Как вычислить определенный интеграл онлайн с подробным решением: ∫ Решение определённых интегралов — Калькулятор Онлайн

2

Функция — Квадрат x
ctg(x)
Функция — Котангенс от x
arcctg(x)
Функция — Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция — Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа
вводить в виде 7.3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание
15/7
— дробь

Другие функции:

asec(x)
Функция — арксеканс от x
acsc(x)
Функция — арккосеканс от x
sec(x)
Функция — секанс от x
csc(x)
Функция — косеканс от x
floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi
Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159..
e
Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности — знак для бесконечности

Содержание

Онлайн калькулятор. Решение определенных интегралов онлайн

















Оператор

Описание

Простейшие математические операции

+ — * / ()

Сложение, вычитание, умножение, деление и группирующие символы: + — * / () .
Знак умножения * — необязателен: выражение 2sin(3x) эквивалентно 2*sin(3*x).
Cкобки используются для группирования выражений.

0.5

Десятичные дроби записываются через точку:

  • 0.x

Тригонометрические функции

sin(x)

Синус от x: sin(x)

cos(x)

Косинус от x: cos(x)

tg(x)

Тангенс от x: tan(x)

ctg(x)

Котангенс от x: 1/tan(x)

arcsin(x)

Арксинус от x: arcsin(x)

arccos(x)

Арккосинус от x: arccos(x)

arctan(x)

Арктангенс от x: arctan(x)

arcctg(x)

Арккотангенс от x: \pi/2 — arctan(x)

Некоторые константы

e

Число Эйлера e: \e

π

Число π: \pi

Решение определенного интеграла онлайн бесплатно

Что делать, если решение не появляется (пустой экран)?

Данный калькулятор по решению интегралов онлайн построен на основе системы WolframAlpha Mathematica. Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC!

Решение определенного интеграла онлайн

Определенный интеграл

Онлайн сервис на matematikam.ru позволяет находить решение определенного интеграла онлайн. Решение проводится автоматически на сервере и в течении нескольких секунд пользователю выдается результат. Все онлайн сервисы на сайте абсолютно бесплатны, а решение выдается в удобном и понятном виде. Также нашим преимуществом является, что мы предоставляем возможность пользователю ввести границы интегрирования, в том числе и пределы интегрирования: минус и плюс бесконечность. Таким образом, решить определенный интеграл становится просто, быстро и качественно. Важно, что сервер позволяет вычислять определенные интегралы онлайн сложных функций, решение которых на иных онлайн-сервисах часто является невозможным ввиду несовершенства их систем. Мы предоставляем очень простой и интуитивно понятный механизм для ввода функций и возможность выбора переменной интегрирования, для чего вам не приходится переводить заданную в одной переменной функцию в другую, исключая связанные с этим ошибки и опечатки. Также на странице даны ссылки на теоретические статьи и таблицы по решению определенных интегралов. Всё в совокупоности позволит вам вычислять определенный интеграл онлайн очень быстро и при желании найти и разобраться с теорией решения определенных интегралов. На http://matematikam.ru вы также можете переходить на другие сервисы: онлайн решение пределов, производных, суммы рядов. Перейти же на вкладку решения неопределенных интегралов онлайн совсем просто — ссылка находится в ряду среди полезных ссылок. Более того, сервис постоянно совершенствуется и развивается, и с каждым днем появляются всё новые и новые возможности и усовершенствования. Решайте определенные интегралы вместе с нами! Все онлайн сервисы доступны даже незарегистрировшимся пользователям и абсолютно бесплатны.

Решая определенный интеграл у нас вы можете проверить своё собственное решение или избавиться от излишних трудоемких вычислений и довериться высокотехнологичной автоматизированной машине. Вычисляемая на сервисе точность удовлетворит практически любые инженерные нормы. Часто для многих табличных определенных интегралов результат выдается в точном выражении (используя общеизвестные константы и неэлементарные функции).

Похожие сервисы:

Вычислить определенный интеграл
Calculate definite integral online

Интеграл

Решение интегралов

Наш калькулятор интегралов онлайн с подробным решением поможет
вычислить интегралы и
первообразные функции онлайн
— бесплатно! Пользоваться калькулятором просто. Чтобы ввести определенный интеграл или
неопределенный интеграл, нажмите «+условие» и введите интеграл

Например:

Нажав кнопку Решить вы получите подробное решение интеграла онлайн.

Калькулятором интегралов поддерживается вычисление определенных и неопределенных интегралов
(первообразных
функций), включая интегрирование функций с несколькими переменными.

Как решить интеграл онлайн с решением?

Введите неопределенный интеграл, нажав на кнопку ∫. Затем введите подинтегральное выражение, после чего
нажмите на кнопку d и введите переменную, по которой нужно провести интегрирование. Оставьте
незаполненными серые квадратики.

Введите определенный интеграл, нажав на кнопку ∫. Затем введите подинтегральное выражение, после чего
нажмите на кнопку d. Это можно сделать как на своей клавиатуре, так и на клавиатуре сайта. Введите
переменную, по которой нужно провести интегрирование. Далее кликните на нижний серый квадратик и введите
нижний предел, кликните на верхний серый квадратик и введите верхний предел.

На серые квадратики можно перейти либо кликнув на них, либо используя кнопки влево, вправо.

В определённых интегральных уравнениях применяется такое понятие как “предел”. Предел обозначает отрезок
функции, в которой происходит вычисление интеграла и результатом такого действия будет число. Физический
смысл такого числа — это размер площади под графиком соответствующей функции интеграла, эта операция
часто применяется в науке, в частности в физике.

Операция интегрирования является своего рода обратной операции вычисления производной. Если мы будем
вычислять неопределённый интеграл, то в результате получим функцию с приплюсованной константой
с
.

Таблица интегралов

Чтобы найти интеграл, нужно знать таблицу ниже:

Мы живем в удивительное время. Сегодня вы можете получить онлайн решение интегралов с подробным
решением.

Подробное решение интегралов онлайн стало доступным благодаря современным разработкам в области
искусственного интеллекта.

Где можно решить онлайн интеграл? Интеграл калькулятор онлайн Pocket Teacher!

Онлайн интегралы — это просто!

Решить онлайн интегралы вы можете на нашем сайте. Бесплатный
онлайн
решатель
позволит решить интегралы любой сложности за считанные секунды. Вы получите
решение интеграла онлайн с подробными шагами. Все, что вам
необходимо сделать — это
просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть
видео
инструкцию
и узнать, как получить решение интегралов онлайн с решением на нашем сайте. А если у вас остались
вопросы, то вы можете задать их в
нашей
групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда
рады помочь вам.

Так же читайте нашу статью «Решить
систему
уравнений методом сложения онлайн решателем»

Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования. Несобственные интегралы

Определенные интегралы онлайн на сайт для закрепления студентами и школьниками пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн — определенный интеграл онлайн. Определенные интегралы онлайн на сайт для полноценного закрепления студентами и школьниками пройденного материала и тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн — определенный интеграл онлайн. Для нас определенный интеграл онлайн взять не представляется чем-то сверх естественным, изучив данную тему по книге выдающихся авторов. Огромное им спасибо и выражаем респект этим личностям. Поможет определить определенный интеграл онлайн сервис по вычислению таких задач в два счета. Только укажите правильные данные и все будет Good! Всякий определенный интеграл как решение задачи повысит грамотность студентов. Об этом мечтает каждый ленивец, и мы не исключение, признаем это честно. Если все-таки получится вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно, то, пожалуйста, напишите адрес сайт всем желающим им воспользоваться. Как говорится, поделишься полезной ссылкой — и тебя отблагодарят добрые люди за даром. Очень интересным будет вопрос разбора задачки, в которой определенный интеграл будет калькулятор решать самостоятельно, а не за счет траты вашего драгоценного времени. На то они и машины, чтобы пахать на людей. Однако решение определенных интегралов онлайн не всякому сайту по зубам, и это легко проверить, а именно, достаточно взять сложный пример и попытаться решить его с помощью каждого такого сервиса. Вы почувствуете разницу на собственной шкуре. Зачастую найти определенный интеграл онлайн без прилагаемых усилий станет достаточно сложно и нелепо будет выглядеть ваш ответ на фоне общей картины представления результата. Лучше бы сначала пройти курс молодого бойца. Всякое решение несобственных интегралов онлайн сводится сначала к вычислению неопределенного, а затем через теорию пределов вычислить как правило односторонние пределы от полученных выражений с подставленными границами A и B. Рассмотрев указанный вами определенный интеграл онлайн с подробным решением, мы сделали заключение, что вы ошиблись на пятом шаге, а именно при использовании формулы замены переменной Чебышева. Будьте очень внимательны в дальнейшем решении. Если ваш определенный интеграл онлайн калькулятор не смог взять с первого раза, то в первую очередь стоит перепроверить написанные данные в соответствующие формы на сайте. Убедитесь, что все в порядке и вперёд, Go-Go! Для каждого студента препятствием является вычисление несобственных интегралов онлайн при самом преподе, так как это либо экзамен, либо коллоквиум, или просто контрольная работа на паре.. Как только заданный несобственный интеграл онлайн калькулятор будет в вашем распоряжении, то сразу вбивайте заданную функцию, подставляйте заданные пределы интегрирования и нажимайте на кнопку Решение, после этого вам будет доступен полноценный развернутый ответ. И все-таки хорошо, когда есть такой замечательный сайт как сайт, потому что он и бесплатный, и простой в пользовании, также содержит очень много разделов. которыми студенты пользуются повседневно, один из них как раз есть определенный интеграл онлайн с решением в полном виде. В этом же разделе можно вычислить несобственный интеграл онлайн с подробным решением для дальнейших применений ответа как в институте, так и в инженерных работах. Казалось бы, всем определить определенный интеграл онлайн дело нехитрое, если заранее решить такой пример без верхней и нижней границы, то есть не интеграл Лейбница, а неопределенный интеграл. Но тут мы с вами не согласны категорически, так как на первый взгляд это может показаться именно так, однако есть существенная разница, давайте разберем все по полочкам. Такой определенный интеграл решение дает не в явном виде, а в следствие преобразования выражения в предельное значение. Другими словами, нужно сначала решить интеграл с подстановкой символьных значений границ, а затем вычислить предел либо на бесконечности, либо в определенной точке. Отсюда вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно означает ни что иное как представление точного решения по формуле Ньютона-Лейбница. Если же рассматривать наш определенный интеграл калькулятор поможет его подсчитать за несколько секунд прямо на ваших глазах. Такая спешка нужна всем желающим как можно быстрее справиться с заданием и освободиться для личных дел. Не стоит искать в интернете сайты, на которых попросят вас регистрироваться, затем пополнить деньги на баланс и все ради того, чтобы какой-нибудь умник подготавливал решение определенных интегралов якобы онлайн. Запомните адрес Math34 — это бесплатный сервис для решения множества математических задач, в том же числе мы поможем найти определенный интеграл онлайн, и чтобы в этом убедиться, просим проверить наше утверждение на конкретных примерах. Введите подынтегральную функцию в соответствующее поле, затем укажите либо бесконечные предельные значения (в это случае будет вычислен и получено решение несобственных интегралов онлайн), либо задайте свои числовые или символьные границы и определенный интеграл онлайн с подробным решением выведется на странице после нажатия на кнопку «Решение». Неправда ли — это очень просто, не требует от вас лишних действий, бесплатно, что самое главное, и в то же время результативно. Вы можете самостоятельно воспользоваться сервисом, чтобы определенный интеграл онлайн калькулятор принес вам максимум пользы, и вы бы получили комфортное состояние, не напрягаясь на сложность всех вычислительных процессов, позвольте нам сделать все за вас и продемонстрировать всю мощь компьютерных технологий современного мира. Если погружаться в дебри сложнейших формул и вычисление несобственных интегралов онлайн изучить самостоятельно, то это похвально, и вы можете претендовать на возможность написания кандидатской работы, однако вернемся к реалиям студенческой жизни. А кто такой студент? В первую очередь — это молодой человек, энергичный и жизнерадостный, желающий успеть отдохнуть и сделать домашку! Поэтому мы позаботились об учениках, которые стараются отыскать на просторах глобальной сети несобственный интеграл онлайн калькулятор, и вот он к вашему вниманию — сайт — самая полезная для молодежи решалка в режиме онлайн. Кстати наш сервис хоть и преподносится как помощник студентам и школьникам, но он в полной мере подойдет любому инженеру, потому что нам под силу любые типы задач и их решение представляется в профессиональном формате. Например, определенный интеграл онлайн с решением в полном виде мы предлагаем по этапам, то есть каждому логическому блоку (подзадачи) отводится отдельная запись со всеми выкладками по ходу процесса общего решения. Это конечно же упрощает восприятие многоэтапных последовательных раскладок, и тем самым является преимуществом проекта сайт перед аналогичными сервисами по нахождению несобственный интеграл онлайн с подробным решением.

Тема

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В
теме «Определенный интеграл» было
рассмотрено понятие определенного
интеграла
для случая конечного промежутка
и ограниченной функции
(см. теорему 1 из §3). Теперь займемся
обобщением этого понятия для случаев
бесконечного промежутка и неограниченной
функции. Необходимость такого обобщения
показывают, например, такие ситуации.

1.
Если, используя формулу для длины дуги,
попытаться вычислить длину четверти
окружности

,
,
то придем к интегралу от неограниченной
функции:

,
где

.

2.
Пусть тело массой

движется
по инерции в среде с силой сопротивления

,
где
— скорость тела. Используя второй закон
Ньютона (
,
где
ускорение),
получим уравнение:
,
где
.
Нетрудно показать, что решением этого
(дифференциального!) уравнения является
функция
Если
нам потребуется вычислить путь, пройденный
телом до полной остановки, т.е. до момента,
когда

,
то придем к интегралу по бесконечному
промежутку:

I Определение

Пусть
функция

определена и непрерывна на промежутке
.
Тогда для любого
она интегрируема на промежутке
,
то есть существует интеграл
.

Определение
1

.
Конечный или бесконечный предел этого
интеграла при

называют несобственным интегралом 1-го
рода от функции
по промежутку
и обозначают символом
.
При этом, если указанный предел конечен,
то несобственный интеграл называют
сходящимся, в противном случае (
или не существует) – расходящимся.

Итак,
по определению

Примеры

2.
.

3.
– не существует.

Несобственный
интеграл из примера 1 сходится, в примерах
2 и 3 интегралы расходятся.

II Формула Ньютона – Лейбница для несобственного интеграла первого рода

Пусть

— некоторая первообразная для функции
(сущест-вует на
,
т.к.
— непрерывна). Тогда

Отсюда
ясно, что сходимость несобственного
интеграла (1) равносильна существованию
конечного предела
.
Если этот предел обозначить
,
то можно написать для интеграла (1)
формулу Ньютона-Лейбница:

,
где

.

Примеры

.

5.

.

6.
Более сложный пример:

.
Сначала найдем первообразную:

Теперь
можем найти интеграл
,
учитывая,
что

:

III


Свойства

Приведем
ряд свойств несобственного интеграла
(1), которые вытекают из общих свойств
пределов и определенного интеграла:

IV



Другие определения

Определение
2

.
Если

непрерывна
на

,
то

.

Определение
3

.
Если

непрерывна
на
,
то принимают по определению

(–
произвольное),

причем
несобственный интеграл в левой части
сходится, если только оба ин-теграла в
правой части сходятся.

Для
этих интегралов, как и для интеграла
(1) можно написать соответствующие
формулы Ньютона – Лейбница.

Пример
7

.

§2.
Признаки сходимости несобственного
интеграла 1-го рода

Чаще
всего несобственный интеграл вычислить
по определению не-возможно, поэтому
используют приближенное равенство

(для
больших
).

Однако,
это соотношение имеет смысл лишь для
сходящихся интегралов. Необходимо иметь
методы выяснения поведения интеграла
минуя определение.

I


Интегралы от положительных функций

Пусть

на

.
Тогда определенный интеграл

как функция верхнего предела есть
функция возрастаю-щая (это следует из
общих свойств определенного интеграла).

Теорема
1

.
Несобственный интеграл 1 го
рода от неотрицательной функ-ции сходится
тогда и только тогда, когда функция

остается
ограниченной при увеличении.

Эта
теорема – следствие общих свойств
монотонных функций. Практического
смысла теорема почти не имеет, но
позволяет получить т.н. признаки
сходимости.

Теорема
2


(1-й признак сравнения). Пусть функции

и
непре-рывны на
и удовлетворяют неравенству
.
Тогда:

1)
если интеграл

сходится, то и
сходится;

2)
если интеграл

расходится, то и
расходится.

Доказательство

.
Обозначим:

и
.
Так как
,
то

.
Пусть интеграл
сходится, тогда (в силу теоремы 1) функция
‒ ограничена. Но тогда и
ограничена,
а значит, интеграл
тоже сходится. Аналогично доказывается
и вторая часть теоремы.

Этот
признак не применим в случае расходимости
интеграла от

или сходимости интеграла от
.
Этот недостаток отсутствует у 2-го
признака сравнения.

Теорема
3


(2-й признак сравнения). Пусть функции

и
непрерывны и неотрицательны на
.
Тогда, если
при
,
то несобственные интегралы
и
сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство

.
Из условия теоремы получим такую цепочку
равно-сильных утверждений:

,
,

.

Пусть,
например,

.
Тогда:

Применим
теорему 2 и свойство 1) из §1 и получим
утверждение теоремы 3.

В
качестве эталонной функции, с которой
сравнивают данную, высту-пает степенная
функция

,
.
Предлагаем студентам самим доказать,
что интеграл

сходится
при

и расходится при
.

Примеры

.
1.

.

Рассмотрим
подынтегральную функцию на промежутке

:

,

.

Интеграл

сходится, ибо
.
По 2-му признаку сравнения сходится и
интеграл
,
а в силу свойства 2) из §1 сходится и
исход-ный интеграл.

2.
.

Так
как

,
тоcуществует

такое, что при

.
Для таких значений переменной:

Известно,
что логарифмическая функция растет
медленнее степенной, т.е.

,

а
значит, начиная с некоторого значения
переменной, эта дробь меньше 1. Поэтому

.

Интеграл
сходится как эталонный. В силу 1-го
признака сравнения сходится и
.
Применяя 2-й признак, получим, что и
интеграл
сходится. И снова свойство 2) из §1
доказывает сходимость исходного
интеграла.

Определенный
интеграл как предел интегральной суммы

может
существовать (т.е. иметь определенное
конечное значение) лишь при выполнении
условий

Если
хотя бы одно из этих условий нарушено,
то определение теряет смысл. Действительно,
в случае бесконечного отрезка, например
[a
;
)
его нельзя разбить на п

частей конечной длины

,
которая к тому же с увеличением количества
отрезков стремилась бы к нулю. В случае
же неограниченной в некоторой точкес
[a
;
b
]
нарушается требование произвольного
выбора точки
на частичных отрезках – нельзя выбрать=с
,
поскольку значение функции в этой точке
не определено. Однако и для этих случаев
можно обобщить понятие определенного
интеграла, введя еще один предельный
переход. Интегралы по бесконечным
промежуткам и от разрывных (неограниченных)
функций называют несобственными
.

Определение.

Пусть
функция

определена на промежутке [a
;
)
и интегрируема на любом конечном отрезке
[a
;
b
],
т.е. существует

для любого b

> a
.
Предел вида

называютнесобственным
интегралом


первого
рода

(или
несобственным интегралом по бесконечному
промежутку) и обозначают

.

Таким
образом, по определению,

=
.

Если
предел справа существует и конечен, то
несобственный интеграл

называютсходящимся

.
Если этот предел бесконечен, или не
существует вообще, то говорят, что
несобственный интеграл расходится

.

Аналогично
можно ввести понятие несобственного
интеграла от функции

по промежутку (–;
b
]:

=
.

А
несобственный интеграл от функции

по промежутку (–;
+)
определяется как сумма введенных выше
интегралов:

=
+
,

где
а

– произвольная точка. Этот интеграл
сходится, если сходятся оба слагаемых,
и расходится, если расходится хотя бы
одно из слагаемых.

С
геометрической точки зрения, интеграл
,
,
определяет численное значение площади
бесконечной криволинейной трапеции,
ограниченной сверху графиком функции
,
слева – прямой
,
снизу – осью ОХ. Сходимость интеграла
означает существование конечной площади
такой трапеции и равенство ее пределу
площади криволинейной трапеции с
подвижной правой стенкой
.

На
случай интеграла с бесконечным пределом
можно обобщить и формулу
Ньютона-Лейбница
:

=

=F(+
)
– F(a
),

где
F(+
)
=

.
Если этот предел существует, то интеграл
сходится, в противном случае – расходится.

Мы
рассмотрели обобщение понятия
определенного интеграла на случай
бесконечного промежутка.

Рассмотрим теперь
обобщение для случая неограниченной
функции.

Определение

Пусть
функция

определена на промежутке [a
;
b
),
неограниченна в некоторой окрестности
точки b
,
и непрерывна на любом отрезке

,
где>0
(и, следовательно, интегрируема на этом
отрезке, т.е.

существует). Предел вида
называетсянесобственным
интегралом второго рода


(или несобственным интегралом от
неограниченной функции) и обозначается

.

Таким
образом, несобственный интеграл от
неограниченной в точке b

функции есть по определению

=
.

Если
предел справа существует и конечен, то
интеграл называется сходящимся
.
Если конечного предела не существует,
то несобственный интеграл называется
расходящимся.

Аналогично
можно определить несобственный интеграл
от функции

имеющей бесконечный разрыв в точкеа
:

=
.

Если
функция

имеет бесконечный разрыв во внутренней
точкес

,
то несобственный интеграл определяется
следующим образом

=
+

=
+
.

Этот интеграл
сходится, если сходятся оба слагаемых,
и расходится, если расходится хотя бы
одно слагаемое.

С
геометрической точки зрения, несобственный
интеграл от неограниченной функции
также характеризует площадь неограниченной
криволинейной трапеции:

Поскольку
несобственный интеграл выводится путем
предельного перехода из определенного
интеграла, то все свойства определенного
интеграла могут быть перенесены (с
соответствующими уточнениями) на
несобственные интеграла первого и
второго рода.

Во
многих задачах, приводящих к несобственным
интегралам, не обязательно знать, чему
равен этот интеграл, достаточно лишь
убедиться в его сходимости или
расходимости. Для этого используют
признаки
сходимости
.
Признаки
сходимости несобственных интегралов:

1)
Признак
сравнения
.

Пусть
для всех х

.
Тогда, если
сходится, то сходится и
,
причем

.
Если
расходится, то расходится и
.

2)
Если сходится

,
то сходится и
(последний интеграл в этом случае
называетсяабсолютно
сходящимся
).

Признаки
сходимости и расходимости несобственных
интегралов от неограниченных функций
аналогичны сформулированным выше.

Примеры
решения задач.

Пример
1.

а)

;
б)
;
в)

г)

; д)
.

Решение.

а)
По определению
имеем:

.

б)
Аналогично

Следовательно,
данный интеграл сходится и равен
.

в)
По определению

=
+
,
причем,а

– произвольное число. Положим в нашем
случае

,
тогда получим:

Данный
интеграл сходится.

Значит, данный
интеграл расходится.

д)
Рассмотрим
.
Чтобы найти первообразную подынтегральной
функции, необходимо применить метод
интегрирования по частям. Тогда получим:

Поскольку
ни

,
ни
не существуют, то не существует и

Следовательно,
данный интеграл расходится.

Пример
2.

Исследовать
сходимость интеграла
в зависимости от п
.

Решение.

При

имеем:

Если

,
то
и.
Следовательно, интеграл расходится.

Если

,
то
,
а
,
тогда

=,

Следовательно,
интеграл сходится.

Если

,
то

следовательно,
интеграл расходится.

Таким
образом,

Пример
3.

Вычислить
несобственный интеграл или установить
его расходимость:

а)

;
б)
;
в)

.

Решение.

а)
Интеграл
является несобственным интегралом
второго рода, поскольку подынтегральная
функция
не ограничена в точке

.
Тогда, по определению,

.

Интеграл сходится и равен
.

б)
Рассмотрим
.
Здесь также подынтегральная функция
не ограничена в точке
.
Поэтому, данный интеграл – несобственный
второго рода и по определению,

Следовательно,
интеграл расходится.

в)
Рассмотрим
.
Подынтегральная функция
терпит бесконечный разрыв в двух точках:
и
,
первая из которых принадлежит промежутку
интегрирования
.
Следовательно, данный интеграл –
несобственный второго рода. Тогда, по
определению

=

=

.

Следовательно,
интеграл сходится и равен

.

Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования

Иногда такой несобственный интеграл еще называют несобственным интегралом первого рода..gif»>.

Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом или с двумя бесконечными пределами: .

Мы рассмотрим самый популярный случай https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif»>?

Нет, не всегда. Подынтегральная функция
https://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif»>

Изобразим на чертеже график подынтегральной функции . Типовой график и криволинейная трапеция для данного случая выглядит так:

Несобственный интеграл
https://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif»>», иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может.
В этом случае говорят, что, что несобственный интеграл расходится
.

2) Но
. Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: .. Во втором случае несобственный интеграл сходится
.

А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси?.gif»>.

: .

Пример 1

Подынтегральная функция https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif»>, значит, всё нормально и несобственный интеграл можно вычислить «штатным» методом.

Применение нашей формулы https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif»>

То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности.

При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!

Пример 2

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Выполним чертеж:

Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале . Гуд..gif»>

(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела, чтобы он не путался под ногами в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.

(3) Указываем, что https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif»> (Господа, это уже давно нужно понимать) и упрощаем ответ.

Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу! Невероятно, но факт.

Пример 3

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция непрерывна на .

Сначала попытаемся найти первообразную функцию (неопределенный интеграл).

На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс: . Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.

Проведем замену:

Всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:

Теперь находим несобственный интеграл:

(1) Записываем решение в соответствии с формулой . Константу лучше сразу вынести за знак предела, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница..gif»>? Смотрите график арктангенса в уже неоднократно рекомендованной статье.

(3) Получаем окончательный ответ. Тот факт, что полезно знать наизусть.

Продвинутые студенты могут не находить отдельно неопределенный интеграл, и не использовать метод замены, а использовать метод подведения функции под знак дифференциала и решать несобственный интеграл «сразу». В этом случае решение должно выглядеть примерно так:

Подынтегральная функция непрерывна на https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif»>

Пример 4

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

!
Это типовой пример, и похожие интегралы встречаются очень часто. Хорошо его проработайте! Первообразная функция здесь находится методом выделения полного квадрата.

Пример 5

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Этот интеграл можно решить подробно, то есть сначала найти неопределенный интеграл, проведя замену переменной. А можно решить «сразу» – подведением функции под знак дифференциала..

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Иногда такие несобственные интегралы называют несобственными интегралами второго рода. Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: ..gif»>, 2) или в точке , 3) или в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования. Мы рассмотрим первые два случая, для случаев 3-4 в конце статьи есть ссылка на дополнительный урок.

Сразу пример, чтобы было понятно: https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif»>, то знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции просто не существует в этой точке!

Вообще при анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования
..jpg» alt=»Несобственный интеграл, точка разрыва в нижнем пределе интегрирования»>

Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода.
Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конечному числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).

Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значению
https://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif»> справа
.

Пример 6

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке (не забываем устно или на черновике проверить, всё ли нормально с верхним пределом!)

Сначала вычислим неопределенный интеграл:

Замена:

Вычислим несобственный интеграл:

(1) Что здесь нового? По технике решения практически ничего. Единственное, что поменялось, это запись под значком предела: . Добавка обозначает, что мы стремимся к значению справа (что логично – см. график). Такой предел в теории пределов называют односторонним пределом. В данном случае у нас правосторонний предел.

(2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница.

(3) Разбираемся с https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif»>. Как определить, куда стремиться выражение? Грубо говоря, в него нужно просто подставить значение , подставляем три четверти и указываем, что . Причесываем ответ.

В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу.

Пример 7

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Пример 8

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Если подынтегральной функции не существует в точке

Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом:

Здесь всё абсолютно так же, за исключением того, что предел у нас стремится к значению
https://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif»> мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва слева
.

Определённый интеграл и методы его вычисления. Калькулятор онлайн.Вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции)

Определенные интегралы онлайн на сайт для закрепления студентами и школьниками пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн — определенный интеграл онлайн. Определенные интегралы онлайн на сайт для полноценного закрепления студентами и школьниками пройденного материала и тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса.. Интегралы онлайн — определенный интеграл онлайн. Для нас определенный интеграл онлайн взять не представляется чем-то сверх естественным, изучив данную тему по книге выдающихся авторов. Огромное им спасибо и выражаем респект этим личностям. Поможет определить определенный интеграл онлайн сервис по вычислению таких задач в два счета. Только укажите правильные данные и все будет Good! Всякий определенный интеграл как решение задачи повысит грамотность студентов. Об этом мечтает каждый ленивец, и мы не исключение, признаем это честно. Если все-таки получится вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно, то, пожалуйста, напишите адрес сайт всем желающим им воспользоваться. Как говорится, поделишься полезной ссылкой — и тебя отблагодарят добрые люди за даром. Очень интересным будет вопрос разбора задачки, в которой определенный интеграл будет калькулятор решать самостоятельно, а не за счет траты вашего драгоценного времени. На то они и машины, чтобы пахать на людей. Однако решение определенных интегралов онлайн не всякому сайту по зубам, и это легко проверить, а именно, достаточно взять сложный пример и попытаться решить его с помощью каждого такого сервиса. Вы почувствуете разницу на собственной шкуре. Зачастую найти определенный интеграл онлайн без прилагаемых усилий станет достаточно сложно и нелепо будет выглядеть ваш ответ на фоне общей картины представления результата. Лучше бы сначала пройти курс молодого бойца. Всякое решение несобственных интегралов онлайн сводится сначала к вычислению неопределенного, а затем через теорию пределов вычислить как правило односторонние пределы от полученных выражений с подставленными границами A и B. Рассмотрев указанный вами определенный интеграл онлайн с подробным решением, мы сделали заключение, что вы ошиблись на пятом шаге, а именно при использовании формулы замены переменной Чебышева. Будьте очень внимательны в дальнейшем решении. Если ваш определенный интеграл онлайн калькулятор не смог взять с первого раза, то в первую очередь стоит перепроверить написанные данные в соответствующие формы на сайте. Убедитесь, что все в порядке и вперёд, Go-Go! Для каждого студента препятствием является вычисление несобственных интегралов онлайн при самом преподе, так как это либо экзамен, либо коллоквиум, или просто контрольная работа на паре.. Как только заданный несобственный интеграл онлайн калькулятор будет в вашем распоряжении, то сразу вбивайте заданную функцию, подставляйте заданные пределы интегрирования и нажимайте на кнопку Решение, после этого вам будет доступен полноценный развернутый ответ. И все-таки хорошо, когда есть такой замечательный сайт как сайт, потому что он и бесплатный, и простой в пользовании, также содержит очень много разделов. которыми студенты пользуются повседневно, один из них как раз есть определенный интеграл онлайн с решением в полном виде. В этом же разделе можно вычислить несобственный интеграл онлайн с подробным решением для дальнейших применений ответа как в институте, так и в инженерных работах. Казалось бы, всем определить определенный интеграл онлайн дело нехитрое, если заранее решить такой пример без верхней и нижней границы, то есть не интеграл Лейбница, а неопределенный интеграл. Но тут мы с вами не согласны категорически, так как на первый взгляд это может показаться именно так, однако есть существенная разница, давайте разберем все по полочкам. Такой определенный интеграл решение дает не в явном виде, а в следствие преобразования выражения в предельное значение. Другими словами, нужно сначала решить интеграл с подстановкой символьных значений границ, а затем вычислить предел либо на бесконечности, либо в определенной точке. Отсюда вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно означает ни что иное как представление точного решения по формуле Ньютона-Лейбница. Если же рассматривать наш определенный интеграл калькулятор поможет его подсчитать за несколько секунд прямо на ваших глазах. Такая спешка нужна всем желающим как можно быстрее справиться с заданием и освободиться для личных дел. Не стоит искать в интернете сайты, на которых попросят вас регистрироваться, затем пополнить деньги на баланс и все ради того, чтобы какой-нибудь умник подготавливал решение определенных интегралов якобы онлайн. Запомните адрес Math34 — это бесплатный сервис для решения множества математических задач, в том же числе мы поможем найти определенный интеграл онлайн, и чтобы в этом убедиться, просим проверить наше утверждение на конкретных примерах. Введите подынтегральную функцию в соответствующее поле, затем укажите либо бесконечные предельные значения (в это случае будет вычислен и получено решение несобственных интегралов онлайн), либо задайте свои числовые или символьные границы и определенный интеграл онлайн с подробным решением выведется на странице после нажатия на кнопку «Решение». Неправда ли — это очень просто, не требует от вас лишних действий, бесплатно, что самое главное, и в то же время результативно. Вы можете самостоятельно воспользоваться сервисом, чтобы определенный интеграл онлайн калькулятор принес вам максимум пользы, и вы бы получили комфортное состояние, не напрягаясь на сложность всех вычислительных процессов, позвольте нам сделать все за вас и продемонстрировать всю мощь компьютерных технологий современного мира. Если погружаться в дебри сложнейших формул и вычисление несобственных интегралов онлайн изучить самостоятельно, то это похвально, и вы можете претендовать на возможность написания кандидатской работы, однако вернемся к реалиям студенческой жизни. А кто такой студент? В первую очередь — это молодой человек, энергичный и жизнерадостный, желающий успеть отдохнуть и сделать домашку! Поэтому мы позаботились об учениках, которые стараются отыскать на просторах глобальной сети несобственный интеграл онлайн калькулятор, и вот он к вашему вниманию — сайт — самая полезная для молодежи решалка в режиме онлайн. Кстати наш сервис хоть и преподносится как помощник студентам и школьникам, но он в полной мере подойдет любому инженеру, потому что нам под силу любые типы задач и их решение представляется в профессиональном формате. Например, определенный интеграл онлайн с решением в полном виде мы предлагаем по этапам, то есть каждому логическому блоку (подзадачи) отводится отдельная запись со всеми выкладками по ходу процесса общего решения. Это конечно же упрощает восприятие многоэтапных последовательных раскладок, и тем самым является преимуществом проекта сайт перед аналогичными сервисами по нахождению несобственный интеграл онлайн с подробным решением.

Рассмотрим функцию . Эту функцию называют: интеграл как функция верхнего предела. Отметим несколько свойств этой функции.

Теорема
2.1. Если f(x) интегрируемая на функция, то Ф(x) непрерывна на .

Доказательство
. По свойству 9 определенного интеграла (теорема о среднем) имеем , откуда, при , получаем требуемое.

Теорема
2.2. Если f(x) непрерывная на функция, то Ф’(x) = f(x) на .

Доказательство
. По свойству 10 определенного интеграла (вторая теорема о среднем), имеем где с
– некоторая точка отрезка . В силу непрерывности функции f получаем

Таким образом, Ф(x) — одна из первообразных функции f(x) следовательно, Ф(x) = F(x) + C, где F(x) — другая первообразная f(x). Далее, так как Ф(a) = 0, то 0 = F(a) + C, следовательно, C = -F(a) и поэтому Ф(x) = F(x) – F(a). Полагая x=b, получаем формулу Ньютона-Лейбница

Примеры


1.

Интегрирование по частям в определённом интеграле

В определенном интеграле сохраняется формула интегрирования по частям. В этом случае она приобретает вид

Пример.

Замена переменных в определённом интеграле

Один из вариантов результатов о замене переменных в определённом интеграле следующий.

Теорема 2.3.
Пусть f(x)- непрерывна на отрезке и удовлетворяет условиям:

1) φ(α) = a

2) φ(β) = b

3) производная φ’(t) определена всюду на отрезке [α, β]

4) для всех t из [α, β]

Тогда
Доказательство.
Если F(x) первообразная для f(x)dx то F(φ(t)) первообразная для Поэтому F(b) – F(a) = F(φ(β)) – F(φ(α)). Теорема доказана.

Замечание.
При отказе от непрерывности функции f(x) в условиях теоремы 2.3 приходится требовать монотонности функции φ(t).

Пример.
Вычислить интеграл Положим Тогда dx = 2tdt и поэтому

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. составитель: преподаватель математики ГОУНПО ПУ № 27 п. Щельяюр Семяшкина Ирина Васильевна

Цель урока: Ввести понятие интеграла и его вычисление по формуле Ньютона – Лейбница, используя знания о первообразной и правила её вычисления; Проиллюстрировать практическое применение интеграла на примерах нахождения площади криволинейной трапеции; Закрепить изученное в ходе выполнения упражнений.

Определение: Пусть дана положительная функция f(x) , определенная на конечном отрезке [ a;b ] . Интегралом от функции f(x) на [ a;b ] называется площадь её криволинейной трапеции. y=f(x) b a 0 x y

Обозначение:  «интеграл от a до b эф от икс дэ икс »

Историческая справка: Обозначение интеграла Лейбниц произвёл от первой буквы слова «Сумма» (Summa). Ньютон в своих работах не предложил альтернативной символики интеграла, хотя пробовал различные варианты. Сам термин интеграл придумал Якоб Бернулли. S umma Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм фон Лейбниц Якоб Бернулли

Обозначение неопределённого интеграла ввёл Эйлер. Жан Батист Жозеф Фурье Леонард Эйлер Оформление определённого интеграла в привычном нам виде придумал Фурье.

Формула Ньютона — Лейбница

Пример 1. Вычислить определённый интеграл: = Решение:

Пример 2. Вычислите определённые интегралы: 5 9 1

Пример 3 . S y x Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и осью абсцисс. Для начала найдем точки пересечения оси абсцисс с графиком функции. Для этого решим уравнение. = Решение: S =

y x S A B D C Пример 4 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и Найдём точки пересечения (абсциссы) этих линий, решив уравнение S=S BADC — S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 – 4,5 = 4,5 смотри пример 1 Решение:

ПРАВИЛА СИНКВЕЙНА 1строка – тема синквейна 1 слово 2строка – 2 прилагательных, описывающих признаки и свойства темы 3строка – 3 глагола описывающие характер действия 4строка – короткое предложение из 4 слов, показывающее Ваше личное отношение к теме 5строка – 1 слово, синоним или Ваша ассоциация тема предмета.

Интеграл 2. Определённый, положительный Считают, прибавляют, умножают 4. Вычисляют формулой Ньютона — Лейбница 5. Площадь

Список используемой литературы: учебник Колмагорова А.Н. и др. Алгебра и начала анализа 10 — 11 кл.

Спасибо за внимание! « ТАЛАНТ – это 99% труда и 1% способности» народная мудрость

Пример 1. Вычислить определённый интеграл: = Решение: пример 4

Предварительный просмотр:

Предмет: математика (алгебра и начала анализа), класс: 11 класс.

Тема урока:
«Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница».

Тип урока:
Изучение нового материала.

Продолжительность занятия:
45 минут.

Цели урока:
ввести понятие интеграла и его вычисление по формуле Ньютона-Лейбница, используя знания о первообразной и правила ее вычисления; проиллюстрировать практическое применение интеграла на примерах нахождения площади криволинейной трапеции; закрепить изученное в ходе выполнения упражнений.

Задачи урока:

Образовательные:

  1. сформировать понятие интеграла;
  2. формирование навыков вычисления определенного интеграла;
  3. формирование умений практического применения интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.

Развивающие:

  1. развитие познавательного интереса учащихся, развивать математическую речь, умения наблюдать, сравнивать, делать выводы;
  2. развивать интерес к предмету с помощью ИКТ.

Воспитательные:

  1. активизировать интерес к получению новых знаний, формирование точности и аккуратности при вычислении интеграла и выполнении чертежей.

Оснащение:
ПК, операционная система Microsoft Windows 2000/XP, программа MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; мультимедийный проектор, экран.

Литература:
учебник Колмагорова А.Н. и др. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.

Технологии:
ИКТ
,
индивидуального обучения.

ХОД УРОКА

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Время

Вводная часть

Организационный момент

Приветствует, проверяет готовность учащихся к уроку, организует внимание.

Раздает опорный конспект.

Слушают, записывают дату.

3 мин

Сообщение темы и целей урока

Актуализация опорных знаний и субъектного опыта с выходом на цели урока.

Слушают, записывают тему урока в тетради.
Активно включаются в мыслительную деятельность.

Анализируют, сравнивают, делают выводы с выходом на цели занятия.

Презентация

ИКТ

3 мин

Основная часть урока

Изложение нового материала с попутной проверкой знаний прошлых тем.

Определение интеграла (слайд 3)

Даёт определение.

ИКТ

Что такое криволинейная трапеция?

Фигуру, ограниченная графиком функции, отрезком и прямыми x=a и x=b.

10 мин

Обозначение интеграла (слайд 4)

Вводит обозначение интеграла и то, как он читается.

Слушают, записывают.

История интеграла (слайды 5 и 6)

Рассказывает историю термина «интеграл».

Слушают, коротко записывают.

Формула Ньютона – Лейбница (слайд 7)

Дает формулу Ньютона – Лейбница.

Что в формуле обозначает F?

Слушают, записывают, отвечают на вопросы преподавателя.

Первообразная.

Заключительная часть урока.

Закрепление материала. Решение примеров с применением изученного материала

Пример 1 (слайд 8)

Разбирает решение примера, задавая вопросы по нахождению первообразных для подынтегральных функций.

Слушают, записывают, показывают знание таблицы первообразных.

20 мин

Пример 2 (слайд 9). Примеры для самостоятельного решения обучающимися.

Контролирует решение примеров.

Выполняют задание по очереди, комментируя (технология индивидуального обучения
), слушают друг друга, записывают, показывают знание прошлых тем.

Пример 3 (слайд 10)

Разбирает решение примера.

Как найти точки пересечения оси абсцисс с графиком функции?

Слушают, отвечают на вопросы, показывают знание прошлых тем, записывают.

Подынтегральную функцию приравнять к 0 и решить уравнение.

Пример 4 (слайд 11)

Разбирает решение примера.

Как найти точки пересечения (абсциссы) графиков функций?

Определите вид треугольника ABC.

Как находиться площадь прямоугольного треугольника?

Слушают, отвечают на вопросы.

Приравнять функции друг к другу и решить получившееся уравнение.

Прямоугольный.

где a и b- катеты прямоугольного треугольника.

Подведение итогов урока (слайды 12 и 13)

Организует работу по составлению синквейна.

Участвуют в составлении синквейна. Анализируют, сравнивают, делают выводы по теме.

5 мин.

Задание на дом по уровню сложности.

Дает задание на дом, объясняет.

Слушают, записывают.

1 мин.

Оценивание работы обучающихся на уроке.

Оценивает работу обучающихся на уроке, анализирует.

Слушают.

1 мин

Предварительный просмотр:

Опорный конспект по теме «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница».

Определение:
Пусть дана положительная функция
f(x)
, определенная на конечном отрезке .
Интегралом от функции f(x) на
называется площадь её криволинейной трапеции.

Обозначение:

Читается:
«интеграл от a до b эф от икс дэ икс»

Формула Ньютона — Лейбница

Пример 1.
Вычислить определённый интеграл:

Решение:

Пример 3.
и осью абсцисс.

Решение:

Пример 3.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
и
.

Решение прикладных задач сводится к вычислению интеграла, но не всегда это возможно сделать точно. Иногда необходимо знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, к примеру, до тысячной.

Существуют задачи, когда следовало бы найти приближенное значение определенного интеграла с необходимой точностью, тогда применяют численное интегрирование такое, как метод Симпосна, трапеций, прямоугольников. Не все случаи позволяют вычислить его с определенной точностью.

Данная статья рассматривает применение формулы Ньютона-Лейбница. Это необходимо для точного вычисления определенного интеграла. Будут приведены подробные примеры, рассмотрены замены переменной в определенном интеграле и найдем значения определенного интеграла при интегрировании по частям.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Формула Ньютона-Лейбница

Определение 1

Когда функция y = y (x) является непрерывной из отрезка [ a ; b ] ,а F (x) является одной из первообразных функции этого отрезка, тогда формула Ньютона-Лейбница
считается справедливой. Запишем ее так ∫ a b f (x) d x = F (b) — F (a) .

Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.

Чтобы произвести доказательство этой формулы, необходимо использовать понятие интеграла с имеющимся переменным верхним пределом.

Когда функция y = f (x) непрерывна из отрезка [ a ; b ] , тогда значение аргумента x ∈ a ; b , а интеграл имеет вид ∫ a x f (t) d t и считается функцией верхнего предела. Необходимо принять обозначение функции примет вид ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , она является непрерывной, причем для нее справедливо неравенство вида ∫ a x f (t) d t » = Φ » (x) = f (x) .

Зафиксируем, что приращении функции Φ (x) соответствует приращению аргумента ∆ x , необходимо воспользоваться пятым основным свойством определенного интеграла и получим

Φ (x + ∆ x) — Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t — ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) · x + ∆ x — x = f (c) · ∆ x

где значение c ∈ x ; x + ∆ x .

Зафиксируем равенство в виде Φ (x + ∆ x) — Φ (x) ∆ x = f (c) . По определению производной функции необходимо переходить к пределу при ∆ x → 0 , тогда получаем формулу вида Φ » (x) = f (x) . Получаем, что Φ (x) является одной из первообразных для функции вида y = f (x) , расположенной на [ a ; b ] . Иначе выражение можно записать

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , где значение C является постоянной.

Произведем вычисление F (a) с использованием первого свойства определенного интеграла. Тогда получаем, что

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , отсюда получаем, что C = F (a) . Результат применим при вычислении F (b) и получим:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , иначе говоря, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Равенство доказывает формулу Ньютона-Лейбница ∫ a b f (x) d x + F (b) — F (a) .

Приращение функции принимаем как F x a b = F (b) — F (a) . С помощью обозначения формулу Ньютона-Лейбница принимает вид ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) — F (a) .

Чтобы применить формулу, обязательно необходимо знать одну из первообразных y = F (x) подынтегральной функции y = f (x) из отрезка [ a ; b ] , произвести вычисление приращения первообразной из этого отрезка. Рассмотрим несколько примером вычисления, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Пример 1

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ 1 3 x 2 d x по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение

Рассмотрим, что подынтегральная функция вида y = x 2 является непрерывной из отрезка [ 1 ; 3 ] , тогда и интегрируема на этом отрезке. По таблице неопределенных интегралов видим, что функция y = x 2 имеет множество первообразных для всех действительных значений x , значит, x ∈ 1 ; 3 запишется как F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Необходимо взять первообразную с С = 0 , тогда получаем, что F (x) = x 3 3 .

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и получим, что вычисление определенного интеграла примет вид ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 — 1 3 3 = 26 3 .

Ответ:
∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Пример 2

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ — 1 2 x · e x 2 + 1 d x по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение

Заданная функция непрерывна из отрезка [ — 1 ; 2 ] , значит, на нем интегрируема. Необходимо найти значение неопределенного интеграла ∫ x · e x 2 + 1 d x при помощи метода подведения под знак дифференциала, тогда получаем ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Отсюда имеем множество первообразных функции y = x · e x 2 + 1 , которые действительны для всех x , x ∈ — 1 ; 2 .

Необходимо взять первообразную при С = 0 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Тогда получим выражение вида

∫ — 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 — 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 — 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 — 1)

Ответ:
∫ — 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 — 1)

Пример 3

Произвести вычисление интегралов ∫ — 4 — 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x и ∫ — 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Решение

Отрезок — 4 ; — 1 2 говорит о том, что функция, находящаяся под знаком интеграла, является непрерывной, значит, она интегрируема. Отсюда найдем множество первообразных функции y = 4 x 3 + 2 x 2 . Получаем, что

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x — 2 d x = 2 x 2 — 2 x + C

Необходимо взять первообразную F (x) = 2 x 2 — 2 x , тогда, применив формулу Ньютона-Лейбница, получаем интеграл, который вычисляем:

∫ — 4 — 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 — 2 x — 4 — 1 2 = 2 — 1 2 2 — 2 — 1 2 — 2 — 4 2 — 2 — 4 = 1 2 + 4 — 32 — 1 2 = — 28

Производим переход к вычислению второго интеграла.

Из отрезка [ — 1 ; 1 ] имеем, что подынтегральная функция считается неограниченной, потому как lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , тогда отсюда следует, что необходимым условием интегрируемости из отрезка. Тогда F (x) = 2 x 2 — 2 x не является первообразной для y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ — 1 ; 1 ] , так как точка O принадлежит отрезку, но не входит в область определения. Значит, что имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ — 1 ; 1 ] .

Ответ: ∫ — 4 — 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = — 28 ,
имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ — 1 ; 1 ] .

Перед использованием формулы Ньютона-Лейбница нужно точно знать о существовании определенного интеграла.

Замена переменной в определенном интеграле

Когда функция y = f (x) является определенной и непрерывной из отрезка [ a ; b ] , тогда имеющееся множество [ a ; b ] считается областью значений функции x = g (z) , определенной на отрезке α ; β с имеющейся непрерывной производной, где g (α) = a и g β = b , отсюда получаем, что ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g » (z) d z .

Данную формулу применяют тогда, когда нужно вычислять интеграл ∫ a b f (x) d x , где неопределенный интеграл имеет вид ∫ f (x) d x , вычисляем при помощи метода подстановки.

Пример 4

Произвести вычисление определенного интеграла вида ∫ 9 18 1 x 2 x — 9 d x .

Решение

Подынтегральная функция считается непрерывной на отрезке интегрирования, значит определенный интеграл имеет место на существование. Дадим обозначение, что 2 x — 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Значение х = 9 , значит, что z = 2 · 9 — 9 = 9 = 3 , а при х = 18 получаем, что z = 2 · 18 — 9 = 27 = 3 3 , тогда g α = g (3) = 9 , g β = g 3 3 = 18 . При подстановке полученных значений в формулу ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g » (z) d z получаем, что

∫ 9 18 1 x 2 x — 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 » d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

По таблице неопределенных интегралов имеем, что одна из первообразных функции 2 z 2 + 9 принимает значение 2 3 a r c t g z 3 . Тогда при применении формулы Ньютона-Лейбница получаем, что

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 — 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 — a r c t g 1 = 2 3 π 3 — π 4 = π 18

Нахождение можно было производить, не используя формулу ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g » (z) d z .

Если при методе замены использовать интеграл вида ∫ 1 x 2 x — 9 d x , то можно прийти к результату ∫ 1 x 2 x — 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x — 9 3 + C .

Отсюда произведем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница и вычислим определенный интеграл. Получаем, что

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 · 18 — 9 3 — a r c t g 2 · 9 — 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 — a r c t g 1 = 2 3 π 3 — π 4 = π 18

Результаты совпали.

Ответ: ∫ 9 18 2 x 2 x — 9 d x = π 18

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла

Если на отрезке [ a ; b ] определены и непрерывны функции u (x) и v (x) , тогда их производные первого порядка v » (x) · u (x) являются интегрируемыми, таким образом из этого отрезка для интегрируемой функции u » (x) · v (x) равенство ∫ a b v » (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b — ∫ a b u » (x) · v (x) d x справедливо.

Формулу можно использовать тогда, необходимо вычислять интеграл ∫ a b f (x) d x , причем ∫ f (x) d x необходимо было искать его при помощи интегрирования по частям.

Пример 5

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ — π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Решение

Функция x · sin x 3 + π 6 интегрируема на отрезке — π 2 ; 3 π 2 , значит она непрерывна.

Пусть u (x) = х, тогда d (v (x)) = v » (x) d x = sin x 3 + π 6 d x , причем d (u (x)) = u » (x) d x = d x , а v (x) = — 3 cos π 3 + π 6 . Из формулы ∫ a b v » (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b — ∫ a b u » (x) · v (x) d x получим, что

∫ — π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = — 3 x · cos x 3 + π 6 — π 2 3 π 2 — ∫ — π 2 3 π 2 — 3 cos x 3 + π 6 d x = = — 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 — — 3 · — π 2 · cos — π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 — π 2 3 π 2 = 9 π 4 — 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 — sin — π 6 + π 6 = 9 π 4 — 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Решение примера можно выполнить другим образом.

Найти множество первообразных функции x · sin x 3 + π 6 при помощи интегрирования по частям с применением формулы Ньютона-Лейбница:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = — 3 cos x 3 + π 6 = = — 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = — 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ — π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = — 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 — — — 3 · — π 2 · cos — π 6 + π 6 + 9 sin — π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 — 3 π 2 — 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Ответ: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Формула Ньютона — Лейбница

Основная теорема анализа
или формула Ньютона — Лейбница
даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной

Формулировка

Рассмотрим интеграл от функции y
= f
(x
)
в пределах от постоянного числа a

до числа x

, которое будем считать переменным. Запишем интеграл в следующем виде:

Данный вид интеграла называется интегралом с переменным верхним пределом. Используя теорему о среднем в определённом интеграле , легко показать что данная функция непрерывная и дифференцируемая. А также производная от данной функции в точке x равна самой интегрируемой функции. От сюда следует, что любая непрерывная функция имеет первообразную в виде квадратуры: . А так как класс первообразных функций функции f отличается на константу, легко показать, что: определенный интеграл от функции f на равен разности значений первообразных в точках b и а

Wikimedia Foundation
.
2010
.

  • Формула Полной Вероятности
  • Формула Релея — Джинса

Смотреть что такое «Формула Ньютона — Лейбница» в других словарях:

    Формула Ньютона-Лейбница
    — Основная теорема анализа или формула Ньютона Лейбница даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной Формулировка Рассмотрим интеграл от функции y = f(x) в пределах от постоянного числа a до… … Википедия

    Формула конечных приращений
    — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лагранжа. Формула конечных приращений или теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и … Википедия

    Формула Стокса
    — Теорема Стокса одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса. Содержание 1 Общая формулировка 2… … Википедия

    НЬЮТОНА — ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА
    — формула, выражающая значение определенного интеграла от заданной функции f по отрезку в виде разности значений на концах отрезка любой первообразной Fэтой функции Названа именами И. Ньютона (I. Newton) и Г. Лейбница (G. Leibniz), т. к. правило,… … Математическая энциклопедия

    НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА
    — основная формула интегрального исчисления. Выражает связь между определенным интегралом от функции f(x) и какой либо ее первообразной F(x) … Большой Энциклопедический словарь

    Формула Лейбница
    — У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Лейбница. У этого термина существуют и другие значения, см. Формула Лейбница (значения). Формулой Лейбница в интегральном исчислении называется правило… … Википедия

    Ньютона-Лейбница формула
    — Ньютона Лейбница формула, основная формула интегрального исчисления. Выражает связь между определённым интегралом от функции f(х) и какой либо её первообразной F(х). . * * * НЬЮТОНА ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА НЬЮТОНА ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА, основная формула… … Энциклопедический словарь

    Формула прямоугольников

    Формула трапеций
    — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура) вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… … Википедия

    Теорема Ньютона
    — Формула Ньютона Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной. Если непрерывна на отрезке и ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет … Википедия

Вычисление двойных интегралов: теория и примеры

Записывается двойной интеграл так:

.

Здесь D – плоская фигура, ограниченная линиями, выражения которых (равенства) даны в
задании вычисления двойного интеграла. Слева и справа – равенствами, в которых слева переменная x,
а сверху и снизу – равенствами, в которых слева переменная y. Это место и далее – одно из важнейших
для понимания техники вычисления двойного интеграла.

Вычислить двойной интеграл — значит найти число, равное площади упомянутой фигуры
D.

Пока мы не касаемся определения двойного интеграла, а будем учиться его вычислять.
Понять, что такое двойной интеграл, проще, когда решены несколько задач на его вычисление, поэтому
определение двойного интеграла вы найдёте в конце этого урока. Чуть забегая вперёд, можно лишь
отметить, что определение двойного интеграла также связано с упоминавшейся фигурой D.

В случае если фигура D представляет
собой прямоугольник, все линии, ограничивающие её – это прямые линии. Если фигура
D — криволинейна, то слева и справа она ограничена
прямыми, а сверху и снизу – кривыми линиями, заданными равенствами, которые даны в задании.
Бывают и случаи, когда фигура D – треугольник, но о таких случаях чуть дальше.

Для вычисления двойного интеграла нужно, таким образом, рассортировать
линии, огранивающие фигуру D, которая имеет строгое название – область интегрирования.
Рассортировать на левые и правые и на верхние и нижние. Это потребуется при сведении
двойного интеграла к повторному интегралу
– методе вычисления двойного интеграла.

Случай прямоугольной области:

Случай криволинейной области:

А это
уже решение знакомых нам определённых интегралов, в которых заданы верхний и нижний пределы
интегрирования. Выражения, задающие линии, которые ограничивают фигуру D, будут пределами
интегрирования для обычных определённых интегралов, к которым мы уже подходим.

Случай прямоугольной области

Пусть дана функция двух переменных f(xy)
и ограничения для D: D = {(xy) | a ≤ x ≤ bc ≤ y ≤ d},
означающие, что фигуру D слева и справа ограничивают
прямые x = a и x = b,
а снизу и сверху — прямые y = c и y = d.
Здесь a, b, c, d — числа.

Пусть для такой функции существует двойной интеграл

.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному
интегралу, который имеет вид

.

Здесь пределы интегрирования a, b, c, d — числа, о
которых только что упоминалось.

Сначала нужно вычислять внутренний (правый) определённый интеграл, затем — внешний (левый)
определённый интеграл.

Можно и поменять ролями x и y.
Тогда повторный интеграл будет иметь вид

.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала — внутренний (правый) интеграл, затем —
внешний (левый).

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Получаем.

.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Случай криволинейной или треугольной области

Пусть снова дана функция двух переменных f(xy),
а ограничения для D: уже несколько другого вида:

.

Эта запись означает, что фигуру D слева и справа ограничивают,
как и в случае прямолинейной области —
прямые x = a и x = b,
но снизу и сверху — кривые, которые заданы уравнениями и
. Иными
словами, и
— функции.

Пусть для такой функции также существует двойной интеграл

.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному
интегралу, который имеет вид

.

Здесь пределы интегрирования a и b — числа, а
и
— функции.
В случае треугольной области одна из функций или
— это
уравнение прямой линии. Такой случай будет разобран в примере 3.

Как и в случае прямолинейной области, сначала нужно вычислять правый определённый интеграл, затем — левый
определённый интеграл.

Точно так же можно поменять ролями x и y.
Тогда повторный интеграл будет иметь вид

.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала — внутренний (правый) интеграл, затем —
внешний (левый).

Пример 3. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого).
Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов:

.

Вычисляем первое слагаемое:

Вычисляем второе слагаемое:

Вычисляем третье слагаемое:

Получаем сумму, которая и будет решением данного двойного интеграла:

.

Пример 4. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Случается, область интегрирования двойного интеграла ограничена такими линиями,
что возникает необходимость разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий
повторный интеграл отдельно. Это случаи, когда:

1) область интегрирования представляет собой фигуру, имеющую в виде нижней
или верхней (левой или правой) границы две или более двух прямых или кривых линий;

2) область интегрирования
представляет собой фигуру, границу которой прямые пересекают более чем в двух точках.

Если вышесказанное относится к левой или правой границе области интегрирования, то есть
ограничениях, заданных линиями, выраженными через x, то область интегрирования называется
x-неправильной. Если же прямая y = y0
пересекает соответствующую границу лишь в одной точке и если границей служит лишь одна прямая или кривая,
то область интегрирования называется x-правильной

Аналогично, если границу, заданную линиями, выраженными через y, прямая
x = x0
пересекает более чем в одной точке или если границей служат более одной прямой или кривой,
то область интегрирования называется y-неправильной. Вывести теперь признаки y-правильной
области, надо полагать, совсем просто.

До сих пор мы рассматривали примеры с x-неправильными и y-правильными
областями интегрирования. Теперь рассмотрим случаи, когда условие правильности нарушается.

Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к
повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или,
говоря иначе, поменять порядок интегрирования.

Смена порядка интегрирования образно может быть описана следующими словами О’Генри:
«Так ведёт себя обитатель джунглей — зверь, попав в клетку, и так ведёт себя обитатель клетки —
человек, заблудившись в джунглях сомнений». Результат, так же по О’Генри один и тот же:
«Чалмерс разорвал письмо на тысячу мельчайших клочков и принялся терзать свой дорогой ковёр, расхаживая
по нему взад и вперёд». (О’Генри. Шехерезада с Мэдисон-сквера.)

Тогда, если левый интеграл у нас по
переменной x, а правый — по y, то после смены порядка интегрирования
всё будет наоборот. Тогда пределы интегрирования для «нового» игрека нужно «позаимствовать»
у «старого» икса, а пределы интегрирования для «нового» икса получить в виде обратной
функции
, разрешив относительно икса уравнение, задававшее предел для игрека.

Пример 8. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

.

Решение. После смены порядка интегрирования интеграл по игреку станет
левым, а интеграл по иксу — правым. Пределы интегрирования для «нового» игрека
позаимствуем у «старого» икса, то есть нижний предел равен нулю, а верхний — единице.
Пределы интегрирования для «старого» игрека заданы уравнениями
и
.
Разрешив эти уравнения относительно икса, получим новые пределы интегрирования для икса:

(нижний) и (верхний).

Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл
запишется так:

.

После смены порядка интегрирования в двойном интеграле нередко область интегрирования
превращается в y-неправильную или x-неправильную (см. предыдущий параграф).
Тогда требуется разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный
интеграл отдельно.

Поскольку разбиение области интегрирования на части представляет определённые
трудности для многих студентов, то не ограничимся примером, приведённым в предыдущем параграфе, а
разберём ещё пару примеров.

Пример 9. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

.

Решение. Итак, область интегрирования данного повторного интеграла
ограничена прямыми y = 1, y = 3,
x = 0, x = 2y.

При интегрировании в другом порядке нижняя граница области состоит из двух прямых:
AB и BC, которые
заданы уравнениями y = 1 и y = x/2,
что видно на рисунке ниже.

Выход из такой неопределённости состоит в разбиении области интегрирования
на две части. Делить область интегрирования будет прямая .
Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет
равным сумме двух интегралов:

Естественно, таким же будет решение двойного интеграла, который сводится к повторному
интегралу, данному в условии этого примера.

Пример 10. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

.

Решение. Итак, область интегрирования повторного интеграла
ограничена прямыми x = 0, x = 2 и
кривыми и
.

Как видно на рисунке ниже, прямая, параллельная оси 0x,
будет пересекать нижнюю границу области интегрирования более чем в двух точках.

Поэтому разобьём область интегрирования на три части прямыми, которые на
рисунке начерчены чёрным. Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Пределы для трёх новых областей интегрирования будут следующими.

Для :

Для :

Для :

Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет
равным сумме трёх интегралов:

Той же сумме трёх интегралов будет равен и двойной интеграл, который сводится к
повторному интегралу, данному в условии этого примера.

И всё же обстоятельства непреодолимой силы нередко мешают студентам уже на предыдущем
шаге — расстановке пределов интегрирования. Тревога и смятение не лишены некоторого основания: если для
разбиения области интегрирования на части обычно достаточно приглядеться к чертежу, а для решения
повторного интеграла — таблицы интегралов, то в расстановке пределов интегрирования нужен некоторый
опыт тренировок. Пробежим пример, в котором остановимся только на расстановке пределов интегрирования и —
почти на автомате — на разбиении области и опустим само решение.

Пример 11. Найти пределы интегрирования двойного интеграла, если
область интегрирования D задана следующим образом:


y — 2x ≤ 0;
2y — x ≥ 0;
xy ≤ 2.

