Квадратное уравнение под модулем: Решение уравнений с модулями

Содержание

19. Уравнения с модулем | Контрольные работы по математике и другим пре

Модулем (Абсолютной величиной) Числа называется неотрицательное число:

(3.9)

Геометрическая интерпретация модуля: – это расстояние от точки А до точки Х на координатной оси, в частности, – это расстояние от точки 0 до точки Х.

Свойства модуля:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

Пусть – некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (3.9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения:

Уравнение, содержащее выражение с неизвестной Х под знаком модуля, называется Уравнением с модулем. Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения.

I тип: уравнение вида

(3.10)

Где А – число, – некоторое выражение с неизвестной Х.

1. Если уравнение (3.10) решений не имеет.

2. Если уравнение (3.10) равносильно уравнению

3. Если уравнение (3.10) равносильно совокупности уравнений:

II тип: Уравнение вида

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

Решать это уравнение можно несколькими способами.

1-й способ – используя определения модуля:

2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения

З а м е ч а н и е. 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств или решается легче.

3-й способ – метод интервалов. Необходимо:

1) найти те значения Х, для которых

2) нанести полученные значения Х на числовую ось;

3) определить знаки для каждого из полученных интервалов;

4) нарисовать кривую знаков;

5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку;

7) в ответе указать совокупность всех полученных корней.

III тип: Уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида

(3.11)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

1-й способ – можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков Этот способ, как правило, не является рациональным.

2-й способМетод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (3.11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней.

IV тип: Уравнение вида

(3.12)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х;

1-й способ – решение уравнения (3. 12) сводится к решению совокупности уравнений:

2-й способ – метод интервалов (не рационально).

3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля уравнение сводится к равносильному:

Полученное уравнение решается в зависимости от его типа.

V тип: Уравнения, решаемые заменой переменной, например:

Где – некоторые выражения с неизвестной Х;

По свойству модуля оно записывается в виде

Вводят замену и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной У. Затем необходимо вернуться к старой переменной. В случае 2-х различных корней квадратного уравнения это будет совокупность уравнений I типа:

Если корень единственный, то остается решить уравнение

Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения уравнение с модулем не имеет решений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Это уравнение I типа. Его ОДЗ:

Уравнение записывается в виде

На ОДЗ можно сократить и получаем

откуда т. е.

Получаем корни которые подходят по ОДЗ.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Это уравнение II типа. Его ОДЗ: Оно имеет решение, если т. е. при Таким образом, для получаем:

(3.13)

Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду

откуда

Это квадратное уравнение решений не имеет, так как

Из второго уравнения совокупности (3.13) получаем

т. е.

Квадратное уравнение имеет корни:

Т. е. первый корень не принадлежит множеству на котором решали уравнение, следовательно, ответом является только

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля:

(3.14)

Решаем первую систему совокупности (3. 14):

Значение не подходит по условию Следовательно, корнем является

Решаем вторую систему совокупности (3.14):

Получили ответ

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Поскольку то уравнение записывается в виде

Это уравнение относится к III типу уравнений.

Его ОДЗ: Решим методом интервалов.

Нулями выражений, стоящих под модулем, являются и Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:

Решим отдельно системы:

III.

Решением данного уравнения являются значения и

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

Оно относится к IV типу. Возведем обе его части в квадрат:

После упрощения имеем:

т. е.

Получаем – корень.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: т. е.

Преобразуем данное уравнение к виду

Заменяем

Уравнение приобретает вид

Решаем его как дробно-рациональное и получаем:

Последнее квадратное уравнение имеет корни:

Возвращаясь к переменной Х, получаем:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как слева положительное выражение, а справа – отрицательное.

Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии

Приходим к совокупности

т. е.

Решение имеет только второе уравнение совокупности, его корни:

Оба они подходят по ОДЗ.

Пришли к ответу:

Пример 7. Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:

Т. е. – решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.

Получили ответ:

< Предыдущая   Следующая >

Методические разработки по теме «решение уравнений с модулем в курсе алгебры 8 класса»

МЕТОДИЧЕСКИЕ
РАЗРАБОТКИ ПО ТЕМЕ: «Решение уравнений
с модулем в курсе алгебры 8 класса»

Давыдова Наталья
Александровна, учитель математики МОУ
«Лицей №4» Волжского района города
Саратова

2008 год

Практически каждый учитель
знает, какие проблемы вызывают у учащихся
задания, содержащие модуль. Это один из
самых трудных материалов, с которыми
школьники сталкиваются на экзаменах.

Выбор темы обусловлен тем, что,
во-первых, задачи, связанные с абсолютными
величинами, часто встречаются на
математических олимпиадах и на
вступительных экзаменах в ВУЗы, во-вторых,
это понятие широко применяется не только
в различных разделах школьного курса
математики, но и в курсе высшей математики.
Так в математическом анализе понятие
абсолютной величины числа используется
при определении основных понятий:
предела, ограниченности функции и
других. В теории приближенных вычислений
употребляется понятие абсолютной
погрешности. В механике, в геометрии
изучается понятие вектора, одной из
характеристик которого служит его длина
(модуль вектора).

Несмотря на то, что тема «Модуль
числа» проходит «красной нитью» через
весь курс школьной и высшей математики,
для ее изучения по программе отводится
очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в
8 классе — 4 часа).

Исходя из всего вышесказанного,
учителю необходимо находить разнообразные
методические приемы, использовать
различные подходы и методы в обучении
решению задач с модулем. Разнообразие
методов будет способствовать сознательному
усвоению математических знаний,
вовлечению учащихся в творческую
деятельность, а также решению ряда
методических задач, встающих перед
учителем в процессе обучения, в частности,
реализации внутрипредметных связей
(алгебра-геометрия), расширению области
использования графиков, повышению
графической культуры учеников.

Указанные обстоятельства
обусловили выбор темы творческой работы.
Цель работы: показать необходимость
более глубокого рассмотрения темы
«Решение уравнений с модулем» в школьной
программе; разработать методические
рекомендации по использованию различных
методов при решении задач с модулем.

Основные способы, используемые
при решении уравнений, содержащих
модуль.

Напомним основные понятия,
используемые в данной теме. Уравнением
с одной переменной
называют
равенство, содержащее переменную.
Корнями уравнения
называются значения переменной, при
которых уравнение обращается в верное
равенство. Решить уравнение
– значит, найти все его
корни или доказать, что корней нет.
Уравнением с модулем
называют равенство,
содержащее переменную под знаком модуля.

При решении уравнений, содержащих
знак абсолютной величины, мы будем
основываться на определении модуля
числа и свойствах абсолютной величины
числа.

Существует несколько способов
решения уравнений с модулем. Рассмотрим
подробнее каждый из них.

1
способ.
Метод
последовательного раскрытия модуля.

Опорная информация:

Пример 1. Решим
уравнение |х-5|=4.

Исходя из определения модуля,
произведем следующие рассуждения. Если
выражение, стоящее под знаком модуля
неотрицательно, то есть х-5≥0, то уравнение
примет вид х-5=4. Если значение выражения
под знаком модуля отрицательно, то по
определению оно будет равно – (х-5)=4 или
х-5= -4. Решая полученные уравнения,
находим: х1=9,
х2=1.

Ответ: 9; 1.

Решим этим же способом уравнение,
содержащее «модуль в модуле».

Пример 2. Решим
уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим
два случая.

1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще
раз определение модуля, получим: 2х-1=10
либо 2х-1= -10. Откуда х1=5,5,
х2= -4,5.

2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в
этом случае уравнение не имеет решений,
так как по определению модуль всегда
неотрицателен.

Ответ: 5,5; -4,5.

2 способ. Метод
интервалов.

Опорная
информация:

Метод интервалов – это метод
разбиения числовой прямой на промежутки,
в которых по определению модуля знак
абсолютной величины можно будет снять.
Для каждого из промежутков необходимо
решить уравнение и сделать вывод
относительно получившихся корней.
Корни, удовлетворяющие промежуткам, и
дадут окончательный ответ.

Пример 3. Решим
уравнение |х+3|+|х-1|=6.

Найдем корни (нули) каждого
выражения, содержащегося под знаком
модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х
разбивают числовую прямую на три
промежутка:

Решим уравнение отдельно в каждом
из получившихся промежутков. В первом
промежутке (х < -3) оба выражения, стоящие
под знаком модуля отрицательны, поэтому
при записи уравнения без абсолютной
величины знаки этих выражений меняем
на противоположные. Получим уравнение:

-х-3-х+1=6. Откуда х= -4. Число -4
является решением данного уравнения,
так как оно принадлежит рассматриваемому
промежутку. Во втором промежутке (-3 ≤
х < 1) первое выражение положительно,
а второе отрицательно. Рассуждая
аналогично, получим уравнение: х+1-х+1=6,
откуда получаем неверное числовое
равенство, то есть в рассматриваемом
промежутке уравнение корней не имеет.
В последнем промежутке (х ≥ 1) оба
выражения положительны, поэтому уравнение
записывается так: х+3+х-1=6. Откуда х=2. Это
значение удовлетворяет неравенству х
≥ 1. Ответ: -4; 2.

Пример 4. |2-х|=2х+1.

Прежде всего, следует установить
область допустимых значений. Возникает
естественный вопрос, почему в предыдущих
примерах не было необходимости этого
делать. В этом уравнении в правой части
стоит выражение с переменной, которое
может быть отрицательным. Таким образом,
область допустимых значений – это
промежуток [-½; +∞). Найдем нуль выражения,
стоящего под знаком модуля: 2-х=0, х=2.

В первом промежутке: 2-х=2х+1, х=⅓.
Это значение принадлежит ОДЗ, значит,
является корнем уравнения.

Во втором промежутке: -2+х=2х+1, х=
-3. -3 не принадлежит ОДЗ, а следовательно
не является корнем уравнения. Ответ: ⅓.

3 способ. Графический
метод.

Суть данного метода заключается
в использовании графиков функций для
нахождения корней уравнения. Этот метод
реже других применяют для решения
уравнений, содержащих модуль, так как,
во-первых, он занимает достаточно много
времени и не всегда рационален, а,
во-вторых, результаты, полученные при
построении графиков, не всегда являются
точными.

Пример
5
. |х+1|=2. Построим графики
функций у=|х+1| и у=2.

Для построения графика
у=|х+1|, построим график функции у=х+1, а
затем отразим часть прямой, лежащую
ниже оси ОХ. Абсциссы точек пересечения
графиков и есть корни уравнения: х1=1,
х2= -3. Ответ:
1; -3.

Пример 6.
2-1|=|4-х2|.

Построим графики функций у=|х2-1|
и у=|4-х2|. Для
этого построим графики функций у= х2-1
и у=4-х2, а
затем отобразим часть графиков, лежащую
ниже оси ОХ.

х1≈1,6;
х2≈-1,6.

4 способ. Метод
решения при помощи зависимостей между
числами а и в, их модулями и квадратами
этих чисел.

Опорная информация:

|а|=|в|
а=в
или а=-в;

а22

а=в
или а=-в; (1)

|а|=|в|

а
22
(2)

Пример 7. Решим
уравнение |х2-8х+5|=|х2-5|.

Учитывая соотношение (1), получим:

х2-8х+5=
х2-5 или
х2-8х+5=
2+5

х=1,25 х=0 или
х=4.

Таким образом, корни исходного
уравнения: х1=1,25;
х2=0; х3=4.

Ответ: 1,25; 0; 4.

Пример 8. |х+3|=|х-5|.

В силу соотношения (2) получаем:
(х+3)2=(х-5)2;

х2+6х+9=
х2-10х+25;

х=1.

Ответ:1.

Пример 9.
(1-3х)2=(х-2)2.

Учитывая соотношение (2), получаем:
|1-3х|=|х-2|, откуда из соотношения (1), имеем:

1-3х=х-2 или 1-3х= -х+2

х=0,75 х= -0,5.

Ответ: 0,75; -0,5.

5 способ. Использование
геометрической интерпретации модуля.

Опорная информация:
геометрический смысл модуля разности
величин – это расстояние между ними.
Например, геометрический смысл выражения
|х-а| — длина отрезка координатной оси,
соединяющей точки с абсциссами а и х.
Перевод алгебраической задачи на
геометрический язык часто позволяет
избежать громоздких решений.

Пример 10.
|х-2|+|х-3|=1.

Исходя из геометрической
интерпретации модуля, левая часть
уравнения представляет собой сумму
расстояний от некоторой точки с абсциссой
х до двух фиксированных точек с абсциссами
2 и 3. Тогда очевидно, что все точки с
абсциссами, принадлежащими отрезку
[2;3] обладают требуемым свойством, а
точки, расположенные вне этого отрезка
– нет. Отсюда, множеством решений
уравнения является отрезок [2;3].

Ответ: [2;3].

Пример 11.
|х-2|-|х-3|=1.

Рассуждая аналогично, получим,
что разность расстояний до точек с
абсциссами 2 и 3 равна 1 только для точек,
расположенных на координатной оси
правее числа 3. Следовательно, решением
данного уравнения будет являться луч,
выходящий из точки 3, и направленный в
положительном направлении оси ОХ.

Ответ: [3;+∞).

О

|х-а|+|х-в|=в-а,
где в ≥ а
а
≤ х ≤ в

|х-а|-|х-в|=в-а,
где в ≥ а
х
≥ в

бобщением вышеприведенных уравнений
10 и 11 являются следующие равносильные
переходы:

Проанализировав представленные
способы решения уравнений, содержащих
модуль, можно сделать вывод, что ни один
из них не является универсальным и для
получения наилучших результатов
необходимо добиваться того, чтобы ученик
овладел возможно большим количеством
методов решения, оставляя право выбора
решения за собой.

Методические
рекомендации по использованию методов
решения уравнений, содержащих модуль.

Практика обучения учащихся 7-8
классов способам решения уравнений,
содержащих модули, позволила выявить
достоинства и недостатки каждого
способа, которые для удобства сведены
в таблицу.

Способы

Достоинства

Недостатки

Метод
последовательного раскрытия модулей

1).
Объявляя условие раскрытия одного
модуля, можно пользоваться им для
раскрытия других модуле тем самым,
выигрывая время в решении задачи.

2).
Последовательность действий,
направленных на поиск ответа, позволяет
контролировать и проверять промежуточные
результаты.

Необходимость
раскрытия модуля, что для некоторых
заданий приводит к потере темпа в
получении ответа.

Метод интервалов

Самый
эффективный способ, так как сопровождается
относительно небольшим объемом работы.

В силу
необходимости нахождения концов
интервалов может возникнуть ситуация,
когда соответствующее уравнение либо
вызывает серьезные затруднения при
определении корней, либо недоступно
ученику на данном этапе обучения.

Графический
метод

Данный способ
имеет очень широкое применение в
других темах школьного курса математики.

Ответ
определяется приблизительно.

Метод решения
при помощи зависимостей между числами,
их модулями и квадратами этих чисел

В некоторых
случаях применение данного способа
позволяет решать уравнения определенного
вида на более раннем этапе.

В некоторых
случаях выбор данного способа приводит
к громоздкому решению, а иногда решение
сводится к уравнению, недоступному
для ученика на данном этапе обучения.

Геометрическая
интерпретация модуля

Перевод
алгебраической задачи на геометрический
язык часто позволяет избежать громоздких
решений.

Применение
данного способа ограничивается
уравнениями определенного вида.

Проанализировав достоинства и
недостатки каждого из указанных способов,
можно с уверенностью сказать, что на
мотивационном этапе формирования умения
решать уравнения с модулем ученикам
следует показывать все, доступные на
данном этапе обучения способы решения,
и, главное, на конкретных примерах
доказывать, что первый этап решения –
выбор самого эффективного способа.

  1. Рассмотрим пример |х2+4х+3|=|х2-3|.

Решим это уравнение методом
интервалов.
Для этого
найдем концы интервалов, решив уравнения
х2+4х+3=0 и
х2-3=0. В
результате х1=
-1, х2= -3, х3=,
х4=
-.
Видим, что первое уравнение –
квадратное, поэтому его решение недоступно
ученику седьмого класса, впрочем, также
как и второе уравнение, для решения
которого необходимо знание арифметического
квадратного корня. Кроме того, отметив
полученные числа на координатном луче,
получим пять промежутков, в каждом из
которых, предварительно сняв знак модуля
необходимо опять решить квадратное
уравнение.

Если же использовать четвертый
способ (метод решения при
помощи зависимостей между числами, их
модулями и квадратами этих чисел
),
то это уравнение можно решить на более
раннем этапе. Итак,

2+4х+3|=|х2-3|

х2+4х+3=х2-3
или х2+4х+3=
2+3.

х1=
-1,5; х2=0;
х3= -2.

Ответ: -1,5; -2; 0.

Ясно, что способ решения при
помощи зависимостей между величинами,
их модулями и квадратами величин,
является самым эффективным для решения
этого уравнения.

  1. Рассмотрим пример |х-7|-|х-8|=1.

Решим это уравнение двумя
способами.

а) метод интервалов:
Найдем концы интервалов: х=7 и х=8. Отметим
эти числа на координатной прямой, а
затем решим уравнение в каждом из
получившихся промежутков:

-х+7+х-8=1, х-7+х-8=1,
х-7-х+8=1,

-1≠1,
2х=16, 1=1,

х=8
х – любое число

Ответ: [8;+∞).

б) использование
геометрической интерпретации.

Использование равносильных переходов,
вытекающих из геометрической интерпретации,
позволяют сразу найти ответ: [8;+∞).

3. Рассмотрим
пример |(х-1)(х-3)|=х-3. Это уравнение можно
решить тремя способами.

а) последовательное
раскрытие модуля:

Если (х-1)(х-3) ≥ 0, то
Если (х-1)(х-3) < 0, то

х2-4х+3=х-3,
х2-4х+3=
-х+3,

х2-5х+6=0,
х2-3х=0,

х1=3,
х2=2.
х1=0,
х2=3.

2 – не удовлетворяет условию.
0, 3 — не удовлетворяет
условию.

Ответ: 3.

б) метод интервалов:
найдем концы интервалов, решив уравнение
(х-1)(х-3)=0, откуда х1=1,
х2=3.

(х-1)(х-3)=х-3, -(х-1)(х-3)=х-3,
(х-1)(х-3)=х-3,

х1=2,
х2=3.
х1=0,
х2=3.
х1=2,
х2=3.

2
(-∞;
1), 0
[1;
3). 2
[3;
+∞).

3
(-∞;
1).

Ответ: 3.

в) графический метод:
для решения уравнения
построим в одной системе координат
графики функций у=|х2-4х+3|
и у=-3.

Построим у=|х2-4х+3|.
Для этого сначала рассмотрим функцию
у=х2-4х+3,
графиком которой является парабола,
ветви направлены вверх. Вершина параболы
в точке (2; -1). Строим график и отображаем
часть параболы, которая лежит ниже оси
ОХ в верхнюю полуплоскость. Далее в этой
же системе координат строим график
у=х-3. Графики функций пересеклись в
точке с абсциссой 3.

Ответ: 3.

Завершая рассмотрение различных
способов решения уравнений, содержащих
знак модуля, еще раз отметим тот важный
факт, что ни один из них не является
универсальным и для получения наилучших
результатов необходимо добиваться
того, чтобы ученик овладел возможно
большим количеством методов решения,
оставляя право выбора решения за собой.

Над проблемой применения различных
способов для решения уравнений с модулем
я работаю пятый год. За это время мною
разработана и внедрена в практику
методика обучения учащихся решению
уравнений с модулем. Цель внедрения
данной методики заключается в стремлении
повысить качество умения решать
уравнения, содержащие абсолютную
величину.

Я работаю как в лицейских, так и
в общеобразовательных классах, где
интерес учащихся к математике невелик.
Исследование уровня обученности
показало, что решение уравнений,
содержащих знак абсолютной величины,
составляет большую трудность для
учащихся. В начале обучения использованию
различных методов для решения уравнений
ученики относились к ним настороженно,
стараясь, как можно чаще использовать
один метод для решения всех уравнений,
что иногда приводило к затруднениям.
Однако, со временем, поняв, что к каждому
уравнению можно подобрать наиболее
эффективный метод решения, дети стали
использовать для решения все способы
в зависимости от уравнения. Это привело
к повышению качества обученности решению
уравнений с модулем.

Таким образом, можно сделать
следующий вывод: систематическое
использование различных способов для
решения уравнений, содержащих абсолютную
величину, приводит не только к повышению
интереса к математике, повышению
творческой активности школьников, но
и повышает уверенность детей в собственных
силах, так как у них имеется возможность
выбора того способа решения, который
наиболее эффективен в каждом конкретном
случае.

Урок_2_Решение квадратных уравнений с модулем_План урока

Раздел
долгосрочного плана:

8. 2A: Квадратные
уравнения
Квадратные уравнения

 

Дата:

Ф.И.О.
учителя:

Класс: 8

Количество
присутствующих:

отсутствующих:

Тема урока

Решение
уравнений

Решение
квадратных уравнений, содержащих знак модуля

Урок
№2
серии из 8 уроков

 

Тип урока

Изучение
новой темы

Цели обучения, которые достигаются на
данном уроке (ссылка на учебную программу)

8. 2.2.5 решать уравнения вида |ax2+bx|+c=0;
ax2+b|x|+c=0

Цели
урока

Учащиеся
знают алгоритм решения квадратных уравнений, содержащих знак модуля, используют
различные способы квадратных уравнений.

Кр­­­­итерии
оценивания

Навыки

Критерий  оценивания

Знание и понимание

Знает,
как найти модуль числа

Применение знаний

Приводит
уравнения вида |ax2+bx|+c=0 к квадратным

Решает
квадратные уравнения различными способами.

Анализ

Отбирает
корни, соответствующие требуемым условиям

Языковые
цели

 

Учащиеся
рассуждают об условиях перехода от уравнения с модулем к уравнению, не
содержащему знак модуля, объясняют, почему тот или иной корень соответствует
условию или является посторонним.

Предметная
лексика и терминология

Уравнение,
модуль, значение переменной, значение выражения

Серия полезных фраз для диалога/письма

Модуль
положительного / отрицательного числа

Модуль
суммы чисел не всегда равен сумме модулей этих чисел

Рассмотрим
два случая для значения числа / выражения …

Выполним
проверку соответствия полученных корней указанным ограничениям

Привитие
ценностей

Развитие таких коммуникативных навыков, умения лаконично и
грамотно излагать свои мысли будет осуществляться через деятельность учащихся
на уроке.

Межпредметные
связи

Умение решать уравнения необходимо учащимся при изучении различных
дисциплин.

Навыки
использования ИКТ

Презентация

Предварительные
знания

Умеют
решать квадратные уравнения различными способами. Умеют решать уравнения вида
ax2+b|x|+c=0.

Ход урока

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность
на уроке

Ресурсы

Начало урока

1 мин

3 мин

 

 

 

5 мин

Представить учащимся тему и цели урока.

 

Проверка домашнего задания

Обсудить решение домашнего задания. Проверить правильность
решения.

 

Актуализация знаний

Для повторения способов решения квадратных уравнений с модулем
учащимся предлагается решить уравнение . Учащиеся записывают
ответ на маленьких листах бумагт и, подняв вверх, показывают учителю. Затем
обсуждается решение.

 

Презентация Слайды 1 — 2

 

Середина урока

5 мин

 

 

 

 

 

 

 

8 мин

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 мин

 

 

 

 

10 мин

Подготовка к восприятию нового материала

Учащимся предлагается решить уравнение .

После обсуждения решения будет полезным задать вопрос о числе
корней уравнения вида .

Изучение нового материала, т.е. способа решения уравнений вида |ax2+bx|+c=0

После обсуждения способа решения линейного уравнения с модулем учащимся
предлагается решить уравнение . Учитель обсуждает в чем
отличие этих уравнений, будут ли различаться способы их решения.

 

Закрепление нового материала

Парам учащихся предлагаются два разных задания. Каждый выполняет
по одному заданию, проверяет свое решение по образцу, затем объясняет решение
партнеру.

№1.

1.        

2.        
.

№2.

1.        

2.        
.

 

Решения следующих двух уравнений разбираются у доски.

;

│х2 + х — 1│= 2х – 1.

 

Самостоятельная работа

Разложить на столе учителя карточки с заданиями. Учащийся
выбирает одну из них, решает уравнение в тетради. После того, как ученик
«защитит» свою работу перед учителем (или одноклассником, уже презентовавшим
свою работу), он может записать свое имя на доске под номером решенного
уравнения. Это означает, что он может выслушать решение следующего ученика.
Таким образом, все ученики смогут побывать в роли оцениваемых и оценивающих.

 

№1. Решите уравнение и укажите его наименьший корень:

 │х2 + х│= 0.

№2. Решите уравнение и укажите его наибольший корень:

│х2 – 5х + 4│= 4.

№3. Решите уравнение и укажите целый корень:

│2х2 – 7х + 6│= 1.

№4. Решите уравнение и найдите сумму его корней:

2 — 7│х│ + 2 = 0.

№5. Решите уравнение:  .

№6. Решите уравнение:  .

 

Слайд 3

 

 

 

Слайд 4

 

 

 

 

 

Слайд 5

 

 

 

 

 

 

 

Слайд 6

 

 

Приложение 1

Конец урока

2 мин

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 мин

Домашнее
задание

1)
Решите уравнения:

а) ;

б)
;

в)
;

г)
.

2)
Упростите выражение:

 

Подведение
итогов

Ученики делятся
на группы по 5 человек. Каждый отвечает на один из вопросов в листе
рефлексии:

Сегодня
на уроке я запомнил…

Я
понял…

Я
научился…

У
меня не получилось…

Мне
хотелось бы…

 

 

Приложение 2

 

 

 

 

 

 

 

Слайд 7

Дифференциация – каким образом Вы
планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить
перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить
уровень усвоения материала учащимися?

Здоровье и соблюдение техники
безопасности

Более
способные учащиеся смогут выполнить больше заданий во время самостоятельной
работы. Остальным учащимся учитель будет помогать в решении уравнений.

На
уроке будет использовано взаимооценивание в процессе самостоятельного решения
уравнений.

Также
учитель будет наблюдать за работой учащихся и давать устные комментарии.

Учащимся
будут предложены разные виды деятельности для уменьшения нагрузки.

Рефлексия
по уроку

Были
ли цели урока/цели обучения реалистичными?

Все
ли учащиеся достигли ЦО?

Если
нет, то почему?

Правильно
ли проведена дифференциация на уроке?

Выдержаны
ли были временные этапы урока?

Какие
отступления были от плана урока и почему?

Используйте
данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о
Вашем уроке из левой колонки.

 

Общая
оценка

Какие
два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об
обучении)?

1:

2:

Что
могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и
об обучении)?

1:

2:

Что
я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных
учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?

 

 

 

 

 

Презентация «Уравнения с модулем»

Уравнения с модулем

Способы решения


0 -a, если а0, если а = 0 |a|= 2 «

Определения

  • Модуль числа а – расстояние от точки с координатой а до ноля
  • следствия
  • 1. модуль числа неотрицателен (|a| ≥0)

а

0

a, если а0

-a, если а

0, если а = 0

|a|=

2

Способы решения уравнений с модулями:

  • 1. По определению модуля
  • 2. Возведение обоих частей уравнения в квадрат
  • 3. Замена переменной
  • 4. Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства
  • 5. Замена совокупностью систем
  • 6. Важный частный случай

2

1. По определению модуля

|ƒ(x)| = a (а ≥0)

f(x) = a или f(x) = — a

Пример : |3x — 8| = 5

Решение:

3x — 8 = 5 или 3x — 8 = -5;

3x = 13, 3x = 3;

x = 13/3, x = 1.

Ответ: 13/3; 1.

2

Решить по определению модуля

1) |2x — 3| = 5

решение

решение

4) |11 – 2x 2 | = 3

2) |x 2 — 4x| = 5

решение

решение

2

По определению модуля № 1

|2x — 3| = 5

Решение

2x — 3 = 5 или 2x — 3 = -5

2x = 8 2x = -2

x = 4 x = -1

Ответ: -1;4

2

По определению модуля № 2

|x 2 + 4x| = 5

Решение

x 2 + 4x = 5 или x 2 + 4x = -5

x 2 + 4x — 5 = 0

Ответ: -5;1

x 2 + 4x + 5 = 0

D = 16 — 20= -4

D

x = -5

x = 1

2

По определению модуля № 3

Решение

|5x — 1| = 4

5x — 1 = 4 или 5x — 1 = -4

5x = 5 или 5x = -3

x =1 x =-3/5 = -0,6

Ответ: -0,6; 1

2

По определению модуля

По определению модуля № 4

решение

|11 — 2x 2 | = 3

11 — 2x 2 = 3 или 11 — 2x 2 = -3

2x 2 = 8 2x 2 = 14

x = 2 или x = -2 x = 7 x = — 7

Ответ: ; -2; 2;

2

2. Возведение обеих частей в квадрат

Пример |x — 3| = |x + 2|

Решение (x — 3) 2 = (x + 2) 2 *

(x — 3) 2 — (x + 2) 2 = 0

(x — 3 + x + 2)(x — 3 — x — 2) = 0

-5∙(2x – 1) = 0, то (2x – 1) = 0

x = 1/2

Ответ:0,5

*

При возведении обоих частей в квадрат данного уравнения равносильность не нарушается, т.к. модуль всегда неотрицательный, и |а| 2 = a 2

2

Решить возведением обеих частей в квадрат

|x — 4| = |x — 1|

|x + 5| = |2x — 5|

решение

решение

|x 2 – 5x| = |x 2 – x + 4|

|x 2 + 5x +11| = |2x + 1|

решение

решение

2

Решить возведением обеих частей в квадрат

|x — 4| = |x — 1|

(x — 4) 2 – (x — 1) 2 = 0

(x — 4 + x — 1)(x — 4 — x + 1) = 0

-3(2x — 5) = 0

2x — 5 = 0

x = 2,5

Ответ: 2,5

2

Вернуться назад

Решить возведением обеих частей в квадрат

|x + 5| = |2x — 5|

(x + 5) 2 — (2x — 5) 2 = 0

(x + 5 — 2x + 5)(x + 5 + 2x — 5) = 0

(-x + 10) · 3x = 0

-3x(x — 10) = 0

Ответ: 0;10

Вернутся назад

2

Решить возведением обеих частей в квадрат

|x 2 – 5x| = |x 2 – x + 4|

(x 2 — 5x) 2 = (x 2 — x + 4) 2

(x 2 — 5x) 2 — (x 2 — x + 4) 2 = 0

(2x 2 — 6x + 4)(-4x — 4) = 0

-8(x 2 — 3x + 2)(x + 1) = 0

(x — 2)(x — 1)(x + 1) = 0

Ответ: -1; 1; 2

Вернуться назад

2

Решить возведением обеих частей в квадрат

|x 2 + 5x + 11| = |2x + 1|

(x 2 + 5x + 11) 2 = (2x + 1) 2

(x 2 + 5x +11) 2 — (2x + 1) 2 = 0

(x 2 + 7x + 12)(x 2 + 3x +10) = 0

x 2 + 7x + 12 = 0 или x 2 + 3x +10 = 0

Ответ: -4; -3.

2

3.Замена переменной

Пример: x 2 — 7|x| — 8 = 0

Решение: t = |x| условие t ≥ 0

t 2 — 7t — 8 = 0

t 1 + t 2 = 7

t 1 · t 2 = -8

t 1 = -1 не удовлетворяет условию

t 2 = 8

|x| = 8

x = 8 x = -8

Ответ: 8; -8.

2

Решить заменой переменной

x 2 – 3|x| + 2 = 0

x 2 + 3|x| = 10

решение

решение

2

Решить заменой переменной

x 2 — 3|x| + 2 = 0

Решение

Пусть t = |x| , то t ≥ 0

t 2 — 3t + 2 = 0

t = 2 или t = 1.

Тогда:

1) |x| = 2 2) |x| = 1

x = 2 или x = -2; x = 1 или x = -1.

Ответ: -2;-1;1;2

2

Решить заменой переменной

x 2 + 3|x| = 10

Решение

x 2 + 3|x| — 10 = 0

Пусть t = |x| , t ≥ 0

t 2 + 3t – 10 = 0

t = 2 или t = -5 -5

Значит ,

|x|= 2

x = 2 или x = -2

Ответ: -2; 2.

2

4.Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства

  • Универсальный способ

Пример: |x| + |x+1|=1

Найдем нули подмодульных выражений: 0; -1

Решение:

— — +

X

X+1

-1 0

— + +

Ответ: [-1;0].

2

Решить, используя раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства

Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства

2) |x — 3| + 2|x + 1| = 4

1) |5 — x| + |x — 1| = 10

решение

3) |x — 1| + |2x — 3| = 2

решение

2

Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства № 1

Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства

|5 — x| + |x — 1| = 10

— + +

x — 1

5 — x

+ 1 + 5 —

Если x ≤ 1, то

5 — x –x + 1 = 10

— 2x + 6 = 10

— 2x = 10 – 6

-2x= 4

x = -2

Если 1

5 — x + x — 1 = 10

0x + 4 = 10

0x = 10 – 4

0x= 6

нет решений

Если x ≥ 5, то

-5 + x +x — 1 = 10

2x — 6 = 10

2x = 10 + 6

2x= 16

x = 8

Ответ: — 2 ; 8

2


3, то x — 3 +2x + 2 = 4 3x — 1 = 4 3x = 4+1 3x= 5 x = 5/3 нет решений Ответ: — 1 2 «

Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства № 2

|x — 3| + 2|x + 1| = 4

— + +

x + 1

x — 3

— -1 — 3 +

Если x ≤ -1, то

3 — x — 2x -2 = 4

— 3x + 1 = 4

— 3x = 4 – 1

-3x= 3

x = — 1

Если -1

3 – x + 2x + 2 = 4

x + 5 = 4

x = 4 – 5

x= -1

нет решений

Если x3, то

x — 3 +2x + 2 = 4

3x — 1 = 4

3x = 4+1

3x= 5

x = 5/3

нет решений

Ответ: — 1

2


1,5, то x — 1 + 2x — 3 = 2 3x — 4 = 2 3x = 2 + 4 3x= 6 x = 2 Ответ: 2/3; 2 2 «

Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства № 3

|x — 1| + |2x — 3| = 2

— + +

x — 1

2x — 3

— 1 — 1,5 +

1. Если x ≤ 1, то

1 — x — 2x + 3 = 2

— 3x + 4 = 2

— 3x = 2 – 4

-3x= — 2

x = 2/3

2 . Если 1

x — 1 + 3 – 2x = 2

— x + 2 = 2

— x = 2 – 2

x= 0

нет решений

3 . Если x 1,5, то

x — 1 + 2x — 3 = 2

3x — 4 = 2

3x = 2 + 4

3x= 6

x = 2

Ответ: 2/3; 2

2

5.Замена совокупностью систем

|ƒ(x)| = g(х)

2

Замена совокупностью систем

Пример: |2x + 7| = 3x + 4

I способ

II способ

2

2

6. Важный частный случай

| f ( x ) | = — f ( x ), тогда f ( x ) ≤ 0

Пример: 7-4 x = |4 x -7|

Решение: т.к. |f ( x )| = -f( x ), то f( x )≤0

4 x — 7 ≤ 0

x ≤ 7/4 , 7/4 = 1,75

2

Удачи!

2

Решение уравнений с модулем (часть 1)

Уравнения с модулем с решениями (часть 1)

перейти к содержанию

Свойства модуля (справочник)

1. Найдите корни уравнения

Решение

Так как и для любого , то . Поэтому и уравнение принимает вид , откуда . Условию удовлетворяет только число .

Ответ:

2. Найдите сумму корней уравнения

Решение

www.itmathrepetitor.ru Раскроем модуль. Для этого рассмотрим первый случай: . Тогда . Корнями этого уравнения являются числа и . После проверки остается только .

Второй случай: . Тогда , откуда . Условию удовлетворяет только .

Сумма корней равна

Ответ:

3. Найдите произведение корней уравнения .

Решение

Пусть , тогда , откуда или , то есть или . Первое уравнение имеет корни , второе уравнение корней не имеет, так как . Значит, произведение корней исходного уравнения равно .

Ответ:

4. Найдите сумму корней уравнения

Решение

www.itmathrepetitor.ru , что равносильно при условии . Корнями первого уравнения совокупности являются числа и , корнями второго — числа и . Неравенству удовлетворяют только и . Значит, сумма корней исходного уравнения равна .

Ответ: 

5. Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения

Решение

. Пусть , тогда и , то есть или . Первое уравнение корней не имеет, так как . Из второго следует, что . Сумма этих корней равна .

Ответ: 

6. Найдите сумму корней уравнения

Решение

Уравнение равносильно совокупности , откуда  Избавимся от знаменателя: .

Ответ: 

7. Найдите сумму корней уравнения

Решение

www.itmathrepetitor.ru Уравнение равносильно совокупности , откуда . Сумма корней равна .

Ответ: 

8. Решите уравнение

Решение

Нули модулей равны и . Рассмотрим три случая: . Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.

Первый случай.

, то есть — любое число. С учетом ограничения случая, .

Второй случай.  

. С учетом ограничения случая, корней нет.

Третий случай. 

, то есть корней нет.

Ответ: 

9. Найдите сумму корней уравнения

Решение

Нули модулей равны и . Рассмотрим три случая: . Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.

Первый случай.

. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.

Второй случай. 

. С учетом ограничения случая, корней нет.

Третий случай. 

. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.

Сумма корней исходного уравнения равна .

Ответ: 

10. Найдите произведение корней уравнения

Решение

Уравнение равносильно совокупности , откуда . Произведение корней равно .

Ответ: 

смотрите раздел «Математика»

 

Чему равен модуль икса. Уравнения с модулем

Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля
. Итак, модулем числа a
называется само это число, если a
неотрицательно и -a
, если число a
меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1.
Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

{±c, если с > 0

Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

{нет корней, если с

1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т.к. -5

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 нет корней

3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8

3.
Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x)
или f(x) = -g(x)
.

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Решение:

x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О.Д.З.:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1.

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Рассмотрим еще один пример:

x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:

t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

|x| = -2 или |x| = 1

Нет корней x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6.
Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1

Ответ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.

blog.сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Среди примеров на модули
часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле
, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m
.
Если k=0
, то есть правая сторона равна постоянной (m)
то проще искать решение уравнения с модулями графически.
Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей
на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.

Пример 1.
Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.


Решение:
Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0
x=0.
В точке x=0
уравнения с модулем разделяется на 2
.
При x |-3x-5|=-2x-2.
При x>0
или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2
.
Решим уравнение
для отрицательных переменных (x

Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1)
, т.е.

Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе

и найдем решение

Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений

Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие

которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.

Пример 2.
Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.


Решение:
Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0
x=1.

Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших — положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.

Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 ->
x>=4/3.

Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x|x-3|=3x-4 ->

x-3=3x-4
или x-3=4-3x;
4-3=3x-x
или x+3x=4+3;
2x=1
или 4x=7;
x=1/2
или x=7/4.

Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.

Пример 3.
Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.


Решение:
Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0
x=5/2=2,5.

Точка x=2,5
разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция
меняет знак при переходе через 2,5.
Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 ->
x>=-3
.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3)
. Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.

Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3
или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3
или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3
или x=7
.
Значение x=7
отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5].
Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5
. Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3
или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3
или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1
или x=9
.
Первое значение x=1
не удовлетворяет условие x>2,5.
Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9,
а всего их два (x=1/3)
.Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ:
x=1/3; x=9.

Пример 4.
Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.


Решение:
Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0
x=1/3.

Точка x=2,5
делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 ->
x>=3/2=1,5.

Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5
. Таким образом модульное уравнения
рассматриваем на двух интервалах
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.

Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3
или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3
или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5
или x=-7
.
Оба значения не попадают в промежуток
, то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5
. Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3
.
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3
или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6
или 2x+3x=6+3;
x=3
или 5x=9; x=9/5=1,8.

Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5
, его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3
.
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3
.
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ:
x=1/3; x=9.

Модуль числа вводится новое понятие в математике. Разберем подробно, что такое модуль числа и как с ним работать?

Рассмотрим пример:

Мы вышли из дома в магазин. Прошли 300 м, математически это выражение можно записать как +300, смысл числа 300 от знака “+” не поменяется. Расстояние или модуль числа в математике это одно и тоже можно записать так: |300|=300. Знак модуля числа обозначается двумя вертикальными линиями.

А потом в обратном направлении прошли 200м. Математически обратный путь мы можем записать как -200. Но мы не говорим так “мы прошли минус двести метров”, хотя мы вернулись, потому что расстояние как величина остается положительной. Для этого в математике ввели понятие модуля. Записать расстояние или модуль числа -200 можно так: |-200|=200.

Свойства модуля.

Определение:
Модуль числа или абсолютная величина числа
– это расстояние от отправной точки до точки назначения.

Модуль целого числа не равного нулю, всегда положительное число.

Записывается модуль так:

1. Модуль положительного числа равно самому числу.

|
a|=
a

2. Модуль отрицательного числа равно противоположному числу.

|-
a|=
a

3. Модуль нуля, равен нулю.

|0|=0

4. Модули противоположных чисел равны.

|
a|=|-
a|=
a

Вопросы по теме:


Что такое модуль числа?

Ответ: модуль — это расстояние от отправной точки до точки назначения.

Если перед целым числом поставить знак “+” , что произойдет?

Ответ: число не поменяет свой смысл, например, 4=+4.

Если перед целым числом поставить знак “-” , что произойдет?

Ответ: число изменится на , например, 4 и -4.

У каких чисел одинаковый модуль?

Ответ: у положительных чисел и нуля модуль будет тот же. Например, 15=|15|.

У каких чисел модуль – противоположное число?

Ответ: у отрицательных чисел, модуль будет равен противоположному числу. Например, |-6|=6.

Пример №1:


Найдите модуль чисел: а) 0 б) 5 в) -7?

Решение:
а) |0|=0
б) |5|=5
в)|-7|=7

Пример №2:


Существуют ли два различных числа, модули которых равны?

Решение:
|10|=10
|-10|=10

Модули противоположных чисел равны.

Пример №3:


Какие два противоположных числа, имеют модуль 9?

Решение:
|9|=9
|-9|=9

Ответ: 9 и -9.

Пример №4:


Выполните действия: а) |+5|+|-3| б) |-3|+|-8| в)|+4|-|+1|

Решение:
а) |+5|+|-3|=5+3=8
б) |-3|+|-8|=3+8=11
в)|+4|-|+1|=4-1=3

Пример №5:


Найдите: а) модуль числа 2 б) модуль числа 6 в) модуль числа 8 г) модуль числа 1 д) модуль числа 0.
Решение:

а) модуль числа 2 обозначается как |2| или |+2| это одно и тоже.
|2|=2

б) модуль числа 6 обозначается как |6| или |+6| это одно и тоже.
|6|=6

в) модуль числа 8 обозначается как |8| или |+8| это одно и тоже.
|8|=8

г) модуль числа 1 обозначается как |1| или |+1| это одно и тоже.
|1|=1

д) модуль числа 0 обозначается как |0|, |+0| или |-0| это одно и тоже.
|0|=0

Модуль числа
a
— это расстояние от начала координат до точки А
(a
).

Чтобы понять это определение, подставим вместо переменной a
любое число, например 3 и попробуем снова прочитать его:

Модуль числа 3

— это расстояние от начала координат до точки А
(3

).

Становится ясно, что модуль это ни что иное, как обычное расстояние. Давайте попробуем увидеть расстояние от начала координат до точки А(3
)

Расстояние от начала координат до точки А(3
) равно 3 (трём единицам или трём шагам).

Модуль числа обозначает двумя вертикальными линиями, например:

Модуль числа 3 обозначается так: |3|

Модуль числа 4 обозначается так: |4|

Модуль числа 5 обозначается так: |5|

Мы искали модуль числа 3 и выяснили, что он равен 3. Так и записываем:

Читается как: «Модуль числа три равен три»

Теперь попробуем найти модуль числа -3. Опять же возвращаемся к определению и подставляем в него число -3. Только вместо точки A
используем новую точку B
. Точку A
мы уже использовали в первом примере.

Модулем числа —3

называют расстояние от начала координат до точки B
(—3

).

Расстояние от одного пункта до другого не может быть отрицательным. Поэтому и модуль любого отрицательного числа, будучи являясь расстоянием тоже не будет отрицательным. Модуль числа -3 будет число 3. Расстояние от начала координат до точки B(-3) равно также трём единицам:

Читается как: «Модуль числа минус три равен три»

Модуль числа 0 равен 0, та как точка с координатой 0 совпадает с началом координат, т.е. расстояние от начала координат до точки O(0)
равно нулю:

«Модуль нуля равен нулю»

Делаем выводы:

  • Модуль числа не может быть отрицательным;
  • Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу;
  • Противоположные числа имеют равные модули.

Противоположные числа

Числа, отличающиеся только знаками называют противоположными
. Например, числа −2 и 2 являются противоположными. Они отличаются только знаками. У числа −2 знак минуса, а у 2 знак плюса, но мы его не видим, потому что плюс, как мы говорили ранее, по традиции не пишут.

Еще примеры противоположных чисел:

Противоположные числа имеют равные модули. Например, найдём модули для −2 и 2

На рисунке видно, что расстояние от начала координат до точек A(−2)
и B(2)
одинаково равно двум шагам.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля
. Итак, модулем числа a
называется само это число, если a
неотрицательно и -a
, если число a
меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1.
Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

{±c, если с > 0

Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

{нет корней, если с

1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т.к. -5

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 нет корней

3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8

3.
Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x)
или f(x) = -g(x)
.

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Решение:

x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О.Д.З.:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1.

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Рассмотрим еще один пример:

x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:

t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

|x| = -2 или |x| = 1

Нет корней x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6.
Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1

Ответ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Как решать простые уравнения с модулем. Что такое модуль числа в математике. Основные понятия и свойства

Инструкция

Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: |х| = х, х ≥ 0; |х| = — х, х

Модуль нулю, а модуль любого положительного числа – ему . Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных равны: |-х| = |х| = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.

Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Возведенный в степень аргумент одновременно находится под знаком корня того же порядка – он решается при помощи : √a² = |a| = ±a.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| >

Модуль нуля равен нулю, а модуль любого положительного числа – ему самому. Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных чисел равны: |-х| = |х| = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя целое положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.

Отрицательным модуль быть не может, поэтому любое отрицательное число преобразуется в положительное: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается изменение порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| > 0, то в итоге получится 2 * |4-b| = 2 *(4 — b). В качестве неизвестного элемента также может быть задано конкретное число, которое следует принимать во внимание, т.к. оно будет влиять на знак выражения.

Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля
. Итак, модулем числа a
называется само это число, если a
неотрицательно и -a
, если число a
меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1.
Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

{±c, если с > 0

Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

{нет корней, если с

1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т.к. -5

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 нет корней

3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8

3.
Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x)
или f(x) = -g(x)
.

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Решение:

x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О.Д.З.:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1.

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Рассмотрим еще один пример:

x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:

t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

|x| = -2 или |x| = 1

Нет корней x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6.
Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1

Ответ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля — символ, которым это понятие обозначается при написании.

Вконтакте

Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль — это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.

Графически абсолютное значение а
обозначается как |a|
.

Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.

Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.

Геометрическое значение

Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.

Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.

Свойства абсолютной величины

Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:

Особенности решения уравнений с модулем

Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.

К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.

|А + 5| = А + 5
, если, А больше или равняется нулю.

5-А
, если, А значение меньше нуля.

В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.

Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.

Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.

Таким образом, мы можем увидеть, что на этой координатной прямой будут две интересующие нас точки со значениями 5 и -5.

А вычисляется в соответствии с такими правилами:

Для краткости записи применяют |а|
. Так, |10| = 10; — 1 / 3 = | 1 / 3 |; | -100| =100 и т. д.

Всякой величине х
соответствует достаточно точная величина |х
|. И значит тождество
у
= |х
| устанавливает у
как некоторую функцию аргумента
х
.

График
этой функции
представлен ниже.

Для x
> 0 |x
| = x
, а для x
x
|= —x
; в связи с этим линия у = |x
| при x
> 0 совмещена с прямой у =х
(биссектриса первого координатного угла), а при х
у = -х
(биссектриса второго координатного угла).

Отдельные уравнения
включают в себя неизвестные под знаком модуля
.

Произвольные примеры таких уравнений — |х
— 1| = 2, |6 — 2х
| =3х
+ 1 и т. д.

Решение уравнений
содержащих неизвестную под знаком модуля базируется на том, что если абсолютная величина неизвестного числа х равняется положительному числу а, то само это число х равняется или а, или -а.

Например
:, если |х
| = 10, то или х
=10, или х
= -10.

Рассмотрим решение отдельных уравнений
.

Проанализируем решение уравнения |х
— 1| = 2.

Раскроем модуль
тогда разность х
— 1 может равняться или + 2, или — 2. Если х — 1 = 2, то х
= 3; если же х
— 1 = — 2, то х
= — 1. Делаем подставновку и получаем, что оба эти значения удовлетворяют уравнению.

Ответ.
Указанное уравнение имеет два корня: x
1 = 3, x
2 = — 1.

Проанализируем решение уравнения
| 6 — 2х
| = 3х
+ 1.

После раскрытия модуля
получаем: или 6 — 2х
= 3х
+ 1, или 6 — 2х
= — (3х
+ 1).

В первом случае х
= 1, а во втором х
= — 7.

Проверка.
При х
= 1 |6 — 2х
| = |4| = 4, 3x
+ 1 = 4; от суда следует, х
= 1 — корен ь
данного уравнения
.

При x
= — 7 |6 — 2x
| = |20| = 20, 3x
+ 1= — 20; так как 20 ≠ -20, то х
= — 7 не является корнем данного уравнения.

Ответ. У
уравнения единственный корень: х
= 1.

Уравнения такого типа можно решать и графически
.

Так решим, например
, графически уравнение |х-
1| = 2.

Первоначально выполним построение графика функции
у
= |x
— 1|. Первым начертим график функции у
=х-
1:

Ту часть этого графика
, которая расположена выше оси х
менять не будем. Для нее х
— 1 > 0 и потому |х
-1|=х
-1.

Часть графика, которая расположена под осью х
, изобразим симметрично
относительно этой оси. Поскольку для этой части х
— 1 х —
1|= — (х —
1). Образовавшаяся в результате линия
(сплошная линия) и будет графиком функции
у = |х
—1|.

Эта линия пересечется с прямой
у
= 2 в двух точках: M 1 с абсциссой -1 и М 2 с абсциссой 3. И, соответственно, у уравнения |х
— 1| =2 будет два корня: х
1 = — 1, х
2 = 3.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

2-21к \ экв 0 $, чтобы получить
$$ 23k + 22 \ эквив 0 \ pmod {2k-21}, $$
и теперь мы можем вычесть $ 11 (2k-21) = 22k-231 \ Equiv 0 $
получить уравнение
$$ k + 253 \ Equiv 0 \ pmod {2k-21}. $$

Теперь перепишем это. Мы хотим найти, для каких $ k $ существует $ q $ такое, что $ k + 253 = q (2k-21) $.

Переставляя, получаем $ (2q-1) k = 253 + 21q $

Таким образом, $ k $ является решением тогда и только тогда, когда $ k $ можно записать как $ \ frac {21q + 253} {2q-1} = 10 + \ frac {q + 263} {2q-1} $.

Таким образом, мы свели вопрос к выяснению, когда $ \ frac {q + 263} {2q-1} $ является целым числом.

Это своего рода боль, поэтому давайте решим гораздо более простой вопрос, когда это целое или полуцелое число, которое мы можем решить, отметив, что в этом случае
$$ \ frac {2 (q + 263)} {2q-1} = \ frac {2q + 526} {2q-1} = 1 + \ frac {527} {2q-1} $$ будет целым числом. Таким образом, $ 2q-1 $ будет фактором 527 $.

Обратите внимание, что 527 $ — нечетное число, поэтому 527 $ / (2q-1) $ всегда будут нечетными, поэтому результирующее целое число всегда будет четным. Это означает, что никакое значение $ q $ не давало полуцелого решения, поэтому каждое возможное значение $ q $ дает значение $ x $. 2 \ Equiv 1 \, $ имеет корни $ \, x \ Equiv \ pm1, \ pm3 \ pmod {\! 8}, \, $, и мы можем найти их все с помощью CRT.Фактически повторение теоремы о факторах легко показывает, что коммутативное кольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда многочлены над ним имеют не больше корней, чем их степень.

При изучении (модульной) арифметики в новых кольцах необходимо иметь в виду, что, как и выше, любые доказательства из знакомых конкретных колец (например, $ \ mathbb Q, \ mathbb R, \ mathbb C) $ будут обобщать до каждые кольца, если они являются чисто теоретико-кольцевыми , т.е. если в доказательстве используются только универсальные свойства кольца, т.е.е. законы, которые выполняются в каждые колец, например коммутативные, ассоциативные, распределительные законы. Таким образом, многие известные тождества (например, биномиальная теорема, факторизация разности квадратов) являются универсальными , т.е. выполняются в каждом кольце. Вышеупомянутая импликация — что разрешимая квадратичная над $ \ rm \, R \, $ дискриминант, являющаяся квадратом в $ \ rm \, R, \, $, использовала только коммутативные кольцевые законы, поэтому она остается верной в каждом коммутативном кольце. Но нам потребуются дополнительные гипотезы ($ \ rm R \, $ — область и $ \, \ rm \ color {# a00} {2a} \, $ обратимая), чтобы пойти дальше и получить формулу корней квадратного уравнения и доказательство того, что это единственные корни.

Это одно из больших преимуществ, предоставляемых аксиоматизацией: абстрагирование общих свойств знакомых систем счисления в абстрактное понятие кольца позволяет дать универсальных доказательств теорем о кольцах. Нет необходимости повторять эти общие свойства кольца каждый раз, когда кто-то изучает новое кольцо (такие повторения часто случались до того, как кольца были аксиоматизированы).

Решение уравнений абсолютных значений — ChiliMath

Решение уравнений абсолютных значений так же просто, как работа с обычными линейными уравнениями.Единственный дополнительный ключевой шаг, который вам нужно запомнить, — это разделить исходное уравнение абсолютного значения на две части: положительную и отрицательную ( ± ) компоненты.

Ниже представлен общий подход к тому, как разбить их на два уравнения:


Кроме того, нам также необходимо иметь в виду следующие ключевые моменты, касающиеся вышеуказанной настройки:

Ключевые моменты, которые следует помнить при решении уравнений абсолютных значений

Ключевой момент №1: Знак \ left | х \ право | должен быть положительным.Для акцента \ left | х \ право | \ к + \ влево | х \ право |.

Ключевой момент №2: x внутри символа абсолютного значения, \ left | {\, ​​\, \, \, \,} \ right | могут быть любыми выражениями.

Ключевой момент № 3: Чтобы найти решение, в правой части уравнения должно быть либо положительное число , либо ноль .

Ключевой момент №4: Если a справа — это отрицательное число , то у него нет решения.


Примеры решения уравнений абсолютных значений

Пример 1: Решите уравнение абсолютного значения \ left | х \ право | = \, — 5.

Абсолютное значение любого числа либо положительно, либо равно нулю. Но это уравнение предполагает, что есть число, абсолютное значение которого отрицательно. Можете ли вы придумать какие-нибудь числа, которые сделают уравнение верным? Ну нет.

Поскольку нет значения x, которое могло бы удовлетворить уравнение, мы говорим, что у него нет решения .

На самом деле, следующие уравнения абсолютных значений также не имеют решений.


Пример 2: Решите уравнение абсолютного значения — \ left | х \ право | = \, — 5.

Не спешите прийти к выводу, что это уравнение не имеет решения. Хотя правая часть уравнения отрицательна, само выражение абсолютного значения должно быть положительным. Но это ведь не так?

Ключевой момент № 1 : Знак \ left | х \ право | должен быть положительным. Для акцента \ left | х \ право | \ к + \ влево | х \ право |.

Нам нужно сначала удалить отрицательный знак символа абсолютного значения, прежде чем мы сможем продолжить.

Обратите внимание, что данное уравнение имеет коэффициент -1.Разделите обе части уравнения на это значение, чтобы избавиться от знака минус.

Поскольку и выражение абсолютного значения, и число положительны, теперь мы можем применить процедуру, чтобы разбить его на два уравнения.

Следовательно, решение проблемы становится

Вы можете проверить наши ответы, подставив их обратно в исходное уравнение. Я оставлю это тебе.


Пример 3: Решите уравнение абсолютного значения \ left | {x — 5} \ right | = 3.

Эта проблема становится интересной, поскольку выражение внутри символа абсолютного значения больше не является простой переменной. Не волнуйтесь; настройка остается прежней. Просто будьте осторожны, когда вы разбиваете данное уравнение абсолютного значения на два более простых линейных уравнения, а затем действуйте так, как вы обычно решаете уравнения.

Вы можете проверить ответы на исходное уравнение.


Пример 4: Решите уравнение абсолютного значения \ left | {- 2x + 7} \ right | = 25.

Вы можете подумать, что эта проблема сложна из-за –2 рядом с переменной x. Однако это не должно вас пугать, потому что ключевая идея остается прежней. У нас есть символ абсолютного значения, изолированный с одной стороны, и положительное число — с другой. Решение этой проблемы — как еще один день в парке!

Разбейте его на компоненты + и -, затем решите каждое уравнение.


Пример 5 : Решите уравнение абсолютного значения \ left | {- 6x + 3} \ right | — 7 = 20.

Это не готов только что разделить на два компонента. Почему? Это потому, что символ абсолютного значения сам по себе не находится на одной стороне уравнения. Если вы посмотрите на него, с левой стороны есть -7, которую нужно сначала устранить. Как только мы избавимся от этого, мы сможем продолжить как обычно.

Удалите -7 с левой стороны, добавив обе стороны по \ color {blue} 7.

Теперь у нас есть уравнение абсолютного значения, которое можно разбить на две части.2} + 2x — 4} \ right | = 4,

Это интересная проблема, потому что у нас есть квадратное выражение внутри символа абсолютного значения. Надеюсь, вы не отвлеклись на то, как это выглядит! Если вы столкнулись с ситуацией, когда не знаете, как действовать, придерживайтесь основ и вещей, которые вы уже знаете.

Нас не волнует «материал» внутри символа абсолютного значения. Пока оно изолировано, а другая сторона является положительным числом, мы определенно можем применить правило, чтобы разделить уравнение на два случая.

Фактически, единственное отличие этой задачи от того, что вы делали до сих пор, состоит в том, что вы будете решать квадратные уравнения вместо линейных.

Мы можем проверить, что наши четыре ответа или решения равны x = — \, 4, -2, 0 и 2, построив графики двух функций и посмотрев на их точки пересечения.


Рабочие листы для решения уравнений абсолютных значений


Возможно, вас заинтересует:

Графики функций абсолютных значений
Устранение неравенств абсолютных значений

Решение уравнений абсолютных значений — JustQuant.com

[latexpage]
В этом посте мы увидим, как решать проблемы, связанные с уравнениями и неравенствами абсолютных значений (модулей). Чтобы понять основы абсолютного значения, щелкните здесь — Абсолютное значение

Решение задач абсолютного значения типа | f (x) | + g (x) = k

Как найти значение x в абсолютных уравнениях, включающих | f (x) | + g (x) = k

Мы можем решить подобные проблемы, сделав уравнение независимым от знака модуля.
Чтобы уравнение не зависело от знака абсолютного значения, давайте сначала посмотрим на определение Абсолютного значения f (x)

Мы знаем, что абсолютное значение всегда положительно,
Итак, если f (x) ≥0, значение f (x) положительно и, следовательно, | f (x) | будет равно f (x), и если f (x) <0, значение отрицательное, поэтому | f (x) | будет равно -f (x), чтобы полученное значение было положительным.

Следовательно, на основе определения абсолютного значения f (x) мы можем идентифицировать те значения x, когда f (x) меняет свой знак и на основании которых мы можем разделить наш подход к проблеме по случаям,

Случай 1: f (x) ≥ 0
Когда f (x) ≥0, | f (x) | = f (x).Следовательно,

| f (x) | + g (x) = k => f (x) + g (x) = k.

Случай 2: f (x) <0 Когда f (x) ≥0, | f (x) | = f (x). Следовательно, | f (x) | + g (x) = k => -f (x) + g (x) = k.

Теперь у нас есть два уравнения для f (x), которые не зависят от знака модуля. Теперь мы можем решить эти уравнения относительно x.

Примечание. После того, как вы решите значение x для каждого случая, проверьте, удовлетворяет ли x условию для этого случая. Если x удовлетворяет условию, то это допустимое решение.

1.Решить относительно x: | x-3 | + 2x = 7
Мы имеем,

Следовательно,
Случай 1: x ≥ 3
| x-3 | + 2x = 7 => x — 3 + 2x = 7 => x = 10/3
Здесь x = 10/3 удовлетворяет условию x≥3. Здесь x = 10/3 — допустимое решение.

Случай 2: x <3 | x-3 | + 2x = 7 => — (x — 3) + 2x = 7 => x = 4.
Здесь x = 4 не удовлетворяет условию x <3. Следовательно, x = 4 не является допустимым решением.

Следовательно, значение x для уравнения | x-3 | + 2x = 7 равно x = 4.2 — 9} $

3. Решить относительно x: | x + 3y | = 5, | y | = 4

Случай 1: x + 3y = 5, y = 4
=> x = -7, y = 4

Случай 2: x + 3y = 5, y = -4
=> x = 17, y = -4

Случай 3: x + 3y = -5, y = 4
=> x = -17, y = 4

Случай 4: x + 3y = -5, y = -4
=> x = 7, y = -4

Неравенства абсолютных значений — 1 Квадратичный член

Неравенства абсолютных значений являются бесценным инструментом в практике дисциплин STEM.Примечательно, что определение предела ε − δ \ varepsilon — \ delta ε − δ использует неравенства такого вида.

ПРИМЕЧАНИЕ. Создавайте изображения Python для отображения доменов.

Введение — Общие

Напомним определение абсолютного значения:

Для любой действительной функции f (x) f (x) f (x) ее абсолютное значение определяется как

∣f (x) ∣ = {f (x), если f (x)> 00, если f (x) = 0 — [f (x)], если f (x) <0. | f (x) | = \ begin {case} f (x) & \ textrm {if} f (x)> 0 \\
0 & \ textrm {если} f (x) = 0 \\
— [е (х)] & \ textrm {если} е (х) <0.2 + \ beta_1 x + \ gamma_1 | \ geq | f (x) | ∣α1 x2 + β1 x + γ1 ∣≥∣f (x) ∣

такие, что коэффициенты (α1, β1, γ2) (\ alpha_1, \ beta_1, \ gamma_2) (α1, β1, γ2) существуют в вещественных числах и (α1) ≠ (0) (\ alpha_1) \ neq ( 0) (α1)  = (0). Чтобы обработать такой набор коэффициентов, я предлагаю разработать в уме систему координат, содержащую коэффициенты (α1, β1, γ1). (\ alpha_1, \ beta_1, \ gamma_1). (α1, β1, γ1). Обратите внимание: если рассматривать точки в любом пространстве в форме (0, β1, γ1) (0, \ beta_1, \ gamma_1) (0, β1, γ1), вы эффективно учитываете неравенства в форме, указанной в неравенства по абсолютной величине.

ПРИМЕЧАНИЕ. Вставьте созданный python GIF случайного непрерывного обхода (α1, β1, γ1) (\ alpha_1, \ beta_1, \ gamma_1) (α1, β1, γ1) и (α2, β2, γ2) (\ alpha_2) , \ beta_2, \ gamma_2) (α2, β2, γ2) и в результате (x, f1 (x, α1, β1, γ1)) \ big (x, f_1 (x, \ alpha_1, \ beta_1, \ gamma_1 ) \ big) (x, f1 (x, α1, β1, γ1)) и (x, f2 (x, α2, β2, γ2)). \ big (x, f_2 (x, \ alpha_2, \ beta_2, \ gamma_2) \ big). (x, f2 (x, α2, β2, γ2)).

Метод решения проблем:

Для решения уравнений этого типа необходимо, чтобы решатель задач выполнил как минимум четыре шага:

  1. Активирует действие функции абсолютного значения.Это преобразование выполняемых функций в кусочные функции, вероятно, содержащие (- [f (x)], 0, f (x)) \ big (- [f (x)], 0 , е (х) \ большой) (- [е (х)], 0, е (х)). Выделите области каждого члена и каждого элемента кусочной функции в уравнении.
  2. Рассмотрим пересечение областей включенных функций и построим стандартное неравенство для каждого случая.
  3. Оцените неравенство по каждому пересечению и выделите область, для которой неравенство выполняется на этом пересечении.2 + \ beta_1 x + \ gamma_1 | > C∣α1 x2 + β1 x + γ1 ∣> C

    При решении неравенств, содержащих функции абсолютного значения, мы должны сначала применить действие функции абсолютного значения к составной функции. Только после этого мы сможем решить вопрос о неравенстве. При условии, что ∣f (x) ∣ | f (x) | ∣f (x) ∣, мы должны проанализировать f (x) f (x) f (x) при трех условиях

    (f (x) <0) ⟹ - [f (x)] (f (x) = 0) ⟹ 0 (f (x)> 0) ⟹ f (x), \ begin {выровнено} (f (x ) <0) & \ подразумевает - [f (x)] \\ (f (x) = 0) & \ подразумевает 0 \\ (f (x)> 0) & \ подразумевает f (x), \ end {выровнено } (f (x) <0) (f (x) = 0) (f (x)> 0) ⟹− [f (x)] ⟹0⟹f (x),

    и извлеките домен для каждого случая.2 &> 1 \\
    х &> \ pm 1.
    \ end {align} x2−1x2x> 0> 1> ± 1.
    Следовательно, ∣f (x) ∣ = f (x) | f (x) | = f (x) ∣f (x) ∣ = f (x) для x> 1∪x <−1x> 1 \ cup x <-1x> 1∪x <−1. □ _ \ квадрат □

    Теперь, когда мы обнаружили область определения каждого компонента нашей кусочной функции, мы теперь в состоянии ответить на вопрос, поставленный уравнением.

    Соберем подобласти ∣f1 (x) ∣ | f_ {1} (x) | ∣f1 (x) ∣ и f2 (x) f_ {2} (x) f2 (x) в множества D1 , nD_ {1, n} D1, n и D2, n, D_ {2, n}, D2, n, соответственно:

    D1, n = ((- 1 1) ∪ (x <−1)) = D1,1, D1,2, D1,3D2, n = (- ∞ 1) \ чашка (x <-1) \ big)} \\ & = {D_ {1,1}, D_ {1,2}, D_ {1,3}} \\\\ D_ {2, n} & = {(- \ infty 1) ∪ (x <−1)) = D1,1, D1,2, D1,3 = (- ∞

    Помните, что каждая область соответствует элементу каждой кусочной функции. Теперь мы должны проверить пересечения каждой области и построить и решить соответствующее неравенство:

    Корпус 1.D1,1∩D2,1 = (- 1 Случай 2. D1,2∩D2,1 = ((x = 1) ∪ (x = −1)) ⟹ 0 Случай 3. D1,3∩D2,1 = ((x> 1) ∪ (x <−1)) ⟹ f1 (x) 1) \ cup (x <-1) \ big) \ подразумевает f_ {1} (x) 1) ∪ (x <−1)) ⟹f1 (x) x> — \ sqrt {2} \ big) \ Big) x2−1 <1⟹ ((1 x> −2)).

    Наконец, мы можем объединить области, на которых выполняется неравенство:

    ((1 x> −2)) ∪ ((1> x> 0) ∪ (−1 x> — \ sqrt {2} \ big) \ Big) & \ cup \ big ((1> x > 0) \ чашка (-1 0 \\
    (х-5) (х-2) &> 0 \\
    х & <2 \ чашка х> 5.
    \ end {align} x2−7x + 10 (x − 5) (x − 2) x> 0> 0 <2∪x> 5.
    Следовательно, ∣f (x) ∣ = f (x) | f (x) | = f (x) ∣f (x) ∣ = f (x) для x <2∪x> 5x <2 \ cup x> 5x <2∪x> 5. □ _ \ квадрат □

    Теперь, когда мы обнаружили область определения каждого компонента нашей кусочной функции, мы теперь в состоянии ответить на вопрос, поставленный уравнением.

    Соберем подобласти ∣f1 (x) ∣ | f_ {1} (x) | ∣f1 (x) ∣ и ∣f2 (x) ∣ | f_ {2} (x) | ∣ f2 (x) ∣ на наборы D1, nD_ {1, n} D1, n и D2, n, D_ {2, n}, D2, n соответственно:

    D1, n = (2 5) = D1,1, D1,2, D1,3D2, n = (- ∞ 5)} \\ & = {D_ {1,1} , D_ {1,2}, D_ {1,3}} \\\\
    D_ {2, n} & = {(- \ infty 5) = D1,1, D1, 2, D1,3 = (- ∞

    Помните, что каждая область соответствует элементу каждой кусочной функции. Теперь мы должны проверить пересечения каждой области и построить и решить соответствующее неравенство:

    Корпус 1.D1,1∩D2,1 = (2 Случай 2. D1,2∩D2,1 = ((x = 2) ∪ (x = 5)) ⟹ 0 Случай 3. D1,3∩D2,1 = ((x <2) ∪ (x> 5)) ⟹ f1 (x) 5) \ big) \ подразумевает f_ {1} (x) 5)) ⟹f1 (x) 0 <9 <± 3. Следовательно, ∣f (x) ∣ = f (x) | f (x) | = f (x) ∣f (x) ∣ = f (x) для −3

  4. Рассмотрим f2 (x) f_ {2} (x) f2 (x):

    • Случай 1. (f2 (x) <0) ⟹ - [f (x)] (f_ {2} (x) <0) \ влечет - [f (x)] (f2 (x) <0 ) ⟹− [f (x)]
      Имеем
      х <0. х <0. х <0. Следовательно, ∣f2 (x) ∣ = - [f2 (x)] | f_ {2} (x) | = - [f_ {2} (x)] ∣f2 (x) ∣ = - [f2 (x)] для x <0x <0x <0.

    • Случай 2. (f2 (x) = 0) ⟹ 0 (f_ {2} (x) = 0) \ влечет 0 (f2 (x) = 0) ⟹0
      Имеем
      х = 0. х = 0. х = 0.
      Следовательно, ∣f (x) ∣ = 0 | f (x) | = 0∣f (x) ∣ = 0 для x = 0x = 0x = 0.

    • Случай 3. (f2 (x)> 0) ⟹ f (x) (f_ {2} (x)> 0) \ влечет f (x) (f2 (x)> 0) ⟹f (x)
      У нас есть
      х> 0. х> 0. х> 0.
      Следовательно, ∣f (x) ∣ = f (x) | f (x) | = f (x) ∣f (x) ∣ = f (x) для x> 0x> 0x> 0. □ _ \ квадрат □

    В отличие от функций абсолютного значения, с которыми мы имели дело ранее, теперь у нас осталось шесть поддоменов: три из ∣f1 (x) ∣ | f_ {1} (x) | ∣f1 (x) ∣ и три из ∣f2 (x) ∣ | f_ {2} (x) | ∣f2 (x) ∣.Теперь мы должны поработать, чтобы найти пересечения этих подобластей, чтобы мы могли решить вопрос о неравенстве.

    Соберем подобласти ∣f1 (x) | f_ {1} (x) ∣f1 (x) и ∣f2 (x) | f_ {2} (x) ∣f2 (x) в множества D1 , nD_ {1, n} D1, n и D2, nD_ {2, n} D2, n соответственно:

    D1, n = (x <−3∪x> 3), (x = −3∪x = 3), (- 3 3), (x = -3 \ cup x = 3), (-3 3), (x = −3∪x = 3), (- 3

    Тестовое изображение

    и

    D2, n = (x <0), (x = 0), (x <0) = D2,1, D2,2, D2,3.\ begin {выровнено} D_ {2, n} & = {(x <0), (x = 0), (x <0)} \\ & = {D_ {2,1}, D_ {2,2}, D_ {2,3}}. \ end {align} D2, n = (x <0), (x = 0), (x <0) = D2,1, D2,2, D2,3.

    Помните, что каждая область соответствует элементу каждой кусочной функции. Теперь мы должны проверить пересечения каждой области и построить и решить соответствующее неравенство:

    Случай 1. D1,1∩D2,1 = (x <−3) ⟹ - [f1 (x)] ≥− [f2 (x)] D_ {1,1} \ cap D_ {2,1} = ( x <-3) \ подразумевает - [f_ {1} (x)] \ geq - [f_ {2} (x)] D1,1 ∩D2,1 = (x <−3) ⟹− [f1 (x)] ≥− [f2 (x)]
    Случай 2.D1,1∩D2,2 = ∅ ⟹ D_ {1,1} \ cap D_ {2,2} = \ varnothing \ impliesD1,1 ∩D2,2 = ∅⟹ без пересечения
    Случай 3. D1,1∩ D2,3 = (x> 3) ⟹ — [f1 (x)] ≥f2 (x) D_ {1,1} \ cap D_ {2,3} = (x> 3) \ подразумевает — [f_ {1} (x)] \ geq f_ {2} (x) D1,1 ∩D2,3 = (x> 3) ⟹− [f1 (x)] ≥f2 (x)
    Случай 4. D1,2 ∩D2,1 = (x = −3) ⟹ 0≥− [f2 (x)] D_ {1,2} \ cap D_ {2,1} = (x = -3) \ подразумевает 0 \ geq — [f_ {2} (x)] D1,2 ∩D2,1 = (x = −3) ⟹0≥− [f2 (x)]
    Случай 5. D1,2∩D2,2 = ∅ ⟹ D_ { 1,2} \ cap D_ {2,2} = \ varnothing \ impliesD1,2 ∩D2,2 = ∅⟹ без пересечения
    Случай 6.D1,2∩D2,3 = (x = 3) ⟹ 0≥f2 (x) D_ {1,2} \ cap D_ {2,3} = (x = 3) \ подразумевает 0 \ geq f_ {2} ( x) D1,2 ∩D2,3 = (x = 3) ⟹0≥f2 (x)
    Случай 7. D1,3∩D2,1 = (- 3 Случай 8. D1,3∩D2,2 = (x = 0) ⟹ f1 (x) ≥0D_ {1,3} \ cap D_ {2,2} = (x = 0) \ влечет f_ {1} (x) \ geq 0D1,3 ∩D2,2 = ( x = 0) ⟹f1 (x) ≥0
    Случай 9. D1,3∩D2,3 = (0

    Наконец, мы можем объединить области, на которых выполняется неравенство:

    (x≤ − 1−372) ∪ (x≥1 + 372) ∪ (0> x≥1−372) ∪ (x = 0) ∪ (0 x \ geq \ frac {1 — \ sqrt {37}} {2} \ right) \ cup (x = 0) \ cup \ left (0 -7 \\
    х & <\ pm \ sqrt {7}. \ end {align} 7 − x2 − x2x> 0> −7 <± 7. Следовательно, ∣f (x) ∣ = f (x) | f (x) | = f (x) ∣f (x) ∣ = f (x) для (−7

    Теперь, когда мы обнаружили область определения каждого компонента нашей кусочной функции, мы теперь в состоянии ответить на вопрос, поставленный уравнением.

    Соберем подобласти ∣f1 (x) ∣ | f_ {1} (x) | ∣f1 (x) ∣ и f2 (x) f_ {2} (x) f2 (x) в множества D1 , nD_ {1, n} D1, n и D2, n, D_ {2, n}, D2, n, соответственно:

    D1, n = ((x> 7) ∪ (x <−7)), ((x = 7) ∪ (x = −7)), (- 7 \ sqrt {7}) \ cup (x <- \ sqrt {7})), ((x = \ sqrt {7}) \ cup (x = - \ sqrt {7})), (- \ sqrt {7} 7) ∪ (x <−7)), ((x = 7) ∪ (x = −7)), ( −7

    Помните, что каждая область соответствует элементу каждой кусочной функции. Теперь мы должны проверить пересечения каждой области и построить и решить соответствующее неравенство:

    Корпус 1.D1,1∩D2,1 = ((x> 7) ∪ (x <−7)) ⟹ - [f1 (x)] ≥f2 (x) D_ {1,1} \ cap D_ {2,1} = \ Big (\ big (x> \ sqrt {7} \ big) \ cup \ big (x <- \ sqrt {7} \ big) \ Big) \ подразумевает - [f_ {1} (x)] \ geq f_ {2} (x) D1,1 ∩D2,1 = ((x> 7) ∪ (x <−7)) ⟹− [f1 (x)] ≥f2 (x)
    Случай 2 . D1,2∩D2,1 = ((x = 7) ∪ (x = −7)) ⟹ 0≥f2 (x) D_ {1,2} \ cap D_ {2,1} = \ Big (\ big (x = \ sqrt {7} \ big) \ cup \ big (x = — \ sqrt {7} \ big) \ Big) \ подразумевает 0 \ geq f_ {2} (x) D1,2 ∩D2,1 = ((X = 7) ∪ (x = −7)) ⟹0≥f2 (x)
    Случай 3. D1,3∩D2,1 = (- 7

    Наконец, мы можем объединить области, на которых выполняется неравенство:

    (x≤1−1934) ∪ (x≥1 + 1934) ∪ (−1−334≤x≤ − 1 + 334). \ left (x \ leq \ frac {1 — \ sqrt {193}} {4} \ right) \ cup \ left (x \ geq \ frac {1 + \ sqrt {193}} {4} \ right) \ cup \ left (\ frac {-1 — \ sqrt {33}} {4} \ leq x \ leq \ frac {-1 + \ sqrt {33}} {4} \ right). (x≤41−193 ) ∪ (x≥41 + 193) ∪ (4−1−33 ≤x≤4−1 + 33).

    Решение абсолютных уравнений и неравенств (алгебра 1, линейные неравенства) — Mathplanet

    Абсолютное число числа a записывается как

    $$ \ осталось | a \ right | $$

    And представляет собой расстояние между a и 0 на числовой прямой.

    Уравнение абсолютного значения — это уравнение, которое содержит выражение абсолютного значения. Уравнение

    $$ \ осталось | x \ right | = a $$

    Имеет два решения x = a и x = -a, потому что оба числа находятся на расстоянии a от 0.

    Чтобы решить уравнение абсолютного значения как

    $$ \ осталось | x + 7 \ вправо | = 14 $$

    Вы начинаете с превращения его в два отдельных уравнения, а затем решаете их по отдельности.

    $$ x + 7 = 14 $$

    $$ x + 7 \, {\ color {green} {- \, 7}} \, = 14 \, {\ color {green} {- \, 7}} $$

    $$ x = 7 $$

    или

    $$ x + 7 = -14 $$

    $$ x + 7 \, {\ color {green} {- \, 7}} \, = -14 \, {\ color {green} {- \, 7}} $$

    $$ x = -21 $$

    Уравнение абсолютного значения не имеет решения, если выражение абсолютного значения равно отрицательному числу, поскольку абсолютное значение никогда не может быть отрицательным.

    Неравенство

    $$ \ осталось | х \ право | <2 $$

    Представляет расстояние между x и 0, которое меньше 2

    Тогда как неравенство

    $$ \ осталось | x \ right |> 2 $$

    Представляет расстояние между x и 0, которое больше 2

    Вы можете записать неравенство по абсолютным значениям как составное неравенство.

    $$ \ осталось | x \ right | <2 \: или

    $$ — 2

    Это верно для всех неравенств по абсолютным значениям.

    $$ \ осталось | ax + b \ right | 0 $$

    $$ = — c

    $$ \ осталось | ax + b \ right |> c, \: где \: c> 0 $$

    $$ = ax + b <-c \: или \: ax + b> c $$

    Вы можете заменить> выше на ≥ и <на ≤.

    При решении неравенства абсолютного значения необходимо сначала выделить выражение абсолютного значения на одной стороне неравенства, прежде чем решать неравенство.


    Пример

    Решите неравенство абсолютных значений

    $$ 2 \ влево | 3x + 9 \ вправо | <36 $$

    $$ \ frac {2 \ left | 3x + 9 \ right |} {2} <\ frac {36} {2} $$

    $$ \ осталось | 3x + 9 \ вправо | <18 $$

    $$ — 18 <3x + 9 <18 $$

    $$ — 18 \, {\ color {green} {- \, 9}} <3x + 9 \, {\ color {green} {- \, 9}} <18 \, {\ color {green} { - \, 9}} $$

    $$ — 27 <3x <9 $$

    $$ \ frac {-27} {{\ color {green} 3}} <\ frac {3x} {{\ color {green} 3}} <\ frac {9} {{\ color {green} 3} } $$

    $$ — 9


    Видеоурок

    Решите уравнение абсолютного значения

    $$ 4 \ влево | 2x -1 \ вправо | -2 = 10 $$

    Урок КАК решать уравнения, содержащие квадратичные члены под знаком абсолютного значения.Урок 1


    Этот урок (КАК решать уравнения, содержащие квадратичные члены под знаком «Абсолютное значение». Урок 1) был создан пользователем ikleyn (39323) : Просмотреть исходный код, Показать
    О приложении ikleyn :


    Как решать уравнения, содержащие квадратичные члены под знаком абсолютного значения. Урок 1

    .

    В этом уроке вы узнаете, как решать уравнения, содержащие квадратичные члены под знаком «Абсолютное значение».
    Это начальный урок по этой теме. Рассмотрим один за другим порядок решения следующих примеров:

    а) =;

    б) =;

    в) =.

    Этот урок имеет продолжение в уроке

    Как решать уравнения, содержащие квадратичные члены под знаком абсолютного значения. Урок 2
    , где рассматриваются более сложные случаи.

    Цель состоит в том, чтобы познакомить вас с различными типичными ситуациями, с которыми вы можете столкнуться, решая подобные проблемы.
    Когда вы научитесь решать эти уравнения, вы легко сможете действовать во многих других случаях.

    Задача 1

    Решите уравнение a) =; & nbsp & nbsp (1)

    Решите уравнение b) =; & nbsp & nbsp (2)

    Решите уравнение c) =. & nbsp & nbsp (3)

    Решение к 1a)

    Упростив уравнение (4), вы получите. Решения — и.Они находятся в диапазонах и> =, значит,
    удовлетворяют всем требованиям.
    Упростив уравнение (5), вы получите, у которого нет реальных решений.

    Таким образом, уравнение (1) имеет два решения и.

    На рис. 1а красная линия представляет график функции =. Зеленая линия представляет постоянную функцию =.
    Точки пересечения представляют собой два решения, которые мы только что нашли.

    Решение 1b)

    Упростив уравнение (6), вы получите.Решения: = ~ и = ~.
    Они находятся в диапазонах и> =, значит, удовлетворяют всем требованиям.
    Упростив уравнение (7), вы получите. Решения — и. Они есть в ассортименте, значит,
    удовлетворяют всем требованиям.

    Таким образом, уравнение (2) имеет четыре решения, и.

    На рис. 1b красная линия представляет график функции =. Зеленая линия представляет постоянную функцию =.
    Точки пересечения представляют четыре решения, которые мы только что нашли.

    Решение для 1c)

    Упростив уравнение (8), вы получите. Решения: = ~ и = ~.
    Они находятся в диапазонах и> =, значит, удовлетворяют всем требованиям.
    Упростив уравнение (9), вы получите. Решения — и. (Два решения сливаются в одно). Решения
    в ассортименте, а значит, удовлетворяют всем требованиям.

    Таким образом, уравнение (3) имеет три решения, и.

    На рисунке , рис. 1c красная линия представляет график функции =.Зеленая линия представляет постоянную функцию =.
    Точки пересечения представляют собой три решения, которые мы только что нашли.

    Ниже графики Рисунок 1a Рисунок 1c представлены снова для вашего удобства.

    Обратите внимание, что стратегия решения одинакова во всех примерах. Он состоит в том, чтобы разбить весь набор действительных чисел на поддомены (диапазоны)
    , где абсолютное значение квадратичного члена является квадратичной функцией, а затем решить соответствующие квадратные уравнения в каждой подобласти (диапазоне).

    Мои другие уроки по уравнениям абсолютных значений на этом сайте:

    — Уравнения абсолютных значений

    — КАК решать уравнения, содержащие линейные члены под знаком «Абсолютное значение». Урок 1

    — КАК решать уравнения, содержащие линейные члены под знаком «Абсолютное значение». Урок 2

    — КАК решать уравнения, содержащие линейные члены под знаком «Абсолютное значение».

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.