Логарифмическое уравнение: Логарифмические уравнения — подготовка к ЕГЭ по Математике

Логарифмические уравнения — подготовка к ЕГЭ по Математике

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

.

При этом .

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

.

Основное логарифмическое тождество:

,

.

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

.

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение:

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем:

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при .

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

;

;

;

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом .

.

Ответ: 21.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

6.Решите уравнение: .

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 19.

7.Решите уравнение: .

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие .

Ответ:

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения:

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х:

9.Решите уравнение:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

«Отбрасываем» логарифмы.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: .

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Как решить логарифмическое уравнение: подробное объяснение

Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.

Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.

Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.

  1. Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами
  2. Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями
  3. Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями
  4. Как сделать проверку – это важно

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

2х + 3 = 32

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

2х + 3 = 9

2х = 6

х = 3

Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 32 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно,  х = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

2х + 3 = 32

2х + 3 = 9

2х = 6

х = 3

Ответ: х = 3

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:Вспоминаем свойства степеней:

3х – 5 = 4

3х = 9

х = 3

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно,  х = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:Теперь преобразуем правую часть уравнения:Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение:Верно, следовательно, х1 = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим х2 = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х2 = -5 – посторонний корень.

Ответ: х = 1

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3-1. Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма:Применяем эти знания и получаем:Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим:Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:Делаем проверку:Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Ответ: х = 4.

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т. е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, logx+12+5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.Преобразуем правую часть уравнения:Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х2+5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1)2, которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х2+5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему:Перепишем нашу систему:Следовательно, наша система примет следующий вид:Теперь решаем наше уравнение:Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 32=9, то  последнее выражение верно.

Ответ: х = 2

Как сделать проверку

Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т. е. больше ноля.

Если наше уравнение имеет вид loga (f(x)) = loga (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:

После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!

Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.

логарифмических уравнений

логарифмических уравнений

Решение уравнений
Главное меню

 

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ
УРАВНЕНИЯ

Определение

Любой
уравнение с переменной x, содержащее логарифм, называется логарифмическим
уравнение.

 

Отзыв
определение логарифма. Это определение будет важно для
понять, чтобы иметь возможность решать логарифмические уравнения.

 
Примеры

ПРИМЕРЫ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

       
 

 

Пример 1

 

 

Пример 2

 

 

Журнал 2
х = -5

5
+ пер 2х = 4

 

 

Пример 3

 

 

Пример 4

 

 

лн
х + пер (х — 2) = 1

журнал 6
х + журнал 6 (х + 1) = 1

Решение

ШАГОВ ДО
РЕШИТЬ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Ваш
цель состоит в том, чтобы иметь возможность использовать определение
логарифма.
Чтобы использовать это, изолируйте логарифмическое выражение с одной стороны
уравнение. Все константы должны быть объединены в другую сторону. Использовать свойства
логарифмов,
при необходимости объединять логарифмы в один логарифмический член. Подать заявление
определение — переход к экспоненциальной форме. Упростите результат. Это
Это!

Образец
Проблемы

Образец
Проблема 1

 

Журнал 2
х = -5

2 -5
= х

Ответ:
   = х
32        

Это уравнение содержит одну
логарифмическое выражение с одной стороны и константа с другой стороны.
Просто примените определение логарифма. (т.е. перейти к экспоненциальному
форма.)

Образец
Проблемы

Образец
Задача 2

 

5
+ пер 2х = 4

-5
-5

пер.
2х = -1

и -1
= 2х

х =
е -1 /2

Ответ:
Икс
0,1839

  1. Изолировать термин журнала.
  1. Применить определение
    логарифм.
    (перейти к экспоненциальной форме)
    Напомним, «ln» — это логарифм, основанием которого является число
    е.

 

 

 

 

 

  1. Ответ может быть
    приблизительно с помощью научного калькулятора.

Образец
Проблемы

Образец
Задача 3

 

лн
х + пер (х — 2) = 0
пер
х(х — 2) = 0

е 0
= х(х — 2)

1
= х 2 — 2х
х 2 — 2х — 1 =0

 
ОТКЛОНЯТЬ
ПРИЕМЛЕМЫЙ

Ответ: 2,41

  1. Объедините два логарифма в один логарифм. Напомним:

 

  1. Переход к экспоненциальной форме с использованием определения логарифма.
  2. Решите полученное уравнение. Здесь мы имеем квадратное уравнение.
    Поскольку оно неразложимо, будем решать по квадратичной формуле.

 

  1. Так как мы не можем логарифмировать ноль или отрицательные числа.
    Отклоняйте любые ответы, которые приведут к одному из них в
    оригинал.

