Корень из 19 5х 2: найдите корень уравнения √19+5х=2 — Школьные Знания.com

Содержание

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

В задании №5 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Квадратные уравнения

Арифметический квадратный корень

Корни и степени

Показательная функция

Показательные уравнения

Логарифмическая функция

Логарифмические уравнения

Тригонометрический круг

Формулы приведения

Формулы тригонометрии

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь умножается на А в правой части — смешанное число Его целая часть равна 19, а дробная часть равна Запишем это число в виде неправильной дроби:

Получим:

или

Выбираем меньший корень.

Ответ: — 6,5.

2. Решите уравнение

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

Ответ: — 6

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как и приведем дроби к общему знаменателю:

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Решим пропорцию:

Условие  при этом выполняется.

Ответ: 87.

5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

Мы получили, что . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: Находят его корни: или Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 9.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение

Вспомним, что Уравнение приобретает вид: Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

откуда

8. Решите уравнение

Представим как

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

Ответ: 7,5.

9. Решите уравнение

Представим в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел;

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

Область допустимых значений: . Значит, 

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом 

Ответ: 21.

11. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Ответ: -4.

12. Решите уравнение:

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 19.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Получим систему:

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: и

Очевидно, корень является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения:

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену Получим:

Получаем решения: Вернемся к переменной x.

Поделим обе части уравнения на и умножим на 4.

Первой серии принадлежат решения

Вторая серия включает решения

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это

Ответ: -2.

15. Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение:

Сделаем замену Получим: Решения этого уравнения:

Вернемся к переменной х:

Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

Наименьший положительный корень

Ответ: 2

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

Тест по алгебре с ответами

Notice: Undefined offset: 3 in /home/o/oldkyx/geetest/public_html/pages/tests/list/list_pages.php on line 35
Страница 1 из 3
Notice: Undefined offset: 3 in /home/o/oldkyx/geetest/public_html/pages/tests/list/list_pages.php on line 35
Страница 2 из 3
Notice: Undefined offset: 3 in /home/o/oldkyx/geetest/public_html/pages/tests/list/list_pages.php on line 35
Страница 3 из 31. При каком, выраженном через а и b, значении m выражение будет полным квадратом?

  • 1. 4/9a2b2
  • 2. ±3/2ab
  • 3. 9/4a2b2
  • 4. Правильный ответ не приведен

2. Решите неравенство:

  • 1. х = 9
  • 2. 9 ≤ х
  • 3. х ≤ 8
  • 4. х ≤ 9

3. Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения х2 — 20х + 96 = 0.

  • 1. 96х2 + 20х + 1 = 0
  • 2. 96х2 — 20х + 1 = 0
  • 3. 96х2 — 20х — 1 = 0
  • 4. 96х2 + 20х — 1 = 0

4. При каких значениях х верно равенство |x2 — 49| = 49 — х2?

  • 1. -7 ≤ х ≤ 7
  • 2. х ≥ 7
  • 3. х ≤ -7
  • 4. х ≤ 7

5. Найдите сумму всех коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корни которого равны 4+√5 и 4-√5.

6. Один из корней квадратного уравнения х2 + 11х + q = 0 равен 8. Найдите второй корень.

7. Найдите значение x1x22 + x21x2, если x1 и х2 — корни квадратного уравнения х2 — 8х + 11 = 0.

8. Найдите значение x2 + x2x1 + x1, если x1 и х2 — корни квадратного уравнения 2 + 5х — 11 = 0.

9. Найдите значение x2 + x2x1 + x1, если x1 и х2 — корни квадратного уравнения 2 + 3х — 7 = 0.

10. Найдите значение x2 + x2x1 + x1, если x1 и х2 — корни квадратного уравнения 2 + 7х — 3 = 0.

11. Найдите значение x2 + x2x1 + x1, если x1 и х2 — корни квадратного уравнения 2 — 5х + 3 = 0.

12. Один из корней квадратного уравнения х2 — 11х + q = 0 равен 8. Найдите второй корень.

13. Найдите сумму всех коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корни которого равны 5+√3 и 5-√3.

14. Один из корней квадратного уравнения х2 + 13х + q = 0 равен 7. Найдите второй корень.

15. Найдите сумму всех коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корни которого равны 6+√2 и 6-√2.

16. Найдите сумму всех коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корни которого равны 3+√5 и 3-√5.

17. Найдите сумму всех коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корни которого равны 4+√3 и 4-√3.

18. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 6+√3 и 6-√3.

  • 1. х2 + 12х — 33 = 0
  • 2. х2 — 12х — 33 = 0
  • 3. х2 + 12х + 33 = 0
  • 4. х2 — 12х + 33 = 0

19. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 4+√5 и 4-√5.

  • 1. х2 — 8х — 11 = 0
  • 2. х2 + 8х — 11 = 0
  • 3. х2 — 8х + 11 = 0
  • 4. х2 + 8х + 11 = 0

20. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 3+√2 и 3-√2.

  • 1. х2 — 6х — 7 = 0
  • 2. х2 + 6х + 7 = 0
  • 3. х2 — 6х + 7 = 0
  • 4. х2 + 6х — 7 = 0

21. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2+√5 и 2-√5.

  • 1. х2 + 4х — 1 = 0
  • 2. х2 — 4х — 1 = 0
  • 3. х2 + 4х + 1 = 0
  • 4. х2 — 4х + 1 = 0

22. Найдите значение x2 + x2x1 + x1, если x1 и х2 — корни квадратного уравнения 2 + 5х — 3 = 0.

23. Найдите значение x1x22 + x21x2, если x1 и х2 — корни квадратного уравнения х2 — 10х + 22 = 0.

  • 1. -120
  • 2. 220
  • 3. 280
  • 4. -220

24. Один из корней квадратного уравнения х2 — 13х + q = 0 равен 7. Найдите второй корень.

25. Один из корней квадратного уравнения х2 — 7х + q = 0 равен 11. Найдите второй корень.

26. Найдите значение x1x22 + x21x2, если x1 и х2 — корни квадратного уравнения х2 — 8х + 13 = 0.

  • 1. 104
  • 2. 94
  • 3. -152
  • 4. -104

27. Найдите значение x1x22 + x21x2, если x1 и х2 — корни квадратного уравнения х2 — 6х + 7 = 0.

28. Найдите значение x1x22 + x21x2, если x1 и х2 — корни квадратного уравнения х2 — 8х + 14 = 0.

  • 1. -112
  • 2. 112
  • 3. -144
  • 4. -92

29. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2+√3 и 2-√3.

  • 1. х2 + 4х + 1 = 0
  • 2. х2 + 4х — 1 = 0
  • 3. х2 — 4х — 1 = 0
  • 4. х2 — 4х + 1 = 0

30. Найдите наименьшее целое значение k, при котором уравнение х2 — 2(k + 2)х + 11 + k2 = 0 имеет два различных действительных корня.

31. Найдите сумму корней уравнения:

32. При каких значениях t уравнение х2 + (t — 2)х + 4 = 0 имеет два различных отрицательных корня?

  • 1. t ≤ 1
  • 2. t > 6
  • 3. t
  • 4. t

33. Корни уравнения х2 + рх + q = 0 вдвое больше корней уравнения х2 — 3х + 2 = 0. Чему равно р + q?

34. Найдите сумму корней уравнения:

35. Найдите разность наибольшего и наименьшего корней уравнения х4 — 10х2 + 9 = 0.

36. Зная, что x1 и х2 — корни уравнения х2 + х — 1 = 0, найдите х3132.

37. Найдите наибольшее целое значение k, при котором уравнение kz2 + 2(k — 12)z + 6/5 = 0 не имеет действительных корней.

38. Сколько целых решений имеет уравнение |x2 — 3х| = 3х — х2?

39. Зная, что x1 и х2 — корни уравнения х2 — х + q = 0. Найдите q, если x31 + х32 = 19.

40. Найдите сумму корней уравнения |х| = х2 — х — 4.

  • 1. 1 — 2√5
  • 2. 2 — √5
  • 3. —1 + √5
  • 4. 1 + √5

41. x1 и х2 — корни уравнения x2 + mx + n = 0. Если каждый корень этого уравнения увеличить на 4 и из полученных чисел составить новое уравнение, то свободный член нового уравнения будет равен n — 32 (n — свободный член исходного уравнения). Чему будет равно m?

42. Найдите наибольшее значение выражения , если .

43. Вычислите x12 + x21, если x1 и х2 — корни уравнения 2 — 8х — 15 = 0.

  • 1. -3 19/45
  • 2. -3 1/45
  • 3. 5
  • 4. -8/3

44. При каких значениях а уравнение ах2 — (а + 1)х + 2а + 2 = 0 имеет один корень?

  • 1. 0; -1
  • 2. -1; 0; 1/7
  • 3. 1; -1/7
  • 4. -1; 1/7

45. Чему равна сумма всех натуральных чисел, являющихся корнями уравнения 2 — 8х + 7| = -7 + 8х — х2?

46. При каких значениях k уравнение х2 – 2k(х + 1) – k2 + 6k = 0 имеет отличное от нуля два совпадающих корня?

47. z1 и z2 — корни уравнения z2 + pz + q = 0. Если каждый корень этого уравнения увеличить на 4 и из полученных чисел составить новое уравнение, то свободный его член будет равен q + 68. Найдите р.

48. Найдите k в уравнении х2 + 3х + k + 8 = 0, если его корни x1 и х2 удовлетворяют условию x12 = -1/4.

49. Найдите произведение корней уравнения .

50. Найдите произведение корней уравнения 4|х — 2| = 3 + (х — 2)2.

Notice: Undefined offset: 3 in /home/o/oldkyx/geetest/public_html/pages/tests/list/list_pages.php on line 35
Страница 1 из 3
Notice: Undefined offset: 3 in /home/o/oldkyx/geetest/public_html/pages/tests/list/list_pages.php on line 35
Страница 2 из 3
Notice: Undefined offset: 3 in /home/o/oldkyx/geetest/public_html/pages/tests/list/list_pages.php on line 35
Страница 3 из 3

Урок 19. равносильные уравнения и неравенства — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Урок

Конспект

Дополнительные материалы

Уравнения, неравенства, системы

Выяснить, равносильны ли уравнения:

Подсказка

Что значит понятие «равносильные»?

Равносильны
Неравносильны

|2x — 1| = 3 и (х + 1)(х — 2) = 0

х² — 4х + 5 = 0 и х² + 3 = 0

|2x — 1| = 3 и 2х — 1 = 3

6х + 7 = 0 и 6х — 7 = 0

Уравнения, неравенства, системы

Решите уравнение:

(у + 7) · 3 = 2у + 14

Подсказка

Обратить внимание на перенос членов уравнения из одной части в другую

Равносильные неравенства

Какие из данных неравенств являются равносильными:

Подсказка

Вспомнить, что такое равносильные неравенства

Равносильные уравнения

Среди представленных уравнений есть 2 пары равносильных, одно является лишним. Найдите его:

Подсказка

Вспомнить определение равносильных уравнений

Уравнения, неравенства, системы

Выберите, сколько корней имеют уравнения:

Подсказка

Вспомнить в чем зависимость корней от степеней

$(x-1)(x+5)=0 $

нет корней

1 корень

2 корня

$x+15=9$

1 корень

2 корня

нет корней

$(x+9)(x^{2}+4)=0$

нет корней

2 корня

1 корень

$x^{2}-5x+8=0$

1 корень

нет корней

2 корня

$\sqrt{4-x}=-2$

1 корень

нет корней

2 корня

$\sqrt{4-x}=2$

нет корней

2 корня

1 корень

Уравнения, неравенства, системы

Найдите корни уравнений.

Варианты ответов (введите порядковый номер ответа):

  1. 0
  2. нет
  3. 5, 6
  4. 4

Подсказка

Вспомнить методы решения уравнений

Свойства рациональных, иррациональных чисел

Пронумеруйте числа в порядке возрастания

Подсказка

Свойства рациональных, иррациональных чисел, неравенства

Уравнения, неравенства, системы

Решить неравенство:

$\frac{x-2}{5-x} > 1$

Подсказка

Обратить внимание на знаменатель

Уравнения, неравенства, системы

Выяснить какое из уравнений является следствием другого

Подсказка

Вспомнить, что значит «следствие другого»

Уравнения, неравенства, системы

Выясните, какое из уравнений является следствием другого.

Выберите строчку с верной парой

Подсказка

Вспомнить, что значит «следствие другого»

Уравнения, неравенства, системы

Решив уравнения, составьте соответствия:

Подсказка

Вспомните методы решения уравнений.

Равносильные уравнения и неравенства

Решив уравнения, составьте соответствия:

Подсказка

Вспомните методы решения уравнений

Уравнения, неравенства, системы

Укажите наименьшее целое число для данного неравенства:

1) $\frac{x^{2}}{3} < \frac{3x+3}{4}$

2) $(4x-6)² ≥ (6x-4)² $

а) -1

б) 0

Подсказка

Формулы сокращенного умножения, действия над дробями

Уравнения, неравенства, системы

Укажите наибольшее целое число для данного неравенства:

Подсказка

Формулы сокращенного умножения, действия над дробями

Линейные уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Библиографическое описание:

Парканова, С. И. Линейные уравнения / С. И. Парканова, С. Н. Ревтова, Т. М. Котлярова. — Текст : непосредственный // Школьная педагогика. — 2016. — № 2 (5). — С. 19-22. — URL: https://moluch.ru/th/2/archive/27/615/ (дата обращения: 25.05.2021).



Математика — это язык, на котором говорят все точные науки.

Н. И. Лобачевский

Введение.

Математика — предмет, без которого не могут быть изучены, ни одно явление, ни один процесс в окружающем мире. Применение математических исчислений, в том числе линейных уравнений, являются составной частью в новых научных исследованиях и вносят большой вклад в развитие современной науки и технического прогресса в целом.

Актуальность: Уравнения в математике занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

Цель:

Изучить свойства линейных уравнений;

Отрабатывать навыки решения линейных уравнений.

Исторический экскурс.

Кто придумал уравнения?

Ответить на этот вопрос невозможно! Задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали на основе здравого смысла. Еще 3–4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых не был похож на современные. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше. Наибольших успехов в развитии учения об уравнениях достиг греческий ученый Диофант

“Он уйму всяких разрешил проблем.

И засухи предсказывал и ливни.

Поистине его познанья дивны”

Большой вклад внес среднеазиатский ученый Мухаммед аль Хорезми (IX век). –среднеазиатский математик, астроном, историк, географ — один из крупнейших ученых средневековья.

Его труды по арифметике, изложенные в «Книге об индийском счете», привели к грандиозным последствиям в науке вообще и древней математики в частности. Внес вклад в преобразование линейных уравнений.

Жаутыков Орымбек Ахметбекович (1911–1989г)

Ученый — математик. Внес значительный вклад в развитие математических наук. Академик Национальной Академии наук Республики Казахстан. Доктор физико-математических наук, профессор. Автор первого национального учебника по высшей математике. Основные научные труды посвящены математическим уравнениям, теоретической и прикладной механике.

Линейные уравнения содной переменной

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенной буквой, называется — уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства, — правой частью уравнения. Каждое слагаемое левой и правой части уравнения называется членом уравнения.

Уравнение вида: ax+b=0

Называется линейным уравнением с одной переменной

(где х-переменная, а и b некоторые числа).

Х-переменная входит в уравнение обязательно в первой степени!

Корнем уравнения называется, то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное числовое равенство.

Уравнение может иметь один корень: 3x+5=0

Несколько корней: y(y-2)(5+2y) = 0 Бесконечно много корней: 7(x+1) = 7x+7 Уравнение может не иметь корней: x+3=x

Решить линейное уравнениеэто значит найти все его корни или установить, что их нет. При решении уравнений могут быть использованы свойства уравнения:

  1. Корни уравнения не изменяются, если любой член уравнения перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак на противоположный.
  2. Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

При решении уравнений используют свойства:

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится равносильное уравнение.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число

(не равное нулю), то получится равносильное уравнение.

Алгоритм решения линейного уравнения

  1. Раскрыть скобки в обеих частях уравнения;
  2. Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащую в другую;
  3. Привести подобные члены в каждой части;
  4. Разделить обе части на коэффициент при переменной.

Рассмотрим решение уравнения:

(13х-15)-(9+6х)=-3х

Раскроем скобки:

13х-15–9-6х=-3х.

Перенесём с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а известные — в правую часть уравнения, тогда получим уравнение:

13х-6х+3х=15+9.

Приведём подобные слагаемые.

10х=24.

Разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

х=2,4

Ответ: 2,4

Так же вашему вниманию представлены следующие решения уравнений:

8у -3(2y-3) = 7y — 2(5y + 8)

8у — 6у + 9 = 7у — 10у -16

8y — 6y — 7y + 10y = -16–9

5y= -25

y= -25: 5

у= — 5

(0,5х + 1,2)-(3,6–4,5х)=(4,8–0,3х)+(10,5х + 0,6)

0,5х + 1,2–3,6 + 4,5х = 4,8–0,3х + 10,5х + 0,6

0,5х + 4,5х + 0,3х — 10,5х = 4,8 + 0,6–1,2 + 3,6

—5,2х = 7,8

х= -1,5 Ответ: -1,5

5(3х+1,2) + х = 6,8,

15х + 6 + х = 6,8,

15х + х = 6,8–6,

16х = 0,8,

х = 0,8: 16,

х = 0,05, Ответ: 0,05

5,6–7у = — 4(2у — 0,9) + 2, 4,

5,6–7у = — 8у + 3, 6 + 2,4,

8у — 7у = 3,6 + 2.4–5,6,

у = 0,4, Ответ: 0,4

—3(у + 2,5) = 6,9–4,2у,

— 3у — 7,5 = 6,9–4,2у,

4,2у — 3у = 6,9 + 7,5,

1,2у = 14,4,

у = 14,4: 1,2,

у = 12, Ответ: 12

3 (х + 6) + 4 = 8 — (5х + 2)

3х + 18 + 4 = 8–5х — 2

3х + 5х = — 18–4 + 8–2

8х = — 16

х = — 16: 8

х = — 2

Ответ: -2

Задачи на составление линейных уравнений содной переменной.

Решение задач с помощью уравнений состоит из нескольких этапов:

  1. неизвестную величину, значение которой мы хотим определить, обозначаем буквой, например x;
  2. используя эту букву и имеющиеся в задаче данные, составляем математическую модель, где два разных выражения равны друг другу;
  3. записывая эти выражения через знак равно, мы получаем уравнение,решение которого поможет найти ответ к задаче;
  4. если необходимо, выполняем дополнительные действия для нахождения ответа к задаче.

Задача: В холодильнике в общей сложности 19 куриных и перепелиных яиц. После приготовления яичницы из 2 куриных и 5 перепелиных яиц, перепелиных стало в два раза больше, чем куриных. Сколько куриных яиц было в холодильнике изначально?

Составляем модель уравнения:

Нам надо решить, какую величину мы обозначим переменной x.

Рассмотрим вариант, где x — кур. яйца изначально;

Составляем математическую модель и уравнение.

x — кур. яйца изначально;

x — 2 — кур. яйца после;

2(x — 2) — пер. яйца после;

2(x — 2) + 5 — пер. яйца изначально;

Составляем модель уравнения:

Рассмотрим выражения, которые мы можем уравнять, сумму яиц до приготовления яичницы.

x + 2(x — 2) + 5 — сумма яиц изначально

19 — сумма яиц изначально

x + 2(x — 2) + 5 = 19 уравнение, решение которого находит ответ к задаче.

Решение:

х + 2х — 4 + 5 = 19

3х = 18

х = 18: 3

x = 6

Ответ: изначально в холодильнике было 6 куриных яиц.

Задача: По шоссе едут две автомашины с одной и той же скоростью. Если первая машина увеличит скорость на 10км в час, а вторая уменьшит на 10км в час, то первая за 2 часа пройдет столько же, сколько вторая за 3 часа. С какой скоростью едут автомашины?

Составление таблицы

Пусть х — первоначальная скорость машин, тогда (х + 10) — скорость первой машины, а (х — 10) — скорость второй машины.

Расстояние для первой машины 2(х + 10)

Расстояние для второй машины 3(х — 10)

Величины

Первичная скорость

Скорость по условию

Время

Расстояние

1 машина

х

+ 10

2

2 (х + 10)

2 машина

х

— 10

2

3 (х — 10)

Составление уравнения

Так как по условию задачи первая машина прошла за 2 часа столько же, сколько вторая за 3 часа, составим уравнение:

2(х + 10) = 3(х — 10)

Решение:

2(х + 10) = 3(х — 10)

2х + 20 = 3х — 30

2х — 3х = — 20–30

—х = — 50 Х = 50

Скорость первой машины 50+10=60км ч

Скорость второй машины 50–10=40км ч

Ответ: 1 машина — 60км ч

2 машина — 40км ч

Задача: Были куплены яблоки и груши на сумму 4200 тенге. Килограмм яблок стоит 300 тенге, а груш — 1200тенге. Сколько килограммов яблок было куплено?

Составление таблицы

Мы знаем, что 1 кг груш стоит 1200тг. Пусть х — количество купленных яблок, тогда количество купленных груш (х + 1).

Получаем, что 300х — сумма, уплаченная за яблоки, тогда 1200(х + 1) — сумма уплаченная за груши.

Величины

Цена, тг

Кол-во, кг

Стоимость, тг

Яблоки

300

х

300х

Груши

1 200

(х + 1)

1200(х + 1)

На 1 кг

Всего: 4200

Решение:

Теперь можно составить и решить уравнение:

300х + 1200(х + 1) = 4200

300х + 1200х + 1200 =4200

1500х = 3000

х = 3000: 1500

х = 2 Ответ: было куплено 2 килограмма яблок.

Выводы:

Итак, мы рассмотрели, что представляют собой линейные уравнения, их свойства и способы решения, заглянули в историю.

Научились решать линейные уравнения и задачи. Надеемся, что данный проект поможет учащимся в изучении темы «Линейные уравнения».

Литература:

  1. Т. А. Алдамуратова, Т. С. Байшоланов «Математика 6 класс» Алмата «Атамура» 2011.
  2. В. А. Гусев, А. Г. Мордкович..«Справочные материалы» Математика М. «Просвещение», 1988
  3. К. П. Сикорский. «Факультативный курс» М. «Просвещение», 1969.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, часть уравнения, машина, Ответ, задача, корень уравнения, линейное уравнение, решение, решение уравнений, сумма яиц.

При выполнении заданий 1–2 запишите ход решения и полученный ответ. 1. Найдите корень уравнения 32 — 2х 81. 2. Найдите значение выражения . При выполнении заданий 3 запишите полученный ответ. 3. На рисунке

При выполнении заданий 1–2 запишите ход решения и полученный ответ.
1. Найдите корень уравнения 32 — 2х = 81.
2. Найдите значение выражения .
При выполнении заданий 3 запишите полученный ответ.
3. На рисунке (см. ниже) изображен график функции, определенной на интервале (–6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
а). Определите наименьшее и наибольшее значения функции.
б). При каких значениях х, f(х)
· 0.
в). При каких значениях х, f(x)
· 0.

При выполнении заданий 4 – 7 укажите ход решения и запишите полученный ответ.
4. Найдите значение sin
·, если известно, что cos
· = и
· 13 QUOTE 1415 I четверти.
5. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Решите уравнение log5(5 – 5x) = 2log52.

7. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 8, а cos A = . Найдите высоту, проведенную к основанию.
При выполнении заданий 8 –12 запишите ход решения и полученный ответ.
8. Найдите значение выражения .
9. Прямоугольный параллелепипед описан
около цилиндра, радиус основания которого равен 2.
Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.
10. Тело движется по закону S(t) = х2 – 4х +3. Определите, в какой момент времени скорость будет равна 4.
11. Решить уравнение .
12. Решите неравенство

При выполнении заданий 13 — 16 запишите ход решения и полученный ответ.
13. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
14. Решите систему уравнений 13 EMBED Equation.3 1415.
15. Равнобочная трапеция с основаниями 10 см и 18 см и высотой 3 см вращается около меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
16. Найдите решение уравнения 13 EMBED Equation.3 1415. Укажите корни, принадлежащие отрезку 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение на сайте [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Контрольная работа по математике. Вариант 1

Рисунок 9Root Entry

Приложенные файлы

  • 8253155
    Размер файла: 77 kB Загрузок: 0

Квадратные уравнения — Алгебра — Тесты

1) – 1/8; –1
2) D 3) 5
4) 0; 1
5) ± 2
6) 2/3; 4/3
7) –3; 2

1) – 1/4; 1/2
2) – 2/5
3) ± 1/2
4) 0; 3
5) –4; 3/5
6) D 7) –5; –1

1) ± 1/3
2) D 3) –3; 6
4) 2/3
5) – 7/3; –2
6) 0; 3
7) – 33/17; 1

1) –3; 5
2) 5/2; 3
3) ± 0,6
4) –16; 0
5) D 6) – 4/5
7) –1; 7/3

1) D 2) ± 0,2
3) –3; 0
4) –1; 3/7
5) 5/2
6) –2; 8
7) 2/3; 5/2

1) 0; 9
2) 2; 7/3
3) D 4) – 1/4
5) 4; 8
6) ± 3
7) –1; – 7/11

1) – 8/3; 3
2) – 1/2
3) D 4) 3; 4
5) 0; 4
6) –1; 7/3
7) ± 5

1) 2/5
2) 0; 2
3) –5/3; –2/3
4) ± 3
5) D 6) 4; 8
7) – 5/3; 1

1) – 5/2; –2
2) 0; 6
3) D 4) 1; 3
5) ± 1,1
6) – 2/3
7) – 3/7; 1

1) –2; 12
2) 0; 3
3) ± 5
4) D
5) 1/5
6) 1; 8/3
7) 4; 5

Решите радикальные уравнения x = sqrt (19-5x) +2 Tiger Algebra Solver

Решите радикальные уравнения x = sqrt (19-5x) +2 Tiger Algebra Solver

Этот сайт лучше всего просматривать с помощью Javascript. Если вы не можете включить Javascript, нажмите здесь.

Вход камеры не распознается!

Мы думаем, что вы написали:

x = sqrt (19-5x) +2

Это касается радикальных уравнений.

Пошаговое решение

Введено радикальное уравнение:

x = √19-5x + 2

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Выделите квадратный корень в левой части:

Исходное уравнение
x = √19-5x + 2

Изолировать
-√19-5x = -x + 2

Привести в порядок
√19-5x = x-2

Шаг 2:

Удалите корень слева сторона:

Поднять обе стороны во вторую степень
(√19-5x) 2 = (x-2) 2

После возведения в квадрат
19-5x = x 2 -4x + 4

Шаг 3:

Решите квадратное уравнение:

Преобразованное уравнение
x 2 + x -15 = 0

Это уравнение имеет два действительных корня:
x1 = (-1 + sqrt (61)) / 2 = 3.4051
x2 = (-1 — sqrt (61)) / 2 = -4,4051

Шаг 4:

Проверьте правильность первого решения:

Исходное уравнение, изолированный корень, после очистки
√19-5x = X-2

Подключите 3.4051 для x
√19-5 • (3.4051) = (3.4051) -2

Упростите
√1.974 = 1.405
Решение проверяет !!
Решение:
x = 3.4051

Шаг 5:

Проверьте правильность второго решения:

Исходное уравнение, изолированный корень, после очистки
√19-5x = x-2

Plug in -4 .2 + bx + 12 = 0 равно −4/5. Найдите значение b.

Хорошо, у нас есть уравнение 5x 2 + bx + 12 = 0. Одно из решений этого уравнения — x = -4/5.

Если мы знаем значение x, мы можем легко найти b.

Сначала попробуйте заменить x в этом уравнении на -4/5. Каждый раз, когда вы видите x, заменяйте его на (-4/5).

(-4/5) 2 + b (-4/5) + 12 = 0. Для этого нам не нужен калькулятор.

Теперь мы знаем, что число (n) в квадрате означает, что вы умножаете его на себя один раз.n 2 = n x n = (n) (n).

Итак, (-4/5) 2 = (-4/5) (- 4/5). Если мы умножим отрицательный результат на отрицательный, мы получим положительный результат, поэтому мы также можем записать это как (4/5) (4/5).

Чтобы начать решение для b, мы хотим оказаться в одну сторону, а все числа — в противоположную сторону, чтобы мы могли получить b = ____.

Во-первых, мы должны начать с любого сложения или вычитания, которое мы видим. Посмотрим на +12. Мы хотим перенести это из левой части в правую часть уравнения. Мы делаем это, выполняя противоположные операции для обеих сторон.

Противоположностью сложению является вычитание.

(4/5) (4/5) + b (-4/5) +12 = 0

-12-12

__________________________

(4/5) (4/5) + b (-4 / 5) = -12 Теперь мы также можем вычесть (4/5) (4/5) из обеих сторон.

— (4/5) (4/5) — (4/5) (4/5)

__________________________

b (-4/5) = -12 — (4/5) (4/5) Что мы можем сделать, чтобы получить b само по себе? Проделываем обратную операцию. Поскольку b

умножается на (-4/5), теперь нам нужно разделить его на (-4/5), чтобы избавиться от (-4/5) слева и переместить его вправо.Другой способ разделить дроби — умножить на обратную (умножить на дробь, перевернутую вверх ногами. Например, если вы разделите 4 на 1/2, это будет то же самое, что 4, умноженное на 2/1. Обратное значение (-4 / 5) равно (-5/4), поэтому нам нужно умножить обе части уравнения на (-5/4).

b (-4/5) x (-5/4) = (- 5/4 ) x (-12 — (4/5) (4/5))

b = (-5/4) x (-12 — (4/5) (4/5)) Теперь решаем относительно b, умножаем (-5/4) на 12 и (-5/4) на — (4/5) (4/5).

b = (-5/4) x -12 — (-5/4) (4 / 5) (4/5).Во-первых, -5/4 x 4/5 = -20 / 20 = -1.

b = (-5/4) (- 12) — (- 1 (4/5). Далее, -1 x 4/5 = -4/5. Если у нас есть — -4/5, это означает, что мы прибавить 4/5. Вычитание отрицательного числа означает прибавление.

b = (-5/4) (- 12) + 4/5 Затем нам нужно умножить (-5/4) на -12. Мы можем просто умножить сверху и сделайте -5 раз -12, затем разделите ответ на 4. (-5) (- 12) = 60. 60/4 = 15.

b = 15 + 4/5

Если мы хотим превратите это в десятичную дробь, мы знаем, что 1/5 = 0,2. Итак, 4 (1/5) = 4 (0,2) = 0,8.

b = 15+ 0,8

b = 15,8

квадратный корень из 19 — Как найти квадратный корень из 19?

Квадратный корень из 19 выражается как √19 в радикальной форме и как (19) ½ или (19) 0,5 в экспоненциальной форме. Квадратный корень из 19, округленный до 9 знаков после запятой, составляет 4,358898944. Это положительное решение уравнения x 2 = 19.

  • Квадратный корень из 19: 4.358898943540674
  • Квадратный корень из 19 в экспоненциальной форме: (19) ½ или (19) 0.5
  • Квадратный корень из 19 в радикальной форме: √19

Что такое квадратный корень из 19?

Квадратный корень из 19 — это значение, которое получается после извлечения квадратного корня из 19.

Является ли квадратный корень из 19 рациональным или иррациональным?

Невозможно найти такое целое число, которое при возведении в квадрат дает 19. Его можно приблизительно записать в виде квадрата 4,359, которое является неповторяющимся и не завершающим десятичным числом.Это показывает, что это не идеальный квадрат, что также доказывает, что квадратный корень из 19 является иррациональным числом.

Советы и хитрости:

  • 19 не является точным квадратом, следовательно, его квадратный корень является иррациональным числом. Отсюда следует, что квадратный корень из любого числа «n», которое не является полным квадратом, всегда будет иррациональным числом.

Как найти квадратный корень из 19?

Квадратный корень из 19 находится с помощью следующих шагов:

  • Шаг 1 : Проверьте, является ли число точным квадратом.

19 не является точным квадратом, так как его нельзя разбить на произведение двух одинаковых чисел.

  • Шаг 2 : После проверки номера необходимо выполнить следующие процессы:
  1. Если число представляет собой полный квадрат, его можно записать в следующем формате: x 2 = x.
  2. Если число не является точным квадратом, квадратный корень определяется методом деления в столбик.Его также можно записать в упрощенной радикальной форме квадратного корня.

В этом случае число 19 не является точным квадратом, поэтому его квадратный корень находится с использованием метода деления в долгую. Упрощенная радикальная форма квадратного корня из 19 приведена ниже.

Упрощенная радикальная форма квадратного корня из 34

19 может быть записано как произведение 1 и 19. Оно задается как:

19 = 1 × 19

19 не является точным квадратом, поэтому остается в пределах корней.Упрощенная радикальная форма квадратного корня из 19: 19.

Квадратный корень из 34 методом длинного деления

Значение квадратного корня из 19 методом деления в длину состоит из следующих шагов:

  • Шаг 1 : Начиная справа, мы объединим цифры в пары, поместив над ними полосу.
  • Шаг 2 : Найдите такое число, что при умножении его на само полученное значение будет меньше или равно 19. Итак, число равно 4.Положив делитель как 4, мы получим частное как 4, а остаток как 3.
  • Шаг 3 : Удвойте частное и введите его с пробелом справа. Угадайте наибольшую возможную цифру, чтобы заполнить пробел, который также станет новой цифрой в частном, так что когда новый делитель умножается на новое частное, произведение меньше или равно деленному. Разделите и запишите остаток. Повторите этот процесс, чтобы получить нужные десятичные разряды.

Следовательно, 19 = 4.358

Исследуйте квадратные корни с помощью иллюстраций и интерактивных примеров.

Сложные вопросы:

  • Как Хейли найдет квадратный корень из 19, используя метод деления в длину до 6 знаков после запятой?
  • Как Билли выразит квадратный корень 57 через квадратный корень 19?

Квадратный корень из 19 решенных примеров

  1. Пример 1 : Можете ли вы найти два последовательных числа, между которыми лежит квадратный корень из 19?

    Решение

    Идеальные квадраты, ближайшие к 19, — это 16 и 25.Квадратный корень из 16 равен 4. Квадратный корень из 25 равен 5.
    Таким образом, 4 и 5 — это два числа, между которыми лежит квадратный корень из 19.

  2. Пример 2 : Является ли квадратный корень из 38 удвоенным квадратным корнем из 19?

    Решение

    38 можно выразить как 38 = 2 × 19. Взяв половину квадратного корня из 38, он получит

    .

    38/2 = ( 2 × 19) / 2 = 19/ 2 = 19/2

    Квадратный корень из 19 равен 19.Следовательно, квадратный корень из 38 не является двойным квадратным корнем из 19.

  3. Пример: Если площадь поверхности куба 114 дюймов 2 . Найдите длину стороны куба.

    Решение:

    Пусть ‘a’ будет длиной стороны куба.
    ⇒ Площадь куба = 6a 2 = 114 дюймов 2
    ⇒ a = ± √19 в
    Поскольку длина не может быть отрицательной,
    ⇒ a = √19
    Мы знаем, что квадратный корень из 19 равен 4.359.
    ⇒ a = 4,359 дюйма

перейти к слайду перейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе по простым подсказкам

Занимаясь заучиванием наизусть, вы, вероятно, забудете концепции. С Cuemath вы будете учиться наглядно и будете удивлены результатами.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 19

Что такое квадратный корень из 19?

Квадратный корень из 19 равен 4.35889.

Почему квадратный корень из 19 является иррациональным числом?

Число 19 простое. Это означает, что число 19 беспарно и не в степени 2. Следовательно, квадратный корень из 19 иррационален.

Что такое квадратный корень из 7 из 19?

Квадратный корень из 19 равен 4,359. Следовательно, 7 √19 = 7 × 4,359 = 30,512.

Что такое квадрат квадратного корня из 19?

Квадрат квадратного корня из 19 — это само число 19 i.е. (√19) 2 = (19) 2/2 = 19.

Число 19 — это идеальный квадрат?

Число 19 простое. Это означает, что квадратный корень из 19 не может быть выражен как произведение двух равных целых чисел. Следовательно, число 19 — не идеальный квадрат.

Что такое квадратный корень из 19 в простейшей радикальной форме?

Число 19 — простое число. Это означает, что число 19 беспарно и не в степени 2. Следовательно, радикальная форма квадратного корня из 19 не может быть далее упрощена.

метод завершения квадрата

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Метод завершения квадрата: Стандартная форма квадратного уравнения — ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0

Для нахождения корней методом завершения квадрата используются следующие шаги:

1 ) a $ x ^ {2} $ + bx + c = 0 2x 2 + 9x — 20 = 0 a = 2, b = 9 и c = -20
2) Разделить на «a» с обеих сторон
$ x ^ {2} $ + bx / a + c / a = 0
Разделить на «2» с обеих сторон
$ x ^ {2} $ + 9x / 2 -10 = 0
3) добавить — c с обеих сторон
$ x ^ {2} $ + bx / a + c / a = 0
— c / a = –c / a
——- —————
$ x ^ {2} $ + bx / a = -c / a
добавить + 10 с обеих сторон
$ x ^ {2} $ + 9x / 2 — 10 = 0
+10 = –20
———————
$ x ^ {2} $ + 9x / 2 = 10
4) добавить $ b ^ {2} $ / 4 $ a ^ {2} $ с обеих сторон
$ x ^ {2} $ + bx / a + $ b ^ {2} $ / 4 $ a ^ {2} $ = — c / a + $ b ^ {2} $ / 4 $ a ^ {2} $
добавить $ 9x ^ {2} $ / 4 x $ 2 ^ {2} $ = 81/16
$ x ^ {2} $ + 9x / 2 + 81/16 = 10 + 81/16
5) $ (x + b / 2a) ^ {2} = — c / a + b ^ {2} / 4a ^ {2} $ $ (x + 9/4) ^ {2} $ = (160 + 81) / 16
6) $ (x + b / 2a) ^ {2} = (-4ac + b ^ {2}) / 4a ^ {2} $ (x + 9/4) ^ {2} $ = 241/16
7) $ (x + b / 2a) ^ {2} = (b ^ {2} — 4ac) / 4a ^ {2} $ $ ( x + 9/4) ^ {2} $ = 241/16
8) Извлечение квадратного корня с обеих сторон
(x + b / 2a) = $ \ pm (\ sqrt (b ^ {2} $ — 4ac) / 2a
Получение квадратного корня с обеих сторон
(x + 9/4) = $ \ pm $ √241 / 4
9) Добавить — b / 2a с обеих сторон
x = — b / 2a ± (√b 2 — 4ac) / 2a
Сложить — 9/4 с обеих сторон
x = — 9/4 ± √241 / 4
10) x = (- b ± √b 2 — 4ac) / 2a x = (- 9 ± √241) / 4

Корни o е уравнения: (- 9 + √241) / 4 и (- 9 — √241) / 4

Самый простой способ найти корни уравнения, заполнив квадратный метод:

Как мы знаем, топор 2 + bx + c = 0 — стандартное квадратное уравнение.

1) Переместите букву c на другую сторону.
2) Сделайте старший коэффициент равным 1.
3) Добавьте (-b / 2a) 2 с обеих сторон уравнения. Тогда левая часть будет идеальным квадратом, и затем решите его, чтобы найти корни уравнения.

Примеры:

1) Найдите корни уравнения 9x 2 — 15x + 6 = 0, используя метод завершающих квадратов.

Решение:
9x 2 — 15x + 6 = 0

9x 2 — 15x = — 6

Здесь ведущий коэффициент = a = 9, b = -15 и c = 6

Divide все уравнение на 9, получаем

x 2 — 15x / 9 = — 6/9

x 2 — 5x / 3 = — 2/3

Теперь прибавляем (-b / 2a) 2 = — [- 5 / (2 x 3)] 2 = (5/6) 2 обе стороны

x 2 — 5x / 3 + (5/6) 2 = -2 / 3 + (5/6) 2

(x — 5/6) 2 = -2/3 + 25/36

(x — 5/6) 2 = (-24 + 25) / 36

(x — 5/6) 2 = 1/36

x — 5/6 = ± 1/6

∴ x = 5/6 ± 1/6

x = 5/6 + 1/6 или x = 5/6 — 1/6

x = 6/6 = 1 или x = 4/6 = 2/3

Итак, корни уравнения равны 1 и 2/3.

________________________________________________________________
2) Найдите корни уравнения 2x 2 — 5x + 3 = 0 методом завершающих квадратов.

Решение:
2x 2 — 5x + 3 = 0

2x 2 — 5x = — 3

Здесь ведущий коэффициент = a = 2, b = -5 и c = 3

Divide все уравнение на 2, получаем

x 2 — 5x / 2 = — 3/2

x 2 — 5x / 2 = — 3/2

Теперь прибавляем (-b / 2a) 2 = — [- 5 / (2 x 2)] 2 = (5/4) 2 обе стороны

x 2 — 5x / 2 + (5/4) 2 = -3 / 2 + (5/4) 2

(x — 5/4) 2 = -3/2 + 25/16

(x — 5/4) 2 = (-24 + 25) / 16

(x — 5/4) 2 = 1/36

x — 5/4 = ± 1/4

∴ x = 5/4 ± 1/4

∴ x = 5/4 + 1/4 или x = 5/4 — 1/4

∴ x = 6/4 = 3/2 или x = 4/4 = 1

Итак, корни уравнения — 3/2 и 1.


Введение квадратного уравнения

• Разделение среднего члена
• Завершение квадратичного метода
• Факторизация с использованием квадратной формулы
• Решенные задачи на квадратном уравнении

Домашняя страница

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Завершение кв. Квадратичная формула

Содержание | Дом

Вернуться в раздел 1

Завершение квадрата

Квадратичная формула

Дискриминант

Доказательство квадратичной формулы

В УРОК 18 мы увидели технику, называемую завершением квадрата.Теперь мы применим его к решению квадратного уравнения.

Завершение квадрата

Если мы попытаемся решить это квадратное уравнение факторингом,

x 2 + 6 x + 2 = 0
мы не можем. Поэтому доделаем квадрат. Сделаем квадратичную форму
a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 .

Этот метод действителен только тогда, когда коэффициент x 2 равен 1.

1) Переставьте постоянный член вправо

x 2 + 6 x = −2.

2) Прибавьте квадратное число к обеим сторонам — прибавьте квадрат к половине с коэффициентом x . В этом случае сложите квадрат половины 6; то есть сложить квадрат 3, что составляет 9:

x 2 + 6 x + 9 = −2 + 9.

Левая часть теперь представляет собой идеальный квадрат ( x + 3).

( x + 3) 2 = 7.

3 — это половина коэффициента 6.

Это уравнение имеет вид

2 = б
, что подразумевает
= ±.
Следовательно,
x + 3 = ±
x = −3 ±.

То есть решения до

x 2 + 6 x + 2 = 0

— сопряженная пара,

−3 +, −3 -.

Чтобы узнать о методе проверки этих корней, см. Теорему о сумме и произведении корней: Урок 10 тем в Precalculus,

В Уроке 18 есть примеры и задачи, в которых коэффициент x является нечетным. Кроме того, некоторые из приведенных ниже квадратиков имеют комплексные корни, а некоторые включают упрощающие радикалы.

Задача 6. Решите каждое квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Чтобы увидеть ответ, наведите курсор на
слева направо над цветной областью.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

а) x 2 -2 x -2 = 0 б) x 2 -10 x + 20 = 0
x 2 -2 x = 2 x 2 -10 x = −20
x 2 -2 x + 1 = 2 + 1 x 2 -10 x + 25 = −20 + 25
( x — 1) 2 = 3 ( x — 5) 2 = 5
x — 1 = ± x — 5 = ±
x = 1 ± x = 5 ±
в) x 2 -4 x + 13 = 0 г) x 2 + 6 x + 29 = 0
x 2 -4 x = −13 x 2 + 6 x = −29
x 2 -4 x + 4 = −13 + 4 x 2 + 6 x + 9 = −29+ 9
( x — 2) 2 = −9 ( x + 3) 2 = −20
x — 2 = ± 3 i x + 3 = ±
x = 2 ± 3 и x = −3 ± 2 i
e) x 2 -5 x -5 = 0 е) x 2 + 3 x + 1 = 0
x 2 -5 x = 5 x 2 + 3 x = -1
x 2 -5 x + 25/4 = 5 + 25/4 x 2 + 3 x + 9/4 = -1 + 9/4
( x — 5/2) 2 = 5 + 25/4 ( x + 3/2) 2 = — 1 + 9/4
x — 5/2 = ± x + 3/2 = ±
x = x =

Проблема 7.Найдите два числа, сумма которых равна 10, а произведение равно 20.

х = 5 ±

Согласно теореме о сумме и произведении корней, они являются решениями задачи 6b выше.

Квадратичная формула

Вот формула для нахождения корней любой квадратичной. Это доказывается завершением квадрата. Другими словами, квадратная формула завершает квадрат за нас.

Теорема. Если

топор 2 + bx + c = 0,

, затем

Два корня справа. Один корень имеет знак плюса; другой — знак минус. Если квадратный корень иррационален, то два корня являются сопряженной парой.

Если мы назовем эти два корня r 1 и r 2 , то квадратичный фактор можно разложить на

.

( x r 1 ) ( x r 2 ).

Мы докажем квадратную формулу ниже.

Пример 4. Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы решить это квадратное уравнение:

3 x 2 + 5 x — 8 = 0

Решение . Имеем: a = 3, b = 5,
с = −8.

Следовательно, по формуле:

То есть

x = −5 + 11
6
или −5 — 11
6
x = 6
6
или −16
6
x = 1 или — 8
3
.

Это два корня. И они рациональны. Когда корни рациональны, мы могли бы решить уравнение факторизацией, что всегда является самым простым методом.

3 x 2 + 5 x — 8 = (3 x + 8) ( x — 1)
x = 8
3
или 1.

Задача 8. Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти корни каждого квадратичного уравнения.

а) x 2 -5 x + 5

a = 1, b = −5, c = 5.

б) 2 x 2 -8 x + 5

a = 2, b = −8, c = 5.

в) 5 x 2 -2 x + 2

a = 5, b = −2, c = 2.

x =
= = = 2 ± 6 i
10
= 1 ± 3 i
5

Дискриминант

Подкоренное выражение b 2 -4 ac называется дискриминантом.Если дискриминант

Квадратный номер : Корни рациональны.
Положительное, но не квадратное число : Корни настоящие и сопряженные.
Отрицательный : Корни сложные, сопряженные.
Ноль : Корни рациональные и равные — i.е. двойной корень.

Задача 9. Показать: Если корни ax 2 + bx + c сложны, а a, b, c положительны, то

2 a b + c > 0.

Поскольку корни комплексные, то дискриминант b 2 -4 ac b 2 ac.

Сейчас, 2 a b + c > 0 тогда и только тогда, когда

b a + c

тогда и только тогда, когда

b 2 a 2 + 4 ac + c 2 ,

, что верно.Поскольку, поскольку b 2 ac, это меньше 4 ac плюс положительная величина. 4 a 2 и c 2 положительны.

Студент должен знать логическое выражение

тогда и только тогда, когда.

Доказательство квадратичной формулы

Чтобы доказать формулу корней квадратного уравнения, заполним квадрат. Но для этого коэффициент x 2 должен быть равен 1.Следовательно, мы разделим обе части исходного уравнения на a :

.

при умножении c и a на 4 a , что делает знаменатели одинаковыми (Урок 23),

Это квадратная формула.

Раздел 3: График y = квадратичный

Вернуться в раздел 1

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Синтетическое подразделение и факторинг

синтетический
Дивизион и факторинг
(стр.
4 из 4)

Разделы: Введение,
Наработанные примеры, поиск
нули, факторинговые полиномы


  • Используйте синтетические
    деление, чтобы определить, x
    4 множитель:

    2 x 5
    + 6 x 4 + 10 x 3 6 x 2
    9 х + 4

  • Для x
    4, чтобы быть фактором,
    у вас должно быть x
    = 4 как ноль.С использованием
    эта информация, я сделаю синтетическое деление с x
    = 4 в качестве тестового нуля
    слева:

    Поскольку остаток равен
    ноль, затем x
    = 4 действительно является нулем
    из 2 x 5
    + 6 x 4 + 10 x 3 6 x 2
    9 х + 4,
    итак:

      Да, x
      4 — коэффициент 2 x 5
      + 6 x 4 + 10 x 3 6 x 2
      9 х + 4

  • Найдите все
    коэффициенты 15 x 4
    + x 3 52 x 2 + 20 x + 16
    с помощью синтетического деления.

    Помните, что если x
    = — ноль,
    затем x
    — коэффициент.
    Так что используйте Rational
    Тест корней (и
    может быть, быстрый график), чтобы найти хорошее значение для проверки нуля ( x -перехват).
    Попробую х
    = 1:

    Этот раздел дает
    нулевой остаток, поэтому x
    = 1 должен быть нулем,
    что означает, что x
    1 — фактор.Поскольку я разделил линейный коэффициент (а именно, x
    1) из оригинала
    полином, тогда мой результат должен быть кубическим: 15 x 3
    + 16 x 2 36 x 16.
    Поэтому мне нужно найти еще один ноль, прежде чем я смогу применить квадратичный
    Формула. Больной
    попробуйте x
    = 2:

    Поскольку у меня нулевой остаток,
    затем x
    = 2 является нулем, поэтому
    х
    + 2 — фактор.Кроме того, теперь я уменьшил квадрат до 15 x 2
    14 х 8,
    что происходит с коэффициентом:

    Тогда полностью учтенный
    форма исходного многочлена:

      15 x 4
      + x 3 52 x 2 + 20 x + 16

  • Дано
    что
    это ноль x 4
    + 6 x 3 7 x 2 30 x + 10,
    полностью решить уравнение
    x 4
    + 6 x 3 7 x 2 30 x + 10 =
    0.

    Поскольку они дали
    мне один из нулей, я использую синтетическое деление, чтобы разделить его:

    (Вы, вероятно, захотите
    использовать черную бумагу для вычислений
    требуется при манипулировании корневым корнем.)
    Авторские права Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

    Так как вы получаете только эти
    квадратный корень ответы с использованием квадратичного
    Формула и
    так как части формулы квадратного корня предшествует «плюс-минус»
    знак, то эти квадратные корни ответы всегда должны быть парами.Таким образом,
    если
    является корнем, значит, тоже должно
    быть корнем. Итак, мой следующий шаг — разделить на:

    Я начал с
    полином четвертой степени. После первого дивизиона у меня остался
    кубический (с очень
    мерзкие коэффициенты!).
    После второго деления я стал квадратичным ( x 2
    + 0 x
    5 или просто x 2
    5), который я знаю
    как решить:

    Тогда полное решение
    это:


Если вы изучали комплекс
числа, то вы можете увидеть проблему следующего типа.

  • Дано
    что 2 я
    является нулем x 5 6 x 4 + 11 x 3 x 2
    14 x + 5, полностью решить
    уравнение x 5 6 x 4 + 11 x 3 x 2
    14 х + 5 = 0.

    Они дали нам
    ноль, поэтому я воспользуюсь синтетическим делением и разделю 2
    и :

    (Вы, вероятно, захотите
    использовать черную бумагу для вычислений
    требуется при выполнении сложного деления.)

    Напомним, чтобы прибыть
    при нуле 2
    и , они
    должен был использовать квадратичный
    Формула, которая
    всегда выдает сложные ответы парами.То есть вы получаете воображаемое
    часть (часть с « i «)
    от отрицательного значения внутри «плюс-минус квадратный корень из»
    часть Формулы. Это означает, что, поскольку 2
    i — ноль,
    затем 2
    + i также необходимо
    быть нулем. Так что я разделю на 2
    + и :

    Это оставляет мне
    кубический, поэтому мне нужно будет найти еще один ноль самостоятельно.(То есть я не могу
    применить квадратичный
    Формулы пока нет.)
    Я могу использовать Rational
    Тест на корни
    помочь найти потенциальные нули и быстрый график x 3
    2 x 2 2 x + 1
    может помочь. Буду пробовать х
    = 1:

    Теперь я перехожу к квадратичной
    ( х 2
    3 х + 1,
    что случается не с множителем), поэтому я применяю квадратичный
    Формула получения:

    Тогда все нули
    x 5 6 x 4 + 11 x 3 x 2
    14 х + 5
    Выдают:


Примеры выше неоднократно
относятся к соотношению между коэффициентами и нулями.В других уроках
(например, при решении
полиномы), эти
концепции будут уточнены. На данный момент имейте в виду, что проверка
график (если у вас есть графический калькулятор) может быть очень полезным для поиска
проверять нули для выполнения синтетического деления, и что нулевой остаток после
синтетическое деление на x
= a означает, что
х
a — коэффициент
полинома.Если у вас нет доступа к
графический калькулятор, который поможет вам найти нужные нули и попробовать, есть
некоторые уловки
ты можешь использовать.


Для объяснения причин
синтетическое подразделение работает (и для информации о вариантном методе, который
будет работать для нелинейных делителей), посмотрите файл Adobe Acrobat под названием
«Как
Синтетические работы отдела, или «Безумие, скрывающееся за методом»,
написанный Уолтером Кеховски из Глендейлского муниципального колледжа в Аризоне.

<< Предыдущая Вверх | 1
| 2 | 3 | 4
|
Вернуться к индексу

Цитируйте эту статью
как:

Стапель, Елизавета.
«Синтетическое подразделение и факторинг». Purplemath .
Доступно по номеру
https://www.purplemath.com/modules/synthdiv4.{2} = 9 \).

Член с квадратным множителем изолирован, поэтому мы начинаем с применения свойства квадратного корня.

На этом этапе разделите «плюс или минус» на два уравнения и решите каждое отдельно.

Решения: \ (- 2 \) и \ (- 8 \).

В дополнение к меньшему количеству шагов этот метод позволяет нам решать уравнения, которые не учитывают множители.

Завершение площади

В этом разделе мы разработаем способ переписать любое квадратное уравнение вида

\ (a x ^ {2} + b x + c = 0 \)

как уравнение вида

Этот процесс называется , завершение квадрата 4 .{2} = \ color {Cerulean} {1} \)

Чтобы завершить квадрат, добавьте \ (1 \) к обеим сторонам, завершите квадрат и затем решите, извлекая корни.

На этом этапе разделите «плюс или минус» на два уравнения и решите каждое отдельно.

Ответ :

Решения: \ (- 8 \) и \ (6 \).

Примечание

В предыдущем примере решения — целые числа. Если это так, то исходное уравнение будет учитываться.

Если уравнение множится, мы можем решить его путем факторизации.{2} — 10 х + 26 = 0 \).

Решение

Начните с вычитания \ (26 \) из обеих частей уравнения.

Здесь \ (b = -10 \), и мы определяем значение, завершающее квадрат, следующим образом:

Чтобы получить квадрат, добавьте \ (25 \) к обеим сторонам уравнения.

Разложите на множители, а затем решите, извлекая корни.

Ответ :

Решения: \ (5 \ pm i \).

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Решите, завершив квадрат: \ (x ^ {2} — 2 x — 17 = 0 \). {2} + 18 \), где \ (t \) представляет время через секунды после падения объекта.{2} + 50 \), где \ (t \) представляет время в секундах после падения объекта. Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю? (Округлите до сотых долей секунды.)

  • Какова высота лестницы длиной \ (22 \) футов, если ее основание находится в \ (6 \) футах от здания, на которое она опирается? Округлите до ближайшей десятой доли фута.
  • Высота треугольника равна \ (\ frac {1} {2} \) длине его основания. Если площадь треугольника составляет \ (72 \) квадратных метров, найдите точную длину основания треугольника.
  • Ответ

    1. \ (\ pm 9 \)

    3. \ (\ pm \ frac {1} {3} \)

    5. \ (\ pm 2 \ sqrt {3} \)

    7. \ (\ pm \ frac {3} {4} \)

    9. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {2}} {2} \)

    11. \ (\ pm 2 \ sqrt {10} \)

    13. \ (\ pm i \)

    15. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {5}} {5} \)

    17. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {2}} {4} i \)

    19.\ (\ pm 2 i \)

    21. \ (\ pm \ frac {2} {3} \)

    23. \ (\ pm 2 \ sqrt {2} \)

    25. \ (\ pm 2 i \ sqrt {2} \)

    27. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {10}} {5} \)

    29. \ (- 9, -5 \)

    31. \ (5 \ pm 2 \ sqrt {5} \)

    33. \ (- \ frac {2} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {6}} {3} i \)

    35. \ (\ frac {- 2 \ pm 3 \ sqrt {3}} {6} \)

    37. \ (\ frac {1} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {6}} {6} i \)

    39.{2} = 3 (3 т + 1) \)

  • \ ((3 t + 2) (t-4) — (t-8) = 1-10 t \)
  • Ответ

    1. \ (- 15 \ pm \ sqrt {10} \)

    3. 1 \ (\ pm 2 \ sqrt {2} \)

    5. 1 \ (\ pm i \ sqrt {3} \)

    7. \ (- 15,5 \)

    9. \ (- \ frac {1} {3}, 1 \)

    11. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {5}} {2} \)

    13. \ (\ frac {-3 \ pm \ sqrt {17}} {2} \)

    15. \ (- \ frac {3} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {11}} {2} i \)

    17.\ (\ frac {7 \ pm 3 \ sqrt {3}} {2} \)

    19. \ (\ frac {1 \ pm \ sqrt {17}} {4} \)

    21. \ (\ frac {2 \ pm \ sqrt {5}} {2} \)

    23. \ (\ frac {-3 \ pm \ sqrt {6}} {3} \)

    25. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {10}} {3} \)

    27. \ (\ frac {3 \ pm 2 \ sqrt {6}} {2} \)

    29. 1 \ (\ pm 2 i \)

    31. \ (\ frac {1 \ pm \ sqrt {17}} {4} \)

    33. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {7}} {3} \)

    35. 2 \ (\ pm 2 \ sqrt {5} \)

    37.{2} -6 (6 x + 1) = 0 \)

    Ответ

    1. \ (0.19,1.31 \)

    3. \ (- 0,45,1,12 \)

    5. \ (0,33,0,67 \)

    Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

    1. Создайте собственное уравнение, которое можно решить, извлекая корни. Поделитесь им вместе с решением на доске обсуждений.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован.