Линейное уравнение с одной переменной 7: Линейное уравнение с одной переменной. Алгоритм решения. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

Содержание

Линейное уравнение с одной переменной. Алгоритм решения. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.




















1.

Корень линейного уравнения


Сложность:
лёгкое

1


2.

Решение линейного уравнения


Сложность:
лёгкое

1


3.

Линейное уравнение, схема решения


Сложность:
лёгкое

1


4.

Линейное уравнение (коэффициент при x дробный)


Сложность:
лёгкое

1


5.

Составление и решение линейного уравнения


Сложность:
лёгкое

2


6.

Линейное уравнение вида x + a = b


Сложность:
лёгкое

1


7.

Линейное уравнение вида x + a = 0


Сложность:
лёгкое

1


8.

Линейное уравнение вида ax + b = 0


Сложность:
лёгкое

1


9.

Линейное уравнение (с дробями)


Сложность:
среднее

2


10.

Линейное уравнение вида a — kx = c


Сложность:
среднее

3


11.

Линейное уравнение вида a — b + kx = c + d — mx


Сложность:
среднее

4


12.

Задача на движение


Сложность:
среднее

3


13.

Задача на движение, скорость по течению и против течения


Сложность:
среднее

4


14.

Задача на движение, две лодки


Сложность:
среднее

4


15.

Задача на движение в одном направлении


Сложность:
среднее

4


16.

Задача на движение, скорость течения реки


Сложность:
сложное

5


17.

Решение уравнения, записанного в виде пропорции


Сложность:
сложное

3


18.

Определение книг на полках


Сложность:
сложное

6

Линейное уравнение с одной переменной.

7-й класс

Урок № 1.

Тип урока: закрепление пройденного материала.

Цели урока:

Образовательные:

  • формирование навыка решения уравнения с одним неизвестным сведением его
    к линейному уравнению с помощью свойств равносильности.

Развивающие:

  • формирование ясности и точности мысли, логического мышления, элементов
    алгоритмической культуры;
  • развитие математической речи;
  • развитие внимания, памяти;
  • формирование навыков само и взаимопроверки.

Воспитательные:

  • формирование волевые качества;
  • формирование коммуникабельность;
  • выработка объективной оценки своих достижений;
  • формирование ответственности.

Оборудование: интерактивная доска, доска для фломастеров, карточки с
заданиями для самостоятельной работы, карточки для коррекции знаний для
слабоуспевающих учащихся, учебник, рабочая тетрадь, тетрадь для домашних работ,
тетрадь для самостоятельных работ.

Ход урока

1. Организационный момент – 1мин.

Поприветствовать учащихся, проверить их готовность к уроку, объявить тему
урока и цель урока.

2. Проверка домашнего задания – 4 мин.

Учащиеся проверяют домашнюю работу, решение которой выведено с обратной
стороны доски одним из учащихся.

3. Устная работа– 6 мин.

(1) Пока идет устный счет, слабоуспевающие учащиеся получают карточку для
коррекции знаний
и выполняют 1), 2), 4) и 6) задания по образцу. (См.
Приложение 1.
)

Карточка для коррекции знаний.

(2) Для остальных учащихся задания проецируются на интерактивную доску: (См.
Презентацию: Слайд 2)

  1. Вместо звездочки поставь знак “+” или “–”, а вместо точек – числа:
    а) (*5)+(*7) = 2;

    б) (*8) – (*8) = (*4)–12;

    в) (*9) + (*4) = –5;

    г) (–15) – (*…) = 0;

    д) (*8) + (*…) = –12;

    е) (*10) – (*…) = 12.

  2. Составь уравнения, равносильные уравнению:

    а) х – 7 = 5;

    б) 2х – 4 = 0;

    в) х –11 = х – 7;

    г) 2(х –12) = 2х – 24.

3. Логическая задача: Вика, Наташа и Лена в магазине купили капусту,
яблоки и морковь. Все купили разные продукты. Вика купила овощ, Наташа – яблоки
или морковь, Лена купила не овощ. Кто что купил? (Один из учащихся,
выполнивший задание выходит к доске и заполняет таблицу.) (Слайд 3)


Вика Наташа Лена
К


Я


М


  Заполнить таблицу





Вика Наташа Лена
К +
Я +
М +

 Ответ

(Учащиеся используют пластиковые листы и фломастеры. )

4. Обобщение умения решать уравнения сведением их к линейному уравнению –9
мин.

Коллективная работа с классом. (Слайд 4)

Решим уравнение


12 – (4х – 18) = (36 + 5х) + (28 – 6х). (1)

для этого выполним следующие преобразования:

1. Раскроем скобки. Если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки
можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Если
перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак
каждого слагаемого, заключенного в скобки:


12 – 4х + 18 = 36 + 5х + 28 – 6х. (2)

Уравнения (2) и (1) равносильны:

2. Перенесем с противоположными знаками неизвестные члены так, чтобы
они были только в одной части уравнения (или в левой, или в правой).
Одновременно перенесем известные члены с противоположными знаками так, чтобы они
были только в другой части уравнения.

Например, перенесем с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а
известные – в правую часть уравнения, тогда получим уравнение


– 4х – 5х + 6х = 36 + 28 – 18 — 12, (3)

равносильное уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1).

3. Приведем подобные слагаемые:


–3х = 34. (4)

Уравнение (4) равносильно уравнению (3), а следовательно, и
уравнению (1).

4. Разделим обе части уравнения (4) на коэффициент при
неизвестном.

Полученное уравнение х =
будет
равносильно уравнению (4), а следовательно, и уравнениям (3), (2), (1)

Поэтому корнем уравнения (1) будет число

По этой схеме (алгоритму) решаем уравнения на сегодняшнем уроке:

  1. Раскрыть скобки.
  2. Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а
    остальные члены в другой.
  3. Привести подобные члены.
  4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.


Примечание: следует отметить, что приведенная схема не является
обязательной, так как часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые
из указанных этапов оказываются ненужными. При решении же других уравнений
бывает проще отступить от этой схемы, как, например, в уравнении:


7(х – 2) = 42.

5. Тренировочные упражнения – 8 мин.

№ № 132(а, г), 135(а, г), 138(б, г) – с комментарием и записью на
доске.

6. Самостоятельная работа – 14 мин. (выполняется в тетрадях для
самостоятельных работ с последующей взаимопроверкой проверкой; ответы будут
отображены на интерактивной доске)

Перед самостоятельной работой учащимся будет предложено задание на
сообразительность – 2 мин.

Не отрывая карандаша от бумаги и не проходя дважды по одному и тому же
участку линии, начертите распечатанное письмо. (Слайд 5)

(Учащиеся используют пластиковые листы и фломастеры.)

1. Решить уравнения (на карточках) (См. Приложение 2)


Дополнительное задание № 135 (б, в).

7. Подведение итогов урока – 1 мин.

Алгоритм сведения уравнения к линейному уравнению.

8. Сообщение домашнего задания – 2 мин.

п.6, № № 136 (а-г), 240 (а), 243(а, б), 224 (Разъяснить содержание
домашнего задания).

Урок № 2.

Цели урока:

Образовательные:

  • повторение правил, систематизация, углубление и расширение ЗУНов
    учащихся по решению линейных уравнений;
  • формирование умения применять полученные знания при решении уравнений
    различными способами.

Развивающие:

  • развитие интеллектуальных умений: анализа алгоритма решения уравнения,
    логического мышления при построении алгоритма решения уравнения,
    вариативности выбора способа решения, систематизации уравнений по способам
    решения;
  • развитие математической речи;
  • развитие зрительной памяти.

Воспитательные:

  • воспитание познавательной активности;
  • формирование навыков самоконтроля, взаимоконтроля и самооценки;
  • воспитание чувства ответственности, взаимопомощи;
  • привитие аккуратности, математической грамотности;
  • воспитание чувства товарищества, вежливости, дисциплинированности,
    ответственности;
  • Здоровьесбережение.

а) образовательная: повторение правил, систематизация, углубление и
расширение ЗУНов учащихся по решению линейных уравнений;

б) развивающая: развитие гибкости мышления, памяти, внимания и
сообразительности;

в) воспитательная: привитие интереса к предмету и к истории родного края.

Оборудование: интерактивная доска, сигнальные карточки (зеленая и
красная), листы с тестовой работой, учебник, рабочая тетрадь, тетрадь для
домашних работ, тетрадь для самостоятельных работ.

Форма работы: индивидуальная, коллективная.

Ход урока

1. Организационный момент – 1мин.

Поприветствовать учащихся, проверить их готовность к уроку, объявить тему
урока и цель урока.

2. Устная работа – 10 мин.

(Задания для устного счета выводятся на интерактивную доску.)
(Слайд 6)

1) Решите задачи:

а) Мама старше дочери на 22 года. Сколько лет маме, если им вместе 46 лет

б) В семье трое братьев и каждый следующий младше предыдущего в два раза. Вместе
всем братьям 21 год. Сколько лет каждому?

2) Решите уравнения: (Пояснить)


;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Какие из данных уравнений являются линейными?

(Во время устного счета учащиеся используют сигнальные карточки: зеленую и
красную)

3) Проверьте, правильно ли решено уравнение, если нет, то найди ошибки.
(Слайд 7)


4 · (х – 5) = 12 – х

4х – 5 = 12 – х

4х + х = 12 – 5

5х = 7 /:5

х = 1,4
Желающий выходит к интерактивной доске

 исправить ошибки

 

4) Пояснить задания из домашней работы, вызвавшие затруднение.

3. Выполнение упражнений – 10 мин. (Слайд 8)

(1) Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения:

4 – 5х = 5


а) x > 1;

б) x < 0;

в) x > 0;

г) x < –1.

(2) При каком значении выражении у значение выражения 2у – 4
в 5 раз меньше значения выражения 5у – 10?

(3) При каком значении k уравнение kx – 9 = 0
имеет корень равный – 2?

Посмотри и запомни (7 секунд). (Слайд 9)

Через 30 секунд учащиеся воспроизводят рисунок на пластиковых листах.

4. Физкультминутка – 1,5 мин.


Упражнение для глаз и для рук

(Учащиеся смотрят и повторяют упражнения, которые проецируются на
интерактивную доску.)

5. Самостоятельная тестовая работа – 15 мин.

(Учащиеся выполняют тестовую работу в тетрадях для самостоятельных работ,
дублируя ответы в рабочих тетрадях. Сдав тесты, учащиеся сверяют ответы с
ответами, отображенными на доске)

Учащиеся, справившиеся с работой раньше всех, помогают слабоуспевающим
учащимся.

(См. Приложение 3)


6. Подведение итогов урока – 2 мин.


– Какое уравнение с одной переменной называется линейным?

– Что называется корнем уравнения?

– Что значит “решить уравнение”?

– Сколько корней может иметь уравнение?

7. Сообщение домашнего задания. – 1 мин.

п. 6, № № 294(а, б),244, 241(а, в), 240(г) – Уровень А, В

п.6, № № 244, 241(б, в), 243(в),239, 237– Уровень С

(Разъяснить содержание домашнего задания.)

8. Рефлексия – 0,5 мин.


– Вы довольны своей работой на уроке?

– Какой вид деятельности вам понравился больше всего на уроке.

Литература:

  1. Алгебра 7. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Пешков, С.В. Суворова.
    Под редакцией С.А. Теляковского. / М.: Просвещение, 1989 – 2006.
  2. Сборник тестовых заданий для тематического и итогового контроля. Алгебра
    7 класс/ Гусева И.Л., Пушкин С.А., Рыбакова Н.В.. Общая ред.:
    Татур А.О.
    – М.: “Интеллект-Центр” 2009 – 160 с.
  3. Поурочное планирование по алгебре. / Т.Н.Ерина. Пособие для учителей /М:
    Изд. “Экзамен”, 2008. – 302,[2] с.
  4. Карточки для коррекции знаний по математике для 7 класса./ Левитас
    Г.Г.
    /М. : Илекса, 2000. – 56 с.

Линейное уравнение с одной переменной

Слайд №2
Цели:
19.04.2012
Дать понятие об уравнении и его корнях.
Дать понятие о линейном уравнении и его решении.
Текстовые задачи и их решение с помощью уравнений.
2
www.konspekturoka.ru
Слайд №3
19.04.2012
www.konspekturoka.ru
3
Одной из самых простых и важных математических моделей реальных ситуаций есть линейные уравнения с одной переменной.
3х = 12
5у — 10 = 0
2а +7 = 0
Решить линейное уравнение с одной
переменной – это значит найти те значения
переменной, при каждом из которых
уравнение обращается в верное числовое
равенство.
Слайд №4
х + 2 = 5
х = 3
Уравнение.
Корень уравнения.
19.04.2012
4
www.konspekturoka.ru
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Слайд №5
Найдём корень уравнения:
х + 37 = 85
х
37
85
=
_
х = 48
Мы решили уравнение!
19.04.2012
5
www.konspekturoka.ru
Решили уравнение – нашли те значения переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Слайд №6
Не решая уравнений, проверь, какое из чисел является корнем уравнения.

42;
0;
14;
12
87 + (32 – х) = 105
19.04.2012
6
www.konspekturoka.ru

Слайд №7
42;
0;
14;
12
87 + (32 – 14) = 105
87 + (32 – 42) = 77
87 + (32 – х) = 105
87 + (32 – 0) = 119
87 + (32 – 12) = 107
х = 14
19.04.2012
7
www.konspekturoka.ru
Слайд №8
Решим уравнение:

(35 + у) – 15 = 31
y = 11
19.04.2012
8
www.konspekturoka. ru
35 + у
=
31
+
15
35 + у
=
46
y = 46 -35
Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет

Слайд №9
19.04.2012
www.konspekturoka.ru
9
Каждое уравнение имеет одни и
те же корни
х? = 2 х? = 3
Уравнения, которые имеют одни и
те же корни, называют
равносильными.
Слайд №10
19.04.2012
www.konspekturoka.ru
10
При решении уравнений используют
свойства:
Если в уравнении перенести слагаемое из одной
части в другую, изменив его знак, то получится
равносильное уравнение.
2. Если обе части уравнения умножить или
разделить на число (не равное нулю), то
получится равносильное
уравнение.
Слайд №11
Решите уравнение и выполните проверку:

у — 35 + 12 = 32;
у – 23 = 32;
у = 32 + 23;
у = 55;
(55 — 35) + 12 = 32;
30 + 12 = 32;
32 = 32.
(у — 35) + 12 = 32;
Решение.
Ответ: 55.
19.04.2012
11
www.konspekturoka.ru
Решение уравнений состоит в постепенной замене более простыми равносильными уравнениями

Слайд №12
Решите уравнение и выполните проверку:
24 — 21 + х = 10;
х + 3 = 10;
х = 10 — 3;
х = 7
(24 + 7) — 21 = 31 — 21 = 10;
Ответ: 7.
б) (24 + х) — 21 = 10;
Решение.
19.04.2012
12
www.konspekturoka.ru
Решение уравнений состоит в постепенной замене более простыми равносильными уравнениями
Слайд №13
19.04.2012
www.konspekturoka.ru
13
Решите уравнение и выполните проверку:
45 + 18 — у = 58;
63 — у = 58;
у = 63 — 58;
у = 5
(45 — 5) + 18 = 40 + 18 = 58.
Ответ: 5.
Решение.
в) (45 — у) + 18 = 58;
Решение уравнений состоит в постепенной замене более простыми равносильными уравнениями
Слайд №14
19. 04.2012
www.konspekturoka.ru
14
Уравнение вида:
aх + b = 0
называется линейным уравнением
с одной переменной (где х – переменная,
а и b некоторые числа).
Внимание!
х – переменная входит в уравнение
обязательно в первой степени.
Слайд №15
19.04.2012
www.konspekturoka.ru
15
Решите уравнение :
2(3х — 1) = 4(х + 3)
Решение уравнений состоит в постепенной замене более простыми равносильными уравнениями.
aх + b = 0
Приведем к стандартному виду:
2(3х — 1) = 4(х + 3)
6х – 2 = 4х + 12
6х – 4х = 2 + 12
2х = 14
х = 14 : 2
х = 7
— уравнение имеет 1 корень
Слайд №16
19.04.2012
www.konspekturoka.ru
16
уравнение имеет бесконечно много корней
Решите уравнение :
2(3х — 1) = 4(х + 3) – 14 + 2х
Приведем к стандартному виду:
aх + b = 0
2(3х — 1) = 4(х + 3) – 14 + 2х
6х – 2 = 4х + 12 – 14 + 2х
6х – 4x — 2х = 2 + 12 – 14
0 · x = 0
При подстановке любого значения х получаем
верное числовое равенство:
0 = 0
x – любое число
(а = 0, b = 0)
Слайд №17
19. 04.2012
www.konspekturoka.ru
17
Уравнение корней не имеет
Решите уравнение :
2(3х — 1) = 4(х + 3) + 2х
Приведем к стандартному виду:
aх + b = 0
2(3х — 1) = 4(х + 3) + 2х
6х – 2 = 4х + 12 + 2х
6х – 4x — 2х -2 — 12 = 0
0 · x — 14 = 0
При подстановке любого значения х получаем
неверное числовое равенство:
-14 = 0
(а = 0, b = -14)
Слайд №18
19.04.2012
www.konspekturoka.ru
18
Вспомним!
При решении задачи четко выполнены три этапа:
Получение математической модели.
Обозначают неизвестную в задаче величину буквой,
используя эту букву, записывают другие величины,
составляют уравнение по условию задачи.
2) Работа с математической моделью.
Решают полученное уравнение,
находят требуемые по условию задачи величины.
3) Ответ на вопрос задачи.
Найденное решение используют для ответа на вопрос задачи
применительно к реальной ситуации.
Математическая модель позволяет анализировать
и решать задачи.
Слайд №19
19.04.2012
www.konspekturoka.ru
19
Задача:
Три бригады рабочих изготавливают игрушки к Новому году. Первая бригада
сделала шары. Вторая бригада изготавливает сосульки и сделала их на 12 штук больше, чем шаров. Третья бригада изготавливает снежинки и сделала их на 5 штук меньше, чем изготовлено шаров и сосулек вместе. Всего было сделано 379 игрушек. Сколько в отдельности изготовлено шаров, сосулек и снежинок?
Шары –
Сосульки –
Снежинки —
?
?
на 12 шт. больше, чем
?
?
— на 5 шт. меньше, чем
Получение математической модели.
Обозначим шары –
сосульки –
снежинки —
х (шт.)
х + 12 (шт.)
х + х + 12 = 2х + 12 (шт.)
2х + 12 – 5 = 2х + 7 (шт.)
Так как по условию всего было сделано 379 игрушек, то составим уравнение:
х + (х + 12) + (2х + 7) = 379
линейное уравнением с одной переменной
Слайд №20
19.04.2012
www.konspekturoka.ru
20
2) Работа с математической моделью.
х + ( х + 12) + (2х + 7) = 379
х + х + 12 + 2х + 7 = 379
Решение уравнений состоит в постепенной замене более простыми равносильными уравнениями.
Приведем к стандартному виду:
aх + b = 0
4х + 19 = 379
4х = 379 — 19
4х = 360
х = 360 : 4
х = 90
90 шт. — шаров
х + 12 = 90 + 12 = 102 (шт.) — сосульки
2х + 7 = 2 · 90 + 7 = 187 (шт.) — снежинок
3) Ответ на вопрос задачи:
90 шт. – шаров,
102 (шт.) – сосульки,
187 (шт.) — снежинок
Слайд №21
19.04.2012
21
www.konspekturoka.ru
Ответить на вопросы:
Что называется уравнением?
Что называется корнем уравнения? Сколько корней
может иметь уравнение?
3. Какие уравнения называются равносильными?
Сформулируйте основные свойства уравнений.
Стандартный вид линейного уравнения.
Какое уравнение называется линейным?

Линейное уравнение с одной переменной 25у — 10 = 0. 7 класс

Линейное уравнение с
одной переменной
25у — 10 = 0
1
Одной
из самых
простых и
важных
математических
моделей реальных
ситуаций есть
линейные
уравнения с одной
переменной
3х = 12
5у + 10 = 0
2,1а -7 = 0
45+36х= -23
(23+12а)= 124
2

3. Запомни! При решении уравнения нужно сделать проверку.

Решить линейное
уравнение с одной
переменной – это
значит найти те
значения
переменной,
при каждом из которых
уравнение обращается
в верное числовое
равенство.
3
Найдём корень уравнения:
Решили уравнение – нашли те
значения переменной, при
котором уравнение
обращается в верное числовое
равенство.
4
Не решая уравнений,
проверь, какое из чисел
является корнем
уравнения.
87 + (32 – х) = 105
5
Решить уравнение – это
Решим
уравнение:
значит
найти
все его
корни или доказать, что
их нет
+ у = 31 +
+ у = 46
y = 46 -35
6

7. Тип 3.Уравнение имеет бесконечное множество решений? Решите уравнения и проведите классификацию уравнений по трем типам.

Тип 1.Уравнение
имеет решение?
23= 245+(Х- 12)
34+12,6Х=23-12,6Х
14,8=С -12,89С
Тип 2.Уравнение не
имеет решение?
23х=235 + 23(Х+10)
12,5+5,6=У-67
5,9в-1,2в=4,7в
Тип 3.Уравнение имеет бесконечное
множество решений?
Решите уравнения и проведите
классификацию уравнений по трем типам.
7
Уравнения, которые имеют одни и
те же корни, называют
равносильными.
x — 5x + 6 = 0 и
2
(х — 2)(х — 3) = 0
Равносильные уравнения
Каждое уравнение имеет одни и
те же корни
х₁ = 2 х₂ = 3
8
1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной
части в другую, изменив его знак, то получится
равносильное уравнение.
2. Если обе части уравнения умножить или
разделить на число (не равное нулю), то
получится равносильное
уравнение.
9
(у — 35) + 12 = 32;
Решение уравнений состоит в постепенной замене
более простыми равносильными уравнениями
Решение.
у — 35 + 12 = 32;
у – 23 = 32;
у = 32 + 23;
у = 55;
(55 — 35) + 12 = 32;
30 + 12 = 32;
32 = 32.
Ответ: 55.
10
х – переменная входит в уравнение
обязательно в первой степени.
(45 — у) + 18 = 58
3х² + 6х + 7 = 0
11
2(3х — 1) = 4(х + 3)
Решение уравнений состоит в постепенной замене
более простыми равносильными уравнениями.
Приведем к стандартному виду:
2(3х — 1) = 4(х + 3)
6х – 2 = 4х + 12
6х – 4х = 2 + 12
х = 14 : 2
х=7
12
2(3х — 1) = 4(х + 3) – 14 + 2х
Приведем к стандартному виду:
2(3х — 1) = 4(х + 3) – 14 + 2х
6х – 2 = 4х + 12 – 14 + 2х
6х – 4x — 2х = 2 + 12 – 14
(а = 0, b = 0)
При подстановке любого значения х получаем
верное числовое равенство:
0=0
x – любое число
13

14. Ответим на вопросы?

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Что называется
уравнением?
Что называется
корнем уравнения?
Сколько корней
может иметь
уравнение?
Какие уравнения
называются
равносильными?
Сформулируйте
основные свойства
уравнений.
Стандартный вид
линейного уравнения.
Какое уравнение
называется
линейным?
Ответим на вопросы?
14

15. Спасибо за внимание!

15

Линейное уравнение с одной переменной [7 класс]

Линейные уравнения — одна из самых простых тем в математике, которую проходят в 7 классе. Хотя бы раз с линейными уравнениями сталкивался каждый, не существует никаких трудностей в их решении, и подчиняются такие уравнения всего паре базовых правил.

Для того, чтобы разобраться в теме, необходимо в первую очередь вспомнить, какие же уравнения называют линейными.

Простые уравнения с одной переменной

Как гласит определение, линейным уравнением с одной переменной называют равенство, состоящее из букв и чисел и содержащее только одну переменную. Так, примерами могут служить:

  • х – 4 = 8;
  • х + 5 = 13;
  • х : 3 = 3;
  • 6х = 12.

Для того, чтобы решить уравнение, нужно просто найти его корень — иными словами, установить, при каком числовом значении переменной приведенное равенство будет правильным. Существуют и ситуации, когда равенство не может быть правильным ни при каких обстоятельствах — в таких случаях говорят, что корней у уравнения нет. И это также считается решением.

Согласно каким правилам решают линейные уравнения?

Существуют два правила, или свойства, которые делают работу с линейными уравнениями более простой и быстрой.

  • Первое свойство гласит, что часть уравнения, или слагаемое, допустимо перенести на другую сторону уравнения, при этом изменив знак. Равенство в этом случае останется верным. Например, уравнение х – 6 = 12 можно записать следующим образом: х = 12 + 6. В ответе получится число 18, и простая проверка покажет, что решение совершенно правильное, поскольку 18 – 6 = 12.
  • Второе свойство гласит, что можно взять некоторое число, не равное нулю, и разделить или умножить на него две части уравнения. В таком случае, при соблюдении всех условий, равенство останется верным. Например, это можно продемонстрировать в уравнении 3х = 9. Выражение записывается следующим образом: 3х : 3 = 9 : 3. Таким образом, 3х : 3 = 3, и в данном выражении х = 3.

Простейшие линейные уравнения, приведенные в примерах, вряд ли могут вызвать какие-то затруднения. Но в задачниках встречаются и более сложные, многосоставные выражения с одной переменной — и для их решения свойства окажутся очень полезными, поскольку помогут сэкономить время и силы.

Как правило, найти корни уравнения невозможно, если в буквенно-числовой записи присутствует число 0. Например, уравнение вида 0 * х = 5 верного решения не имеет, поскольку любое число при умножении или делении на ноль может давать только ноль. В таком случае пишут, что корней у уравнения нет.

Урок 51. обобщение и систематизация знаний по теме «линейные уравнения» — Алгебра — 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 51

Обобщение и систематизация знаний по теме: «Линейные уравнения»

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Связь понятий: «линейное уравнение», система линейных уравнений», «линейная функция», «решение линейного уравнения», «решение системы линейных уравнений».

Способы решения систем линейных уравнений.

Тезаурус:

Уравнение вида ax = b, (где x – переменная, a, b – некоторые числа), называется линейным уравнением с одной переменной.

Система вида

(где x, y – переменные, ai, bi, ci – некоторые числа) называется системой линейных уравнений с двумя переменными.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Уравнение вида (где x – переменная, a, b – некоторые числа) называется линейным уравнением с одной переменной.

a и b – коэффициенты линейного уравнения.

К уравнению такого вида можно привести уравнение, которое включает в себя переменную в первой степени.

Пример:

Для того, чтобы привести уравнение к виду ax = b, нужно его преобразовать.

Пример.

Рассмотрим уравнение.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

В зависимости от значения коэффициентов, линейное уравнение может иметь либо один корень, либо ни одного корня, либо бесконечно много корней.

Если уравнение включает в себя две переменные в первой степени, получаем линейное уравнение с двумя переменными:

Можно из данного равенства выразить переменную y.

Получим уравнение линейной функции:

Её графиком является прямая. Таким образом, графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая, угловой коэффициент которой равен:

На прямой лежит бесконечно много точек, поэтому линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечно много решений. Все пары точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:

Или координаты точек, лежащих на прямой, соответствующей уравнению.

Рассмотрим два линейных уравнения с двумя переменными и составим из них систему.

Геометрической интерпретацией решения системы двух уравнений с двумя переменными является точка пересечения прямых (если она есть).

Две прямые:

1) могут пересекаться (иметь одну общую точку), если их угловые коэффициенты не равны. В этом случае система имеет единственное решение.

Две прямые пересекаются, если:

– система имеет единственное решение;

2) могут быть параллельными (не иметь ни одной общей точки), если их угловые коэффициенты равны, а свободные коэффициенты не равны. В этом случае система не имеет решений.

Две прямые параллельны, если:

– система не имеет решений.

3) могут совпадать (иметь бесконечно много общих точек), если их угловые коэффициенты и свободные коэффициенты равны. В этом случае система имеет бесконечно много решений.

Две прямые совпадают, если:

Система имеет бесконечно много решений.

Для системы линейных уравнений могут быть использованы разные способы решения: алгебраический, в рамках которого рассматривается способ подстановки и способ алгебраического сложения. Или графический метод.

Рассмотрим пример.

Заметим, что и первое, и второе уравнения включают в себя выражение (5x – 2y)

Во втором уравнении оно выражено. Его и подставим в первое уравнение:

Теперь первое уравнение зависит только от одной переменной x.

Подставим найденное значение во второе уравнение и найдём значение y:

Ответ:

Текст для углублённого изучения.

Одним из простейших уравнений с параметром является линейное уравнение.

Рассмотрим уравнение с параметром:

a(a — 2)x = a2 — 4

Решение:

Рассмотрим коэффициент при переменной x.

Если: a(a – 2) ≠ 0, то есть уравнение имеет единственное решение.

Рассмотрим те значения параметра a, при которых a(a – 2) = 0

Пусть a = 0, тогда получим уравнение: 0 · x = –4. Это уравнение решений не имеет.

Пусть a = 2, тогда получим уравнение: 0 · x = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений.

Запишем ответ:

При a = 0 уравнение решений не имеет.

При a = 2 уравнение имеет бесконечно много решений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача 1.

Рассортируйте уравнения по количеству их корней:

3x – 2(x + 5) = 6x – 12(2 – x)

15(1 – x) + 3 = 7 – 4x – 11(x – 1)

-5(2x + 4) = 5 – 10x

Решение.

Рассмотрим первое уравнение. Раскроем скобки:

3x – 2(x + 5) = 6x – 12(2 – x)

3х – 2х – 10 = 6х – 24 + 12х

Коэффициент при переменной не обратится в 0. Поэтому уравнение имеет единственное решение.

Рассмотрим второе уравнение. Раскроем скобки:

15(1 – x) + 3 = 7 – 4x – 11(x – 1)

15 – 15х + 3 = 7 – 4х – 11х + 11

18 – 15х = 18 – 15х

После преобразований получим уравнение 0x = 0, которое имеет бесконечно много корней.

Рассмотрим третье уравнение. Раскроем скобки:

-5(2x + 4) = 5 – 10x

-10х – 20 = 5 – 10х

Получим уравнение 0х = 25, которое не имеет решений.

Задача 2.

Выберите значения параметра, при каждом из которых уравнение не имеет решений:

Решение.

Количество решений линейного уравнения зависит от коэффициента при переменной. Рассмотрим его.

Приравняем его к нулю: a(a2 – 9) = 0

Найдем значения параметра:

a = 0

a = 3

a = –3

При каждом из этих значений параметра уравнение имеет вид:

0 · x = k, где k ≠ 0

Поэтому при каждом из этих значений параметра уравнение решений не имеет.

§ 5. Линейное уравнение с одной переменной

Тема урока: § 5. Линейное уравнение с одной переменной. Навык решения линейных уравнений проверяется на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ и необходим для решения текстовых задач.

Существуют ли такие значения переменной $x$, при которых соответственные значения выражений $3x$ и $x+8$ равны? Чтобы ответить на этот вопрос, надо решить уравнение:

$$3x=x+8$$

При $x$, равном $4$, значения левой и правой частей уравнения равны. Число $4$ называют решением или корнем данного уравнения.

Определение:
Корень уравнения с одной переменной — это число, обращающее данное уравнение в верное равенство.

Решить уравнение — значит найти множество всех его корней.

Линейное уравнение

Определение:
Каждое алгебраическое уравнение с одним неизвестным, степень которого равна единице называется линейным уравнением.

В общем виде линейное уравнение имеет вид:

$$kx+b=0$$

Где $k$ и $b$ — произвольные числа.

Примеры линейных уравнений

Приведём несколько примеров линейных уравнений:

  1. Уравнение $x+5=8$ имеет корень $3$. Этот корень единственный, так как при $x3$ больше $8$.

  2. Уравнение $(x+2)(x-1)(x-7)=0$ имеет три корня: $-2$, $1$ и $7$, так как каждое из этих чисел обращает уравнение в верное равенство, а при всех других значениях $x$ ни один из множителей (а значит, и их произведение) не равен нулю.

  3. Уравнение $x+3=x-1$ совсем не имеет корней, так как при любых $x$ значение выражения, стоящего в левой части уравнения, на $4$ больше соответственного значения выражения, стоящего в правой части. Множество корней этого уравнения пустое.

  4. Уравнение $x=|x|$ имеет бесконечное множество корней. Любое положительное число или нуль является его корнем.

  5. Уравнение $5(x+8)=40+5x$ также имеет бесконечное множество корней, причем любое значение $x$ является его корнем, так как выражения $5(x+8)$ и $40+5x$ тождественно равны.{2}-1=0$

    $(x-3)(x+5)=0$

    $\left | x \right |=2$

    Свойства линейных уравнений

    Линейные уравнения обладают рядом специфических свойств, рассмотрим их:

    1. Любое слагаемое можно переносить в противоположную сторону равенства, но при этом слагаемое меняет знак. Покажем на примере равенства:

      $$x+2=0 \Rightarrow x=-2$$

      Смена знака связана с тем, что мы вправе прибавлять к обоим частям уравнения одно и то же число (смысл уравнения от этого не меняется).

      $$x+2+(-2)=0+(-2)$$

      $$x+0=0-2 \Rightarrow x=-2$$

    2. Каждую часть равенства можно умножать, делить на одно и то же число отличное от нуля (смысл уравнения от этого не меняется). Покажем на примере того же равенства, домножив обе части на число четыре:

    $$x+2=0 \Rightarrow (x+2)\cdot 4=0\cdot 4$$

    $$4x+8=0$$

    Равносильные уравнения

    Рассмотрим три уравнения:

    1. $(x+2)(x-3)=0$

    2. $x(x+2)(x-3)=0$
      Уравнение (1) имеет два корня: $-2$ и $3$, а уравнение (2) — три корня: $0$, $-2$ и $3$. Каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), но не каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1).

      При $x=0$ второе уравнение обращается в верное равенство, а первое — нет.

    3. Уравнение $x(x+2)=3(x+2)$ имеет два корня: $-2$ и $3$.

    Каждое решение уравнения (3) является решением уравнения (1) и каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (3). Такие уравнения называются равносильными.

    Важно!
    У равносильных уравнений множества их решений совпадают.

    Понятие равносильности уравнений распространяется и на уравнения с несколькими переменными. Например, два уравнения с переменными $x$ и $y$ считаются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения служит решением первого.

    Пусть первое уравнение $P(x)=0$, а второе $Q(x)=0$ и если они равносильны, то имеет место знак равносильности:

    $$P(x)=0\Leftrightarrow Q(x)=0$$

    В дальнейшем мы будем часто использовать такую символику.

    Свойства равенств

    Можно ли, не решая уравнений $2x-5=9$ и $2x=14$, утверждать, что они равносильны? Ответить на этот вопрос помогут нам хорошо известные свойства равенств. Перечислим их:

    1. Рефлексивность. Любое число равно самому себе: $a=a$.

    2. Симметричность. Если одно число равно другому, то это второе число равно первому: если $a=b$, то $b=a$.

    3. Транзитивность. Если первое число равно второму, а второе равно третьему, то первое число равно третьему: если $a=b$ и $b=c$, то $a=c$.
      Свойствами, аналогичными указанным свойствам равенств, обладают многие соотношения. Например, параллельность (в множестве прямых плоскости) обладает симметричностью и транзитивностью.

      Действительно, если $a||b$, то $b||a$; если $a||b$ и $b||c$, то $a||c$. Равносильность уравнений обладает всеми тремя свойствами. В самом деле, каждое уравнение равносильно самому себе; если одно уравнение равносильно другому, то второе равносильно первому; если одно уравнение равносильно второму, а второе — третьему, то первое уравнение равносильно третьему.

      Приведем еще два свойства равенств, которые нам понадобятся дальше:

    4. Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и тоже число, то получится верное равенство: если $a=b$, то

      $$a+c=b+c$$

    5. Если обе части верного равенства умножить на одно и то же число, то получится верное равенство: если $a=b$, то

      $$a\cdot c=b\cdot c$$

    Примеры решения уравнений

    Свойства равенств используются при решении уравнений. Покажем это на примере.

    Задача 1.
    Пусть нужно решить уравнение: $6x-42=0$

    Показать решение

    Решение:

    Прибавим к левой и правой частям уравнения число $42$ (перенесем $-42$ в правую часть уравнения с противоположным знаком).

    Получим уравнение: $6x=42$

    Если при некотором значении $x$ равенство верно, то верно и равенство которое мы получили, и, наоборот, если при некотором значении $x$ верно равенство которое мы получили, то верно и исходное равенство. Это следует из свойства 4. Значит, уравнения равносильны.

    $$6x-42=0\Leftrightarrow6x=42$$

    Умножим обе части уравнения на $\frac{1}{6}$ (разделим на $6$). Получим уравнение: $x=7$

    Из свойства 5. следует, что последние два уравнения равносильны:

    $$6x=42 \Leftrightarrow x=7$$

    Следовательно равносильны и уравнения (так как равносильность обладает свойством транзитивности): $6x-42=0 \Leftrightarrow x=7$

    Значит число $7$ есть корень исходного уравнения.

    Ответ: $x=7$

    Рассмотренный пример показывает, что перенос членов уравнения из одной его части в другую с противоположным знаком и умножение (или деление) обеих частей уравнения на неравное нулю число приводят к уравнению, равносильному данному.

    Задача 2.
    Решите уравнение: $\frac{3}{4}x-\frac{5x}{16}=2$

    Показать решение

    Решение: $\frac{3}{4}x-\frac{5x}{16}=2$

    Приведем все слагаемые левой части уравнения к общему знаменателю:

    $$\frac{3x}{4}\cdot\frac{4}{4}-\frac{5x}{16}=2$$

    $$\frac{12x}{16}-\frac{5x}{16}=2$$

    $$\frac{12x-5x}{16}=2$$

    $$\frac{7x}{16}=2$$

    Домножим обе части равенства на $\frac{16}{7}$ чтобы избавиться от коэффициента при неизвестном, получим:

    $$\frac{7x}{16}\cdot\frac{16}{7}=2\cdot\frac{16}{7}$$

    Сократим числа $7$ и $16$, получим:

    $$x=\frac{32}{7}$$

    Ответ: $x=\frac{32}{7}$

    Общий вид решений линейного уравнения

    Решим уравнение: $kx+b=0$

    Очевидно, решение зависит от наших параметров $k$ и $b$, поэтому рассмотрим несколько сюжетов, которые встречаются при решении линейных уравнений.

    Шаг 1.

    Коэффициент при неизвестной $k$ будет равняться нулю, а свободный член $b$ отличным от нуля.

    $$k=0, b\neq 0 \Rightarrow 0\cdot x=-b$$

    Заметим, в этом случае не найдется такого числа $x$, что при подстановке его в уравнение — получится верное равенство. Т.к при умножении на 0 мы не получим число отличное от нуля, стало быть — решений нет.
    Обычно это записывается так:
    $$x\in \oslash$$
    что переводится как: $x$ принадлежит пустому множеству.

    Шаг 2.

    Коэффициент при неизвестной и свободный член отличны от нуля:

    $$k\neq 0, b\neq 0 \Rightarrow kx=-b \Rightarrow x=\frac{-b}{k}$$

    Т.е. $x$ принимает действительное и единственное решение в виде отношения двух чисел: $-b$ и $k$

    Шаг 3.

    Числа $k$ и $b$ принимают значения равное нулю, т.е:

    $$k=0, b=0 \Rightarrow kx=-b \Rightarrow 0\cdot x=0$$

    Очевидно, что какой бы $x$ мы не взяли — равенство будет верным, т.к, при умножении на 0 получим 0.
    Тогда говорят, что $x$ — любое число, либо $x$ принадлежит всем действительным числам. Запись имеет такой вид:

    $$x\in \mathbb{R}$$

    В данном случае решение можно записать несколькими способами, например с помощью двойного неравенства:

    $$-\infty <x< \infty$$

    Такая запись означает, что $x$ лежит в промежутке от минус бесконечности до плюс бесконечности. (Бесконечность это не число, поэтому неравенство строгое).
    Еще можно написать ответ в виде интервала:

    $$x\in(-\infty;\infty)$$

    Знак “$\in$” можно заменить словом “принадлежит”, этот символ называется квантором принадлежности. Тогда говорят, что $x$ принадлежит любому числу из данного интервала.

    При решении уравнений, обычно мы задаемся вопросом: чему равно значение переменной? или, какое число при подстановке вместо неизвестной делает равенство верным?

    И решением линейного уравнения называется — корень уравнения, а значит наша задача привести уравнение к виду:

    $$x=…$$

    Задачи для самостоятельного решения

    Условие

    Задача №1.

    Найдите корень уравнения: $0,9x-0,6(x-3)=2(0,2x-1,3)$

    Решение

    $$0,9x-0,6(x-3)=2(0,2x-1,3)$$

    Раскроем скобки и приведем подобные.

    $$0,9x-0,6x+1,8=0,4x-2,6$$

    $$0,3x+1,8=0,4x-2,6$$

    Перенесем слагаемые содержащие неизвестную в одну часть, а остальные в другую.

    $$1,8+2,6=0,4x-0,3x$$

    $$4,4=0,1x$$

    Домножим обе части равенства на $10$, тогда получим:

    $$x=44$$

    Ответ: $x=44$

    Условие

    Задача №2.

    Решите уравнение: $-36(6x+1)=9(4-2x)$

    Решение

    $$-36(6x+1)=9(4-2x)$$

    Раскроем скобки в обеих частях равенства.

    $$-216x-36=36-18x$$

    Перенесем переменные вправо, а остальные слагаемые влево.

    $$-36-36=-18x+216x$$

    Приведем подобные.

    $$-72=198x$$

    Разделим обе части уравнения на $198$ и получим ответ:

    $$x=\frac{-72}{198}$$

    Сократим дробь на $18$.

    $$x=-\frac{4}{11}$$

    Ответ: $x=-\frac{4}{11}$

    Условие

    Задача №3.

    Чему равен наибольший корень уравнения: $(1,8-0,3y)(2y+9)=0$?

    Решение

    $$(1,8-0,3y)(2y+9)=0$$

    Для решения уравнения нужно воспользоваться свойством произведения. Произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а значит одно из выражений в скобках должно равнятся нулю. Рассмотрим первый случай:

    $$1,8-0,3y=0\Rightarrow 1,8=0,3y$$

    После переноса слагаемых домножим обе части равенства на $10$ и поделим на $3$.

    $$\frac{1,8\cdot 10}{3}=\frac{0,3y\cdot 10}{3}$$

    $$\frac{18}{3}=\frac{3y}{3}$$

    $$y=6$$

    Теперь рассмотрим второй случай:

    $$2y+9=0$$

    $$2y=-9$$

    Разделим обе части равенства на $2$.

    $$y=\frac{-9}{2}$$

    $$y=-4,5$$

    Как мы видим у нас получилось два корня, при которых уравнение обращается в $0$. Для ответа выберем наибольший из данных, т.е:

    $$y=6$$

    Ответ: $y=6$

    Условие

    Задача №4.

    Найдите корень уравнения:

    $$\frac{3m+5}{4}=\frac{5m+1}{3}$$

    Решение

    $$\frac{3m+5}{4}=\frac{5m+1}{3}$$

    Вспомним, что все наши действия должны быть направлены на приведение уравнения к виду: $x=…$
    Поэтому домножим обе части равенства на общий знаменатель $12$, т.е на $4$ и $3$.

    $$\frac{3m+5}{4}\cdot \frac{4\cdot 3}{1}=\frac{5m+1}{3}\cdot \frac{4\cdot 3}{1}$$

    После сокращения слева на $4$, а справа на $3$ получим:

    $$(3m+5)\cdot 3=(5m+1)\cdot 4$$

    Раскроем скобки.

    $$3m\cdot 3+5\cdot 3=5m\cdot 4+1\cdot 4$$

    $$9m+15=20m+4$$

    В данном случае $9m$ удобно перенести вправо, так как не придется избавляться от минуса. Сделаем перенос слагаемых, приведем подобные и получим ответ.

    $$15-4=20m-9m$$

    $$11=11m$$

    $$m=1$$

    Ответ: $m=1$

    Условие

    Задача №5.

    При каком значении $a$ уравнение: $3ax=12-x$ имеет корень, равный числу $-9$?

    Решение

    $$3ax=12-x$$

    Если подставить вместо переменной $x$ число $-9$, то получим $a$ при котором эта ситуация имеет место.

    $$3a\cdot (-9)=12-(-9)$$

    Обратим внимание на правую часть равенства и воспользуемся свойством:

    Если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии все знаки стоящие в скобках меняются на противоположные.

    $$-27a=12+9$$

    $$-27a=21$$

    Разделим обе части уравнения на число $-27$, получим:

    $$a=\frac{21}{-27}$$

    Сокращаем правую часть равенства на $3$ и получаем окончательный ответ.

    $$a=-\frac{7}{9}$$

    Ответ: $a=-\frac{7}{9}$

    Следующая тема

    Промежуточная алгебра
    Урок 7: Линейные уравнения в одной переменной

    WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Промежуточная алгебра

    Цели обучения


    После изучения этого руководства вы сможете:

    1. Знайте, что такое линейное уравнение.
    2. Знайте, является ли значение решением или нет.
    3. Используйте свойства сложения, вычитания, умножения и деления
      равенств для решения линейных уравнений.
    4. Знайте, когда уравнение не имеет решения.
    5. Знайте, когда уравнение имеет все действительные числа в качестве решения.

    Введение


    Здесь мы начинаем вникать в суть того, что
    алгебра о
    — решение уравнений.В этом уроке мы будем искать
    конкретно
    при линейных уравнениях и их решениях. Мы начнем медленно
    а также
    решать уравнения, использующие только одно свойство, чтобы убедиться, что у вас есть
    физическое лицо
    понятий вниз. Затем мы наберем темп и смешаем их там, где
    вам нужно использовать несколько свойств и шагов, чтобы выполнить работу.

    Уравнения можно использовать, чтобы помочь нам решить различные
    проблемы. Позже
    учебные пособия, мы будем использовать их для решения текстовых задач.потом
    ты
    может ответить на эти сложные математические вопросы.

    Учебник


    Уравнение

    Два выражения равны друг другу

    Линейное уравнение

    Уравнение, которое можно записать в виде
    ax + b = c
    , где a, b и c — константы

    Ниже приведен пример линейного уравнения:
    3 x — 4 = 5

    Решение

    Значение, такое, что при замене переменной на
    it,
    это делает
    уравнение верно.

    (левая сторона выходит равной правой)

    Набор растворов

    Комплект всех решений

    Пример
    1
    : Определите, соответствует ли какое-либо из следующих значений x
    решения
    к данному уравнению.
    3 х — 4
    знак равно
    5; x = 3, 5.

    Проверка 3
    3 x — 4 = 5
    3 (3) — 4 = 5
    9–4 = 5
    5 = 5
    Истинно 3
    это решение

    Проверка 5
    3 x — 4 = 5
    3 (5) — 4 = 5
    15–4 = 5
    11 = 5
    Ложь 5
    не решение

    Решение линейного уравнения
    в целом

    Получите переменную, которую вы решаете, в одиночку с одной стороны
    и все
    else на другой стороне, используя ОБРАТНЫЕ операции.

    Следующее даст нам инструменты, которые нам нужны для
    решать линейные уравнения.

    Сложение и вычитание
    Свойства равенства

    Если a = b, то a + c = b + c

    Если a = b, то a — c = b — c

    Другими словами, если два выражения равны каждому
    другой и ты
    прибавлять или вычитать одно и то же к обеим сторонам, обе стороны будут
    оставаться равными.

    Обратите внимание, что сложение и вычитание являются обратными
    операции каждого
    Другие. Например, если у вас есть добавляемый номер,
    вам нужно перейти к другой стороне уравнения, тогда вы бы
    вычесть
    это с обеих сторон этого уравнения.

    Пример
    2
    : Найдите переменную. x — 5 = 2.

    x — 5 = 2
    x — 5 + 5 = 2 + 5
    x = 7

    * Обратное от sub. 5 — доп.
    5

    Обратите внимание, что если вы вернете 7 для x дюймов
    исходной проблемы вы увидите, что 7 — это решение нашей
    проблема.

    Пример
    3
    : Найдите переменную. y + 4 = -7.

    y + 4 = -7
    y + 4-4 = -7-4
    y = -11

    * Инверсия доп.4 является суб. 4

    Обратите внимание, что если вы вернете -11 вместо y в исходной задаче, вы увидите, что -11 — это решение, которое мы
    находятся
    ищу
    .

    Умножение и деление
    Свойства равенства

    Если a = b, то a (c) = b (c)

    Если a = b, то a / c = b / c, где c —
    не равно 0.

    Другими словами, , если два выражения равны
    друг друга и ты
    умножить или разделить (кроме 0) одну и ту же константу на оба
    стороны,
    обе стороны останутся равными.

    Обратите внимание, что умножение и деление являются обратными
    операции каждого
    Другие.Например, если у вас есть число, которое умножается
    что вам нужно перейти к другой стороне уравнения, тогда вы бы
    разделите его с обеих сторон этого уравнения.

    Обратите внимание, что для умножения и деления это не
    гарантировал, что если
    вы умножаете на переменную, которую вы решаете, чтобы две стороны
    будет равным. Но гарантировано, что обе стороны пойдут
    быть равным, если вы умножаете или делите на константу или другое
    переменная, для которой вы не решаете.Мы поговорим подробнее о
    это
    в более позднем руководстве. Для этого урока просто обратите внимание, что вы можете использовать это
    свойство с константами и переменными, для которых вы не ищите.

    Пример
    4
    : Найдите переменную. х /2
    = 5.

    * Обратно дел.на 2 это
    мульт. по 2

    Если вы вернете 10 для x дюймов
    оригинал
    проблема, вы увидите, что 10 — это решение, которое мы ищем.

    Пример
    5
    : Найдите переменную.5 x = 7.

    * Инверсия мульт. на 5 дел.
    по 5

    Если вы вернете 7/5, чтобы получить x в оригинале
    проблема, вы увидите, что 7/5 — это решение, которое мы ищем.

    В приведенных выше примерах использовались
    только одно свойство
    за раз, чтобы помочь вам понять различные свойства, которые мы используем
    к
    решать уравнения.Однако в большинстве случаев нам приходится использовать несколько
    характеристики
    чтобы выполнить свою работу. Ниже приводится стратегия, которую вы можете использовать.
    чтобы помочь вам решить более сложные линейные уравнения.

    Стратегия решения линейного
    Уравнение

    Обратите внимание, что ваш учитель или
    книга ты
    использование, возможно, сформулировало эти шаги немного иначе, чем я, но
    Это
    все сводится к одной и той же концепции — включите свою переменную
    один
    сторона и все остальное с другой, используя обратные операции.

    Шаг 1. При необходимости упростите каждую сторону.

    Это может включать в себя такие вещи, как удаление (),
    удаление дробей, добавление
    как термины и т. д.

    Чтобы удалить (): Просто используйте дистрибутив
    свойство, найденное в Урок 5: Свойства действительных чисел.

    Для удаления дробей : Поскольку дроби
    другой способ написать
    деление, а обратное деление — умножение, вы удаляете
    фракции
    умножив обе части на ЖК-дисплей всех ваших дробей.

    Шаг 2: Используйте Добавить./ Sub. Свойства для
    переместить переменную
    срок в одну сторону и все остальные условия в другую сторону.

    Шаг 3: Используйте Mult./Div. Свойства для
    удалить любые значения
    которые находятся перед переменной.

    Шаг 4. Проверьте свой ответ.

    Я считаю, что это самый быстрый и
    Самый простой способ
    приблизиться к линейным уравнениям.

    Пример
    6
    : Найдите переменную. 10 — 3 x = 7.

    * Инверсия доп. 10 является суб. 10

    * Обратное от мульт.на -3 — это div.
    по -3

    Будьте осторожны, начиная со строки 4
    к строке 5.
    Да, есть отрицательный знак. Но операция между -3 и x — это умножение, а не вычитание.
    Итак, если бы вы
    Добавлять
    3 в обе стороны, вы бы получили -3 x + 3 вместо желаемых x .

    Если вы вернете 1 вместо x в исходной задаче, вы
    увидим, что 1
    это решение, которое мы ищем.

    Пример
    7
    : Найдите переменную. 2 ( x + 5) — 7 = 3 ( x — 2).

    * Удалить () с помощью dist.опора

    * Получить все условия x
    с одной стороны

    * Инверсия доп. 3 является суб. 3

    * Обратное от мульт. на -1 — это div.
    по -1

    Если вы вернете 9 вместо x в исходной задаче, вы
    увидим, что 9 — это решение, которое мы ищем.

    Пример
    8
    : Найти переменную:.

    * Чтобы избавиться от
    дроби,

    мульт. с обеих сторон ЖК-дисплеем 4

    * Получить все термины x на одной стороне

    * Инверсия доп.2 является суб. 2

    * Обратное от мульт. на -3 — это div.
    по -3

    Если вы вернете 4/3 вместо x в исходной задаче
    вы увидите, что 4/3
    это решение, которое мы ищем.

    Противоречие

    Противоречие — это уравнение с одной переменной, которая
    не имеет решения.

    Пример
    9
    : Найдите переменную. 4 x — 1 = 4 ( x + 3).

    * Удалить () с помощью dist. опора

    * Получить все термины x на одной стороне

    Куда делась наша переменная x, ???
    Он исчез на нас.Также обратите внимание, как мы получили ЛОЖЬ
    утверждение,
    -1 не равно 12. Это не означает, что x = 12 или x = -1.

    Когда ваша переменная падает
    из И вы закончите
    с ложным утверждением, то после всей вашей тяжелой работы есть
    НЕТ
    РЕШЕНИЕ.

    Итак, ответ — нет решения.

    Личность

    Идентификатор — это уравнение с одной переменной
    который имеет
    все действительные числа как
    решение.

    Пример
    10
    : Найдите переменную. 5 x + 10 = 5 ( x + 2).

    * Удалить () с помощью dist. опора

    * Получить все термины x на одной стороне

    На этот раз, когда наша переменная
    выпал, мы
    закончил с ИСТИННЫМ заявлением.Когда бы это ни случилось, твой ответ
    ВСЕ РЕАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

    Итак, — это все действительные числа .

    Практические задачи


    Это практические задачи, которые помогут вам
    следующий уровень.
    Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы
    эти
    типы проблем. Math работает так же, как
    что-нибудь
    иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться
    Это.
    Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много
    практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте.

    На самом деле не бывает слишком много практики.

    Чтобы получить от них максимальную отдачу, вы должны работать
    проблема на
    свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для
    ответ / обсуждение
    для этой проблемы
    .По ссылке вы найдете ответ
    а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

    Практика
    Задачи 1a — 1e: Решите для переменной.

    Нужна дополнительная помощь по этим темам?



    Последний раз редактировал Ким Сьюард 1 июля 2011 г.
    Авторские права на все содержание (C) 2002 — 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

    Решение линейных уравнений с одной переменной

    Линейное уравнение — это уравнение прямой, записанное с одной переменной. Единственная степень переменной — 1. Линейные уравнения с одной переменной могут иметь вид [latex] ax + b = 0 [/ latex] и решаются с использованием основных алгебраических операций.

    Мы начинаем с классификации линейных уравнений с одной переменной как одного из трех типов: тождественные, условные или противоречивые.Уравнение тождества верно для всех значений переменной. Вот пример тождественного уравнения.

    [латекс] 3x = 2x + x [/ латекс]

    Набор решений состоит из всех значений, которые делают уравнение истинным. Для этого уравнения набором решений является все действительные числа, потому что любое действительное число, замененное на [латекс] x [/ латекс], сделает уравнение истинным.

    Условное уравнение верно только для некоторых значений переменной. Например, если мы должны решить уравнение [латекс] 5x + 2 = 3x — 6 [/ latex], мы получим следующее:

    [латекс] \ begin {array} {l} 5x + 2 \ hfill & = 3x — 6 \ hfill \\ 2x \ hfill & = — 8 \ hfill \\ x \ hfill & = — 4 \ hfill \ end {array} [/ латекс]

    Набор решений состоит из одного числа: [латекс] \ {- 4 \} [/ латекс].Это единственное решение, поэтому мы решили условное уравнение.

    Несогласованное уравнение приводит к ложному утверждению. Например, если мы должны решить [латекс] 5x — 15 = 5 \ left (x — 4 \ right) [/ latex], мы получим следующее:

    [латекс] \ begin {array} {ll} 5x — 15 = 5x — 20 \ hfill & \ hfill \\ 5x — 15 — 5x = 5x — 20 — 5x \ hfill & \ text {Вычесть} 5x \ text {из обе стороны}. \ hfill \\ -15 \ ne -20 \ hfill & \ text {Ложный оператор} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Действительно, [латекс] -15 \ ne -20 [/ латекс].Нет решения, потому что это противоречивое уравнение.

    Решение линейных уравнений с одной переменной включает фундаментальные свойства равенства и основные алгебраические операции. Ниже приводится краткий обзор этих операций.

    Общее примечание: линейное уравнение с одной переменной

    Линейное уравнение с одной переменной можно записать в виде

    [латекс] топор + b = 0 [/ латекс]

    , где a и b — действительные числа, [латекс] a \ ne 0 [/ латекс].

    Как сделать: дано линейное уравнение с одной переменной, используйте алгебру для его решения.

    Следующие шаги используются для манипулирования уравнением и выделения неизвестной переменной, так что последняя строка читается как x = _________, если x — неизвестное. Нет установленного порядка, так как используемые шаги зависят от того, что указано:

    1. Мы можем складывать, вычитать, умножать или делить уравнение на число или выражение, если мы делаем то же самое с обеими сторонами знака равенства.Обратите внимание, что мы не можем делить на ноль.
    2. При необходимости примените свойство распределения: [latex] a \ left (b + c \ right) = ab + ac [/ latex].
    3. Выделите переменную на одной стороне уравнения.
    4. Когда переменная умножается на коэффициент на последнем этапе, умножьте обе части уравнения на обратную величину коэффициента.

    Пример 1: Решение уравнения с одной переменной

    Решите следующее уравнение: [латекс] 2x + 7 = 19 [/ латекс].

    Решение

    Это уравнение может быть записано в виде [латекс] ax + b = 0 [/ latex] путем вычитания [latex] 19 [/ latex] с обеих сторон.Однако мы можем перейти к решению уравнения в его исходной форме, выполнив алгебраические операции.

    [латекс] \ begin {array} {ll} 2x + 7 = 19 \ hfill & \ hfill \\ 2x = 12 \ hfill & \ text {Вычтите 7 с обеих сторон}. \ Hfill \\ x = 6 \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на} \ frac {1} {2} \ text {или разделите на 2}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Решение [латекс] х = 6 [/ латекс].

    Попробуй 1

    Решите линейное уравнение с одной переменной: [латекс] 2x + 1 = -9 [/ латекс].

    Решение

    Пример 2: Алгебраическое решение уравнения, когда переменная появляется с обеих сторон

    Решите следующее уравнение: [латекс] 4 \ left (x — 3 \ right) + 12 = 15 — 5 \ left (x + 6 \ right) [/ latex].

    Решение

    Применить стандартные алгебраические свойства.

    [латекс] \ begin {array} {ll} 4 \ left (x — 3 \ right) + 12 = 15-5 \ left (x + 6 \ right) \ hfill & \ hfill \\ 4x — 12 + 12 = 15 — 5x — 30 \ hfill & \ text {Применить свойство распределения}. \ Hfill \\ 4x = -15 — 5x \ hfill & \ text {Объединить похожие термины}. \ Hfill \\ 9x = -15 \ hfill & \ text {Поместите} x- \ text {термины на одну сторону и упростите}. \ hfill \\ x = — \ frac {15} {9} \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на} \ frac {1} {9 } \ text {, обратное 9}.\ hfill \\ x = — \ frac {5} {3} \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Анализ решения

    Эта проблема требует, чтобы свойство распределения применялось дважды, а затем свойства алгебры используются для достижения последней строки, [latex] x = — \ frac {5} {3} [/ latex].

    Попробуй 2

    Решите уравнение с одной переменной: [латекс] -2 \ left (3x — 1 \ right) + x = 14-x [/ latex].

    Решение

    Решение линейных уравнений с одной переменной

    Линейные уравнения с одной переменной — это уравнения, в которых переменная имеет показатель степени 1, который обычно не отображается (это понятно).Примером может быть что-то вроде \ (12x = x — 5 \). Для решения линейных уравнений есть одна основная цель: изолировать переменную . В этом уроке мы рассмотрим, как это делается, на нескольких примерах.

    Содержание

    1. Примеры решения одношаговых уравнений
    2. Примеры решения двухэтапных уравнений
    3. Примеры уравнений, в которых сначала необходимо упростить
    4. Бесконечно много или нет решений
    5. Сводка

    объявление

    Примеры решения одношаговых линейных уравнений

    После всей вашей тяжелой работы над решением уравнения вы знаете, что хотите получить окончательный ответ, например \ (x = 5 \) или \ (y = 1 \).В обоих случаях переменная изолирована, или сама по себе.

    Итак, нам нужно выяснить, как изолировать переменную. Как мы это сделаем, зависит от самого уравнения! Если его на что-то умножили, поделим. Если к нему что-то добавили, мы вычтем. Поступая так, мы постепенно будем получать переменную сама по себе.

    Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как это работает.

    Пример

    Решите уравнение: \ (4x = 8 \)

    Решение

    В этом примере 4 — это умножение на \ (x \).Следовательно, чтобы изолировать \ (x \), вы должны разделить эту сторону на 4. Делая это, вы должны помнить одно важное правило: что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы должны делать с другой стороной. Итак, мы разделим обе стороны на 4.

    \ (\ begin {align} 4x & = 8 \\ \ dfrac {4x} {\ color {red} {4}} & = \ dfrac {8} {\ color {red} {4}} \ end {align} \)

    Упрощение:

    \ (х = \ в коробке {2} \)

    Вот и все, один шаг, и все готово. (Вот почему подобные уравнения часто называют «одношаговыми» уравнениями)

    Чек

    Каждый раз, когда вы решаете линейные уравнения, вы всегда можете проверить свой ответ, подставив его обратно в уравнение.Если вы получите верное утверждение, значит, ответ правильный. Это не обязательно на 100% для каждой задачи, но это хорошая привычка, поэтому мы сделаем это для наших уравнений.

    В этом примере наше исходное уравнение было \ (4x = 8 \). Чтобы проверить это, убедитесь, что верно следующее:

    \ (\ begin {align} 4x & = 8 \\ 4 (2) & = 8 \\ 8 & = 8 \ end {align} \)

    Это верное утверждение, поэтому наш ответ правильный.

    Для любого уравнения любая операция, которую вы выполняете с одной стороной, должна выполняться и с другой стороной.

    Давайте попробуем еще пару примеров, прежде чем переходить к более сложным уравнениям.

    Пример

    Решить: \ (3x = 12 \)

    Решение

    Поскольку \ (x \) умножается на 3, план состоит в том, чтобы разделить на 3 с обеих сторон:

    \ (\ begin {align} 3x & = 12 \\ \ dfrac {3x} {\ color {red} {3}} & = \ dfrac {12} {\ color {red} {3}} \\ x & = \ в штучной упаковке {4} \ end {align} \)

    Чек

    Чтобы проверить наш ответ, мы позволим \ (x = 4 \) и подставим его обратно в уравнение:

    \ (\ begin {align} 3x & = 12 \\ 3 (4) & = 12 \\ 12 & = 12 \ end {align} \)

    Как и раньше, поскольку это истинное утверждение, мы знаем, что наш ответ правильный.

    В следующем примере вместо умножения переменной на значение из переменной вычитается значение. Чтобы «отменить» это, мы добавим это значение обеим сторонам.

    Пример

    Решить: \ (y-9 = 21 \)

    Решение

    На этот раз из y вычитается 9. Итак, мы отменим это, добавив 9 к обеим сторонам.

    \ (\ begin {align} y-9 & = 21 \\ y-9 \ color {red} {+ 9} & = 21 \ color {red} {+ 9} \\ y & = 30 \ end {align} \)

    Далее мы рассмотрим то, что обычно называют «двухэтапными» уравнениями.В этих уравнениях нам нужно будет отменить две операции, чтобы изолировать переменную.

    Примеры двухступенчатых уравнений

    В каждом из приведенных выше примеров нужно было выполнить один шаг, прежде чем мы получили ответ. В следующих примерах вы увидите, как работать с уравнениями, которые вместо этого состоят из двух шагов. Если выполняется более одной операции, важно помнить порядок операций PEMDAS. Поскольку вы отменяете операции с \ (x \), вы будете работать «снаружи внутрь».Это легче понять, когда вы увидите это на примере.

    Пример

    Решить: \ (2x-7 = 13 \)

    Решение

    Обратите внимание на две операции, происходящие с \ (x \): он умножается на 2, а затем вычитается 7. Нам нужно будет их отменить. Но только \ (x \) умножается на 2, поэтому первым шагом будет прибавление 7 к обеим сторонам. Тогда мы можем разделить обе части на 2.

    Добавляем 7 к обеим сторонам:

    \ (\ begin {align} 2x-7 & = 13 \\ 2x-7 \ color {red} {+ 7} & = 13 \ color {red} {+ 7} \\ 2x & = 20 \ end {align} \ )

    Теперь разделите обе стороны на 2:

    \ (\ begin {align} 2x & = 20 \\ \ dfrac {2x} {\ color {red} {2}} & = \ dfrac {20} {\ color {red} {2}} \\ x & = \ в штучной упаковке {10} \ end {align} \)

    Чек

    Как и в случае с более простыми задачами, вы можете проверить свой ответ, подставив свое значение \ (x \) обратно в исходное уравнение.

    \ (\ begin {align} 2x-7 & = 13 \\ 2 (10) — 7 & = 13 \\ 13 & = 13 \ end {align} \)

    Это правда, значит, у нас есть правильный ответ.

    Давайте рассмотрим еще один пример с двумя шагами, прежде чем мы снова перепрыгнем в трудность. Убедитесь, что вы понимаете каждый показанный шаг и также работаете над проблемой.

    Пример

    Решить: \ (5w + 2 = 9 \)

    Решение

    Как и выше, есть две операции: \ (w \) умножается на 5, а затем к нему прибавляется 2.Мы отменим их, сначала вычтя 2 с обеих сторон, а затем разделив на 5.

    \ (\ begin {align} 5w + 2 & = 9 \\ 5w + 2 \ color {red} {- 2} & = 9 \ color {red} {- 2} \\ 5w & = 7 \\ \ dfrac { 5w} {\ color {red} {5}} & = \ dfrac {7} {\ color {red} {5}} \\ w = \ boxed {\ dfrac {7} {5}} \ end {align} \)

    Дробь справа не может быть упрощена, так что это наш окончательный ответ.

    Чек

    Пусть \ (w = \ dfrac {7} {5} \). Тогда:

    \ (\ begin {align} 5w + 2 & = 9 \\ 5 \ left (\ dfrac {7} {5} \ right) + 2 & = 9 \\ 7 + 2 & = 9 \\ 9 & = 9 \ конец {align} \)

    Итак, мы снова получили правильный ответ!

    Упрощение перед решением

    В следующих примерах есть больше вариативных терминов и, возможно, необходимо некоторое упрощение.В каждом случае шаги будут заключаться в том, чтобы сначала упростить обе стороны, а затем использовать то, что мы делали, чтобы изолировать переменную. Сначала мы подробно рассмотрим пример, чтобы увидеть, как все это работает.

    Чтобы понять этот раздел, вам должно быть удобно комбинировать похожие термины.

    Пример

    Решить: \ (3x + 2 = 4x-1 \)

    Решение

    Поскольку обе части упрощены (нет скобок, которые нам нужно вычислять, и нет одинаковых членов для объединения), следующим шагом будет получение всех x на одной стороне уравнения и всех чисел на другой стороне.Применяется то же правило — что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы должны делать и с другой стороной!

    Можно перемещать \ (3x \) или \ (4x \). Предположим, вы переместили \ (4x \). Поскольку он положительный, вы должны вычесть его с обеих сторон:

    \ (\ begin {align} 3x + 2 & = 4x-1 \\ 3x + 2 \ color {red} {- 4x} & = 4x-1 \ color {red} {- 4x} \\ -x + 2 & = -1 \ end {align} \)

    Теперь уравнение выглядит так же, как и раньше. Следующим шагом будет вычитание 2 с обеих сторон:

    \ (\ begin {align} -x + 2 \ color {red} {- 2} & = -1 \ color {red} {- 2} \\ — x = -3 \ end {align} \)

    Наконец, поскольку \ (- x = -1x \) (это всегда верно), разделите обе стороны на \ (- 1 \):

    \ (\ begin {align} \ dfrac {-x} {\ color {red} {- 1}} & = \ dfrac {-3} {\ color {red} {- 1}} \\ x & = 3 \ end {выровнять}\)

    Чек

    Вы должны воспользоваться моментом и убедиться, что следующее утверждение является верным:

    \ (3 (3) + 2 = 4 (3) — 1 \)

    В следующем примере нам нужно будет использовать свойство распределения перед решением.Здесь легко ошибиться, поэтому убедитесь, что вы распределили число перед круглыми скобками для всех терминов внутри.

    Пример

    Решить: \ (3 (x + 2) -1 = x-3 (x + 1) \)

    Решение

    Сначала разложите 3 и –3 и соберите одинаковые термины.

    \ (\ begin {align} 3 (x + 2) -1 & = x-3 (x + 1) \\ 3x + 6-1 & = x-3x-3 \\ 3x + 5 & = — 2x-3 \ end {выровнять}\)

    Теперь мы можем прибавить 2x к обеим сторонам. (Помните, что вы получите тот же ответ, если вместо этого вычтете 3x с обеих сторон)

    \ (\ begin {align} 3x + 5 \ color {red} {+ 2x} & = — 2x-3 \ color {red} {+ 2x} \\ 5x + 5 & = -3 \ end {align} \)

    Отсюда мы можем решить, как и с другими двухэтапными уравнениями.

    \ (\ begin {align} 5x + 5 \ color {red} {- 5} & = — 3 \ color {red} {- 5} \\ 5x & = — 8 \\ \ dfrac {5x} {\ color { красный} {5}} & = \ dfrac {-8} {\ color {red} {5}} \\ x & = \ dfrac {-8} {5} \\ & = \ boxed {- \ dfrac {8 } {5}} \ end {align} \)

    Чек

    Это был сложный вопрос, поэтому не забудьте проверить свой ответ и убедиться, что не было допущено никаких ошибок. Для этого вы убедитесь, что следующее утверждение является верным:

    \ (3 \ left (- \ dfrac {8} {5} +2 \ right) -1 = \ left (- \ dfrac {8} {5} \ right) -3 \ left (- \ dfrac {8} { 5} +1 \ вправо) \)

    (Примечание: это работает, но вы должны быть очень осторожны с круглыми скобками!)

    Бесконечно много решений и нет решений

    Бывают случаи, когда вы выполняете все эти шаги, и возникает действительно странное решение.Например, при решении уравнения \ (x + 2 = x + 2 \) с использованием описанных выше шагов в итоге получается \ (0 = 0 \). Это, конечно, правда, но что хорошего в этом?

    Если вы получили подобное утверждение, это означает, что уравнение имеет бесконечно много решений. Любой \ (x \), о котором вы можете подумать, удовлетворял бы уравнению \ (x + 2 = x + 2 \). Подходящий ответ в этом случае — «бесконечно много решений».

    Другая ситуация возникает, когда вы упрощаете уравнение до утверждения, которое никогда не является истинным, например \ (3 = 4 \) или \ (0 = 1 \).Это происходит с уравнением \ (x + 5 = x-7 \), которое приводит к \ (5 = -7 \), что, конечно, никогда не бывает истинным. Это означает, что никакое \ (x \) не удовлетворяет этому уравнению. Другими словами «решения нет». Итого:

    • Если вы получите утверждение, которое всегда истинно, например \ (5 = 5 \) или \ (0 = 0 \), то существует бесконечно много решений.
    • Если вы получаете утверждение, которое всегда ложно, например \ (10 ​​= 11 \) или \ (1 = 5 \), то решений нет.

    объявление

    Сводка

    Решение линейных уравнений сводится к выделению переменной.В зависимости от уравнения это может занять всего один шаг или намного больше. Всегда проверяйте, нужно ли вам сначала упростить одну или обе стороны уравнения, и всегда проверяйте свой ответ.

    Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

    Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

    Подпишитесь, чтобы время от времени получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

    Связанные

    Решения NCERT для математики класса 7 Глава 7

    Страница № 111:
    Ответ:

    3x-5 = 0⇒ 3x = 5 (Транспонирование -5 в RHS) ⇒ x = 53 ПРОВЕРКА: Подставляя x = 53 в данное уравнение, мы получаем: LHS = 353-5 = 5-5 = 0RHS = 0∴ LHS = RHS Следовательно, проверено.

    Страница № 111:
    Вопрос 2:

    8 x — 3 = 9-2 x

    Ответ:

    8 x — 3 = 9-2 x
    ⇒8 x + 2 x = 9 + 3 (транспонированием)
    ⇒ 10 x = 12
    ⇒x = 1210 = 65 ПРОВЕРКА: Подставив x = 65 в данное уравнение, мы получаем: LHS: 865-3 = 485-3 = 48-155 = 335 RHS: 9-265 = 9-125 = 45-125 = 335∴ LHS = RHS Значит проверил.

    Страница № 111:
    Вопрос 3:

    7-5 x = 5-7 x

    Ответ:

    Мы имеем: 7 — 5x = 5 — 7x⇒ − 5x + 7x = 5-7 [транспонирование -7x в LHS и 7 в RHS] ⇒2x = −2 ⇒x = −2−121⇒x = −1 Таким образом, x = −1 является решением данного уравнения. ПРОВЕРКА: Подставляя x = −1 в данное уравнение, мы получаем: LHS: = 7 — 5x = 7 −5 × (−1) = 7 + 5 = 12RHS: = 5 — 7x = 5 — 7 × (−1) = 5 + 7 = 12∴ LHS = RHS Следовательно, x = −1 является решением данного уравнения.

    Страница № 111:
    Вопрос 4:

    3 + 2 x = 1 — x

    Ответ:

    Имеем: 3 + 2x = 1 — x⇒ 2x + x + 3 — 1 = 0 (транспонированием) ⇒ 3x + 2 = 0⇒ x = –23 ПРОВЕРКА: Подставляя x = −23 в данное уравнение, получаем: LHS : 3 + 2x = 3 + 2 × (−23) = 3 −43 = 9-43 = 53 RHS: 1− x = 1−-23 = 1 + 23 = 3 + 23 = 53 ∴ LHS = RHS Следовательно, x = — 23 — решение данного уравнения.

    Страница № 111:
    Вопрос 5:

    2 ( x — 2) +3 (4 x — 1) = 0

    Ответ:

    Имеем: 2 (x − 2) +3 (4x − 1) = 0⇒ 2x − 4 + 12x-3 = 0⇒ 14x − 7 = 0 ⇒ 14x = 7 (транспонированием) ⇒x = 12 CHECK: подставляем x = 12 в данном уравнении, получаем: LHS: 2 (x − 2) +3 (4x − 1) = 2x − 4 + 12x-3 = 2 × 12−4 + 12 × 12-3 = 1-4 + 6-3 = −7 + 7 = 0RHS: 0∴ LHS = RHS Следовательно, x = 12 является решением данного уравнения.

    Страница № 111:
    Вопрос 6:

    5 (2 x — 3) — 3 (3 x — 7) = 5

    Ответ:

    Имеем: 5 (2x − 3) −3 (3x − 7) = 5⇒ 10x − 15−9x + 21 = 5⇒ 10x − 9x = 5 + 15−21 (транспонированием) ⇒ x = 20−21⇒ x = −1CHECK: Подставляя x = −1 в данное уравнение, мы получаем: LHS: 5 (2x − 3) −3 (3x − 7) = 10x − 15−9x + 21 = 10 × (−1) −15 −9 × (−1) +21 = −10−15 + 9 + 21 = −25 + 30 = 5 RHS: 5∴ LHS = RHS Следовательно, x = −1 является решением данного уравнения.

    Страница № 111:
    Ответ:

    Имеем: 2x − 13 = 15 − x⇒2x + x = 15 + 13⇒3x = 3 × 1 + 5 × 115⇒3x = 3 + 515⇒3x = 815⇒x = 815 × 3⇒x = 845 CHECK: Подставляя x = 845 в данное уравнение, получаем: LHS: 2x − 13 = 2 × 845-13 = 1645-13 = 16 × 1-15 × 145 = 16-1545 = 145 RHS: 15 − x = 15-845 = 1 × 9−1 × 845 = 9−845 = 145 ∴ LHS = RHS Следовательно, x = 845 является решением данного уравнения.

    Страница № 111:
    Ответ:

    Имеем: 12x − 3 = 5 + 13x⇒12x − 13x = 5 + 3 (транспонирование 13x в LHS и −3 в RHS) ⇒1 × 3−1 × 26x = 8⇒3−26x = 8⇒16x = 8 ⇒x = 8 × 6⇒x = 48 CHECK: Подставляя x = 48 в данное уравнение, получаем: LHS: 12x − 3 = 121 × 4824−3 = 24−3 = 21 RHS: 5 + 13x = 5 + 131 × 4816 = 5 + 16 = 21 ∴ LHS = RHS Следовательно, x = 48 является решением данного уравнения.

    Страница № 111:
    Ответ:

    x2 + x4 = 18⇒x × 2 + x × 14 = 18⇒2x + x4 = 18⇒3×4 = 18⇒3x = 182 × 41⇒3x = 12⇒x = 16 ПРОВЕРКА: Подставляя x = 16 в данное уравнение, получаем: LHS: x2 + x4 = x × 2 + x × 14 = 2x + x4 = 3×4 = 314 × 162 = 18 RHS: 18∴ LHS = RHS Следовательно, x = 13 является решением данного уравнения.

    Страница № 111:
    Вопрос 10:

    3 x + 2 ( x + 2) = 20 — (2 x -5)

    Ответ:

    Имеем: 3x + 2 (x + 2) = 20− (2x − 5) ⇒ 3x + 2x + 4 = 20−2x + 5⇒ 3x + 2x + 2x = 20 + 5−4 (перенос −2x в LHS и 4 в RHS) ⇒ 7x = 21⇒x = 21371⇒x = 3 CHECK: Подставляя x = 3 в данное уравнение, получаем: LHS = 3x + 2 (x + 2) = 3x + 2x + 4 = 5x + 4 = 5 × 3 + 4 = 15 + 4 = 19 RHS = 20− (2x − 5) = 20−2x + 5 = 25−2 × 3 = 25−6 = 19∴ LHS = RHS Следовательно, x = 3 является решением данного уравнения.

    Страница № 111:
    Вопрос 11:

    13 ( y — 4) — 3 ( y — 9) — 5 ( y + 4) = 0

    Ответ:

    Имеем: 13 (y − 4) −3 (y − 9) −5 (y + 4) = 0⇒ 13y − 52−3y + 27−5y − 20 = 0⇒13y − 3y − 5y = 52 + 20 −27 (заменяя −52, −20 и 27 на RHS) ⇒5y = 45⇒y = 45951⇒y = 9 CHECK: Подставляя x = 9 в данное уравнение, получаем: LHS = 13 (y − 4) −3 ( y − 9) −5 (y + 4) = 13y − 52−3y + 27−5y − 20 = 13y − 3y − 5y − 52 + 27−20 = 5y − 45 = 5 × 9−45 = 45−45 = 0RHS = 0∴ LHS = RHS Следовательно, x = 9 является решением данного уравнения.

    Страница № 111:
    Ответ:

    Имеем 2m + 53 = 3m − 10⇒2m + 5 = 3 (3m − 10) ⇒2m + 5 = 9m − 30⇒2m − 9m = −30−5 (перенос 9m в LHS и 5 в RHS) ⇒ −7m = −35⇒m = -355-71⇒m = 5 ПРОВЕРКА: Подставляя m = 5 в данное уравнение, получаем: LHS = 2m + 53 = 2 × 5 + 53 = 10 + 53 = 15531 = 5 RHS = 3m − 10 = 3 × 5−10 = 15−10 = 5 ∴ LHS = RHS Следовательно, x = 5 является решением данного уравнения.

    Страница № 111:
    Вопрос 13:

    6 (3 x + 2) — 5 (6 x — 1) = 3 ( x — 8) — 5 (7 x — 6) + 9 x

    Ответ:

    Имеем: 6 (3x + 2) −5 (6x − 1) = 3 (x − 8) −5 (7x − 6) + 9x⇒ 18x + 12−30x + 5 = 3x − 24−35x + 30 + 9x⇒18x − 30x − 3x + 35x − 9x = −24 + 30−12−5 (Транспонирование 3x, 9x и -35x в LHS и 12 и 5 в RHS) ⇒ 53x − 42x = 30−41⇒11x = −11 ⇒x = −111111⇒x = −1CHECK: Подставляя x = −1 в данное уравнение, получаем: LHS = 6 (3x + 2) −5 (6x − 1) = 18x + 12−30x + 5 = −12x +17 = −12 × (−1) +17 = 12 + 17 = 29 RHS = 3 (x − 8) −5 (7x − 6) + 9x = 3x − 24−35x + 30 + 9x = 12x − 35x− 24 + 30 = −23x + 6 = −23 × (−1) +6 = 23 + 6 = 29 ∴ LHS = RHS Следовательно, x = −1 является решением данного уравнения.

    Страница № 111:
    Вопрос 14:

    т — (2 т + 5) — 5 (1-2 т ) = 2 (3 + 4 т ) −3 ( т -4)

    Ответ:

    Имеем: t− (2t + 5) −5 (1−2t) = 2 (3 + 4t) −3 (t − 4) ⇒t − 2t − 5−5 + 10t = 6 + 8t − 3t + 12. ⇒t −2t + 10t − 8t + 3t = 6 + 12 + 5 + 5 (транспонированием) ⇒14t − 10t = 28⇒4t = 28⇒x = 28741⇒x = 7 ПРОВЕРКА: Подставляя x = 7 в данное уравнение, получаем: LHS = t− (2t + 5) −5 (1−2t) = t − 2t − 5−5 + 10t = 11t − 2t − 10 = 9t − 10 = 9 × 7−10 = 63−10 = 53 RHS = 2 (3 + 4t) −3 (t − 4) = 6 + 8t − 3t + 12 = 5t + 18 = 5 × 7 + 18 = 35 + 18 = 53 ∴ LHS = RHS Следовательно, x = 7 равно решение данного уравнения.

    Страница № 111:
    Ответ:

    Имеем: 23x = 38x + 712⇒23x − 38x = 712 (транспонирование 38x в LHS) ⇒2 × 8−3 × 324x = 712⇒16−924x = 712⇒724x = 712⇒x = 71121 × 24271⇒x = 2CHECK: Подставляя x = 2 в данное уравнение, мы получаем: LHS = 23x = 23 × 2 = 43 RHS = 38x + 712 = 38 × 2 + 712 = 68 + 712 = 6 × 3 + 7 × 224 = 18 + 1424 = 324243 = 43 ∴ LHS = RHS Следовательно, x = 2 является решением данного уравнения.

    Страница № 111:
    Ответ:

    Имеем: 3x − 15 − x7 = 3⇒7 (3x − 1) −5 × x35 = 3 ⇒21x − 7−5×35 = 3⇒16x − 735 = 3⇒16x − 7 = 3 × 35 (перенос 35 на RHS) ⇒16x − 7 = 105⇒16x = 105 + 7⇒16x = 112⇒x = 1127161⇒x = 7 CHECK: Подставляя x = 7 в данное уравнение, получаем: LHS = 3x − 15 − x7 = 7 (3x −1) −5 × x35 = 21x − 7−5×35 = 16x − 735 = 16 × 7−735 = 112−735 = 1053351 = 3 RHS = 3 ∴ LHS = RHS Следовательно, x = 3 является решением данного уравнения .

    Страница № 111:
    Вопрос 17:

    2х-3 = 310 (5х-12)

    Ответ:

    Имеем: 2x − 3 = 310 (5x − 12) ⇒10 (2x − 3) = 3 (5x − 12) ⇒20x − 30 = 15x − 36⇒20x − 15x = −36 + 30 (перенос 15x в LHS и от −30 до RHS) ⇒5x = −6 ⇒x = −65 CHECK: Подставляя x = −65 в данное уравнение, мы получаем: LHS = 2x − 3 = 2 × (−65) −3 = −125−3 = −12− (3 × 5) 5 = −12−155 = −275 RHS = 310 (5x − 12) = 310 (51 × −651−12) = 310 × (−18) = 3105 × −189 = −275 ∴ LHS = RHS Следовательно, x = −65 является решением данного уравнения.

    Страница № 111:
    Ответ:

    Имеем: y − 13 − y − 24 = 1⇒4 (y − 1) −3 (y − 2) 12 = 1 ⇒4y − 4−3y + 612 = 1⇒y + 212 = 1⇒y + 2. = 1 × 12 ⇒y = 12−2⇒y = 10 ПРОВЕРКА: Подставляя y = 10 в данное уравнение, получаем: LHS = y − 13 − y − 24 = 4 (y − 1) −3 (y − 2) 12 = y + 212 = 10 + 212 = 121121 = 1 RHS = 1 ∴ LHS = RHS Следовательно, y = 10 является решением данного уравнения.

    Страница № 112:
    Вопрос 19:

    х-24 + 13 = х-2x-13

    Ответ:

    Имеем: x − 24 + 13 = x − 2x − 13⇒x − 24 + 2x − 13 − x = −13 (Транспонирование -2x − 13 в LHS и 13 в RHS) ⇒3 (x − 2) +4 ( 2x − 1) −12×12 = −13⇒3x − 6 + 8x − 4−12×12 = −13⇒11x − 12x − 10 = −131 × 124 ⇒ − x = −4 + ​​10⇒ − x = 6⇒x = — 6ПРОВЕРКА: Подставляя x = −6 в данное уравнение, мы получаем: LHS = x − 24 + 13 = −6−24 + 13 = −2 + 13 = −53 RHS = x − 2x − 13 = −6−2 × (−6) −13 = −6 — (- 13) 3 = −6 + 133 = −53 ∴ LHS = RHS Следовательно, y = 10 является решением данного уравнения.

    Страница № 112:
    Вопрос 20:

    2x-13-6x-25 = 13

    Ответ:

    Имеем: 2x − 13−6x − 25 = 13⇒5 (2x − 1) −3 (6x − 2) 15 = 13 ⇒10x − 5−18x + 615 = 13⇒ − 8x + 115 = 13⇒ − 8x + 1 = 13 × 15 ⇒ − 8x = 5−1⇒ − x = 48⇒x = −24 = -12 CHECK: Подставляя x = −12 в данное уравнение, получаем: LHS = 2x − 13−6x − 25 = −8x + 115 = −8 × (−12) +115 = 515 = 13RHS = 13 ∴ LHS = RHS Следовательно, y = −12 является решением данного уравнения.

    Страница № 112:
    Вопрос 21:

    г + 73 = 1 + 3г-25

    Ответ:

    Имеем: y + 73 = 1 + 3y − 25⇒y + 73 = 5 × 1 + 3y − 25 ⇒5 (y + 7) = 3 (3 + 3y) ⇒5y + 35 = 9 + 9y⇒9y− 5y = 35−9 ⇒4y = 26⇒y = 132 CHECK: Подставляя x = 132 в данное уравнение, получаем: LHS = y + 73 = 132 + 73 = 1 × 13 + 2 × 72 = 13 + 146 = 276 = 92 RHS = 1 + 3 × 132−25 = 1 + 39−2 × 225 = 1 + 3510 = 4510 = 92 ∴ LHS = RHS Следовательно, y = 132 является решением данного уравнения.

    Страница № 112:
    Вопрос 22:

    27 (х-9) + х3 = 3

    Ответ:

    Имеем: ⇒27 (x − 9) + x3 = 3⇒2 × 3 (x − 9) + 7×21 = 3 ⇒6 (x − 9) + 7x = 3 × 21⇒6x − 54 + 7x = 63⇒ 13x = 63 + 54 ⇒ 13x = 117⇒x = 9 ПРОВЕРКА: Подставляя x = 9 в данное уравнение, получаем LHS = 27 (x − 9) + x3 = 27 (9−9) + x3 = 0 + 93 = 93. = 3 RHS = 3∴ LHS = RHS Следовательно, x = 9 является решением данного уравнения.

    Страница № 112:
    Вопрос 23:

    2х-35 + х + 34 = 4х + 17

    Ответ:

    Имеем: ⇒2x − 35 + x + 34 = 4x + 17⇒4 (2x − 3) +5 (x + 3) 20 = 4x + 17 ⇒8x − 12 + 5x + 1520 = 4x + 17⇒13x + 320 = 4x + 17⇒7 (13x + 3) = 20 (4x + 1) ⇒91x + 21 = 80x + 20⇒91x − 80x = 20−21⇒11x = −1⇒x = −111 CHECK: Подстановка x = — 111 в данном уравнении, получаем: LHS: LHS = 2x − 35 + x + 34 = 2 × 111−35 + −111 + 34 = −2−3355 + 33−144 = −3555 + 3244 = -140 + 160220 = 20220 = 111 RHS = 4x + 17 = 4 × (−111) + 17 = −4 + ​​117 × 11 = 777 = 111∴ LHS = RHS Следовательно, x = −111 является решением данного уравнения.

    Страница № 112:
    Вопрос 24:

    34 (7x-1) -2x-1-x2 = x + 32

    Ответ:

    Имеем: 34 (7x − 1) −2x − 1 − x2 = x + 32⇒34 (7x − 1) −2x + 1 − x2 − x = 32 ⇒3 × 74x − 34−2x + 12 − x2− x = 32⇒214x − 2x − x2 − x = 32 + 34−12 (Путем транспонирования) ⇒21x − 8x − 2 × x − 4×4 = 1 + 34 ⇒21x − 14×4 = 74⇒7×4 = 74⇒x = 1 ПРОВЕРКА: Подставляя x = 1 в данное уравнение, получаем: LHS = 34 (7x − 1) −2x − 1 − x2 = 34 (7 × 1−1) −2 × 1−1−12 = 34 × 6−2 = 92−2 = 9−42 = 52RHS = x + 32 = 1 + 32 = 2 + 32 = 52∴ LHS = RHS Следовательно, x = 1 является решением данного уравнения.

    Страница № 112:
    Вопрос 25:

    х + 26-11-х3-14 = 3х-412

    Ответ:

    Имеем: x + 26−11 − x3−14 = 3x − 412⇒x + 26−11 − x3 + 14 = 3x − 412⇒x + 26−11 − x3−3x − 412 = −14 (транспонированием) ⇒2 (x + 2) −4 (11 − x) −1 (3x − 4) 12 = −14⇒2x + 4−44 + 4x − 3x + 412 = −14⇒3x − 36 = −14 × 12 ⇒ 3x = −3 + 36⇒x = 333⇒x = 11 ПРОВЕРКА: Подставляя x = 11 в данное уравнение, получаем: LHS = x + 26− (11 − x3−14) = 11 + 26− (11−113− 14) = 136 — (- 14) = 136 + 14 = 13 × 2 + 312 = 2912 RHS = 3x − 412 = 3 × 11−412 = 33−412 = 292∴ LHS = RHS Следовательно, x = 11 является решением данное уравнение.Проверено.

    Страница № 112:
    Вопрос 26:

    9x + 72-x-x-27 = 36

    Ответ:

    Имеем: 9x + 72− (x − x − 27) = 36⇒9x + 72 − x + x − 27 = 36⇒7 (9x + 7) −14 × x + 2 × (x − 2) 14 = 36 ⇒63x + 49−14x + 2x − 414 = 36⇒51x + 45 = 36 × 14⇒51x = 504−45 ⇒x = 45951⇒x = 9⇒x = 9 ПРОВЕРКА: Подставляя x = 9 в данное уравнение, мы получаем: LHS = 9x + 72 − x − x − 27 = 9 × 9 + 72−9−9−27 = 882−9 + 77 = 44−9 + 1 = 36 RHS = 36∴ LHS = RHS Следовательно, x = 11 является решением данного уравнения.Проверено.

    Страница № 112:
    Вопрос 27:

    0,5x + x3 = 0,25x + 7

    Ответ:

    Имеем: 0,5x + x3 = 0,25x + 7⇒12x + x3 = x4 + 7⇒x2 + x3 − x4 = 7 ⇒6x + 4x − 3×12 = 7⇒7×12 = 7⇒x = 12 ПРОВЕРКА: Подстановка x = 9 в данном уравнении, получаем: LHS = 0,5x + x3 = 0,5 × 12 + 123 = 12 × 12 + 4 = 6 + 4 = 10 RHS = 0,25x + 7 = 0,25 × 12 + 7 = 3 + 7 = 10 ∴ LHS = RHS Следовательно, x = 12 является решением данного уравнения.Проверено.

    Страница № 112:
    Вопрос 28:

    0,18 (5 x — 4) = 0,5 x + 0,8

    Ответ:

    Мы имеем: 0,18 (5x − 4) = 0,5x + 0,8⇒100 × 0,18 (5x − 4) = 100 (0,5x + 0,8) (Умножение обеих сторон на 100) ⇒18 (5x − 4) = 100 × 0,5 x + 100 × 0,8 ⇒90x − 72 = 50x + 80⇒90x − 50x = 80 + 72⇒40x = 152⇒x = 15240⇒x = 195 = 3,8 ПРОВЕРКА: Подставляя x = 3.8 в данном уравнении получаем: LHS = 0,18 (5x − 4) = 0,18 (5 × 3,8−4) = 0,18 × 15 = 2,7 RHS = 0,5x + 0,8 = 0,5 × 3,8 + 0,8 = 1,9 + 0,8 = 2,7 ∴ LHS = RHS Следовательно, x = 3.8 является решением данного уравнения. Проверено.

    Страница № 112:
    Вопрос 29:

    2,4 (3 — x ) — 0,6 (2 x — 3) = 0

    Ответ:

    Имеем: ⇒2,4 (3 − x) −0,6 (2x − 3) = 0⇒10 × 2.4 (3 − x) −10 × 0,6 (2x − 3) = 0 (Умножение обеих частей на 10 для удаления десятичных знаков) ⇒24 (3 − x) −6 (2x − 3) = 0 ⇒6 [4 (3− x) — (2x − 3)] = 0⇒4 (3 − x) — (2x − 3) = 0⇒12−4x − 2x + 3 = 0⇒15−6x = 0⇒ − 6x = −15⇒x = 156⇒x = 52 = 2,5 ПРОВЕРКА: Подставляя x = 2,5 в данное уравнение, получаем: LHS = 2,4 (3 − x) −0,6 (2x − 3) = 2,4 (3−2,5) −0,6 (2 × 2,5 −3) = 2,4 × 0,5−0,6 × 2 = 1,2-1,2 = 0RHS = 0∴ LHS = RHS Следовательно, x = 195 является решением данного уравнения. Проверено.

    Страница № 112:
    Вопрос 30:

    0.5 x — (0,8 — 0,2 x ) = 0,2 — 0,3 x

    Ответ:

    Имеем: 0,5x− (0,8−0,2x) = 0,2−0,3x⇒0,5x + 0,3x − 0,8 + 0,2x = 0,2 (путем транспонирования) ⇒ (0,5 + 0,3 + 0,2) x = 0,2 + 0,8 ⇒1x = 1⇒x = 1 ПРОВЕРКА: Подставляя x = 1 в данное уравнение, получаем: LHS = 0,5x− (0,8−0,2x) = 0,5 × 1− (0,8−0,2 × 1) = 0,5−0,8 + 0,2 = — 0,1 RHS = 0,2−0,3x = 0,2−0,3 × 1 = −0,1∴ LHS = RHS Следовательно, x = 1 является решением данного уравнения. Проверено.

    Страница № 112:
    Ответ:

    Имеем: x + 2x − 2 = 73⇒ (x + 2) × 3 = 7 × (x − 2) (перекрестное умножение) ⇒3x + 6 = 7x − 14 ⇒4x = 20⇒x = 204⇒x = 5ПРОВЕРКА: Подставляя x = 5 в данное уравнение, получаем. LHS = x + 2x − 2 = 5 + 25−2 = 73 RHS = 73∴ LHS = RHS Следовательно, x = 5 является решением данного уравнения. Проверено.

    Страница № 112:
    Ответ:

    Имеем: 2x + 53x + 4 = 3⇒2x + 53x + 4 = 31⇒1 × (2x + 5) = 3 × (3x + 4) ⇒2x + 5 = 9x + 12⇒7x = −7⇒x = −1CHECK: Подставляя x = −1 в данное уравнение, мы получаем: LHS: 2x + 53x + 4 = 2 × (−1) + 53 × (−1) + 4 = −2 + 5−3 + 4 = 31RHS = 3∴ LHS = RHS Следовательно, x = 5 является решением данного уравнения.Проверено.

    Страница № 114:
    Вопрос 1:

    Двойное число при уменьшении на 7 дает 45. Найдите число.

    Ответ:

    Пусть число будет x. Тогда имеем: ⇒2x − 7 = 45⇒2x = 45 + 7⇒x = 45 + 72⇒x = 522621⇒x = 26∴ Требуемое число — 26.

    Страница № 114:
    Вопрос 2:

    Трехкратное увеличение числа на 5 дает 44.Найдите номер.

    Ответ:

    Пусть число будет x. Тогда имеем: ⇒3x + 5 = 44⇒3x = 44−5⇒x = 44−53⇒x = 3

    ⇒x = 13∴ Требуемое число — 13

    .

    Страница № 114:
    Вопрос 3:

    Четыре, добавленные к двойному числу, дает 265. Найдите дроби.

    Ответ:

    Пусть число будет x.Тогда имеем: ⇒2x + 4 = 265⇒2x = 265−4⇒2x = 26−205⇒x = 63105⇒x = 35∴ Требуемая дробь равна 35.

    Страница № 114:
    Вопрос 4:

    Число, добавленное к его половине, дает 72. Найдите число.

    Ответ:

    Пусть требуется число x. Тогда имеем: ⇒x + x2 = 72⇒2x + x2 = 72⇒3×2 = 72⇒3x = 72 × 2⇒x = 7224 × 231 = 48 ∴ Требуемое число — 48.

    Страница № 114:
    Вопрос 5:

    Число, добавленное к его двум третям, равно 55.Найдите номер.

    Ответ:

    Пусть нужное число будет x. Тогда имеем: ⇒x + 2×3 = 55⇒3x + 2×3 = 55⇒5x = 55 × 3⇒x = 5511 × 351 = 33∴ Требуемое число — 33.

    Страница № 114:
    Вопрос 6:

    Число при умножении на 4 превосходит само себя на 45. Найдите число.

    Ответ:

    Пусть нужное число будет x.Тогда имеем: ⇒4x − x = 45⇒3x = 453⇒x = 15∴ Требуемое число 15.

    Страница № 114:
    Вопрос 7:

    Число как больше 21, так и меньше 71. Найдите число.

    Ответ:

    Пусть число будет x. Тогда имеем: (x − 21) = (71 − x) ⇒x + x = 71 + 21⇒2x = 92⇒x = 1⇒x = 46 ∴ Требуемое число — 46.

    Страница № 115:
    Вопрос 8:

    23 числа меньше исходного числа на 20. Найдите число.

    Ответ:

    Пусть исходное число будет x. Тогда имеем: ⇒23x = x − 20⇒2×3 − x = −20⇒2x − 3×3 = −20⇒ − x = −20 × 3⇒x = 60 ∴ Исходное число 60.

    Страница № 115:
    Вопрос 9:

    Число в 25 раз больше другого числа.Если их сумма равна 70, найдите числа.

    Ответ:

    Пусть число будет x. Тогда второе число будет 2×5. Теперь у нас есть: ⇒x + 2×5 = 70⇒5x + 2×5 = 70⇒7×5 = 70⇒x = 7010 × 571∴ Другое число = 50 × 25 = 20 Следовательно, числа 50 и 20.

    Страница № 115:
    Вопрос 10:

    Две трети числа больше одной трети числа на 3.Найдите номер.

    Ответ:

    Пусть число будет x. Тогда имеем: 23x = 13x + 3⇒13x = 2×3−3⇒x3−2×3 = −3⇒x − 2×3 = −3⇒x − 2x = 3 × (−3) ⇒ − x = −9∴ Требуемое номер 9.

    Страница № 115:
    Вопрос 11:

    Пятая часть числа при увеличении на 5 равняется его четвертой части, уменьшенной на 5. Найдите число.

    Ответ:

    Пусть число будет x.Тогда имеем: ⇒x5 + 5 = x4-5⇒x5-x4 = -5-5⇒-x20 = -10⇒x = 200∴ Требуемое число — 200.

    Страница № 115:
    Вопрос 12:

    Найдите два последовательных натуральных числа, сумма которых равна 63.

    Ответ:

    Пусть два последовательных натуральных числа — это x и (x + 1), тогда имеем: x + (x + 1) = 63⇒x + x + 1 = 63⇒2x = 63−1⇒x = 623121⇒x = 31∴Необходимые числа 31 и 32 (т.е., 31 + 1).

    Страница № 115:
    Вопрос 13:

    Найдите два последовательных положительных нечетных целых числа, сумма которых равна 76.

    Ответ:

    Пусть два последовательных нечетных целых числа с суммой 76 равны x и (x + 2). Тогда x + x + 2 = 76⇒2x + 2 = 76⇒2x = 76−2⇒x = 74 ÷ 2 ⇒x = 37∴ Требуемые целые числа 37 и 39 (т. Е. 37 + 2).

    Страница № 115:
    Вопрос 14:

    Найдите два последовательных положительных четных целых числа, сумма которых равна 90.

    Ответ:

    Пусть три последовательных положительных четных целых числа равны x, (x + 2) и (x + 4). Пусть x будет четным числом. Тогда x + x + 2 + x + 4 = 90⇒3x = 90−6⇒ 3x = 84⇒x = 843 = 28∴ Требуемые числа: 28, 30 и 32.

    Страница № 115:
    Вопрос 15:

    Разделить 184 на две части так, чтобы одна треть одной части могла превышать одну седьмую другой части на 8.

    Ответ:

    Пусть две части суть x и (184 − x). Тогда имеем: 13x = 17 (184 − x) + 8⇒13x − 17 (184 − x) = 8⇒13x −1847 + x7 = 8 ⇒13x + 17x = 1847 + 8⇒7x + 3×21 = 8 + 1847⇒10×21 = 56 + 1847⇒10×21 = 2407⇒x = 240 × 217 × 10 = 72 Теперь другая часть = 184−72 = 112∴ Две части равны 72 и 112.

    Страница № 115:
    Вопрос 16:

    Сумма 500 представлена ​​номиналами 5 и 10.Если общее количество нот 90, найдите количество нот каждого типа.

    Ответ:

    Пусть количество банкнот пяти рупий равно x. Тогда количество банкнот десяти рупий будет (90 − x). Согласно вопросу, мы имеем: 5x + 10 (90 − x) = 500⇒5x + 900− 10x = 500⇒ −5x = −400⇒x = 80 Количество банкнот по десять рупий = 90-80 = 10∴ Имеется 80 банкнот по пять рупий и 10 банкнот по десять рупий.

    Страница № 115:
    Вопрос 17:

    Сумитра имеет 34 монеты номиналом 50 и 25 пайсов.Если количество монет номиналом 25 пайсов вдвое превышает количество монет номиналом 50 пайсов, сколько монет каждого вида у нее есть?

    Ответ:

    Пусть номера 50 монет пайсе и 25 монет пайсе равны x и 2x соответственно. Тогда мы имеем: 50x + 25 × 2x = 3400⇒50x + 50x = 3400⇒100x = 3400⇒x = 34∴ Число 50 пайсов монет = 34и количество монет 25 пайсов = 68

    Страница № 115:
    Вопрос 18:

    Раджу на 19 лет моложе своего двоюродного брата.Через 5 лет их возраст будет в соотношении 2: 3. Найдите их нынешний возраст.

    Ответ:

    Пусть нынешний возраст Раджу и его двоюродного брата будет (x-19) лет и x лет. Согласно вопросу имеем: (x − 19) + 5x + 5 = 23⇒3 (x − 14) = 2x + 10⇒3x − 42 = 2x + 10⇒x = 52 ∴ Возраст двоюродного брата Раджу = 52 года и возраст Раджу = 52-19 = 33 года

    Страница № 115:
    Вопрос 19:

    Отец на 30 лет старше сына.Через 12 лет мужчина будет в три раза старше своего сына. Найдите их нынешний возраст.

    Ответ:

    Пусть возраст сына и отца будет x лет и (x + 30) лет соответственно. Согласно вопросу, имеем: 3 × (x + 12) = x + 30 + 12⇒3x + 36 = x + 42⇒3x − x = 42−36⇒2x = 6⇒x = 3∴ Возраст сына = 3 года Возраст отца = (x + 30) лет = (3 + 30) лет = 33 года

    Страница № 115:
    Вопрос 20:

    Возраст Сонала и Маноджа находится в соотношении 7: 5.Через десять лет соотношение их возрастов будет 9: 7. Найдите их нынешний возраст.

    Ответ:

    Учитывая соотношение возрастов Сонала и Маноджа = 7: 5 Пусть возраст Сонала и Маноджа составляет 7x лет и 5x лет. Согласно вопросу, мы имеем: 7x + 105x + 10 = 97⇒7 (7x + 10) = 9 ( 5x + 10) ⇒49x + 70 = 45x + 90⇒49x − 45x = 90−70⇒4x = 20⇒x = 5∴ Текущий возраст Сонала составляет 7 × 5 = 35 лет. Нынешний возраст Маноджа составляет 5 × 5 = 25 лет

    .

    Страница № 115:
    Вопрос 21:

    Пять лет назад мужчине было в семь раз старше своего сына.Через пять лет отец будет в три раза старше своего сына. Найдите их нынешний возраст.

    Ответ:

    Пусть x лет будет настоящим возрастом сына. Тогда возраст сына 5 лет назад будет (x − 5) лет Тогда Возраст отца = 7 (x-5) лет Через 5 лет возраст сына будет (x + 5) лет Тогда возраст отца = 3 (x + 5) лет Теперь у нас есть 3 (x + 5) = 7 (x − 5) + 10⇒ 3x + 15 = 7x − 35 + 10⇒4x = 40⇒x = 10∴ Текущий возраст отца = 3 (x + 5) -5 = 3 (10 + 5) −5 = 40 лет

    Страница № 115:
    Вопрос 22:

    Через 12 лет Маноджу будет в 3 раза больше, чем он был 4 года назад.Найдите его нынешний возраст.

    Ответ:

    Пусть x будет нынешним возрастом Маноджа. Согласно вопросу, мы имеем: ⇒x + 12 = 3 (x − 4) ⇒x + 12 = 3x − 12⇒2x = 24⇒x = 12 ∴ Настоящий возраст Маноджа равен 12 лет.

    Страница № 115:
    Вопрос 23:

    На экзамене студенту необходимо сдать 40% от общего количества баллов. Если Рупа набирает 185 баллов и проигрывает 15 баллов, найдите общее количество баллов.

    Ответ:

    Пусть x будет общим количеством баллов. Согласно вопросу, мы имеем: 40% от x = 185 + 15⇒40×100 = 200⇒40x = 200 × 100⇒40x = 20000⇒x = 500∴Общее количество баллов = 500

    Страница № 115:
    Вопрос 24:

    Число состоит из двух цифр, сумма которых равна 8. Если к числу добавляется 18, его цифры меняются местами. Найдите номер.

    Ответ:

    Пусть x будет цифрой в единицах измерения.Сумма цифр единиц и десятков = 8 Затем цифра десятков = (8 − x) ∴ Число равно 10 (8 − x) + x. Теперь 10 (8 − x) + x + 18 = 10x + (8 − x) ⇒80−10x + x + 18 = 10x + 8 − x⇒98−9x = 9x + 8⇒18x = 90⇒x = 5, т.е. цифра десятков = (8−5) = 3 Требуемое число = 10 ( 8−5) + 5 = 10 × 3 + 5 = 35

    Страница № 115:
    Вопрос 25:

    Общая стоимость 3 стола и 2 стула составляет 1850. Если стол стоит на 75 больше, чем стул, найдите цену каждого.

    Ответ:

    Пусть Rs x будет стоимостью стула.Тогда стоимость стола составит (x + 75) рупий, а теперь 3 (x + 75) + 2x = 1850⇒3x + 225 + 2x = 1850⇒5x = 1625⇒x = 16255 = 325∴Стоимость стула = 325 рупий; стоимость стола = (325 + 75) = 400

    рупий

    Страница № 115:
    Вопрос 26:

    Мужчина продал товар за 495 и получил на этом 10% прибыли. Найдите себестоимость статьи.

    Ответ:

    Пусть себестоимость товара составит x рупий.Согласно вопросу, мы имеем: SP = 495 рупий ∴ Прирост% = GainCP × 100⇒10 = Gainx × 100⇒Gain = 10×100 = Rs x10Now, CP + Gain = SP⇒x + x10 = 495⇒x + 10×10 = 495 ⇒11x = 495 × 10⇒x = 495 × 1011⇒x = 495011⇒x = 450∴CP = 450

    рупий

    Страница № 115:
    Вопрос 27:

    Длина прямоугольного поля вдвое больше его ширины. Если периметр поля составляет 150 метров, найдите его длину и ширину.

    Ответ:

    Пусть длина и ширина прямоугольного поля равны l m и b m соответственно.Согласно вопросу, имеем: 2 (l + b) = 150 … (i) ⇒l + b = 75 Учитывая, что l = 2b … (ii) Используя (ii) в (i), имеем: 2b + b = 75⇒ 3b = 75⇒b = 25∴ l = 50 м и b = 25 м

    Страница № 115:
    Вопрос 28:

    Каждая из двух равных сторон треугольника на 5 метров меньше, чем удвоенная третья сторона. Если периметр треугольника 55 метров, найдите длины его сторон.

    Ответ:

    Пусть длина третьей стороны будет x м.Тогда длина двух равных сторон будет (2x − 5) м. (2x − 5) + (2x − 5) + x = 55⇒2x − 5 + 2x − 5 + x = 55⇒5x − 10 = 55⇒5x = 65⇒x = 655 = 13∴ Длина третьей стороны = 13 мА и длина двух других равных сторон = (2 × 13) −5 = 21 м

    Страница № 115:
    Вопрос 29:

    Два дополнительных угла отличаются на 8 0 . Найдите углы.

    Ответ:

    Пусть два дополнительных угла равны x ° и (90 − x) °.Согласно вопросу имеем: x− (90 − x) = 8 ⇒x − 90 + x = 8⇒2x = 98⇒x = 49∴Меры дополнительных углов равны 49 ° и (90−49) °. = 41 °.

    Страница № 115:
    Вопрос 30:

    Два дополнительных угла отличаются на 44 0 . Найдите углы.

    Ответ:

    Пусть два дополнительных угла равны x ° и (180 − x) ° .∴ x− (180 − x) = 44⇒x − 180 + x = 440⇒2x = 224⇒x = 112∴Меры дополнительных углов равны 112 ° и (180−112) °, т.е.э., 68 °.

    Страница № 115:
    Вопрос 31:

    В равнобедренном треугольнике углы основания равны, а угол при вершине в два раза больше каждого угла основания. Найдите размеры углов треугольника.

    Ответ:

    Пусть углы основания равнобедренного треугольника равны x ° каждый. Тогда угол при вершине будет (2x) °. Согласно вопросу, мы имеем: x + x + 2x = 180 (сумма трех сторон треугольника) ⇒ 4x = 180⇒x = 1804⇒x = 45 ∴ Каждый базовый угол составляет 45 °, а угол при вершине составляет (2 × 45) °, т.е.е., 90 °.

    Страница № 115:
    Вопрос 32:

    35 человек проехал по железной дороге, 14 — на такси, 18 — на автобусе и оставшиеся 2 км пешком. Какова продолжительность его путешествия?

    Ответ:

    Пусть общая длина пути равна x км. Согласно вопросу, мы имеем: 35x + 14x + 18x + 2 = x⇒24x + 10x + 5x + 8040 = x⇒39x + 80 = 40x⇒x = 80∴ Общая протяженность его пути — 80 км.

    Страница № 116:
    Вопрос 33:

    Рабочий нанят на 20 дней при условии, что он будет получать 120 за каждый рабочий день и будет оштрафован на 10 за каждый день отсутствия. Если он получит всего 1880, сколько дней он отсутствовал?

    Ответ:

    Пусть x будет количеством дней его отсутствия. ∴Количество дней его присутствия = (20 − x) Теперь (20 − x) 120−10x = 1880⇒2400 −120x − 10x = 1880⇒2400−1880 = 130x⇒130x = 520⇒x = 4∴ Количество дней его отсутствия = 4

    Страница № 116:
    Вопрос 34:

    Хари Бабу оставил одну треть своего имущества сыну, одну четвертую — дочери, а остальное — жене.Если доля его жены составляет 18000, сколько стоит его общая собственность?

    Ответ:

    Пусть стоимость собственности Хари Бабу будет равна x рупий. Согласно вопросу, мы имеем: доля сына = 14x доля дочери = 13x доля жены = {x− (14x + 13x)}. Предполагается, что доля его жены составляет 18000 рупий. , X− (14x + 13x) = 18000⇒x− (13x + 14x) = 18000⇒x − 7×12 = 18000⇒5×12 = 18000 ⇒x = 180003600 × 125 ⇒x = 43200∴ Общая стоимость имущества Хари Бабу составляет 43200 рупий.

    Страница № 116:
    Вопрос 35:

    Сколько чистого спирта нужно добавить к 400 мл 15% раствора, чтобы его крепость составила 32%.

    Ответ:

    Пусть объем чистого спирта будет x мл. Начальная концентрация = 15% Итак, начальное количество спирта в растворе будет = 15100 × 400 = 60 мл. Чтобы сделать крепость раствора 32%, мы сохраним количество водная постоянная и добавьте x объема чистого спирта. При добавлении чистого спирта объем раствора увеличивается до 400 + x. Согласно вопросу, имеем: x + 60400 + x = 32100⇒100x + 6000 = 12800 + 32x⇒ 100x − 32x = 12800−6000⇒68x = 6800⇒x = 100So, количество добавляемого чистого спирта = 100 мл

    Страница № 116:
    Вопрос 1:

    Отметьте (✓) против правильного ответа

    Если 5x-34 = 2x-23, то x =?