Образец
Проблемы

Образец
Задача 4

 

журнал 6
х + журнал 6 (х + 1) = 1

журнал 6
х(х + 1) = 1

6 1
= х(х + 1)

х 2
+ х = 6

х 2
+ х — 6 = 0


+ 3)(х — 2) = 0

х
= -3   ИЛИ   x = 2
    ОТКЛОНИТЬ
ПРИЕМЛЕМЫЙ

Ответ: Х = 2

  1. Объедините два логарифма в один логарифм. Отзыв:
  2. Перейти к экспоненциальной форме, используя определение логарифма.
  3. Решите полученное уравнение. Здесь мы имеем квадратное уравнение.
    Поскольку оно факторизуемо, будем решать с помощью факторинга.
  4. Так как мы не можем логарифмировать ноль или отрицательные числа.
    Отклоняйте любые ответы, которые приведут к одному из них в
    оригинал.
 

Решение логарифмических уравнений — ChiliMath

Обычно существует два типа логарифмических уравнений. Внимательно изучите каждый случай, прежде чем приступить к просмотру приведенных ниже рабочих примеров.

  • Первый тип выглядит так.

Если у вас есть один логарифм с каждой стороны уравнения с одинаковым основанием, вы можете установить аргументы равными друг другу, а затем решить. Аргументами здесь являются алгебраические выражения, представленные \color{blue}M и \color{red}N.

  • Второй тип выглядит так.

Если у вас есть один логарифм на одной стороне уравнения, вы можете выразить его как показательное уравнение и решить его.

Давайте научимся решать логарифмические уравнения, рассмотрев несколько примеров.


Примеры решения логарифмических уравнений

Пример 1: Решите логарифмическое уравнение.

Поскольку мы хотим преобразовать левую часть в одно логарифмическое уравнение, мы должны использовать правило произведения в обратном порядке, чтобы сжать его. Вот правило, если вы забыли.

  • Дано
  • Применить правило продукта из правил журнала.
  • Распределить: \left( {x + 2} \right)\left( 3 \right) = 3x + 6
  • Отбросьте логи, установите аргументы (в скобках) равными друг другу.
  • Затем решите линейное уравнение. Я знаю, что ты справился с этой частью!

Просто большое предостережение. ВСЕГДА сверяйте решенные значения с исходным логарифмическим уравнением.

Помните:

  • Это ОКЕЙ для x, чтобы быть 0 или отрицательным.
  • Однако НЕ ДОПУСКАЕТСЯ иметь логарифм отрицательного числа или логарифм нуля, 0, при подстановке или вычислении в исходное логарифмическое уравнение.

ВНИМАНИЕ: Логарифм отрицательного числа и логарифм нуля оба не определены .

{\log _b}\left( {\rm{отрицательное\,\,число}}} \right) = {\rm{undefined}}

{\log _b}\left(0 \right) = {\rm{undefined}}

Давайте проверим наш ответ, чтобы убедиться, что x=7 является допустимым решением. Подставьте его обратно в исходное логарифмическое уравнение и проверьте, дает ли оно верное утверждение.

Да! Поскольку x = 7 проверок, у нас есть решение при \color{blue}x = 7.


  Пример 2: Решите логарифмическое уравнение.

Начните с объединения выражений журнала слева в единый логарифм, используя правило произведения. Мы хотим иметь одно логарифмическое выражение на каждой стороне уравнения. Однако будьте готовы решить квадратное уравнение, так как x будет иметь степень 2.

  • Дано
  • Применить правило произведения из правил журнала 92} — 2x
  • Отбросьте логи, установите аргументы (в скобках) равными друг другу
  • Решите квадратное уравнение, используя метод факторинга. Но вам нужно переместить все на одну сторону, заставив противоположную сторону равняться 0.
  • Установите каждый коэффициент равным нулю, затем найдите x.

x — 5 = 0 означает, что x = 5

x + 2 = 0 означает, что x = — 2

Таким образом, возможные решения: x = 5 и x = — 2. Не забывайте всегда подставлять возможные решения обратно к исходному логарифмическому уравнению.

Давайте проверим наши возможные ответы x = 5 и x = — 2, если они будут правильными решениями.

После проверки наших значений x мы обнаружили, что x = 5 определенно является решением. Однако x =-2 генерирует отрицательные числа внутри круглых скобок (логарифм нуля и отрицательных чисел не определен), что заставляет нас исключить x =-2 как часть нашего решения.

Таким образом, окончательное решение равно \color{blue}x=5. Мы пренебрегаем x=-2, потому что это лишнее решение.


Пример 3: Решите логарифмическое уравнение.

Это интересная проблема. Здесь мы имеем разность логарифмических выражений в обеих частях уравнения. Упростите или сократите журналы с обеих сторон, используя правило частного.

