Квадратный корень из 0 5: Mathway | Популярные задачи

{2} — 2 x + 25} + 5 > 0$$

        ________________________    
       /        2   2*(-1)          
5 -   /  4*-1/10  - ------ + 25  > 0
    \/                10            
      _____    
    \/ 631     
5 - ------- > 0
       5       
    

Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 0 \wedge x

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Содержание

Что Такое Квадратный Корень Из 111?

Это мой первый ответ на Quora.

В ответе на вопрос: что такое квадратный корень из 111?

Отказ от ответственности № 1:

Математики, пожалуйста, обратите внимание на некоторые ошибки в моей символике.

О, и не сжигайте меня на кону за то, что я не использую математические символы, доступные здесь на Quora.

Отказ от ответственности № 2: В ЭТОМ ОТВЕТЕ НЕТ ПРИБЛИЖЕНИЯ.

Возможно, вы не знакомы с этим расчетом квадратного корня.

Сначала мы начнем с ближайшего целого квадратного корня из него.

100 Вы можете спросить: почему вы предположили, что ближайший квадратный корень равен 100?

Я заметил, что разница между целыми квадратными корнями: 1 + 2 = 3, (Ans + 2)

Повторите объявление. (Пока вы не наберете номер, который хотите получить в квадратном корне)

Вот практический пример этого: 1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4, разница между числами равна 3, давайте продолжим: 3 * 3 = 9, разница: 5, 4 * 4 = 16, разница: 7. Вы видите образец здесь?

Итак, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100, если я добавлю 21, это за крышу. Ближайший квадратный корень — 100

Давайте продолжим: разница между 111 и 100 составляет 11. Если мы обменяем кратные значения на ближайший квадратный корень (100 = 10 * 10) для дополнений (числа, которые мы добавляем, а не те, которые превосходны в английском языке), результат будет: 20. Разделите результаты (11 и 20).

11/20= 0,55

Давайте посмотрим на квадратный корень из 111 с помощью калькулятора:

√111= 10,53565375

Не очень точно. Давай продолжим. 11/20, но на этот раз мы добавим результат этого деления ко второму числу в проблеме.

11/20,55=0,535279805

Это диаметрально ближе, чем первый результат. Давай сделаем это снова.

11/20,535279805=0,535663507

Почти готово! Продолжение …

11/20,535663507=0,535653498

Нормальные люди остановились бы там из-за высокой точности. Тем не менее, давайте продолжим.

11/20,535653498=0,535653759

Если вы довольны результатом, добавьте его к ближайшему целому квадратному корню.

10+0,535653759= 10,535653759

√111= 10,53565375

10 + 0,535653759 = 10,535653759 = √111 = 10,53565375 (да, √111, вероятно, иррационально, так что это больше похоже на: 10 + 0,535653759≈√111)

Я думаю, что я решил квадратный корень из 111.

Если вы хотите, вы можете сделать это со всеми числами от 0,0000000000000 …… 1 до бесконечности (в переносном смысле)

Давайте сделаем это с √2, так что вы видите, я не лгу. Давайте пропустим это раздражающее добавление 1 к проблеме.

√2=1/2=0,5

√2=1/2.5=0,4

√2=1/2.4=0,41666….

√2=1/2,416666666..=0,413793103

√2=1/2,413793103=0,414285714

√2=1/2,414285714=0,414201183

√2=1/2,414201183=0,414215686

√2=1/2,414215686=0,414213198

√2=1/2,414213198=0,414213624

√2=1/2,414213624=0,414213551

√2=1/2,414213564=0,414213562

√2=1/2,414213562=0,414213562

Результат стабилизировался, поэтому я предполагаю, что √2≈ 1,414213562

Давайте посмотрим на калькулятор: √2≈1,414213562. Волнообразный знак равенства существует потому, что √2 проверяема иррационально.

Некоторые интересные факты об этом методе: чем меньше число с квадратным корнем, тем меньше точность.

Этот метод также можно использовать для чисел, меньших 1, вам просто нужно подсчитать полученный результат.

Пример :

√0,5= 0,5/2=0,25

√0,5= 0,5/(2–0,25)=0,5/1,75=0,285714285

√0,5= 0,5/(2–0,285714285)=0,29166666…

√0,5= 0,5/(2–0,291666666)=0,292682926

√0,5= 0,5/(2–0,292682926)=0,292857142

√0,5= 0,5/(2–0,292857142)=0,292887029

√0,5= 0,5/(2–0,292887029)=0,292892156

√0,5= 0,5/(2–0,292892156)=0,292893036

√0,5= 0,5/(2–0,292893036)=0,292893187

√0,5= 0,5/(2–0,292893187)=0,292893213

√0,5= 0,5/(2–0,292893213)=0,292893217

√0,5= 0,5/(2–0,292893217)=0,292893218

√0,5= 0,5/(2–0,292893218)=0,292893218

√0,5= 1–0,292893218=0,707106781

Я предполагаю, что √0,5 = 0,707106781

√0,5=0,707106781

Постскриптум Вероятно, кто-то обнаружил этот метод раньше, чем я. Тем не менее, я просмотрел Интернет с ног на голову и ничего не нашел.

Постскриптум 2 Я узнал этот метод, когда играл в калькулятор по дороге в школу.

Постскриптум 3 Прямо сейчас я пытаюсь сделать калькулятор на языке C, который может вычислить квадратный корень этим методом. Помощь будет оценена.

Постскриптум 4 Возможно, карманные калькуляторы используют этот метод прямо сейчас, но у меня нет доступа к их методу расчета. Я не хожу ни в какой колледж STEM или даже в среднюю школу. Мне всего 13 лет.

Извините за мой средний английский, а не носитель языка.

Исправьте мои ошибки в комментариях или в личке, пожалуйста. Спасибо за чтение моего ответа.

правок:

методы умножения, примеры с объяснением

Известно, что знак корня  является квадратным корнем из некоторого числа. Однако знак корня означает не только алгебраическое действие, но и применяется в деревообрабатывающем производстве — в расчете относительных размеров.

Если вы хотите узнать, как умножить корни «с» или «без» множителей, то эта статья для вас. В ней мы рассмотрим методы умножения корней:

  • без множителей;
  • с множителями;
  • с разными показателями.

Метод умножения корней без множителей

Алгоритм действий:

Убедиться, что у корня одинаковые показатели (степени). Вспомним, что степень записывается слева над знаком корня. Если нет обозначения степени, это значит, что корень квадратный, т.е. со степенью 2, и его можно умножать на другие корни со степенью 2.

Пример

Пример 1: 18×2=?

Пример 2: 10×5=?

Пример 3: 33×93=?

Далее необходимо перемножить числа под корнем. 

Пример

Пример 1: 18×2=36

Пример 2: 10×5=50

Пример 3: 33×93=273

Упростить подкоренные выражения. Когда мы умножаем корни друг на друга, мы можем упростить полученное подкоренное выражение до произведения числа (или выражения) на полный квадрат или куб:

Пример

Пример 1: 36=6. 36 — квадратный корень из шести (6×6=36).

Пример 2: 50=(25×2)=(5×5)×2=52. Число 50 раскладываем на произведение 25 и 2. Корень из 25 — 5, поэтому выносим 5 из-под знака корня и упрощаем выражение.

Пример 3: 273=3. Кубический корень из 27 равен 3: 3×3×3=27.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Метод умножения показателей с множителями

Алгоритм действий:

Умножить множители. Множитель — число, которое стоит перед знаком корня. В случае отсутствия множителя, он, по умолчанию, считается единицей. Далее необходимо перемножить множители:

Пример

Пример 1: 32×10=3?3×1=3

Пример 2: 43×36=12?4×3=12

Умножить числа под знаком корня. Как только вы перемножили множители, смело умножайте числа, стоящие под знаком корня:

Пример

Пример 1: 32×10=3(2×10)=320

Пример 2: 43×36=12(3×6)=1218

Упростить подкоренное выражение. Далее следует упростить значения, которые стоят под знаком корня, — требуется вынести соответствующие числа за знак корня. После этого, необходимо перемножить числа и множители, которые стоят перед знаком корня:

Пример

Пример 1: 320=3(4×5)=3(2×2)×5=(3×2)5=65

Пример 2: 1218=12(9×2)=12(3×3)×2=(12×3)2=362

Метод умножения корней с разными показателями

Алгоритм действий:

Найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей. Наименьшее общее кратное — наименьшее число, делящееся на оба показателя.

Пример

Необходимо найти НОК показателей для следующего выражения: 

53×22

Показатели равны 3 и 2. Для этих двух чисел наименьшим общим кратным является число 6 (оно делится без остатка и на 3, и на 2). Для умножения корней необходим показатель 6.

Записать каждое выражение с новым показателем:

56×26

Найти числа, на которые нужно умножить показатели, чтобы получить НОК.