    (а) 112
    (б) 14
    (в) 36
    (г) 136

    Ответ:

    (d) 136 Имеем: 5x − 34 = 2x − 23⇒5x − 2x = −23 + 34⇒3x = −8 + 912⇒x = 112 × 3⇒x = 136

    .

    Страница № 116:
    Вопрос 2:

    Отметьте (✓) против правильного ответа

    Если 2z + 83 = 14z + 5, то z =?

    (а) 3
    (б) 4
    (в) 34
    (г) 43

    Ответ:

    (d) 43 Имеем: 2z + 83 = 14z + 5⇒2z − 14z = 5−83⇒8z − z4 = 15−83⇒7z4 = 73⇒z = 71 × 43 × 71⇒z = 43

    .

    Страница № 116:
    Вопрос 3:

    Отметьте (✓) против правильного ответа

    Если (2 n + 5) = 3 (3 n — 10), то n =?

    (а) 5
    (б) 3
    (в) 25
    (г) 23

    Ответ:

    (a) 5 Имеем: (2n + 5) = 3 (3n − 10) ⇒2n + 5 = 9n − 30⇒2n − 9n = −30−5⇒ − 7n = −35⇒n = 35571⇒n = 5.

    Страница № 116:
    Вопрос 4:

    Отметьте (✓) против правильного ответа

    Если x-1x + 1 = 79, то x =?

    (а) 6
    (б) 7
    (в) 8
    (г) 10

    Ответ:

    (c) 8 Имеем: x − 1x + 1 = 79⇒9 (x − 1) = 7 (x + 1) ⇒ 9x − 9 = 7x + 7⇒9x − 7x = 7 + 9⇒2x = 16⇒x. = 16821⇒x = 8

    Страница № 116:
    Вопрос 5:

    Отметьте (✓) против правильного ответа

    Если 8 (2 x — 5) — 6 (3 x — 7) = 1, то x =?

    (а) 2
    (б) 3
    (в) 12
    (г) 13

    Ответ:

    (c) 12 Имеем: 8 (2x − 5) −6 (3x − 7) = 1⇒16x − 40−18x + 42 = 1⇒ − 2x + 2 = 1⇒ − 2x = 1−2⇒ − x = −12⇒x = 12

    Страница № 116:
    Вопрос 6:

    Отметьте (✓) против правильного ответа

    Если x2-1 = x3 + 4, то x =?

    (а) 8
    (б) 16
    (в) 24
    (г) 30

    Ответ:

    (d) 30 Имеем: x2−1 = x3 + 4⇒x − 22 = x + 123⇒3 (x − 2) = 2 (x + 12) ⇒3x − 6 = 2x + 24⇒3x − 2x = 24. + 6⇒x = 30

    Страница № 116:
    Вопрос 7:

    Отметьте (✓) против правильного ответа

    Если 2x-13 = x-23 + 1, то x =?

    (а) 2
    (б) 4
    (в) 6
    (г) 8

    Ответ:

    (a) 2 Имеем: 2x − 13 = x − 23 + 1⇒2x − 13 = (x − 2) + 33⇒3 (2x − 1) = 3 (x + 1) ⇒6x − 3 = 3x + 3. ⇒6x − 3x = 3 + 3⇒3x = 6⇒x = 6231 = 2

    Страница № 116:
    Вопрос 8:

    Сумма двух последовательных целых чисел равна 53.Меньшее число —

    (а) 25
    (б) 26
    (в) 29
    (г) 23

    Ответ:

    (b) 26 Пусть последовательные целые числа будут x и (x + 1). Тогда x + (x + 1) = 53⇒2x + 1 = 53⇒2x = 53−1⇒x = 522621⇒x = 26

    Страница № 117:
    Вопрос 9:

    Сумма двух последовательных четных чисел равна 86. Большее из двух —

    (a) 46
    (b) 36
    (c) 38
    (d) 44

    Ответ:

    (d) 44 Пусть два последовательных четных числа будут x и (x + 2).Тогда x + (x + 2) = 86⇒2x + 2 = 86⇒2x = 86−2⇒x = 844221⇒x = 42 ∴ Требуются числа 42 и (42 + 2), т.е. 44.

    Страница № 117:
    Вопрос 10:

    Сумма двух последовательных нечетных чисел равна 36. Меньшее из них —

    (a) 15
    (b) 17
    (c) 19
    (d) 13

    Ответ:

    (b) 17 Пусть два последовательных нечетных числа будут (x + 1) и (x + 3).Тогда (x + 1) + (x + 3) = 36⇒2x + 4 = 36⇒2x = 36−4⇒x = 321621⇒x = 16∴Меньшее число равно 17.

    Страница № 117:
    Вопрос 11:

    при добавлении 9 к двойному целому числу дает 31. Целое число равно

    (a) 21
    (b) 16
    (c) 17
    (d) 11

    Ответ:

    (d) 11 Пусть целое число будет x. Тогда 2x + 9 = 31⇒2x = 31−9⇒2x = 22⇒x = 221121⇒x = 11

    Страница № 117:
    Вопрос 12:

    Трижды увеличение числа на 6 дает 24.Номер

    (а) 6
    (б) 7
    (в) 8
    (г) 11

    Ответ:

    (a) 6 Пусть целое число будет x. Тогда 3x + 6 = 24⇒3x = 24−6⇒3x = 18⇒x = 18631⇒x = 6

    Страница № 117:
    Вопрос 13:

    23 числа меньше исходного числа на 10. Исходное число —

    (a) 30
    (b) 36
    (c) 45
    (d) 60

    Ответ:

    (a) 30 Пусть исходное число будет x.Тогда 23x = x − 10⇒2x = 3x − 30⇒2x − 3x = −30⇒ − x = −30⇒x = 30∴ Требуемое число 30.

    Страница № 117:
    Вопрос 14:

    Два дополнительных угла отличаются на 10 °. Больший угол составляет

    (а) 60 °
    (б) 50 °
    (в) 64 °
    (г) 54 °

    Ответ:

    (b) 50 ° Пусть угол будет x °. Тогда, дополнительный x = 90 ° -x ° Согласно вопросу, мы имеем: x-90-x = 10⇒2x = 90 + 10⇒2x = 100⇒ x = 50 Итак, больший угол равен 50 °.

    Страница № 117:
    Вопрос 15:

    Два дополнительных угла отличаются на 20 °. Меньшая из двух мер

    (а) 60 °
    (б) 80 °
    (в) 100 °
    (г) 120 °

    Ответ:

    (b) 800 Пусть угол будет x °. Тогда дополнительный угол x = 180 ° -x ° Согласно вопросу, мы имеем: x-180-x = 20⇒x-180 + x = 20⇒2x = 10 + 180⇒2x = 200⇒x = 100 Следовательно, меньший угол равен 80 °.

    Страница № 117:
    Вопрос 16:

    Возраст A и B находится в соотношении 5: 3. Через 6 лет их возраст будет в соотношении 7: 5. Текущий возраст A составляет

    (a) 5 лет
    (b) 10 лет
    (в) 15 лет
    (г) 20 лет

    Ответ:

    (c) 15 лет Пусть нынешний возраст A и B равен 5x и 3x соответственно.Согласно вопросу, мы имеем: 5x + 63x + 6 = 75⇒25x + 30 = 21x + 42⇒25x − 21x = 42−30⇒4x = 12⇒x = 1234⇒x = 3 ∴ нынешний возраст A = 5 × 3 года = 15 лет

    Страница № 117:
    Вопрос 17:

    Число при умножении на 5 увеличивается на 80. Число:

    (a) 15
    (b) 20
    (c) 25
    (d) 30

    Ответ:

    (b) 20 Пусть число будет x.Тогда 5x = x + 80⇒5x − x = 80⇒4x = 80⇒x = 802041⇒x = 20∴ Требуемое число равно 20.

    Страница № 117:
    Вопрос 18:

    Длина прямоугольника в три раза больше его ширины, а его периметр равен 96 м. Длина

    (а) 12 м
    (б) 24 м
    (в) 36 м
    (г) 48 м

    Ответ:

    (c) 32 m Установите ширину прямоугольника x.Тогда его длина будет 3x. Периметр прямоугольника = 96 м. Теперь 2 (l + b) = 96 ⇒2 (3x + x) = 96⇒2 × 4x = 96⇒8x = 96⇒x = 961281⇒x = 12∴ Длина прямоугольника = 3 × 12 м = 36 м

    Страница № 118:
    Вопрос 1:

    Вычислить x 3 + y 3 + z 3 −3 xyz , когда x = −2, y = −1 и z .

    Ответ:

    Имеем: x3 + y3 + z3−3xyz = (- 2) 3 + (- 1) 3+ (3) 3−3 × (−2) × (−1) × 3 = −8−1 + 27− 18 = −27 + 27 = 0

    Страница № 118:
    Вопрос 2:

    Запишите коэффициент x в каждом из следующих значений:

    (i) −5 xy
    (ii) 2 xy 2 z
    (iii) -32abc

    Ответ:

    Коэффициент x в данных числах: (i) −5y (ii) 2y2z (iii) −32ab

    Страница № 118:
    Вопрос 3:

    Вычесть x 2 — 2 xy + 5 y 2 — 4 из 4 xy — 5 x 2 y . 2 .

    Ответ:

    Имеем: (4xy − 5×2 − y2 + 6) — (x2−2xy + 5y2−4) = 4xy − 5×2 − y2 + 6 − x2 + 2xy − 5y2 + 4 = −6×2−6y2 + 6xy + 10 = — 2 (3×2 + 3y2−3xy − 5)

    Страница № 118:
    Вопрос 4:

    Насколько меньше x 2 — 2 xy + 3 y 2 , чем 2 x 2 — 3 y 2 + xy ?

    Ответ:

    Имеем: (2×2−3y2 + xy) — (x2−2xy + 3y2) = 2×2−3y2 + xy − x2 + 2xy-3y2) = 2×2 − x2−3y2−3y2 + xy + 2xy = x2−6y2 + 3xy ∴ x2−2xy + 3y2 меньше 2×2−3y2 + x на x2−6y2 + 3xy.

    Страница № 118:
    Вопрос 5:

    Найдите продукт 35abc3 × -2512a3b2 × (-8b3c).

    Ответ:

    Имеем: 35abc3 × (−25) 12a3b2 × (−8b3c) = 3151abc3 × (−255) 1241a3b2 × (−82b3c) = abc3 × (−5a3b2) × (−2b3c) = 10a4b6c4

    .

    Страница № 118:
    Вопрос 6:

    Упростить:

    (3a + 4) (2a — 3) + (5a — 4) (a + 2)

    Ответ:

    Имеем: (3a + 4) (2a − 3) + (5a − 4) (a + 2) = {3a (2a − 3) +4 (2a − 3)} + {5a (a + 2) — 4 (a + 2)} = (6a2−9a + 8a − 12) + (5a2 + 10a − 4a − 8) = (6a2 − a − 12) + (5a2 + 6a − 8) = (11a2 + 5a − 20 )

    Страница № 118:
    Вопрос 7:

    Решить: 3×10 + 2×5 = 7×25 + 2925.

    Ответ:

    Имеем: 3×10 + 2×5 = 7×25 + 2925⇒3x + 4×10 = 7x + 2925⇒3x + 4×10 = 7x + 2925⇒7×10 = 7x + 2925⇒175x = 70x + 290⇒105x = 290⇒x = 2
    0521⇒x = 5821

    Страница № 118:
    Вопрос 8:

    Решить: 0,5x + x3 = 0,25x + 7.

    Ответ:

    Имеем: 0,5x + x3 = 0,25x + 7⇒1,5x + x3 = 0,25x + 7⇒1.5x + x = 3 (0,25x + 7) ⇒2,5x = 0,75x + 21⇒2,5x − 0,75x = 21⇒1,75x = 21⇒x = 211,75⇒x = 12

    Страница № 118:
    Вопрос 9:

    Сумма двух подряд идущих нечетных чисел равна 68. Найдите числа.

    Ответ:

    Пусть последовательные нечетные числа равны x и (x + 2). X + (x + 2) = 68⇒2x + 2 = 68⇒2x = 68−2⇒x = 663321⇒x = 33∴ Требуются числа 33 и (33 + 2), т. Е. 35.

    Страница № 118:
    Вопрос 10:

    Отцу Рину в три раза больше, чем Рину.Через 12 лет он будет вдвое его дочерью. Найдите их нынешний возраст.

    Ответ:

    Пусть нынешний возраст Рину будет x. Тогда нынешний возраст ее отца будет 3x. Возраст Рену после 12 лет = (x + 12) Возраст ее отца после 12 лет = (3x + 12) Итак, (3x + 12) = 2 (x + 12) ⇒3x + 12 = 2x + 24⇒x = 12∴ Текущий возраст Рену = 12 лет, а возраст ее отца = (3 × 12) = 36 лет

    Страница № 118:
    Вопрос 11:

    Отметьте (✓) против правильного ответа
    Если 2x + 53 = 14x + 4, то x =?
    (а) 3
    (б) 4
    (в) 34
    (г) 43

    Ответ:

    (г) 432x + 53 = 14x + 4⇒2x − 14x = 4−53⇒8x − 1×4 = 12−53⇒7×4 = 73⇒21x = 28⇒x = 284213 = 43

    Страница № 118:
    Вопрос 12:

    Отметьте (✓) против правильного ответа
    Если x2-x3 = 5, то x =?
    (а) 8
    (б) 16
    (в) 24
    (г) 30

    Ответ:

    (г) 30×2 − x3 = 5⇒3x − 2×6 = 5⇒x = 30

    Страница № 118:
    Вопрос 13:

    Отметьте (✓) против правильного ответа
    Если x-23 = 2x-13-1, то x =?
    (а) 2
    (б) 4
    (в) 6
    (г) 8

    Ответ:

    (а) 2x − 23 = 2x − 13−1⇒x − 23 = 2x − 1−33⇒x − 2 = 2x − 4⇒x-2x = -4 + 2⇒-x = -2⇒x = 2

    Страница № 118:
    Вопрос 14:

    Отметьте (✓) против правильного ответа
    Число при умножении на 4 увеличивается на 54.Номер

    (а) 21
    (б) 16
    (в) 18
    (г) 19

    Ответ:

    (c) 18 Пусть число будет x. Согласно вопросу имеем: 4x = x + 54⇒3x = 54⇒x = 18

    Страница № 118:
    Вопрос 15:

    Два дополнительных угла отличаются на 14 °. Больший угол составляет

    (а) 50 °
    (б) 52 °
    (в) 54 °
    (г) 56 °

    Ответ:

    (b) 52 ° Пусть два дополнительных угла равны x ° и (90 − x) °.Согласно вопросу имеем: x− (90 − x) = 14⇒2x = 104⇒x = 52⇒ (90 − x) ° = 90 ° −52 ° = 38 ° ∴Больше угол равен 52 °.

    Страница № 118:
    Вопрос 16:

    Длина прямоугольника вдвое больше его ширины, а его периметр равен 96 м. Длина прямоугольника

    (а) 28 м
    (б) 30 м
    (в) 32 м
    (г) 36 м

    Ответ:

    (c) 32 m Пусть длина и ширина прямоугольника равны l м и b м соответственно.Согласно вопросу имеем: l = 2b … (i) 2 (l + b) = 96 … (ii) Теперь 2 (2b + b) = 96⇒6b = 96⇒b = 16∴ Длина = 16 × 2 м = 32 м

    Страница № 118:
    Вопрос 17:

    Возраст A и B находится в соотношении 4: 3. Через 6 лет их возраст будет в соотношении 11: 9. Настоящий возраст A составляет

    (a) 12 лет
    (b) 16 лет
    (c ) 20 лет
    (г) 24 года

    Ответ:

    (b) 12 лет Пусть возраст A и B равен x и y годам соответственно.Теперь xy = 43⇒3x = 4y⇒x = 43y. Через 6 лет имеем: x + 6 y + 6 = 119⇒43y + 6y + 6 = 119⇒4y + 183 (y + 6) = 119⇒36y + 162. = 33y + 198⇒3y = 36⇒y = 12∴ x = 43 × 124 = 16 Следовательно, нынешний возраст A составляет 16 лет.

    Страница № 118:
    Вопрос 18:

    Заполните пропуски

    (i) −2 a 2 b is a …….
    (ii) ( a 2 — 2 b 2 ) — это a…….
    (iii) ( a + 2 b — 3 c ) является …….
    (iv) В −5 ab коэффициент при a равен …….
    (v) В x 2 + 2 x — 5, …… член равен −5.

    Ответ:

    (i) −2 a 2 b — моном .
    (ii) ( a 2 — 2 b 2 ) — это бином .
    (iii) ( a + 2 b — 3 c ) — это трехчлен .
    (iv) В −5 ab коэффициент при a равен -5 b .
    (v) В x 2 + 2 x — 5 константа составляет −5.

    Страница № 118:
    Вопрос 19:

    Напишите ‘T’ для истинного и ‘F’ для ложного

    (i) In — x , постоянный член равен -1.
    (ii) Коэффициент x в x 2 — 3 x + 5 равен 3.
    (iii) (5 x — 7) — (3 x — 5) = 2 x — 12.
    (iv) (3 x + 5 y ) (3 x — 5 y ) = (9 x 2 — 25 y 2 ) .
    (v) Если a = 2 и b = 12, то значение ab ( a 2 + b 2 ) равно 414.

    Ответ:

    (i) F Коэффициент при x равен -1. (Ii) F Коэффициент при x равен -3. (Iii) FLHS = (5x-7) — (3x-5) = 5x-7-3x + 5 = 2x- 2 (iv) TLHS = (3x + 5y) (3x-5y) = 3x (3x-5y) + 5y (3x-5y) = 9×2-15xy + 15xy-25y2 = 9×2-25y2 (v) T (a2 + b2 ) = 22 + 122 = 4 + 14 = 414

    Просмотреть решения NCERT для всех глав класса 7

    2.2 Линейные уравнения с одной переменной — College Algebra

    Кэролайн учится на дневном отделении колледжа и планирует весенние каникулы.Чтобы заработать достаточно денег для поездки, она устроилась на неполный рабочий день в местный банк, который платит 15 долларов в час, и 15 января она открыла сберегательный счет с первоначальным депозитом в 400 долларов. Она организовала прямой перевод своей заработной платы. чеки. Если весенние каникулы начнутся 20 марта и поездка будет стоить примерно 2500 долларов, сколько часов ей придется работать, чтобы заработать достаточно, чтобы оплатить отпуск? Если она может работать только 4 часа в день, сколько дней в неделю ей придется работать? Сколько это займет недель? В этом разделе мы исследуем подобные и другие проблемы, которые генерируют графики, подобные линии на рисунке 1.

    Рисунок 1

    Решение линейных уравнений с одной переменной

    Линейное уравнение — это уравнение прямой, записанное с одной переменной. Единственная степень переменной — 1. Линейные уравнения с одной переменной могут иметь вид ax + b = 0ax + b = 0 и решаются с использованием основных алгебраических операций.

    Мы начинаем с классификации линейных уравнений с одной переменной как одного из трех типов: тождественные, условные или противоречивые. Уравнение идентичности верно для всех значений переменной.Вот пример тождественного уравнения.

    Набор решений состоит из всех значений, которые делают уравнение истинным. Для этого уравнения набором решений является все действительные числа, потому что любое действительное число, замененное на xx, сделает уравнение истинным.

    Условное уравнение верно только для некоторых значений переменной. Например, если мы должны решить уравнение 5x + 2 = 3x − 6,5x + 2 = 3x − 6, мы имеем следующее:

    5x + 2 = 3x − 62x = −8x = −45x + 2 = 3x − 62x = −8x = −4

    Набор решений состоит из одного числа: {−4}.{−4}. Это единственное решение, поэтому мы решили условное уравнение.

    Несогласованное уравнение приводит к ложному утверждению. Например, если мы должны решить 5x − 15 = 5 (x − 4), 5x − 15 = 5 (x − 4), мы имеем следующее:

    5x − 15 = 5x − 205x − 15−5x = 5x − 20−5x Вычтите 5x с обеих сторон − 15 ≠ −20 Ложное утверждение 5x − 15 = 5x − 205x − 15−5x = 5x − 20−5x Вычтите 5x с обеих сторон − 15 ≠ −20 Ложное утверждение

    Действительно, −15 ≠ −20. − 15 ≠ −20. Нет решения, потому что это противоречивое уравнение.

    Решение линейных уравнений с одной переменной включает фундаментальные свойства равенства и основные алгебраические операции.Ниже приводится краткий обзор этих операций.

    Линейное уравнение с одной переменной

    Линейное уравнение с одной переменной можно записать в виде

    , где a и b — действительные числа, a ≠ 0.a ≠ 0.

    Как к

    Дано линейное уравнение с одной переменной, используйте алгебру для его решения.

    Следующие шаги используются для манипулирования уравнением и выделения неизвестной переменной, так что последняя строка читается как x = _________, x = _________, если x — неизвестное.Нет установленного порядка, так как используемые шаги зависят от того, что дано:

    1. Мы можем складывать, вычитать, умножать или делить уравнение на число или выражение, если мы делаем то же самое с обеими сторонами знак равенства. Обратите внимание, что мы не можем делить на ноль.
    2. При необходимости примените свойство распределения: a (b + c) = ab + ac.a (b + c) = ab + ac.
    3. Выделите переменную на одной стороне уравнения.
    4. Когда переменная умножается на коэффициент на последнем этапе, умножьте обе части уравнения на обратную величину коэффициента.

    Пример 1

    Решение уравнения с одной переменной

    Решите следующее уравнение: 2x + 7 = 19,2x + 7 = 19.

    Решение

    Это уравнение можно записать в виде ax + b = 0ax + b = 0, вычтя 1919 из обеих частей. Однако мы можем перейти к решению уравнения в его исходной форме, выполнив алгебраические операции.

    2x + 7 = 192x = 12 Вычтите 7 с обеих сторон. X = 6 Умножьте обе стороны на 12 или разделите на 2,2x + 7 = 192x = 12 Вычтите 7 с обеих сторон.x = 6 Умножьте обе части на 12 или разделите на 2.

    Решение: 6.

    Попробуй # 1

    Решите линейное уравнение с одной переменной: 2x + 1 = −9,2x + 1 = −9.

    Пример 2

    Алгебраическое решение уравнения, когда переменная появляется с обеих сторон

    Решите следующее уравнение: 4 (x − 3) + 12 = 15−5 (x + 6). 4 (x − 3) + 12 = 15−5 (x + 6).

    Решение

    Применить стандартные алгебраические свойства.

    4 (x − 3) + 12 = 15−5 (x + 6) 4x − 12 + 12 = 15−5x − 30 Примените свойство распределения.4x = −15−5x Объедините похожие члены. 9x = −15 Поместите x-члены на одну сторону и упростите. X = −159 Умножьте обе стороны на 19, обратное значение 9.x = −534 (x − 3) + 12 = 15− 5 (x + 6) 4x − 12 + 12 = 15−5x − 30 Примените свойство распределения. 4x = −15−5x Объедините подобные члены. 9x = −15 Поместите x-члены на одну сторону и упростите. X = −159 Умножьте обе стороны на 19, величина, обратная 9.x = −53

    Анализ

    Эта задача требует, чтобы свойство распределения применялось дважды, а затем свойства алгебры использовались для достижения последней строки, x = −53.х = -53.

    Попробуй # 2

    Решите уравнение с одной переменной: −2 (3x − 1) + x = 14 − x. − 2 (3x − 1) + x = 14 − x.

    Решение рационального уравнения

    В этом разделе мы рассмотрим рациональные уравнения, которые после некоторых манипуляций приводят к линейному уравнению. Если уравнение содержит хотя бы одно рациональное выражение, оно считается рациональным уравнением .

    Напомним, что рациональное число — это отношение двух чисел, например 2323 или 72,72. Рациональное выражение — это отношение или частное двух многочленов.Вот три примера.

    x + 1×2−4,1x − 3, или 4×2 + x − 2x + 1×2−4,1x − 3, или 4×2 + x − 2

    Рациональные уравнения имеют переменную в знаменателе по крайней мере в одном из членов.
    Наша цель — выполнить алгебраические операции так, чтобы переменные появились в числителе. Фактически, мы удалим все знаменатели, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (LCD).

    На ЖК-дисплее отображается выражение, которое содержит наивысшую степень всех факторов во всех знаменателях.Мы делаем это, потому что, когда уравнение умножается на ЖК-дисплей, общие множители на ЖК-дисплее и в каждом знаменателе будут равны единице и будут сокращаться.

    Пример 3

    Решение рационального уравнения

    Решите рациональное уравнение: 72x − 53x = 223,72x − 53x = 223.

    Решение

    У нас есть три знаменателя; 2x, 3x, 2x, 3x и 3. ЖК-дисплей должен содержать 2x, 3x, 2x, 3x и 3. ЖК-дисплей 6x6x содержит все три знаменателя. Другими словами, каждый знаменатель можно равномерно разделить на ЖКИ.Затем умножьте обе части уравнения на ЖК-дисплей 6x.6x.

    (6x) (72x − 53x) = (223) (6x) (6x) (72x) — (6x) (53x) = (223) (6x) Используйте свойство распределения. (6x) (72x) — (6x) (53x) = (223) (6x) Сократить общие множители 3 (7) −2 (5) = 22 (2x) Умножить оставшиеся множители на каждый числитель. 21−10 = 44×11 = 44×1144 = x14 = x (6x ) (72x − 53x) = (223) (6x) (6x) (72x) — (6x) (53x) = (223) (6x) Используйте свойство распределения. (6x) (72x) — (6x) (53x ) = (223) (6x) Сократить общие множители 3 (7) −2 (5) = 22 (2x) Умножить оставшиеся множители на каждый числитель. 21−10 = 44×11 = 44×1144 = x14 = x

    Распространенная ошибка, которую допускают при решении рациональных уравнений, заключается в нахождении ЖК-дисплея, когда один из знаменателей является биномом — добавляются или вычитаются два члена, например (x + 1).(х + 1). Всегда рассматривайте бином как отдельный фактор — термины нельзя разделить. Например, предположим, что в задаче есть три члена, а знаменатели — x, x, x − 1, x − 1 и 3x − 3,3x − 3. Во-первых, разложите на множители все знаменатели. Тогда у нас есть знаменатели x, x, (x − 1), (x − 1) и 3 (x − 1) 3 (x − 1). (Обратите внимание на скобки, заключенные вокруг второго знаменателя.) Только два последних знаменателя имеют общий множитель (x − 1). (X − 1). Xx в первом знаменателе отделен от xx в знаменателях (x − 1) (x − 1).Эффективный способ запомнить это — записать факторизованные и биномиальные знаменатели в круглые скобки и рассматривать каждую скобку как отдельную единицу или отдельный фактор. ЖК-дисплей в этом случае находится путем умножения вместе x, x, одного множителя (x − 1), (x − 1) и 3. Таким образом, ЖК-дисплей выглядит следующим образом:

    x (x − 1) 3 = 3x (x − 1) x (x − 1) 3 = 3x (x − 1)

    Итак, обе части уравнения умножаются на 3x (x − 1) .3x (x − 1). Оставьте ЖК-дисплей в факторизованной форме, так как так будет легче увидеть, как сокращается каждый знаменатель в задаче.

    Другой пример — задача с двумя знаменателями, такими как xx и x2 + 2x.x2 + 2x. После того, как второй знаменатель разложен на множители как x2 + 2x = x (x + 2), x2 + 2x = x (x + 2), в обоих знаменателях будет общий множитель x , а ЖК-дисплей будет x (x + 2 ) .x (x + 2).

    Иногда мы имеем рациональное уравнение в форме пропорции; то есть, когда одна дробь равна другой дроби и в уравнении нет других членов.

    Мы можем использовать другой метод решения уравнения, не находя ЖК-дисплей: перекрестное умножение.Умножаем члены, переходя через знак равенства.

    Умножаем a (d) a (d) и b (c), b (c), в результате получаем ad = bc.ad = bc.

    Любое решение, которое делает знаменатель в исходном выражении равным нулю, должно быть исключено из возможных.

    Рациональные уравнения

    Рациональное уравнение содержит по крайней мере одно рациональное выражение, в котором переменная присутствует по крайней мере в одном из знаменателей.

    Как к

    Решите рациональное уравнение.

    1. Разложите на множители все знаменатели в уравнении.
    2. Найдите и исключите значения, при которых каждый знаменатель будет равен нулю.
    3. Найдите ЖК-дисплей.
    4. Умножьте все уравнение на ЖК-дисплей. Если ЖК-дисплей правильный, знаменателей не останется.
    5. Решите оставшееся уравнение.
    6. Убедитесь, что вы проверили решения в исходных уравнениях, чтобы решение не давало ноль в знаменателе.

    Пример 4

    Решение рационального уравнения без факторинга

    Решите следующее рациональное уравнение:

    Решение

    У нас есть три знаменателя: x, x, 2,2 и 2x.2x. Факторинга не требуется. Произведение первых двух знаменателей равно третьему знаменателю, поэтому ЖК-дисплей равен 2x.2x. Только одно значение исключается из набора решений, 0. Затем умножьте все уравнение (обе стороны от знака равенства) на 2x.2x.

    2x (2x − 32) = (72x) 2x2x (2x) −2x (32) = (72x) 2xDistribute 2x.2 (2) −3x = 7 Знаменатели сокращаются. 4−3x = 7−3x = 3x = −1или { −1} 2x (2x − 32) = (72x) 2x2x (2x) −2x (32) = (72x) 2xDistribute 2x.2 (2) −3x = 7 Знаменатели сокращаются. 4−3x = 7−3x = 3x = −1or {−1}

    Предлагаемое решение — −1, что не является исключенным значением, поэтому набор решений содержит одно число, −1, −1 или {−1} {- 1}, записанное в обозначении набора.

    Попробуй # 3

    Решите рациональное уравнение: 23x = 14−16x.23x = 14−16x.

    Пример 5

    Решение рационального уравнения путем разложения знаменателя

    Решите следующее рациональное уравнение: 1x = 110−34x.1x = 110−34x.

    Решение

    Сначала найдите общий знаменатель. Три знаменателя в факторизованном виде: x, 10 = 2⋅5, x, 10 = 2⋅5 и 4x = 2⋅2⋅x. 4x = 2⋅2⋅x. Наименьшее выражение, которое делится на каждый из знаменателей, равно 20x.20x. Только x = 0x = 0 является исключенным значением. Умножьте все уравнение на 20x.20x.

    20x (1x) = (110−34x) 20×20 = 2x − 1535 = 2×352 = x20x (1x) = (110−34x) 20×20 = 2x − 1535 = 2×352 = x

    Решение: 352,352.

    Попробовать # 4

    Решите рациональное уравнение: −52x + 34x = −74. − 52x + 34x = −74.

    Пример 6

    Решение рациональных уравнений с биномом в знаменателе

    Решите следующие рациональные уравнения и укажите исключенные значения:

    1. ⓐ 3x − 6 = 5x3x − 6 = 5x
    2. ⓑ xx − 3 = 5x − 3−12xx − 3 = 5x − 3−12
    3. ⓒ xx − 2 = 5x − 2−12xx − 2 = 5x − 2−12
    Решение
    1. Знаменатели xx и x − 6x − 6 не имеют ничего общего.Следовательно, ЖКД — это произведение x (x − 6) .x (x − 6). Однако для этой задачи мы можем произвести перекрестное умножение.

      3x − 6 = 5x3x = 5 (x − 6) Распределить. 3x = 5x − 30−2x = −30x = 153x − 6 = 5x3x = 5 (x − 6) Распределить. 3x = 5x − 30−2x = −30x = 15

      Решение: 15. Исключенные значения: 66 и 0,0.

    2. ЖК-дисплей равен 2 (x − 3) .2 (x − 3). Умножим обе части уравнения на 2 (x − 3) .2 (x − 3).

      2 (x − 3) (xx − 3) = (5x − 3−12) 2 (x − 3) 2 (x − 3) xx − 3 = 2 (x − 3) 5x − 3−2 (x − 3 ) 22x = 10− (x − 3) 2x = 10 − x + 32x = 13 − x3x = 13x = 1332 (x − 3) (xx − 3) = (5x − 3−12) 2 (x − 3) 2 (x − 3) xx − 3 = 2 (x − 3) 5x − 3−2 (x − 3) 22x = 10− (x − 3) 2x = 10 − x + 32x = 13 − x3x = 13x = 133

      Решение — 133.133. Исключенное значение — 3,3.

    3. Наименьший общий знаменатель равен 2 (x − 2) .2 (x − 2). Умножаем обе части уравнения на x (x − 2) .x (x − 2).

      2 (x − 2) (xx − 2) = (5x − 2−12) 2 (x − 2) 2x = 10− (x − 2) 2x = 12 − x3x = 12x = 42 (x − 2) (xx −2) = (5x − 2−12) 2 (x − 2) 2x = 10− (x − 2) 2x = 12 − x3x = 12x = 4

      Решение: 4. Исключенное значение: 2.2.

    Попробуй # 5

    Решите −32x + 1 = 43x + 1. − 32x + 1 = 43x + 1. Укажите исключенные значения.

    Пример 7

    Решение рационального уравнения с факторизованными знаменателями и указанием исключенных значений

    Решите рациональное уравнение после разложения знаменателей на множители: 2x + 1−1x − 1 = 2xx2−1.2x + 1−1x − 1 = 2xx2−1. Укажите исключенные значения.

    Решение

    Мы должны разложить знаменатель x2−1.x2−1 на множители. Мы распознаем это как разность квадратов и множим на множители (x − 1) (x + 1). (X − 1) (x + 1). Таким образом, ЖК-дисплей, содержащий каждый знаменатель, равен (x − 1) (x + 1). (X − 1) (x + 1). Умножьте все уравнение на ЖК-дисплей, вычеркните знаменатели и решите оставшееся уравнение.

    (x − 1) (x + 1) (2x + 1−1x − 1) = (2x (x − 1) (x + 1)) (x − 1) (x + 1) 2 (x − 1) — 1 (x + 1) = 2x2x − 2 − x − 1 = 2x Распределите знак минус.−3 − x = 0−3 = x (x − 1) (x + 1) (2x + 1−1x − 1) = (2x (x − 1) (x + 1)) (x − 1) (x +1) 2 (x − 1) −1 (x + 1) = 2x2x − 2 − x − 1 = 2x Распределите знак минус. −3 − x = 0−3 = x

    Решение: −3. − 3. Исключенные значения — 11 и -1.

    Попробуйте # 6

    Решите рациональное уравнение: 2x − 2 + 1x + 1 = 1×2 − x − 2.2x − 2 + 1x + 1 = 1×2 − x − 2.

    Поиск линейного уравнения

    Возможно, наиболее известной формой линейного уравнения является форма пересечения наклона, записанная как y = mx + b, y = mx + b, где m = slopem = slope и b = y-точка пересечения.b = y-точка пересечения. Начнем со склона.

    Уклон линии

    Под наклоном линии понимается отношение вертикального изменения x к горизонтальному изменению x между любыми двумя точками на линии. Он указывает направление, в котором наклоняется линия, а также ее крутизну. Наклон иногда называют подъемом через пробег.

    m = y2 − y1x2 − x1m = y2 − y1x2 − x1

    Если наклон положительный, линия наклоняется вправо. Если наклон отрицательный, линия наклоняется влево.По мере увеличения наклона линия становится круче. Некоторые примеры показаны на рисунке 2. Линии указывают следующие наклоны: m = −3, m = −3, m = 2, m = 2 и m = 13. m = 13.

    Рисунок 2

    Уклон прямой

    Наклон линии м представляет изменение y по сравнению с изменением x. Для двух точек (x1, y1) (x1, y1) и (x2, y2), (x2, y2) следующая формула определяет наклон прямой, содержащей эти точки:

    m = y2 − y1x2 − x1m = y2 − y1x2 − x1

    Пример 8

    Нахождение наклона прямой по двум точкам

    Найдите наклон прямой, проходящей через точки (2, −1) (2, −1) и (−5,3).(-5,3).

    Решение

    Подставляем в формулу значения y- и x- .

    m = 3 — (- 1) −5−2 = 4−7 = −47m = 3 — (- 1) −5−2 = 4−7 = −47

    Угловой коэффициент равен −47. − 47.

    Анализ

    Неважно, какая точка называется (x1, y1) (x1, y1) или (x2, y2). (X2, y2). Пока мы согласны с порядком членов x и порядком членов x в числителе и знаменателе, вычисление даст тот же результат.

    Попробовать # 7

    Найдите наклон прямой, проходящей через точки (−2,6) (- 2,6) и (1,4). (1,4).

    Пример 9

    Определение наклона и точки пересечения

    y- линии по уравнению

    Определите наклон и точку пересечения y- по уравнению y = −34x − 4.y = −34x − 4.

    Решение

    Поскольку линия имеет форму y = mx + by = mx + b, данная линия имеет наклон m = −34.m = −34. Перехват y- равен b = −4.б = −4.

    Анализ

    Пересечение y — это точка, в которой линия пересекает ось y- . На оси y- x = 0.x = 0. Мы всегда можем идентифицировать точку пересечения y-, когда линия находится в форме пересечения с наклоном, поскольку она всегда будет равна b. Или просто подставьте x = 0x = 0 и решите y.

    Формула точечного уклона

    Учитывая наклон и одну точку на линии, мы можем найти уравнение прямой, используя формулу угла наклона точки.

    у-у1 = м (х-х1) у-у1 = м (х-х1)

    Это важная формула, так как она будет использоваться в других областях алгебры колледжей и часто в исчислении, чтобы найти уравнение касательной. Для использования формулы нам нужна только одна точка и наклон линии. Подставив в формулу уклон и координаты одной точки, мы ее упрощаем и записываем в форме пересечения наклона.

    Формула точечного уклона

    Учитывая одну точку и угол наклона, формула угла наклона точки приведет к уравнению прямой:

    у-у1 = м (х-х1) у-у1 = м (х-х1)

    Пример 10

    Нахождение уравнения прямой с учетом наклона и одной точки

    Напишите уравнение прямой с наклоном m = −3m = −3, проходящей через точку (4,8).(4,8). Запишите окончательное уравнение в форме пересечения наклона.

    Решение

    Используя формулу «точка-наклон», замените −3−3 на м и точку (4,8) (4,8) вместо (x1, y1). (X1, y1).

    y − y1 = m (x − x1) y − 8 = −3 (x − 4) y − 8 = −3x + 12y = −3x + 20y − y1 = m (x − x1) y − 8 = −3 ( x − 4) y − 8 = −3x + 12y = −3x + 20

    Анализ

    Обратите внимание, что любую точку на линии можно использовать для поиска уравнения. Если все сделано правильно, будет получено такое же окончательное уравнение.

    Попробовать # 8

    Для m = 4, m = 4 найти уравнение прямой в форме пересечения с уклоном, проходящей через точку (2,5).(2,5).

    Пример 11

    Нахождение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

    Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (3,4) (3,4) и (0, −3). (0, −3). Запишите окончательное уравнение в форме пересечения наклона.

    Решение

    Сначала мы вычисляем наклон, используя формулу наклона и две точки.

    m = −3−40−3 = −7−3 = 73m = −3−40−3 = −7−3 = 73

    Далее мы используем формулу угла наклона точки с наклоном 73,73, и либо точка .Выберем точку (3,4) (3,4) для (x1, y1). (X1, y1).

    y − 4 = 73 (x − 3) y − 4 = 73x − 7 Распределить 73. y = 73x − 3y − 4 = 73 (x − 3) y − 4 = 73x − 7 Распределить 73.y = 73x − 3

    В форме пересечения наклона уравнение записывается как y = 73x − 3.y = 73x − 3.

    Анализ

    Чтобы доказать, что можно использовать любую точку, давайте воспользуемся второй точкой (0, −3) (0, −3) и посмотрим, получим ли мы такое же уравнение.

    y — (- 3) = 73 (x − 0) y + 3 = 73xy = 73x − 3y — (- 3) = 73 (x − 0) y + 3 = 73xy = 73x − 3

    Мы видим, что та же линия будет получен с использованием любой точки.Это имеет смысл, потому что мы использовали обе точки для расчета наклона.

    Стандартная форма линии

    Другой способ представления уравнения прямой — в стандартной форме. Стандартная форма —

    где A, A, B, B и CC — целые числа. Члены x- и y- находятся по одну сторону от знака равенства, а постоянный член — с другой стороны.

    Пример 12

    Нахождение уравнения линии и запись его в стандартной форме

    Найдите уравнение прямой с m = −6m = −6, проходящей через точку (14, −2).(14, −2). Напишите уравнение в стандартной форме.

    Решение

    Начнем с формулы «точка-наклон».

    y — (- 2) = — 6 (x − 14) y + 2 = −6x + 32y — (- 2) = — 6 (x − 14) y + 2 = −6x + 32

    Отсюда умножаем на на 2, так как в стандартной форме дроби не допускаются, а затем переместите обе переменные влево от знака равенства и переместите константы вправо.

    2 (y + 2) = (- 6x + 32) 22y + 4 = −12x + 312x + 2y = −12 (y + 2) = (- 6x + 32) 22y + 4 = −12x + 312x + 2y = — 1

    Это уравнение теперь записано в стандартной форме.

    Попробуй # 9

    Найдите уравнение прямой в стандартной форме с наклоном m = −13m = −13, проходящей через точку (1,13). (1,13).

    Вертикальные и горизонтальные линии

    Уравнения вертикальных и горизонтальных линий не требуют каких-либо предыдущих формул, хотя мы можем использовать формулы, чтобы доказать, что уравнения верны. Уравнение вертикальной линии задается как

    , где c — постоянная. Наклон вертикальной линии не определен, и независимо от значения y- любой точки на линии координата x- точки будет c .

    Предположим, что мы хотим найти уравнение прямой, содержащей следующие точки: (−3, −5), (- 3,1), (- 3,3), (- 3, −5), (- 3 , 1), (- 3,3) и (−3,5). (- 3,5). Сначала найдем уклон.

    m = 5−3−3 — (- 3) = 20m = 5−3−3 — (- 3) = 20

    Ноль в знаменателе означает, что наклон не определен и, следовательно, мы не можем использовать точку-наклон формула. Однако мы можем нанести точки. Обратите внимание, что все координаты x- одинаковы, и мы находим вертикальную линию через x = −3.x = −3. См. Рисунок 3 .

    Уравнение горизонтальной линии задается как

    , где c — постоянная. Наклон горизонтальной линии равен нулю, и для любого значения x- точки на прямой координата y- будет c .

    Предположим, мы хотим найти уравнение прямой, содержащей следующий набор точек: (−2, −2), (0, −2), (3, −2), (- 2, −2), ( 0, −2), (3, −2) и (5, −2). (5, −2). Мы можем использовать формулу «точка-наклон». Сначала мы находим наклон, используя любые две точки на прямой.

    m = −2 — (- 2) 0 — (- 2) = 02 = 0 m = −2 — (- 2) 0 — (- 2) = 02 = 0

    Используйте любую точку для (x1, y1) (x1, y1) в формуле или используйте y -перехват.

    y — (- 2) = 0 (x − 3) y + 2 = 0y = −2y — (- 2) = 0 (x − 3) y + 2 = 0y = −2

    График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через y = −2.y = −2. Обратите внимание, что все координаты y- одинаковы. См. Рисунок 3.

    Рис. 3 Прямая x = −3 — вертикальная линия. Прямая y = −2 — горизонтальная линия.

    Пример 13

    Нахождение уравнения прямой, проходящей через заданные точки

    Найдите уравнение прямой, проходящей через заданные точки: (1, −3) (1, −3) и (1,4).(1,4).

    Решение

    Координата x- обеих точек равна 1. Следовательно, у нас есть вертикальная линия, x = 1.x = 1.

    Попробуй # 10

    Найдите уравнение прямой, проходящей через (−5,2) (- 5,2) и (2,2). (2,2).

    Определение параллельности или перпендикулярности графиков линий

    Параллельные прямые имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y- . Линии, параллельные друг другу, никогда не пересекаются.Например, на рисунке 4 показаны графики различных линий с одинаковым наклоном m = 2.m = 2.

    Рисунок 4 Параллельные линии

    Все линии, показанные на графике, параллельны, потому что они имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y-.

    Перпендикулярные линии пересекаются, образуя угол 90 ° 90 °. Наклон одной линии противоположен другой. Мы можем показать, что две прямые перпендикулярны, если произведение двух угловых коэффициентов равно −1: m1⋅m2 = −1.−1: m1⋅m2 = −1. Например, на рисунке 5 показан график из двух перпендикулярных линий. Одна линия имеет наклон 3; другая линия имеет наклон -13.-13.

    m1⋅m2 = −13⋅ (−13) = — 1m1⋅m2 = −13⋅ (−13) = — 1

    Рисунок 5 Перпендикулярные линии

    Пример 14

    Построение графика двух уравнений и определение того, параллельны ли линии, перпендикулярны или нет

    Изобразите уравнения данных прямых и укажите, параллельны они, перпендикулярны или нет: 3y = −4x + 33y = −4x + 3 и 3x − 4y = 8.3х − 4у = 8.

    Решение

    Первое, что мы хотим сделать, это переписать уравнения так, чтобы оба уравнения были в форме пересечения наклона.

    Первое уравнение:

    3y = −4x + 3y = −43x + 13y = −4x + 3y = −43x + 1

    Второе уравнение:

    3x − 4y = 8−4y = −3x + 8y = 34x-23x − 4y = 8−4y = −3x + 8y = 34x-2

    См. График обеих линий на рисунке 6

    Рисунок 6

    На графике мы видим, что линии кажутся перпендикулярными, но мы должны сравнить наклоны.

    m1 = −43m2 = 34m1⋅m2 = (- 43) (34) = — 1m1 = −43m2 = 34m1⋅m2 = (- 43) (34) = — 1

    Наклоны являются отрицательными, обратными друг другу, подтверждая, что линии перпендикулярны.

    Попробуй # 11

    Изобразите две прямые и определите, параллельны ли они, перпендикулярны или нет: 2y − x = 102y − x = 10 и 2y = x + 4,2y = x + 4.

    Написание уравнений прямых, параллельных или перпендикулярных заданной прямой

    Как мы узнали, определение того, параллельны ли две линии или перпендикулярны, заключается в нахождении наклонов.Чтобы написать уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной другой прямой, мы следуем тем же принципам, что и при нахождении уравнения любой прямой. После нахождения наклона используйте формулу наклона точки, чтобы написать уравнение новой линии.

    Как к

    Дан уравнение линии, запишите уравнение линии, параллельной или перпендикулярной ей.

    1. Найдите наклон заданной линии. Самый простой способ сделать это — написать уравнение в форме пересечения наклона.
    2. Используйте уклон и заданную точку с формулой «точка-уклон».
    3. Упростите линию до формы с пересечением наклона и сравните уравнение с заданной линией.

    Пример 15

    Запись уравнения прямой, параллельной заданной прямой, проходящей через заданную точку

    Напишите уравнение прямой, параллельной 5x + 3y = 15x + 3y = 1 и проходящей через точку (3,5). (3,5).

    Решение

    Сначала мы напишем уравнение в форме пересечения наклона, чтобы найти наклон.

    5x + 3y = 13y = –5x + 1y = −53x + 135x + 3y = 13y = –5x + 1y = −53x + 13

    Наклон m = −53.m = −53. Пересечение y- равно 13,13, но это действительно не входит в нашу задачу, поскольку единственное, что нам нужно, чтобы две линии были параллельны, — это один и тот же наклон. Единственное исключение состоит в том, что если точки пересечения y- одинаковы, то эти две линии являются одной и той же линией. Следующим шагом является использование этого наклона и данной точки с формулой наклона точки.

    y − 5 = −53 (x − 3) y − 5 = −53x + 5y = −53x + 10y − 5 = −53 (x − 3) y − 5 = −53x + 5y = −53x + 10

    Уравнение линии y = −53x + 10.у = -53х + 10. См. Рисунок 7 .

    Рисунок 7

    Попробуйте # 12

    Найдите уравнение прямой, параллельной 5x = 7 + y5x = 7 + y и проходящей через точку (−1, −2). (- 1, −2).

    Пример 16

    Нахождение уравнения прямой, перпендикулярной заданной прямой, проходящей через заданную точку

    Найдите уравнение прямой, перпендикулярной 5x − 3y + 4 = 05x − 3y + 4 = 0 и проходящей через точку
    (−4,1). (- 4,1).

    Решение

    Первый шаг — написать уравнение в форме пересечения наклона.

    5x − 3y + 4 = 0−3y = −5x − 4y = 53x + 435x − 3y + 4 = 0−3y = −5x − 4y = 53x + 43

    Мы видим, что наклон m = 53.m = 53. Это означает, что наклон линии, перпендикулярной данной линии, является отрицательным обратным значением, или -35.-35. Затем мы используем формулу «точка-уклон» с этим новым уклоном и заданной точкой.

    y − 1 = −35 (x — (- 4)) y − 1 = −35x − 125y = −35x − 125 + 55y = −35x − 75y − 1 = −35 (x — (- 4)) y − 1 = −35x − 125y = −35x − 125 + 55y = −35x − 75

    2.2 Упражнения по разделам

    Устные

    1.

    Что означает, когда мы говорим, что две прямые параллельны?

    2.

    Какова взаимосвязь между наклонами перпендикулярных линий (если предположить, что ни горизонтальный, ни вертикальный)?

    3.

    Как узнать, когда уравнение, например y = 4x + 3, y = 4x + 3, будет прямой линией (линейной) при построении графика?

    4.

    Что означает, когда мы говорим, что линейное уравнение несовместимо?

    5.

    При решении следующего уравнения:

    2x − 5 = 4x + 12x − 5 = 4x + 1

    объясняет, почему мы должны исключить x = 5x = 5 и x = −1x = −1 как возможные решения из набора решений.

    Алгебраический

    Для следующих упражнений решите уравнение относительно x.x.

    8.

    3 (x + 2) −12 = 5 (x + 1) 3 (x + 2) −12 = 5 (x + 1)

    9.

    12−5 (x + 3) = 2x − 512−5 (x + 3) = 2x − 5

    11.

    x3−34 = 2x + 312×3−34 = 2x + 312

    13.

    3 (2x − 1) + x = 5x + 33 (2x − 1) + x = 5x + 3

    14.

    2×3−34 = x6 + 2142×3−34 = x6 + 214

    15.

    x + 24 − x − 13 = 2x + 24 − x − 13 = 2

    Для следующих упражнений решите каждое рациональное уравнение относительно x.x. Укажите все значения x , исключенные из набора решений.

    17.

    2−3x + 4 = x + 2x + 42−3x + 4 = x + 2x + 4

    18.

    3x − 2 = 1x − 1 + 7 (x − 1) (x − 2) 3x − 2 = 1x − 1 + 7 (x − 1) (x − 2)

    19.

    3xx − 1 + 2 = 3x − 13xx − 1 + 2 = 3x − 1

    20.

    5x + 1 + 1x − 3 = −6×2−2x − 35x + 1 + 1x − 3 = −6×2−2x − 3

    Для следующих упражнений найдите уравнение прямой, используя формулу угла наклона точки.
    Напишите все окончательные уравнения, используя форму пересечения наклона.

    22.

    (0,3) (0,3) с уклоном 2323

    23.

    (1,2) (1,2) с наклоном −45−45

    24.

    x -перехват 1, и (−2,6) (- 2,6)

    25.

    y -перехват 2 и (4, −1) (4, −1)

    26.

    (−3,10) (- 3,10) и (5, −6) (5, −6)

    27.

    (1,3) и (5,5) (1,3) и (5,5)

    28.

    параллельно y = 2x + 5y = 2x + 5 и проходит через точку (4,3) (4,3)

    29.

    перпендикулярно 3y = x − 43y = x − 4 и проходит через точку (−2,1) (- 2,1).

    Для следующих упражнений найдите уравнение прямой, используя предоставленную информацию.

    30.

    (−2,0) (- 2,0) и (−2,5) (- 2,5)

    31.

    (1,7) (1,7) и (3,7) (3,7)

    32.

    Наклон не определен и проходит через точку (2,3). (2,3).

    33.

    Наклон равен нулю и проходит через точку (1, −4). (1, −4).

    34.

    Уклон 3434, проходит через точку (1,4) (1,4).

    35.

    (–1,3) (- 1,3) и (4, –5) (4, –5)

    Графический

    Для следующих упражнений нарисуйте пару уравнений на одних и тех же осях и укажите, параллельны ли они, перпендикулярны или нет.

    36.

    y = 2x + 7y = −12x − 4y = 2x + 7y = −12x − 4

    37.

    3x − 2y = 56y − 9x = 63x − 2y = 56y − 9x = 6

    38.

    y = 3x + 14y = 3x + 2y = 3x + 14y = 3x + 2

    Числовой

    Для следующих упражнений найдите наклон линии, проходящей через указанные точки.

    40.

    (5,4) (5,4) и (7,9) (7,9)

    41.

    (−3,2) (- 3,2) и (4, −7) (4, −7)

    42.

    (−5,4) (- 5,4) и (2,4) (2,4)

    43.

    (−1, −2) (- 1, −2) и (3,4) (3,4)

    44.

    (3, −2) (3, −2) и (3, −2) (3, −2)

    Для следующих упражнений найдите наклон линий, проходящих через каждую пару точек, и определите, параллельны они или перпендикулярны.

    45.

    (−1,3) и (5,1) (- 2,3) и (0,9) (- 1,3) и (5,1) (- 2,3) и (0,9 )

    46. ​​

    (2,5) и (5,9) (- 1, −1) и (2,3) (2,5) и (5,9) (- 1, −1) и (2,3 )

    Технологии

    Для следующих упражнений выразите уравнения в форме пересечения наклона (округлив каждое число до тысячных долей). Введите это значение в графический калькулятор как Y1, затем настройте значения ymin и ymax для вашего окна, чтобы указать, где происходит перехват y . Укажите свои значения ymin и ymax.

    47.

    0,537x − 2,19y = 1000,537x − 2,19y = 100

    48.

    4,500x − 200y = 9,5284,500x − 200y = 9,528

    49.

    200−30yx = 70200−30yx = 70

    Добавочные номера

    50.

    Исходя из формулы углового коэффициента y − y1 = m (x − x1), y − y1 = m (x − x1), решите это выражение для xx через x1, y, y1, x1, y, y1 и мм.

    51.

    Начиная со стандартной формы уравнения Ax + By = CAx + By = C, решите это выражение для yy через A, B, CA, B, C и xx. Затем представьте выражение в форме пересечения наклона.

    52.

    Используйте полученную выше формулу, чтобы представить следующее стандартное уравнение в форме пересечения наклона: 7x − 5y = 25,7x − 5y = 25.

    53.

    Учитывая, что следующие координаты являются вершинами прямоугольника, докажите, что это действительно прямоугольник, показав, что уклоны пересекающихся сторон перпендикулярны.

    (–1,1), (2,0), (3,3) (- 1,1), (2,0), (3,3) и (0,4) (0,4)

    54.

    Найдите наклон диагоналей в предыдущем упражнении. Они перпендикулярны?

    Реальные приложения

    55.

    Уклон пандуса для инвалидных колясок для дома должен быть 112.112. Если вертикальное расстояние от земли до низа двери составляет 2,5 фута, найдите расстояние, на которое пандус должен выходить от дома, чтобы соответствовать необходимому уклону.

    56.

    Если уравнение прибыли для малого бизнеса, продающего xx единиц товара один и yy количества товара два, равно p = 3x + 4y, p = 3x + 4y, найдите значение yy, когда p = 453 доллара США и x = 75.p = 453 доллара США и x = 75.

    Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Стоимость аренды автомобиля составляет 45 долларов в неделю плюс 0 долларов.За эту неделю проехал 25 миль / миль. Уравнение для представления стоимости будет иметь вид y = 45 + 0,25x, y = 45 + 0,25x, где xx — количество пройденных миль.

    57.

    Сколько вам будет стоить проехать 50 миль?

    58.

    Если ваша стоимость составляла 63,75 долл. США, 63,75 долл. США, сколько миль вам пришлось бы заплатить за поездку?

    59.

    Предположим, у вас есть максимум 100 долларов, чтобы потратить на аренду автомобиля. Какое максимальное количество миль вы могли бы преодолеть?

    Линейные уравнения в одной переменной — проверьте примеры здесь

    Линейные уравнения в одной переменной: В математике уравнения с одной степенью известны как линейные уравнения с одной переменной.Уравнение имеет знак равенства, где выражение слева называется левой частью, а выражение справа — правой частью. Например, 2x + 3 = 6, где x — одна переменная, а 2 и 3 — действительные числа.

    Это очень важное понятие в алгебре, где студенты учатся легко решать математические уравнения. Вы можете проверить NCERT Solutions for Class 8 Maths для лучшего понимания концепции. В этой статье мы предоставили подробную информацию о линейных уравнениях с одной переменной.Прочтите, чтобы узнать о его определении, формуле и примерах.

    Что такое линейное уравнение с одной переменной?

    Уравнение, которое имеет только одну степень, т. Е. Наивысшая степень переменной в уравнении равна единице, называется линейным уравнением с одной переменной. Решение линейных уравнений основано на рациональном решении и переменной с обеих сторон. Вы можете рассчитать проблемы, связанные с возрастом, периметром, комбинацией денежных знаков и т. Д. Мы можем сказать, что значения выражения справа и слева равны.Поэтому эти значения называются решениями.

    Решение линейных уравнений с одной переменной: формула

    Формула, используемая для расчета линейного уравнения с одной переменной, указана ниже:

    Где x — переменная, а a и b — действительные числа

    Линейное уравнение с одной переменной: примеры

    Некоторые примеры линейного уравнения с одной переменной из учебника NCERT приведены ниже:

    Пример 1: Арджун вдвое старше Шрии.Пять лет назад его возраст был в три раза старше Шрии. Найдите их нынешний возраст.

    Решение: Примем, что нынешний возраст Шрии составляет x лет.

    Тогда нынешний возраст Арджуна будет в два раза больше года.

    Возраст Шрии пять лет назад составлял (x — 5) лет.

    Возраст Арджуна пять лет назад составлял (2x — 5) лет.

    Считается, что пять лет назад возраст Арджуна был в три раза старше Шрии.

    Таким образом, 2x — 5 = 3 (x — 5) или 2x — 5 = 3x — 15 или 15-5 = 3x — 2x или 10 = x

    Итак, нынешний возраст Шрии = x = 10 лет.

    Следовательно, нынешний возраст Арджуна = 2x = 2 × 10 = 20 лет.

    Пример 2: Найдите решение 2x — 3 = 7

    Решение: Добавьте 3 с обеих сторон.

    2х — 3 + 3 = 7 + 3

    или 2x = 10

    Часто задаваемые вопросы о линейном уравнении с одной переменной

    Ниже приведены часто задаваемые вопросы по линейному уравнению с одной переменной:

    В. Что такое линейное уравнение с одной переменной?
    А.Уравнение, которое имеет только одну степень, т. Е. Наивысшая степень переменной в уравнении равна единице, называется линейным уравнением с одной переменной.
    В. Какова формула линейного уравнения с одной переменной?
    A. Формула, используемая для вычисления уравнения: ax + b = 0, где x — переменная, а a & b — действительные числа.
    В. Каковы решения в уравнении?
    А.Значения выражения справа и слева равны. Поэтому эти значения называются решениями.

    Теперь мы представили подробную информацию в этой статье. Вы можете решать бесплатные практические вопросы CBSE Class 8 на Embibe для математики и естественных наук. Вы также можете пройти тест CBSE Class 8 Mock Tests по этим предметам. Они вам очень помогут. Вам также следует скачать PDF-файл NCERT Class 8 Maths Chapter 2 в формате PDF, доступный на этой странице. 2-4 (х + 3)

Утверждения 1 и 2 верны для всех допустимых значений 4.Такие утверждения называются тождествами. Обратите внимание, что присвоение значения 0 переменной x в операторе 2 недопустимо.

Утверждения 3 и 4 верны для некоторых, но не для всех значений x. Утверждение 3 истинно, только если равно 8. Утверждение 4 истинно, только если x равно -3 или 6. Такие утверждения называются уравнениями.

Утверждения 5 и 6 неверны для любого значения x и называются ложными утверждениями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Набор всех чисел, которые удовлетворяют уравнению, называется набором решений уравнения.Элементы в наборе решений называются корнями уравнения

Чтобы проверить, является ли значение переменной корнем уравнения, подставьте значение переменной в уравнение, чтобы увидеть, равно ли значение правой части уравнения значению левой части уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение называется линейным, если все переменные в уравнении имеют показатель степени, равный 1, и если ни один член уравнения не имеет более одной переменной в качестве фактора.2 + x-6 не является линейным уравнением.

Уравнение 1x + xy = 9 не является линейным уравнением относительно x и y.

В этой главе рассматриваются линейные уравнения с одной переменной

Эквивалентные уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Два уравнения называются эквивалентом , если они имеют один и тот же набор решений.

Уравнения 5x + 7 = 2 и x = -1 эквивалентны. Два уравнения имеют один и тот же набор решений, {-1}.

Наборы решений некоторых уравнений очевидны при осмотре.Набор решений уравнения x + 4 = 10 равен {6}, поскольку 6 — единственное число, которое при добавлении к 4 равно 10. Набор решений уравнения 5x — 2 = 3 (x + 4) не равен так очевидно.

Чтобы решить уравнение, то есть найти множество его решений, можно применить две теоремы, чтобы получить эквивалентное уравнение, решение которого очевидно.

ТЕОРЕМА 1 lfP, Q и T — многочлены от одной и той же переменной, а P = Q — уравнение, тогда P — Q и P + T = Q + T эквивалентны.

Теорема 1 утверждает, что для уравнения P = Q мы можем добавить любой многочлен T от той же переменной, что и P и Q, к обеим сторонам уравнения, получив таким образом эквивалентное уравнение P + T = Q + T.

Два уравнения 4x -1 = 3x +5 и 4x — 1 + (1 — 3x) = 3x + 5 + (1-3x), которые упрощаются до x = 6, эквивалентны. Их набор решений — {6}.

ТЕОРЕМА 2

Два уравнения x = 2 и 5 (x) = 5 (2), то есть 5x = 10, эквивалентны.2 = 25 равно {-5,5}.

Примечание Набор решений линейного уравнения с одной переменной имеет ровно один элемент.

Решение уравнений

Учитывая линейное уравнение с одной переменной, мы можем использовать одну или обе предыдущие две теоремы, чтобы сформировать эквивалентное уравнение вида 1x = a, множество решений которого равно {a}.

Когда коэффициент переменной в уравнении не равен 1, как в случае b / cx = d, эквивалентное уравнение вида 1x = ac может быть получено путем умножения обеих частей уравнения на мультипликативную обратную (обратную) величину коэффициента x в исходном уравнении.

Мультипликативная обратная величина к b / c равна c / b, так как b / c * c / b = 1.

Таким образом, если коэффициент переменной имеет вид b / c, умножьте обе части уравнения на c / b.

ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения 14x = -21.

Решение Коэффициент при x равен 14

Множитель, обратный 14, равен 1/14.

Умножьте обе части уравнения на 1/14.

1/14 (14x) = 1/14 (-21) 1 * x = — (21/14) x = — (3/2)

Набор решений: {- (3/2)}.

Давайте посмотрим, как наш решатель линейных уравнений решает это и подобные уравнения. Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения x / -4 = 12.

Решение Член x / -4 = — (1/4) x.

Коэффициент при x равен -1/4.

Мультипликативная величина, обратная — (1/4), равна — (4/1).

Умножьте обе части уравнения на — (4/1)

— (4/1) (х / -4) = — (4/1) (12)

1 * х = -48

х = -48

Набор решений: {-48}.

Примечание Поскольку x означает 1x, мы опускаем 1.

ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения 5 / 7x = 15

Решение

Множитель, обратный 5/7, равен 7/5.

Умножьте обе части уравнения на 7/5.

7/5 * 5 / 7x = 7/5 (15)

Следовательно, x = 7/5 * 15/1 = 21

Набор раствора {21}

ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения 1.3х = -39.

Решение Когда коэффициент переменной находится в десятичной форме, будет проще, если его изменить на обыкновенную дробь:

1,3x = -39 эквивалентно 13 / 10x = -39

Умножьте обе части уравнения на 10/13

10/13 * 13 / 10x = 10/13 (-39)

Следовательно, x = 10/13 * -39/1 = — ((10 * 39) / 13) = -30

Набор раствора {-30}

Давайте посмотрим, как наш математический калькулятор решает это и подобные уравнения.Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения — ((7x) / 8) = 35/36.

Решение Коэффициент при x равен — (7/8).

Мультипликативная обратная величина — (7/8) равна — (8/7)

Умножьте обе части уравнения на — (8/7)

— (8/7) (- (7/8) x) = — (8/7) (35/36)

Следовательно, x = — ((8 * 35) / (7 * 36)) = — (10/9)

Набор решений: {10/9}.

Если уравнение содержит более одного члена, содержащего переменную в качестве фактора, объедините члены, используя закон распределения умножения.

ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения 3x + 4x-2x = 8.

Решение

3x + 4x-2x = 8

(3 + 4 + 2) х = 8

5x = 8

Следовательно, x = 8/5

Набор решений: {8/5}.

Когда некоторые члены уравнения содержат дроби, чтобы облегчить объединение одинаковых членов, сформируйте эквивалентное уравнение, содержащее только целые числа. 2 = 72

Умножьте обе части уравнения на 72/1:

.

72/1 (8 / 9x-1 / 6x-3 / 4x) = 72/1 (1/8)

72/1 (8 / 9x) +72/1 (- (1/6) x) +72/1 (- (3/4) x) = 9

64x-12x-54x = 9

(64-12-54) х = 9

-2x = 9

х = -9/2

Чтобы проверить ответ, подставьте -9/2 вместо x в каждой части исходного уравнения отдельно:

Набор решений: {-9/2}.

Давайте посмотрим, как наш решатель линейных уравнений решает это и подобные уравнения. Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

ПРИМЕР Перечислить элементы в наборе

Решение Рассмотрим утверждение

2x + 3x — 5x = 0

(2 + 3-5) х = 0

0x = 0

Поскольку 0x = 0 истинно для любого действительного значения x, мы имеем

ПРИМЕР Перечислить элементы в наборе

Решение Рассмотрим утверждение

10x-8x-2x = 4

(10-8-2) х = 4

0x = 4

Поскольку 0x = 4 неверно для любого реального значения x, мы имеем

Иногда обе стороны уравнения содержат члены, в которых переменная является фактором, а также члены, в которых переменная не используется в качестве фактора.Чтобы найти набор решений уравнения, сформируйте эквивалентное уравнение, в котором есть все члены с переменной в качестве фактора на одной стороне уравнения. Термины, не имеющие переменной в качестве фактора, должны появиться на другой стороне.

Эквивалентное уравнение может быть составлено путем добавления отрицательных (аддитивных обратных) членов к обеим сторонам уравнения.

Рассмотрим уравнение 8x-5 = 6x + 7

Прибавить (+5) к обеим сторонам: 8x-5 + 5 = 6x + 7 + 5

8x + 0 = 6x + 12

8x = 6x +12

Прибавить (-6x) к обеим сторонам: 8x + (- 6x) = 6x + 12 + (- 6x)

2x = 12

х = 6

Набор решений: {6}.

Замечание Важно понимать разницу между двумя уравнениями

3x = 15 и 3 + x = 15

В 3x = 15, 3 — коэффициент при x; таким образом, чтобы найти x, умножьте обе части уравнения на (1/3).

1/3 (3x) — 1/3 (15)

х = 5

Набор решений: {5}.

В 3 + x = 15, 3 — член; таким образом, чтобы найти x, прибавьте (-3) к обеим частям уравнения.

3 + x + (- 3) = 15 + (- 3)

х = 12

Набор решений: {12}.

ПРИМЕР Решите уравнение 2x-x-3 = 10 + 7x-4

Решение Добавьте (+3 -7x) к обеим частям уравнения.

2x-x-3 + (+ 3-7x) -10 + 7x-4 + (+ 3-7x)

2x-x-3 + 3-7x = 10 + 7x-4 + 3-7x

-6x = 9

х = — (9/6) = — (3/2)

Набор решений: {-3/2}.

Примечание Если уравнение содержит смешанные числа, замените смешанные числа на неправильные дроби.

ПРИМЕР Решите уравнение 31 / 2x-22 / 3x-7 = x / 6 + 12/3.

Решение Сначала замените смешанные числа на неправильные дроби

7 / 2x-8 / 3x-7 = x / 6 + 5/3

Умножьте обе части уравнения на наименьшее общее кратное 2, 3, 6 и 3, которое равно 6.

6/1 (7 / 2x-8 / 3x-7) = 6/1 (x / 6 + 5/3)

6/1 (7 / 2x) +6/1 (-8 / 3x) +6/1 (-7) = 6/1 (x / 6) +6/1 (5/3)

21x-16x-42 = x + 10

Добавьте (+ 42-x) к обеим частям уравнения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *