Содержание
Конспект урока по математике для учащихся 1 класса по теме «Точка. Линии прямая, кривая, отрезок, луч, ломаная.»
Конспект урока по математике для учащихся 1 класса по теме
«Точка. Линии: прямая, кривая, отрезок, луч, ломаная.»
Тема: Точка. Линии: прямая, кривая, отрезок, луч, ломаная.
Образовательные цели:
-
Уточнить геометрические понятия: «точка, прямая, кривая, луч, отрезок, ломаная» через предметно-практическую деятельность.
-
Упражнять в черчении линий, располагая их в пространстве в разном положении.
-
Научить измерять длину отрезков разными способами.
-
Применять сформированные понятия при выполнении различных заданий.
Развивающая цель: Развитие математической речи.
Коррекционная цель: Развитие ориентировки в пространстве, зрительно-моторной координации.
Воспитательная цель: Развитие умения анализировать свои действия и управлять ими.
Тип урока: комбинированный урок, урок-практикум.
Методы, формы, приемы: словесный, практический, наглядный.
Оборудование: тетради, линейки, карандаши, карточки, ленты, домики, табличка с правилом урока, листы бумаги, звоночек.
Ход урока
I – Организационный этап
Учитель: На какой урок нас позвал звонок?
Что мы делаем на уроках математики?
В стране «Математика» есть много разных городов.
На этом уроке мы посетим город, который называется «ГЕОМЕТРИЯ».
Стихотворение читает ученица
Геометрия – наука про измерение Земли.
Без нее нельзя построить ни дома, ни корабли.
Не скроить костюм и платье, не подстричь в саду кусты.
И, поэтому, друзья, без нее никак нельзя!
Геометрия – наука, которая занимается изучением свойств разных фигур на плоскости и в пространстве.
Учитель: В городе много улиц, но мы посетим только одну. Кто там живет? Это вы сейчас узнаете и назовете тему урока.
II – Мотивация учебной деятельности учащихся. Сообщения темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности школьников
1) рисование учителем на доске человечка
Точка, точка, запятая, минус рожица кривая,
Палки, палки, огуречик. Вот и вышел человечек.
Учитель: Смотрите, к нам пришел человечек из города «Геометрия». Он хочет подсказать нам тему урока. (Что я использовала, рисуя фигуру смешного человека?)
(Ученики определяют тему урока).
Тема урока: «Точка. Линии».
А какие линии вы знаете? Как вы думаете, чем мы будем сегодня заниматься?
На уроке нам предстоит много строить и чертить. А что нам в этом поможет? (карандаш и линейка)
Стихотворения читают ученики
Я чёрный, красный, желтый, синий,
С начинкой твёрдой в середине,
Я с острым ножиком дружу
И что хочу – изображу. (Карандаш)
Всем ребятам помогаю сделать ровную черту.
Я в тетрадках уважаю чистоту и прямоту. (линейка)
Учитель: Точки и линии окружают нас повсюду. Архитектор чертит дома, используя прямые линии. Художник рисует людей, животных и растения, отражая кривые линии. Многие приборы работают, применяя луч. Посмотрите, у нас в классе многие предметы состоят из линий и точек. Нам тоже нужно хорошо знать эту тему, этим мы и займемся. Кроме того, есть много игр с точками и линиями. Это «Морской бой», «Обводки», «Точки», «Точки и отрезки», «Крестики и нолики». В конце урока научимся играть в игру «Точки».
Учитель: Проверьте все ли учебные принадлежности на месте? А очки готовы помочь вам в работе? Раз вы готовы, то начинаем. Запишем в тетрадках число. Посмотрите на дома. Как вы думаете, кто там живет? (ответы учеников).
Прочитайте правило урока: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед».
Поэтому работаем все дружно, старательно, красиво и внимательно!
III – Восприятие и первичное осознание нового материала
Учитель: Кроме линейки есть и другой способ провести прямую линию – надо просто перегнуть лист. Линия сгиба — это прямая линия.
Выполним геометрическую разминку.
1. Геометрическая разминка
Учитель: Возьмите в руки лист бумаги. Какая это геометрическая фигура? Перегните ее так, чтобы получилось
1) 2 прямоугольника
2) 2 треугольника
3) треугольник и трапеция
4) 4 квадрата
5) 4 треугольника
Учитель: У вас получались линии на сгибах, которые формировали разные геометрические фигуры. А сейчас прогуляемся по улице, где живут линии.
2. Усвоение новых знаний
А) Точка
Учитель: Пора заглянуть в домик № 1. Кто там живет? (Звенит звоночек, ученица встает и рассказывает свою тему).
Рассказ ученицы про точку.
-
1.Знаете ли вы, что точка- самая простая геометрическая фигура.
-
Ее нельзя измерить, у нее нет длины, ширины.
-
Точку можно назвать буквой, например, точка А.
-
Все линии и фигуры начинаются с точки и состоят из них.
-
Точки могут располагаться на прямой или вне прямой.
-
Через точку можно проводить разные линии.
-
А еще точка живет в русском языке. Там она заканчивает предложение.
Практическая работа № 1 «Точка»
Учитель: Поработаем с точками. Откройте тетради. Запишите число. Пропустите 3 клетки вниз и 3 клетки справа и карандашом поставьте точку. Назовем ее точка А. Через 8 клеточек поставьте вторую точку М. Мы можем сказать, что обе точки расположены на одной линии? Проверьте линейкой. Поставьте внизу посредине листа третью точку К. Можно сказать, что все 3 точки расположены на одной прямой линии? Если соединить точки А и К, К и М , что получим? А все 3 точки? А если линию замкнуть?
Упражнение «Точки в жизни»
Учитель: Давайте подумаем, а где в жизни мы встречаемся с точками. В этом вам поможет карточка с картинками. (Ученики приводят примеры. Опираясь на карточку с картинками).
Б) Прямая
Учитель: Давайте заглянем в домик № 2. Кто там живет? (Звенит звоночек, ученица встает и рассказывает свою тему).
Рассказ ученицы про прямую линию.
-
Знаете ли вы, что прямая линия может быть продолжена сколько угодно в обе стороны, то есть она не имеет концов или границ. Поэтому у нее нет имени.
-
Через одну точку можно провести сколько угодно прямых линий.
-
Через две точки можно провести только одну прямую линию.
-
Прямые могут располагаться вертикально, горизонтально и под углом, т.е. наклонно.
-
Прямые могут пересекаться, а могут идти параллельно.
Практическая работа №2 «Прямая линия»
Учитель: В тетради проведите через точки А и М линию. Какая это будет линия? Сколько таких линий можно провести через эти 2 точки? А через 1 точку? Проведите через точку К несколько прямых линий.
Практическая работа № 3
Учитель: Возьмите в руки ленты, это ваши линии. Покажите прямую линию.
Кончики свисают, т. к. у нее нет начала и конца. Расположите их горизонтально, а теперь вертикально, наклонно.
Поработайте в парах. Покажите параллельные прямые. А теперь пусть они пересекутся. Точка, где линии встретились называется точкой пересечения.
Упражнение «Прямые в жизни»
Учитель: Давайте подумаем, а где в жизни мы встречаемся с прямыми. В этом вам поможет карточка с картинками. (Ученики приводят примеры, опираясь на карточку с картинками).
В) Луч
Учитель: Отправляемся в домик № 3. (Звенит звоночек, ученик встает и рассказывает свою тему).
Рассказ ученика про луч
Знаете ли вы, что Луч – это часть прямой линии, ограниченной, с одной стороны.
-
У луча всегда есть начало, и это точка, ее можно назвать буквой.
-
Из 1 точки можно провести сколько угодно лучей.
-
А если провести 2 луча из 1 точки, то получится угол. Углы могут быть разные: прямые, острые и тупые.
Практическая работа № 4
Учитель: Возьмите ленточку только за один конец. Какая линия получилась?
Соедините 2 луча, что получили? (угол, ломаную). Могу я добавить свою линию? Сколько можно провести лучей из одной точки?
Практическая работа № 5
Учитель: Давайте построим лучик в тетрадях. Что надо поставить? (точку) Назовем ее точкой О. Сколько еще лучей можно провести через эту точку. Проведите. Найдите угол.
Упражнение «Лучи в жизни».
Учитель: Давайте подумаем, а где в жизни мы встречаемся с лучами. В этом вам поможет карточка с картинками. (Ученики приводят примеры, опираясь на карточку с картинками).
Г) Кривая
Учитель: Отправляемся в домик № 4. Кто там живет? (Звенит звоночек, ученик встает и рассказывает свою тему).
Рассказ ученика про кривую линию
-
Знаете ли вы, что кривые линии тоже состоят из точек?
-
Их можно проводить без инструмента, от руки.
-
Они не имеют начала и конца.
-
Они, могут быть замкнутые и незамкнутые.
-
Через 1, 2 и более точек можно провести много кривых линий.
-
Кривые линии живут в круге, овале, геометрических фигурах и других рисунках.
Практическая работа № 6
Учитель: Возьмите ленты за 2 конца, натяните. А теперь расслабьте руки. Какая получилась линия? Бросьте ленту на парту. Какую линию видите?
Практическая работа № 7
Учитель: Поставьте в тетрадях 2 точки и соедините их от руки, без линейки. Что у вас получилось? Можно еще провести кривую линию через эти 2 точки? Проведите. Сколько кривых можно провести через 1 точку? А как вы думаете, можно ли нарисовать кривую линию без точек? (Можно). Нарисуйте.
Упражнение «Кривые линии в жизни»
Учитель: Давайте подумаем, а где в жизни мы встречаемся с кривыми линиями.
(Ученики приводят примеры, опираясь на карточку с картинками).
Физкультурная пауза с лентами.
Зрительная гимнастика.
Д) Отрезок
Учитель: Чтобы познакомиться еще с одной линией, послушайте сказку.
Жила-была любопытная точка, которая хотела всё знать. Увидит любую линию и непременно спросит: «Какая это линия, длинная или короткая? Замкнутая или нет?» Подумала однажды точка: «Как же я всё смогу узнать, если всегда буду жить в одном месте?» И отправилась точка путешествовать по прямой линии. Шла она шла. Долго шла. Устала и говорит: «Скоро ли будет конец у прямой линии?»
Дайте ответ точке. Почему?
«Что же мне делать, — задумалась точка, — Не могу же я вечно гулять по прямой». «А ты позови на помощь ножницы», — подсказала прямая. Тут, откуда ни возьмись появились ножницы, щёлкнули раз, щёлкнули два, и разрезали прямую.
«Как интересно, что же получилось из моей прямой?» «Это отрезок — сказали ножницы, теперь ты на отрезке прямой.
Учитель: Отрезки прямой живут в доме № 5. (Звенит звоночек, ученик встает и рассказывает свою тему).
Рассказ ученика про отрезок.
-
Часть прямой, ограниченной с обеих сторон, называется отрезком.
-
От прямой линии можно в любом месте отрезать кусочек и получится отрезок.
-
Отрезок имеет начало и конец и его обозначают буквами.
-
Через одну точку можно провести сколько угодно отрезков прямой линий.
-
Через две точки можно провести только один отрезок.
-
Отрезок имеет определенную длину, которую можно измерить. Линейка — инструмент для измерения длин отрезков.
-
Отрезки могут быть равными и неравными по длине.
-
Отрезки могут располагаться вертикально, горизонтально и наклонно.
-
Отрезки прямой могут пересекаться.
-
Отрезки прямой могут идти параллельно.
-
Их можно складывать, делить на равные части.
Практическая работа № 8
Учитель: Возьмите ленты и покажите отрезки. Расположите их горизонтально, вертикально и наклонно. Поработайте в парах и покажите параллельные отрезки, а теперь пусть они пересекутся. Как называется их общая точка?
Практическая работа № 9
Учитель: Поставьте точку К. Постройте отрезок КМ=7 см горизонтально. Второй отрезок АС=6см, вертикально. Пусть они пересекутся. Точка О будет называться точкой пересечения. (см. карточку)
Как можно измерять отрезки? (линейкой, наложением, на глаз)
Практическая работа № 10
3) Учитель: У вас на парте полоски. Это три отрезка: красный, синий, желтый. Какой самый большой (маленький?) Как можно определить, какой самый большой, а какой самый маленький? (на глаз, наложением, измерением). Сделайте это. Какой длины самый большой отрезок? Самый маленький?
Упражнение «Отрезки в жизни».
Учитель: Давайте подумаем, а где в жизни мы встречаемся с отрезками.
(Ученики приводят примеры, опираясь на карточку с картинками).
Е) Ломаная
Учитель: У нас остался еще один домик № 6. Кто там живет?
(Звенит звоночек, ученица встает и рассказывает свою тему).
Рассказ ученицы про ломаную.
-
Линия, состоящая из нескольких отрезков и лучей, называется ломаной.
-
Знаете ли вы, что, когда отрезки соединяются, получается ломаная линия.
-
Она может состоять из 2, 3, 4 и более отрезков. Начало одного отрезка является концом другого отрезка.
-
Ломаная может быть замкнутой и незамкнутой.
-
Замкнутая ломаная на плоскости ограничивает многоугольник.
-
Отрезок ломаной называется звеном, а место соединения 2-х отрезков называется вершиной.
-
Для нахождения длины ломаной следует измерить длину каждого звена и результаты сложить.
Практическая работа № 11
Учитель: Поработайте в парах. У вас вместе 6 отрезков.
Какую линию можете сложить из них? Сделайте это. Что получилось?
Практическая работа №12
Учитель: Начертите ломаную из 4 отрезков и найдите ее длину. Как называются отрезки ломаной, а места их соединения? А теперь замкните ее. Какую фигуру получили? А из 3-х, 6-ти ломаных какая получится фигура?
Упражнение «Ломаные в жизни»
Учитель: Давайте подумаем, а где в жизни мы встречаемся с ломаными.
(Ученики приводят примеры, опираясь на карточку с картинками).
IV – Первичная проверка понимания усвоенного материала
1) фронтальный опрос
Учитель: Подведем итоги работы.
-
Какая самая простая геометрическая фигура, из которой состоят все остальные?
-
Какие линии повторили?
-
Чем отличаются прямая, луч и отрезок?
-
Из чего состоит ломаная и как называются ее отрезки? А места соединения?
-
Как получить угол?
-
Чем отличается прямая от кривой линии?
2) Учитель: Подумаем, где в жизни мы встречаем все эти линии?
Поработаем с карточками.
Карточка № 1 Игра «Найди линию»
Учитель: На карточке под номерами расположены разные предметы. Запишите в тетрадях номера предметов, где есть 1. прямые линии, 2. отрезки, 3. ломаные, 4. кривые, 5. лучи.
Карточка № 2 Игра «Точки и числа»
Учитель: У каждого на столах лежит лист, на котором изображены точки и числа. Ваша задача поочередно соединять данные точки линиями, прямыми или кривыми вы должны решить сами, в порядке возрастания чисел. От меньшего к большему. Кто раньше получит рисунок. Поднимите руку.
VII – Рефлексия
Учитель: Чем мы занимались на уроке?
Повторили: «Какие бывают линии и чем они отличаются друг от друга?»
Узнали, что линии бывают замкнутые и незамкнутые.
Чертили эти линии и показывали.
Учились сравнивать отрезки.
Что нового узнали?
Точка и линии-самые простые геометрические фигуры.
Линии состоят из множества точек.
Линии располагаются на плоскости и в пространстве горизонтально, вертикально, наклонно.
Линии бывают параллельные и могут пересекаться.
VIII – Сообщение домашнего задания
Учитель: Нарисуйте примеры предметов с прямыми, кривыми, ломаными линиями и с лучами по 2-4 примера.
Приложение к уроку
Карточка
Фотографии с урока
Математика / 6 лет / Луч. Отрезок. Прямая.
Математика для дошкольников: геометрические основы
В возрасте шести лет очень важно уделить время знакомству с основными учебными дисциплинами. Это позволит максимально подготовить ребёнка к поступлению в первый класс общеобразовательной школы. Мозг малыша в этом возрасте переходит к активной фазе, и он способен усваивать большой объём информации. Необходимо не упустить этот момент и использовать его по максимуму. Родителям, при подготовке ребёнка к школе, стоит обратить внимание на различные программы, которые позволят ему изучить основы учебной программы начальных классов.
Наши уникальные онлайн–программы обучения станут отличным помощником для родителей в данном вопросе. Все они разрабатывались командой профессионалов своего дела. Практикующие методисты, детские психологи и учителя младших классов, с большим опытом работы, работали над созданием наших эксклюзивных онлайн–курсов. Они смогли разработать программы, которые полностью соответствуют эмоциональные, возрастным и прочим потребностям современного поколения.
Основной упор был сделан именно на возрастной особенности. В связи с этим, все наши задания представлены в игровом формате, как и советуют детские психологи. Ведь благодаря такой форме подачи материала, у малыша просыпается интерес к учёбе и получению все новых и новых знаний.
Геометрические основы
Изучая с дошкольником математику, не стоит забывать про основы геометрии, которые необходимо усвоить в возрасте шести лет. Именно в этом возрасте, ребёнок должен понимать, что из себя представляют лучи, отрезки и прямые. Какие из них отмечаются точками с двух сторон, а какие нет. Для того, чтобы помочь малышу в освоении основ геометрии, мы рекомендуем обратиться к нашему уникальному онлайн–курсу «Луч, отрезок, прямая» детям 6 лет. Именно с его помощью, Вы сможете научить своего ребёнка разбираться в этих понятиях легко и быстро. А благодаря игровому формату обучения, даже дошкольник будет увлечён процессом получения новых знаний.
В данном разделе Вы найдёте:
•Теоретическую часть, с красочными иллюстрациями и основными понятиями геометрии;
•Интерактивные упражнения с картинками и аудиофайлами, которые позволят на практике закрепить полученные знания;
•Статистика успеваемости, с наглядным отражением успехов и сложностей в обучении Вашего ребёнка;
•Система поощрения, которая представлена в виде веселых звёздочек с мотивирующими обращениями.
Пройдя весь онлайн–курс, Вы сможете заметит, что ребёнок начинает лучше ориентироваться в основных геометрических понятиях. Он без труда сможет отличить отрезок от прямой. Эти знания значительно облегчат ему обучение в общеобразовательной школе на будущий год.
Присоединяйтесь к нам сегодня, чтобы уже завтра с гордостью наблюдать за успехами своего ребенка.
Сложение и вычитание на числовом луче — онлайн тренажер по математике — Kid-mama
Сложение и вычитание на числовом луче проходят в 1 и 2 классе. Особенно он удобен для тех, кто еще неуверенно считает в уме в пределах первого и второго десятка.
Что же такое числовой луч? Как его изобразить и работать с ним?
В математике лучом называется часть прямой, имеющая начало и не имеющая конца. Это определение можно отнести и к числовому лучу.
Нарисуем в тетради точку ближе к левому краю листа, и проведем от нее вправо луч. Обозначим эту точку «0» (ноль). Ноль — это начало числового луча. Далее будем делать отметки через одинаковое расстояние, пронумеровав их 1, 2, 3 и т.д. Расстояние между двумя соседними отметками называется единичным отрезком.
На числовом луче изображаются натуральные числа, то есть числа, которые мы используем при счете предметов. В более старших классах вместо числового луча для вычислений используют координатную прямую, которая продолжается в другую сторону от ноля, и включает как положительные, так и отрицательные числа.
Но вернемся к нашему числовому лучу. Для чего он нам нужен? На числовом луче можно складывать и вычитать числа. На нем можно также сравнивать числа: больше будет то число, которое находится правее на числовом луче.
Чтобы сложить два числа, нужно найти на числовом луче первое слагаемое, и отсчитать вправо число делений, равное второму слагаемому. Эта отметка и будет суммой.
Чтобы вычесть, нужно найти на числовом луче уменьшаемое, и отсчитать влево число делений, равное вычитаемому. Указанная отметка будет разностью.
Наша игра — тренажер наглядно демонстрирует, как складывать и вычитать на числовом луче.
Решите пример и нажмите кнопку с ответом. В игре есть анимация!
Перейти на страницу с тренажером
Старая версия тренажера с текстовыми полями
Скачайте и распечатайте листы с заготовками числового луча и поработайте карандашом (примеры придумайте и запишите в прямоугольники сами) (кликните на изображение и сохраните его как картинку)
Координатный луч, шкала, диаграмма.
5.1. Координатный луч. Единичный отрезок
Натуральные числа можно изображать на луче. Построим луч с началом в точке О, направив его слева — направо, направление отметим стрелкой.
Началу луча (точке О) поставим в соответствие число 0 (ноль). Отложим от точки О отрезок ОА произвольной длины. Точке А поставим в соответствие число 1 (один). Длину отрезка ОА будем считать равной 1 (единице). Отрезок АВ = 1 называется единичным отрезком. Отложим от точки А в направлении луча отрезок АВ = ОА. Поставим точке В в соответствие число 2. Заметим, что точка В находится от точки О на расстоянии в два раза большем, чем точка А. Значит, длина отрезка ОВ равна 2 (двум единицам). Продолжая откладывать в направлении луча отрезки, равные единичному, будем получать точки, которым соответствуют числа 3, 4, 5, и т.д. Данные точки удалены от точки О соответственно на 3, 4, 5, и т.д. единиц.
Луч, построенный таким способом, называется координатным или числовым. Начало числового луча, точка О, называется точкой отсчета. Числа, поставленные в соответствие точкам на этом луче, называются координатами этих точек (отсюда: координатный луч). Пишут: О(0), А(1), В(2), читают: «точка О с координатой 0 (ноль), точка А с координатой 1 (один), точка В с координатой 2 (два)» и т.д.
Любое натуральное число n можно изобразить на координатном луче, при этом соответствующая ему точка P будет удалена от точки О на n единиц. Пишут: ОP = n и P(n) — точка P (читают: «пэ») с координатой n (читают: «эн»). Например, чтобы отметить на числовом луче точку К(107), необходимо от точки О отложить 107 отрезков, равных единичному. В качестве единичного можно выбрать отрезок любой длины. Часто длину единичного отрезка выбирают такой, чтобы было возможно в пределах рисунка изобразить на числовом луче необходимые натуральные числа. Рассмотрите пример
5.2. Шкала
Важным применением числового луча являются шкалы и диаграммы. Они используются в измерительных приборах и устройствах, при помощи которых измеряют различные величины. Одним из основных элементов измерительных приборов является шкала. Она представляет собой числовой луч, нанесенный на металлическое, деревянное, пластиковое, стеклянное или другое основание. Часто шкала выполнена в виде окружности или части окружности, которые разделены штрихами на равные части (деления-дуги) подобно числовому лучу. Каждому штриху на прямой или круговой шкале поставлено в соответствие определенное число. Это значение измеряемой величины. Например, числу 0 на шкале термометра соответствует температура 00С, читают: «ноль градусов Цельсия». Это температура, при которой начинает таять лед (или начинает замерзать вода).
Используя измерительные приборы и инструменты со шкалами, определяют значение измеряемой величины по положению указателя на шкале. Чаще всего указателем служат стрелки. Они могут перемещаться вдоль шкалы, отмечая значение измеряемой величины (например, стрелка часов, стрелка весов, стрелка спидометра – прибора для измерения скорости, рисунок 3.1.). Подобна смещающейся стрелке граница столбика ртути или подкрашенного спирта в термометре (рисунок 3.1). В некоторых приборах движется не стрелка вдоль шкалы, а шкала перемещается относительно неподвижной стрелки (метки, штриха), например, в напольных весах. В некоторых инструментах (линейка, рулетка) указателем служат границы самого измеряемого предмета.
Промежутки (части шкалы) между соседними штрихами шкалы называются деления. Расстояние между соседними штрихами, выраженное в единицах измеряемой величины, называется ценой деления (разность чисел, которым соответствуют соседние штрихи шкалы.) Например, цена деления спидометра на рисунке 3.1. равна 20 км/ч (двадцать километров в час), а цена деления комнатного термометра на рисунке 3.1. равна 10С (один градус Цельсия).
Диаграмма
Для видимого изображения величин используют линейные, столбчатые или круговые диаграммы. Диаграмма состоит из числового луча-шкалы, направленного слева — направо или снизу – вверх. Кроме того на диаграмме помещены отрезки или прямоугольники (столбцы), изображающие сравниваемые величины. При этом длина отрезков или столбцов в единицах шкалы равна соответствующим величинам. На диаграмме возле числового луча-шкалы подписывают название единиц измерения, в которых отложены величины. На рисунке 3. 2. изображена столбчатая диаграмма, а на рисунке 3.3 линейная.
3.2.1. Величины и приборы для их измерения
В таблице приведены названия некоторых величин, а также приборов и инструментов, предназначенных для их измерения. (Жирным шрифтом выделены основные единицы Международной системы единиц).
5.2.2. Термометры. Измерение температуры
На рисунке 3.4 приведены термометры, в которых использованы разные температурные шкалы: Реомюра (°R), Цельсия (°С) и Фаренгейта (°F).В них использован один и тот же температурный интервал – разность температур кипения воды и плавления льда. Этот интервал разделён на различное число частей: в шкале Реомюра – на 80 частей, шкале Цельсия – на 100 частей, в шкале Фаренгейта – на 180 частей. При этом в шкалах Реомюра и Цельсия температуре таяния льда соответствует число 0 (ноль), а в шкале Фаренгейта – число 32. Единицы температуры в этих термометрах: градус по Реомюру, градус по Цельсию, градус по Фаренгейту. В устройстве термометров используется свойство жидкостей (спирта, ртути) расширяться при нагревании. При этом различные жидкости по-разному расширяются при нагревании, что видно на рисунке 3.5, где штрихи для столбика спирта и ртути не совпадают при одинаковой температуре.
5.2.3. Измерение влажности воздуха
Влажность воздуха зависит от количества в нём водяных паров. Например, летом в пустыне воздух сухой, влажность его низкая, так как в нём содержится мало паров воды. В субтропиках, например, в Сочи влажность высокая, в воздухе много водяных паров. Измерить влажность можно с помощью двух термометров. Один из них обычный (сухой термометр). У второго шарик обёрнут влажной тканью (влажный термометр). Известно, что при испарении воды температура тела понижается. (Вспомните озноб при выходе из моря после купания). Поэтому влажный термометр показывает более низкую температуру. Чем суше воздух, тем больше разность показаний двух термометров. Если показания термометров одинаковы (разность равна нулю), то влажность воздуха равна 100 %. В этом случае выпадает роса. Прибор, измеряющий влажность воздуха, называется психрометром (рисунок 3.6). Он снабжён таблицей, в которой приведены: показания сухого термометра, разность показаний двух термометров, влажность воздуха в процентах. Чем ближе влажность к 100%, тем более влажный воздух. Нормальная влажность в помещениях должна быть равна около 60%.
Блок 3.3. Самоподготовка
5.3.1. Заполните таблицу
Отвечая на вопросы таблицы, заполняйте свободную колонку («Ответ»). При этом используйте рисунки приборов в блоке «Дополнительный».
760 мм. рт. ст. считается нормальным. На рисунке 3.11 показано изменение атмосферного давления при подъёме на самую высокую гору Эверест.
Постройте линейную диаграмму изменения давления, отложив на вертикальном луче высоту над уровнем моря, а по горизонтали давление.
Блок 5. 4. Проблемный
Построение числового луча с единичным отрезком заданной длины
Для решения этой учебной проблемы работайте по плану, приведенному в левой колонке таблицы, при этом правую колонку рекомендуется закрыть листом бумаги. Ответив на все вопросы, сопоставьте свои выводы с приведёнными решениями.
Блок 5.5. Фасетный тест
Числовой луч, шкала, диаграмма
В задачах фасетного теста использованы рисунки из таблицы. Все задачи начинаются так: «ЕСЛИ числовой луч представлен на рисунке …., то…»
ЕСЛИ: числовой луч представлен на рисунке… Таблица
ТО:
- Количество единиц между соседними штрихами числового луча.
- Координаты точек А, В, С, D.
- Длина (в сантиметрах) отрезков АВ, ВС, АD, ВD соответственно.
- Длина (в метрах) отрезков АВ, ВС, АD, ВD соответственно.
- Натуральные числа, расположенные на числовом луче левее точки D.
- Натуральные числа, расположенные на числовом луче между точками А и С.
- Количество натуральных чисел, лежащих на числовом луче между точками А и D.
- Количество натуральных чисел, лежащих на числовом луче между точками В и С.
- Цена деления шкалы прибора.
- Скорость автомобиля в км/ч, если стрелка спидометра указывает на точки А, В, С, D соответственно.
- Величина (в км/ч), на которую увеличилась скорость автомобиля, если стрелка спидометра переместилась из точки В в точку С.
- Величина скорости автомобиля после того, как водитель уменьшил скорость на 84 км/ч (перед уменьшением скорости стрелка спидометра указывала на точку D).
- Масса груза на весах в центнерах, если стрелка – указатель весов – расположена напротив точек А, В, С соответственно.
- Масса груза на весах в килограммах, если стрелка – указатель весов – расположена напротив точек А, В, С соответственно.
- Масса груза на весах в граммах, если стрелка – указатель весов – расположена напротив точек А, В, С соответственно.
- Количество учеников в 5 классе.
- Разность между количеством учеников, успевающих на «4», и количеством учеников, успевающих на «3».
- Отношение количества учеников, успевающих на «4» и «5», к количеству учеников, успевающих на «3».
РАВНО (равна, равны, это):
а) 10 б) 6,12,3,3 в) 1 г) 99,102,106,104 д) 2 е) 201,202 ж) 49 з) 3500,3000,8000,4500
и) 5,2,1,4 к) 599 л) 6,3,3,9 м) 10,4,16,7 н) 100 о) 4 км/ч п) 65,85,105,115 р) 7,2,4,6 с) 20,20,50,30 т) 0 у) 700,600,1600,900 ф) 1,2,3,4,5,6 х) 25,10,5,20 ц) 3,4,5,2 ч) 203,197,200,206 ш) 15,20,25,10 щ) 1599 ы) 11,12,13,14,15 э) 30,60,15,15 ю) 0,700,1300,1600 я) 100,100,250,150 аа) 30,15,15,45 бб) 4 вв) 1,2,3,4,5 гг) 17 дд) 500 кг ее) 19 жж) 80 зз) 100,101,102,103,104,105 ии)5,6 кк) 28,64,100,164 лл) 1500000,3000000,4500000 мм) 11 нн) 36 оо) 1500,3000,4500 пп) 7 рр) 24 сс) 15,30,45
Блок 5. 6. Учебная мозаика
В заданиях мозаики использованы приборы из блока «Дополнительный». Ниже приведено поле мозаики. На нём указаны названия приборов. Кроме того для каждого прибора обозначены: измеряемая величина (В), единица измерения величины (Е), показание прибора (П), цена деления шкалы (Ц). Далее помещены ячейки мозаики. Прочитав ячейку, вы должны сначала определить прибор, к которому она относится, и поставить в окружность ячейки номер прибора. Затем надо догадаться, о чём эта ячейка. Если речь идёт об измеряемой величине, надо к номеру приписать букву В. Если это единица измерения – поставить букву Е, если показание прибора – букву П, если цена деления – букву Ц. Таким образом надо обозначить все ячейки мозаики. Если ячейки вырезать и расположить так, как на поле, то можно систематизировать сведения о приборе. В компьютерном варианте мозаики при правильном расположении ячеек создаётся рисунок.
Зачем нужна математика? — Телеканал «Наука»
За решение некоторых математических задач назначено вознаграждение в миллион долларов. И все же они остаются нерешенными, как бы над ними ни бились лучшие умы. Как развивается математическая мысль — разве не все еще доказано? И зачем вкладывать огромные деньги в работу над абстрактными задачами? Заглянем в сложный мир математики!
Рассказывает гость программы «Вопрос науки», кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института имени Стеклова РАН Николай Николаевич Андреев.
Математика — это способ изучения нашего мира
Математика изучает наш мир в своей максимальной абстракции. Физики привыкли работать с проявлениями, а математики работают с абстракцией: ищут те очищенные от проявлений свойства нашего мира, которые можно изучать и потом прикладывать. Есть потрясающая статья нашего великого математика Манина, она озаглавлена «Математика — язык описания возможностей». В конце своей статьи Юрий Иванович приводит в пример шамана, который не решал, что делать с племенем, но давал советы предводителю племени, как лучше поступить. И заканчивает Юрий Иванович следующими словами: «Математика описывает фазовое пространство реального мира, пространство возможностей. Она изучает законы, которые определяют возможные траектории в этом фазовом пространстве, а также условия, тот набор информации, который необходим для выбора конкретной фазовой траектории». То есть она, в принципе, обществу говорит, что будешь делать так — пойдешь так, будешь делать так — будешь развиваться так. И это такой высший взгляд на математику.
[Русский математик] Алексей Николаевич Крылов сравнивает математику с мастерской: математики готовят всевозможные инструменты на разную потребу. И когда человечеству приходится решать какую-то задачу, то профессора математики — ученые-знатоки этого инструментария — выдают человечеству тот инструмент, который нужен для решения очередной задачи: иногда грубый напильник, иногда надфильчик…
Постоянно возникают все новые и новые области, математика чуть-чуть расширяется, и с новых границ становятся видны дальше те области, которые можно продолжать изучать и которые приведут затем к благам для всего человечества. Здесь можно привести очень простой пример — статью «От «безумной» геометрии Лобачевского до GPS-навигаторов». Вот Лобачевский придумал свою геометрию. Умер он, даже не увидев ни одной работающей модели. И конечно же, он не мог подумать, что потом будет создана риманова геометрия. А позже на основе римановой геометрии Эйнштейн создаст свои теории относительности, специальную и общую теорию относительности. А сейчас мы, каждый день пользуясь GPS-навигатором, пользуемся в том числе общей и специальной теориями относительности. Потому что, если бы не учитывать те эффекты, которые они дают, ошибка в определении координат на местности была бы огромной и GPS был бы не нужен. Сила математики в том, что всегда так или иначе эти, казалось бы, абстрактные изучения потом находят свое применение для человечества.
Мир только кажется математическим или это свойство природы?
Это, конечно же, свойство природы. Вообще, все математики — платоники. Есть такая книжка «Доказательство из книги» — она о том, что где-то есть написанные доказательства, и мы, люди, можем к ним приблизиться. И действительно, иногда берешь доказательство, оно может быть очень короткое, но доказывать что-то очень важное. Собственно, сама книга «Доказательство из книги» начинается с доказательства Евклида о существовании бесконечного числа простых чисел. Доказательство, которое уже выдержало много веков, а тем не менее действительно очень красивое, мощное и интересное! А бывает, смотришь и видишь, что мы еще чего-то не знаем и поэтому доказательство такое сложное.
Математика рассеивает туман — изучает то, что мы еще не изучили в нашем мире. Она позволяет выявить сущность с помощью формализации и абстрагироваться от чего-то, что настраивается уже на эту сущность. А дальше остается применять полученные законы либо к предмету, либо к задаче — это уже зависит от того, что нужно человечеству.
Математика вокруг нас
Давайте поговорим о тех проявлениях математики в нашем окружающем мире, которые всем понятны, а с другой стороны — раскрывают математический подход, математическую составляющую.
Например, циклоидальная кривая позволила создать первые маятниковые часы изохронные, у которых период колебания не зависел от амплитуды. Это были первые часы. Очевидно, что в технике математики очень много. Вот в школе все проходили параболу. Но есть оптическое свойство параболы, а именно — лучи света, проходящие параллельно оси параболы, после отражения от нее попадают в фокус. По этому принципу работают параболические тарелки, спутниковые тарелки, которые смотрят на спутник. И вот вам наглядный простой пример, который связан со школьной математикой.
Или возьмем цвета. То, как компьютеры предоставляют нам цвет, как он складывается, — это все основано на математике. Совсем недавно мы праздновали 50-летие прилунения, доставки лунохода на Луну. А в 1970 году началась наша советская лунная программа, и там было устройство, которое мы все с вами знаем, а именно — катафот, уголковый отражатель. Три плоскости взаимно перпендикулярны друг другу, и если на них посветить лучиком, то после отражения от всех трех зеркал луч идет параллельно тому направлению, откуда он пришел. Причем неважно, откуда вы светили, луч придет обратно к вам же.
Ровно поэтому из таких вот маленьких уголочков, взаимно перпендикулярных трех плоскостей, делают катафот на велосипед. И когда вы фарами автомобиля освещаете какого-то велосипедиста, вы видите отблеск от катафота, хотя там нет никаких лампочек. Но надо быть аккуратным — те, кто идет справа и слева, могут не видеть отблеска от катафота, потому что свет возвращается к вам. Эта же идея отражения используется у ограничителей, когда дорога поворачивает. Абсолютно такой же катафот, такой же набор уголковых отражателей, был установлен на луноходе. И до сих пор этот продолжающийся эксперимент по лазерной локации Луны позволяет измерять постоянно меняющееся расстояние до Луны с точностью до нескольких сантиметров, а может быть, даже миллиметров. А всего-то три плоскости! В физике есть закон: «Угол падения равен углу отражения», а дальше возникает математика.
Или вот, скажем, пример, мимо которого мы проходим постоянно: почему стаканчики делают в форме конуса? Из листочка бумаги можно сделать цилиндр или конус, почему же выбирают конус? Из-за того, что стаканчики такой формы можно вставлять друг в друга, а цилиндрические ведра или стаканчики нельзя было бы вставлять, их бы пришлось перевозить отдельно. То же самое мы видим, когда приезжают дорожные службы и расставляют конусы. Но конус — это изгибаемая поверхность, и просто коническим стаканчиком было бы пользоваться неудобно. Требовалось придать ему жесткость. Для этого нужна поверхность бублика — в математике она называется «тор». Как оказалось, даже небольшой кусочек тора, который содержит окружность, является жесткой поверхностью. Будучи сделан из того же самого тонкого пластика, он является неизгибаемой поверхностью. Вопрос: «Какие поверхности изгибаются, а какие нет?» — это была важная тема, и она до сих пор продолжается для математиков. Конечно же, это изучалось не ради стаканчиков. Но, изучив однажды какое-то свойство, мы можем прилагать математические знания в разные области.
Доказательства как основа математики
Когда вы пытаетесь решить задачу, вам нужно перебирать массу различных вариантов. А математика вам сразу говорит, что вот эти варианты можно даже не рассматривать. Строгость — это и есть сила математики.
На самом деле даже внутри математики понятие доказательства менялось. Во времена Древней Индии достаточно было нарисовать картинку, из которой следует доказательство, и написать: «Смотри» — это они уже считали доказательством. Понятное дело, что сейчас такое доказательство даже не рассматривается, ну только как иллюстрация. Один из больших, важных переломов наступил во времена Гильберта, который начал систематизировать доказательства.
В 1900 году на Международном математическом конгрессе прозвучал известный доклад Гильберта, в котором он поставил свои знаменитые «проблемы Гильберта», решить которые было очень престижно. И надо отметить, что больше половины из решенных были решены сотрудниками нашего института. И здесь я отошлю читателей к статье Льва Дмитриевича Беклемишева, нашего академика, она интересно называется: «Математика и логика». И действительно, логика иногда называется основанием математики, ведь доказательства — это предмет изучения логики. Из логики родилась масса вещей, о которых мы опять же даже не подозреваем, что в основе их лежит логика. Например, базы данных — это одно из ответвлений этой науки. Лингвистика тоже во многом опирается на логику.
На прощание хочу вернуть вас в детство. Возьму в руки книжку «Математическая составляющая», где мы собрали всевозможные сюжеты проявления математики в нашей жизни, и открою на страничке «Арифметические фокусы».
Загадайте какое-нибудь число. Загадали?
Прибавьте к нему 5. Прибавили?
Теперь умножьте результат на 2. Умножили?
Вычтите из полученного загаданное число. Вычли?
И еще раз вычтите загаданное число. Сколько получилось?
Я вам скажу: 10.
На самом деле математика упрощает взгляд на жизнь. Если записать формулой наш фокус, то это будет выглядеть очень просто. И это хорошо проясняет суть. Если бы нас читали школьники, я бы им сказал: если сейчас чуть-чуть приложить усилия и выучить математику, то потом будет гораздо легче жить. Когда во времена Виета вместо слов были введены формулы, все стало понятно и прозрачно.
Выслушав идеи других студентов о проблеме миссис Комфорт, Черил сказала: «Давайте использовать цветные плитки, чтобы изучить различные способы расстановки всего четырех столов. Начнем всего с четырех столов ».
Черил дала классным указаниям по расстановке квадратных «столов».«Когда плитки соприкасаются, — сказала она, — они должны касаться всей стороны. Прикосновение к частям сторон или только к углам недопустимо ». Она продемонстрировала на диапроекторе. (См. Рисунок 2.)
Шерил также разместила плитки так, чтобы не следовать ее правилу, и попросила учеников объяснить, почему. (См. Рисунок 3.)
Затем она выполнила инструкции. «В своей группе поделитесь плитками, которые я положил на ваш стол, и найдите разные способы расставить четыре плитки.Обязательно следуй моему правилу ». Черил разложила около 70 плиток для каждой группы из четырех учеников.
Пока ученики работали, Черил ходила по классу, наблюдая за учениками и отвечая на вопросы по мере необходимости. Когда у всех была возможность поработать над проблемой, она прервала студентов и попросила их внимания.
«Что вы сделали?» — спросила Черил. «Кто бы хотел описать расположение, чтобы я мог построить его из плиток наверху?»
«Вы можете провести прямую линию», — сообщил Брэндон.
«Как это?» — спросила Черил, складывая четыре плитки в прямоугольник 1 на 4. Брэндон кивнул.
«Сделайте квадрат со всеми четырьмя из них», — сказала Рахиль. Черил построила квадрат из четырех плиток.
«Я сделала тройку и одну», — сказала Николь.
«Что ты имеешь в виду?» — спросила Черил.
«Один маленький столик, как у Натана, — объяснила Николь, — а затем столик 1 на 3».
«Вы можете сделать четыре отдельных стола», — сказал Натан.
«Ты мог бы поставить Т», — сказал Зак.«Положите три в ряд и один под средним».
«Я тоже сделал это, но мой перевернут», — сказал Эрик.
Шерил построила аранжировку Эрика под руководством Зака и указала классу, что когда вы можете перевернуть, повернуть или сдвинуть фигуру, чтобы она точно соответствовала другой фигуре, фигуры совпадают. «Мы будем считать конгруэнтные формы одинаковыми», — пояснила она.
Когда расположение студентов заполнило накладные расходы, Черил спросила: «Что, если бы мы использовали только отдельные прямоугольные столы, сделанные из четырех плиток? Какие формы мы должны удалить? »
«Я предложил четыре отдельные таблицы, — сказал Натан.
Рифка добавила: «И та, которая похожа на букву Т».
«Вы также должны снять мою», — сказала Николь. «Это не один прямоугольник».
Когда Малкия предложила убрать квадрат, разговор разгорелся. Некоторые ученики помнили, что квадрат — это прямоугольник, а другие — нет. Черил пояснила: «Квадрат — это особый вид прямоугольника, потому что все его стороны имеют одинаковую длину. Но, как и прямоугольник, квадрат по-прежнему имеет четыре угла в 90 градусов, а противоположные стороны параллельны.”
Шерил хотела убедиться, что ученики умеют маркировать построенные ими прямоугольники. Она нарисовала на доске прямоугольник размером 1 на 4. «Я могу записать это двумя способами», — сказала она и записала под прямоугольником:
Затем Черил нарисовала квадрат 2 на 2 и пометила его.
Черил указала на квадратный стол 2 на 2 и спросила: «Если один человек сидит сбоку от небольшого квадратного стола, и никто не сидит по углам или в щелях между столами, сколько людей может сидеть здесь? ”
«Легко, восемь», — ответила Николь.«Просто сосчитайте по два человека с каждой стороны, умноженные на четыре стороны»
«Когда вы подсчитываете количество людей, которые могут сесть за стол, вы фактически находите его периметр», — объяснила Шерил. «Это потому, что каждый человек сидит по одну сторону от меньшего квадрата и занимает одну единицу длины. Таким образом, периметр прямоугольника 2 на 2 составляет 8 единиц ».
«Периметр стола размером 1 на 4 равен 10», — заметил Эрик.
Черил попросила остальных проверить показания Эрика, а также изобразить периметр нескольких других прямоугольников.Затем она представила другую проблему.
— Давайте вспомним вечеринку мистера и миссис Комфорт, — начала Черил. «Предположим, миссис Комфорт решила, что все 32 человека должны сесть за один большой массивный прямоугольный стол, и она хотела выяснить, сколько маленьких квадратных столов можно арендовать. Посмотрите, сможете ли вы найти все возможные прямоугольные столы разных размеров и форм, на которых могут разместиться 32 человека ».
«Должен ли каждый стол вмещаться ровно 32?» JT хотел знать.
«Да», — ответила Черил.
«Сколько плиток мы используем?» — спросила Малкия.
«Это будет зависеть от столов, которые вы построите», — ответила Черил.
«Можем ли мы работать с партнером?» — спросила Николь.
«Да, — ответила Черил, — но веди свой личный учет».
Больше вопросов не было. Черил дала последнее указание. «Используйте плитки, но нарисуйте свои решения на листе бумаги. Обязательно запишите размеры каждого стола и количество людей, за которыми он может разместиться ».
Наблюдая за детьми
Остаток урока Черил наблюдала за учениками за работой и при необходимости оказывала помощь.
Она наблюдала, как Кэтлин составляла прямоугольник 16 на 2. «Хм, — громко сказала Кэтлин, работая, — давайте посмотрим, 32 человека. Это должно сработать, потому что 16 умножить на 2 будет 32 ». Кэтлин сосредоточенно нахмурилась, считая стороны квадратов. Затем она с удивлением посмотрела на Шерил.
«Я не понимаю, — сказала она. «Я насчитал 36 мест. Но в этом нет смысла, потому что 16 умножить на 2 равно 32. Может, я неправильно посчитал ». Она снова сосчитала стороны.
«Еще 36. Ага». Кэтлин пожала плечами, перемешала 16 плиток обратно в стопку в центре стола и начала строить еще один прямоугольник.
«Что ты делаешь?» — спросила ее Шерил.
«Что ж, я, должно быть, напортачила, потому что первая, которую я сделал, не сработала, поэтому я попробую что-нибудь еще», — ответила Кэтлин.
«Что ты собираешься попробовать?» — спросила Черил.
«Не знаю. Я просто собираюсь поваляться и посмотреть, что будет », — сказала она.
Черил наблюдала, как Кэтлин начала складывать плитки в длинный ряд шириной в один квадрат. Она продолжала считать стороны одну за другой каждый раз, когда добавляла новую плитку.Наконец она улыбнулась.
«Это работает! Этот вмещает 32 человека. Это 1 на 15. А теперь записать это ». Кэтлин начала рисовать прямоугольник на своей бумаге.
Алекс сидел напротив Кэтлин. «Я тоже нашел это», — сказал он. «Теперь я пробую что-то вдвое».
«О», — ответила Кэтлин и начала строить прямоугольник шириной в четыре квадрата.
Натан подошел к Шерил. «Я не рисую на бумаге прямоугольники, как все, — сказал он. «Вместо этого я решил использовать Xs.Но Люк сказал мне, что это неправильно. Разве я не могу нарисовать крестики, если захочу? » Натан показал Шерил свою газету.
Черил попросила Натана объяснить, что он сделал. Удовлетворенная тем, что он понимает, что делает, Шерил сказала: «То, что вы сделали, имеет для меня смысл».
Натан вернулся к Люку. «Я сказал вам, что она сказала, что все в порядке», — сказал он.
Черил продолжила движение по классной комнате. К концу периода она увидела, что все студенты нашли некоторые прямоугольники, а некоторые нашли их все.Она попросила детей убрать плитку и собрала их бумаги. Шерил планировала продолжить урок на следующий день.
Следующий день
На следующее утро Черил дала классу возможность подумать над расширением. «Какой самый дешевый способ разместить 32 человека за одним большим прямоугольным столом? А какой самый дорогой способ? Чтобы ответить, некоторым из вас нужно будет найти дополнительные расстановки столов ».
Примерно через 10 минут Черил прервала учеников, чтобы начать обсуждение в классе.«Какие варианты есть у Comforts, чтобы разместить всех 32 человека за одним столом?» — спросила Черил. Руки студентов вскинулись.
«У них будет группа, точнее восемь», — сказала Рэйчел. Большинство студентов кивнули или пробормотали свое согласие.
«Может ли кто-нибудь описать размеры таблиц, которые будут работать?» — спросила Черил. «Я запишу их на доске».
Эрик сообщил: «Один раз-15, 2-раз-14, 3-раз-13, 4-раз-12, 5-раз-11, 6-раз-10, 7-раз-9 и-8-раз-8. . » После того, как Шерил записала размеры, она вернулась и зарисовала каждый соответствующий прямоугольник.
«О, я вижу закономерность!» — сказала Анферни. «Могу я показать это?» Черил кивнула, и Анферни подошла к доске. Она сказала, указывая: «Сверху вниз идет 1, затем 2, затем 3, затем 4, затем 5 и так далее, вплоть до 8».
«А другая сторона идет вниз», — добавила Анн Мария.
«О да, я этого не видела», — сказала Анферни. «Ага, 15, 14, 13 и так далее». Он снова сел.
«Разве список не должен продолжаться?» — спросила Черил. «Разве не следует прямоугольник 9 на 7?» (См. Рисунок 6.)
«Он у тебя уже есть», — сказала Малкия.
«Да, 9 на 7 и 7 на 9 — это одно и то же», — добавила Николь.
«Все числа после 8-умножить на 8 — это повторения, — сказала Кирстен, — так что вы не можете их сосчитать».
«Давайте подумаем, сколько квадратных столов придется арендовать мистеру и миссис Комфорт для каждого большого прямоугольника», — сказала Шерил. «Сколько им придется арендовать за стол размером 15 на 1?»
«Пятнадцать. Легко, — ответили несколько студентов.
«А как насчет 2 на 14?» Черил продолжила.«Сколько столов придется арендовать Comforts для такой договоренности?»
«Двадцать восемь», — звали многие дети.
«А как насчет расположения 3х13?» — спросила Черил. Класс быстро понял, чем занимается Шерил.
«Вы просто размножаетесь», — сказала Рифка. «Просто сделай это для всех — 28, 39, 48, 55, 60, 63 и 64».
«Что вы заметили в форме столов?» Затем спросила Черил.
Малкия сказала: «Размер 8 на 8 — квадрат, а все остальные — прямоугольники.”
«Но ведь размер 8 на 8 тоже прямоугольник, помнишь?» Эрин напомнила Малкию.
«Смотрите, — сказал Брэндон. «Если они устроят длинный тонкий прямоугольник для 32 человек, то они смогут сделать это всего с 15 столами. Так дешевле всего.
«И они также сэкономили бы место, поскольку 1-умноженный на 15 занимает меньше всего места», — добавил Шарнет.
«Но вам понадобится длинная комната, — добавила Николь, — как для королевского банкета».
Затем Шерил прервала беседу и дала письменное задание оценить мышление каждого ученика.Она написала на доске три вопроса, чтобы дети могли ответить:
- Какие шаблоны вам пригодились в работе?
- Какие расстановки столов наиболее и наименее экономичны?
- Что вы заметили в областях и периметрах выполненных вами мероприятий?
Учащиеся работали над заданием для остальной части класса.
Как интуитивно написать трассировщик лучей
В моем последнем сообщении в блоге я продемонстрировал свой трассировщик лучей для BBC Micro: Bit.В этом посте я немного рассказал о том, что такое трассировщик лучей, но не обсуждал, как на самом деле его реализовать.
Если вы не знаете, что такое трассировщик лучей, сначала обязательно прочтите этот пост.
В этом посте подробно обсуждается трассировщик лучей, шаг за шагом рассказывая вам о вычислениях.
Это не самый продвинутый трассировщик лучей — на самом деле он почти такой же простой, как и есть.
Он запускает один луч на пиксель и не поддерживает отражение или преломление.
Однако вы сможете адаптировать его к своим потребностям, как только разберетесь с математикой.
Я намеренно не включил образцы кода.
Вместо этого я объясняю словами, математикой и картинками.
Это, наверное, кажется пугающим, но поверьте мне, когда я скажу, что трассировка лучей не такая уж сложная задача.
Если бы я включил образцы кода, вы, вероятно, просто скопировали бы их и не совсем понимали, что происходит.
К концу этого поста вы должны иметь интуитивное понимание того, как работают трассировщики лучей.
Вы должны уметь писать код самостоятельно, и более продвинутые читатели смогут расширить свою реализацию дополнительными функциями.
Шаг 1. Определите вашу сцену
Трассировщики лучей имитируют световые лучи для визуализации трехмерной сцены.
Прежде чем мы сможем это сделать, нам нужно определить сцену, которую мы хотим визуализировать.
В нашей простой реализации сцена содержит одну камеру и много треугольников.
В нашей сцене мы используем только треугольники, потому что они являются самой простой формой для рендеринга.
Мы можем преобразовать более сложные формы в треугольники в процессе, называемом триангуляция
.
Каждый треугольник \ (t \) представляет собой набор из трех координат \ (\ left \ {t_1, t_2, t_3 \ right \} \).
Каждая координата является трехмерной координатой \ (\ left \ {x, y, z \ right \} \).
Добавляем четыре треугольника в форме пирамиды и камеру.
Положение камеры также является трехмерной координатой.
Он определяет, где мы смотрим в сцене.
Камера особенная, потому что у нее есть и положение, и направление.
Это позволяет нам повернуть камеру и осмотреть сцену.
Вращение камеры обозначается как \ (\ theta_y \) ( рыскание, ) и \ (\ theta_p \) (, шаг ).Рыскание управляет вращением влево-вправо, а вращение вверх-вниз определяется шагом.
Вместе они позволяют камере смотреть в любом направлении.
Шаг 2. Расчет плоскостей треугольника
Треугольники бывают плоскими и двумерными.
Мы можем представить треугольник как небольшое сечение бесконечной плоскости.
Мы описываем самолет как \ (\ bar {p} = \ left \ {a, b, c, k \ right \} \).
Любые значения \ (\ left \ {x, y, z \ right \} \), которые удовлетворяют \ (aX + bY + cZ + k = 0 \), находятся на плоскости, и наоборот.
Компоненты \ (a \), \ (b \) и \ (c \) плоскости определяют ее ориентацию.
Мы можем вычислить их, найдя угол нормали к плоскости.
Нормаль — это линия, ортогональная (под прямым углом) к плоскости.
Чтобы получить угол нормали, мы будем использовать произведение двух векторов.
Перекрестное произведение — это алгебраическая функция, которая для двух векторов выводит новый вектор, ортогональный обоим.
Чтобы найти нормальную линию плоскости, нам нужны два вектора на плоскости, которые пересекаются.Мы можем выбрать любые две стороны треугольника.
Я буду использовать две линии, пересекающиеся в точке \ (t_1 \).
Мы можем вычислить угол этих двух линий, посмотрев на разницу в координатах от одного конца до другого:
\ [\ bar {a} = t_2 — t_1 \\
\ bar {b} = t_3 — t_1 \\\]
Для тех, кто плохо знаком с векторами, их вычитание работает следующим образом:
\ [\ bar {a} — \ bar {b} = \ begin {Bmatrix}
\ bar {a} _x — \ bar {b} _x \\
\ bar {a} _y — \ bar {b} _y \\
\ bar {a} _z — \ bar {b} _z \\
\ end {Bmatrix} \]
Теперь, когда у нас есть две линии \ (\ bar {a} \) и \ (\ bar {b} \), мы можем вычислить нормальную линию как \ (\ bar {a} \ times \ bar {b} \ ).Это \ (\ times \), оператор перекрестного произведения.
Я не новичок в векторах , но точно не могу вспомнить, как делать кросс-произведение.
Вот как это работает для всех, кто находится в одном лагере:
\ [\ bar {a} \ times \ bar {b} = \ begin {Bmatrix}
\ bar {a} _y \ cdot \ bar {b} _z & — & \ bar {a} _z \ cdot \ bar {b} _y \\
\ bar {a} _z \ cdot \ bar {b} _x & — & \ bar {a} _x \ cdot \ bar {b} _z \\
\ bar {a} _x \ cdot \ bar {b} _y & — & \ bar {a} _y \ cdot \ bar {b} _x \\
\ end {Bmatrix} \]
Если вы хотите получить более подробное объяснение того, как это работает, попробуйте эту страницу «Math is Fun».Не стыдно сказать, что я провел на этом сайте много времени.
Это может быть для детей, но обязательно полезно!
Используя кросс-произведение, теперь у нас есть угол нормали \ (\ bar {n} = \ left \ {0, -2, -2 \ right \} \).
Значения \ (\ bar {n} \) отображаются в \ (\ left \ {a, b, c \ right \} \) компоненты плоскости.
Чтобы вычислить последний компонент, \ (k \), нам нужно вернуться к формуле плоскости:
\ [a \ cdot X + b \ cdot Y + c \ cdot Z + k = 0 \]
Мы можем подставить в наши значения из \ (\ bar {n} \):
\ [\ bar {n} _x \ cdot \ bar {s} _x + \ bar {n} _y \ cdot \ bar {s} _y + \ bar {n} _z \ cdot \ bar {s} _z + k = 0 \]
\ [\ bar {n} \ cdot \ bar {s} + k = 0 \]
\ [k = — \ bar {n} \ cdot \ bar {s} \]
Здесь \ (\ bar {s} \) — это просто любая точка на плоскости.В последних двух строках для краткости используется скалярное произведение \ (\ bar {a} \ cdot \ bar {b} \).
Определяется как:
\ [\ bar {a} \ cdot \ bar {b} = \ begin {Bmatrix}
\ bar {a} _x \ cdot \ bar {b} _x \\
\ bar {a} _y \ cdot \ bar {b} _y \\
\ bar {a} _z \ cdot \ bar {b} _z \\
\ end {Bmatrix} \]
Теперь мы знаем, что \ (k = — \ bar {n} \ cdot \ bar {s} \), мы можем вычислить его, подставив значение нашей нормальной линии \ (\ bar {n} \) и любой точки на самолет \ (\ bar {s} \).
Выберите свой любимый угол треугольника и используйте его.
В нашем случае это становится:
\ [k = — \ left (0 \ cdot -1 + -2 \ cdot 0 + -2 \ cdot 2 \ right) \\
к = 2 \ cdot 2 \\
k = 4 \]
Значение общего вектора для плоскости:
\ [\ bar {p} = \ begin {Bmatrix}
\ bar {n} _x \\
\ bar {n} _y \\
\ bar {n} _z \\
— \ bar {n} \ cdot \ bar {c} \\
\ end {Bmatrix} = \ begin {Bmatrix}
0 \\
-2 \\
-2 \\
4 \\
\ end {Bmatrix} \]
Возвращаясь к исходной формуле для плоскости, мы можем подставить наши значения, чтобы получить \ (0x — 2y — 2z + 4 = 0 \), или просто \ (y + z = -2 \).Вот и все, мы рассчитали формулу самолета!
Шаг 3: Расчет линий лучей
Пора приступить к моделированию лучей.
Векторное представление линии, включая положение и угол:
\ [\ lambda \ bar {m} + \ bar {s} \]
\ (\ bar {s} \) — исходная точка луча. В нашем случае это всегда то же самое, что и координаты камеры.
\ (m \) — угол луча.
Он определяет, как координаты \ (x \), \ (y \) и \ (z \) меняются при движении по линии.Параметр \ (\ lambda \) указывает, как далеко мы находимся.
Вас, вероятно, учили аналогичной формуле для 2D-графиков в школе, \ (y = mx + c \).
Это эквивалентно высказыванию:
\ [\ begin {Bmatrix}
Икс\\
у \\
\ end {Bmatrix} = \ lambda \ cdot \ begin {Bmatrix}
1 \\
м \\
\ end {Bmatrix} + \ bar {c} \]
Другими словами, для каждого \ (1 \), что \ (x \) увеличивается, \ (y \) увеличивается на \ (m \).
Вы можете перемещаться по линии с помощью \ (\ lambda \).
Легко увидеть, как это расширяется для работы в 3D.
Найти начало луча \ (\ bar {s} \) легко.
Все лучи начинаются в позиции камеры \ (\ bar {c} \), поэтому мы просто используем это.
Вычислить \ (\ bar {m} \), угол прямой, сложнее.
Это соотношение того, как каждая координата изменяется при движении по линии.
Если бы \ (\ bar {m} \) был \ (\ left \ {1, 2, 3 \ right \} \), то для каждого увеличения \ (x \) мы бы увидели увеличение \ (y \) и трехкратное увеличение \ (z \).
Поскольку \ (\ bar {m} \) — это просто отношение, не имеет значения, говорим ли мы \ (\ left \ {1, 2, 3 \ right \} \) или \ (\ left \ {100, 200 , 300 \ вправо \} \).
Мы можем найти \ (\ bar {m} \), посмотрев, как меняются координаты вдоль известного участка линии.
Мы посмотрим на участок линии от камеры до плоскости обзора .
Плоскость обзора — это сетка, которая находится \ (1 \ text {m} \) перед камерой.
Каждая ячейка в сетке — это один пиксель, который мы хотим нарисовать на экране.
А пока мы рассмотрим простейший случай.
Камера не вращается и смотрит прямо вперед (в направлении \ (z \)).Мы вычисляем угол центрального луча, который проходит через самый центральный пиксель в сетке.
В этом случае изменение координат между положением камеры и центром плоскости обзора просто \ (\ bar {m} = \ left \ {0, 0, 1 \ right \} \).
В этом примере мы будем рассматривать плоскость обзора как имеющую фиксированную ширину \ (0.5 \ text {m} \).
Поскольку экран имеет размер \ (5 \ умножить на 5 \) пикселей, каждый пиксель имеет ширину и высоту \ (0.1 \ text {m} \).
Для каждого пикселя справа от центра мы должны добавить \ (0.1 \ text {m} \) в \ (\ bar {m} _x \).
Это означает, что для пикселя \ (\ left \ {p_x, p_y \ right \} \) \ (\ left (2, 2 \ right) \), являющегося центром, \ (\ bar {m} \) просто:
\ [\ bar {m} = \ begin {Bmatrix}
0,1 \ cdot (p_x — 2) \\
0,1 \ cdot (p_y — 2) \\
1 \\
\ end {Bmatrix} \]
Однако это игнорирует направление камеры.
К счастью, вращать векторы довольно просто.
Мы можем просто повернуть \ (\ bar {m} \) в соответствии с вращением камеры. {\ theta_p} _ {\ theta_y} = rot_x \ left (rot_y \ left (\ begin {Bmatrix}
0.1 \ cdot \ left (p_x — 2 \ right) \\
0.1 \ cdot \ left (p_y — 2 \ right) \\
1 \\
\ end {Bmatrix}, \ theta_y \ right), \ theta_p \ right) \]
Теперь, когда мы знаем как \ (\ bar {m} \), так и \ (\ bar {s} \), мы можем вычислить координаты любой точки на пути луча.
Шаг 4: пересечение лучей плоскостями
Наконец-то мы готовы моделировать наши световые лучи.
Мы знаем, где начинаются наши световые лучи, куда они направляются и все, что они могут попасть.
Все, что осталось сделать, это фактически смоделировать путь и выяснить, во что попадает каждый луч.
Точнее, нам нужно найти точку пересечения каждой попарной комбинации луч / плоскость.
Чтобы быть еще точнее , для каждой попарной комбинации луча \ (\ bar {r} = \ lambda \ bar {m} + \ bar {s} \) и плоскости \ (\ bar {p} = \ left \ {a, b, c, k \ right \} \), какова точка пересечения \ (\ bar {i} \)?
Очевидно, \ (\ bar {i} \) должен быть как на \ (\ bar {r} \), так и на \ (\ bar {p} \).
Мы можем подставить \ (\ bar {i} \) в формулу для \ (\ bar {r} \), чтобы получить:
\ [\ bar {i} = \ lambda \ bar {m} + \ bar {s} \\
\ bar {i} = \ begin {Bmatrix}
\ lambda \ cdot \ bar {m} _x + \ bar {s} _x \\
\ lambda \ cdot \ bar {m} _y + \ bar {s} _y \\
\ lambda \ cdot \ bar {m} _z + \ bar {s} _z \\
\ end {Bmatrix} \]
И мы можем сделать то же самое для \ (\ bar {p} \), чтобы получить:
\ [a \ cdot \ bar {i} _x + b \ cdot \ bar {i} _y + c \ cdot \ bar {i} _z + k = 0 \]
Затем подставляем значения \ (\ bar {i} \) сверху:
\ [a \ cdot (\ lambda \ bar {m} _x + \ bar {s} _x) + b \ cdot (\ lambda \ bar {m} _y + \ bar {s} _y) + c \ cdot (\ lambda \ bar {m} _z + \ bar {s} _z) + k = 0 \]
, который затем можно переставить, чтобы найти \ (\ lambda \):
\ [a \ lambda \ bar {m} _x + a \ bar {s} _x + b \ lambda \ bar {m} _y + b \ bar {s} _y + c \ lambda \ bar {m} _z + c \ бар {s} _z + k = 0 \]
\ [a \ lambda \ bar {m} _x + b \ lambda \ bar {m} _y + c \ lambda \ bar {m} _z = -a \ bar {s} _x — b \ bar {s} _y — c \ bar {s} _z — k \]
\ [\ lambda \ left (a \ bar {m} _x + b \ bar {m} _y + c \ bar {m} _z \ right) = -a \ bar {s} _x — b \ bar {s} _y — c \ bar {s} _z — k \]
\ [\ lambda = — \ frac {a \ bar {s} _x + b \ bar {s} _y + c \ bar {s} _z + k} {a \ bar {m} _x + b \ bar {m} _y + c \ bar {m} _z} \]
\ [\ lambda = — \ frac {\ left \ {a, b, c \ right \} \ cdot \ bar {s} + k} {\ left \ {a, b, c \ right \} \ cdot \ bar {m}} \]
Теперь, когда мы знаем \ (\ lambda \), мы можем снова подставить его в определение выше, чтобы вычислить координаты \ (\ bar {i} \).
Шаг 5: Фильтрация точек пересечения
Не все точки пересечения действительны.
Все, что мы знаем о \ (\ bar {i} \), — это то, что он находится в той же плоскости, что и треугольник.
Однако нас интересуют только те, которые на самом деле внутри треугольника.
Перед выполнением любых других проверок обратите внимание, что \ (\ lambda \ geq 0 \).
Если ваше значение \ (\ lambda \) отрицательное, вы можете остановиться раньше.
В эту плоскость не может попасть луч, поскольку точка пересечения находится за камерой.
Затем мы можем выполнить быструю проверку работоспособности, убедившись, что \ (\ bar {i} \) находится внутри ограничивающего прямоугольника треугольника.
Если \ (\ bar {i} _x \ lt \ text {min} _x \ left (t_1, t_2, t_3 \ right) \), то \ (\ bar {i} \) не может быть внутри треугольника, так как он слишком далеко оставил.
Повторите это для каждой комбинации \ (\ text {min} \) или \ (\ text {max} \) и \ (x \), \ (y \) или \ (z \).
Мы делаем это первыми, потому что это намного быстрее, чем настоящий чек, и мы часто можем выйти раньше.
Если \ (\ bar {i} \) находится внутри ограничивающего прямоугольника, нам нужно выполнить полную проверку, которая работает следующим образом:
\ (t \) имеет 3 стороны.Мы знаем, что \ (\ bar {i} \) находится внутри треугольника, если:
- \ (\ bar {i} \) и \ (t_1 \) находятся на одной стороне от \ (t_2 \ rightarrow t_3 \)
- \ (\ bar {i} \) и \ (t_2 \) находятся на одной стороне от \ (t_1 \ rightarrow t_3 \)
- \ (\ bar {i} \) и \ (t_3 \) находятся на одной стороне от \ (t_1 \ rightarrow t_2 \)
Интуитивно понятно.
Чтобы проверить, находятся ли \ (\ bar {i} \) и \ (t_1 \) на одной стороне линии \ (t_2 \ rightarrow t_3 \), мы делаем:
\ [\ bar {v} = t_2 — t_3 \\
\ bar {a} = \ bar {v} \ times \ left (\ bar {i} — t_3 \ right) \\
\ bar {b} = \ bar {v} \ times \ left (t_1 — t_3 \ right) \\
c = \ bar {a} \ cdot \ bar {b} \\
с> 0 \\\]
Используется как скалярное произведение, так и скалярное произведение. 2} \]
Для нашей простой реализации мы установим яркость каждого пикселя на \ (\ frac {1} {d} \), то есть пиксели, расположенные ближе к камере, будут ярче.Любые лучи, которые не пересекаются, приводят к черному пикселю.
Заключение
Вот и все!
Теперь вы знаете все, что вам нужно, и можете написать свой собственный трассировщик лучей.
Если вы хотите узнать больше о 3D-рендеринге, обязательно посмотрите эти:
Если вы все еще отчаянно нуждаетесь в каком-либо примере кода, вы можете посмотреть код из моего последнего сообщения.
В любом случае, вам действительно стоит сначала попробовать.
После того, как вы закончите свой базовый трассировщик лучей, вот несколько дополнительных функций, которые вы можете добавить, от самых простых до самых сложных:
- Раскрасьте каждый треугольник в другой цвет
- Посылает несколько лучей на пиксель и усредняет результат
- Изменить форму плоскости обзора на купол
- Оптимизируйте свой код, может ли он работать со скоростью 60 кадров в секунду?
- Разрешить некоторым треугольникам вести себя как зеркала
- Добавьте прозрачные материалы и имитируйте рефракцию
- Добавьте источники света в сцену и визуализируйте тень
- Добавьте черную дыру в сцену и имитируйте гравитационное линзирование
Если вы до напишете свой собственный трассировщик лучей, покажите мне, пожалуйста, в твиттере (особенно если вы реализуете гравитационное линзирование, вы абсолютное безумство)
Простой метод создания трехмерных изображений (как это работает?)
Введение в трассировку лучей: простой метод создания трехмерных изображений
Ключевые слова: трассировка лучей, перспективная проекция, проводник, диэлектрик, прямая трассировка, обратная трассировка, теневой луч, первичный луч, глазный луч, трассировка пути, отражение, преломление, Аппель, Уиттед, индекс преломления, уравнение Френеля, пропускание, рекурсивный, глубина рекурсии, формат файла изображения.
Пожалуйста, не копируйте содержимое этой страницы без нашего письменного разрешения. Это является нарушением Закона об авторском праве. Если вы хотите использовать материалы с этой страницы, свяжитесь с нами. Кроме того, вы можете разместить ссылку на эту страницу в своем блоге или на своем веб-сайте.
Чтобы начать этот урок, мы объясним, как трехмерная сцена превращается в видимое для просмотра двухмерное изображение. Как только мы поймем этот процесс и то, что он включает, мы сможем использовать компьютер для моделирования «искусственного» изображения аналогичными методами.Нам нравится думать об этом разделе как о теории, на которой построена более продвинутая компьютерная графика.
Во втором разделе этого урока мы познакомимся с алгоритмом трассировки лучей и вкратце объясним, как он работает. Мы получили электронные письма от разных людей, которые спрашивали, почему мы сосредоточены на трассировке лучей, а не на других алгоритмах. По правде говоря, это не так. Почему в этом вводном уроке мы решили сосредоточиться на трассировке лучей? Просто потому, что этот алгоритм является наиболее простым способом моделирования физических явлений, которые делают объекты видимыми.По этой причине мы считаем, что трассировка лучей — лучший выбор среди других методов при написании программы, которая создает простые изображения.
Для начала заложим основу алгоритма трассировки лучей. Однако, как только мы охватили всю информацию, которая нам нужна, например, для реализации средства рендеринга строк развертки, мы покажем, как это сделать.
Как создается изображение?
Рис. 1: мы можем визуализировать изображение как разрез, сделанный через пирамиду, вершина которой расположена в центре нашего глаза, а высота параллельна лучу зрения.
Хотя кажется необычным начинать со следующего утверждения, первое, что нам нужно для создания изображения, — это двухмерная поверхность (эта поверхность должна иметь некоторую площадь и не может быть точкой). Имея это в виду, мы можем визуализировать изображение как разрез, сделанный через пирамиду, вершина которой расположена в центре нашего глаза, а высота параллельна нашему лучу зрения (помните, чтобы что-то увидеть, мы должны вид вдоль линии, которая соединяется с этим объектом).Мы будем называть этот разрез или срез, упомянутый ранее, плоскостью изображения (вы можете видеть эту плоскость изображения как холст, используемый художниками). Плоскость изображения — это концепция компьютерной графики, и мы будем использовать ее как двумерную поверхность для проецирования нашей трехмерной сцены. Хотя это может показаться очевидным, то, что мы только что описали, является одной из самых фундаментальных концепций, используемых для создания изображений на множестве различных устройств. Например, эквивалент в фотографии — поверхность пленки (или, как уже упоминалось ранее, холст, используемый художниками).
Перспективная проекция
Давайте представим, что мы хотим нарисовать куб на пустом холсте. Самый простой способ описать процесс проецирования — начать с рисования линий от каждого угла трехмерного куба к глазу. Чтобы отобразить форму объекта на холсте, мы отмечаем точку, в которой каждая линия пересекается с поверхностью плоскости изображения. Например, предположим, что c 0 является углом куба и связан с тремя другими точками: c1 , c2 и c3 .После проецирования этих четырех точек на холст мы получим c0 ‘, c1′ , c2 ‘ и c3′ . Если c0 — c1 определяет ребро, мы проводим линию от c0 ‘ до c1′ . Если c0 — c2 определяет ребро, мы проводим линию от c0 ‘ до c2′ .
Рисунок 2: проецирование четырех углов лицевой стороны на холст
Если мы повторим эту операцию для остальных ребер куба, мы получим двумерное представление куба на холсте.Затем мы создали наше первое изображение, используя перспективную проекцию . Если мы постоянно повторяем этот процесс для каждого объекта в сцене, мы получаем изображение сцены, как оно появляется с определенной точки обзора. Только в начале 15 века художники начали понимать правила перспективной проекции.
Свет и цвет
Как только мы узнаем, где нарисовать контур трехмерных объектов на двухмерной поверхности, мы можем добавить цвета, чтобы завершить изображение.
Чтобы быстро резюмировать то, что мы только что узнали: мы можем создать изображение из трехмерной сцены в двухэтапном процессе. Первый шаг состоит в проецировании форм трехмерных объектов на поверхность изображения (или плоскость изображения). Этот шаг не требует ничего, кроме соединения линий от деталей объекта к глазу. Затем создается контур путем возврата и рисования на холсте в том месте, где эти линии проекции пересекают плоскость изображения. Как вы могли заметить, это геометрический процесс.Второй шаг заключается в добавлении цветов к скелету рисунка.
Цвет и яркость объекта в сцене в основном являются результатом взаимодействия источников света с материалами объекта. Свет состоит из фотонов (электромагнитных частиц), которые, другими словами, имеют электрическую и магнитную составляющие. Они несут энергию и колеблются, как звуковые волны, когда движутся по прямым линиям. Фотоны испускаются различными источниками света, наиболее ярким примером которых является солнце.Если группа фотонов попадает в объект, могут произойти три вещи: они могут быть поглощены, отражены или переданы. Процент фотонов, отраженных, поглощенных и прошедших, варьируется от материала к материалу и обычно определяет, как объект появляется в сцене. Однако есть одно общее правило для всех материалов: общее количество входящих фотонов всегда равно сумме отраженных, поглощенных и прошедших фотонов. Другими словами, если у нас есть 100 фотонов, освещающих точку на поверхности объекта, 60 могут быть поглощены, а 40 — отражены.Общее количество по-прежнему равно 100. В этом конкретном случае мы никогда не посчитаем 70 поглощенных и 60 отраженных или 20 поглощенных и 50 отраженных, потому что общее количество прошедших, поглощенных и отраженных фотонов должно быть равно 100.
В науке мы различаем только два типа материалов: металлы, которые называются проводниками и диэлектриками . К диэлектрису относятся такие предметы, как стекло, пластик, дерево, вода и т. Д. Эти материалы обладают свойством быть электрическими изоляторами (чистая вода является электрическим изолятором).Обратите внимание, что диэлектрический материал может быть прозрачным или непрозрачным. И стеклянные, и пластиковые шары на изображении ниже — это диэлектрические материалы. Фактически, любой материал находится вдали или где-то еще прозрачен для какого-либо электромагнитного излучения. Например, рентгеновские лучи могут проходить через тело.
Объект также может быть сделан из композитного или многослойного материала. Например, у кого-то может быть непрозрачный объект (например, дерево) с прозрачным слоем лака поверх него (что делает его одновременно рассеянным и блестящим, как цветные пластиковые шары на изображении ниже).
Давайте пока рассмотрим случай непрозрачных и диффузных объектов. Для простоты предположим, что за цвет объекта отвечает процесс поглощения. Белый свет состоит из «красных», «синих» и «зеленых» фотонов. Если белый свет освещает красный объект, процесс поглощения отфильтровывает (или поглощает) «зеленые» и «синие» фотоны. Поскольку объект не поглощает «красные» фотоны, они отражаются. Это причина, по которой этот объект кажется красным.Причина, по которой мы вообще видим объект, заключается в том, что некоторые из «красных» фотонов, отраженных объектом, движутся к нам и попадают в наши глаза. Каждая точка на освещенной области или объекте излучает (отражает) световые лучи во всех направлениях. Только один луч из каждой точки попадает в глаз перпендикулярно и поэтому его можно увидеть. Наши глаза состоят из фоторецепторов, которые преобразуют свет в нейронные сигналы. Затем наш мозг может использовать эти сигналы для интерпретации различных оттенков и оттенков (как, мы не совсем уверены).Это очень упрощенный подход к описанию вовлеченных явлений. Более подробно все объясняется в уроке по цвету (который вы можете найти в разделе Математика и физика для компьютерной графики.
Рисунок 3: модель аль-Хайсама.
Как и концепция перспективной проекции, людям потребовалось время, чтобы понять свет. Греки разработали теорию зрения, согласно которой объекты видны в лучах света, исходящих из глаз. Арабский ученый, Ибн аль-Хайсам (ок.965-1039), был первым, кто объяснил, что мы видим объекты благодаря солнечным лучам света; потоки крошечных частиц, движущихся по прямым линиям, отражались от объектов в наши глаза, образуя изображения (рис. 3). Теперь давайте посмотрим, как мы можем моделировать природу с помощью компьютера!
Как Ман Рэй создал искусство математики и Шекспира
В то время как продвинутая математика и Шекспир объединяются, чтобы создать кошмарную учебную программу для некоторых студентов, для художника Мана Рэя, одного из самых интригующих умов искусства 20 -го -го века, они были «такими такие вещи, как мечты », или, по крайней мере, из чего можно было бы сделать искусство.Новая выставка в The Phillips Collection объединяет объекты и фотографии с набором картин, на создание которых они вдохновили Ман Рэя, и назвал Shakespearean Equations . Man Ray — Human Equations: A Journey from Mathematics to Shakespeare прослеживает путешествия художника между дисциплинами, между раздираемыми войной континентами и между медиа, которые стали не только путешествием от арифметики к Барду, но и путешествием художественного самосознания. открытие.
Долгое странное путешествие Ман Рэя начинается в Париже в 1934 году.Историк искусства Кристиан Зервос поручает ему сфотографировать коллекцию трехмерных математических моделей в Институте Анри Пуанкаре. Первоначально созданные для использования в качестве инструментов обучения алгебре и геометрии, модели сразу же поражают фотографа-сюрреалиста своим большим художественным потенциалом. Зеврос публикует фотографии в 1936 году в выпуске Cahiers d’Art , посвященном «Кризису объекта». В том же году оригинальные фотографии Ман Рэя участвуют в нескольких сюрреалистических выставках.
Тем не менее, в 1937 году, всего год спустя, Ман Рэй отказывается от фотографии как своего основного средства массовой информации в манифесте под названием La Photographie n’est pas l’Art, L’Art n’est pas de la Photographie , буквально заявляя, что фотография не искусство, а наоборот . С философской точки зрения оставив фотографию позади, Ман Рэй физически оставил свои фотографии и другие произведения искусства, когда бежал из Франции в начале Второй мировой войны в Америку. К концу 1940 года Ман Рэй поселился в тогдашнем (и ныне) сюрреалистическом месте на земле — Голливуде.«В Голливуде свирепствовало больше сюрреализма, — пошутил позже Ман Рэй, — чем все сюрреалисты могли придумать за всю жизнь». Как пишет Эндрю Штраус в каталоге выставки, Ман Рэй «заново изобрел» себя в Голливуде, не только женившись на молодой танцовщице, но и обвенчавшись идеей работы в различных медиа в новом и захватывающем сочетании.
В 1947 году Ман Рэй вернулся во Францию, чтобы восстановить свои довоенные произведения, в том числе математические фотографии. Вернувшись в Америку, Ман Рэй переоценил потенциал тех картин десятилетней давности.Его коллега-сюрреалист Андре Бретон предложил такие названия, как «Преследуемые ее обручем», «Кающиеся роза» и «Заброшенный роман», когда впервые были сделаны математические фотографии, но Ман Рэй пошел в другом направлении, когда назвал картины, вдохновленные эти фотографии. «В то время как такие поэтические названия отражали игривый сюрреалистический дух середины тридцатых годов, — пишет Штраус, — Ман Рэй чувствовал, что освежающие новые названия на английском языке могут повысить их потенциальную популярность и коммерческую привлекательность в его новой среде.Затем Ман Рэй придумал использовать названия пьес Шекспира для картин. «Математические модели затем стали бы конкретными личностями, изображенными в пьесах Шекспира, которые были бы знакомы его аудитории и вызывали любопытство, — продолжает Штраус.
Шекспировская угадайка быстро вызвала у зрителей внутреннюю критику. «Мы играли в игры, пытаясь угадать, какая игра принадлежит какой картине», — признался позже Ман Рэй. «Иногда они делали это правильно; иногда, конечно, не делали, и это было к лучшему! » Ман Рэй — уравнения человека предлагает те же самые догадки с такими же неоднозначными, подходящими сюрреалистическими результатами.Выставка, объединяющая более 125 работ, позволяет вам впервые увидеть оригинальные модели из Института Анри Пуанкаре, сделанные Ман Рэем, фотографии и картины, на которые они вдохновили.
Несмотря на наличие всех фактов перед вами, однако, вещи никогда не складываются убедительно, как и предполагал Ман Рэй, тем самым ставя под сомнение давно воспринимаемые, неоправданные различия между «твердой» математикой и «мягким» либералом. искусство литературы и живописи.Например, на доске, показанной в Shakespearean Equation, Юлий Цезарь пишет нелогичное уравнение «2 + 2 = 22» рядом с рациональными формулами «a: A = b: B» и «a: b = A: B,» Таким образом мы знакомимся с совершенно новым миром математики, объединенного с искусством. Как пишет куратор выставки Венди А. Гроссман в своем эссе-каталоге «Квадрат круга: математика искусства», «такие приемы, как инверсия, отрицание, удвоение, дизъюнкция и символическая форма, общие для математиков, являются методами, одинаково используемыми сюрреалистами для того, чтобы чтобы достичь провозглашенной цели движения — выйти за рамки реальности.«Если сюрреалисты использовали современную математику в поисках нереальности, — утверждает Гроссман, — является ли это совпадение просто случайным совпадением, или сюрреализм и современная математика разделяют что-то общее? Или есть что-то сюрреалистическое в математике, что привлекло этих художников в это царство? »
Подобно тому, как идея пересечения современной математики и современного искусства бросает вызов общепринятым предположениям, включение Шекспира в уравнение добавляет еще одно интригующее измерение. Живопись по пьесам Шекспира имеет давнюю традицию.Шекспировед Стюарт Силларс приводит в эпилоге каталога Уильяма Блейка и Генри Фузели в качестве ярких примеров и ярких контрастов подходу Ман Рэя. «Пытаться поместить серию Шекспировских уравнений Ман Рэя в традицию картин, которые иллюстрируют пьесы Шекспира или вдохновлены ими, — одновременно бессмысленно и необходимо, — пишет Силларс, — бессмысленно, потому что оригинальность и изюминка образов, как и все его работы. , выступает против такого размещения, и это важно, потому что при сравнении чистая оригинальность его работ становится более ясной.«Несмотря на названия и намеки на шекспировские качества, картины Мана Рэя рассказывают, но не говорят нам ничего о пьесах прямым или очевидным образом — парадокс, столь же математически современный и столь же концептуально сложный, как и сами произведения Шекспира. Сам Бард гордился бы этим.
Одним из примеров парадоксального, типично шекспировского метода Ман Рэя в действии является Shakespearean Equation, King Lear (показано выше). Штраус видит знаменитую «слезную речь» короля Лира, изображенную «с помощью разбавленного пигмента, стекающего по холсту», и даже подозревает, что этот «предположительно случайный эффект послужил вдохновением для выбора названия.Гроссман рассматривает прикрепление полотна Ман Рэя к большому деревянному обручу — «геометрической фигуре, известной математикам как поверхность Куммера» — как попытку художника «превратить [] произведение в трехмерный объект, который, как и многие его работ, не поддается простой классификации и противоречит распространенному мнению о том, что его холсты из этой серии были просто умственными и буквальными передачами его фотографий с небольшим художественным посредническим видением ». По сути, книга Ман Рэя King Lear демонстрирует его математические знания во имя художественной независимости, все, конечно, в зависимости от шекспировских намеков — парадокса, который аккуратно складывается прямо у вас на глазах.Или, как аккуратно выразился Силларс: «[H] ere, шекспировское уравнение — это образ, а не обычная дешифровка». Сколько бы вы ни пытались разгадать загадку, загадка остается больше и мощнее, чем любой отдельный ответ, что делает эту выставку одновременно разочаровывающей и неотразимой.
Для сопровождения первой выставки этих картин Ман Рэй разработал совершенно другой альбом. На передней обложке появился желтый треугольный клапан со словами «БЫТЬ», первая половина знаменитой цитаты Гамлета и самая узнаваемая строчка во всем Шекспире.Однако Ман Рэй превзошел все ожидания, когда читатели подняли крышку и обнаружили слова «Продолжение незамеченными» как признание разочарования художника по поводу того, что картины не смогли достучаться до более широкой аудитории. Привлекая внимание общественности к этим работам и методам Ман Рэя, Man Ray — Human Equations: A Journey from Mathematics to Shakespeare представляет художника публике, которую он так ждал, — публике 21 -го -го века, более комфортной с сюрреализмом постмодернистская жизнь и принятие пересечения математики и искусства в магических электронных устройствах, которыми она владеет.Мир простых ответов исчез, даже если весь мир находится всего в нескольких щелчках мыши. Ман Рэй — Человеческие уравнения: путешествие от математики к Шекспиру демонстрирует, что принятие парадокса может быть трудным, забавным и, несомненно, человечным.
[ Изображение: Ман Рэй, Шекспировское уравнение, Король Лир , 1948. Холст, масло, 18 1/8 x 24 1/8 дюйма. Музей Хиршхорна и сад скульптур, Смитсоновский институт, Вашингтон, округ Колумбия. Дар Джозефа Х. Хиршхорна, 1972 год.© Man Ray Trust / Artists Rights Society (ARS), Нью-Йорк / ADAGP, Париж, 2015. Фотография Кэти Карвер.]
[Большое спасибо The Phillips Collection, Вашингтон, округ Колумбия, за предоставленное мне изображение выше из другой прессы материалы, относящиеся к каталогу Man Ray — Human Equations: A Journey from Mathematics to Shakespeare , который выйдет с 7 февраля по 10 мая 2015 года, и копию каталога.]
[Пожалуйста, подпишитесь на меня в Twitter (@BobDPictureThis) ) и Facebook (блог об искусстве Боба) для получения дополнительных сведений об искусстве и обзоров.]
Измерение и классификация углов (геометрия, точки, линии, плоскости и углы) — Mathplanet
Линия, имеющая одну определенную конечную точку, называется лучом и продолжается бесконечно в одном направлении. Луч назван в честь конечной точки и другой точки на луче, например.
$$ \ overset {\ rightarrow} {AB} $$
Угол, который образуется между двумя лучами с одинаковой конечной точкой, измеряется в градусах. Точка называется вершиной
Вершина записывается как
$$ \ Измеренный угол CAB $$
В алгебре мы использовали координатную плоскость для построения графиков и решения уравнений.Вы можете наносить линии, отрезки, лучи и углы на координатную плоскость.