В выражении 53 необходимо умножить 3 на 2, чтобы получить 6. А в выражении 22 — наоборот, необходимо умножить на 3, чтобы получить 6.

Возвести число, которое стоит под знаком корня, в степень равную числу, которое было найдено в предыдущем шаге. Для первого выражения 5 нужно возвести в степень 2, а втором — 2 в степень 3:

2→56=5263→26=236

Возвести в степень выражения и записать результат под знаком корня:

526=(5×5)6=256236=(2×2×2)6=86

Перемножить числа под корнем:

(8×25)6

Записать результат:

(8×25)6=2006

По возможности необходимо упростить выражение, но в данном случае оно не упрощается.

Квадратный трехчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком


Тема 3.


Квадратный трёхчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители.


Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax2 + bx + c, где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0.


Если x = 2, то 2x2 — 5x — 3 = 2 ∙ 22 — 5 ∙ 2 — 3 = -5


Если x = -5, то 2x2 — 5x — 3 = 2 ∙ (-5)2 — 5 ∙ (-5) — 3 = 72


Если x = 3, то 2x2 — 5x — 3 = 2 ∙ 32 — 5 ∙ 3 — 3 = 0


Корень квадратного трёхчлена – это значение переменной, при котором значение квадратного трёхчлена равно 0.


Чтобы найти корни квадратного трёхчлена ax2 + bx + c, необходимо решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0.


2x2 — 5x — 3 = 0


D = 25 — 4 ∙ 2 ∙ -3 = 49


x1=5+74=3


x1=5-74=-0,5


Ответ: -0,5; 3


Количество корней зависит от дискриминанта.


Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет 2 корня;


Если D = 0, то квадратный трехчлен имеет 1 корень;


Если же D


При решении задач иногда удобно выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена.


Например, выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена x2 – 6x – 2.


Вспомним формулы сокращенного умножения:


  1. a+b2=a2+2ab+b2

  2. a-b2=a2-2ab+b2


x2-6x-2=x2-6x+9-9-2=x-32-11


При решении уравнений, неравенств удобно, когда квадратный трёхчлен представлен в виде произведения множителей, например


-2×2+14x-20=-2×2-7x+10=-2×2-2x-5x+10=-2xx-2-5x-2=-2x-2x-5


х = 2 и х = 5 – корни квадратного трехчлена.


Таким образом, ax2+bx+c=ax-x1x-x2,


где x1, x2— корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c.


Разложить на множители 3×2+5x-2


3×2+5x-2=0


D=52-4∙3∙-2=49


x1=-5+76=26=13


x2=-5-76=-126=-2


3×2+5x-2=3x-13x—2


3×2+5x-2=3x-1x+2

Квадратный корень в Excel — НА ПРИМЕРАХ

В статье показано, как найти квадратный корень в Excel, а также как вычислить корень n-ой степени.

Возведение числа в квадрат и извлечение квадратного корня – очень распространенные операции в математике. Но как извлечь квадратный корень в Excel? Либо используя функцию КОРЕНЬ, либо возвести число в степень 1/2. Рассмотрим конкретные примеры.

Как найти квадратный корень в Excel с использованием функции КОРЕНЬ

Самый простой способ найти квадратный корень в Excel – это использовать специально разработанную для этого функцию:

=КОРЕНЬ(число)

где число – это число или ссылка на ячейку, содержащую число, для которого вы хотите найти квадратный корень. 0,5.

Как показано на изображении ниже, функция КОРЕНЬ в Excel и формула экспоненты дают одинаковые результаты:

Квадратный корень в Excel – Поиск квадратного корня с использованием экспоненты

Как найти квадратный корень функцией СТЕПЕНЬ

Функция СТЕПЕНЬ — это еще один способ найти квадратный корень в Excel, т. е. возвести число в степень 1/2.

Синтаксис функции СТЕПЕНЬ выглядит следующим образом:

=СТЕПЕНЬ(число; степень)

Соответственно, чтобы получить квадратный корень, вы задаете аргумент степень равным 1/2. Например:

=СТЕПЕНЬ(A2, 1/2)

Как показано на изображении ниже, все три формулы с квадратным корнем в Excel дают одинаковый результат:

Квадратный корень в Excel – Найти квадратный корень с помощью функции СТЕПЕНЬ

Как посчитать корень n-ой степени

Формула экспоненты, рассмотренная выше, не ограничивается поиском только квадратного корня. (1/5)

Квадратный корень в Excel – Извлечь корень n-ой степени

Чтобы выполнить несколько вычислений с помощью одной формулы, как в приведенном выше примере, используйте знак доллара ($). Для получения дополнительной информации см. статью Абсолютные и относительные ссылки в Excel.

Вот такими способами вы можете извлечь квадратный корень в Excel.

Извлечение корня из большого числа

А у вас есть зависимость от калькулятора? Или вы считаете, что кроме как с калькулятором или при помощи таблицы квадратов очень сложно вычислить, например, .

Случается, школьники привязаны к калькулятору и даже 0,7 на 0,5 умножают, нажимая на заветные кнопочки. Говорят, ну я все равно знаю как посчитать, а сейчас сэкономлю время… Вот будет  экзамен… тогда и напрягусь…

Так дело в том, что на экзамене и так будет предостаточно «напряжных моментов»… Как говорится, вода камень точит. Вот и на экзамене мелочи, если их много, способны подкосить…

Давайте минимизируем количество возможных неприятностей.

Извлекаем квадратный корень из большого числа

Мы будем говорить сейчас только о случае, когда результат извлечения корня квадратного – целое число.

Случай 1.

Итак, пусть нам во что-бы то ни стало (например,  при вычислении дискриминанта) нужно вычислить корень квадратный из 86436.

Мы будем раскладывать число 86436 на простые множители. Делим на 2, – получаем 43218; снова делим на 2, – получаем 21609. На 2 больше нацело число не делится. Но так как сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3 (вообще говоря, видно, что оно и на 9 делится). . Еще раз делим на 3, – получаем  2401. 2401 на 3 нацело не делится. На пять не делится (не оканчивается цифрой 0 или 5).

Подозреваем делимость на 7. Действительно,  а ,

Итак, Полный порядок!

Поэтому

Случай 2.

Пусть нам нужно вычислить . Действовать так же, как описано выше, неудобно. Пытаемся разложить на простые множители…

На 2 число 1849 нацело не делится (не является четным)…

На 3 нацело не делится (сумма цифр не кратна 3)…

На 5 нацело не делится (последняя цифра – не 5 и не 0)…

На 7 нацело не делится, на 11 не делится, на 13 не делится… Ну и долго нам так перебирать все простые числа?

Будем рассуждать несколько иначе.

Мы понимаем, что

,

то есть

или

Мы сузили круг поиска. Теперь перебираем числа от 41 до 49. Причем ясно, что раз последняя цифра числа – 9, то останавливаться стоит на вариантах 43 или 47, – только эти  числа при возведении в квадрат дадут последнюю цифру 9.

Ну и тут уже, конечно, мы останавливаемся на 43. Действительно,

P.S. А как, ксатати, мы умножаем 0,7 на 0,5?

Следует умножить 5 на 7, не обращая внимание на нули и знаки, а потом отделить, идя справа налево, два знака запятой. Получаем 0,35.

Смотрите также «Отдельные случаи вычисления дискриминанта».

Использование возведения в степень **0.5 менее эффективно, чем math.sqrt?

Цитата из » Python Программирование: введение в информатику »

Мы могли бы взять квадратный корень
, используя возведение в степень **., используя
math.sqrt несколько эффективнее. 12345

  • У Bigdecimal Возведения В Степень

    Я создаю пользовательский класс BigDecimal (для практики и от скуки) и имею пользовательские алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления, и я хотел бы сделать функцию для возведения в степень, но поскольку степень с десятичной частью включает n-корни, я не могу придумать простого способа…



  • 16

    Теоретически ответ хаммара и ответ даффимо-хорошие догадки. Но на практике, на моей машине, это не более эффективно:

    >>> import timeit
    >>> timeit.timeit(stmt='[n ** 0.5 for n in range(100)]', setup='import math', number=10000)
    0.15518403053283691
    >>> timeit.timeit(stmt='[math.sqrt(n) for n in range(100)]', setup='import math', number=10000)
    0.17707490921020508
    

    Частью проблемы является операция . . Если вы импортируете sqrt непосредственно в пространство имен, вы получите небольшое улучшение.

    >>> timeit.timeit(stmt='[sqrt(n) for n in range(100)]', setup='from math import sqrt', number=10000)
    0.15312695503234863
    

    Ключевое слово там: незначительный .

    Дальнейшее тестирование показывает, что по мере увеличения числа увеличивается выгода от использования sqrt . Но все же не намного!

    >>> timeit.timeit(stmt='[n ** 0.5 for n in range(1000000)]', setup='import math', number=1)
    0.18888211250305176
    >>> timeit.timeit(stmt='[math.sqrt(n) for n in range(1000000)]', setup='import math', number=1)
    0.18425297737121582
    >>> timeit.timeit(stmt='[sqrt(n) for n in range(1000000)]', setup='from math import sqrt', number=1)
    0.1571958065032959
    

    Поделиться


    senderle    

    09 июля 2011 в 21:35



    11

    Не нужно угадывать реализацию, мы можем прочитать код!

    math. sqrt -это тонкая обертка около sqrt из стандартной библиотеки C: см. mathmodule.c, строка 956

    Оператор ** имеет несколько реализаций в зависимости от типов аргументов, но в случае экспоненты с плавающей запятой он в конечном итоге отправляется в pow из стандартной библиотеки C (см. строку floatobject.c 783 ).

    Современные CPUs часто имеют специальные инструкции квадратного корня, которые общие процедуры возведения в степень не используют (сравните и сравните реализации pow и sqrt в glibc для x86-64, например). Но как только все накладные расходы интерпретатора будут добавлены (байтовые коды, проверка типов, отправка методов и т. д.), Разница в необработанной скорости не будет иметь большого значения, и в ней могут доминировать такие проблемы, как вызов sqrt напрямую или поиск его через модуль math (как показано в других ответах).

    Поделиться


    Gareth Rees    

    09 июля 2011 в 22:28



    1

    ** должен поддерживать любой показатель степени, в то время как math.sqrt знает, что это всегда 0.5 . math.sqrt поэтому может использовать более специализированный (и поэтому, вероятно, более эффективный) алгоритм.

    Поделиться


    hammar    

    09 июля 2011 в 21:33


    • Возведение в степень в Python — должен ли я предпочесть оператор ** вместо math.pow и math.sqrt?

      В моей области очень распространено возводить в квадрат некоторые числа, оперировать ими вместе и брать квадратный корень из результата. Это делается, например, в теореме Пифагора и вычислении RMS. В numpy году я сделал следующее: result = numpy.sqrt(numpy.sum(numpy.pow(some_vector, 2))) И в. ..

    • Оператор возведения в степень в Swift

      Я не вижу оператора возведения в степень, определенного в базовых арифметических операторах в справочнике по языку Swift. Действительно ли в языке нет предопределенного целочисленного или плавающего оператора возведения в степень?



    1

    Я предполагаю, что math.sqrt использует метод Ньютона, который сходится квадратично, а возведение в степень использует что-то еще, что медленнее.

    Поделиться


    duffymo    

    09 июля 2011 в 21:35



    1

    Вот несколько иной подход. Мы хотим, чтобы int был просто больше квадратного корня. Два способа (которые расходятся для квадратных чисел, но это OK):

    >>>timeit.timeit(stmt='[int(n**0.5)+1 for n in range(1000000)]', setup='', number=1)  
    0.481772899628  
    >>>timeit. timeit(stmt='[ceil(sqrt(n)) for n in range(1000000)]', setup='from math import sqrt, ceil', number=1)  
    0.293844938278  
    >>>timeit.timeit(stmt='[int(ceil(sqrt(n))) for n in range(1000000)]', setup='from math import sqrt, ceil', number=1)  
    0.511347055435
    

    Таким образом, математические функции faster…until преобразуют float в int. (Мне нужно сделать много сравнений со значением, и хотя я еще не проверял его, сравнение целых чисел должно быть дешевле, чем сравнение поплавков.)

    Но эй, это Python . Вы находитесь на вершине слишком большого количества абстракций, чтобы пытаться оптимизировать производительность с таким уровнем детализации.

    Поделиться


    mgold    

    18 декабря 2011 в 18:13


    Похожие вопросы:

    Реализация Множественного Возведения В Степень

    Кто-нибудь знает о реализованном алгоритме многократного возведения в степень? Я ищу что-то, что с учетом векторов A, B вычислит произведение A[i]^B[i], используя некоторые из существующих быстрых. 60000 или…

    У Bigdecimal Возведения В Степень

    Я создаю пользовательский класс BigDecimal (для практики и от скуки) и имею пользовательские алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления, и я хотел бы сделать функцию для возведения в…

    Возведение в степень в Python — должен ли я предпочесть оператор ** вместо math.pow и math.sqrt?

    В моей области очень распространено возводить в квадрат некоторые числа, оперировать ими вместе и брать квадратный корень из результата. Это делается, например, в теореме Пифагора и вычислении RMS….

    Оператор возведения в степень в Swift

    Я не вижу оператора возведения в степень, определенного в базовых арифметических операторах в справочнике по языку Swift. Действительно ли в языке нет предопределенного целочисленного или плавающего…

    Могу ли я запрограммировать оператор возведения в степень в C++?

    В численном программировании я часто хочу поднять число до степени внутри выражения. Это приводит к коду, который имеет сотни вхождений pow(x,2) или что-то в этом роде. Это загромождает код и делает…

    JavaScript проектное решение унарного оператора возведения в степень

    Итак, я дурачился с новым оператором возведения в степень и обнаружил, что вы не можете поставить унарный оператор непосредственно перед базовым числом. let result = -2 ** 2; // syntax error let…

    Функция возведения в степень Haskell

    Как получить функцию возведения в степень в церковных цифрах с помощью Haskell? Я пытаюсь применить правило, которое λxy.yx, но что-то не работает правильно. exponentiation :: (Num a) => Func a…

    кв 0,5

    кв. (0,5). Найдите квадратный корень из 0,5 или любого другого действительного числа, положительного или отрицательного. Вот ответы на такие вопросы, как: Sqrt 0,5 или что такое квадратный корень из 0,5? Используйте калькулятор квадратного корня ниже, чтобы найти квадратный корень любого действительного числа, положительного или отрицательного. См. Также на этой странице таблицу квадратного корня от 1 до 100.

    Что такое квадратный корень? Определение квадратного корня

    Квадратный корень из числа «x» — это такое число y, что y 2 = x, другими словами, число y, квадрат которого равен y.Например, 5 — это квадратный корень из 25, потому что 5 2 = 5 • 5 = 25, -5 — квадратный корень из 25, потому что (-5) 2 = (-5) • (-5) = 25. При написании математики люди часто используют sqrt (x) для обозначения квадратного корня из x. Узнайте больше о квадратном корне здесь: Квадратный корень — Википедия и здесь: Квадратный корень — Wolfram

    квадратный символ?

    Вот символ квадратного корня. Он обозначается √, известным как знак корня или основание.

    Квадратный корень Таблица 1-100

    Квадратные корни от 1 до 100 с округлением до тысячных.

    число квадрат квадрат
    корень
    1 1 1. 000
    2 4 1,414
    3 9 1,732
    4 16 2.000
    5 25 2,236
    6 36 2,449
    7 49 2.646
    8 64 2,828
    9 81 3.000
    10 100 3,162
    11 121 3,317
    12 144 3,464
    13 169 3,606
    14 196 3,742
    15 225 3.873
    16 256 4.000
    17 289 4,123
    18 324 4,243
    19 361 4. 359
    20 400 4,472
    21 441 4,583
    22 484 4,690
    23 529 4.796
    24 576 4,899
    25 625 5.000
    число квадрат квадрат
    корень
    26 676 5,099
    27 729 5,196
    28 784 5,292
    29 841 5.385
    30 900 5,477
    31 961 5,568
    32 1,024 5,657
    33 1,089 5,745
    34 1,156 5,831
    35 1,225 5,916
    36 1,296 6. 000
    37 1,369 6.083
    38 1,444 6,164
    39 1,521 6,245
    40 1,600 6,325
    41 1,681 6,403
    42 1,764 6,481
    43 1,849 6,557
    44 1,936 6,633
    45 2,025 6.708
    46 2116 6,782
    47 2,209 6,856
    48 2,304 6,928
    49 2,401 7.000 49 2,401 7.000
    2,500 7,071
    число квадрат квадрат
    корень
    51 2,601 7. 141
    52 2704 7,211
    53 2,809 7,280
    54 2,916 7,348
    55 3025 7,416
    3,136 7,483
    57 3,249 7,550
    58 3,364 7,616
    59 3,481 7.681
    60 3,600 7,746
    61 3,721 7,810
    62 3,844 7,874
    63 3,969 7,937

    4096 8,000
    65 4,225 8,062
    66 4,356 8,124
    67 4,489 8.185
    68 4,624 8,246
    69 4,761 8,307
    70 4,900 8,367
    71 5,041 8,426
    5,184 8,485
    73 5,329 8,544
    74 5,476 8,602
    75 5,625 8. 660

    86

    число квадрат квадрат
    корень
    76 5,776 8,718
    77 5,929 8,775
    78 6084 8,832
    79 6,241 8,888
    6,241 8,888
    8,944
    81 6,561 9.000
    82 6,724 9,055
    83 6,889 9,110
    84 7,056 9,165
    85 7,225 9,220 7,396 9,274
    87 7,569 9,327
    88 7,744 9,381
    89 7921 9.434
    90 8100 9,487
    91 8,281 9,539
    92 8,464 9,592
    93 8,649 9,644 8,836 9,695
    95 9,025 9,747
    96 9216 9,798
    97 9,409 9. 849
    98 9,604 9,899
    99 9,801 9,950
    100 10,000 10.000

    Квадратный корень из значений около 0,5

    Число Sqrt
    0,6 0,775
    0,7 0,837
    0,8 0,894
    0.9 0,949
    1 1.000
    1,1 1,049
    1,2 1,095
    1,3 1,140
    1,4 1,183
    1,5 1,225

    Примеры квадратного корня

    Калькулятор квадратного корня

    . Найдите квадратный корень за один простой шаг.

    Наш калькулятор квадратного корня вычисляет квадратный корень любого положительного числа, которое вы хотите.Просто введите выбранный номер и ознакомьтесь с результатами. Все рассчитывается быстро и автоматически ! С помощью этого инструмента вы также можете оценить квадрат желаемого числа (просто введите значение во второе поле), что может оказаться большим подспорьем в поиске точных квадратов по формуле квадратного корня.
    Вы боретесь с основными арифметическими операциями: сложение квадратных корней, вычитание квадратных корней, умножение квадратных корней или деление квадратных корней? Уже нет! В следующем тексте вы найдете подробное объяснение о различных свойствах квадратного корня, например.g., как упростить квадратные корни, с множеством различных примеров дано. Из этой статьи вы раз и навсегда узнаете, как находить квадратные корни!

    Вы когда-нибудь задумывались, каково происхождение символа квадратного корня √? Уверяем вас, что эта история не так проста, как вы могли подумать вначале. Происхождение символа корня восходит к древним временам, как происхождение знака процента.

    Если вы ищете свойства функции извлечения квадратного корня или функции извлечения квадратного корня, перейдите непосредственно в соответствующий раздел (просто нажмите на ссылки выше!).Здесь мы объясняем, что такое производная квадратного корня, используя определение фундаментального квадратного корня; мы также подробно рассмотрим, как вычислять квадратные корни из экспонент или квадратные корни из дробей. Наконец, если вы будете достаточно настойчивы, вы обнаружите, что квадратный корень из отрицательного числа на самом деле возможен. Таким образом, мы вводим комплексное число , которое находит широкое применение в физике и математике.

    Символ квадратного корня √

    Операция извлечения квадратного корня из числа была известна еще в древности.Самая ранняя глиняная табличка с правильным значением √2 = 1,41421 до 5 знаков после запятой происходит из Вавилонии (1800 г. до н.э. — 1600 г. до н.э.) . Многие другие документы показывают, что квадратные корни также использовали древние египтяне, индийцы, греки и китайцы. Однако происхождение корневого символа √ все еще остается в значительной степени спекулятивным.

    • Многие ученые считают, что квадратные корни происходят от буквы «r» — первой буквы латинского слова Radix, означающего корень,
    • другая теория утверждает, что символ квадратного корня был взят из арабской буквы ج , которая была помещена в исходной форме ﺟ в слове جذر — корень (арабский язык пишется справа налево).

    Первое использование символа квадратного корня √ не включало горизонтальную «черту» над числами внутри символа квадратного корня (или радикала), √‾. «Бар» на латыни известен как vinculum, что означает облигация . Хотя радикальный символ с винкулумом сейчас используется в повседневной жизни, мы обычно опускаем эту черту во многих текстах, например, в статьях в Интернете. Обозначение высших степеней корня было предложено Альбертом Жираром, который поместил указатель степени в начало знака корня, т. е.г., ³√ или ⁴√.

    Последний вопрос: почему операция извлечения квадратного корня называется корнем независимо от ее истинного происхождения? Объяснение станет более очевидным, если мы запишем уравнение x = ⁿ√a в другой форме: xⁿ = a. x называется корнем или радикалом, потому что это скрытое основание a. Таким образом, слово радикальный не означает далеко идущий или крайний , а вместо этого фундаментальный, достигающий первопричины .

    Определение квадратного корня

    В математике традиционными операциями с числами являются сложение, вычитание, умножение и деление.Тем не менее, мы иногда добавляем в этот список некоторые более сложные операции и манипуляции: квадратный корень, , возведение в степень, логарифмические функции и даже тригонометрические функции (например, синус и косинус). В этой статье мы сосредоточимся только на определении квадратного корня.

    Квадратный корень из заданного числа x — это каждое число y , квадрат которого y² = y * y дает исходное число x . (0.5)

    В геометрической интерпретации квадратный корень из данной площади квадрата дает длину его стороны. Вот почему в названии есть слово , квадрат . Аналогичная ситуация и с кубическим корнем . Если вы берете кубический корень из объема куба, вы получаете длину его ребер. В то время как квадратные корни используются при рассмотрении площади поверхности, кубические корни полезны для определения величин, относящихся к объему, например плотности.

    Как найти квадратный корень?

    Может быть, мы не очень скромны, но мы думаем, что лучший ответ на вопрос, как найти квадратный корень, прост: используйте калькулятор квадратного корня! Вы можете использовать его как на компьютере, так и на смартфоне, чтобы быстро вычислить квадратный корень из заданного числа.К сожалению, бывают ситуации, когда можно рассчитывать только на себя, что тогда? Чтобы подготовиться к этому, вы должны запомнить несколько основных идеальных квадратных корней:

    • квадратный корень из 1: √1 = 1 , так как 1 * 1 = 1 ;
    • квадратный корень из 4: √4 = 2 , так как 2 * 2 = 4 ;
    • квадратный корень из 9: √9 = 3 , так как 3 * 3 = 9 ;
    • квадратный корень из 16: √16 = 4 , так как 4 * 4 = 16 ;
    • квадратный корень из 25: √25 = 5 , так как 5 * 5 = 25 ;
    • квадратный корень из 36: √36 = 6 , так как 6 * 6 = 36 ;
    • квадратный корень из 49: √49 = 7 , так как 7 * 7 = 49 ;
    • квадратный корень из 64: √64 = 8 , так как 8 * 8 = 64 ;
    • квадратный корень из 81: √81 = 9 , так как 9 * 9 = 81 ;
    • квадратный корень из 100: √100 = 10 , так как 10 * 10 = 100 ;
    • квадратный корень из 121: √121 = 11 , так как 11 * 11 = 121 ;
    • квадратный корень из 144: √144 = 12 , так как 12 * 12 = 144 ;

    Приведенные выше числа являются простейшими квадратными корнями, потому что каждый раз вы получаете целое число. Попробуй их запомнить! Но что делать, если есть число, у которого нет такого красивого квадратного корня? Есть несколько решений. Прежде всего, вы можете попробовать спрогнозировать результат методом проб и ошибок . Допустим, вы хотите вычислить квадратный корень из 52 :

    1. Вы знаете, что √49 = 7 и √64 = 8 , поэтому √52 должно быть между 7 и 8 .
    2. Число 52 ближе к 49 (фактически ближе к 7 ), поэтому вы можете попробовать угадать, что √52 — это 7.3 .
    3. Затем вы возводите в квадрат 7,3 , получая 7,3² = 53,29 (как говорит формула квадратного корня), что больше, чем 52 . Вы должны попробовать с меньшим числом, скажем, 7.2 .
    4. Квадрат 7,2 равен 51,84 . Теперь у вас есть меньшее число, но оно намного ближе к 52 . Если такая точность вас устраивает, можете закончить оценку здесь. В противном случае вы можете повторить процедуру с выбранным числом от 7.2 и 7.3 , например, 7.22 и так далее и так далее.

    Другой подход состоит в том, чтобы сначала упростить квадратный корень, а затем использовать приближения квадратного корня из простых чисел (обычно с округлением до двух знаков после запятой):

    • квадратный корень из 2: √2 ≈ 1,41 ,
    • квадратный корень из 3: √3 ≈ 1,73 ,
    • квадратный корень из 5: √5 ≈ 2,24 ,
    • квадратный корень из 7: √7 ≈ 2.65 ,
    • квадратный корень из 11: √11 ≈ 3,32 ,
    • квадратный корень из 13: √13 ≈ 3,61 ,
    • квадратный корень из 17: √17 ≈ 4,12 ,
    • квадратный корень из 19: √19 ≈ 4,34 и т. Д.

    Давайте попробуем снова найти квадратный корень из 52 . Вы можете упростить его до √52 = 2√13 (вы узнаете, как упростить квадратный корень в следующем разделе), а затем замените √13 ≈ 3,61 . Наконец, произведем умножение √52 ≈ 2 * 3.61 = 7,22 . Результат такой же, как и раньше!

    Вы можете проверить, является ли число простым или нет, с помощью нашего калькулятора простых чисел. Простое число — это натуральное число (больше единицы), которое не может быть получено как произведение двух меньших натуральных чисел. Например, 7 — простое число, потому что вы можете получить его, только умножив 1 * 7 или 7 * 1 . С другой стороны, число 8 не является простым, потому что вы можете сформировать его, умножив 2 * 4 или 4 * 2 (помимо произведения 1 и 8).

    Калькулятор квадратного корня

    В некоторых ситуациях вам не нужно знать точный результат вычисления квадратного корня. В этом случае наш калькулятор квадратного корня — лучший вариант для оценки значения каждого квадратного корня, который вы хотите . Например, предположим, вы хотите узнать, больше ли 4√5 , чем 9 . Из калькулятора вы знаете, что √5 ≈ 2,23607 , поэтому 4√5 ≈ 4 * 2,23607 = 8,94428 . Это очень близко к 9 , но не больше! Калькулятор квадратного корня дает окончательное значение с относительно высокой точностью (до пяти цифр в приведенном выше примере).С помощью калькулятора значащих цифр вы можете вычислить этот результат до любого количества значащих цифр.

    Помните, что наш калькулятор автоматически пересчитывает числа, введенные в любое из полей. Вы можете найти квадратный корень из определенного числа, заполнив первое окно, или получить квадрат числа, введенного вами во втором окне. Второй вариант удобен для поиска точных квадратов , которые необходимы во многих аспектах математики и естественных наук.Например, если вы введете 17 во второе поле, вы обнаружите, что 289 — это полный квадрат.

    В некоторых приложениях квадратного корня, особенно относящихся к таким наукам, как химия и физика, предпочтение отдается результатам в научной записи. Короче говоря, ответ в научном представлении должен иметь десятичную точку между первыми двумя ненулевыми числами и будет представлен как десятичная дробь, умноженная на 10, возведенная в степень. Например, число 0.00345 записывается как 3,45 * 10⁻³ в экспоненциальном представлении, тогда как 145,67 записывается как 1,4567 * 10² в экспоненциальном представлении. Результаты, полученные с помощью калькулятора квадратного корня, можно преобразовать в экспоненциальную нотацию с помощью калькулятора.

    Как упростить извлечение квадратного корня?

    Во-первых, давайте спросим себя, какие квадратные корни можно упростить. Чтобы ответить на него, вам нужно взять число, стоящее после символа квадратного корня, и найти его множители.Если какой-либо из его множителей является квадратным числом (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и т. Д.), То вы можете упростить квадратный корень. Почему эти числа квадратные? Они могут быть соответственно выражены как 2², 3², 4², 5², 6², 7² и так далее. Согласно определению квадратного корня, вы можете назвать их полными квадратами . У нас есть специальный инструмент, называемый калькулятором коэффициентов, который может быть здесь очень кстати. Давайте посмотрим на несколько примеров:

    • можете ли вы упростить √27? С помощью упомянутого выше калькулятора вы получаете множители 27: 1, 3, 9, 27.(1/2) ⟺ √ (x * y) = √x * √y ,

      Как вы можете использовать эти знания? Аргумент квадратного корня обычно не является точным квадратом, который можно легко вычислить, но он может содержать точный квадрат среди своих множителей. Другими словами, вы можете записать это как умножение двух чисел, где одно из чисел представляет собой полный квадрат, например, 45 = 9 * 5 (9 — это полный квадрат). Требование иметь по крайней мере один множитель , который является полным квадратом, необходимо для упрощения квадратного корня.(1/2) = √9 * √5 = 3√5 .

      Вы успешно упростили свой первый квадратный корень! Конечно, вам не обязательно записывать все эти расчеты. Если вы помните, что квадратный корень равен степени половины , вы можете сократить их. Попрактикуемся в упрощении квадратных корней на некоторых других примерах:

      • Как упростить квадратный корень из 27? √27 = √ (9 * 3) = √9 * √3 = 3√3 ;
      • Как упростить квадратный корень из 8? √8 = √ (4 * 2) = √4 * √2 = 2√2 ;
      • Как упростить квадратный корень из 144? √144 = √ (4 * 36) = √4 * √36 = 2 * 6 = 12 .

      В последнем примере вам вообще не нужно было упрощать квадратный корень, потому что 144 — это полный квадрат. Вы можете просто вспомнить, что 12 * 12 = 144. Однако мы хотели показать вам, что с помощью процесса упрощения вы также можете легко вычислить квадратные корни из полных квадратов. Это полезно, когда имеет дело с большими числами .

      Наконец, вы можете спросить, как упростить корни более высокого порядка, например, кубические корни. Фактически, этот процесс очень похож на квадратные корни, но в случае кубических корней вы должны найти по крайней мере один фактор, который представляет собой идеальный куб , а не идеальный квадрат, т.е.е., 8 = 2³, 27 = 3³, 64 = 4³, 125 = 5³ и так далее. Затем вы делите свое число на две части и кладете под кубический корень. Возьмем следующий пример упрощения ³√192:

      ∛192 = ∛ (64 * 3) = ∛64 * ∛3 = 4∛3

      На первый взгляд это может показаться немного сложным, но после некоторой практики вы сможете упростить корни в своей голове . Доверься нам!

      Сложение, вычитание, умножение и деление квадратных корней

      Сложение квадратных корней и вычитание квадратных корней

      К сожалению, сложение или вычитание квадратных корней не так просто, как сложение / вычитание обычных чисел.Например, если 2 + 3 = 5, это не означает, что √2 + √3 равно √5. Это неправильно! Чтобы понять, почему это так, представьте, что у вас есть два разных типа фигур: треугольники 🔺 и круги 🔵. Что произойдет, если вы добавите один треугольник к одному кругу 🔺 + 🔵? Ничего такого! У вас остались один треугольник и один круг 🔺 + 🔵. С другой стороны, что происходит, когда вы пытаетесь добавить три треугольника к пяти треугольникам: 3 🔺 + 5 🔺? У нас получится восемь треугольников 8 🔺.

      Сложение квадратного корня очень похоже на это.Результат сложения √2 + √3 по-прежнему равен √2 + √3. Вы не можете упростить это дальше. Однако это другая ситуация, когда оба квадратных корня имеют одинаковое число под символом корня . Затем мы можем складывать их как обычные числа (или треугольники). Например, 3√2 + 5√2 равно 8√2. То же самое и с вычитанием квадратных корней. Давайте посмотрим на другие примеры, иллюстрирующие это свойство квадратного корня:

      • Что такое 6√17 + 5√17 ? Ответ: 6√17 + 5√17 = 11√17 ;
      • Что такое 4√7 - 7√7 ? Ответ: 4√7 - 7√7 = -3√7 ;
      • Что такое 2√2 + 3√8 ? Ответ: 2√2 + 3√8 = 2√2 + 6√2 = 8√2 , потому что мы упростили √8 = √ (4 * 2) = √4 * √2 = 2√2;
      • Что такое √45 - √20 ? Ответ: √45 - √20 = 3√5 - 2√5 = √5 , потому что мы упростили √45 = √ (9 * 5) = √9 * √5 = 3√5 и √20 = √ (4 * 5) = √4 * √5 = 2√5;
      • Что такое 7√13 + 2√22 ? Ответ: 7√13 + 2√22 , мы не можем упростить это дальше;
      • Что такое √3 - √18 ? Ответ: √3 - √18 = √3 - 3√2 , мы не можем упростить это дальше, чем это, но мы, по крайней мере, упростили √18 = √ (9 * 2) = √9 * √2 = 3√ 2. (1/2) ⟺ √x * √y = √ (x * y) .

        В отличие от сложения, вы можете умножить на каждые два квадратных корня. Помните, что умножение имеет коммутативные свойства , это означает, что порядок, в котором умножаются два числа, не имеет значения. Несколько примеров должны прояснить этот вопрос:

        • Что такое √3 * √2 ? Ответ: √3 * √2 = √6 ;
        • Что такое 2√5 * 5√3 ? Ответ: 2√5 * 5√3 = 2 * 5 * √5 * √3 = 10√15 , потому что умножение коммутативно;
        • Что такое 2√6 * 3√3 ? Ответ: 2√6 * 3√3 = 2 * 3 * √6 * √3 = 6√18 = 18√3 , мы упростили √18 = √ (9 * 2) = √9 * √2 = 3√ 2.(1/2) ⟺ √x / √y = √ (x / y) .

          Все, что вам нужно сделать, это заменить знак умножения на деление. Однако деление не является коммутативным оператором ! Вы должны отдельно вычислять числа перед квадратными корнями и числа под квадратными корнями. (1/2) .(1/2) ⟺ √x / √y = √ (x / y) ,

          , где x / y — дробь. Ниже вы можете найти несколько примеров квадратных корней из дроби:

          • квадратный корень из 4/9: √ (4/9) = √4 / √9 = 2/3 ,
          • квадратный корень из 1/100: √ (1/100) = √1 / √100 = 1/10 ,
          • квадратный корень из 1/5: √ (1/5) = √1 / √5 = 1 / √5 = √5 / 5 .

          Оставлять корни в знаменателе — не очень хорошая привычка. Вот почему мы избавились от него в последнем примере.Мы просто умножили числитель и знаменатель на одно и то же число (мы всегда можем это сделать, так как число, которое мы умножаем на 1), в данном случае на √5 .

          Функция квадратного корня и график

          Функции играют жизненно важную роль не только в математике, но и во многих других областях, таких как физика, статистика или финансы. Функция f (x) — это не что иное, как формула, которая говорит, как значение f (x) изменяется с аргументом x . Чтобы увидеть некоторые примеры, ознакомьтесь с нашими финансовыми инструментами, созданными финансовыми специалистами, например, калькулятор сложных процентов или калькулятор будущей стоимости.Там вы найдете несколько функций, которые можно применить в реальной жизни. Они очень полезны, если вы хотите знать, как рассчитать сложные проценты или оценить будущую стоимость аннуитета.

          Ниже вы можете найти график квадратного корня, состоящий из половины параболы . Проверьте это и попробуйте проверить, например, является ли функция квадратного корня x = 9 3 и x = 16 равна 4 (как и должно быть).

          Давайте вернемся к функции квадратного корня f (x) = √x и исследуем ее основные свойства .Мы рассматриваем только положительную часть f (x) (как вы можете видеть на графике квадратного корня выше). Итак, функция квадратного корня:

          • — это непрерывный и растущий для всех неотрицательных x ,
          • — это , дифференцируемый для всех положительных значений x (дополнительные сведения см. В разделе о производной квадратного корня),
          • приближается к пределу бесконечности , когда x приближается к бесконечности ( lim √x → ∞ , когда x → ∞ ),
          • — это действительное число для всех неотрицательных x и комплексное число для всех отрицательных x (подробнее об этом мы пишем в разделе квадратного корня из отрицательного числа).

          Вы, наверное, уже заметили, что квадратный корень из площади квадрата дает длину его стороны. Эта функция используется в одном из наших строительных калькуляторов — калькуляторе квадратных метров. Если вы планируете что-либо отремонтировать в будущем, эти инструменты могут вам очень помочь. Не забывайте их использовать!

          Производная квадратного корня

          Производная функции сообщает нам, насколько быстро эта функция изменяется вместе со своим аргументом. Один из простейших примеров в физике — это положение объекта и его скорость (скорость изменения положения). Допустим, функция x (t) описывает, как расстояние движущегося автомобиля от определенной точки изменяется со временем t . Вы знаете, что определяет, насколько быстро меняется пройденное вами расстояние? Ответ — скорость машины! Таким образом, производная положения x (t) равна скорости v (t) (скорость также может зависеть от времени). Для обозначения производной мы обычно используем апостроф v (t) = x '(t) или символ производной v (t) = dx (t) / dt .(-1/2) = 1 / (2√x) .

          Так как число в отрицательной степени на единицу больше этого числа, оценка вывода будет включать дроби. У нас есть инструмент, который может оказаться незаменимым при сложении или вычитании дробей с разными знаменателями. Он называется калькулятором НОК и объясняет, как найти наименьшее общее кратное.

          Производная квадратного корня необходима для получения коэффициентов в так называемом разложении Тейлора . Мы не хотим вдаваться в подробности слишком глубоко, поэтому, вкратце, ряд Тейлора позволяет вам аппроксимировать различные функции с помощью многочленов, которые намного проще вычислить.Например, расширение Тейлора √ (1 + x) относительно точки x = 0 дается следующим образом:

          √ (1 + x) = 1 + 1/2 * x - 1/8 * x² + 1/16 * x³ - 5/128 * x⁴ + ... ,

          , что действительно для -1 ≤ x ≤ 1 . Хотя в приведенном выше выражении содержится бесконечное количество членов, чтобы получить приблизительное значение, вы можете использовать всего несколько первых членов. Давай попробуем! Если x = 0,5 и первые пять членов, вы получите:

          √ (1,5) = 1 + 1/2 * 0.5 - 1/8 * 0,25 + 1/16 * 0,125 - 5/128 * 0,0625 ,

          √ (1,5) ≈ 1,2241 ,

          , а действительное значение, предоставленное нашим калькулятором, составляет √ (1,5) ≈ 1,2247 . Достаточно близко!

          Пока что это было много математики и уравнений. Для тех из вас, кто достаточно настойчив, мы подготовили следующий раздел, в котором объясняется, как вычислить квадратный корень из отрицательного числа.

          Корень квадратный из отрицательного числа

          В школе вас, вероятно, учили, что квадратного корня из отрицательного числа не существует.Это верно, если рассматривать только действительные числа. Давным-давно для выполнения сложных вычислений математикам приходилось вводить более общий набор чисел — комплексное число . Их можно выразить в следующей форме:

          х = а + Ь * я ,

          , где x — комплексное число с действительной частью a и мнимой частью b . Что отличает комплексное число от действительного, так это мнимое число i .Вот несколько примеров комплексных чисел: 2 + 3i , 5i , 1,5 + 4i , 2 . Вы можете быть удивлены, увидев там 2 , что является реальным числом. Да, но это также комплексное число с b = 0 . Комплексные числа являются обобщением действительных чисел.

          Пока что воображаемое число i , наверное, все еще для вас загадка. Что это вообще такое? Что ж, хотя это может показаться странным, это определяется следующим уравнением:

          я = √ (-1) ,

          , и это все, что вам нужно для вычисления квадратного корня из каждого числа, независимо от того, положительное оно или нет.Давайте посмотрим на несколько примеров:

          • квадратный корень из -9: √ (-9) = √ (-1 * 9) = √ (-1) √9 = 3i ,
          • квадратный корень из -13: √ (-13) = √ (-1 * 13) = √ (-1) √13 = i√13 ,
          • квадратный корень из -49: √ (-49) = √ (-1 * 49) = √ (-1) √49 = 7i .

          Разве это не просто? Эта проблема не возникает с кубическим корнем, поскольку отрицательное число можно получить, умножив три одинаковых отрицательных числа (чего нельзя сделать с двумя отрицательными числами). Например:

          ³√ (-64) = ³√ [(- 4) * (- 4) * (- 4)] = -4 .

          Это, вероятно, все, что вам следует знать о квадратных корнях. Мы ценим, что вы остались с нами до этого момента! В качестве награды испеките себе что-нибудь сладкое 🙂 Воспользуйтесь нашим калькулятором идеальных блинов, чтобы узнать, как приготовить идеальный блин, каким бы он вам ни нравился. Вам может понадобиться наш калькулятор граммов в чашки, чтобы помочь вам в этом. Он работает в обоих направлениях, то есть для преобразования граммов в чашки и преобразования чашек в граммы.А если вы спросите себя «Сколько калорий мне нужно съедать в день?», Воспользуйтесь нашим удобным калькулятором калорий!

          FAQ

          Может ли число иметь более одного квадратного корня?

          Да, на самом деле все положительные числа имеют 2 квадратных корня , один положительный, а другой равный первому, но отрицательный. Это потому, что если вы умножите два негатива вместе, негативы аннулируются и результат будет положительным.

          Как найти квадратный корень без калькулятора?

          1. Вычислите квадратного корня.Ближайшее квадратное число приемлемо, если вы в затруднении.
          2. Разделите число, из которого вы хотите найти квадратный корень, на оценку.
          3. Добавьте оценку к результату шага 2.
          4. Разделите результат шага 3 на 2. Это ваша новая оценка .
          5. Повторите шаги 2–4 с новой оценкой. Чем больше раз это повторяется, тем точнее будет результат.

          Как вычислить квадратные корни?

          1. Найдите ближайшее квадратное число выше и ниже числа, о котором вы думаете.
          2. Квадратный корень будет между квадратными корнями этих чисел.
          3. Близость числа к квадратному корню указывает, насколько близок корень. Например, 26 очень близко к 25, поэтому корень будет очень близок к 5.
          4. Попробуйте несколько раз разобраться в этом .

          Является ли квадратный корень из 2 рациональным числом?

          Нет, квадратный корень из 2 не является рациональным . Это связано с тем, что, когда 2 записывается как дробь, 2 / 1 , она никогда не может иметь только четные показатели, и поэтому рациональное число не может быть возведено в квадрат для его создания.

          Как избавиться от квадратного корня?

          В алгебре возведение в квадрат обеих частей уравнения избавит от любых квадратных корней . Результатом этой операции является то, что квадратные корни будут заменены любым числом, из которого они находили квадратный корень.

          Являются ли квадратные корни рациональными?

          Некоторые квадратные корни являются рациональными , а другие — нет. Вы можете определить, является ли квадратный корень рациональным или нет, выяснив, может ли число, которое вы извлекаете квадратным корнем, быть выражено только в терминах четных показателей (например,грамм. 4 = 2 2 /1 2 ). Если может, то его корень рациональный .

          Является ли квадратный корень из 5 рациональным числом?

          Квадратный корень из 5 равен , а не рациональному числу . Это связано с тем, что 5 не может быть выражено дробью, если числитель и знаменатель имеют четные показатели. Это означает, что рациональное число нельзя возвести в квадрат, чтобы получить 5.

          Является ли квадратный корень из 7 рациональным числом?

          Результатом квадратного корня 7 является иррациональное число .7 не может быть записано как дробь только с четными показателями, а это означает, что число, возведенное в квадрат для достижения 7, не может быть выражено как дробь целых чисел, и поэтому не является рациональным.

          Какова производная квадратного корня из x?

          Производная квадратного корня x равна x 1 / 2 / 2 или 1 / 2SQRT (x) . Это связано с тем, что квадратный корень из x может быть выражен как x 1 / 2 , от которого обычно происходит дифференцирование.

          Как найти квадратный корень из десятичной дроби?

          1. Преобразует десятичную дробь в дробь .
          2. Найдите любые квадратные корни из дроби или оцените их. Сделайте дробью, равной квадратному корню, который вы нашли в квадрате.
          3. Отмените квадратный корень и квадрат, оставив вам дробь.
          4. Запишите дробь как десятичную в качестве окончательного ответа.

          Квадратные корни

          Как мы их делаем?

          Квадратный корень из числа

          б

          является решением уравнения

          Икс

          2

          знак равно

          б

          .Все числа, кроме

          0

          имеет два квадратных корня, положительный и отрицательный. Положительный квадратный корень — это

          главный квадратный корень

          и написано

          б

          . Чтобы обозначить отрицательный корень, напишите

          б

          и чтобы указать оба корня, напишите

          ±

          б

          .

          Итак, мы звоним

          5

          «квадратный корень» из

          25

          и писать

          25

          знак равно

          5

          так как

          5

          2

          знак равно

          25

          .(Подробнее об этом см. Экспоненты.) Поскольку

          (

          5

          )

          2

          также равно

          25

          это также «квадратный корень» из

          25

          , но мы пишем

          25

          знак равно

          5

          потому что это не главный квадратный корень.

          Не все целые числа имеют квадратный корень из целого числа. Например

          2

          знак равно

          1,414213562

          (Десятичная дробь продолжается вечно и никогда не повторяет шаблон.Это называется

          иррациональное число

          .)

          Как вы можете оценить значение квадратного корня, например

          70

          ? Что ж, вы могли сначала заметить, что

          64

          знак равно

          8

          а также

          81 год

          знак равно

          9

          , поскольку

          64

          а также

          81 год

          оба являются полными квадратами.

          70

          находится посередине

          64

          а также

          81 год

          , так

          8

          < 70 < 9 . {2} = a \ cdot a = \ left (-a \ right) \ cdot \ left (-a \ right) $$

          Квадратный корень записывается с помощью символа корня √, а число или выражение внутри символа корня, обозначенное ниже a, называется подкоренным выражением.

          $$ \ sqrt {a} $$

          Чтобы указать, что нам нужен как положительный, так и отрицательный квадратный корень из подкоренной части, мы помещаем символ ± (читается как плюс минус) перед корнем.

          $$ \ pm \ sqrt {9} = \ pm 3 $$

          У нуля один квадратный корень, равный 0.

          $$ \ sqrt {0} = 0 $$

          Отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней, поскольку квадрат либо положительный, либо 0.

          Если квадратный корень целого числа является другим целым числом, квадрат называется полным квадратом.Например, 25 — это идеальный квадрат, так как

          $$ \ pm \ sqrt {25} = \ pm 5 $$

          Если подкоренное выражение не является точным квадратом, то есть квадратный корень не является целым числом, вам нужно приблизительно вычислить квадратный корень

          $$ \ pm \ sqrt {3} = \ pm 1.73205 … \ приблизительно \ pm 1,7 $$

          Квадратные корни из чисел, не являющихся полным квадратом, являются членами иррациональных чисел. Это означает, что они не могут быть записаны как частное двух целых чисел. Десятичная форма иррационального числа не прерывается и не повторяется.Иррациональные числа вместе с рациональными числами составляют действительные числа.


          Пример

          $$ иррационально \: number \ Rightarrow \ sqrt {19} \ приблизительно 4.35889 … $$

          $$ рациональное \: число \ Rightarrow 0.5 = \ frac {1} {2} $$


          Видеоуроки

          Решить


          Определите, являются ли эти числа рациональными или иррациональными

          Функция квадратного корня Python — настоящий Python

          Вы пытаетесь решить квадратное уравнение? Возможно, вам нужно рассчитать длину одной стороны прямоугольного треугольника.Для этих и других типов уравнений функция квадратного корня Python sqrt () может помочь вам быстро и точно рассчитать ваши решения.

          К концу этой статьи вы узнаете:

          • Что такое квадратный корень
          • Как использовать функцию квадратного корня Python, sqrt ()
          • Когда sqrt () может быть полезным в реальном мире

          Погрузимся!

          Python Pit Stop: Это руководство представляет собой быстрый и практический способ найти нужную информацию, так что вы сразу же вернетесь к своему проекту!

          Квадратные корни в математике

          В алгебре квадрат , x , является результатом умножения числа n на само себя: x = n²

          Вы можете вычислить квадраты с помощью Python:

          >>>

            >>> п = 5
          >>> х = п ** 2
          >>> х
          25
            

          Оператор Python ** используется для вычисления степени числа.В этом случае 5 в квадрате или 5 в степени 2 равно 25.

          Таким образом, квадратный корень — это число n , которое при умножении само на себя дает квадрат x .

          В этом примере n , квадратный корень, равен 5.

          25 — это пример полного квадрата . Совершенные квадраты — это квадраты целых значений:

          >>>

            >>> 1 ** 2
          1
          
          >>> 2 ** 2
          4
          
          >>> 3 ** 2
          9
            

          Возможно, вы запомнили некоторые из этих совершенных квадратов, когда выучили свои таблицы умножения на уроках элементарной алгебры.

          Если вам дан маленький точный квадрат, может быть достаточно просто вычислить или запомнить его квадратный корень. Но для большинства других квадратов это вычисление может быть немного более утомительным. Часто оценки бывает достаточно, когда у вас нет калькулятора.

          К счастью, у вас, как у разработчика Python, есть калькулятор, а именно интерпретатор Python!

          Функция квадратного корня Python

          Модуль

          Python math в стандартной библиотеке может помочь вам работать с математическими проблемами в коде.Он содержит множество полезных функций, таких как restder () и factorial () . Он также включает функцию извлечения квадратного корня Python, sqrt () .

          Вы начнете с импорта math :

          Вот и все, что нужно! Теперь вы можете использовать math.sqrt () для вычисления квадратных корней.

          sqrt () имеет простой интерфейс.

          Требуется один параметр, x , который (как вы видели ранее) обозначает квадрат, для которого вы пытаетесь вычислить квадратный корень.В предыдущем примере это будет 25 .

          Возвращаемое значение sqrt () — это квадратный корень из x в виде числа с плавающей запятой. В примере это будет 5,0 .

          Давайте рассмотрим несколько примеров того, как (и как не использовать) использовать sqrt () .

          Квадратный корень положительного числа

          Один из типов аргументов, который вы можете передать в sqrt () , - это положительное число. Сюда входят типы int и float .

          Например, вы можете найти квадратный корень из 49 , используя sqrt () :

          Возвращаемое значение - 7,0 (квадратный корень из 49 ) в виде числа с плавающей запятой.

          Наряду с целыми числами вы также можете передать значений с плавающей запятой :

          >>>

            >>> math.sqrt (70.5)
          8,396427811873332
            

          Вы можете проверить точность этого квадратного корня, вычислив его обратную величину:

          >>>

            >>> 8.396427811873332 ** 2
          70,5
            

          Квадратный корень нуля

          Даже 0 - правильный квадрат для передачи функции квадратного корня Python:

          Хотя вам, вероятно, не нужно часто вычислять квадратный корень из нуля, вы можете передать переменную в sqrt () , значение которой вы на самом деле не знаете. Итак, хорошо знать, что в таких случаях он может обрабатывать ноль.

          Квадратный корень отрицательных чисел

          Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.Это связано с тем, что отрицательный результат возможен только в том случае, если один фактор положительный, а другой отрицательный. Квадрат по определению является произведением числа и самого себя, поэтому получить отрицательный действительный квадрат невозможно:

          >>>

            >>> math.sqrt (-25)
          Отслеживание (последний вызов последний):
            Файл "", строка 1, в 
          ValueError: ошибка математического домена
            

          Если вы попытаетесь передать отрицательное число в sqrt () , вы получите ValueError , потому что отрицательные числа не входят в область возможных действительных квадратов.Вместо этого квадратный корень отрицательного числа должен быть сложным, что выходит за рамки функции квадратного корня Python.

          квадратных корня в реальном мире

          Чтобы увидеть практическое применение функции квадратного корня Python, давайте обратимся к теннису.

          Представьте, что Рафаэль Надаль, один из самых быстрых игроков в мире, только что нанес удар справа из заднего угла, где базовая линия пересекается с боковой линией теннисного корта:

          Теперь предположим, что его противник нанес контратакующий удар (тот, который закроет мяч с небольшим ускорением вперед) в противоположный угол, где другая боковая линия встречается с сеткой:

          Как далеко Надаль должен бежать, чтобы дотянуться до мяча?

          Из нормативных размеров теннисного корта можно определить, что длина базовой линии составляет 27 футов, а длина боковой линии (на одной стороне сетки) - 39 футов.Итак, по сути, это сводится к решению гипотенузы прямоугольного треугольника:

          Используя ценное уравнение из геометрии, теорему Пифагора, мы знаем, что a² + b² = c² , где a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза.

          Таким образом, мы можем рассчитать расстояние, которое Надаль должен пробежать, переписав уравнение, чтобы найти c :

          Вы можете решить это уравнение, используя функцию квадратного корня Python:

          >>>

            >>> a = 27
          >>> b = 39
          >>> математика.sqrt (а ** 2 + b ** 2)
          47.434164569
            

          Итак, Надаль должен пробежать около 47,4 фута (14,5 метра), чтобы дотянуться до мяча и сохранить точку.

          Заключение

          Поздравляем! Теперь вы знаете все о функции квадратного корня Python.

          Вы покрыли:

          • Краткое введение в квадратные корни
          • Особенности функции квадратного корня Python, sqrt ()
          • Практическое применение sqrt () на реальном примере

          Умение использовать sqrt () - это только половина дела.Другое дело - понять, когда его использовать. Теперь вы знаете и то, и другое, так что примените свое новое мастерство в использовании функции извлечения квадратного корня в Python!

          квадратных корней - объяснение и примеры

          В математике квадратный корень из числа x таков, что число y является квадратом x, упрощение записывается как y 2 = x.

          Например, 5 и - 5 являются квадратными корнями из 25, потому что:

          5 x 5 = 25 и -5 x -5 = 25.

          Квадратный корень числа x обозначается знаком корня √x или x 1/2 .Например, квадратный корень из 16 представлен как: √16 = 4. Число, квадратный корень которого вычисляется, называется подкоренным выражением. В этом выражении √16 = 4, число 16 - подкоренное выражение.

          Что такое квадратный корень?

          Квадратный корень - это операция, обратная возведению числа в квадрат. Другими словами, извлечение квадратного корня - это операция, которая отменяет показатель степени 2.

          Свойства

          • Полное квадратное число имеет точный квадратный корень.
          • Четное совершенное число имеет четный квадратный корень.
          • Нечетное совершенное число имеет нечетный квадратный корень.
          • Квадратный корень отрицательного числа не определен.
          • Квадратные корни имеют только числа, оканчивающиеся четным числом нулей.

          Как найти квадратный корень из чисел?

          Есть несколько способов найти квадрат чисел. Мы увидим некоторые из них здесь.

          Повторное вычитание

          Этот метод включает в себя успешное и многократное вычитание нечетных чисел, таких как 1, 3, 5 и 7, из числа до тех пор, пока не будет достигнут ноль.Квадрат числа равен числу или частоте вычитания числа

          Предположим, нам нужно вычислить квадрат совершенного числа, такого как 25, операция выполняется как:

          25 - 1 = 24
          24-3 = 21
          21-5 = 16
          16-7 = 9
          9-9 = 0

          Вы можете заметить, что частота вычитания равна 5, поэтому квадратный корень из 25 равен 5.

          Факторизация на простые множители

          В этом методе точное квадратное число факторизуется путем последовательного деления. Простые множители группируются в пары, и вычисляется произведение каждого числа. Следовательно, произведение представляет собой квадратный корень из числа. Чтобы найти квадрат совершенного числа, такого как: 144, выполняется как:

          • 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
          • Соедините простые множители.
          • Выбор одного числа из каждой пары.
          • 2 × 2 × 3 = 12.
          • Таким образом, √144 = 12.

          Метод деления

          Метод деления - это подходящий метод вычисления квадрата большого числа. Ниже приведены необходимые шаги:

          • Полоса помещается над каждой парой цифр, начиная с правой стороны.
          • Разделите левое конечное число на число, квадрат которого меньше или эквивалентен числам под левым концом.
          • Возьмите это число в качестве делителя и частного. Аналогичным образом возьмите крайнее левое число в качестве делимого.
          • Разделите, чтобы получить результат
          • Потяните вниз следующее число с полосой справа от остатка
          • Умножьте делитель на 2.
          • Справа от нового делителя найдите подходящий дивиденд. Этот процесс повторяется до тех пор, пока мы не получим в качестве остатка ноль. Следовательно, квадрат числа равен частному.

          Квадратный корень из 225 вычисляется как

          • Начинайте деление с крайней левой стороны.
          • В этом случае 1 - это наше число, квадрат которого меньше 2.
          • Если присвоить 1 в качестве делителя и частного и умножить его на 2, получим:
          • Выполните шаги, чтобы получить 15 в качестве частного.

          Практические вопросы

          1. Оценить √144 + √196
          2. Упростить √25 x √25
          3. Найдите квадратный корень из 1000000.
          4. В школьной аудитории 3136 мест, если количество мест в ряду равно количеству мест в столбцах. Подсчитайте количество мест в ряду.
          5. Вычислить √5625.
          6. Квадратный сад имеет площадь 16 квадратных метров. Рассчитайте периметр сада.
          7. Какое наименьшее число нужно прибавить к 570, чтобы получился идеальный квадрат.
          8. Оценить √0,9 + √2,5.
          9. Найдите квадратный корень из первого совершенного четырехзначного числа.
          10. Что такое √0,0025?

          Ответы на практические вопросы

          1. √144 + √196

          = 12 + 13

          = 25

          2. √25 x √25

          = 5 x 5 x 5 x 5

          = 25

          3. √1000000

          1000000 имеет четное число нулей, поэтому выбирайте каждый ноль из пары.

          = 1000

          4. Равное количество строк и столбцов

          Количество мест в ряду и столбце = √ 3136

          56 мест

          5. √5625

          = 75

          6. √16 = 4

          Периметр = 4 x 4

          = 16 метров

          7. 570 + 6 = 576

          √576 = 24

          8. √0.9 + √2.5

          = 0.3 + 0. 5

          = 0.8

          9 Первое совершенное четырехзначное число - 1024

          10. √0.0025

          = 0. 05

          Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

          Квадратный корень из 0.5 (√.5)


          Здесь мы вычислим квадратный корень 0,5 (√,5) и объясним, почему квадратный корень 0,5 больше 0,5.

          0,5 можно разделить на две части. Число до и число после десятичной точки. Число перед
          десятичная точка - это целое число, а число после десятичной точки - это десятичная часть:

          0 = целое число
          5 = десятичная часть

          Число (x), где целое число не равно 0, больше, чем квадратный корень из числа (x):

          x> √x

          Это имеет смысл, потому что √x, умноженное на √x, равно x.Однако это неверно, если все число равно 0.
          В этом случае все наоборот.

          ОК. Перво-наперво. Ниже приведен ответ на квадратный корень из 0,5.

          √0,5 ≈ 0,707106781186548
          √0,5 ≈ 0,70711

          Как видите, 0,70711 больше 0,5. Таким образом, два больших числа, умноженные вместе, равны меньшему числу!
          Итак, как это возможно, что квадратный корень 0,5 больше 0,5?


          Чтобы объяснить, мы начнем с небольшого урока деления.В задаче деления есть дивиденд, делитель и частное,
          например:

          дивиденд ÷ делитель = частное

          Глядя на уравнение деления выше, вы можете сделать вывод, что если дивиденд увеличивается на большую величину, чем делитель, то
          коэффициент увеличится. Кроме того, если дивиденд увеличивается на меньшую величину, чем делитель, то частное уменьшится.

          1 деленное на 2 равно 0,5, поэтому мы можем преобразовать его в задачу деления следующим образом:

          √1 ÷ √2 = √0.5
          1 ÷ 2 = 0,5

          Причина, по которой квадратный корень 0,5 больше 0,5, заключается в том, что когда вы извлекаете квадратный корень из делимого (√1), уменьшение
          делимого меньше, чем уменьшение делителя, когда вы извлекаете квадратный корень из делителя (√2).

          Этого не было бы, если бы целое число перед десятичной запятой не было 0.

          Квадратный корень десятичного числа
          Введите другое десятичное число ниже, чтобы получить квадратный корень из него.

          Квадратный корень из 0.5001
          Вот следующее десятичное число в нашем списке, для которого мы вычислили квадратный корень.


          Авторские права |
          Политика конфиденциальности |
          Заявление об ограничении ответственности |
          Контакт
          .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.