Линейное уравнение с двумя неизвестными: Линейное уравнение с двумя переменными

Содержание

7 класс. Алгебра. Линейная функция. — Решение линейных уравнений с двумя неизвестными.

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы рассмотрим уравнение с двумя переменными, дадим его определение и построим график.

Тема: Ли­ней­ная функ­ция

Урок: Ли­ней­ное урав­не­ние с двумя пе­ре­мен­ны­ми и его гра­фик

Опредепение

Мы по­зна­ко­ми­лись с по­ня­ти­я­ми ко­ор­ди­нат­ной оси и ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти.  Мы знаем, что каж­дая точка плос­ко­сти од­но­знач­но за­да­ет пару чисел (х; у), при­чем пер­вое число есть абс­цис­са точки, а вто­рое – ор­ди­на­та.

Мы будем очень часто встре­чать­ся с ли­ней­ным урав­не­ни­ем с двумя пе­ре­мен­ны­ми, ре­ше­ни­ем ко­то­ро­го и есть пара чисел, ко­то­рую можно пред­ста­вить на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти.

Урав­не­ние вида:

, где a, b, с – числа, при­чем 

На­зы­ва­ет­ся ли­ней­ным урав­не­ни­ем с двумя пе­ре­мен­ны­ми х и у. Ре­ше­ни­ем та­ко­го урав­не­ния будет любая такая пара чисел х и у, под­ста­вив ко­то­рую в урав­не­ние мы по­лу­чим вер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство.

Пара чисел будет изоб­ра­жать­ся на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти в виде точки.

У таких урав­не­ний мы уви­дим много ре­ше­ний, то есть много пар чисел, и все со­от­вет­ству­ю­щие точки будут ле­жать на одной пря­мой.

Построение графика

При­мер 1:

; ; ;

Чтобы найти ре­ше­ния дан­но­го урав­не­ния нужно по­до­брать со­от­вет­ству­ю­щие пары чисел х и у:

Пусть , тогда ис­ход­ное урав­не­ние пре­вра­ща­ет­ся в урав­не­ние с одной неиз­вест­ной:

То есть, пер­вая пара чисел, яв­ля­ю­ща­я­ся ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния (0; 3). По­лу­чи­ли точку А(0; 3)

Пусть . По­лу­чим ис­ход­ное урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной: , от­сю­да , по­лу­чи­ли точку В(3; 0)

За­не­сем пары чисел в таб­ли­цу:

По­стро­им на гра­фи­ке точки и про­ве­дем пря­мую:

От­ме­тим, что любая точка на дан­ной пря­мой будет ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния. Про­ве­рим – возь­мем точку с ко­ор­ди­на­той  и по гра­фи­ку най­дем ее вто­рую ко­ор­ди­на­ту. Оче­вид­но, что в этой точке . Под­ста­вим дан­ную пару чисел в урав­не­ние. По­лу­чим 0=0 – вер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство, зна­чит точка, ле­жа­щая на пря­мой, яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем.

Пока до­ка­зать, что любая точка, ле­жа­щая на по­стро­ен­ной пря­мой яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния, мы не можем, по­это­му при­ни­ма­ем это за прав­ду и до­ка­жем позже.

При­мер 2 – по­стро­ить гра­фик урав­не­ния:

Со­ста­вим таб­ли­цу, нам до­ста­точ­но для по­стро­е­ния пря­мой двух точек, но возь­мем тре­тью для кон­тро­ля:

В пер­вой ко­лон­ке мы взяли удоб­ный , най­дем у:

, , 

Во вто­ром стол­би­ке мы взяли удоб­ный , най­дем х:

, , , 

Возь­мем для про­вер­ки  и най­дем у:

, , 

По­стро­им гра­фик:

Умно­жим за­дан­ное урав­не­ние на два:

От та­ко­го пре­об­ра­зо­ва­ния мно­же­ство ре­ше­ний не из­ме­нит­ся и гра­фик оста­нет­ся таким же самым.

Вывод:

мы на­учи­лись ре­шать урав­не­ния с двумя пе­ре­мен­ны­ми и стро­ить их гра­фи­ки, узна­ли, что гра­фи­ком по­доб­но­го урав­не­ния есть пря­мая и что любая точка этой пря­мой яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния

Урок: Ли­ней­ное урав­не­ние с двумя пе­ре­мен­ны­ми и его гра­фик (более слож­ные слу­чаи)

 

На­пом­ним, что ли­ней­ным урав­не­ни­ем с двумя пе­ре­мен­ны­ми на­зы­ва­ет­ся урав­не­ние вида 

Мы на­учи­лись стро­ить гра­фи­ки по­доб­ных урав­не­ний и узна­ли, что они имеют бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний – пар чиселх и у, ко­то­рые на гра­фи­ке отоб­ра­жа­ют­ся в виде точек.

В преды­ду­щих за­да­чах нам было за­да­но урав­не­ние, но как и все дру­гие – ли­ней­ное урав­не­ние с двумя пе­ре­мен­ны­ми это ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель неко­то­рой ре­аль­ной си­ту­а­ции. Те­перь рас­смот­рим такие за­да­чи, в ко­то­рых нужно для про­стей­шей за­да­чи со­ста­вить урав­не­ние – ма­те­ма­ти­че­скую мо­дель, а затем его ре­шить.

При­мер 1:

Сумма двух чисел равна че­ты­рем. По­стро­ить ма­те­ма­ти­че­скую мо­дель, то есть со­от­вет­ству­ю­щее ли­ней­ное урав­не­ние, и его гра­фик.

Пусть ис­ко­мые числа это х и у, сумма их равна че­ты­рем:

 – ли­ней­ное урав­не­ние с двумя пе­ре­мен­ны­ми. По­стро­им гра­фик, для этого со­ста­вим таб­ли­цу, для кон­тро­ля возь­мем три точки, а не две:

Ре­ше­ние за­да­чи све­де­но в таб­ли­цу:




Сло­вес­ная мо­дель

Сумма двух чисел равна че­ты­рем

Ал­геб­ра­и­че­ская мо­дель

Гео­мет­ри­че­ская мо­дель

 

Сле­ду­ю­щая груп­па задач свя­за­на с тем, что в одной за­да­че могут участ­во­вать два ли­ней­ных урав­не­ния.

При­мер 2:

Гра­фи­че­ски найти точку пе­ре­се­че­ния пря­мых  и 

Обе пря­мые яв­ля­ют­ся гра­фи­ка­ми со­от­вет­ству­ю­щих урав­не­ний, по­стро­им их. Для этого со­ста­вим таб­ли­цы. Для удоб­ства пред­ста­вим урав­не­ние в сле­ду­ю­щем виде:

Гра­фи­че­ски най­де­на точка пе­ре­се­че­ния А(1; 2)

Чтобы про­ве­рить, что точка А(1; 2) удо­вле­тво­ря­ет обоим урав­не­ни­ям, нужно под­ста­вить ее ко­ор­ди­на­ты в урав­не­ния:

;

точка А удо­вле­тво­ря­ет обоим урав­не­ни­ям, зна­чит, точка пе­ре­се­че­ния пря­мых най­де­на верно.

Уравнение с параметрами

Сле­ду­ю­щий тип задач – это за­да­чи с па­ра­мет­ра­ми.

При­мер 3:

Най­ди­те зна­че­ние ко­эф­фи­ци­ен­та  в урав­не­нии , если из­вест­но, что ре­ше­ни­ем урав­не­ния яв­ля­ет­ся пара чисел (3; 2)

Ранее у нас было за­да­но или мы сами со­став­ля­ли ли­ней­ное урав­не­ние с из­вест­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, в дан­ном слу­чае один из ко­эф­фи­ци­ен­тов неиз­ве­стен, но дано одно из ре­ше­ний урав­не­ния, то есть пара зна­че­ний х и у, удо­вле­тво­ря­ю­щих урав­не­нию. Чтобы найти па­ра­метр  под­ста­вим дан­ные зна­че­ния в урав­не­ние:

итак, ис­ход­ное урав­не­ние имеет вид: 

Итак, мы рас­смот­ре­ли ли­ней­ное урав­не­ние с двумя неиз­вест­ны­ми:

От­ме­тим, что в слу­чае, если , мы по­лу­ча­ем част­ный слу­чай дан­но­го урав­не­ния – урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной:

Ана­ло­гич­но если  мы по­лу­чим ли­ней­ное урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной:

 

Вывод: в дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли более слож­ные за­да­чи на ли­ней­ные урав­не­ния с двумя пе­ре­мен­ны­ми, в част­но­сти тек­сто­вые за­да­чи, урав­не­ния с па­ра­мет­ра­ми, за­да­чи на два урав­не­ния. Кроме того мы за­кре­пи­ли зна­ние по­ня­тий и тер­ми­нов.

 

 

Источники конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/lineynoe-uravnenie-s-dvumya-peremennymi-i-ego-grafik?konspekt&chapter_id=8

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/lineynoe-uravnenie-s-dvumya-peremennymi-i-ego-grafik-bolee-slozhnye-sluchai?konspekt&chapter_id=8

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=8WdpbeZFy_c

Линейные уравнения с двумя переменными тест с ответами


Сложность: знаток.Последний раз тест пройден 3 часа назад.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

  1. Вопрос 1 из 10

    Выберите линейное уравнение с двумя переменными:

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 74% ответили правильно
    • 74% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Следующий вопросОтветить

  2. Вопрос 2 из 10

    Найдите решение уравнения: 2х + 3у = 2

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 72% ответили правильно
    • 72% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  3. Вопрос 3 из 10

    Выразите переменную х через переменную у из уравнения: 5у — 2х = -15

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 70% ответили правильно
    • 70% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  4. Вопрос 4 из 10

    Абсцисса точки, принадлежащей графику уравнения 2х — 3у = -7, равна 4. Найдите ординату этой точки.

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 68% ответили правильно
    • 68% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  5. Вопрос 5 из 10

    Пара чисел (-4; -1) является решением уравнения ах + 3у — 5 = 0, если а равно:

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 65% ответили правильно
    • 65% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  6. Вопрос 6 из 10

    Подберите к данному уравнению 2х + 3у = -11 такое уравнение, чтобы решением получившейся системы была пара (2; -5)

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 59% ответили правильно
    • 59% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  7. Вопрос 7 из 10

    Найдите решение уравнения: 4х — 3у = 5

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 63% ответили правильно
    • 63% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  8. Вопрос 8 из 10

    Выразите переменную х через переменную у из уравнения -6у +3х = 24

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 66% ответили правильно
    • 66% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  9. Вопрос 9 из 10

    Ордината точки, принадлежащей графику уравнения 6х + 2у = 2, равна 4. Найдите абсциссу этой точки.

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 69% ответили правильно
    • 69% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  10. Вопрос 10 из 10

    Пара чисел (-4; -1) является решением уравнения 4х + ау + 5 = 0, если а равно:

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы ответили лучше 51% участников
    • 49% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

    

  • Елена Тимофеева

    9/10

  • Валентина Бизюкина

    10/10

  • Павел Селивёрстов

    10/10

  • Niyaz Gavrilov

    9/10

  • Сикорская Анна

    10/10

  • Максим Акманов

    8/10

  • Аня Алексеева

    9/10

  • Екатерина Лебедева

    3/10

  • Валерий Цыганков

    9/10

  • Константин Никитич

    10/10

ТОП-3 тестакоторые проходят вместе с этим

Тест «Линейные уравнения с двумя переменными» соответствует министерской программе. Он предназначен для семиклассников, которые хотят проверить и закрепить материал. Вопросы охватывают все правила раздела, требует умения применять их на практике (решать уравнения, изображать графики).

Данная подборка заданий – отличный помощник в процессе домашней подготовки к уроку. Правильные ответы к заданиям уже даны, поэтому не придется тратить время на их поиск, тем не менее, желательно дополнить их информацией из учебника. Представленные вопросы разного уровня сложности, что позволяет объективно оценить свои знания. Тесты можно просматривать в электронном виде с любого устройства. Подборка подойдет и для учеников 8-9 классов, которые хотят «освежить» в памяти материал по теме.

Тест по линейным уравнениям с ответами – один из самых эффективных методов самооценивания и самоподготовки.

Рейтинг теста

Средняя оценка: 3.7. Всего получено оценок: 1160.

А какую оценку получите вы? Чтобы узнать — пройдите тест.

Линейное уравнение с двумя переменными

Линейное уравнение с двумя переменными – любое уравнение, которое имеет следующий вид: ax + by = c. Здесь x и y есть две переменные, a, b, c – некоторые числа.

Решением линейного уравнения ax + by = c называется любая пара чисел (x; y), которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если каждую пару чисел, которые являются решением линейного уравнения с двумя переменными, изобразить на координатной плоскости в виде точек, то все эти точки образуют график линейного уравнения с двумя переменными. Координатами точек будут служить наши значения x и у. При этом значение х будет являться абсциссой, а значение у – ординатой.

График линейного уравнения с двумя переменными

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого линейного уравнения. Несложно догадаться, что график будет представлять собой прямую линию. Поэтому такие уравнения и называются линейными.

Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным:

1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный масштаб.

2. В линейном уравнении взять х = 0 и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0 и решить полученное уравнение относительно х. Отметить полученную точку на графике.

4. При необходимости взять произвольное значение х и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

5. Соединить полученные точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.

Пример: x + y – 3 = 0, где a = 1; b = 1; c = –3.

Чтобы найти ре­ше­ния дан­но­го урав­не­ния, нужно по­до­брать со­от­вет­ству­ю­щие пары чисел х и у:

Пусть x = 0, тогда ис­ход­ное урав­не­ние пре­вра­ща­ет­ся в урав­не­ние с одной неиз­вест­ной: 0 + y – 3 = 0 ⇒ y = 3.

То есть пер­вая пара чисел, яв­ля­ю­ща­я­ся ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния (0; 3). По­лу­чи­ли точку А(0; 3).

Пусть y = 0, по­лу­чим ис­ход­ное урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной: x + 0 – 3 = 0 ⇒ x = 3, по­лу­чи­ли точку В(3; 0).

По­стро­им на гра­фи­ке точки и про­ве­дем пря­мую:

От­ме­тим, что любая точка на дан­ной пря­мой будет ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния. Про­ве­рим – возь­мем точку с ко­ор­ди­на­той x = 2 и по гра­фи­ку най­дем ее вто­рую ко­ор­ди­на­ту. Оче­вид­но, что в этой точке y = 1. Под­ста­вим дан­ную пару чисел в урав­не­ние. По­лу­чим 0 = 0 – вер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство, зна­чит точка, ле­жа­щая на пря­мой, яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем.

Основные свойства линейных уравнений с двумя неизвестными:

1. Любое из слагаемых в уравнении можно перенести из одной части в другую, при этом необходимо изменить его знак на противоположный. Полученное уравнение будет равносильно исходному.

2. Обе части уравнения можно разделить на любое число, которое не равно нулю. В результате получим уравнение, равносильное исходному.

Конспект урока по Алгебре «Линейные уравнения с двумя переменными» 7 класс

Урок алгебры в 7-м классе «Линейные уравнения с двумя переменными»

Генералова Ольга Владимировна, учитель математики

Цели:

Образовательные: знакомство с определением линейного уравнения с двумя переменными; с определением решения уравнения с двумя переменными; со способом решения уравнений с двумя переменными; развитие навыка применения аналогии при решении задач;

закрепить знания учащихся о формулах сокращенного умножения.

Развивающие: способствовать развитию математического кругозора, мышления и речи, памяти учащихся.

Воспитательные: воспитывать у учащихся культуру общения, умение оценивать друг друга и давать себе самооценку.

Ход урока:

  1. Самостоятельная работа.

  1. Разложите на множители.

1+а-а2 –а3 8-b3+4b-2b2

  1. Найдите значение выражения

2с(с-4)22(2с-10) при с=0,2

(а-4b)(4b+а) при а=1,2, b= -0,6

  1. Изучение нового.

Слово учителя. Пусть известно, что одно из двух чисел на 5 больше другого. Если первое число обозначить буквой x, а второе – буквой y, то соотношение между ними можно записать в виде равенства x-y=5, содержащего две переменные. Такие равенства называются уравнениями с двумя переменными (неизвестными).

Уравнениями с двумя переменными являются равенства:

5x+2y=10 -7x+x=5 x2+y2=20 xy=12

Из этих уравнений первые два имеют вид ax+by=c, где a,b и c – числа. Такие уравнения называются линейными уравнениями с двумя переменными.

— Сформулируйте определение линейного уравнения с двумя переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

ax+by=c, где a,b и c – некоторые числа, а x и y –переменные.

Уравнение x-y=5 при x=8, y=3 обращается в верное равенство 8-3=5. Говорят, что пара значений переменных x=8, y=3 является решением этого уравнения.

-Сформулируйте определение решения уравнения с двумя переменными.

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Пары значений переменных иногда записывают короче: (8;5). В такой записи на первом месте пишут значение x а на втором-y.

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения (или не имеющие решений), называются равносильными.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

  1. Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

  2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число(не равное нулю), то получится уравнение равносильное данному.

Пример 1. Рассмотрим уравнение 10x+5y=15. Используя свойства уравнений, выразим одну переменную через другую. Для этого сначала перенесем 10x из левой части в правую, изменив его знак. Получаем равносильное уравнение 5y=15-10x. Разделим каждую часть этого уравнения на число 5, получим равносильное уравнение y=3-2x. Таким образом, мы выразили одну переменную через другую. Пользуясь этим равенством, для каждого значения x можно вычислить значение y. Если x=2, то y=3-2*2 y=-1.

Если x=-2, то y=3-2*(-2) y=7. Пары чисел (2;-1), (-2;7) – решения данного уравнения. Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много решений.

-Используя свойства уравнений, в данном уравнении выразите x через y.

Иногда при решении задачи требуется найти все пары целых чисел или все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению с двумя переменными. В таких случаях говорят, что «надо решить уравнение в целых числах» или «решить уравнение в натуральных числах.

Из истории. Проблема решения уравнений в натуральных числах подробно рассматривалась в работах известного греческого математика Диофанта (III в.). В его трактате «Арифметика» приводятся остроумные решения в натуральных числах самых разнообразных уравнений. В связи с этим уравнения с несколькими переменными, для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называют диофантовыми уравнениями.

Пример 2. Мука расфасована в пакеты по 3 кг и по 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получилось 20 кг муки?

Допустим, что надо взять x пакетов по 3 кг и y пакетов по 2 кг. Тогда 3x+2y=20. Требуется найти все пары натуральных значений переменных x и y, удовлетворяющих этому уравнению. Получаем:

2y=20-3x

у=10-3/2x

Подставляя в это равенство вместо x последовательно все числа 1,2,3 и т.д., найдем при каких значениях х, значения y являются натуральными числами. Получаем: (2;7), (4;4), (6;1). Других пар, удовлетворяющих данному уравнению нет. Значит надо взять либо 2и7, либо 4и 4, либо 6 и 1 пакетов соответственно.

  1. Задания на уроке.

№1025 (у), 1026, 1027 (а), 1029, 1031, 1037.

Задание на дом.

Стр.187-189. №1028 №1043

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.

 

 

 

 

 

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
.

 

( ПРОФИЛЬНЫЙ КУРС. 11 КЛАСС)

 

 

                                                      
выполнил:

                                                                                 учитель математики

                          
                                             Грибанова Т.И.

 

 

 

 

 

                                  

                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цели урока: показать теорию решения линейного уравнения с
двумя переменными;

                     научить решать неопределенные уравнения
первой степени;

                     увлечь, заинтересовать учащихся
математикой посредством решения таких

                     уравнений.

 

 

Тип урока: урок изучения новой темы.

 

Оборудование: карточки с домашним заданием, слайды, карточки с
алгоритмом.

 

 

1.  Изучение новой темы.

Учитель:
сегодня на уроке мы познакомимся с
линейными уравнениями с двумя переменными.

 

1.1.         
повторить определения: что такое
уравнение? Что значит решить уравнение? Что такое корень уравнения? Какое
уравнение называется линейным? Сколько корней может иметь линейное уравнение с
одной переменной и от чего это зависти?

Повторение
провести с использованием мультимедийного проектора.

 

Слайд:

 

                                          
 Линейные уравнения?

 

2х+5=0                   
2-7х=4                      4-7=-3                 
ах-2,5=9         4/х=х

 

                                            
решение линейного уравнения ах=в?

 

А=0 и в=о                                       а=0 
в=0                   а=0   в=0

 

Нет решений                одно решение                    много
решений.

 

1.2.         
ввести определение неопределенного
уравнения.

 

 Определение1.
уравнение,  в котором число неизвестных более одного, называется неопределенным.

 

Определение 2. уравнения,
в котором ищут только целые решения, называются диофантовыми.

 

Приведем примеры
неопределенных уравнений, имеющих бесконечное множество целочисленных решений.

 

            x2+y3=z7              x2-7y2=1            
11x+13y=300     x+y+z=6

 

 

 

 

1.3.         
Историческая справка. ( рассказ
ученика)

 

Диофант Александрийский  — 
греческий математик. Его личность, пожалуй, самая малоизвестная в истории
математики. Согласно эпитафии на его могиле, он прожил 84 года, был женат и
имел сына, который умер раньше его. Однако неизвестна дата его рождения.
Говорят, что он жил и творил в 3 веке нашей эры. Из 13 книг Диофанта до нас
дошло лишь 6. но вопросы, затронутые в них, породили в современной математике
две самостоятельные ветви: диофантовы уравнения и диофантовы приближения.
Содержание пяти книг посвящено решению уравнений на множестве положительных
чисел. Отрицательные решения Диофантом никогда не приводились. Однако, когда
современник говорит о диофантовом  решении уравнения или системы уравнений, он
подразумевает лишь целочисленные решения.

 

Учитель: сегодня на уроке мы рассмотрим теорию линейного
уравнения с двумя переменными не только в смысле Диофанта, но и на множестве
натуральных чисел, что бывает наиболее актуально.

 

1.4.         
ввести определение линейного
уравнения с двумя переменными.

 

Определение 3. линейным неопределенным уравнением с двумя
переменными назовем уравнение вида ах+ву=с, где а,в,с – некоторые
действительные числа, причем ни а, ни в не равны 0.

 

Слайд: 

        
                             Линейное неопределенное уравнение

                                               с двумя
переменными

                                                           
 ах+ву=с

                                                            

 

   примеры уравнений: 2х+4у=7;  6,7х-5у=0

 

упражнение: из п.1.2
выбрать из приведенных примеров линейные уравнения с комментарием.

 

 

1.5.         
формулировка некоторых теорем и их
доказательство.

 

Теорема 1. линейное неопределенное уравнение ах+ву=с всегда
имеет бесчислен-ное множество действительных решений вида x=t, y=(c-at)/d.,
где tR.

 

Доказательство на слайде.

 

 

 

 

 

 

 

Слайд:

 

ДАНО: линейное неопределенное уравнение  ах+ву=с

 

ДОКАЗАТЬ: х= t, у=( с-ах)/в – решения уравнения.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: перепишем уравнение в виде  ву=с-ах, у= ( с-ах)/в.

                                          Если х= t, где tR., то   у= ( с-ах)/в.   Ч.т.д.

 

Пример.  Уравнение х√3-у√2=√5 имеет
бесчисленное множество решений решенией  вида х= t и у= (t√3-√5)/
√2, где tR.

Пусть t=1,
тогда х=1, у=(√3-√5)/ √2 и т.д.

 

Теорема 2. линейное неопределенное уравнение ах+ву=с с
рациональными коэффициентами всегда можно привести к виду Ах+Ву=С, где А –
натуральное число, а ВиС – целые числа, причем В≠0.

 

Пример:  -6,7х+1,5у=7 | (-10). 
Получим уравнение  67х-15у=-70.

 

1.6.         
решение неопределенных уравнений в
натуральных числах.

 

Задача из учебника
Киселева
.

 

Для настилки пола шириной
в 3 метра имеются доски шириной в 11 см и 13 см. сколько нужно взять досок того
и другого размера?.

 

Решение. Очевидно, что если х
— число досок шириной в 11 см, а у – количество досок шириной 13 см, то нам
надо решить уравнение 11х+13у=300 в натуральных числах. Попробуем сначала это
уравнение  решить в целых числах, а затем уже в натуральных. Можно подобрать
решение, но где гарантия того, что решение это – единственное?

Итак, х, у – целые числа.

13у=300-11х,
у=300\13-11х\13,  у=23+(1-11)/\13.

Т.к. у-целое число, то и
(1-11х_\13 – целое число.

Пусть (1-11х)\13=к1,
11х=1-13к1, х=(1-2к1)\11-к1. к1-
целое число, значит и

 (1-2к1)/11 –
целое число.

Пусть (1-2к1)/11=к2,
где  к2— целое. Тогда 1-2к1=11к2,  к1=(1-к2)/2-5к2.

Пусть остаток (1-к2)/2=к,
тогда к2=1-2к, где к – любое целое число.

Подставим в формулу к1
вместо к2 его значение, получим к1=11к-5.

Теперь выразим х
через к х=6-13к.

Зная х, найдем 
у   у=18+11к.

6-13к>0, 18+11к>0.
решим систему этих неравенств, получим  к=-1, к=0.

Найдем значения х, у ,
подставив вместо к сначала -1, а затем 0.

Получим х=19, у=7  или
х=6, у=18
.

Вывод: для застилки пола
нужно взять 6 досок шириной в 11 см и 18 досок шириной 13 см. первое решение не
подходит, так как здесь нужно взять 26 досок.

Ответ: 6 и 18 досок.

 

 

Вывод по первой части
урока.

 

Мы овладели практикой
нахождения целочисленных решений линейного уравнения с двумя неизвестными,
руководствуясь следующим алгоритмом:

    Слайд:                                           Алгоритм

1.    
данное уравнение разрешают
относительно переменной с наибольшим коэффициентом по модулю.

2.    
в полученном уравнении
выделяют целую часть, а дробную часть обозначают за новую переменную, в
результате получается новое неопределенное уравнение.

3.    
последнее уравнение решают,
руководствуясь пунктами 1 и 2 до тех пор, пока один из коэффициентов при
переменных не будет равен 1.

4.    
поочередно выражаем все
переменные через последнюю неизвестную, пока не сформируем ответ.

 

Карточки с алгоритмом раздать
каждому ученику.

 

2.  Закрепление.

 

1.    
решите в целых числах уравнение 
7х+11у=75.

2.    
фунт чая одного сорта стоит
3½ р, а другого 2½ р. Сколько можно купить фунтов чая того и
другого сорта на 37 рур.50 к.?

 

3.  Подведение итогов урока.

1.    
опросить учащихся по изученной
теории.

2.    
выставить оценки.

3.    
дать домашнее задание.

 

Домашнее задание состоит из 2
частей:

·       
выучить теорию.

·       
Выполнить задание из карточки.

 

1.    
решить уравнение в целых числах 
5х+63у=-1.

2.    
определите целые положительные
значения коэффициентов а и в в уравнении ах+ву=58, при которых х=5,
у=4.

 

1.    
решить уравнение в целых числах 9х+4у=43.

2.    
разложите число 100 на 2 части
так, чтоб одна делилась на 7 без остатка, а другая – на 13 без остатка.

 

На следующий урок задачи из
этих карточек рассматривают  всем классом.

 

Линейное уравнение с двумя переменными. — Разработки уроков — Математика (5 и 6 классы) — Точные науки — Методическая библиотека

Математика: 6 класс
Дата:
Тема урока: Линейное уравнение с двумя переменными.
Цели урока:
Обучающая: закрепить с учащимися навыки решения уравнений с двумя переменными.
Развивающая: развитие самостоятельности; правильной математической речи.
Воспитывающая: воспитать чувство ответственности за проделанную работу.
Тип урока: комбинированный.
Методы обучения: словесный, работа с книгой, метод «обучающего контроля».
Ход урока:
1) Орг.момент.
2) Проверка Д/З.
3) Взаимопроверка правил. (Ученик рассказывает правила по параграфу соседу, потом наоборот).

4) Самостоятельная работа.
В начале учебного года каждый ученик получает свой пин-код. Например, 2 7 1 4, это значит а=2, в=7, с=1, д=4. Таким образом, у всех разные примеры, нет возможности списать.
Задание. Вычислите:
а+в/3; а2/в2-1; 5с+1/4д-1; 5+2а/2-4в.

5) Работа по учебнику.
№ 1440. Выразите переменную у через переменную х, найдите два каких-нибудь решения уравнения:
а) 3/8х+у=3 б) 2,5х+у=4 в) 5/7х+у=1,5
у=3-3/8х у=4-2,5х у= 1,5-5/7х
х 0 8 х 1 2 х 0 7
у 3 0 у 1,5 -1 у 1,5 -3,5
№ 1441.
1) Найдите значение у, если уравнение 7х+2у=14 имеет решения: (1;у), (2;у), (0; у).
Найдем решение уравнений 7х+2у=14, решением которого есть (1;у).
7+2у=14; 2у=14-7; у=3,5. Ответ(1; 3,5).
2) Найдем решение уравнений 5х+4у=15. решением которого есть (х;0). Значит , у=0. 5х=15; х=3. Ответ: (3;0).
№ 1443. Задача. Во дворе у Дамира кролики и куры. Испугавшись вбежавшей во двор собаки, все они выскочили со двора. Дамир, загоняя их, затратил на каждого кролика по 2 мин, на каждую курицу по 3 мин. На это ушло всего 0,5 ч. Сколько кроликов и сколько куриц у Дамира?
Решение:
Пусть х-кролики, а у-курицы, тогда
2х+3у=30
2х=30-3у
х=15-1,5у
х 12 9 3
у 2 4 8.
Возможно 3 варианта ответов.
12 кроликов, 2 – курицы
9 кроликов, 4 курицы
3 кролика, 8 куриц.

6) Физминутка.

7) Тестирование.
1) Выразите переменную у через переменную х из уравнения: 3х+2у=4.
а) х=-2/3у+11/3 с) у=-1,5х+2
в) у=1,5х+2 д) у=-3х+2
2) 4х-у=3
а) у=-3+4х с) –у=-3+4х
в) у=3+4х д) у=3/4х
3) Выразите переменную х через переменную у из уравнения:
3х-15у=4,5.
а) х=5у-1,5 с) х=5у+1,5
в) х=-5х-1,5 д) у=-5х+1,5
4) -2х+4=7
а) х=7+2у с) у=7+2х
в) х=-3,5+у/2 д) у=7-2х.

8) Подведение итогов, выдача Д/З.
Д/З §8. п 8.1 № 1442, 1445.

Получите доступ ко всем материалам

Полный и неограниченный доступ ко всем материалам методической библиотеки на год с момента подачи и оплаты заявки. Доступ стоит 500 руб в год

Если Вы уже подавали заявку – тогда войдите или зарегистрируйтесь на сайте под тем же email-адресом, на который оформляли доступ

Также доступ ко всем материалам получают БЕСПЛАТНО

Участники международного клуба учителей

БЕСПЛАТНО

Участники клуба получают множество привилегий включая бесплатное прохождение любых курсов КПК и переподготовки (оплачивается только изготовление и отправка документов), бесплатные сертификаты, благодарственные письма, стажировки зарубеж, помощь в прохождении аттестации, юридическую помощь и многое другое.

Узнать подробнее о клубе

Наши постоянные пользователи

БЕСПЛАТНО

Если Вы проходили профессиональную переподготовку (1 любой курс) или повышение квалификации (2 любых курса) в 2020-м году – Вы как наш постоянный клиент получаете много преимуществ, включая бесплатный доступ к трансляциям, получению сертификатов и многому другому.

Узнать подробнее о программе

Похожие материалы

Раздел: Разработки уроков

Конспект урока математики для 6 класса по теме «Вычитание рациональных чисел» к УМК А.Г.Мерзляка

Раздел: Разработки уроков

Представлено 3 урока по темам:
«Деление»(план урока, презентация)
«Упрощение выражений»(план урока, презентация)
«Умножение и деление»(план урока, тест).
Из всех уроков представлены на конкурс уроки по данной теме»Умножение и деление натуральных чисел» в 5 классе именно эти, потому что они были реализованы успешно в полном объеме и имели только положительный отклик как учителей так и учащихся, присутствовавших на этих уроках.

Раздел: Разработки уроков

Урок комплексного применения предметных компетентностей обучающихся.
Цель: Усвоение умений самостоятельно в комплексе применять знания по выполнению действий с обыкновенными дробями, осуществлять их перенос в новые условия.

Комментарии

Консультации для учителей математики 8 класса по учебнику Л. Г. Петерсон, Н. Х. Агаханова, А. Ю. Петровича, О. К. Подлипского, М. В. Рогатовой, Б. В. Трушина.

1. Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000…». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.

2. В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 8 класса в октябре учащиеся продолжают изучать содержание второй главы «Системы линейных уравнений и неравенств».

3. Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по данному учебнику возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений.

Программа 8 – 9 класса строится так, что она может быть использована для изучения школьного курса алгебры на основном и предпрофильном (углубленном) уровнях. Заметим, что предложенное учебное содержание обеспечивает возможность работы по курсу алгебры «Учусь учиться» для 8–9 классов учащихся разного уровня подготовки. Благодаря увлекающей форме подачи материала и нарастающей сложности задач, предлагаемых как для разбора в классе, так и для самостоятельной проработки дома, каждый учитель или сам ученик может выбрать тот уровень, который необходим и достаточен для достижения поставленных индивидуальных целей. Это может быть как довольно поверхностное понимание изучаемых вопросов математики, которое обеспечит лишь успешную сдачу государственной итоговой аттестации, так и более глубокая проработка, позволяющая заложить прочный фундамент для более глубокого понимания сложных разделов не только основной, но и старшей школы.

Тематическое планирование по изучению курса 8 класса разработано в двух вариантах на 102 ч и на 170 ч. Вы можете скачать тематическое планирование на 3 ч в неделю и на 5 ч в неделю, обратившись к содержанию консультации на сентябрь.

Отметим, что на сегодняшний момент этот учебник может стать дополнительным в работе учителя.

4. Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 2. Системы линейных уравнений и неравенств

Во второй главе рассматриваются системы линейных уравнений с двумя неизвестными, а также системы и совокупности линейных неравенств, как с одной, так и двумя неизвестными. В рамках углубленного изучения материала рассматриваемые темы дополняются изучением вопроса о количестве решений системы линейных уравнений, знакомством с системами линейных уравнений с тремя и более неизвестными, а также со способами решения систем неравенств с модулем. При этом способ решения систем уравнений с модулем рекомендуется разобрать и в общеобразовательных классах. При изучении данной главы понятийная база учащихся пополняется следующими понятиями: линейное уравнение с двумя неизвестными; система линейных уравнений с двумя (и более) неизвестными; система линейных неравенств, понятие совокупности вводится на примере совокупности линейных неравенств. Изучение каждого нового понятия начинается с рассмотрения практической задачи, математической моделью которой является вводимое соотношение, что мотивирует учащихся к рассмотрению вопроса об общем способе решения полученной модели.

Изложение начинается с введения понятия «линейное уравнение с двумя неизвестными». У учащихся есть опыт составления и работы с подобными соотношениями на множестве натуральных и целых чисел. В 5 и 6 классе они находили значения неизвестных методом перебора, в 7 классе учащиеся знакомились со способом решения линейных диофантовых уравнений в целых числах. Теперь учащиеся уточняют свои представления о линейных уравнениях с двумя неизвестными и знакомятся с общим способом их решения. При изучении вопроса решения линейного уравнения с двумя неизвестными помимо традиционно рассматриваемого случая не равных нулю коэффициентов рассматриваются и случаи, когда один из коэффициентов либо оба коэффициента равны нулю. Умение выражать одно неизвестное через другое, построение графика линейного уравнения будет в дальнейшем применяться восьмиклассниками при решении систем линейных уравнений (метод подстановки, графический метод), поэтому поиску общего решения линейного уравнения следует уделить достаточно времени.

В первом параграфе данной главы учащиеся знакомятся с традиционными методами решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными: графическим и аналитическим (рассматриваются способ подстановки и способ алгебраического сложения). Здесь рассматривается способ решения систем с модулем. При их решении учащиеся «раскрывают» модуль, используя знакомое им определение модуля. При решении таких систем особое внимание следует уделить шагу проверки найденных решений на соответствие рассматриваемому при раскрытии модуля случаю.

Во втором параграфе данной главы учащиеся изучают не только системы неравенств, но и их совокупности. Эта работа поможет учащимся в дальнейшем работать и с другими совокупностями, например совокупностью линейных уравнений, на которые может распадаться уравнение второй и выше степени.

Помимо традиционного изучения неравенств с одним неизвестным учащиеся получают возможность научиться решать неравенства с двумя неизвестными и их системы. Восьмиклассники знают, что графиком линейного уравнения с двумя неизвестными ах + + с = 0 является прямая и на интуитивном уровне им понятно, что графиком неравенства с двумя неизвестными ах + + с > 0 (ах + + с < 0, ах + + с > 0, ах + + с < 0) будет являться полуплоскость, ограниченная прямой. Эти представления при изучении пункта «Линейные неравенства с двумя неизвестными и их системы. Графическое изображение множества их решений» уточняются и вводится соответствующий алгоритм графического решения линейного неравенства с двумя неизвестными. Эти знания применяются при решении систем линейных неравенств с двумя неизвестными.

Восьмиклассники осваивают методы решения простейших систем неравенств с модулями. При решении систем неравенств с одним неизвестным появляется возможность повторить способ решения неравенств с модулем, так как алгоритм решения их системы предполагает двукратное применение известного с 7 класса алгоритма решения неравенства с модулем. При этом более подготовленных учащихся можно познакомить с графическим способом решения подобных систем. При решении систем неравенств с двумя неизвестными учащиеся раскрывают модуль, используя его определение, и отрабатывают умение строить график неравенства с двумя неизвестными.

5. Основные содержательные цели. Организация самостоятельной деятельности учащихся по открытию новых знаний.

§ 1. Системы линейных уравнений

П.2.1.1. Линейное уравнение с двумя неизвестными и его график

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие линейного уравнения с двумя неизвестными и о его графика.

2) Сформировать представление об общем решении линейного уравнения с двумя неизвестными и умение находить его аналитически и графически.

3) Повторить и закрепить: способы нахождения НОД двух чисел, условия взаимного расположения графиков линейной функции.

Для организации самостоятельного открытия учащимися понятия общего решения линейного уравнения с двумя неизвестными рекомендуется использовать систему заданий № 128 – №130.

П.2.1.2. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графическое решение системы

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

2) Сформировать умение находить решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными графическим способом.

3) Сформировать представление об использовании теоремы о целочисленных точках графика уравнения для решения систем.

4) Повторить и закрепить: свойство степени с отрицательным основанием; способ умножения многочлена на многочлен и нахождения значения многочлена при заданном значении переменной; условия взаимного расположения графиков линейной функции.

Обратим внимание, что в предложенном в учебнике алгоритме решения линейных уравнений с двумя неизвестными графическим способом предлагается делать проверку найденного решения. Это приучает восьмиклассников к мысли, что применяемый ими способ решения не всегда приводит к нахождению точного решения и мотивирует к дальнейшему поиску способов решения систем линейных уравнений.

Для самостоятельного открытия учащимися графического способа решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными рекомендуется использовать следующую систему заданий № 148 – 150:

  • В № 148 актуализируется способ графического решения линейного уравнения с двумя неизвестными, построения графиков на одной координатной плоскости подготавливает открытие нового способа;
  • для введения понятия системы линейных уравнений рекомендуется построить математическую модель задачи 1 из теоретической части пункта;
  • в № 149 закрепляется понятие решения системы линейных уравнений;
  • В № 150 проблематизируется способ решения систем линейных уравнений, выстаивается система вопросов для построения алгоритма решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными графическим способом.

П.2.1.3*. Количество решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Основные содержательные цели:

1) Сформировать умение находить количество решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с ненулевыми коэффициентами при неизвестных.

2) Сформировать представление о способе нахождения количества решений системы, содержащей нулевые коэффициенты при неизвестных.

3) Повторить и закрепить: способ перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную; способ нахождения НОК чисел, преобразование выражений, содержащих степени с использованием свойств степеней с одинаковыми основаниями;.

Для самостоятельного открытия способа находить количество решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными рекомендуется использовать систему заданий № 165 – 167.

П.2.1.4. Алгебраические методы решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными: способ подстановки и способ сложения

Основные содержательные цели:

1) Сформировать умение решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки и способом алгебраического сложения.

2) Повторить и закрепить: деление чисел с остатком; понятие простого числа; нахождение НОД чисел по их каноническому разложению на простые множители.

Для самостоятельного открытия алгоритма решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки рекомендуется использовать № 180. Задание №179, в котором учащиеся должны подставить значение d = 3111 в данное выражение, готовит учащихся к открытию этого способа.

Для самостоятельного открытия алгоритма решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными способом алгебраического сложения рекомендуется использовать № 182.

П. 2.1.5. Математические модели задач и системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

Основные содержательные цели:

1) Сформировать умение решать текстовые задачи с помощью систем линейных уравнений с двумя неизвестными.

2) Повторить известный алгоритм решения текстовых задач методом моделирования; повторить понятие составного числа; повторить понятие модуля и закрепить умение применять его для вычислений и решения уравнений; повторить алгоритм решения уравнений с модулями путем выделения промежутков.

В этом пункте учащиеся применяют известные им шаги алгоритма решения текстовых задач методом моделирования для решения задач, сводящихся к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Они уже знают, что при необходимости две неизвестные величины обозначаются двумя переменными. Они уточняют для себя, что в этом случае на этапе построения математической модели ими может быть получена система линейных уравнений с двумя неизвестными, решать которую они уже научились. Для того, чтобы учащиеся самостоятельно сделали вывод, о том, что известный им алгоритм не меняется, рекомендуется использовать № 198.

П. 2.1.6. Системы двух линейных уравнений с модулями

Основные содержательные цели:

1) Сформировать умение решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с модулем.

2) Повторить понятие кратного и закрепить умение находить НОК чисел, повторить и закрепить способ решения линейного неравенства с одним неизвестным, повторить понятие пересечения и объединения множеств.

Для самостоятельного открытия алгоритма решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с модулем рекомендуется использовать № 219 – 220. При решении уравнения, предложенного в №219, учащиеся актуализируют способ «раскрытия» модуля, который ляжет в основу составления нового алгоритма (№ 220).

П.2.1.7.* Системы линейных уравнений с тремя и более неизвестными

Основные содержательные цели:

1) Сформировать умение решать системы с тремя неизвестными.

2) Сформировать представление о решении систем из k линейных уравнений с n неизвестными.

3) Закрепить умение применять свойства степени для упрощения числовых выражений; закрепить умение проводить равносильные преобразования целых алгебраических выражений.

Для самостоятельного открытия алгоритма решения системы с тремя неизвестными рекомендуется использовать № 235. Предложенная система позволяет выявить возможность использования способа подстановки и способа алгебраического сложения для сведения системы с тремя неизвестными к уже известному случаю – системе из двух уравнений с двумя неизвестными.

При решении системы учащиеся могут комбинировать известные им способы:

Сначала сложить первые два уравнения. Получится 3x + 3y = 9, то есть y = 3 — x.

Затем сложить первое и третье уравнения. Получится 3x + 3z = 9, то есть z = 3 — x. Подставить выражения для y и z в первое уравнение. Получится x + 2 (3 — x)  + 2(3 — x) = 9, откуда -3x = -3  или x= 1. Значит, y= 2, z= 2.

Ответ к системе будет иметь вид: (1; 2; 2).

После выполнения этого задания рекомендуется разобрать по тексту учебника решение примеров 1 и 2, в которых система не имеет решения и имеет бесконечно много решений. После чего следует обобщить случаи решения системы трех уравнений с тремя неизвестными для систем из n линейных уравнений сn неизвестными.

В более подготовленных классах рекомендуется разобрать вопрос решения систем из k линейных уравнений с n неизвестными при k < n.

Мы предлагаем скачать примеры решения заданий первого параграфа данной главы.

§ 2. Системы и совокупности линейных неравенств

П 2.2.1. Системы и совокупности линейных неравенств с одним неизвестным

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие системы и совокупности линейных неравенств с одним неизвестным.

2) Сформировать умение решать системы и совокупности линейных неравенств с одним неизвестным.

3) Повторить понятие углового коэффициента линейной функции и значение его знака для расположения графика; закрепить умение находить НОД и НОК трех чисел и преобразовывать алгебраические выражения.

Задания № 249 – 250 готовят учащихся к введению понятия системы и совокупности неравенств. Для самостоятельного открытия этих понятий рекомендуется использовать № 251. Для самостоятельного открытия алгоритма решения системы неравенств рекомендуется использовать № 252. Для самостоятельного открытия алгоритма решения совокупности неравенств рекомендуется использовать № 254. Учитель определяет, какое из этих новых знаний учащие будут открывать в ходе самостоятельной учебной деятельности. Например, урок можно организовать следующим образом: на этапе актуализации после выполнения учащимися № 250 учитель вводит понятие системы и совокупности систем, в подводящем диалоге знакомит учащихся с алгоритмом решения систем линейных неравенств, после чего учащиеся закрепляют умение решать простейшие системы (№ 253). Тогда проблематизация разворачивается вокруг способа решения совокупности неравенств (№ 254) – учащиеся с опорой на понятие совокупности неравенств и по аналогии с уже известным им алгоритмом решения систем неравенств самостоятельно строят алгоритм решения совокупности линейных неравенств с одним неизвестным.

П. 2.2.2. * Системы линейных неравенств с одним неизвестным с модулями

Основные содержательные цели:

1) Сформировать умение решать системы линейных неравенств с одним неизвестным с модулями аналитическими и графическим способами.

2) Повторить и закрепить способ решения текстовых задач на дроби; понятие рационального числа, закрепить умение переводить периодическую дробь в обыкновенную.

Следует учесть, что данный пункт изучается с опорой на алгоритм решения неравенств с модулем, изученный в 7 классе. Если по тем или иным причинам этот материал не изучался в 7 классе, то необходимо восполнить этот пробел перед изучением данного пункта, вернувшись к п. 6.2.2 седьмого класса. Для самостоятельного открытия способов решения системы неравенств с модулями рекомендуется использовать № 278. Перед этим необходимо выполнить задание № 278, которое актуализирует способ решения неравенства с модулями. При решении неравенств учащиеся пользуются новыми понятиями системы и совокупности неравенств.

П. 2.2.3. Линейные неравенства с двумя неизвестными и их системы. Графическое изображение множества их решений

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие линейного неравенства с двумя неизвестными.

2) Сформировать представление о системах неравенств с двумя неизвестными*.

3) Сформировать умение находить графическое решение линейных неравенств с двумя неизвестными.

4) Сформировать умение решать системы линейных неравенств с двумя неизвестными*.

5) Повторить понятие круговой диаграммы, свойства делимости; закрепить умение решать текстовые задачи арифметическим способом.

Для введения понятия линейного неравенства с двумя неизвестнымии понятия его решения рекомендуется разобрать решение Задачи 1 по тексту учебника.Для первичного закрепления этого понятия можно использовать № 295. Для самостоятельного открытия алгоритма графического решения линейного неравенства с двумя неизвестными рекомендуется использовать № 296 – 297.

В более подготовленных классах рекомендуется познакомить учащихся с понятием системы линейных неравенств с двумя неизвестными и способом их решения. Можно развернуть проблематизацию вокруг этого вопроса, используя № 299.

П.2.2.4.* Системы линейных неравенств c двумя неизвестными с модулями

Основные содержательные цели:

1) Сформировать умение изображать решение системы линейных неравенств c двумя неизвестными с модулями.

2) Повторить понятие линейного неравенства и закрепить умение применять его; закрепить умение решать текстовые задачи арифметическим способом; закрепить умение переводить обыкновенную дробь в периодическую десятичную дробь.

3) В рамках опережающего обучения сформировать умение упрощать простейшие дробные выражения.

Для самостоятельного открытия алгоритма решения систем линейных неравенств c двумя неизвестными с модулями рекомендуется использовать № 315. Перед этим рекомендуется выполнить № 314, который готовит учащихся к открытию. Рассмотрим решение этих заданий.

Мы предлагаем скачать примеры решения заданий второго параграфа данной главы.

6. Методические рекомендации по планированию уроков

При изучении второй главы (как и всех остальных глав учебника) планированием предусмотрены уроки открытия нового знания (ОНЗ), структура которых обеспечивает выполнение учащимися целого комплекса универсальных учебных действий. Рассмотрим способ организации урока ОНЗ на примере содержания пункта 2.1.1. «Линейное уравнение с двумя неизвестными и его график».

В этом пункте учащиеся знакомятся с понятием линейного уравнения с двумя неизвестными, его решения, его общего решения, а также учатся строить его график.

Урок открытия новых знаний выстраивается в соответствие с требованиями технологии деятельностного метода Л.Г. Петерсон. На этапе мотивации учитель может предложить учащимся обсудить эпиграф к первому пункту и высказать свои мысли по поводу высказывания российского математика Вентцель Елены Сергеевны.

Для самостоятельного открытия рекомендуется использовать систему заданий № 128 – 130.

Рассмотрим примерструктуры открытия нового знания:

1. Новое знание: общее решение линейного уравнения с двумя неизвестными.

2. Актуализация.

Повторить: способ выражения из данного равенства одной переменной через другие (№128).

Уточнить: понятие линейного уравнения с двумя неизвестными (№ 129) и известные способы его решения.

3. Задание на пробное действие:

Решите линейное уравнение с двумя неизвестными, полученное при решении задачи № 129, на множестве рациональных чисел.

Можно использовать в качестве задания на пробное действие №130 (1).

4. Фиксация затруднения:

Я не могу решить линейное уравнение с двумя неизвестными.

Я не могу обосновать свой способ решения линейного уравнения с двумя неизвестными.

5. Фиксация причины затруднения:

Не известен общий способ решения линейного уравнения с двумя неизвестными.

6. Цель учебной деятельности:

Найти способ решения линейного уравнения с двумя неизвестными.

7. Фиксация нового знания:

Учащимися должен быть получен первый шаг алгоритма решения линейного уравнения с двумя неизвестными.

Открыть новое знание учащиеся могут с использованием текста задания № 130 (2 – 3). После чего в форме подводящего диалога с учащимися рассматриваются случаи решения линейного уравнения с двумя неизвестными с равным нулю коэффициентом (коэффициентами). Далее они систематизируются с помощью алгоритма решения линейного уравнения с двумя неизвестными, вариант которого представлен в учебнике.

На этапе первичного закрепления рекомендуется выполнить несколько заданий из №131 – №134, для самостоятельной работы учащимся можно предложить № 133 (в), 134 (в). На этапе включения в систему знаний учащиеся знакомятся с понятием графика линейного уравнения. В более подготовленном классе на этом этапе можно выполнить № 138, при нехватке времени можно построить уравнения ко всем задачам, а решить только одну из них. Для повторения можно выполнить одну или несколько задач из раздела повторения, например, № 140 – 141, который готовит учащихся к изучению вопроса о количестве решений системы линейных уравнений. На этапе рефлексии можно вернуться к эпиграфу и предложить учащимся прокомментировать его с точки зрения знаний, полученных ими на уроке. После чего учащимся предлагается оценить процесс и результат своей работы на уроке. В качестве обязательной части домашнего задания учителем выбираются задания из раздела, отмеченного буквой «Д». С учетом возрастных особенностей учащихся рекомендуется привлекать к отбору домашнего задания самих учащихся. Задания раздела, отмеченного буквой «С» выполняются на уроке в более подготовленных классах или задаются на дом в качестве необязательной части домашнего задания (эти задания выполняются только по желанию учащихся, при их проверке оценивается только успех).

Кроме урока открытия нового знания, основные структурные элементы которого рассмотрены выше, планированием предусмотрены и другие типы уроков: уроки рефлексии тренировочного и коррекционного типа, где учащиеся вырабатывают и закрепляют свое умение применять новые понятия и способы действий, учатся самостоятельно выявлять и исправлять свои ошибки, корректировать свою учебную деятельность. На рефлексивно-тренировочном уроке на первый план выходит отработка предметных умений, однако в соответствие со структурой этого урока отрабатывается и умение выполнять коррекцию результатов свей работы. На рефлексивно-коррекционном уроке на первый план выходит отработка метапредметных умений (способность к фиксации места и причины ошибки, строить план выхода из затруднения на основе рефлексивного самоанализа), однако все эти умения формируются за счет предметного содержания.

В конце изучения каждого параграфа учащимся предлагается экспресс-тест, который можно использовать для урока рефлексии или в качестве домашней работы. Во второй главе их два.

Планированием также предусмотрены и уроки обучающего контроля, на них выделяется два урока. На первом из них учащиеся пишут контрольную работу и выполняют самопроверку по образцу и проводят самооценку, а на втором (после проверки работы учителем) – учащиеся исправляют ошибки и выполняют работу над ошибками в соответствие со структурой урока обучающего контроля. Перед проведением контрольной работы рекомендуется провести урок рефлексии с использованием содержания соответствующего раздела «Задачи для самоконтроля».

Уважаемые коллеги! Предлагаем вам скачать решение некоторых задач на смекалку, которые входят в данные параграфы. 

Решение линейных уравнений с двумя неизвестными

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или несколько ваших авторских прав, сообщите нам об этом, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Решите одновременный набор двух линейных уравнений

Быстро! Мне нужна помощь с:
Выберите пункт справки по математике…Calculus, DerivativesCalculus, IntegrationCalculus, Quotient RuleCoins, CountingCombrations, Finding allComplex Numbers, Adding ofComplex Numbers, Calculating withComplex Numbers, MultiplyingComplex Numbers, Powers ofComplex NumberConversion, SubtractingConversion, TemperatureConversion, FindConversion, MassConversion, Mass анализ AverageData, поиск стандартного отклонения, анализ данных, гистограммы, десятичные дроби, преобразование в дробь, электричество, стоимость факторинга, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DividingFractions, MultiplyingFractions, SubplicationFractions are, SubplicationFractions , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Любая функцияGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, The Equation from point and slopeLines, Equation from slope и y-intLines, The Equation from two pointsLodsottery Практика многочленов Математика, Практика основ , Факторинг разности квадратов многочленов, разложение на множители трехчленов, многочленов, разложение на множители с GCF, многочлены, умножение многочленов, возведение в степень ns, Решить с помощью факторинга Радикалы, Другие корни Радикалы, Отношения квадратного корня, Что они собой представляют, Выведение на пенсию, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, РазделениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Все, что угодноУпрощение, Образцы, Образцы, Упрощение, Методы Правые треугольники, Ветер, рисунок

предварительное вычисление алгебры — Как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

предварительное вычисление алгебры — Как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными? — Обмен математическим стеком

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

  1. 0

  2. +0

  3. Авторизоваться
    Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено
737 раз

$ \ begingroup $

Как решить эту систему уравнений?

$$ \ begin {case} 7 (a + b) = b-a \\ 4 (3a + 2b) = b-8 \ end {cases} $$

Прогресс

Я пробовал и замену, и исключение, но когда я освобождаю $ a $ или $ b $ с одной стороны, я продолжаю получать $ a $ или $ b $ также и с другой стороны.

Создан 06 сен.

$ \ endgroup $

3

$ \ begingroup $

$$ 7 \ cdot (a + b) = b — a \ Rightarrow a = — \ dfrac {6} {8} b $$

Заменить a во втором уравнении

$$ 4 \ cdot (3a + 2b) = b-8 \ Rightarrow 12a + 7b = -8 $$

$$ 7b + 12 \ cdot \ left (- \ dfrac {6} {8} b \ right) = -8 $$

В этом уравнении есть только $ b $ неизвестных, поэтому решите для $ b $, затем используйте $ b $, чтобы найти $ a $

Создан 06 сен.

Уоррен ХиллУоррен Хилл

2,9141212 серебряных знаков2424 бронзовых знака

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

Подсказка:

Попробуйте выполнить алгебру над обоими уравнениями, пока не получите символы $ a $ и $ b $ с одной стороны и число с другой.Затем посмотрите, сможете ли вы «объединить» их вместе.

Создан 06 сен.

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

$$ 7 (a + b) = ba \ Rightarrow 7a + 7b = ba \ Rightarrow 7a + a = b-7b \ Rightarrow 8a = -6b \ Rightarrow a = — \ frac {6} {8} b \\ \ Rightarrow a = — \ frac {3} {4} b \\ 4 (3a + 2b) = b-8 \ Rightarrow 12a + 8b = b-8 \ Rightarrow 12a = b-8b-8 \ Rightarrow 12a = -7b-8 \ overset {a = — \ frac {3} {4} b} {\ Rightarrow} 12 \ left (- \ frac {3} {4} b \ right) = -7b-8 \ Rightarrow -9b = -7b- 8 \ Rightarrow -9b + 7b = -8 \ Rightarrow -2b = -8 \\ \ Rightarrow b = 4 $$

Заменяя на $ a = — \ frac {3} {4} b $, получаем $ a = — \ frac {3} {4} 4 \ Rightarrow a = -3 $

Создан 06 сен.

Мэри СтарМэри Стар

11.7k99 золотых знаков3535 серебряных знаков118118 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

ВНИМАНИЕ: это нестандартный подход.

В обоих уравнениях выделите переменную $ a $ в LHS:
Из $$ 7 (a + b) = b-a \ следует 8a = -6b \ следует 4a = -3b, $$
$$ 4 (3a + 2b) = b-8 \ подразумевает12a = -7b-8. $$
Теперь приравняем два:
$$ (12a =) — 9b = -7b-8.$$
Это уравнение с одной неизвестной ($ b $).
$$ — 2b = -8 \ подразумевает b = 4, $$
а также
$$ 4a = -3b \ подразумевает a = -3. $$

Создан 06 сен.

Ив ДаустИв Дауст

1k1414 золотых знаков120120 серебряных знаков306306 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

Подсказка: из первого уравнения имеем $$ a = — \ frac {3} {4} b.

$

Теперь подставьте это во второе уравнение, и вы получите уравнение в $ b $. Решите это (для $ b $), затем найдите $ a $ (снова), используя тот факт, что $$ a = — \ frac {3} {4} b. $$

Создан 06 сен.

бип-буп

11k88 золотых знаков4040 серебряных знаков6868 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

Вот другой подход:

$ \ begin {cases} 7 (a + b) = ba \\ 4 (3a + 2b) = b-8 \ end {ases} $ $ \ Leftrightarrow $ $ \ begin {cases} 8a + 6b = 0 \\ 12a + 7b = -8 \ end {ases}

долл. США

Затем

$ \ begin {bmatrix} 8 & 6 & 0 \\ 12 & 7 & -8 \ end {bmatrix} $ $ \ Leftrightarrow $ $ \ begin {bmatrix} 1 & 3/4 & 0 \\ 12 & 7 & -8 \ end {bmatrix} $ $ \ Leftrightarrow $ $ \ begin {bmatrix} 1 & 3/4 & 0 \\ 0 & -2 & -8 \ end {bmatrix} $ $ \ Leftrightarrow $ $ \ begin {bmatrix} 1 & 3/4 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \ end {bmatrix} $ $ \ Leftrightarrow $ $ \ begin {bmatrix } 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 4 \ end {bmatrix}

долл. США

Результат: $ a = -3 $ a и $ b = 4 $.

Создан 06 сен.

Аарон Мароха

16.8k55 золотых знаков2020 серебряных знаков5353 бронзовых знака

$ \ endgroup $

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie

Настроить параметры

Два уравнения с двумя неизвестными

У нас есть два ответа для вас

Привет Мэри.

Два уравнения могут находиться в одном из трех соотношений друг с другом:

  1. Это разные выражения одной и той же линии. Например, y = 2x и 2y = 4x на самом деле одна и та же линия. В этом случае существует «бесконечно много решений», потому что существует бесконечное количество значений x, которые дают значение для y, совпадающее в обоих уравнениях. Также обратите внимание, что в этом случае наклоны и точки пересечения по оси Y двух уравнений будут совпадать.
  2. Это параллельные линии.Например, y = 2x и y = 2x + 1 параллельны. Параллельные линии имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения по оси y. Поскольку нет точек (x, y), которые одновременно находятся на обеих линиях, мы говорим, что «нет решения».
  3. Они пересекаются в одной точке. Единственный момент — это «уникальное решение». Это может быть только в том случае, если два уравнения имеют

    разные склоны. Перехват y не имеет значения.

Чтобы определить, какой из этих случаев у вас есть для данной пары уравнений, часто проще всего написать оба уравнения в форме y = mx + b и сравнить наклоны, а затем, если необходимо, сравнить точки пересечения y.Однако это не скажет вам, что на самом деле представляет собой уникальное решение (если они пересекаются в одной точке, а не являются идентичными или параллельными линиями).

Вот как обстоят дела, когда вы используете метод подстановки для «решения» двух уравнений:

Пример 1:

2x + y = 1
-3x + 2y = 0

Решите одно уравнение для одной переменной (какую? Просто выберите то, что выглядит проще всего!)
2x + y = 1
y = 1-2x

Затем подставьте это выражение (которое равно y) вместо y в другом уравнении.Таким образом,
-3x + 2y = 0
становится
-3x + 2 (1-2x) = 0

И решите относительно x:
-3x + 2 — 4x = 0
-7x = -2
x = 2/7.

Поскольку он дал нам единственное значение x, я знаю, что мы получим уникальное решение. Я использую это значение x, чтобы найти значение y. Просто выберите одно из исходных уравнений (неважно какое) и замените x на 2/7.
2x + y = 1
становится
2 (2/7) + y = 1
y = 3/7.

Итак, единственное решение этой пары уравнений — (2/7, 3/7).

Давайте посмотрим на две другие ситуации, чтобы увидеть, что могло бы произойти.

Пример 2:

2x + y = 1
-2x — y = 2

Решите первое относительно y:
y = 1-2x

Подставляем во второе уравнение:
-2x — (1 — 2x) = 2
-2x — 1 + 2x = 2
-1 = 2.

Очевидно, противоречие! Значит, решения нет. Эти два уравнения представляют собой параллельные линии.

Пример 3:

2x + y = 1
6x + 3y = 3

Решите первое относительно y:
y = 1-2x

Подставляем во второе уравнение:
6x + 3 (1 — 2x) = 3
6x + 3 — 6x = 3
3 = 3.

Это трюизм: это верно независимо от значения x, поэтому существует бесконечное количество решений. Эти два уравнения на самом деле являются всего лишь двумя способами выражения одного и того же уравнения (умножьте первое уравнение на 3 с обеих сторон, и вы убедитесь в этом).

Я надеюсь, что это объяснение и набор примеров помогут вам решить любые ваши проблемы с двумя линейными уравнениями.

Cheers,
Стивен Ла Рок.

Привет Мэри,

Фактически не решая эту систему уравнений, мы можем определить, что на самом деле будет ТОЛЬКО ОДНО решение. Первое уравнение имеет наклон -4 (мы можем изменить его, чтобы читать y = -4x + 4), а второе уравнение имеет наклон -1/4 (мы можем изменить его, чтобы читать y = -1 / 4x).Когда две линии имеют разные уклоны, они гарантированно пересекаются в одной точке, что дает нам одно решение.

Если бы эта система не имела решений или имела бы бесконечно много решений, уравнения должны были бы иметь одинаковый наклон. Кроме того, они должны были бы иметь разные точки пересечения по оси Y, чтобы не было решения, и одну точку пересечения по оси Y, чтобы иметь бесконечно много решений.

Надеюсь, это поможет.

Лиэнн

Систем линейных уравнений: две переменные — Precalculus

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Решайте системы уравнений с помощью построения графиков.
  • Решите системы уравнений подстановкой.
  • Решите системы уравнений сложением.
  • Определить несовместимые системы уравнений, содержащие две переменные.
  • Выразите решение системы зависимых уравнений, содержащей две переменные.

(предоставлено Thomas Sørenes)

Производитель скейтбордов представляет новую линейку досок. Производитель отслеживает свои затраты, то есть сумму, которую он тратит на производство плат, и свой доход, который представляет собой сумму, которую он зарабатывает от продажи своих плат.Как компания может определить, получает ли она прибыль от своей новой линии? Сколько скейтбордов необходимо произвести и продать, чтобы можно было получить прибыль? В этом разделе мы рассмотрим линейные уравнения с двумя переменными, чтобы ответить на эти и подобные вопросы.

Введение в системы уравнений

Чтобы исследовать такие ситуации, как ситуация с производителем скейтборда, нам необходимо признать, что мы имеем дело с более чем одной переменной и, вероятно, более чем с одним уравнением.Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно. Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное количество решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть по крайней мере столько же уравнений, сколько переменных.Но даже в этом случае это не гарантирует уникального решения.

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений с двумя переменными, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — это любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо. В этом примере упорядоченная пара (4, 7) является решением системы линейных уравнений.Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям. Вскоре мы исследуем методы поиска такого решения, если оно существует.

Помимо учета количества уравнений и переменных, мы можем классифицировать системы линейных уравнений по количеству решений. Непротиворечивая система уравнений имеет по крайней мере одно решение. Согласованной системой считается независимая система , если она имеет единственное решение, такое как пример, который мы только что исследовали.Две линии имеют разные уклоны и пересекаются в одной точке на плоскости. Согласованной системой считается зависимая система , если уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковые перехваты y . Другими словами, линии совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же линию. Каждая точка на линии представляет пару координат, удовлетворяющую системе. Таким образом, существует бесконечное количество решений.

Другой тип системы линейных уравнений — это несовместимая система , в которой уравнения представляют собой две параллельные линии.Линии имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y- . Для обеих линий нет общих точек; следовательно, у системы нет решения.

Типы линейных систем

Существует три типа систем линейных уравнений с двумя переменными и три типа решений.

  • Независимая система имеет ровно одну пару решений Точка пересечения двух линий является единственным решением.
  • Несогласованная система не имеет решения.Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекутся.
  • Зависимая система имеет бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

(рисунок) сравнивает графические представления каждого типа системы.

Для системы линейных уравнений и упорядоченной пары определите, является ли упорядоченная пара решением.

  1. Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение системы.
  2. Определите, являются ли истинные утверждения результатом подстановки в обоих уравнениях; в таком случае заказанная пара является решением.

Определение того, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

Определите, является ли упорядоченная пара решением данной системы уравнений.

Подставьте упорядоченную пару в оба уравнения.

Упорядоченная пара удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому она является решением системы.

Анализ

Мы можем ясно увидеть решение, построив график каждого уравнения.Поскольку решение представляет собой упорядоченную пару, удовлетворяющую обоим уравнениям, это точка на обеих прямых и, следовательно, точка пересечения двух прямых. См. (Рисунок).

Определите, является ли заказанная пара решением для следующей системы.

Решение систем уравнений с помощью построения графиков

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений. Для системы линейных уравнений с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, построив систему уравнений на одном и том же наборе осей.

Решение системы уравнений с двумя переменными с помощью построения графиков

Решите следующую систему уравнений, построив график. Определите тип системы.

Решите следующую систему уравнений, построив график.

Решение системы — заказанная пара

Можно ли использовать построение графиков, если система несовместима или зависима?

Да, в обоих случаях мы все еще можем построить график системы для определения типа системы и решения.Если две линии параллельны, система не имеет решения и непоследовательна. Если две линии идентичны, система имеет бесконечное количество решений и является зависимой системой.

Решение систем уравнений подстановкой

Решение линейной системы с двумя переменными с помощью построения графиков хорошо работает, когда решение состоит из целых значений, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод. Мы рассмотрим еще два метода решения системы линейных уравнений, которые более точны, чем построение графиков.Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки, в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение, чтобы найти вторую переменную. Напомним, что мы можем решать только одну переменную за раз, поэтому метод подстановки является одновременно ценным и практичным.

Для системы двух уравнений с двумя переменными решите, используя метод подстановки.

  1. Решите одно из двух уравнений относительно одной из переменных через другую.
  2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем решите для оставшейся переменной.
  3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
  4. Проверьте решение в обоих уравнениях.

Решение системы уравнений с двумя переменными подстановкой

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

Можно ли методом подстановки решить любую линейную систему с двумя переменными?

Да, но этот метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения

Третий метод решения систем линейных уравнений — метод сложения.В этом методе мы складываем два члена с одинаковой переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю. Конечно, не все системы созданы с двумя членами одной переменной, имеющими противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения умножением, чтобы одна переменная была исключена сложением.

Для данной системы уравнений используйте метод сложения.

  1. Запишите оба уравнения с переменными x и y слева от знака равенства и константами справа.
  2. Напишите одно уравнение над другим, выровняв соответствующие переменные. Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
  3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
  4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и решите вторую переменную.
  5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Решение системы методом сложения

Решите данную систему уравнений сложением.

Анализ

Мы получаем важное представление о системах уравнений, глядя на графическое представление. См. (Рисунок), чтобы увидеть, что уравнения пересекаются в решении.Нам не нужно спрашивать, может ли быть второе решение, потому что наблюдение за графиком подтверждает, что система имеет ровно одно решение.

Использование метода сложения, когда требуется умножение одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения.

Решите систему уравнений сложением.

Использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

Использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

Решите систему уравнений сложением.

Определение несовместимых систем уравнений, содержащих две переменные

Теперь, когда у нас есть несколько методов решения систем уравнений, мы можем использовать эти методы для выявления несовместимых систем. Вспомните, что противоречивая система состоит из параллельных линий с одинаковым наклоном, но с разными точками пересечения.Они никогда не пересекутся. При поиске решения несовместимой системы мы получим ложное утверждение, например

.

Решение несовместимой системы уравнений

Решите следующую систему уравнений.

Анализ

Запись уравнений в форме пересечения наклона подтверждает, что система несовместима, потому что все линии в конечном итоге будут пересекаться, если они не параллельны. Параллельные линии никогда не пересекаются; таким образом, у этих двух линий нет общих точек.Графики уравнений в этом примере показаны на (Рисунок).

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

Нет решения. Это противоречивая система.

Выражение решения системы зависимых уравнений, содержащих две переменные

Напомним, что зависимая система уравнений с двумя переменными — это система, в которой два уравнения представляют одну и ту же линию. Зависимые системы имеют бесконечное количество решений, потому что все точки на одной линии также находятся на другой линии.После использования замены или сложения результирующее уравнение будет тождественным, например

.

Поиск решения зависимой системы линейных уравнений

Найдите решение системы уравнений, используя метод сложения.

Анализ

Если бы мы переписали оба уравнения в форме пересечения наклона, мы могли бы знать, как будет выглядеть решение перед добавлением. Давайте посмотрим, что происходит, когда мы преобразуем систему в форму с пересечением наклона.

См. (Рисунок).Обратите внимание, что результаты такие же. Общее решение системы —

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

Система является зависимой, поэтому существует бесконечное количество решений вида

Использование систем уравнений для исследования прибыли

Используя то, что мы узнали о системах уравнений, мы можем вернуться к проблеме производства скейтбордов в начале раздела. Функция дохода производителя скейтборда — это функция, используемая для расчета суммы денег, поступающей в бизнес.Его можно представить уравнением где количество и цена. Функция дохода показана оранжевым цветом на (Рисунок).

Функция затрат — это функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса. Он включает постоянные затраты, такие как аренда и заработная плата, и переменные затраты, такие как коммунальные услуги. Функция стоимости показана синим цветом на (Рисунок). Ось представляет количество в сотнях единиц. Ось y представляет собой стоимость или доход в сотнях долларов.

Точка пересечения двух линий называется точкой безубыточности.Из графика видно, что если произведено 700 единиц, стоимость составит 3300 фунтов стерлингов, а выручка также составит 3300 фунтов стерлингов. Другими словами, компания сломается, даже если произведет и продаст 700 единиц. Они не зарабатывают и не теряют деньги.

Заштрихованная область справа от точки безубыточности представляет объемы, от которых компания получает прибыль. Заштрихованная область слева представляет объемы, по которым компания терпит убытки. Функция прибыли — это функция дохода за вычетом функции затрат, записанная как «Ясно», поскольку знание количества, для которого затраты равны выручке, имеет большое значение для бизнеса.

Определение точки безубыточности и функции прибыли с помощью замещения

По заданной функции затрат и функции дохода найдите точку безубыточности и функцию прибыли.

Анализ

Стоимость производства 50 000 единиц составляет 77 500 фунтов стерлингов, а выручка от продажи 50 000 единиц также составляет 77 500 фунтов стерлингов. Чтобы получить прибыль, бизнес должен произвести и продать более 50 000 единиц. См. (Рисунок).

Из графика на (Рисунок) видно, что функция прибыли имеет отрицательное значение до тех пор, пока график не пересечет ось x .Затем график переходит в положительные значения y и продолжает движение по этому пути, поскольку функция прибыли представляет собой прямую линию. Это показывает, что точка безубыточности для предприятий наступает, когда функция прибыли равна 0. Область слева от точки безубыточности представляет работу с убытками.

Написание и решение системы уравнений с двумя переменными

Стоимость билета в цирк для детей и для взрослых. В определенный день посещаемость цирка равна, а общий доход от ворот — Сколько детей и сколько взрослых купили билеты?

Билеты в цирк для детей и взрослых.Билеты Ifmeal были куплены на то, сколько детей и сколько взрослых купили билеты на питание?

Ключевые понятия

  • Система линейных уравнений состоит из двух или более уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.
  • Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо. См. (Рисунок).
  • Системы уравнений классифицируются как независимые с одним решением, зависимые с бесконечным числом решений или несовместимые с отсутствием решения.
  • Один из методов решения системы линейных уравнений с двумя переменными — построение графиков. В этом методе мы строим уравнения на одном и том же наборе осей. См. (Рисунок).
  • Другой метод решения системы линейных уравнений — подстановка. В этом методе мы решаем одну переменную в одном уравнении и подставляем результат во второе уравнение. См. (Рисунок).
  • Третий метод решения системы линейных уравнений — это сложение, в котором мы можем исключить переменную, добавив противоположные коэффициенты соответствующих переменных.См. (Рисунок).
  • Часто необходимо умножить одно или оба уравнения на константу, чтобы упростить исключение переменной при сложении двух уравнений. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
  • Любой метод решения системы уравнений приводит к ложному утверждению для несовместимых систем, потому что они состоят из параллельных линий, которые никогда не пересекаются. См. (Рисунок).
  • Решение системы зависимых уравнений всегда будет верным, потому что оба уравнения описывают одну и ту же линию.См. (Рисунок).
  • Системы уравнений могут использоваться для решения реальных задач, которые включают более одной переменной, например, относящиеся к выручке, затратам и прибыли. См. (Рисунок) и (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

Может ли система линейных уравнений иметь ровно два решения? Объясните, почему да или почему нет.

Нет, у вас может быть ноль, один или бесконечно много. Изучите графики.

Если вы выполняете анализ безубыточности для бизнеса и их уравнения затрат и доходов зависят друг от друга, объясните, что это означает для рентабельности компании.

Если вы решаете анализ безубыточности и получаете отрицательную точку безубыточности, объясните, что это означает для компании?

Это означает, что реальной точки безубыточности нет. К тому времени, когда компания производит одну единицу, они уже получают прибыль.

Если вы выполняете анализ безубыточности, а точки безубыточности нет, объясните, что это означает для компании. Как им обеспечить точку безубыточности?

Дана система уравнений, объясните хотя бы два различных метода решения этой системы.

Вы можете решить заменой (выделением или), графически или сложением.

Графический

Для следующих упражнений нарисуйте систему уравнений в виде графика и укажите, является ли система непротиворечивой, несовместимой или зависимой и имеет ли система одно решение, нет решения или бесконечное количество решений.

В одном решении

В одном решении

Зависит от бесконечного множества решений

Технологии

В следующих упражнениях используйте функцию пересечения на графическом устройстве для решения каждой системы.Округлите все ответы до сотых.

Реальные приложения

Для следующих упражнений найдите желаемое количество.

У бизнеса по производству чучел животных есть общие затраты на производство и функция выручки Найдите точку безубыточности.

У ресторана быстрого питания есть производственные затраты и функция выручки Когда компания начинает получать прибыль?

Они никогда не приносят прибыли.

У завода по производству сотовых телефонов есть стоимость производства и функция дохода. Какова точка безубыточности?

Музыкант — это общее количество участников концерта. Стоимость билета составляет 80 евро за билет. После того, как сколько людей купит билеты, место проведения станет безубыточным, и какова общая стоимость билетов, проданных в этот момент?

Завод по производству гитар имеет себестоимость производства. Если компании необходимо выйти на уровень безубыточности после продажи 150 единиц, по какой цене они должны продавать каждую гитару? Округлите до ближайшего доллара и напишите функцию дохода.

Для следующих упражнений используйте систему линейных уравнений с двумя переменными и двумя уравнениями для решения.

Найдите два числа, сумма которых равна 28, а разность — 13.

Цифры 7,5 и 20,5.

Число на 9 больше, чем другое число. Дважды сумма двух чисел равна 10. Найдите два числа.

Стартовая стоимость ресторана составляет 120 000 фунтов стерлингов, а приготовление каждого обеда стоит 10 фунтов стерлингов. Если после этого каждое блюдо будет продаваться по 15 евро, после скольких обедов ресторан выйдет на уровень безубыточности?

Транспортная компания взимает фиксированную ставку в размере 150 фунтов стерлингов и дополнительно 5 фунтов стерлингов за каждую коробку.Если служба такси будет взимать 20 фунтов стерлингов за каждую коробку, сколько коробок вам потребуется, чтобы было дешевле использовать транспортную компанию, и какова будет общая стоимость?

Всего на митинг собралось 1595 студентов первого и второго курсов колледжей. Количество первокурсников превышало количество второкурсников на 15. Сколько первокурсников и второкурсников присутствовало на занятиях?

790 второкурсников, 805 первокурсников

На первый курс химии зачислено 276 студентов. К концу семестра в 5 раз больше студентов было признано неуспешным.Найдите количество сдавших экзамен и количество сдавших экзамен.

На конференции присутствовало 130 преподавателей. Если бы на конференции присутствовало на 18 женщин больше, чем мужчин, сколько представителей каждого пола посетило конференцию?

Джип и BMW выезжают на шоссе, идущее с востока на запад, на одном выезде, двигаясь в противоположных направлениях. Джип выехал на шоссе на 30 минут раньше BMW и разогнался на 7 миль в час медленнее, чем BMW. По прошествии 2 часов с момента выезда BMW на шоссе было 306 машин.5 миль друг от друга. Найдите скорость каждой машины, предполагая, что они ездили в режиме круиз-контроля.

Если ученый смешал 10% физиологический раствор с 60% физиологическим раствором, чтобы получить 25 галлонов 40% физиологического раствора, сколько галлонов 10% и 60% растворов было смешано?

10 галлонов 10% раствора, 15 галлонов 60% раствора

Инвестор заработала втрое больше, чем она заработала в прошлом году. Если она заработала 500 000,48 фунтов стерлингов за оба года, сколько она зарабатывала прибыли каждый год?

Инвестор, который балуется недвижимостью, вложил 1.1 миллион долларов в две инвестиции в землю. При первой инвестиции, Swan Peak, ее доход увеличился на 110% на вложенные деньги. Во втором вложении, Riverside Community, она заработала на 50% больше, чем вложила. Если она заработала 1 миллион фунтов прибыли, сколько она инвестировала в каждую сделку с землей?

Лебединый пик: 750 000 евро, Риверсайд: 350 000 евро

Если инвестор инвестирует в общей сложности 25000 фунтов стерлингов в две облигации, одна из которых выплачивает 3% простых процентов, а другая —

.

 *** QuickLaTeX не может составить формулу:
\ text {\ hspace {0.17em}} 2 \ frac {7} {8} \ text {%} \ text {\ hspace {0.17em}}

*** Сообщение об ошибке:
Файл завершился при сканировании использования \ text @.
Экстренная остановка.

 

процентов, а инвестор зарабатывает? 737,50 годовых, сколько было вложено в каждый счет?

Если инвестор инвестирует 23 000 евро в две облигации, одна из которых выплачивает 4% простых процентов, а другая — 2% простых процентов, и инвестор зарабатывает 710,00 евро в год, сколько было вложено на каждый счет?

–12 500 на первом счете, 10 500 евро на втором счете.

компакт-дисков стоят на 5,96 евро дороже, чем DVD при All Bets Are Off Electronics. Сколько будут стоить 6 CD и 2 DVD, если будут стоить 5 CD и 2 DVD? 127,73?

Продавец продала 60 пар кроссовок. Высокие кеды продавались за 98,99 фунтов стерлингов, а низкие — за 129,99 фунтов стерлингов. Если выручка от двух типов продаж составила 6 404,40 евро, сколько кроссовок каждого типа было продано?

Высокие: 45, Низкие: 15

Концертный менеджер насчитал 350 билетов на следующий день после концерта.Стоимость студенческого билета составляла 12,50 евро, а взрослого — 16,00 евро. В реестре подтверждено, что было принято 5 075 евро. Сколько было продано студенческих и взрослых билетов?

Вход в парк развлечений для 4 детей и 2 взрослых — 116,90 евро. Для 6 детей и 3 взрослых входной билет — 175,35 евро. Если предположить, что цена для детей и взрослых разная, какова цена детского билета и цена взрослого билета?

Бесконечно много решений.Нам нужна дополнительная информация.

Иллюстративная математика

Задача

Лиза работает с системой уравнений $ x + 2y = 7 $ и $ 2x — 5y = 5 $. Она умножает первое уравнение на 2, а затем вычитает второе уравнение, чтобы найти $ 9y = 9 $, говоря ей, что $ y = 1 $. Затем Лиза находит, что $ x = 5 $. Размышляя об этой процедуре, Лиза удивляется

Есть много способов решить эту проблему. Я мог бы сложить первое уравнение 5 раз и дважды второе или умножить первое уравнение на -2 и добавить второе.Кажется, я обнаружил, что есть только одно решение для двух уравнений, но мне интересно, получу ли я такое же решение, если использую другой метод?

  1. Каков ответ на вопрос Лизы? Объяснять. Â
  2. Изменится ли ответ на (а), если у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными без решений? Что делать, если решений бесконечно много?

Комментарий IM

Цель этого задания — помочь студентам убедиться в применимости метода исключения для решения систем двух уравнений с двумя неизвестными.То есть новая система уравнений, полученная с помощью этого метода, имеет то же решение (я), что и исходная система. Это тонкий и жизненно важный момент, хотя студенты должны быть знакомы с выполнением этой процедуры, прежде чем приступить к работе с этой задачей.

Нетрудно убедиться, что решение исходной системы уравнений также является решением новой системы. Однако ключ к успеху метода исключения состоит в том, что все шаги алгоритма обратимы. Вот почему решение более простой системы уравнений также является решением исходной системы.Это можно увидеть геометрически, если взять уравнение, кратное уравнению, поскольку, например, $ x + 2y = Â 7 $ и $ 2x + 4y = 14 $ определяют одну и ту же линию на плоскости. Однако геометрическая интуиция теряется, когда уравнения добавляются или вычитаются, поскольку это создает новую линию, имеющую ту же точку пересечения с линией, определяемой $ 2x — 5y = 5 $.

Одновременные уравнения — математика GCSE, версия

Одновременные уравнения и линейные уравнения, после изучения этого раздела вы сможете:

  • решить совместные линейные уравнения заменой
  • решить одновременные линейные уравнения методом исключения
  • решать одновременные линейные уравнения с помощью прямолинейных графиков

Если уравнение имеет два неизвестных, например 2y + x = 20, оно не может иметь уникальных решений.Для двух неизвестных требуется два уравнения, которые решаются одновременно (одновременно), но даже в этом случае два уравнения с двумя неизвестными не всегда дают однозначные решения.

На видео ниже показаны примеры одновременных уравнений. Пошаговый пример показывает, как сгруппировать похожие термины, а затем добавить или вычесть, чтобы удалить одно из неизвестных, чтобы оставить одно неизвестное для решения.

Этот метод называется решением путем подстановки .

Он включает в себя то, что он говорит — подстановку — с использованием одного из уравнений для получения выражения в форме «y =…» или «x =…» и подстановки его в другое уравнение. Это дает уравнение с одним неизвестным, которое можно решить обычным способом. Затем это значение подставляется в одно или другое исходное уравнение, получая уравнение с одним неизвестным.

ПРИМЕЧАНИЕ: При использовании этого метода вам нужно особенно внимательно относиться к алгебре. Если ваши решения представляют собой «странные» дроби, такие как 9/13, скорее всего, вы допустили ошибку — проверьте свою алгебру.

Пример

Решите два одновременных уравнения:

2y + x = 8 [1]

1 + y = 2x [2]

из [2] y = 2x -1 ← вычесть по 1 с каждой стороны

Подстановка этого значения для y в [1] дает:

2 (2x — 1) + x = 8

4x — 2 + x = 8 ← раскрыть скобки

5x — 2 = 8 ← убрать

5x = 10 ← Добавить по 2 в каждую сторону

x = 2 ← Разделив обе части на 5, можно найти значение x.

Подставляем значение x в y = 2x — 1 дает

у = 4 — 1 = 3

Итак, x = 2 и y = 3

ПРИМЕЧАНИЕ:

  • Хорошая идея — пометить каждое уравнение. Это поможет вам объяснить, что вы делаете, и принесет вам баллы за методику.
  • Это значение x можно подставить в уравнение [1] или [2] или в выражение для y: y = 2x — 1.
  • Выбери самый простой!
  • Для проверки подставьте значения обратно в каждое из двух исходных уравнений.

Второй метод называется решением методом исключения.

ПРИМЕЧАНИЕ. Этот метод не так сложен, как может показаться на первый взгляд, но он помогает, если вы знаете, почему он работает.

Работает благодаря двум свойствам уравнений:

  • Умножение (или деление) выражения с каждой стороны на одно и то же число не меняет уравнения.
  • Добавление двух уравнений дает еще одно действительное уравнение:
    , например.2x = x + 10 (x = 10) и x — 3 = 7 (x также = 10).
    Сложение уравнений дает 2x + x — 3 = x + 10 + 7 (x также = 10).

Цель состоит в том, чтобы манипулировать двумя уравнениями так, чтобы при объединении либо член x, либо член y исключался (отсюда и название) — полученное уравнение только с одним неизвестным может быть решено:

Здесь мы будем манипулировать одним из уравнений так, чтобы при его объединении с другим уравнением выпадали члены x или y. В этом примере член x будет выпадать, давая решение для y.Затем это подставляется в одно из исходных уравнений.

Обозначьте свои уравнения, чтобы знать, с какими из них вы работаете на каждом этапе.

Уравнение [1]: 2y + x = 8

Уравнение [2]: 1 + y = 2x

Измените одно уравнение так, чтобы оно было похоже на другое.

[2] y — 2x = -1

также 2 x [1] дает 4y + 2x = 16, что мы называем [3]

[2] y — 2x = -1

[3] 4y + 2x = 16

[2] + [3] дает 5y = 15

, поэтому y = 3

замена y = 3 в [1] дает 1 + (3) = 2x

, поэтому 2x = 4, что дает x = 2 и y = 3

Решение одновременных линейных уравнений с использованием прямолинейных графиков

Две линии представляют собой уравнения «4x — 6y = -4» и «2x + 2y = 6».

Есть только одна точка, в которой пересекаются два уравнения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.