Логарифмы как решать уравнения: Решение логарифмических уравнений на ЕГЭ

Содержание

Калькулятор онлайн — Решение логарифмических уравнений


Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.

Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Логарифмическая функция. Логарифмы

Задача 1. Найти положительный корень уравнения x4 = 81

По определению арифметического корня имеем \( x = \sqrt[4]{81} = 3 \)

Задача 2. Решить уравнение 3x = 81

Запишем данное уравнение так: 3x = 34, откуда x = 4

В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени. Способ решения задачи 2 состоял в том,
что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3.
Но уже, например, уравнение 3x = 80 таким способом решить не удаётся. Однако это уравнение имеет корень.{-2} = \frac{1}{25}$$

Решить уравнение log3(1-x) = 2

По определению логарифма 32 = 1 — x, откуда x = -8

Свойства логарифмов

При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются
различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

Пусть а > 0, \( a \neq 1 \), b > 0, c > 0, r — любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

1) loga(bc) = logab + logac


2) \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b — \log_a c \)

3) logabr = r logab

Десятичные и натуральные логарифмы

Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью микрокалькулятора.
И в том и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы.

Определение.{\infty} \frac{1}{n!} $$

$$ e \approx 2,7182818284 $$

Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы
чисел по любому основанию.

Для этого используется формула замены основания логарифма:


$$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $$

где b > 0, a > 0, \( a \neq 1 \), c > 0, \( c \neq 1 \)

Следствия из формулы замены основания логарифма.

При c = 10 и c = e получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:

$$ \log_a b = \frac{\lg b}{\lg a} , \;\; \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} $$

Логарифмическая функция, её свойства и график

В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция

y = logax

где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1 \)

Логарифмическая функция обладает свойствами:


1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.

2) Множество значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.

3) Логарифмическая функция не является ограниченной.

4) Логарифмическая функция y = logax является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если a > 1,

и убывающей, если 0

5) Если a > 1, то функция y = logax принимает положительные значения при х > 1,

отрицательные при 0
Если 0 ax принимает положительные значения при 0
отрицательные при х > 1.

Ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции y = logax

Отметим, что график любой логарифмической функции y = logax проходит через точку (1; 0).

При решении уравнений часто используется следующая теорема:

Теорема. Если logax1 = logax2 где a > 0, \( a \neq 1 \),
x1 > 0, x2 > 0, то x1 = x2

Логарифмическая функция y = logax и показательная функция y = ax, где a > 0, \( a \neq 1 \), взаимно обратны.

Логарифмические уравнения

Решить уравнение log2(x+1) + log2(x+3) = 3

Предположим, что х — такое число, при котором равенство является верным, т.е. х — корень уравнения. Тогда по свойству логарифма
верно равенство

log2((x+1)(x+3)) = 3

Из этого равенства по определению логарифма получаем

(x+1)(x+3) = 8


х2 + 4х + 3 = 8, т.е. х2 + 4x — 5 = 0, откуда x1 = 1, х2 = -5

Так как квадратное уравнение является следствием исходного уравнения, то необходима проверка.

Проверим, являются ли числа 1 и -5 корнями исходного уравнения.

Подставляя в левую часть исходного уравнения х = 1, получаем

log2(1+1) + log2(1+3) = log22 + log24 = 1 + 2 = 3, т.е. х = 1 — корень уравнения.

При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения не имеет смысла, т.е. х = -5 не является корнем этого
уравнения.

Ответ x = 1

Решить уравнение lg(2x2 — 4x + 12) = lg x + lg(x+3)

По свойству логарифмов

lg(2x2 — 4x + 12) = lg(x2 + 3x)

откуда

2x2 — 4x + 12 = x2 + 3x

x2 — 7x + 12 = 0

x1 = 3, х2 = 4

Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.

Ответ x1 = 3, х2 = 4

Решить уравнение log4(2x — 1) • log4x = 2 log4(2x — 1)

Преобразуем данное уравнение:

log4(2x — 1) • log4x — 2 log4(2x — 1) = 0

log4(2х — 1) • (log4 x — 2) = 0

Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем:

1) log4 (2х — 1) = 0, откуда 2х — 1 = 1, х1 = 1

2) log4 х — 2 = 0, откуда log4 = 2, х2 = 16

Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.

Ответ x1 = 1, х2 = 16

Как решить логарифмическое уравнение: подробное объяснение

Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.

Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.

Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.

  1. Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами
  2. Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями
  3. Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями
  4. Как сделать проверку – это важно

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

2х + 3 = 32

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

2х + 3 = 9

2х = 6

х = 3

Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 32 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно,  х = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

2х + 3 = 32

2х + 3 = 9

2х = 6

х = 3

Ответ: х = 3

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:Вспоминаем свойства степеней:

3х – 5 = 4

3х = 9

х = 3

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно,  х = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:Теперь преобразуем правую часть уравнения:Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение:Верно, следовательно, х1 = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим х2 = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х2 = -5 – посторонний корень.

Ответ: х = 1

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3-1. Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма:Применяем эти знания и получаем:Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим:Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:Делаем проверку:Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Ответ: х = 4.

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, logx+12+5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.Преобразуем правую часть уравнения:Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х2+5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1)2, которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х2+5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему:Перепишем нашу систему:Следовательно, наша система примет следующий вид:Теперь решаем наше уравнение:Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 32=9, то  последнее выражение верно.

Ответ: х = 2

Как сделать проверку

Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т.е. больше ноля.

Если наше уравнение имеет вид loga (f(x)) = loga (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:

После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!

Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.

Логарифмические уравнения на примерах

Логарифмическими называются уравнения содержащие неизвестную величину под знаком логарифма или в основании логарифма (или в обоих местах одновременно). Их легко свести к квадратным или степенным уравнениям относительно переменной если знать свойства логарифма. Например, логарифмическими будут следующие уравнения

Необходимо отметить что во время решения логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений ( ОДЗ ) : под знаком логарифма могут находиться только положительные величины, в основе логарифмов — положительные, отличные от единицы. Однако нахождения ОДЗ порой может быть очень громоздким и на практике имеем возможность или искать ОДЗ, или сделать проверку подстановкой корней уравнения.

Простейшим логарифмическим уравнением называют уравнение вида

Его решение вычисляется потенцированием (нахождение числа или выражения по его логарифму)

В некоторых случаях, решая логарифмические уравнения, целесообразно производить замену переменной. Например в уравнении

удобно сделать замену и мы приходим к квадратному уравнению. Причем оба корни этого квадратного уравнения можно подставить в замену чтобы найти подходящее х.

Стоит запомнить что десятичный логарифм от единицы со следующими нулями равно количеству нулей в записи этого числа.

Для десятичного логарифма от единицы с предыдущими нулями правило подобное. Он равен количеству всех нулей в записи этого числа, включая и ноль целых, взятых со знаком минус. Для примера

На этом необходимый теоретический материал рассмотрен и можно переходить к рассмотрению практических примеров. Внимательно рассмотрите их решения это позволит усвоить некоторые правила логарифмов и увеличит практическую базу, которая пригодится при прохождении ВНО , контрольных, тестах и т.д.

Пример 1. Решить уравнение.

Решение. Используя свойство логарифмов переписываем уравнение в виде

Делаем замену

и переписываем

Умножаем на переменную и записываем в виде квадратного уравнения

Вычисляем дискриминант

Корни уравнения приобретут значения

Возвращаемся к замене и находим

Уравнение имеет два решения

 

Пример 2. Решить уравнение.

Решение. Раскрываем скобки и записываем в виде суммы логарифмов

Учитывая что уравнение примет вид

Переносим слагаемое за знаком равенства в правую сторону

Оба множители приравниваем к нулю и находим

 

Пример 3. Решить уравнение.

Решение. Перепишем правую сторону в виде квадрата и прологарифмируем по основанию 10 обе части уравнения

делаем замену

и сводим уравнение к квадратному

Дискриминант такого уравнения принимает нулевое значение — уравнение имеет два одинаковых решения

Возвращаемся к замене которую делали выше

 

Пример 4. Решить уравнение.

Решение. Выполним некоторые преобразования с слагаемыми уравнения

Логарифмическое уравнение упростится до следующего

Поскольку логарифмы имеют одинаковые основания то значение под знаком логарифма тоже равны. На основе этого имеем

Расписываем и решаем с помощью дискриминанта

Второй корень не может быть решением, поскольку никакое положительное число при возведены в степени не даст в результате -1. Итак x=2 – единственное решение уравнения.

 

Пример 5. Найти решение уравнения .

Решение. Выполняем упрощения уравнения

По свойству переходим ко второй основы во втором логарифме

По правилу логарифмирования имеем

Сводим уравнение к квадратному и решаем его

Дискриминант равен нулю, следовательно имеем один корень кратности два

 

Пример 6. Найти решение уравнения.

Решение. Заданное уравнение и подобные ему решаются путем сведения к общей основе. Для этого преобразуем правую сторону уравнения к виду

и подставим в уравнение

Поскольку основы логарифмов ровны переходим до показательного уравнения

Выполняем замену и сводим к квадратному уравнению

Возвращаемся к замене и вычисляем

 

Пример 7. Найти решение уравнения.

Решение. Не пугайтесь подобных задач, если делать все по правилам то решение получается без труда. Забегая вперед скажу что корни в скобках к примеру отношения не имеют. Они для того чтобы напугать простых математиков.
Упростим сначала второй логарифм

Дальше выполняем подстановку и сведения слагаемых под один логарифм

Приравниваем к правой части уравнения и упрощаем

Как видите — решение оказалось проще чем выглядело до решения, а результат x=100 только подтверждает это.

При решении логарифмических уравнений важно хорошо знать свойства логарифмов. Все остальные действия сводятся, как правило, к решению квадратных уравнений или степенных зависимостей относительно неизвестных. Поэтому практикуйте самостоятельно и не имейте проблем с логарифмическими уравнениями.

Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений подразумевает, что вы уже знакомы с понятием и видами логарифмов и основными формулами.
Как решать логарифмические уравнения?

Самое простое уравнение имеет вид logax = b, где a и b -некоторые числа,x — неизвестное.
Решением логарифмическое уравнения является x = a b при условии: a > 0, a 1.

Следует отметить, что если х будет находиться где-нибудь вне логарифма, например log2х = х-2, то такое уравнение уже называется смешанным и для его решения нужен особый подход.

Идеальным случаем является ситуация, когда Вам попадется уравнение, в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log22. Здесь достаточно знать свойства логарифмов для его решения. Но такая удача случается не часто, поэтому приготовьтесь к более сложным вещам.

Но сначала, все-таки, начнём с простых уравнений. Для их решения желательно иметь самое общее представление о логарифме.

Решение простейших логарифмических уравнений

К таковым относятся уравнения типа log2х = log216. Невооруженным глазом видно, что опустив знак логарифма получим х = 16.

Для того, чтобы решить более сложное логарифмическое уравнение, его обычно приводят к решению обычного алгебраического уравнения или к решению простейшего логарифмического уравнения logax = b. В простейших уравнениях это происходит в одно движение, поэтому они и носят название простейших.

Вышеиспользованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила или ограничения для подобного рода операций:

  • одинаковые числовые основания у логарифмов
  • логарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно, т.е. без каких бы то ни было коэффициентов и других разного рода выражений.

Скажем в уравнении log2х = 2log2 (1- х) потенцирование неприменимо — коэффициент 2 справа не позволяет. В следующем примере log2х+log2 (1 — х) = log2 (1+х) также не выполняется одно из ограничений — слева логарифма два. Вот был бы один – совсем другое дело!

Вообщем, убирать логарифмы можно только при условии, что уравнение имеет вид:

loga (…) = loga (…)

В скобках могут находится совершенно любые выражения, на операцию потенцирования это абсолютно никак не влияет. И уже после ликвидации логарифмов останется более простое уравнение – линейное, квадратное, показательное и т.п., которое Вы уже, надеюсь, умеете решать.

Возьмем другой пример:

log3 (2х-5) = log3х

Применяем потенцирование, получаем:

2х-5 = х

х=5

Пойдем дальше. Решим следующий пример:

log3 (2х-1) = 2

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм — это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т.е. (4х-1), получаем:

3 2 = 2х-1

Дальше уже дело техники:

2х-1 = 9

х =5

Опять получили красивый ответ. Здесь мы обошлись без ликвидации логарифмов, но потенцирование применимо и здесь, потому как логарифм можно сделать из любого числа, причем именно такой, который нам надо. Этот способ очень помогает при решении логарифмических уравнений и особенно неравенств.

Решим наше логарифмическое уравнение log3 (2х-1) = 2 с помощью потенцирования:

Представим число 2 в виде логарифма, например, такого log39, ведь 3 2=9.

Тогда log3 (2х-1) = log39 и опять получаем все то же уравнение 2х-1 = 9. Надеюсь, все понятно.

Вот мы и рассмотрели как решать простейшие логарифмические уравнения, которые на самом деле очень важны, ведь решение логарифмических уравнений, даже самых страшных и закрученных, в итоге всегда сводится к решению простейших уравнений.

Во всем, что мы делали выше, мы упускали из виду один очень важный момент, который в последующем будет иметь решающую роль. Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения, даже самого элементарного, состоит из двух равноценных частей. Первая – это само решение уравнения, вторая — работа с областью допустимых значений (ОДЗ). Вот как раз первую часть мы и освоили. В вышеприведенных примерах ОДЗ на ответ никак не влияет, поэтому мы ее и не рассматривали.

А вот возьмем другой пример:

log3 2-3) = log3 (2х)

Внешне это уравнение ничем не отличается от элементарного, которое весьма успешно решается. Но это не совсем так. Нет, мы конечно же его решим, но скорее всего неправильно, потому что в нем кроется небольшая засада, в которую сходу попадаются и троечники, и отличники. Давайте рассмотрим его поближе.

Допустим необходимо найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько:

log3 2-3) = log3 (2х)

Применяем потенцирование, здесь оно допустимо. В итоге получаем обычное квадратное уравнение.

х 2-3 = 2х

х 2-2х-3 = 0

Находим корни уравнения:

х1= 3

х2= -1

Получилось два корня.

Ответ: 3 и -1

С первого взгляда все правильно. Но давайте проверим результат и подставим его в исходное уравнение.

Начнем с х1= 3:

log36 = log36

Проверка прошла успешно, теперь очередь х2= -1:

log3 (-2) = log3 (-2)

Так, стоп! Внешне всё идеально. Один момент — логарифмов от отрицательных чисел не бывает! А это значит, что корень х = -1 не подходит для решения нашего уравнения. И поэтому правильный ответ будет 3, а не 2, как мы написали.

Вот тут-то и сыграла свою роковую роль ОДЗ, о которой мы позабыли.

Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера.

Без ОДЗ любое решение, даже абсолютно правильное, любого уравнения превращается в лотерею — 50/50.

Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера? А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения.

Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения?

Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход!

Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в нашу ОДЗ, и записываем окончательный вариант.

Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и т.п. Пока мы не решили уравнение, мы не знаем – чему равно х, но твердо знаем, что такие х, которые при подстановке дадут деление на 0 или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, заведомо в ответ не годятся. Поэтому такие х неприемлемы, остальные же и будут составлять ОДЗ.

Воспользуемся опять тем же уравнением:

log3 2-3) = log3 (2х)

log3 2-3) = log3 (2х)

Как видим, деления на 0 нет, квадратных корней также нет, но есть выражения с х в теле логарифма. Тут же вспоминаем, что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0. Это условие и записываем в виде ОДЗ:

Т.е. мы еще ничего не решали, но уже записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Фигурная скобка означает, что эти условия должны выполняться одновременно.

ОДЗ записано, но необходимо еще и решить полученную систему неравенств, чем и займемся. Получаем ответ х > v3. Теперь точно известно – какие х нам не подойдут. А дальше уже приступаем к решению самого логарифмического уравнения, что мы и сделали выше.

Получив ответы х1= 3 и х2= -1, легко увидеть, что нам подходит лишь х1= 3, его и записываем, как окончательный ответ.

На будущее очень важно запомнить следующее: решение любого логарифмического уравнения делаем в 2 этапа. Первый — решаем само уравнение, второй – решаем условие ОДЗ. Оба этапа выполняются независимо друг от друга и только лишь при написании ответа сопоставляются, т.е. отбрасываем все лишнее и записываем правильный ответ.

Для закрепления материала настоятельно рекомендуем посмотреть видео:

На видео другие примеры решения лог. уравнений и отработка метода интервалов на практике.

На это по вопросу, как решать логарифмические уравнения, пока всё. Если что то по решению лог. уравнений осталось не ясным или непонятным, пишите свои вопросы в комментариях.

Заметка: Академия социального образования (КСЮИ) — готова принять новых учащихся.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:


Логарифмические уравнения по основанию. Логарифмические уравнения. Как решать логарифмические уравнения

Логарифмическим уравнением
называется уравнение, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений подразумевает, что вы уже знакомы с и .
Как решать логарифмические уравнения?

Самое простое уравнение имеет вид log a x = b
, где a и b -некоторые числа,x — неизвестное.
Решением логарифмическое уравнения
является x = a b при условии: a > 0, a 1.

Следует отметить, что если х будет находиться где-нибудь вне логарифма, например log 2 х = х-2, то такое уравнение уже называется смешанным и для его решения нужен особый подход.

Идеальным случаем является ситуация, когда Вам попадется уравнение, в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log 2 2. Здесь достаточно знать свойства логарифмов для его решения. Но такая удача случается не часто, поэтому приготовьтесь к более сложным вещам.

Но сначала, все-таки, начнём с простых уравнений. Для их решения желательно иметь самое общее представление о логарифме.

Решение простейших логарифмических уравнений

К таковым относятся уравнения типа log 2 х = log 2 16. Невооруженным глазом видно, что опустив знак логарифма получим х = 16.

Для того, чтобы решить более сложное логарифмическое уравнение, его обычно приводят к решению обычного алгебраического уравнения или к решению простейшего логарифмического уравнения log a x = b. В простейших уравнениях это происходит в одно движение, поэтому они и носят название простейших.

Вышеиспользованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила или ограничения для подобного рода операций:

  • одинаковые числовые основания у логарифмов
  • логарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно, т.е. без каких бы то ни было коэффициентов и других разного рода выражений.

Скажем в уравнении log 2 х = 2log 2 (1- х) потенцирование неприменимо — коэффициент 2 справа не позволяет. В следующем примере log 2 х+log 2 (1 — х) = log 2 (1+х) также не выполняется одно из ограничений — слева логарифма два. Вот был бы один – совсем другое дело!

Вообщем, убирать логарифмы можно только при условии, что уравнение имеет вид:

log a (…) = log a (…)

В скобках могут находится совершенно любые выражения, на операцию потенцирования это абсолютно никак не влияет. И уже после ликвидации логарифмов останется более простое уравнение – линейное, квадратное, показательное и т.п., которое Вы уже, надеюсь, умеете решать.

Возьмем другой пример:

log 3 (2х-5) = log 3 х

Применяем потенцирование, получаем:

log 3 (2х-1) = 2

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм — это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т.е. (4х-1), получаем:

Опять получили красивый ответ. Здесь мы обошлись без ликвидации логарифмов, но потенцирование применимо и здесь, потому как логарифм можно сделать из любого числа, причем именно такой, который нам надо. Этот способ очень помогает при решении логарифмических уравнений и особенно неравенств.

Решим наше логарифмическое уравнение log 3 (2х-1) = 2 с помощью потенцирования:

Представим число 2 в виде логарифма, например, такого log 3 9, ведь 3 2 =9.

Тогда log 3 (2х-1) = log 3 9 и опять получаем все то же уравнение 2х-1 = 9. Надеюсь, все понятно.

Вот мы и рассмотрели как решать простейшие логарифмические уравнения, которые на самом деле очень важны, ведь решение логарифмических уравнений
, даже самых страшных и закрученных, в итоге всегда сводится к решению простейших уравнений.

Во всем, что мы делали выше, мы упускали из виду один очень важный момент, который в последующем будет иметь решающую роль. Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения, даже самого элементарного, состоит из двух равноценных частей. Первая – это само решение уравнения, вторая — работа с областью допустимых значений (ОДЗ). Вот как раз первую часть мы и освоили. В вышеприведенных примерах ОДЗ на ответ никак не влияет, поэтому мы ее и не рассматривали.

А вот возьмем другой пример:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Внешне это уравнение ничем не отличается от элементарного, которое весьма успешно решается. Но это не совсем так. Нет, мы конечно же его решим, но скорее всего неправильно, потому что в нем кроется небольшая засада, в которую сходу попадаются и троечники, и отличники. Давайте рассмотрим его поближе.

Допустим необходимо найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Применяем потенцирование, здесь оно допустимо. В итоге получаем обычное квадратное уравнение.

Находим корни уравнения:

Получилось два корня.

Ответ: 3 и -1

С первого взгляда все правильно. Но давайте проверим результат и подставим его в исходное уравнение.

Начнем с х 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Проверка прошла успешно, теперь очередь х 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Так, стоп! Внешне всё идеально. Один момент — логарифмов от отрицательных чисел не бывает! А это значит, что корень х = -1 не подходит для решения нашего уравнения. И поэтому правильный ответ будет 3, а не 2, как мы написали.

Вот тут-то и сыграла свою роковую роль ОДЗ, о которой мы позабыли.

Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера.

Без ОДЗ любое решение, даже абсолютно правильное, любого уравнения превращается в лотерею — 50/50.

Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера? А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения.

Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения?

Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход!

Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в нашу ОДЗ, и записываем окончательный вариант.

Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и т.п. Пока мы не решили уравнение, мы не знаем – чему равно х, но твердо знаем, что такие х, которые при подстановке дадут деление на 0 или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, заведомо в ответ не годятся. Поэтому такие х неприемлемы, остальные же и будут составлять ОДЗ.

Воспользуемся опять тем же уравнением:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Как видим, деления на 0 нет, квадратных корней также нет, но есть выражения с х в теле логарифма. Тут же вспоминаем, что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0. Это условие и записываем в виде ОДЗ:

Т.е. мы еще ничего не решали, но уже записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Фигурная скобка означает, что эти условия должны выполняться одновременно.

ОДЗ записано, но необходимо еще и решить полученную систему неравенств, чем и займемся. Получаем ответ х > v3. Теперь точно известно – какие х нам не подойдут. А дальше уже приступаем к решению самого логарифмического уравнения, что мы и сделали выше.

Получив ответы х 1 = 3 и х 2 = -1, легко увидеть, что нам подходит лишь х1= 3, его и записываем, как окончательный ответ.

На будущее очень важно запомнить следующее: решение любого логарифмического уравнения делаем в 2 этапа. Первый — решаем само уравнение, второй – решаем условие ОДЗ. Оба этапа выполняются независимо друг от друга и только лишь при написании ответа сопоставляются, т.е. отбрасываем все лишнее и записываем правильный ответ.

Для закрепления материала настоятельно рекомендуем посмотреть видео:

На видео другие примеры решения лог. уравнений и отработка метода интервалов на практике.

На это по вопросу, как решать логарифмические уравнения
, пока всё. Если что то по решению лог. уравнений осталось не ясным или непонятным, пишите свои вопросы в комментариях.

Заметка: Академия социального образования (КСЮИ) — готова принять новых учащихся.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Решение логарифмических уравнений. Часть 1.

Логарифмическим уравнением
называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма).

Простейшее логарифмическое уравнение
имеет вид:

Решение любого логарифмического уравнения
предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов. Однако это действие расширяет область допустимых значений уравнения и может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать появления посторонних корней
, можно поступить одним из трех способов:

1. Сделать равносильный переход
от исходного уравнения к системе, включающей

в зависимости от того, какое неравенство
или
проще.

Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:

то мы переходим к системе:

2. Отдельно найти область допустимых значений уравнения
, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения уравнения.

3. Решить уравнение, и потом сделать проверку:
подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.

Логарифмическое уравнение любого уровня сложности в конечном итоге всегда сводится к простейшему логарифмическому уравнению.

Все логарифмические уравнения можно условно разделить на четыре типа:

1

. Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью преобразований и использования приводятся к виду

Пример
. Решим уравнение:

Приравняем выражения, стоящие под знаком логарифма:

Проверим, удовлетворяет ли наш корень уравнения:

Да, удовлетворяет.

Ответ: х=5

2

. Уравнения, которые содержат логарифмы в степени, отличной от 1 (в частности, в знаменателе дроби). Такие уравнения решаются с помощью введения замены переменной
.

Пример.
Решим уравнение:

Найдем ОДЗ уравнения:

Уравнение содержит логарифмы в квадрате, поэтому решается с помощью замены переменной.

Важно!
Прежде чем вводить замену, нужно «растащить» логарифмы, входящие в состав уравнения на «кирпичики», используя свойства логарифмов.

При «растаскивании» логарифмов важно очень аккуратно применять свойства логарифмов:

Кроме того, здесь есть еще одно тонкое место, и, чтобы избежать распространенной ошибки, воспользуемся промежуточным равенством: запишем степень логарифма в таком виде:

Аналогично,

Подставим полученные выражения в исходное уравнение. Получим:

Теперь мы видим, что неизвестное
содержится в уравнении в составе
. Введем замену
:
. Так как
может принимать любое действительное значение, на переменную
мы никаких ограничений не накладываем.

С уравнениями мы все знакомы с начальных классов. Еще там мы учились решать самые простые примеры, и надо признать, что они находят свое применение даже в высшей математике. С уравнениями все просто, в том числи и с квадратными. Если у вас проблемы с этой темой, настоятельно рекомендуем вам повторить ее.

Логарифмы вы, вероятно, тоже уже прошли. Тем не менее, считаем важным рассказать, что это для тех, кто еще не знает. Логарифм приравнивается к степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получилось число, стоящее справа от знака логарифма. Приведем пример, исходя из которого, вам все станет ясно.

Если вы возведете 3 в четвертую степень получится 81. Теперь подставьте по аналогии числа, и поймете окончательно, как решаются логарифмы. Теперь осталось лишь совместить два рассмотренных понятия. Изначально ситуация кажется чрезвычайно сложной, но при ближайшем рассмотрении весе становится на свои места. Мы уверены, что после этой короткой статьи у вас не будет проблем в этой части ЕГЭ.

Сегодня выделяют множество способов решения подобных конструкций. Мы расскажем о самых простых, эффективных и наиболее применимых в случае заданий ЕГЭ. Решение логарифмических уравнений должно начинаться с самого простого примера. Простейшие логарифмические уравнения состоят из функции и одной переменной в ней.

Важно учесть, что x находится внутри аргумента. A и b должны быть числами. В таком случае вы можете попросту выразить функцию через число в степени. Выглядит это следующим образом.

Разумеется, решение логарифмического уравнения таким методом приведет вас к верному ответу. Ног проблема подавляющего большинства учеников в этом случае заключается в том, что они не понимают, что и откуда берется. В результате приходится мириться с ошибками и не получать желаемых баллов. Самой обидной ошибкой будет, если вы перепутаете буквы местами. Чтобы решить уравнение этим способом, нужно зазубрить эту стандартную школьную формулу, потому что понять ее сложно.

Чтобы было проще, можно прибегнуть к другому способу – канонической форме. Идея крайне проста. Снова обратите внимание на задачу. Помните, что буква a – число, а не функция или переменная. A не равно одному и больше нуля. На b никаких ограничений не действует. Теперь из всех формул вспоминаем одну. B можно выразить следующим образом.

Из этого следует, что все исходные уравнения с логарифмами можно представить в виде:

Теперь мы можем отбросить логарифмы. Получится простая конструкция, которую мы уже видели ранее.

Удобство данной формулы заключается в том, что ее можно применять в самых разных случаях, а не только для самых простых конструкций.

Не переживайте насчет ООФ!

Многие опытные математики заметят, что мы не уделили внимание области определения. Сводится правило к тому, что F(x) обязательно больше 0. Нет, мы не упустили этот момент. Сейчас мы говорим об еще одном серьезном преимуществе канонической формы.

Лишних корней здесь не возникнет. Если переменная будет встречаться лишь в одном месте, то область определения не является необходимостью. Она выполняется автоматически. Чтобы убедиться в данном суждении, займитесь решением нескольких простых примеров.

Как решать логарифмические уравнения с разными основаниями

Это уже сложные логарифмические уравнения, и подход к их решению должен быть особым. Здесь редко получается ограничиться пресловутой канонической формой. Начнем наш подробный рассказ. Мы имеем следующую конструкцию.

Обратите внимание на дробь. В ней находится логарифм. Если вы увидите такое в задании, стоит вспомнить один интересный прием.

Что это значит? Каждый логарифм можно представить в виде частного двух логарифмов с удобным основанием. И у данной формулы есть частный случай, который применим с этим примером (имеем ввиду, если c=b).

Именно такую дробь мы и видим в нашем примере. Таким образом.

По сути, перевернули дробь и получили более удобное выражение. Запомните этот алгоритм!

Теперь нужно, что логарифмическое уравнение не содержало разных оснований. Представим основание дробью.

В математике есть правило, исходя из которого, можно вынести степень из основания. Получается следующая конструкция.

Казалось бы, что мешает теперь превратить наше выражение в каноническую форму и элементарно решить ее? Не все так просто. Дробей перед логарифмом быть не должно. Исправляем эту ситуацию! Дробь разрешается выносить в качестве степени.

Соответственно.

Если основания одинаковые, мы можем убрать логарифмы и приравнять сами выражения. Так ситуация станет в разы проще, чем была. Останется элементарное уравнение, которое каждый из нас умел решать еще в 8 или даже в 7 классе. Расчеты вы сможете произвести сами.

Мы получили единственно верный корень этого логарифмического уравнения. Примеры решения логарифмического уравнения достаточно просты, не так ли? Теперь и у вас получится самостоятельно разобраться даже с самыми сложными задачами для подготовки и сдачи ЕГЭ.

Что в итоге?

В случае с любыми логарифмическими уравнениями мы исходим из одного очень важного правила. Необходимо действовать так, чтобы привести выражение к максимально простому виду. В таком случае у вас будет больше шансов не просто решить задание правильно, но еще и сделать это максимально простым и логичным путем. Именно так всегда действуют математики.

Настоятельно не рекомендуем вам искать сложных путей, особенно в этом случае. Запомните несколько простых правил, которые позволят преобразовать любое выражение. К примеру, привести два или три логарифма к одному основанию или вывести степень из основания и выиграть на этом.

Также стоит помнить о том, что в решении логарифмических уравнений необходимо постоянно тренироваться. Постепенно вы будете переходить ко все более сложным конструкциям, а это приведет вас к уверенному решению всех вариантов задач на ЕГЭ. Готовьтесь к экзаменам заблаговременно, и удачи вам!

Логарифмические уравнения. Продолжаем рассматривать задачи из части В ЕГЭ по математике. Мы с вами уже рассмотрели решения некоторых уравнений в статьях «
»
, «
»
. В этой статье рассмотрим логарифмические уравнения. Сразу скажу, что никаких сложных преобразований при решении таких уравнений на ЕГЭ не будет. Они просты.

Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.

Определение
:

Логарифмом числа a по основанию b называется показатель степени,
в который нужно возвести b, чтобы получить a.

Например:

Log 3 9 = 2, так как 3 2 = 9

Свойства логарифмов:

Частные случаи логарифмов:

Решим задачи. В первом примере мы сделаем проверку. В последующих проверку сделайте самостоятельно.

Найдите корень уравнения: log 3 (4–x) = 4

Так как log b a
= x b
x = a, то

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Проверка:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Верно.

Ответ: – 77

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения: log 2 (4 – x) = 7

Найдите корень уравнения log 5
(4 + x) = 2

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как log a b = x b x = a, то

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Проверка:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Верно.

Ответ: 21

Найдите корень уравнения log 3 (14 – x) = log 3 5.

Имеет место следующее свойство, смысл его таков: если в левой и правой частях уравнения имеем логарифмы с одинаковым основанием, то можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов.

14 – x = 5

x = 9

Сделайте проверку.

Ответ: 9

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения log 5 (5 – x) = log 5 3.

Найдите корень уравнения: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Если log c a = log c b, то a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Сделайте проверку.

Ответ: 6

Найдите корень уравнения log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Сделайте проверку.

Небольшое дополнение – здесь используется свойство

степени ().

Ответ: – 51

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения: log 1/7 (7 – x) = – 2

Найдите корень уравнения log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Если log c a = log c b, то a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Сделайте проверку.

Ответ: – 21

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Решите уравнение log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Если log c a = log c b, то a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Сделайте проверку.

Ответ: 2,75

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Решите уравнение log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:

log 2 (……)

Представляем 1 как логарифм с основанием 2:

1 = log 2 2

log с (ab) = log с a + log с b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Получаем:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Если log c a = log c b, то a = b, значит

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Сделайте проверку.

Ответ: 0,4

Решите самостоятельно:

Далее необходимо решить квадратное уравнение. Кстати,

корни равны 6 и – 4.

Корень «–

4″ не является решением, так как основание логарифма должно быть больше нуля, а при »

4″ оно равно «

5». Решением является корень 6.
Сделайте проверку.

Ответ: 6.

Решите самостоятельно:

Решите уравнение log x –5 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Как вы убедились, никаких сложных преобразований с логарифмическими уравнениями
нет. Достаточно знать свойства логарифма и уметь применять их. В задачах ЕГЭ, связанных с преобразованием логарифмических выражений, выполняются более серьёзные преобразования и требуются более глубокие навыки в решении. Такие примеры мы рассмотрим, не пропустите!
Успехов вам!!!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Логарифмические уравнения — основы | О математике понятно

        Логарифмические уравнения — штука, вообще говоря, не самая простая. Слишком уж много их. Простых, суперсложных, всяких.) Кроме того, для их безошибочного решения необходимы пристальное внимание и приличный запас знаний по другим, смежным темам.

        А именно:

        1. Логарифмы

        Что такое логарифм и что с ним можно делать?

        Ограничения в логарифмах. Свойства логарифмов.

 

        2. Степени

        — Базовые действия со степенями.

        — Работа с отрицательными и дробными показателями.

 

        3. Уравнения

        — Тождественные преобразования уравнений.

        — Что такое ОДЗ и куда её пристраивать?

       

        4. Алгебра и её общие правила и законы

        А именно: приведение подобных, разложение на множители, формулы сокращённого умножения и т.д.

        Именно эти четыре ножки позволяют сидеть твёрдо, надёжно и не падать на ровном месте. Ибо больно это.) Разберёмся?

 

Что такое логарифмическое уравнение? Примеры.

        Как и намекает название, логарифмическое уравнение — это уравнение с логарифмами. Но не просто с логарифмами, а такое, где иксы находятся исключительно внутри логарифмов. И только там! Это крайне важно.

        Иксы (чаще всего) встречаются в аргументе логарифма:

        log2x = log23

        log5(2x-1) = log5x

        log4(x+1) = 3

        lg(x2–5x+16) = 1

        ln(x+3)+ln(x-5) = ln(3x-1)

 

        Иксы иногда могут быть и в основании логарифма:

        log2x+527 = 3

 

        Или даже и там и там одновременно:

        logx-1(x+5) = 2

 

        Где угодно могут быть иксы. Лишь бы внутри логарифмов. Если, вдруг, в уравнении икс вылезет где-то снаружи, что-нибудь типа:

        log3x = 11-x ,

        то такое уравнение будет уже уравнением смешанного типа. Чётких правил решения такие уравнения не имеют, поэтому в этом уроке мы их рассматривать и не будем. Радуйтесь.)

        Кстати, может попасться и такое уравнение, где внутри логарифмов сидят только числа. Например, такое:

        3x+2 = lg400 — lg4

        Что тут скажешь? Халява, если попалось такое! Ибо логарифм с числами — это просто какое-то число. Всего-навсего. Для расправы с таким монстром достаточно лишь знать свойства логарифмов. И всё. Каких-то специальных приёмов и правил, предназначенных именно для решения логарифмических уравнений, здесь не нужно.

        Кстати, не следует думать, что внутри логарифмов могут стоять лишь линейные да квадратные выражения с иксами. Любые могут стоять. И дробные, и показательные, и тригонометрические — какие угодно, насколько позволяет фантазия составителей примера! Просто подавляющее большинство школьных заданий (процентов 90) — именно на линейные и квадратные выражения внутри логарифмов. Да и писать мне их проще, чем всякие там дроби, корни, синусы и прочую экзотику. Да и начинать знакомство обычно принято с самого простого.)

        Итак, что такое логарифмическое уравнение — уяснили. Как же их решать?

 

Как решать логарифмические уравнения? Простейшие примеры.

        Как уже говорилось выше, единого рецепта решения логарифмических уравнений на все случаи жизни в математике нет. Много их, уравнений. Самых разных…

        Но волноваться не стоит. Ибо среди всего богатого многообразия логарифмических уравнений выделяются такие, решать которые очень и очень легко. В уме, фактически. Такие уравнения так и называются — простейшими. Именно с них и начнём. Для их решения желательно лишь иметь общее представление о логарифме вообще, не более того. Зачем? Гм… Согласитесь, как-то неловко браться за решение логарифмического уравнения, даже понятия не имея что такое логарифм… Самонадеянно, я бы сказал.)

        Так что же это за уравнения?

        Это уравнения типа:

        log2x = log23

        log5(2x-1) = log5x

        log4(x+1) = 3

        log2x+527 = 3

        И так далее и тому подобное…

        А теперь собираем волю в кулак и вникаем в простые вещи. В чём суть? Процесс любого (да-да, именно любого!) логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них. В простейших уравнениях этот переход осуществляется всего за один шаг. На то они и простейшие.) Как именно? Это только на конкретных примерах показать можно.

        Решаем первое уравнение по списку:

        log2x = log23

        Для решения этого крутого примера знать почти ничего и не надо, да. Обычная интуиция.) Что нам сильнее всего не нравится в этом примере? Что-что… Логарифмы не нравятся! Верно. Избавиться бы от них… Но как? Смотрим на пример. Смотрим и… прям таки хочется взять, да и выкинуть логарифмы вообще! А можно? Новость хорошая: да, можно! Математика не возражает.)

        Убираем логарифмы и сразу получаем ответ:

        х = 3

        Здорово, правда? И, главное, просто и быстро! И так нужно поступать всегда. Выкидывание логарифмов подобным образом — ключевая идея решения любого логарифмического уравнения. Простого, сложного — неважно. В математике эта приятная операция (выкидывание логарифмов) носит своё специальное название — потенцирование. Но на такую ликвидацию есть набор жёстких правил. Перечислю их.

        Убирать логарифмы (т.е. потенцировать) можно, если:

        1. У них одинаковые основания;

        2. Логарифмы слева и справа чистые и стоят в гордом одиночестве.

 

        Разберёмся с этими двумя пунктиками поподробнее. Иначе потом эти пунктики будут жестоко мстить на контрольных и экзаменах.

        Например, уравнение:

        log2x = log0,52

        Можно здесь убирать логарифмы? Нет! Основания разные: слева стоит логарифм по основанию 2, а справа — по основанию 0,5. Разные числа. А нужны — одинаковые. Не катит…

        Или такой пример:

        lgx + lg(x+1) = lg(x2+4)

        Здесь тоже нельзя потенцировать уравнение. Пусть даже все три логарифма по одному основанию (десятке), но слева не одинокий логарифм, их там два.

        Или такое:

        log3(2x-1) = 2log3x

        А вот здесь нельзя потенцировать по другой причине: двойка справа не позволяет. Коэффициент, понимаешь. Мелочь, а тем не менее существенная.) Правило — штука жёсткая.

        Одним словом, убирать логарифмы можно тогда и только тогда, когда логарифмическое уравнение выглядит именно (и только!) вот так:

        

        Основания «а» — одинаковые. Причём, даже не обязательно числовые. Могут быть с иксом, могут быть без икса — не суть. Важно, что одинаковые. А вот в скобках, на месте многоточий, могут стоять совершенно любые выражения с иксом — простые, сложные — какие угодно. Это неважно. Важно другое. А именно — то, что после ликвидации логарифмов у нас остаётся более простое уравнение без логарифмов. Конечно же, предполагается, что решать линейные, квадратные, дробные, показательные, иррациональные, тригонометрические и прочие уравнения без логарифмов вы уже умеете.

        Теперь, вооружившись ценными познаниями, решаем следующий пример по списку:

        log5(2x-1) = log5x

        Все условия для потенцирования выполняются: основания одинаковые, логарифмы слева и справа чистые. Потенцируем и решаем простенькое линейное уравнение:

        2x-1 = x

        x = 1

        Вот и всё.) Как видите, вся логарифмическая часть решения уравнения заключается только в ликвидации логарифмов. И всё! А дальше работаем с более простым линейным уравнением, уже без логарифмов. Элементарно.

        Остальные уравнения из нашего списка уже так просто не решить. Здесь уже надо знать, что такое логарифм.

        Например, типичное задание из ЕГЭ — это третье уравнение:

        log4(x+1) = 3

        Слева стоит логарифм от чего-то там, а справа — число. Вспоминаем элементарный смысл логарифма. А именно — то, что этот самый логарифм — это какое-то число, в которое надо возвести основание (т.е. четыре), чтобы получить аргумент логарифма (т.е. х+1).

        Но это число нам известно! Оно равно трём! Прямо по нашему уравнению.)

        Стало быть, имеем полное право записать:

        43 = х+1

        Всё. Логарифм исчез и осталось безобидное линейное уравнение:

        64 = х+1

        х = 63

        Это уравнение мы решили, пользуясь только определением логарифма. Что, потенцированием решать проще? Да, согласен! Если вы умеете делать из числа логарифм по любому основанию, то никаких проблем. Если не умеете, читайте третий урок про логарифмы. Там всё популярно изложено.

        Итак, перед нами то же самое уравнение:

        log4(x+1) = 3

        Для потенцирования нам необходимо добиться, чтобы в уравнении слева и справа стояли логарифмы по одному и тому же основанию. Для этого справа из тройки сделаем логарифм по основанию четыре. Как именно? По нашей старой доброй технологии, подробно описанной по ссылке выше.

        Вот так:

        3 = log443

        Тогда получим следующее:

        log4(x+1) = log443

        Вот мы и получили то что хотели. Слева логарифм по основанию четыре, справа тоже. С чувством глубокого удовлетворения потенцируем и приходим к тому же самому ответу:

        х+1 = 43

        х+1 = 64

        х = 63

        Как видите, и так и сяк решать можно. Как хотите, так и решайте. Кому-то хватает простого определения логарифма, а кому-то удобно потенцирование. Как говорится, о вкусах не спорят. Ещё раз напоминаю, что умение делать из числа логарифм — весьма и весьма полезная штука в логарифмических уравнениях. И особенно — в неравенствах! Не пренебрегаем.)

        И, наконец, последнее уравнение:

        log2x+527 = 3

        Здесь отличие от предыдущих примеров заключается в том, что икс стоит не в аргументе, а в основании логарифма. Ну и что? Решается уравнение совершенно аналогично, по определению логарифма:

        (2х+5)3 = 27

        2х+5 = 3

        2х = -2

        х = -1

        И все дела.)

        Кстати, попробуйте решить этот же пример через потенцирование. Удивитесь, но получите то же самое.)

 

        Итак, с простейшими уравнениями всё предельно ясно. Работаем либо напрямую через потенцирование (если логарифмы слева и справа), либо по определению логарифма (если слева логарифм, а справа число).

        А теперь рассмотрим несколько уравнений чуть посложнее. Таких, которые напрямую через ликвидацию логарифмов не решаются. Их сначала надо немного подготовить к ликвидации. Как готовить? Свойства логарифмов — вот он, ключевой рецепт!

 

        Пользуемся свойствами логарифмов!

        Проскакивала у нас выше парочка уравнений.

        Например:

        lgx + lg(x+1) = lg(x2+4)

        Что делать? Убирать логарифмы пока нельзя, против правил будет: слева сумма логарифмов. А нужен — одинокий. Как выкрутиться? Да свойства логарифмов вспомнить! Мы же знаем, что сумму двух логарифмов всегда можно превратить в один логарифм, но от произведения. Если основания одинаковые, конечно.

        Вот и превращаем по формуле:

        

        Вот и всё. Заменяем сумму логарифмов на логарифм произведения:

        lg(x2+x) = lg(x2+4)

        Что, десятичные логарифмы (lg) вас смущают? Зря! Ещё раз напоминаю, что базовые логарифмические формулы, операции и свойства распространяются на все виды логарифмов без исключения. Десятичные, натуральные, по основанию 13, по основанию «пи» — любые! Так что можно складывать логарифмы по формуле и потенцировать совершенно безболезненно. Лишь бы основание в процессе применения формул и перед потенцированием оставалось одинаковым. В нашем случае — десятка.

        Смело потенцируем, решаем:

        x2+x = x2+4

        х = 4

        Всё!

 

        Запоминаем:

        Десятичные (lg) и натуральные (ln) логарифмы ни по определению, ни по свойствам ничем не отличаются от обычных!

 

        Ещё один примерчик:

        log3(2x-1) = 2log3x

        Опять же, потенцировать уравнение нельзя: справа нужен чистый логарифм, а двойка мешает. И снова нам на помощь приходят свойства логарифмов! Не нравится двойка? Подумаешь, проблема! А мы её внутрь логарифма спрячем.)

        Вот так:

        2log3x = log3x2

        И все дела, логарифм от коэффициента «очистили».) А дальше — по накатанной колее, подставляем, потенцируем:

        log3(2x-1) = log3x2

        2х — 1 = х2

        x2 — 2x + 1 = 0

        Решаем простецкое квадратное уравнение и получаем единственный корень

        х = 1

        Как видите, тоже ничего сложного. Одно-два простых свойства логарифмов и — готово дело.) Но… бывают и сюрпризы, да. Например, некоторые ученики успешно решают уравнения, где только логарифмы, но зависают на уравнениях с постоянными числами.

 

        Делаем логарифмы из постоянных чисел!

        Например такое уравнение:

        log2(3x-2) + 3 = log2(14x+1)

        Куда пристегнуть тройку? Никуда не надо пристёгивать, надо снова из тройки логарифм сделать! По нашей излюбленной схеме:

        3 = log223 = log28

        А вот теперь логарифмические формулы в уравнении отлично идут!

        log2(3x-2) + log28 = log2(14x+1)

        log2(8(3x-2)) = log2(14x+1)

        Убираем логарифмы и дорешиваем элементарщину:

        8(3x-2) = 14x+1

        24x-16 = 14x+1

        10x = 17

        x = 1,7

        И всего делов-то. А вот без превращения тройки в логарифм это уравнение так просто не решилось бы!

 

        Запоминаем:

        Любое число (или даже выражение!) можно превратить в логарифм по любому основанию.

 

        Разберём ещё один сюрприз. Это когда уравнение с виду простенькое, но основания логарифмов — разные.

 

        Разные основания — что делать?

        Например:

        log9x + 2log3x = 5

        Что, тупик? Складывать логарифмы по формуле нельзя, а уж убирать совсем — тем более. Основания не разрешают. Они… разные, да.) Тройка и девятка.

        Вот и делаем их одинаковыми!

        Классический метод — действия со степенями. В нашем случае проблема решается очень просто. Ибо из девятки тройку сделать (и наоборот) — пара пустяков. Ведь 9=32, не так ли? Про родню по степени помните?

        А если вспомнить формулку, избавляющую нас от степени в основании

        

        то совсем отлично получится:

        

        

        Воот. Основания выровняли. Правда, коэффициенты вылезли — ну и что? Можно, конечно, их внутрь логарифмов (в аргументы) степенями загнать и далее по формуле сложения свести всё к одному логарифму, но, может, есть способ попроще? Как вы думаете?

        Да! Просто привести подобные, как с буквами! Логарифмы-то одинаковые.) А алгебра — штука универсальная, и ей неважно, логарифмы под буквами скрываются или синусы, яблоки, зарплата, время. Для неё это всегда будет 0,5а+2а = 2,5а.

        Вот и пишем:

        2,5log3x = 5

        Остались пустяки — поделить на 2,5 (базовые преобразования никто не отменял) и решить простейшее уравнение:

        log3x = 2

        x = 9

        Здесь нас, конечно же, спасла родня по тройке. А если основания не родственные? Скажем, не 3 и 9, а 3 и 7? Тогда, скорее всего, преобразования более хитрые. Но это — тема отдельного урока.)

 

        Не забываем действия со степенями!

        Вроде бы, столько долбим эти несчастные степени, а ступор у некоторых иногда случается. Как только приходится сталкиваться с отрицательными да дробными показателями…

        Например, решали мы такое уравнение:

        log4(x+1) = 3

        Сейчас я поменяю в нём всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:

        log4(x+1) = -0,5

        И что теперь делать? С тройкой-то всё просто решалось, а тут -0,5. Как ни странно, делаем всё то же самое!

        Прямо по смыслу логарифма пишем:

        х+1 = 4-0,5

        А вот тут многие и зависнут. Что такое степень 0,5? Да ещё и с минусом…

        Что-что… Со степенями у вас проблемы — вот что! Коли такие вопросы волнуют в старших классах. Срочно повторить отрицательные и дробные показатели!

        А кто со степенями в мире и согласии, тот лишь скупо улыбнётся и твёрдой рукой запишет:

        

        Дальше всё ясно:

        х+1 = 0,5

        х = -0,5

 

        Что мы видим? Мы видим, что, каким бы ни было наше уравнение — простым, посложнее, суперсложным (о них в других уроках), мы всегда добиваемся одной и той же цели. А именно — чтобы слева и справа в уравнении стояли чистые логарифмы по одному и тому же основанию. Или ситуации «слева — чистый логарифм, справа — число». То есть, простейшего уравнения. А дальше — дело техники.