  • Дано
  • Разница в журналах говорит нам использовать правило частного. Преобразуйте операцию вычитания снаружи в операцию деления внутри круглых скобок. Проделайте это с обеими частями уравнений.
  • Я думаю, что мы готовы установить каждый аргумент равным друг другу, поскольку мы можем уменьшить проблему, чтобы иметь одно логарифмическое выражение на каждой стороне уравнения.
  • Отбросьте журналы и установите аргументы (содержание в скобках) равными друг другу. Обратите внимание, что это рациональное уравнение. Один из способов решить эту проблему — получить перекрестный продукт .
  • Это выглядит так после получения перекрестного произведения.
  • Упростите обе стороны с помощью Распределительного свойства. В этот момент мы понимаем, что это просто квадратное уравнение. Тогда ничего страшного. Переместите все в одну сторону, что заставит одну часть уравнения быть равной нулю.
  • Это легко вычислить. Теперь установите каждый фактор равным нулю и найдите x.
  • Итак, это наши возможные ответы.

Я оставлю вам проверить наши потенциальные ответы обратно в исходное уравнение журнала. Вы должны убедиться, что \color{blue}x=8 — единственное решение, а x =-3 — нет, поскольку оно создает сценарий, в котором мы пытаемся получить логарифм отрицательного числа. Нехорошо!


Пример 4: Решите логарифмическое уравнение.

Если вы видите «журнал» без явного или письменного основания, предполагается, что оно имеет основание 10. Фактически, логарифм с основанием 10 известен как десятичный логарифм .

Нам нужно сжать обе части уравнения в одно логарифмическое выражение. С левой стороны мы видим разницу в журналах, что означает, что мы применяем правило отношения, в то время как справа требуется правило продукта, потому что они представляют собой сумму журналов.

Есть только одна вещь, на которую вы должны обратить внимание с левой стороны. Вы видите этот коэффициент \Large{1 \over 2}\,?

Что ж, мы должны представить его в виде показателя степени, используя правило степени в обратном порядке.

  • Дано
  • Поднимите этот коэффициент \large{1 \over 2} как показатель степени (обратитесь к крайнему левому члену)
  • Упростите показатель степени (по-прежнему ссылаясь на крайний левый член)
  • 7 Тогда , уплотните журналы по обе стороны уравнения. Используйте Частное правило слева и Правило произведения справа.
    • Здесь я использовал разные цвета, чтобы показать, что, поскольку у нас одна и та же база (если не указано явно, предполагается, что она равна 10), можно установить их равными друг другу.
    • Отбросив логи и просто приравняв аргументы внутри скобок.
    • На этом этапе вы можете решить рациональное уравнение, выполнив перекрестное произведение. Переместите все члены в одну часть уравнения, а затем вынесите их за скобки.
    • Приравняйте каждый множитель к нулю и найдите x.

    Пришло время проверить ваши возможные ответы. Когда вы снова проверите x=0 в исходном логарифмическом уравнении, вы получите выражение, которое включает в себя получение логарифма нуля, который не определен, а это означает – нехорошо! Итак, мы должны проигнорировать или отбросить \color{red}x=0 в качестве решения.

    Проверка \Large{x = {3 \over 4}} подтверждает, что \Large{\color{blue}{x = {3 \over 4}}} является единственным решением .


    Пример 5: Решите логарифмическое уравнение.

    Эта проблема связана с использованием символа \ln вместо \log для обозначения логарифма.

    Думайте о \ln как о особом виде логарифма, использующем основание e, где e \ приблизительно 2,71828.

    • Дано
    • Использовать правило произведения справа
    • Сначала запишите переменную, а затем константу, чтобы подготовить метод FOIL.
    • Упростите два двучлена, перемножив их вместе.
    • В этот момент я просто закодировал выражение в скобках цветом, чтобы показать, что мы готовы установить их равными друг другу.
    • Ага! Здесь мы говорим, что содержимое левой скобки равно содержанию правой скобки.
    • Решите квадратное уравнение, используя метод квадратного корня. Вы делаете это, изолируя переменную в квадрате с одной стороны и константу с другой. Затем мы применяем квадратный корень с обеих сторон.

    Не забудьте символ \pm .

    • Упрощая далее, мы должны получить эти возможные ответы.

    Проверьте, являются ли потенциальные ответы, найденные выше, возможными ответами, подставив их обратно в исходные логарифмические уравнения.

    Вы должны быть уверены, что ЕДИНСТВЕННОЕ верное решение — это \large{\color{blue}x = {1 \over 2}}, что делает \large{\color{red}x = -{1 \over 2}} посторонний ответ.


    Пример 6: Решите логарифмическое уравнение.

    В этом уравнении есть только одно логарифмическое выражение. Мы рассматриваем это как второй случай, когда у нас есть

    . Мы преобразуем уравнение из логарифмической формы в экспоненциальную форму, а затем решим его.

    • Дано
    • Я выделил цветом части логарифмического уравнения, чтобы показать, куда они идут при преобразовании в экспоненциальную форму.
    • Синее выражение остается на своем текущем месте, но красное число становится показателем степени основания логарифма, равного 3. 94} = 81.
    • Закончите, решив возникающее двухшаговое линейное уравнение.

    Вы должны убедиться, что значение \color{blue}x=12 действительно является решением логарифмического уравнения.


    Пример 7: Решите логарифмическое уравнение.

    Соберите все логарифмические выражения в одной части уравнения (оставьте ее слева) и переместите константу в правую часть. Используйте правило отношения, чтобы выразить разницу журналов в виде дробей в круглых скобках логарифма.

    • Дано
    • Переместите все логарифмические выражения влево от уравнения, а константу вправо.
    • Используйте правило отношения, чтобы сжать выражения журнала в левой части.
    • Приготовьтесь записать логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме.
    • Синее выражение остается на своем текущем месте, но красная константа оказывается показателем степени основания журнала.
    • {\цвет{красный}1}=5.

    • Это рациональное уравнение из-за присутствия переменных в числителе и знаменателе.

    Я бы решил это уравнение, используя правило перекрестного произведения. Но я должен сначала выразить правую часть уравнения с явным знаменателем 1. То есть 5 = ​​{\large{{5 \over 1}}}

    • Выполнить перекрестное умножение, а затем решить полученное линейное уравнение.

    Когда вы сверяете x=1 с исходным уравнением, вы должны согласиться с тем, что \large{\color{blue}x=1} является решением логарифмического уравнения.


    Пример 8: Решите логарифмическое уравнение.

    Эта задача очень похожа на №7. Соберем все логарифмические выражения слева, сохранив константу справа. Поскольку у нас есть разница в журналах, мы будем использовать правило частного.

    • Дано
    • Переместите выражения журнала в левую часть, а константу оставьте в правой.
    • Примените правило частного, поскольку они являются разницей журналов.
    • Здесь я использовал разные цвета, чтобы показать, куда они идут после перезаписи в экспоненциальной форме.
    • Обратите внимание, что выражение внутри круглых скобок остается на своем текущем местоположении, а \color{red}5 становится показателем степени основания.
    • Чтобы решить это рациональное уравнение, примените правило перекрестного произведения.
    • Упростим правую часть по распределительному свойству. Похоже, мы имеем дело с квадратным уравнением.
    • Переместите все в левую сторону и сделайте правую сторону просто нулевой.

    Вынесите трехчлен на множители. Установите каждый фактор равным нулю, затем найдите x.

    • Когда вы решаете для x, вы должны получить эти значения x как возможные решения.

    Убедитесь, что вы проверили возможные ответы из исходного логарифмического уравнения.

    Согласитесь, \color{blue}x=-32 — единственное решение. Это делает \color{red}x=4 посторонним решением, так что не обращайте на него внимания.


    Пример 9: Решите логарифмическое уравнение

    Надеюсь, теперь вы уловили основное представление о том, как решать задачи такого типа. Здесь мы видим три логарифмических выражения и константу. Давайте разделим логарифмические выражения и константу на противоположных сторонах уравнения.

    • Давайте сохраним выражения журнала слева, а константу справа.
    • Начните с сокращения выражений журнала с помощью правила продукта для обработки суммы журналов.
    • Затем еще больше уменьшите выражения журнала, используя правило отношения, чтобы справиться с разницей журналов.
    • На этом этапе я использовал разные цвета, чтобы показать, что я готов выразить логарифмическое уравнение в его экспоненциальной форме.
    • Сохраните выражение внутри символа группировки ( синий ) в том же месте, сделав константу \color{red}1 справа в качестве показателя степени основания 7.
    • Решите это рациональное уравнение с помощью перекрестного произведения. Выразите 7 как \large{7 \over 1}.
    • Крест умножить.
    • Переместите все члены в левую часть уравнения. Вынеси трехчлен. Затем установите каждый фактор равным нулю и найдите x.
    • Это ваши возможные ответы. Всегда проверяйте свои значения.

    Очевидно, что когда мы снова подставляем x=-8 в исходное уравнение, получается логарифм с отрицательным числом. Поэтому вы исключаете \color{red}x=-8 как часть своего решения.

    Таким образом, единственным решением является \color{blue}x=11.


    Пример 10: Решите логарифмическое уравнение.

    • Оставьте выражение журнала слева, а все константы переместите справа.
    • Упрощение.
    • Думаю, мы готовы преобразовать это логарифмическое уравнение в показательное уравнение.
    • Выражение в круглых скобках остается на своем текущем местоположении, а константа 3 становится показателем степени логарифмической базы 3.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *