Линейные уравнение с двумя переменными: Уравнение с двумя переменными — 7 класс. Дистанционное обучение

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

      Определение 1. Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение, имеющее вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 2. Решением уравнения (1) называют пару чисел   (y) ,   для которых формула (1) является верным равенством.

      Пример 1. Найти решение уравнения

      Решение. Выразим из равенства (2) переменную   y   через переменную   x :

(3)

      Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида

где   x   – любое число.

      Замечание. Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел   (y)   является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число   x   можно взять любым, а число   y   после этого вычислить по формуле (3).

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

      Определение 3. Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными   x   и   y   называют систему уравнений, имеющую вид

(4)

где   a1 ,  b1 ,  c1 ,  a2 ,  b2 ,  c2   – заданные числа.

      Определение 4. В системе уравнений (4) числа   a1 ,  b1 a2 ,  b2   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   c1 ,  c2  – свободными членами.

      Определение 5. Решением системы уравнений (4) называют пару чисел   (y) ,   являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).

      Определение 6. Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными), если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.

      Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «»

      Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных, который мы проиллюстрируем на примерах.

      Пример 2 . Решить систему уравнений

(5)

      Решение. Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное   х.

      С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном   x   в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.

      Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при   x   во втором уравнении (число   7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при   x   в первом уравнении (число   2 ), то система (5) примет вид

 

(6)

      Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему

      Из второго уравнения находим   y = 3 ,   и, подставив это значение в первое уравнение, получаем

      Ответ.   (–2 ; 3) .

      Пример 3. Найти все значения параметра   p ,   при которых система уравнений

(7)

      а) имеет единственное решение;

      б) имеет бесконечно много решений;

      в) не имеет решений.

      Решение. Выражая   x   через   y   из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо   x   в первое уравнение системы (7), получим

      Следовательно, система (7) равносильна системе

(8)

      Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра   p .   Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):

y (2 – p) (2 + p) = 2 + p (9)

      Если   ,   то уравнение (9) имеет единственное решение

      Следовательно, система (8) равносильна системе

      Таким образом, в случае, когда   ,   система (7) имеет единственное решение

      Если   p = – 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

,

и его решением является любое число . Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел

,

где   y   – любое число.

      Если   p = 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

      Определение 7. Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными   x ,   y     и   z   называют систему уравнений, имеющую вид

(10)

где   a1 ,  b1 ,  c1 ,  d1 ,  a2 ,  b2 ,  c2 ,  d2 ,  a3 ,  b3 ,  c3 ,  d3   – заданные числа.

      Определение 8. В системе уравнений (10) числа   a1 ,  b1 ,  c1 ,  a2 ,  b2 ,  c2 ,  a3 ,  b3 ,  c3   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   d1 ,  d2 ,  d3   – свободными членами.

      Определение 9. Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел   (y ; z) ,   при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.

      Пример 4 . Решить систему уравнений

(11)

      Решение. Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных.

      Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное   y ,  совершив над системой (11) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
  • из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему

(12)

      Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное   x ,  совершив над системой (12) следующие преобразования:

  • первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
  • из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему

(13)

      Из системы (13) последовательно находим

z = – 2 ;   x = 1 ;   y = 2 .

      Ответ.   (1 ; 2 ; –2) .

      Пример 5. Решить систему уравнений

(14)

      Решение. Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:

      Если числа   (y ; z)   являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа   (y ; z)   должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):

      Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел   (3 ; 0 ; –1)   в исходную систему (14), убеждаемся, что числа   (3 ; 0 ; –1)   действительно являются ее решением.

      Ответ:   (3 ; 0 ; –1) .

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Линейное уравнение с двумя переменными

Линейное уравнение с двумя переменными – любое уравнение, которое имеет следующий вид: ax + by = c. Здесь x и y есть две переменные, a, b, c – некоторые числа.

Решением линейного уравнения ax + by = c называется любая пара чисел (x; y), которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если каждую пару чисел, которые являются решением линейного уравнения с двумя переменными, изобразить на координатной плоскости в виде точек, то все эти точки образуют график линейного уравнения с двумя переменными. Координатами точек будут служить наши значения x и у. При этом значение х будет являться абсциссой, а значение у – ординатой.

График линейного уравнения с двумя переменными

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого линейного уравнения. Несложно догадаться, что график будет представлять собой прямую линию. Поэтому такие уравнения и называются линейными.

Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным:

1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный масштаб.

2. В линейном уравнении взять х = 0 и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0 и решить полученное уравнение относительно х. Отметить полученную точку на графике.

4. При необходимости взять произвольное значение х и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

5. Соединить полученные точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.

Пример: x + y – 3 = 0, где a = 1; b = 1; c = –3.

Чтобы найти ре­ше­ния дан­но­го урав­не­ния, нужно по­до­брать со­от­вет­ству­ю­щие пары чисел х и у:

Пусть x = 0, тогда ис­ход­ное урав­не­ние пре­вра­ща­ет­ся в урав­не­ние с одной неиз­вест­ной: 0 + y – 3 = 0 ⇒ y = 3.

То есть пер­вая пара чисел, яв­ля­ю­ща­я­ся ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния (0; 3). По­лу­чи­ли точку А(0; 3).

Пусть y = 0, по­лу­чим ис­ход­ное урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной: x + 0 – 3 = 0 ⇒ x = 3, по­лу­чи­ли точку В(3; 0).

По­стро­им на гра­фи­ке точки и про­ве­дем пря­мую:

 

 

От­ме­тим, что любая точка на дан­ной пря­мой будет ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния. Про­ве­рим – возь­мем точку с ко­ор­ди­на­той x = 2 и по гра­фи­ку най­дем ее вто­рую ко­ор­ди­на­ту. Оче­вид­но, что в этой точке y = 1. Под­ста­вим дан­ную пару чисел в урав­не­ние. По­лу­чим 0 = 0 – вер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство, зна­чит точка, ле­жа­щая на пря­мой, яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем.

Основные свойства линейных уравнений с двумя неизвестными:

1. Любое из слагаемых в уравнении можно перенести из одной части в другую, при этом необходимо изменить его знак на противоположный. Полученное уравнение будет равносильно исходному.

2. Обе части уравнения можно разделить на любое число, которое не равно нулю. В результате получим уравнение, равносильное исходному.

График линейного уравнения с двумя переменными

Вопросы
занятия:

· 
ввести понятие «график линейного уравнения с двумя переменными»;

· 
рассмотреть поведение графика в зависимости от значений коэффициентов перед
переменными.

Материал
урока

На
прошлом уроке мы с вами познакомились с линейным уравнением с двумя переменным.
Давайте, вспомним определение.

И
сегодня на уроке мы будем вести речь о графике такого уравнения.

Сформулируем
определение:

Графиком
уравнения
с двумя переменными называется множество всех точек
координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Рассмотрим
уравнение:

Обратите
внимание, что полученная формула имеет вид линейной функции, графиком которой
является прямая.

Так
как прямая определяется двумя точками, то для построения графика нам достаточно
указать две точки. Так:

Таким
образом, получили две точки с координатами:

Теперь
на координатной плоскости отметим эти точки и проведём через них линию.

Эта
прямая является графиком исходного уравнения.

Все
точки, принадлежащие графику, – это пары чисел, которые являются решениями
нашего уравнения.

Теперь
рассмотрим уравнение, в котором коэффициент при одной из переменных равен нулю.

Например,

А
это постоянная функция. С предыдущих уроков нам известно, что  график такой
функции – это прямая, которая проходит через точку с координатами (0; 2)
и параллельна оси Ox.

Все
точки, принадлежащие этой прямой, – это пары чисел, которые являются решениями
данного уравнения. И таких решений бесконечно много.

Сформулируем
определение.

Определение.
 

Графиком
линейного уравнения с двумя переменными
, в котором хотя бы один
из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

А
теперь давайте рассмотрим случай, когда в линейном уравнении оба коэффициента
при переменных равны нулю.

Давайте,
рассмотрим примеры построения графиков линейных уравнений.

Пример.

Пример.

Пример.

Итоги
урока.

Итак,
сегодня на уроке мы выяснили, что же представляет собой график линейного
уравнения с двумя переменными и научились строить такие графики.

Линейные уравнения с двумя переменными тест с ответами


Сложность: знаток.Последний раз тест пройден 11 часов назад.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

  1. Вопрос 1 из 10

    Выберите линейное уравнение с двумя переменными:

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 73% ответили правильно
    • 73% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Следующий вопросПодсказка 50/50Ответить

  2. Вопрос 2 из 10

    Найдите решение уравнения: 2х + 3у = 2

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 73% ответили правильно
    • 73% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить

  3. Вопрос 3 из 10

    Выразите переменную х через переменную у из уравнения: 5у — 2х = -15

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 69% ответили правильно
    • 69% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить

  4. Вопрос 4 из 10

    Абсцисса точки, принадлежащей графику уравнения 2х — 3у = -7, равна 4. Найдите ординату этой точки.

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 69% ответили правильно
    • 69% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить

  5. Вопрос 5 из 10

    Пара чисел (-4; -1) является решением уравнения ах + 3у — 5 = 0, если а равно:

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 67% ответили правильно
    • 67% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить

  6. Вопрос 6 из 10

    Подберите к данному уравнению 2х + 3у = -11 такое уравнение, чтобы решением получившейся системы была пара (2; -5)

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 61% ответили правильно
    • 61% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить

  7. Вопрос 7 из 10

    Найдите решение уравнения: 4х — 3у = 5

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 64% ответили правильно
    • 64% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить

  8. Вопрос 8 из 10

    Выразите переменную х через переменную у из уравнения -6у +3х = 24

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 64% ответили правильно
    • 64% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить

  9. Вопрос 9 из 10

    Ордината точки, принадлежащей графику уравнения 6х + 2у = 2, равна 4. Найдите абсциссу этой точки.

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 67% ответили правильно
    • 67% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить

  10. Вопрос 10 из 10

    Пара чисел (-4; -1) является решением уравнения 4х + ау + 5 = 0, если а равно:

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы ответили лучше 53% участников
    • 47% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

    

  • Елена Тимофеева

    9/10

  • Валентина Бизюкина

    10/10

  • Павел Селивёрстов

    10/10

  • Niyaz Gavrilov

    9/10

  • Сикорская Анна

    10/10

  • Максим Акманов

    8/10

  • Аня Алексеева

    9/10

  • Екатерина Лебедева

    3/10

  • Валерий Цыганков

    9/10

  • Константин Никитич

    10/10

ТОП-3 тестакоторые проходят вместе с этим

Тест «Линейные уравнения с двумя переменными» соответствует министерской программе. Он предназначен для семиклассников, которые хотят проверить и закрепить материал. Вопросы охватывают все правила раздела, требует умения применять их на практике (решать уравнения, изображать графики).

Данная подборка заданий – отличный помощник в процессе домашней подготовки к уроку. Правильные ответы к заданиям уже даны, поэтому не придется тратить время на их поиск, тем не менее, желательно дополнить их информацией из учебника. Представленные вопросы разного уровня сложности, что позволяет объективно оценить свои знания. Тесты можно просматривать в электронном виде с любого устройства. Подборка подойдет и для учеников 8-9 классов, которые хотят «освежить» в памяти материал по теме.

Тест по линейным уравнениям с ответами – один из самых эффективных методов самооценивания и самоподготовки.

Рейтинг теста

Средняя оценка: 3.8. Всего получено оценок: 1167.

А какую оценку получите вы? Чтобы узнать — пройдите тест.

Конспект урока по Алгебре «Линейные уравнения с двумя переменными» 7 класс

Урок алгебры в 7-м классе «Линейные уравнения с двумя переменными»

Генералова Ольга Владимировна, учитель математики

Цели:

Образовательные: знакомство с определением линейного уравнения с двумя переменными; с определением решения уравнения с двумя переменными; со способом решения уравнений с двумя переменными; развитие навыка применения аналогии при решении задач;

закрепить знания учащихся о формулах сокращенного умножения.

Развивающие: способствовать развитию математического кругозора, мышления и речи, памяти учащихся.

Воспитательные: воспитывать у учащихся культуру общения, умение оценивать друг друга и давать себе самооценку.

Ход урока:

  1. Самостоятельная работа.

  1. Разложите на множители.

1+а-а2 –а3 8-b3+4b-2b2

  1. Найдите значение выражения

2с(с-4)22(2с-10) при с=0,2

(а-4b)(4b+а) при а=1,2, b= -0,6

  1. Изучение нового.

Слово учителя. Пусть известно, что одно из двух чисел на 5 больше другого. Если первое число обозначить буквой x, а второе – буквой y, то соотношение между ними можно записать в виде равенства x-y=5, содержащего две переменные. Такие равенства называются уравнениями с двумя переменными (неизвестными).

Уравнениями с двумя переменными являются равенства:

5x+2y=10 -7x+x=5 x2+y2=20 xy=12

Из этих уравнений первые два имеют вид ax+by=c, где a,b и c – числа. Такие уравнения называются линейными уравнениями с двумя переменными.

— Сформулируйте определение линейного уравнения с двумя переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

ax+by=c, где a,b и c – некоторые числа, а x и y –переменные.

Уравнение x-y=5 при x=8, y=3 обращается в верное равенство 8-3=5. Говорят, что пара значений переменных x=8, y=3 является решением этого уравнения.

-Сформулируйте определение решения уравнения с двумя переменными.

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Пары значений переменных иногда записывают короче: (8;5). В такой записи на первом месте пишут значение x а на втором-y.

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения (или не имеющие решений), называются равносильными.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

  1. Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

  2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число(не равное нулю), то получится уравнение равносильное данному.

Пример 1. Рассмотрим уравнение 10x+5y=15. Используя свойства уравнений, выразим одну переменную через другую. Для этого сначала перенесем 10x из левой части в правую, изменив его знак. Получаем равносильное уравнение 5y=15-10x. Разделим каждую часть этого уравнения на число 5, получим равносильное уравнение y=3-2x. Таким образом, мы выразили одну переменную через другую. Пользуясь этим равенством, для каждого значения x можно вычислить значение y. Если x=2, то y=3-2*2 y=-1.

Если x=-2, то y=3-2*(-2) y=7. Пары чисел (2;-1), (-2;7) – решения данного уравнения. Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много решений.

-Используя свойства уравнений, в данном уравнении выразите x через y.

Иногда при решении задачи требуется найти все пары целых чисел или все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению с двумя переменными. В таких случаях говорят, что «надо решить уравнение в целых числах» или «решить уравнение в натуральных числах.

Из истории. Проблема решения уравнений в натуральных числах подробно рассматривалась в работах известного греческого математика Диофанта (III в.). В его трактате «Арифметика» приводятся остроумные решения в натуральных числах самых разнообразных уравнений. В связи с этим уравнения с несколькими переменными, для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называют диофантовыми уравнениями.

Пример 2. Мука расфасована в пакеты по 3 кг и по 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получилось 20 кг муки?

Допустим, что надо взять x пакетов по 3 кг и y пакетов по 2 кг. Тогда 3x+2y=20. Требуется найти все пары натуральных значений переменных x и y, удовлетворяющих этому уравнению. Получаем:

2y=20-3x

у=10-3/2x

Подставляя в это равенство вместо x последовательно все числа 1,2,3 и т.д., найдем при каких значениях х, значения y являются натуральными числами. Получаем: (2;7), (4;4), (6;1). Других пар, удовлетворяющих данному уравнению нет. Значит надо взять либо 2и7, либо 4и 4, либо 6 и 1 пакетов соответственно.

  1. Задания на уроке.

№1025 (у), 1026, 1027 (а), 1029, 1031, 1037.

Задание на дом.

Стр.187-189. №1028 №1043

Линейные уравнения (ЕГЭ 2022) | ЮКлэва

Умножение – деление

Начнем сразу же с примера

\( \displaystyle 4x=16\)

Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере? Неизвестное все в одной части, известные – в другой, но что-то нам мешает… И это что-то – четверка, так как если бы ее не было, все было бы идеально – икс равен числу – именно так, как нам и нужно!

Как можно от неё избавиться? Перенести вправо мы не можем, так как тогда нам нужно переносить весь множитель (мы же не можем ее взять и оторвать от \( \displaystyle x\)), а переносить весь множитель тоже не имеет смысла…

Пришло время вспомнить про деление, в связи с чем разделим все как раз на \( \displaystyle 4\)! Все – это означает и левую, и правую часть.{2}}-12x+6x+36+9=0\\-6x=-45\end{array}\)

Как ты видишь, иксы в квадрате исчезли, и здесь совершенно обычное линейное уравнение. Осталось только найти \( \displaystyle x\)!

\( \displaystyle x=\frac{-45}{-6}=7,5\)

И напоследок скажу еще одну очень важную вещь про тождественные преобразования.

Линейное уравнение с двумя переменными

1. Линейное уравнение с двумя переменными

7 класс
Новосёлова Е.А.
МОУ «Усть-Мосихинская СОШ»

2. Определение:

Линейным уравнением с двумя переменными
ax+by=c , где x
a, b, c –некоторые числа.
называется уравнение вида
и y – переменные,
Например: 5х +3у= 12; -6х+у=3
Определи какие уравнения с двумя переменными
являются линейными:

3. Определение:

Решением уравнения с двумя переменными
называется пара значений переменных,
обращающая это уравнение в верное
равенство.
10x+y=12
пара чисел (3; -20), (-2; 12), (0,1; 11),
(1; 2), (2, 1)?
Является ли решением уравнения
Укажи ещё два решения уравнения.

4. Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

• если в уравнении перенести слагаемое из
одной части в другую, изменив его знак, то
получится уравнение, равносильное данному;
• если обе части уравнения умножить или
разделить на одно и то же отличное от нуля
число, то получится уравнение, равносильное
данному

5. В линейных уравнениях выразите одну переменную через другую

4х-3у=12
2х+у=4
5у-2х=1
х-6у=4
Проблема решения уравнений в натуральных
числах подробно рассматривалась в работах
известного греческого математика Диофанта
(III в). В его трактате «Арифметика»приводятся
остроумные способы решения в натуральных
числах самых разнообразных уравнений. В связи
с этим уравнения с несколькими
переменными, для которых
требуется найти решение в
натуральных или целых числах
называют
диофантовыми уравнениями.

7. № 1038

Пусть
х тетрадей и у карандашей. Тогда 5х+7у=44
Найдём все пары натуральных значений
переменных х и
у, удовлетворяющие этому
уравнению. Выразим х через у .
Подставим вместо у последовательно
числа 1,2,3 и т.д., найдём , при каких натуральных
значениях у соответствующие значения х являются
натуральными числами:
если у=2, то
х=6.
Ответ: 6 тетрадей.

8. Домашнее задание:

П.41; №1034, №1040
По желанию №1041

Линейных уравнений в алгебре Рона Куртуса

SfC Home> Арифметика> Алгебра>

Рона Куртуса

A Линейное уравнение — это уравнение, в котором каждая переменная имеет первый порядок и не производится умножение переменных. ( x — переменная первого порядка, а x 2 — переменная второго порядка.)

График линейных уравнений в виде прямых линий. Общие линейные уравнения в алгебре — это уравнения с одной, двумя или тремя переменными.

