Как выглядит остроугольный треугольник: Остроугольный треугольник, формулы и примеры

Содержание

Виды треугольников: прямоугольный, остроугольный, тупоугольный

Задачи:

1. Познакомить учащихся с разными видами
треугольников в зависимости от вида углов
(прямоугольный, остроугольный, тупоугольный).
Учиться находить на чертежах треугольники и их
виды. Закреплять основные геометрические
понятия и их свойства: прямая линия, отрезок, луч,
угол.

2. Развитие мышления, воображения,
математической речи.

3. Воспитание внимания, активности.

Ход урока

I. Организационный момент.

Много ль надо нам, ребята,

Для умелых наших рук?

Нарисуем два квадрата,

А на них огромный круг.

А потом ещё кружочки,

Треугольник колпачок.

Вот и вышел очень — очень

Развесёлый Чудачок.

II. Объявление темы урока.

Сегодня на уроке мы с вами совершим путешествие
по городу Геометрии и побываем в микрорайоне
Треугольники (т.е. познакомимся с разными видами
треугольников в зависимости от их углов, будем
учиться находить эти треугольники на чертежах.)
Проведём урок в форме “игры-соревнования” по
командам.

1 команда — “Отрезок”.

2 команда — “Луч”.

3 команда — “Угол”.

А гости будут представлять жюри.

Жюри нас по пути направит

И без вниманья не оставит. (Оценивать по баллам
5,4,3,…).

А на чём же мы будем путешествовать по городу
Геометрии? Вспомните, какие виды пассажирского
транспорта есть в городе? Нас очень много, какой
же мы выберем? (Автобус).

Автобус. Чётко, кратко. Начинается посадка.

Усаживаемся поудобнее и начнём наше
путешествие. Капитаны команд получите билеты.

Но билеты эти непростые, а билеты — “задания”.

III. Повторение пройденного материала.

Первая остановка “ Повторяй-ка”.

Вопрос всем командам.

Найти на чертеже прямую линию и назвать её
свойства.

Без конца и края линия прямая!

Хоть сто лет по ней иди,

Не найдёшь конца пути!

  • Прямая не имеет ни начала, ни конца — она
    бесконечна, поэтому её измерить нельзя.



Начинаем наше соревнование.

Защита названий своих команд.

(Все команды читают первые вопросы и обсуждают.
По очереди капитаны команд зачитывают вопросы, 1
команда читает 1 вопрос).

1. Показать на чертеже отрезок. Что называется
отрезком. Назвать его свойства.

  • Часть прямой, ограниченная двумя точками,
    называется отрезком. У отрезка есть начало и
    конец, потому его можно измерить при помощи
    линейки.

(2 команда читает 1 вопрос).

1. Показать на чертеже луч. Что называется лучом.
Назвать его свойства.

  • Если отметить точку и из неё провести часть
    прямой, то получится изображение луча. Точка, из
    которой проведена часть прямой, называется
    началом луча.

Конца у луча нет, поэтому его измерить нельзя.

(3 команда читает 1 вопрос).

1 .Показать на чертеже угол. Что называется
углом. Назвать его свойства.

  • Проведя из одной точки два луча, получается
    геометрическая фигура, которая называется углом.
    У угла есть вершина, а сами лучи называются
    сторонами угла. Углы измеряются в градусах с
    помощью транспортира.

Физкультминутка (под музыку).

IV. Подготовка к изучению нового материала.

Вторая остановка “Сказочная”.

На прогулке Карандаш встретил разные углы.
Хотел с ними поздороваться, да забыл, как зовут
каждого из них. Придётся Карандашу помочь.

(Углы уч-ся проверяют с помощью модели прямого
угла).

Задание командам. Прочитайте вопросы №2,
обсудите.

1 команда читает 2 вопрос.

2. Найти прямой угол, дать определение.

  • Угол величиной 90°называется прямым углом.

2 команда читает 2 вопрос.

2. Найти острый угол, дать определение.

  • Угол меньше прямого, называется острым.

3 команда читает 2 вопрос.

2. Найти тупой угол, дать определение.

Угол больше прямого, называется тупым.

В микрорайоне, где любил гулять Карандаш, все
углы отличались от других жителей тем, что гуляли
всегда втроём, пили чай втроём, ходили в кино
втроём. И Карандаш никак не мог понять, что за
геометрическую фигуру вместе составляют три
угла?

А подсказкой вам будет стихотворение.

Ты на меня, ты на него,

На всех нас посмотри.

У нас всего, у нас всего,

У нас всего по три!

О свойствах какой фигуры говорится?

  • О треугольнике.

Какая же фигура называется треугольником?

  • Треугольник — это геометрическая фигура, у
    которой три вершины, три угла, три стороны.

(Уч-ся показывают на чертеже треугольник,
называют вершины, углы и стороны).

Вершины: А, В, С (точки)

Углы: ВАС, АВС, ВСА.

Стороны: АВ, ВС, СА (отрезки).

V. Физкультминутка:

8 раз ногою топнем,

9 раз руками хлопнем,

мы присядем 10 раз,

и наклонимся 6 раз,

мы подпрыгнем ровно

столько (показ треугольника)

Ай, да, счёт! Игра и только!

VI. Изучение нового материала.

Скоро углы подружились и стали неразлучны.

И теперь микрорайон мы будем так и называть:
микрорайон Треугольники.



Третья остановка “Знайка”.

А как зовут эти треугольники?

Давайте дадим им имена. И попробуем сами
сформулировать определение.

3 команда отвечает.

АВС -
прямоугольный.

Треугольник, в котором один угол прямой,
называется прямоугольным.

1 команда отвечает.

MNO -
остроугольный.

Треугольник, в котором все углы острые,
называется остроугольным.

2 команда отвечает.

DEF -
тупоугольный.

Треугольник, в котором один угол тупой,
называется тупоугольным.

Задание всем командам.

Начертите в тетрадях все виды треугольников.



VII. Четвёртая остановка “Закрепляйка”.

1. Найдите на чертеже треугольники, назовите их
по видам в зависимости от вида углов.

По первому чертежу отвечает 2 команда.

По второму чертежу 3 команда, по третьему — 1
команда.

2. Найди треугольники разных видов

1 команда найдет и покажет тупоугольные
треугольники.

2 команда найдёт и покажет прямоугольные
треугольники.

3 команда найдёт и покажет остроугольные
треугольники.



VIII. Следующая остановка “Соображай-ка”.

Задание всем командам.

Переложив 6 палочек, составьте из фонаря 4
равных треугольника.

Какие по виду углов получились треугольники?
(Остроугольные).

IX. Итог урока.

В каком же микрорайоне мы с вами побывали?

С какими видами треугольников познакомились?

Слово жюри.

Остроугольный треугольник — виды, свойства и признаки

Одна из центральных тем на уроках геометрии – остроугольный треугольник, составная часть своих более сложных аналогов и иных тригонометрических форм. 

Азы изучения точной науки начинаются с рассмотрения уникальной комбинации из трех сторон и острых углов.

Виды, признаки и свойства остроугольных треугольников

Трехсторонние фигуры разделяются на множество подвидов и категорий. 

Общая классификация по наибольшему углу делит их на 3 группы:

 

Они располагают как общими для формы с тремя сторонами характеристиками, так и специфическими признаками.

Общие признаки:

  • 3 угла, сумма которых равна 180°, (величина каждого меньше 90°) и 3 стороны;

  • сумма длин любых двух сторон больше оставшейся третьей.

Свойства остроугольной фигуры определяются вспомогательными геометрическими линиями, всегда находящимися внутри него:

1. Биссектрисы, делящие углы пополам, являются центром, вокруг которого можно нарисовать вписанную окружность.

2. Высоты пересекаются в одной точке, образуя ортоцентр.

3. Медианы в точке пересечения пролегают в пропорции 2:1 (2 трети до центра и 1 треть после).

Уникальные особенности зависят от разновидностей фигуры.

Равносторонний треугольник

«Идеальный» правильный треугольник, облегчающий решение задач. Определение, форма и свойства данной геометрической формы исходят из названия — все углы равны 60°, а стороны равны друг другу.

Полное равенство придает и другую особенность: медианы, биссектрисы и высоты полностью совпадают.

 

 

Разносторонний треугольник

 

Наиболее часто встречаемый на чертежах в геометрии вариант, один из самых трудноразрешимых видов. Разносторонними бывают и прямоугольные, и тупоугольные фигуры.

Уникальных отличий не имеет, только общие:

Равнобедренный остроугольный треугольник

Здесь при основании (стороне, не равной остальным) находятся равные друг другу 2 стороны и 2 угла. Выглядит как вытянутый в одну сторону равносторонний треугольник.

Особенности:

  • проведенная к основанию линия – и биссектриса, и высота, и медиана;

  • вспомогательные линии из крайних точек при основании совпадают.

Равнобедренный тупоугольный треугольник

Пусть он и называется равнобедренным, но из-за наличия угла более 90° не является остроугольным и является представителем другой группы.

Начертить его сложнее (рисунок следует начинать с основания и 2 острых углов и уже после создавать тупой), но процесс решения и изучения прост.

Отличие у него одно – точка пересечения двух высот, проведенных от углов при основании, выходит за периметр треугольника. Чтобы ее обозначить, необходимо нарисовать «продолжения» равнобедренных линий. Все остальные свойства совпадают.

В ключевых и фундаментальных разделах математики именно треугольник является основой для доказательства многих теорем и помощью в решении множества задач. Твердое знание его свойств откроет путь к успехам в расчетах, вычислениях, оформлении чертежей и фото в проектных работах.

Предыдущая

ГеометрияГеометрические фигуры — виды с названиями и основные свойства

Следующая

ГеометрияТеорема Фалеса — формулировка, доказательство и применение

Равносторонний остроугольный треугольник. Треугольник и его виды

Задачи:

1. Познакомить учащихся с разными видами
треугольников в зависимости от вида углов
(прямоугольный, остроугольный, тупоугольный).
Учиться находить на чертежах треугольники и их
виды. Закреплять основные геометрические
понятия и их свойства: прямая линия, отрезок, луч,
угол.

2. Развитие мышления, воображения,
математической речи.

3. Воспитание внимания, активности.

Ход урока

I. Организационный момент.

Много ль надо нам, ребята,
Для умелых наших рук?
Нарисуем два квадрата,
А на них огромный круг.
А потом ещё кружочки,
Треугольник колпачок.
Вот и вышел очень — очень
Развесёлый Чудачок.

II. Объявление темы урока.

Сегодня на уроке мы с вами совершим путешествие
по городу Геометрии и побываем в микрорайоне
Треугольники (т.е. познакомимся с разными видами
треугольников в зависимости от их углов, будем
учиться находить эти треугольники на чертежах.)
Проведём урок в форме “игры-соревнования” по
командам.

1 команда — “Отрезок”.

2 команда — “Луч”.

3 команда — “Угол”.

А гости будут представлять жюри.

Жюри нас по пути направит

И без вниманья не оставит. (Оценивать по баллам
5,4,3,…).

А на чём же мы будем путешествовать по городу
Геометрии? Вспомните, какие виды пассажирского
транспорта есть в городе? Нас очень много, какой
же мы выберем? (Автобус).

Автобус. Чётко, кратко. Начинается посадка.

Усаживаемся поудобнее и начнём наше
путешествие. Капитаны команд получите билеты.

Но билеты эти непростые, а билеты — “задания”.

III. Повторение пройденного материала.

Первая остановка
“ Повторяй-ка”.

Вопрос всем командам.

Найти на чертеже прямую линию и назвать её
свойства.

Без конца и края линия прямая!
Хоть сто лет по ней иди,
Не найдёшь конца пути!

  • Прямая не имеет ни начала, ни конца — она
    бесконечна, поэтому её измерить нельзя.


Начинаем наше соревнование.

Защита названий своих команд.

(Все команды читают первые вопросы и обсуждают.
По очереди капитаны команд зачитывают вопросы, 1
команда читает 1 вопрос).

1. Показать на чертеже отрезок. Что называется
отрезком. Назвать его свойства.

  • Часть прямой, ограниченная двумя точками,
    называется отрезком. У отрезка есть начало и
    конец, потому его можно измерить при помощи
    линейки.

(2 команда читает 1 вопрос).

1. Показать на чертеже луч. Что называется лучом.
Назвать его свойства.

  • Если отметить точку и из неё провести часть
    прямой, то получится изображение луча. Точка, из
    которой проведена часть прямой, называется
    началом луча.

Конца у луча нет, поэтому его измерить нельзя.

(3 команда читает 1 вопрос).

1 .Показать на чертеже угол. Что называется
углом. Назвать его свойства.

  • Проведя из одной точки два луча, получается
    геометрическая фигура, которая называется углом.
    У угла есть вершина, а сами лучи называются
    сторонами угла. Углы измеряются в градусах с
    помощью транспортира.

Физкультминутка (под музыку).

IV. Подготовка к изучению нового материала.

Вторая остановка
“Сказочная”.

На прогулке Карандаш встретил разные углы.
Хотел с ними поздороваться, да забыл, как зовут
каждого из них. Придётся Карандашу помочь.

(Углы уч-ся проверяют с помощью модели прямого
угла).

Задание командам. Прочитайте вопросы №2,
обсудите.

1 команда читает 2 вопрос.

2. Найти прямой угол, дать определение.

  • Угол величиной 90°называется прямым углом.

2 команда читает 2 вопрос.

2. Найти острый угол, дать определение.

  • Угол меньше прямого, называется острым.

3 команда читает 2 вопрос.

2. Найти тупой угол, дать определение.

Угол больше прямого, называется тупым.

В микрорайоне, где любил гулять Карандаш, все
углы отличались от других жителей тем, что гуляли
всегда втроём, пили чай втроём, ходили в кино
втроём. И Карандаш никак не мог понять, что за
геометрическую фигуру вместе составляют три
угла?

А подсказкой вам будет стихотворение.

Ты на меня, ты на него,
На всех нас посмотри.
У нас всего, у нас всего,
У нас всего по три!

О свойствах какой фигуры говорится?

  • О треугольнике.

Какая же фигура называется треугольником?

  • Треугольник — это геометрическая фигура, у
    которой три вершины, три угла, три стороны.

(Уч-ся показывают на чертеже треугольник,
называют вершины, углы и стороны).

Вершины: А, В, С (точки)

Углы: ВАС, АВС, ВСА.

Стороны: АВ, ВС, СА (отрезки).

V. Физкультминутка:

8 раз ногою топнем,
9 раз руками хлопнем,
мы присядем 10 раз,
и наклонимся 6 раз,
мы подпрыгнем ровно
столько (показ треугольника)
Ай, да, счёт! Игра и только!

VI. Изучение нового материала.

Скоро углы подружились и стали неразлучны.

И теперь микрорайон мы будем так и называть:
микрорайон Треугольники.


Третья остановка “Знайка”.

А как зовут эти треугольники?

Давайте дадим им имена. И попробуем сами
сформулировать определение.

2. Найди треугольники разных видов

1 команда найдет и покажет тупоугольные
треугольники.

2 команда найдёт и покажет прямоугольные
треугольники.

3 команда найдёт и покажет остроугольные
треугольники.


VIII. Следующая остановка “Соображай-ка”.

Задание всем командам.

Переложив 6 палочек, составьте из фонаря 4
равных треугольника.

Какие по виду углов получились треугольники?
(Остроугольные).

IX. Итог урока.

В каком же микрорайоне мы с вами побывали?

С какими видами треугольников познакомились?

Пожалуй, самой основной, простой и интересной фигурой в геометрии является треугольник. В курсе средней школы изучаются его основные свойства, однако иногда знания по этой теме формируются неполными. Виды треугольников изначально определяют их свойства. Но подобное представление остается смешанным. Поэтому сейчас разберем немного подробнее эту тему.

Виды треугольников зависят от градусной меры углов. Эти фигуры бывают остро-, прямо- и тупоугольными. Если все углы не превышают значения в 90 градусов, то фигуру смело можно назвать остроугольной. Если хотя бы один угол треугольника равен 90 градусам, то вы имеете дело с прямоугольным подвидом. Соответственно, во всех остальных случаях рассматриваемую называют тупоугольной.

Существует множество задач для остроугольных подвидов. Отличительной чертой является внутреннее местонахождение точек пересечения биссектрис, медиан и высот. В других случаях это условие может не выполняться. Определить тип фигуры “треугольник” нетрудно. Достаточно знать, например, косинус каждого угла. Если какие-нибудь значения меньше нуля, значит, треугольник в любом случае является тупоугольным. В случае нулевого показателя фигура обладает прямым углом. Все положительные значения гарантированно подскажут вам о том, что перед вами остроугольный вид.

Нельзя не сказать о правильном треугольнике. Это самый идеальный вид, где совпадают все точки пересечения медиан, биссектрис и высот. Центр вписанной и описанной окружности лежит также в одном месте. Для решения задач необходимо знать только одну сторону, так как вам углы изначально заданы, а две другие стороны известной. То есть фигура задается только одним параметром. Существуют Их главная особенность — равенство двух сторон и углов при основании.

Иногда встречается вопрос о том, существует ли треугольник с заданными сторонами. На самом деле вас спрашивают, подходит ли данное описание под основные виды. Например, если сумма двух сторон меньше третьей, то в реальности такой фигуры не существует вообще. Если в задании просят найти косинусы углов треугольника со сторонами 3,5,9, то здесь очевидный можно объяснить без сложных математических приемов. Предположим, вы хотите из пункта A попасть в пункт B. Расстояние по прямой равно 9 километрам. Однако вы вспомнили, что необходимо зайти в пункт C в магазин. Расстояние от А до С равно 3 километрам, а от С до В — 5. Таким образом получается, что, двигаясь через магазин, вы пройдете на один километр меньше. Но так как пункт C не расположен на прямой AB, то вам придется пройти лишнее расстояние. Здесь возникает противоречие. Это, конечно, условное объяснение. Математика знает не один способ доказательства того, что все виды треугольников подчиняются основному тождеству. Оно гласит о том, что сумма двух сторон больше длины третьей.

Любой вид обладает следующими свойствами:

1) Сумма всех углов равняется 180 градусам.

2) Всегда существует ортоцентр — точка пересечения всех трех высот.

3) Все три медианы, проведенные из вершин внутренних углов, пересекаются в одном месте.

4) Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Также можно вписать круг так, чтобы он имел только три точки соприкосновения и не выходил за внешние стороны.

Теперь вы познакомились с основными свойствами, которыми обладают различные виды треугольников. В будущем важно понимать, с чем вы имеете дело при решении задачи.

Еще дети дошкольного возраста знают, как выглядит треугольник. А вот с тем, какие они бывают, ребята уже начинают разбираться в школе. Одним из видов является тупоугольный треугольник. Понять, что это такое, проще всего, если увидеть картинку с его изображением. А в теории это так называют «простейший многоугольник» с тремя сторонами и вершинами, одна из которых является

Разбираемся с понятиями

В геометрии различают такие виды фигур с тремя сторонами: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. При этом свойства этих простейших многоугольников одинаковы для всех. Так, для всех перечисленных видов будет соблюдаться такое неравенство. Сумма длин любых двух сторон обязательно будет больше протяженности третьей стороны.

Но для того чтобы быть уверенным, что речь идет именно о законченной фигуре, а не о наборе отдельных вершин, необходимо проверить, чтобы соблюдалось основное условие: сумма углов тупоугольного треугольника равняется 180 о. Это же верно и для других видов фигур с тремя сторонами. Правда, в тупоугольном треугольнике один из углов будет еще больше 90 о, а два оставшихся обязательно будут острыми. При этом именно наибольший угол будет находиться напротив самой длинной стороны. Правда, это далеко не все свойства тупоугольного треугольника. Но и зная лишь эти особенности, школьники могут решать многие задачи по геометрии.

Для каждого многоугольника с тремя вершинами верно и то, что, продолжая любую из сторон, мы получим угол, размер которого будет равен сумме двух несмежных с ним внутренних вершин. Периметр тупоугольного треугольника рассчитывается так же, как и для других фигур. Он равняется сумме длин всех его сторон. Для определения математиками были выведены различные формулы, в зависимости от того, какие изначально присутствуют данные.

Правильное начертание

Одним из важнейших условий решения задач по геометрии является верный рисунок. Часто учителя математики говорят о том, что он поможет не только наглядно представить, что дано и что от вас требуется, но на 80% приблизиться к правильному ответу. Именно поэтому важно знать, как построить тупоугольный треугольник. Если вам нужна просто гипотетическая фигура, то вы можете нарисовать любой многоугольник с тремя сторонами так, чтобы один из углов был больше 90 о.

Если даны определенные значения длин сторон или градусы углов, то чертить тупоугольный треугольник необходимо в соответствии с ними. При этом необходимо стараться максимально точно изобразить углы, высчитывая их при помощи транспортира, и пропорционально данным в задании условиям отобразить стороны.

Основные линии

Зачастую школьникам мало знать только то, как должны выглядеть те или иные фигуры. Они не могут ограничиться лишь информацией о том, какой треугольник тупоугольный, а какой прямоугольный. Курсом математики предусмотрено, что их знания об основных особенностях фигур должны быть более полными.

Так, каждому школьнику должно быть понятно определение биссектрисы, медианы, серединного перпендикуляра и высоты. Кроме того, он должен знать и их основные свойства.

Так, биссектрисы делят угол пополам, а противоположную сторону — на отрезки, которые пропорциональны прилегающим сторонам.

Медиана делит любой треугольник на два равных по площади. В точке, в которой они пересекаются, каждая из них разбивается на 2 отрезка в пропорции 2: 1, если смотреть от вершины, из которой она вышла. При этом большая медиана всегда проведена к его наименьшей стороне.

Не меньше внимания уделяется и высоте. Это перпендикуляр к противоположной от угла стороне. Высота тупоугольного треугольника имеет свои особенности. Если она проведена из острой вершины, то она попадает не на сторону этого простейшего многоугольника, а на ее продолжение.

Серединный перпендикуляр — это отрезок, который выходит из центра грани треугольника. При этом он расположен к ней под прямым углом.

Работа с окружностями

В начале изучения геометрии детям достаточно понять, как начертить тупоугольный треугольник, научиться отличать его от остальных видов и запомнить его основные свойства. А вот старшеклассникам этих знаний уже мало. Например, на ЕГЭ часто встречаются вопросы про описанные и вписанные окружности. Первая из них касается всех трех вершин треугольника, а вторая имеет по одной общей точке со всеми сторонами.

Построить вписанный или описанный тупоугольный треугольник уже намного сложнее, ведь для этого необходимо для начала выяснить, где должен находиться центр окружности и ее радиус. Кстати, необходимым инструментом станет в этом случае не только карандаш с линейкой, но и циркуль.

Те же сложности возникают при построении вписанных многоугольников с тремя сторонами. Математиками были выведены различные формулы, которые позволяют определить их месторасположение максимально точно.

Вписанные треугольники

Как уже было сказано ранее, если круг проходит через все три вершины, то это называется описанной окружностью. Главным ее свойством является то, что она единственная. Чтобы выяснить, как должна располагаться описанная окружность тупоугольного треугольника, необходимо помнить, что ее центр находится на пересечении трех серединных перпендикуляров, которые идут к сторонам фигуры. Если в остроугольном многоугольнике с тремя вершинами эта точка будет находиться внутри него, то в тупоугольном — за его пределами.

Зная, например, что одна из сторон тупоугольного треугольника равна его радиусу, можно найти угол, который лежит напротив известной грани. Его синус будет равен результату от деления длины известной стороны на 2R (где R — это радиус окружности). То есть sin угла будет равен ½. Значит, угол будет равен 150 о.

Если вам необходимо найти радиус описанной окружности тупоугольного треугольника, то вам пригодятся сведения о длине его сторон (c, v, b) и его площади S. Ведь радиус высчитывается так: (c х v х b) : 4 х S. Кстати, неважно, какого именно у вас вида фигура: разносторонний тупоугольный треугольник, равнобедренный, прямо- или остроугольный. В любой ситуации, благодаря приведенной формуле, вы можете узнать площадь заданного многоугольника с тремя сторонами.

Описанные треугольники

Также довольно часто приходится работать со вписанными окружностями. По одной из формул, радиус такой фигуры, умноженный на ½ периметра, будет равняться площади треугольника. Правда, для ее выяснения вам необходимо знать стороны тупоугольного треугольника. Ведь для того чтобы определить ½ периметра, необходимо сложить их длины и разделить на 2.

Чтобы понять, где должен находиться центр круга, вписанного в тупоугольный треугольник, необходимо провести три биссектрисы. Это линии, которые делят углы пополам. Именно на их пересечении и будет находиться центр окружности. При этом он будет равноудален от каждой из сторон.

Радиус такой окружности, вписанной в тупоугольный треугольник, равняется из частного (p-c) х (p-v) х (p-b) : p. При этом p — это полупериметр треугольника, c, v, b — его стороны.

При изучении математики ученики начинаются знакомиться с различными видами геометрических фигур. Сегодня речь пойдет о различных видах треугольников.

Определение

Геометрические фигуры, которые состоят из трех точек, которые не находятся на одной прямой, называются треугольниками.

Отрезки, соединяющие точки, называются сторонами, а точки – вершинами. Вершины обозначаются большими латинскими буквами, например: A, B, C.

Стороны обозначаются названиями двух точек, из которых они состоят – AB, BC, AC. Пересекаясь, стороны образуют углы. Нижняя сторона считается основанием фигуры.

Рис. 1. Треугольник ABC.

Виды треугольников

Треугольники классифицируют по углам и сторонам. Каждый из видов треугольника имеет свои свойства.

Существует три вида треугольников по углам:

  • остроугольные;
  • прямоугольные;
  • тупоугольные.

Все углы остроугольного
треугольника острые, то есть градусная мера каждого составляет не более 90 0 .

Прямоугольный
треугольник содержит прямой угол. Два других угла всегда будут острыми, так как иначе сумма углов треугольника превысит 180 градусов, а это невозможно. Сторона, которая, находится напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие катетами. Гипотенуза всегда больше катета.

Тупоугольный
треугольник содержит тупой угол. То есть угол, величиной больше 90 градусов. Два других угла в таком треугольника будут острыми.

Рис. 2. Виды треугольников по углам.

Пифагоровым треугольником называется прямоугольник, стороны которого равны 3, 4, 5.

Причем, большая сторона является гипотенузой.

Такие треугольники часто используются для составления простых задач в геометрии. Поэтому, запомните: если две стороны треугольника равны 3, то третья обязательно будет 5. Это упростит расчеты.

Виды треугольников по сторонам:

  • равносторонние;
  • равнобедренные;
  • разносторонние.

Равносторонний
треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. Все углы такого треугольника равны 60 0 , то есть он всегда является остроугольным.

Равнобедренный
треугольник – треугольник, у которого только две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья – основанием. Кроме того, углы при основании равнобедренного треугольника равны и всегда являются острыми.

Разносторонним
или произвольным треугольником называется треугольник, у которого все длины и все углы не равны между собой.

Если в задаче нет никаких уточнений по поводу фигуры, то принято считать, что речь идет о произвольном треугольнике.

Рис. 3. Виды треугольников по сторонам.

Сумма всех углов треугольника, независимо от его вида, равна 1800.

Напротив большего угла находится большая сторона. А также длина любой стороны всегда меньше суммы двух других его сторон. Эти свойства подтверждаются теоремой о неравенстве треугольника.

Существует понятие золотого треугольника. Это равнобедренный треугольник, у которого две боковые стороны пропорциональны основе и равны определенному числу. В такой фигуре углы пропорциональны соотношению 2:2:1.

Задача:

Существует ли треугольник, стороны которого равны 6 см., 3 см., 4 см.?

Решение:

Для решения данного задания нужно использовать неравенство a

Что мы узнали?

Из данного материала из курса математики 5 класса, мы узнали, что треугольники классифицируются по сторонам и величине углов. Треугольники имеют определенные свойства, которые можно использовать при решении заданий.

Сегодня мы отправляемся в страну Геометрия, где познакомимся с различными видами треугольников.

Рассмотрите геометрические фигуры и найдите среди них «лишнюю» (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что фигуры № 1, 2, 3, 5 — четырехугольники. Каждая из них имеет свое название (рис. 2).

Рис. 2. Четырехугольники

Значит, «лишней» фигурой является треугольник (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Точки называются вершинами треугольника
, отрезки — его сторонами
. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

Основными признаками треугольника являются три стороны и три угла.
По величине угла треугольники бывают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Треугольник называется остроугольным, если все три угла его острые, то есть меньше 90° (рис. 4).

Рис. 4. Остроугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов равен 90° (рис. 5).

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, то есть больше 90° (рис. 6).

Рис. 6. Тупоугольный треугольник

По числу равных сторон треугольники бывают равносторонние, равнобедренные, разносторонние.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны (рис. 7).

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

Эти стороны называются боковыми
, третья сторона — основанием
. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Равнобедренные треугольники бывают остроугольными и тупоугольными
(рис. 8).

Рис. 8. Остроугольный и тупоугольный равнобедренные треугольники

Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны (рис. 9).

Рис. 9. Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все углы равны
. Равносторонние треугольники
всегда остроугольные.

Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину (рис. 10).

Рис. 10. Разносторонний треугольник

Выполните задание. Распределите данные треугольники на три группы (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию

Сначала распределим по величине углов.

Остроугольные треугольники: № 1, № 3.

Прямоугольные треугольники: № 2, № 6.

Тупоугольные треугольники: № 4, № 5.

Эти же треугольники распределим на группы по числу равных сторон.

Разносторонние треугольники: № 4, № 6.

Равнобедренные треугольники: № 2, № 3, № 5.

Равносторонний треугольник: № 1.

Рассмотрите рисунки.

Подумайте, из какого куска проволоки сделали каждый треугольник (рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к заданию

Можно рассуждать так.

Первый кусок проволоки разделен на три равные части, поэтому из него можно сделать равносторонний треугольник. На рисунке он изображен третьим.

Второй кусок проволоки разделен на три разные части, поэтому из него можно сделать разносторонний треугольник. На рисунке он изображен первым.

Третий кусок проволоки разделен на три части, где две части имеют одинаковую длину, значит, из него можно сделать равнобедренный треугольник. На рисунке он изображен вторым.

Сегодня на уроке мы познакомились с различными видами треугольников.

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.
  1. Nsportal.ru ().
  2. Prosv.ru ().
  3. Do.gendocs.ru ().

Домашнее задание

1. Закончите фразы.

а) Треугольником называется фигура, которая состоит из …, не лежащих на одной прямой, и …, попарно соединяющих эти точки.

б) Точки называются
, отрезки — его
. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника ….

в) По величине угла треугольники бывают … , … , … .

г) По числу равных сторон треугольники бывают … , … , … .

2. Начертите

а) прямоугольный треугольник;

б) остроугольный треугольник;

в) тупоугольный треугольник;

г) равносторонний треугольник;

д) разносторонний треугольник;

е) равнобедренный треугольник.

3. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

Различение треугольников по видам углов. | Презентация урока для интерактивной доски по математике (5 класс):

Тема: Различение треугольников по видам углов.

Цель: 

1. Повторить виды углов. Закрепить умение различать и строить треугольники в зависимости от видов углов.

2. Развивать способность группировать геометрические фигуры  по

определенным признакам, классифицировать их.

3. Воспитывать аккуратность, старательность.

Оборудование:

  1. компьютер;
  2. проектор;
  3. экран;
  4. презентация;
  5. треугольники, модели треугольников, эмблемы треугольников;
  6. карточки с заданиями;
  7. цветные карандаши.
  1. Организационный момент. Слайд 1
  2. Повторение видов углов.

 1. Слайд 2

-Назовите фигуру, изображенную на экране. (Угол)

-Из каких элементов он состоит? (Из вершины и двух сторон.)

-Вставьте в предложение нужные слова и запишите:

              Это….., он состоит из ….. и ….. .

2. Слайд 3

-Определите виды углов и запишите. (1 – прямой угол, 2 – тупой угол, 3 – острый угол.)

-Какие же углы бывают?  (Прямые, тупые, острые.)

3. Слайд 4

-Начертите углы разного цвета: прямой угол – синего цвета, тупой угол – зеленого цвета, острый угол – красного цвета.

-Проверьте себя.  Слайд 5

III. Повторение: «Элементы треугольника». Слайд 6

-Как называется эта фигура? (Треугольник.) 

-Постройте такой же треугольник.

-Выделите зеленым карандашом углы треугольника.

-Выделите красным карандашом вершины треугольника.

-Вставьте в предложение нужные слова.

           Это …, у него 3  …, 3 … и 3 ….

IV. Закрепление умения различать и строить треугольники в зависимости от видов углов.

1. Слайд 7

-Начертите такие же углы, достройте каждый угол до треугольника.

-Какие углы у вас были?

-Какие треугольники получились?

-Как же построить прямоугольный треугольник?

-Как построить остроугольный треугольник?

-Как построить тупоугольный треугольник?

2. Слайд 8

-Какие же треугольники бывают по видам углов?

3. Дидактическая игра «Лишняя фигура». Слайд 9

-Какой треугольник лишний? (зеленый.)

-Почему? (Потому что, все треугольники остроугольные, а зеленый – прямоугольный.)

4. Работа с таблицей.  Слайд 10

Классификация треугольников по видам углов.

Какие у треугольника углы?

Название треугольника

Как выглядит треугольник?

Все углы острые

Один угол прямой

Один угол тупой

(Такие же таблицы у детей.)

-Ребята, рассмотрите и заполните таблицу.

(Проверка заполнения таблицы.)

V. Домашнее задание.   Слайд 11

-Постройте красным карандашом прямоугольный треугольник, синим – тупоугольный, зеленым – остроугольный. Обозначьте буквами.

 Задание на карточках.   

VI.  Итог.  

-Над какой темой мы работали сегодня на уроке?

-Чем занимались?

-Какие бывают треугольники по видам углов?

-Как называется треугольник, у которого один угол прямой, а два других острые?

-Как называется треугольник, у которого один угол тупой, а два других острые?

-Как называется треугольник, у которого все три угла острые?  

VII.  Оценки.                                                 

Высота треугольника (ЕГЭ 2022) | YouClever

В треугольнике проведено две высоты

Первый «неожиданный факт»:

\( \displaystyle \Delta AB{{H}_{A}}\sim \Delta ~CB{{H}_{C}}\)

Почему бы это? Да очень просто! У них общий угол \( \displaystyle B\) и оба – прямоугольные. Значит, подобны по двум углам.

Второй «неожиданный» факт:

\( \Delta A{{H}_{C}}H\sim{\ }\Delta C{{H}_{A}}H\)

Здесь тоже подобие по двум углам: \( \angle 1=\angle 2\) (как вертикальные) и по прямому углу.

Третий, по-настоящему неожиданный факт:

\( \Delta ABC\sim \Delta {{H}_{A}}B{{H}_{C}}\)

Вот это уже интереснее, правда? Давай разбираться, почему так.

Во-первых, конечно, у этих треугольников есть одинаковый (и даже общий) угол \( B\).

А во-вторых… Ты помнишь ещё первый “неожиданный” факт? Ну, что \( \Delta A{{H}_{A}}B\sim \Delta C{{H}_{C}}B\)?

Вспоминаем и применяем!

Запишем отношения соответствующих сторон.

Итак, \( \Delta A{{H}_{A}}B\sim \Delta C{{H}_{C}}B\).

Следовательно, \( \frac{{{H}_{C}}B}{{{H}_{A}}B}=\frac{BC}{AB}\)

Перепишем по–другому: \( \frac{{{H}_{C}}B}{BC}=\frac{{{H}_{A}}B}{AB}\)

Ух, да это же – отношение сторон для треугольников \( ABC\) и \( {{H}_{A}}B{{H}_{C}}\)!

В итоге мы получили, что у треугольников \( ABC\) и \( {{H}_{A}}B{{H}_{C}}\)

  • Угол \( B\) – общий;
  • Отношение сторон, заключающих этот угол – одинаковы: \( \frac{{{H}_{C}}B}{BC}=\frac{{{H}_{A}}B}{AB}\).

Значит, мы получили, что:

\( \Delta ABC\sim \Delta {{H}_{A}}B{{H}_{C}}\)

Но самое интересное ещё впереди!

Каков же коэффициент подобия этих треугольников? То есть чему же равно это самое отношение \( \frac{{{H}_{C}}B}{BC}\)?

Рисуем:

Где наши знания о прямоугольном треугольнике?

Что такое \( {{H}_{C}}B\)? Катет, прилежащий к углу \( B\).

А что такое \( BC\)?

Гипотенуза!

Значит, \( \frac{{{H}_{C}}B}{BC}=cos\angle B\).

Потрясающе, не правда ли?

Давай сформулируем ещё раз, чтобы лучше запомнить:

\( \displaystyle \Delta {{H}_{A}}B{{H}_{C}}\sim \Delta ABC\)\( k=\cos \angle B\)

Ну вот, две высоты в треугольнике рассмотрены.

А теперь… как ты уже догадался… три высоты!

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Серединный перпендикуляр к отрезку

      Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Рис.1

      Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку   D,   лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку   AB   (рис.2), и докажем, что треугольники   ADC   и   BDC   равны.

Рис.2

      Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты   AC   и   BC   равны, а катет   DC   является общим. Из равенства треугольников   ADC   и   BDC   вытекает равенство отрезков   AD   и   DB.   Теорема 1 доказана.

      Теорема 2 (Обратная  к теореме 1). Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

      Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка   E   находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки   E   и   A   лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок   EA   пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой   D.

Рис.3

      Докажем, что отрезок   AE   длиннее отрезка   EB.   Действительно,

      Таким образом, в случае, когда точки   E   и   A   лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Рис.4

      Теперь рассмотрим случай, когда точки   E   и   A   лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок   EB   длиннее отрезка   AE.   Действительно,

      Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

      Определение 2. Окружностью, описанной около треугольника, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником.

Рис.5

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Фигура Рисунок Свойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольника Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где   a , b , c   – стороны треугольника,   A , B , С   – углы треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где   A , B , С   – углы треугольника,   S   – площадь треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где   a , b , c   – стороны треугольника,   S   – площадь треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Посмотреть доказательство

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Посмотреть доказательство

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Посмотреть доказательство

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где   a , b , c   – стороны треугольника,   A , B , С   – углы треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где   A , B , С   – углы треугольника,   S   – площадь треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где   a , b , c   – стороны треугольника,   S   – площадь треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

      Теорема 3. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам   AC   и   AB   треугольника   ABC,   и обозначим точку их пересечения буквой   O   (рис. 6).

Рис.6

      Поскольку точка   O   лежит на серединном перпендикуляре к отрезку   AC,   то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

CO = AO .

      Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку   AB,   то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

AO = BO .

      Следовательно, справедливо равенство:

CO = BO ,

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку   BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

      Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

      Доказательство. Рассмотрим точку   O,   в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника   ABC   (рис. 6).

      При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

AO = OB = OC ,

из которого вытекает, что окружность с центром в точке   O   и радиусами   OA,   OB,   OC   проходит через все три вершины треугольника   ABC,   что и требовалось доказать.

      Теорема 4 (теорема синусов). Для любого треугольника (рис. 7)

Рис.7

справедливы равенства:

.

      Доказательство. Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса   R хорды окружности радиуса   R,   на которую опирается вписанный угол величины   φ ,   вычисляется по формуле:

      Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Рис.8

      Угол   MPN,   как угол,опирающийся на диаметр, является прямым угломугол,опирающийся на диаметр, является прямым углом, и равенство (1) вытекает из определения синуса угла прямоугольного треугольника.

      Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

      Формула (1) доказана.

      Из формулы (1) для вписанного треугольника   ABC   получаем (рис.7):

      Теорема синусов доказана.

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Треугольники и их углы. Что такое остроугольный треугольник

Треугольник — определение и общие понятия

Треугольник – это такой простой многоугольник, состоящий из трех сторон и имеющий столько же углов. Его плоскости ограничиваются 3 точками и 3 отрезками, попарно соединяющими даные точки.

Все вершины любого треугольника, независимо от его разновидности, обозначаются заглавными латинскими буквами, а его стороны изображаются соответствующими обозначениями противоположных вершин, только не большими буквами, а малыми. Так, например, треугольник с вершинами обозначенными буквами А, В и С имеет стороны a, b, c.

Если рассматривать треугольник в евклидовом пространстве, то это такая геометрическая фигура, которая образовалась с помощью трех отрезков, соединяющих три точки, которые не лежат на одной прямой.

Посмотрите внимательно на рисунок, который изображен вверху. На нем точки А, В и С являются вершинами этого треугольника, а его отрезки носят названия сторон треугольника. Каждая вершина этого многоугольника образует внутри его углы.

Виды треугольников

Согласно величины, углов треугольников, они делятся на такие разновидности, как:
Прямоугольные;
Остроугольные;
Тупоугольные.

К прямоугольным принадлежат такие треугольники, у которых в наличии есть один прямой угол, а остальные два имеют острые углы.

Остроугольные треугольники – это те, у которых все его углы острые.

А если у треугольника имеется один тупой угол, а два остальных угла острые, то такой треугольник относится к тупоугольным.

Каждый из вас прекрасно понимает, что не все треугольники имеют равные стороны. И соответственно тому, какую длину имеют его стороны, треугольники можно поделить на:

Равнобедренные;
Равносторонние;
Разносторонние.

Задание: Нарисуйте разные виды треугольников. Дайте им определение. Какое между ними отличие вы видите?

Основные свойства треугольников

Хотя эти простые многоугольники могут отличаться друг от друга величиной углов или сторон, но в каждом треугольнике есть основные свойства, характерны для этой фигуры.

В любом треугольнике:

Общая сумма всех его углов равняется 180º.
Если он принадлежит к равносторонним, то каждый его угол равен 60º.
Равносторонний треугольник имеет одинаковые и ровные между собой углы.
Чем меньше сторона многоугольника, тем меньший угол расположен напротив него и наоборот напротив большей стороны находиться больший угол.
Если стороны равные, то напротив них расположены равные углы, и наоборот.
Если взять треугольник и продлить его сторону, то в итоге мы образуется внешний угол. Он равен сумме внутренних углов.
В любом треугольнике его сторона, независимо от того, какую бы вы не выбрали, все равно будет меньше, чем сумма 2-х других сторон, но больше чем их разность:

1. a b – c;
2. b a – c;
3. c a – b.

Задание

В таблице приведены уже известные два угла треугольника. Зная общую сумму всех углов найдите, чему равен третий угол треугольника и занесите в таблицу:

1. Сколько градусов имеет третий угол?
2. К какому виду треугольников он относится?

Признаки равности треугольников

I признак

II признак

III признак

Высота, биссектриса и медиана треугольника

Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины фигуры к его противоположной стороне, называется высотой треугольника. Все высоты треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения всех 3-х высот треугольника является его ортоцентром.

Отрезок, проведенный из данной вершины и соединяющий ее на средине противоположной стороны, является медианой. Медианы, также как и высоты треугольника, имеют одну общую точку пересечения, так называемый центр тяжести треугольника или центроид.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину угла и точку противоположной стороны, а также делящий этот угол пополам. Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которую называют центром окружности, вписанной в треугольник.

Отрезок, который соединяет середины 2-х сторон треугольника, называется средней линией.

Историческая справка

Такая фигура, как треугольник, была известна еще в Древние времена. Об этой фигуре и ее свойствах упоминалось на египетских папирусах четырех тысячелетней давности.
Немного позже, благодаря теореме Пифагора и формуле Герона, изучение свойства треугольника, перешло на более высокий уровень, но все же, это происходило более двух тысяч лет назад.

В XV – XVI веках стали проводить много исследований о свойствах треугольника и в итоге возникла такая наука, как планиметрия, которая получила название «Новая геометрия треугольника».

Ученый из России Н. И.Лобачевский внес огромный вклад в познание свойств треугольников. Его труды в дальнейшем нашли применение как в математике, так и физике и кибернетике.

Благодаря знаниям свойств треугольников возникла и такая наука, как тригонометрия. Она оказалась необходимой для человека в его практических потребностях, так как ее применение просто необходимо при составлении карт, измерении участков, да и при конструировании различных механизмов.

А какой самый известный треугольник вы знаете? Это конечно же Бермудский треугольник! Он получил такое название в 50-х годах из-за географического расположения точек (вершин треугольника), внутри которых, согласно существующей теории, возникали связанные с ним аномалии. Вершинами Бермудского треугольника выступают Бермудские острова, Флорида и Пуэрто-Рико.

Задание: А какие теории о Бермудском треугольнике слышали вы?

А известно ли вам, что в теории Лобачевского при сложении углов треугольника их сумма всегда имеет результат меньший, чем 180º. В геометрии Римана, сумма всех углов треугольника больше 180º, а в трудах Эвклида она равна 180 градусам.

Домашнее задание

Решите кроссворд на заданную тему

Вопросы к кроссворду:

1. Как называется перпендикуляр, который провели из вершины треугольника к прямой, расположенной на противоположной стороне?
2. Как, одним словом можно назвать сумму длин сторон треугольника?
3. Назовите треугольник, у которого две стороны равны?
4. Назовите треугольник, у которого есть угол, равный 90°?
5. Какое название носит большая, из сторон треугольника?
6. Название стороны равнобедренного треугольника?
7. Их всегда три в любом треугольнике.
8. Какое название носит треугольник, у которого один из углов превышает 90°?
9. Название отрезка, соединяющего вершину нашей фигуры со срединой противоположной стороны?
10. В простом многоугольнике АВС, заглавная буква А является …?
11. Какое название носит отрезок, делящий угол треугольника пополам.

Вопросы к теме треугольников:

1. Дайте определение.
2. Сколько высот он имеет?
3. Сколько биссектрис у треугольника?
4. Чему равна его сумма углов?
5. Какие виды этого простого многоугольника вам известны?
6. Назовите точки треугольников, которые носят название замечательных.
7. Каким прибором можно измерить величину угла?
8. Если стрелки часов показывают 21 час. Какой угол образуют часовые стрелки?
9. На какой угол поворачивается человек, если ему дана команда «налево», «кругом»?
10. Какие еще определения вам известны, которые связанные с фигурой, имеющей три угла и три стороны?

Предмети > Математика > Математика 7 класс

Сегодня мы отправляемся в страну Геометрия, где познакомимся с различными видами треугольников.

Рассмотрите геометрические фигуры и найдите среди них «лишнюю» (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что фигуры № 1, 2, 3, 5 — четырехугольники. Каждая из них имеет свое название (рис. 2).

Рис. 2. Четырехугольники

Значит, «лишней» фигурой является треугольник (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Точки называются вершинами треугольника
, отрезки — его сторонами
. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

Основными признаками треугольника являются три стороны и три угла.
По величине угла треугольники бывают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Треугольник называется остроугольным, если все три угла его острые, то есть меньше 90° (рис. 4).

Рис. 4. Остроугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов равен 90° (рис. 5).

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, то есть больше 90° (рис. 6).

Рис. 6. Тупоугольный треугольник

По числу равных сторон треугольники бывают равносторонние, равнобедренные, разносторонние.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны (рис. 7).

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

Эти стороны называются боковыми
, третья сторона — основанием
. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Равнобедренные треугольники бывают остроугольными и тупоугольными
(рис. 8).

Рис. 8. Остроугольный и тупоугольный равнобедренные треугольники

Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны (рис. 9).

Рис. 9. Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все углы равны
. Равносторонние треугольники
всегда остроугольные.

Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину (рис. 10).

Рис. 10. Разносторонний треугольник

Выполните задание. Распределите данные треугольники на три группы (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию

Сначала распределим по величине углов.

Остроугольные треугольники: № 1, № 3.

Прямоугольные треугольники: № 2, № 6.

Тупоугольные треугольники: № 4, № 5.

Эти же треугольники распределим на группы по числу равных сторон.

Разносторонние треугольники: № 4, № 6.

Равнобедренные треугольники: № 2, № 3, № 5.

Равносторонний треугольник: № 1.

Рассмотрите рисунки.

Подумайте, из какого куска проволоки сделали каждый треугольник (рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к заданию

Можно рассуждать так.

Первый кусок проволоки разделен на три равные части, поэтому из него можно сделать равносторонний треугольник. На рисунке он изображен третьим.

Второй кусок проволоки разделен на три разные части, поэтому из него можно сделать разносторонний треугольник. На рисунке он изображен первым.

Третий кусок проволоки разделен на три части, где две части имеют одинаковую длину, значит, из него можно сделать равнобедренный треугольник. На рисунке он изображен вторым.

Сегодня на уроке мы познакомились с различными видами треугольников.

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.
  1. Nsportal.ru ().
  2. Prosv.ru ().
  3. Do.gendocs.ru ().

Домашнее задание

1. Закончите фразы.

а) Треугольником называется фигура, которая состоит из …, не лежащих на одной прямой, и …, попарно соединяющих эти точки.

б) Точки называются
, отрезки — его
. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника ….

в) По величине угла треугольники бывают … , … , … .

г) По числу равных сторон треугольники бывают … , … , … .

2. Начертите

а) прямоугольный треугольник;

б) остроугольный треугольник;

в) тупоугольный треугольник;

г) равносторонний треугольник;

д) разносторонний треугольник;

е) равнобедренный треугольник.

3. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

Еще дети дошкольного возраста знают, как выглядит треугольник. А вот с тем, какие они бывают, ребята уже начинают разбираться в школе. Одним из видов является тупоугольный треугольник. Понять, что это такое, проще всего, если увидеть картинку с его изображением. А в теории это так называют «простейший многоугольник» с тремя сторонами и вершинами, одна из которых является

Разбираемся с понятиями

В геометрии различают такие виды фигур с тремя сторонами: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. При этом свойства этих простейших многоугольников одинаковы для всех. Так, для всех перечисленных видов будет соблюдаться такое неравенство. Сумма длин любых двух сторон обязательно будет больше протяженности третьей стороны.

Но для того чтобы быть уверенным, что речь идет именно о законченной фигуре, а не о наборе отдельных вершин, необходимо проверить, чтобы соблюдалось основное условие: сумма углов тупоугольного треугольника равняется 180 о. Это же верно и для других видов фигур с тремя сторонами. Правда, в тупоугольном треугольнике один из углов будет еще больше 90 о, а два оставшихся обязательно будут острыми. При этом именно наибольший угол будет находиться напротив самой длинной стороны. Правда, это далеко не все свойства тупоугольного треугольника. Но и зная лишь эти особенности, школьники могут решать многие задачи по геометрии.

Для каждого многоугольника с тремя вершинами верно и то, что, продолжая любую из сторон, мы получим угол, размер которого будет равен сумме двух несмежных с ним внутренних вершин. Периметр тупоугольного треугольника рассчитывается так же, как и для других фигур. Он равняется сумме длин всех его сторон. Для определения математиками были выведены различные формулы, в зависимости от того, какие изначально присутствуют данные.

Правильное начертание

Одним из важнейших условий решения задач по геометрии является верный рисунок. Часто учителя математики говорят о том, что он поможет не только наглядно представить, что дано и что от вас требуется, но на 80% приблизиться к правильному ответу. Именно поэтому важно знать, как построить тупоугольный треугольник. Если вам нужна просто гипотетическая фигура, то вы можете нарисовать любой многоугольник с тремя сторонами так, чтобы один из углов был больше 90 о.

Если даны определенные значения длин сторон или градусы углов, то чертить тупоугольный треугольник необходимо в соответствии с ними. При этом необходимо стараться максимально точно изобразить углы, высчитывая их при помощи транспортира, и пропорционально данным в задании условиям отобразить стороны.

Основные линии

Зачастую школьникам мало знать только то, как должны выглядеть те или иные фигуры. Они не могут ограничиться лишь информацией о том, какой треугольник тупоугольный, а какой прямоугольный. Курсом математики предусмотрено, что их знания об основных особенностях фигур должны быть более полными.

Так, каждому школьнику должно быть понятно определение биссектрисы, медианы, серединного перпендикуляра и высоты. Кроме того, он должен знать и их основные свойства.

Так, биссектрисы делят угол пополам, а противоположную сторону — на отрезки, которые пропорциональны прилегающим сторонам.

Медиана делит любой треугольник на два равных по площади. В точке, в которой они пересекаются, каждая из них разбивается на 2 отрезка в пропорции 2: 1, если смотреть от вершины, из которой она вышла. При этом большая медиана всегда проведена к его наименьшей стороне.

Не меньше внимания уделяется и высоте. Это перпендикуляр к противоположной от угла стороне. Высота тупоугольного треугольника имеет свои особенности. Если она проведена из острой вершины, то она попадает не на сторону этого простейшего многоугольника, а на ее продолжение.

Серединный перпендикуляр — это отрезок, который выходит из центра грани треугольника. При этом он расположен к ней под прямым углом.

Работа с окружностями

В начале изучения геометрии детям достаточно понять, как начертить тупоугольный треугольник, научиться отличать его от остальных видов и запомнить его основные свойства. А вот старшеклассникам этих знаний уже мало. Например, на ЕГЭ часто встречаются вопросы про описанные и вписанные окружности. Первая из них касается всех трех вершин треугольника, а вторая имеет по одной общей точке со всеми сторонами.

Построить вписанный или описанный тупоугольный треугольник уже намного сложнее, ведь для этого необходимо для начала выяснить, где должен находиться центр окружности и ее радиус. Кстати, необходимым инструментом станет в этом случае не только карандаш с линейкой, но и циркуль.

Те же сложности возникают при построении вписанных многоугольников с тремя сторонами. Математиками были выведены различные формулы, которые позволяют определить их месторасположение максимально точно.

Вписанные треугольники

Как уже было сказано ранее, если круг проходит через все три вершины, то это называется описанной окружностью. Главным ее свойством является то, что она единственная. Чтобы выяснить, как должна располагаться описанная окружность тупоугольного треугольника, необходимо помнить, что ее центр находится на пересечении трех серединных перпендикуляров, которые идут к сторонам фигуры. Если в остроугольном многоугольнике с тремя вершинами эта точка будет находиться внутри него, то в тупоугольном — за его пределами.

Зная, например, что одна из сторон тупоугольного треугольника равна его радиусу, можно найти угол, который лежит напротив известной грани. Его синус будет равен результату от деления длины известной стороны на 2R (где R — это радиус окружности). То есть sin угла будет равен ½. Значит, угол будет равен 150 о.

Если вам необходимо найти радиус описанной окружности тупоугольного треугольника, то вам пригодятся сведения о длине его сторон (c, v, b) и его площади S. Ведь радиус высчитывается так: (c х v х b) : 4 х S. Кстати, неважно, какого именно у вас вида фигура: разносторонний тупоугольный треугольник, равнобедренный, прямо- или остроугольный. В любой ситуации, благодаря приведенной формуле, вы можете узнать площадь заданного многоугольника с тремя сторонами.

Описанные треугольники

Также довольно часто приходится работать со вписанными окружностями. По одной из формул, радиус такой фигуры, умноженный на ½ периметра, будет равняться площади треугольника. Правда, для ее выяснения вам необходимо знать стороны тупоугольного треугольника. Ведь для того чтобы определить ½ периметра, необходимо сложить их длины и разделить на 2.

Чтобы понять, где должен находиться центр круга, вписанного в тупоугольный треугольник, необходимо провести три биссектрисы. Это линии, которые делят углы пополам. Именно на их пересечении и будет находиться центр окружности. При этом он будет равноудален от каждой из сторон.

Радиус такой окружности, вписанной в тупоугольный треугольник, равняется из частного (p-c) х (p-v) х (p-b) : p. При этом p — это полупериметр треугольника, c, v, b — его стороны.

Треугольники

Треугольником
называется
фигура, которая состоит из трёх точек,
не лежащих на одной прямой, и трёх
отрезков, попарно соединяющих эти точки.
Точки называются вершинами
треугольника,
а отрезки — его сторонами.

Виды
треугольников

Треугольник
называется равнобедренным,
если
у него две сторны равны. Эти равные
стороны называются боковыми
сторонами,

а третья сторона называется основанием
треугольника.

Треугольник,
у которого все сторны равны, называется
равносторонним
или
правильным.

Треугольник
называется прямоугольным,
если
у него есть прямой угол, то есть угол в
90°. Сторона прямоугольного треугольника,
противолежащая прямому углу, называется
гипотенузой,
две
другие стороны называются катетами.

Треугольник
называется остроугольным,
если
все три его угла — острые, то есть меньше
90°.

Треугольник
называется тупоугольным,
если
один из его углов — тупой, то есть больше
90°.

Основные
линии треугольника

Медиана

Медиана
треугольника
— это отрезок, соединяющий верщину
треугольника с серединой противолежащей
стороны этого треугольника.

Свойства
медиан треугольника

    Медиана
    разбивает треугольник на два треугольника
    одинаковой площади.

    Медианы
    треугольника пересекаются в одной
    точке, которая делит каждую из них в
    отношении 2:1, считая от вершины. Эта
    точка называется центром
    тяжести
    треугольника.

    Весь
    треугольник разделяется своими медианами
    на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса

Биссектриса
угла

— это луч, который исходит из его вершины,
проходит между его сторонами и делит
данный угол пополам. Биссектрисой
треугольника
называется
отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину с точкой на
противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства
биссектрис треугольника

Высота

Высотой
треугольника
называется перпендикуляр, проведенный
из вершины треугольника к прямой,
содержащей противоположную сторону
этого треугольника.

Свойства
высот треугольника

    В
    прямоугольном
    треугольнике

    высота, проведенная из вершины прямого
    угла, разбивает его на два треугольника,
    подобные

    исходному.

    В
    остроугольном
    треугольнике

    две его высоты отсекают от него подобные

    треугольники.

Срединный
перпендикуляр

Прямую,
проходящую через середину отрезка
перпендикулярно к нему, называют
серединным
перпендикуляром
к
отрезку.

Свойства
серединных перпендикуляров треугольника

    Каждая
    точка серединного перпендикуляра к
    отрезку равноудалена от концов этого
    отрезка. Верно и обратное утверждение:
    каждая точка, равноудаленная от концов
    отрезка, лежит на серединном перпендикуляре
    к нему.

    Точка
    пересечения серединных перпендикуляров,
    проведенных к сторонам треугольника,
    является центром окружности,
    описанной около этого треугольника
    .

Средняя
линия

Средней
линией треугольника
называется
отрезок, соединяющий середины двух его
сторон.

Свойство
средней линии треугольника

Средняя
линия треугольника параллельна одной
из его сторон и равна половине этой
стороны.

Формулы
и соотношения

Признаки
равенства треугольников

Два
треугольника равны, если у них
соответственно равны:

    две
    стороны и угол между ними;

    два
    угла и прилежащая к ним сторона;

    три
    стороны.

Признаки
равенства прямоугольных треугольников

Два
прямоугольных
треугольника

равны, если у них соответственно равны:

    гипотенуза

    и острый угол;

    катет

    и противолежащий угол;

    катет

    и прилежащий угол;

    два
    катета
    ;

    гипотенуза

    и катет
    .

Подобие
треугольников

Два
треугольника подобны,
если
выполняется одно из следующих условий,
называемых признаками
подобия:

    два
    угла одного треугольника равны двум
    углам другого треугольника;

    две
    стороны одного треугольника пропорциональны
    двум сторонам другого треугольника, а
    углы, образованные этими сторонами,
    равны;

    три
    стороны одного треугольника соответственно
    пропорциональны трем сторонам другого
    треугольника.

В
подобных треугольниках соответствующие
линии (высоты
,
медианы
,
биссектрисы

и т. п.) пропорциональны.

Теорема
синусов

Стороны
треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов, причем коэффициент
пропорциональности равен диаметру

описанной
около треугольника окружности
:

Теорема
косинусов

Квадрат
стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на
косинус угла между ними:

a
2
=
b
2
+
c
2

2bc
cos

Формулы
площади треугольника

    Произвольный
    треугольник

a,
b, c —
стороны;

угол между сторонамиa

и b
;-
полупериметр;R

радиус
описанной окружности; r

радиус
вписанной окружности; S

площадь;
h
a


высота,
проведенная к стороне a
.

Сегодня мы отправляемся в страну Геометрия, где познакомимся с различными видами треугольников.

Рассмотрите геометрические фигуры и найдите среди них «лишнюю» (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что фигуры № 1, 2, 3, 5 — четырехугольники. Каждая из них имеет свое название (рис. 2).

Рис. 2. Четырехугольники

Значит, «лишней» фигурой является треугольник (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Точки называются вершинами треугольника
, отрезки — его сторонами
. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

Основными признаками треугольника являются три стороны и три угла.
По величине угла треугольники бывают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Треугольник называется остроугольным, если все три угла его острые, то есть меньше 90° (рис. 4).

Рис. 4. Остроугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов равен 90° (рис. 5).

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, то есть больше 90° (рис. 6).

Рис. 6. Тупоугольный треугольник

По числу равных сторон треугольники бывают равносторонние, равнобедренные, разносторонние.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны (рис. 7).

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

Эти стороны называются боковыми
, третья сторона — основанием
. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Равнобедренные треугольники бывают остроугольными и тупоугольными
(рис. 8).

Рис. 8. Остроугольный и тупоугольный равнобедренные треугольники

Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны (рис. 9).

Рис. 9. Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все углы равны
. Равносторонние треугольники
всегда остроугольные.

Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину (рис. 10).

Рис. 10. Разносторонний треугольник

Выполните задание. Распределите данные треугольники на три группы (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию

Сначала распределим по величине углов.

Остроугольные треугольники: № 1, № 3.

Прямоугольные треугольники: № 2, № 6.

Тупоугольные треугольники: № 4, № 5.

Эти же треугольники распределим на группы по числу равных сторон.

Разносторонние треугольники: № 4, № 6.

Равнобедренные треугольники: № 2, № 3, № 5.

Равносторонний треугольник: № 1.

Рассмотрите рисунки.

Подумайте, из какого куска проволоки сделали каждый треугольник (рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к заданию

Можно рассуждать так.

Первый кусок проволоки разделен на три равные части, поэтому из него можно сделать равносторонний треугольник. На рисунке он изображен третьим.

Второй кусок проволоки разделен на три разные части, поэтому из него можно сделать разносторонний треугольник. На рисунке он изображен первым.

Третий кусок проволоки разделен на три части, где две части имеют одинаковую длину, значит, из него можно сделать равнобедренный треугольник. На рисунке он изображен вторым.

Сегодня на уроке мы познакомились с различными видами треугольников.

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.
  1. Nsportal.ru ().
  2. Prosv.ru ().
  3. Do.gendocs.ru ().

Домашнее задание

1. Закончите фразы.

а) Треугольником называется фигура, которая состоит из …, не лежащих на одной прямой, и …, попарно соединяющих эти точки.

б) Точки называются
, отрезки — его
. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника ….

в) По величине угла треугольники бывают … , … , … .

г) По числу равных сторон треугольники бывают … , … , … .

2. Начертите

а) прямоугольный треугольник;

б) остроугольный треугольник;

в) тупоугольный треугольник;

г) равносторонний треугольник;

д) разносторонний треугольник;

е) равнобедренный треугольник.

3. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

типов треугольников: острый и тупой

Типы треугольников

Сол Грейви / Getty Images

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами. Отсюда треугольники классифицируются как прямоугольные или наклонные. Прямоугольный треугольник имеет угол 90 °, а наклонный треугольник не имеет угла 90 °. Косые треугольники делятся на два типа: острые и тупые. Присмотритесь к этим двум типам треугольников, их свойствам и формулам, которые вы будете использовать для работы с ними в математике.

Тупые треугольники

Иван Де Соуза / EyeEm / Getty Images

Определение тупого треугольника

Тупой треугольник — это треугольник с углом больше 90 °. Поскольку все углы в треугольнике в сумме составляют 180 °, два других угла должны быть острыми (менее 90 °). У треугольника не может быть более одного тупого угла.

Свойства тупых треугольников

  • Самая длинная сторона тупого треугольника — это сторона, противоположная вершине тупого угла.
  • Тупой треугольник может быть либо равнобедренным (две равные стороны и два равных угла), либо разносторонним (без равных сторон или углов).
  • В тупой треугольник вписан только один квадрат. Одна из сторон этого квадрата совпадает с частью самой длинной стороны треугольника.
  • Площадь любого треугольника равна 1/2 основания, умноженному на его высоту. Чтобы найти высоту тупого треугольника, вам нужно провести линию за пределами треугольника вниз до его основания (в отличие от острого треугольника, где линия находится внутри треугольника или прямого угла, где линия является стороной).

Формулы тупого треугольника

Чтобы рассчитать длину сторон:

c 2 /2 2 + b 2 2
где угол C тупой, а длина сторон равна a, b и c.

Если C — наибольший угол, а h c — высота от вершины C, то для тупого треугольника верно следующее соотношение для высоты:

1 / ч c 2 > 1 / a 2 + 1 / b 2

Для тупого треугольника с углами A, B и C:

cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C <1

Особые тупые треугольники

  • Треугольник Калаби — единственный неравносторонний треугольник, в котором самая большая квадратная фурнитура в интерьере может быть установлена ​​тремя различными способами.Он тупой и равнобедренный.
  • Треугольник наименьшего периметра со сторонами целой длины является тупым, со сторонами 2, 3 и 4.

Сэм Эдвардс / Getty Images

Определение острого треугольника

Острый треугольник определяется как треугольник, в котором все углы меньше 90 °. Другими словами, все углы в остром треугольнике острые.

Свойства острых треугольников

  • Все равносторонние треугольники являются острыми треугольниками.Равносторонний треугольник имеет три стороны равной длины и три равных угла в 60 °.
  • В острый треугольник вписаны три квадрата. Каждый квадрат совпадает с частью стороны треугольника. Две другие вершины квадрата находятся на двух оставшихся сторонах острого треугольника.
  • Любой треугольник, в котором прямая Эйлера параллельна одной стороне, является острым треугольником.
  • Острые треугольники могут быть равнобедренными, равносторонними или разносторонними.
  • Самая длинная сторона острого треугольника противоположна наибольшему углу.

Формулы острого угла

В остром треугольнике для длин сторон верно следующее:

a 2 + b 2 > c 2 , b 2 + c 2 > a 2 , c 2 + a 2 > b 2

Если C — наибольший угол, а h c — высота от вершины C, то для острого треугольника верно следующее соотношение для высоты:

1 / ч c 2 <1 / a 2 + 1 / b 2

Для острого треугольника с углами A, B и C:

cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C <1

Особые острые треугольники

  • Треугольник Морли — это особый равносторонний (и, следовательно, острый) треугольник, образованный из любого треугольника, вершины которого являются пересечением трех смежных угловых трисектрис.
  • Золотой треугольник — это острый равнобедренный треугольник, где двойное отношение стороны к стороне основания является золотым сечением. Это единственный треугольник с углами в пропорции 1: 1: 2 и 36 °, 72 ° и 72 °.

Что такое острый треугольник? — Определение, факты и пример — Видео и стенограмма урока

Что является острым, а что нет?

Существуют и другие типы треугольников, которые могут быть острыми треугольниками, и те, которые определенно не являются.Вы можете сказать, следуя определению, но есть и другие способы.

1. Иногда это можно сказать, выполнив простую математику. Вы, наверное, знаете, что сумма углов любого треугольника всегда равна 180 градусам. В остром треугольнике сумма любых двух углов всегда больше 90 градусов. Это потому, что в остром треугольнике ни один угол не может быть больше 89,999 градусов (и да, эти девятки могут продолжаться вечно). Таким образом, сумма двух других углов должна составлять не менее 180 минус 89,999 (или 90.001) градусов. Если бы вы знали только два угла, скажем, 40 и 20 градусов, вы бы знали, что треугольник не острый, потому что эти два угла в сумме составляют всего 60 градусов.

2. Любой треугольник с одним прямым углом (90 градусов) больше не является острым, потому что он не соответствует определению острого треугольника, которое гласит, что никакой угол не может быть 90 градусов и более. Фактически, теперь он называется прямоугольным треугольником .

3. Любой треугольник с одним тупым углом или углом больше 90 градусов, выходящим за пределы прямого угла) больше не является острым, потому что он не соответствует определению острого треугольника.Любой треугольник с углом более 90 градусов называется тупым треугольником .

4. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три угла и стороны равны. Если все углы треугольника равны, все они должны составлять 60 градусов, что в сумме составляет 180 градусов. Поскольку все углы острые или меньше 90 градусов, равносторонний треугольник также является острым треугольником.

Резюме урока

Острый треугольник — это треугольник, в котором все три угла меньше 90 градусов.Если какой-либо угол составляет 90 или более градусов, у нас больше не будет острого треугольника.

Острый треугольник: истинное или ложное действие

Это упражнение поможет вам оценить свои знания определения острого треугольника и других примеров треугольников.

Руководящие принципы

Для этого задания распечатайте или скопируйте эту страницу на чистый лист бумаги. Внимательно прочтите каждое утверждение. Напишите ИСТИНА, , если утверждение верно, и ЛОЖЬ, , если в противном случае.Аккуратно напишите свои ответы на соответствующем пустом месте.

_______________ 1. Треугольник с углом более 90 градусов считается тупым.

_______________ 2. Ни один угол острого треугольника не превышает 89,999 градусов.

_______________ 3. Треугольник с перпендикулярным углом считается острым треугольником.

_______________ 4. Вы получите острый треугольник, когда сумма двух его углов равна 70 градусам.

_______________ 5.Равносторонний треугольник также является острым углом, так как в сумме углы составляют 180 градусов.

_______________ 6. Когда сумма двух углов в треугольнике составляет 120 градусов, он называется тупым треугольником.

_______________ 7. Прямоугольный треугольник состоит из углов меньше 89 градусов.

_______________ 8. Если дверь открывается под углом 90 градусов, треугольная форма, образованная проемом, больше не может считаться острым углом.

Ключ ответа

1.ПРАВДА

2. ИСТИНА

3. ЛОЖЬ

4. ЛОЖЬ

5. ИСТИНА

6. ЛОЖЬ

7. ЛОЖЬ

8. ИСТИНА

треугольников — равносторонние, равнобедренные и чешуйчатые

c2ZWPA3kduw

Треугольник имеет три стороны и три угла

Три угла всегда складываются в 180 °

Равносторонний, равнобедренный и чешуйчатый

Треугольникам даны три специальных названия, которые показывают, сколько сторон (или углов) равны.

Может быть 3 , 2 или Нет равных сторон / углов:

Равносторонний треугольник

Три равных стороны
Три равных угла, всегда 60 °

Равнобедренный треугольник

Две равные стороны
Два равных угла

Чешуйчатый треугольник

Нет равные стороны
Нет равные углы

Как запомнить? По алфавиту идут 3, 2, нет:

  • Равносторонний : «равный» — боковой (боковой означает сторона), поэтому все они имеют равные стороны
  • Равнобедренный : означает «равные ноги», а у нас две ноги , верно? Также i SOS celes имеет два равных «S ides», соединенных стороной « O dd».
  • Scalene : означает «неровный» или «нечетный», поэтому нет равных сторон.

Какой тип угла?

Треугольники также могут иметь имена, которые сообщают вам, какой тип угла находится внутри :

Острый треугольник

Все углы меньше 90 °

Прямой треугольник

Имеет прямой угол (90 °)

Тупой треугольник

Имеет угол более 90 °

Объединение имен

Иногда у треугольника будет два имени, например:
.

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Имеет прямой угол (90 °), а также два равных угла.

Вы можете угадать, каковы равные углы?

Играй с ним…

Попробуйте перетащить точки и составить разные треугольники:

Вы также можете поиграть с Интерактивным треугольником.

Уголки

Три внутренних угла всегда составляют 180 °

Периметр

Периметр — это расстояние по краю треугольника: просто сложите три стороны:

Площадь

Площадь равна половине высоты основания, умноженной на .

  • «b» — расстояние по основанию
  • «h» — высота (измеренная под прямым углом к ​​основанию)

Площадь = ½ × ш × в

Формула работает для всех треугольников.

Примечание: более простой способ записать формулу — bh / 2

Пример: Какова площадь этого треугольника?

(Примечание: 12 — это высота , а не длина левой стороны)

Высота = h = 12

База = b = 20

Площадь = ½ × b × h = ½ × 20 × 12 = 120

Основание может быть любой стороной. Убедитесь, что высота измеряется под прямым углом к ​​основанию. :

(Примечание: вы также можете рассчитать площадь, исходя из длин всех трех сторон, используя формулу Герона.)

Почему область «половина bh»?

Представьте, что вы «удвоили» треугольник (перевернули его вокруг одного из верхних краев), чтобы получилась квадратная форма (параллелограмм), которую можно преобразовать в простой прямоугольник:

ЗАТЕМ вся площадь составляет bh , что соответствует обоим треугольникам, поэтому только один будет ½ × bh .

6702, 6708,720, 3134, 5032 627 723, 3132, 3133, 7502

Острый, тупой и прямоугольный треугольники

Это бесплатный урок геометрии для 4 класса об острых, тупых и прямоугольных треугольниках (классификация по углам).Он содержит разнообразные упражнения,
в том числе несколько, в которых учащиеся исследуют эти понятия — и даже сумму углов треугольника — путем рисования.

прямые углы
(точно 90 °)

углы тупые
(более 90 °, менее 180 °)

острые углы
(менее 90 °)

Прямой треугольник имеет
ровно один прямой угол.

Тупые треугольники имеют
ровно один тупой
угол.

Острые треугольники имеют три
острые углы. Другими словами,
ВСЕ углы острые.

1. а. Нарисуйте прямой угол .
Тогда
превратить его в правильный треугольник
от
рисунок в третьей стороне.

г. Нарисуй еще,
разные

прямоугольный треугольник.

г. А правый
у треугольника одна правая
угол. Два других угла
в прямоугольном треугольнике острый, правый,
или тупой?

Прямой треугольник имеет один прямой угол.Два других угла _____________________.

2. а. Нарисуйте тупой угол.
Затем превратите его в
тупой треугольник на
рисунок в третьей стороне.

г. Нарисуй еще,
разные
тупой треугольник.

г. An
у тупого треугольника один
тупой угол. Остальные
два угла в тупом треугольнике
острый, правый или тупой?

У тупого треугольника один тупой угол. Два других угла _____________________.

3. а. Нарисуйте острый треугольник.
Длины сторон могут быть любыми.

г. Измерьте его углы.
Они измеряют _______ °,
_______ ° и _______ °.

4. Наблюдайте за всем, что вы сделали
до сих пор в этом уроке и заполните.


Правые треугольники
имеют ровно 1 _________________
________________,

, а два других угла
_________________.

Тупые треугольники имеют ровно 1 _________________
________________,

, а два других угла
_________________.

Острые треугольники имеют ___
____________ углов.

5. Обозначьте треугольники на рисунках как прямые, острые,
или тупой.

а.

г.

г.

г.

e.

ф.

г.

7. а. Нарисуйте треугольник с
Углы 85 ° и 40 °.

Совет: сначала нарисуйте угол 85 °.

Затем отметьте точку в любом месте на карте

сторона этого угла должна быть второй

вершина
треугольник.Используйте эту точку

как вершина для угла 40 °, а

нарисуйте угол 40 °.

г.
Измерьте третий угол.
Это _______ градусов.

г. Что за треугольник
это?
(острый, правый,
тупой)

г. Что такое сумма углов?

8. а. Нарисуйте треугольник с
Углы 125 ° и 40 °.

г.
Измерьте третий угол.
Это _______ градусов.

г. Что это за треугольник?
(острый, правый,
тупой)

г. Что такое сумма углов?

9. а. Нарисуйте треугольник с
Углы 55 ° и 35 °.

г. Измерьте третий
угол.
Это _______ градусов.

г. Что это за треугольник?
(острый, правый,
тупой)

г. Что такое сумма углов?


Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Geometry 1 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.


Острый угловой треугольник | Тупоугольный треугольник

Давайте узнаем об остроугольном треугольнике (AAT), прямоугольном треугольнике (RAT) и тупоугольном треугольнике в этой публикации

Острый угловой треугольник

Когда все углы треугольника меньше 90 °, мы называем такой треугольник ААТ.

Например — ∆ ABC является AAT, так как все три угла i.e, BAC, ∠ACB и ∠ABC меньше 90 ° (острый угол).

Прямоугольный треугольник — RAT

Когда один угол треугольника равен 90 °, а два других угла острые (менее 90 °), мы называем такой треугольник RAT.

Например, в ∆ ABC BAC составляет 90 ° (прямой угол), а ∠ACB и ∠ABC меньше 90 ° (острый угол).

Треугольник с тупым углом

Если один угол треугольника тупой (больше 90 °), а два других острые (меньше 90 °), мы называем такой треугольник Тупоугольным треугольником.

Например: ∆ABC — это тупой треугольник Angled , поскольку ∠BAC составляет 110 ° (тупой угол), а ∠ACB и ∠ABC — острые углы (менее 90 °).

ПРИМЕР 1

Если угол треугольника равен 56 ˚, 49 ˚ и 75 ˚, то треугольник будет —- Треугольник?

ОБЪЯСНЕНИЕ

Здесь
56 ˚ <90 ˚
49 ˚ <90 ˚
75 ˚ <90 ˚

Так как все три угла треугольника на меньше 90˚, h ence, треугольник это An AAT.

ПРИМЕР 2

Если угол треугольника равен 90 ˚, 54 ˚ и 36 ˚, то треугольник равен?

ОБЪЯСНЕНИЕ

Здесь
90 ˚ = 90 ˚
54 ˚ <90 ˚
36 ˚ <90 ˚

Так как один угол равен 90˚ , а два других угла являются острыми (менее чем 90˚, следовательно, треугольник является прямоугольным треугольником .

ПРИМЕР 3

Если угол треугольника равен 93 ˚, 55 ˚ и 32 ˚, то треугольник равен?

ОБЪЯСНЕНИЕ

Здесь
93 ˚> 90 ˚
55 ˚ <90 ˚
32 ˚ <90 ˚

Так как один угол треугольника равен тупой ( больше 90˚ ) и два других — острые углы (менее 90˚).
Следовательно, треугольник представляет собой тупоугольный треугольник

Squareo’scope определяет вид треугольника

Вот несколько экспериментов, в которых вы можете сделать открытия в области геометрии.

1 этап

Вам понадобится около шести тонких прямых палочек или тонких трубочек для питья. Разрежьте одну на 3 части. Могут ли биты образовывать треугольник? Не всегда получается сделать треугольник из трех заданных длин. Поэкспериментируйте с палками или соломкой разной длины и попытайтесь найти условие, определяющее, когда три длины действительно образуют треугольник, а когда нет. Это состояние называется треугольником .
Неравенство
.

2 этап

Теперь вам нужно квадратные кусочки бумаги (желательно ламинированные) размером от 1 x 1 до 13 x 13 квадратов.В идеале квадраты должны быть ровными с одной стороны и иметь отмеченные квадраты с другой стороны.

Вместо палочек сделайте треугольники с краями трех квадратных кусочков по вашему выбору, используя плоские стороны. Каждый раз, когда вы составляете треугольник, определяйте, какой он острый, тупой или прямоугольный, и заполняйте первый столбец в таблице.

Напомним, что у треугольника острый угол , когда каждый из его углов на меньше прямого или квадратного угла. Треугольник — это прямоугольный , когда один из его углов является прямым или квадратным.Треугольник тупой , когда один из его углов на больше, чем прямой угол или квадратный угол.

Иногда получаются остроугольные треугольники, иногда прямые, а иногда тупоугольные. Теперь переверните квадраты, показывающие сетки.

Используйте бумажные квадраты, чтобы сделать разные треугольники. Заполните таблицу, чтобы помочь вам найти тест для определения того, является ли треугольник остроугольным, прямым или тупоугольным. В последних трех столбцах заполните поле с помощью <, = или> соответственно.

Номер треугольника Вид треугольника: острый, тупой, правый Длина сторон Площади в квадратных единицах Соотношение суммы двух квадратов и третьего квадрата
а б c а 2 б 2 с 2 а 2 + б 2 в 2 b 2 + c 2 a 2 c 2 + a 2 b 2

Остановись и узнай.Запишите свои открытия. Согласны ли они с тем, что здесь сказано?

  • Неравенство треугольника : Три длины образуют треугольник тогда и только тогда, когда сумма длин любых двух из трех больше, чем третья длина. Точно так же, как в одиночном тесте, три длины определяют треугольник тогда и только тогда, когда сумма двух самых коротких длин больше, чем самая длинная из сторон.
  • Когда сумма квадратов на двух сторонах треугольника на больше, чем на квадрата на третьей стороне, то же самое верно и для других пар сторон, и треугольник равен острому .
  • Когда сумма квадратов на двух сторонах треугольника равна квадрату на третьей стороне, тогда треугольник будет прямоугольным .
  • Когда сумма квадратов на двух сторонах треугольника на меньше , чем квадрат на третьей стороне, тогда треугольник будет тупоугольным .

Взлет

  1. Продолжайте исследование, когда треугольники будут равнобедренными или равносторонними.
  2. Не выполняя практических действий, можете ли вы определить тип треугольника по заданной длине сторон?
    1. 20,16,12
    2. 14,12,22
    3. 8,11,13
    4. 4,5.5,6,5
    5. 30,40,50
    6. 10,11,12
  3. Как вы решите, является ли конкретный угол в треугольнике со сторонами заданной длины острым, прямым или тупым, не рисуя треугольник?

Треугольники

Плоскость — это плоская или ровная поверхность в двух измерениях. Цифры
такие как круги или квадраты, все их части лежат на плоскости и
таким образом, являются примерами плоских фигур .

Треугольник — это замкнутая плоская фигура, ограниченная тремя отрезками прямых.

Типы треугольников

Треугольники можно классифицировать по длине их сторон и
размер их углов.

Классификация треугольников по длине их сторон

Скаленовые треугольники

Разносторонний треугольник не имеет равных сторон.

Равносторонние треугольники

У равностороннего треугольника все стороны равны.

Все углы равностороннего треугольника равны 60.

Примечание:

  • Чтобы показать, что стороны равностороннего треугольника имеют одинаковую длину,
    ставим одинаковые отметки по сторонам треугольника.
  • Чтобы показать, что углы равностороннего треугольника равны по размеру,
    ставим одинаковые кривые на каждый угол.

Равнобедренные треугольники

Равнобедренный треугольник имеет две стороны равные.

Углы напротив равных сторон равны.


Примечание:

  • На схеме сторона BC имеет другую длину, чем AB и AC .
  • Указана сторона равнобедренного треугольника, имеющая другую длину.
    быть основанием треугольника. Итак, BC — это база.
  • Одинаковые отметки по бокам означают, что стороны равны.
  • Одинаковые отметки на углах означают, что углы равны.

Пример 1

Классифицируйте каждый из следующих треугольников по длине
их стороны:

Решение:

Классификация треугольников по размеру их углов

Остроугольные треугольники

Остроугольный треугольник имеет все углы меньше 90 (т.е. все
три угла острые).

Тупоугольные треугольники

Треугольник с тупым углом имеет один угол больше 90. Это
есть, один угол тупой.

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник имеет один угол, равный 90.Это,
один угол — это прямой угол.

Примечание:

  • Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой .
  • Гипотенуза — самая длинная сторона треугольника.
    (что можно проверить линейкой).

Пример 2

Классифицируйте каждый из следующих треугольников по размеру их
углы

Решение:

Операция 1

Ключевые термины

плоскость, плоская фигура, треугольник, разносторонний треугольник, равносторонний
треугольник, равнобедренный треугольник, остроугольный
треугольник, тупоугольный треугольник, прямоугольный
треугольник, гипотенуза

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.