        Итак, самое главное по простейшим уравнениям и уравнениям, сводящимся к оным.

        Запоминаем:

        1) Основной принцип решения простейших логарифмических уравнений — это потенцирование левой и правой частей (мысленная ликвидация логарифмов). Или решение через определение логарифма.

        2) Простейшие логарифмические уравнения — это финишная прямая при решении любых других более сложных уравнений с логарифмами.

        3) Любое сложное логарифмическое уравнение надо пробовать свести к простейшему (или к их комбинации). Либо базовыми тождественными преобразованиями уравнений, либо с помощью свойств логарифмов и действий со степенями.

 

        А теперь, как всегда, набиваем руку на самых простых примерах.

        Найдите корень или сумму корней (если их несколько) уравнений:

        ln(3x+7) = ln(2x-1)

        log2x = 5

        log7(x2+28) = log7(11x)

        lg(x2–5x+16) = 1

        log0,1(3x+7) = -2

        logx2 = 0,25

        ln(e3+3x-6) = 3

 

        Ответы (в беспорядке):

        16; 32; 5; 2; 31; 8; 11

 

        Получилось? Великолепно! Куда уж проще-то… Что? Число «е» смутило в последнем уравнении? А вы вспомните, что служит основанием натурального логарифма (ln) — и будет вам счастье.)

 

        Примерчики посложнее (но ненамного). Здесь уже подключаем свойства логарифмов вкупе с тождественными преобразованиями уравнений.

        Решить уравнения и найти сумму корней (если их несколько):

        lg(x2+x+1) = 2lg(x+1)

        log5(7x+4) — log5(2x-1) = 1

        log4x + 3log2x = 7

        log2(2x2–x+2) = log2x+2

 

        Ответы (в беспорядке):

        2,5; 3; 0; 4

 

        И это вышло? Блеск! Значит, первую часть в решении логарифмических уравнений (хотя бы самых простых) вы уже освоили хорошо. Поздравляю! Осталось теперь разобраться со второй частью — и мы с вами будем уже во всеоружии. Можно будет и более хитрые примеры решать.)

        Как видите, всё просто. Сводим уравнение к простейшему за один-два шага, выкидываем логарифмы, решаем себе и записываем ответ. Это хорошая новость.

        А теперь — плохая новость. Успех в решении логарифмических уравнений этого урока вовсе не гарантирует вам успех в решении всех остальных уравнений. Даже простеньких на вид, подобных этим. Увы и ах…

        Так в чём же дело? Это и есть та самая вторая часть решения логарифмических уравнений (любых!). И более того, я бы даже назвал это основной проблемой в решении логарифмических уравнений. Да и неравенств тоже.

        Разберёмся с этой проблемой основательно! И решим её. Обязательно! В следующем уроке. Здесь ничего говорить не буду, дабы не рушить идиллию и не пугать народ.)

 

 

Логарифмические уравнения

   Логарифмические уравнения. Продолжаем рассматривать задачи из части В ЕГЭ по математике. Мы с вами уже рассмотрели решения некоторых уравнений в статьях «Тригонометрические уравнения», «Решение рациональных уравнений». В этой статье рассмотрим логарифмические уравнения. Сразу скажу, что никаких сложных преобразований при решении таких уравнений на ЕГЭ не будет. Они просты.

Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение  в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.

Определение

Логарифмом числа a  по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.

Основное логарифмическое тождество:

Например:

 log39 = 2, так как  32 = 9

Свойства логарифмов:

Частные случаи логарифмов:

Решим задачи. В первом примере мы сделаем проверку. В последующих проверку сделайте самостоятельно.

Найдите корень уравнения:  log3(4–x) = 4

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как  logba = x   bx = a,  то

34 = 4 – x

x = 4 – 81

x =  – 77

Проверка:

log3(4–(–77)) = 4

log381 = 4

34 = 81  Верно.

Ответ: – 77

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения:  log(4 – x) = 7

Посмотреть решение 

Найдите корень уравнения log5 (4 + x) = 2

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как   logab = x       bx = a,   то

52 = 4 + x

x =52 – 4

x = 21

Проверка:

log5(4 + 21) = 2

log525 = 2

52 = 25 Верно.

Ответ: 21

Найдите корень уравнения  log3(14 – x) = log35.

Имеет место следующее свойство, смысл его таков: если в левой и правой частях уравнения имеем логарифмы с одинаковым основанием, то можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов.

 Если    logca = logcb,   то  a = b

14 – x = 5

x = 9

Сделайте проверку.

Ответ: 9

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения  log5(5 – x) = log53.

Посмотреть решение 

Найдите корень уравнения: log4(x + 3) = log4(4x – 15).

Если   logca = logcb,   то  a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Сделайте проверку.

Ответ: 6

Найдите корень уравнения   log1/8(13 – x) = – 2.

(1/8)–2 = 13 – x

82 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Сделайте проверку.

Небольшое дополнение – здесь используется свойство

степени (отрицательная степень дроби).

Ответ: – 51

Решите самостоятельно: 

Найдите корень уравнения:  log1/7(7 – x) = – 2

Посмотреть решение 

Найдите корень уравнения  log(4 – x) = 2 log5.

Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:

logabm = m∙logab

log2(4 – x) = log252

Если    logca = logcb,   то  a = b

4 – x = 52

4 – x = 25

x = – 21

Сделайте проверку.

Ответ: – 21

Решите самостоятельно: 

Найдите корень уравнения:  log5(5 – x) = 2 log3

Посмотреть решение 

Решите уравнение   log5(x2 + 4x) = log5(x2 + 11)

Если    logca = logcb,   то  a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Сделайте проверку.

Ответ: 2,75

Решите самостоятельно: 

Найдите корень уравнения  log5(x2 + x) = log5(x2 + 10).

Посмотреть решение 

Решите уравнение   log2(2 – x) = log2(2 – 3x) +1.

Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:

log2 (……)

Представляем 1 как логарифм с основанием 2:

1 = log2

Далее применяем свойство:

logс(ab) = logсa + logсb

log2(2 – x) = log2(2 – 3x) + log22

Получаем:

log2(2 – x) = log2 2 (2 – 3x)

Если    logca = logcb,   то  a = b, значит

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Сделайте проверку.

Ответ: 0,4

Решите самостоятельно: 

Найдите корень уравнения  log5(7 – x) = log5(3 – x) +1

Посмотреть решение 

Решите уравнение logх–125 = 2.  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

(x – 1)2= 25

Далее необходимо решить квадратное уравнение. Кстати, квадратное уравнение, как вы поняли, это очень важная «буковка» в математической азбуке. К нему сводятся очень многие решения совершенно различных задач. Помнить формулы дискриминанта и корней нужно обязательно, и уметь решать такое уравнение вы должны очень быстро, периодически практикуйтесь.

Конечно же, опытный глаз сразу увидит, что в нашем примере выражение, стоящее под знаком квадрата равно 5 или – 5, так как только эти два числа  при возведении в квадрат дают 25, устно можно посчитать:

корни равны 6  и  – 4.

Корень  «–4» не является решением, так как основание логарифма должно быть больше нуля, а при  «– 4» оно равно «–5». Решением является корень 6. Сделайте проверку.

Ответ: 6.

Решите самостоятельно: 

Решите уравнение logx–5 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Посмотреть решение

 

Как вы убедились, никаких сложных преобразований с логарифмическими уравнениями нет. Достаточно знать  свойства логарифма и уметь применять их. В задачах ЕГЭ, связанных с преобразованием логарифмических выражений, выполняются более серьёзные преобразования и требуются более глубокие навыки в решении. Такие примеры мы рассмотрим, не пропустите! Успехов вам!!!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Решение логарифмических уравнений — объяснения и примеры

Как вы хорошо знаете, логарифм — это математическая операция, обратная возведению в степень. Логарифм числа сокращается как « log ».

Прежде чем мы сможем решить логарифмические уравнения, давайте сначала познакомимся со следующими правилами логарифмов:

Правило произведения гласит, что сумма двух логарифмов равна произведению логарифмов.Первый закон представлен как;

⟹ log b (x) + log b (y) = log b (xy)

Разность двух логарифмов x и y равна отношению логарифмов.

⟹ журнал b (x) — журнал b (y) = журнал (x / y)

⟹ журнал b (x) n = n журнал b (x)

⟹ log b x = (log a x) / (log a b)

Логарифм любого положительного числа по основанию этого числа всегда равен 1.
b 1 = b ⟹ log b (b) = 1.

Пример:

  • Логарифм от числа 1 до любого ненулевого основания всегда равен нулю.
    b 0 = 1 ⟹ журнал b 1 = 0.

Как решать логарифмические уравнения?

Уравнение, содержащее переменные в показателях степени, известно как экспоненциальное уравнение. Напротив, уравнение, которое включает логарифм выражения, содержащего переменную, называется логарифмическим уравнением.

Цель решения логарифмического уравнения — найти значение неизвестной переменной.

В этой статье мы узнаем, как решить два общих типа логарифмических уравнений, а именно:

  1. Уравнения, содержащие логарифмы на одной стороне уравнения.
  2. Уравнения с логарифмами на противоположных сторонах от знака равенства.

Как решить уравнения с односторонним логарифмом?

Уравнения с логарифмами на одной стороне принимают логарифм b M = n ⇒ M = b n .

Чтобы решить этот тип уравнений, выполните следующие действия:

  • Упростите логарифмические уравнения, применив соответствующие законы логарифмов.
  • Перепишите логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме.
  • Теперь упростим показатель степени и решим переменную.
  • Проверьте свой ответ, подставив его обратно в логарифмическое уравнение. Обратите внимание, что приемлемый ответ логарифмического уравнения дает только положительный аргумент.

Пример 1

Логарифм решения 2 (5x + 7) = 5

Решение

Перепишем уравнение в экспоненциальной форме

log 2 (5x + 7) = 5 ⇒ 2 5 = 5x + 7

⇒ 32 = 5x + 7

⇒ 5x = 32-7

5x = 25

Разделите обе стороны на 5, чтобы получить

x = 5

Пример 2

Решите относительно x в логарифме (5x -11) = 2

Решение

Поскольку основание этого уравнения не дано, мы предполагаем основание 10.

Теперь измените логарифм в экспоненциальной форме.

⇒ 10 2 = 5x — 11

⇒ 100 = 5x -11

111 = 5x

111/5 = x

Следовательно, x = 111/5 — это ответ.

Пример 3

Логарифм решения 10 (2x + 1) = 3

Решение

Перепишите уравнение в экспоненциальной форме

log 10 (2x + 1) = 3n⇒ 2x + 1 = 10 3

⇒ 2x + 1 = 1000

2x = 999

Разделив обе стороны на 2, получим;

х = 499.5

Проверьте свой ответ, подставив его в исходное логарифмическое уравнение;

⇒ log 10 (2 x 499,5 + 1) = log 10 (1000) = 3, поскольку 10 3 = 1000

Пример 4

Оценить ln (4x -1) = 3

Решение

Перепишем уравнение в экспоненциальной форме как;

ln (4x -1) = 3 ⇒ 4x — 3 = e 3

Но, как известно, e = 2,718281828

4x — 3 = (2.718281828) 3 = 20.085537

x = 5.271384

Пример 5

Решите логарифмическое уравнение log 2 (x +1) — log 2 (x — 4) = 3

Решение

Сначала упростите логарифмы, применив правило частного, как показано ниже.

журнал 2 (x +1) — журнал 2 (x — 4) = 3 ⇒ log 2 [(x + 1) / (x — 4)] = 3

Теперь перепишите уравнение в экспоненциальной форме

⇒2 3 = [(x + 1) / (x — 4)]

⇒ 8 = [(x + 1) / (x — 4)]

Перемножьте уравнение крест-накрест

⇒ [(x + 1) = 8 (x — 4)]

⇒ x + 1 = 8x -32

7x = 33 …… (Сбор одинаковых терминов)

x = 33/7

Пример 6

Решите относительно x, если log 4 (x) + log 4 (x -12) = 3

Решение

Упростите логарифм, используя следующее правило произведения;

журнал 4 (x) + журнал 4 (x -12) = 3 ⇒ журнал 4 [(x) (x — 12)] = 3

⇒ журнал 4 (x 2 — 12x) = 3

Преобразуйте уравнение в экспоненциальную форму.

⇒ 4 3 = x 2 — 12x

⇒ 64 = x 2 — 12x

Поскольку это квадратное уравнение, мы решаем его факторизацией.

x 2 -12x — 64 ⇒ (x + 4) (x — 16) = 0

x = -4 или 16

Когда x = -4 подставляется в исходное уравнение, мы получаем отрицательный ответ что мнимое. Поэтому 16 — единственное приемлемое решение.

Как решить уравнения с логарифмами с обеих сторон уравнения?

Уравнения с логарифмами по обе стороны от знака равенства принимают log M = log N, что совпадает с M = N.

Процедура решения уравнений с логарифмами по обе стороны от знака равенства.

  • Если логарифмы имеют общую основу, упростите задачу, а затем перепишите ее без логарифмов.
  • Упростите, собирая одинаковые термины и решая переменную в уравнении.
  • Проверьте свой ответ, вернув его в исходное уравнение. Помните, что приемлемый ответ приведет к положительному аргументу.

Пример 7

Логарифм решения 6 (2x — 4) + log 6 ( 4) = log 6 (40)

Решение

Во-первых, упростите логарифмы.

журнал 6 (2x — 4) + журнал 6 (4) = журнал 6 (40) ⇒ журнал 6 [4 (2x — 4)] = журнал 6 (40)

Теперь опустите логарифмы

⇒ [4 (2x — 4)] = (40)

⇒ 8x — 16 = 40

⇒ 8x = 40 + 16

8x = 56

x = 7

Пример. 8

Решите логарифмическое уравнение: log 7 (x — 2) + log 7 (x + 3) = log 7 14

Решение

Упростите уравнение, применив правило произведения .

Логарифм 7 [(x — 2) (x + 3)] = log 7 14

Отбросьте логарифмы.

⇒ [(x — 2) (x + 3)] = 14

Распределите ФОЛЬГУ, чтобы получить;

⇒ x 2 — x — 6 = 14

⇒ x 2 — x — 20 = 0

⇒ (x + 4) (x — 5) = 0

x = -4 или x = 5

когда x = -5 и x = 5 подставляются в исходное уравнение, они дают отрицательный и положительный аргумент соответственно. Поэтому x = 5 — единственное приемлемое решение.

Пример 9

Логарифм решения 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (2x + 6)

Решение

Учитывая уравнение; log 3 (x 2 + 3x) = log 3 (2x + 6), отбросьте логарифмы, чтобы получить;
⇒ x 2 + 3x = 2x + 6
⇒ x 2 + 3x — 2x — 6 = 0
x 2 + x — 6 = 0 ……………… (Квадратное уравнение)
Фактор множителя квадратное уравнение получить;

(x — 2) (x + 3) = 0
x = 2 и x = -3

Проверяя оба значения x, мы получаем x = 2, что является правильным ответом.

Пример 10

Журнал решения 5 (30x — 10) — 2 = log 5 (x + 6)

Решение

log 5 (30x — 10) — 2 = log 5 (x + 6)

Это уравнение можно переписать как;

⇒ log 5 (30x — 10) — log 5 (x + 6) = 2

Упростим логарифмы

log 5 [(30x — 10) / (x + 6)] = 2

Записать логарифм в экспоненциальной форме.

⇒ 5 2 = [(30x — 10) / (x + 6)]

⇒ 25 = [(30x — 10) / (x + 6)]

При перекрестном умножении получаем;

⇒ 30x — 10 = 25 (x + 6)

⇒ 30x — 10 = 25x + 150

⇒ 30x — 25x = 150 + 10

⇒ 5x = 160

x = 32

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Решение логарифмических уравнений — ChiliMath

Обычно существует два типа логарифмических уравнений. Внимательно изучите каждый случай, прежде чем приступить к рассмотрению приведенных ниже примеров.

Типы логарифмических уравнений

  • Первый тип выглядит так.

Если у вас есть один логарифм на каждой стороне уравнения с одинаковым основанием, вы можете установить аргументы, равные друг другу, и решить. Аргументами здесь являются алгебраические выражения, представленные \ color {blue} M и \ color {red} N.

  • Второй тип выглядит так.

Если у вас есть один логарифм на одной стороне уравнения, вы можете выразить его как экспоненциальное уравнение и решить.

Давайте научимся решать логарифмические уравнения на нескольких примерах.


Примеры решения логарифмических уравнений

Пример 1: Решите логарифмическое уравнение.

Поскольку мы хотим преобразовать левую часть в одно логарифмическое уравнение, мы должны использовать правило произведения в обратном порядке, чтобы сжать его. Вот правило на всякий случай, если вы забыли.

  • Распределить: \ left ({x + 2} \ right) \ left (3 \ right) = 3x + 6
  • Отбросьте журналы, установите аргументы (внутри скобок) равными друг другу.
  • Затем решите линейное уравнение. Я знаю, что у тебя есть эта часть!

Просто большое предостережение. ВСЕГДА проверяйте решенные значения с помощью исходного логарифмического уравнения.

Запомнить :

  • Хорошо, может иметь значения x, такие как положительные, 0 и отрицательные числа.
  • Однако НЕ ДОПУСКАЕТСЯ иметь логарифм отрицательного числа или логарифм нуля, 0, при замене или вычислении в исходное уравнение логарифма.

⚠︎ ВНИМАНИЕ! Логарифм отрицательного числа и логарифм нуля не определены.

{\ log _b} \ left ({{\ rm {negative \, \, number}}} \ right) = {\ rm {undefined}}

{\ log _b} \ left (0 \ right) = {\ rm {undefined}}

Теперь давайте проверим наш ответ, является ли x = 7 допустимым решением. Подставьте его обратно в исходное логарифмическое уравнение и проверьте, верно ли оно.

Да! Поскольку x = 7 проверяет, у нас есть решение в \ color {blue} x = 7.2} — 2x

  • Отбросьте журналы, установите аргументы (внутри скобок) равными друг другу
  • Решите квадратное уравнение, используя метод факторизации. Но вам нужно сдвинуть все на одну сторону, заставив противоположную сторону равной 0.
  • Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите относительно x.

x — 5 = 0 означает, что x = 5

x + 2 = 0 означает, что x = — 2

Итак, возможные решения: x = 5 и x = — 2.Не забывайте всегда подставлять возможные решения обратно в исходное логарифмическое уравнение.

Давайте проверим наши возможные ответы x = 5 и x = — 2, если они будут действительными решениями. Подставьте его обратно в исходное логарифмическое уравнение и проверьте, верно ли оно.

После проверки наших значений x мы обнаружили, что x = 5 определенно является решением. Однако x = -2 генерирует некоторые отрицательные числа внутри скобок (логарифм нуля и отрицательные числа не определены), что заставляет нас исключить x = -2 как часть нашего решения.

Следовательно, окончательное решение будет просто \ color {blue} x = 5. Мы не принимаем во внимание x = -2, потому что это постороннее решение.


Пример 3: Решите логарифмическое уравнение.

Это интересная проблема. Здесь мы имеем различие логарифмических выражений по обе стороны уравнения. Упростите или сожмите журналы с обеих сторон, используя правило Quotient Rule, которое выглядит следующим образом.

  • Разница в журналах говорит нам использовать правило частного.Преобразуйте операцию вычитания снаружи в операцию деления внутри скобок. Сделайте это с обеими сторонами уравнений.
  • Я думаю, мы готовы установить каждый аргумент равным друг другу, так как мы можем уменьшить проблему до одного логарифмического выражения для каждой стороны уравнения.
  • Отбросьте журналы, установите аргументы (внутри скобок) равными друг другу. Обратите внимание, что это рациональное уравнение. Один из способов решить эту проблему — получить Cross Product .
  • Это выглядит так после получения перекрестного продукта.
  • Упростите обе стороны распределительным свойством. На этом этапе мы понимаем, что это всего лишь квадратное уравнение. Тогда ничего страшного. Сдвиньте все в одну сторону, и это заставит одну сторону уравнения равняться нулю.
  • Это легко факторизуемо. Теперь установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x.
  • Итак, это наши возможные ответы.

Я предоставлю вам проверить наши возможные ответы обратно в исходное логарифмическое уравнение.Вы должны убедиться, что \ color {blue} x = 8 — единственное решение, а x = -3 — нет, поскольку он генерирует сценарий, в котором мы пытаемся получить логарифм отрицательного числа. Не хорошо!


Пример 4: Решите логарифмическое уравнение.

Если вы видите «журнал» без явного или письменного основания, предполагается, что он имеет основание 10. Фактически, логарифм с основанием 10 известен как десятичный логарифм .

Нам нужно сжать обе части уравнения в одно логарифмическое выражение.С левой стороны мы видим различие журналов, что означает, что мы применяем правило Quotient Rule, в то время как с правой стороны требуется правило продукта, потому что они представляют собой сумму журналов.

Есть только одна вещь, на которую вы должны обратить внимание на левую сторону. Вы видите этот коэффициент \ Large {1 \ over 2} \ ,?

Что ж, мы должны представить это как экспоненту, используя правило мощности в обратном порядке.

  • Поднимите этот коэффициент \ large {1 \ over 2} как показатель степени (см. Крайний левый член)
  • Упростите показатель степени (все еще относится к крайнему левому члену)
  • Затем сократите бревна с обеих сторон уравнения.Используйте правило частного слева и правило продукта справа.
  • Здесь я использовал разные цвета, чтобы показать, что, поскольку у нас одна и та же база (если явно не показано, предполагается, что это база 10), можно установить их равными друг другу.
  • Удаление журналов и просто приравнивание аргументов внутри скобок.
  • На этом этапе вы можете решить рациональное уравнение, выполнив перекрестное произведение. Переместите все члены в одну сторону уравнения, а затем вычтите их.
  • Установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x.

Пора проверить свои потенциальные ответы. Когда вы проверите x = 0 обратно в исходное логарифмическое уравнение, вы получите выражение, которое включает в себя получение логарифма нуля, который не определен, что означает — нехорошо! Итак, мы должны игнорировать или отбросить \ color {red} x = 0 как решение.

Проверка \ Large {x = {3 \ over 4}} подтверждает, что действительно \ Large {\ color {blue} {x = {3 \ over 4}}} является единственным решением.


Пример 5: Решите логарифмическое уравнение.

Эта проблема связана с использованием символа \ ln вместо \ log для обозначения логарифма.

Думайте о \ ln как о особом логарифме с основанием e, где e \ приблизительно 2,71828.

  • Используйте правило продукта с правой стороны
  • Сначала запишите переменную, затем константу, чтобы быть готовым к использованию метода FOIL.
  • Упростите два бинома, умножив их вместе.
  • На этом этапе я просто закодировал выражение в круглых скобках цветом, чтобы показать, что мы готовы установить их равными друг другу.
  • Ага! Здесь мы говорим, что содержимое в левой скобке равно содержимому в правой скобке.

Не забудьте символ \ pm.

  • Далее, упрощая, мы должны получить следующие возможные ответы.

Проверьте, являются ли найденные выше возможные ответы возможными ответами, подставив их обратно в исходные логарифмические уравнения.

Вы должны убедиться, что ЕДИНСТВЕННЫМ допустимым решением является \ large {\ color {blue} x = {1 \ over 2}}, что делает \ large {\ color {red} x = — {1 \ over 2}} лишним. отвечать.


Пример 6: Решите логарифмическое уравнение.

В этом уравнении есть только одно логарифмическое выражение. Мы рассматриваем это как второй случай, когда у нас

Мы преобразуем уравнение из логарифмической формы в экспоненциальную, а затем решим его.

  • Я закодировал части логарифмического уравнения цветом, чтобы показать, куда они идут при преобразовании в экспоненциальную форму.4} = 81.

Вы должны убедиться, что значение \ color {blue} x = 12 действительно является решением логарифмического уравнения.


Пример 7: Решите логарифмическое уравнение.

Соберите все логарифмические выражения на одной стороне уравнения (оставьте его слева) и переместите константу в правую часть. Используйте правило частного, чтобы выразить разницу журналов в виде дробей в скобках логарифма.

  • Переместите все логарифмические выражения в левую часть уравнения, а константу — вправо.{\ color {красный} 1} = 5.
  • Это рациональное уравнение из-за наличия переменных в числителе и знаменателе.

Я бы решил это уравнение, используя правило перекрестного произведения. Но сначала я должен выразить правую часть уравнения с явным знаменателем, равным 1. То есть 5 = ​​{\ large {{5 \ over 1}}}

  • Выполните перекрестное умножение, а затем решите полученное линейное уравнение.

Когда вы проверяете x = 1 обратно в исходное уравнение, вы должны согласиться с тем, что \ large {\ color {blue} x = 1} является решением логарифмического уравнения.


Пример 8: Решите логарифмическое уравнение.

Эта проблема очень похожа на №7. Давайте соберем все логарифмические выражения слева, оставив константу справа. Поскольку у нас есть разница журналов, мы будем использовать правило Quotient Rule.

  • Переместите выражения журнала влево, а константу оставьте вправо.
  • Примените правило частного, поскольку они представляют собой разность журналов.
  • Я использовал здесь разные цвета, чтобы показать, куда они уходят после перезаписи в экспоненциальной форме.
  • Обратите внимание, что выражение внутри круглых скобок остается на своем текущем месте, а \ color {red} 5 становится показателем основания.
  • Чтобы решить это рациональное уравнение, примените правило перекрестного произведения.
  • Упростите правую часть с помощью свойства распределения. Похоже, мы имеем дело с квадратным уравнением.
  • Переместите все в левую сторону и сделайте правую сторону равной нулю.

Выносим трехчлен за скобки.Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите относительно x.

  • Когда вы решаете для x, вы должны получить эти значения x как потенциальные решения.

Убедитесь, что вы проверили возможные ответы из исходного логарифмического уравнения.

Согласитесь, что \ color {blue} x = -32 — единственное решение. Это делает \ color {red} x = 4 лишним решением, так что не обращайте на него внимания.


Пример 9: Решите логарифмическое уравнение

Я надеюсь, что теперь вы получили основное представление о том, как подходить к этому типу проблемы.Здесь мы видим три логических выражения и константу. Давайте разделим логарифмические выражения и константу на противоположных сторонах уравнения.

  • Давайте оставим лог-выражения слева, а константу — справа.
  • Начните с сжатия выражений журнала с помощью правила продукта для обработки суммы журналов.
  • Затем дополнительно уплотните выражения журнала, используя правило частного, чтобы учесть разницу в журналах.
  • На этом этапе я использовал разные цвета, чтобы показать, что готов выразить логарифмическое уравнение в его экспоненциальной форме.
  • Сохраните выражение внутри символа группировки ( синий ) в том же месте, сделав константу \ color {red} 1 с правой стороны как показатель степени основания 7.
  • Решите это рациональное уравнение, используя перекрестное произведение. Выразите 7 как \ large {7 \ over 1}.
  • Переместите все члены в левую часть уравнения. Выносим за скобки трехчлен. Затем установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x.
  • Это ваши потенциальные ответы.Всегда проверяйте свои ценности.

Очевидно, что когда мы подставляем x = -8 обратно в исходное уравнение, получается логарифм с отрицательным числом. Следовательно, вы исключаете \ color {red} x = -8 как часть вашего решения.

Таким образом, единственное решение — \ color {blue} x = 11.


Пример 10: Решите логарифмическое уравнение.

  • Сохраните логарифмическое выражение слева и переместите все константы в правую сторону.
  • Думаю, мы готовы преобразовать это логарифмическое уравнение в экспоненциальное уравнение.3} = 27. Перед нами простое радикальное уравнение.

Отметьте этот отдельный урок, если вам нужно напомнить, как решать различные типы радикальных уравнений.

  • Чтобы избавиться от радикального символа в левой части, возведите обе части уравнения в квадрат.
  • После возведения в квадрат обеих сторон, похоже, у нас есть линейное уравнение. Просто решите это как обычно.

Верните свой потенциальный ответ в исходное уравнение.

После этого вы должны убедиться, что действительно \ color {blue} x = -104 — верное решение.


Практика с рабочими листами


Возможно, вас заинтересует:

Уплотняющие логарифмы

Расширяющиеся логарифмы

Объяснение логарифма

Правила логарифмирования

Решение логарифмических уравнений с экспонентами

Purplemath

Второй тип логарифмического уравнения требует использования отношения:

—Взаимосвязь—

y = b x

……….. эквивалентно …………
(означает то же самое, что и)

журнал b ( y ) = x

В анимированной форме два уравнения связаны, как показано ниже:

MathHelp.com

Обратите внимание, что основание как в экспоненциальной форме уравнения, так и в логарифмической форме уравнения — «b», но x и y меняют сторону при переключении между двумя уравнениями.Если вы помните это — что бы ни было , было аргументом журнала, становится «равно», и все, что было , «равно» становится экспонентой в экспоненте, и наоборот — тогда у вас не должно быть слишком много проблема с решением уравнений журнала.


Поскольку это уравнение имеет форму «журнал (чего-то) равен числу», а не «журнал (чего-то) равен журналу (чего-то еще)»), я могу решить уравнение, используя Соотношение:

журнал 2 ( x ) = 4

2 4 = x

16 = х


Я могу решить эту проблему, преобразовав логарифмический оператор в его эквивалентную экспоненциальную форму, используя The Relationship:

Но 8 = 2 3 , поэтому я могу приравнять степени двойки:


Обратите внимание, что это также можно было решить, работая непосредственно с определением логарифма.

Какая сила при установке на «2» даст вам 8? Конечно же, сила 3!

Если вы хотите много работать, вы также можете сделать это в своем калькуляторе, используя формулу замены базы:

Подключите это к своему калькулятору, и вы получите «3» в качестве своего ответа. Хотя этот метод смены базы не особенно полезен в данном случае, вы можете видеть, что он действительно работает. (Попробуйте это на своем калькуляторе, если вы еще этого не сделали, чтобы быть уверенным, что вы знаете, какие клавиши нажимать и в каком порядке.Эта техника понадобится вам в последующих задачах.

Я не говорю, что вы обязательно захотите, чтобы решал уравнения, используя формулу замены базы, или всегда используя определение журналов, или какой-либо другой конкретный метод. Но я предлагаю вам убедиться, что вы знакомы с различными методами, и что вы не должны паниковать, если вы и ваш друг использовали , всего разных методов для решения одного и того же уравнения.


  • Журнал решения

    2 ( x ) + лог 2 ( x — 2) = 3

Я пока ничего не могу сделать с этим уравнением, потому что у меня его еще нет в форме «журнал (чего-то) равно числу». Поэтому мне нужно использовать правила журнала, чтобы объединить два члена в левой части уравнения:

журнал 2 ( x ) + журнал 2 ( x — 2) = 3

журнал 2 [( x ) ( x — 2)] = 3

журнал 2 ( x 2 -2 x ) = 3

Теперь уравнение устроено в удобной форме.На этом этапе я могу использовать Отношение, чтобы преобразовать логарифмическую форму уравнения в соответствующую экспоненциальную форму, а затем я могу решить результат:

журнал 2 ( x 2 -2 x ) = 3

2 3 = x 2 -2 x

8 = x 2 -2 x

0 = x 2 — 2 x — 8

0 = ( x -4) ( x + 2)

x = 4, –2

Но если x = –2, то «log 2 ( x )» из исходного логарифмического уравнения будет иметь отрицательное число в качестве аргумента (как и термин «log 2 ( x — 2) «).Поскольку журналы не могут иметь нулевых или отрицательных аргументов, решение исходного уравнения не может быть x = –2.

Тогда мое решение:


Имейте в виду, что вы всегда можете проверить свои ответы на любое упражнение «решение», вставив эти ответы обратно в исходное уравнение и проверив, что решение «работает». В этом случае я вставлю свое значение решения в любую сторону исходного уравнения и проверю, что каждая сторона оценивает одно и то же число:

левая сторона:

журнал 2 ( x ) + журнал 2 ( x — 2)

= журнал 2 (4) + журнал 2 (4-2) 3

= журнал 2 (4) + журнал 2 (2)

= журнал 2 (2 2 ) + журнал 2 (2 1 )

= 2 + 1 = 3

Правая часть исходного уравнения уже была упрощена до «3», поэтому это решение проверяется.


Это уравнение может показаться слишком сложным, но это всего лишь еще одно логарифмическое уравнение. Чтобы решить эту проблему, мне нужно дважды применить The Relationship. Я начинаю с исходного уравнения и работаю с «внешним» журналом:

Отношение преобразует вышеуказанное в:

Теперь я применяю Отношение во второй раз:

Тогда решение:


  • Журнал решения

    2 ( x 2 ) = (журнал 2 ( x )) 2

Во-первых, я раскрою квадрат справа, чтобы он был явным произведением двух бревен:

журнал 2 ( x 2 ) = [журнал 2 ( x )] 2

журнал 2 ( x 2 ) = [журнал 2 ( x )] [журнал 2 ( x )]

Затем я применяю правило журнала, чтобы переместить «квадрат» изнутри журнала в левой части уравнения, вынимая его перед этим журналом в качестве множителя:

2 · журнал 2 ( x ) = [журнал 2 ( x )] [журнал 2 ( x )]

Затем я перенесу этот член из левой части уравнения в правую:

0 = [журнал 2 ( x )] [журнал 2 ( x )] — 2 · журнал 2 ( x )

Это уравнение может показаться плохим, но внимательно присмотритесь.На данный момент это не более чем упражнение по факторингу. Итак, я фактор, а затем я решу факторы, используя The Relationship:

.

0 = [журнал 2 ( x )] [журнал 2 ( x ) — 2]

журнал 2 ( x ) = 0 или лог 2 ( x ) — 2 = 0

2 0 = x или лог 2 ( x ) = 2

1 = x или 2 2 = x

1 = x или 4 = x

Тогда мое решение:


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении логарифмических уравнений (или пропустите виджет и продолжите урок).Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)



URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelog2.htm

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1.Чтобы решить логарифмическое уравнение, перепишите уравнение в экспоненциальной форме и решите для переменной.

Пример 1: Решите относительно x в уравнении Ln ( x ) = 8.

Решение:

Шаг 1: Пусть обе стороны будут степенями основания e. Уравнение Ln ( x ) = 8 можно переписать.
Шаг 2: К настоящему времени вы должны знать, что, когда основание экспоненты и основание логарифма одинаковы, в левой части можно записать x.Теперь уравнение можно записать
.
Шаг 3: Точный ответ:

и приблизительный ответ

Чек: Вы можете проверить свой ответ двумя способами. Вы можете построить график функции Ln ( x ) -8 и посмотреть, где она пересекает ось x. Если вы правы, график должен пересекать ось x в ответе, который вы получили алгебраически.
Вы также можете проверить свой ответ, подставив значение x в начальное
уравнение и определите, равна ли левая часть правой.Для
Например, если Ln (2,980.95798704) = 8, вы правы. Это так, и вы правы.

Пример 2: Решите относительно x в уравнении 7 Log (3 x ) = 15.

Решение:

Шаг 1: Выделите логарифмический член перед преобразованием логарифмического уравнения в экспоненциальное уравнение. Разделите обе части исходного уравнения на 7:

Шаг 2: Преобразуйте логарифмическое уравнение в экспоненциальное уравнение: Если основание не указано, это означает, что основание логарифма равно 10.Напомним также, что логарифмы — это показатели степени, поэтому показатель степени равен
. Уравнение

теперь можно написать

Шаг 3: Разделите обе части приведенного выше уравнения на 3:

это точный ответ и приблизительный ответ.

Чек: Вы можете проверить свой ответ двумя способами: построив график функции

или подставив значение x в исходное уравнение.Если вы выберете построение графика, точка пересечения по оси x должна быть такой же, как и ответ, который вы
полученный ( ).
Если вы выберете замену, значение левой части оригинала
уравнение должно равняться значению правой части уравнения после того, как вы
вычислили значение каждой стороны на основе вашего ответа на x.

Пример 3: Решите относительно x в уравнении

Решение:

Шаг 1: Обратите внимание, что первый член Ln ( x -3) действителен только тогда, когда x > 3; термин Ln ( x -2) действителен только тогда, когда x > 2; и термин Ln (2 x +24) действителен только тогда, когда x > -12.Если мы потребуем, чтобы x был любым действительным числом больше 3, все три члена будут действительными. Если все три члена верны, то уравнение верно.
Шаг 2: Упростим левую часть приведенного выше уравнения: по свойствам логарифмов мы знаем, что

Шаг 3: Теперь уравнение можно записать

Шаг 4: Пусть каждая сторона приведенного выше уравнения будет показателем степени основания e:

Шаг 5: Упростите приведенное выше уравнение:

Другой способ взглянуть на уравнение на шаге 3 — понять, что если Ln ( a )
= Ln ( b ), тогда a должно быть равно b.В случае этой проблемы, тогда

Шаг 6: Упростите левую часть приведенного выше уравнения:

Шаг 7: Вычтем 2x + 24 с каждой стороны:

Шаг 8: Разложите на множители левую часть приведенного выше уравнения:

Шаг 9: Если произведение двух множителей равно нулю, по крайней мере один из множителей должен быть равен нулю.Если . Если
. x = 9 — наше единственное решение. Почему 9 — единственное решение? Мы определили наш домен как все действительные числа больше 3.

Чек: Вы можете проверить свой ответ, построив график функции

и определение того, равен ли отрезок оси x также 9. Если это так, вы
правильно сработали проблему.
Вы также можете проверить свой ответ, заменив 9 слева x и
правые части исходного уравнения. Если после подстановки левый
сторона уравнения имеет то же значение, что и правая часть уравнения,
вы правильно решили проблему.

Если вы хотите просмотреть другой пример, нажмите «Пример».

Решите следующие задачи. Если вы хотите просмотреть ответ и
решение, нажмите «Ответить».

Задача 1: Решите относительно x в уравнении

Ответ

Задача 2: Решите относительно x в уравнении

Ответ

Задача 3: Решите относительно x в уравнении

Ответ

Задача 4: Решите относительно x в уравнении

Ответ

Задача 5: Решите относительно x в уравнении

Ответ

Задача 6: Решите относительно x в уравнении

Ответ

[Назад к правилам логарифмов]
[Назад к экспоненциальным функциям]

[Алгебра]
[Тригонометрия]
[Сложный
Переменные] S.Домашняя страница O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем

S.O.S. Математика CyberBoard.


Автор: Нэнси
Маркус

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.

Свяжитесь с нами

Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США

пользователей онлайн за последний час

Алгебра — решение логарифмических уравнений

Решите каждое из следующих уравнений.

a \ ({\ log _5} \ left ({2x + 4} \ right) = 2 \) Показать решение

Чтобы решить их, нам нужно привести уравнение в точную форму, в которой находится это.2} = 25 \]

Обратите внимание, что это уравнение, которое мы можем легко решить.

\ [2x = 21 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = \ frac {{21}} {2} \]

Теперь, как и в первом наборе примеров, нам нужно снова вставить это в исходное уравнение и посмотреть, будет ли оно давать отрицательные числа или нули в логарифмах. Если да, то это не может быть решением, а если нет, то это решение.

\ [\ begin {align *} {\ log _5} \ left ({2 \ left ({\ frac {{21}} {2}} \ right) + 4} \ right) & = 2 \\ {\ log _5} \ left ({25} \ right) & = 2 \ end {align *} \]

Только положительные числа в логарифме, поэтому \ (x = \ frac {{21}} {2} \) на самом деле является решением.

b \ (\ log x = 1 — \ log \ left ({x — 3} \ right) \) Показать решение

В этом случае у нас есть два логарифма в задаче, поэтому нам придется объединить их в один логарифм, как мы это сделали в первом наборе примеров. Выполнение этого для этого уравнения дает

\ [\ begin {align *} \ log x + \ log \ left ({x — 3} \ right) & = 1 \\ \ log \ left ({x \ left ({x — 3} \ right)} \ вправо) & = 1 \ end {выровнять *} \]

Теперь, когда мы получили уравнение в правильной форме, мы преобразуем его в экспоненциальную форму.2} — 3x — 10 & = 0 \\ \ left ({x — 5} \ right) \ left ({x + 2} \ right) & = 0 \ hspace {0,25in} \ Rightarrow \ hspace {0,25in} x = — 2, \, \, x = 5 \ end {align *} \]

Итак, у нас есть два возможных решения. Давайте проверим их обоих.

\ (* х = — 2: \)

\ [\ log \ left ({- 2} \ right) = 1 — \ log \ left ({- 2 — 3} \ right) \]

У нас есть отрицательные числа в логарифмах, поэтому это не может быть решением.

\ (х = 5: \)

\ [\ begin {align *} \ log 5 & = 1 — \ log \ left ({5 — 3} \ right) \\ \ log 5 & = 1 — \ log 2 \ end {align *} \]

Нет отрицательных чисел или нулей в логарифмах, поэтому это решение.

Следовательно, у нас есть единственное решение этого уравнения, \ (x = 5 \).

Опять же, помните, что мы не исключаем потенциальное решение, потому что оно отрицательное, и не включаем потенциальное решение, потому что оно положительное. 2} — 6 \ left (2 \ right)} \ right) & = 3 + {\ log _2} \ left ({1 — 2} \ right) \\ {\ log _2} \ left ({4 — 12} \ right) & = 3 + {\ log _2} \ left ({- 1} \ right) \ end {align *} \]

В этом случае, несмотря на то, что потенциальное решение положительно, мы получаем отрицательные числа в логарифмах, и поэтому оно не может быть решением.

Следовательно, мы получаем единственное решение этого уравнения, \ (x = — 4 \).

OpenAlgebra.com: решение логарифмических уравнений

Используйте однозначное свойство логарифмов для решения логарифмических уравнений.
Плейлист по решению лог-уравнений

Если нам дано уравнение с логарифмом одного и того же основания с обеих сторон, мы можем просто приравнять аргументы.

Шаг 1 : Используйте правила экспонент, чтобы выделить логарифмическое выражение (с одинаковым основанием) на обеих сторонах уравнения.
Шаг 2 : Установите одинаковые аргументы.
Шаг 3 : Решите полученное уравнение.
Шаг 4 : Проверьте свои ответы.

Обязательно проверьте, решают ли полученные решения исходное логарифмическое уравнение. В этом учебном пособии мы поставим галочку рядом с решением после того, как определим, что оно действительно решает уравнение. Этот процесс иногда приводит к посторонним решениям, поэтому мы должны проверить свои ответы.
Решить .

Конечно, подобные уравнения очень особенные. Большинство проблем, с которыми мы столкнемся, не имеют логарифма с обеих сторон. Шаги по их решению приведены ниже.

Шаг 1 : Используйте свойства логарифма, чтобы изолировать журнал с одной стороны.
Шаг 2 : Примените определение логарифма и перепишите его как экспоненциальное уравнение.
Шаг 3 : Решите полученное уравнение.
Шаг 4 : Проверьте свои ответы.

Если ответ на логарифмическое уравнение делает аргумент отрицательным, то он не имеет значения. Это не исключает отрицательных ответов. Мы должны обязательно проверить все наши решения.

Обучающее видео : Решение логарифмических уравнений

Решить .

Совет : Не все отрицательные решения являются посторонними! Посмотрите на предыдущий набор проблем и убедитесь, что на некоторые из них есть отрицательные ответы.Галочка означает, что мы действительно вставили ответы, чтобы убедиться, что они действительно решают исходный текст. Пожалуйста, не пропускайте этот шаг, часто встречаются посторонние решения.



Видео на YouTube :

Чтений: Использование определения логарифма для решения логарифмических уравнений

Мы уже видели, что каждое логарифмическое уравнение
log b ( x ) = y эквивалентно экспоненциальному уравнению b y = x . {{3}} = {6} {x} — {10} [/ latex] Рассчитать 2
3 [латекс] \ displaystyle {8} = {6} {x} — {10} [/ latex] Добавьте 10 к обеим сторонам [латекс] \ displaystyle {18} = {6} {x} [/ latex] Разделить на 6 [латекс] \ displaystyle {x} = {3} [/ latex]

Использование определения логарифма для решения логарифмических уравнений

Для любого алгебраического выражения
S и вещественных чисел b и c , где b > 0, b ≠ 1,
log
b ( S ) = c тогда и только тогда, когда b c = S

Пример 1

Использование алгебры для решения логарифмического уравнения

  1. Решить [латекс] \ displaystyle {2} {ln {{x}}} + {3} = {7} [/ latex]
    1. Вычесть 3:
      [латекс] \ displaystyle {2} {ln {{x}}} = {4} [/ latex]
    2. Разделить на 2:
      [латекс] \ displaystyle {ln {{x}}} = {2} [/ latex]
    3. Записываем в экспоненциальной форме:
      [latex] \ displaystyle {x} = {e} ^ {{2}} [/ latex]
  2. Решить [латекс] \ displaystyle {6} + {ln {{x}}} = {10} [/ latex]

Использование алгебры до и после использования определения натурального логарифма

  1. Решить [латекс] \ displaystyle {2} {ln {{({6} {x})}}} = {7} [/ latex]
    1. Разделить на 2:
      [латекс] \ displaystyle {ln {{({6} {x})}}} = \ frac {{7}} {{2}} [/ latex]
    2. Используйте определение ln:
      [latex] \ displaystyle {6} {x} = {e} ^ {{{(\ frac {{7}} {{2}})}}} [/ latex]
    3. Разделить на 6:
      [латекс] \ displaystyle {x} = \ frac {{1}} {{6}} {e} ^ {{{(\ frac {{7}} {{2}})}} } [/ латекс]
  2. Решить [латекс] \ displaystyle {2} {ln {{({x} + {1})}}} = {10} [/ latex]
  3. Используя график, чтобы понять решение логарифмического уравнения, решите [latex] \ displaystyle {ln {{x}}} = {3} [/ latex] Графики y = ln x и y = 3 крестик в точке ( e 3 , 3), что приблизительно равно (20.0855, 3).
  4. Используйте графический калькулятор, чтобы оценить приближенное решение логарифмического уравнения 2 x = 1000, решите с точностью до 2 десятичных знаков.
    x ≈ 9,97

Как и в случае с экспоненциальными уравнениями, мы можем использовать свойство однозначности для решения логарифмических уравнений. Однозначное свойство логарифмических функций говорит нам, что для любых действительных чисел
x > 0, S > 0, T > 0 и любого положительного действительного числа b , где b ≠ 1,

журнал b S = журнал b T тогда и только тогда, когда S = T

Например,

Если журнал 2 ( x — 1) = log 2 (8), то x — 1 = 8.

Итак, если
x — 1 = 8,
, то мы можем решить для
x , и мы получим x = 9. Чтобы проверить, мы можем заменить x = 9 в исходное уравнение: log 2 (9 — 1) = log 2 (8) = 3. Другими словами, когда логарифмическое уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, аргументы должны быть равны. Это также применимо, когда аргументы являются алгебраическими выражениями. Следовательно, когда дано уравнение с журналами с одинаковым основанием на каждой стороне, мы можем использовать правила логарифмов, чтобы переписать каждую сторону как единый логарифм.Затем мы используем тот факт, что логарифмические функции взаимно однозначны, чтобы установить аргументы, равные друг другу, и найти неизвестное.

Например, рассмотрим уравнение
[латекс] \ displaystyle {log {{({3} {x} — {2})}}} — {log {{({2})}}} = {log {{ ({x} + {4})}}} [/ латекс]. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмов, чтобы переписать левую часть как единый логарифм, а затем применить свойство «один к одному», чтобы найти
[латекс] \ displaystyle {log {{({3} { x} — {2})}}} — {log {{({2})}}} = {log {{({x} + {4})}}} [/ latex]

.

Применить правило частного логарифмов [латекс] \ displaystyle {журнал {{(\ frac {{{3} {x} — {2}}} {{2}})}}} = {журнал {{({x} + {4}) }}} [/ latex]
Примените свойство логарифма один к одному. [латекс] \ displaystyle \ frac {{{3} {x} — {2}}} {{2}} = {x} + {4} [/ latex]
Умножьте обе части уравнения на 2 [латекс] \ displaystyle {3} {x} — {2} = {3} {x} + {8} [/ latex]
Вычтем 2
x и прибавим 2
[латекс] \ displaystyle {x} = {10} [/ latex]

Чтобы проверить результат, замените
на

[латекс] \ displaystyle {журнал {{({3} {({10})} — {2})}}} — {журнал {{({2})}}} = {журнал {{({( {10})} + {4})}}} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle {log {{({28})}}} — {log {{({2})}}} = {log {{({14})}}} [/ latex]

[латекс] \ Displaystyle {журнал {{(\ frac {{28}} {{2}})}}} = {журнал {{({14})}}} [/ латекс]

Решение проверяет.

Использование однозначного свойства логарифмов для решения логарифмических уравнений

Для любых алгебраических выражений
S и T и любого положительного действительного числа b , где b ≠ 1, log b S = log b T тогда и только тогда, когда S = т

Обратите внимание: при решении уравнения, включающего логарифмы, всегда проверяйте, верен ли ответ или нет ли это постороннее решение. {{2}} — {2} {x} — {3} = {0} [/ latex] Фактор с использованием FOIL: [latex] \ displaystyle {({x} — {3})} {({x} + {1})} = {0} [/ латекс]

Если продукт равен нулю, один из факторов должен быть равен нулю: [latex] \ displaystyle {x} — {3} = {0} {\ text {или}} {x} + {1} = {0} [ / латекс]

Решите относительно x : [latex] \ displaystyle {x} = {3} {\ text {or}} {x} = — {1} [/ latex]

Анализ

Есть два решения:
x = 3 или x = –1.{{2}})}}} = {ln {{1}}} [/ latex]


OpenStax, Precalculus, «Экспоненциальные и логарифмические уравнения», под лицензией CC BY 3.0.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.