Линейное уравнение с двумя переменными как решать: Линейное уравнение с двумя переменными и его график — урок. Алгебра, 7 класс.

Содержание

Урок 42. линейные уравнения и неравенства с двумя переменными — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №42. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств с двумя переменными;
  • Изображение в координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств;
  • Нахождение площади получившейся фигуры.

Глоссарий по теме

Уравнение вида     ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными, где   a, b и c   —   некоторые числа (a ≠ 0 ,   b ≠0), а, х и у   —   переменные. 

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Историческая справка

Уравнения, а также системы уравнений имеют давнюю историю. Нам известно, что уже в Древнем Вавилоне и Индии повседневные задачи, связанные с земляными работами или планированием военных расходов, а также астрономическими наблюдениями решались с помощью уравнений и их систем.

В то время еще не существовало привычного нам формального языка математики. Вавилоняне, также, как и индусы не использовали в своих трактатах привычные нам «икс» и «игрек». Не обозначали степень надстрочными индексами. И т.д. Их уравнения записаны в виде текстовых задач. Также, как и решения, не похожи на современные, а скорее напоминают цепочку логических рассуждений.

Вместе с тем, если перевести в привычный нам вид те уравнения, которые умели решать в Древнем Вавилоне, то мы увидим: . И в древнем индийском манускрипте «Ариабхаттиам», датируемом 499 годом нашей эры, также встречаются задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений. Индийские мудрецы (слово ученый тоже еще не существовало) уже не ограничивались решением конкретных житейских задач, но и работали над решением квадратного уравнения в общем виде.

Привычный нам вид уравнения обретают только в конце шестнадцатого века, благодаря трудам Франсу Виета (1540 – 1603 гг.). Именно он, помимо прочих своих научных достижений обладает и неофициальным титулом «создатель алгебры». Поскольку разработал и активно внедрял символический язык алгебры – те самые, привычные нам «иксы и игреки».

Актуализация знаний

1. Найдите уравнения, которые являются линейными.

4х + 5у = 10; ; у = 7х +4

Ответ: 4х + 5у = 10; у = 7х +4

Сегодня на уроке мы вспомним что такое линейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое линейным уравнением и неравенством.

  1. Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Решением уравнения ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется пара значений обращающая уравнение в верное числовое равенство.

Если одновременно а и b, то уравнение ах + by +с =0 является уравнением некоторой прямой. Для построения прямой достаточно найти две точки этой прямой.

Пример

Построить график уравнения 2х+у =1

у = -2х + 1

Если х=0, то у=1;

Если х=2, то у=-3.

На координатной плоскости отметим точки с координатами (0;1) и (2;-3). Через две точки на плоскости проведем прямую. Полученная прямая является геометрической моделью уравнения 2х+у =1.

  1. Линейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с < 0 или ах + bу + с > 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Является ли пара (2;1) решением неравенства 5х + 2у > 4 . Является, тк при подстановке в него вместо х числа 2, а вместо у числа 1 получается верное равенство 10 + 2 > 4.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

Пример

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0.

  1. Уравнение 3х – 2у +6 = 0 является уравнением прямой, проходящей через точки(- 2; 0) и (0; 3).
  2. Пусть точка М11,у1) лежит в заштрихованной полуплоскости (ниже прямой 3х – 2у +6 = 0, аМ21,у2)лежит на прямой 3х – 2у +6 = 0. Тогда 2у2 – 3х1 – 6 = 0, а 2у1 – 3х1 – 6 < 0, т.к. у1< у2

Изобразим множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0 штриховкой (рис. 1)

Рисунок 1 – решение неравенства 3х – 2у +6 > 0

Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение ах + by +с =0, графиком которого является прямая при условии, что и . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них является графиком неравенства ах + bу + с < 0, а другая – графиком неравенства ах + bу + с > 0

Чтобы решить неравенство ах + bу + c < 0 или aх + bу + c > 0, достаточно взять какую-нибудь точку М11; у1), не лежащую на прямой aх + bу + c = 0, и определить знак числа aх1 + bу1 + c.

Пример

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 2х + 3у < 6

Начертим график уравнения 2х + 3у = 6.

Пара (0;0) является решением неравенства 2х + 3у < 6, и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства 2х + 3у < 6 является нижняя полуплоскость (рис. 2).

Рисунок 2 – решение неравенства 2х + 3у < 6

  1. Система линейных уравнений с двумя переменными.

Система вида , где а,b,с,d,e,f – некоторые числа, называется линейной системой с двумя переменными х и у.

Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.

Решить систему – значит найти множество ее решений.

Пример

Решите систему:

Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точки пересечения (рис.3). 

Рисунок 3 – решение системы

Система имеет единственное решение: x = 4 ,   y = 4 .

  1. Система линейных неравенств с двумя переменными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.
Рассмотрим систему линейных неравенств с двумя переменными на примере:

  1. Построим прямые х – у = 2 и х + 3у = 6
  2. Пара (4;1) является решением как первого, так и второго неравенства, те является общим решением неравенств системы. Такую пару чисел называют решением системы неравенств с двумя переменными. Множество общих решений неравенств есть множество решений системы (пересечение множеств решений неравенств, составляющих систему).

Множество решение системы изображается двойной штриховкой. (плоской угол) (рис. 4).

Рисунок 4 – решение системы

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 3х – 2у + 6 0.

  1. Начертим график уравнения 3х – 2у + 6 = 0
  2. Отметим в какой-нибудь полуплоскости, например, точку (1;2).

Пара (1;2) не является решением неравенства и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства является верхняя полуплоскость вместе с прямой 3х – 2у + 6 = 0. 9 (рис. 5)

Рисунок 5 – решение неравенства

Пример 2

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы

Построим прямые х + у = 3 и 4х – 5у = 20.

Множество решений первого неравенства показано горизонтальной штриховкой, а множество решений второго неравенства – вертикальной штриховкой. Двойная штриховка – множество решений системы. Система задает плоский угол (рис. 6)

Рисунок 6 – решение системы

Если к системе добавить еще одно неравенство

, то получится система трех неравенств с двумя переменными

Этой системой задается треугольник (рис. 7)

Рисунок 7 – решение системы

Точка О принадлежит , левая часть неравенства положительна, и поэтому множество его решений – объединение множеств . 3+y = 7$

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары

x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д.

Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Свойства уравнения с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.

Уравнения с двумя переменными имеют такие же свойства, как и уравнения с одной переменной:

  • если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую и изменить его знак, получится уравнение, равносильное данному;
  • если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например: $2x+5y = 6 ⟺5y = -2x+6 \iff y = -0,4x+1,2$

Примеры

Пример 1. Из данного линейного уравнения выразите y через x и x через y:

Алгоритм: рассмотрим 3x+4y=10

1) оставим слагаемое с выражаемой переменной с одной стороны, остальные слагаемые перенесем в другую сторону: 4y=-3x+10

2) разделим полученное уравнение слева и справа на коэффициент при выражаемой переменной: y=-0,75x+2,5 — искомое выражение y(x).

Аналогично для x(y): $3x+4y = 10 \iff 3x = -4y+10 \iff x = -1 \frac{1}{3} y+3 \frac{1}{3}$

Линейное уравнение

$x = \frac{2}{3} y+3 \frac{2}{3}$

$ y = — \frac{x}{7}+1 \frac{1}{7}$

Пример 2. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел:

Алгоритм: рассмотрим (1;5)

1) составим любой двучлен вида ax+by, например 2x+3y

2) подставим данные x = 1, y = 5 в двучлен и запишем результат 2x+3y = 17 — это искомое уравнение.

Пример 3. Составьте уравнение с двумя переменными, решениями которого являются две пары чисел:

а) (1;5) и (2;4)

Искомое уравнение имеет вид ax+by=c. Подставим обе пары:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a+5b = c \\ 2a+4b = c \end{array} \right.} \Rightarrow a+5b = 2a+4b \Rightarrow a = b $$

Пусть a = b = 1. Тогда x+y = 1+5 = 2+4 = 6

x+y = 6 — искомое уравнение.

б) (0;2) и (2;5)

Искомое уравнение имеет вид ax+by = c. Подставим обе пары:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 0+2b = c \\ 2a+5b = c \end{array} \right.} \Rightarrow 2b = 2a+5b \Rightarrow a = -1,5b $$

Пусть b = -2. Тогда a = 3 и уравнение:

$3x-2y = 3\cdot0-2\cdot2 = 3\cdot2-2\cdot5 = -4$

3x-2y = -4 — искомое уравнение.

Пример 4. Найдите двузначное число, которое в два раза больше суммы своих цифр.

Пусть a-цифра десятков (a = 1,2,…,9), b- цифра единиц (b = 0,1,…,9).

По условию: 10a+b = 2(a+b)

$$10a+b = 2a+2b \Rightarrow 8a = b$$

Единственное возможное решение: a = 1, b = 8

Ответ:18

Пример 5. Найдите двузначное число, которое при умножении на сумму своих цифр даёт 370.

Пусть a-цифра десятков (a = 1,2,…,9), b- цифра единиц (b = 0,1,…,9).

По условию: (10a+b)(a+b) = 370

Разложим 370 на простые множители: $370 = 2\cdot5\cdot37$

Возможные значения для суммы a+b = {2;5;10}

Рассмотрим a+b = 2. Тогда 10a+b = $\frac{370}{a+b} = \frac{370}{2} = 185 — не \quad двузначное \quad число \Rightarrow$

$a+b \neq 2$

Рассмотрим a+b = 5. Тогда 10a+b = $\frac{370}{5} = 74 \Rightarrow a = 7, b = 4, a+b \neq 5$.

Рассмотрим a+b = 10. Тогда 10a+b = $\frac{370}{10} = 37 \Rightarrow a = 3, b = 7, a+b = 10$.

Значит, искомое число 37.

Ответ: 37

Линейное уравнение с двумя переменными: решение и свойства

 

Линейное уравнение с двумя переменными — любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с. Здесь x и y есть две переменные, a,b,c – некоторые числа.

Ниже представлены несколько примеров линейных уравнений.

1. 10*x + 25*y = 150;

2. x-y=5;

3. -7*x +y = 5;

Как и уравнения с одним неизвестным, линейное уравнение с двумя переменными (неизвестными) тоже имеет решение. Например, линейное уравнение x-y=5, при x=8 и y=3 превращается в верное тождество 8-3=5. В таком случае говорят, что пара чисел x=8 и y=3 является решением линейного уравнения x-y=5. Еще можно говорить, что пара чисел x=8 и y=3 удовлетворяет линейному уравнению x-y=5.

Решение линейного уравнения

Таким образом, решением линейного уравнения a*x + b*y = с , называется, любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Обратите внимание, как здесь записана пара чисел х и у. Такая запись короче и удобнее. Следует только помнить, что на первом месте в такой записи стоит значение переменной х, а на втором – значение переменной у.

Обратите внимание на то, что числа x=11 и y=8, x=205 и y=200 x= 4.5 и y= -0.5 тоже удовлетворяют линейному уравнению х-у=5, а следовательно являются решениями этого линейного уравнения. 

Решение линейного уравнения с двумя неизвестными не является единственным. Каждое линейное уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много различных решений. То есть существует бесконечно много различных двух чисел х и у, которые обращают линейное уравнение в верное тождество.

Если несколько уравнений с двумя переменными имеют одинаковые решения, то такие уравнения называются равносильными уравнениями. Следует отметить, что если уравнения с двумя неизвестными не имеют решений, то их тоже считают равносильными.

Основные свойства линейных уравнений с двумя неизвестными

1. Любое из слагаемых в уравнении можно перенести из одной части в другую, при этом необходимо изменить его знак на противоположный. Полученное уравнение будет равносильно исходному.

2. Обе части уравнения можно разделить на любое число, которое не равно нулю. В результате получим уравнение равносильное исходному.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Применение различных способов для разложения на множители
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspГрафик линейного уравнения с двумя переменными: алгоритм построения

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

      Определение 1. Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение, имеющее вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 2. Решением уравнения (1) называют пару чисел   (y) ,   для которых формула (1) является верным равенством.

      Пример 1. Найти решение уравнения

      Решение. Выразим из равенства (2) переменную   y   через переменную   x :

(3)

      Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида

где   x   – любое число.

      Замечание. Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел   (y)   является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число   x   можно взять любым, а число   y   после этого вычислить по формуле (3).

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

      Определение 3. Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными   x   и   y   называют систему уравнений, имеющую вид

(4)

где   a1 ,  b1 ,  c1 ,  a2 ,  b2 ,  c2   – заданные числа.

      Определение 4. В системе уравнений (4) числа   a1 ,  b1 a2 ,  b2   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   c1 ,  c2  – свободными членами.

      Определение 5. Решением системы уравнений (4) называют пару чисел   (y) ,   являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).

      Определение 6. Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными), если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.

      Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «»

      Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных, который мы проиллюстрируем на примерах.

      Пример 2 . Решить систему уравнений

(5)

      Решение. Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное   х.

      С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном   x   в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.

      Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при   x   во втором уравнении (число   7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при   x   в первом уравнении (число   2 ), то система (5) примет вид

 

(6)

      Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему

      Из второго уравнения находим   y = 3 ,   и, подставив это значение в первое уравнение, получаем

      Ответ.   (–2 ; 3) .

      Пример 3. Найти все значения параметра   p ,   при которых система уравнений

(7)

      а) имеет единственное решение;

      б) имеет бесконечно много решений;

      в) не имеет решений.

      Решение. Выражая   x   через   y   из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо   x   в первое уравнение системы (7), получим

      Следовательно, система (7) равносильна системе

(8)

      Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра   p .   Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):

y (2 – p) (2 + p) = 2 + p (9)

      Если   ,   то уравнение (9) имеет единственное решение

      Следовательно, система (8) равносильна системе

      Таким образом, в случае, когда   ,   система (7) имеет единственное решение

      Если   p = – 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

,

и его решением является любое число . Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел

,

где   y   – любое число.

      Если   p = 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

      Определение 7. Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными   x ,   y     и   z   называют систему уравнений, имеющую вид

(10)

где   a1 ,  b1 ,  c1 ,  d1 ,  a2 ,  b2 ,  c2 ,  d2 ,  a3 ,  b3 ,  c3 ,  d3   – заданные числа.

      Определение 8. В системе уравнений (10) числа   a1 ,  b1 ,  c1 ,  a2 ,  b2 ,  c2 ,  a3 ,  b3 ,  c3   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   d1 ,  d2 ,  d3   – свободными членами.

      Определение 9. Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел   (y ; z) ,   при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.

      Пример 4 . Решить систему уравнений

(11)

      Решение. Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных.

      Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное   y ,  совершив над системой (11) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
  • из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему

(12)

      Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное   x ,  совершив над системой (12) следующие преобразования:

  • первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
  • из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему

(13)

      Из системы (13) последовательно находим

z = – 2 ;   x = 1 ;   y = 2 .

      Ответ.   (1 ; 2 ; –2) .

      Пример 5. Решить систему уравнений

(14)

      Решение. Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:

      Если числа   (y ; z)   являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа   (y ; z)   должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):

      Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел   (3 ; 0 ; –1)   в исходную систему (14), убеждаемся, что числа   (3 ; 0 ; –1)   действительно являются ее решением.

      Ответ:   (3 ; 0 ; –1) .

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Как решать линейные уравнения — формулы и примеры решения простейших уравнений

Понятие уравнения

Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядит так ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а;
  • если а равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

  • кубические
  • уравнение четвёртой степени
  • иррациональные и рациональные
  • системы линейных алгебраических уравнений

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Как решаем:

  1. Перенесем 6x из левой части в правую. Знак меняем на противоположный, то есть минус.

    6x −5x = 10

  2. Приведем подобные и завершим решение.

    x = 10

Ответ: x = 10.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Как решаем:

  1. Сократим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

    −4x = 12 | :(−4)
    x = −3

Ответ: x = −3.

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
  1. Раскрываем скобки, если они есть.
  2. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
  3. Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
  4. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.

А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Решаем так:

  1. Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

    6х = 19 — 1

  2. Выполнить вычитание.

    6х = 18

  3. Разделить обе части на общий множитель, то есть 6.

    х = 2

Ответ: х = 2.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.

Решаем так:

  1. Раскрыть скобки

    5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

  2. Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены.

    5х — 3х — 2х = — 12 — 1 + 15 — 2

  3. Приведем подобные члены.

    0х = 0

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Решаем так:

  1. Найти неизвестную переменную.

    х = 1/8 : 4

    х = 1/12

Ответ: 1/12 или 0,83. О десятичных дробях можно почитать здесь.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.

Решаем так:

  1. 4х + 8 = 6 — 7х
  2. 4х + 7х = 6 — 8
  3. 11х = −2
  4. х = −2 : 11
  5. х = — 0, 18

Ответ: — 0,18.

Пример 5. Решить:

Решаем так:

  1. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
  2. 9х — 12 = 28х + 24
  3. 9х — 28х = 24 + 12
  4. -19х = 36
  5. х = 36 : (-19)
  6. х = — 36/19

Ответ: 1 17/19.

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

Решаем так:

  1. Раскрыть скобки

    5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

  2. Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

    х — х = 4 — 7

  3. Приведем подобные члены.

    0 * х = — 3

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х..

Решаем так:

  1. 2х + 6 = 5 — 7х
  2. 2х + 6х = 5 — 7
  3. 8х = −2
  4. х = −2 : 8
  5. х = — 0,25

Ответ: — 0,25.



Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в современную онлайн-школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. А еще развивающие игры, квесты и головоломки на любой возраст и уровень.

Система линейных уравнений с двумя переменными. Методы решения систем уравнений.

Решением системы линейных уравнений двух переменных является любая упорядоченная пара, удовлетворяющая каждому уравнению независимо. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям.

Как можно решить систему уравнений с двумя переменными?

Системы уравнений с двумя переменными можно решить методом подстановки:

 

 


 

Системы уравнений с двумя переменными можно решить методом сложения:

Пример. Решить систему методом сложения: \(\begin{equation*} \begin{cases} x-y-4=0 \\ 3x+y-8=0 \end{cases} \end{equation*}\).

Решение:

 


Система уравнений состоящее из двух переменных должно удовлетворять всем решениям одновременно. Система линейных уравнений из двух переменных рассматривается одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти численное значение для каждой переменной в системе, которая будет удовлетворять всем уравнениям системы одновременно. Некоторые линейные системы могут не иметь решения, и это  будет их решением, другие системы могут иметь бесконечное число решений. Для того чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть не меньше уравнений, чем переменных. Тем не менее, это не гарантирует уникальное решение.

Выводы:

  • Система линейных уравнений из двух переменных решается совместно методом подстановки или методом сложения.
  • Чтобы найти решение системы линейных уравнений, мы должны найти численное значение для каждой переменной в системе, которая будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно.
  • Для того чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть не меньше уравнений, чем переменных.
  • Решить систему уравнений это значит найти численное значение для каждой переменной в системе либо доказать что решений нет.

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!


Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Линейное уравнение с двумя переменными

Вопросы
занятия:

· 
повторить что такое линейное уравнение с одной
переменной и сколько решений может иметь такое уравнение;

· 
ввести понятия «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с
двумя переменными», «равносильные уравнения».

Материал
урока

Ранее
мы с вами рассматривали линейное уравнение с одной переменной.

Вспомним,
что:

Сегодня
на уроке мы познакомимся с линейным уравнением, но уже с двумя неизвестными.

Давайте
рассмотрим ситуацию

Полученное
равенство содержит две переменные. А поэтому такие равенства называют уравнениями
с двумя переменными
(или с двумя неизвестными).

Посмотрите
на примеры уравнений с двумя переменными

Сформулируем
определение:

Определение.

Линейным
уравнением с двумя переменными
называется уравнение
вида:

Вернёмся
к задаче

То
есть пара значений переменных (x = 60, y = 110)
является решением этого уравнения. Отметим, что эти корни были найдены методом
подбора, причём это не единственная пара чисел, удовлетворяющих нашему
уравнению.

Определение.

Решением
уравнения с двумя переменными
называется пара
значений переменных, которая обращает это уравнение в верное равенство.

Вспомним,
что при изучении уравнений с одной переменной, мы говорили о равносильных
уравнениях, то есть уравнениях, которые имеют одни и те же корни.

Аналогично
можем сказать, что уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения,
называются равносильными.

Причем
уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также являются равносильными.

Равносильные
уравнения обладают следующими свойствами:

Свойство
1.

Если
в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то
получится уравнения, равносильное данному;

Свойство
2.

Если
обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля
число, то получится уравнение, равносильное данному.

Снова
вернёмся к нашему уравнению

Но
здесь важно знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой
– на втором. Так в нашем случае сначала записано значение переменной x, а затем переменной y.

При
этом пара чисел (150; — 25) являясь решением уравнения, не удовлетворяет
условию задачи, так как скорость автомобиля не может быть отрицательной.

И
давайте рассмотрим ещё одну задачу.

Пример.

Решение
уравнений в целых числах, то есть когда надо найти только целые значения
переменных, подробно рассматривал древнегреческий математик Диофант.

Поэтому
уравнения с несколькими переменными, которые надо решить в целых числах,
называют диофантовыми уравнениями. То есть уравнение, составленное в
предыдущей задаче, является диофантовым, так как для него мы отыскивали только
натуральные решения.

И
давайте рассмотрим примеры.

Пример.

И
ещё пример.

Пример.

Итоги
урока

Итак,
на этом уроке мы рассмотрели линейное уравнение с двумя переменными и один из
способов решения таких уравнений.

 

Линейные системы с двумя переменными

Показать общее уведомление

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Это немного заранее, но я хотел сообщить всем, что мои серверы будут проходить техническое обслуживание 17 и 18 мая с 8:00 AM CST до 14:00 PM CST.Будем надеяться, что единственное неудобство будет заключаться в периодической потере / разрыве соединения, которую следует исправить, просто перезагрузив страницу. В остальном обслуживание (скрестив пальцы) должно быть «невидимым» для всех.

Пол
6 мая 2021 г.

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 7-1: Линейные системы с двумя переменными

Линейная система двух уравнений с двумя переменными — это любая система, которую можно записать в форме.

\ [\ begin {align *} ax + by & = p \\ cx + dy & = q \ end {align *} \]

, где любая из констант может быть равна нулю, за исключением того, что каждое уравнение должно содержать хотя бы одну переменную.

Также система называется линейной, если переменные указаны только в первой степени, присутствуют только в числителе и нет произведений переменных ни в одном из уравнений.

Вот пример системы с числами.

\ [\ begin {align *} 3x — y & = 7 \\ 2x + 3y & = 1 \ end {align *} \]

Прежде чем мы обсудим, как решать системы, мы должны сначала поговорить о том, что такое решение системы уравнений. Решение системы уравнений — это значение \ (x \) и значение \ (y \), которые при подстановке в уравнения удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

В приведенном выше примере \ (x = 2 \) и \ (y = — 1 \) является решением системы. Проверить это достаточно легко.

\ [\ begin {align *} 3 \ left (2 \ right) — \ left ({- 1} \ right) & = 7 \\ 2 \ left (2 \ right) + 3 \ left ({- 1} \ вправо) & = 1 \ end {выровнять *} \]

Итак, конечно, эта пара чисел является решением системы. Не беспокойтесь о том, как мы получили эти ценности. Это будет самая первая система, которую мы решим, когда перейдем к примерам.

Обратите внимание, что важно, чтобы пара чисел удовлетворяла обоим уравнениям. Например, \ (x = 1 \) и \ (y = — 4 \) удовлетворяют первому уравнению, но не второму, и поэтому не являются решением системы. Точно так же \ (x = — 1 \) и \ (y = 1 \) будут удовлетворять второму уравнению, но не первому, и поэтому не могут быть решением системы.

Итак, что же представляет собой решение системы двух уравнений? Хорошо, если вы думаете об этом, оба уравнения в системе являются линиями.Итак, давайте построим их график и посмотрим, что у нас получится.

Как видите, решение системы — это координаты точки пересечения двух линий. Итак, при решении линейных систем с двумя переменными мы действительно спрашиваем, где пересекаются две линии.

В этом разделе мы рассмотрим два метода решения систем.

Первый метод называется методом подстановки . В этом методе мы решим одно из уравнений для одной из переменных и подставим его в другое уравнение.Это даст одно уравнение с одной переменной, которую мы сможем решить. Как только это решено, мы подставляем это значение обратно в одно из уравнений, чтобы найти значение оставшейся переменной.

На словах этот метод не всегда очень понятен. Давайте рассмотрим пару примеров, чтобы увидеть, как работает этот метод.

Пример 1 Решите каждую из следующих систем.

  1. \ (\ begin {align *} 3x — y & = 7 \\ 2x + 3y & = 1 \ end {align *} \)
  2. \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x — 6y & = 2 \ end {align *} \)

Показать все решения Скрыть все решения

a \ (\ begin {align *} 3x — y & = 7 \\ 2x + 3y & = 1 \ end {align *} \) Показать решение

Итак, это была первая система, которую мы рассмотрели выше.Мы уже знаем решение, но это даст нам возможность проверить значения, которые мы записали для решения.

Теперь метод говорит, что нам нужно решить одно из уравнений для одной из переменных. Какое уравнение мы выберем и какую переменную выбрать, зависит от вас, но обычно лучше выбрать уравнение и переменную, с которыми будет легко иметь дело. Это означает, что мы должны стараться избегать дробей, если это вообще возможно.

В этом случае, похоже, будет действительно легко решить первое уравнение для \ (y \), так что давайте сделаем это.

\ [3x — 7 = y \]

Теперь подставьте это во второе уравнение.

\ [2x + 3 \ влево ({3x — 7} \ вправо) = 1 \]

Это уравнение в \ (x \), которое мы можем решить, так что давайте сделаем это.

\ [\ begin {align *} 2x + 9x — 21 & = 1 \\ 11x & = 22 \\ x & = 2 \ end {align *} \]

Итак, есть часть решения \ (x \).

Наконец, НЕ забудьте вернуться назад и найти часть решения \ (y \).Это одна из наиболее распространенных ошибок, которые студенты делают при решении систем. Для этого мы можем либо подставить значение \ (x \) в одно из исходных уравнений и решить для \ (y \), либо просто вставить его в нашу подстановку, которую мы нашли на первом шаге. Так будет проще, так что давайте.

\ [y = 3x — 7 = 3 \ left (2 \ right) — 7 = — 1 \]

Итак, решение — \ (x = 2 \) и \ (y = — 1 \), как мы отметили выше.

b \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x — 6y & = 2 \ end {align *} \) Показать решение

С этой системой мы не сможем полностью избежать дробей.Однако похоже, что если мы решим второе уравнение для \ (x \), мы сможем их минимизировать. Вот эта работа.

\ [\ begin {align *} 3x & = 6y + 2 \\ x & = 2y + \ frac {2} {3} \ end {align *} \]

Теперь подставьте это в первое уравнение и решите полученное уравнение относительно \ (y \).

\ [\ begin {align *} 5 \ left ({2y + \ frac {2} {3}} \ right) + 4y & = 1 \\ 10y + \ frac {{10}} {3} + 4y & = 1 \\ 14y & = 1 — \ frac {{10}} {3} = — \ frac {7} {3} \\ y & = — \ left ({\ frac {7} {3}} \ right) \ left ({\ frac {1} {{14}}} \ right) \\ y & = — \ frac {1} {6} \ end {align *} \]

Наконец, подставьте это в исходную замену, чтобы найти \ (x \).

\ [x = 2 \ left ({- \ frac {1} {6}} \ right) + \ frac {2} {3} = — \ frac {1} {3} + \ frac {2} {3} = \ frac {1} {3} \]

Итак, решение этой системы — \ (x = \ frac {1} {3} \) и \ (y = — \ frac {1} {6} \).

Как и в случае с отдельными уравнениями, мы всегда можем вернуться и проверить это решение, подключив его к обоим уравнениям и убедившись, что оно удовлетворяет обоим уравнениям. Также обратите внимание, что нам действительно нужно включить оба уравнения.Вполне возможно, что ошибка может привести к тому, что пара чисел будет удовлетворять одному из уравнений, но не другому.

Теперь перейдем к следующему методу решения систем уравнений. Как мы видели в последней части предыдущего примера, метод подстановки часто заставляет нас иметь дело с дробями, что увеличивает вероятность ошибок. У второго метода этой проблемы не будет. Что ж, это не совсем так. Если будут отображаться дроби, они будут отображаться только на последнем этапе, и они будут отображаться только в том случае, если решение содержит дроби.

Этот второй метод называется методом исключения . В этом методе мы умножаем одно или оба уравнения на соответствующие числа (, т. е. умножаем каждый член в уравнении на число), чтобы одна из переменных имела одинаковый коэффициент с противоположными знаками. Следующим шагом будет сложение двух уравнений. Поскольку одна из переменных имела одинаковый коэффициент с противоположными знаками, она будет удалена, когда мы сложим два уравнения.Результатом будет одно уравнение, которое мы можем решить для одной из переменных. Как только это будет сделано, замените этот ответ на одно из исходных уравнений.

Как и в случае с первым методом, гораздо легче увидеть, что здесь происходит, с помощью пары примеров.

Пример 2 Постановка задачи.

  1. \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x — 6y & = 2 \ end {align *} \)
  2. \ (\ begin {align *} 2x + 4y & = — 10 \\ 6x + 3y & = 6 \ end {align *} \)

Показать все решения Скрыть все решения

a \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x — 6y & = 2 \ end {align *} \) Показать решение

Это система из предыдущего набора примеров, которая заставила нас работать с дробями. Работа с ним здесь покажет различия между двумя методами, а также покажет, что любой метод может использоваться для получения решения для системы.

Итак, нам нужно умножить одно или оба уравнения на константы, чтобы одна из переменных имела одинаковый коэффициент с противоположными знаками. Итак, поскольку члены \ (y \) уже имеют противоположные знаки, давайте работать с этими терминами. Похоже, что если мы умножим первое уравнение на 3, а второе уравнение на 2, члены \ (y \) будут иметь коэффициенты 12 и -12, что нам и нужно для этого метода.

Вот работа для этого шага.

\ [\ begin {align *}
5x + 4y & = 1 & \ underrightarrow {\ times \, \, 3} \ hspace {0.5in} & 15x + 12y = 3 \\
3x-6y & = 2 & \ underrightarrow {\ times \, \, 2} \ hspace {0,5 дюйма} & \ underline {\, \, 6x-12y = 4} \\
& & & 21x \ hspace {0,5 дюйма} = 7 \\
\ конец {выравнивание *} \]

Итак, как и было обещано в описании метода, у нас есть уравнение, которое можно решить относительно \ (x \). Это дает \ (x = \ frac {1} {3} \), что мы и нашли в предыдущем примере. Однако обратите внимание, что единственная дробь, с которой нам пришлось иметь дело до этого момента, — это сам ответ, который отличается от метода подстановки.

Теперь снова не забудьте найти \ (y \). В этом случае работы будет немного больше, чем метод подстановки. Чтобы найти \ (y \), нам нужно подставить значение \ (x \) в любое из исходных уравнений и решить относительно \ (y \).Поскольку \ (x \) является дробью, заметим, что в этом случае, если мы подставим это значение во второе уравнение, мы потеряем дроби, по крайней мере, временно. Обратите внимание, что часто этого не происходит, и нам придется иметь дело с дробями, хотим мы этого или нет.

\ [\ begin {align *} 3 \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) — 6y & = 2 \\ 1 — 6y & = 2 \\ — 6y & = 1 \\ y & = — \ frac {1} {6} \ end {align *} \]

Опять же, это то же значение, которое мы нашли в предыдущем примере.

b \ (\ begin {align *} 2x + 4y & = — 10 \\ 6x + 3y & = 6 \ end {align *} \) Показать решение

В этой части все переменные положительны, поэтому нам придется принудительно установить противоположный знак, умножив где-нибудь на отрицательное число. Также заметим, что в этом случае, если мы просто умножим первое уравнение на -3, то коэффициенты при \ (x \) будут -6 и 6.

Иногда нам нужно только умножить одно из уравнений, а другое можно оставить в покое.Вот эта работа по этой части.

\ [\ begin {align *}
2x + 4y & = -10 & \ underrightarrow {\ times \, \, — 3} \ hspace {0,5 дюйма} & -6x-12y = 30 \\
6x + 3y & = 6 & \ underrightarrow {\ text {same}} \ hspace {0,5 дюйма} & \ underline {\ hspace {0,35 дюйма} 6x + 3y = 6} \\
& & & \ hspace {0,5 дюйма} -9y = 36 \\
& & & \ hspace {0,85 дюйма} y = -4 \\
\ конец {выравнивание *} \]

Наконец, подставьте это в любое из уравнений и решите относительно \ (x \). На этот раз мы воспользуемся первым уравнением.

\ [\ begin {align *} 2x + 4 \ left ({- 4} \ right) & = — 10 \\ 2x — 16 & = — 10 \\ 2x & = 6 \\ x & = 3 \ end {align *} \]

Итак, решение этой системы — \ (x = 3 \) и \ (y = — 4 \).

Существует третий метод, который мы рассмотрим для решения систем из двух уравнений, но он немного сложнее и, вероятно, более полезен для систем, по крайней мере, с тремя уравнениями, поэтому мы рассмотрим его в следующем разделе.

Перед тем, как покинуть этот раздел, мы должны рассмотреть несколько частных случаев решения систем.

Пример 3 Решите следующие системы уравнений.

\ [\ begin {align *} x — y & = 6 \\ — 2x + 2y & = 1 \ end {align *} \]

Показать решение

Здесь мы можем использовать любой метод, но похоже, что замена будет немного проще. Мы решим первое уравнение относительно \ (x \) и подставим его во второе уравнение.

\ [\ begin {align *} x & = 6 + y \\ & \\ — 2 \ left ({6 + y} \ right) + 2y & = 1 \\ — 12 — 2y + 2y & = 1 \\ — 12 & = 1 \, \, \, ?? \ end {align *} \]

Итак, это явно неправда, и, похоже, нигде в нашей работе нет ошибки. Так в чем проблема? Чтобы увидеть, давайте изобразим эти две линии и посмотрим, что мы получим.

Похоже, что эти две линии параллельны (вы можете проверить это с помощью наклона?), И мы знаем, что две параллельные линии с разными пересечениями \ (y \) (что важно) никогда не пересекутся.

Как мы видели в начале обсуждения этого раздела, решения представляют собой точку пересечения двух линий. Если две линии не пересекаются, у нас не может быть решения.

Итак, когда мы получаем такой бессмысленный ответ в результате нашей работы, у нас есть две параллельные линии, и не существует решения этой системы уравнений.

Система в предыдущем примере называется несовместимая .Также обратите внимание, что если бы мы использовали исключение в этой системе, мы бы получили аналогичный бессмысленный ответ.

Пример 4 Решите следующую систему уравнений.

\ [\ begin {align *} 2x + 5y & = — 1 \\ — 10x — 25y & = 5 \ end {align *} \]

Показать решение

В этом примере кажется, что устранение было бы самым простым методом.

\ [\ begin {align *}
2x + 5y & = -1 & \ underrightarrow {\ times \, \, 5} \ hspace {0.5in} & \, \, \, \, 10x + 25y = -5 \\
-10x-25y & = 5 & \ underrightarrow {\ text {same}} \ hspace {0,5 дюйма} & \ underline {-10x-25y = 5} \\
& & & \ hspace {0.9in} 0 = 0 \\
\ конец {выравнивание *} \]

На первый взгляд может показаться, что это та же проблема, что и в предыдущем примере. Однако в этом случае мы пришли к равенству, которое просто не соответствовало действительности. В этом случае мы имеем 0 = 0, и это истинное равенство, и в этом смысле в этом нет ничего плохого.

Однако это явно не тот ответ, который мы ожидали здесь, и поэтому нам нужно определить, что именно происходит.

Мы предоставим вам проверить это, но если вы найдете наклон и \ (y \) — точки пересечения для этих двух линий, вы обнаружите, что обе линии имеют точно такой же наклон, и обе линии имеют одинаковые \ ( y \) — перехват. Итак, что это значит для нас? Хорошо, если две линии имеют одинаковый наклон и одинаковые \ (y \) — точки пересечения, тогда графики этих двух линий являются одним и тем же графиком.Другими словами, графики этих двух линий — это один и тот же график. В этих случаях любой набор точек, удовлетворяющий одному из уравнений, также будет удовлетворять другому уравнению.

Также напомним, что график уравнения — это не что иное, как набор всех точек, удовлетворяющих уравнению. Другими словами, существует бесконечный набор точек, которые удовлетворяют этой системе уравнений.

В этих случаях мы действительно хотим записать что-нибудь для решения.Итак, что мы сделаем, так это решим одно из уравнений для одной из переменных (неважно, что вы выберете). Решим первую относительно \ (y \).

\ [\ begin {align *} 2x + 5y & = — 1 \\ 5y & = — 2x — 1 \\ y & = — \ frac {2} {5} x — \ frac {1} {5} \ end {выровнять*}\]

Тогда для любого \ (x \) мы можем найти \ (y \), и эти два числа образуют решение системы уравнений. Обычно мы обозначаем это, записывая решение следующим образом:

\ [\ begin {array} {* {20} {c}} \ begin {align} x & = t \\ y & = — \ frac {2} {5} t — \ frac {1} {5} \ конец {выровнен} & {\ hspace {0.25in} {\ mbox {где}} \, t {\ mbox {- любое действительное число}}} \ end {array} \]

Чтобы показать, что они дают решения, давайте рассмотрим пару значений \ (t \).

\ (t = 0 \)

\ [x = 0 \ hspace {0,25 дюйма} y = — \ frac {1} {5} \]

Чтобы показать, что это решение, нам нужно вставить его в оба уравнения системы. ? — 1 & \ hspace {0.? 5 \\ — 1 & = — 1 & \ hspace {0,25 дюйма} 5 & = 5 \ end {align *} \]

Итак, \ (x = 0 \) и \ (y = — \ frac {1} {5} \) является решением системы. Давай быстро сделаем еще один.

\ (t = — 3 \)

\ [x = — 3 \ hspace {0,25 дюйма} y = — \ frac {2} {5} \ left ({- 3} \ right) — \ frac {1} {5} = \ frac {6} {5 } — \ frac {1} {5} = 1 \]

И снова нам нужно вставить его в оба уравнения системы, чтобы показать, что это решение.? 5 \\ — 1 & = — 1 & \ hspace {0,25 дюйма} 5 & = 5 \ end {align *} \]

Конечно, \ (x = — 3 \) и \ (y = 1 \) — это решение.

Итак, поскольку существует бесконечное количество возможных \ (t \) ‘, должно быть бесконечное количество решений для этой системы, и они даются как,

\ [\ begin {array} {* {20} {c}} \ begin {align} x & = t \\ y & = — \ frac {2} {5} t — \ frac {1} {5} \ конец {выровнен} & {\ hspace {0. 25in} {\ mbox {где}} \, t {\ mbox {- любое действительное число}}} \ end {array} \]

Системы, подобные тем, что в предыдущих примерах, называются зависимыми .

Теперь мы увидели все три возможности решения системы уравнений. Система уравнений не будет иметь решения, ровно одно решение или бесконечно много решений.

4.1: Решение систем линейных уравнений с двумя переменными

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

В разделе Решение линейных уравнений мы узнали, как решать линейные уравнения с одной переменной.Теперь мы будем работать с двумя или более линейными уравнениями, сгруппированными вместе, что известно как система линейных уравнений .

СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Когда два или более линейных уравнения сгруппированы вместе, они образуют систему линейных уравнений .

В этом разделе мы сосредоточим нашу работу на системах двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Позже в этой главе мы решим более крупные системы уравнений.

Пример системы двух линейных уравнений показан ниже.Мы используем скобку, чтобы показать, что два уравнения сгруппированы вместе и образуют систему уравнений.

\ [\ left \ {\ begin {выровнено} 2x + y & = 7 \\ x-2y & = 6 \ end {выровнено} \ right. \ nonumber \]

Линейное уравнение с двумя переменными, например \ (2x + y = 7 \), имеет бесконечное число решений. Его график представляет собой линию. Помните, что каждая точка на линии — это решение уравнения, а каждое решение уравнения — это точка на линии.

Чтобы решить систему двух линейных уравнений, мы хотим найти значения переменных, которые являются решениями обоих уравнений.Другими словами, мы ищем упорядоченные пары \ ((x, y) \), которые делают оба уравнения истинными. Они называются решениями системы уравнений .

РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Решения системы уравнений — это значения переменных, которые делают все уравнений истинными. Решение системы двух линейных уравнений представляется упорядоченной парой \ ((x, y) \).

Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух уравнений, мы подставляем значения переменных в каждое уравнение.Если упорядоченная пара делает оба уравнения истинными, это решение системы.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − y = −1 \\ 2x − y = −5 \ end {array} \ right. \) .

ⓐ \ ((- 2, −1) \) ⓑ \ ((- 4, −3) \)

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы \ (\ left \ {\ begin {array} 3x + y = 0 \\ x + 2y = −5 \ end {array} \ right. \).

ⓐ \ ((1, −3) \) ⓑ \ ((0,0) \)

Ответ

ⓐ да ⓑ нет

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы \ (\ left \ {\ begin {array} x − 3y = −8 \\ −3x − y = 4 \ end {array} \ right. \).

ⓐ \ ((2, −2) \) ⓑ \ ((- 2,2) \)

Ответ

ⓐ нет ⓑ да

Решите систему линейных уравнений с помощью построения графиков

В этом разделе мы будем использовать три метода для решения системы линейных уравнений.Первый метод, который мы будем использовать, — это построение графиков.

График линейного уравнения представляет собой линию. Каждая точка на линии — это решение уравнения. Для системы из двух уравнений мы построим график двумя линиями. Затем мы можем увидеть все точки, которые являются решениями каждого уравнения. И, обнаружив, что общего у линий, мы найдем решение системы.

Большинство линейных уравнений с одной переменной имеют одно решение, но мы видели, что некоторые уравнения, называемые противоречиями, не имеют решений, а для других уравнений, называемых тождествами, все числа являются решениями.

Точно так же, когда мы решаем систему двух линейных уравнений, представленную графиком из двух линий в одной плоскости, есть три возможных случая, как показано.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)

Каждый раз, когда мы демонстрируем новый метод, мы будем использовать его в той же системе линейных уравнений. В конце раздела вы решите, какой метод был наиболее удобным для решения этой системы.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): как решить систему уравнений с помощью построения графиков

Решите систему, построив график \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = 7 \\ x − 2y = 6 \ end {array} \ right.\).

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 3y = −3 \\ x + y = 5 \ end {array} \ right. \).

Ответ

\ ((3,2) \)

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} −x + y = 1 \\ 3x + 2y = 12 \ end {array} \ right.\)

Ответ

\ ((2,3) \)

Здесь показаны шаги, которые необходимо использовать для решения системы линейных уравнений с помощью построения графиков.

РЕШИТЕ ​​СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ.

  1. Изобразите первое уравнение.
  2. Постройте второе уравнение в той же прямоугольной системе координат.
  3. Определите, пересекаются ли линии, параллельны или совпадают.
  4. Определите решение системы.
    • Если линии пересекаются, укажите точку пересечения. Это решение системы.
    • Если линии параллельны, у системы нет решения.
    • Если строки совпадают, система имеет бесконечное количество решений.
  5. Проверьте решение в обоих уравнениях.

В следующем примере мы сначала перепишем уравнения в форме углового пересечения, так как это упростит нам быстрое построение графиков линий.

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = −1 \\ 2x + y = 0 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Мы решим оба этих уравнения относительно \ (y \), чтобы мы могли легко построить их график, используя их наклоны и \ (y \) — точки пересечения.

Пример \ (\ PageIndex {8} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} −x + y = 1 \\ 2x + y = 10 \ end {array} \ right.\).

Ответ

\ ((3,4) \)

Пример \ (\ PageIndex {9} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = 6 \\ x + y = 1 \ end {array} \ right. \).

Ответ

\ ((5, −4) \)

До сих пор во всех системах линейных уравнений линии пересекались и решение было одной точкой. В следующих двух примерах мы рассмотрим систему уравнений, не имеющую решения, и систему уравнений, которая имеет бесконечное число решений.

Пример \ (\ PageIndex {10} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = \ tfrac {1} {2} x-3 \\ x-2y = 4 \ end {array} \ right. \ ).

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {11} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = — \ tfrac {1} {4} x + 2 \\ x + 4y = 4 \ end {array} \ right. \).

Ответ

нет решения

Пример \ (\ PageIndex {12} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 3x-1 \\ 6x-2y = 6 \ end {array} \ right.\).

Ответ

нет решения

Иногда уравнения в системе представляют собой одну и ту же линию. Поскольку каждая точка на прямой делает оба уравнения истинными, существует бесконечно много упорядоченных пар, которые делают оба уравнения истинными. У системы бесконечно много решений.

Пример \ (\ PageIndex {13} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 2x-3 \\ -6x + 3y = 9 \ end {array} \ right.\).

Ответ

Если вы напишете второе уравнение в форме пересечения наклона, вы можете заметить, что уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения y .

Пример \ (\ PageIndex {14} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = -3x-6 \\ 6x + 2y = -12 \ end {array} \ right. \).

Ответ

бесконечно много решений

Пример \ (\ PageIndex {15} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = \ tfrac {1} {2} x-4 \\ 2x-4y = 16 \ end {array} \ right.\).

Ответ

бесконечно много решений

Когда мы нарисовали вторую линию в последнем примере, мы нарисовали ее прямо над первой линией. Мы говорим, что две линии совпадают с . Совпадающие линии имеют одинаковый наклон и точку пересечения y-.

СОВПАДАЮЩИЕ ЛИНИИ

Совпадающие линии имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения y- .

Каждая из систем уравнений в примере и примере имеет две пересекающиеся линии.У каждой системы было одно решение.

В примере уравнения давали совпадающие линии, поэтому система имела бесконечно много решений.

Системы в этих трех примерах имели по крайней мере одно решение. Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется согласованной системой .

Система с параллельными линиями, такая как Пример , не имеет решения. Мы называем такую ​​систему уравнений несогласованной. Нет решения.

СОГЛАСОВАННЫЕ И НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ

Согласованная система уравнений — это система уравнений, имеющая по крайней мере одно решение.

Несогласованная система уравнений — это система уравнений, не имеющая решения.

Мы также классифицируем уравнения в системе уравнений, называя уравнения независимыми или зависимыми . Если два уравнения независимы, каждое из них имеет собственный набор решений.Пересекающиеся линии и параллельные линии независимы.

Если два уравнения зависимы, все решения одного уравнения также являются решениями другого уравнения. Когда мы строим график двух зависимых уравнений, мы получаем совпадающие линии.

Подведем итог, посмотрев на графики трех типов систем. См. Ниже и таблицу .

Строки Пересечение Параллельный Совпадение
Количество решений 1 балл Нет решения Бесконечно много
Согласованный / непоследовательный Согласованный Несоответствие Согласованный
Зависимые / независимые Независимый Независимая Зависимые

Пример \ (\ PageIndex {16} \)

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 3x − 1 \\ 6x − 2y = 12 \ end {array} \ right. \) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = −3 \\ x − 5y = 5 \ end {array} \ right. \)

Ответ

ⓐ Сравним наклоны и пересечения двух линий.

\ (\ begin {array} {lll} {} & {} & {\ left \ {\ begin {array} {l} {y = 3x-1} \\ {6x − 2y = 12} \ end {array } \ right.} \\ {} & {} & {y = 3x-1} \\ {\ text {Первое уравнение уже находится в форме пересечения наклона.}} & {} & {} \\ {\ text {Запишите второе уравнение в форме пересечения наклона.}} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {6x-2y = 12} \\ {} & {} & {- 2y = -6x + 12} \\ {} & { } & {\ frac {-2y} {- 2} = \ frac {-6x + 12} {- 2}} \\ {} & {} & {y = 3x-6} \\ {} & {y = 3x-1} & {y = 3x-6} \\ {} & {m = 3} & {m = 3} \\ {} & {b = -1} & {b = -6} \\ {\ text {Найдите наклон и точку пересечения каждой линии.}} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \ \ {} & {} & {} \\ {} & {\ text {Поскольку наклоны одинаковые, а точки пересечения y}} & {} \\ {} & {\ text {разные, линии параллельны.}} & {} \\ \ end {array} \)

ⓑ Мы сравним наклон и пересечения двух линий.

\ (\ begin {array} {lll} {} & {} & {} \\ {} & {\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = -3 \\ x-5y = 5 \\ \ end {array} \ right.} & {} \\ {\ text {Запишите оба уравнения в форме углового пересечения.}} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ { } & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {2x + y = -3} & {x-5y = 5} \\ {} & {y = -2x-3 } & {- 5y = -x + 5} \\ {} & {} & {\ frac {-5y} {- 5} = \ frac {-x + 5} {- 5}} \\ {} & { } & {y = \ frac {1} {5} -1} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {\ text {Найдите наклон и точку пересечения каждой линии.}} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {y = -2x-3} & {y = \ frac {1} {5} -1} \\ {} & {m = -2} & {m = \ frac {1} {5}} \\ {} & {b = -3} & {b = -1} \\ {} & {} & {} \\ {} & {\ text {Поскольку уклоны разные, линии пересекаются.}} & {} \\ \ end {array} \)

Система уравнений, графики которой пересекаются, имеет одно решение, непротиворечива и независима.

Пример \ (\ PageIndex {17} \)

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = −2x − 4 \\ 4x + 2y = 9 \ end {array} \ right. \) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array } {l} 3x + 2y = 2 \\ 2x + y = 1 \ end {array} \ right. \)

Ответ

ⓐ нет решения, непоследовательное, независимое ⓑ одно решение, последовательное, независимое

Пример \ (\ PageIndex {18} \)

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = \ frac {1} {3} x − 5 \\ x − 3y = 6 \ end {array} \ right.\) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 4y = 12 \\ −x + y = 3 \ end {array} \ right. \)

Ответ

ⓐ нет решения, непоследовательное, независимое ⓑ одно решение, последовательное, независимое

Решение систем линейных уравнений с помощью графиков — хороший способ визуализировать типы решений, которые могут возникнуть. Однако во многих случаях решение системы с помощью построения графиков неудобно или неточно. Если графики выходят за пределы маленькой сетки с x и y как между \ (- 10 \), так и 10, построение линий может быть громоздким.И если решения системы не являются целыми числами, может быть трудно точно прочитать их значения с графика.

Решите систему уравнений подстановкой

Теперь решим системы линейных уравнений методом подстановки.

Мы будем использовать ту же систему, которую мы использовали вначале для построения графиков.

\ [\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = 7 \\ x − 2y = 6 \ end {array} \ right. \ nonumber \]

Сначала мы решим одно из уравнений относительно x или y .Мы можем выбрать любое уравнение и решить любую переменную, но мы постараемся сделать выбор, который упростит работу.

Затем мы подставляем это выражение в другое уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной — и мы знаем, как его решить!

После того, как мы найдем значение одной переменной, мы подставим это значение в одно из исходных уравнений и решим для другой переменной. Наконец, мы проверяем наше решение и убеждаемся, что оно соответствует обоим уравнениям.

Пример \ (\ PageIndex {20} \)

Решите систему заменой: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} −2x + y = −11 \\ x + 3y = 9 \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ ((6,1) \)

Пример \ (\ PageIndex {21} \)

Решите систему заменой: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = −1 \\ 4x + 3y = 3 \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ ((- 3,5) \)

РЕШИТЬ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ ПОДСТАВКОЙ.

  1. Решите одно из уравнений для любой переменной.
  2. Подставьте выражение из шага 1 в другое уравнение.
  3. Решите полученное уравнение.
  4. Подставьте решение шага 3 в любое из исходных уравнений, чтобы найти другую переменную.
  5. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
  6. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений .

Будьте очень осторожны со знаками в следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {22} \)

Решите систему заменой: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x + 2y = 4 \\ 6x − y = 8 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Нам нужно решить одно уравнение для одной переменной. Решим первое уравнение относительно y .

Пример \ (\ PageIndex {23} \)

Решите систему с помощью подстановки: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 4y = −4 \\ −3x + 4y = 0 \ end {array} \ right.\)

Ответ

\ ((2,32) \)

Пример \ (\ PageIndex {24} \)

Решите систему заменой: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x − y = 0 \\ 2x − 3y = 5 \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ ((- 12, −2) \)

Решите систему уравнений методом исключения

Мы решили системы линейных уравнений с помощью построения графиков и подстановки.Построение графиков хорошо работает, когда переменные коэффициенты малы, а решение имеет целочисленные значения. Подстановка работает хорошо, когда мы можем легко решить одно уравнение для одной из переменных и не иметь слишком много дробей в результирующем выражении.

Третий метод решения систем линейных уравнений называется методом исключения. Когда мы решали систему с помощью подстановки, мы начинали с двух уравнений и двух переменных и сводили ее к одному уравнению с одной переменной. То же самое мы сделаем и с методом исключения, но у нас будет другой способ добиться этого.

Метод исключения основан на добавочном свойстве равенства. Свойство сложения равенства говорит, что когда вы добавляете одинаковую величину к обеим сторонам уравнения, вы все равно получаете равенство. Мы расширим свойство сложения равенства, чтобы сказать, что когда вы добавляете равные количества к обеим сторонам уравнения, результаты равны.

Для любых выражений a, b, c, и d .

\ [\ begin {array} {ll} {\ text {if}} & {a = b} \\ {\ text {and}} & {c = d} \\ {\ text {then}} & { а + с = б + г.} \\ \ nonumber \ end {array} \]

Чтобы решить систему уравнений методом исключения, мы начнем с обоих уравнений в стандартной форме. Затем мы решаем, какую переменную будет легче всего устранить. Как мы решаем? Мы хотим, чтобы коэффициенты одной переменной были противоположными, чтобы мы могли сложить уравнения и исключить эту переменную.

Обратите внимание, как это работает, когда мы складываем эти два уравнения вместе:

\ [\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = 5 \\ \ underline {2x − y = 0} \ end {array} \ right.\ nonumber \]

\ [5x = 5 \ nonumber \]

и прибавляют к нулю, и мы получаем одно уравнение с одной переменной.

Давайте попробуем еще один:

\ [\ left \ {\ begin {array} x + 4y = 2 \\ 2x + 5y = −2 \ end {array} \ right. \ nonumber \]

На этот раз мы не видим переменную, которая может быть немедленно удалена, если мы добавим уравнения.

Но если мы умножим первое уравнение на \ (- 2 \), мы сделаем коэффициенты при x противоположными.Мы должны умножить каждый член в обеих частях уравнения на \ (- 2 \).

Затем перепишите систему уравнений.

Теперь мы видим, что коэффициенты членов x противоположны, поэтому x будет исключено, когда мы сложим эти два уравнения.

Как только мы получаем уравнение с одной переменной, мы его решаем. Затем мы подставляем это значение в одно из исходных уравнений, чтобы найти оставшуюся переменную.И, как всегда, мы проверяем наш ответ, чтобы убедиться, что он является решением обоих исходных уравнений.

Теперь мы увидим, как использовать исключение для решения той же системы уравнений, которую мы решили с помощью построения графиков и подстановки.

Упражнение \ (\ PageIndex {26} \)

Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = 5 \\ 2x − 3y = 7 \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ ((2, −1) \)

Упражнение \ (\ PageIndex {27} \)

Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x + y = −5 \\ ​​−2x − 2y = −2 \ end {array} \ right.\)

Ответ

\ ((- 2,3) \)

Шаги перечислены здесь для удобства.

РЕШИТЬ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ ПУТЕМ ИСКЛЮЧЕНИЯ.

  1. Запишите оба уравнения в стандартной форме. Если какие-либо коэффициенты являются дробными, очистите их.
  2. Сделайте коэффициенты одной переменной противоположными.
    • Решите, какую переменную исключить.
    • Умножьте одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты этой переменной были противоположными.
  3. Добавьте уравнения, полученные на шаге 2, чтобы исключить одну переменную.
  4. Найдите оставшуюся переменную.
  5. Подставьте решение из шага 4 в одно из исходных уравнений. Затем найдите другую переменную.
  6. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
  7. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений .

Теперь мы рассмотрим пример, в котором нам нужно умножить оба уравнения на константы, чтобы сделать коэффициенты одной переменной противоположными.

Упражнение \ (\ PageIndex {28} \)

Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x − 3y = 9 \\ 7x + 2y = −6 \ end {array} \ right. \)

Ответ

В этом примере мы не можем умножить одно уравнение на любую константу, чтобы получить противоположные коэффициенты. Поэтому мы стратегически умножим оба уравнения на разные константы, чтобы получить противоположности.

Упражнение \ (\ PageIndex {29} \)

Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x − 4y = −9 \\ 5x + 3y = 14 \ end {array} \ right.\)

Ответ

\ ((1,3) \)

Упражнение \ (\ PageIndex {30} \)

Решите каждую систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 7x + 8y = 4 \\ 3x − 5y = 27 \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ ((4, −3) \)

Когда система уравнений содержит дроби, мы сначала очистим дроби, умножив каждое уравнение на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении.

Упражнение \ (\ PageIndex {31} \)

Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + \ tfrac {1} {2} y = 6 \\ \ tfrac {3} {2} x + \ tfrac {2} { 3} y = \ tfrac {17} {2} \ end {array} \ right. \)

Ответ

В этом примере в обоих уравнениях есть дроби. Нашим первым шагом будет умножение каждого уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении, чтобы очистить дроби.

Упражнение \ (\ PageIndex {32} \)

Решите каждую систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} \ tfrac {1} {3} x− \ tfrac {1} {2} y = 1 \\ \ tfrac {3} { 4} x − y = \ tfrac {5} {2} \ end {array} \ right.\)

Ответ

\ ((6,2) \)

Упражнение \ (\ PageIndex {33} \)

Решите каждую систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + \ tfrac {3} {5} y = — \ tfrac {1} {5} \\ — \ tfrac {1} { 2} x− \ tfrac {2} {3} y = \ tfrac {5} {6} \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ ((1, −2) \)

Когда мы решили систему с помощью построения графиков, мы увидели, что не все системы линейных уравнений имеют единственную упорядоченную пару в качестве решения.Когда два уравнения действительно представляли собой одну и ту же линию, решений было бесконечно много. Мы назвали это последовательной системой. Когда два уравнения описывали параллельные линии, решения не было. Мы назвали это несовместимой системой.

То же самое и с заменой или исключением. Если уравнение в конце замены или исключения является истинным утверждением, у нас есть непротиворечивая, но зависимая система, а система уравнений имеет бесконечно много решений. Если уравнение в конце замены или исключения является ложным утверждением, мы имеем несовместимую систему и система уравнений не имеет решения.

Упражнение \ (\ PageIndex {34} \)

Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ y = 3− \ tfrac {3} {4} x \ end {array} \ right. \ )

Ответ

\ (\ begin {array} {ll} {} & {\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ y = 3− \ frac {3} {4} x \ end { array} \ right.} \\ {} & {} \\ {\ text {Запишите второе уравнение в стандартной форме.}} & {\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ \ frac {3} {4} x + y = 3 \ end {array} \ right.} \\ {} & {} \\ {\ text {Очистите дроби, умножив} \\ \ text {второе уравнение на 4.}} & {\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ 4 (\ frac {3} {4} x + y) = 4 (3) \ end {array} \ right. } \\ {} & {} \\ {\ text {Упростить.}} & {\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ 3x + 4y = 12 \ end {array} \ верно. } \\ {} & {} \\ {\ text {Чтобы исключить переменную, мы умножаем второе уравнение} \\ \ text {на -1. Упростите и добавьте.}} & {\ Begin {array} {l} {\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ \ underline {-3x-4y = -12} \ end { массив} \ право.} \\ {\ hspace {16mm} 0 = 0} \ end {array}} \\ \ end {array} \)

Это верное заявление. Уравнения непротиворечивы, но зависимы. Их графики будут одной линией. У системы бесконечно много решений.

После того, как мы очистили дроби во втором уравнении, заметили ли вы, что эти два уравнения совпадают? Это означает, что у нас есть совпадающие линии.

Упражнение \ (\ PageIndex {35} \)

Решите систему путем исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 5x − 3y = 15 \\ 5y = −5 + \ tfrac {5} {3} x \ end {array} \ right.\)

Ответ

бесконечно много решений

Упражнение \ (\ PageIndex {36} \)

Решите систему путем исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 2y = 6 \\ y = — \ tfrac {1} {2} x + 3 \ end {array} \ right. \)

Ответ

бесконечно много решений

Выберите наиболее удобный метод решения системы линейных уравнений

Когда вы решаете систему линейных уравнений в приложении, вам не скажут, какой метод использовать.Вам нужно будет принять это решение самостоятельно. Так что вы захотите выбрать самый простой метод, который минимизирует ваши шансы на ошибку.

\ [\ textbf {Выберите наиболее удобный метод для решения системы линейных уравнений} \\ \ begin {array} {lll} {\ underline {\ textbf {Graphing}}} & {\ underline {\ textbf {Substitution} }} & {\ underline {\ textbf {Устранение}}} \\ {\ text {Используется, когда вам нужно}} & {\ text {Используется, когда одно уравнение равно}} & {\ text {Используется, когда уравнения a} } \\ {\ text {картина ситуации.}} & {\ text {уже решено или может быть}} & {\ text {переустановить стандартную форму.}} \\ {\ text {}} & {\ text {легко решено для одного}} & {\ text {} } \\ {\ text {}} & {\ text {переменная.}} & {\ text {}} \\ \ end {array} \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {37} \)

Решите для каждой системы линейных уравнений, что удобнее решить: заменой или исключением. Поясните свой ответ.

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 8y = 40 \\ 7x − 4y = −32 \ end {array} \ right.\) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 5x + 6y = 12 \\ y = \ tfrac {2} {3} x − 1 \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ [\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 8y = 40 \\ 7x − 4y = −32 \ end {array} \ right. \ Nonumber \]

Поскольку оба уравнения имеют стандартную форму, использование исключения будет наиболее удобным.

\ [\ left \ {\ begin {array} {l} 5x + 6y = 12 \\ y = \ tfrac {2} {3} x − 1 \ end {array} \ right. \ Nonumber \]

Поскольку одно уравнение уже решено относительно и , использование подстановки будет наиболее удобным.

Пример \ (\ PageIndex {38} \)

Для каждой системы линейных уравнений решите, что удобнее будет решить заменой или исключением. Поясните свой ответ.

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x − 5y = −32 \\ 3x + 2y = −1 \ end {array} \ right. \) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin { массив} {l} x = 2y − 1 \\ 3x − 5y = −7 \ end {array} \ right. \)

Ответ

ⓐ Поскольку оба уравнения имеют стандартную форму, использование исключения будет наиболее удобным.Ⓑ Поскольку одно уравнение уже решено для x , использование подстановки будет наиболее удобным.

Пример \ (\ PageIndex {39} \)

Для каждой системы линейных уравнений решите, что удобнее будет решить заменой или исключением. Поясните свой ответ.

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 2x − 1 \\ 3x − 4y = −6 \ end {array} \ right. \) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array } {l} 6x − 2y = 12 \\ 3x + 7y = −13 \ end {array} \ right. \)

Ответ

ⓐ Поскольку одно уравнение уже решено для и , использование подстановки будет наиболее удобным.Ⓑ Поскольку оба уравнения имеют стандартную форму, использование исключения будет наиболее удобным.

Решение систем уравнений с двумя переменными (Алгебра 2, Как решить систему линейных уравнений) — Mathplanet

Система линейного уравнения состоит из двух или более уравнений, и одно ищет общее решение этих уравнений. В системе линейных уравнений каждому уравнению соответствует прямая линия, и каждый ищет точку, где две линии пересекаются.


Пример

Решите следующую систему линейных уравнений:

$$ \ left \ {\ begin {matrix} y = 2x + 4 \\ y = 3x + 2 \\ \ end {matrix} \ right. $$

Поскольку мы ищем точку пересечения, мы можем построить график уравнений:

Здесь мы видим, что линии пересекаются друг с другом в точке x = 2, y = 8. Это наше решение, и мы можем называть его графическим решением задачи.

Но как найти решение, если линии никогда не пересекаются? Нельзя, система уравнений не имеет решения.

Можно также прийти к правильному ответу с помощью метода исключения (также называемого методом сложения или методом линейной комбинации) или методом подстановки.

При использовании метода подстановки мы используем тот факт, что если два выражения y и x имеют одинаковое значение x = y, то x может заменить y или наоборот в другом выражении без изменения значения выражения.


Пример

Решите системы уравнений методом подстановки

$$ \ left \ {\ begin {matrix} y = 2x + 4 \\ y = 3x + 2 \\ \ end {matrix} \ right.

$

Подставляем y в верхнем уравнении выражением для второго уравнения:

$$ \ begin {array} {lcl} 2x + 4 & = & 3x + 2 \\ 4-2 & = & 3x-2x \\ 2 & = & x \\ \ end {array} $$

Чтобы определить значение y , мы можем продолжить, вставив наше значение x в любое из уравнений. Выбираем первое уравнение:

$$ y = 2x + 4 $$

Подключаем x = 2 и получаем

$$ y = 2 \ cdot 2 + 4 = 8 $$

Таким образом, мы пришли к тому же ответу, что и в графическом решении.

Метод исключения требует, чтобы мы добавляли или вычитали уравнения, чтобы исключить x или y , часто нельзя приступить к сложению напрямую, не умножив сначала первое или второе уравнение на некоторое значение.


Пример

$$ 2x-2y = 8 $$

$$ x + y = 1 $$

Теперь мы хотим сложить два уравнения, но это не приведет к исключению x или y .Следовательно, мы должны умножить второе уравнение на 2 с обеих сторон и получить:

$$ 2x-2y = 8 $$

$$ 2x + 2y = 2 $$

Теперь мы пытаемся добавить нашу систему уравнений. Мы начинаем с терминов x слева, а затем с терминов и и, наконец, с чисел справа:

$$ (2x + 2x) + (- 2y + 2y) = 8 + 2 $$

Термины и были исключены, и теперь у нас есть уравнение только с одной переменной:

$$ 4x = 10 $$

$$ x = \ frac {10} {4} = 2.5 $$

После этого, чтобы определить значение y , мы вставляем x = 2,5 в одно из уравнений. Выбираем первое:

$$ \ begin {array} {lcl} 2 \ cdot 2.5-2y & = & 8 \\ 5-8 & = & 2y \\ -3 & = & 2y \\ \ frac {-3} {2} & = & y \\ y & = & -1,5 \\ \ end {array} $$


Видеоурок

Решите систему уравнений:

$$ \ left \ {\ begin {matrix} 2x-4y = 0 \\ -4x + 4y = -4 \ end {matrix} \ right.

$

Линейные уравнения с двумя переменными

Линейная система уравнений может иметь n переменных. При решении линейных уравнений с числом переменных n важно помнить, что для решения и определения значений переменных должно быть n уравнений. Множество решений, полученных при решении этих линейных уравнений, представляет собой прямую линию. Линейные уравнения — это алгебраические уравнения, которые имеют вид y = mx + b, где m — наклон, а b — точка пересечения с y.Это уравнения первого порядка. Например, y = 2x + 3 и 2y = 4x + 9 — линейные уравнения с двумя переменными. В этом мини-уроке мы рассмотрим решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными с использованием различных методов.

Линейные уравнения с двумя переменными

Линейные уравнения с двумя переменными имеют порядок высшей экспоненты, равный единице, и имеют одно, нулевое или бесконечно много решений. Стандартная форма линейного уравнения — ax + by + c = 0, где x и y — две переменные.Решения также можно записывать в упорядоченных парах. Геометрическое представление линейных уравнений с двумя переменными также являются прямыми линиями. Линейное уравнение с двумя переменными может быть в разных формах. Некоторые из них: стандартная форма, форма пересечения и форма точечного наклона.

Система уравнений означает совокупность уравнений. Мы научимся решать линейные уравнения с двумя переменными разными методами.

Методы решения линейных уравнений с двумя переменными

  • Графический метод
  • Способ замены
  • Метод перекрестного умножения
  • Метод ликвидации
  • Метод определения

Графический метод

Шаги для графического решения линейных уравнений с двумя переменными, мы используем следующие шаги:

  • Шаг 1: Чтобы решить систему двух уравнений с двумя переменными графически, мы графически отображаем каждое уравнение.
  • Шаг 2: Чтобы построить уравнение вручную, сначала преобразуйте его в форму y = mx + b, решив уравнение относительно y.
  • Шаг 3: Определите точку, где встречаются обе линии.
  • Шаг 4: Точка пересечения — это решение данной системы.

Пример: Найдите решение следующей системы уравнений графически.
-x + 2y-3 = 0
3x + 4y-11 = 0
Решение: Мы построим их график и посмотрим, пересекаются ли они в какой-то точке.
Как вы можете видеть ниже, обе линии пересекаются в точках (1, 2). Таким образом, решение данной системы линейных уравнений есть x = 1 и y = 2.

Но обе линии всегда могут не пересекаться. Иногда они могут быть параллельны. В таком случае у данной системы нет решения. В некоторых других случаях обе линии совпадают. В этом случае каждая точка на этой прямой является решением данной системы и, следовательно, данная система имеет бесконечное количество решений. Если у системы есть решение, оно называется непротиворечивым; в противном случае говорят, что это непоследовательно.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений: \ (a_ {1} \) x + \ (b_ {1} \) y + \ (c_ {1} \) = 0 и \ (a_ {2} \) x + \ (b_ {2} \) y + \ (c_ {2} \) = 0

Метод замещения

Чтобы решить систему двух уравнений с двумя переменными с использованием метода подстановки, мы используем следующие шаги:

  • Шаг 1. Решите одно из уравнений для одной переменной.
  • Шаг 2: Подставьте это в другое уравнение, чтобы получить уравнение в терминах одной переменной.
  • Шаг 3: Решите его для переменной.
  • Шаг 4: Подставьте его в любое из уравнений, чтобы получить значение другой переменной.

Пример: Решите следующую систему уравнений, используя метод подстановки.
х + 2у-7 = 0
2х-5лет + 13 = 0

Решение: Решим уравнение, x + 2y-7 = 0 для y:
х + 2у-7 = 0
⇒2y = 7-x
⇒ y = (7-x) / 2

Подставьте это в уравнение, 2x-5y + 13 = 0:

2 x-5 y + 13 = 0
⇒ 2x-5 ((7-x) / 2) + 13 = 0
⇒ 2x- (35/2) + (5x / 2) + 13 = 0
⇒ 2x + (5x / 2) = \ dfrac {35} {2} -13
⇒ (9x / 2) = (9/2)
⇒ х = 1

Подставьте x = 1 в уравнение y = (7-x) / 2:
у = (7-1) / 2 = 3
Следовательно, решение данной системы x = 1 и y = 3.

Метод перекрестного умножения

Рассмотрим систему линейных уравнений: a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 и a 2 x + b 2 y + c 2 = 0
Чтобы решить эту проблему с помощью метода перекрестного умножения, мы сначала запишем коэффициенты каждого из x и y и константы следующим образом:

Здесь стрелки указывают, что эти коэффициенты необходимо умножить. Теперь мы напишем следующее уравнение, перемножив и вычитая произведения.
\ [\ dfrac {x} {b_ {1} c_ {2} -b_ {2} c_ {1}} = \ dfrac {y} {c_ {1} a_ {2} -c_ {2} a_ {1} } = \ dfrac {1} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}} \]

Из этого уравнения получаем два уравнения:

\ [\ begin {align}
\ dfrac {x} {b_ {1} c_ {2} -b_ {2} c_ {1}} & = \ dfrac {1} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}} \\ [0,2 см] \ dfrac {y} {c_ {1} a_ {2} -c_ {2} a_ {1}} & = \ dfrac {1} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2 } b_ {1}}
\ end {align} \]

Решая каждый из них относительно x и y, решение данной системы:

\ (\ begin {align}
x & = \ frac {b_ {1} c_ {2} -b_ {2} c_ {1}} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}} \\ [0.2 см] y & = \ frac {c_ {1} a_ {2} -c_ {2} a_ {1}} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}}
\ end {align} \)

Метод исключения

Чтобы решить систему двух уравнений с двумя переменными с использованием метода исключения, мы используем следующие шаги:

  • Шаг 1: Если добавление уравнений приведет к отмене переменной.
  • Шаг 2: Если нет, умножьте одно или оба уравнения на коэффициент при x или y так, чтобы их сложение привело к отмене любой из переменных.
  • Шаг 3: Решите полученное уравнение с одной переменной.
  • Шаг 4: Подставьте его в любое из уравнений, чтобы получить значение другой переменной.

Пример: Решите следующую систему уравнений, используя метод исключения.
2x + 3y-11 = 0
3x + 2y-9 = 0

Добавление этих двух уравнений не приведет к отмене какой-либо переменной. Давайте стремимся к сокращению x. Коэффициенты при x в обоих уравнениях равны 2 и 3.Их НОК равно 6. Мы сделаем коэффициенты при x в обоих уравнениях равными 6 и -6, чтобы члены x отменялись, когда мы добавляем уравнения.

3 × (2x + 3y-11 = 0)
⇒ 6x + 9y-33 = 0
-2 × (3x + 2y-9 = 0)
⇒ -6x-4y + 18 = 0

Теперь мы добавим эти два уравнения:
6x + 9y-33 = 0
-6x-4y + 18 = 0
Сложив оба приведенных выше уравнения, мы получим
⇒ 5 лет-15 = 0
⇒ 5y = 15
⇒ y = 3

Подставьте это в одно из двух приведенных уравнений и решите полученную переменную относительно x.
2x + 3y-11 = 0
⇒ 2x + 3 (3) -11 = 0
⇒ 2x + 9-11 = 0
⇒ 2x = 2
⇒ х = 1

Следовательно, решение данной системы уравнений есть x = 1 и y = 3.

Метод определения

Определитель матрицы 2 x 2 получается перекрестным умножением элементов, начиная с верхнего левого угла, и вычитанием произведений.

Рассмотрим систему линейных уравнений: \ (a_ {1} \) x + \ (b_ {1} \) y = \ (c_ {1} \) и \ (a_ {2} \) x + \ (b_ {2} \) y = \ (c_ {2} \)

Чтобы решить их с помощью метода определителей (также известного как правило Краммера):

  • Сначала мы находим определитель, образованный коэффициентами при x и y, и обозначаем его Δ.
    Δ = \ [\ left | \ begin {array} {ll} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end {array} \ right | = a_1 b_2 — a_2b_1 \]
  • Затем мы находим определитель \ (\ Delta_x \), который получается заменой первого столбца Δ константами.
    \ (Δ_ {x} \) = \ [\ left | \ begin {array} {ll} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \ end {array} \ right | = c_1 b_2 — c_2b_1 \]
  • Затем мы находим определитель \ (\ Delta_y \), который получается заменой второго столбца Δ константами.
    \ (Δ_ {y} \) = \ [\ left | \ begin {array} {ll} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \ end {array} \ right | = a_1 c_2 — a_2c_1 \]

Тогда решение данной системы линейных уравнений находится по формулам:

х = \ (Δ_ {x} \) / Δ
у = \ (Δ_ {y} \) / Δ

Полезные советы

При решении уравнений либо методом подстановки, либо методом исключения:

  • Если мы получим истинное уравнение (т.е.е., что-то вроде 0 = 0, -1 = -1 и т. д.), то это означает, что система имеет бесконечное количество решений.
  • Если мы получаем ложное уравнение (т.е. что-то вроде 0 = 2, 3 = -1 и т. Д.), Это означает, что система не имеет решения.

Темы, связанные с линейными уравнениями с двумя переменными

Часто задаваемые вопросы о линейных уравнениях с двумя переменными

Что такое линейные уравнения?

Линейное уравнение — это уравнение, в котором переменная (переменные) имеет степень 1.Например, 2x = 45, x + y = 35 и a-b = 45.

Как определить линейные уравнения с двумя переменными?

Мы можем идентифицировать линейное уравнение с двумя переменными, если оно выражается в форме ax + by + c = 0, состоящей из двух переменных x и y, а наивысшая степень данного уравнения равна 1.

Можете ли вы решить уравнение с двумя переменными?

Да, мы можем решить уравнение с двумя переменными, используя разные методы и убедившись, что в данной системе уравнений присутствуют два уравнения, чтобы получить значения переменных.

Как графически представить линейные уравнения с двумя переменными?

Мы можем представить линейные уравнения с двумя переменными, используя следующие шаги:

  • Шаг 1: Систему двух уравнений с двумя переменными можно решить графически, построив график каждого уравнения, преобразовав его в форму y = mx + b, решив уравнение относительно y.
  • Шаг 2: Идентифицируются точки пересечения обеих линий.
  • Шаг 3: Точка пересечения — это решение данной системы линейных уравнений с двумя переменными.

Как решить систему линейных уравнений?

У нас есть разные методы решения системы линейных уравнений:

  • Графический метод
  • Метод замещения
  • Метод перекрестного умножения
  • Метод исключения
  • Метод детерминантов

Сколько решений есть у линейного уравнения с двумя переменными?

Предположим, что у нас есть \ (a_ {1} \) x + \ (b_ {1} \) y + \ (c_ {1} \) = 0 и \ (a_ {2} \) x + \ (b_ {2 } \) у + \ (c_ {2} \) = 0.Решения линейного уравнения с двумя переменными:

  • Один и уникальный if \ (a_ {1} \) / \ (a_ {2} \) ≠ \ (b_ {1} \) / \ (b_ {2} \)
  • Нет, если \ (a_ {1} \) / \ (a_ {2} \) = \ (b_ {1} \) / \ (b_ {2} \) ≠ \ (c_ {1} \) / \ (c_ {2} \)
  • Бесконечно много, если \ (a_ {1} \) / \ (a_ {2} \) = \ (b_ {1} \) / \ (b_ {2} \) = \ (c_ {1} \) / \ (c_ {2} \)

Чем линейное неравенство двух переменных похоже на линейное уравнение двух переменных?

Линейное неравенство с двумя переменными и линейное уравнение с двумя переменными имеют следующие общие черты:

  • Степень линейного уравнения и линейного неравенства всегда равна 1.
  • Оба они решаются графически.
  • Способ решения линейного неравенства такой же, как и для линейных уравнений, за исключением того, что он разделен символом неравенства.

4.1. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными — промежуточная алгебра 2e

Задачи обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений
  • Решите систему линейных уравнений, построив график
  • Решите систему уравнений путем подстановки
  • Решите систему уравнений методом исключения
  • Выберите наиболее удобный способ решения системы линейных уравнений

Будьте готовы 4.1

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Для уравнения y = 23x − 4, y = 23x − 4,
Ⓐ Является ли (6,0) (6,0) решением? Ⓑ Является ли (−3, −2) (- 3, −2) решением?
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 3.2.

Будьте готовы 4,2

Найдите наклон и y -пересечение прямой 3x − y = 12,3x − y = 12.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 3.16.

Будьте готовы 4.3

Найдите точки пересечения x- и y прямой 2x − 3y = 12.2х − 3у = 12.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 3.8.

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

В разделе «Решение линейных уравнений» мы научились решать линейные уравнения с одной переменной. Теперь мы будем работать с двумя или более линейными уравнениями, сгруппированными вместе, что известно как система линейных уравнений.

Система линейных уравнений

Когда два или более линейных уравнения сгруппированы вместе, они образуют систему линейных уравнений .

В этом разделе мы сосредоточим нашу работу на системах двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Позже в этой главе мы решим более крупные системы уравнений.

Пример системы двух линейных уравнений показан ниже. Мы используем скобку, чтобы показать, что два уравнения сгруппированы вместе и образуют систему уравнений.

{2x + y = 7x − 2y = 6 {2x + y = 7x − 2y = 6

Линейное уравнение с двумя переменными, например 2x + y = 7,2x + y = 7, имеет бесконечное число решений. Его график представляет собой линию. Помните, что каждая точка на линии — это решение уравнения, а каждое решение уравнения — это точка на линии.

Чтобы решить систему двух линейных уравнений, мы хотим найти значения переменных, которые являются решениями обоих уравнений. Другими словами, мы ищем упорядоченные пары (x, y) (x, y), которые делают оба уравнения истинными. Они называются решениями системы уравнений.

Решения системы уравнений

решения системы уравнений — это значения переменных, которые делают все уравнений истинными.Решение системы двух линейных уравнений представляется упорядоченной парой (x, y). (X, y).

Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух уравнений, мы подставляем значения переменных в каждое уравнение. Если упорядоченная пара делает оба уравнения истинными, это решение системы.

Пример 4.1

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы {x − y = −12x − y = −5. {X − y = −12x − y = −5.

ⓐ (−2, −1) (- 2, −1) ⓑ (−4, −3) (- 4, −3)

Решение

Попробовать 4.1

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы {3x + y = 0x + 2y = −5. {3x + y = 0x + 2y = −5.

ⓐ (1, −3) (1, −3)
Ⓑ (0,0) (0,0)

Попробуйте 4.2

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы {x − 3y = −8−3x − y = 4. {X − 3y = −8−3x − y = 4.

ⓐ (2, −2) (2, −2)
Ⓑ (−2,2) (- 2,2)

Решение системы линейных уравнений с помощью построения графиков

В этом разделе мы будем использовать три метода для решения системы линейных уравнений. Первый метод, который мы будем использовать, — это построение графиков.

График линейного уравнения представляет собой линию. Каждая точка на линии — это решение уравнения. Для системы из двух уравнений мы построим график двумя линиями. Затем мы можем увидеть все точки, которые являются решениями каждого уравнения. И, обнаружив, что общего у линий, мы найдем решение системы.

Большинство линейных уравнений с одной переменной имеют одно решение, но мы видели, что некоторые уравнения, называемые противоречиями, не имеют решений, а для других уравнений, называемых тождествами, все числа являются решениями.

Точно так же, когда мы решаем систему двух линейных уравнений, представленную графиком из двух линий в одной плоскости, есть три возможных случая, как показано.

Рисунок 4.2

Каждый раз, когда мы демонстрируем новый метод, мы будем использовать его в той же системе линейных уравнений. В конце раздела вы решите, какой метод был наиболее удобным для решения этой системы.

Пример 4.2

Как решить систему уравнений с помощью построения графиков

Решите систему, построив график {2x + y = 7x − 2y = 6.{2x + y = 7x − 2y = 6.

Попробуйте 4.3

Решите систему, построив график: {x − 3y = −3x + y = 5. {X − 3y = −3x + y = 5.

Попробуйте 4.4

Решите систему, построив график: {−x + y = 13x + 2y = 12. {- x + y = 13x + 2y = 12.

Здесь показаны шаги, которые необходимо использовать для решения системы линейных уравнений с помощью построения графиков.

How To

Решите систему линейных уравнений с помощью построения графиков.
  1. Шаг 1. Постройте первое уравнение.
  2. Шаг 2. Постройте второе уравнение в той же прямоугольной системе координат.
  3. Шаг 3. Определите, пересекаются ли линии, параллельны или совпадают.
  4. Шаг 4. Определите решение системы.
    • Если линии пересекаются, укажите точку пересечения. Это решение системы.
    • Если линии параллельны, у системы нет решения.
    • Если строки совпадают, система имеет бесконечное количество решений.
  5. Шаг 5. Проверьте решение в обоих уравнениях.

В следующем примере мы сначала перепишем уравнения в форме углового пересечения, так как это упростит нам быстрое построение графиков линий.

Пример 4.3

Решите систему, построив график: {3x + y = −12x + y = 0. {3x + y = −12x + y = 0.

Решение

Мы решим оба этих уравнения относительно yy, чтобы мы могли легко построить их график, используя их наклоны и y -перехватывания.

Попробуйте 4.5

Решите систему, построив график: {−x + y = 12x + y = 10. {- x + y = 12x + y = 10.

Попробуйте 4.6

Решите систему, построив график: {2x + y = 6x + y = 1. {2x + y = 6x + y = 1.

До сих пор во всех системах линейных уравнений линии пересекались и решение было одной точкой.В следующих двух примерах мы рассмотрим систему уравнений, не имеющую решения, и систему уравнений, которая имеет бесконечное число решений.

Пример 4.4

Решите систему, построив график: {y = 12x − 3x − 2y = 4. {Y = 12x − 3x − 2y = 4.

Попробуйте 4.7

Решите систему, построив график: {y = −14x + 2x + 4y = −8. {Y = −14x + 2x + 4y = −8.

Попробуйте 4.8

Решите систему, построив график: {y = 3x − 16x − 2y = 6. {Y = 3x − 16x − 2y = 6.

Иногда уравнения в системе представляют собой одну и ту же линию.Поскольку каждая точка на прямой делает оба уравнения истинными, существует бесконечно много упорядоченных пар, которые делают оба уравнения истинными. У системы бесконечно много решений.

Пример 4.5

Решите систему, построив график: {y = 2x − 3−6x + 3y = −9. {Y = 2x − 3−6x + 3y = −9.

Решение

Если вы напишете второе уравнение в форме пересечения наклона, вы можете заметить, что уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения y .

Попробовать 4.9

Решите систему, построив график: {y = −3x − 66x + 2y = −12. {Y = −3x − 66x + 2y = −12.

Попробуй 4.10

Решите систему, построив график: {y = 12x − 42x − 4y = 16. {Y = 12x − 42x − 4y = 16.

Когда мы нарисовали вторую линию в последнем примере, мы нарисовали ее прямо над первой линией. Мы говорим, что две линии совпадают. Совпадающие линии имеют одинаковый наклон и точку пересечения y-.

Совпадающие линии

Совпадающие линии имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения y- .

Каждая система уравнений в Примере 4.2 и Примере 4.3 имела две пересекающиеся линии. У каждой системы было одно решение.

В примере 4.5 уравнения давали совпадающие линии, поэтому система имела бесконечно много решений.

Системы в этих трех примерах имели по крайней мере одно решение. Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется согласованной системой .

Система с параллельными линиями, подобная примеру 4.4, не имеет решения.Мы называем такую ​​систему уравнений несогласованной. Нет решения.

Согласованные и несовместимые системы

Непротиворечивая система уравнений — это система уравнений, имеющая по крайней мере одно решение.

Несогласованная система уравнений — это система уравнений, не имеющая решения.

Мы также классифицируем уравнения в системе уравнений, называя уравнения независимыми или зависимыми . Если два уравнения независимы, каждое из них имеет собственный набор решений.Пересекающиеся линии и параллельные линии независимы.

Если два уравнения зависимы, все решения одного уравнения также являются решениями другого уравнения. Когда мы строим график двух зависимых уравнений, мы получаем совпадающие линии.

Подведем итог, посмотрев на графики трех типов систем. См. Ниже и Таблицу 4.1.

Строки Пересечение Параллельный Совпадение
Количество решений 1 балл Нет решения Бесконечно много
Согласованный / непоследовательный Согласованный Несоответствие Согласованный
Зависимые / независимые Независимый Независимый Иждивенец

Таблица 4.1

Пример 4.6

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

ⓐ {y = 3x − 16x − 2y = 12 {y = 3x − 16x − 2y = 12 ⓑ {2x + y = −3x − 5y = 5 {2x + y = −3x − 5y = 5

Решение

ⓐ Сравним наклоны и пересечения двух линий.

Первое уравнение уже находится в форме пересечения наклона. {y = 3x − 16x − 2y = 12y = 3x − 1 {y = 3x − 16x − 2y = 12y = 3x − 1
Запишите второе уравнение в форме углового пересечения. 6x − 2y = 12−2y = −6x + 12−2y − 2 = −6x + 12−2y = 3x − 66x − 2y = 12−2y = −6x + 12−2y − 2 = −6x + 12−2y = 3х − 6
Найдите наклон и точку пересечения каждой прямой. y = 3x − 1y = 3x − 6m = 3m = 3b = −1b = −6y = 3x − 1y = 3x − 6m = 3m = 3b = −1b = −6
Так как наклоны одинаковые и пересечения y разные, линии параллельны.

Система уравнений, графики которой представляют собой параллельные прямые, не имеет решения, непоследовательна и независима.

ⓑ Мы сравним наклон и пересечения двух линий.

{2x + y = −3x − 5y = 5 {2x + y = −3x − 5y = 5
Запишите оба уравнения в форме углового пересечения. 2x + y = −3x − 5y = 5y = −2x − 3−5y = −x + 5−5y − 5 = −x + 5−5y = 15x − 12x + y = −3x − 5y = 5y = −2x −3−5y = −x + 5−5y − 5 = −x + 5−5y = 15x − 1
Найдите наклон и точку пересечения каждой прямой. y = −2x − 3y = 15x − 1m = −2m = 15b = −3b = −1y = −2x − 3y = 15x − 1m = −2m = 15b = −3b = −1
Так как уклоны разные, линии пересекаются.

Система уравнений, графики которой пересекаются, имеет одно решение, непротиворечива и независима.

Попробовать 4.11

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

ⓐ {y = −2x − 44x + 2y = 9 {y = −2x − 44x + 2y = 9 ⓑ {3x + 2y = 22x + y = 1 {3x + 2y = 22x + y = 1

Попробовать 4.12

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

ⓐ {y = 13x − 5x − 3y = 6 {y = 13x − 5x − 3y = 6 ⓑ {x + 4y = 12 − x + y = 3 {x + 4y = 12 − x + y = 3

Решение систем линейных уравнений с помощью графиков — хороший способ визуализировать типы решений, которые могут возникнуть.Однако во многих случаях решение системы с помощью построения графиков неудобно или неточно. Если графики выходят за пределы маленькой сетки с x и y , оба между −10−10 и 10, построение линий может быть громоздким. И если решения системы не являются целыми числами, может быть трудно точно прочитать их значения с графика.

Решите систему уравнений подстановкой

Теперь решим системы линейных уравнений методом подстановки.

Мы будем использовать ту же систему, которую мы использовали вначале для построения графиков.

{2x + y = 7x − 2y = 6 {2x + y = 7x − 2y = 6

Сначала мы решим одно из уравнений относительно x или y . Мы можем выбрать любое уравнение и решить любую переменную, но мы постараемся сделать выбор, который упростит работу.

Затем мы подставляем это выражение в другое уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной — и мы знаем, как его решить!

После того, как мы найдем значение одной переменной, мы подставим это значение в одно из исходных уравнений и решим для другой переменной.Наконец, мы проверяем наше решение и убеждаемся, что оно соответствует обоим уравнениям.

Пример 4.7

Как решить систему уравнений подстановкой

Решите систему с помощью замены: {2x + y = 7x − 2y = 6. {2x + y = 7x − 2y = 6.

Попробовать 4.13

Решите систему с помощью замены: {−2x + y = −11x + 3y = 9. {- 2x + y = −11x + 3y = 9.

Попробуйте 4.14

Решите систему заменой: {2x + y = −14x + 3y = 3. {2x + y = −14x + 3y = 3.

How To

Решите систему уравнений путем подстановки.
  1. Шаг 1. Решите одно из уравнений для любой переменной.
  2. Шаг 2. Подставьте выражение из шага 1 в другое уравнение.
  3. Шаг 3. Решите полученное уравнение.
  4. Шаг 4. Подставьте решение шага 3 в любое из исходных уравнений, чтобы найти другую переменную.
  5. Шаг 5. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
  6. Шаг 6. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений .

Будьте очень осторожны со знаками в следующем примере.

Пример 4.8

Решите систему заменой: {4x + 2y = 46x − y = 8. {4x + 2y = 46x − y = 8.

Решение

Нам нужно решить одно уравнение для одной переменной. Решим первое уравнение относительно y .

Попробуй 4.15

Решите систему с помощью замены: {x − 4y = −4−3x + 4y = 0. {X − 4y = −4−3x + 4y = 0.

Попробуйте 4.16

Решите систему с помощью замены: {4x − y = 02x − 3y = 5.{4x − y = 02x − 3y = 5.

Решите систему уравнений методом исключения

Мы решили системы линейных уравнений с помощью построения графиков и подстановки. Построение графиков хорошо работает, когда переменные коэффициенты малы, а решение имеет целочисленные значения. Подстановка работает хорошо, когда мы можем легко решить одно уравнение для одной из переменных и не иметь слишком много дробей в результирующем выражении.

Третий метод решения систем линейных уравнений называется методом исключения.Когда мы решали систему с помощью подстановки, мы начинали с двух уравнений и двух переменных и сводили ее к одному уравнению с одной переменной. То же самое мы сделаем и с методом исключения, но у нас будет другой способ добиться этого.

Метод исключения основан на добавочном свойстве равенства. Свойство сложения равенства говорит, что когда вы добавляете одинаковую величину к обеим сторонам уравнения, вы все равно получаете равенство. Мы расширим свойство сложения равенства, чтобы сказать, что когда вы добавляете равные количества к обеим сторонам уравнения, результаты равны.

Для любых выражений a, b, c, и d .

ifa = bandc = dthena + c = b + d. ifa = bandc = dthena + c = b + d.

Чтобы решить систему уравнений методом исключения, мы начнем с обоих уравнений в стандартной форме. Затем мы решаем, какую переменную будет легче всего устранить. Как мы решаем? Мы хотим, чтобы коэффициенты одной переменной были противоположными, чтобы мы могли сложить уравнения и исключить эту переменную.

Обратите внимание, как это работает, когда мы складываем эти два уравнения вместе:

{3x + y = 52x − y = 0 ————— 5x = 5 {3x + y = 52x − y = 0 ————— 5x = 5

y прибавляют к нулю, и мы получаем единицу уравнение с одной переменной.

Давайте попробуем еще один:

{x + 4y = 22x + 5y = −2 {x + 4y = 22x + 5y = −2

На этот раз мы не видим переменную, которая может быть немедленно удалена, если мы добавим уравнения.

Но если мы умножим первое уравнение на −2, −2, мы сделаем коэффициенты при x противоположными. Мы должны умножить каждый член в обеих частях уравнения на −2. − 2.

Затем перепишите систему уравнений.

Теперь мы видим, что коэффициенты членов x противоположны, поэтому x будет исключено, когда мы сложим эти два уравнения.

Как только мы получаем уравнение с одной переменной, мы его решаем. Затем мы подставляем это значение в одно из исходных уравнений, чтобы найти оставшуюся переменную. И, как всегда, мы проверяем наш ответ, чтобы убедиться, что он является решением обоих исходных уравнений.

Теперь мы увидим, как использовать исключение для решения той же системы уравнений, которую мы решили с помощью построения графиков и подстановки.

Пример 4.9

Как решить систему уравнений методом исключения

Решите систему методом исключения: {2x + y = 7x − 2y = 6.{2x + y = 7x − 2y = 6.

Попробуйте 4.17

Решите систему методом исключения: {3x + y = 52x − 3y = 7. {3x + y = 52x − 3y = 7.

Попробовать 4.18

Решите систему методом исключения: {4x + y = −5−2x − 2y = −2. {4x + y = −5−2x − 2y = −2.

Шаги перечислены здесь для удобства.

How To

Решите систему уравнений методом исключения.
  1. Шаг 1. Запишите оба уравнения в стандартной форме. Если какие-либо коэффициенты являются дробными, очистите их.
  2. Шаг 2.Сделайте коэффициенты одной переменной противоположными.
    • Решите, какую переменную исключить.
    • Умножьте одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты этой переменной были противоположными.
  3. Шаг 3. Добавьте уравнения, полученные на шаге 2, чтобы исключить одну переменную.
  4. Шаг 4. Найдите оставшуюся переменную.
  5. Шаг 5. Подставьте решение из шага 4 в одно из исходных уравнений. Затем найдите другую переменную.
  6. Шаг 6.Запишите решение в виде упорядоченной пары.
  7. Шаг 7. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений .

Теперь мы рассмотрим пример, в котором нам нужно умножить оба уравнения на константы, чтобы сделать коэффициенты одной переменной противоположными.

Пример 4.10

Решите систему методом исключения: {4x − 3y = 97x + 2y = −6. {4x − 3y = 97x + 2y = −6.

Решение

В этом примере мы не можем умножить одно уравнение на любую константу, чтобы получить противоположные коэффициенты.Поэтому мы стратегически умножим оба уравнения на разные константы, чтобы получить противоположности.

Попробовать 4.19

Решите систему методом исключения: {3x − 4y = −95x + 3y = 14. {3x − 4y = −95x + 3y = 14.

Попробовать 4.20

Решите каждую систему методом исключения: {7x + 8y = 43x − 5y = 27. {7x + 8y = 43x − 5y = 27.

Когда система уравнений содержит дроби, мы сначала очистим дроби, умножив каждое уравнение на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении.

Пример 4.11

Решите систему методом исключения: {x + 12y = 632x + 23y = 172. {X + 12y = 632x + 23y = 172.

Решение

В этом примере в обоих уравнениях есть дроби. Нашим первым шагом будет умножение каждого уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении, чтобы очистить дроби.

Попробуйте 4.21

Решите каждую систему методом исключения: {13x − 12y = 134x − y = 52. {13x − 12y = 134x − y = 52.

Попробуйте 4.22

Решите каждую систему методом исключения: {x + 35y = −15−12x − 23y = 56.{x + 35y = −15−12x − 23y = 56.

Когда мы решили систему с помощью построения графиков, мы увидели, что не все системы линейных уравнений имеют единственную упорядоченную пару в качестве решения. Когда два уравнения действительно представляли собой одну и ту же линию, решений было бесконечно много. Мы назвали это последовательной системой. Когда два уравнения описывали параллельные линии, решения не было. Мы назвали это несовместимой системой.

То же самое и с заменой или исключением. Если уравнение в конце замены или исключения является истинным утверждением, у нас есть непротиворечивая, но зависимая система, а система уравнений имеет бесконечно много решений.Если уравнение в конце замены или исключения является ложным утверждением, мы имеем несовместимую систему и система уравнений не имеет решения.

Пример 4.12

Решите систему методом исключения: {3x + 4y = 12y = 3−34x. {3x + 4y = 12y = 3−34x.

Решение
{3x + 4y = 12y = 3−34x {3x + 4y = 12y = 3−34x
Запишите второе уравнение в стандартной форме. {3x + 4y = 1234x + y = 3 {3x + 4y = 1234x + y = 3
Очистите дроби, умножив второе уравнение на 4. {3x + 4y = 124 (34x + y) = 4 (3) {3x + 4y = 124 (34x + y) = 4 (3)
Упростить. {3x + 4y = 123x + 4y = 12 {3x + 4y = 123x + 4y = 12
Чтобы исключить переменную, мы умножаем второе уравнение на -1. Упростите и добавьте. {3x + 4y = 12−3x − 4y = −12 ______________ 0 = 0 {3x + 4y = 12−3x − 4y = −12 ______________ 0 = 0

Это верное заявление. Уравнения непротиворечивы, но зависимы. Их графики будут одной линией. У системы бесконечно много решений.

После того, как мы очистили дроби во втором уравнении, заметили ли вы, что эти два уравнения совпадают? Это означает, что у нас есть совпадающие линии.

Попробуйте 4.23

Решите систему методом исключения: {5x − 3y = 15y = −5 + 53x. {5x − 3y = 15y = −5 + 53x.

Попробуйте 4.24

Решите систему методом исключения: {x + 2y = 6y = −12x + 3. {X + 2y = 6y = −12x + 3.

Выберите наиболее удобный метод решения системы линейных уравнений

Когда вы решаете систему линейных уравнений в приложении, вам не скажут, какой метод использовать.Вам нужно будет принять это решение самостоятельно. Так что вы захотите выбрать самый простой метод, который минимизирует ваши шансы на ошибку.

Выберите наиболее удобный метод для решения системы линейных уравнений Графическое отображение ———— Замена ————— Исключение ————— Используйте, когда вам нужно Использовать, когда одно уравнение используется, когда уравнения являются изображением ситуации. Уже решены или могут быть в стандартная форма. легко решается для одной переменной. Выберите наиболее удобный метод для решения системы линейных уравнений. Графическое изображение ———— Замена ————— Исключение ————— Используется, когда вам нужно Использовать, когда одно уравнение используется, когда уравнения представляют собой ситуация.уже решена или может быть в стандартной форме. легко решается для одной переменной.

Пример 4.13

Решите для каждой системы линейных уравнений, что удобнее решить: заменой или исключением. Поясните свой ответ.

ⓐ {3x + 8y = 407x − 4y = −32 {3x + 8y = 407x − 4y = −32 ⓑ {5x + 6y = 12y = 23x − 1 {5x + 6y = 12y = 23x − 1

Решение

{3x + 8y = 407x − 4y = −32 {3x + 8y = 407x − 4y = −32

Поскольку оба уравнения имеют стандартную форму, использование исключения будет наиболее удобным.

{5x + 6y = 12y = 23x − 1 {5x + 6y = 12y = 23x − 1

Поскольку одно уравнение уже решено относительно и , использование подстановки будет наиболее удобным.

Попробуйте 4.25

Для каждой системы линейных уравнений решите, что удобнее будет решить заменой или исключением. Поясните свой ответ.

ⓐ {4x − 5y = −323x + 2y = −1 {4x − 5y = −323x + 2y = −1 ⓑ {x = 2y − 13x − 5y = −7 {x = 2y − 13x − 5y = −7

Попробуйте 4.26

Для каждой системы линейных уравнений решите, что удобнее будет решить заменой или исключением.Поясните свой ответ.

ⓐ {y = 2x − 13x − 4y = −6 {y = 2x − 13x − 4y = −6 ⓑ {6x − 2y = 123x + 7y = −13 {6x − 2y = 123x + 7y = −13

Раздел 4.1. Упражнения

Практика ведет к совершенству

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

В следующих упражнениях определите, являются ли следующие точки решениями данной системы уравнений.

1.

{2x − 6y = 03x − 4y = 5 {2x − 6y = 03x − 4y = 5

ⓐ (3,1) (3,1) ⓑ (−3,4) (- 3,4)

2.

{−3x + y = 8 − x + 2y = −9 {−3x + y = 8 − x + 2y = −9

ⓐ (−5, −7) (- 5, −7) ⓑ (−5,7) (- 5,7)

3.

{x + y = 2y = 34x {x + y = 2y = 34x

ⓐ (87,67) (87,67) ⓑ (1,34) (1,34)

4.

{2x + 3y = 6y = 23x + 2 {2x + 3y = 6y = 23x + 2
ⓐ (−6,2) (- 6,2) ⓑ (−3,4) (- 3,4)

Решение системы линейных уравнений с помощью построения графиков

В следующих упражнениях решите следующие системы уравнений с помощью построения графиков.

5.

{3x + y = −32x + 3y = 5 {3x + y = −32x + 3y = 5

6.

{−x + y = 22x + y = −4 {−x + y = 22x + y = −4

7.

{y = x + 2y = −2x + 2 {y = x + 2y = −2x + 2

8.

{y = x − 2y = −3x + 2 {y = x − 2y = −3x + 2

9.

{y = 32x + 1y = −12x + 5 {y = 32x + 1y = −12x + 5

10.

{y = 23x − 2y = −13x − 5 {y = 23x − 2y = −13x − 5

11.

{x + y = −4 − x + 2y = −2 {x + y = −4 − x + 2y = −2

12.

{−x + 3y = 3x + 3y = 3 {−x + 3y = 3x + 3y = 3

13.

{−2x + 3y = 3x + 3y = 12 {−2x + 3y = 3x + 3y = 12

14.

{2x − y = 42x + 3y = 12 {2x − y = 42x + 3y = 12

15.

{x + 3y = −6y = −43x + 4 {x + 3y = −6y = −43x + 4

16.

{−x + 2y = −6y = −12x − 1 {−x + 2y = −6y = −12x − 1

17.

{−2x + 4y = 4y = 12x {−2x + 4y = 4y = 12x

18.

{3x + 5y = 10y = −35x + 1 {3x + 5y = 10y = −35x + 1

19.

{4x − 3y = 88x − 6y = 14 {4x − 3y = 88x − 6y = 14

20.

{x + 3y = 4−2x − 6y = 3 {x + 3y = 4−2x − 6y = 3

21.

{x = −3y + 42x + 6y = 8 {x = −3y + 42x + 6y = 8

22.

{4x = 3y + 78x − 6y = 14 {4x = 3y + 78x − 6y = 14

23.

{2x + y = 6−8x − 4y = −24 {2x + y = 6−8x − 4y = −24

24.

{5x + 2y = 7−10x − 4y = −14 {5x + 2y = 7−10x − 4y = −14

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

25.

{y = 23x + 1−2x + 3y = 5 {y = 23x + 1−2x + 3y = 5

26.

{y = 32x + 12x − 3y = 7 {y = 32x + 12x − 3y = 7

27.

{5x + 3y = 42x − 3y = 5 {5x + 3y = 42x − 3y = 5

28.

{y = −12x + 5x + 2y = 10 {y = −12x + 5x + 2y = 10

29.

{5x − 2y = 10y = 52x − 5 {5x − 2y = 10y = 52x − 5

Решите систему уравнений подстановкой

В следующих упражнениях решите системы уравнений путем подстановки.

30.

{2x + y = −43x − 2y = −6 {2x + y = −43x − 2y = −6

31.

{2x + y = −23x − y = 7 {2x + y = −23x − y = 7

32.

{x − 2y = −52x − 3y = −4 {x − 2y = −52x − 3y = −4

33.

{x − 3y = −92x + 5y = 4 {x − 3y = −92x + 5y = 4

34.

{5x − 2y = −6y = 3x + 3 {5x − 2y = −6y = 3x + 3

35.

{−2x + 2y = 6y = −3x + 1 {−2x + 2y = 6y = −3x + 1

36.

{2x + 5y = 1y = 13x − 2 {2x + 5y = 1y = 13x − 2

37.

{3x + 4y = 1y = −25x + 2 {3x + 4y = 1y = −25x + 2

38.

{2x + y = 5x − 2y = −15 {2x + y = 5x − 2y = −15

39.

{4x + y = 10x − 2y = −20 {4x + y = 10x − 2y = −20

40.

{y = −2x − 1y = −13x + 4 {y = −2x − 1y = −13x + 4

41.

{y = x − 6y = −32x + 4 {y = x − 6y = −32x + 4

42.

{x = 2y4x − 8y = 0 {x = 2y4x − 8y = 0

43.

{2x − 16y = 8 − x − 8y = −4 {2x − 16y = 8 − x − 8y = −4

44.

{y = 78x + 4−7x + 8y = 6 {y = 78x + 4−7x + 8y = 6

45.

{y = −23x + 52x + 3y = 11 {y = −23x + 52x + 3y = 11

Решите систему уравнений методом исключения

В следующих упражнениях решите системы уравнений методом исключения.

46.

{5x + 2y = 2−3x − y = 0 {5x + 2y = 2−3x − y = 0

47.

{6x − 5y = −12x + y = 13 {6x − 5y = −12x + y = 13

48.

{2x − 5y = 73x − y = 17 {2x − 5y = 73x − y = 17

49.

{5x − 3y = −12x − y = 2 {5x − 3y = −12x − y = 2

50.

{3x − 5y = −95x + 2y = 16 {3x − 5y = −95x + 2y = 16

51.

{4x − 3y = 32x + 5y = −31 {4x − 3y = 32x + 5y = −31

52.

{3x + 8y = −32x + 5y = −3 {3x + 8y = −32x + 5y = −3

53.

{11x + 9y = −57x + 5y = −1 {11x + 9y = −57x + 5y = −1

54.

{3x + 8y = 675x + 3y = 60 {3x + 8y = 675x + 3y = 60

55.

{2x + 9y = −43x + 13y = −7 {2x + 9y = −43x + 13y = −7

56.

{13x − y = −3x + 52y = 2 {13x − y = −3x + 52y = 2

57.

{x + 12y = 3215x − 15y = 3 {x + 12y = 3215x − 15y = 3

58.

{x + 13y = −113x + 12y = 1 {x + 13y = −113x + 12y = 1

59.

{13x − y = −323x + 52y = 3 {13x − y = −323x + 52y = 3

60.

{2x + y = 36x + 3y = 9 {2x + y = 36x + 3y = 9

61.

{x − 4y = −1−3x + 12y = 3 {x − 4y = −1−3x + 12y = 3

62.

{−3x − y = 86x + 2y = −16 {−3x − y = 86x + 2y = −16

63.

{4x + 3y = 220x + 15y = 10 {4x + 3y = 220x + 15y = 10

Выберите наиболее удобный метод решения системы линейных уравнений

В следующих упражнениях решите, что было бы удобнее решить систему уравнений путем подстановки или исключения.

64.

ⓐ {8x − 15y = −326x + 3y = −5 {8x − 15y = −326x + 3y = −5
ⓑ {x = 4y − 34x − 2y = −6 {x = 4y − 34x − 2y = — 6

65.

ⓐ {y = 7x − 53x − 2y = 16 {y = 7x − 53x − 2y = 16
ⓑ {12x − 5y = −423x + 7y = −15 {12x − 5y = −423x + 7y = −15

66.

ⓐ {y = 4x + 95x − 2y = −21 {y = 4x + 95x − 2y = −21
ⓑ {9x − 4y = 243x + 5y = −14 {9x − 4y = 243x + 5y = −14

67.

ⓐ {14x − 15y = −307x + 2y = 10 {14x − 15y = −307x + 2y = 10
ⓑ {x = 9y − 112x − 7y = −27 {x = 9y − 112x − 7y = −27

Письменные упражнения

68.

В системе линейных уравнений два уравнения имеют одинаковые точки пересечения.Опишите возможные решения системы.

69.

Решите систему уравнений путем подстановки и объясните все шаги словами: {3x + y = 12x = y − 8. {3x + y = 12x = y − 8.

70.

Решите систему уравнений методом исключения и объясните все шаги словами: {5x + 4y = 102x = 3y + 27. {5x + 4y = 102x = 3y + 27.

71.

Решите систему уравнений {x + y = 10x − y = 6 {x + y = 10x − y = 6

ⓐ построением графика ⓑ заменой
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

Самопроверка

После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

Если большая часть ваших чеков была:

… уверенно. Поздравляем! Вы достигли целей в этом разделе. Поразмышляйте над своими учебными навыками, чтобы вы могли продолжать их использовать. Что вы сделали, чтобы убедиться в своей способности делать эти вещи? Быть конкретным.

… с некоторой помощью. Эту проблему нужно решать быстро, потому что темы, которые вы не осваиваете, становятся ухабами на вашем пути к успеху. В математике каждая тема основывается на предыдущей работе.Прежде чем двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочный фундамент. К кому вы можете обратиться за помощью? Ваши одноклассники и инструктор — хорошие помощники. Есть ли в кампусе место, где доступны репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?

… нет, я не понимаю! Это предупреждающий знак, игнорировать его нельзя. Вам следует немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро не справитесь. Как можно скорее обратитесь к своему инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы сможете составить план оказания вам необходимой помощи.

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — концепция

Система линейных уравнений — это два или более уравнений, содержащих одни и те же переменные. Решения системы уравнений — это точка пересечения линий. Существует четыре метода решения систем линейных уравнений : построение графиков, подстановка, исключение и матрицы. Решение систем уравнений сначала появляется в алгебре I, но более сложные приложения встречаются в алгебре II.

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными, поэтому, если вы помните, линейное уравнение — это в основном просто уравнение для линии, и когда мы решаем систему, мы смотрим на два уравнения, поэтому у нас есть две линии, и мы пытаемся выяснить, где пересекаются эти две линии, и если они вообще пересекаются, хорошо, значит, это может произойти тремя способами, хорошо? У нас есть две линии, которые могут пересекаться в одной точке, что означает, что у нас будет один ответ, который будет координатной точкой xy, скажем, 2, -4, что-то в этом роде.
Другая ситуация, которая может произойти, эти линии могут быть параллельны, что означает, что у них не будет никакого пересечения этих линий, у них не будет никакого решения, где эти две линии равны друг другу и, наконец, эти два уравнения может быть для одной и той же точной линии, что означает, что у нас будет бесконечное количество точек, лежащих на любой из этих линий, которые дадут нам решение, хорошо, и поэтому мы собираемся поговорить о каждой из этих .
Есть несколько разных способов решения этих проблем, вы можете решить графически, и в Алгебре 2 мы обычно не делаем слишком много этого решения графически, в основном то, что вы делаете, — вы берете одну линию, которую вы строите, вы берете другую линию, которую вы строите это, и вы увидите, где они пересекаются, хорошо, поэтому мы знаем, как это сделать, но на самом деле это не даст нам математического ответа, мы не сможем найти эту точку, если наши графики не будут полностью точными, что своего рода трата времени, поэтому мы можем сделать это алгебраически, и в нашем распоряжении есть два способа: подстановка, когда мы решаем переменную и вставляем ее, или исключение, когда мы складываем или вычитаем два уравнения в надежде избавиться от одной из переменных so.
Системы линейных уравнений, в основном касающиеся того, как линии пересекаются или не пересекаются, и у нас есть несколько способов сделать это, а именно замена или исключение.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными Калькулятор

[1] 2021.01.28 10:36 Мужчина / До 20 лет / Начальная школа / Ученик средней школы / Очень /

Цель использования
Исследование Руководство
Комментарий / запрос
Очень полезно для быстрых ответов на 2 уравнения.

[2] 2021.01.20 20:31 Женский / 20-летний уровень / Старшая школа / Университет / аспирант / Полезно /

Цель использования
научиться пользоваться этим.

[3] 2020/12/01 19:17 Мужчина / 60 лет и старше / Инженер / Полезно /

Цель использования
Для проекта строительства моста
Комментарий / Запрос
полезно для инженеры

[4] 2020/07/23 14:40 Мужчина / До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования
Решающая статистика
Комментарий / запрос
Довольно хорошо

[5] 2020/06/23 12:09 Женский / До 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Немного /

Комментарий / Запрос
Невозможно вычислить с корневыми значениями

[6] 2020/03/21 05:46 Женский / До 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Полезно /

Цель использования
Математическое представление / застрял на двух линейных уравнениях

[7] 2019/11/23 21:00 Мужчины / До 20 лет ars old / Высшая школа / Вуз / Аспирант / Очень /

Цель использования
Не терять время.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.