Кролики фибоначчи: Числа Фибоначчи • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Золотое сечение Фибоначчи

Фибоначчи (1170—1250) — настоящее имя — Леонардо из Пизы — считается крупнейшим математиком средневековой Европы. Фибоначчи был родом из купеческой семьи, и отец, желая, чтобы сын изучил математику, отправил его учиться в Алжир. Потом юноша не раз сопровождал отца в деловых поездках, побывал в Византии, Сирии, Египте, где немало общался с местными учеными.

Кролики помогли Фибоначчи проиллюстрировать ряд, позднее названный его именем. В этом ряду каждый член — сумма двух предыдущих

На молодого человека большое впечатление произвели позиционная система счисления и арабские, они же индийские, цифры. В то время в Европе мало кто знал об этой системе. Фибоначчи стал распространять ее. Особенно он хвалит позиционную систему и арабские цифры в своей работе «Книга абака», которая была написана в 1202 г. В этой книге он также приводит любопытный пример с постоянно размножающимися кроликами.

«Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?»

Число пар в каждый из двенадцати последующих месяцев будет соответственно 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Таким образом, кролики создают ряд, каждый член в котором — сумма двух предыдущих. Он известен как ряд Фибоначчи, а сами числа называют числами Фибоначчи. По этим числам можно изобразить спираль, выстраивая квадраты с соответствующими сторонами.

Спираль Фибоначчи

У этой последовательности есть несколько любопытных свойств. Например, если последующий член разделить на предыдущий, то получается число, примерно равное 1,618. Правда, для первых чисел эта закономерность почти не работает. Если 5 разделить на 3, получится 1,66. Но чем больше числа, тем точнее ответ. А коэффициент 1,618 — это знаменитое золотое сечение. Такая пропорция считается наиболее гармоничной в архитектуре и живописи. Таким образом, спираль Фибоначчи близка к золотому сечению, хотя полностью таковым не является.

Кроме того, последовательность Фибоначчи встречается в природе. Например, если вы рассмотрите семечки в подсолнухе, то убедитесь, что они расположены в два ряда спиралей: одна закручена по часовой стрелке, другая — против. Причем в одной такой спирали 55 семян, в другой — 34. А это — числа Фибоначчи.

Семечки в подсолнухе располагаются в соответствии со спиралью Фибоначчи

Подобные пропорции встречаются в соотношении длин фаланг пальцев, в чертах лица, в молекуле ДНК и в расположении листьев и веток у растений.

Надо сказать, по справедливости, что эти пропорции были известны на Востоке задолго до Фибоначчи, но сложилось так, что они обрели его имя.

Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Золотое сечение было известно с глубокой древности и считалось залогом гармонии и красоты.

Золотое сечение на примере античной статуи

Античные статуи имеют именно такие пропорции. Однако сам термин ввел Леонардо да Винчи. Он говорил: «Если человеческую фигуру — самое совершенное творение Вселенной — перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию оттого же пояса до макушки, как весь рост человека относится к длине от пояса до ступней».

Поделиться ссылкой

Математика Фибоначчи

На самом деле мир должен быть по колено в кроликах.

Средневековый математик Фибоначчи открыл, что существует последовательность чисел, которая лежит в основе множества явлений природы, включая размножение кроликов.

Размножение кроликов

Фибоначчи взялся за задачу, которая была известна индийским математикам уже много веков, но была, по всей видимости, нова для Европы. Она звучит так: Если у вас два кролика в поле, как будет расти популяция в идеальных условиях?

Идеальные условия включают следующее:

  • Первые два кролика — разнополы, половозрелы, привлекательны друг для друга, здоровы и плодовиты.
  • Каждая самка производит на свет пару кроликов, одного самца и одну самку, ежемесячно, как только повзрослеет.
  • От зачатия до рождения кролика проходит месяц, и еще один месяц, чтобы стать половозрелым.
  • Ни один из кроликов не умирает.

Последний пункт доводит идеальные условия до предела, но не будем углубляться в исследование природы «идеального». Все это происходило 800 лет назад и слишком поздно для придирок.

Так что отпустим первых двух кроликов в поле, где они будут плодиться как, эм-м, кролики. Через месяц там по-прежнему обитает только первая пара, но они только что обзавелись первыми малышами, следовательно, процесс запущен.

К концу следующего месяца имеется уже две пары: первая и их повзрослевшие детки. Первая пара завела еще двух деток, а вторая пара только начинает свою родительскую карьеру.

На следующий месяц будет три пары: первоначальная, первый выводок и второй выводок.

На следующий месяц первоначальная пара и первый выводок обзавелись по паре малышей (пока еще не половозрелых), а второй выводок готов начать размножаться. Потомство кроликов растет так:

И так далее. Количество пар каждый месяц соответствует этой последовательности:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

На первый взгляд, эти числа не очень интересны, но они неожиданно всплывают вновь и вновь. Возможно, не так очевидно, что здесь есть закономерность, но она есть. Сложите последние два числа в последовательности, чтобы получить следующее:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

8 + 13 = 21

и так далее. Эта последовательность называется «числа Фибоначчи». Если мы обозначим n-ое число Фибоначчи как F(n), общее выражение для нахождения числа Фибоначчи будет тогда:

F(n) = F(n–1) + F(n–2)

Вы можете увидеть, как это работает на примере из последовательности, восьмом числе:

F(8) = F(7) + F(6)

21 = 13 + 8

Пропуск между числами становиться больше и больше:

F(38) = 39 088 169

F(39) = 63 245 986

Следовательно,

F(40) = 39 088 169 + 63 245 986 = 102 334 155

Числа быстро растут; F(20 000 000) содержит более 4 миллионов знаков. Если мы предположим, что Фибоначчи отпустил своих двух первых кроликов в поле 800 лет назад, и, прощая тот факт, что некоторым кроликам сейчас по 800 лет, то прошло уже 800 х 12 = 9600 месяцев. F(9600) содержит больше 2000 знаков, следовательно, оно больше 102000. Это означает, что там будет больше 1020 гуглов пар кроликов к настоящему моменту, или намного больше, чем атомов во Вселенной. Это весомый аргумент в пользу стерилизации вашего домашнего кролика.

Пчелы очень любят мед

История с кроликами была несколько гипотетической, но есть и другие виды животных, которые демонстрируют более точное олицетворение теории Фибоначчи. Если обратить внимание на генетику пчел, серии Фибоначчи покажут число предков каждой пчелы.

У самцов пчел — только один родитель, матка, так как они вылупляются из неоплодотворенных яиц. У самок — два родителя, самец и самка. Так, если вы начнете с самца и нарисуете фамильное древо, оно будет выглядеть как то, что справа.

Добавляя предков, мы получаем:

Хотя у самки было преимущество на старте, она отстоит лишь немного дальше в ряду Фибоначчи, а числа, в конечном счете, те же.

Разветвления

У многих деревьев листья и ветви растут в соответствии с моделью, которая соотносится с рядом Фибоначчи. Несложно увидеть, почему ветви попадают в этот шаблон, так как каждое ответвление дает побег в сторону и затем, через некоторое время, он дает свой собственный побег, и так далее (см. выше).

У цветов числа Фибоначчи соответствуют лепесткам, а большинство фруктов внутри разделяется на доли в соответствии с числами Фибоначчи (например, три в банане и пять в яблоке).

Последовательность проявляется даже в нашем теле, например, в отношении длины косточек пальцев.

Поделиться ссылкой

кроликов Фибоначчи

кролик Фибоначчи

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В вашем браузере отсутствует Javascript или он не включен. Это означает, что вы не увидите уравнений или фильмов.

Р. Адам Молнар

Повторное добавление

Вместо функций и нулей и бесконечности, или геометрических построений, давайте упростим и поговорим о сложении в этой части. Мы собираемся работать с электронной таблицей над следующей задачей.

Начните с двух неотрицательных целых чисел, f(0) и f(1). Вычислите f(2) = f(0) + f(1). Вычислите f(3) = f(1) + f(2).
Продолжайте, создавая f(n) = f(n-1) + f(n-2), где каждое новое число представляет собой сумму двух предыдущих чисел в последовательности.

Эта проблема давно изучается. Если мы установим f(0) = 0 и f(1) = 1, мы получим ряд чисел, называемый последовательностью Фибоначчи, в честь итальянца Леонардо Пизано Биголло Фибоначчи. Он предложил эту последовательность в своей книге, изданной в 1202 году, «Книге расчета». Если вы понимаете латынь, вы можете читать Liber Abaci онлайн. Книга охватывает множество тем, в том числе египетские дроби, вычисление процентов и аппроксимацию квадратного корня. Еще более важной, чем проблема, которую мы будем обсуждать, является система счисления. Фибоначчи продвигал индийско-арабскую систему чисел, нашу современную систему, по сравнению с римскими I, V, X и т. д. Хотя он не был первым, его книга сильно изменила европейское использование чисел от 0 до 9..

Оставив историю нуля на другой раз, мы рассмотрим задачу Фибоначчи о спаривании кроликов. Скажем, крольчата способны к спариванию в возрасте одного месяца, а беременность длится один месяц. Таким образом, в конце второго месяца самка может произвести на свет еще одну пару крольчат. Кролики никогда не умирают, и спаривающаяся пара всегда производит одну новую пару (один самец, одна самка) каждый месяц, начиная со второго месяца. Загадка, поставленная Фибоначчи, заключалась в следующем: если мы начнем с новой пары с рождения, сколько пар будет через год?

Обстоятельства и ограничения нереалистичны, хотя на самом деле беременность крольчихи длится примерно один месяц, и крольчихи могут снова забеременеть в течение нескольких дней после родов. Однако пометов при рождении не всегда ровно 2, как правило, их больше. Кроме того, кролики в конечном итоге умирают. Тем не менее, это не НАСТОЛЬКО нереалистичная ситуация в краткосрочной перспективе.

Чтобы решить задачу Фибоначчи, пусть f(n) будет количеством пар в течение месяца n. По соглашению f(0) = 0. f(1) = 1 для нашей новой первой пары. f(2) = 1, так как только что произошло зачатие. Новая пара рождается в конце 2-го месяца, поэтому в течение 3-го месяца f(3) = 2. Только первая пара производит потомство в 3-м месяце, поэтому f(4) = 3. В 4-м месяце первоначальная пара и месяц 2 пары размножаются, поэтому f(5) = 5. Мы можем продолжить таким образом, представив результаты в таблице. В конце года у Фибоначчи 144 пары кроликов.

Месяц 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Пары 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

Кролики Про Мульти

Хотя это хорошая практика сложения, мы не хотим делать это слишком много шагов. Кроме того, мы можем захотеть изучить коэффициенты или другие факторы. Электронная таблица, такая как Microsoft Excel, поможет в этом процессе. Я покажу вывод из Excel; для варианта с нулевой стоимостью попробуйте Документы Google.

В файле Excel есть места для ввода начальных значений f(0) и f(1). Столбцы отслеживают месяц n и количество пар кроликов. Вещи становятся большими в спешке. В конце 1 года у нас 144 пары, достаточно для пары классных комнат. По прошествии 3 лет у нас более 14 миллионов пар, более чем достаточно, чтобы дать по одной паре каждому жителю Грузии. Нам потребовалось бы всего 49 месяцев, чтобы иметь более 7 миллиардов пар, по одной паре на каждого живого человека. Может быть, это и хорошо, что кролики Фибоначчи не настоящие.

Соотношение последовательных сроков

Чтобы глубже изучить последовательность, давайте добавим в нашу электронную таблицу новый столбец — отношение последовательных членов. Для месяца n отношение будет равно \frac{ f(n) }{ f(n-1) } . Мы начнем со второго месяца, чтобы избежать возможного деления на ноль. Соотношение довольно быстро достигает предела, около 1,61803.

Этот коэффициент специфичен для наших стартовых номеров? Нет. Пока мы не начнем с f(0) = 0, f(1) = 0, постапокалиптического случая, который навсегда приведет к нулю кроликов, мы быстро достигнем отношения 1,61803.
В другом примере я показываю f(0) = 2 и f(1) = 13. Если вы хотите попробовать сами, таблица Excel fibratio.xlsx. Вы можете попробовать последовательность Лукаса с f(0) = 2, f(1) = 1 или другими парами.

Алгебраический подход

Чтобы доказать, что отношение становится постоянным, нам нужно вернуться к более сложной математике и немного поработать с алгеброй. Давайте посмотрим на соотношение для терминов, находящихся достаточно далеко в последовательности, исключая влияние начальной начальной точки. Символически мы ищем предел отношения \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ f(n)} }{f(n-1) } . Не будем действовать предельно формально. Поскольку наши электронные таблицы Excel предполагают наличие предела, мы предположим, что для больших n \frac{ f(n-1)}{f(n-2)} = \frac{ f(n)}{f(n -1) } . Подстановка соотношения Фибоначчи f(n) = f(n-1) + f(n-2) дает нам 92 — 4 (1) (-1) } } { 2 (1) } = \frac{ 1 \pm \sqrt{ 5 } }{ 2 }

Отрицательный корень привел бы к отрицательному r, что не имеет смысла, поскольку у нас есть только неотрицательные числа. Правильный предел отношения равен \frac{ 1 + \sqrt{ 5 } }{ 2 } , примерно 1,618, как мы видели в электронных таблицах.

Золотое сечение

Не случайно число \frac{ 1 + \sqrt{ 5 } }{ 2 } должно выглядеть знакомым. Мы видели это во 2 части финала, для отношения стороны квадрата к дополнительной части:

\frac{ S }{ a } = \frac{ 1 + \sqrt{5} }{ 2 }

Число \frac{ 1 + \sqrt{ 5 } }{ 2 } имеет специальное название — золотое сечение и обычно обозначается греческой буквой «фи», \phi . Математикам это очень нравится. У него есть страница в Википедии, веб-сайт Университета Суррея, и он даже фигурировал в двух радиопрограммах Би-би-си, в одной в 2002, а в другой в 2007 году. Золотое сечение проявляется в природе, как спирали в морской раковине Наутилус ниже. Некоторые цветы, такие как лютики, имеют только числа Фибоначчи для подсчета лепестков. Сосновые шишки обычно имеют 5, 8 или 13 внешних спиралей.

О золотом сечении можно узнать гораздо больше. Если вам интересно, согласно викторине BBC «5 чисел», это означает: «У вас есть склонность появляться там, где меньше всего ожидают, внося баланс и порядок в хаотический мир». Как пропорции кролика и геометрические построения, это неплохое место.

Эта дополнительная деятельность связана с Заданием 12; Я выбрал его, потому что он очень хорошо связан с Final Part 2.

Изображение морской раковины «Наутилус» взято с сайта allposters.com.

Математика Острова Кроликов

Остров Окуносима в Японии также известен как Остров Кроликов по очень веской причине. Он населен сотнями диких кроликов, которые, как известно, преследуют туристов и носятся большими стаями. Остров стал популярным местом для туристов, и на YouTube есть много видеороликов, демонстрирующих необычное поведение кроликов. (Для примера посмотрите это видео)

Кроличий остров использовался как место для производства химического оружия во время Второй мировой войны. Впоследствии он был заброшен из-за проблем со здоровьем, и никто не знает, откуда взялись кролики. Одна теория состоит в том, что кролики сбежали от испытаний на предприятии по производству химического оружия, другая теория предполагает, что кроликов выпустили школьники в 19-м веке.70-е годы.

Одно можно сказать наверняка: у кроликов на острове нет хищников, и они могут размножаться без надоедливых лис.

В 1202 году итальянский математик Фибоначчи поставил математическую задачу о кролике. В своей книге «Liber Abaci» («Книга расчетов») он задавался вопросом, сколько кроликов будет произведено при идеальных обстоятельствах. (т.е. там, где нет хищников, как на Кроличьем острове!)

Фибоначчи поставил теоретическую задачу следующим образом:

Представьте, что у вас в поле есть пара кроликов, самец и самка. Сколько кроликов они произведут через год?

Фибоначчи сделал следующие предположения:

1. Кролики не умирают и не поедаются хищниками

2. Каждая самка размножается каждый месяц, начиная со второго месяца своей жизни.

3. При каждом размножении самка рождает одну пару крольчат – (одного самца и одну самку).

Посмотрим, как растет количество кроликов:

Начало месяца Количество пар кроликов Всего пар кроликов на начало месяца
1 1 пара (только оригинальная пара) 1
2 В начале месяца осталась только одна пара кроликов. К концу месяца они произвели еще одну пару, чтобы получилось 2 пары. 1
3 В этом месяце может размножаться только исходная пара, всего к концу месяца будет 3 пары. 2
4 В этом месяце первые две пары могут размножаться, и к концу месяца их будет 3+2 = 5 пар. 3
5 В этом месяце первые три пары теперь могут размножаться, и к концу месяца их будет 5+3 = 8 пар. 5
6 В этом месяце первые пять пар теперь могут размножаться, в результате чего к концу месяца будет 8+5 = 8 пар. 8

 

Может быть трудно понять, что происходит, и диаграмма может быть более полезной:

К настоящему времени вы, возможно, заметили последовательность чисел Фибоначчи, одну из самых известных последовательностей, когда-либо описанных: 1 ,1,2,3,5,8,13,21,…

Каждое число в последовательности получается путем сложения двух предыдущих чисел. Мы можем продолжать последовательность, пока не получим первые 13 чисел Фибоначчи:

1,1,2,3,5,8,13,21, 34, 55, 89., 144, 233

На начало 13-го месяца, (т.е. на конец года) у нас 233 пары кроликов, всего 466 кроликов!

На самом деле пометы у кроликов гораздо больше: в среднем у самки при каждом размножении рождается шесть детенышей. Это привело некоторых людей к оценке, что у одной самки кролика будет 184 597 433 860 потомков всего за семь лет. Ситуация намного хуже, чем предполагал Фибоначчи.

Это означает, что огромное количество кроликов на Острове Кроликов вполне могло быть результатом того, что на острове была выпущена всего одна пара кроликов. Причина того, что на острове всего миллионы, а не миллиарды кроликов, заключается в том, что популяция будет естественным образом ограничена пространством, болезнями, наличием пищи и другими факторами.

Числа Фибоначчи тоже оказались очень интересными сами по себе, о них, например, вы также можете прочитать в статье «Золотое сечение».

Многие математики работают в области динамики населения, изучая, как население может измениться с течением времени. Например, математики изучают, как популяции рыб сокращаются из-за перелова.

Если вы заинтересованы в карьере в этой области, вам следует попробовать сдать математику уровня A и, если возможно, дополнительную математику, а затем получить степень в области математики, статистики или наук об окружающей среде.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *