Какие углы называются смежными каким свойством они обладают: какие углы называются смежными? Каким свойством они обладают?

Содержание

Урок 6. смежные и вертикальные углы. аксиомы и теоремы — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 6

Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Понятие смежных и вертикальных углов
  • Свойства смежных и вертикальных углов
  • Отличие аксиомы от теоремы

Тезаурус

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Свойства смежных углов:

  • Сумма смежных углов равна 1800.
  • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
  • Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180о.

Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180о.

Давайте докажем это свойство.

Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180о. Свойство доказано.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

  • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 900, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

∠1+ ∠2= 1800 и ∠3+ ∠2= 1800. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

Ответ: ∠ВОК=____0

Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 1800. По условию задачи ∠АОК= 110, то ∠ВОК+ ∠АОК= 1800

∠ВОК+ 110= 1800

∠ВОК= 1800– 110= 1690.

Ответ: ∠ВОК= 1690

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

Варианты ответов:

  1. 1120
  2. 640
  3. 1160
  4. 680

Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 320+ 320= 640. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 1800–∠COD= 1800– 640=1160.

Ответ: 1160

№3. Тип задания: выделение цветом.

Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 1250, ∠BMC= 1150.

∠BМD=____0.

Выделите верный ответ из списка:

600; 300; 750; 900

Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 1800. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 1800–∠AMD= 1800-–1250= 550. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.

∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 1150– 550= 600.

Верный ответ: 600

Урок «Смежные и вертикальные углы»

СМЕЖНЫЕ И
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ
УГЛЫ
Лиманская Инна Викторовна
учитель математики
специалист высшей категории
учитель-методист
МОУ «Амвросиевская школа №6»
Амвросиевского района ДНР

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.
Галилей

«ДА НЕ ВОЙДЁТ СЮДА НИ ОДИН ИЗ ТЕХ,
КТО НЕ ОВЛАДЕЛ ГЕОМЕТРИЕЙ!»

Повторение
Какие углы называются смежными?
Ответ:
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными полупрямыми.
∠ АОВ и ∠СОВ — смежные
ОВ — общая сторона
АО и ОС дополнительные
полупрямые.
А
В
С
О

Повторение
Какими свойствами обладают смежные углы?
Ответ:

Сумма смежных углов равна 180° .
Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
Если угол не развернутый, то его градусная мера меньше 180°.
Угол, смежный с прямым, есть прямой угол.

Найдите пары смежных углов. Объясните, почему эти углы смежные.
А
В
С
М
О
а)
б)
К
Р
Н
Е
О
в)
Т
А
Р
С
г)
А
С
К
М
В
д)
е)
В
С
D
А
F
D
O
A
B

Какие углы называются вертикальными?
Какие углы называются вертикальными?
Ответ:
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.
∠ 1 и ∠ 3- вертикальные
∠ 2 и ∠ 4- вертикальные

1
2
3
4
а
b
Повторение

Каким свойством обладают вертикальные углы?
Каким свойством обладают вертикальные углы?
Ответ:
Вертикальные углы равны.
∠ 1 = ∠ 3
∠ 2 = ∠4
1
2
3
4
Повторение

Найдите пары вертикальных углов. Объясните, почему эти углы являются вертикальными.
а)
А
B
C
D
O
б)
К
Р
Н
Е
О
в)
Т
А
Р
О
B
C
D
г)
С
А
д)
В
D
О
Е
С
А
О
B
D

ТЕСТ ПО ТЕМЕ
«ВЕРТИКАЛЬНЫЕ И
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ»

1. Сумма смежных углов равна…
A. 3600
B. 900
C. 1800

2. Как называется угол меньше 1800, но больше 900?
острый
тупой
прямой
A
B
C

3. Чему равен угол, если смежный с ним равен 470?
1330
470
430
C
B
A

4. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают 6 часов?
тупой
развернутый
прямой
C
B
A

5. Найдите <AOC.
А
В
С
D
О
1030
1030
770
30
C
B
A

6. Найдите <DOB.
А
В
С
D
О
540
360
1260
540
B
A
C

7. Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого.
600 и 1200
900 и 1800
1400 и 700
C
B
A

8. Дан угол 720. Чему равен вертикальный ему угол?
720
1080
180
C
B
A

9. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают три часа?
острый
тупой
прямой
C
B
A

Ответы
1. C
2. B
3. A
4. B
5. B
6. B
7. B
8. C
9. C

Умение решать задачи – практическое искусство, подобное катанию на лыжах, или игре на фортепиано: научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь.
Джордж Пойа

А
О
В
С
Найти:
№ 1

О
А
D
С
В
Найти:
№ 2

А
В
D
С
Найти:
№ 3

№ 4
А
В
С
О
Найти:

А
В
С
О
№ 5
Найти:

А
В
С
О
№ 6
Найти:

А
С
D
В
О
Найти:
№ 7

А
С
D
В
О
Найти:
№ 8

С
А
В
D
О
Найти:
№ 9

С
А
В
D
Найти:
О
№ 10

А
В
С
D
М
О
Найти:
№ 11

Найти:
А
В
С
D
О
Задача 12

С
D
К
М
А
В
О
Найти:
Задача 13

С
D
К
М
А
В
Найти:
О
Задача 14

О
Равны ли
и
?
А
В
С
D
E
Задача 15

А
В
С
D
О
Найти:
Задача 16

А
В
С
D
О
Найти:
Задача 17

А
В
С
Сравните
и
Задача 18

А
В
С
Докажите, что
Задача 19

А
В
С
Докажите, что
Задача 20

О
А
В
С
D
Найдите:
К
Р
Задача 21

Самостоятельная работа
А
С
В
D
2. Начертите угол РОК. Постройте смежный с ним: а)  КОN; б)  РOR.
3. Запишите пары смежных углов, имеющиеся на рисунке:
Е
А
D
C
В
F
4. Запишите пары вертикальных углов, имеющиеся на рисунке:
D
В
А
М
С
N
1. На рисунке изображены прямые АС и ВD, пересекающиеся в точке О. Дополните записи:
ВОС и  . . . — вертикальные,
ВОС и  . . . — смежные,
O
СОD и  . . . — вертикальные,
СОD и  . . . — смежные.

Повторили понятия смежных и вертикальных углов, их свойства
Научились решать задачи

Стали выше еще на одну ступеньку в изучении геометрии
ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ

Рефлексия
«ДЕРЕВО УСПЕХА»
Я молодец!
Мне все понятно
Я старался, но получилось не все
Мне есть над чем поработать

Домашнее задание
§ 6 пункт 11, №65(а), № 67 стр. 25.
*Составить две задачи по готовым чертежам и их решить.

19. Какой угол называется острым, какой – прямым, а какой – тупым?

Острый
угол это угол градусная мера которого
до 90 градусов.

Прямой
угол это угол градусная мера которого
90 градусов

Тупой
угол это угол градусная мера которого
больше 90 градусов.
Острый
угол — это угол меньше 90°. Тупой угол —
это угол больше 90°, но меньше 180°. Прямой
угол — это угол = 90°.

20. Какие углы называются смежными? Чему равна их сумма?

Смежные
углы

— два угла с общей вершиной, одна из
сторон которых — общая, а оставшиеся
стороны лежат на одной прямой (не
совпадая) . Сумма смежных углов равна
180°. Или

Два
угла называются смежными
,
если у них одна сторона общая, а другие
стороны являются дополнительными
лучами. сумма смежных углов равна 180°.
Каждый из этих углов дополняет другой
до развернутого угла.

21. Какие углы называются вертикальными? Каким свойством они обладают?

Вертикальные
углы —

два угла, у которых стороны одного
являются продолжениями сторон другого.
Вертикальные углы равны. (Вертикальными
называются углы,

образованные пересекающимися прямыми
и не являющиеся прилегающими друг к
другу, то есть общей стороны у них нет,
но вертикальные углы имеют вершину в
одной точке. Вертикальные углы равны
между собой).

22.
Какие прямые называются перпендикулярными?


Две
пересекающиеся прямые называются
перпендикулярными

(или взаимно перпендикулярными), если
они образуют четыре прямых угла. Или
Перпендикулярные
прямые
это
прямые пересекающиеся под углом 90
градусов. Или Две прямые, образующие
при пересечении прямые углы, называют
перпендикулярными.

23.
Объясните,
какой отрезок называется перпендикуляром,
проведенным из данной точки к данной
прямой. Что такое основание перпендикуляра?

Перпендикуляром
к данной прямой

называется отрезок прямой, перпендикулярной
к данной, который имеет одним из своих
концов их точку пересечения. Этот конец
отрезка называется основанием
перпендикуляра.
Перпендикуляром
к данной прямой

называется отрезок прямой, перпендикулярной
к данной, который имеет одним из своих
концов их точку пересечения. Конец
отрезка, лежащий на данной прямой,
называется основанием перпендикуляра.

24.
Что такое теорема и доказательство
теоремы?

В
математике утверждение, справедливость
которого устанавливается путем
рассуждений, называется теоремой,
а само рассуждение – доказательством
теоремы.

Теоре́ма
— утверждение, для которого в
рассматриваемой теории существует
доказательство (иначе говоря, вывод) .
В отличие от теорем, аксиомами
называются
утверждения, которые, в рамках конкретной
теории, принимаются истинными без всяких
доказательств или обоснований.
Доказательство

это утверждение, объясняющее теорему.

Теорема
такая
гипотеза, которую требуется доказать;
Гипотеза
всегда требует доказательства.
Доказательство
доводы,
подтверждающие действенность, правильность
теоремы.

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые. Какие углы называются смежными чему равна сумма смежных углов

Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): /
А ВС и /
СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, /
АDF и /
FDВ — углы смежные (черт. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна
2d.

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d
, то второй угол будет равен:

2d
— 3 / 5 d
= l 2 / 5 d
.

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть /
1 = 7 / 8 d
(черт. 76). Смежный с ним /
2 будет равен 2d
— 7 / 8 d
, т. е. 1 1 / 8 d
.

Таким же образом можно вычислить, чему равны /
3 и /
4.
/
3 = 2d
— 1 1 / 8 d
= 7 / 8 d
; /
4 = 2d
— 7 / 8 d
= 1 1 / 8 d
(черт. 77).

Мы видим, что /
1 = /
3 и /
2 = /
4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):

/
a +
/
c
= 2d
;
/
b +
/
c
= 2d
;

(так как сумма смежных углов равна 2d
).

/
a +
/
c
= /
b +
/
c

(так как и левая часть этого равенства равна 2d
, и правая его часть тоже равна 2d
).

В это равенство входит один и тот же угол с
.

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится:
/
a
= /
b
, т. е. вертикальные углы равны между собой.

При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение
вертикальных углов.

Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами
. Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.

В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 /
1, /
2, /
3 и /
4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d
.

На чертеже 80 /
1, /
2, /
3, /
4 и /
5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. /
1 + /
2 + /
3 + /
4 + /
5 = 4d
.

Упражнения.

1. Один из смежных углов равен 0,72 d.
Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.

2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.

3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.

4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?

5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?

6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?

7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?

    Два угла размещнные на одной прямой и имеющие одну вершину называются смежными.

    Иначе — если сумма двух углов на одной прямой равна 180 градусам и одна сторона у них общая, то это смежные углы.

    1 смежный угол + 1 смежный угол = 180 градусов.

    Смежные углы -это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны в целом образуют прямую линию.

    Сумма двух смежных углов всегда равна 180 градусам. К примеру, если один угол 60 градусов, то второй обязательно будет равен 120 градусам (180-60).

    Углы АОС и ВОС являются смежными углами, потому что соблюдается все условия характеристики смежных углов:

    1.ОС -общая сторона двух углов

    2.АО -сторона угла АОС, ОВ -сторона угла ВОС. Вместе эти стороны образуют прямую линию АОВ.

    3.Угла два и сумма их равна 180 градусов.

    Вспоминая школьный курс геометрии, про смежные углы мы можем сказать следующее:

    у смежных углов — одна сторона общая, а другие две стороны принадлежат одной прямой, то есть находятся на одной прямой. Если по рисунку, то углы СОВ и ВОА — это смежные углы, сумма которых всегда равна 180 , так как они разделяют развернутый угол, а развернутый угол всегда равен 180 .

    Смежные углы понятие легкое в геометрии. Смежные углы, угол плюс угол дают 180 градусов в общей сумме.

    Два смежных угла — это будет один развернутый угол.

    Есть еще несколько свойств. Со смежными углами задачи решать и теоремы доказывать легко.

    Смежные углы образуются при проведении луча из произвольной точки прямой. Тогда эта произвольная точка оказывается вершиной угла, луч — общей стороной смежных углов, а прямая от которой проведен луч — двумя оставшимися сторонами смежных углов. Смежные углы могут быть как одинаковыми в случае перпендикуляра, так и отличатся при наклонном луче. Легко понять, что сумма смежных углов равна 180 градусов или попросту прямой линии. По другому этот угол можно объяснить простым примером — вы сперва шли в одном направлении по прямой, потом передумали, решили вернуться назад и развернувшись на 180 градусов отправились по той же прямой в обратном направлении.

    Итак, что же такое смежный угол? Определение:

    Смежными называются два угла с общей вершиной и одной общей стороной, причем две другие стороны этих углов лежат на одной прямой.

    И небольшой видео урок, где толково показано про смежные углы, вертикальные углы, плюс про перпендикулярные прямые, которые являются частным случаем смежных и вертикальных углов

    Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а вторая является одной линией.

    Смежные углы — это углы, зависящие друг от друга. То есть если общую строну слегка повернуть, то один угол уменьшится на сколько-то градусов и автоматически второй угол увеличится на столько же градусов. Это свойство смежных углов позволяет в Геометрии решать различные задачи и осуществлять доказательства различных теорем.

    Общая же сумма смежных углов всегда равна 180 градусов.

    Из курса геометрии, (насколько я помню за 6 класс) смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами, сумма смежных углов равна 180. Каждый из двух смежных углов, дополняет другой до развернутого угла. Пример смежных углов:

    Смежные углы это два угла с общей вершиной, одна из сторон которых общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна ста восьмидесяти градусам. А вообще все это очень легко находится в гугле или учебнике геометрии.

    Два угла называются смежными, если у них есть общие вершина и одна сторона, а две другие стороны составляют прямую линию. Сумма смежных углов равна 180 градусам.

    На рисунке углы АОВ и ВОС являются смежными.

    Смежными называются углы имеющие общую вершину, одну общую сторону, а другие стороны являются продолжением друг друга и образуют развернутый угол. Замечательным свойством смежных углов является — сумма этих углов всегда равна 180 градусам.

    Углы с общей вершиной и одной общей стороной в геометрии называются смежными

    Сумма смежных углов равна 180 градусов

    Нужно отметить тот факт, что у смежных углов синусы равны

    Что бы узнать больше про смежные углы — читайте вот здесь

2)Сколько общих точек могут иметь 2 прямые?
3)Объясните что такое отрезок?
4)Объясните что такое луч.Как обозначаются лучи?
5)Какая фигура называется углом?Объясните что такое вершина и стороны угла?
6)Какой угол называется развернутым?
7)Какие фигуры называют равными?
8)Объясните как сравнить 2 отрезка
9)Какая точка называется серединой отрезка?
10)Объясните как сравнить 2 угла.
11)Какой луч называется биссектрисой угла?
12)Точка С делит отрезок АВ на 2 отрезка.Как найти длину отрезка АВ если известны длины отрезков АС и СВ?
13)Какими инструментами пользуются для измерения расстояний?
14)Что такое градусная мера угла?
15)Луч ОС делит угол АОВ на 2 угла. Как найти градусную меру угла АОВ если известны градусные меры углов АОС и СОВ?
16)Какой угол называется острым?прямым?тупым?
17)Какие углы называют смежными?Чему равна сумма смежных углов?
18)Какие углы называются вертикальными?Каким свойством обладают вертикальные углы?
19)Какие прямы называются перпендикулярными?
20)Объясните почему 2 прямые перпендикулярные к 3-ей не пересекаются?
21)Какие приборы применяют для построения прямых углов на местности?

1сколько прямых можно провести через две точки?

2сколько общих точек могут иметь две прямые?
3обьясните что такое отрезок
4обьясните что такое луч.Как обозначаются лучи?
5какая фигура называется углом? обьясните что такое вершина и стороны угла
6какой угол называется развёрнутым
7какие фигуры называются равными
8обьясните как сравнить два отрезка
9какая точка называется серединой отрезка
10обьясните как сравнить два угла
11какой луч называется биссектрисой угла
12точка с делит отрезок аб на два отрезка.Как найти длину отрезка аб если известны длины отрезков ас и сб
13какими инструментами пользуются для измерения расстояний
14что такое градусная мера угла
15луч ос делит угол аоб на два угла.Как найти градусную меру угла аоб,если известны меры углов аос в соб
16какой угол называется острым?,прямым?,тупым?.
17какие углы называются смежными?чему равна сумма смежных углов?
18какие углы называются вертикальными?каким свойством обладают вертикальные углы
19какие прямые называются перпендикулярными
20обьясните почему две прямые перпендикулярные к третьей не пересикаются
21какие приборы применяют для построения прямых углов на местности?

1)что такое градусная мера угла? 2)какие фигуры называются равными 3)какие углы называются смежными,чему равна сумма смежныхуглов 4)какие углы называются

вертикальными каким свойством обладают вертикальные углы 5)

Помогите плиз, !! плизз=**

7. Докажите, что если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.

8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перепендикулярна одной из двух параллелных прямых, то она перепендикулярна и другой.

9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.

10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.

11. Что такое внешний угол треугольника?

12. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

13. Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

14. Какой треугольник называется прямоугольным?

15. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?

16. Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны называются катетами?

17. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

18. Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

19. Что называется расстоянием от точки до прямой?

20. Объясните, что такое расстояние между параллельными прямыми.

Вопрос 1.
Какие углы называются смежными?
Ответ.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a 1 b) и (a 2 b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a 1 и a 2 являются дополнительными полупрямыми.

Вопрос 2.
Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
Ответ.
Теорема 2.1.
Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство.
Пусть угол (a 1 b) и угол (a 2 b) — данные смежные углы (см. рис.31). Луч b проходит между сторонами a 1 и a 2 развёрнутого угла. Поэтому сумма углов (a 1 b) и (a 2 b) равна развёрнутому углу, т. е. 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 3.
Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ.

Из теоремы 2.1
следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Допустим, углы (a 1 b) и (c 1 d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a 2 b) и (c 2 d) тоже равны.
Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a 1 b + a 2 b = 180° и c 1 d + c 2 d = 180°. Отсюда, a 2 b = 180° — a 1 b и c 2 d = 180° — c 1 d. Так как углы (a 1 b) и (c 1 d) равны, то мы получаем, что a 2 b = 180° — a 1 b = c 2 d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a 2 b = c 2 d. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4.
Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ.
Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Угол, меньший 90°, называется острым углом.
Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Вопрос 5.
Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
Ответ.
Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол: x + 90° = 180°, x= 180° — 90°, x = 90°.

Вопрос 6.
Какие углы называются вертикальными?
Ответ.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вопрос 7.
Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ. Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство.
Пусть (a 1 b 1) и (a 2 b 2)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a 1 b 2) является смежным с углом (a 1 b 1) и с углом (a 2 b 2). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a 1 b 1) и (a 2 b 2) дополняет угол (a 1 b 2) до 180°, т.е. углы (a 1 b 1) и (a 2 b 2) равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 8.
Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ.
Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.

Вопрос 9.
Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
Ответ.
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Перпендикулярность прямых обозначается знаком \(\perp\). Запись \(a\perp b\) читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».

Вопрос 10.
Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Ответ. Теорема 2.3.
Через каждую прямую можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство.
Пусть a — данная прямая и A — данная точка на ней. Обозначим через a 1 одну из полупрямых прямой a с начальной точкой A (рис. 38). Отложим от полупрямой a 1 угол (a 1 b 1), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч b 1 , будет перпендикулярна прямой a.

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c 1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b 1 .
Углы (a 1 b 1) и (a 1 c 1), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a 1 . Но от полупрямой a 1 в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.

Вопрос 11.
Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ.
Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием
перпендикуляра.

Вопрос 12.
Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ.
Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы cначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Вопрос 13.
Что называется биссектрисой угла?
Ответ.
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

Что такое смежный угол

Угол
– это геометрическая фигура (рис.1), образованная двумя лучами OA и OB (стороны угла), исходящими из одной точки O (вершина угла).


СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
— два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла.

Смежные углы
— (Agles adjacets) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

рис. 2

На рисунке 2 углы a1b и a2b смежные. У них общая сторона b, а стороны a1, a2 — дополнительные полупрямые.

рис. 3

На рисунке 3 изображена прямая AB, точка C расположена между точками A и B. Точка D — точка не лежащая на прямой AB. Получается, что углы BCD и ACD смежные. У них общая сторона CD, а стороны CA и CB дополнительные полупрямые прямой AB, так как точки A, B разделены начальной точкой C.

Теорема о смежных углах

Теорема:
сумма смежных углов равна 180°

Доказательство:

Углы a1b и a2b смежные (см. рис. 2) Луч b проходит между сторонами a1, и a2 развернутого угла. Следовательно, сумма углов a1b и a2b равна развернутому углу, то есть 180°. Теорема доказана.

Угол, равный 90° называется прямым. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом также прямой угол. Угол, меньший 90° называется острым, а угол больше 90° — тупым. Так как сумма смежных углов равна 180°, значит угол, смежный с острым углом — тупой угол. А угол смежный с тупым углом — острый угол.

Смежные углы
— два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Определение 1.
Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Определение 1.1.
Углом называют фигуру, состоящую из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла.
Например, угол ВОС на рис1 Рассмотрим сначала две пересекающиеся прямые. При пересечении прямые образуют углы. Есть частные случаи:

Определение 2.
Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым.

Определение 3.
Прямой угол — это угол величиной в 90 градусов.

Определение 4.
Угол, меньший 90 градусов, называется острым углом.

Определение 5.
Угол, больший 90 градусов и меньший 180 градусов, называется тупым углом.
пересекающиеся прямые.

Определение 6.
Два угла, одна сторона которых общая, а другие стороны лежат на одной прямой, называются смежными.

Определение 7.
Углы, стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами.
На рисунке 1:
смежные: 1 и 2; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 1
вертикальные: 1 и 3; 2 и 4
Теорема 1.
Сумма смежных углов равна 180 градусов.
Для доказательства рассмотрим на рис. 4 смежные углы АОВ и ВОС. Их суммой является развернутый угол АОС. Поэтому сумма данных смежных углов равна 180 градусов.

рис. 4

Связь математики с музыкой

«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства.»
Г. Нейгауз
Казалось бы, искусство — весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика — самая абстрактная из наук, а музыка — наиболее отвлеченный вид искусства.
Консонанс определяет приятное для слуха звучание струны
В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых — Пифагора и Архита. Вот эти законы:
1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.
2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .
w = a: l ,
где а — коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

Так же предложу вашему внимаю забавную пародию про спор двух математиков =)

Геометрия вокруг нас

Геометрия в нашей жизни имеет немаловажное значение. Ввиду того, что когда оглядеться вокруг, то не сложно будет заметить, что нас окружают различные геометрические фигуры. Мы с ними сталкиваемся повсюду: на улице, в классе, дома, в парке, в спортивном зале, в школьной столовой, в принципе везде, где бы мы с вами не находились.
Но темой сегодняшнего урока являются смежные угли. Поэтому давайте оглянемся вокруг и попытаемся в этом окружении найти углы. Если вы внимательно посмотрите в окно, то можете увидеть, что некоторые ветки дерева образуют смежные углы, а в перегородках на воротах можно заметить множество вертикальных углов.
Приведите свои примеры смежных углов, которые вы наблюдаете в окружающей обстановке.

Задание 1.

1. Вот на столе на книжной подставке стоит книга. Какой угол она образует?
2. А вот ученик работает за ноутбуком. Какой угол вы видите здесь?
3. Какой угол образует фото рамка на подставке?
4. Как вы думаете, возможно ли, чтобы два смежных угла были равными?

Задание 2.

Перед вами изображена геометрическая фигура. Что это за фигура, назовите ее? А теперь назовите все смежные углы, которые вы можете увидеть на этой геометрической фигуре.

Задание 3.

Перед вами изображение рисунка и картины. Рассмотрите их внимательно и скажите, какие виды улов вы видите на картине, а какие углы на рисунке.

Решение задач

1) Даны два угла, относящиеся друг к другу как 1: 2, а смежные с ними — как 7: 5. Нужно найти эти углы.
2) Известно, что один из смежных углов больше другого в 4 раза. Чему равны смежные углы?
3) Необходимо найти смежные углы, при условии, что один из них на 10 градусов больше от второго.

Математический диктант на повторение ранее выученного материала

1) Выполните рисунок: прямые a I b пересекаются в точке А. Отметьте меньший из образованных углов цифрой 1, а остальные углы – последовательно цифрами 2,3,4; дополняющие лучи прямой а — через а1 и а2, а прямой b — через b1 i b2.
2) Пользуясь выполненным рисунком, впишите нужные значения и объяснения в места пропусков в тексте:
а) угол 1 и угол …. смежные, поскольку…
б) угол 1 и угол …. вертикальные, поскольку…
в) если угол 1 = 60°, то угол 2 = …, потому что…
г) если угол 1 = 60°, то угол 3 = …, потому что…

Решите задачи:

1. Может ли сумма 3-х углов, образованных при пересечении 2-х прямых, равняться 100°? 370°?
2. На рисунке найдите все пары смежных углов. А теперь вертикальных углов. Назовите эти углы.

3. Нужно найти угол, когда он втрое больше, чем смежный с ним.
4. Две прямые пересеклись между собой. В результате этого пересечения образовались четыре угла. Определите величину любого из них, при условии что:

а) сумма 2-х углов из четырех 84°;
б) разность 2-х углов из них равна 45°;
в) один угол в 4 раза меньше чем второй;
г) сумма трех из данных углов равна 290°.

Итог урока

1. назовите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых?
2. Назовите все возможные пары углов, находящихся на рисунке, и определите их вид.

Домашнее задание:

1. Найдите отношение градусных мер смежных углов, когда один из них на 54° больше второго.
2. Найдите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых, при условии, что один из углов равняется сумме 2-х других углов, смежных с ним.
3. Необходимо найти смежные углы, когда биссектриса одного из них образует со стороной второго угол, который больше чем второй угол на 60°.
4. Разница 2-х смежных углов равна трети от суммы этих двух углов. Определите величины 2-х смежных углов.
5. Разница и сумма 2-х смежных углов относятся как 1: 5 соответственно. Найдите смежные углы.
6. Разница двух смежных составляет 25% от их суммы. Как относятся величины 2-х смежных углов? Определите величины 2-х смежных углов.

Вопросы:

  1. Что такое угол?
  2. Какие бывают типы углов?
  3. Какая особенность смежных углов?

Предмети > Математика > Математика 7 класс

Зачёт по геометрии 7 класс

Задачи для зачёта здесь страницы с 4 по 40.

Вопросы к зачёту по геометрии 7 класс

1.Сколько прямых можно провести через две точки? Сколько общих точек могут иметь две прямые?
2. Какой луч называется биссектрисой угла? Что такое градусная мера угла?
3.Какой угол называется острым, прямым, тупым, развёрнутым?
4. Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смежных углов?
5. Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы?
6. Какие прямые называются перпендикулярными? Какая фигура называется треугольником? Начертите, покажите стороны и вершины.
7. Первый признак равенства треугольников.
8. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник? 
9. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник? 
10. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?
11. Теорема о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой.
12. Какой треугольник называется равнобедренным? Какой треугольник называется равносторонним? Какими свойствами они обладают?
13. Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника.
14. Второй признак равенства треугольника?
15. Третий признак равенства треугольника?
16. Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?
17. Объясните, как отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному.
18. Объясните, как отложить на данном луче от его начала угол, равный данному.
19. Объясните, как построить биссектрису данного угла?
20. Дайте определение параллельных прямых? Какие два отрезка называются параллельными?
21. Что такое секущая? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей.
22. Перечислите признаки параллельности прямых.
23. Что такое аксиома? Сформулируйте аксиому параллельных прямых.
24. Какая теорема называется обратной? Перечислите свойства параллельных прямых.
25. Теорема о сумме углов треугольника.
26. Какой угол называется внешним углом треугольника? Теорема о внешнем угле треугольника.
27. Какой треугольник называется остроугольным, тупоугольным, прямоугольным? Назовите стороны прямоугольного треугольника.
28. Соотношение между сторонами и углами треугольника.
29. Что такое неравенство треугольника?
30. Свойства прямоугольных треугольников.
31. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
32. Объясните, какой отрезок называется наклонной, проведённой из данной точке к данной прямой. Что называется расстоянием от точки до прямой?
33. Объясните, как построить треугольник: а) по двум сторонам и углу между ними; б) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Конспект урока по геометрии Смежные и вертикальные углы. 7 класс

Конспект урока

ФИО учителя: Лола Ирина Ивановна

ОУ:Туманнеская ООШ территориального образования: МО Кольский район Мурманской области

Тема урока: Смежные и вертикальные углы.

Класс: 7, уровень: базовый

Количество часов: 2 часа

Тип урока: урок изучения нового материала.

Стратегия обучения: стратегия взаимообучения (через вопросительные слова).

Цели:

1) предметные (когнитивные):

а) сформировать понятия смежных и вертикальных углов;

б) называть смежные и вертикальные, распознавать смежные и вертикальные углы, приводить примеры смежных и вертикальных углов;

в) знать свойства смежных и вертикальных углов;

г) уметь решать задачи на смежные и вертикальные углы.

2) метапредметные (развивающие):

а) способствовать развитию умений учащихся проводить анализ, синтез, сравнение, делать вывод;

б) создать ситуацию для развития умений работать с учебной информацией, выделять главное и характерное;

в) обеспечить условия для развития умений грамотно, четко и точно выражать свои мысли, для развития внимательности, наблюдательности.

3) личностные (воспитательные):

а) создать на уроке условия для овладений учащимися навыками самостоятельной учебной деятельности;

б) способствовать формированию навыков самоконтроля у учащихся;

в) способствовать формированию аккуратности, наблюдательности.

Планируемые образовательные результаты:

личностные: формировать умения

— умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи;

— понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры;

— проявлять инициативу, находчивость, активность при решении математических задач;

— умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

— работать в коллективе;

— находить согласованные решения.

2) метапредметные: формировать умения самостоятельно

— принимать решение в условиях неполной и избыточной информации;

— умение выдвигать гипотезы при решении учебных;

— планировать свои действия в соответствии с учебным заданием;

— ставить цели;

— выбирать и создавать (конструировать) алгоритмы решения учебных математических задач.

3) предметные:

— познакомить со смежными углами и ввести их определение;

— познакомить с вертикальными углами и ввести их определение;

— научить решать задачи на смежные и вертикальные углы;

— научить применять понятия и свойства смежных и вертикальных углов при решении большого круга задач.

Основные виды учебной деятельности (на уровне учебных действий): учащийся научится

— распознавать смежные и вертикальные углы;

— решать задачи на смежные и вертикальные углы;

— описывать свойства и обосновывать свойства смежных и вертикальных углов;

— применять полученные знания к решению различных видов задач.

УУД:

1)Личностные:

самоопределение (личностное);

— действие смыслообразования, то есть установление учащимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом.

2)Регулятивные:

целеполагание − постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно;

планирование – определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий;

контроль − сличение способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

коррекция – внесение необходимых дополнений и корректив в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его продукта;

оценка − выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения;

— волевая саморегуляция − способность к мобилизации сил и энергии; к волевому усилию, то есть к выбору в ситуации мотивационного конфликта и к преодолению препятствий.

3)Познавательные:

1. ОбщеучебныеУУД:

— самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

поиск и выделение необходимой информации;

структурирование знания;

— осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;

рефлексияспособов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

смысловое чтение как осмысление цели чтения и выбор вида чтения в зависимости от цели;

определение основной и второстепенной информации.

2. Логические УУД:

анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных)

синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельно достраивая, восполняя недостающие компоненты;

обобщение,сравнение,классификация;

подведение под понятия;

построение логической цепи рассуждений,

доказательство.

3. Постановка и решение проблемы:

формулирование проблемы;

самостоятельное создание способов решения проблем.

4)Коммуникативные:

— планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками – определение цели, функций участников, способов взаимодействия;

постановка вопросов – инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;

управление поведением партнера – контроль, коррекция, оценка действий партнера;

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации;

владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с нормами родного языка.

Ход урока:

1 этап урока: мотивация (самоопределение) к учебной деятельности

Прием «Верные и неверные утверждения».

На доске записаны верные и неверные утверждения. До изучения новой темы ученики должны прочитать и поставить «+» там, где они считают, что высказывание верное, а знак «-» там, где неверное. Ученики работают в парах. Затем предлагается учащимся поделиться своим мнением с классом. Заслушав ответы учащихся, учитель заполняет первый столбец таблицы (столбец А). Подводя итоги работы над таблицей, учитель подводит учеников к мысли, что, отвечая на вопросы, мы пока не знаем, правы мы или нет. Ответы на вопросы можно найти, обратившись к ранее изученному материалу и изучив материал параграфа «Смежные и вертикальные углы». Ученики приступают к работе над текстом, а затем, по окончании работы, возвращаются к вопросам, рассмотренным в начале урока, делятся своим мнением с классом. В результате заполняется столбец Б. Но это пока еще не значит, что учащиеся правильно ответили на все вопросы. Окончательно таблица заполняется (столбец В) на стадии рефлексии, после обсуждения полученных результатов.

№ п/п

Утверждения

А

Б

В

Верно (+), неверно (-)

1.

Углы измеряют в градусах

+

2.

Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов

+

3.

Острый угол меньше 900

+

4.

Тупой угол меньше острого угла

5.

При пересечении двух прямых образуется 4 угла

+

6.

Два угла могут иметь общую сторону

+

7.

Стороны одного угла могут являться продолжениями сторон другого угла

+

8.

Равные углы имеют равные градусные меры

+

9.

Прямой угол равен 900

+

10.

Два угла могут иметь общую сторону, а две другие стороны могут быть продолжениями одна другой

+

2 этап урока: актуализация знаний (работа парами)

Задание 1.Учащимся предлагается заполнить таблицу, работая с учебником. В таблице нужно составить в паре друг для друга как можно больше вопросов, используя вопросительные слова из 1-й колонки таблицы и термины из второй колонки таблицы.

Вопросительные слова

Основные понятия темы

Чем?

Как?

Какой?

Что?

Где?

Когда?

Зачем?

Почему?

Сколько?

Откуда?

Каким образом?

Какая взаимосвязь?

Из чего состоит?

Каково назначение?

Луч

Угол

Стороны угла

Вершина угла

Развернутый угол

Градусная мера угла

Прямой угол

Острый угол

Тупой угол

Свойство углов

Прямая

Равные углы

Смежные углы

Вертикальные углы

Как обозначаются углы?

Примеры вопросов:

Что называется, лучом, углом, стороной угла, вершиной угла…

Чем отличается прямая от луча?

Каким свойством обладают углы?

Может ли градусная мера острого угла быть равной 750, 950?

Сколько углов получается при пересечении двух прямых?

Каким образом можно построить угол?

Из чего состоит угол?

Какая взаимосвязь луча и угла?

Где мы видим прямые углы в окружающей нас обстановке?

Как сравнить два угла?

Может ли величина угла быть выражена отрицательным числом?

Как обозначается угол?

Задание 2. Сформулировать тему и цели урока.

3 этап урока. Взаимоопрос по группам (по 2 пары)

Задание 3. Составить друг для друга в каждой паре тонкие и толстые вопросы.

Примеры тонких вопросов.

1. Какие углы называется вертикальными, смежными?

2. Какими свойствами обладают смежные и вертикальные углы?

3. Чему равен угол, вертикальный углу в 470?

4. Могут ли смежные углы быть равными?

5. Всегда ли у смежных углов один угол меньше другого?

6. Чему равен ∠ ВОС, если = 560?

7. Чему равен ∠ ВОС, если ∠ АОД= 1360?

Примеры толстых вопросов.

Почему вертикальные углы равны?

Почему смежные углы в сумме дают 1800?

В чем разница между вертикальными и смежными углами?

Что общего у вертикальных и смежных углов?

Почему угол смежный с острым углом является тупым?

Почему два смежных угла не могут быть одновременно острыми?

4 этап. Взаимоопрос в большой группе.

Задание 4. Найти свою пару.

Учитель половине группы выдает карточки с вопросами, а второй группе карточки с ответами.

Вопросы

Ответы

Какие два угла называются смежными?

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой

Какие два угла называются вертикальными?

Два угла , у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла

Каким свойством обладают смежные углы?

Сумма смежных углов равна 1800

Каким свойством обладают вертикальные углы?

Вертикальные углы равны

Каким является угол смежный с острым углом?

Тупой

Каким является угол смежный с тупым углом?

Острый

Каким является угол смежный с прямым углом?

Прямой

Могут ли два угла быть смежными, если их сумма равна 2000?

Нет

Могут ли два угла быть вертикальными, если их сумма равна 2000?

Да

5 этап. Классическая методика отработки нового материала.

Учитель дает полный образец решения.

Задача1. Прямые АС и ВD пересекаются в точке О, так что ∠СОD = 350. Найдите ∠AОД, ∠ВОС, ∠АОВ.

Дано: Решение.

∠ СОD = 350

Найти:

∠AОД, ∠ВОС, ∠АОВ

∠СОD= ∠АОВ (по свойству вертикальных углов)

∠АОВ= 350

∠ВОС+ ∠АОВ=1800 (по свойству смежных углов)

∠ВОС= 1800— ∠АОВ

∠ВОС= 1800 – 350= 1550

∠АОД= ∠ВОС (по свойству вертикальных углов)

∠АОД= 1550

Ответ: ∠AОД= 1550, ∠ВОС=1550, ∠АОВ= 350

Учитель вызывает к доске ученика, который решает аналогичную задачу с устным комментированием.

Задача2. Прямые АС и ВD пересекаются в точке О, так что ∠АОВ = 570. Найдите ∠AОД, ∠ВОС, ∠ДОС.

Дано: Решение.

∠ АОВ = 570

Найти:

∠AОД, ∠ВОС, ∠ДОС

∠ДОС= ∠АОВ (по свойству вертикальных углов)

∠ДОС= 570

∠ВОС+ ∠АОВ=1800 (по свойству смежных углов)

∠ВОС= 1800— ∠АОВ

∠ВОС= 1800 – 570= 1230

∠АОД= ∠ВОС (по свойству вертикальных углов)

∠АОД= 1230

Ответ: ∠AОД= 1230, ∠ВОС=1230, ∠ДОС= 570

3.Самостоятельное решение учащимися на местах типовых задач с последующей самопроверкой по образцу

Задача 3. Прямые АС и ВD пересекаются в точке О, так что ∠АОD = 1350. Найдите ∠ДОС, ∠ВОС, ∠АОВ.

Образец для самопроверки:

Дано: Решение.

∠ АОD = 1350

Найти:

∠ДОС, ∠ВОС, ∠АОВ

∠ВОС= ∠АОД (по свойству вертикальных углов)

∠ ВОС = 1350

∠ВОС+ ∠АОВ=1800 (по свойству смежных углов)

∠АОВ= 1800— ∠ ВОС

∠ АОВ = 1800 – 1350= 450

∠ ДОС = ∠ АОВ (по свойству вертикальных углов)

∠ ДОС = 450

Ответ: ∠ ВОС = 1350, ∠ АОВ =450, ∠ ДОС = 450

Задача 4. Прямые АС и ВD пересекаются в точке О, так что ∠ВОС = 1260. Найдите ∠ДОС, ∠ АОD, ∠АОВ.

Образец для самопроверки:

Дано: Решение.

∠ ВОС = 1260

Найти:

∠ДОС, ∠ АОD, ∠АОВ

∠АОД =∠ВОС (по свойству вертикальных углов)

∠ АОД = 1260

∠ВОС+ ∠АОВ=1800 (по свойству смежных углов)

∠АОВ= 1800— ∠ ВОС

∠ АОВ = 1800 – 1260= 540

∠ ДОС = ∠ АОВ (по свойству вертикальных углов)

∠ ДОС = 540

Ответ: ∠ АОД = 1260, ∠ АОВ =540, ∠ ДОС = 540

4. Самостоятельное решение учащимися на местах типовых задач с последующей самопроверкой по образцу ключевых моментов.

Задача 5. Прямые MN и KL пересекаются в точке О, так что ∠MOL = 1150. Найдите ∠LON, ∠ KON, ∠KOM.

Ключевые моменты для самопроверки:

∠ KON=∠MOL = 1150

∠ MOL+∠LON=1800, ∠LON=650

∠KOM=∠LON=650

5. Самостоятельное решение учащимися типовой задачи с самопроверкой только по ответу.

Задача 6. Прямые MN и KL пересекаются в точке О, так что ∠LON = 320. Найдите ∠MOL, ∠ KON, ∠KOM.

Ответ:∠MOL=1480, ∠ KON=1480, ∠KOM=320.

6.Индивидуальный образовательный маршрут для учащихся, у которых нет проблем с решением задач.

№58, №61, №62.

6 этап. Рефлексия.

Возвращаемся к таблице «Верные и неверные утверждения», заполняем столбец В.

«Комплимент».

Комплимент-похвала, комплимент деловым качествам, комплимент в чувствах, в котором учащиеся оценивают вклад друг друга в урок и благодарят друг друга и учителя за проведенный урок (такой вариант окончания урока дает возможность удовлетворения потребности в признании личностной значимости каждого).

7 этап. Домашнее задание

п.11 , №54, №55, №64.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/312096-konspekt-uroka-po-geometrii-smezhnye-i-vertik

Организация наблюдений и визуального поиска решения задач на уроках геометрии

Одна из учебных задач, которая решается
наглядными средствами — это формирование навыков
зрительного восприятия учащимися начальных
данных геометрической информации с
сопутствующими переводами их на языки символов и
вербальных обозначений. Не менее важной, на наш
взгляд, является выработка у учащихся умений
самостоятельно ставить задачи о возможных
связях между геометрическими объектами, исходя
из имеющейся информации.

Поясним сказанное выше на примере открытого
урока геометрии “Сумма углов треугольника”,
данного автором на областном семинаре учителей
математики Мурманской области в 7 классе
Мурмашинской средней общеобразовательной школы
№ 3.

Обучение велось по учебнику [1] , в качестве
дополнительного материала для каждого ученика
была подготовлена специальная тетрадь
визуальных материалов по теме “Треугольник”.

Урок начался с устной работой, в ходе которой
учащиеся вспомнили весь известный материал,
понадобившийся затем при доказательстве теоремы
и при решении задач.

  • Устно ответили на вопросы:
  • Какая фигура называется углом? Объясните, что
    такое вершина и стороны угла.
  • Какой угол называется развернутым?
  • Какой угол называется острым? прямым? тупым?
  • Какие углы называются смежными? Чему равна
    сумма смежных углов?
  • Какие углы называются вертикальными? Каким
    свойством они обладают?
  • Что называется треугольником?
  • Какие известны виды треугольников по сторонам?

Рис. 1

Далее, рассматривая информационную страницу
“Внешние и внутренние углы треугольника” (рис.
1), ребята сами, в ходе анализа слов и
сопоставления им деталей рисунка, составили
определения внутреннего и внешнего углов
треугольника.

Так мы выяснили, что “слова “внутренний угол
треугольника” означают, что этот угол
“находится внутри” треугольника. “Внешний угол
треугольника” лежит вне (снаружи) треугольника,
поскольку образован одной его стороной и
продолжением другой стороны” [2, с. 10]. Дети
отметили эти углы буквами греческого алфавита.

Далее перешли к визуальным наблюдениям
обнаружения связей между внутренними и внешними
углами треугольника (рис. 1).

Обсудили ответы на дополнительные вопросы:

Каждый ли внутренний угол треугольника имеет
внешний?

Для образования внешнего угла треугольника
необходимо продолжить одну из его сторон. А что
если продолжить не одну сторону треугольника, а
две? Сколько в этом случае образуется внешних
углов?

Не сразу слышится правильный ответ. Поэтому
предлагаем в тетради построить треугольник и,
продолжив все его стороны, получить внешние углы.

Для ребят, испытывающих при выполнении этого
задания затруднения есть рисунок (рис. 2), на
котором показано как можно выполнить это
построение. При построении получено шесть
внешних углов.

Далее следует предложение сравнить внешние
углы, находящиеся при одной вершине
треугольника.

Рис. 2

Верный ответ: они равны, так как являются
вертикальными углами.

Наблюдения продолжаются. Учащимся дано
задание, используя информационную схему
“Треугольник и его элементы” (рис. 3), попытаться
определить вид треугольника, если известно, что:

а) один из его внешних углов прямой;

б) внешние углы при каждой вершине – тупые;

в) один из внешних углов острый, два других –
тупые. 

Рис. 3

На следующем этапе урока была сообщена цель
урока – доказать одну из важнейших теорем о
сумме внутренних углов треугольника (рис. 4).

Рис. 4

Первое задание: найдите и прочитайте
формулировку теоремы. О какой фигуре идет речь,
что из себя будет представлять чертеж к теореме?
Выполнили его в тетради.

Глядя на чертеж, перечислили внутренние углы
треугольника. Обсудили вопросы: что
рассматривается в условии теоремы? что
доказывается в этой теореме? Соответствующие
записи оформили в тетради.

Переходим к доказательству, анализируя
предлагаемую зрительную информацию (рис. 5).

Что произошло с треугольником? Учащиеся
заметили, что через одну из вершин треугольника
проведена прямая, параллельная его основанию.
Две другие стороны этого треугольника
продолжены, так что образовались новые углы.

Именно они и привлекли наше внимание.


Рис. 5

Что вы можете сказать об углах ? Звучит
правильный ответ: они являются вертикальными, а,
следовательно, равными углами.

Для ребят, испытывающих затруднения, есть
подсказка, которая позволяет вспомнить не
только, как выглядят вертикальные углы, но и
каким они обладают свойством.

Что вы можете сказать об углах и ? Эти углы
являются соответственными.

Каким свойством они обладают? Так как они
образованы при пересечении двух параллельных
прямых секущей, то будут обязательно равными.

Можно ли назвать образовавшиеся при вершине
треугольника углы – смежными? И опять выручает
подсказка. Оказывается, нет: смежных углов должно
быть два, а здесь их три, но вместе они образуют
развернутый угол, величина которого равна . Значит и
сумма, соответственно равных им, внутренних
углов треугольника также будет равна .

Еще раз внимательно рассматриваем рисунок и
ученики (уже без помощи учителя), дополняя ответы
друг друга, пытаются доказать теорему
самостоятельно.

Итак, теорема доказана.

Теперь настала очередь научиться применять
полученное теоретическое знание на практике.
Перешли к решению задач серии (рис. 6), в которой
был строго выдержан принцип нарастания степени
сложности.

Рис. 6

Так как первые задачи серии были самыми
простыми, то они не вызвали затруднений при
решении. В первой задаче был известен угол,
противолежащий основанию остроугольного
равнобедренного треугольника. Нужно найти углы
при основании. Во второй задаче, наоборот,
известен угол также равнобедренного, но уже
тупоугольного треугольника при основании,
необходимо найти угол, противолежащий основанию.

Третья задача была немного посложнее. По ее
условию этой задачи известен внешний угол
треугольника, можно найти смежный с ним
внутренний угол , а затем, опираясь на решение предыдущих
задач, найти остальные углы треугольника.

Как и запланировано в серии наиболее трудной
для учащихся оказалась 4-я задача, так как нужно
было правильно увидеть на чертеже основание
равнобедренного треугольника.

На следующем этапе урока вновь обратились к
информационной схеме “Треугольник и его
элементы” (рис. 3). Опираясь на знание только что
доказанной теоремы дети смогли дать ответы на
следующие вопросы:

Сколько тупых (прямых) углов может быть в
треугольнике?

Какова величина угла в равностороннем
треугольнике?

Сколько градусов составляет острый угол в
прямоугольном равнобедренном треугольнике?

Теперь школьники могли использовать эту схему
как справочник при заполнении матрицы “Виды
треугольников” (рис. 7).

Рис. 7

Прежде чем заполнять матрицу, внимательно
рассматриваем каждый из представленных на
рисунках треугольников. В ходе коллективного
обсуждения и наблюдения приходим к следующим
выводам.

Оказывается, на первом рисунке изображен
прямоугольный равнобедренный треугольник.
Исходя из чего сделан такой вывод? На чертеже
есть обозначение прямого угла и одинаковым
количеством черточек отмечены равные стороны. А
в равнобедренном треугольнике есть два равных
острых угла. Кроме того, пользуясь только что
доказанной теоремой, учащиеся еще раз определяют
градусную величину острых углов в прямоугольном
равнобедренном треугольнике.

На втором рисунке представлен также
равнобедренный треугольник. Однако теперь угол,
противолежащий основанию – тупой. Значит два
других угла в этом тупоугольном равнобедренном
треугольнике будут обязательно острыми.

На третьем чертеже представлен равносторонний
треугольник, об этом свидетельствует равенство
всех его сторон.

Что можно сказать об углах такого треугольника?

Все углы равны, их градусная величина
составляет (еще раз обращаемся к доказанной
теореме) и все они являются острыми углами.

На четвертом рисунке уже отмечены два равных
угла. Можно ли определить вид треугольника? Да, он
будет равнобедренным остроугольным.

И на последнем чертеже не отмечены ни равные
стороны, ни равные углы. Поэтому можно
утверждать, что треугольник разносторонний
остроугольный. После такого предварительного
обсуждения ребятам необходимо самостоятельно
заполнить матрицу.

При оценивании выполненной работы учитывалось
умение учащихся давать классификацию
треугольников не только по сторонам, но и по
углам. Абсолютное большинство учащихся блестяще
справилось с заданием. Тем самым, мы пришли к
подтверждению следующего положения:
“Накопление и обогащение эмпирического
(чувственного) опыта осуществляется путем не
только восприятия, но и активного мысленного
преобразования исходного материала” [4, с. 31].

На заключительном этапе урока выполняли
задание “Посмотрите и найдите” № 1–3 (рис. 8). Оно
было наиболее трудным.

Рис. 8

И трудность заключалась в том, что на одном
чертеже по сути дела были представлены сразу три
задачи. Текст к этим задачам отсутствовал.
Условие нужно было составить самим, используя
все подсказки на чертеже. Эти подсказки уже
знакомы детям, они неоднократно встречались в
предыдущих задачах: одинаковое количество
черточек указывает на равенство сторон в
треугольнике и можно утверждать, что он является
равнобедренным. В равнобедренном треугольнике
углы при основании равны. Специальным образом
выделены накрест лежащие углы. Чтобы облегчить
зрительное восприятие условий задач, к основному
чертежу предлагалось несколько вспомогательных.
Так, на рисунке а) введено цифровое обозначение
углов, отмечены равные стороны. На рисунке б) на
отдельных чертежах показаны равные углы, углы в
равнобедренных треугольниках и накрест лежащие
углы. Рисунок в) позволяет объединить полученные
равные углы с числовыми данными задачи и
вычислить остальные углы треугольников,
используя теорему о сумме углов треугольника.

В качестве домашнего задания для всех
предложена задача – по рисунку “найти правило
для отыскания величины внешнего угла
треугольника” (рис. 9)

Рис. 9

Тем самым идет подготовка к следующему уроку,
где будет доказана теорема о внешнем угле
треугольника. Теорема о сумме внутренних углов
треугольника не была задана на дом для
обязательного заучивания. Однако на следующем
уроке ее доказательство было воспроизведено
абсолютным большинством учащихся.

В заключении, отметим, что постоянное (точнее,
часто повторяющееся) зрительное восприятие
одних и тех же (в данном случае геометрических)
объектов с разных сторон позволяет более
продуктивно формировать умения, знания и навыки
учеников при знакомстве с новыми понятиями
геометрии. Запоминать и заучивать не нужно,
следует лишь внимательно смотреть и понимать
увиденное. Визуальные средства представления
учебного материала подготавливают ученика к
восприятию отдельного положения математической
теории.

Мы убедились, что в результате реализации
данного подхода у детей возникает интерес к
переработке наглядной информации, желание и
возможность проанализировать ее, поставив
вопрос о неизвестных связях, и получить искомый
результат, исходя из геометрических
представлений.

Литература:

  1. Геометрия: Учеб. для 7–9 кл. общеобразоват.
    учреждений. /Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.
    Кадомцев и др. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1995. – 335
    с.: ил.
  2. Резник Н.А. Визуальная геометрия “Связи между
    углами треугольника»: Сборник визуальных
    дидактических материалов для учителя и ученика
    (6–7 классы). – СПб, Изд-во «Информатизация
    образования», 2000. – 22 с.
  3. Резник Н.А. Визуальная геометрия “Треугольник и
    его элементы»: Сборник визуальных
    дидактических материалов для учителя и ученика
    (6–7 классы). – СПб, Изд-во «Информатизация
    образования», 2000. – 22 с.
  4. Якиманская И.С. Развивающее обучение.– М.:
    Педагогика, 1979. – 144 с. – (Воспитание и обучение.
    Библиотека учителя)

Смежные углы — определение и примеры

В этом разделе вы узнаете об определении смежного угла, примерах смежных углов, определении смежных углов в концепции смежных углов. Ознакомьтесь с интерактивными симуляторами, чтобы узнать больше об уроке и попробовать свои силы в решении нескольких интересных практических вопросов в конце страницы.

Прежде чем мы перейдем к концепции смежных углов, давайте узнаем, что такое углы. Углы — это «отверстие» между двумя линиями, когда эти линии пересекаются в точке.

Углы обозначаются символом \ (\ angle \).

Углы обычно измеряются в градусах и обозначаются \ ({\ circ} \) (символ градуса), который является мерой округлости или поворота.

Углы — часть нашей повседневной жизни. Инженеры и архитекторы используют углы при проектировании дорог, зданий и спортивных сооружений.

На изображении выше мы видим геодезиста, использующего теодолит на строительной площадке для измерения угла.

Посмотрим, многие ли из вас любят спорт!

Вы когда-нибудь смотрели футбол?

Вы заметили, откуда игроки бьют угловой? Что ж, точка пересечения линий и образует угол!

План урока

Что такое прилегающие углы?

Смежные углы: определение

Любые два угла, совпадающие с

  • Обычный луч или сторона
  • общая вершина
  • и чьи интерьеры не пересекаются

называются смежными углами .

Внутренние части \ (\ angle ABD \) и \ (\ angle CBD \) не перекрываются, и, следовательно, они являются смежными углами.


Смежные углы: примеры

Посмотрите на следующие цифры.

Когда вы открываете книгу, это выглядит так.

В A и B есть углы, расположенные рядом друг с другом.

В центре колеса образовано 8 углов, лежащих рядом друг с другом.

Итак, смежные углы имеют общее плечо и общую вершину, но не имеют общих внутренних точек.

Поэкспериментируйте с симуляцией ниже, чтобы исследовать смежные углы.


Свойства прилегающих углов

Посмотрите на некоторые важные свойства смежных углов.

Свойства прилегающих углов
1. У них общая рука.
2. У них общая вершина.
3. Они не пересекаются.
4. У них нет общей внутренней точки.
5. У них по обеим сторонам от общего плеча по одной руке.
6. Два смежных угла могут быть дополнительными или дополнительными.

Аналитический центр

  1. Могут ли два тупых угла образовать пару смежных углов?
  2. Может ли острый угол примыкать к тупому?

Решенные примеры

Углы, обозначенные цифрами 1 и 2 на следующих рядом рисунках? Обоснуйте свои ответы.

I.

Решение

Обозначим лучи на рисунке следующим образом.

Ясно, что \ (\ angle 1 \) и \ (\ angle 2 \) имеют общую вершину O и общее плечо OB.

У них нет общих плеч OA и OC по обе стороны от общего плеча OB.

\ (\ поэтому \) \ (\ angle 1 \) и \ (\ angle 2 \) — смежные углы.

II.

Решение

Обозначим лучи на рисунке следующим образом.

Ясно, что \ (\ angle 1 \) и \ (\ angle 2 \) имеют общее плечо как OB.

Но \ (\ angle 1 \) имеет вершину как X, а \ (\ angle 2 \) имеет вершину как O.

У них нет общей вершины.

\ (\ поэтому \) \ (\ angle 1 \) и \ (\ angle 2 \) не являются смежными углами.

Перечислите 5 пар смежных углов на следующем рисунке.

Решение

Ниже приведены пять пар смежных углов.

Пары смежных углов
1. {\ circ} \), тогда пара образует дополнительный угол.

На рисунке видно, что пара \ (\ angle BOA \) и \ (\ angle AOE \) образуют смежные дополнительные углы.

ii) Когда разные стороны пары смежных углов образуют противоположные лучи, тогда пара образует линейную пару.

На рисунке видно, что пара \ (\ angle AOE \) и \ (\ angle EOD \) образуют смежные углы, которые не образуют линейную пару.

\ (\ следовательно \)

i) \ (\ angle BOA \) и \ (\ angle AOE \)

ii) \ (\ angle AOE \) и \ (\ angle EOD \)

Важные примечания

  1. Когда два угла смежны, их сумма равна углу, образованному их несовпадающими ответвлениями.{\ circ} \), то необщие руки образуют линию.

Интерактивные вопросы

Вот несколько занятий для вас. Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.


Подведем итоги

Мы надеемся, что вам понравилось узнавать о смежных углах с помощью моделирования и интерактивных вопросов.Теперь вы сможете понять определение смежных углов в геометрии и легко решать задачи по смежным углам.

О компании Cuemath

В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-обучение-обучение» учителя исследуют тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению.{\ circ} \). Это случается, когда их необщие руки образуют противоположные лучи.

Что такое прилегающие углы? | Определение и примеры

Содержание

  1. Определение смежных углов
  2. Линейные пары
  3. Параллельные и поперечные линии
  4. Примеры прилегающих углов

Определение прилегающих углов

Смежные углы — это пара углов, имеющих общую сторону и вершину.

Три особенности позволяют легко выделить смежные углы:

  1. Соседние углы существуют в виде пар
  2. У них общая вершина
  3. У них общая сторона

Если два угла имеют только общую вершину, то это вертикальные углы.Вертикальные углы — это пара противоположных углов, образованных двумя пересекающимися линиями.

Что такое общая вершина?

Общая вершина — это вершина, разделяемая двумя углами. Вершиной называется точка пересечения любых двух линейных построений.

Вы можете смешивать и сопоставлять их, чтобы создать вершин (множественное число вершин) разными способами:

Вы видите вершины в углах многоугольников, как центральные углы в кругах, и когда линейные конструкции, такие как параллельные линии и трансверсали, пересекаются.

Что такое общая сторона в геометрии?

Общая сторона — это одна линия, луч или линейный сегмент, используемые для создания двух углов, разделяющих одну и ту же вершину. Оба угла используют общую сторону и одну другую сторону.

Соседние углы всегда парные и никогда не перекрываются.

Давайте посмотрим, как одна вершина квадрата может демонстрировать смежные углы.

Здесь у нас есть простой квадрат, образованный четырьмя сторонами, образующими четыре вершины: ∠W, ∠H, ∠I и ∠Z.

Если мы соединим точку W с точкой I, мы построим диагональ WI. Это создает два дополнительных угла в точке W:

  1. ∠ZWI
  2. ∠HWI

Обратите внимание, что оба этих угла имеют общую вершину в точке W и общую сторону, отрезок WI. Углы ∠ZWI и ∠HWI — смежные углы.

Линейные пары

Когда пара смежных углов образует прямую линию или прямой угол, они представляют собой линейную пару. Сумма их углов составляет 180 ° или π радиан.

Углы, которые в сумме составляют 180 °, называются дополнительными углами.

Вот линейная пара. Посмотрим, сможете ли вы определить общую сторону и общую вершину:

Луч AT — это общий луч обоих углов. Вы идентифицировали ∠A как общую вершину?

Вот параллельные прямые CP и MN, пересеченные поперечной IK. Там, где поперек пересекает их, у нас есть точки H и U:

.

Эта конструкция не только образует восемь пар углов (смежных углов), но все эти пары также являются линейными парами! Какие углы являются соседними углами?

  1. CHI и ∠PHI
  2. ∠CHI и ∠CHU
  3. PHI и ∠PHU
  4. CHU и ∠PHU
  5. ∠MUK и ∠NUK
  6. MUH и ∠NUH
  7. ∠MUH и ∠MUK
  8. NUH и ∠NUK

Это все примеры смежных углов.

Примеры прилегающих углов

12 мая — день рождения Марьям Мирзахани, известного математика, изучавшего особый вид геометрии, называемый гиперболической геометрией. Чтобы отметить ее работу, ваш математический клуб испечет именинный торт и поручит вам разрезать его на восьмые части:

Все ли углы торта Марьям смежные?

Ну нет. ∠IMY смежна как с ∠RMI, так и с ∠YMN, но обратите внимание, что ∠RMI не смежна с ∠YMN, даже если оба угла имеют общую вершину M.

Угловые отношения, такие как смежные углы, должны иметь как общую вершину (точка M), так и общую сторону. ∠RMI не имеет общей стороны с ∠YMN.

Сможете ли вы найти линейные пары в торте Марьям? Мы надеемся на это! На каждый диаметр торта Марьям приходится трех линейных пар !

Чтобы убедиться в этом, мы можем взять в качестве примера только один отрезок линии YA. Вы можете построить прямую YA с помощью этих трех линейных пар:

  1. YMI и ∠IMA
  2. ∠YMR и ∠RMA
  3. YMZ и ZMA

Смежные углы — это два угла, имеющих общую вершину и общую сторону.Они появляются во многих местах, но выделяются параллельными линиями, пересеченными поперек.

Узнайте больше о различных типах углов, таких как внутренние углы, внешние углы и дополнительные углы.

Следующий урок:

Коллинеарные точки

Свойства углов | Помощь с математикой

Этот урок предоставит информацию и рекомендации по:

Изучив уроки выше, вы будете готовы прочитать приведенную ниже информацию об углах и их отношениях с вашими детьми.Обсудите их по ходу дела, а когда будете готовы, попробуйте рабочий лист отношения углов.

Полезные термины

Параллельные линии — линии, которые находятся на одинаковом расстоянии друг от друга и никогда не пересекаются.

Поперечная — линия, пересекающая две или более других линий.

Смежные углы — углы, имеющие общую сторону и общую вершину.

Дополнительные уголки

Дополнительные углы — это углы, которые в сумме составляют 90 °.

Все приведенные выше примеры показывают два дополняющих друг друга угла. Обратите внимание, что углы не обязательно должны быть смежными, чтобы быть дополнительными. Если они смежные, то образуют прямой угол.

Дополнительные уголки

Дополнительные углы в сумме составляют 180 °

125 ° + 55 ° = 180 °

Два угла, показанные выше, дополняют друг друга. Их складывают, чтобы получить 180 °.Можно сказать, что они дополняют друг друга. Обратите внимание, что, как и в случае дополнительных углов, они не обязательно должны быть рядом друг с другом.

Противоположные углы

Когда линии пересекаются, они образуют четыре угла. Каждый угол противоположен другому и образует пару так называемых противоположных углов.

Углы a и c — противоположные углы.
Углы b и d — противоположные углы
Противоположные углы равны.
Два угла 130 ° противоположны, поскольку
— два угла 50 °.

Противоположные углы иногда называют вертикальными углами или вертикально противоположными углами.

Соответствующие и альтернативные углы

В примере ниже показаны две параллельные линии и поперечная (линия, пересекающая две или более других линий). В результате получается восемь углов. Каждому из этих углов соответствует угол. Глядя на два пересечения, углы, которые находятся в одинаковых относительных (или соответствующих) положениях, называются соответствующими углами.

Поскольку две прямые параллельны, соответствующие углы равны.

a и e — соответствующие углы
b и f — соответствующие углы
c и g — соответствующие углы
d, а h — соответствующие углы

Как показано ниже, есть также две пары альтернативных внутренних углов и две пары альтернативных внешних углов. Обратите внимание, как внутренние углы находятся между двумя параллельными линиями, а внешние углы — наружу.

a и g — альтернативные внешние углы
b и h — альтернативные внешние углы
c и e — альтернативные внутренние углы
d и f — альтернативные внутренние углы

Поскольку две линии параллельны, альтернативные углы, показанные выше, равны.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов треугольника равна 180 °.

Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360 °.

Попробуйте эксперимент на 180 ° в треугольнике, который представляет собой 2-страничное упражнение (будьте осторожны с ножницами), чтобы продемонстрировать, что сумма внутренних углов в треугольнике равна 180 °.

Рабочий лист соотношения углов

Попросите детей попробовать приведенный ниже лист, в котором есть вопросы о соотношении углов. После его выполнения ваши дети будут готовы повторить урок по поиску недостающих углов.

смежных углов

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

Электронное обучение — это будущее сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Смежные углы: Два угла в плоскости называются смежными углами, если

1) они имеют общую вершину,

2) они имеют общие плечи (лучи) и

3) их другие плечи лежат на противоположных сторонах общей руки.

На приведенном выше рисунке ∠ AOC и ∠ BOC имеют общую вершину O. Также у них есть общая рука OC, а их руки — OA и OB.

Итак, ∠AOC и ∠BOC — углы смежности.

∠AOB = ∠AOC + ∠BOC

Примеры:

1) Запишите каждую пару смежных углов из приведенной ниже диаграммы:

Решение:
i) ∠AOB, ∠BOC ( общий луч — это OB и O — общая вершина)

ii) ∠AOC, ∠COD (общий луч — это OC, а O — общая вершина)

iii) ∠BOC, ∠COD (общий луч — это OC, а O — это общая вершина). общая вершина)

iv) AOB, ∠BOD (общий луч — это OB, а O — общая вершина)

_________________________________________________________________
2) AOC и ∠BOC — смежные углы.Если m∠AOB = 75 0 ,
∠AOC = 30 0 , тогда найдите m∠BOC.

Решение:
Поскольку ∠AOC и ∠BOC являются смежными углами.

∴∠AOB = ∠AOC + ∠BOC

75 0 = 30 + ∠BOC

∴ ∠BOC = 75-30

∴ ∠BOC = 45 0

_________________________________________________________________
3) Сумма Два соседних угла составляют 110 0 . Если один угол на 30 0 больше другого.Найдите размеры двух углов.
Решение:
Пусть один угол равен x.
Другой угол = x + 30
Сумма двух углов = 110 0
∴ x + x + 30 = 110
⇒ 2x + 30 = 110
⇒ 2x = 110-30
⇒ 2x = 80
⇒ x = 80 / 2 = 40
Один угол = 40 0
Итак, другой угол = x + 30
⇒ другой угол = 40 + 30 = 70 0
∴ Два угла: 40 0 и 70 0 .
___________________________________________________________________
Основная геометрия

• Точка
• Линии
• Углы
• Линии и углы
• Дополнительные углы
• Дополнительные углы
• Вертикально противоположные углы
• Пара линейных углов
• Смежные параллельные углы
• Соседние параллельные углы 906 Решенные проблемы на пересекающихся линиях
• Решенные проблемы на параллельных линиях

Домашняя страница

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Углы и параллельные прямые (предварительная алгебра, введение в геометрию) — Mathplanet

Когда две прямые пересекаются, они образуют две пары противоположных углов, A + C и B + D. Другое слово для обозначения противоположных углов — это вертикальные углы.

Вертикальные углы всегда совпадают, что означает, что они равны.

Соседние углы — это углы, выходящие из одной вершины. Соседние углы имеют общий луч и не перекрываются.

Размер угла xzy на рисунке выше является суммой углов A и B.

Два угла считаются дополнительными, если сумма двух углов равна 90 °.

Два угла считаются дополнительными, если сумма двух углов составляет 180 °.

Если у нас есть две параллельные линии и есть третья линия, которая их пересекает, как на картинке ниже — линия пересечения называется поперечной

Когда трансверсаль пересекается с двумя параллельными линиями, получается восемь углов.

Восемь углов вместе образуют четыре пары соответствующих углов. Углы 1 и 5 составляют одну из пар. Соответствующие углы равны. Все углы, которые имеют одинаковое положение относительно параллельных линий и трансверсали, представляют собой соответствующие пары, например 3 + 7, 4 + 8 и 2 + 6.

Углы, которые находятся в области между параллельными линиями, такими как угол 2 и 8 выше, называются внутренними углами, тогда как углы, которые находятся снаружи двух параллельных линий, таких как 1 и 6, называются внешними углами.

Углы, находящиеся на противоположных сторонах поперечной оси, называются альтернативными углами, например 1 + 8.

Все углы, которые являются внешними углами, внутренними углами, альтернативными углами или соответствующими углами, являются конгруэнтными.


Пример

На рисунке выше показаны две параллельные линии с трансверсалью. Угол 6 равен 65 °. Есть ли другой угол, который также составляет 65 °?

6 и 8 являются вертикальными углами и, следовательно, совпадают, что означает, что угол 8 также равен 65 °.

6 и 2 являются соответствующими углами и, таким образом, совпадают, что означает, что угол 2 составляет 65 °.

6 и 4 являются альтернативными внешними углами и, следовательно, совпадают, что означает, что угол 4 составляет 65 °.


Видеоурок

Найдите размеры всех углов на рисунке

Прилегающие и вертикальные углы | Вертикально противоположные углы

Мы не можем представить нашу жизнь без изучения форм, и мы изучаем различные формы, углы и треугольники в геометрии.Геометрия — важный раздел математики. Здесь мы собираемся обсудить углы, которые также являются одной из важных частей математики. Угол образован двумя лучами, соединяющимися в точке, имеющей один общий конец. Существует несколько типов углов, таких как острый угол, тупой угол, прямой угол и т. Д. Кроме того, эти типы углов делятся на пару углов, таких как дополнительные углы, дополнительные углы, линейная пара углов, противоположные углы, смежные углы и т. Д. С помощью материалов, представленных ниже, мы поможем вам узнать о смежных углах.

Смежные углы

Углы, которые имеют общее плечо и вершину, называются смежными углами. Более того, углы, которые образуются бок о бок, также называются смежными углами. Основная часть этих углов в том, что они никогда не перекрывают друг друга.

(изображения будут загружены в ближайшее время)

На приведенных выше рисунках мы показали, какие типы углов называются смежными углами. На рис. 2 angle c и angled примыкают друг к другу, потому что у них есть общая вершина и одно общее плечо, образующее два разных угла.На рис. 1 угол x и угол y не являются смежными углами, потому что у них нет общего плеча и общей вершины, чтобы образовать два разных угла.

Тем не менее, если вы где-то запутались, у нас есть один лучший пример с двумя кусочками пиццы. Когда два кусочка пиццы помещаются в коробку рядом друг с другом, углы обоих ломтиков находятся в центре коробки. Во всей пицце очень много других пар смежных углов. У каждого кусочка пиццы есть два возможных разных смежных угла, прикрепленных друг к другу.

Далее, соседние углы можно разделить на две части.

  1. Дополнительные углы

  2. Дополнительные углы

Два угла считаются дополнительными, если сумма обоих углов составляет 90 °. Когда два дополнительных угла примыкают друг к другу, угол становится прямым.

Точно так же, когда две линии пересекаются и образуют четыре противоположных угла, эти углы называются противоположными углами. Следовательно, дополнительные углы также называются противоположными углами.

Два угла считаются дополнительными, если сумма обоих углов составляет 180 ° градусов. Когда два дополнительных угла примыкают друг к другу, они называются дополнительными углами.

Соответствующие углы:

В соответствующих углах две линии пересекаются другой линией, и совпадающие углы называются соответствующими углами. Давайте обсудим с помощью фигуры.

(изображение будет загружено в ближайшее время)

На приведенном выше рисунке AB и CD параллельны друг другу, с которыми пересекаются RS.Пересекающаяся линия образует углы, которые являются углами ROB и OPD. Теперь Angle ROB и angle OPD — это соответствующие углы. Помните, что соответствующие углы также всегда равны друг другу.

Ниже приведены некоторые основные формы, с помощью которых мы попытались помочь вам лучше понять прилегающие углы.

Треугольник:

(изображения будут загружены в ближайшее время)

На приведенном выше рисунке треугольника есть много примеров дополнительных углов и дополнительных углов, и мы можем уточнить это так, что угол ABP и прилегающий угол PBO могут быть вместе, чтобы получить угол 90 градусов, чтобы сформировать дополнительный угол.Кроме того, угол AOB и прилегающий к нему угол AOC могут быть объединены для образования угла 180 градусов, который называется дополнительными углами. Угол APB и угол BPO также являются примерами смежных (дополнительных) углов в указанном выше треугольнике.

Квадрат:

(изображение будет загружено в ближайшее время)

На приведенном выше рисунке квадрата есть много примеров дополнительных углов и дополнительных углов, и мы можем уточнить его, как угол GBO и прилегающий к нему угол FBO могут быть объединенными, чтобы сформировать угол 90 градусов, чтобы сформировать дополнительный угол.Точно так же угол GOA и прилегающий к нему угол EOA также могут быть объединены для образования дополнительного угла, имеющего угол 90 градусов. В то время как угол BFO и прилегающий к нему угол CFO могут быть объединены для образования Дополнительного угла (образующего угол 180 градусов). Точно так же угол CHO и прилегающий к нему угол DHO могут быть объединены, чтобы сформировать угол 180 градусов, чтобы сформировать дополнительный угол на приведенном выше рисунке квадрата.

Как найти отсутствующий прилегающий угол?

Выше мы обсуждали прилегающий угол на примерах.Теперь мы обсудим, как вычислить значение смежного угла через другой заданный угол с помощью числовых значений. Давайте обсудим:

Например — Найдите значения x на рисунке ниже.

(изображение будет загружено в ближайшее время)

Решение — На рисунке выше угол AOB = 90 ° (прямой угол)

Тогда угол AOB + 40 ° = 90 °

Угол AOB = 90 ° — 40 ° = 50 °

Таким образом, мы вычислили значение недостающего соседнего угла. Но это пример дополнительных смежных углов.

Возьмем один пример дополнительных углов.

Например — Найдите значение y на данном рисунке:

(изображения будут загружены в ближайшее время)

На приведенном выше рисунке угол POQ = 180 ° (прямой угол)

Тогда угол ROP = 100 ° (данный )

Угол ROQ = y

Угол y = угол POQ — угол POR

= 180 ° — 100 °

= 80 °

Следовательно, вычисляется значение y.

Вертикально противоположные углы

Когда две прямые пересекаются друг с другом в одной точке и углы, противоположные друг другу, образуются с помощью этих двух пересекающихся линий, тогда углы называются вертикально противоположными углами.Эти углы всегда равны друг другу.

Вы поймете это более четко с помощью рисунка, приведенного ниже:

(изображения будут загружены в ближайшее время)

На рисунке выше линии PQ и RS пересекаются друг с другом и образуют четыре разных угла, например угол b, м, н и а. В этом случае угол m & n и угол b & a вертикально противоположны друг другу.

Теперь вы можете подумать, насколько вертикально противоположные углы равны друг другу.Обсудим, насколько вертикальные углы противоположны друг другу.

Давайте возьмем для примера приведенный выше рисунок. В этом случае

m + b = 180 ° (линейная пара углов)

b + n = 180 ° (линейная пара углов)

Теперь из приведенного выше уравнения ясно, что m = n. Таким образом, доказано, что вертикально противоположные углы равны.

Как найти недостающий вертикальный угол?

Если упоминаются два угла из четырех, и вам нужно вычислить оставшиеся два угла, взгляните на приведенный ниже пример.

Например — Найдите значения x и y на рисунке ниже.

(изображения будут загружены в ближайшее время)

Решение — На рисунке выше 75 ° + x = 180 ° (линейная пара углов)

Тогда x = 180 ° — 75 ° = 105 °

Аналогично 105 ° + y = 180 ° (линейная пара углов)

Тогда y = 180 ° — 105 ° = 75 °

Отсюда вычисляются недостающие значения.

Теоретическое описание прилегающих углов и вертикальных углов:

1.Смежные углы — Смежные углы — это два угла, которые имеют общее плечо и общую вершину.

Вертикальные углы — две линии пересекаются друг с другом и образуют углы. Противоположные углы называются вертикально противоположными углами.

2. Смежные углы — есть два типа смежных углов.

Вертикальные углы — Вертикальный угол не имеет типов.

линий и углов — определения и свойства | Geometry Tutorial

Вот несколько основных определений и свойств линий и углов в геометрии.Эти концепции проверяются на многих конкурсных вступительных экзаменах, таких как GMAT, GRE, CAT.

Сегмент линии : сегмент линии имеет две конечные точки определенной длины.

Луч : Луч имеет одну конечную точку и бесконечно проходит в одном направлении.

Прямая : Прямая линия не имеет ни начальной, ни конечной точки и имеет бесконечную длину.

Острый угол : Угол между 0 ° и 90 ° является острым углом, ∠A на рисунке ниже.

Тупой угол : Угол между 90 ° и 180 ° является тупым углом, ∠B, как показано ниже.

Прямой угол : Угол 90 ° является прямым углом ∠C, как показано ниже.

Прямой угол : Угол, равный 180 °, является прямым углом, ∠AOB на рисунке ниже.

Дополнительные уголки :

На рисунке выше ∠AOC + ∠COB = ∠AOB = 180 °

Если сумма двух углов составляет 180 °, эти углы называются дополнительными углами.

Два прямых угла всегда дополняют друг друга.

Пара смежных углов, сумма которых равна прямому углу, называется линейной парой.

Дополнительные уголки :

∠COA + ∠AOB = 90 °

Если сумма двух углов составляет 90 °, эти два угла называются дополнительными углами.

Соседние углы :

Углы, которые имеют общее плечо и общую вершину, называются смежными углами.

На рисунке выше ∠BOA и ∠AOC являются смежными углами.Их общая рука — OA, а общая вершина — «O».

Вертикально противоположные углы :

Когда две прямые пересекаются, углы, образованные друг напротив друга в точке пересечения (вершине), называются вертикально противоположными углами.

На рисунке выше

x и y — две пересекающиеся линии.

∠A и ∠C составляют одну пару вертикально противоположных углов, а

∠B и ∠D образуют еще одну пару вертикально противоположных углов.

Перпендикулярные линии: Когда есть прямой угол между двумя линиями, считается, что линии перпендикулярны друг другу.

Здесь прямые OA и OB перпендикулярны друг другу.

Параллельные линии :

Здесь A и B — две параллельные прямые, пересекаемые линией p.

Прямая p называется трансверсалью, которая пересекает две или более прямых (не обязательно параллельных прямых) в разных точках.

Как видно на рисунке выше, когда трансверсаль пересекает две прямые, образуется 8 углов.

Давайте рассмотрим детали в табличной форме для удобства пользования.

Типы углов Уголки
Внутренние углы ∠3, ∠4, ∠5, ∠6
Наружные углы ∠1, ∠2, ∠7, ∠8
Вертикально противоположные углы (1, ∠3), (∠2, ∠4), (∠5, ∠7), (∠6, ∠8)
Соответствующие углы (1, ∠5), (2, ∠6), (∠3, ∠7), (4, ∠8)
Внутренние альтернативные углы (3, ∠5), (4, ∠6)
Наружные альтернативные углы (1, ∠7), (∠2, ∠8)
Внутренние углы на той же стороне поперечного (3, ∠6), (4, ∠5)

Когда трансверсаль пересекает две параллельные прямые,

  1. Соответствующие углы равны.
  2. Вертикально противоположные углы равны.
  3. Альтернативные внутренние углы равны.
  4. Альтернативные внешние углы равны.
  5. Пара внутренних углов на одной стороне поперечины является дополнительной.

Можно сказать, что линии параллельны, если мы сможем проверить хотя бы одно из вышеупомянутых условий.

Давайте посмотрим на несколько примеров.

Решенные примеры

Пример 1. Если прямые m и n параллельны друг другу, то определить углы ∠5 и ∠7.

Решение :

Определение одной пары может позволить найти все остальные углы. Ниже приводится один из многих способов решить этот вопрос.

∠2 = 125 °

∠2 = ∠4, так как их углы противоположны по вертикали.

Следовательно, 4 = 125 °

∠4 — один из внутренних углов на одной стороне трансверсали.

Следовательно, 4 + ∠5 = 180 °

125 + 5 = 180 → ∠5 = 180 — 125 = 55 °

∠5 = ∠7, т.к. углы противоположные по вертикали.

Следовательно, 5 = ∠7 = 55 °

Примечание : Иногда свойство параллельности линий может не упоминаться в формулировке проблемы, и линии могут казаться параллельными друг другу; но они могут быть не такими. Важно определить, параллельны ли две линии, проверяя углы, а не взглядом.

Пример 2. Если A = 120 ° и ∠H = 60 °. Определите, параллельны ли линии.

Решение :

Дано A = 120 ° и ∠H = 60 °.

Поскольку соседние углы являются дополнительными, A + ∠B = 180 °

120 + ∠B = 180 → ∠B = 60 °.

Принято, что ∠H = 60 °. Мы видим, что ∠B и ∠H — внешние альтернативные углы.

Когда внешние альтернативные углы равны, линии параллельны.

Следовательно, прямые p и q параллельны.

Мы можем проверить это, используя другие ракурсы.

Если ∠H = 60 °, ∠E = 120 °, поскольку эти два лежат на прямой линии, они являются дополнительными.

Теперь ∠A = ∠E = 120 °.A и ∠E — соответствующие углы.

Когда соответствующие углы равны, линии параллельны.

Точно так же мы можем доказать, используя и другие углы.

Пример 3. Если p и q — две прямые, параллельные друг другу и ∠E = 50 °, найдите все углы на рисунке ниже.

Решение :

Дано ∠E = 50 °.

Две параллельные линии

→ Соответствующие углы равны.

Поскольку ∠E и ∠A — соответствующие углы, A = 50 °.

→ Вертикально противоположные углы равны.

Поскольку A и ∠C вертикально противоположны друг другу, C = 50 °.

Поскольку E и ∠G вертикально противоположны друг другу, ∠G = 50 °.

→ Внутренние углы на той же стороне поперечины являются дополнительными.

∠E + ∠D = 180 ° → 50 + ∠D = 180 ° → ∠D = 130 °

→ ∠D и ∠B — вертикально противоположные углы. Итак, ∠B = 130 °.

→ ∠B и ∠F — соответствующие углы. Итак, ∠F = 130 °.

→ ∠F и ∠H — вертикально противоположные углы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.