В координатной плоскости выше у нас есть два луча
$$ \ overset {\ rightarrow} {BA} \: \: и \: \: \ overset {\ rightarrow} {BD} $$
образуют угол с вершиной в точке B.
Вы можете использовать координатную плоскость для измерения длины отрезка. Точка B находится в точках (-2, -2) и C (1,2). Расстояние между двумя точками составляет 1 — (-2) = 3 единицы.
Углы могут быть прямыми, прямыми, острыми или тупыми.
Угол — это часть окружности, в которой весь круг равен 360 °. Прямой угол равен половине круга и равен 180 °, тогда как прямой угол равен четверти круга и равен 90 °.
Вы измеряете угол с помощью транспортира.
Два угла с одинаковой мерой называются конгруэнтными углами. Конгруэнтные углы обозначены как
.
$$ \ угол A \ конг \ угол B $$
Или может быть показан дугой на рисунке, чтобы указать, какие углы совпадают.{\ circ} $
Видеоурок
Измерьте размер уголка
Решающие пропорции: солнечные лучи и «части»
Purplemath
Обычный класс очень упражнений на «пропорции» — это определение высоты чего-то очень высокого, используя длину дневной тени этого же предмета, при этом тень измеряется горизонтально по земле.В таком упражнении мы используем известную высоту чего-то меньшего вместе с длиной дневной тени этой более короткой вещи , измеренной в то же время .
Конечно, этот процесс будет работать только в том случае, если земля идеально ровная, но при таком предположении рассуждения верны. Солнце находится достаточно далеко, поэтому лучи света, которые достигают одной общей области на планете (скажем, определенной парковки), можно смело рассматривать как параллельные.
MathHelp.com
Это, очевидно, , а не для ближайшего источника света, такого как вертолет, парящий над головой:
Как вы можете видеть выше, лучи света от прожектора вертолета относительно края самой верхней части здания и вершины флагштока на стоянке даже близко не параллельны.
С другой стороны, как вы можете видеть ниже, солнечные лучи в той же общей области будут достаточно близки к параллельности, что не имеет значения:
Чтобы извлечь намеченную и необходимую информацию из приведенного выше рисунка, мы рисуем горизонтальную линию для земли, вертикальные линии для высоты здания и флагштока и наклонные линии, указывающие на солнечные лучи.(Анимация в упражнении ниже иллюстрирует этот процесс.)
Поскольку предполагается, что наклонные линии расположены под одним и тем же углом к горизонтали, эти два треугольника должны быть похожими. Затем мы сможем использовать то, что вы знаете о пропорциях и подобных фигурах, для решения упражнения.
Обратите внимание, что, поскольку линии высот и земля (предполагается, что они) перпендикулярны, аналогичные треугольники также являются прямоугольными.Обычно это не имеет значения, но постарайтесь сделать так, чтобы треугольники, которые вы рисуете, выглядели хотя бы примерно под прямым углом.
Для упражнений с участием солнечных лучей обычно требуется высота зданий, очень высокие деревья или большие флагштоки; и ожидается, что вы определите эти высоты на основе известной информации по коротким деревьям, коротким столбам или чему-то столь же простому, как мерная линейка, стоящая вертикально на тротуаре, или, возможно, ваша собственная тень.
-
Здание отбрасывает 103-футовую тень, в то время как 32-футовый флагшток отбрасывает 34-метровую тень.5-футовая тень. Насколько высокое здание? (Округлите ответ до ближайшей десятой.)
Это упражнение включает в себя высокое здание, более короткий флагшток (известной высоты) и тени, отбрасываемые каждым зданием и шестом. Я предполагаю, что земля, на которой расположены здание и флагшток, совершенно плоская, по крайней мере, в тех областях, на которые отбрасываются их тени. Ожидается, что я воспользуюсь тем фактом, что солнечные лучи на практике параллельны.Другими словами, я должен иметь в виду эту картинку:
Это изображение взято из анимации, доступной на «живой» странице.
Это дает мне два похожих (и правильных) треугольника. Изображение выше объясняет, как получаются треугольники; изображение ниже показывает уместную информацию, которую я извлек из упражнения, и это информация, которую я буду использовать, чтобы ответить на вопрос:
Поскольку треугольники похожи, я могу задать пропорции и найти высоту h :
Я воспользуюсь ярлыком:
ч = [103 × 32] / 34.5
ч = 3296 / 34,5
ч = 95,5362318841 …
Округляя до ближайшей десятой и добавляя правильные единицы, я нахожу, что высота здания составляет около:
-
Вы обеспокоены тем, что флагшток вашего соседа на заднем дворе может упасть из-за сильного ветра (во время последней грозы он выглядел действительно шатким), и вы надеетесь, что он не упадет и не ударится по вашему дому.Однажды днем вы замечаете, что сетчатый забор высотой четыре фута отбрасывает тень длиной семь футов, в то время как столб соседа отбрасывает тень длиной 26 футов. Основание шеста находится в 18 футах от вашего дома. Ваш дом в безопасности?
Это довольно простое приложение использования солнечных лучей для оценки высоты. Я устанавливаю свою пропорцию и решаю:
(высота) / (тень): 4/7 = h /26
ч = [(26) (4)] / 7
ч = 104/7
ч = 14.85714286 …
Шест близок к высоте пятнадцати футов, но определенно не больше. (Это обычный жилой максимум.) Пока шест не летит, а упадет только во время следующего шторма:
-
Уилл идет к своей машине. Он замечает высокую сосну, тень которой, от основания до кончика (и параллельно парковке), в настоящее время равна длине двух парковочных мест, каждое из которых равно 2.75 метров шириной. Рост Уилла составляет 178 см, и он замечает, что, повернувшись спиной к солнцу, его тень простирается ровно на длину обуви за концы его ступней. Вернувшись домой, он обнаруживает, что его туфли имеют длину 33 см. Насколько высокое дерево? (Округлите до ближайшего полуметра.)
Если бы солнце было прямо над Уиллом, его тень легла бы лужей на его ботинки. Вместо этого его тень проецировалась вперед, так что у меня есть полезные солнечные лучи.Я посчитаю часть его тени, которая проецировалась перед его ногами.
Каждое парковочное место имеет ширину 2,75 метра, поэтому длина тени от дерева составляет 5,5 метра. Длина тени Уилла 33 см, а рост 178 см. Я представлю высоту дерева как х и установлю свою пропорцию:
(высота) / (тень): 178/33 = h / 5,5
ч = [(5.5) (178)] / 33
ч = 979/33
ч = 29.6666666 …
Единица измерения для дерева — метры, и я должен округлить до ближайшего полуметра. Поскольку 29,666 … ближе к 29,5, чем к 30,0, я отвечаю, что высота дерева составляет около
«Детали»
Есть один последний тип проблем, о котором вы, возможно, даже не думаете, что это проблема «соотношений и пропорций», но она часто возникает в «реальной жизни».
Иногда, когда вы что-то смешиваете (например, «коктейли», корма для животных, детскую глину, почву для горшков или цветные красители), измерения даются в терминах «частей», а не в терминах множества чашки, галлоны или миллилитры. Например:
-
Инструкции по смешиванию определенного типа бетона требуют: 1 часть цемента, 2 части песка и 3 части гравия. (Количество добавляемой воды, конечно, будет зависеть от влажности используемого песка и будет определено на месте.) У вас есть четыре кубических фута песка. Сколько цемента и гравия нужно смешать с этим песком?
Поскольку песок измеряется в кубических футах, а «рецепт» дается в терминах «частей», я позволю «один кубический фут» быть «одной частью».
Соотношение цемента и песка 1: 2, а у меня четыре кубических фута песка. Я определю « c », чтобы обозначить количество цемента, которое мне нужно, и я установлю и решу свою пропорцию.
c = [(4) (1)] / 2
с = 2
Я лучше не забываю свои отряды! Ответ на мое уравнение — «2», но ответ на эту часть упражнения состоит в том, что мне нужно «два кубических фута цемента».
Теперь я решу, какое количество гравия нужно добавить. Соотношение песка и гравия составляет 2: 3, а у меня четыре кубических фута песка.Я определю « г », чтобы обозначить количество гравия, которое мне нужно, и я установлю и решу свою пропорцию:
г = [(4) (3)] / 2 = 12/2
г = 6
Принимая во внимание контекст, ответ на мое уравнение: « г = 6», но ответ на эту часть упражнения состоит в том, что мне нужно «шесть кубических футов гравия».Тогда мой полный ответ:
два кубических фута цемента
шесть кубических футов гравия
-
Конкретный жидкий концентрат очищающего средства требует разбавления его путем смешивания одной части концентрата с 32 частями воды. В верхней строке «наполнения» вашего распылителя написано «946 мл». Сколько концентрата нужно налить в бутылку? (Затем вы добавите воду до линии наполнения.) Округлить до ближайшего целого числа.
Мои «части» — это концентрат и вода. Бутылка дает мне только общий объем, поэтому мне нужно использовать общее количество деталей. Общее количество частей составляет 1 + 32 = 33. Я установлю свою пропорцию с концентратом (это то, что они хотят) и общим количеством (это то, что я знаю):
(конц.) / (Итого): 1/33 = c /946
c = [(946) (1)] / 33
c = 28.66666 …
Округляя до целого миллилитра концентрата, я должен влить:
URL: https://www.purplemath.com/modules/ratio7.htm
История Рэй Монтегю (удивительные ученые): Финли Моска, Джулия, Рили, Даниэль: 9781943147427: Амазонка.com: Книги
★ «… отличная модель для повышения осведомленности о расизме и твердого вдохновения для достижения вопреки всему». (Киркус, обзор со звездами)
«Эта рифмующаяся биография в виде книжки с картинками, сопровождаемая выразительными оцифрованными иллюстрациями, описывает проблемы и триумфы, с которыми Монтегю столкнулась как афроамериканка … Скрытые фигуры поклонников будут аплодировать». (Список книг)
«Хорошее дополнение к полкам биографий книжек с картинками и учебным планам STEAM для юных читателей». ( Журнал школьной библиотеки )
«Отчасти я люблю эту книгу потому, что Рэй — та редкая женщина, которая упоминается в детской книге как математик, которая не работала в области информатики.В нем также есть момент такой жгучей несправедливости, что он не оставит равнодушным ни одного ребенка-читателя. Плюс это рифмуется ». (Блог Fuse 8, журнал школьной библиотеки)
Похвала серии УДИВИТЕЛЬНЫЕ УЧЕНЫЕ:
«Рифмующие стихи и привлекательные мультяшные иллюстрации отражают дух Грандин, обеспечивая захватывающий, информативный взгляд на ее замечательную жизнь. Храм, забавные факты, хронология, сопровождаемая семейными фотографиями и содержательная биография…. это первый том в многообещающей новой серии, знакомящей читателей с выдающимися женщинами в области науки «.
— Журнал школьной библиотеки
» Поклонники книги Андреа Бити Рози Ревир, инженер (2013) или все, кто испытывал трудности Если вы чувствуете себя иначе, то оцените эту доступную биографию вдохновляющего ученого ».
— Список книг
« Автор говорит прямо и всесторонне … это эффективное, соответствующее возрасту введение в замечательного человека ».
— Отзывы Киркуса
«Я действительно копаюсь в этой новой серии биографий в книжках с картинками,» Удивительные ученые! » Меньшее количество слов, рифмующий текст и приятные иллюстрации делают их доступными даже для самого юного читателя / слушателя.Что еще более важно, они описывают еще живых женщин-ученых и врачей, которые упорно сопротивлялись, преследовали свои увлечения и стали лидерами в своих областях ». — Кэтлин Кэри, продавец книг в Книжном доме на Stuyvesant Plaza
« Считайте это реальным- life Rosie Revere Engineer или Ada Twist Scientist ! Обновление, чтобы увидеть биографию детской книжки с картинками о ком-то, кого я раньше не знал ».
— Теган Тигани, продавец детских книг в книжном магазине королевы Анны
ДЖУЛИЯ ФИНЛИ МОСКА — копирайтер и бывший журналист, более десяти лет проработавшая в Голливуде, создавая сообщения за деньги.После работы с такими узнаваемыми брендами, как Entertainment Tonight, Yahoo !, American Greetings, и JibJab , она получила свою самую полезную работу job мама одной свирепо любопытной и смелой маленькой девочки. Серия Amazing Scientists знаменует собой дебют Моски в волшебном мире детских книг.
ДАНИЭЛЬ РИЛИ — британский иллюстратор-фрилансер из Лиссабона. После учебы в Институте искусств Борнмута, совершив эпическое приключение в Австралии и проработав 3 года в Лондоне, он решил отправиться в солнечную Португалию.За последние 2 года Дэниел работал над несколькими проектами иллюстраций в рекламе, печати, дизайне карточек и детских книжек с картинками. Когда Даниэль не рисует, вы, вероятно, можете обнаружить, что он пытается ловить волны, фотографирует на старые камеры или играет в свой недавно открытый спортивный падель.
.