Вы можете изобразить уравнения, составив сначала таблицу, в которую подставляете значения, а затем построить график. Линейное уравнение с одной переменной имеет одно решение, но линейные уравнения с двумя и более переменными имеют бесконечное число возможных решений.

Вопросы, которые могут у вас возникнуть:

  • Что такое линейные уравнения с одной переменной?
  • Что такое линейные уравнения с двумя переменными?
  • Что такое линейные уравнения с тремя или более переменными?

Этот урок ответит на эти вопросы.



Уравнение с одной переменной

Стандартная или идеальная форма линейного уравнения с одной переменной: ax + b = 0 , где a и b — константы, x — переменная, а a не равно 0. .

Вы можете решить уравнение для x , чтобы получить x = — b / a .

( См. Раздел Решение линейного уравнения с одной переменной для получения дополнительной информации.)

Поскольку x = — b / a — линейное уравнение, оно будет отображаться в виде прямой линии. Например, рассмотрим уравнение 2x — 6 = 0 . Его график x-y показан ниже:

График линейного уравнения с одной переменной

С двумя переменными

Стандартная форма линейного уравнения с двумя переменными: y = ax + b , при условии, что a не равно 0 . Поскольку это линейное уравнение, оно также отображается в виде прямой линии.

Рассмотрим уравнение y = 2x + 1 . Вы можете построить график этого уравнения, сначала составив таблицу и вставив значения для x и y . Это также показывает, что существует множество решений уравнения (на самом деле и бесконечное количество решений).

Например, когда x = 1 , y = 2 * 1 + 1 = 3 . Таблица значений y = 2x + 1 выглядит следующим образом:

х y = 2x + 1

0

1

1

3

2

5

3

7

Таблица y = 2x + 1 значений

Тогда график уравнения выглядит следующим образом:

График линейного уравнения с двумя переменными

С тремя или более переменными

Линейное уравнение с тремя переменными будет иметь вид z = ax + by + c , при условии, что a и b не равны 0 .Это уравнение также было бы прямой линией на графике и имело бы бесконечное количество решений. График будет иметь три оси и, следовательно, будет трехмерным графиком, который трудно нарисовать.

w = ax + by + cz + d будет формой линейного уравнения с четырьмя переменными при условии, что a , b и c не равны 0 . Хотя теоретически график был бы прямой линией, его нужно было бы нарисовать в 4-м измерении, и, таким образом, это было бы невозможно для людей.

Математической логике можно следовать для линейных уравнений с еще большим числом переменных.

Сводка

Линейное уравнение — это уравнение, которое отображается в виде прямой линии. Обычные линейные уравнения — это уравнения с одной, двумя или тремя переменными. Каждая переменная относится к первому порядку, и нет никакого умножения переменных. Вы можете изобразить уравнения. Линейное уравнение с одной переменной имеет одно решение, а уравнение с двумя и более переменными имеет бесконечное число возможных решений.


Стремитесь быть как можно лучше


Ресурсы и ссылки

Полномочия Рона Куртуса

Сайты

Ресурсы по алгебре

Книги

(Примечание: Школа чемпионов может получать комиссионные от покупки книг)

Лучшие книги по алгебре


Вопросы и комментарии

Есть ли у вас какие-либо вопросы, комментарии или мнения по этой теме? Если да, отправьте свой отзыв по электронной почте.Я постараюсь вернуться к вам как можно скорее.


Поделиться страницей

Нажмите кнопку, чтобы добавить эту страницу в закладки или поделиться ею через Twitter, Facebook, электронную почту или другие службы:


Студенты и исследователи

Веб-адрес этой страницы:
www.school-for-champions.com/algebra/
linear_equations.htm

Пожалуйста, включите его в качестве ссылки на свой веб-сайт или в качестве ссылки в своем отчете, документе или тезисе.

Авторские права © Ограничения


Где ты сейчас?

Школа чемпионов

Темы по алгебре

Линейные уравнения в алгебре

Преподавание линейных уравнений в математике

Для многих учеников 8-х классов и выше числа и формы, которые они узнали, действительно начинают сходиться воедино, когда они составляют и решают линейные уравнения.Эта тема объединяет идеи об алгебре, геометрии и функциях, и многим детям — и взрослым может быть сложно осмыслить. В этой статье объясняется, что такое линейное уравнение, и рассматриваются различные примеры. Затем он предлагает учащимся идеи уроков по введению и развитию концепции линейных уравнений с одной переменной.

Что такое линейное уравнение?

Как и любое другое уравнение, линейное уравнение состоит из двух равных друг другу выражений.Есть некоторые ключевые особенности, общие для всех линейных уравнений:

  1. Линейное уравнение имеет только одну или две переменные.
  2. Никакая переменная в линейном уравнении не возводится в степень больше 1 или не используется в качестве знаменателя дроби.
  3. Когда вы находите пары значений, которые делают линейное уравнение истинным, и наносите эти пары на координатную сетку, все точки лежат на одной линии. График линейного уравнения представляет собой прямую линию.

Линейное уравнение с двумя переменными можно описать как линейное соотношение между x и y , то есть двумя переменными, в которых значение одной из них (обычно y ) зависит от значение другого (обычно x ).В этом случае x является независимой переменной, а y зависит от нее, поэтому y называется зависимой переменной.

Независимая переменная, помеченная ли она как x , обычно отображается по горизонтальной оси. Большинство линейных уравнений являются функциями. Другими словами, для каждого значения x существует только одно соответствующее значение y . Когда вы присваиваете значение независимой переменной x , вы можете вычислить значение зависимой переменной y .Затем вы можете нанести точки, названные каждой парой ( x , y ), на координатной сетке.

Описание линейных отношений

Студенты уже должны знать, что любые две точки определяют линию. Таким образом, для построения графика линейного уравнения на самом деле требуется всего лишь найти две пары значений и провести линию через точки, которые они описывают. Все остальные точки на линии предоставят значения x и y , которые удовлетворяют уравнению.

Графики линейных уравнений всегда представляют собой линии.Однако важно помнить, что не каждая точка на линии, которую описывает уравнение, обязательно будет решением проблемы, которую описывает уравнение. Например, проблема может не иметь смысла для отрицательных чисел (скажем, если независимая переменная — это время) или очень больших чисел (скажем, чисел больше 100, если зависимая переменная — это оценка в классе).

Как выглядит линейное уравнение?

Пример 1: расстояние = скорость × время

В этом уравнении для любой заданной постоянной скорости соотношение между расстоянием и временем будет линейным.Однако расстояние обычно выражается положительным числом, поэтому на большинстве графиков этой взаимосвязи будут отображаться только точки в первом квадранте. Обратите внимание, что направление линии на графике ниже — снизу слева направо. Линии, идущие в этом направлении, имеют положительный наклон . Положительный наклон указывает, что значения на обеих осях увеличиваются слева направо.

Часть 1: Линейное уравнение двух переменных и матриц | Авниш | Линейная алгебра

Мы начнем с рассмотрения простого линейного уравнения и его представления на графике.

x = 0 — простое линейное уравнение одной переменной (x), на графике оно изображено точкой.

Красная точка на 0,00 представляет точку x = 0

Принимая во внимание, что 2x + 3y = 6 является линейным уравнением двух переменных (x и y), которое может быть отображено в виде линии на графике.

Синяя линия представляет уравнение 2x + 3y = 6

На графике с двумя осями (x и y) x = 0 будет представлен в виде линии.

Красная линия — это представление x = 0 на двумерном графике.

Все линейные комбинации x и y представляют собой линию, и если мы построим все сразу, они заполнят всю декартову плоскость.

x-2y = 6 → (1)

x-y = 4 → (2)

x + y = 0 → (3)

Эти три уравнения можно назвать системой линейных уравнений. Может быть общее значение x и y, такое, что оно удовлетворяет всем трем уравнениям, и это значение x и y можно найти, построив все это на графике. Точка пересечения этих линий называется решением линейного уравнения.

Для системы линейного уравнения, которую мы предположили, существует одно решение, т.е.

(x, y) = (2, -2)

, потому что все три прямые пересекаются в точке (2, -2).

Существует множество методов решения системы линейных уравнений, один из них — метод исключения.

Как следует из названия в методе исключения, мы исключаем одну из переменных, вычитая одно уравнение из другого (или сначала умножая одно уравнение на некоторое число, а затем вычитая из другого уравнения).

Из нашего примера выше:

Шаг 1. Мы исключаем «y» из (1), добавляя (2) к (1)

(x + y) + (xy) = 0 + 4

2x = 4

x = 2 → (4)

Шаг 2: Мы берем значение «x» из (4) и подставляем его в (1)

2 + y = 0

y = -2 → (5)

Из (4) и (5) мы можем сказать, что x + y = 0 и xy = 4 имеют решение (2, -2).Но как насчет (3)? Есть ли у него такое же решение?

Шаг 3: подставьте значение (2, -2) в уравнение (3)

2- (2 × (-2)) = 6

2 — (- 4) = 6

6 = 6

Итак, (2, -2) удовлетворяет уравнению. Следовательно, это решение вышеупомянутой системы линейных уравнений.

Матрица — это расположение элементов в строках и столбцах. Элемент может быть любым (постоянным, числовым, переменным и т. Д.).

Матрица порядка 3×3

Обычно матрицы заключаются в «[]».

Порядок матрицы равен = Количество строк × Количество столбцов.

Линейное уравнение также может быть представлено в виде матриц, например, система линейных уравнений в (1), (2) и (3) может быть представлена ​​как:

Матрица коэффициентов (1), (2) и ( 3)

Это сторона коэффициентов всех уравнений, представленных в виде матрицы. Столбец 1 — это коэффициенты «x», а столбец 2 — коэффициенты «y». Каждая строка представляет собой уравнение.

Матрица констант (1), (2) и (3)

Это постоянная часть системы уравнений, представленная в виде матрицы порядка 3 × 1.Обе матрицы могут быть записаны вместе как расширенная матрица, разделенная знаком «|». или пунктирная линия.

Расширенная матрица (1), (2) и (3)

Расширенная матрица может быть полезна в будущем при применении алгоритма исключения Гаусса.

Решения с использованием исключения с двумя переменными

Линейные уравнения: решения с использованием исключения с двумя переменными

Чтобы решить системы, использующие исключение, выполните следующую процедуру.

  • Упорядочите оба уравнения в стандартной форме, поместив одинаковые переменные и константы друг над другом.

  • Выберите переменную, которую нужно исключить, и при правильном выборе умножения расположите так, чтобы коэффициенты этой переменной были противоположны друг другу.

  • Сложите уравнения, оставив одно уравнение с одной переменной.

  • Найдите оставшуюся переменную.

  • Подставьте значение, полученное на шаге 4, в любое уравнение, включающее обе переменные, и решите для другой переменной.

  • Проверьте решение в обоих исходных уравнениях.

Пример 1

Решите эту систему уравнений методом исключения.

Оформите оба уравнения в стандартной форме, поместив одинаковые члены друг над другом.

Выберите переменную, которую нужно исключить, например y .

Коэффициенты при y равны 5 и –2. Они оба делятся на 10. Расположите так, чтобы коэффициент y был равен 10 в одном уравнении и –10 в другом. Для этого умножьте верхнее уравнение на 2, а нижнее уравнение на 5.

Добавьте новые уравнения, исключив y .

Найдите оставшуюся переменную.

Замените x и решите y .

Проверьте решение в исходном уравнении.

Оба эти утверждения верны. Решение есть.

Если метод исключения дает предложение, которое всегда истинно, то система является зависимой, и любое исходное уравнение является решением. Если метод исключения дает предложение, которое всегда ложно, значит, система несовместима, и решения нет.

Как построить линейные уравнения с двумя переменными

Обновлено 3 ноября 2020 г.

Кевин Бек

Графики являются одними из самых полезных математических инструментов для передачи информации осмысленным образом.Даже те, кто не склонен к математике или испытывает явное отвращение к числам и вычислениям, могут найти утешение в базовой элегантности двухмерного графа, представляющего отношения между парой переменных.

Линейные уравнения с двумя переменными могут иметь вид

Ax + By = C

, и результирующий график всегда представляет собой прямую линию. Чаще уравнение принимает вид

y = mx + b

, где m, — наклон линии соответствующего графика, а b — это интервал y , точка, в которой линия пересекает ось y .

Например, 4 x + 2 y = 8 является линейным уравнением, поскольку оно соответствует требуемой структуре. Но для построения графиков и большинства других целей математики записывают это как:

2y = -4x + 8

y = -2x + 4

переменных в этом уравнении равны x и y. , а наклон и пересечение y константы .

Шаг 1: Определите точку пересечения оси y

Сделайте это, решив интересующее уравнение для y , если необходимо, и определив b .В приведенном выше примере интервал y равен 4.

Шаг 2: Обозначьте оси

Используйте масштаб, удобный для вашего уравнения. Вы можете столкнуться с уравнениями с необычно высокими или низкими значениями интервала y , такими как -37 или 89. В этих случаях каждый квадрат вашей миллиметровой бумаги может представлять десять единиц, а не одну, и поэтому оба Ось x и y должны обозначать это.

Шаг 3. Постройте пересечение оси y

Нарисуйте точку на оси y в соответствующей точке.Между прочим, пересечение по оси Y — это просто точка, в которой x = 0.

Шаг 4: Определите наклон

Посмотрите на уравнение. Коэффициент перед x — это наклон, который может быть положительным, отрицательным или нулевым (последнее в случаях, когда уравнение просто y = b , горизонтальная линия). Наклон часто называют «нарастанием за пробегом» и представляет собой количество изменений единицы в y для каждого отдельного изменения единицы в x.В приведенном выше примере наклон равен -2.

Шаг 5: Проведите линию через точку пересечения оси y с правильным наклоном

В приведенном выше примере, начиная с точки (0, 4), переместите две единицы в отрицательном направлении y -Направление и один в положительном направлении x , так как наклон равен -2. Это приводит к точке (1, 2). Проведите линию через эти точки и продолжайте в обоих направлениях, насколько хотите.

Шаг 6: Проверка графика

Выберите точку на графике, удаленную от начала координат, и проверьте, удовлетворяет ли она уравнению.В этом примере точка (6, −8) лежит на графике. Подставляя эти значения в уравнение

y = -2x + 4

\ begin {align} -8 & = (-2) × 6 + 4 \\ -8 & = -12 + 4 \\ -8 & = — 8 \ end {align}

Таким образом, график правильный.

Решение линейных уравнений с двумя неизвестными

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Линейные уравнения с двумя переменными — определение, объяснение, формула и решенные примеры

Пары линейных уравнений с двумя переменными

Система линейного уравнения состоит из двух или более уравнений, которые имеют общее решение.В системе линейных уравнений каждое уравнение может быть представлено прямой линией, а решение — это точка пересечения двух или более линий. Концепция линейного уравнения в математике имеет множество применений в реальной жизни. Здесь мы попытались дать вам представление о линейном уравнении и о том, как его решить, с помощью решаемых примеров и объяснений.

Определение линейного уравнения с двумя переменными

Если вас попросят определить линейное уравнение с двумя переменными, ответ будет — пара линейных уравнений с двумя переменными — это набор, в котором все уравнения считаются параллельными.Решать линейные уравнения с двумя переменными вопросами; для уникального решения необходимо найти значения переменной, которые последовательно верны для всех уравнений. В некоторых случаях линейные системы могут не иметь решения, в то время как в других случаях некоторые могут иметь бесконечное количество решений. Для нахождения единственного решения количество неизвестных переменных должно быть равно количеству уравнений. Линейные уравнения с двумя переменными имеют прямое применение при определении геометрии линий. Поскольку линейное уравнение представляет собой прямую линию, построение графиков и наблюдение за точкой пересечения помогает найти переменные.

Формула линейного уравнения с двумя переменными

Если a, b и r являются действительными числами и оба не равны 0, то ax + by = r иллюстрирует линейное уравнение с двумя переменными. Две переменные уравнения обозначаются x и y. Цифры a и b представляют коэффициенты.

  • Стандартная форма линейного уравнения с двумя переменными: ax + by = r.

  • Число «r» в приведенном выше уравнении называется константой.

  • Линейное уравнение с двумя переменными имеет три объекта, как показано в следующем примере:

  • 10x — 3y = 5 и 2x + 4y = 7 являются репрезентативными формами линейных уравнений с двумя переменными.

Решение линейных уравнений с двумя переменными

При решении линейного уравнения с двумя переменными всегда необходимо соблюдать следующие правила.

Решение линейного уравнения не изменяется, если:

(i) то же самое число добавляется (или вычитается из) L.H.S. и R.H.S. уравнения.

(ii) умножение или деление L.H.S. и R.H.S. тем же ненулевым числом.

Каждое линейное уравнение с одной переменной имеет уникальное решение.Но пара линейных уравнений имеет два решения, то есть одно для x, а другое для y, удовлетворяющих обоим уравнениям.

Если заданный набор линейных уравнений пересекается в точке, решение будет уникальным для обоих уравнений. Чтобы получить однозначное решение для системы уравнений, наклоны линий должны отличаться друг от друга. Предположим, что m1 и m2 — два угла наклона двух прямых, имеющих уравнение с двумя переменными. В том случае, когда m1 ≠ m2, можно ожидать единственного решения.

Если пара уравнений с двумя переменными имеет одинаковый наклон i.е. m1 = m2, линии будут параллельны друг другу. Таким образом, из-за отсутствия пересечения у них не будет решения.

Если пара линейных уравнений непротиворечива, то линии будут иметь как уникальные, так и бесконечные решения, т.е. они будут пересекаться или совпадать

Например: Найдите значение переменных, которое удовлетворяет следующим уравнениям:

8x + 7y = 38 и 3x — 5y = -1.

Решение: Используя метод подстановки для решения пары линейных уравнений, имеем:

8x + 7y = 38 …………………….(i)

3x — 5y = -1 …………………… .. (ii)

Умножая уравнение (i) на 5 и (ii) на 7, получаем:

40x + 35y = 190 ……………………. (Iii)

21x — 35y = -7 …………………… .. (iv)

Складывая уравнения (iv) и (iii), получаем:

61x = 183

⇒ x = 3

Подставляя значение x в уравнение (i) или (ii), мы получаем

3 x 3 — 5y = -1

⇒ y = 2

Следовательно, x = 3 и y = 2 — точка пересечения данных прямых.

Построение графика линейных уравнений с двумя переменными

Зная, как решить пару линейных уравнений алгебраически, давайте представим уравнение на координатной плоскости. Эти уравнения имеют тенденцию иметь бесконечно много решений. Решения линейного уравнения: 3x + 2y = 6 можно проиллюстрировать в виде таблицы следующим образом, записав значения y под соответствующими значениями x:

При нанесении точек (0, 3), (1 , \ [\ frac {1} {2} \]) и (2, 0) миллиметровую бумагу, и соединив их, мы увидим, что она образует прямую линию.Это называется графиком линейного уравнения. График получается соединением двух точек, соответствующих двум решениям. Каждая точка на линии удовлетворяет уравнению линии и действует как решение уравнения.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Знаете ли вы

В повседневной жизни мы сталкиваемся с несколькими ситуациями, когда мы можем использовать метод линейного уравнения для решения проблемы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.