Круги эйлера мужчина сын отец: § 2. Отношения между понятиями

Содержание

§ 2. Отношения между понятиями

Ав:
Здравствуйте,
друзья! Подумайте над следующей задачей:
кого в мире больше
отцов,
сыновей или мужчин?

Сс:
Конечно,
мужчин.

Ав:
А
потом?

Сс:
Ну,
наверное, отцов, а потом сыновей. Хотя
с сыновьями и отцами не очень ясно.

Ст.
Подождите, мы же уже умеем изображать
объемы понятий при помощи кругов
Эйлера.
(Подходит к доске и рисует следующую
картинку:

Рис.
1

Получится
вот так! Здорово, взяли и нарисовали
мысли!
Сс:
Ты
уверен, что это правильно?
Ст:
Ты
сам так сказал.

Сс:
Я-то
сказал… Но правильно ли я сказал?

Ав:
Да,
это очень хороший вопрос. Давайте
посмотрим. (Обращается к
рисунку
Студента-тугодума). Рассмотрим
какой-нибудь предмет, который входит
в объем

понятия
«отец», но не входит в объем понятия
«сын», как нарисовано на вашей

картинке.
(Подходит к доске и ставит точку в круге
«отцы» следующим образом:

Что
же получается? У вас существуют отцы,
которые не являются сыновьями. Это
хорошо?

Ст:
Нет,
этого не может быть.

Сс:
Да,
но то же самое можно сказать и о понятиях
«сын» и «мужчина». У нас
получилось,
что не каждый мужчина
сын.

Ав:
Придется
нам в этом деле разобраться.

Наше
рассмотрение объемов понятий и множеств
показывает, что один и тот же
объект
может быть элементом объема различных
понятий. Так, Иван Петрович
Сидоров
одновременно может быть
элементом объемов понятий «человек»,
«студент»,
«мужчина», «спортсмен»,
«избиратель» и т. п. Уже этот простой
факт показывает, что
данные понятия
вступают между собой в определенные
отношения, поскольку имеют
общий
элемент. Но ведь a
priori
1
можно
предположить, что в определенные
отношения
вступают и те понятия,
которые не имеют общих элементов
ведь
это уже само по себе
определенное
отношение.

Рассмотрим
произвольную пару понятий A
и
B.

Понятия
A
и
B
назовем
сравнимыми,
если в содержаниях этих понятий
имеется
хотя бы один общий признак.

Пример.
Понятия «мужчина»
и
«женщина»
сравнимы,
поскольку в их
содержаниях есть общий
признак «быть человеком».

Почти
все понятия сравнимы. Даже божий
дар
и
яичница
в
нашей логической
онтологии являются
предметами, а следовательно, имеют в
своем содержании общий
признак.
Обратите внимание, что в этом определении
речь идет не об основном
содержании,
а обо всем
содержании
понятия. Поэтому почти у каждой пары
понятий
можно найти общий признак.

Понятия
A
и
B
назовем
несравнимыми,
если в содержаниях этих понятий
не
встречается ни одного общего
признака.

Мы
не будем иметь дела с несравнимыми
понятиями, поэтому не будем их
подробно
рассматривать.

До
сих пор речь шла о содержании понятий.
Содержание представляет собой
сложный
признак, в котором могут встречаться
много простых признаков, соединенных
различным
образом (через «и», «или» и т.п.). Поэтому
с рассмотрением соотношения
понятий
по содержанию возникают сложности.
Чтобы избежать неточностей, можно
было
бы ограничиться основным содержанием
понятий, как оно определено в § 2
этой
главы. Для этого надо в определениях
заменить слово «содержание» на слово
«основное
содержание». Однако надо
иметь в виду, что в таком случае
сравнимость и
несравнимость понятий
будет зависеть от того, каким образом
мы сформулируем
основное содержание
понятий.

Более
точной является теория отношений
понятий по объему.

Из
предшествующего — лат.; в философии:
до всякого опыта.

Рассмотрим
пару сравнимых понятий A
и
B.

Понятия
A
и
B
назовем
совместимыми,
если объемы этих понятий имеют
хотя
бы один общий элемент

Пример.
Понятия «футболист»
и
«гений»
совместимы,
потому что
существуют гениальные
футболисты, например, Эдуард Стрельцов
или Пеле.

Понятия
A
и
B
назовем
несовместимыми,
если в объемах этих понятий нет
ни
одного общего элемента.

Пример.
Понятия «божий
дар»
и
«яичница»,
как
предполагается в поговорке
«спутал
божий дар с яичницей», несовместимы,
т. е. ни один объект по имени «божий
дар»
не является в то же время объектом по
имени «яичница». Короче говоря,
эта
поговорка гласит, что ни одна
яичница не является божьим даром и
наоборот.

Если
обозначить объем понятия тем же символом,
что и само понятие, то условие
совместимости
двух понятий можно записать так:

АпВф0,

а
условие несовместимости так:

АпВ=0.

В
отличие от сравнимости-несравнимости
понятий нас будут интересовать как
виды
совместимости, так и виды несовместимости
понятий.

Виды
совместимости

Представим
себе возможные случаи совместимости
двух понятий A
и
B.
Во-
первых,
может быть так, что объемы понятий A
и
B
совпадают.
Во-вторых, может быть
так, что объем
понятия B
целиком
входит в объем A,
но
в то же время имеются такие
элементы
A,
которые
не являются элементами объема понятия
B.
В-третьих,
может быть
так, что объемы понятий
имеют общую часть, но есть такие элементы
объема понятия
B,
которые
не являьтся элементами объема понятия
A
и
наоборот.

Рассмотрим
эти три случая подробнее.

Понятия
A
и
B
назовем
равнозначными,
если объемы этих понятий состоят
из
одних и тех же элементов.

Отношения
между понятиями по объему удобно
иллюстрировать кругами Эйлера.
В
данном случае получится следующий
рисунок:

Пример.
Следующие понятия являются равнозначными:
(A)
Луна
и
(B)
естественный
спутник Земли;
(A)
квадрат
и
(B)
равносторонний
прямоугольник;
(A)
дочь
и
(B)
женщина;
(A)
сын
и
(B)
мужчина;
(A)
сын
и
(B)
внук.

Понятие
B
п
о д ч и н
яе
т с я понятию
A,
если
объем
B
является
собственным
подмножеством объема
A.

Несложно
заметить, что вид понятия подчиняется
самому этому понятию, а любое
понятие
подчиняется своему роду.

При
помощи кругов Эйлера это отношение
изобразим таким образом:

Рис.
4

Пример:
Следующие понятия находятся в отношении
подчинения: (B)
студент
и
(A)
человек;
(B)
человек
и
(A)
животное;
(B)
историк
и
(A)
гуманитарий;
(B)
мать
и
(A)
дочь

все это пары понятий, из которых первое
подчиняетсэ второму.

Понятия
A
и
B
находятся
в отношении п е
ре
к
ре
щ и в а н и я, если они

совместимы
и имеются элементы объема понятия
A,
не
являющиеся элементами

объема
понятия
B,
и
элементы объема понятия
B,
не
являющиеся элементами объема

понятия
A.

При
помощи кругов Эйлера отношение
перекрещивания можно изобразить
следующим
образом:

Рис.
5

Пример.
(A)
студент
и
(B)
спортсмен,
(A)
женщина
и
(B)
красивый
человек,
(A)
монархия
и
(B)
демократическое
государство — все это пары
перекрещивающихся
понятий.

Как
устанмвить, в каком отношении находятся
совместимые понятия? Для этого
следует
задать нашим понятиям A
и
B
два
вопроса:

  1. Все
    ли
    A
    являются
    B
    ?

  2. Все
    ли
    B
    являются
    A
    ?

Если
мы на оба вопроса отвечаем «да»,
то
получаем отношение равнозначности.

Если
мы на первый
вопрос
отвечаем «да»,
а
на второй
— «нет»,
то
понятие A
подчиняется
понятию
B.

Если
мы на первый
вопрос
отвечаем «нет»,
а
на второй

«да»,
то
понятие B
подчиняется
понятию
A.

Если
мы на оба
вопроса
отвечаем «нет»,
то
получаем отношение перекрещивания,

Пример.
Рассмотрим понятия «сын»
и
«мужчина».
Причем
под мужчиной
будем понимать человека
мужского пола. Зададим наши вопросы.

Все
ли сыновья являются мужчинами? — Да.
Все
ли мужчины являются сыновьями? — Да.

Следовательно,
мы получили отношение равнозначности.

Пример.
Теперь рассмотрим отношения между
понятиями «сын» и «отец».

Всякий
ли сын является отцом? — Нет.
Всякий
ли отец является сыном? — Да.

Мы
получили отношение подчинения, причем
понятие «отец» подчиняется
понятию
«сын»1.

Это
дает нам решение задачи, приведенной
в диалоге наших персонажей в начале
этого
параграфа. Графически это решение можно
представить следующим образом:

Если
подытожить наше рассмотрение видов
отношения совместимости, то мы
получим
следующую диаграмму:

Равнозначность
Подчинение Перекрещивание

1
Обратите внимание, что логические
отношения между понятиями отличаются
от обычных отношений
старшинства в
семье.

Виды
несовместимости

Отношение
несовместимости не менее практически
важно для мышления, чем
отношение
совместимости. В нашем мышлении часто
возникает задача показать
несовместимость
некоторых мыслей, например, в дискуссиях.
Тогда нам необходимо
знание отношений
несовместимости между мыслями и умение
его выявлять.

Отношения
между несовместимыми понятиями мы
будем делить на два вида:
соподчинение
и
противоречие.

Понятия
A
и
B
называются
соподчиненными,
если существует третье
понятие
C,
такое,
что
A
подчиняется
C
и
B
подчиняется
C,
и
существует элемент
объема понятия
С, который не входит ни в объем понятия
А, ни в объем понятия
B.

Графически
это отношение можно изобразить так:

Рис.
8

Пример.
Понятия (4) «студент»
и
(B)
«школьник»
соподчинены
понятию (С)
«учащийся»,
потому
что «студент»
подчиняется
понятию «учащийся»,
«школьник»
подчиняется
тому же понятию, но существуют еще
учащиеся, например, аспиранты,
которые
не являются ни школьниками, ни студентами.

Пр
отиворечащими
называются понятия
A
и
B,
если
существует третье
понятие
C,
такое,
что
A
подчиняется
C
и
B
подчиняется
C
и
не существует такого
элемента объема
понятия
C,
который
бы не был элементом объема понятия
A
или
элементом
объема понятия
B.

Короче
говоря, прориворечащие понятия делят
объем третьего понятия ровно на
две
несовместимые части.

Графически
это отношение между понятиями можно
изобразить так:

Пример.
Понятия (A)
«монархия»»
и
(B)
«республика»»
являются
противоречащими
понятиями, потому, что они несовместимы
и оба подчинены
понятию (C)
«форма
правления государства»,
и
никакой другой формы правления,
кроме
монархии и республики, нет.

Пример.
Если отвлечься от наличия среди (C)
людей
гермафродитов
и
транссексуалов, то противоречащими
понятиями будут понятия (A)
«мужчина»
и
(В)
«женщина».

Самый
простой1
способ образования понятия, противоречащего
данному,
это
добавление
к имени, выражающему данное понятие,
частицы «не». «Человек»
«не
человек»,
«совместимые понятия»
«не
совместимые
понятия» и т.п. При этом
только всегда
надо представлять объем какого третьего
понятия
они
делят на
несовместимые части.

Отношение
противоречия
одно
из самых важных в логике. Впоследствии
мы
будем изучать специальный закон
(не)противоречия.
На
отношении противоречия
основывается
такая важная логическая операция, как
дихотомическое деление, которое
мы
с вами подробнее изучим в главе 7.

«Tertium
non datur»
«третьего
не дано»
этой
старинной формулой может быть
описано
отношение противоречия. Если же понятия
находятся в отношении
соподчинения,
то «третье» дано, но дано оно может быть
по-разному. Поэтому среди
понятий,
находящихся в отношении соподчинения,
мы выделим простое соподчинение
и
противоположность.

Понятия
A
и
B
находятся
в отношении
проти
в о п о л о ж н о с т и , если
A
и
B
соподчинены
третьему понятию
C
и
представляют собой крайние
степени
выраженности некоторого
качества.

Определение
кажется сложным, но, в принципе, имеет
простое содержание, что
сразу же
выяснится на рисунке и примерах. Учет
крайних
степеней выраженности
качества
выходит
за пределы логики, поскольку имеет
отношение уже не к форме
мысли, а к ее
содержанию. Поэтому выделение в рамках
отношения соподчинения еще
и отношения
противоположности имеет нелогический
характер, однако мы приводим
его из-за
его близости логике (оно «почти
логическое») и практической (и
даже
философской!) важности

Графически
это отношение традиционно изображается
следующим образом:

И
верный!

Отметим,
что, строго говоря, между диаграммой,
изображающей отношение
соподчинения,
и только что приведенной диаграммой
никакого
различия нет.
То,
что
круги 4
и
B
примыкают
к диаметрально противоположным точкам
окружности С,
просто
означает тот (нелогический) факт, что
4
и
B
представляют
крайние случаи
выраженности некоторого
качества, присущего элементам С.

Пример.
Пусть понятием С
будет
«цвет».
Тогда
A

это
«белый
цвет»,
а
B

это
«черный
цвет».
Понятно,
что они представляют собой крайние
степени
выраженности качества цвета.

Пример.
Пусть С
это
понятие «человек».
Тогда
А
это
«мудрец»,
B

это
«глупец».
Последние
понятия представляют собой крайние
степени наличия у человека
ума, а
между ними расположено множество людей
со средними умственными
способностями1.

В
свое время Аристотель разработал
теорию, согласно которой добродетель

это
среднее
между двумя крайними степенями развития
некоторого качества души. Так,
например,
такие противоположности
трусость
и безрассудная отвага, а между ними

добродетель
«мужество». Графически это можно
изобразить так:

Рис.
11

На
этом основании можно сказать, что
трусость — это недостаток, а
безрассудная
отвага — избыток того
качества души, которое, будучи присуще
душе в меру,
представляет собой
мужество.

Точно
также можно охарактеризовать то качество
души, которое определяет
бережливое
отнмшение к своему имуществу. Избыток
этого качества — скупость,
недостаток
— расточительность, среднее между ними
— щедрость.

Нетрудно
заметить, что отец логики — Аристотель
— применил здесь учение о
противоположных
понятиях для того, чтобы выработать
свое учение о добродетели.

Мы
получили следующую классификацию пар
понятий, находящихся в
отношении
несовместимости:

Правда,
древние философы из школы стоиков
считали, что все люди делятся на мудрецов
и глупцов.
Какие отношения между
понятиями «мудрец» и «глупец» получаются
в таком случае?

Несопвомнеясттииямые

Противоречие

Соподчинение

Простое Противоположность

соподчинение

Рис.
12

Если
эту классификацию соединить с
классификацией совместимых понятий,
то
мы получим классификацию всех
отношений между сравнимыми понятиями,
а
следовательно, и классификацию всех
отношений между понятиями.

Теория
отношений между понятиями создает в
нашей голове мощную структуру,
позволяющую
систематизировать отношения между
любыми понятиями, и на основе
ясного
и отчетливого знания этих отношений
строить свои дальнейшие рассуждения
об
этих понятиях. Если вам удастся
овладеть этой структурой, то у вас не
останется каких-
либо трудностей в
решении задач на отношения между
понятиями, как учебных, типа
той, что
мы решали с нашими героями в начале
этого параграфа, так и реальных
задач,
возникающих при обучении и
исследовании.

Виды совместимости понятий | Рефераты KM.RU

Виды совместимости понятий

Представим себе возможные случаи совместимости двух понятий А
и В. Во-первых, может быть так, что объемы понятий А и В совпадают. Во-вторых,
может быть так, что объем понятия R
целиком входит
в объем А, но в то же время имеются таки
е элементы
А, которые не являются элементами объема понятия В. В-третьих, может быть так,
что объемы понятий имеют общую часть, но есть такие элементы объема понятия В,
которые не являются элементами объема понятия А и наоборот.

Рассмотрим эти три случая подробнее.

Понятия А и В назовем равнозначными, если объемы этих понятий
состоят из одних и тех же элементов.

Отношения между понятиями по объему удобно иллюстрировать
кругами Эйлера.
В данном случае получится следующий
рисунок:

Примеры равнозначных понятий: (А) Луна и (В) естественный спут
ник Земли; (А) квадрат и (В) равносторонний
прямоугольник; (А) дочь и (В) женщина; (А) сын и (В) мужчина; (А) сын и (В)
внук.

Понятие В подчи
няется понятию А,
если объем В является собственным подмножеством объема А.

При помощи кругов Эйлера это отношение изобразим таким
образом:

Примеры: (В) студент и (А) человек; (В) человек и (А)
животное; (В) историк и (А) гуманитарий; (В) мать и (А) дочь — все это пары
понятий, из которых первое подчиняется второму.

Понятия А и В находятся в отношении перекрещивания, если они
совместимы и имеются элементы объема понятия А, не являющиеся элементами объема
понятия В, и элементы объема понятия В, не являющиеся элементами объема понятия
А.

При помощи кругов Эйлера отношение перекрещивания можно
изобразить следующим образом:

Примеры: (А) студент и (В) спортсмен, (А) женщина и (В)
красивый человек, (А) монархия и (В) демократическое государство — все это пары
перекрещивающихся понятий.

Как установить, в каком
отношении находятся совместимые понятия? Для этого следует задать нашим
понятиям А и В два вопроса:

1. Все ли А являются B?.

2. Все ли В являются А
?.

Если мы на оба вопроса отвечаем «да», то получаем отношение равнозначности.

Если мы на первый вопрос отвечаем «да», а на второй — «нет»,
то понятие А подчиняется понятию В.

Если мы на первый вопрос отвечаем «нет», а на второй — «да»,
то понятие В подчиняется понятию А.

Если мы на оба вопроса отвечаем «
нет»,
то получаем отношение перекрещивания.

Пример. Рассмотрим понятия «сын» и «мужчина». Причем под
мужчиной будем понимать человека мужского пола.

Все ли сыновья являются мужчинами? — Да.

Все ли мужчины являются сыновьями? — Да.

Следовательно, мы получили отношение равнозначности.

Пример. Теперь рассмотрим отношения между понятиями «сын» и
«отец».

Всякий ли сын является отцом? — Нет.

Всякий ли отец является сыном? — Да.

Мы получили отношение подчинения, причем понятие «отец»
подчиняется понятию «сын».

Это дает нам решение задачи, приведенной в диалоге в начале
этого параграфа. Графически это решение можно представить следующим образом:

Наглядно приведенное деление можно изобразить следующим
образом:

совм
естимые понятия

равнозначность подчинение перекрещивание

Виды
несовместимости

Отношения между несовместимыми понятиями мы будем делить на
два вида: соподчинение и противоречие.

Понятия А и В называются соподчиненными, если существует
третье понятие С, такое, что А подчиняется С и В подчиняется
С, и существует элемент объема понятия С, который не входит ни в объем понятия
А, ни в объем понятия В.

Графически это отношение можно изобразить так:

Пример. Понятия (А) «студент» и (В) «школьник» соподчинены
понятию (С) «учащийся», потому что «студент» подчиняется понятию «учащийся»,
«школьник» подчиняется тому же понятию, но существуют еще учащиеся, например,
аспиранты, которые не являются ни школьниками, ни студентами.

Пр
отиворечащими
называются понятия А и В, если существует третье понятие С, такое, что А
подчиняется С и В подчиняется С и не существует такого элемента объема понятия
С, который бы не был элементом объема понятия А или элементом объема понятия В.

Графически это отношение между понятиями можно изобразить так:

Пример. Понятия (А) «монархия» и (В) «республика» являются
противоречащими понятиями, потому, что они несовместимы и оба подчинены понятию
(С) «форма правления государства», и никакой другой формы правления, кроме
монархии и республики, нет.

Пример. Если отвлечься от наличия среди (С) людей
гермафродитов, то противоречащими понятиями будут (А) понятия «мужчина» и
«женщина».

Самый простой способ образования понятия, противоречащего
данному, — это добавление к имени, выражающему данное понятие, частицы «не».
«Человек» — «нечеловек», «совместимые понятия» — «несовместимые понятия» и т.п.

Отношение противоречия — одно из самых важных в логике.
Впоследствии мы будем изучать специальный закон (не)противоречия.
На отношении противоречия основывается такая важная
логическая операция, как дихотомическое деление, которое мы с вами подробнее
изучим в главе 7.

«Tertium
поп datur»
— «третьего не дано» — этой старинной формулой
может быть описано отношение противоречия. Если же понятия находятся в
отношении соподчинения, то «третье» дано, но дано оно может быть по-разному.
Поэтому среди понятий, находящихся в отношении соподчинения, мы выделим простое
соподчинение и противоположность.

Понятия А и В находятся в отношении противоположности
и,
если А и В соподчинены третьему понятию С и
представляют собой крайние степени выраженности некоторого качества.

Определение немного сложное, но, в принципе, имеет простое
содержание, что сразу же выяснится на рисунке и примерах.

Графически это отношение традиционно изображается следующим
образом:

Отметим, что, строго говоря, между диаграммой, изображающей
отношение соподчинения, и только что приведенной диаграммой никакого различия
нет. То, что круги А и В примыкают к диаметрально противоположным точкам
окружности С, просто означает тот факт, что А и В представляют крайние случаи
выраженности качества, присущего элементам С.

Пример. Пусть понятием С будет цвет. Тогда А — это белый цвет,
а В — это черный цвет. Понятно, что они представляют собой крайние степени выраженности
качества цвета.

Пример. Пусть С — это
понятие «человек». Тогда А — это «мудрец», В — это «глупец». Последние понятия
представляют собой крайние степени наличия у человека ума, а между ними
расположено множество людей со средними умственными способностями.

В свое время Аристотель разработал теорию, согласно которой
добродетель — это среднее между двумя крайними степенями развития некоторого
качества души. Так, например, такие противоположности — трусость и безрассудная
отвага, а между ними — добродетель «мужество». Графически это можно изобразить
так:

На этом основании можно сказать, что трусость — это
недостаток, а безрассудная отвага — избыток того качества души, которое, будучи
присуще душе в меру, представл
яет собой мужество.

Точно также можно охаракт
еризовать
то качество души, которое определяет бережливое отношение к своему имуществу.
Избыток этого качества — скупость, недостаток — расточительность, среднее между
ними — щедрость.

Нетрудно заметить, что отец логики — Аристотель — применил
здесь учение о противоположных понятиях для того, чтобы выработать свое учение
о добродетели.

Итак, мы получили следующую классификацию пар понятий,
находящихся в отношении несовместимости:

                           несов
местимые поняти
я

соподчинение
                                                                         против
оречие

простое соподчинение                                    противоположность

Если эту классификацию соединить с классификацией совместимых
понятий, то мы получим классификацию всех отношений между сравнимыми понятиями,
а следовательно, и классификацию всех отношений между понятиями.

Теория отношений между понятиями создает в нашей голове мощную
структуру, позволяющую систематизировать отношения между любыми по
нятиями, и на основе ясного и отчетливого знания этих
отношений строить свои дальнейшие рассуждения об этих понятиях. Если вам
удастся овладеть
этой структурой, то у вас не
останется каких-либо трудностей в решении задач на отношения между понятиями,
как учебных, типа той, что мы решали с нашими героями в начале этого параграфа,
так и задач, возникающих при обучении и исследовании.

При подготовке этой работы были использованы материалы с сайта
http://www.studentu.ru

Дата добавления: 30.10.2002

1.6. Круговые схемы Эйлера. Логика. Учебное пособие

1.6. Круговые схемы Эйлера

Как мы уже знаем, в логике выделяется шесть вариантов отношений между понятиями. Два любых сравнимых понятия обязательно находятся в одном из этих отношений. Например, понятия писатель и россиянин находятся в отношении пересечения, писатель и человек – подчинения, Москва и столица России – равнозначности, Москва и Петербург – соподчинения, мокрая дорога и сухая дорога – противоположности, Антарктида и материк – подчинения, Антарктида и Африка – соподчинения и т.  д. и т. п.

Надо обратить внимание на то, что если два понятия обозначают часть и целое, например месяц и год, то они находятся в отношении соподчинения, хотя может показаться, что между ними отношение подчинения, ведь месяц входит в год. Однако, если бы понятия месяц и год были подчиненными, то тогда надо было бы утверждать, что месяц – это обязательно год, а год – это не обязательно месяц (вспомним отношение подчинения на примере понятий карась и рыба: карась – это обязательно рыба, но рыба – это не обязательно карась). Месяц – это не год, а год – это не месяц, но и то, и другое – отрезок времени, следовательно, понятия месяц и год, так же, как и понятия книга и страница книги, автомобиль и колесо автомобиля, молекула и атом и т. п., находятся в отношении соподчинения, т. к. часть и целое – не то же самое, что вид и род.


В начале говорилось о том, что понятия бывают сравнимыми и несравнимыми. Считается, что рассмотренные шесть вариантов отношений применимы только к сравнимым понятиям. Однако возможно утверждать, что все несравнимые понятия находятся между собой в отношении соподчинения. Например, такие несравнимые понятия, как пингвин и небесное тело возможно рассматривать как соподчиненные, ведь пингвин – это не небесное тело и наоборот, но в то же время объемы понятий пингвин и небесное тело входят в более широкий объем третьего понятия, родового по отношению к ним: это может быть понятие объект окружающего мира или форма материи (ведь и пингвин и небесное тело – это различные объекты окружающего мира или различные формы материи). Если же одно понятие обозначает что-то материальное, а другое – нематериальное (например, дерево и мысль), то родовым для этих (как возможно утверждать) соподчиненных понятий является понятие форма бытия, т. к. и дерево, и мысль, и что угодно еще – это различные формы бытия.

Как нам уже известно, отношения между понятиями изображаются круговыми схемами Эйлера. Причем до сих пор мы изображали схематично отношения между двумя понятиями, а это можно сделать и с большим количеством понятий. Например, отношения между понятиями боксер, негр и человек изображаются следующей схемой:

Взаимное расположение кругов показывает, что понятия боксер и негр находятся в отношении пересечения (боксер может быть негром и может им не быть, а также негр может быть боксером и может им не быть), а понятия боксер и человек, так же как и понятия негр и человек находятся в отношении подчинения (ведь любой боксер и любой негр – это обязательно человек, но человек может не быть ни боксером, ни негром).

Рассмотрим отношения между понятиями дедушка, отец, мужчина, человек с помощью круговой схемы:

Как видим, указанные четыре понятия находятся в отношении последовательного подчинения: дедушка – это обязательно отец, а отец – не обязательно дедушка; любой отец – это обязательно мужчина, однако не всякий мужчина является отцом; и, наконец, мужчина – это обязательно человек, но человеком может быть не только мужчина. Отношения между понятиями хищник, рыба, акула, пиранья, щука, живое существо изображаются следующей схемой:

Попробуйте самостоятельно прокомментировать эту схему, установив все имеющиеся на ней виды отношений между понятиями.

Подытоживая сказанное, отметим, что отношения между понятиями – это отношения между их объемами. Значит, для того, чтобы было возможно установить отношения между понятиями, их объем должен быть резким, а содержание, соответственно, ясным, т. е. эти понятия должны быть определенными. Что касается неопределенных понятий, о которых шла речь выше, то установить точные отношения между ними достаточно сложно, фактически невозможно, ведь из-за неясности их содержания и нерезкости объема два каких-нибудь неопределенных понятия можно будет характеризовать как равнозначные или как пересекающиеся, или как подчиняющиеся и т. д. Например, возможно ли установить отношения между неопределенными понятиями неаккуратность и небрежность? То ли это будет равнозначность, то ли подчинение – точно сказать невозможно. Таким образом, отношения между неопределенными понятиями являются так же неопределенными. Понятно поэтому, что в тех ситуациях интеллектуально-речевой практики, где требуется точность и однозначность в определении отношений между понятиями, использование неопределенных понятий является нежелательным.







Данный текст является ознакомительным фрагментом.




Продолжение на ЛитРес








Протокол № 2 от «15» октября 2008 г.

Рекомендовано в качестве дидактического материала для студентов.

© Феодосийская финансово-экономическая академия

Содержание

Круги Эйлера: отношения между понятиями.

Примеры решения задач ……………………..………………………..3

 

Задачи для самостоятельного решения:

 

Задание 1. .……………………………………………..…………………6

 

Задание 2 …………………..……………………………………………10

Задание к семинарскому занятию. Понятие. Вариант 1 ………….…..24

Задание к семинарскому занятию. Понятие. Вариант 2 ……………..26

Задание к семинарскому занятию. Понятие

(дополнительное)………………………………………………………..28

Задание к семинарскому занятию. Суждение.

Заполните таблицу №1………………………………………………….29

Задание к семинарскому занятию. Суждение.

Заполните таблицу №2…………………………………………. ..…….31

Задание к семинарскому занятию. Суждение.

Заполните таблицу №3…………………………………….………….…33

Задание к семинарскому занятию. Умозаключение……….………….35

Задания со стр. 6-24 сделать самостоятельно и принести на последнее семинарское занятие.

Задания со стр. 24 распечатать и приносить на каждое семинарское занятие.

Круги Эйлера:

Отношения между понятиями

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

П р и м е р 1. Представьте с помощью круговой схемы отношения между следующими понятиями:

 

 

Игрушка (А), заводная игрушка (В), кукла (С), заводной автомобиль (D), пистолет (E).

Ответ:

 

 

 

 

 

П р и м е р 2. Представьте с помощью круговой схемы отношения между следующими понятиями:

Молния (А), поджог (В), причина пожара (С), пожар (D), взрыв атомной бомбы (Е).

 

 

Ответ:

 

 

 
 

 

 
 

 

 

П р и м е р 3. Представьте с помощью круговой схемы отношения между следующими понятиями:

 

Планета (A), планета Солнечной системы (B), Земля (C), спутник ( D), искусственный спутник (E), Луна (F), небесное тело (G).

Ответ:

 
 

 

 

П р и м е р 4. Найдите понятия, отношения между которыми удовлетворяли бы приведенной круговой схеме:


 
 

 

 

 
 

 

 

Ответ:Стихийное бедствие (А), землетрясение (В), явление природы (С), наводнение (D), гроза (Е).

П р и м е р 5. Найдите понятия, отношения между которыми удовлетворяли бы приведенной круговой схеме:

 

 
 

 

 

 

 

Ответ:Пожар (А), молния (В), явление природы (С), стихийное бедствие (D).

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

 

Задание 1. Составьте с помощью круговых схем отношения между следующими понятиями:

По номеру в списке, студент выполняет по 10 заданий:1-й — с 1 по 10, 2-й –с 11 по 21, и т.д.

 

1.1. Автобус, маршрутное такси, такси, трамвай, троллейбус, городской транспорт.

1.2.. Автомобиль, легковой автомобиль, грузовой автомобиль, мотор автомобиля.

1.3. Автор романа «Красное и чёрное», автор романа «Пармская обитель».

1.4. Адмирал, английский адмирал, русский адмирал, адмирал Ушаков, адмирал Нельсон.

1.5. Акционерное общество, член АО, председатель правления АО, Петров.

1.6. Атом, ядро, протоны, нейтроны, электроны.

1.7. Юрист, прокурор, адвокат, судья, защитник, преступник.

1.8. Вещество, молекула, атом, ядро, электрон, протон, нейтрон.

1.9. Водоплавающее животное; рыба; животное, дышащее жабрами; кит; акула; треска.

1.10. Юрист, адвокат, следователь, прокурор, мастер спорта.

1.11. Вуз, университет, академия, институт, техникум, профтехучилище, средняя школа.

1.12. Глубокое озеро, мелкое озеро.

1.13. Годовщина, день рождения, юбилей.

1.14. Город, европейский город, город в Европе, столица Украины, город с самым большим населением в Украине, деревня.

1.15. Город, столичный город, нестоличный город, улица города.

1.16. Государство, общество, страна.

1.17. Грабёж, кража, разбой.

1.18. Громкая речь, негромкая речь.

1.19. Гуманитарная наука, этика, эстетика.

1.20. Дед, отец, сын, внук.

1.21. Дед, сын, брат, мужчина, отец, внук, дядя, племянник.

1.22. Деревянный стул, стул, предмет мебели, предмет.

1.23. Деяние, наказуемое деяние; ненаказуемое деяние.

1.24. Деяние, преступление, хозяйственное преступление, обман покупателей.

1.25. Движение, быстрое движение, вращение.

1.26. Диван, мебель, диван-кровать, кровать.

1.27. Документ, завещание, удостоверение личности, паспорт, доверенность, доверенность на право совершения сделки.

1.28. Естественный спутник какого-нибудь небесного тела, спутник Земли, небесное тело, спутник Марса, спутник какого-нибудь небесного тела, искусственный спутник какого-нибудь небесного тела.

1.29. Женщина, врач, мужчина, пациент.

1.30. Жиры, твёрдые жиры, жидкие жиры, растительные жиры, животные жиры, рыбий жир, кокосовое масло, сливочное масло, подсолнечное масло.



1.31. Законная сделка, незаконная сделка, неправомерные действия.

1.32. Известный футболист, футболист, негр, китаец.

1.33. Историк, отечественный историк, доцент.

1.34. Каменный дом, трёхэтажный дом, одноэтажный дом, недостроенный дом.

1.35. Капитан, майор, офицер.

1.36. Картина, реалистическая картина, сюрреалистическая картина, картина Репина, картина Дали.

1.37. Книга, словарь, энциклопедия, философская энциклопедия, словарь по логике, автор словаря по логике.

1.38. Корень квадратный из 4; чётное число; нечётное число; корень квадратный из 9; число, деление на которое даёт то же число; число, на которое не делится никакое число; корень квадратный из 1.

1.39. Кража автомашин, кража, хищение, преступление, деяние.

1.40. Кража, мошенничество, разбой, преступление, преступность.

1.41. Лето, наиболее тёплое время года, время года, время.

1.42. Мать, дочь, женщина, бабушка, внучка, сестра.

1.43. Медицинский препарат, лекарство, лекарство, лекарство в таблетках, анальгин.

1.44. Междугородний телефон, телефон, телефонный разговор, средство связи.

1.45. Мужество, упорство, упрямство.

1.46. Мысль, понятие, суждение, рассуждение, умозаключение.

1.47. Нагревательный электрический прибор, нагревательный элемент, лампа накаливания, утюг, электроплитка, кипятильник, спираль.

1.48. Областной суд, городской суд, суд.

1.49. Океан, море, суша.

1.50. Окружность; геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки; полусфера; дуга окружности; сфера.

1.51. Олимпийский чемпион, чемпион мира, бегун.

1.52. Орудие преступления, огнестрельное оружие, пистолет.

1.53. Отделение милиции, подразделение органов внутренних дел, орган внутренних дел, главное управление внутренних дел.

1.54. Отец, сын, мужчина, дед, внук, брат.

1.55. Отец; человек, имеющий двоих детей; человек, имеющий одного ребенка; человек, имеющий детей.

1.56. Первый этаж, последний этаж, второй этаж, пятый этаж.

1.57. Переводчик; человек, свободно владеющий иностранным языком; человек, свободно владеющий французским языком; человек с высшим образованием.

1.58. Пересуды, сплетни.

1.59. Печать, телевидение, средства массовой информации, газеты, журналы.

1.60. Писатель, журналист, учёный, человек.

1.61. Писатель, русский писатель, автор романа «Тихий Дон», М.А.Шолохов.

1.62. Писатель, украинский писатель, Николай Гоголь.

1.63. Пистолет, оружие, орудие, патроны, огнестрельное оружие.

1.64. Планета; астероид; комета; планета Солнечной системы; планета Солнечной системы, имеющая атмосферу; Земля; спутник Земли.

1.65. Планета, планета Солнечной системы, Земля, спутник, искусственный спутник, Луна, небесное тело, Марс, Юпитер, спутник Юпитера.

1.66. Плоская замкнутая геометрическая фигура, треугольник, прямоугольник, квадрат, прямоугольный треугольник.

1.67. Полководец, древнегреческий полководец, древнеримский полководец, Александр Македонский, Цезарь, русский полководец, Александр Суворов, Ганнибал.

1.68. Пожар, причина пожара, взрыв атомной бомбы, поджог.

1.69. Пожар, причина пожара, пожар на Останкинской башне, возгорание электропроводки.

1.70. Понятие, абстрактное понятие, общее понятие, конкретное понятие, единичное понятие, положительное понятие.

1.71. Посягательство на честь и достоинство личности, клевета, оскорбление.

1.72. Поэт; русский поэт: русский поэт XIX века; русский поэт XIX века, родившийся в Москве; Лермонтов.

1.73. Предмет изучения, учебный предмет, логика, раздел логики.

1.74. Президент, глава государства, президент Российской Федерации, президент Татарстана, президент фирмы, монарх, президент университета.

1.75. Преподаватель, преподаватель вуза, преподаватель техникума, ассистент, старший преподаватель, доцент, профессор.

1.76. Преступление, должностное преступление, халатность, получение взятки.

1.77. Преступление, хозяйственное преступление, должностное преступление.

1.78. Преступление против личности, преступление против жизни, преступление против здоровья.

1.79. Преступление, терроризм, спекуляция.

1.80. Преступники, преступная группа, организованная преступная группа, банда.

1.81. Простое предложение, сложное предложение, предложение, придаточное предложение.

1.82. Прямоугольник, ромб, квадрат.

1.83. Рабочий, коммунист, член КПУ.

1.84. Равносторонний прямоугольник, квадрат, равноугольный ромб.

1.85. Растение, животное, организм.

1.86. Река Нил, самая длинная река в мире.

1.87. Республика, монархия, форма правления, президентская республика, парламентарная республика, автократия.

1. 88. Украинский студент, студент – юрист, студент ФФЭА.

1.89. Русский писатель, дореволюционный писатель, советский писатель, Горький, Шолохов, Достоевский, Г. Баширов.

1.90. Самолёт, реактивный самолёт, реактивный двигатель.

1.91. Свидетель происшествия, виновник происшествия, водитель автомобиля, пешеход.

1.92 Сержант, лейтенант, генерал, артиллерист.

1.93. Скрипка, рояль, барабан, виолончель, музыкальный инструмент.

1.94. Слово, изменяющееся по лицам; слово, изменяющееся по падежам; спрягаемое слово; глагол; прилагательное; наречие; существительное.

1.95. Спутник планеты, естественный спутник Земли, «Союз-4», спускаемый аппарат «Венера-14», Юпитер, спутник Юпитера, Луна.

1.96. Студент, волонтёр, спортсмен, студент ФФЭА, студент экономического факультета.

1.97.Студент-заочник, милиционер, токарь.

1.98. Студент, отличник, двоечник, спортсмен.

1.99. Студент, сдавший все экзамены на «отлично»; студент, сдавший, по крайней мере, один экзамен на «отлично»; студент, сдавший, по крайней мере, один экзамен на «хорошо».

1.100.Тень, полутень, полная тень.

1.101.Угол, угол падения, угол отражения.

1.102.Университет, высшее учебное заведение, учебное заведение, школа, школа № 3 г.Феодосии.

1.103.Уравнение; уравнение с целочисленным решением; уравнение, не имеющее решения; уравнение с решением в рациональных числах.

1.104.Учебник, новый учебник, книга, печатное издание.

1.105.Учёный, историк, доктор исторических наук.

1.106.Учёный, юрист, общественный деятель, диплом юриста.

1.107.Футболист, спортсмен, баскетболист, человек, негр

1.108.Хозяйственное преступление; обман покупателей; незаконное изготовление спиртных напитков.

1.109.Час, минута, секунда.

1.110. Часть основы слова, корень, суффикс, окончание.

1.111.Человек, личность, индивид.

1.112.Человек, мужчина, женщина, ребёнок.

1.113.Число; четное число; нечетное число, простое число; число 2; число, делящееся на 4; число, делящееся на 8.

1. 114.Число, числитель, знаменатель, дробь.

1.115.Школьник, студент, учащийся.

1.116.Экономика, рыночная экономика, командная экономика.

1.117.Экономическая культура, политическая культура, духовная культура, социальная культура.

1.118.Элементарная частица, электрон, протон.

1.119.Эрудиция, невежество.

Задание 2. Запишите понятия, отношения между которыми удовлетворяли бы приведенным круговым схемам:

Каждый студент выполняет по 5 заданий.

2.1.

 

2.2.

 

 

2.3.

 

 
 

 

2.4.

 

 
 

 

2.5.

 

2.6.

 
 

 

 

 
 

 

2. 7.

 

 

 

       
   
 
 

 

2.8.

 
 

 

 

           
     
 
 

 

 

 

2.9.

 

2.10.

 
 

 

 

2.11.

 

 

 
 

 

 

2.12.

 

.

 

 

 
 

 

 

2. 13.

 

 
 

 

 

 

 

 
 

2.14.

 

 
 

2.15.

       
   

2.16.

 

 

2.17.

 
 

 

 

2.18.

 

2.18.

 

 

2.19.

 
 

 

2.20.

 

 

 
 

 

 

 

2.21.

 
 

 

 

 

 

2. 22.

 

 

2.23.

 

 
 

 

 

 

2.24.

       
   

 

2.25.

 
 

 

 

 

 
 

 

 

2.26.

 
 

 

 

 
 

 

 

 
 

 

 

2.27.

 

 
 

 

2.28.

 
 

 

       
   
 
 

 

 

2. 29.

 

 
 

 

 

 

2.30.

 

 
 

 

 

2.31.

 

       
   
 
 

 

 

 
 

 

2.32.

 

 
 

 

 

2.33.

 
 

.

 

 
 
 
 

 

2. 34.

 
 

 

 

 

2.35.

 

 
 

 

 

2.36.

 

 

 

 

 

Задание к семинарскому занятию 1. Понятие.Вариант 1 (четные номера по списку в журнале)

1. Найдите понятие, к которому можно было бы отнести следующие признаки:

холодное, мрачное, серое;

теплое, долгожданное, скоротечное, многообещающее.

2. Дайте характеристику признаков, включенных в содержание следующих понятий:

Слово – единица языка, служит для наименования предметов, процессов и свойств, больно ранит.

Карандаш – круглый, красный, длиной 20 см., оставляет след на бумаге, имеет грифельный стержень, затачивается перочинным ножом, след не вырубишь топором.

3. Для каждого, из приведенных ниже понятий, постройте такие логические ряды, в которых каждое последующее понятие было бы родовым по отношению к предыдущему:

выдающаяся личность;

знаменитый полководец;

Золотые Ворота;

4. Назовите понятия, обладающие наибольшим объемом в каждой из приведенных ниже групп:

Город, столица, населенный пункт, районный центр.

Студент, учащийся, стипендиат-учащийся, курсант.

Адвокат, прокурор, юрист.

5. В каждой из приведенных ниже групп понятий укажите то, которое обладает наибольшим содержанием:

Стихотворение А.С. Пушкина, произведение А.С. Пушкина.

Огнестрельное оружие, карабин, карабин Симонова.

Учебник, книга, учебник психологии.

6. Назовите понятие, которое соответствует сумме следующих классов:

Спутник и искусственный спутник.

Трапеция и четырехугольник.

Капиталистический путь развития и некапиталистический путь развития.

7. Назовите понятие, которое соответствует пересечению классов:

Преступление против личности и преступление против жизни.

Чертеж и графическая работа.

8. Приняв за уменьшаемый класс первое понятие каждой пары, назовите класс, который получается в результате вычитания из него второго понятия:

Подозреваемый в совершении преступления и обвиняемый в совершении преступления.

Существительное и слово.

Определить типы понятий.

Молекула 10. Правильно ли произведено деление.Вещества делятся на жидкие, твердые, газообразные и металлы.

Задание к семинарскому занятию 1. Понятие.

Вариант 2 (нечетные номера по списку в журнале)

 

1. Найдите понятие, к которому можно было бы отнести следующие признаки:

светлый, звездный, тяжелый, долгий;

2. Дайте характеристику признаков, включенных в содержание следующих понятий:

Реформа — не затрагивающая основ социально-политического строя, изменение, стимулирует развитие некоторых сторон общественной жизни.

Государство — общественная система, объединяет граждан на основе справедливости и равенства, территория для всех.

3. Для каждого, из приведенных ниже понятий, постройте такие логические ряды, в которых каждое последующее понятие было бы родовым по отношению к предыдущему:

Цезарь;

здание;

4. Назовите понятия, обладающие наибольшим объемом в каждой из приведенных ниже групп:

Хищник, крокодил, млекопитающее, животное, носорог.

Рабочий, слесарь, каменщик, трудящийся.

5. В каждой из приведенных ниже групп понятий укажите то, которое обладает наибольшим содержанием:

Газета, газета “Кафа”, газета “Кафа” за 26 сентября 2008 года, периодическое издание.

Военнослужащий, военнослужащий Украинской Армии, рядовой Украинской Армии.

6. Назовите понятие, которое соответствует сумме следующих классов:

Река Волга и самая большая река в Европе.

Работник уголовного розыска и инспектор уголовного розыска.

Бедный человек и богатый человек.

7. Назовите понятие, которое соответствует пересечению классов:

Космонавт и летчик.

Преступник и профессионал.

Электрон и элементарная частица.

8. Приняв за уменьшаемый класс первое понятие каждой пары, назовите класс, который получается в результате вычитания из него второго понятия:

Треугольник и правильный треугольник.

Симметричность и асимметричность

Холодное оружие и шпага.

Отношения между понятиями (2) (Доклад)

Отношения
между понятиями

Ав: Здравствуйте, друзья!
Подумайте над следующей задачей: кого
в мире больше — отцов, сыновей или
мужчин?

Сс:
Конечно, мужчин.

Ав: А потом?

Сс: Ну, наверное, отцов,
а потом сыновей. Хотя с сыновьями и
отцами не очень ясно.

Ст. Подождите, мы же уже умеем изображать
объемы понятий при помощи кругов Эйлера.
(Подходит к доске и рисует следующую
картинку):

Получится вот так! Здорово,
взяли и нарисовали мысли!

Сс: Ты уверен, что это
правильно?

Ст: Ты
сам так сказал.

Сс: Я-то сказал. Но правильно
ли я сказал?

Ав: Да, это очень хороший
вопрос. Давайте посмотрим. (Обращается
к рисунку Студента-тугодума). Рассмотрим
какой-нибудь предмет, который входит в
объем понятия «отец», но не входит в
объем понятия «сын», как нарисовано на
вашей картинке. (Подходит к доске и
ставит точку в круге «отец» следующим
образом):

Что же получается? У вас
существуют отцы, которые не являются
сыновьями. Это хорошо?

Ст: Нет, этого не может
быть.

Сс: Да, но то же самое
можно сказать и о понятиях «сын» и
«мужчина». У нас получилось, что не
каждый мужчина — сын.

Ав: Придется нам в этом
деле разобраться.

Наше
рассмотрение объемов понятий и множеств
показывает, что один и тот же предмет
может быть элементом объема различных
понятий. Так, Иван Петрович Сидоров
одновременно может быть элементом
объемов понятий «человек», «студент»,
«мужчина», «спортсмен» и т. п. Уже этот
простой факт показывает, что данные
понятия вступают между собой в определенные
отношения, поскольку имеют общий элемент.
Но ведь a priori (из предшествующего — лат.;
в философии; до всякого опыта) можно
предположить, что в определенные
отношения вступают и те понятия, которые
не имеют общих элементов — ведь это уже
само по себе определенное отношение.

Рассмотрим произвольную
пару понятий А и В.

Понятия А и В назовем
сравнимыми, если в содержаниях этих
понятий имеется хотя бы один общий
признак.

Почти все понятия сравнимы.
Даже божий дар и яичница в нашей логической
онтологии являются предметами, а
следовательно, имеют в своем содержании
общий признак. Обратите внимание, что
в этом определении речь идет не об
основном содержании, а обо всем содержании
понятия. Поэтому почти у каждой пары
понятий можно найти общий признак.

Понятия А и В назовем
несравнимыми, если в содержаниях этих
понятий не встречается ни одного общего
признака.

Мы не будем иметь дела с
несравнимыми понятиями, поэтому не
будем их подробно рассматривать. Отмечу
только, что в нашей онтологии такими
несравнимыми понятиями являются
«предмет» и «свойство».

До сих пор речь шла о содержании понятий.
Содержание представляет собой сложный
признак, в котором могут встречаться
много простых признаков, соединенных
различным образом (через «и», «или» и
т.п.). Поэтому с рассмотрением соотношения
понятий по содержанию возникают
сложности. Чтобы избежать неточностей,
можно было бы ограничиться основным
содержанием понятий, как оно определено
в § 2 этой главы. Для этого надо в
определениях заменить слово «содержание»
на слово «основное содержание». Однако
надо иметь в виду, что в таком случае
сравнимость и несравнимость понятий
будет зависеть оттого, каким образом
мы сформулируем основное содержание
понятий.

Более
точной является теория отношений понятий
по объему.

Рассмотрим пару сравнимых
понятий А и В.

Понятия А и В назовем
совместимыми, если объемы этих понятий
имеют хотя бы один общий элемент.

Понятия А и В назовем
несовместимыми, если в объемах этих
понятий нет ни одного общего элемента.

Если обозначить объем
понятия тем же символом, что и само
понятие, то первое условие можно записать
так:

А 
В  ,

а условие второго
определения так:

А 
В = ,

В отличие
от сравнимости-несравнимости понятий
нас будут интересовать как виды
совместимости, так и виды несовместимости
понятий.

При подготовке этой
работы были использованы материалы с
сайта http://www.studentu.ru

Отношения между понятиями

Количество просмотров публикации Отношения между понятиями — 3666

 

Поскольку предметы находятся в определœенных отношениях между друг другом, то и обозначаемые их понятия находятся в определœенных отношениях. Понятия, которые близки по своему содержанию и их можно сравнить, называются сравнимыми. К примеру, ʼʼельʼʼ и ʼʼберезуʼʼ можно сравнить поскольку они являются ʼʼдеревьямиʼʼ, а понятие ʼʼкрасный помидорʼʼ и ʼʼслонʼʼ не имеют общих признаков, их нельзя сравнить.

Понятия, по характеру отношений между их объёмами делятся на две группы: совместимые, когда элементы объёма одного понятия частично или полностью принадлежат объёму другого понятия, и несовместимые, когда ни один элемент объёма одного понятия не принадлежит объёму другого понятия.

Совместимые понятия могут находиться в отношениях: равнозначности, или тождества, пересечения, или перекрещивания, и подчинœения, или субординации; несовместимые — в отношениях: соподчинœения, или координации, противоположности, или контрарности, и противоречия, или контрадикторности.

Для иллюстрации отношений между объёмами понятий применяются круговые схемы Эйлера. Принцип применения их таков: каждый круг обозначает объём какого-либо понятия, а каждая точка круга — элемент этого объёма. Пример изображения кругов Эйлера для сравнимых понятий:

К примеру: Равнозначные понятия: А – первый космонавт, В – Ю.А. Гагарин

Подчинœение: А – юрист, В – адвокат. Пересечение: А – преступник, В – спортсмен.

Соподчинœение: А – следователь, В – прокурор, С – участковый милиционер, Д – работники правоохранительных органов. Противоположность: А – истина, В – ложь. Противоречие: А – черный, В – не-черный (синий, красный)

Сравнивать можно группу понятий, тогда отношения между ними будут изображаться несколькими кругами Эйлера.

Упражнение 12. Определите вид отношений между понятиями, изобразите эти отношения

с помощью круговых схем:

к примеру:

дом, кирпичный дом, строение

1. Автомобиль, человек, игрушка, 2. Мужчина, женщина, ребенок, 3. Растение, дерево, человек, 4. Год, месяц, январь. 5. Отец, сын, дед. 6. Красивый, безобразный, сильный. 7. Женщина, домохозяйка, преступник,

Упражнение 13. Приведите примеры понятий равнозначных данным:

Мельчайшая частица, столица России, Конституция, самое большое озеро мира, самая глубокая морская впадина, животное меняющее цвет кожи, приспосабливаясь к окружению, человек, совершивший преступление.

Упражнение 14. Приведите примеры понятий соответствующим отношениям

1) 2) 3)

       
   
 

Упражнение 15. Подберите понятия, находящиеся в отношении пересечения к данным.

Студент. Военнослужащий. Народный судья. Морской флот. Рекордсмен. Браконьер.
Размещено на реф.рф
Инженер.
Размещено на реф.рф
Нормативный акт. Академия. Киноактер.
Размещено на реф.рф
Депутат. Акция. Апелляция. Закон. Первопроходец.

Упражнение 16. К данным понятиям подберите подчинœенные и подчиняющие понятия.

Учебник. Повесть. Озеро. Форма правления. Улика. Завод. Консульство. Понятие. Награда. Писатель. Прокурор.
Размещено на реф.рф
Общенародное государство. Химический элемент. Комедия.

Упражнение 17 . Определите вид отношения между несовместимыми понятиями, изобразите его с помощью круговых схем.

1. Печать. Телœевидение. Средство массовой информации. 2. Преступление, должностное преступление, хозяйственное преступление. 3. Известность, неизвестность. 4. Прямая линия, кривая линия. 5. Партийность, беспартийность.6. Революционер, контрреволюционер.
Размещено на реф.рф
7. Виновность, невиновность. 9. Феодализм, капитализм, классовое общество. 10. Правда, ложь. 11. Юрист, прокурор, следователь, адвокат. 12. Сильный, слабый. 13. Истина, заблуждение. 14. Честь, бесчестие. 15. Общественная наука, история России, история экономических учений, философия. 16. Зависимость, независимость. 17. Обвинительный приговор, оправдательный приговор.

Упражнение 18. Подберите понятия, соподчинœенные данным.

1. Преступление. 2. Наказание. 3. Демократия. 4. Городской транспорт. 5. Высшее учебное заведение. 6. Офицер.
Размещено на реф.рф
7. Эксплуататорское общество. 8. Спортивная игра. 9. Сделка. 10. Смычковый инструмент. 11. Художественная литература. 12. Хищение. 13. Устав. 14. Ученое звание. 15. Форма государства.

Упражнение 19. Подберите понятия, противоположные и противоречащие данным.

1. Большой. 2. Научный. 3. Капиталистический путь развития. 4. Холодный климат. 5. Легкая работа. 6. Верность. 7. Законный поступок

контрольные работы!! — Docsity

ФГБОУ ВО «Челябинский государственный университет» Институт экономики отраслей, бизнеса и администрирования Кафедра «Экономики отраслей и рынков» Контрольная работа по предмету: Логика Выполнил: Шайхинуров И.А. группа 29ЮОЗ-101 Проверил: Граханов Д.А. Челябинск 2020 1. Дайте логическую характеристику следующим понятиям (определите вид понятия по содержанию и объему). а) Русский народ. (общее, конкретное) б) Заказчик.(общее, безотносительное) в) Неряха.(общее, положительное) г) Время.(общее, абстрактное) д)Неравенство.(общее,абстрактное) е) Жизнь.(общее, безотносительное) 2. Определите отношения между объемами понятий и изобразите эти отношения с помощью круговых схем (кругов Эйлера): а) А. Президент Б. глава государства В. президент РФ Г. президент фирмы Д. монарх. А б) Переводчик с иностранного языка; человек, свободно владеющий иностранным языком; человек, свободно владеющий французским языком; человек с высшим образованием. Г Б В ВВВ Д ж) А. Отец Б. сын В. Дед Г. Внук Д. брат. Г(Б) Д В А з) А. Годовщина Б. день рождения В. юбилей. А Б В и) Первый этаж, последний этаж, второй этаж, пятый этаж. А Б В Г к) Правая рука, левая рука; А Б л) направо, налево. А Б 3. Из учебной литературы по Вашей специальности приведите примеры определений, описаний, характеристик. Определения:  Правосудие — это деятельность суда, состоящая в разбирательстве и разрешении уголовных и гражданских дел;  Улика — доказательство виновности обвиняемого в совершенном преступлении;  Кража — тайное хищение чужого имущества Описание:  На изображениях с камеры видеонаблюдения был зафиксирован мужчина. Он был лет сорока, роста среднего, худощав и широкоплеч. В черной бороде его показывалась проседь; живые большие глаза так и бегали. Лицо его имело выражение довольно приятное, но плутовское. Волосы были острижены в кружок.  Описание подозреваемого: белокожий молодой человек 17-20 лет с белым цветом кожи, ростом от 5′7″ до 5′10″, худощавого телосложения. Волосы короткие, темно- каштановые или темные. Был одет в белую толстовку с серым рисунком и капюшоном, и в темно-синие джинсы. На спине также у него был рюкзак. Характеристики:  А. Ф. Кони характеризует личность обвиняемого следующим образом: «Взглянем на личный характер подсудимого… Это характер твердый, решительный, смелый… Человек «озорной», неспокойный, никому спускать не любит… В домашнем быту этот человек не особенно нежный, не позволяющий матери плакать, когда его ведут под арест…». Это человек, привыкший властвовать и повелевать теми, кто ему покоряется, чуждающийся товарищей, самолюбивый, непьющий, точный и аккуратный…»  Кошкин М.С. за время работы участвовал в общественных мероприятиях. Занял первое место на соревнованиях по волейболу среди полицейских города Москвы. Имеет грамоты и поощрительные письма от руководства. 4. Правильны ли приведенные определения? Если нет, укажите ошибку: а) Прибыль есть разница между выручкой производителя за реализованную продукцию и издержками на ее производство. б) Содержание понятия — это совокупность существенных признаков предмета или класса предметов, необходимых и достаточных для выделения этого предмета (класса предметов) из остальных. в) Бесхозное имущество — имущество, не имеющее собственника или собственник которого неизвестен. г) Философ — ученый, занимающийся философией. (тавтология) 5. Правильно ли произведено деление понятий? Если нет, укажите ошибку: а) Год делится на 12 месяцев. б) К ценным бумагам относятся акции и чеки. (деление с лишними понятиями) в) Земной шар делится на западное и восточное полушария. г) В книге можно выделить введение, основную часть, заключение и список литературы. (деление с лишними понятиями) д) Понятия по объему бывают единичными, общими и нулевыми. е) Определения понятия могут быть явными и неявными, реальными и номинальными. ж) Обувь делится на мужскую, женскую, детскую, спортивную, рабочую.(деление с лишними понятиями) 6. Из приведенных ниже предложений выберите те, которые выражают суждения. Определите структуру и состав суждения а)»Жизнь есть деяние» (М.Горький). S есть P б)»Что пользы напрасно и вечно желать?»(М.Лермонтов). в)»Ну как не порадеть родному человечку!»(А.Грибоедов). г)»Что день грядущий мне готовит?»(А.Пушкин). д)»3нание — сила»(Ф.Бэкон). S есть P а)Некоторые художники не были признаны при жизни, значит есть непризнанные художники – не правильно б)Не быть богатым не всегда дурно — Быть не богатым всегда не дурно – не правильно в)Никто меня не любит — Все меня ненавидят. 13. Обратите следующие суждения а) Каждый честный человек выполняет свои обещания. Выполняет свои обещания, тот кто является честным человеком. б) Люди бывают рассеянными. Некоторые рассеянные – люди. в) Марксизм не догма. Некоторые догмы не являются марксизмом д) Часть студентов отличается недобросовестностью. Некоторые недобросовестные люди являются студентами. е) Все великие поэты обладают прекрасным воображением. Некоторые люди, обладающие прекрасным воображением являются поэтами. ж) Войны не возникают сами по себе. Сами по себе войны не возникают. з) Некоторые экономические реформы приводят к повышению уровня жизни населения. К повышению уровня жизни населения приводят некоторые экономические реформы. 14. Сделайте заключение из данных посылок. Определите фигуру силлогизма. Обоснуйте достоверность полученного заключения. а) Не всякий, кто умеет читать, может написать книгу. Этот ребенок не может написать книгу. Следовательно, дети, не имеющие читать, не могут написать книгу. Bramantip б) Некоторые произведения искусства бесценны. Среди произведений искусства есть шедевры. Следовательно, шедевры искусства — бесценны Disamis в) Ни один ребенок не любит насилия. Я тоже не люблю насилия. Следовательно, ни я ни дети не любим насилия. Celarent г) Все сочинения А.П.Чехова невозможно прочитать за один день. Рассказ «Попрыгунья» — сочинение А.П. Чехова. Следовательно, Рассказ «Попрыгунья» — сочинение А.П. Чехова невозможно прочитать за один день. Barbara д) Некоторые писатели — женщины. Все женщины любят цветы. Следовательно, некоторые писатели-женщины любят цветы. Darii е) Я — человек. Ты — не я. Следовательно, все люди не являются мной Darapti ж) 3акон тождества впервые сформулирован Аристотелем. Закон тождества — закон мышления. Следовательно, закон мышления впервые сформулирован Аристотелем Bramantip 15. Установите вид условного умозаключения и его правильность а) Если я называю тебя буйным человеком, то я называю тебя человеком. Но называя тебя человеком, я говорю правду. Значит, если я называю тебя буйным человеком, я говорю правду. Чисто условное умозаключение. Неправильное б) Когда многого не знаешь, то приходится придумывать. А так как ребенок многого не знает, то поэтому он много и придумывает. Условно-категорическое умозаключение в) «Люди перестают мыслить, когда перестают читать» (Д.Дидро). Студенты никогда не перестают читать, поэтому студенты никогда не перестают мыслить. Условно- категорическое умозаключение г) Некоторые политики имеют много недостатков. Это следует из того, что «тот, кто имеет много недостатков, легко находит их у других» (адыгейская пословица), а некоторые политики легко находят недостатки у других. Чисто условное умозаключение д) Если бы Алкивиад глубоко любил свое отечество, то он не стал бы оказывать услуги спартанцам. Однако он оказал им большую услугу во время Пелопонесской войны, посоветовав нанести удар экспедицией в Сицилию. Следовательно, у Алкивиада не было истинной любви к своему отечеству. Чисто условное умозаключение 16. Определите вид разделительною умозаключения. Выделите логическую форму: а) Уважительными причинами неявки обвиняемого по вызову следователя признаются болезнь, несвоевременное получение повестки или иные обстоятельства, лишающие обвиняемого возможности явиться в назначенный срок. Как выяснилось, обвиняемый не был болен и повестку получил своевременно. Возможно, поэтому имели место какие-то другие уважительные причины, помешавшие ему явиться в назначенный срок. утвреждающе-отрицательное р ¥ q, p ˥ q б) Внимательно осмотрев комнату, в которой было совершено преступление, Шерлок Холмс сказал доктору Уотсону следующее: — Нам известно, что преступник не мог попасть в комнату ни через дверь, ни через окно, ни через дымовой ход. Мы знаем также, что он не мог спрятаться в комнате, поскольку в ней прятаться негде. Как же тогда он проник сюда? — Через крышу ! — воскликнул я. — Без сомнения. Он мог проникнуть в эту комнату только через крышу. (Конан Дойл А. Собр.соч.: В 8 тт. томах. Т.1. С. 189). отрицающе – утверждающий < p V q > , 1р q 17. Установите вид индуктивного умозаключения. Согласны ли Вы с выводом? а) В устройстве двигателя внутреннего сгорания Э. Ленуара используется закон превращения тепловой энергии в механическую. Этот же закон используется и в паровом двигателе. Значит, во всех двигателях используется закон превращения тепловой энергии в механическую. – опосредованное умозаключение, с выводом согласен б) Все мужчины любят детективы. Это следует из того, что мои знакомые Андрей и Игорь читают их запоем. Мой отец и брат тоже с удовольствием читают детективы. Вот и мужчина, который сидит напротив меня, тоже держит в руках детектив. опосредованное умозаключение, с выводом согласен в) «Все студенты ужасные прагматики: они никогда не будут учить сверх того, что определено программой», — сказал один преподаватель другому. «А почему ты в этом уверен ?» — спросил его второй. «Ну, посуди сам, — ответил первый, — ни один из моих студентов ничего не хочет делать сверх программы. То же самое мне говорил и К. Да и ты сам как-то мне жаловался на это». опосредованное умозаключение, с выводом согласен г) Ни одна из моих дискет не содержит известных вирусов, так как каждую из них я проверял лично сам. непосредственное умозаключение, с выводом не согласен 18. Произведите анализ текста, выделив аргументационную конструкцию (укажите тезис, аргументы, форму аргументации, ее характер). 1. Возможно лишь то, что осуществимо. Но осуществимо лишь то, что когда-то осуществлялось. Следовательно, возможно лишь то, что есть, или то, что было. Значит, в мире не происходит ничего принципиально нового. Развитие материального мира – циклический процесс.- тезис. Аргументация: прямое индуктивное обоснование 2. Со времен И. Ньютона наука в течение более трех столетий была источником силы и прогресса человечества. С ней связывались надежды на решение социальных, продовольственных и других проблем человечества. Однако во второй половине ХХ века все чаще высказываются обвинения в адрес науки. В одном из докладов ЮНЕСКО наука

Эйлер

Леонард Эйлер родился в Базеле, Швейцария, был первым из шести детей в семье министра. (Wheeler, 1995) Его отец был кальвинистским проповедником и работал с молодым Эйлером в области математики, и даже ему удалось заставить Леонарда учиться у известного Иоганна Бернулли. (Dunham, 1990) Как и большинство детей проповедника, Эйлер не желает идти по стопам своего отца в качестве священника. Его интересовали числа. Кроме того, некоторые видят математическую связь с Библией.Иисус Христос, центральная фигура христианства, рассказал математическую задачу в форме библейской истории. Он рассказал о пастыре, у которого было сто овец, но он потерял одну. Затем пастырь насчитал девяносто девять. Это основная математика. Однако, несмотря на его воспитание, влечение Эйлера к математике было сильнее, чем призвание к служению, поэтому он стремился развить свои математические навыки больше, чем свои библейские знания. В 13 лет он поступил в Базельский университет и в 16 лет получил степень магистра.Он даже расширил свои исследования, включив астрономию, медицину, языки и физику. (Уилер, 1995)

В начале своей карьеры Эйлер потерял зрение на один глаз, возможно, из-за того, что наблюдал за Солнцем без должных мер предосторожности во время изучения астрономии. (Reimer, 1992) После завершения большинства формальных исследований Эйлер стал много путешествующим человеком и испытал культуру, выходящую далеко за рамки своего скромного воспитания в Швейцарии. Прежде чем он был назначен в Санкт-Петербургскую Академию в России в 1727 году, он опубликовал свою первую формальную математическую работу в возрасте 19 лет, касающуюся
оптимальное размещение судовой мачты, хотя он никогда не видел морского судна! (Dunham, 1990) За этот же трактат он получил приз Парижской академии наук.(Burton, 1998) В 1741 году Эйлер покинул Санкт-Петербург, чтобы занять должность в Берлинской академии под руководством Фридриха Великого, прежде чем он, в конце концов, вернулся в Санкт-Петербург во время правления Екатерины Великой. Он потерял зрение на другой глаз из-за катаракты и в возрасте 50 лет был полностью слеп до своей смерти в 1783 году. (Reimer, 1992) Эйлер был так высоко оценен, что даже без зрения он все еще мог продолжать свои невероятные вычисления и математические вычисления. утверждения.

Современники и сверстники описывали Эйлера, одним из которых был Исаак Ньютон, с которым он сотрудничал по знаменитому уравнению F = ma , как доброго и щедрого человека, который наслаждался простыми радостями жизни.Его простые удовольствия включали выращивание овощей в своем саду, рассказывание историй о своих 13 детях и игры со своими многочисленными внуками. (Dunham, 1990) Он, возможно, самый плодовитый писатель в истории математики. Ему приписывают пересмотр всех разделов математики, включая детализацию, добавление доказательств и приведение всего в согласованную форму. (Reimer, 1992) Он применил математику к кораблестроению, геодезии, астрономии, баллистике, оптике и множеству других областей.(Cooke, 1997) Ему также приписывают создание определенных учебников по математическому анализу. Было сказано, что профессора математики сегодня просто учат тому, что Эйлер представил сотни лет назад. В 1748 году он написал Introductio in analysin infinitorium , двухтомный труд, в котором подробно обсуждался
аналитическая геометрия в двух и трех измерениях, бесконечные серии и основы систематической теории алгебраических функций. Другие работы включают в себя: Institutiones Calculi дифференциал и Institutiones интегрального исчисления , написанные с 1768 по 1774 год.(Кук, 1997) Эйлер за свою жизнь написал и продиктовал более 700 книг и статей. (Бертон, 123)

Самой известной работой Эйлера была его Opera omnia . Эта работа содержится в 73 томах сборника статей и 886 книгах и статьях. Его труды содержат статьи по акустике, инженерии, механике, астрономии и даже трехтомный трактат по оптическим устройствам, таким как телескопы и микроскопы. (Dunham, 1990) Его работы об оптических устройствах имеют тенденцию быть ироничными, учитывая, что последние 25 лет своей жизни Эйлер был слеп.Хотя ни одна теорема не может обобщить работу Леонарда Эйлера, его помнят за его способность решать задачи, связанные с рядами, такие как:

Он не только работал с рядами, но и доказал, что любое даже совершенное число должно иметь форму, указанную Евклидом. Загадка идеального четного числа N была решена Эйлером, когда он определил, что если N — четное совершенное число, то существует положительное целое число n такое, что,

Он также добился больших успехов в попытках понять теорему Ферма.Обобщение Эйлера теоремы Ферма, которое определяется следующим образом: «Для n> 1 пусть (n) обозначает количество натуральных чисел, не превышающих n , которые являются относительно простыми с n ».

Для этого обобщения обозначение (n) стало известно как функция Эйлера Phi. (Бертон, 123)

Современная математика во многом обязана усилиям Леонарда Эйлера. Он не только добился огромных успехов в изучении высшей математики, ему также приписывают некоторые «мелочи», которые нельзя упускать из виду.Он был первым, кто установил последовательность с использованием букв алфавита. Строчные буквы обозначают стороны треугольника, а прописные буквы обозначают противоположные углы. Он стандартизировал использование буквы e для обозначения основной системы натуральных логарифмов. В работах Эйлера также было установлено использование греческой буквы для обозначения отношения длины окружности к диаметру в круге. (Reimer, 1992) Он также был первым, кто использовал круги, чтобы показать взаимосвязь множеств, но вместо того, чтобы называть их кругами Эйлера, они были идентифицированы как диаграммы Венна.(Прайс, Рат, Лещенский, 1992) Его многочисленные вклады помогли сформулировать и сформировать сегодняшнюю учебную программу и методы во многих областях математики. (Уилер, 1995)

Спасибо, Леонард Эйлер!

Человек, который изобрел Пи

История постоянного отношения длины окружности к диаметру любого круга стара, как человеческое желание измерить; тогда как символ этого отношения, известный сегодня как π ( пи ), датируется началом 18 века.До этого на средневековой латыни это отношение неуклюже называлось: Quantitas in quam cum multiflicetur Diameter, proviet circferencia (величина, которая при умножении диаметра дает длину окружности).

Широко распространено мнение, что великий математик швейцарского происхождения Леонард Эйлер (1707-83) ввел в обиход символ π. Фактически, он был впервые использован в печати в его современном понимании в 1706 году, за год до рождения Эйлера, учителем математики-самоучкой Уильямом Джонсом (1675-1749) в его второй книге Synopsis Palmariorum Matheseos , или Новое введение в Математика на основе его учебных заметок.

До появления символа π приближения, такие как 22/7 и 355/113, также использовались для выражения отношения, что могло создать впечатление, что это рациональное число. Хотя он и не доказал этого, Джонс полагал, что π было иррациональным числом: бесконечной, неповторяющейся последовательностью цифр, которую невозможно полностью выразить в числовой форме. В Synopsis он писал: «… точное соотношение между диаметром и окружностью никогда не может быть выражено в числах… ‘. Следовательно, требовался символ для обозначения идеала, к которому можно приблизиться, но никогда не достичь. Для этого Джонс признал, что достаточно чисто платонического символа.

Символ π использовался в предыдущем столетии совершенно по-другому ректором и математиком Уильямом Отредом (ок. 1575–1660) в его книге « Clavis Mathematicae » (впервые опубликованной в 1631 году). Отред использовал π для обозначения длины окружности данного круга, так что его π варьировалось в зависимости от диаметра круга, а не представляло константу, которую мы знаем сегодня.Окружность круга была известна в те времена как «периферия», отсюда греческий эквивалент «π» нашей буквы «π». Использование Джонсом числа π было важным философским шагом, которого не удалось сделать Oughtred, даже несмотря на то, что он ввел другие математические символы, такие как :: для пропорции и «x» как символ для умножения.

После смерти Отреда в 1660 году некоторые книги и статьи из его прекрасной математической библиотеки были приобретены математиком Джоном Коллинзом (1625-83), от которого они в конечном итоге перешли к Джонсу.

Иррациональность числа π не была доказана до 1761 года Иоганном Ламбертом (1728-77), затем в 1882 году Фердинанд Линдеманн (1852-1939) доказал, что π неалгебраическое иррациональное число, трансцендентное число (не являющееся решением алгебраического уравнения любой степени с рациональными коэффициентами). Однако открытие, что существует два типа иррациональных чисел, не умаляет достижения Джонса в признании того факта, что отношение длины окружности к диаметру не может быть выражено в виде рационального числа.

Помимо первого использования символа π, Джонс представляет интерес из-за его связи с рядом ключевых математических, научных и политических персонажей 18 века. Он также отвечал за создание одной из крупнейших научных библиотек и математических архивов в стране, которая оставалась в руках семьи Маклсфилд, его покровителей, в течение почти 300 лет.

Хотя Джонс закончил свою жизнь как часть математического истеблишмента, его происхождение было скромным.Он родился на небольшой ферме на острове Англси примерно в 1675 году. Его единственное формальное образование было в местной благотворительной школе, где он проявил математические способности, и ему было предложено работать в счетной конторе торговца в Лондоне. Позже он отплыл в Вест-Индию и заинтересовался мореплаванием; затем он стал мастером математики по военному кораблю. Он присутствовал в битве при Виго в октябре 1702 года, когда англичане успешно перехватили испанский флот с сокровищами, когда он возвращался в порт на северо-западе Испании под французским эскортом.В то время как победившие моряки сошли на берег в поисках серебра и военных трофеев, для Джонса, согласно мемуарам барона Тейнмута 1807 года, «… литературные сокровища были единственной добычей, которую он жаждал».

По возвращении в Англию Джонс оставил флот и начал преподавать математику в Лондоне, вероятно, сначала в кофейнях, где за небольшую плату клиенты могли слушать лекцию. Он также опубликовал свою первую книгу « Новый сборник всего искусства практической навигации » (1702 г.).Вскоре после этого Джонс стал наставником Филипа Йорка, впоследствии 1-го графа Хардвика (1690-1764), который стал лорд-канцлером и стал бесценным источником знакомства для своего наставника.

Вероятно, около 1706 года Джонс впервые привлек внимание Исаака Ньютона, когда он опубликовал Синопсис, в котором он объяснил методы Ньютона для исчисления, а также другие математические новшества. В 1708 году Джонс смог приобрести обширную библиотеку и архив Коллинза, которые содержали несколько писем и статей Ньютона, написанных в 1670-х годах.Они окажутся очень интересными для Джонса и будут полезны для его репутации.

Рожденные с разницей в полвека, Коллинз и Джонс никогда не встречались, но история навсегда свяжет их из-за библиотеки и математического архива, которые Коллинз начал и продолжил Джонс, благодаря их общей страсти к коллекционированию книг. Сын обедневшего министра, Коллинз поступил в ученики к продавцу книг. По сути, самоучка, как Джонс, он также ходил в море и изучал мореплавание. По возвращении в Лондон он зарабатывал на жизнь учителем и бухгалтером.Он занимал несколько все более прибыльных должностей и умел распутывать замысловатые счета.

Скромными амбициями Коллинза было открыть книжный магазин, но он не смог накопить достаточно капитала. Однако в 1667 году он был избран в Королевское общество, незаменимым членом которого он стал, помогая официальному секретарю Генри Ольденбургу по математическим вопросам. Коллинз переписывался с Ньютоном и многими ведущими английскими и зарубежными математиками того времени, составляя математические заметки от имени Общества.

Когда Джонс в 1709 году подал заявление о приеме на должность магистра математической школы Больницы Христа, он взял с собой свидетельства Эдмунда Галлея и Ньютона. Несмотря на это, ему отказали. Однако бывший ученик Джонса, Филип Йорк, к настоящему времени начал свою юридическую карьеру и представил своего наставника сэру Томасу Паркеру (1667-1732), успешному юристу, который в следующем году должен был стать следующим лордом-верховным судьей. Джонс присоединился к своему дому и стал наставником своего единственного сына Джорджа (ок.1697-1764). Это было началом его пожизненной связи с семьей Паркеров.

Примерно в то время, когда Джонс купил библиотеку и архив Коллинза, Ньютон и немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646-1716) спорили о том, кто первым изобрел исчисление. В математических статьях Коллинза Джонс нашел расшифровку одной из самых ранних трактатов Ньютона по исчислению, De Analyst (1669), которую он решил опубликовать в 1711 году. Ранее он распространялся только в частном порядке.Президент Королевского общества с 1703 года, Ньютон не хотел публиковать свои работы и ревностно охранял свою интеллектуальную собственность. Однако он признал в Джонсе союзника.

В 1712 году Джонс присоединился к комитету, созданному Королевским обществом для определения приоритета изобретения математического анализа. Джонс предоставил комитету документы Коллинза с перепиской Ньютона по исчислению, и итоговый отчет по спору, опубликованный позже в том же году, Commercium Epistolicum , в значительной степени основывался на них.Несмотря на анонимность, Commercium Epistolicum редактировал сам Ньютон и вряд ли мог рассматриваться как беспристрастный. Неудивительно, что это произошло на стороне Ньютона. (Сегодня считается, что и Ньютон, и Лейбниц открыли исчисление независимо, хотя система обозначений Лейбница превосходит ньютоновскую и является общепринятой в настоящее время.)

К 1712 году Джонс прочно занял место среди математических кругов. В 1718 году его покровитель сэр Томас Паркер был назначен лордом-канцлером, а в 1721 году получил титул графа Маклсфилда.К этому времени он приобрел поместье и замок Ширбурн за огромную на тот момент сумму в 18 350 фунтов стерлингов. Замок Ширберн стал домом и для Джонса, который к тому времени был почти членом семьи. Помимо закона, Паркер проявлял научный интерес ко многим предметам, включая естественные науки и математику, и был щедрым покровителем как искусства, так и науки. Он сыграл важную роль в назначении Галлея королевским астрономом в 1721 году.

Но у персонажа первого графа была и обратная сторона. Похоже, что вместе с его большими способностями и амбициями была еще и опасная жажда богатства.Его обвинили в продаже канцелярского господства лицу, предложившему наивысшую цену, и в том, что он позволял неправомерно использовать средства истцов, находящиеся в доверительном управлении. Паркер подал в отставку с поста лорда-канцлера в 1725 году, но, тем не менее, ему был объявлен импичмент. Его наказали штрафом в размере 30 000 фунтов стерлингов, и он был вынужден провести шесть недель в лондонском Тауэре, прежде чем были собраны необходимые деньги для выплаты штрафа. Некоторые из его активов были проданы, и его имя было вычеркнуто из списка тайных советников, но ему не пришлось отказываться от Ширберна, который остается в семье Маклсфилд по сей день.Некоторое достоинство было восстановлено, когда в 1727 году он был одним из гроб на похоронах Ньютона.

Сын Томаса, Джордж Паркер, стал депутатом парламента от Уоллингфорда в 1722 году и большую часть времени проводил в Ширберне, где под руководством Джонса пополнил библиотеку и архив, которые Джонс принес с собой. Джордж Паркер проявил интерес к астрономии и с помощью друга, астронома Джеймса Брэдли (который стал третьим королевским астрономом в 1742 году после смерти Галлея), он построил астрономическую обсерваторию в Ширберне.

К 1718 году Джонс жил в основном между Ширберном и Тиббальдс-Корт, недалеко от площади Ред-Лайон в Лондоне. Среди многих влиятельных математиков, астрономов и натурфилософов, с которыми он переписывался, был Роджер Котс (1682-1716), первый плюмианский профессор астрономии в Кембридже, которого многие считали самым талантливым британским математиком своего поколения после Ньютона. Ему было поручено отредактировать для публикации второе издание «Принципов Ньютона».

Джонс действовал как посредник между Ньютоном и Котсом, когда отношения между ними стали напряженными. У него явно было влияние и значительный такт. В одном из писем Котес написал Джонсу: «Я должен просить вас о помощи и управлении делом, за которое я сам не могу так должным образом взяться …». Это был деликатный вопрос: предложить Ньютону усовершенствовать один из его методов. У Ньютона был непростой характер, и с ним нужно было обращаться осторожно. Это Джонс смог сделать. Второе исправленное издание Principia было опубликовано в 1713 году и имело большой успех.

Ньютон был выдающимся выдающимся деятелем на протяжении большей части периода, и многие представители научного сообщества жили под его тенью. Джонс также вел обширную переписку с астрономом и математиком Джоном Мачином (около 1686–1771), который с 1718 года работал секретарем Королевского общества почти 30 лет. Он также входил в комитет Общества по исследованию изобретения математического анализа. . Профессор астрономии в Грешем-колледже почти 40 лет, Мачин работал над теорией Луны и считал себя экспертом в этой области.В одном письме к Джонсу Мачин использовал причудливый язык, чтобы пожаловаться на лунную теорию Ньютона:

… она (луна) сообщила мне, что он (Ньютон) оскорблял ее на протяжении всей ее жизни, выдавая, что она виновна в таких нарушениях и чудовищах во всех своих действиях и процедурах, что ни один живой человек в любой момент может узнать, где она находится.

Затем он продолжил писать, что он, Мачин, знал местонахождение Луны и, следовательно, мог потребовать 10 000 фунтов стерлингов, которые «лорд-казначей» предлагал за открытие долготы на море; потому что его лунная теория повысит точность лунных таблиц.

Хотя Мачин не получил награды, его лунная теория, описанная в Законы движения Луны в соответствии с гравитацией , была добавлена ​​к английскому изданию Принципов 1729 года после смерти Ньютона.

Machin также работал над серией для отношения длины окружности к диаметру, которая сходилась довольно быстро. Результат его вычислений был напечатан в книге Джонса 1706 года, «верный более чем на 100 позиций; как рассчитано точным и готовым пером поистине гениального мистера Джона Мачина… ‘. Мачин сделал это, используя бесконечный ряд, сумма которого сходилась к π. С математической точки зрения это означает, что независимо от того, сколько членов складывается, всегда есть разница, даже небольшая, между этой суммой и значением иррационального числа π. В бесконечном ряду, который использовал Мачин, члены чередуются между положительными и отрицательными значениями, так что сумма попеременно меньше или больше π.

Джонс также имел корреспондентов за границей; Особый интерес представлял ученый-квакер Джеймс Логан (1674–1751), живший в Америке.Логан родился в Ирландии и был приглашен Уильямом Пенном, лидером квакеров и основателем Пенсильвании, в качестве своего секретаря. Там он преуспел и в конце концов купил плантацию Стентон, где вышел на пенсию, когда ему было за пятьдесят, чтобы заниматься своими интересами, включая математику и ботанику. Его собственная библиотека, насчитывающая более 30 000 книг, была одной из самых выдающихся в Америке XVIII века и была завещана городу Филадельфии.

В 1732 году Логан написал Джонсу об изобретении «здесь молодого человека… отличного природного гения ». Это был Томас Годфри (1704-49), стекольщик, который в октябре 1730 года изобрел инструмент, который можно было точно использовать в море, потому что у него был единственный полузеркальный взгляд, который выстраивал отраженное изображение солнца с горизонтом. В качестве альтернативы любые два астрономических объекта, например, луна и звезда, могут быть выстроены в линию, перемещая вращающийся рычаг, содержащий зеркало, и считывая угол по шкале. Это означало, что движение корабля не будет мешать измерению угла, поскольку объект и изображение будут двигаться вместе.Это был гениальный инструмент. Логан считал, что его можно использовать для определения долготы в море лунным методом. Инструмент — это то, что мы теперь знаем как Квадрант Хэдли, хотя на самом деле это октант. Приписывание этого важного изобретения было заявлено как Америкой, так и Англией. Английский астроном Джон Хэдли (1682-1744) изготовил один из этих инструментов летом 1730 года и в мае следующего года отправил отчет Королевскому обществу.

Логан отправил личное письмо с описанием изобретения Годфриса Халлею, тогдашнему президенту Королевского общества, назвав его «Уважаемый друг».Это было дружеское общение, а также научное общение, и Королевское общество не читало его, как это было принято. Логан попросил Джонса навести справки об упущении. Впоследствии Джонс поднял этот вопрос в Обществе в январе 1734 года, и претензии Годфри на то, что он был изобретателем инструмента, хотя и не первым, были подтверждены.

Несколько лет спустя, в 1736 году, Джонс написал Логану, извиняясь за то, что не ответил раньше, и сказал, что:

… мои дела таковы, что требуют от меня постоянного приложения и так сильно занимают мой ум, что у меня мало или совсем нет времени думать о чем-либо еще: даже о математике.Я почти не думал об этом за последние 18 лет, и теперь мне почти незнакомы все улучшения, сделанные таким образом.

Но в переписке Джонса есть письма, датируемые более поздним периодом, которые имеют математический характер. Возможно, он не хотел поощрять Логана отправлять ему новые открытия. Логан был неутомимым корреспондентом, и, похоже, он написал Джонсу гораздо больше писем, чем Джонс ответил.

Конечно, у Джонса были другие мысли. Как и многие другие ученые, Джонс был заинтригован проблемой долготы, и он писал письма в Королевское общество по поводу того, что часы показывают точное время при изменении температуры.

Он служил членом совета Общества и стал его вице-президентом в 1749 году. Его доход был увеличен за счет синекуров, организованных его бывшими учениками: он стал министром мира благодаря влиянию Хардвика и заместителя кассира казначейства с Помощь Джорджа Паркера. Тем не менее, он также неоднократно переживал финансовый кризис, когда его банк обрушился, что было частым явлением в те дни.

Джонс женился во второй раз в 1731 году на Мэри Никс, которая была на 30 лет младше его, и у них было трое детей.Он был избран губернатором больницы для подкидышей в 1747 году, когда Джордж Паркер был вице-президентом. Именно Паркер заказал Хогарту портрет Джонса. Хотя Джонс выглядел на этом портрете впечатляюще, он, как сообщается, был «немного коротколицым валлийцем и имел обыкновение относиться к своим математическим друзьям с большой грубостью и свободой». Тем не менее, как мы видели, он умел быть тактичным в случае необходимости и мог проявить великую доброту.

Сообщается, что после его смерти в 1749 году в возрасте 74 лет Джон Робертсон, клерк и библиотекарь Королевского общества, «умер при более благоприятных обстоятельствах, чем обычно выпадает на долю математиков».Его единственному выжившему сыну, которого также звали Уильям, в то время было всего три года. Известный как Восточный Джонс, он отличился лингвистом, филологом и знатоком индуистского права и был должным образом посвящен в рыцари.

В 1750 году Джордж Паркер написал доклад « Замечания о солнечном и лунном годах», который был зачитан Королевскому обществу. Паркер был основным сторонником принятия григорианского календаря и изменения в 1752 году нового года с 25 марта на 1 января. Можно считать пересмотр календаря частью научного наследия Уильяма Джонса.В том же году Паркер был избран президентом Королевского общества и занимал эту должность до самой смерти.

В своем завещании Джонс оставил свое «изучение книг» Джорджу Паркеру «как свидетельство моего признания многих знаков его благосклонности, которые я получил». Научные книги, унаследованные Паркером от Джонса, вместе с архивом документов остались в библиотеке Ширберна. Доступ к ним был строго ограничен, хотя было признано, что они представляют собой самую важную коллекцию в своем роде, находящуюся в частных руках.В 2000 году архив писем и документов был предложен библиотеке Кембриджского университета, которая приобрела его за 6 370000 фунтов стерлингов с помощью гранта от Фонда лотереи наследия. Библиотека Маклсфилда была наконец продана на Sotheby’s в 2005 году шестью масштабными продажами, которые пополнили библиотеки по всему миру.

При жизни способность Джонса удерживать своих покровителей была важна, и он хорошо им служил. Однако с исторической точки зрения Джонс дал Макклсфилдам гораздо больше, чем когда-либо получал от них, и тем самым оставил миру огромное интеллектуальное наследие.

Патрисия Ротман — почетный научный сотрудник факультета математики Университетского колледжа, Лондон

Похвальное слово Эйлера — Кондорсе

Похвальное слово Эйлера — Кондорсе

Похвальная речь г-ну Эйлеру

Маркиз де Кондорсе


История Королевской академии наук 1783, Париж 1786, страницы 37-68

Леонард Эйлер, директор математического класса Петербургской академии, а до этого — Берлинского, Лондонского королевского общества, академий Турина, Лиссабона и Базеля, иностранный член всех научных академий, родился в Базеле. 15 апреля 1707 года Полю Эйлеру и Маргарите Брукер.

Его отец, ставший пастором в деревне Риэн недалеко от Базеля, был его первым учителем, и ему посчастливилось увидеть надежды этого славного сына с талантами, которые были так милы его отцовскому сердцу, на то, чтобы он ожил под его руководством. глазами и его заботой.

Он изучал математику у Якоба Бернулли, и мы знаем, что этот великий человек сопровождал своего гения в области наук глубокой философией, которая, хотя и не всегда может сочетаться с гениальностью, служит ее расширением, чтобы сделать ее более полезной.Его учение дало своим ученикам понимание того, что геометрия не была изолированной наукой, а была той, которая лежала в основе человеческого понимания, и что наука может лучше всего наблюдать развитие души и является той, которая лучше всего использует наши знания, поскольку она также обеспечивает нам понимание достоверности и правильности одновременно. Наконец, он учитывается разнообразием его применений и преимуществом закрепления привычки к методологии рассуждения, которая может быть в дальнейшем развита для поиска истины во всех ее направлениях и обеспечения руководства для поведения в нашей жизни.

Полностью познакомившись с философией своего учителя, Поль Эйлер попытался преподать элементы математики своему сыну, хотя он и подготовил его к изучению теологии. Когда молодого Эйлера отправили в Базельский университет, он смог учиться у Иоганна Бернулли. Прилежный в учебе и обладающий приятным характером, он смог подружиться с Даниилом и Николасом Бернулли, учениками и уже соперниками своего отца. Ему даже удалось заручиться дружбой со вспыльчивым Иоганном Бернулли, который был готов давать ему частный урок раз в неделю, чтобы помочь осветить проблемы, возникавшие во время его лекций и учебы.Остальные дни г-н Эйлер потратил на благо, чтобы извлечь выгоду из этой необычной прерогативы.

Этот превосходный метод обучения помешал его подающему надежде гению устоять перед непобедимыми препятствиями или отклониться от новых идей, которые он исследовал. Этот метод направлял и поддерживал его усилия, но в то же время он обязывал его задействовать все свои силы, которые Бернулли оценивал, учитывая его возраст и объем своих знаний.

Он не мог долго пользоваться этим преимуществом, поскольку едва получил степень магистра искусств, когда его отец, решивший, что он станет его преемником, заставил его отказаться от математики в пользу теологии.К счастью, это наложение было только преходящим; его легко убедить, что его сын родился, чтобы заменить Иоганна Бернулли, а не быть пастором Райхена.

М. Эйлер написал статью, когда ему было девятнадцать лет, о мачте судов, предложенной Парижской академией наук, для которой он получил доступ в 1727 году, что является большим достижением, поскольку молодой альпийский уроженец не мог воспользоваться этим преимуществом. любых практических знаний. Его сменил г-н Бугер, превосходный математик, который был не только на пике своей карьеры, но и был профессором гидрологии в городе мореплавателей.

Г-н Эйлер в то время также был кандидатом на кафедру Базельского университета. Позиции были предложены путем жеребьевки, проведенной администраторами, которые определили эти места, но судьба оказалась неблагоприятной, и мы не можем винить г-на Эйлера, а скорее его страну, которая потеряла его навсегда через несколько дней. За два года до этого момента Дэниела и Николаса Бернулли вызвали в Россию, и мистеру Эйлеру, который с сожалением наблюдал, как они уезжают, удалось добиться обещания, что они ищут те же возможности, которыми он так отчаянно пытался поделиться, и которые никому не нужны. следует удивляться.Великолепие столицы такой великой империи сверкает над всем, что ее окружает. Она театр, и мужчины, которые ее населяют, чувствуют, что она может быть средоточием их славы. Как легко она соблазняет молодежь, заманивает в ловушку бедных и малоизвестных свободных граждан маленькой республики. Братья Бернулли сдержали свое обещание и приложили столько усилий, чтобы иметь на своей стороне грозного соперника, сколько бы сделало большинство людей, чтобы не оказаться в таких обстоятельствах.

Поездка г-на Эйлера была совершена при печальных обстоятельствах, так как он узнал, что Николя Бернулли уже поддался суровым условиям российского климата.В тот день, когда он ступил на русскую землю, Екатерина 1 умерла, и это, казалось, означало знаменательный роспуск Академии, которую эта княгиня, верная руководству своего мужа, только что завершила инаугурацию. Г-н Эйлер теперь отдалился от своей страны и, не имея возможности пользоваться репутацией и уважением такого знаменитого имени, как Даниэль Бернулли, решил поступить в российский флот. Один из адмиралов Петра 1 был лейтенантом на борту одного из его кораблей, когда гроза, угрожавшая наукам, подняла и промыслительно спасла математику.Г-н Эйлер получил звание профессора и сменил г-на Даниэля Бернулли в 1733 году, когда этот знаменитый человек решил вернуться в свою родную Швейцарию. В том же году он женился на мадемуазель Гселл, соотечественнице и дочери художника, которую Петр I привез с собой в Россию после своей первой поездки. Таким образом, имея возможность использовать выражение Бэкона, М. Эйлер почувствовал, что он дал заложников удаче и что страна, где он мог надеяться построить дом, в котором могла бы разместиться его семья, фактически стала для него страной.Рожденные в стране, где правительства сохраняют, по крайней мере, внешний вид и язык республиканского правительства, или, несмотря на реальные различия, отделяющие первых рабов и последних его подданных от деспотического хозяина, они тщательно поддерживали все формы равенства. . Уважение к законам распространяется на самые безразличные обычаи, поскольку они освящены древностью или общественным мнением. Г-н Эйлер теперь оказался в стране, где принц пользуется неограниченной властью, в стране, где самый священный закон абсолютистов, определяющий преемственность Империи, был недвусмысленным и презираемым; где администраторы — рабы монарха, деспотически правящего порабощенным народом.Именно в этот момент Империя дрожала под властью тирана Бирена или Бхрена, амбициозного, жестокого и нечестивого иностранца. Это имело большое значение для ученых, которые пришли искать в лоне славы, удачи и свободы и с миром вкушать сладость учебы.

В этот момент чувствуется все, что испытывало дух Эйлера, как это пребывание было сковано цепями, которые нельзя было разорвать, может быть, это необходимо, чтобы понять этот период его жизни, что его тупость к работе, которая к тому времени была привычкой , и который стал его единственным ресурсом в Столице, где можно было найти приспешников или министерских врагов, некоторые были заняты, чтобы поддержать его подозрения, а другие, чтобы отбросить их.Это впечатление было настолько сильным для г-на Эйлера, что он все еще ощущал его полную меру, когда в 1741 году, через год после падения Биренса, тиранический период сменился более умеренным и гуманным правительством. Эйлер уехал из Санкт-Петербурга в Берлин, куда его позвал прусский король.

Когда он был представлен прусской королеве-матери, которая так наслаждалась разговором с просвещенными людьми, которых она собрала к себе с той же благородной фамильярностью, которая является частью королевской особы и независимой от их титулов и чье знакомство стало частью этого августа семья.Однако королева-мать не могла извлечь из Эйлера ничего, кроме односложных. Она упрекала его в том, что он настолько застенчив и смущен, что не чувствовала того, что она внушала. Почему ты не хочешь поговорить со мной? Она спросила. — Мадам, — ответил он, — потому что я приехал из страны, где за то, что говорят, могут повесить.

Достигнув момента, чтобы дать обзор огромных работ г-на Эйлера, я лично испытал невозможность проследить детали и поделиться знаниями об удивительном количестве открытий, новых методов, гениальных взглядов, охватывающих более тридцати работ, опубликованных вне, и более семисот миллионов муаров, двести из которых были депонированы перед его смертью и призваны обогатить коллекцию, публикуемую Академией.

Однако одна особенность, кажется, отличает его от других выдающихся людей, которые следовали аналогичной карьерой и достигли той славы, которой его работа, похоже, не омрачена. Он был охвачен универсальностью математических наук и усовершенствовал их различные части, чтобы обогатить их своими различными важными открытиями и создать революционную среду для работы с ними. Поэтому я счел целесообразным разработать метод для построения диаграмм различных научных направлений, которые определяют прогресс, достигнутый в каждой из них, и полезные изменения, произошедшие благодаря г-ну А.Эйлер. Тогда, если у меня еще будут силы продолжить, я, по крайней мере, предоставил лучшее представление об этом знаменитом человеке, который благодаря стольким необычным качествам был, так сказать, феноменом, для которого История науки только что предоставила нам пример.

Алгебра в течение значительного периода времени была очень ограниченной наукой. Этот метод использовался, чтобы рассматривать идею измерения как квинтэссенцию абстракции, которую человеческий разум может достичь только путем строгого применения, с помощью которого человек разделяет это понятие, занимая воображение, которое в противном случае могло бы выиграть от некоторой помощи или некоторого отдыха своему разуму.Наконец, чрезмерное использование обозначений, которое использует эта Наука, делает ее в определенных отношениях слишком чуждой нашей природе, слишком далекой от наших заурядных концепций, чтобы человеческий дух мог легко наслаждаться собой и обрести некоторую легкость в своей практике. Даже направление алгебраических методов давало отпор тем, кто размышлял над такими вещами, и, если суть была сложной, заставляла их полностью забыть о ней или думать только о формулах. Дорога, по которой мы идем, верна, однако цель, по которой мы хотим идти, и точка, из которой мы вышли, исчезают в глазах Геометра.Безусловно, требовалось немало мужества, чтобы потерять из виду земные атрибуты и таким образом познакомиться с совершенно новой наукой. Если мы посмотрим на работы великих математиков прошлого века, те самые, которым алгебра обязана своими величайшими открытиями, мы увидим, как мало они знали и как лучше всего использовать те же самые методы, которые они усовершенствовали. В то же время нельзя отрицать очень революционный аспект преобразования Эйлера алгебраического анализа в блестящий универсальный метод, применимый во всех его аспектах и ​​простой в использовании.

После определения шагов к корням алгебраических уравнений,

и их общая разрешимость, многочисленные новые теории и некоторые гениальные и проницательные взгляды, исследования г-на Эйлерса были направлены на вычисление трансцендентных величин. Лейбниц и два Бернулли разделяют славу того, что они ввели экспоненциальные и логарифмические функции в алгебраический анализ. Котес уже предоставил способ представления корней некоторых алгебраических уравнений синусом и косинусом.

Эти открытия привели Эйлера к важному открытию, наблюдая за уникальными характеристиками экспоненциальных и логарифмических величин, рожденных внутри круга, и следуя методам, с помощью которых решения заставляют проблемы исчезать, терминам воображаемых, которые тогда будут присутствовать и которые усложнили бы расчет, даже несмотря на то, что они, как известно, схлопываются, свел формулы к более простым и удобным выражениям. Он смог дать совершенно новое понимание той части анализа, которая касается вопросов астрономии и физики.Этот процесс был принят всеми математиками и стал полезным и основным инструментом и произвел в этом разделе математики примерно такой же революционный эффект, как открытие логарифмов в обычных вычислениях.

Известно, что после определенных периодов больших усилий математические науки, казалось, исчерпали человеческие возможности и достигли своих пределов. Когда внезапно появились новые способы вычислений в тот самый момент, когда казалось, что они достигли предела своего прогресса; новый метод был введен в науку и дал им новый импульс.Они быстро обогащаются решениями большого количества задач, которые математики не осмеливались решать из-за сложности и физической невозможности привести свои вычисления к удовлетворительному результату. Считает ли кто-нибудь, что справедливость должна быть сохранена за тем, кто знал, как внедрить эти методы и сделать их полезными, или что часть славы должна достаться всем, кто использует их с успехом, по крайней мере, получит признание приоритета, чтобы они могли придираться, не будучи неблагодарным.

На каждом этапе жизни Эйлера анализ рядов всегда занимал особое место. Это часть его творчества, где мы видим блеск его таланта, мудрость и разнообразие имеющихся в его распоряжении методов, а также ресурсы, характеризующие его подход.

Непрерывные дроби, изобретенные виконтом Брукнером, были почти забыты, пока не пришел мистер Эйлер и не усовершенствовал их теорию, не расширил возможности их применения и не выявил их важность.

Его новое исследование серии неопределенных продуктов предоставило необходимые ресурсы для решения очень многих полезных и любопытных вопросов.Прежде всего, благодаря воображению новых форм рядов и их использованию не только для приближения, к которым мы так часто вынуждены прибегать, но и к открытию абсолютных и строгих доказательств того, что г-н Эйлер смог расширить эту ветвь. анализа, который стал настолько большим по сравнению со временем, когда до Эйлера он ограничивался небольшим количеством методов и приложений.

Творчество мистера Эйлера изменило облик интегрального исчисления как самое зрелое открытие, которым когда-либо обладал человек.Он усовершенствовал, расширил и упростил все известные или предложенные до него методы. Он отвечает за общее решение линейных уравнений, которые так разнообразны и полезны, а также за первые формулы для приближений. Существует множество конкретных методов, основанных на различных принципах, которые распространены в его работах и ​​собраны в его «Трактате об интегральном исчислении». Здесь мы можем наблюдать с помощью подходящего метода подстановок или с помощью уже известного метода для решения сложных уравнений или путем редукции к первым дифференциалам уравнений первого порядка, а затем, рассматривая формы интегралов; он вывел условия дифференциальных уравнений, которым они могут быть удовлетворены, иногда путем тщательного изучения факторов, которые обеспечивают полный дифференциал, а иногда приводит его к выводу о формулировке общего класса интегральных уравнений.В уравнении, которое он заметил, есть особенность, которая дала ему возможность отделить неразборчивые элементы, которые казались запутанными, в противном случае, если в уравнении, где они представляют собой отдельные промахи с помощью известных методов, он смог смешать неразборчивые элементы. распознать интеграл.

На первый взгляд может показаться, что выбор и успех этих методов могут быть случайными. Однако такие частые и уверенные успехи обязывают рассматривать другую причину, так как не всегда можно проследить нить, ведущую гением.Если, например, кто-то рассмотрит форму замен, использованных г-ном Эйлером, он скоро обнаружит, что заставило его предположить, что операция приведет к заданному эффекту, который он предполагал, и если кто-то исследует форму одного из его лучших методов, он ожидает факторы уравнения второй степени, и можно заметить, что он остановился на одном из факторов, который является частным для этого порядка уравнений. В действительности этот поток идей, которым руководит аналитик, является не столько методом управления потоком идей, сколько своего рода частным инстинктом, который очень трудно осознавать.Часто он предпочитал не раскрывать процесс своего мышления, а не подвергаться подозрению со стороны рук, и что он приходил к решению только постфактум.

Г-н Эйлер пришел к выводу, что дифференциальные уравнения подвержены частным решениям, которые не включены в общие решения, в которых г-н Клеро сделал аналогичное утверждение. Однако именно г-н Эйлер показал, почему эти частные интегралы исключены из общего решения, и он первым посвятил некоторое время этой теории, которая с тех пор была усовершенствована другими знаменитыми геометрами и ммуаром, в котором г-н.де ла Гранж не оставил ничего неизвестного относительно природы этих интегралов и их использования при решении задач.

Здесь есть возможность упомянуть еще одну совокупность исчислений, которая почти полностью принадлежит мистеру Эйлеру. Это происходит, когда кто-то ищет конкретные интегралы для определенного определенного значения неизвестных, которые содержатся в уравнении. Эта теория тем более важна для нас, что общий интеграл скрыт от наших поисков и что, когда возникают проблемы, когда приблизительное значение этих конкретных интегралов не находится в пределах ожидаемых нами параметров, знание этих конкретных интегралов может преодолеть эти недостатки.Фактически, тогда, по крайней мере, для некоторых точек, одно имеет строгое значение, и это знание оказывается с общим приблизительным значением как достаточное почти для всех аналитических нужд.

Никто не использовал более широко и лучше методы, которые обеспечивают приблизительное значение определенной величины посредством использования дифференциальных уравнений, для которых были получены первые значения. Он также предоставил прямой метод для немедленного вывода того же уравнения со значением, очень близким к действительному, с помощью которого степени удаляются из их разности и могут быть отброшены; метод, с помощью которого приближения, используемые математиками, не могут быть расширены, хотя уравнения, для которых наблюдения или конкретные соображения не дают первого значения для этих известных методов.

Сказанного достаточно, чтобы показать, до какой точки г-н Эйлер исследовал природу дифференциальных уравнений, источник трудностей, препятствующих интегрированию, и способ их прояснения или преодоления. Его великая работа по этой теме — это не только ценный сборник новых и расширенных методов, она больше похожа на кладезь плодородных жил, так что любой человек, рожденный с некоторым интеллектом, не путешествовал бы по ее страницам, не добыв при этом богатой добычи. Об этих произведениях можно сказать г.Эйлеру, как и многим другим, что сохранившиеся методы обеспечат, спустя долгое время после его ухода, способность решать важные и трудные вопросы, и что его работы принесут более одного открытия и более чем одну репутацию.

Почти неизвестная, но интеллектуальная работа г-на Тейлора о конечных разностях была превращена в важную ветвь интегрального исчисления путем присвоения простых и рабочих обозначений, которые, как было обнаружено, успешно применимы к теории рядов.Это было сделано путем поиска сумм или выражений их общих членов и тех из корней или определяющих уравнений, с помощью которых можно было с помощью простого вычисления получить приблизительную стоимость продуктов или неопределенные суммы определенных чисел.

Открытие частных дифференциалов в действительности принадлежит г-ну Даламберу, поскольку именно благодаря ему существует понимание общей формы их интегралов. Однако в работах г-на Даламберца мы часто видели результаты расчетов, а не сами расчеты.Обозначения принадлежат мистеру Эйлеру. Он знал, как лучше всего представить это, благодаря глубокому пониманию теории, которая предоставила ему способ решения большого числа этих уравнений, различать формы порядков интегралов для разного числа переменных, сокращать эти уравнения, когда они принимают определенную форму и становятся обычными интеграциями, чтобы обеспечить способ запоминания этих форм посредством подстановок, после которых они исчезают; Одним словом, обнаружить в природе этих дифференциальных уравнений в частных производных большинство из этих особых свойств, которые делают общую теорию такой сложной и тернистой, качеств, которые почти неотделимы в геометрии, где степень сложности настолько часто представляет интерес, что принимает на себя вопрос и честь, которую придает открытию.Влияние новой истины в самой Науке или в каком-то ее применении — единственное преимущество, которое может уравновесить шкалу шансов на такую ​​трудную победу в теле людей, для которых приятно постигать истину и всегда соразмерную. к затраченным усилиям. Мистер Эйлер не забыл взглянуть на любую часть анализа; он предоставил доказательства некоторым теориям Ферма, касающимся неопределенного анализа, и нашел некоторые не менее интересными и не менее трудными для открытия.Ход коней в шахматах, и другие ситуативные проблемы не только возбудили его любопытство, но и проявили его гений, он смешал свои самые важные исследования и эти кажущиеся развлечения иногда более трудными, но, казалось бы, бесполезными даже для прогресса наук до сих пор. Мистер Эйлер был слишком умен, чтобы не ощущать неудобства тратить слишком много времени на то, что могло показаться просто любопытством, но в то же время его ум был слишком широк, чтобы не понимать, что их бесполезность была лишь сиюминутной и что лучший способ Завершить поиски было стремление к их углублению и обобщению.

Со времен Декарта применение алгебры к геометрии занимало почти всех математиков прошлого века; однако г-н Эйлер обнаружил, что они даже близко не подошли к исчерпанию предмета. Именно ему мы обязаны новым исследованием, касающимся количества точек, определяющих изогнутую линию, степень которой известна, а также пересечения линий с разной степенью. Равным образом, для развития общих уравнений кривых второй и третьей степеней, другими словами, развития любого случайного порядка, который подобен производящей кривой; замечательное уравнение из-за его чрезвычайной простоты.

Общая теория криволинейных поверхностей была мало известна, и г-н Эйлер первым развил ее в элементарный труд, к которому он добавил теорию колеблющихся радиусов этих поверхностей; он пришел к исключительному выводу, что элементарная кривая поверхности определяется двумя из колебательных радиусов кривых, образованных пересечением поверхности, и радиуса плоскости, проходящей через данную перпендикулярную точку. Эти лучи являются либо наибольшими, либо наименьшими из всех тех, которые принадлежат к серии кривых, образованных таким образом, и что в конечном итоге они всегда оказываются в плоскостях, перпендикулярных друг другу.

Он дополнительно предоставил метод определения поверхностей, которые могут быть развернуты на плоскости, и теорию сферических географических проекций. Эти две работы содержат ссылку на применение дифференциальных уравнений в частных производных к геометрическим задачам, которые могут быть использованы во многих приложениях, которые г-н Эйлер впервые представил.

Его исследование кривых, вписанных в сферу и представляющих собой алгебраически спрямляемые искривленные поверхности, соответствующие части которых являются частями данного плана и равны самим себе, привело Эйлера к новому типу анализа, для которого он ввел термин неопределенная бесконечно малая величина. анализ.Как и в случае обычного неопределенного анализа, величины, которые остаются произвольными, подчиняются определенным условиям, и точно так же, как неопределенный анализ иногда может помочь в улучшении алгебры, г-н Эйлер рассматривал свой новый анализ как науку, которая однажды станет полезно в развитии интегрального исчисления.

Эти конкретные вопросы, которые не являются частью методологии математических наук и не рассматриваются как приложения, которые могут быть полезны, не должны рассматриваться как способ проявить гений геометров, которые почти все в науки.Каждый начинает с отдельного культивирования некоторых изолированных частей, и по мере того, как последовательные открытия становятся очевидными, и чаще всего именно свет, который сияет от этих соединений, из которых величайшие открытия становятся важными в истории человеческого духа.

Вопрос об определении кривых или поверхностей, на которых одни неопределенные функции больше или меньше для всех остальных, ставил в тупик самых известных геометрических фигур в прошлом веке. Решения проблем наименее стойкого твердого тела, кривой наиболее быстрого спуска и проблемы самых больших изопериметрических областей были широко отмечены в Европе.Общий метод решения проблемы был скрыт в этих решениях, особенно в решениях Якоба Бернулли, который нашел ответ на изопериметрический вопрос, который дал ему преимущество перед своим братом, поскольку многие шедевры впоследствии были созданы Иоганном Бернулли. Однако, чтобы развить этот метод, необходимо было свести его к общей формуле, и это то, что г-н Эйлер совершил в 1744 году, что стало одной из его самых важных работ. Чтобы найти эти формулы, необходимо было рассмотреть возможность использования изогнутых линий; и через пятнадцать лет после того, как молодой Геометр М.де ла Гранж, который в рамках содержания своих первых «Очерков» зарекомендовал себя как достойный преемник г-на Эйлера, успешно решив ту же проблему чисто аналитическими методами. Г-н Эйлер был первым, кто оценил новаторские усилия в искусстве вычислений, посвятил себя раскрытию этого нового метода и предложил новые принципы, которые были прорисованы с такой ясностью, что в его работах сверкает элегантность. Никогда и никогда гений не обеспечивал такой великодушной щедрости, и никогда он не показывал, что превосходит его, будучи вынужденным разделить небольшую славу, которую страсть так яростно проявляет в обычных людях.

Мы закончим это изложение работ мистера Эйлерса чистым анализом замечанием, что было бы несправедливо ограничивать его влияние только областью математики, а не бесчисленными открытиями, которыми наполняются его работы. Линии связи, которые он открыл между всеми частями такой обширной науки, общие цели, которые он часто воздерживается от упоминания, но которые едва ускользают от его внимательного взгляда, пути, которые он не только открыл, но и устранили первоначальные препятствия, так пошли на пользу человеку. наука, которая будет обогащена и которой будут пользоваться потомки, даже если они забудут руки, из которых они их получили.

Трактат по механике, изданный г-ном Эйлером в 1736 году, — первая большая работа, в которой анализ был применен к науке о движении. Количество новинок или представленных в такой новой форме тем, которые появляются в этом трактате, могло бы удивить других специалистов по геометрии, если бы г-н Эйлер еще не опубликовал большую часть своей работы в отдельной публикации.

В ряде работ по той же теме Эйлер оставался стойким к анализу, и использование этого метода дало ему необходимое признание, сделав его наиболее широко используемым методом из всех.

Решение проблемы, которое ищут для движения объекта, который запускается в космос и притягивается к двум точкам, стало известным благодаря способности Эйлера делать необходимые замены путем сведения к квадратным уравнениям, чтобы их сложность и форма могли сделали их нерастворимыми.

К движению твердого тела данной фигуры он применил анализ движения, который дал ему прекрасную теорию, уже открытую Сегнером; что тело неопределенной формы может свободно вращаться с равномерным движением вокруг трех перпендикулярных осей между собой, к совокупности знаний с различными сингулярными свойствами трех главных осей, независимо от их формы и законов ускоряющих сил, которые действуют на их части.

Проблема вибрирующей струны и все те, что относятся к теории звука или законам колебаний в воздухе, были подвергнуты анализу с помощью этих новых методов, которые, в свою очередь, обогатили исчисление уравнений в частных производных. Теория движения жидкостей, примененная с теми же вычислениями, поражает ясностью, которую он внес в столь много острых вопросов, и легкостью, с которой он знал, что придать этим методам, основанным на таком глубоком анализе.

Все проблемы астрономической физики, которые рассматривались в этом столетии, были решены с помощью особых аналитических методов Эйлера.Его расчеты, касающиеся земных возмущений, и особенно его теория Луны являются моделями простоты, с которой эти методы могут соответствовать точности. Читая эту последнюю работу, не меньшее удивление вызывает то, насколько великий гений, одухотворенный исключительно желанием ничего не оставлять на волю случая в важных вопросах, может раздвинуть границы терпения и упорства в работе.

В прошлом астрономия использовала только геометрические методы, и г.Эйлер чувствовал, что она могла бы преуспеть, если бы была спасена анализом, и он представил доказательства на примерах, которым подражали многие известные ученые, которые однажды предоставят совершенно новую платформу для этой науки. Он охватил военно-морскую науку в большом труде, основой которого послужил действительно знающий анализ, а самые сложные вопросы были подвергнуты полезным и общим методам, которые он так хорошо умел создавать. Вскоре после этого он опубликовал сокращенную версию этой же работы, в которой он изложил в идентичной и более простой форме все, что является наиболее практичным и что необходимо знать тем, кто посвящает себя морской службе.Несмотря на то, что этот опус предназначался исключительно школам Российской империи, он получил компенсацию от Короля, который считал, что этот труд будет полезен для всего человечества и должен иметь признание всех Государей, желающих продемонстрировать это даже из самых отдаленных уголков мира. Европы такой редкий талант не мог ускользнуть ни от его взгляда, ни от его наград. Г-на Эйлера особенно поразил этот знак признания столь могущественного короля. Его также узнали по руке, которая ему помогла, это была рука мистера Ф.Тюрго, министр, уважаемый во всей Европе как своим ослепительным блеском, так и своими добродетелями, человек, созданный скорее руководить мнением, чем подчиняться ему, и чье мнение всегда диктовалось правдой и никогда не привлекало к себе общественного одобрения, мог льстить мудрому. человек слишком привык к славе, чтобы оставаться чувствительным к ропоту своей славы.

В пределах содержания гениальных людей крайняя простота характера может сочетаться с духовными характеристиками, которые могут показаться, а могут и не указывать на ум или утонченность.Мистер Эйлер, несмотря на никогда не покидавшую его простоту, всегда умел мудро отличить и всегда потакать признательности просвещенному восхищению тех, чье тщеславие пиявило на великих людей и заверяет их, по крайней мере, в том, что их энтузиазм заметят.

Его работы о диоптике основаны на менее глубоком анализе, и мы испытываем искушение быть ему благодарными, как за трофей. Различные лучи, из которых образуется один солнечный луч, подвергаются разным преломлениям; таким образом отделенные от своих соседей, они кажутся одиночными или менее смешанными, и каждый дает свой уникальный цвет; эта преломляемость варьируется в каждой среде для каждого луча и подчиняется закону, который отличается от закона среднего преломления для этих сред.Это наблюдение дало основание полагать, что две неравные призмы, состоящие из разных веществ, объединенных вместе, могут отклонять луч от его курса, не разрушая его, или, скорее, заменяя посредством тройного преломления элементарные лучи в параллельном направлении.

Доказательство этой гипотезы могло зависеть от стекла и от устранения переливчатости цветов, которые проецируются через стеклянные линзы. Г-н Эйлер был убежден в возможности успеха на основе метафизической идеи о том, что если глаз состоит из разных частей, то это однозначно с намерением устранить искажающие эффекты преломляемости.Следовательно, дело было только в том, чтобы найти способ подражать пути Природы, и он предложил метод, основанный на теории, которую он сформулировал. Его первые эксперименты побудили физиков переоценить объект, которым они, по-видимому, пренебрегли, поскольку их эксперименты не соответствовали теории мистера Эйлера, но они подтвердили его мнение относительно улучшений очков. Его понимание предоставило законы дисперсии в различных средах. Он отказался от своих первых идей и представил новые для экспериментального подтверждения и обогатил диоптику аналитическими формулами, которые были простыми, полезными, общими и применимыми для любого инструмента, который можно было построить.

Также от мистера Эйлера есть несколько очерков по общей теории света, феномен которой он надеялся сопоставить с явлениями колебаний жидкости в жидкости, поскольку гипотеза о том, что световые лучи излучаются по прямым линиям, представляла непреодолимые трудности. Магнитная теория, распространение огня, законы сцепления тела и трения предоставили возможность для длительных вычислений, применяемых к гипотезе, которая, к сожалению, должна была быть основана на эксперименте.

Вероятность и политическая арифметика также были частью его неустанных занятий. Мы упомянем только его исследования в таблицах смертности и способы улучшения актуарной науки. Усовершенствования, которые он сделал для более точного определения феномена, его методология для повышения точности теории ошибок, необходимое обоснование для сберегательных учреждений с целью гарантировать, что вдовы и дети получат либо фиксированную сумму, либо единовременную выплату, выплачиваемую после смерть мужа или отца как остроумная альтернатива пожизненному ренту и немедленное предоставление семьям небольших сбережений, которые глава семьи мог бы сделать на своей дневной заработной плате или назначением комиссии или синекуры.

Мы видели в хвалебной речи господину Бернулли, что он был единственным человеком, удостоенным награды тринадцать раз обладателем премии Академии наук. Они часто работали над одними и теми же темами, и честь победить своего конкурента также должна была быть разделена, чтобы это соперничество никогда не мешало взаимности их взаимных чувств друг к другу или охладило их дружбу. Изучая предметы, в которых тот или другой одержал победу, можно увидеть, что успех особенно зависел от характера их таланта.Если вопрос требовал особого расположения в презентации или полезного способа использования результатов эксперимента или новых и гениальных достижений в физике, тогда преимущество было за г-ном Бернулли. Если бы вопрос преодолел большие трудности в вычислениях и было бы необходимо создать новые и улучшенные методы анализа, тогда был бы назначен г-н Эйлер. Если сделать выбор между ними по глупости, то придется выбирать не между двумя людьми, а, скорее, между двумя разными типами характера и двумя способами использования гения.

Мы могли бы дать только очень несовершенное представление о выдающихся результатах мистера Эйлера, если бы мы не добавили к этому короткому очерку его работ, что было много важных предметов, через которые он проследил свои шаги, даже до такой степени, что он переделал свои работы. раз. Иногда он заменял прямую и аналитическую работу косвенным методом, иногда расширяя свою работу, чтобы включить случаи, которые ускользнули от его первоначальных намерений, добавляя новые примеры, которые он знал с исключительной способностью, среди тех, которые давали какое-то полезное применение или какое-то интересное замечание. .Его единственное намерение состояло в том, чтобы придать своей работе более методичную строгость и настоять на большей ясности, чтобы добавить новую степень совершенства. Когда он опубликовал мемуар по новой теме, он с величайшей простотой раскрыл путь, которым он выбрал следовать, он выявил трудности или обходные пути, и после того, как его читатели скрупулезно проследили ритм его ходьбы на начальных этапах, он показал им, как стало возможно найти более простой путь для движения. Можно видеть, что он гораздо больше предпочитал образование своих учеников, чем небольшое удовлетворение от удивления; он никогда не верил, что он действительно сделал достаточно для науки, если не чувствовал, что добавил новые истины, чтобы обогатить ее, и разоблачения простоты идеи, которая привела его к этому.

Этот способ охвата всей математики заключался в том, чтобы всегда иметь, так сказать, близость внутри себя всех вопросов и теорий, которые были для мистера Эйлера источником открытий, закрытым почти для всех и доступным только ему одному. Таким образом, в ходе его работы иногда появлялся уникальный метод интегрирования дифференциального уравнения, а иногда замечание, касающееся вопроса анализа или механики, приводило его к решению очень сложного дифференциального уравнения, которое не поддавалось самооценке. прямые методы.В других случаях это была бы проблема, которая казалась непреодолимой, которую он разрешил в одно мгновение очень простым методом, или элементарная проблема с очень трудным решением, которое можно было преодолеть только с величайшими усилиями. В других случаях простые числа или новая серия представляли новые по своей уникальности вопросы, которые приводили его к неожиданным доказательствам. Когда г-н Эйлер упомянул, что своим открытием он обязан случайности, это не было попыткой приуменьшить важность, поскольку легко было увидеть, что шанс благоприятствует подготовленному уму человека, обладающего огромным объемом знаний, соединенных между собой. с редкой мудростью.Фактически, мы должны хвалить его за откровенность, даже если это стоило ему некоторой славы. Гениальные люди редко демонстрируют коварство тщеславия, которое лишь умаляет в глазах просвещенного жюри то, что оно увеличивает в глазах толпы, а именно то, что гениальный человек чувствует, что он никогда не превзойдет того, что демонстрирует. он сам, как он есть, поскольку самооценка не имеет власти над ним, но это так хорошо действует с такой властью над другими людьми.

Когда кто-то читает жизнь великого человека, он убеждается в несовершенстве, присущем человечеству, либо из-за того, что праведность, на которую мы способны, не позволяет нам добиться справедливого признания в наших собратьях превосходства со стороны людей. что ничто другое не может нас утешить, или то, что идея совершенства в другом ранит или унижает больше, чем идея величия.Тогда может показаться, что нам нужно найти слабое место, мы ищем какую-то ошибку, которая может поднять нас в наших собственных глазах, и что мы невольно вынуждены бросить вызов искренности писателя, если он не сможет раскрыть эту мягкую изнанку или если ему не удается приподнять злополучную завесу, скрывающую эти недостатки.

Порой мистер Эйлер, казалось, наслаждался только расчетами; и взглянуть на то, что он рассматривал в механике или физике только как на повод проявить свой гений и отдаться своей доминирующей страсти.Другие ученые упрекали его в том, что он временами использовал свои умственные силы для доказательства физических гипотез или даже метафизических принципов, истину или надежность которых он не исследовал в достаточной степени. Его критиковали за то, что он слишком сильно полагался на свои математические способности и что он игнорировал те вопросы, которые, если бы он мог изучить их более подробно, вполне могли бы дать ему ответы, которые он пытался разрешить. Мы признаем, что первый упрек небезоснователен, и признаем, что г.Метафизик Эйлер или даже физик не были столь велики, как Геометр, прискорбно, без сомнения, что в некоторых частях его работ, например, касающихся военно-морской науки и артиллерии, были практически всецело полезны для прогресса математики, однако мы считают, что вторая критика гораздо менее оправдана, поскольку повсюду в работах г-на Эйлера мы видим, что он занят добавлением богатства анализа, расширением и умножением его приложений, в то же время, когда он кажется его единственным инструментом, мы понимаем, что он только хотел сделать его универсальным инструментом.Естественный прогресс математических наук должен был привести к этой революции, но он видел, как она, так сказать, развивалась прямо на его глазах, и благодаря его гениальности мы знаем ее как награду его усилий и его открытий. Поэтому, когда он время от времени появлялся, чтобы расширить полезные ресурсы своего искусства и извлечь все секреты для решения того, что может быть решено с помощью какой-то чужой математике мысли, вполне могло дать совершенно правильный ответ, он только хотел продемонстрировать силу его искусство.И мы должны простить его, если он, казалось, был занят другой наукой, но это было все еще и только прогрессу и распространению анализа, которому были посвящены эти работы, поскольку революция, которая является плодом, является только первым правом, которое признает человек. и одно из величайших прав на славу.

Я не счел нужным прерывать подробности работы мистера Эйлера из-за рассказа об очень простых и однообразных событиях его жизни.

Он обосновался в Берлине в 1741 году и оставался там до 1766 года.

Принцесса Ангальт-Дессау, племянница короля Пруссии пожелала получить уроки физики; Эти уроки были опубликованы под названием «Письма принцессе Германии». Очень ценная работа из-за исключительной ясности, с которой он раскрыл самые важные истины, касающиеся механики, астрономической физики, оптики, теории звуков, и с меньшим количеством философии, но более изобретательными способами и гораздо большей мудростью, чем Фонтенелль Множественность миров может показать вихри. .Имя Эйлера, столь высоко ценимое в науках, и впечатляющая манера, в которой его идеи раскрывают самые сложные и абстрактные идеи, раскрываются в этих простых и легко читаемых письмах и уникальном очаровании, и те, кто не изучал математику, удивлены и польщены, что им способны понять работу Эйлера и благодарны за то, что его сообщение стало им понятным. Эти элементарные понятия в науке приобретают величие из-за близости, которую мы достигаем, приближаясь к славе и гениальности известного человека, который их написал.

Король Пруссии нанял г-на Эйлера для расчета валюты, для водяных насосов в Сан-Суси, для оценки нескольких судоходных каналов; этот князь, рожденный не со слепыми, считал, что большие таланты и глубокие знания не являются ни опасными, ни излишними качествами и что счастье сохранено Природой как ценность выше невежества и посредственности.

В 1750 году г-н Эйлер отправился во Франкфурт, чтобы встретиться со своей матерью, которая в то время стала вдовой и вернулась с ним, чтобы жить в Берлине.Ему посчастливилось держать ее до 1761 года. В течение этих одиннадцати лет она пользовалась репутацией своего сына, как может только сердце матери, и, возможно, она стала еще более радостной благодаря его нежной и внимательной заботе, которая его слава сделала бесценной.

Именно во время своего пребывания в Берлине г-н Эйлер, связанный благодарностью г-ну де Мопертюи, почувствовал себя обязанным защищать принцип наименьших действий, на который президент Прусской академии возлагал надежду на высокую репутацию.Но путь, выбранный Эйлером, мог использовать только он, так как он должен был разрешить этот Принцип через некоторые очень сложные проблемы механики, как это было в легендарные времена, когда Боги соизволили изготовить для своих любимых воинов непробиваемую броню. выдерживать удары своих противников. Мы только хотим, чтобы признание г-на Эйлера ограничивалось проявлением более благородной и достойной защиты, но нельзя скрыть, что он высказал слишком резкие формулировки осуждения Кенига.Прискорбно, что мы вынуждены считать великого человека среди врагов великого преследуемого ученого. К счастью, жизнь Эйлера ставит его выше более серьезных подозрений. Без этой простоты и безразличия к славе, которыми он был отмечен, можно было подумать, что шутки этого прославленного товарища Кенигса (шутки, которые сам г-н Вольтер осуждает и не без оснований) могли изменить характер этого мудрого и миролюбивого человека. Геометр, единственная ошибка которого заключалась в чрезмерной благодарности, что было бескорыстным чувством, и в котором он ошибся единственный раз в своей жизни.

Русские проникли через Бранденбургские болота в 1760 году и разграбили ферму Эйлерса недалеко от Шарлоттенбурга, но генерал Тоттлебен прибыл не для того, чтобы воевать с науками, и, когда ему сообщили о потерях Эйлера, он поспешил заплатить за репарации сверх реальной стоимости. и осознав эффект этого недобровольного ущерба как неуважение к ее Императорскому Величеству Елизавете, которая также добавила четыре тысячи флоринов в качестве дополнительной компенсации, что само по себе было более чем достаточно.Эта очевидная озабоченность была неизвестна в Европе, и мы с энтузиазмом цитируем аналогичные действия с тем же эффектом, которые наши предки давным-давно передавали через века. То, что это различие в наших суждениях не является доказательством этого счастливого прогресса человеческого рода, который некоторые авторы все еще отрицают не только потому, что они могут быть обвинены в соучастии.

Российское правительство никогда не относилось к г-ну Эйлеру как к иностранцу, и часть его жалованья всегда выплачивалась ему, несмотря на его отсутствие, и когда императрица отозвала его в 1766 году, он согласился вернуться в Санкт-Петербург.

В 1735 году усилия, которые он приложил к астрономическим вычислениям, на выполнение которых другим математикам потребовались месяцы и которые он выполнил всего за несколько дней, вызвали у него болезнь, которая затем привела к потере глаза. У него были причины опасаться полной слепоты, если он снова подвергнется опасности в такой суровой обстановке. Интерес его детей преодолел этот страх, и если мы будем верить, что исследования Эйлера были исключительной страстью, мы, несомненно, придем к выводу, что примеры отцовской любви лучше доказали, что она является наиболее действенной и нежнейшей из них. наши привязанности.

Несколько лет спустя он чудом снова избежал неудачной ситуации, о которой он предупреждал, но ему удалось сохранить для себя и науки способность различать большие буквы, начертанные на доске мелом. Его сыновья и ученики скопировали его расчеты и написали под диктовку оставшиеся Ммуары. Если мы будем судить только по числам, то мы можем подумать, что устранение всех отвлекающих факторов и новая энергия, которую эта переоценка воздействовала на оставшиеся способности, позволили ему получить то, что потеря зрения не могла заставить его потерять в желании или умение работать.

Более того, в силу природы своего гения, мистер Эйлер даже невольно подготовил свои экстраординарные ресурсы, исследуя эти великие аналитические формулы, столь необычные до его времени, но столь часто встречающиеся в его работах, для которых сочетание и развитие так удачно сочетаются друг с другом. такая простота и элегантность, форма которой радует глаз так же, как и дух, и можно видеть, что это не плод вычислений, записанных на бумаге, а, скорее, они произведены полностью в его голове и были созданы мощное и активное воображение.В анализе существуют формулы (а мистер Эйлер значительно увеличил их число) формулы, которые широко используются и почти ежедневно применяются, и он держал их под рукой и использовал их в разговоре. Когда г-н Даламбер увидел Эйлера в Берлине, он был поражен потрясающей памятью, которой обладал г-н Эйлер, и, наконец, легкостью, с которой он рассчитывал в своей голове. Он был оштрафован до невероятной остроты зрения, и мы были бы удивлены, если бы не тот факт, что Эйлер постоянно добивался выдающихся и поразительных результатов.Эйлер намеревался тренировать память своих внуков, чтобы извлекать корни и составлять таблицы первых шести степеней всех чисел от 1 до 100 и твердо удерживать их в памяти. Когда-то двое из его учеников вычислили сходящийся ряд к 17-му семестру, что, безусловно, было сложно и нужно было записать на бумаге, но при сравнении результатов обнаружилось расхождение на одно число, когда ученики спросили Учителя, кто из них прав. Эйлер произвел все вычисления в уме, и его ответ оказался верным.

С тех пор, как он потерял зрение, у него были дела поважнее, чем играть с магнитами и давать уроки математики своему внуку, который проявлял склонность к наукам.

Он по-прежнему ходил в Академию, главным образом, только тогда, когда существовали сложные обстоятельства и когда он чувствовал, что его присутствие может принести величайшую пользу в поддержании столь необходимой свободы, и поэтому мы можем почувствовать, как бессменный президент, назначенный судом, может беспокоить остальных. Академия и все, чего она должна бояться, потому что не назначила президента из числа ученых.Он даже не чувствовал, что их голоса могут повлиять на его репутацию, как люди, обладающие такой уникальной квалификацией в своей приятной работе и не умеющие говорить на языке науки, смогут ли они защитить себя, особенно если эти иностранцы, изолированные и удаленные от своих родных, страны и которые получают все от правительства, у которого они запрашивают вотум недоверия главе правительства, которое их предоставило.

Однако существует состояние славы, в котором можно быть выше страха, и тогда вся Европа восстанет против личного оскорбления, нанесенного великому человеку, который может без риска использовать свою известность против несправедливой власти и возвысить голос науки, голос, который нельзя игнорировать.Простая скромность мистера Эйлера чувствовала его силу и более чем в отдельных случаях использовал ее с добрыми целями.

В 1771 году в Санкт-Петербурге случился страшный пожар, пламя которого достигло дома Эйлера. Бэзелер по имени Питер Гримм (имя которого следует сохранить для потомков) узнал о неминуемой опасности для своего слепого и страдающего соотечественника, который бросился сквозь пламя, пошел прямо туда, где он находился в пылающем доме, и бросил его на свое место. плечи и спас его, рискуя собственной жизнью.Библиотека и мебель сгорели в огне; однако граф Орлов сохранил рукописи, и этот факт, среди ужасов этой великой катастрофы, одним из величайших бескорыстных и лестных признаний, которые общественность оказала наукам, заключался в том, что дом Эйлера, который был подарком императрицы, был быстро перестраивается.

У Эйлера было тринадцать детей от первой жены, восемь из которых умерли в младенчестве, трое его сыновей пережили его, но, к сожалению, он потерял двух дочерей в последний год своей жизни.Из тридцати восьми внуков двадцать шесть пережили его. В 1776 году он снова женился после смерти своей первой жены, мадемуазель Гселл, ее сестры. Он соблюдал все традиции, которые пришли из его отцовского дома, и пока у него было зрение, он собирал свою семью для совместной молитвы и часто читал Священные Писания.

Он был чрезвычайно религиозен, и мы получили от Эйлера новое доказательство существования Бога и духовности души; последний был принят в обучение в некоторых духовных семинариях.Он сохранял религию своей страны, которая была консервативным кальвинизмом, и, похоже, он не принимал в пример других протестантов никаких личных мнений и не формировал свою собственную религиозную систему.

Его познания были чрезвычайно обширными, особенно в истории математики; предполагалось, что он довел свое любопытство до того, что научился правилам и процедурам астрологии, и что он даже применил их на практике. Кроме того, в 1740 году ему было дано указание подготовить гороскоп принца Иванса, он объяснил, что эта функция принадлежит г-ну Ивану.Крафт, который, как придворный астроном, был вынужден сделать это вместо этого. Каким бы невероятным ни казалось то, что подобные вещи при дворе России были обычным явлением для европейских дворов за столетие до этого, на самом деле азиатские дворы еще не отлили этот желток, и следует признать, что, за исключением самых основных моральных принципов, предписания, что до сих пор не было истины, которую можно было бы упомянуть как вписывающуюся в общую схему вещей с более общим признанием, так долго с такими ошибками, нелепостью и грустью.

Г-н Эйлер изучил почти все, что было доступно в отраслях физики, анатомии, химии и ботаники; однако он процветал в области математики, которая не позволяла ему рассматривать наименьшее значение в своих знаниях о других вещах, даже если они были обширными для человека, который мог быть восприимчив к мелочности собственной важности, он стремился к большей универсальности.

Изучение древней литературы и языков было неотъемлемой частью его образования, для которого он сохранял склонность к изучению на всю жизнь, и его память не позволяла ему ничего забыть, но у него не было ни времени, ни желания что-либо добавить к своему оригинальные исследования, он не читал ни одного из современных поэтов, но знал Энеиду наизусть.Более того, мистер Эйлер никогда не упускал из виду математику, даже когда читал стихи Вергилия. Все было доступно, чтобы напомнить ему об объекте, который наполнял его мысли. Одна из его мемуаров в «Механике» возникла из-за стихов из «Энеиды» и до сих пор остается в работе.

Говорят, что для людей с большим талантом удовольствие от работы более сладкая награда, чем слава; если эта истина требует доказательства на примерах, тогда мистер Эйлер должен быть достаточным доказательством.

Ни разу в рамках дискуссий с другими известными учеными не удалось ускользнуть от хотя бы малейшего свидетельства, которое могло бы вызвать подозрения в отношении того факта, что он был озабочен своей собственной важностью.Он никогда не хвастался ни одним из своих открытий, и если кто-то заявлял о проблеме с одной из его работ, он спешил исправить какую-то ошибку, даже не изучая вопрос о справедливости и требовал ли ремонта полного отказа от рассматриваемой проблемы. Если была обнаружена какая-то ошибка, если упоминание было необоснованным, он просто забыл об этом; если это было достойно, он исправлял это и больше ничего не думал, так как часто единственная заслуга тех, кто заявлял, что нашел его ошибки, просто заключалась в применении, которому он сам их учил, и в теориях, которые он упростил из величайших трудностей.

Почти всегда самые посредственные люди хотят, чтобы их оценил только судья, пропорциональный той высокой оценке, которую они хотят отдать своим собственным знаниям или гениальности, утомляя всех, кто выше их, они не проявляли сострадания к окружающим. менее удачливые, можно сказать, что у них есть извращенная полоса, которая советует им сдуть окружающих. В отличие от г-на Эйлера, который хотел отметить таланты с того момента, когда он заметил некоторые плодотворные мемуары, и уж точно не в ожидании того, что публика должна будет украсить его признание.Можно увидеть, как Эйлер использует свое время, чтобы переделать и осветить свои работы и разрешить проблемы, которые уже были решены, для которых оставалась лишь необходимость постоянного изящества и усовершенствованного метода, которые он делал с той же страстью, с тем же постоянством, которое он приложил бы к этому. использование в поисках новой истины, открытие которой добавит его справедливой репутации. Однако, если бы существовала некоторая потребность удовлетворить требования славы в его сердце, сама откровенность его характера не позволила бы ему скрыть это.Однако слава, которую он никогда не искал, пришла и нашла его. Необычайное изобилие его гения поразило даже тех, кто не был способен понять его работу, поскольку, хотя его работа исключительно научна, его репутация распространялась на тех, кто не был знаком с наукой; и он был для Европы не только великим ученым, но и великим человеком. В России было принято дарить воинские звания тем людям, которые были очень чужды военной службе; это давало чувство подтверждения тем, кто считал, что это единственная благородная профессия, и тем самым признавал ее необоснованность и наличие некоторых ученых, получивших звание генерал-майора.Эйлер не хотел ничего из этого, но тогда какое название было бы подходящим в честь имени Эйлера. В отношении естественного права людей поступать так, как им заблагорассудится, необходимо предусмотреть мудрое безразличие к этим тенденциям, которые существуют в человеческом тщеславии, которые настолько ребячливы, но так опасны.

Для большей части северной аристократии, которой он был лично известен, они уже предоставили ему знаки своего уважения или, более того, почитания, которое трудно отрицать, когда видишь объединение таких простых добродетелей с таким огромным возвышенным гением.Когда королевский прусский принц отправился в Санкт-Петербург, он остановился, чтобы выразить свое почтение мистеру Эйлеру, и провел там несколько часов у постели этого прославленного старика, сцепив руки вместе с одним из своих внуков на коленях и другим. чьи ранние познания в математике сделали его объектом большой отцовской нежности.

Из всех известных математиков, которые существуют сегодня, большинство — его ученики, и нет ни одного, кто не был бы сформирован благодаря чтению его работ, и кто не изучил бы формулы и методы, которые он сейчас использует, которые в его открытиях не учитывались. гением Эйлера.Этой честью они обязаны революции, которую он произвел в математической науке, подвергнув их анализу, и его трудовой этике, которая позволила ему охватить всю науку, и категоризации, которую он знал для своей работы; к простоте и элегантности его формул, к ясности его методов и доказательств, которые увеличили выбор его примеров. Ни Ньютон, ни даже Декарт, влияние которых сегодня так сильно ощущается, не достигли такой славы среди математиков, как г-н.Эйлер владеет один.

Однако, как профессор, обучавший принадлежащих ему студентов, среди них есть один, и мы упомянем его старшего сына, которого Академия наук выбрала вместо него, не опасаясь, что такая почетная преемственность присуждена имени Эйлера. , как у Бернулли, может создать опасный прецедент. Есть второй сын, который сегодня изучает медицину, но который в юности получил от этой Академии приз, касающийся среднего среднего движения планет.Есть также мистер Лекселл, преждевременная смерть которого лишила его науки, и, наконец, мистер Фасс, самый молодой из его учеников и его последний рабочий сотрудник, которого из Базеля послал мистеру Эйлеру мистер Даниэль Бернулли, который показал себя достойно. его произведений и оправдал выбор Бернулли и извлек из уроков Эйлера, который после публичной панегирики в Санкт-Петербургской академии только что женился на одной из своих внучок.

Из шестнадцати профессоров Санкт-Петербургской академии восемь прошли обучение у него, и все они известны своими трудами, удостоены различных академических наград и с гордостью добавляют звание учеников Эйлера.

Он полностью владел своими способностями и, очевидно, всей своей силой, и абсолютно никакие изменения не заявляли о том, что Науки опасаются потерять его. 7 сентября 1783 года, после того, как он наслаждался некоторыми вычислениями на своей доске относительно законов восходящего движения для аэростатических машин, недавнее открытие которых вызвало гнев Европы, он пообедал с г-ном Лекселлом и его семьей, рассказал о планете Гершеля и математике. относительно его орбиты, и через некоторое время он попросил своего внука поиграть с ним и выпить несколько чашек чая, когда внезапно трубка, которую он курил, выскользнула из его руки, и он перестал считать и жить.

Таков был конец одного из величайших и самых выдающихся людей, когда-либо созданных Природой, чей гений был одинаково способен к огромным усилиям и непрерывной работе, которая увеличила продолжительность его продуктивной работы до уровня, превышающего то, что можно ожидать от человека. И каждая из которых была оригинальной, во время которой его ум всегда был занят, а душа всегда спокойна. Он наконец-то достиг того, чего всегда заслуживал, — безоблачного счастья в сочетании со славой, которая никогда не подвергалась сомнению.

Его смерть была воспринята как потеря для общественности даже в стране, где он жил. Санкт-Петербургская академия торжественно оплакивала его кончину и за их счет установит мраморный бюст, который будет установлен в актовом зале, уже оказавшем особую честь. Созданная в аллегорической обстановке, геометрия опирается на доску, заполненную вычислениями, и это новые формулы теории Луны, которые Академия приказала вписать. Таким образом, страна, которую в начале этого века мы считали все еще варварской, научила наиболее просвещенные народы Европы чтить жизни великих людей новейшей истории.Это подало этим народам пример, который многие из самих себя вполне могли бы смутить из-за того, что не знали, как предвидеть или подражать.

Перевод:
Джон С.Д. Глаус
Общество Эйлера
март 2005 г.

Леонард Эйлер — Биография, факты и изображения

Жил 1707 — 1783.

Леонард Эйлер был одним из величайших математиков в истории: он не только создал выдающуюся математику, но и произвел ее с невероятной скоростью, опубликовав больше, чем любой другой математик до или после него.Если качество продукции, умноженное на количество продукции, равно величию, то Эйлер — величайший математик всех времен.

Его работа охватывала всю математику, почти всю физику и значительную часть астрономии. Поразительная доля всех исследований в области математики и физических наук, проведенных между 1730 и 1780 годами, была исключительно работой Эйлера. Хотя он полностью ослеп в возрасте 64 лет, его замечательный математический процесс продолжался непрерывно — фактически, он увеличивался.

Объявления

Начало

Леонард Эйлер (произносится как «масленка») родился 15 апреля 1707 года в городе Базель, Швейцария. Его матерью была Маргарита Брукер, а отцом — Поль Эйлер. Леонард был старшим из их четверых детей.

Мать Леонарда была дочерью пастора. Его отец был пастором в кальвинистской церкви. Отец Леонарда изучал математику в университете, пока учился на богословскую степень, и был другом семьи Бернулли, известной своими математическими способностями.

Леонхард вырос в городе Риен, примерно в 7 км от Базеля, недалеко от границы Швейцарии с Францией и Германией. Его школа в Риэне была не особенно хорошей, поэтому отец давал ему дополнительные уроки математики — Леонхард был достаточно заинтересован в предмете, чтобы получить свои собственные учебники по математике для работы.

Подобно Карлу Фридриху Гауссу, родившемуся через 70 лет после него, Леонхард проявил необычные способности в умственной арифметике, выполняя сложные вычисления в уме.У него также была феноменальная память: когда ему предлагали, он мог легко читать длинные стихи, а его знание фактов, научных и математических данных было энциклопедическим.

Стать математиком

В возрасте 13 лет, в 1720 году, Леонард поступил в Базельский университет, получив диплом магистра философии через три года. В его диссертации были проанализированы философские работы двух математических гениев, Исаака Ньютона и Рене Декарта.

Его отец надеялся, что Леонард пойдет по его стопам и станет кальвинистским пастором, но частные уроки у Иоганна Бернулли показали, что Леонард наделен удивительными математическими талантами.Бернулли был, вероятно, величайшим практикующим математиком в то время. Он также был хорошим другом отца Леонхарда, и они обсуждали замечательные способности Леонарда к математике. В результате Леонарду разрешили еще три года изучать математику под руководством Бернулли. Итак, Леонхард следовал математическому, а не духовному призванию. Тем не менее, он оставался искренне религиозным на протяжении всей своей жизни.

Российская Академия

Леонард Эйлер изо всех сил пытался стать профессором Базельского университета, но безуспешно.

17 мая 1727 года он прибыл в столицу России Санкт-Петербург, где его друг Даниэль Бернулли работал математиком в Императорской Российской Академии наук.

Брат Даниила Николай умер в прошлом году от лихорадки в России, и Даниэль тосковал по дому, желая, чтобы у него были швейцарские коллеги. Иоганн Бернулли, отец Даниэля, отправил Эйлера в Санкт-Петербург с подарками — чаем, кофе и бренди, которых так жаждал Даниэль.

Обладая необычайным талантом к изучению языков, Эйлер быстро овладел русским языком.Начав работу в качестве исследователя физиологии, он вскоре начал работать в более подходящей области физики, став профессором физики в 1730 году.

В 1733 году Бернулли вернулся в Швейцарию. Эйлер, которому сейчас 26 лет, заменил его на посту старшего кафедры математики. Вскоре Эйлер также стал главой отдела географии.

«Мне дали звание профессора высшей математики, и вскоре после этого сенат приказал мне возглавить географический факультет».

Леонард Эйлер

Возможно, география хотя бы частично была причиной проблем со зрением Эйлера, которые начались, когда ему был 31 год.Он сильно напрягал глаза, работая над составлением карты России, и в 1740 году лишился правого глаза.

В Санкт-Петербурге Эйлер подружился с Кристианом Гольдбахом, известным еще недоказанной гипотезой Гольдбаха, которая гласит, что каждое четное число больше 2 может быть выражено как сумма двух простых чисел.

Леонард Эйлер, математика и естественные науки

Эйлер блестяще работал во всех областях математических и физических наук. Он является автором более 800 статей и книг в этих областях.Фактически, его работа составляет внушительную долю всех научных исследований, проведенных в 1700-х годах. Клиффорд Трусделл, физик и историк науки, наблюдал:

.
«Приблизительно одна треть всего корпуса исследований по математике, математической физике и инженерной механике, опубликованных за последние три четверти восемнадцатого века, принадлежит ему».

Клиффорд Трусделл

Беглые очерки науки идиота, 1984

Таким образом, ясно, что любое краткое изложение, подобное этому, может представить лишь несколько капель из великого океана достижений Эйлера.

Базельская проблема

Первое по-настоящему крупное открытие в математике Эйлер сделал в 1735 году, когда он решил проблему Базеля, которая десятилетиями терпела поражение в усилиях лучших математиков. Проблема заключалась в том, чтобы найти точное значение суммирования обратных квадратов целых чисел до бесконечности. (Сегодня математики описали бы проблему как нахождение дзета-функции 2.)

Каждый последующий член в ряду меньше, чем его предшественник, и математики уже знали, что сумма сходится к определенному значению, но никто не смог найти это значение точно.

Эйлер решил проблему Базеля, доказав, что, когда число членов бесконечно растет, ряд сходится к равному:

Это открытие сделало Эйлера звездой математического мира.

Механика

Эйлер сделал следующий шаг к суперзвезде в 1737 году, когда он опубликовал Mechanica , большой шаг вперед в математике движения, ставший возможным благодаря собственным нововведениям Эйлера в математическом анализе. Эйлер описал бы анализ как математику бесконечного и бесконечно малого.Сегодня мы могли бы описать анализ примерно и несколько неполно как сложное исчисление, имеющее дело с пределами и непрерывностью.

В Mechanica Эйлер использовал анализ, чтобы выразить открытия, которые Исаак Ньютон представил 50 лет назад в Principia , более математически изощренным и полезным способом.

Законы движения Эйлера

После Mechanica Эйлер продолжил работу над законами движения. В то время как законы Ньютона применялись к частицам точечных размеров, Эйлер вывел новые законы, которые можно было применить к твердым телам с реальными размерами, разработал принципы линейного и углового момента и вывел знакомые дифференциальные уравнения движения для твердых тел, которые сегодня являются описывается как уравнение Ньютона.

Анализ бесконечности

В 1748 году Эйлер выпустил книгу « Introductio in analysin infinitorum », которую, как и большинство его работ, он написал простой и элегантной латынью. Его название на английском языке — Introduction to the Analysis of the Infinite . Вероятно, это лучший современный учебник по математике. В нем очень подробно рассматривается анализ, изучение математических функций через бесконечные процессы, особенно бесконечные ряды, которые были чем-то вроде специализации Эйлера.

Основы дифференциального исчисления

Эйлер внес множество других вкладов в исчисление, математику, которая безраздельно властвует в физических науках, достигнув вершины с Institutiones Calculi Differentialis или Основами дифференциального исчисления , опубликованной в 1755 году, в которой, среди прочего, представлены дифференциальные исчисления. функций. Книга Эйлера была основой всей будущей работы в этой области.

Язык математики

Эйлер ввел или популяризировал многие математические термины, с которыми мы знакомы сегодня.

  • Он популяризировал использование греческой буквы π для обозначения математической константы, которая выражается отношением длины окружности к ее диаметру, что с шестью значащими цифрами составляет 3,14159
  • Он назначил букву e, которую сегодня часто называют числом Эйлера, для обозначения жизненно важной математической константы, значение которой с шестью значащими цифрами составляет 2,71828
  • Он ввел обозначение f (x) для обозначения средней функции x
  • Он ввел букву i для обозначения √-1
  • Он обнаружил равенство, которое многие математики считают самым прекрасным из когда-либо обнаруженных, — тождество Эйлера, которое связывает пять самых важных чисел в математике, три из которых Эйлер назвал или популяризировал именем:

  • Идентичность Эйлера возникла как конкретный пример успеха Эйлера в определении экспоненциальной функции для комплексных чисел и его открытия ее взаимосвязи с тригонометрическими функциями.

Многогранная формула Эйлера

Многогранная формула Эйлера, одно из первых великих открытий в топологии, уступает только тождеству Эйлера по математической красоте. Формула применима к выпуклым многогранникам, которые представляют собой формы с прямыми краями и плоскими гранями. Для фигуры с V вершинами, E ребрами и F гранями формула говорит:

Например, куб имеет 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. Конечно, если вы подставите эти числа в формулу Эйлера, вы получите ожидаемый ответ 2.

Формула Эйлера работает не только для кубов, но и для всех выпуклых многогранников.

Примеры выпуклых многогранников

Популяризатор науки

Эйлер писал не только для интеллектуальной элиты. Его двухтомный труд « Письма к немецкой принцессе по разным предметам физики и философии » стал одной из первых научно-популярных книг. Изданный в 1768 и 1774 годах, его читали по всей Европе и Северной Америке. Книга представляла собой сборник из более чем 200 писем, которые Эйлер отправил между 1760-1762 годами Фридерике Шарлотте, когда он обучал ее от имени ее дяди Фридриха Великого.

Эйлер ответил на многие из распространенных вопросов о мире, которые он слышал, например:

  • Как быстро распространяется звук?
  • Воздух удерживается силой тяжести?
  • Почему на высоких горах холодает?

Человек религиозный, он также занимался философскими проблемами, такими как:

  • Настоящее предназначение человека
  • Моральное и физическое зло
  • Союз души и тела

Некоторые личные данные

Брак и семья
В январе 1734 года, став старшим профессором математики Российской Академии наук, Эйлер женился на Катарине Гселл, отец которой был швейцарским художником, работавшим в Академии.Только пятеро из их тринадцати детей дожили до младенческого возраста. Эйлер любил проводить время со своими детьми и обнаружил, что некоторые из его лучших идей приходили ему в голову, когда он держал ребенка на руках. Каждый вечер он проводил время со своей семьей, читая и обсуждая Библию.

Берлин, Фридрих Великий (не очень) и уважение русских
После 14 лет, проведенных в Санкт-Петербурге, Эйлер начал беспокоиться по поводу растущих политических потрясений в России и огромного числа казненных.Ему казалось, что любого, в России, сказавшего что-нибудь, могут за это повесить.

Он был рад принять щедрое предложение от Фридриха Великого из Пруссии переехать в его столицу, Берлин, для работы в Академии наук. В 1741 году Эйлер начал первый из 25 лет в Берлине.

Хотя Эйлер, несомненно, был математической суперзвездой, его тихое, скромное поведение начало раздражать Фредерика, который ожидал, что люди в его Академии будут участвовать в остроумных, ярких интеллектуальных беседах.

Следует отметить, что Фредерик был значительным поборником ценностей Просвещения. Однако он был также чем-то вроде позера, который отказывался говорить по-немецки, общаясь исключительно на французском. Он подружился с французским философом Вольтером — в конце концов они расстались, — и пара высмеивала ученого Эйлера за его простые и благочестивые поступки. Фредерик насмехался над Эйлером за то, что тот потерял глаз, называл его «Циклопом».

Напротив, хотя Эйлер и покинул Санкт-Петербург, русские относились к нему с величайшим уважением.Они продолжали с ним общаться и платить ему зарплату. На зарплату Эйлер покупал книги для Российской академии.

В 1760 году русская армия вторглась в Пруссию и вошла в Берлин. Русские солдаты разграбили загородную усадьбу Эйлера, где жили его мать, жена, невестка и его дети. Узнав об этом, русский командующий лично заплатил Эйлеру за нанесенный ущерб. Позже российская императрица Елизавета прислала Эйлеру очень большую сумму денег в качестве дополнительной компенсации за причиненные ему неприятности.

Снова Петербург и слепота
В 1766 году Петербургская Академия пригласила Эйлера вернуться, предложив ему огромную зарплату и предложив работу его сыновьям. Политическая ситуация в России теперь была безопасной, поэтому 59-летний Эйлер с радостью покинул Берлин и вернулся в Россию.

К сожалению, его второе и последнее заклинание было трудным.

В 1771 году он полностью ослеп, но не испугался. Ассистировал его:

  • феноменальная память,
  • математическая изобретательность,
  • умение обрабатывать сложные математические процедуры в голове, а
  • его сын математик Иоганн, который расшифровал его слова,

Результаты математической работы Эйлера увеличились!

Однако в 1771 году его дом сгорел дотла, а слепой Эйлер был спасен слугой, унесшей его в безопасное место.

Конец

Жена Эйлера Катарина умерла в конце 1773 года. В 1776 году Эйлер женился на невестке Катарины Саломе Абигейл Гселл.

Леонард Эйлер умер в возрасте 76 лет от кровоизлияния в мозг 18 сентября 1783 года в Санкт-Петербурге, Россия. Похоронен рядом с Катариной на Смоленском лютеранском кладбище на острове Декабристов, недалеко от Санкт-Петербурга. Он продолжал продуктивно работать до конца.

У него остались Саломея и трое сыновей от брака с Катариной.Его старший сын Иоганн стал выдающимся астрономом и математиком, его второй сын Карл стал известным врачом, а его третий сын Кристоф стал военным офицером и астрономом-любителем.

Объявления

Автор этой страницы: The Doc
Изображения, улучшенные и раскрашенные в цифровом виде с помощью этого веб-сайта. © Все права защищены.

Цитируйте эту страницу

Используйте следующую ссылку на MLA:

 "Леонард Эйлер."Известные ученые. Famousscientists.org. 20 января 2017 г., Web.
. 

Опубликовано FamousScientists.org

Дополнительная литература
Альфред Хупер
Создатели математики
Faber and Faber Ltd., 1961

Клиффорд Трусделл
Беглые эссе идиота о науке: методы, критика, обучение, обстоятельства
Springer-Verlag, 1984

К. Эдвард Сандифер
Ранняя математика Леонарда Эйлера
MAA, 2007

Creative Commons
Изображение Клиффорда Трусделла находится под лицензией Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Лицензия Германии от Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach.

Эйлер .. Краткое название, но огромное Математическое… | by Hanneli Tavante

Краткое название, но огромное математическое произведение. Писать об Эйлере действительно сложно, потому что редко можно не знать, с чего начать. Он опубликовал так много вещей, что их еще труднее обобщить в 5-минутном тексте для чтения.

Если бы мы могли слышать барабанные партии для столба Ньютона, то теперь пора возглавить полный оркестр. Да, пора поговорить о великой фигуре — Эйлере.История говорит нам, что Эйлер был одним из тех живых доказательств, что если вы действительно любите что-то (например, математику), вы будете заниматься этим до конца своей жизни. Неважно, старый ли ты, слепой или около того (что на самом деле случилось с ним, Эйлер ослеп).

Личный комментарий. Эйлер, наверное, один из математиков, которыми я больше всего восхищаюсь. Судя по учебникам по истории, он мог обладать удивительным умом, полным оригинальных идей и прозрений. Давайте посмотрим некоторые фрагменты его работы в этом посте.

Леонард Эйлер (1707–1783) был швейцарским математиком.Под влиянием отца он изучал богословие, но очень скоро его математический талант раскрылся. Швейцария также была домом для семьи Бернулли, и молодой Эйлер учился у Иоганна Бернулли. Он подружился с Даниэлем и Николасом Бернулли, которые вскоре попросили отца Эйлера позволить ему продолжить изучение математики: мальчик был талантлив. Поскольку в этом районе семья Бернулли была уважаемой, отец Эйлера не мог отказать в просьбе.

Фактически ко времени Эйлера математика стала более уважаемым предметом, учитывая популярность Исаака Ньютона.Мы видели несколько отцов, которые не хотели, чтобы их дети изучали математику профессионально, но к концу 1710 года эта реальность изменилась.

В 1727 году Эйлер отправляется в Петербург, чтобы работать в новой Академии наук. В первые годы работы в России он решал задачи в таких областях, как: флот, экономика, акустика, оптика и многие другие области. Затем, спустя некоторое время, он начал занимать должность математика. Это было, когда продуктивность его математических работ увеличилась (намного). И при этом ослеп на левый глаз 🙁 Однако это не помешало ему заняться математикой.

В 1741 году Эйлер едет в Берлин. Там он начинает лихорадочно работать в ускоренном темпе. Например, проблема, на решение которой, по оценке Королевского общества, ушла пара месяцев, если бы Эйлер поставил ее решение за… 3 дня или около того. Он изучал несколько областей: астрономия, дифференциальное исчисление, вариационное исчисление, теория чисел, алгебра, физика, баллистическое движение, теория военно-морского флота, философия. Эйлер опубликовал более 500 книг и статей. Просто чтобы дать вам представление, когда Эйлер скончался, у редакторов все еще был новый материал, сделанный им для публикации в течение следующих 30 лет после его смерти.

В 1766 году Эйлер возвращается в Россию и оставляет свое место в Берлине для Лагранжа. Он становился полностью слепым 🙁 Но это не помешало ему заниматься математикой. Он начал обучать слепому письму с остальным зрением, которое ему оставалось. Он знал, что больше не сможет видеть, поэтому он должен найти Он также начал диктовать свои идеи своим сыновьям, и они записывали их.

Наконец-то это случилось: Эйлер был слеп. История описывает его невероятные способности к умственной математике и сложным вычислениям.Ему даже не потребовалась бумага для решения сложных уравнений. И да, он решил проблему, связанную с позицией Луны, даже будучи слепым (!!!! 111 WOW).

У Эйлера есть знаменитый эпизод с Дени Дидро. Проверить это здесь.

Математические символы также находились под влиянием Эйлера:

  • a, b, c для сторон треугольника; A, B, C для противоположных углов;
  • R и r для радиуса окружности;
  • f (x) для функций;
  • e и ln;
  • i для √-1;
  • ∑ для сумм последовательностей;

Также невероятно проанализировать набор знаний, которыми обладал Эйлер по различным предметам:

  • Математика
  • Астрономия
  • Медицина
  • Физика
  • Ботаника
  • Химия
  • Теология
  • Гражданские языки

  • Восточные языки
  • Литература

Возможно, вы слышали об Эйлере в разных областях.

Спрашивается, почему Эйлер начал это изучать? Все началось с французского математика Абрахама де Муавра (1667–1754). Он был другом Ньютона и показал ему свои исследования комплексных чисел Бомбелли. Ньютон не проявил интереса к этой теме. Но это не убило мотивацию де Муавра продолжать изучение предмета. Выполнил работы по тригонометрии рядов и аналитики. В итоге он создал математическую связь между тригонометрией и комплексными числами, которая позже стала известна как формула Де Муавра.Он был одним из первых математиков, исследовавших и задокументировавших корни n-й степени комплексных чисел.

Эйлер знал произведения Де Муавра. Он также знал работы Тейлора и Маклорена (о которых я вскоре написал в этом посте). Так он объединил обоих! И тогда была установлена ​​личность Эйлера. ❤

Личные примечания по этому поводу: когда я впервые увидел личность Эйлера, я подумал: «ЧТО, ЧЕРТ, ЭТО ЗНАЧИТ? СКАЖИ МНЕ, ЧТО ЭТОТ ЧЕЛОВЕК ПРИМЕНЯЕТ ТЯЖЕЛЫЕ НАРКОТИКИ». Знаете, молодость. Но прошло время, и я понял, что никогда не видел столько любви в одном уравнении.У нас

Посмотрите на это. у нас есть e , что подводит нас к идее логарифмов. У нас есть возведение в степень. Мы i, приносим нам комплексные числа (проверьте эту диаграмму набора чисел. Комплексные числа связаны с другими наборами чисел). У нас есть π, хозяин иррациональных чисел. У нас есть плюсик, арифметика. У нас есть номер! Один! и равенство. ЭТО ОДНО из САМЫХ КРАСИВЕЙШИХ вещей, которые я видел за всю свою жизнь. Определение любви. ❤ ❤

Перейдите по этой ссылке, чтобы получить дополнительную информацию о том, насколько красиво это уравнение (есть и другие люди, разделяющие его страсть!)

Другие работы Эйлера: решение системы линейных уравнений с использованием матриц и подстановок, топологии, полярных координат.Он также пытался доказать последнюю теорему Ферма. Эйлер умер в 1783 году после кровоизлияния в мозг. 🙁

Надеюсь, вам понравился этот пост! Я стараюсь быть беспристрастным в своих статьях, но это невозможно, когда я говорю об Эйлере. То же самое произойдет, когда я напишу о Галуа. Извините за это, в конце концов, я тоже человек

День числа Пи 2015: познакомьтесь с человеком, который изобрел π | Гарет Ффаук Робертс

В 1706 году Уильям Джонс — математик-самоучка и один из самых известных сыновей Англси — опубликовал свою основополагающую работу, Synopsis palmariorum matheseos , примерно переводится как Сводка достижений по математике .

Это произведение представляет большой исторический интерес, потому что именно здесь впервые в научной литературе появляется символ π, обозначающий отношение длины окружности к ее диаметру.

Джонс понял, что десятичная дробь 3,141592… никогда не заканчивается и не может быть выражена точно. «Точная пропорция между диаметром и окружностью никогда не может быть выражена в числах», — писал он. Вот почему он признал, что для его представления нужен собственный символ.

Самое раннее появление π в научной литературе. Фотография: Гарет Робертс.

Считается, что он выбрал π либо потому, что это первая буква слова для обозначения периферии (περιφερεια), либо потому, что это первая буква слова для обозначения периметра (περίμετρος) .(Или из-за того и другого).

Символ π был популяризирован в 1737 году швейцарским математиком Леонардом Эйлером (1707–83), но только в 1934 году этот символ был принят повсеместно. К настоящему времени π мгновенно узнается школьниками во всем мире, но мало кто знает, что его история восходит к небольшой деревне в самом сердце острова Англси.

Уильям Джонс родился в 1674 году в небольшом владении недалеко от деревни Капел Коч в приходе Лланфихангель Тре’р Бейрд, к северу от уездного города Ллангефни в центре острова.

Когда он был еще маленьким ребенком, семья переехала на несколько миль дальше на север, в деревню Лланбабо. Он посещал благотворительную школу в соседнем Лланфечелле, где его ранние математические навыки привлекли внимание местного сквайра и землевладельца, который организовал для Джонса поездку в Лондон, где он получил должность бухгалтера торговца. Позже он плавал в Вест-Индии, опыт, который положил начало его интересу к мореплаванию.

Когда ему исполнилось 20 лет, Джонс был назначен на военный корабль, чтобы давать уроки математики членам экипажа.На основе этого опыта он опубликовал в 1702 году свою первую книгу по математике мореплавания в качестве практического руководства для парусного спорта. По возвращении в Великобританию он начал преподавать математику в Лондоне, возможно, начав с занятий в кафе за небольшую плату. Вскоре после этого он опубликовал Synopsis palmariorum matheseos , книгу, написанную на английском языке, несмотря на латинское название.

Palmarioriu mathesos Фотография: Гарет Робертс

Уильям Джонс подружился с сэром Томасом Паркером, впоследствии графом Маклсфилдом, и обучал молодого Джорджа Паркера, который должен был стать вторым графом.Позже он жил в семейном доме Ширберн-Касл недалеко от Оксфорда, где установил тесные связи с семьей. Благодаря своим многочисленным связям Уильям Джонс накопил в Ширберне несравненную библиотеку книг по естествознанию и математике. Он также поддерживал связи с Уэльсом, особенно через Моррисов Англси, семью литературных братьев, известных своим культурным влиянием и деятельностью, которые, хотя и были на поколение моложе Уильяма, происходили из той же части Англси и имели прочные лондонские связи.

После публикации своего Synopsis Уильяма Джонса заметили два выдающихся британских математика: Эдмунд Галлей (в честь которого была названа комета) и сэр Исаак Ньютон. Он был избран членом Королевского общества (FRS) в 1711 году и был вице-президентом общества во время президентства сэра Исаака Ньютона. Уильям Джонс стал важным и влиятельным членом научного истеблишмента. Он также скопировал, отредактировал и опубликовал многие рукописи Ньютона.В 1712 году он был назначен членом комитета, учрежденного Королевским обществом, чтобы определить, следует ли удостоить англичанина Исаака Ньютона или немца Готфрида Вильгельма Лейбница награду за изобретение математического анализа — одной из жемчужин в короне. современной математики. Неудивительно, что, учитывая обстоятельства, комиссия вынесла решение в пользу Ньютона.

В своем завещании Уильям Джонс завещал свою библиотеку из примерно 15 000 книг вместе с примерно 50 000 страниц рукописи, многие из которых были написаны рукой Ньютона, третьему графу Маклсфилду.Около 350 из этих книг и рукописей были написаны на валлийском языке, и эта часть оригинальной библиотеки была сохранена примерно в 1900 году, чтобы сформировать коллекцию Ширберн в Национальной библиотеке Уэльса в Аберистуите.

Спустя сто лет, в 2001 году, та часть коллекции Вильяма Джонса, которая включала бумаги и записные книжки, принадлежавшие сэру Исааку Ньютону, была продана библиотеке Кембриджского университета за более чем 6 миллионов фунтов стерлингов, сумма, частично полученная за счет публичной подписки. Большая часть остальной библиотеки была продана на нескольких аукционах Sotheby’s в 2004 и 2005 годах, собрав гораздо больше миллионов: копия книги астронома Иоганна Кеплера Harmonices mundi собрала около 100000 фунтов стерлингов, а классическая книга Ньютона Principia mathematica еще 60 000 фунтов стерлингов.Собственная книга Уильяма Джонса, Synopsis palmariorum matheseos , стоила всего 8000 фунтов стерлингов. В одной из книг Ньютона, отредактированной Уильямом Джонсом и подаренной Джонс семье Маклсфилд, был отдельный лист, написанный от руки Ньютоном. Только этот лист собрал 90 000 фунтов стерлингов. Поместье Маклсфилд сильно выиграло от продажи, но теперь эта бесценная коллекция разошлась по библиотекам и частным коллекционерам по всему миру. Остается некоторая загадка относительно судьбы личных документов Уильяма Джонса.Семья Маклсфилда не хотела их освобождать, и есть предположение о скандале, который семья пыталась скрыть. Эти документы, несомненно, прольют дополнительный свет на Уильяма Джонса, на его отношения с графами Маклсфилд и на его выдающийся жизненный путь из коттеджа в Англси, чтобы стать членом математического истеблишмента и одной из его ярких звезд.

Уильям Джонс был дважды женат. Один из детей от второго брака родился всего за три года до смерти Уильяма в возрасте 74 лет.Сыном, которого также звали Уильям Джонс, что впоследствии послужило причиной многих недоразумений, стал сэр Уильям Джонс (1746–1794). Он был назначен судьей Верховного суда Индии и был знатоком языков субконтинента. Сэр Уильям установил связи между латинским, греческим и санскритом, что привело к концепции «индоевропейских языков», которая остается краеугольным камнем современной лингвистической теории. Однажды он был представлен королю Франции как человек, который знал все языки, кроме своего собственного — валлийский! Учитывая место его рождения, весьма вероятно, что Уильям Джонс, отец, свободно говорил на валлийском и английском языках, но, потеряв отца, когда ему было три года, сэр Уильям не имел возможности выучить язык своего отца. первый язык.

Грифельная доска с надписью на валлийском языке на стене начальной школы в Лланфечелле, Англси. Возведенный советом графства Англси, он отмечает, что математический символ π был введен Уильямом Джонсом, который вырос и получил раннее образование в этом районе. Фотография: Гарет Робертс

Гарет Робертс — заслуженный профессор образования в Бангорском университете. Как @GarethFfowc он ежедневно ставит задачи по математике в Twitter на английском и валлийском языках. Его веб-сайт www.garethffowcroberts.com

Если вы хотите оставаться на связи с этим блогом, Adventures in Numberland, подписывайтесь на Алекса Беллоса в Twitter, Facebook или Google+.

Сноски :

Некоторые подробности жизни Уильяма Джонса остаются неясными, отчасти потому, что многие из его личных документов так и не стали известны. Однако интерес к его жизни и творчеству возрос. Патрисия Ротман из Университетского колледжа Лондона проанализировала круг влияния Уильяма Джонса в Лондоне в своей статье «Уильям Джонс и его окружение: человек, который изобрел понятие числа пи», History Today , 2009, 59/7, 24–30.

Библиотека и архивная служба Бангорского университета хранят ряд документов, касающихся Уильяма Джонса. С годами коллекция пополнялась материалами, предоставленными Ллевелином Гвином Чемберсом (1924–2014), ранее читавшим университетский факультет математики и горячим пропагандистом Уильяма Джонса и его работ.

Автор готовит к публикации книгу об уэльсцах и их числах, включая пи-связи с Уильямом Джонсом, для публикации в University of Wales Press.Он также был одним из редакторов книги о Роберте Рекорде, валлийском тюдоровском математике и педагоге, который ввел знак равенства: Роберт Рекорд: Жизнь и времена тюдоровского математика (University of Wales Press, 2013).

Его жизнь, человек и его работы на JSTOR

Abstract

По случаю 300-летия (15 апреля 2007 г.) со дня рождения Эйлера делается попытка привлечь внимание широких слоев образованной общественности к гению Эйлера.Очерчены три его жизненных пути — Базель, Санкт-Петербург и Берлин, а основные работы определены в более или менее хронологическом порядке. Чтобы передать оттенок его работы и ее влияние на современную науку, мы выбрали несколько памятных работ Эйлера и обсудили их более подробно. Замечания о личности, интеллекте и мастерстве Эйлера завершают презентацию.

Информация о журнале

SIAM Review содержит статьи, написанные для широкого круга читателей.
научная аудитория.Статьи включают пояснительные или обзорные статьи.
сосредоточение внимания на важных достижениях в прикладной или вычислительной математике, или
документы, описывающие математические и вычислительные задачи в
научные или инженерные приложения. Другие функции включают эссе,
обзоры книг, тематические исследования из отрасли, классные заметки и проблемы
и решения.

Информация об издателе

«Общество промышленной и прикладной математики является ведущим
международная ассоциация прикладной математики и ее публикации
мог бы стать ядром адекватного собрания по математике.Один из
Целями этой организации является обеспечение обмена информацией между
университет и промышленность стали более гладкими. Он превосходно выполняет эту задачу
и многие из ведущих академических институтов мира являются ее членами ».
— Журналы для библиотек, восьмое издание, 1995, Р. Р.
Боукер, Нью-Провиденс, Нью-Джерси

Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), штаб-квартира
в Филадельфии, была основана в 1951 году для продвижения применения
математики в науку и промышленность, продвигать математические исследования и
предоставлять средства массовой информации для обмена информацией и идеями между
математики, инженеры и ученые.SIAM имеет обширную программу публикаций в прикладных и вычислительных
математика, в том числе 11 престижных исследовательских журналов. Для полного
описание наших журналов и недавно анонсированных SIAM Journals Online,
доступ http://www.siam.org/.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.