Как выделять корень из числа: § Извлечь корень из числа онлайн. Калькулятор

Содержание

Извлечение корня из большого числа

   Извлечение корня из большого числа. Дорогие друзья! В этой статье мы с вами разберём как извлекать корень из большого числа без калькулятора. Это необходимо не только для решения некоторых типов задач ЕГЭ (есть такие — на движение), но и для общего математического развития этот аналитический приём знать желательно.

Казалось бы, всё просто: разложи на множители, да извлекай. Проблемы нет. Например число 291600 при разложении даст произведение:

Вычисляем:

Есть одно НО! Способ хорош если легко определяются делители 2, 3, 4 и так далее. А что делать если число, из которого мы извлекаем корень является произведением простых чисел? Например 152881 является произведением чисел 17, 17, 23, 23.  Попробуй-ка сходу найди эти делители.

Суть рассматриваемого нами метода —  это чистый анализ. Корень при наработанном навыке находится быстро. Если навык не отработан, а просто понят подход, то немного медленнее, но всё же определяется.

Извлечём корень из 190969.

Сначала определим — между какими числами (кратными ста) лежит наш результат.

Очевидно, что результат корня из данного числа лежит в пределах от 400 до 500, так как    

4002=160000   и   5002=250000

Действительно:

Далее смотрим, где «стоит» это число: 

посредине, ближе к 160 000 или к 250 000?

Число 190969 находится примерно посредине, но все же  ближе к 160000. Можно сделать вывод, что результат нашего корня будет меньше 450. Проверим:

Действительно, он меньше 450, так как  190 969 < 202 500.

Теперь проверим число 440:

Значит наш результат меньше 440, так как 190 969 < 193 600.

Проверяем число 430:

Мы установили, что результат данного корня лежит в пределах от 430 до 440.

Далее используются свойства произведений чисел. Известно, что:

Произведение чисел имеющих на конце 1 или 9 дают число с 1 в конце.  Например, 21 на 21 равно 441.

Произведение чисел имеющих на конце 2 или 8 дают число с 4 в конце. Например, 18 на 18 равно 324.

Произведение чисел имеющих на конце 5 дают число с 5 в конце. Например, 25 на 25 равно 625.

Произведение чисел имеющих на конце 4 или 6 дают число с 6 в конце. Например 26 на 26 равно 676.

Произведение чисел имеющих на конце 3 или 7 дают число с 9 в конце. Например, 17 на 17 равно 289.

Так как число 190969 заканчивается цифрой 9, то это произведение либо числа 433, либо 437.

*Только они при возведении в квадрат могут дать 9 в конце.

Проверяем:

Значит результат корня будет равен 437.

То есть, мы как бы «нащупали» верный ответ.

Как видите, максимум что потребуется это осуществить 5 действий столбиком. Возможно, вы сразу попадёте в точку, или сделаете всего три действия. Всё зависит о того, как точно вы сделаете начальную оценку числа.

Извлеките самостоятельно корень  из  148996

Такой дискриминант получается в задаче:

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 336 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Посмотреть решение

Результат корня находится между числами 300  и  400:

3002=90000       4002=160000

Действительно, 90000<148996<160000.

Суть дальнейших рассуждений сводится к тому, чтобы определить, как число 148996 расположено (отстоит) относительно этих чисел.

Вычислим разности 148996 — 90000=58996  и 160000 — 148996=11004.

Получается, что 148996 близко (на много ближе) к 160000. Поэтому, результат корня однозначно будет больше 350 и даже 360.

Далее  пробуем возводить в квадрат, например число 370. Как бы «щупаем» результат:

Можем сделать вывод, что наш результат больше 370. Далее ясно: так как 148996 оканчивается цифрой 6, то это означает, что в квадрат надо возводить число, оканчивающееся либо на 4, либо на 6. *Только эти числа при возведении в квадрат дают в конце 6.

Проверяем числа 374, 376, 384, 386, 394 …

Ответ: 386

Объективно говоря, вероятность того, что  вам попадёт подобная задача, очень мала. Но пусть этот приём  в вашем арсенале будет. Впереди вас ждёт много полезного, не пропустите!

Есть ещё метод по извлечению корня из большого числа, называют его алгоритмом Евклида. Его достоинство состоит в том, что можно извлекать корень из любого числа с необходимой точностью до десятых, сотых и тд. То есть корни неизвлекаемые в целых числах. *В будущем статья будет обязательно дополнена.

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Как извлечь корень в Эксель: квадратный, кубический, в степени

Среди базовых математических вычислений помимо сложения, вычитания, умножения и деления можно выделить возведение в степень и обратное действие – извлечение корня. Давайте посмотрим, каким образом можно выполнить последнее действие в Эксель разными способами.

Метод 1: использование функции КОРЕНЬ

Множество операций в программе реализуется с помощью специальных функций, и извлечение корня – не исключение. В данном случае нам нужен оператор КОРЕНЬ, формула которого выглядит так:

=КОРЕНЬ(число)

Для выполнения расчета достаточно написать данную формулу в любой свободной ячейке (или в строке формул, предварительно выбрав нужную ячейку). Слово “число”, соответственно, меняем на числовое значение, корень которого нужно найти.

Когда все готово, щелкаем клавишу Enter и получаем требуемый результат.

Вместо числа можно, также, указать адрес ячейки, содержащей число.

Указать координаты ячейки можно как вручную, прописав их с помощью клавиш на клавиатуре, так и просто щелкнув по ней, когда курсор находится в положенном месте в формуле.

Вставка формулы через Мастер функций

Воспользоваться формулой для извлечения корня можно через окно вставки функций. Вот, как это делается:

  1. Выбрав ячейку, в которой мы хотим выполнить расчеты, щелкаем по кнопке “Вставить функцию” (fx).
  2. В окне мастера функций выбираем категорию “Математические”, отмечаем оператор “КОРЕНЬ” и щелкаем OK.
  3. Перед нами появится окно с аргументом функции для заполнения. Как и при ручном написании формулы можно указать конкретное число или ссылку на ячейку, содержащую числовое значение. При этом, координаты можно указать, напечатав их с помощью клавиатуры или просто кликнуть по нужному элементу в самой таблице.
  4. Щелкнув кнопку OK мы получим результат в ячейке с функцией.

Вставка функции через вкладку “Формулы

  1. Встаем в ячейку, в которой хотим произвести вычисления. Щелкаем по кнопке “Математические” в разделе инструментов “Библиотека функций”.
  2. Пролистав предложенный перечень находим и кликаем по пункту “КОРЕНЬ”.
  3. На экране отобразится уже знакомое окно с аргументом, который нужно заполнить, после чего нажать кнопку OK.

Метод 2: нахождение корня путем возведения в степень

Описанный выше метод позволяет с легкостью извлекать квадратный корень из числа, однако, для кубического уже не подходит. Но и эта задача в Excel реализуема. Для этого числовое значение нужно возвести в дробную степень, где в числителе будет стоять “1”, а в знаменателе – цифра, означающая степень корня (n).

В общем виде, формула выглядит так:

=(Число)^(1/n)

Безусловным преимуществом такого способа является то, что мы можем извлечь корень любой степени, заменив букву “n” в знаменателе дроби на требуемую цифру. (1/3).

Нажав Enter, получаем результат вычислений.

Аналогично работе с функцией КОРЕНЬ, вместо конкретного числа можно указать ссылку на ячейку.

Заключение

Таким образом, в Excel можно без особых усилий извлечь корень из любого числа, и сделать это можно разными способами. К тому же, возможности программы позволяют выполнять расчеты для извлечения не только квадратного, но и кубического корня. В редких случаях требуется найти корень n-степени, но и эта задача достаточно просто выполняется в программе.

Как вычислить квадратный корень числа в Excel —

Микрофост Эксель это чрезвычайно мощный инструмент, который можно использовать для решения сложных расчетов. Однако многие случайные пользователи используют Excel только для базовых потребностей в табулировании, не используя его для выполнения даже самых простых математических операций. Но есть ситуации, когда вы вынуждены делать вычисления в Excel, чтобы ускорить процесс. Один из наиболее распространенных расчетов, которые пользователи Excel должны сделать, это выяснение квадратного корня числа.

Имея это в виду, мы создали статью с пятью различными методами, которые помогут вам вычислить квадратный корень из числа в Excel. Все они приведут к одному и тому же результату, но некоторые из них легче, чем другие. Приведенные ниже методы упорядочены по сложности, поэтому попробуйте придерживаться первых трех методов, если вы не заядлый пользователь Excel.

Давай начнем!

Метод 1: Расчет квадратного корня с использованием функции SQRT

Использование функции SQRT — один из самых простых способов узнать квадратный корень числа. Его чрезвычайно легко использовать, поскольку все, что вам нужно сделать, это передать номер (или ссылку) ячейки, содержащей номер, в функцию SQRT.

Синтаксис для этого метода есть:

SQRT (число)

Заметка: число является заполнителем для фактического номера или для ссылки на ячейку, которая содержит номер.

пример

Для простоты, скажем, мы хотим узнать квадратный корень из числа 9 (расположен на A2). Чтобы сделать это с помощью функции SQRT, все, что нам нужно сделать, это вставить следующую формулу в ячейку результата (БИ 2): ‘= SQRT (А2)». 

Использование функции SQRT

Замечания: Имейте в виду, что мы могли бы также использовать номер напрямую, вместо ссылки на ячейку —= SQRT (9)

Тем не менее, есть одна небольшая проблема в использовании функции SQRT напрямую — если вы попытаетесь передать отрицательное число, он покажет #NUM! ошибка вместо фактического результата.

Пример #NUM! ошибка

Избежать #NUM! При ошибках при использовании функции SQRT рекомендуется использовать функцию ABS вместе с функцией SQRT. Функция ABS конвертирует число в абсолютное число. В нашем случае он преобразует отрицательные числа в положительные числа. Вот пример:

Пример с использованием функции ABS

Метод 2: Расчет квадратного корня с использованием функции Power

Использование функции POWER — это еще один способ вычисления квадратного корня числа в Excel. Тем не менее, он работает немного по-другому по сравнению с функцией SQRT. Используя функцию POWER, мы можем найти квадратный корень определенного числа, увеличив число до N-й степени.

Вот синтаксис для метода:

МОЩНОСТЬ (число, мощность)

Замечания: число является заполнителем для фактического номера или ссылки на ячейку, в то время как мощность это показатель, чтобы поднять число до этой степени.

Учитывая тот факт, что мы хотим найти квадратный корень числа, мы можем использовать атрибут power как «1/2». В этом случае формула становится МОЩНОСТЬ (число 1/2).

пример

Для простоты давайте снова предположим, что нам нужно найти квадратный корень числа ячейки A2 (в нашем случае это 9). (1/2) в ячейке результата даст нам число квадратного корня.

Пример использования оператора экспоненты для нахождения квадратного корня числа

Способ 4: использование сценариев VBA найти квадратный корень числа

Этот метод немного продвинут, поэтому, если вы не знакомы со сценариями VBA, попробуйте придерживаться первых трех методов. Четвертый способ найти квадратный корень числа — использовать коды VBA.

Для решения этого конкретного сценария есть два разных кода, которые вы можете использовать для возврата квадратного корня из числа. Продолжайте читать ниже для кодов, а также инструкции о том, как обеспечить их соблюдение.

Код VBA 1: возвращение квадратного корня при выделении ячейки

Всякий раз, когда вы запустите этот код VBA, он проверит значение выбранной ячейки. Если это значение является числом, оно непосредственно вычислит квадратный корень этого числа и покажет его в окне сообщения.

Но имейте в виду, что этот код будет работать только до тех пор, пока вы не выберете более одной ячейки

Код:

Sub getSquareRoot ()
Dim Rng As Range
Dim sqr As Long
Если Application.  (1/2)
MsgBox "Квадратный Корень"  кв  " является "  sqr, vbOKOnly, "Квадратное корневое значение"
еще
MsgBox "Пожалуйста, введите номер.", VbOKOnly, "Ошибка"
End If
End Sub

Как вставить и запустить код VBA в Excel

Если вы решите использовать код VBA, вы можете выбрать один из двух приведенных выше вариантов — выбрать тот, который имеет больше смысла для всего, что вы пытаетесь сделать.

Но чтобы использовать этот код, вам нужно знать, как его вставить и запустить. Вот краткое руководство по всему на случай, если вам понадобится дальнейшее руководство:

  1. Откройте таблицу, к которой вы хотите применить код VBA, и нажмите Alt + F11 открыть Visual Basic Editor (VBE).
  2. Как только вы находитесь внутри Visual Basic Editor, щелкните правой кнопкой мыши таблицу, на которую вы нацеливаетесь, и выберите Вставить> Модуль (используя контекстное меню).
    Вставка кода VBA
  3. После того, как код был вставлен. Нажмите Ctrl + S сохранить изменения. Затем выберите местоположение для вашего измененного документа Excel и нажмите Сохранить кнопка.
    Сохранение измененного документа Excel
  4. Если вам будет предложено не сохранить проект VB как книгу без макросов, нажмите нет по подсказке.
    Выбор типа файла с поддержкой макросов
  5. Под Сохранить как тип, установите тип файла Книга с поддержкой макросов Excel.
    Задание типа файла в качестве книги Excel с поддержкой макросов
  6. После сохранения кода нажмите Alt + Q, чтобы закрыть редактор VBA и вернуться к своей книге.
  7. Теперь, чтобы открыть ранее созданный код VBA, нажмите Alt + F8 открыть макрос Диалог. Как только вы попадете туда, выберите макрос, который вы хотите запустить, и нажмите Бежать кнопка.
    Выполнение кода VBA, который мы ранее создали
  8. Через некоторое время вы увидите результат вашего кода VBA.
    Результат кода VBA 1

Метод 5: Использование Power Query для преобразования чисел в квадратные корни

Это самый продвинутый метод из множества, но у этой стратегии есть огромное преимущество — она ​​позволяет конвертировать несколько чисел в их квадратные корни.

Создание мощного запроса, способного сделать это, немного трудоемко, но сэкономит вам много времени, если у вас много чисел, которые нужно преобразовать в квадратные корни.

Другое большое преимущество этого мощного запроса состоит в том, что вы получите динамический метод — это означает, что каждый раз, когда вы вводите новое значение в таблицу, он автоматически возвращает квадратный корень из этого числа.

Если вы решили создать мощный запрос, способный сделать это, следуйте инструкциям ниже:

  1. Сначала выберите любую ячейку в таблице и перейдите на ленту вверху, чтобы выбрать Данные> Получить Преобразовать данные, затем нажмите на Из таблицы.
    Выбрав любую ячейку, перейдите к данным и нажмите «Из таблицы / диапазона» (в разделе «Получить»). Преобразовать данные)
  2. Как только вы нажмете на это, Excel откроет мощный редактор запросов, который включает вашу таблицу. Нажмите Хорошо чтобы подтвердить создание вашей таблицы.
    Создание таблицы из ваших чисел
  3. В редакторе Power Query перейдите на ленту вверху и нажмите на Добавить столбец Вкладка. Затем нажмите на Пользовательский столбец.
    Перейти к Добавить столбец и нажмите на Пользовательский столбец
  4. Это откроет новое окно Custom Column. Как только вы попадете туда, введите Квадратный корень под Имя новой колонки. Затем перейдите вниз и вставьте следующую формулу в поле формулы столбца «Пользовательский»:
    = Number.Sqrt ([Числа])

    Квадратная формула для Power Query

  5. Нажмите Хорошо подтвердить создание этого нового пользовательского столбца. Вы заметите, что таблица только что получила дополнительный столбец с квадратными корнями чисел, которые у нее были ранее.
    Конечный результат запроса POWER квадратного корня

Кубический корень в Excel — Офис Ассист

Извлечение корня из числа является довольно распространенным математическим действием. Оно применяется и для различных расчетов в таблицах. В Microsoft Excel есть несколько способов посчитать данное значение. Давайте подробно рассмотрим различные варианты осуществления подобных расчетов в этой программе.

Содержание

Способы извлечения

Существуют два основных способа расчета данного показателя. Один из них подходит исключительно для вычисления квадратного корня, а второй можно использовать для расчета величины любой степени.

Способ 1: применение функции

Для того, чтобы извлечь квадратный корень используется функция, которая так и называется КОРЕНЬ. Её синтаксис выглядит следующим образом:

=КОРЕНЬ(число)

Для того, чтобы воспользоваться данным вариантом, достаточно записать в ячейку или в строку функций программы это выражение, заменив слово «число» на конкретную цифру или на адрес ячейки, где она расположена.

Для выполнения расчета и вывода результата на экран жмем кнопку ENTER.

Кроме того, можно применить данную формулу через мастер функций.

  1. Кликаем по ячейке на листе, куда будет выводиться результат вычислений. Переходим по кнопке «Вставить функцию», размещенную около строки функций.
  2. В открывшемся списке выбираем пункт «КОРЕНЬ». Кликаем по кнопку «OK».
  3. Открывается окно аргументов. В единственном поле данного окна нужно ввести либо конкретную величину, из которой будет происходить извлечение, либо координаты ячейки, где она расположена. Достаточно кликнуть по этой ячейке, чтобы её адрес был внесен в поле. После ввода данных жмем на кнопку «OK». 1/3​ пункт​ является довольно распространенным​Макс​ и удобно. С​ n-степень:​ Excel, воспользуемся несколько​

    ​В появившимся диалоговом окне​ степень, необходимо в​ ячейке становится слева.​​ корень n-й степени,​​ – показатель степени,​

    ​ 9:​ 1/2 или 0,5.​ открыв меню функций​

    1. ​ извлеките из него​ 1/2. Пользователь сам​То есть, формально это​«КОРЕНЬ»​​ математическим действием. Оно​​: оо и я​ ними вы экономите​

    2. ​Или через такую функцию:​ иным, но весьма​​ заполняем поля аргументами.​​ ячейке поставить знак​​Рядом с цифрой вводим​​ необходимо возвести число​

    3. ​ в которую нужно​Результатом выполнения этого действия​ Возвести любое число​ или же прописав​ квадратный корень.​ должен определить, какой​ даже не извлечение,​. Кликаем по кнопку​ применяется и для​ доволен.. спс​ время на осуществлении​ =СТЕПЕНЬ(32;1/5)​ удобным способом вызова​ К примеру, нам​​ «=» перед указанием​​ в ячейку значение​

    ​ в степень 1/n. ​ возвести заданное значение.​ станет значение «3».​

    ​ в определённую степень​ вручную.​​4​​ способ вычислений для​

    1. ​ а возведение величины​«OK»​ различных расчетов в​

    2. ​М​ математических подсчетов и​В аргументах формулы и​​ функций:​​ нужно возвести число​ цифры, которую вы​​ со знаком «минус».​​Например, чтобы извлечь кубический​

    3. ​Рассмотрим примеры.​Автор: Алексей Рулев​ можно и без​Синтаксис функции очень прост​Программа Microsoft Excel имеет​​ него удобнее.​​ в степень 1/3.​

    Способ 2: возведение в степень

    ​.​ таблицах. В Microsoft​: Спасибо!​ поисках необходимых формул.​ функции можно указывать​Перейдите по закладке «Формулы».​ «2» в степень​ хотите возвести.​

    ​Выделяем только значение степени​

    ​ корень, возводим число​В ячейке C2 –​Для извлечения корня в​ использования каких-либо функций​ — после указания​ широкий набор математических​Автор: Максим Тютюшев​ Но данная степень​Открывается окно аргументов. ».​ «Формат ячеек». Устанавливаем​Воспользуемся формулой для извлечения​ 10 в квадрат.​

    ​ числа в степень​ предусмотрен специальный символ,​ функций (знака равенства)​ непростые задачи. Ряд​ синтаксис формулы и​ кубическим, поэтому именно​ окна нужно ввести​ значение. Давайте подробно​ fernisa, решил себе​ которую необходимо вставить​Часто вам важно, чтобы​ по инструменту «Математические».​ «2», а во​Мы возвели 8 в​ видоизменение «Надстрочный». И​ корней разных степеней​В качестве основания указана​ используются встроенные функции​ отвечающий за эту​ необходимо прописать ключевое​ простейших действий -​ использование функции​

    ​ такое действие в​

    lumpics.ru>

    КОРЕНЬ (функция КОРЕНЬ)

    ​ либо конкретную величину,​ рассмотрим различные варианты​ задачку.​​ функцию.​​ число в степени​

    Описание

    ​ А из выпадающего​ второе — «3».​

    Синтаксис

    ​ «квадрат» (т.е. ко​

    ​ нажимаем ОК.​ в Excel.​

    Замечание

    ​ слово «КОРЕНЬ», обозначающее​ сложение, умножение и​КОРЕНЬ​ Эксель используется для​

    Пример

    ​ из которой будет​ осуществления подобных расчетов​Ник​В строке для​ корректно отображалось при​ списка указываем на​Нажимаем кнопку «ОК» и​ второй степени) и​Получили корректное отображение числа​Формула вернула значение кубического​ с положительным значением​ Рассмотрим на примерах. ​ этом случае, чтобы​





    ​ вызов соответствующей команды.​

    ​ другие — выполнить​

    ​в Microsoft Excel.​

    ​ его получения. В​

    ​ происходить извлечение, либо​

    ​ в этой программе.​

    ​: Спасибо!​

    ​ вставки функции ввести​

    ​ распечатывании и красиво​

    ​ опцию «КОРЕНЬ».​ получаем в ячейке,​ получили в ячейке​ 5 в -3​

    ​ корня из числа​

    ​ 10.​

    ​Встроенная функция КОРЕНЬ возвращает​ получить корень квадратный,​ Далее в скобках​ очень легко, воспользовавшись​Возвращает положительное значение квадратного​ эту формулу вместо​ координаты ячейки, где​

    ​Скачать последнюю версию​

    support. office.com>

    Как вычислить корень квадратный в Excel?

    ​Эльмира​ =СТЕПЕНЬ (В5;1/3) где​ выглядело в таблице.​Введите аргумент функции по​ в которую вводили​ «А2» результат вычисления.​ степени.​ 21. Для возведения​Аргументы функции – ссылки​ положительное значение квадратного​ достаточно заключить выражение​ останется записать переменную,​ специальными символами. Однако​ корня.​ конкретного числа также​ она расположена. Достаточно​

    Что такое корень квадратный?

    ​ Excel​: Спасибо, Спасибо, Спасибо!!!)))​ В5 ячейка с​ Как в Excel​ запросу системы. В​ формулу, необходимое нам​​Часто пользователям необходимо возвести​ в дробную степень​ на ячейки с​ корня. В меню​ в скобки, после​ из которой требуется​ есть и те,​КОРЕНЬ(число)​ можно вписать координаты​ кликнуть по этой​Существуют два основных способа​ Формула очень помогла!!!​ чилом из которого​

    Функция корня

    ​ написать число в​ нашем случае необходимо​ значение. Для данной​В Microsoft Office Excel​ число в степень. (0,5)». Результат​ В Excel в​ описания — так,​ ниже.​ данными. Запись производится​ адрес был внесен​ Один из них​: через яндекс нашла​ степени (либо другая​ использовать вкладку «Формат​ из цифры «25»,​ в «кубе», т.е.​ «СТЕПЕНЬ», которую вы​ это с помощью​

    Использование математических свойств

    ​ пишется в скобках.​ возведенное в степень​Синтаксис функции: =КОРЕНЬ(число).​ этого действия будет​ качестве аргумента функции​ далеко не все​Число​ в любой области​ в поле. После​ подходит исключительно для​ онлайн калькулятор для​ необходимая Вам).​ ячеек». В нашем​ поэтому вводим его​ 2*2*2 = 8.​ можете активизировать для​ «Экселя»?​Выполнили ту же задачу,​ 1,3.​Единственный и обязательный аргумент​ аналогичен возведению в​

    ​ может использоваться как​ знают, как вычислить​    Обязательный. Число, для которого​ листа или в​ ввода данных жмем​ вычисления квадратного корня,​ вычесление корней любой​Либо вместо ячейки​ примере мы записали​ в строку. После​ Программа подсчитала все​ осуществления простых и​В этой статье мы​ но с использованием​Функция вернула число 100,​ представляет собой положительное​ степень с помощью​ явное числовое значение,​ корень квадратный в​ вычисляется квадратный корень. ​ строке формул.​ на кнопку​ а второй можно​ степени​ с числом -​ цифру «3» в​ введения числа просто​ верно и выдала​ сложных математических расчетов.​ попробуем разобраться с​ функции СТЕПЕНЬ.​

    ​ возведенное к ¾.​ число, для которого​ функции, а также​ так и ссылка​ Excel.​Если аргумент «число» имеет​Не стоит думать, что​«OK»​ использовать для расчета​Ivantrs​ подставляется само число​

    Примеры

    ​ ячейку «А1», которую​ нажимаем на кнопку​ вам результат.​Функция выглядит следующим образом:​ популярными вопросами пользователей​Извлекли корень девятой степени​Для возведения числа к​

    ​ функция вычисляет квадратный​ использованию функции «КОРЕНЬ».​ на ячейку, а​Перед началом изучения процесса,​ отрицательное значение, функция​ данный способ можно​.​ величины любой степени.​: да… только вот​ из которого извлекается​

    ​ нужно представить в​ «ОК». В ячейке​Если лишние клики вы​=СТЕПЕНЬ(число;степень)​ и дать инструкцию​ из значения ячейки​ степени в Excel,​ корень.». Для​ Excel вернет ошибку​ возведением в степень​

    ​ является число.​ стоит поближе ознакомиться​Скопируйте образец данных из​ из числа. Таким​

    ​ результат вычислений.​ функция, которая так​ 1 / 4​ здесь — число​Правой кнопкой мыши щелкаем​ математического вычисления корня.​

    ​ простой вариант.​ указываются без пробелов​ Excel позволяет выполнять​ из суммы числа​

    ​ его введения нажать​

    Функция возведения в степень в Excel

    ​ #ЧИСЛО!.​ является более удобным.​

    ​Корень квадратный в Excel​ с тем, что​ следующей таблицы и​ же образом можно​Также функцию можно вызвать​

    ​ и называется КОРЕНЬ.​

    ​ )​ 8​ по ячейке с​

    ​ВНИМАНИЕ! Если нам нужно​Ввод функции вручную:​ и других знаков.​ ряд математических функций:​

    ​ 9 и значения​ Shift + 6​В качестве аргумента можно​ Причиной тому является​ можно вычислить и​ собой представляет эта​

    ​ вставьте их в​ рассчитать квадратный и​

    Возведение к степени с помощью оператора

    ​ через вкладку​ Её синтаксис выглядит​возведение в степень​Kkh​ числом и выбираем​ узнать корень в​В строке формул ставим​Первая цифра – значение​

    ​ от самых простых​ ячейки h2.​ (с английской раскладкой​ указывать конкретное значение​ тот факт, что​ рядом других методов,​ математическая функция. По​ ячейку A1 нового​ любой другой корень.​

    ​«Формулы»​ следующим образом:​ имеет самый высокий​: Можно возвести в​

    ​ из выскакивающего меню​ степени в Excel​

    ​ знак «=» и​ «число». Это основание​ до сложнейших. Это​Те же математические операции​ клавиатуры).​

    Извлечение корней n-й степени

    ​ либо ссылку на​ с помощью этих​ которые не требуют​ определению, квадратный корень​ листа Excel. Чтобы​ Но только в​

    ​.​=КОРЕНЬ(число)​ приоритет…​ степень 1/3​ вкладку «Формат ячеек».​

    ​ то мы не​ начинаем вводить название​ (т.е. цифра, которую​

    ​ универсальное программное обеспечение​ можно выполнить с​Чтобы Excel воспринимал вводимую​

    ​ ячейку с числовым​ операций можно получить​ глубоких познаний в​ из числа а​ отобразить результаты формул,​

    ​ этом случае придется​Выделяем ячейку для отображения​

    ​Для того, чтобы воспользоваться​если записать x​Strannik strano​

    ​ Если не получилось​ используем функцию =КОРЕНЬ().1/n​ во вкладку «Формулы».​ записать в ячейку​ 4 — то​ ли уже mathcad…​ «Формат ячеек» в​ математики:​ и система сама​

  4. ​ введение любого вещественного​Перед поиском необходимой функции​ степень и извлечь​
  5. ​ «=». Далее водится​Функция вернула квадратный корень​ специальных дополнительных вычислений.​ что такое корень,​ равен числу а.​

​ а затем —​n – это степень​В блоке инструментов «Библиотека​

exceltable.com>

Как возвести число к степени в Excel с помощью формулы и оператора

​ или в строку​ число х возведётся​Alex gordon​ верхней панели или​«Корнем n-ой степени от​

​ догадается предложить вам​ числа.​ обратите внимание на​ корень n-й степени​ цифра, которую нужно​ числа 36. Аргумент​Чтобы окончательно разобраться с​ — эта тема​ В математических науках​ клавишу ВВОД. При​ возведения.​ функций» на ленте​ функций программы это​

Как возвести в степень в Excel?

​ в степень 1​: Посмотри, должно помочь​ жмем комбинацию клавиш​

  1. ​ числа а называется​ полезную опцию.» – значение​ на ячейку с​

    ​ Excel, стоит рассмотреть​

    ​ Воспользовавшись определением квадратного​

    ​ Они также бывают​

    1. ​ все данные.​ чем использование первого​. В появившемся списке​
    2. ​ цифру или на​Loony​: Подскажите, плиз как​ вкладку «Число» и​ а», то есть:​ на клавишу «Tab».​ возводим первую цифру.​
    3. ​ «1».​Для корректного отображения числа​ степени.​ положительным значением 36.​
    4. ​ пару примеров для​ корня, его можно​ и любой другой​Данные​

    Формула возведения в степень в Excel

    ​ способа.​

    ​ выбираем значение​

    1. ​ адрес ячейки, где​: Правильно так СТЕПЕНЬ​ можно в экселе​ задаем формат для​n√a = b;​ Или можете продолжить​Значения обоих параметров могут​Число «0» в любой​ в степени при​Вместо любого значения данной​Функция вернула ошибку, т.к.​ двух описанных выше​ представить в виде​
    2. ​ степени, поэтому квадратный​-16​Как видим, несмотря на​«КОРЕНЬ»​ она расположена.​ (A1;0,25) — там​ посчитать корень п-й​ ячейки «Текстовый». Жмем​ bn = a.​
    3. ​ писать, вручную вводить​ быть меньше нуля​ степени будет оставаться​ демонстрации файла или​ математической формулы можно​ аргумент – ссылка​ способов.​ обратной степени двойки​ корень часто называют​Формула​ то, что в​

    ​.​Для выполнения расчета и​ специальная функция СТЕПЕНЬ​ степени, например корень​

    ​ ОК.​

    1. ​«А корень n-ой степени​ каждую букву. Потом​ (т.е. со знаком​ «0».​ его печати, необходимо​ использовать ссылки на​ на ячейку с​В первом случае воспользуемся​
    2. ​ искомого числа. Таким​ корнем второй степени.​Описание​ Excel нет специализированной​Открывается окно аргументов. Все​ вывода результата на​ имеется. A1 -эт​ 3-й степени из​В ячейке A1 вводим​ из числа а​
    3. ​ в скобках укажите​ «-»).​Любое число, возведенное в​ произвести ряд манипуляций:​

    ​ ячейки с цифрами.​ отрицательным значением.​ функцией «КОРЕНЬ», вызвав​ образом, получить квадратный​При решении задачи, связанной​Результат​

    Корень в степени в Excel

    ​ функции для извлечения​ дальнейшие действия в​ экран жмем кнопку​ для примера, ячейка​ 5? Посмотрел функции​ рядом с числом​

    1. ​ будет равен возведению​ необходимые параметры: два​Примеры использования функции СТЕПЕНЬ().​ нулевую степень, равняется​Щелкаем по ячейке с​Это удобно, если нужно​Функция ABS возвращает абсолютное​
    2. ​ её с помощью​ корень без использования​ с нахождением квадратного​=КОРЕНЬ(16)​ кубического корня, данное​ точности такие же,​ENTER​ где содержится число,​ и справку, есть​ «3» число «-2»​ к степени этого​ числа через точку​С использованием мастера функций:​

    ​ единице.​ числом правой кнопкой​ возвести множество значений.​ значение числа -36.​ кнопки «Вставить функцию».​ функции «КОРЕНЬ» можно,​ корня в «Экселе»,​

    ​Квадратный корень числа 16.​ вычисление можно провести,​ как и при​.​ которое в степень​
    ​ упоминание только квадратного​ и выделяем его.​

    ​ же числа а​ с запятой.​Запускаем мастера функций с​Любое значение «А» в​ мыши. Выбираем «Формат​Скопировав формулу на весь​ Ее использование позволило​
    ​ В открывшемся окне​

    ​ просто возведя число​ получить желаемый результат​4​ используя возведение в​

    ​ действии через кнопку​

    ​Кроме того, можно применить​ надо возвести, но​ корня.(5/3)​ клавиш CTRL+1) и​

  2. ​n√a = a1/n.​ в ячейке появляется​ жмем на кнопку​Примеры в Excel:​В открывшемся меню переходим​
  3. ​ в столбце A​ из отрицательного числа.​ разность значений двух​ двумя способами. Первый​
  4. ​ как воспользоваться встроенными​ Так как число​ Для извлечения квадратного​Рассчитать кубический корень использование​Кликаем по ячейке на​Cee cee​fernis​ теперь для нас​Из этого следует чтобы​
  5. ​ высчитанное значение 8.​ в начале строки​

​Стандартный и самый простой​ на вкладку «Число».​ в третью степень.​Функция извлекла квадратный корень​ ячеек, и нажать​ заключается в использовании​

exceltable.com>

Как ввести формулу в Excel, чтобы вычислить корень третьей степени?

​ алгоритмами решений, так​​ отрицательное, возвращается сообщение​ корня можно воспользоваться​ указанного выше варианта​
​ листе, куда будет​: Правильны оба ответа​: Видимо, ты имел​ только доступна вкладка​ вычислить математическую формулу​Последовательность действий проста, а​ формул «fx» (вставить​ вариант – использовать​
​ Задаем «Текстовый» формат.(1/3)​
​ ОК.​В Excel следует записывать​ могут быть указаны​
​ нижнем поле указываем​ раскладке клавиатуры.​ через панель инструментов​ 4-й и иной​Синтаксис функции: =СТЕПЕНЬ(значение; число).​ степени числа, получим​ в выбранную степень.​

​ способом нахождения ответа​​ сначала с помощью​ степень. На этот​ вид формулы для​ функций.​https://www.youtube.com/watch?v=_DIjLQ4TC8Y​Спасибо, вот я​В результате должно отображаться​ через такую формулу:​ ссылки на ячейки.​ на нужную нам​

​ВАЖНО!​​ («Главная» – «Число»).​ степеней?​ Оба аргумента обязательные.​

​ следующее выражение для​​ В этом случае​
​ является функция квадратного​

​ функции ABS найдите​

Сложение корней с числами. Как вынести множитель из-под корня? Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными

Тема про квадратные корни является обязательной в школьной программе курса математики. Без них не обойтись при решении квадратных уравнений. А позже появляется необходимость не только извлекать корни, но и выполнять с ними другие действия. Среди них достаточно сложные: возведение в степень, умножение и деление. Но есть и достаточно простые: вычитание и сложение корней. Кстати, они только на первый взгляд кажутся такими. Выполнить их без ошибок не всегда оказывается просто для того, кто только начинает с ними знакомиться.

Что такое математический корень?

Это действие возникло в противовес возведению в степень. Математика предполагает наличие двух противоположных операций. На сложение существует вычитание. Умножению противостоит деление. Обратное действие степени — это извлечение соответствующего корня.

Если в степени стоит двойка, то и корень будет квадратным. Он является самым распространенным в школьной математике. У него даже нет указания, что он квадратный, то есть возле него не приписывается цифра 2. Математическая запись этого оператора (радикала) представлена на рисунке.

Из описанного действия плавно вытекает его определение. Чтобы извлечь квадратный корень из некоторого числа, нужно выяснить, какое даст при умножении на себя подкоренное выражение. Это число и будет квадратным корнем. Если записать это математически, то получится следующее: х*х=х 2 =у, значит √у=х.

Какие действия с ними можно выполнять?

По своей сути корень — это дробная степень, у которой в числителе стоит единица. А знаменатель может быть любым. Например, у квадратного корня он равен двум. Поэтому все действия, которые можно выполнить со степенями, будут справедливы и для корней.

И требования к этим действиям у них одинаковые. Если умножение, деление и возведение в степень не встречают затруднений у учеников, то сложение корней, как и их вычитание, иногда приводит в замешательство. А все потому что хочется выполнить эти операции без оглядки на знак корня. И здесь начинаются ошибки.

По каким правилам выполняется их сложение и вычитание?

Сначала нужно запомнить два категорических «нельзя»:

  • нельзя выполнять сложение и вычитание корней, как у простых чисел, то есть невозможно записать подкоренные выражения суммы под один знак и выполнять с ними математические операции;
  • нельзя складывать и вычитать корни с разными показателями, например квадратный и кубический.

Наглядный пример первого запрета: √6 + √10 ≠ √16, но √(6 + 10) = √16
.

Во втором случае лучше ограничиться упрощением самих корней. А в ответе оставить их сумму.

Теперь к правилам

  1. Найти и сгруппировать подобные корни. То есть те, у которых не только стоят одинаковые числа под радикалом, но и они сами с одним показателем.
  2. Выполнить сложение корней, объединенных в одну группу первым действием. Оно легко осуществимо, потому что нужно только сложить значения, которые стоят перед радикалами.
  3. Извлечь корни в тех слагаемых, в которых подкоренное выражение образует целый квадрат. Другими словами, не оставлять ничего под знаком радикала.
  4. Упростить подкоренные выражения. Для этого нужно разложить их на простые множители и посмотреть, не дадут ли они квадрата какого-либо числа. Понятно, что это справедливо, если речь идет о квадратном корне. Когда показатель степени три или четыре, то и простые множители должны давать куб или четвертую степень числа.
  5. Вынести из-под знака радикала множитель, который дает целую степень.
  6. Посмотреть, не появилось ли опять подобных слагаемых. Если да, то снова выполнить второе действие.

В ситуации, когда задача не требует точного значения корня, его можно вычислить на калькуляторе. Бесконечную десятичную дробь, которая высветится в его окошке, округлить. Чаще всего это делают до сотых. А потом выполнять все операции для десятичных дробей.

Это вся информация о том, как выполняется сложение корней. Примеры, расположенные ниже, проиллюстрируют вышесказанное.

Первое задание

Вычислить значение выражений:

а) √2 + 3√32 + ½ √128 — 6√18;

б) √75 — √147 + √48 — 1/5 √300;

в) √275 — 10√11 + 2√99 + √396.

а) Если следовать приведенному выше алгоритму, то видно, что для первых двух действий в этом примере ничего нет. Зато можно упростить некоторые подкоренные выражения.

Например, 32 разложить на два множителя 2 и 16; 18 будет равно произведению 9 и 2; 128 — это 2 на 64. Учитывая это, выражение будет записано так:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) — 6 √(2 * 9).

Теперь нужно вынести из-под знака радикала те множители, которые дают квадрат числа. Это 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . Выражение примет вид:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 — 6 * 3√2.

Нужно немного упростить запись. Для этого производится умножение коэффициентов перед знаками корня:

√2 + 12√2 + 4 √2 — 12√2.

В этом выражении все слагаемые оказались подобными. Поэтому их нужно просто сложить. В ответе получится: 5√2.

б) Подобно предыдущему примеру, сложение корней начинается с их упрощения. Подкоренные выражения 75, 147, 48 и 300 будут представлены такими парами: 5 и 25, 3 и 49, 3 и 16, 3 и 100. В каждой из них имеется число, которое можно вынести из-под знака корня:

5√5 — 7√3 + 4√3 — 1/5 * 10√3.

После упрощения получается ответ: 5√5 — 5√3. Его можно оставить в таком виде, но лучше вынести общий множитель 5 за скобку: 5 (√5 — √3).

в) И снова разложение на множители: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. После вынесения множителей из-под знака корня имеем:

5√11 — 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. После приведения подобных слагаемых получим результат: 7√11.

Пример с дробными выражениями

√(45/4) — √20 — 5√(1/18) — 1/6 √245 + √(49/2).

На множители нужно будет разложить такие числа: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Аналогично уже рассмотренным, нужно вынести множители из-под знака корня и упростить выражение:

3/2 √5 — 2√5 — 5/ 3 √(½) — 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 — 2 — 7/6) √5 — (5/3 — 7) √(½) = — 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Это выражение требует того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого нужно умножить на √2/√2 второе слагаемое:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = — 5/3 √5 + 8/3 √2.

Для полноты действий нужно выделить целую часть у множителей перед корнями. У первого она равна 1, у второго — 2.

В математике корни могут быть квадратными, кубическими или иметь любой другой показатель (степень), который пишется слева над знаком корня. Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением. Сложение корней похоже на сложение членов алгебраического выражения, то есть требует определения подобных корней.

Шаги

Часть 1 из 2: Определение корней

Обозначение корней.
Выражение под знаком корня () означает, что из этого выражения необходимо извлечь корень определенной степени.

  • Корень обозначают знаком.
  • Показатель (степень) корня пишется слева над знаком корня. Например, кубический корень из 27 записывается так: (27)
  • Если показатель (степень) корня отсутствует, то показатель считается равным 2, то есть это квадратный корень (или корень второй степени).
  • Число, записанное перед знаком корня, называется множителем (то есть это число умножается на корень), например 5 (2)
  • Если множителя перед корнем нет, то он равен 1 (напомним, что любое число, умноженное на 1, равняется самому себе).
  • Если вы впервые работаете с корнями, сделайте соответствующие пометки над множителем и показателем корня, чтобы не запутаться и лучше понять их назначение.

Запомните, какие корни можно складывать, а какие нельзя.
Так же, как нельзя складывать разные члены выражения, например, 2а + 2b 4ab, вы не можете складывать разные корни.

  • Нельзя складывать корни с разными подкоренными выражениями, например, (2) + (3) (5). Но вы можете сложить числа, стоящие под одним корнем, например, (2 + 3) = (5) (квадратный корень из 2 примерно равен 1,414, квадратный корень из 3 примерно равен 1,732, а квадратный корень из 5 примерно равен 2,236).
  • Нельзя складывать корни с одинаковыми подкоренными выражениями, но разными показателями, например, (64) + (64) (эта сумма не равна (64), так как квадратный корень из 64 равен 8, кубический корень из 64 равен 4, 8 + 4 = 12, что гораздо больше, чем корень пятой степени из 64, который примерно равен 2,297).
  • Часть 2 из 2: Упрощение и сложение корней

    Определите и сгруппируйте подобные корни.
    Подобные корни – корни, у которых одинаковые показатели и одинаковые подкоренные выражения. Например, рассмотрим выражение:
    2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

    • Во-первых, перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем располагались последовательно.
      2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
    • Затем перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем и с одинаковым подкоренным выражением располагались последовательно.
      2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

    Упростите корни.
    Для этого разложите (где возможно) подкоренные выражения на два множителя, один из которых вынесите из-под корня. В этом случае вынесенное число и множитель корня перемножаются.

  • В приведенном выше примере разложите число 50 на 2*25, а число 32 – на 2*16. Из 25 и 16 можно извлечь квадратные корни (соответственно 5 и 4) и вынести 5 и 4 из-под корня, соответственно умножив их на множители 2 и 1. Таким образом, вы получите упрощенное выражение: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)
  • Число 81 можно разложить на множители 3*27, а из числа 27 можно извлечь кубический корень, равный 3. Это число 3 можно вынести из-под корня. Таким образом, вы получите еще более упрощенное выражение: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3)+ 6 (3) + 3 (3)
  • Сложите множители подобных корней.
    В нашем примере есть подобные квадратные корни из 2 (их можно сложить) и подобные квадратные корни из 3 (их тоже можно сложить). У кубического корня из 3 подобных корней нет.

  • 10 (2) + 4 (2) = 14 (2).
  • 2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).
  • Окончательное упрощенное выражение: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)
    • Не существует общепринятых правил порядка записи корней в выражении. Потому вы можете записывать корни в порядке возрастания их показателей и в порядке возрастания подкоренных выражений.

    Внимание, только СЕГОДНЯ!

    Все интересное

    Число, которое находится под знаком корня, часто мешает решению уравнения, с ним неудобно работать. Даже если оно возведено в степень, дробно или не может быть представлено в виде целого числа в определенной степени, можно попытаться вывести его из…

    Корнем из числа x называется такое число, которое при возведении в степень корня будет равно x.2 = x, x = a. Как и над любыми числами, над квадратными корнями можно выполнять арифметические операции сложения и вычитания. Инструкция …

    Корень в математике может иметь два значения: это арифметическое действие и каждое из решений уравнения, алгебраического, параметрического, дифференциального или любого другого. Инструкция 1Корень n-ной степени из числа a — это такое число, что…

    При выполнении различных арифметических действий с корнями часто бывает необходимо умение преобразовывать подкоренные выражения. Для упрощения расчетов может понадобиться вынести множитель за знак радикала или внести под него. Это действие можно…

    Корнем называют значок, обозначающий математическую операцию нахождения такого числа, возведение которого в указанную перед знаком корня степень должно дать число, указанное под этим самым знаком. Часто для решения задач, в которых присутствуют…

    Знаком корня в математических науках называется условное обозначение для корней. Число, находящееся под знаком корня, называется подкоренным выражением.n = a. Корни нечетной степени существуют для отрицательных и положительных чисел, а корни четной степени — только для положительных.…

      Корень из числа проще всего вычесть с помощью калькулятора. Но, если у вас нет калькулятора, тогда надо знать алгоритм вычисления квадратного корня. Дело в том, что под корнем сидит число в квадрате. Например, 4 в квадрате — это 16. То есть корень квадратный из 16 будет равен четырем. Так же 5 в квадрате — это 25. Поэтому корень из 25 будет 5. И так далее.

      Если число небольшое, то его можно легко вычесть устно, к примеру, корень из 25 будет равен 5, а корень из 144-12. Также на калькуляторе можно посчитать, есть специальный значок корня, нужно вбить число и нажать на значок.

      Поможет также таблица квадратных корней:

      Есть еще способы, которые более сложные, однако очень эффективные:

      Корень из какого либо числа можно вычесть с помощью калькулятора, тем более они есть в каждом телефоне на сегодняшний день.

      Можно попробовать примерно прикинуть как может получится данное число, умножив одно число само на себя.

      Вычислить корень квадратный из числа не сложно, особенно, если есть специальная таблица. Всем хорошо известная таблица еще с уроков алгебры. Такая операция называется извлечение квадратного корня из числа quot;aquot;, другими словами решение уравнения. Почти все калькуляторы, в смартфонах имеют функцию определения квадратного корня.

      Результатом извлечения квадратного корня из известного числа будет другое число, которое, при возведении во вторую степень (квадрат), даст то самое число, которое нам известно. Рассмотрим одно из описаний расчтов, которое представляется кратким и понятным:

      Вот видео по теме:

      Вычеслить корень квадратный из числа можно несколькими способами.

      Самым популярным способом — является использование специальной таблицы кореня (смотрите ниже).

      Также на каждом калькуляторе есть функция при помощи которой можно узнать корень.

      Или при помощи специальной формулы.

      Извлечь квадратный корень из числа можно несколькими способами. Один из них — самый быстрый, с помощью калькулятора.

      Но если нет калькулятора, то можно это сделать вручную.

      Результат получится точным.

      Принцип практически такой же как деление столбиком:

      Попробуем без калькулятора найти значение квадратного корняот числа, к примеру, 190969.

      Таким образом, вс предельно просто. В вычислениях главное придерживаться определнных простых правил и логически размышлять.

      Для этого нужна таблица квадратов

      Вот например, корень из 100 = 10, из 20 = 400 из 43 = 1849

      Сейчас практически все калькуляторы, в том числе и на смартфонах умеют высчитывать квадратный корень из числа. НО если калькулятора у вас нет, то можно найти корень из числа несколькими простыми способами:

      Разложение на простые множители

      Разложите подкоренное число на множители, являющиеся квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Квадратные множители это множители, являющиеся квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

      Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16, которое также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.

      Запишите это как: 400 = (25 х 16).

      Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть (а х b) = a x b . Воспользовавшись этим правилом, извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

      В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.

      Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а это происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

      Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:

      Теперь вы можете оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

      Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (1 = 1) и 4 (4 = 2). Таким образом, значение 3 расположено между 1 и 2. Та как значение 3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: 3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.

      Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим 35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (25 = 5) и 36 (36 = 6). Таким образом, значение 35 расположено между 5 и 6. Та как значение 35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что 35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.

      Еще один способ разложите подкоренное число на простые множители. Простые множители числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

      Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, 45 = (3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: 45 = 35. Теперь можно оценить 5.

      Рассмотрим другой пример: 88.

      = (2 х 4 х 11)

      = (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.

      2(2 х 11) = 22 х 11. Теперь можно оценить 2 и 11 и найти приблизительный ответ.

      Может быть полезным будет еще это обучающее видео:

      Чтобы извлечь корень из числа следует воспользоваться калькулятором, либо если нет подходящего, советую зайти вот на этот сайт и решить задачу с помощью онлайн калькулятора, который за секунды выдаст правильное значение.

    Факт 1.

    \(\bullet\)
    Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\)
    (то есть \(a\geqslant 0\)
    ).2=400\\
    \hline \end{array}\]

    Факт 3.

    Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
    \(\bullet\)
    Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть
    \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\]
    Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\)
    , то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\)
    и \(\sqrt{49}\)
    , а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\]
    Если значения \(\sqrt a\)
    или \(\sqrt b\)
    при сложении \(\sqrt
    a+\sqrt b\)
    найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt
    2+ \sqrt {49}\)
    мы можем найти \(\sqrt{49}\)
    – это \(7\)
    , а вот \(\sqrt
    2\)
    никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt
    2+7\)
    . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя

    \(\bullet\)
    Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad
    \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\]
    (при условии, что обе части равенств имеют смысл
    )
    Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot
    2}=\sqrt{64}=8\)
    ;
    \(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\)
    ;
    \(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}=
    5\cdot 8=40\)
    .
    \(\bullet\)
    Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
    Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\)
    . Так как \(44100:100=441\)
    , то \(44100=100\cdot 441\)
    . По признаку делимости число \(441\)
    делится на \(9\)
    (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\)
    , то есть \(441=9\cdot 49\)
    .
    Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}=
    \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\]
    Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}=
    \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{
    \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot
    \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]

    \(\bullet\)
    Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\)
    (сокращенная запись от выражения \(5\cdot
    \sqrt2\)
    ). Так как \(5=\sqrt{25}\)
    , то \
    Заметим также, что, например,
    1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\)
    ,
    2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)

    3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\)
    .2\)
    , поэтому \(\sqrt{16}=4\)
    . А вот извлечь корень из числа \(3\)
    , то есть найти \(\sqrt3\)
    , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\)
    .
    Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\)
    и т.п. являются иррациональными.
    Также иррациональными являются числа \(\pi\)
    (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\)
    ), \(e\)
    (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\)
    ) и т.д.
    \(\bullet\)
    Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел.
    Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\)
    .
    Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

    Факт 5.

    \(\bullet\)
    Модуль вещественного числа \(a\)
    – это неотрицательное число \(|a|\)
    , равное расстоянию от точки \(a\)
    до \(0\)
    на вещественной прямой.2\\
    &2>2,25 \end{aligned}\]
    Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!

    Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3
    \(\bullet\)
    Следует запомнить, что \[\begin{aligned}
    &\sqrt 2\approx 1,4\\
    &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\]
    Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел!
    \(\bullet\)
    Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа.2=168\cdot 168=28224\)
    .
    Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\)
    . Вуаля!

    Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, — на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

    Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

    1. Потому что это расширяет кругозор
      . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
    2. Потому что это развивает интеллект
      . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

    Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

    В математике любое действие имеет свою пару-противоположность – в сущности, это представляет собою одно из проявлений гегелевского закона диалектики: «единство и борьба противоположностей». Одно из действий в такой «паре» направлено на увеличение числа, а другое, обратное ему – на уменьшение. Например, действие, противоположное сложению – это вычитание, умножению соответствует деление. Имеется и своя диалектическая пара-противоположность и у возведения в степень. Речь идет об извлечении корня.

    Извлечь из числа корень такой-то степени – это значит вычислить, какое число необходимо возвести в соответствующую степень, чтобы в итоге получилось данное число. Две степени имеют свои отдельные названия: вторая степень называется «квадратом», а третья – «кубом». Соответствено, корни данных степеней приятно именовать квадратным корнем и кубическим. Действия с кубическими корнями – тема для отдельного разговора, а сейчас поговорим о сложении квадратных корней.

    Начнем с того, что в ряде случаев квадратные корни проще сначала извлечь, а потом уже складывать результаты. Предположим, нам необходимо найти значение такого выражения:

    Ведь совсем не сложно вычислить, что корень квадратный из 16 равен 4, а из 121 – 11. Следовательно,

    √16+√121=4+11=15

    Впрочем, это самый простой случай – здесь речь идет о полных квадратах, т.е. о таких числах, которые получаются при возведении в квадрат целых чисел. Но так бывает не всегда. Например, число 24 – это не полный квадрат (не найти такого целого числа, которое при возведении его во вторую степень дало бы в результате 24). То же самое относится к такому числу, как 54… Что делать, если нам необходимо сложить корни квадратные из этих чисел?

    В таком случае мы получим в ответе не число, а другое выражение. Максимум, что мы можем тут сделать – это максимально упростить исходное выражение. Для этого придется вынести множители из-под корня квадратного. Посмотрим, как это делается, на примере упомянутым чисел:

    Для начала разложим на множители 24 – таким образом, чтобы из одного из них легко можно было извлечь корень квадратный (т.е., чтобы он был полным квадратом). Такое числи есть – это 4:

    Теперь проделаем то же самое с 54. В его составе таким числом будет 9:

    Т.о., у нас получается следующее:

    √24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

    Теперь извлечем корни из того, из чего можем их извлечь: 2*√6+3*√6

    Здесь есть общий множитель, который мы можем вынести за скобки:

    (2+3)* √6=5*√6

    Это и будет результатом сложения – больше ничего тут извлечь нельзя.

    Правда, можно прибегнуть к помощи калькулятора – правда, результат будет приблизительным и с огромным количеством знаков после запятой:

    √6=2,449489742783178

    Постепенно округляя его, мы получим приблизительно 2,5. Если нам все-таки хотелось бы довести до логического завершения решение предыдущего примера, мы можем умножить этот результат на 5 – и получится у нас 12,5. Более точного результата при таких исходных данных получить нельзя.

    опять про квадратный корень — Ни о какой безапелляционности в моих высказываниях не может быть и речи! — ЖЖ

    опять про квадратный корень [фев. 19, 2007|01:48 pm]

    Anatoly Vorobey

    Предположим, у нас есть какое-то (целое) число, например 2 или 25 или 234769 или любое другое. Обозначим его буквой N.

    Может быть, оно целый квадрат, т.е. квадрат другого натурального числа, например 9 это 3 в квадрате или 25 это 5 в квадрате. Тогда его квадратный корень — это целое число, как 3 или 5 в этих примерах.

    Если наше число N — не целый квадрат, то его квадратный корень не может быть целым числом. Но, может быть, его квадратный корень — какая-нибудь дробь вида 3/5 или что-нибудь такое.

    И третья возможность — это что квадратный корень из N — иррациональное число, которое нельзя записать как целую дробь.

    Так что всего с логической точки зрения у нас есть три возможных ситуации:
    1) квадратный корень из N — целое число.
    2) квадратный корень из N — дробное число.
    3) квадратный корень из N — иррациональное число.

    Вот простое красивое доказательство того, что вторая ситуация — «дробное число» — не может случиться на самом деле. Поэтому из этого доказательства следует, что квадратный корень из 2, из 3, из 5, из 20, и вообще из любого числа, которое не целый квадрат — иррациональные числа. Ведь если мы исключили возможность номер два, то остаются только один и три; а все эти числа — 2, 3, 5, 20 и многие другие — не целые квадраты, то номер один тоже исключается, и их квадратные могут быть только иррациональными.

    Я попытаюсь написать это доказательство так, чтобы его могли понять читатели, которые не имеют никакого отношения к математике, и не учили ее со времем средней школы. Если вы такой читатель, и вам в этом доказательстве все понятно или наоборот что-то непонятно, то расскажите мне, пожалуйста, о своих впечатлениях и трудностях в комментариях.

    Итак, предположим, что есть такое N, которое не является целым квадратом, и что его квадратный корень можно записать как какую-то целую дробь

          A
    √N = ---
          B
    

    (запись √N означает «квадратный корень из N»)

    Из всех возможных таких A/B (а их может быть много: ведь, например, 1/2 это
    то же самое, что 2/4 или 5/10) мы выберем такое A/B, в котором А самое меньшее
    по размеру («минимальное», говорят математики). Так что никакого другого A/B
    с тем же значением √N, в котором А еще меньше того, что мы выбрали, быть
    уже не может. Например, если бы нам надо было выбирать между возможными вариантами
    записать A/B как 2/5, 4/10 или 20/50, то мы выберем 2/5, потому что в этом варианте
    A меньше всех — равно 2 — и меньше варианта уже нету.

    Теперь возведем обе части в квадрат. Левая часть — квадратный корень из N — в квадрате будет просто N, а правую часть умножим саму на себя, ведь это и значит «возвести в квадрат»:

         A     A
    N = --- * ---
         B     B
    

    Перевернем одну из дробей и перенесем в левую часть. Или, говоря, другими словами, умножим обе части на B/A, и тогда в левой части прибавится B/A, а в правой части оно сократится с одной из двух копий A/B.

    N * B     A
    -----  = --- 
      A       B
    

    Раз эти две дроби равны, то равны по отдельности их целые части и дробные части.
    Что такое дробная часть той дроби, что слева от знака равенства? Это какая-то дробь

     x
    ---
     A
    

    где x должно быть меньше A (иначе можно еще выделить целую часть). Соответственно дробная часть той дроби, что справа, это какое-то y/B, где y должно быть меньше B. Вместе получается

     x      y
    ---  = ---
     A      B
    

    В этом равенстве мы можем перенести y влево, а A вправо, умножив сначала обе части на A, а потом поделив обе части на y:

     x         y
    --- * A = --- * A 
     A         B  
    
    Сокращаем A:
    
          y*A
     x = ----- 
           B
    
    Делим на y:
    
     x    y*A
    --- = ---
     y    y*B
    
    и сокращаем y:
    
     x     A
    --- = --- 
     y     B
    

    (мы можем это сделать, только если мы точно знаем, что y не равно 0, потому что
    на ноль делить нельзя. Но мы это точно знаем: ведь если y равно 0, это значит,
    что дробная часть A/B равна 0, т.е. исходный квадратный корень A/B целое число, но мы изначально предположили, что оно не целое)

    Сравнив это равенство с самым началом наших рассуждений, мы видим, что

          x
    √N = ---
          y
    

    причем, мы раньше видели, в этом равенстве x меньше нашего первоначального числительного A (потому что у нас была дробная часть x/A, в которой нельзя было выделить еще больше целой части). Но это противоречит тому, что мы написали о выборе A: А должно было быть самым меньшим из всех возможных способов представить √N в виде A/B. Исходя из этого допущения, мы тем не менее нашли какое-то еще меньшее число x, которое тоже подходит для этой цели, то есть пришли к противоречию. Раз мы неизбежно приходим к противоречию, исходя из предположения, что √N вообще можно представить как какое-то A/B, значит, это предположение неверно, и на самом деле такого не может быть. Что и требовалось доказать.

    Это доказательство приводят Conway & Guy в своей «Книге чисел» (The Book of Numbers).

    Comments:
    Страница 1 из 2
    << [1] [2] >>
    From: maq
    2007-02-19 12:04 pm

    (Link)

    А можно немножко не в тему спросить?
    Как выглядит график функции Y = A в степени X, если A отрицательное? То есть, скажем, -2 в квадрате это 4, а в кубе уже -8. Потом опять плюс, потом опять минус. А в дробных координатах где-то не существует (если внизу дроби чётное число), а где-то существует, если нечётное. Можно где-нибудь на такой график посмотреть?

    См. сегодняшнее рассуждение plover.com (markdominus) о геометрическом доказательстве иррациональности √2 (на самом деле это, конечно, красивая «геометризация» арифметич. док-ва)
    Именно оно подвигло меня на написание этой записи, косвенным путем. Сначала я хотел написать Марку письмо, и объяснить ему, что:

    1) во-первых, это доказательство не придумали в 2000-м году, а оно существовало давно, в том числе в элементарных учебниках (см. например Proof 7 на этой странице).
    2) во-вторых, оно действительно является очевидной геометризацией известного — хоть и далеко не так широко известного, как «стандартное» — арифметического доказательства
    3) в-третьих, неверно называть его чисто геометрическим, потому что по сути своей оно содержит арифметический аргумент, апеллирующий к понятию «целое число», без которого чистая геометрия в ее древнегреческой версии вполне может обойтись
    4) в-четвертых, по-видимому, неверно, что древние греки только случайно открыли «стандартное» доказательство, а не это, а это гораздо больше в их духе, потому что Марк не замечает того факта, что это доказательство глубоким образом опирается на принцип бесконечного спуска, которым, по-видимому, в явном виде древние греки не владели. Конечно, и «стандартное» доказательство на него опирается, но там эта зависимость вплетена в понятие «сокращение дробей», и необязательно понимать сам метод бесконечного спуска, достаточно «всего лишь» понимать сокращение дробей.

    Но, уже начав писать письмо Марку, я передумал, потому что вспомнил, что его отношение к критике, даже вполне дружелюбной, оставляет желать лучшего, по моему опыту, и что это вероятно будет бесполезным занятием. Раз уж я вспомнил эту тему, то решил попробовать записать как можно более понятным языком доказательство Конвея. Арифметическую версию доказательства про квадратный корень из двух я уже как-то приводил несколько месяцев назад, правда, она наверняка затерялась для почти всех читателей внутри длинного и утомительного логического рассуждения.

    (Удалённый комментарий)

    Я думаю, что вполне могу послужить подопытным кроликом, несмотря на когдатошнею степень — я честно забыла абсолютно всё.
    1) мне было не очевидно, что B*N > A, и что мы можем выделить целую часть.
    2) Мне были неочевидны переносы дробей — возможно и другим чайникам было бы проще если бы ты предлагал поделить и умножить обе части уровнения.

    Большое спасибо!

    1) нам не нужно отдельно доказывать, что B*N > A — если вдруг нет, то пусть x = B*N, и вся дробь и есть дробная часть.
    2) сейчас попробую дописать это, правда твоя.

    >Из всех возможных таких A/B (а их может быть много: ведь, например, 1/2 это то же самое, что 2/4 или 5/10) мы выберем такое A/B, в котором А самое меньшее по размеру

    Поскольку речь везде идет о целых, а не натуральных, такого А нет.

    From: avva
    2007-02-19 05:20 pm

    Re: nitpicking

    (Link)

    Сознательно не хотел использовать незнакомое многим нематематическим читателям слово «натуральное», и поступился формальной корректностью.

    про перенос хотел только написать, а уже исправлено 🙂

    Все равно спасибо 🙂

    From: (Anonymous)
    2007-02-19 06:40 pm

    (Link)

    Признаюсь честно, я засыпаю на ходу и не осилил, начиная с того момента, когда ввели х и у. Слишком много лишних слов, которые только путают
    Может потом вернусь, если вспомню

    Спасибо за честное мнение 🙂 если вернетесь и осилите, расскажите, как по-вашему было бы лучше объяснить.

    Спасибо, очень интересно. Получаю удовольствие от таких штучек. Собираюсь показать своим ученикам. Сама в универе хоть и училась, но из математики практически ничего. Так что если мне понятно — должно быть многим другим тоже.

    Попробую вернуться мысленно в школьные годы и посмотреть с той точки зрения…

    Так. Во-первых — и это моя основная проблема с традиционным изложением математики вообще — происходят какие-то манипуляции с формулами — но совсем непонятно почему именно эти, а не какие-то другие.2)
    разложим обе части на простые множители.
    пусть в разложении x число 2 встречается m раз, а в разложении y — она встрачается n раз. Важно то, что разложение на простые множители единственно. (это проходят в школе точно)
    тогда в разложении левой части двойка будет встречаться 2m раз, а в разложении правой — 2n+1 раз
    Четное != нечетному. Противоречие.
    Теперь, если начать обобщать с двойки на произвольное целое число, то доказательство либо проходит — тогда корень остается иррациональным, либо нет — тогда (если чуть-чуть подумать) корень оказывается целым. Дробь ну никак выйти не может.
    Отсюда — если уже знать высшую математику — следует в частности, что иррациональность корня в поле напрямую связана с единственностью разложения на множители. Но это уже на любителя.

    Точно знаю, что школьнику это должно быть понятно, потому что в школе я это и придумал = )(разумеется, не первым)

    Где-то на этапе «Раз эти две дроби равны» хорошо было б подчеркнуть, что A>B, т.е. дроби >1 и можно выделить целую часть из A/B, а так как это равно NB/A, то можно и там выделить целую часть. А то как-то теряешься в самом конце: А что если х=А? В общем, всё как у Вирта — чем больше assert’ов, тем лучше 🙂

    One more moment:

    For the non-mathematician the problem should be formulated sharply and interesting.
    For example, the following problems will probably not look to interesting

    1) 🙂 In some area of mathematics we have cases a),b),c) let us prove that case b) is impossible.

    This looks like some technicality statement, and mathematics is so vast anyway ….

    2) let us prove that sqrt(N) is irrational (baring full square).

    Most of non-mathimaticians don’t know what irrational means. And in mathematics there is plenty of weird terms, so what that something is called something ? And those who do remember irrational numbers,
    remember first of all sqrt(2), sqrt(3) (and pi). For them it is almost a tautology that square roots are irrational !

    So I would have though that formulation of the problem like

    3) Let us show that \sqrt{N} cannot be represented as (irreducable) ratio n/m *)

    is more interesting. Some may even be astonished (those who do not remember that there are irrational numbers).

    *) Caveat about ful squares have to be introduced somehow.

    Если в доказательстве больше 2-х ходов, оно начинает напоминать подозрительные манипуляции фокусника.

    From: 109
    2007-02-20 08:50 am

    (Link)

    аплодисменты.

    мне тоже иногда приходится объяснять какие-то вещи, кажущиеся мне очевидными, гораздо подробнее, чем, казалось бы, нужно. когда я это делаю в устной форме, реакция собеседника подсказывает, когда нужно повторить, а когда можно двигаться вперёд. а когда я пишу, этого фидбэка нет, и меня всегда мучает страх «зациклиться», начать повторять одно и то же без продвижения вперёд.

    From: jojoza
    2007-02-20 10:22 am

    а зачем так сложно?

    (Link)

    Пусть sqrt(N)=a/b, где a/b — несократимая дробь.2 тоже нет общих членов.

    Это кажется проще, но на деле пользуется единственностью разложения на простые множители, что вообще говоря намного более сложный результат, чем все «мое» доказательство.

    Хм, я наверное чего-то не догоняю.
    Разве то, что возведение в квадрат несократимой дроби с неединичным знаменателем приведет к несократимой же дроби с неедиными знаментателем, не является достаточным рассуждением?

    Это рассуждение опирается на единственность разложения на простые множители, и вообще говоря будет неочевидно тем, кто его как следует не усвоил.

    From: (Anonymous)
    2007-02-20 12:05 pm

    Интересно,

    (Link)

    а мировые константы иррациональны по отношению друг к другу? Не могу проверить, как придумать, ведь точных значений нет.

    в физике все константы являются переменными =))

    Страница 1 из 2
    << [1] [2] >>

    2} с одной стороны уравнения, сохраняя константы с противоположной стороны. 2} с левой стороны, добавив обе стороны на +1.Затем решите значения x, извлекая квадратные корни из обеих частей уравнения. Как я упоминал ранее, нам нужно прикрепить символ плюс или минус к квадратному корню из константы.

    Итак, у меня x = 5 и x = — \, 5 в качестве окончательных ответов , поскольку оба этих значения удовлетворяют исходному квадратному уравнению. Я оставлю это на ваше усмотрение.


    Пример 2 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

    Эта проблема очень похожа на предыдущий пример.2}, по одному с каждой стороны уравнения. Мой подход состоит в том, чтобы собрать все квадраты x с левой стороны и объединить все константы с правой стороны. Затем решите относительно x как обычно, как в примерах 1 и 2.

    Решения этой квадратной формулы: x = 3 и x = — \, 3.


    Пример 4 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

    Две круглые скобки не должны вас беспокоить. Факт остается фактом: все переменные имеют квадратную форму, чего мы и хотим.2} термины слева и константы справа. Наконец, примените операцию извлечения квадратного корня с обеих сторон, и все готово!

    Неплохо, правда?


    Пример 5 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

    Поскольку член x дважды возводится во вторую степень, это означает, что мне нужно выполнить две операции извлечения квадратного корня, чтобы найти x.

    Первый шаг — получить что-то вроде этого: () 2 = константа .2} = \ pm \, 6 + 10 на два случая из-за «плюс» или «минус» в 6.

    • Решите первый случай, когда 6 — это положительное значение .
    • Решите второй случай, когда 6 равно отрицательным .

    Решения этого квадратного уравнения: x = 4, x = — \, 4, x = 2 и x = — \, 2. Да, у нас есть четыре значения x, которые могут удовлетворять исходному квадратному уравнению.


    Пример 6 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

    Решение :


    Пример 7 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

    Решение:


    Практика с рабочими листами


    Вас также может заинтересовать:

    Решение квадратных уравнений методом факторинга
    Решение квадратных уравнений по квадратичной формуле
    Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

    Как вручную найти квадратный корень

    Как вручную найти квадратный корень

    Как найти квадратный корень вручную

    Вот почти забытое искусство: с появлением электронных
    калькуляторы, скорее всего, доживут до XXI века только на бумаге и
    в воспоминаниях стариков.

    Из какого числа вы хотите найти квадратный корень?
    Вот один из них, который мы будем использовать:

    46656
     

    Сначала разделите число, которое нужно извлекать из квадратного корня, на пары цифр,
    начиная с десятичной точки. То есть никакая пара цифр не должна пересекаться
    десятичная точка. (Например, разделите 1225 на «12 25», а не на
    «1 22 5»; 6.5536 на «6,55 36», а не на «6,5 53 6».)

    Затем вы можете поместить несколько линий на каждую пару цифр и полосу на
    слева, что-то вроде длинного деления.

         + --- ---- ----
         | 4 66 56
     

    Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен ведущему
    пара цифр. В этом случае первая пара цифр — 4; самое большое число
    квадрат которого меньше или равен 4 равен 2.

    Поместите это число слева, и над первой парой цифр.

           2
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
     

    Теперь возведите это число в квадрат и вычтите из первой пары цифр.

           2
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
         | -4
         + ----
           0
     

    Выдвинуть левую скобу; умножьте последнюю (и единственную) цифру левой
    число на 2, поместите его слева от разницы, которую вы только что вычислили, и
    оставьте рядом с ним пустой десятичный знак.

           2
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
         | -4
         + ----
     4_ | 0
     

    Затем опустите следующую пару цифр и поместите ее вправо
    разницы.

           2
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
         | -4
         + ----
     4_ | 0 66
     

    Найдите наибольшее число для этого пустого десятичного разряда, чтобы
    число, умноженное на уже существующее число плюс десятичный разряд, будет меньше
    чем текущая разница. Например, если 1 * 41 равно ≤ 66, то 2 * 42
    ≤ 66 и т. Д. В данном случае это 1. Поместите это число в оставленное вами поле,
    и в следующем десятичном разряде в строке результатов вверху.

           2 1
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
         | -4
         + ----
     41 | 0 66
     

    Теперь вычтите продукт, который вы только что нашли.

           2 1
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
         | -4
         + ----
     41 | 0 66
         | - 41
         + --------
               25
     

    Теперь повторите, как прежде: возьмите число в левом столбце (здесь 41) и
    удвойте его последнюю цифру (что даст вам 42). Скопируйте это ниже в левый столбец и
    оставьте рядом с ним пустое место. (Двойная последняя цифра с переносом: для
    Например, если у вас было не 41, а 49, что составляет 40 + 9, вы должны скопировать 40 + 18
    что равно 58.) Также опустите следующую пару цифр справа.

           2 1
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
         | -4
         + ----
     41 | 0 66
         | - 41
         + --------
    42_ 25 56
     

    Теперь найдите самую большую цифру (назовите ее #) такую, что 42 # * # ≤ 2556. Здесь
    получается, что 426 * 6 = 2556 точно.

           2 1 6
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
         | -4
         + ----
     41 | 0 66
         | - 41
         + --------
    426 | 25 56
         | - 25 56
         + -------------
                     0
     

    Когда разница равна нулю, у вас есть точный квадратный корень, и вы
    Выполнено.В противном случае вы можете продолжать находить больше десятичных знаков до тех пор, пока
    как ты хочешь.


    Вот еще один пример с меньшим количеством аннотаций.

              7. 2 8 0 1 ...
           + ----------------------
    7 | 53. 00 00 00 00 00
           | 49
           + ----------------------
    142 | 4 00
           | 2 84
           + ----------------------
    1448 | 1 16 00
           | 1 15 84
           + ----------------------
    14560 | 16 00
           | 0
           + ----------------------
    145601 | 16 00 00
           | 14 56 01
           + ----------------------
           | 1 43 ​​99 00
                             ...
    
     


    Джон Керл

    john dot r dot kerl at lmco точка com

    Июль 1998 г.

    Текущий адрес (по состоянию на 2005 г.):

    [email protected]

    ← Прочие документы

    радикалов — Как получить квадратный корень из комплексного числа?

    Это пост из трех частей . Первую часть написал пользователь Did; он предоставляет формулу и некоторые краткие комментарии к ней. Вторая часть написана пользователем Хансом Лундмарком; он обеспечивает геометрический способ понимания формулы.Третью часть написал пользователь t.b .; он содержит пояснительные картинки и некоторые краткие комментарии к ним.


    (Did) Если кто-то может вычислить квадратный корень из каждого положительного действительного числа и модуль каждого комплексного числа, хорошая формула для главного квадратного корня $ \ sqrt {z} $ из $ z $ будет
    $$
    \ sqrt {z} = \ sqrt {r} \ frac {z + r} {| z + r |}, \ quad r = | z |.
    $$
    Попробуйте это доказать, и вы увидите, работает …

    Главный квадратный корень — это корень с положительной действительной частью. Единственный случай, когда формула не работает, — это когда нет главного квадратного корня, то есть когда $ z $ — отрицательное действительное число.

    Никакого синуса или косинуса не используется, не нужно даже решать многочлены второй степени, нужно просто использовать квадраты и квадратные корни. Например, для $ z = 9 + 4 \ mathrm {i} $,
    $$
    \ sqrt {z} = \ frac {9+ \ sqrt {97} +4 \ mathrm {i}} {\ sqrt {2 (9+ \ sqrt {97})}}.

    $


    (HL) Есть геометрический способ понимания формулы в ответе Дида. Чтобы найти квадратный корень из заданного комплексного числа $ z $, вы сначала хотите найти комплексное число $ w $, которое имеет половину аргумента $ z $ (поскольку возведение в квадрат увеличивает аргумент вдвое).2 = z $ и, следовательно, $ cw $ является квадратным корнем из $ z $. Очевидно, что $ c = \ pm \ sqrt {| z |} / | w | $ сработает, поэтому этот метод не работает только тогда, когда $ w $ оказывается равным нулю, то есть если $ z $ — отрицательное действительное число.


    (t.b.) Следуя предложению Did, я беру на себя смелость добавить две фотографии, которые я изначально разместил как отдельный ответ, но мне показалось, что лучше разместить их здесь:

    Вот изображение для $ z = 9 + 4i $:

    Примечание: Построение квадратных корней геометрически точное.То есть они были построены с использованием только линейки и циркуля. Я решил скрыть конструкцию, поскольку она скорее запутывает предполагаемую иллюстрацию, чем добавляет к ней. 2 = (| z | -1) \ cdot 1 $ и, следовательно, красный круг имеет радиус $ \ sqrt {| z |} $.Осталось пересечь красный круг с угловой биссектрисой осей $ x $ и $ z $, которые я построил, используя процесс, описанный Гансом в своей части поста.

    Изображения были созданы с помощью GeoGebra.

    квадратных корней и кубических корней

    Чтобы найти кубический корень числа, вы хотите найти какое-то число, которое при двойном умножении на себя дает вам исходное число. Другими словами, чтобы найти кубический корень из 8, вы хотите найти число, которое при двойном умножении на само себя дает 8.Таким образом, кубический корень из 8 равен 2, потому что 2 × 2 × 2 = 8. Обратите внимание, что символ кубического корня — это знак корня с маленькой тройкой (так называемый индекс ) сверху и слева. Остальные корни определяются аналогично и идентифицируются указанным индексом. (Под квадратным корнем понимается индекс два, который обычно не записывается.) Ниже приводится список первых одиннадцати совершенных (целых чисел) кубических корней.

    Чтобы найти квадратный корень из числа, не являющегося полным квадратом, необходимо будет найти приблизительный ответ , используя процедуру, приведенную в примере

    .

    Пример 1

    Приблизительно.

    Поскольку 6 2 = 36 и 7 2 = 49, то находится между и.

    Следовательно, это значение от 6 до 7. Так как 42 находится примерно на полпути между 36 и 49, можно ожидать, что это будет примерно посередине между 6 и 7, или примерно 6,5. Чтобы проверить эту оценку, 6,5 × 6,5 = 42,25, или около 42.

    Квадратные корни из несовершенных квадратов можно аппроксимировать, найти в таблицах или найти с помощью калькулятора. Вы можете иметь в виду эти два:

    Упрощение квадратных корней

    Иногда вам придется упростить квадратных корня или записать их в простейшей форме.В долях может быть уменьшено до. В квадратных корнях можно упростить до.

    Существует два основных метода для упрощения извлечения квадратного корня.

    Метод 1: Разложите число под двумя множителями, один из которых является наибольшим возможным полным квадратом. (Совершенные квадраты: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,…)

    Метод 2: Полностью разложите число под множителями на простые множители, а затем упростите, выведя все множители попарно.

    Пример 2

    Упростить.

    В примере

    , самый большой идеальный квадрат легко увидеть, и метод 1, вероятно, является более быстрым методом.

    Пример 3

    Упростить.

    В примере

    , не так очевидно, что наибольший идеальный квадрат равен 144, поэтому метод 2, вероятно, является более быстрым.

    Многие квадратные корни нельзя упростить, потому что они уже представлены в простейшей форме, например, и.

    Упрощающие радикалы — Полный курс алгебры

    27

    Самая простая форма

    Аналогичные радикалы

    2-й уровень

    Упрощение квадратных корней из степеней

    Дробное подкоренное выражение

    МЫ ГОВОРЯЕМ, ЧТО КВАДРАТНЫЙ КОРНЕВОЙ РАДИКАЛ упрощен или в его простейшей форме, когда подкоренное выражение не имеет квадратных множителей.

    Радикал также находится в простейшей форме, когда подкоренное выражение не является дробью.

    Например, в примере 1. 33 нет квадратных множителей. Его множители равны 3 · 11, ни одно из которых не является квадратным числом. Поэтому находится в простейшем виде.

    Пример 2. Извлечение квадратного корня. 18 имеет квадратный фактор 9.

    18 = 9 · 2.

    Следовательно, не в простейшем виде.Имеем,

    =

    Теперь мы можем извлечь квадратный корень из 9:

    .

    = = 3.

    теперь упрощен. Подкоренное выражение больше не имеет квадратных множителей.

    Обоснованием извлечения квадратного корня из 9 является следующая теорема:

    Квадратный корень из произведения
    равен произведению квадратных корней
    каждого множителя.

    Мы докажем, что когда мы перейдем к рациональным показателям, Урок 29. Вот простая иллюстрация:

    Что касается, то оно равно квадратному корню из 9, умноженному на квадратный корень из 2, что является иррациональным. 3.

    Пример 3 Упростить.

    Решение . = = 5.

    75 имеет квадратный множитель 25. А квадратный корень (25 умноженный на 3)
    равен квадратному корню 25 умноженному на квадратный корень из 3.

    теперь упрощен.

    Пример 4. Упростить.

    Решение . Мы должны разложить на множители 42 и посмотреть, есть ли у него какие-либо квадратные множители. Мы можем начать факторинг любым способом. Например,

    42 = 6 · 7

    Мы можем продолжать множить 6 как 2 · 3, но мы не можем продолжать множить 7, потому что 7 — простое число. Следовательно,

    42 = 2 · 3 · 7

    Теперь мы видим, что 42 не имеет квадратных множителей — потому что множители не повторяются.Сравните пример 1 и задачу 2 предыдущего урока.

    Таким образом,

    имеет простейшую форму.

    2 · 3 · 7 — разложение на простые множители 42.

    2, 3 и 7 — простые числа.

    Пример 5. Упростить.

    Решение. Мы должны искать квадратные множители, которые будут множителями, которые будут повторяться.

    180 = 2 · 90 = 2 · 2 · 45 = 2 · 2 · 9 · 5 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5

    Следовательно,

    = 2 · 3 = 6.

    Проблема 1. Почему мы ищем квадратные множители, чтобы упростить радикал?

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
    Сначала решите проблему сами!

    Чтобы извлечь квадратный корень из корня.

    Проблема 2. Что правильно?

    Проблема 3.Упростите следующее. Сделайте это, проверив каждое подкоренное выражение на квадратный коэффициент: 4, 9, 16, 25 и так далее.

    а) =

    б) =
    = = 5

    в) =
    = = 3

    г) =
    = 7

    е) =
    = 4

    е) =
    = 10

    г) =
    = 5

    ч) =
    = 4

    Проблема 4.Сократите до самых низких сроков.

    а) 2 = 2 = 2 =
    б) 3 = 3 = 3 = 2
    в) 2 = Радикал в своей простейшей форме.Дробь не может быть уменьшена.

    Аналогичные радикалы

    Подобные радикалы имеют одинаковое подкоренное выражение. Мы добавляем их как похожие термины.

    2 и 6 похожи, как 5 и -. Мы объединяем их, складывая их коэффициенты.

    На практике нет необходимости изменять порядок терминов. Студент должен просто увидеть , радикалы которых имеют такое же подкоренное выражение.

    Что касается 7, то она ни к какому радикалу не «принадлежит».

    Задача 5. Упростите каждый радикал, затем добавьте аналогичные радикалы.

    а) + =

    3 + 2 = 5

    Проблема 6. Упростите следующее.

    а) 2 = 2 = 2 -, о делении каждого члена в числителе на 2.

    Сравните Пример 4 здесь.

    Чтобы увидеть, что 2 была множителем радикала, сначала нужно упростить
    радикальный. Сравните с задачей 4.

    б) 5 = 5 = 2 +
    в) 6 = 6 = 3 о делении каждого члена на 2.

    2-й уровень

    Первый урок радикалов

    Следующий урок: радикалы умножения и деления

    Содержание | Дом


    Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
    Даже 1 доллар поможет.


    Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

    Вопросы или комментарии?

    Эл. Почта: [email protected]

    Функция SQRT и другие способы

    В этом руководстве показано, как вычислить квадратный корень в Excel, а также как вычислить корень N-й степени любого значения.

    Возведение числа в квадрат и извлечение квадратного корня — очень распространенные операции в математике. Но как получить квадратный корень в Excel? Либо с помощью функции КОРЕНЬ, либо возведением числа в степень 1/2. Следующие примеры показывают полную информацию.

    Как извлечь квадратный корень в Excel с помощью функции КОРЕНЬ

    Самый простой способ получить квадратный корень в Excel — использовать специально разработанную для этого функцию:

    SQRT (номер)

    Где число — это номер или ссылка на ячейку, содержащую число, для которого вы хотите найти квадратный корень.

    Например, чтобы получить квадратный корень из 225, используйте следующую формулу: = КОРЕНЬ (225)

    Чтобы вычислить квадратный корень из числа в A2, используйте это: = КОРЕНЬ (A2)

    Если число отрицательное, как в строках 7 и 8 на скриншоте выше, функция Excel КОРЕНЬ возвращает # ЧИСЛО! ошибка. Это происходит потому, что квадратного корня из отрицательного числа не существует среди множества действительных чисел. Почему это? Поскольку нет возможности возвести число в квадрат и получить отрицательный результат.

    Если вы хотите извлечь квадратный корень из отрицательного числа , как если бы это было положительное число, оберните исходное число в функцию ABS, которая возвращает абсолютное значение числа, игнорируя знак:

    = КОРЕНЬ (АБС (A2))

    Как вычислить квадратный корень в Excel

    При вычислении вручную квадратный корень записывается с помощью символа корня (√). Хотя в Excel невозможно ввести этот традиционный символ квадратного корня, есть способ найти квадратный корень без какой-либо функции.(1/2), «»)

    Почему показатель степени 1/2 равен квадратному корню?

    Для начала, что мы называем квадратным корнем? Это не что иное, как число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Например, квадратный корень из 25 равен 5, потому что 5×5 = 25. Это кристально ясно, не так ли?

    Ну, умножение 25 1/2 на себя также дает 25:

    25 ½ x 25 ½ = 25 (½ + ½) = 25 (1) = 25

    Другими словами:

    √25 x √25 = 25

    А:

    25 ½ x 25 ½ = 25

    Итак, 25 ½ эквивалентно √25.

    Как найти квадратный корень с помощью функции СТЕПЕНЬ

    Функция СТЕПЕНЬ — это просто еще один способ выполнить вышеприведенное вычисление, то есть возвести число в степень 1/2.

    Синтаксис функции Excel POWER следующий:

    МОЩНОСТЬ (число, мощность)

    Как нетрудно догадаться, чтобы получить квадратный корень, нужно добавить 1/2 к аргументу степени . Например:

    = МОЩНОСТЬ (A2, 1/2)

    Как показано на скриншоте ниже, все три формулы извлечения квадратного корня дают одинаковый результат, выбор из которых зависит от ваших личных предпочтений:

    Как вычислить корень N в Excel

    Формула экспоненты, обсуждаемая в нескольких абзацах выше, не ограничивается нахождением только квадратного корня.0,25.

    Обратите внимание, что дробных показателей всегда следует заключать в круглые скобки , чтобы обеспечить правильный порядок операций в вашей формуле квадратного корня — сначала деление (косая черта (/) — это оператор деления в Excel), а затем повышение до сила.

    Таких же результатов можно добиться с помощью функции МОЩНОСТЬ:

    • Кубический корень из 64: = МОЩНОСТЬ (64, 1/3)
    • 4 -й корень из 16: = POWER (16, 1/4)
    • Корень 5 -й степени из числа в ячейке A2: = МОЩНОСТЬ (A2, 1/5)

    На реальных листах вы можете вводить корни в отдельные ячейки и ссылаться на эти ячейки в формулах.(1 / B $ 2)

    На снимке экрана ниже показаны результаты с округлением до двух знаков после запятой:

    Наконечник. Чтобы выполнить несколько вычислений с помощью одной формулы, как в приведенном выше примере, исправьте ссылку на столбец и / или строку, где это необходимо, с помощью знака доллара ($). Дополнительные сведения см. В разделе «Зачем использовать знак доллара в формулах Excel».

    Вот как можно вычислить квадратный корень в Excel. Благодарю вас за чтение и надеюсь увидеть вас в нашем блоге на следующей неделе!

    Вас также может заинтересовать

    Вводить и извлекать факторы радикально.Упражнения решаются пошагово.

    Хотите узнать , как вводить и извлекать факторы в радикале ? Я объясню это здесь с помощью нескольких примеров и упражнений, решаемых шаг за шагом.

    Знание того, как вводить и извлекать факторы в радикал, позволит вам упростить радикал, что очень полезно в радикальных операциях.

    Например, в этих двух радикалах:

    Мощность радианда больше корневого индекса, поэтому они не упрощаются.Работает так же, как упрощение дробей.

    Теперь я собираюсь объяснить, как вводить и извлекать факторы в радикале.

    Сначала я объясню вам, как это работает, с помощью свойств корней, а затем мы увидим способ сделать это более прямым и быстрым способом

    Как я уже говорил вам ранее, когда в корне показатель подкоренного выражения больше индекса корня, он еще не полностью упрощен, например:

    Чтобы продолжить его упрощение, необходимо вычленить множители из радикала, и в конечном итоге это так:

    Если вы понимаете, теперь у нас есть корень, где показатель подкоренного выражения меньше индекса корня и умножен на x.То есть внутри корня были x, мы их убрали, и они умножают корень.

    Давайте посмотрим, шаг за шагом, как достичь этого результата.

    Изначально у нас есть этот корень, с показателем степени радикандо больше, чем индекс корня:

    Как вы уже знаете из свойства умножения в степени, x, возведенный в 5, может быть выражен как умножение степеней с той же базой, показатели которой будут складываться, и поэтому я выражу это по-другому:

    Почему я разделил силу этой формы?

    Потому что их удобно разделить на степени с тем же показателем, что и индекс.В этом случае, поскольку у нас есть индекс 3, показатель степени 5 записывается как 3 + 2. Если бы у меня было 7, я бы написал как 3 + 3 + 1, я понимаю? Ниже вы увидите, почему я так делаю.

    Теперь у меня есть умножение степеней внутри корня, которое я собираюсь преобразовать в умножение двух корней индекса 3, применяя свойство умножения корней:

    Первый корень, так как он имеет тот же индекс, что и показатель степени, аннулируется этим свойством:

    И наконец имеем:

    Теперь вы понимаете, почему мне пришлось составлять группы с одним и тем же порядковым номером в экспоненте?

    Я искал, чтобы рут аннулировался в конце.

    Это называется извлечением радикальных факторов: я извлек из корня x, повышенный до куба, который подобен x, повышенному до 1, когда он находится вне корня.

    Прямой метод извлечения множителей из радикала

    Приведенная выше процедура помогает понять, как работает извлечение факторов вне радикала, но если показатель степени подкоренного выражения слишком велик, эта процедура может быть очень трудоемкой.

    Метод, который я собираюсь научить вас дальше, можно использовать как с высокими, так и с низкими показателями, он намного быстрее и прямее.

    Посмотрим, решая пример:

    Если бы мы сделали это с помощью общей процедуры, мы должны разделить степень на как можно больше степеней по 5:

    Чтобы узнать необходимое количество степеней 5, на этом этапе мы косвенно разделили показатель степени на корневой индекс:

    У нас есть 3 степени степени 5 и одна степень 2.

    Ну, частное этого деления, 3, является показателем множителя, остающегося вне умножения корня, а остальная часть деления — показателем множителя, остающегося внутри:

    Как просто.

    Мы собираемся извлечь множители из корня первого примера, который мы решили с помощью общей процедуры, чтобы вы могли проверить, что результат тот же:

    Делим показатель степени на индекс корня:

    Частное — это показатель степени фактора снаружи, а остальное — показатель степени фактора внутри корня:

    Как видите, результат тот же, но процедура намного быстрее.

    Рассмотрим другой пример:

    Делаем деление:

    В этом случае остаток равен 0, что означает, что внутри корня будет коэффициент, увеличенный до 0, который равен 1, так что в конце корень исчезнет:

    И когда мы вынимаем коэффициенты, получаем

    Когда остальная часть деления равна 0, корень исчезает, поэтому извлечение множителей — еще один способ получить результат от корня.

    Имейте в виду, что этот метод — всего лишь ярлык. Мы видели объяснение того, почему факторы вне радикала могут быть извлечены с помощью общей процедуры.

    Понимание общей процедуры поможет вам обнаружить ошибки или проверить, все ли у вас хорошо, поэтому важно знать, как извлекать факторы из обоих.

    Корни с множественными факторами

    Если у вас есть несколько факторов в корне, вы должны применить метод извлечения факторов для каждого из них.

    Как факторы, которые остаются внутри, так и те, что остаются снаружи, всегда выходят наружу или продолжают увеличиваться.

    Если множители являются числами, вы должны сначала разбить их на простые множители и представить их в виде степеней.

    Давайте посмотрим на пример: извлеките факторы, которые возможны вне радикала:

    Первым делом разбиваем 24 и выставляем в виде степеней:

    Теперь у нас есть 5 фактов в корне: 2, 3, x, y, z.

    Метод должен применяться для извлечения факторов в каждом из них.

    Мы начинаем с 2. У нас есть один 2, повышенный до 1 внутри, и еще 2, повышенный до 1 снаружи:

    У 3 есть показатель степени 1, который меньше корневого индекса, затем остается как есть, умножаясь на 2:

    Продолжаем с x: он выходит с показателем 2, а внутри его нет:

    La y queda fura с показателем степени 2 и дентро с показателем 1

    Мы также не можем извлечь какой-либо множитель из z, потому что он имеет показатель 1, а затем он умножает все остальное:

    Мы уже извлекли все возможные множители, поэтому мы снова умножаем те числа, которые могут, внутри или вне корня.В этом случае мы можем умножить 2.3 внутри корня:

    Как ввести множители в корень

    Если факторы вне корня могут быть извлечены, их также можно повторно ввести в корень.

    Сделать это означало бы сделать еще один шаг назад, потому что мы хотим упростить факторы, но даже в этом случае вы можете быть другим способом проверить, правильно ли были извлечены факторы и что исходный корень не изменился.

    Чтобы снова ввести множители в радикал, вы должны умножить показатель множителя на индекс корня, и результатом будет показатель степени множителя в корне.

    Например, введите в радикалы множители:

    Умножаем экспоненту множителя извне на индекс корня:

    Результатом умножения является экспонента множителя в корне:

    После того, как множитель введен, мы можем умножить степени, сохраняя основание и складывая показатели:

    Когда следует вводить множители в радикал?

    Находясь внутри корня, у нас есть еще один корень, умноженный на число или на переменную, и мы хотим упростить его, чтобы выразить его как единственный корень, например, например:

    В этом случае мы не можем умножить корневые индексы, потому что у нас есть 2, которые нас беспокоят.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.