельной осям, может быть задано как:

Прямая, параллельная оси x

Где \ (a \) — константа.

Прямая, параллельная оси Y

Где \ (b \) — константа.

Пересекающиеся линии

Если две прямые \ (m: x + 4y = 10 \) и \ (n: 2x — 3y = 6 \) пересекаются в точке \ (P (a, b) \), то координаты точки \ (P \) можно рассчитать, решая уравнения линии одновременно.

\ [\ begin {align}
x + 4y & = 10 \\ [0,2 см]
2x — 3 года & = 6 \\ [0,2 см]
\ end {align} \]

Мы получим \ (x = \ dfrac {30} {11} \) и \ (y = \ dfrac {26} {11} \)

Итак, координата точки \ (P \) равна \ ((\ dfrac {30} {11}, \ dfrac {26} {11}) \)

Параллельные линии

Если две прямые \ (y = \ dfrac {1} {2} x \) и \ (y = \ dfrac {1} {2} x — 4 \) параллельны друг другу, то их наклоны равны.Здесь в этом случае обе линии имеют одинаковый наклон \ (\ dfrac {1} {2} \).

Перпендикулярные линии

Если две прямые \ (y = 3x -1 \) и \ (y = — \ dfrac {1} {3} x — 2 \) перпендикулярны друг другу, произведение их уклонов равно \ (- 1 \) .

здесь в данном случае:

\ [\ begin {align}
m_1 & = 3 \\ [0,2 см]
m_2 & = — \ dfrac {1} {3} \\ [0,2 см]
m_1 \ times m_2 & = 3 \ times — \ dfrac {1} {3} \\ [0.{\ circ} \), который не определен.

линия с бесконечным наклоном параллельна оси y.


Свойства прямой

1. Прямая имеет бесконечную длину. Мы никогда не сможем вычислить расстояние между двумя крайними точками линии.

2. В то время как то, что мы видим вокруг себя в виде линий, например, край стола, сторона правила, все это примеры сегментов линии.

3.Прямая линия имеет нулевую площадь и нулевой объем. но у него бесконечная длина.

4. Прямая линия — это одномерная фигура. Бесконечное количество линий может проходить через одну точку, но есть только одна уникальная линия, которая проходит через две точки.


Идентификация и построение прямой

Евклид, великий математик, дал несколько постулатов для построения прямой линии.

  • Можно нарисовать отрезок прямой, соединяющий любые две точки.
  • Любой отрезок прямой может быть продолжен до бесконечности в прямую линию.
  • Для любого отрезка прямых линий можно нарисовать окружность, имеющую отрезок в качестве радиуса и одну конечную точку в качестве центра.
  • Все прямые углы совпадают.
  • Если нарисованы две линии, которые пересекают третью таким образом, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше двух прямых углов, то две линии неизбежно должны пересекать друг друга на этой стороне, если они простираются достаточно далеко.Этот постулат эквивалентен так называемому постулату параллельности.

Сложные вопросы

  • Найдите угол между прямыми \ (l: 4x + 5y = 10 \) и \ (m: x — 3y = 6 \).
  • Касательная, нанесенная на окружность в точке (5, 6), если центр окружности находится в точке (1, 2), каково уравнение касательной.

Решенные примеры

Пол рисует линию на декартовой плоскости с помощью уравнения \ (y = 2x — 1 \), а его сестра рисует линию \ (2y = x +1 \), Павел говорит, что линии пересекаются во 2-м квадранте, а его сестра говорит, что линии пересекаются в 1-м квадранте, кто прав.

Решение

Дано:
Линия, нарисованная Полом, равна \ (y = 2x — 1 \)

.

его сестра нарисовала линию \ (2y = x +1 \)

Давайте решим эти два уравнения одновременно, чтобы найти точку пересечения.
\ [\ begin {align}
y & = 2x -1 \\ [0,2 см]
2y & = x +1 \\ [0,2 см]
\ end {align} \]
Когда мы решаем эти два уравнения одновременно, получаем
\ [x = 1 \ text {и} y = 1 \]
Обе линии пересекаются в точке \ ((1, 1) \)
Точка пересечения находится в первом квадранте

\ (\ следовательно \) Сестра Пола верна

Колония расположена в декартовой плоскости, дом Мэтью расположен в точке \ ((4, 3) \), а дом Джима находится в точке \ ((7, -2) \), две дороги должны быть построены из квадрата. расположенный в \ ((3, 2) \), выясните, перпендикулярны ли эти две дороги друг другу (предполагая, что дороги образуют прямую линию).

Решение

Рассмотрим дом Мэтью, расположенный в точке \ (P (4, 3) \)

Дом Джима находится в точке \ (Q (7, -2) \)

Квадрат находится в точке \ (R (3, 2) \)

, применяя формулу для вычисления наклона прямой между двумя точками
\ [m = \ dfrac {y_2 — y_1} {x_2 — x_1} \]
Наклон прямой между точками P и R равен
.
\ [m_1 = \ dfrac {3 — 2} {4 — 3} \]
\ [m_1 = 1 \]
Наклон прямой между точками Q и R составляет
\ [m_2 = \ dfrac {-2 — 2} {7 — 3} \]
\ [m_2 = \ dfrac {-4} {4} \]
\ [m_2 = -1 \]
Если две прямые перпендикулярны друг другу, то произведение их наклонов равно \ (- 1 \).
\ [m_1 \ times m_2 = 1 \ times -1 \]
\ [m_1 \ times m_2 = -1 \]

\ (\ следовательно \) Дороги перпендикулярны друг другу

Линия, имеющая пересечение по оси x как \ (- 1 \) и точку пересечения по оси y как \ (\ dfrac {1} {2} \), другая линия имеет наклон, равный 3, каков угол между этими двумя линиями. {\ circ} \)


Интерактивные вопросы

Вот несколько занятий для вас.

Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.


Подведем итоги

Мини-урок, посвященный увлекательной концепции прямых линий. Математическое путешествие по прямым линиям начинается с того, что ученик уже знает, и переходит к творческому созданию новой концепции в молодых умах.Сделано таким образом, чтобы оно не только было понятным и понятным, но и навсегда осталось с ними. В этом заключается магия Куэмат.

О компании Cuemath

В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-обучение-обучение» учителя исследуют тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению.


Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Что такое линия в математике?

Линия — это одномерная фигура, образованная при соединении двух различных точек с минимальным расстоянием между ними.

2. Что такое точка?

Точка — это точка на плоскости с нулевой длиной, нулевой площадью и нулевым объемом, точка не имеет размеров.

3. Что такое отрезки и лучи?

Отрезок линии — это часть линии с фиксированными концами, длина которой может быть рассчитана с помощью методов измерения.
Лучи также являются частью линии, но у нее есть только один фиксированный конец, а другой конец луча считается находящимся на бесконечности, солнечные лучи являются прекрасным примером лучей.

Уравнение прямой

Чтобы установить правило для уравнения прямой
прямая линия, рассмотрим предыдущий пример.

Увеличение расстояния на 1 км приводит к
увеличение стоимости на 3 доллара. Мы говорим, что скорость изменения стоимости с
относительно расстояния составляет 3 доллара за километр.

Информация, представленная на графике, может быть представлена ​​уравнением c = 5 + 3 d . То есть:

Всего:

Линия с уравнением y = mx + c имеет уклон m и y — пересечение c .

Наклон прямой линии равен коэффициенту x .

Частный случай

Если прямая линия проходит через начало координат, то ее пересечение y
равно 0. Итак, уравнение прямой, проходящей через начало координат
это

y = м x

, где м — уклон линии.

Пример 7

Решение:

Пример 8

Запишите уравнение прямой, у которой м = 5 и c = 3.

Решение:

Пример 9

Рассчитайте уклон прямой линии, приведенной ниже.
диаграмма; и найдите его уравнение.

Решение:

Пример 10

Найдите уравнение прямой, соединяющей точки (2, 3) и (4,7).

Решение:

Ключевые термины

уравнение прямой линии, градиент, y -пересечение

прямых линий — Джеймс Бреннан

Прямые линии

Линейные уравнения с двумя переменными

Уравнение y = 2 x — 1
, которое мы использовали в качестве примера для построения графиков функций, дало график, представляющий собой прямую линию.Это не было случайностью. Это уравнение является одним из примеров общего класса уравнений, которые мы называем линейными уравнениями с двумя переменными . Две переменные обычно (но, конечно, не обязательно) x и y . Уравнения называются линейными , потому что их графики представляют собой прямые линии. Линейные уравнения легко распознать, потому что они подчиняются следующим правилам:

  1. Переменные (обычно x и y ) появляются только в первой степени
  2. Переменные можно умножать только на постоянные действительные числа
  3. Любое действительное число может быть добавлено (или, конечно, вычтено)
  4. Больше ничего не разрешено!
  • Это означает, что любое уравнение, содержащее такие вещи, как x 2 , y 2 , 1/ x , xy , квадратные корни или любую другую функцию x или y
    не является линейным.

Описание строк

Подобно тому, как существует бесконечное количество уравнений, удовлетворяющих указанным выше условиям, существует также бесконечное количество прямых линий, которые мы можем нарисовать на графике. Чтобы описать конкретную строку, нам нужно указать две отдельные части информации об этой строке. Конкретную прямую линию можно определить, указав две отдельные точки, через которые она проходит, или ее можно определить, указав одну точку, через которую она проходит, и каким-то образом описав, насколько «наклонена» линия.

Наклон

Наклон линии является мерой того, насколько «наклонена» линия. На дорожном знаке может быть написано что-то вроде «уклон на 6% вперед». Что это означает, кроме того, что вы надеетесь, что ваши тормоза работают? Это означает, что отношение
вашего падения высоты к горизонтальному расстоянию составляет 6%, или 6/100. Другими словами, если вы продвинетесь на 100 футов вперед, вы упадете на 6 футов; если вы переместитесь на 200 футов вперед, вы упадете на 12 футов и так далее.

Мы измеряем наклон линий почти таким же образом, но не преобразуем результат в проценты.

Предположим, у нас есть график неизвестной прямой. Выберите любые два разных на линии и пометьте их точкой 1 и точкой 2:

.

При переходе от точки 1 к точке 2 мы покрываем 4 шага по горизонтали (направление x ) и 2 шага по вертикали (направление y ):

Следовательно, отношение изменения высоты к изменению горизонтального расстояния равно 2 к 4. Выражая его в виде дроби и уменьшая, мы говорим, что наклон этой прямой равен

Чтобы немного формализовать эту процедуру, нам нужно подумать о двух точках с точки зрения их координат x и y .

Теперь вы должны увидеть, что горизонтальное смещение — это разница между координатами x двух точек или

4 = 5 — 1,

, а вертикальное смещение — это разница между координатами y или

2 = 4–2.

В общем, если мы говорим, что координаты точки 1 равны ( x 1 , y 1 ), а координаты точки 2 равны ( x 2 , y 2 ),

, то можно определить уклон м следующим образом:

, где ( x 1 , y 1 ) и ( x 2 , y 2 ) — любые две отдельные точки на линии.

  • В США принято использовать букву м для обозначения уклона. Никто не знает почему.
  • Нет разницы , какие две точки используются для точки 1 и точки 2. Если бы они поменяли местами, числитель и знаменатель дроби изменились бы на противоположный знак, что дало бы точно такой же результат.
  • Многие люди считают полезным запомнить эту формулу, как «уклон — это подъем за шагом».
  • Другое распространенное обозначение — , где греческая буква дельта (D) означает «изменение в.Наклон — это отношение к , насколько y изменяется за изменение в x :

Горизонтальные линии

Горизонтальная линия имеет нулевой наклон, потому что y не меняется при увеличении x . Таким образом, любые две точки будут иметь одинаковые координаты y , а так как y 1 = y 2 ,

.

Вертикальные линии

Вертикальная линия представляет другую проблему.Если вы посмотрите на формулу

,

вы видите, что есть проблема со знаменателем. Невозможно получить два разных значения для x l и x 2 , потому что при изменении x вы больше не находитесь на вертикальной линии. Любые две точки на вертикальной линии будут иметь одинаковые координаты x , поэтому x 2 x 1 = 0. Поскольку знаменатель дроби не может быть равен нулю, мы должны сказать Эта вертикальная линия имеет неопределенный наклон .Не путайте это со случаем горизонтальной линии, которая имеет четко определенный наклон, который просто равен нулю.

Положительный и отрицательный наклон

Координата x увеличивается вправо, поэтому перемещение слева направо означает движение в положительном направлении x . Предположим, вы поднимаетесь в гору, двигаясь в положительном направлении x . Тогда обе ваши координаты x и y увеличиваются, поэтому коэффициент увеличения за пробег будет положительным — у вас будет положительное увеличение y для положительного увеличения x .С другой стороны, если вы спускаетесь с горы, двигаясь слева направо, то отношение подъема к бегу будет отрицательным, потому что вы потеряете высоту на при заданном положительном увеличении x . Следует помнить:

Если идти слева направо,

  • Спуск = отрицательный уклон

И, конечно же, отсутствие изменения высоты означает, что линия имеет нулевой наклон.

Некоторые склоны

Перехваты

Две линии могут иметь одинаковый наклон и находиться в разных местах на графике.Это означает, что помимо описания наклона линии нам нужен способ точно указать, где линия находится на графике. Это можно сделать, указав одну конкретную точку, через которую проходит линия. Хотя подойдет любая точка, обычно указывается точка, в которой линия пересекает ось y . Эта точка называется точкой пересечения оси Y и обычно обозначается буквой b . Обратите внимание, что каждая линия, кроме вертикальных, будет пересекать ось y в какой-то момент, и мы все равно должны обрабатывать вертикальные линии как особый случай, потому что мы не можем определить для них наклон.

Одинаковые уклоны, разные y -Пересечения

Уравнения

Уравнение линии дает математическое соотношение между координатами x и y любой точки на линии.

Вернемся к примеру, который мы использовали при построении графиков функций. Уравнение

y = 2 x — 1

дает следующий график:

Эта линия, очевидно, имеет наклон 2 и точку пересечения y , равную –1.Цифры 2 и –1 также появляются в уравнении — коэффициент x равен 2, а аддитивная постоянная равна –1. Это не совпадение, а из-за стандартной формы, в которой было написано уравнение.

Стандартная форма (форма с пересечением уклона)

Если линейное уравнение с двумя неизвестными записать в виде

, где m и b — любые два действительных числа, тогда график будет прямой линией с наклоном m и точкой пересечения y , равной b .

Форма остроконечного откоса

Как упоминалось ранее, линия полностью описывается путем указания ее наклона и одной отчетливой точки, через которую проходит линия. Хотя эта точка обычно является точкой пересечения y , это не обязательно. Если вы хотите описать линию с заданным уклоном м , которая проходит через заданную точку ( x 1 , y 1 ), формула будет

Чтобы помочь запомнить эту формулу, подумайте о решении ее для м :

Поскольку точка ( x , y ) является произвольной точкой на линии, а точка ( x 1 , y 1 ) является другой точкой на линии, это не более чем определение наклона этой линии.

Двухточечная форма

Другой способ полностью указать линию — указать две разные точки, через которые она проходит. Если задано, что линия проходит через точки ( x 1 , y 1 ) и ( x 2 , y 2 ), формула будет

Эту формулу также легко запомнить, если вы заметите, что она аналогична форме точечного откоса с уклоном м , замененным определением уклона,

Уравнение прямой — форма наклона и пересечения.(Координатная геометрия)

Уравнение прямой — форма наклона и пересечения. (Координатная геометрия) — Открытая справка по математике

Попробуй это
Отрегулируйте ползунки справа. Они контролируют наклон (м) и точку пересечения (b) линии.
Соответственно изменится уравнение и линия. Вы также можете перетащить начало координат.

Любой прямой
линия
на
координатная плоскость
можно описать уравнением

y = mx + b
где:
x, y — координаты любой точки на прямой
м — наклон линии
б — точка пересечения (линия пересекает ось y)

Напомним, что наклон (м) — это «крутизна» линии, а b — это точка пересечения — точка, в которой линия пересекает ось y.На рисунке выше отрегулируйте m и b с помощью ползунков, чтобы увидеть влияние этих переменных.

Уравнения этого типа, в которых нет показателей степени (например, x 2 ), называются «линейными уравнениями», потому что они всегда отображаются в виде прямых линий. Слово «линейный» происходит от слова «линия».

Для чего используется уравнение?

Уравнение линии используется двумя основными способами.

  1. Как компактный способ определения конкретной линии.Если бы я хотел рассказать вам, как нарисовать определенную линию по электронной почте, я мог бы написать «нарисовать линию, определяемую y = 2x + 12».
    Тогда вы могли бы точно построить эту линию.
  2. Чтобы найти точки на линии.
    Если бы я хотел найти точку на линии с координатой x, скажем, 4,
    Я мог бы вставить 4 в уравнение y = 2x + 12 и обнаружить, что его координата y равна 20.

Примеры

1. Проведите линию

y = 0,52x + 10

Рис 1. Найдите две точки, чтобы провести линию

Нам нужно найти две точки на линии, а затем провести через них линию.Первая точка проста, поскольку точка пересечения равна 10, мы можем сразу построить точку в (x = 0, y = 10).

В качестве второй точки возьмем случайную точку, где x = 20. Подставляя 20 вместо x в уравнение

у = 0,52. 20 +10

Мы получили

г = 20,4

Итак, мы наносим вторую точку в (x = 20, y = 20,4). Теперь мы просто проводим линию через две точки, как на рисунке 1.
Чтобы проверить, нажмите кнопку сброса на рисунке выше и проверьте результат.

Попробуйте сами . Вы можете распечатать чистую миллиметровую бумагу на
Пустите миллиметровую бумагу и попробуйте сами, возможно, с другим уравнением.

2. Найдите, где прямая

y = 0,52x + 10 пересекает ось x

На рисунке выше нажмите «сброс».
Показанная линия имеет уравнение y = 0,52x + 10 . Нас просят найти координаты точки, в которой он пересекает ось x.
Обращаясь к рисунку, вы можете видеть, что там, где линия пересекает ось x, координата y равна нулю.

Итак, мы подставляем ноль в уравнение для y и решаем его для x:

0 = 0,52x +10

Вычтем 10 с обеих сторон и получим

0.52x = -10

Разделите обе стороны на 0,52.

х = -19,2

Что согласуется с тем, что мы видим на рисунке.

Что попробовать

  1. На диаграмме выше нажмите «сброс». Затем нажмите «ноль» под каждым ползунком, чтобы установить их ровно на ноль.
  2. Это линия, которая удовлетворяет уравнению y = 0x + 0 или просто y = 0 .
    Это, конечно, ноль для любого значения x, как и прямая горизонтальная линия, проходящая через начало координат.
  3. Теперь отрегулируйте ползунок на b (точку пересечения), оставив его, скажем, на 25.Это уравнение прямой y = 0x + 25 или просто y = 25 , горизонтальной прямой, проходящей через 25 на y.
    ось.
    Поиграйте с ползунком b и посмотрите, как он перемещает всю линию вверх и вниз.
  4. Нажмите сбросить. Отрегулируйте ползунок m (наклон) и наблюдайте за результатом. По мере увеличения m линия становится круче. Как и ты
    уменьшите его ниже нуля, отрицательный наклон приведет к наклону линии вправо. Но учтите, что линия всегда проходит через
    ось y в той же точке (в данном случае 10).
  5. Поиграйте с обоими ползунками вместе, пока не получите интуитивное представление о том, что m и b на самом деле делают с линией.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.