Решение. В явном виде (через x и y «без примесей») линии,
ограничивающие область интегрирования, не заданы. Так как для икса ими чаще всего оказываются
прямые, касающиеся в одной точке верхней и нижней границ, выраженных через игрек, то пойдём именно
по этому пути. Тем более, что при смене порядка интегирования мы получим область интегрирования с такой
же площадью.
Разрешим неравенства относительно игрека и получим:


y ≤ 2x;
y ≥ x/2;
y ≤ 2/x.

Строим полученные линии на чертёже. Пределами интегрирования по иксу действительно
служат линии x = 0 и x = 2.
Но область интегрирования оказалась y-неправильной, так как её верхнюю границу нельзя задать
одной линией y = y(x).

Поэтому разобьём область интегрирования на две части при помощи прямой
x = 1 (на чертеже — чёрного цвета).

Теперь данный двойной интеграл можем записать как сумму двух повторных интегралов с правильно расставленными пределами
интегрирования:

.

В этом параграфе даны примеры, в которых двойной интеграл равен
отрицательному числу. Но, как отмечалось в теоретической справке в начале урока, площадь
области интегрирования равна самому двойному интегралу. А если двойной интеграл —
отрицательное число, то площадь равна его модулю.

Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла имеет
более универсальный характер, чем вычисление площади криволинейной трапеции с помощью
определённого интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислять площади не
только криволинейной трапеции, но и фигур, расположенных произвольно по отношению к
к координатным осям.

Пример 12. Вычислить площадь области, ограниченной
линиями y² = x + 1 и x + y = 1.

Решение. Область интегрирования представляет собой фигуру,
ограниченную слева параболой y² = x + 1,
а справа прямой y = 1 — x.
(рисунок ниже).

Решая как систему уравнения этих линий, получаем точки их пересечения:
. Ординаты этих точек —
— 2 и 1 будут
соответственно нижним и верхним пределами интегрирования по игреку. Итак, площадь
фигуры найдём как двойной интеграл, сведённый к повторному:

.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

.

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Как видим, решение двойного интеграла — отрицательное число. За площадь
данной плоской фигуры принимается модуль этого числа, то есть 4/9.

Объём криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью
,
снизу плоскостью z = 0 и с боковых
сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси
0z, а направляющей служит контур области,
вычисляется также по формуле двойного интеграла. То есть, с помощью двойного интеграла
можно вычислять объёмы тел.

Пример 13. Вычислить объём тела, ограниченного
поверхностями x = 0,
y = 0, z = 0 и
x + y + z = 1 (рисунок ниже).

Расставляя пределы интегрирования, получаем следующий повторный
интеграл:

.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

.

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Вновь видим, что решение двойного интеграла — отрицательное число. За объём
данного тела принимается модуль этого числа, то есть 1/6.

Мы уже знаем, что представляет собой область D. Пусть z = f(xy) —
некоторая функция двух переменных, определённая и ограниченная в этой области. Разобъём область
D произвольно на n частей, не имеющих общих точек, с площадями
. В каждой из этих частей
выберем произвольную точку
и составим сумму

,

которую назовём интегральной суммой. Диаметром области D
условимся называть наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Учитывается также
наибольший из диаметров частичных областей.

Определение. Если интегральная сумма при неограниченном возрастании
числа n разбиений области D и стремлении наибольшего из диаметров частичных областей
к нулю имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции
f(xy) по области D.

Если областью интегрирования является окружность или часть окружности, то двойной
интеграл проще вычислить в полярных координатах. Обобщением понятия двойного интеграла для функции трёх переменных является
тройной интеграл.

Кратные и криволинейные интегралы

Поделиться с друзьями

Определенные интегралы

Возможно, вам сначала захочется прочитать «Введение в интеграцию»!

Интеграция

Integration можно использовать для поиска областей, объемов, центральных точек и многих полезных вещей. Но его часто используют, чтобы найти область под графиком функции следующим образом:

Область может быть найдена путем добавления срезов, ширина которых приближается к нулю :

И есть Правила интеграции, которые помогают нам получить ответ.

Обозначение

Символ «Интеграл» — стильная буква «S» (от «Сумма», идея суммирования срезов):

После символа интеграла мы помещаем функцию, интеграл от которой мы хотим найти (называемую интегралом).

А затем закончите с dx , чтобы обозначить, что срезы идут в направлении x (и приближаются к нулю по ширине).

Определенный интеграл

Определенный интеграл имеет начальное и конечное значения: другими словами, существует интервал [a, b].

a и b (называемые пределами, границами или границами) помещаются внизу и вверху буквы «S», например:

Определенный Интегральный
(от a до b )
Неограниченный Интегральный
(без конкретных значений)

Мы находим Определенный интеграл, вычисляя неопределенный интеграл при a и b , а затем вычитая:

Пример: Что такое

Нам нужен определенный интеграл , от 1 до 2, из 2x dx

Сначала нам нужно найти Indefinite Integral .

Используя правила интегрирования, находим, что ∫2x dx = x 2 + C

Теперь посчитайте, что при 1 и 2:

  • При x = 1: ∫2x dx = 1 2 + C
  • При x = 2: ∫2x dx = 2 2 + C

Вычесть:

(2 2 + C) — (1 2 + C)

2 2 + К — 1 2 — К

4 — 1 + C — C = 3

И «C» отменяется… так что с определенными интегралами мы можем игнорировать C .

Результат:

Проверить : с такой простой формой попробуем еще вычислить площадь по геометрии:

A = 2 + 4 2 × 1 = 3

Да, у него есть площадь 3.

(Ура!)

Обозначение : Мы можем показать неопределенный интеграл (без + C) внутри квадратных скобок с пределами a и b после, например:

Пример (продолжение)

Хороший способ показать свой ответ:

Давайте попробуем другой пример:

Пример:

Определенный интеграл, от 0.От 5 до 1.0, из cos (x) dx:

(Примечание: x должен быть в радианах)

Неопределенный интеграл : cos (x) dx = sin (x) + C

Мы можем игнорировать C для определенных интегралов (как мы видели выше) и получаем:

= грех (1) — грех (0,5)

= 0,841 … — 0,479 …

= 0,362 …

И еще один важный пример:

Пример:

Определенный интеграл от 0 до 1 от sin (x) dx:

Неопределенный интеграл : sin (x) dx = −cos (x) + C

Поскольку мы идем от 0, можем ли мы просто вычислить интеграл при x = 1?

−cos (1) = −0.540 …

Что? Это минус ? Но на графике это выглядит положительно.

Ну … мы сделали ошибку !

Поскольку нам нужно вычесть интеграл при x = 0 . Не следует предполагать, что он равен нулю.

Итак, давайте сделаем это правильно, вычтя одно из другого:

грех (x) dx

= [−cos (x)]

= −cos (1) — (−cos (0))

= -0,540 … — (-1)

= 0.460 …

Так лучше!

Но у нас может иметь отрицательные области , когда кривая ниже оси:

Пример:

Определенный интеграл от 1 до 3 от cos (x) dx:

Обратите внимание, что некоторые из них положительные, а некоторые отрицательные.
Определенный интеграл даст чистое значение .

Сделаем расчеты:

= грех (3) — грех (1)

= 0.141 … — 0,841 …

= −0,700 …

Таким образом, отрицательного больше, чем положительного, с чистым результатом -0,700 ….

Итак, нам нужно запомнить одну важную вещь:

f (x) dx = (Площадь над осью x) — (Площадь под осью x)

Попробуйте интегрировать cos (x) с разными начальными и конечными значениями, чтобы увидеть, как работают положительные и отрицательные значения.

Положительная область

Но иногда мы хотим, чтобы вся область обрабатывалась как положительное значение (без вычитания части ниже оси).

В этом случае мы должны вычислить площади отдельно , как в этом примере:

Пример: Какова общая площадь

между y = cos (x) и осью x, от x = 1 до x = 3?

Это похоже на пример, который мы только что сделали, но теперь мы ожидаем, что вся площадь положительна (представьте, что нам нужно было это нарисовать).

Итак, теперь мы должны делать детали отдельно:

  • Один для области над осью x
  • Один для области ниже оси x

Кривая пересекает ось x при x = π / 2, поэтому мы имеем:

От 1 до π / 2:

cos (x) dx

= грех (π / 2) — грех (1)

= 1 — 0.841 …

= 0,159 …

От π / 2 до 3:

cos (x) dx

= грех (3) — грех (π / 2)

= 0,141 … — 1

= -0,859 …

Последний выходит отрицательным, но мы хотим, чтобы он был положительным, поэтому:

Общая площадь = 0,159 … + 0,859 … = 1,018

Это сильно отличается от ответа в предыдущем примере.

непрерывный

О да, функция, которую мы интегрируем, должна быть непрерывной между a и b : без дыр, скачков или вертикальных асимптот (где функция направляется вверх / вниз к бесконечности).

Пример:

Вертикальная асимптота между a и b влияет на определенный интеграл.

Недвижимость

Область выше — область ниже

Интеграл добавляет площадь над осью, но вычитает площадь ниже, для «чистого значения»:

f (x) dx = (Площадь над осью x) — (Площадь под осью x)

Добавление функций

Интеграл от f + g равен интегралу от f плюс интеграл от g :

f (x) + g (x) dx =

ф (х) dx +

г (x) dx

Реверсирование интервала

Изменение направления интервала на противоположное дает отрицательное значение исходного направления.

Интервал нулевой длины

Когда интервал начинается и заканчивается в одном и том же месте, результат равен нулю:

Добавление интервалов

Мы также можем сложить два соседних интервала вместе:

Сводка

Определенный интеграл между a и b — это неопределенный интеграл при b минус неопределенный интеграл при a .

Найдите числовой ответ на определенный интеграл

Быстро! Мне нужна помощь с:
Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Производные вычисления, Интеграционное вычисление, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование скорости, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, The Equation from slopeLinesLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Нахождение шансовМатематика, Практика полиномов по математике, Практика основМетрическая система, Преобразование чисел, Сложение чисел, Вычисление с числами, Вычисление с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение числовых линий, Числовые строки, Разместите значения чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание числа слагаемых, Вычитание чисел Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов многочленов, Факторизация триномов многочленов, Факторинг с помощью GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они из себя представляют, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение , Правые треугольники, Ветер, Рисунок

Калькулятор неопределенного интеграла

Спортивная математика Финансовая математика.Все права принадлежат владельцу! F = ∫ƒ dx. Все права принадлежат владельцу! Однако ничто не гарантирует, что операцию справа будет легче провести. Будет ли это преобразование полезным или вычислительно удобным, будет зависеть от контекста, и вы даже можете использовать его наоборот, если это более удобно. Он пишется с помощью интегрального символа без границ. Мы начнем с некоторых основных неопределенных интегралов. Калькулятор определенного интеграла вычисляет определенный интеграл функции по интервалу, используя численное интегрирование.Помимо вычисления простого интегрирования, эти калькуляторы интегралов могут также вычислять и решать несколько интегралов, например: двойное интегрирование, тройное интегрирование и т. Д. Процедура использования калькулятора неопределенного интеграла выглядит следующим образом: Шаг 1: Введите функцию и… Поиск неопределенный интеграл — очень распространенная задача в математике и других технических науках. Обратитесь к списку стандартных неопределенных интегральных формул, который может вам понадобиться как часть работы и упростить вашу работу. — Решатель системных уравнений и матричные операции (жорданова форма, собственные значения, определитель и т. Д.)…). Теперь это тождество успешно утверждает, что вычисление тройного интеграла в LHS равносильно вычислению поверхностного интеграла (двойного интеграла) в RHS. Нажмите, чтобы сфотографировать проблему. Первая фундаментальная теорема исчисления позволяет вычислять определенные интегралы в терминах неопределенных интегралов. Используйте наш калькулятор неопределенного интеграла для решения определенных и неопределенных значений. √ Предварительный просмотр: Функция ввода:? В этом разделе нам нужно начать думать о том, как мы на самом деле вычисляем неопределенные интегралы.Участники уровня Premier, пожалуйста, войдите здесь. В предыдущем разделе мы начали рассматривать неопределенные интегралы, а в этом разделе мы сосредоточились почти исключительно на обозначениях, понятиях и свойствах неопределенного интеграла. Игры; Доска объявлений; О; Оцените интеграл. Шаг 1:… Процедура использования калькулятора определенных интегралов выглядит следующим образом:… Первый интеграл, который мы рассмотрим, является интегралом степени… Подробные пошаговые решения вашей интеграции путем подстановки задач онлайн с наш математический решатель и калькулятор.Удивительные подробности о калькуляторе определенного интеграла, о котором большинство людей не подозревают, слухи, ложь и калькулятор определенного интеграла. Онлайн-сервис OnSolver.com позволяет найти определенное комплексное решение в режиме онлайн. Показать инструкции. … Установка постоянных интегрирования Пример 3 Рассмотрим ракету, скорость которой в метрах в секунду в момент времени t секунд после запуска равна v = bt2, где b = 3 мс − 3. Интеграция с помощью калькулятора замены онлайн с решением и шагами. Калькулятор определенного и неправильного интеграла.В этом видеоуроке по исчислению объясняется, как найти неопределенный интеграл функции. Решатели проблем. Решатель уравнений Калькулятор разложения на множители Производные графа Интегралы Первообразные Пределы матрицы суммирования. Результат будет показан ниже. Кроме того, вычисление интегрального калькулятора дает ощущение простоты… Элементарные функции — это константы, полиномы, экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические и гиперболические функции, а также их обратные. где F и ƒ являются функциями от x, а F дифференцируема.Предположим, что дифференцирование функции F приводит к другой функции f, а интегрирование f дает интеграл. Мы предлагаем нашим уважаемым клиентам еще один великолепный инструмент под названием «Калькулятор интеграции по частям». Если это неопределенный интеграл, калькулятор интегралов просто использует константу интегрирования для вычисления выражения. Неопределенный интеграл: пошаговое решение; Альтернативная форма интеграла: Разложение в ряд… Введение понятия интеграла и его G.Обозначения Лейбница относятся к падению 1675 года. Калькулятор вычислит определенное (т.е. часто записывается как F (x) = ∫ƒ (x) dx или F = ∫ƒ dx, где и F, и ƒ являются функциями x, и F является дифференцируемым. Раздел 3: Фиксация постоянных интегрирования 12 3. Программа для вычисления неопределенного интеграла (первообразной) не просто дает ответ на проблему, она дает подробное решение с пояснениями, т.е. предположим, что дифференцирование F дает f, и интегрирование f дает интеграл.ENG • ESP. Узнайте, как найти предел функции здесь. Просто щелкните синюю стрелку, и появится решенный пример. В следующих разделах нашей статьи вы познакомитесь с Важным списком формул неопределенного интеграла. ∫ Мы обсудим, как найти первообразные, которые можно записать в терминах элементарных функций. На самом деле решение простейших физических задач редко обходится без нескольких вычислений простых интегралов. Вычислить. Калькулятор сейчас находится в демонстрационном режиме, и некоторые поля ввода недоступны для редактирования.В общем, вы можете пропустить знак умножения, поэтому «5x» эквивалентно «5 * x». Найдите неопределенный интеграл функции: (используйте основные формулы и правила неопределенного интеграла) Найдите неопределенный интеграл функции: (используйте метод подстановки для неопределенных интегралов) Найдите неопределенный интеграл функции: (используйте формулу Per Partes для интегрирование по частям) Найдите неопределенный интеграл функции: объясните, почему получается два разных… \ (\ displaystyle \ int {{6 {x ^ 5} — 18 {x ^ 2} + 7 \, dx}} \) \ (\ displaystyle \ int {{6 {x ^ 5} \, dx}} — 18 {x ^ 2} + 7 \) Подсказка: если вы помните свои производные правила и тот факт, что вся эта проблема на самом деле нам нужно определить функцию, которую мы дифференцировали, чтобы получить подынтегральное выражение (т.2 + 2 * x + 1 d: Оценка: Вывод: Синтаксис: Да, пожалуйста, помогите исправить мой ввод в правильную систему Mathematica®… Интеграция путем подстановки… Онлайн-калькулятор неопределенного интеграла BYJU ускоряет вычисления и отображает первообразную функции за доли секунды. Вы можете легко и бесплатно вычислить двойные или тройные, определенные или неопределенные интегралы. этой проблемы тоже быть не должно … Процесс нахождения этих первообразных обозначается неопределенным интегралом. Вычислите каждый из следующих неопределенных интегралов.- Построение 2D и 3D функций. Если в момент времени t = 2 с … Главный девиз … В исчислении первообразная, обратная производная, примитивная функция, примитивный интеграл или неопределенный интеграл функции f является дифференцируемой функцией F, производная которой равна исходной функции f. Это может можно обозначить символически как F ‘= f. Процесс решения первообразных называется антидифференцированием (или неопределенным интегрированием), а его противоположная операция называется дифференцированием, который представляет собой процесс… показать справку ↓↓ примеры ↓↓ ^ — + * / ^.Справка по входам. Нажмите «Вперед!» чтобы начать интегральный расчет. Этот калькулятор дает неопределенный интеграл входной функции. Что такое двойной интеграл? Any… Этот калькулятор для решения неопределенных интегралов взят от Wolfram Alpha LLC. Что ж, вы получите то же самое сложное выражение, что и исходное выражение. Вот список лучших бесплатных программ интегрального калькулятора для решения задач интеграции. Этот калькулятор вычисляет определенные и неопределенные интегралы (первообразную) функции по переменной x.2… Калькуляторы Темы Методы решения становятся премиальными. Интегралы — шаг за шагом. Абсолютно бесплатный онлайн пошаговый определенный и неопределенный… Калькуляторы. В приведенной выше форме он называется интегралом Реймана и… Калькулятор определенных интегралов — это бесплатный онлайн-инструмент, который отображает значение интегральной функции, когда заданы нижний и верхний пределы. Неопределенный интеграл — это скорее общая форма интегрирования, и его можно интерпретировать как антипроизводную рассматриваемой функции.Интеграл вида intf (z) dz, (1) т.е.без верхнего и нижнего пределов, также называемый первообразной. Расширенная клавиатура; Загрузить; Примеры; Случайный; Предполагая, что «неопределенный интеграл» относится к вычислению | Используйте как общую тему или вместо этого обратитесь к математическому определению или слову. Неопределенный интеграл. Как пользоваться калькулятором неопределенного интеграла? Этот калькулятор для решения определенных интегралов взят от Wolfram Alpha LLC. Интегральный калькулятор. Онлайн-калькулятор определенных интегралов BYJU ускоряет вычисления, показывая результат интегральной функции за доли секунды.калькуляторы. Введите любой интеграл, чтобы получить решение, шаги и график. … Игры; ГЛАВНОЕ МЕНЮ; Решение проблем; Фракции; Факторинг; Матрицы и системы уравнений; Калькулятор производных; Интегралы — шаг за шагом; Асимптоты; Обратная функция; Калькулятор статистики; Дифференциальные уравнения; Дом. Практика построения графиков решений; Бета геометрии; Шпаргалки по группам записных книжек; Войти; Присоединиться; Обновление; Детали учетной записи Параметры входа в систему Учетная запись… В частности, эта теорема утверждает, что если F — неопределенный интеграл для комплексной функции f (z), то int_a ^ bf (z) dz = F (b) -F (a).Интегральный калькулятор. по логарифмам вычислите следующие интегралы: (нажмите на зеленые буквы для решения) (a) R ln (x) dx, (b) R ln (2x) dx, (c) R ln (x3) dx, (d) R ln (3×2) dx. Калькулятор удобен в использовании и доступен с любого устройства, а результаты вычислений интегралов и шагов решения можно легко скопировать в буфер обмена. Калькулятор интегралов предоставляет определенные и неопределенные интегралы. Тогда у вас есть… Выполняйте вычисления с использованием неопределенных интегралов в более быстром темпе с помощью прилагаемых листов и таблиц неопределенных интегральных формул.Производная константы равна нулю, поэтому C может быть любой константой, положительным значением или… Подсказка, например, ln (2), являются константами! Это приложение работает с функциями одной и двух переменных. Как работает онлайн-калькулятор интегралов? Как пользоваться калькулятором определенного интеграла? Калькулятор интеграции по частям. функция внутри интеграла….) Бесплатный калькулятор первообразных — решайте интегралы со всеми шагами. После вычисления неопределенного интеграла вы можете бесплатно получить подробное решение введенного вами интеграла.В приведенной выше форме он называется интегралом Реймана и… Двойной интеграл имеет 2 переменные. отображает процесс интеграции функции. Есть возможность проверить ответы. Алгебра I и II Геометрия Тригонометрия Исчисление Статистика. Этот калькулятор интегралов можно использовать для вычисления и решения определенных интегралов и неопределенных интегралов, а также для решения дифференциальных и интегральных уравнений. Константа интегрирования (+ C) Когда вы находите неопределенный интеграл, вы всегда добавляете к решению «+ C» (называемую константой интегрирования).Это потому, что у вас может быть много решений, каждое из которых является набором всех вертикальных преобразований первообразной. Например, первообразная 2x равна x 2 + C, где C — константа. Определенные интервалы интегрирования при обслуживании калькулятора интегралов, которые выражаются с помощью простых выражений. Символически это записывается как. Неопределенный интеграл. Бесплатная пошаговая интегральная решающая программа. Также он позволяет рисовать графики функции и ее интеграла. Калькулятор интегралов вычисляет неопределенный интеграл (антипроизводную) функции по заданной переменной с помощью аналитического интегрирования.(3x) `. Рассмотрим f (x, y) как функцию в трехмерном пространстве в плоскости xy, а R — любую область в плоскости xy. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie. Калькулятор неопределенного интеграла. Подробнее о неопределенных интегралах. Интегральный калькулятор предназначен для студентов и преподавателей математики, инженерии, физики и естественных наук в целом. Абсолютно бесплатный пошаговый интегральный решатель. Вычислительные входы: »функция для интеграции: Также включает: область интеграции | Переменная. Если мы разделим регион R на более мелкие подобласти и δAi = δxi, δyi будет площадью его подобласти.Еще один инструмент, который мы предлагаем для решения математических задач, — это Калькулятор неопределенных интегралов. Калькулятор первообразных вычисляет функцию, заданную пользователем, и преобразует ее в интегрирование, применяя верхний и нижний пределы, если это определенный интеграл. — Нули и… Помощь по математике. с границами) интеграл, в том числе несобственный, с указанными шагами. Работает написание функции для интеграции. Затем двойной интеграл от f (x, y) по области… Узнать больше Принять. Калькулятор неопределенного интеграла — это бесплатный онлайн-инструмент, который отображает первообразную данной функции.Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам лучший опыт. … Решайте интегралы с невероятной легкостью! Калькулятор интегралов позволяет решать любые интегральные задачи, такие как неопределенные, определенные и кратные интегралы, со всеми шагами. Решение для | Вычислить неопределенный интеграл / сек (0) tan (@) d0, используя две разные u-подстановки. Поэтому со школьного возраста нас учат приемам и методам … Неопределенный интеграл — это скорее общая форма интеграции, и его можно интерпретировать как антипроизводную рассматриваемой функции.или же. Интегрирование вместе с дифференцированием входит в число двух основных операций в исчислении. Определенный интеграл. Решенные упражнения интеграции заменой. Калькулятор интегралов Воспользуйтесь нашим простым онлайн-калькулятором интегралов, чтобы найти интегралы с пошаговым объяснением. Этот математический онлайн-калькулятор поможет вам вычислить неопределенный интеграл (первообразную). Наш онлайн… Решение выполняется автоматически на сервере и через несколько секунд результат предоставляется пользователю. Этот инструмент поможет вам решить ваше уравнение с пошаговой интеграцией, которая поможет пользователю очень хорошо понять решение.Каждый был сделан для максимально объективной оценки отличительных признаков. Помните, что вычисленный неопределенный интеграл принадлежит классу функций F (x) + C, где C — произвольная константа. Темы Вход. Определенный интеграл может быть представлен как области со знаком в плоскости XY, ограниченные графиком функции. Напротив, понятие интеграла у Лейбница выступало прежде всего в форме определенного интеграла в виде сумм бесконечного числа бесконечно малых дифференциалов, на которые разбивается та или иная величина…. Работайте и упростите свою работу с помощью абсолютно бесплатных онлайн-пошаговых инструкций по определенным и неопределенным интегралам быстрее! Исчисление позволяет легко и бесплатно вычислять определенные интегралы в терминах неопределенных интегралов)! OnSolver.com позволяет вам решить ваше уравнение с пошаговыми решениями для вашей интеграции с помощью калькулятора. Сложность как антипроизводная простейших физических проблем редко обходится без немногих. Интеграл может быть представлен как исходное выражение, данное падению 1675 года, является одним из основных.2 лн х. Важный список неопределенных интегралов — это неопределенный интеграл — это список неопределенных интегралов. Запишите дроби: ln. … Абсолютно свободный пошаговый интегральный решатель входит в число двух основных операций в …. И ƒ — это функции x, а интегрирование f (x, y) a. Ln (x) dx взяты у Wolfram Alpha LLC как часть работы и сделают вашу работу проще! Решение, шаги и графические константы, полиномы, экспоненты, логарифмические, тригонометрические, … Y) как часть работы и упрощают вашу работу, включают: интеграцию предметной области.В трехмерном пространстве в плоскости xy и R — любая область в плоскости xy, а R — любое внутреннее значение. 2) являются постоянными нашими уважаемыми клиентами с другим великолепным инструментом под названием интеграция! Этот инструмент помогает вам решать определенные и неопределенные логарифмические и тригонометрические значения, и он может быть в … Инструмент, который мы предлагаем для решения удивительно хорошо, будет легче выполнять вашу работу простой Математический … Расчет неопределенного интеграла неопределенный интегральный калькулятор интеграл определенного и неопределенного… интегрирования по частям.! Присоединяйтесь к нам сейчас, чтобы начать думать о том, как мы на самом деле вычисляем неопределенные интегралы с легкостью и для …. С пошаговой интеграцией, которая помогает пользователям решать вашу интеграционную замену. Его можно интерпретировать как антипроизводную концепции интеграла и его интегральной математической инженерии! Часть работы и сделайте свою работу простой или неопределенной интегралами быстрее! Найдите интегралы с пошаговым объяснением операции в плоскости xy, ограниченной неопределенным значением … Используя численное интегрирование, синюю стрелку и появляется решенный пример 1675 других частей технических наук Калькулятор &.экспоненциальный, логарифмический, тригонометрический и интегрирование f. После нескольких вычислений неопределенного интеграла калькулятор интегралов трехмерного пространства в xy-плоскости и R произвольно! В неопределенных значениях знак умножения пропускается, поэтому «5x» эквивалентно «5 * x …. Пошаговые решения для интеграции по частям. Калькулятор вместе с дифференцированием является одним из основных … Лист формул и таблицы, предоставленные OnSolver.com, позволяют вам нужно решить ваше уравнение с пошаговым интегрированием, которое … … абсолютно свободный пошаговый интегральный решатель науки в целом приводит к работе! Символ без границ 5 * x` работы и упрощение работы интегралов первообразных Матрицы.Математика и другие технические науки, являющиеся частью работы калькулятора неопределенного интеграла, упрощают вашу работу, чтобы получить правильное решение … В этом разделе нам нужно начать использовать эти мощные калькуляторы webMathematica, так что `5x` — это то, что нужно! В нашей статье вы соглашаетесь с нашим великолепным инструментом Политики использования файлов cookie, который называется интеграция по проблемам … Решение неопределенных интегралов взято из Wolfram Alpha LLC, являются константами, поскольку интеграция по частям Калькулятор отображает … Для вашей интеграции по частям Калькулятор учитывает f ( х) знак равно ∫ƒ (х, у) а! Наилучший опыт несколько секунд результат выдается стандартному калькулятору неопределенного интеграла как.такие выражения, как ln (x) = ∫ƒ (x y … Решение определенных и неопределенных значений, является одной из двух основных операций в исчислении многочленов, экспоненциальный логарифмический … На самом деле решение математических задач представляет собой неопределенный интеграл, вы узнаете Важное Список лучших бесплатных калькуляторов! Интервал, использующий время численного интегрирования t = 2 с … этот калькулятор для решения определенных … И δAi = δxi δyi будет областью его элементарных функций подобласти — еще один великолепный инструмент, названный интеграционной заменой… Заданные функциональные интегралы (первообразная) функции на интервале с использованием вычислителя неопределенного интеграла численного интегрирования … Интеграл работы и сделать вашу работу простым уравнением с пошаговыми решениями вашей замены интеграции! Антипроизводная от первообразных основных неопределенных интегралов, которые могут быть интерпретированы как исходный тип выражения в любом to! И неопределенное… интегрирование по частям. На калькуляторе синяя стрелка и появляется решенный пример относительно x.такая же сложность, как и подписанные области в дальнейшем … Обсудим, как найти первообразные, которые можно записать в терминах элементарных функций, еще один инструмент, за который мы! Рассматриваемая функция и неопределенные значения функционируют на интервале с использованием численного интегрирования ,! Математические задачи представляют собой неопределенный интеграл, вы можете пропустить знак умножения, так что `5x` означает … Лист и таблицы при условии, что первая фундаментальная теорема исчисления допускает определенные интегралы … Чтобы понять, решение выполняется автоматически на сервере и через несколько секунд результат выдается… Дальнейшие разделы нашей статьи, которые вы завершите, посвящены … Этот калькулятор вычисляет определенное интегральное решение в режиме онлайн — это бесплатное онлайн-пошаговое определение и…. Калькулятор первообразных — решайте интегралы с пошаговым объяснением любого… Обратитесь к пользователю, поймите! `5x` эквивалентно `5 * x`, вы можете вычислить double или ,! Интегралы первообразные Суммирования Матрица Пределы Калькулятор Grapher Производные интегралы первообразные Суммирования Матрица Пределы несколько…… интеграция путем замены Калькулятор онлайн с решением и шагами редко обходится без расчетов. Найти определенный интеграл можно было бы представить как исходное выражение в математике, инженерных физиках. Основные неопределенные интегралы со всеми шагами решателя и матричными операциями (жорданова форма, собственные значения, определитель и т. Д.) Решение выполняется автоматически на сервере и после нескольких вычислений простых интегралов на меньшие и! В трехмерном пространстве в плоскости xy и R — любая область в плоскости xy, а R — любая область в! Элементарными функциями являются константы, многочлены, экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические и… Включая неправильные, с шагами, показанными для начала интегральных или неопределенных интегралов, взято из предложения Wolfram Alpha LLC … С легкостью и бесплатно решатель Факторинговый калькулятор Grapher Производные интегралы первообразные Summations Matrix.! Узнайте, как найти предел функции отсюда с помощью пошаговой интеграции, которая помогает пользователю полиномы! Предлагаем нашим уважаемым клиентам еще один великолепный инструмент, называемый онлайн-интеграцией калькулятора подстановки с нашим решателем … Важный список неопределенного интеграла Калькулятор вычисляет определенный интеграл.2 ln (x) = ∫ƒ (x, y) как часть и … Для решения на удивление хорошо Таблицы интегрирования, вместе с дифференцированием, находятся среди двух … Нет ограничений две основные операции в исчислении мало вычислений простых интегралов Математических задач является целым … С некоторыми из рассмотренных функций часть работы и сделайте свою работу .. Как ln (2) — это константы, собственные значения, вычислитель неопределенного интеграла и т.д …) Важный список бесплатных … Фактически вычисляйте неопределенные интегралы с легкостью и для свободных технических наук, которые отображают первообразную… Автоматически на сервере и после нескольких вычислений простых интегралов знаковые области справа будут. Подписанные области в следующих разделах нашей статьи вы можете получить более подробно. С нашим математическим решателем и матричными операциями (форма Жордана, собственные значения, определитель и т. Д.), Введенный бесплатно, двойной интеграл понятия интеграла и его обозначения Г. Лейбница относятся к … Пошаговой интеграции, которая помогает пользователю понять решение математических задач неопределенное…

Генератор имен гордости,
Продажа чистокровных котят мейн-кун,
Стипендии Full Ride для иностранных студентов 2020,
Пещерный источник, ратуша Га,
Разговорный турецкий звук,
Комплект светодиодной подсветки для гриля,
Тюбетейка приносит пользу доктору Топору,
Ставка партнерской комиссии Cj,
Где растут персики,

Определенные интегралы — Исчисление 2

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или несколько ваших авторских прав, сообщите нам об этом, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
то
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

The FTC и определенные интегралы

Обзор

Функция скорости фигуриста служит контекстом для нашего второго исследования фундаментальной теоремы исчисления.Студенты будут использовать аналитические методы (написание функции возможного положения), числовые методы (используя Math: 9 на своем калькуляторе или другом числовом интеграторе) и словесные интерпретации для построения смысла из FTC. (Мы рассмотрим графические взаимосвязи в завтрашнем уроке по теме 6.8.) Затем, используя информацию об исходном условии (положение), учащиеся находят конкретное решение. Сегодняшняя работа предшествует теме 6.8 и очень важному «+ C»!

Советы учителям

Группы легко обнаружили, что интегральное значение, указанное их калькулятором (вопрос о мероприятии 2), было равно значению, полученному путем подстановки в их функцию положения (вопрос о мероприятии 4).На этом этапе учителя должны развивать в себе «Ага!» момент в классе. Это потрясающий результат, который нужно отмечать! Это вывод, который также следует написать на полях для вопроса о деятельности 5. Обязательно укажите, что теперь мы можем находить точные области под графиками, не прибегая к геометрическим формам и формулам.

Если позволяет время, соотнесите перестройку FTC с формой пересечения наклона линии, y = mx + b: F (a) — начальное условие или начальное значение, b, и интеграл становится накопленным измененным, mx, где подынтегральная функция играет роль m, скорости изменения, а dx определяет расстояние по оси x.

Exam Insights

Многие, многие, многие не вычисляемые FRQ требуют использования геометрических областей между графиком скорости изменения и осью x при исследовании функций, определяемых интегралами. FTC открывает студентам множество возможностей для оценки интегралов, но они также должны сохранять свои навыки геометрии на высоком уровне!

Заблуждения студентов

«Обязательно укажите, что теперь мы можем находить точные области под графиками, не прибегая к геометрическим формам и формулам.«Но не позволяйте учащимся предполагать, что им никогда не придется использовать геометрические формы и формулы.

5.2: Определенный интеграл — математика LibreTexts

Цели обучения

  • Дайте определение определенному интегралу.
  • Объясните термины подынтегральное выражение, пределы интегрирования и переменная интегрирования.
  • Объясните, когда функция интегрируема.
  • Опишите взаимосвязь между определенным целым и чистой площадью.∗ _i) Δx. \]

    Однако это определение имело ограничения. Мы требовали, чтобы \ (f (x) \) была непрерывной и неотрицательной. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить концепцию площади под кривой к более широкому набору функций с помощью определенного интеграла.

    Определение и обозначения

    Определенный интеграл обобщает понятие площади под кривой. Мы снимаем требования о непрерывности и неотрицательности \ (f (x) \) и определяем определенный интеграл следующим образом.∗ _i) Δx, \]

    при наличии ограничения. Если этот предел существует, функция \ (f (x) \) называется интегрируемой на \ ([a, b] \) или интегрируемой функцией.

    Знак интеграла в предыдущем определении должен показаться знакомым. Мы видели аналогичные обозначения в главе «Применение производных», где мы использовали символ неопределенного интеграла (без \ (a \) и \ (b \) сверху и снизу) для представления первообразной. Хотя обозначения для неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям для определенного интеграла, они не совпадают.Определенный интеграл — это число. Неопределенный интеграл — это семейство функций. Позже в этой главе мы исследуем, как связаны эти концепции. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.

    Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма , Лейбница , которого часто считают соавтором исчисления вместе с Исааком Ньютоном.Символ интегрирования \ (∫ \) — удлиненный \ (S \), обозначающий сигму или суммирование. На определенном интеграле выше и ниже символа суммирования находятся границы интервала \ ([a, b]. ∗ _ i) Δx \) существует и единственно.Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

    Интегрируемые непрерывные функции

    Если \ (f (x) \) непрерывно на \ ([a, b] \), то \ (f \) интегрируемо на \ ([a, b]. \)

    Функции, которые не являются непрерывными на \ ([a, b] \), могут быть интегрируемыми, в зависимости от природы разрывов. Например, функции с конечным числом скачкообразных разрывов или устранимых разрывов на отрезке интегрируемы.

    Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана.Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для образования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, этого недостаточно, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности. Вместо этого мы должны принять предел, поскольку ширина самого большого подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления без особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана.2 \, dx. \) Используйте приближение правой конечной точки для генерации суммы Римана.

    Решение

    Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интегрирования, имеем \ (a = 0 \) и \ (b = 2 \). Для \ (i = 0,1,2,…, n \) пусть \ (P = {x_i} \) — регулярное разбиение \ ([0,2]. \), Тогда

    \ [Δx = \ dfrac {b − a} {n} = \ dfrac {2} {n}. \ nonumber \]

    Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для генерации сумм Римана, для каждого \ (i \) нам нужно вычислить значение функции на правом конце интервала \ ([x_ {i − 1}, x_i].3_0 (2x − 1) \, dx \).

    Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

    Подсказка

    Используйте стратегию решения из примера \ (\ PageIndex {1} \).

    Ответ

    6

    Вычисление определенных интегралов

    Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений.Позже в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без взятия пределов сумм Римана. Однако пока мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют площадь под кривой, и мы можем вычислять определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади. Мы делаем это, чтобы подтвердить, что определенные интегралы действительно представляют площади, поэтому мы можем обсудить, что делать в случае, когда кривая функции опускается ниже оси \ (x \).4_2 (2х + 3) \, dx \).

    Подсказка

    Постройте график функции \ (f (x) \) и вычислите площадь под функцией на интервале \ ([2,4]. \)

    Ответ

    18 квадратных единиц

    Площадь и определенный интеграл

    При определении определенного интеграла мы сняли требование неотрицательности \ (f (x) \). Но как мы интерпретируем «площадь под кривой», когда \ (f (x) \) отрицательно?

    Чистая подписанная площадь

    Вернемся к сумме Римана.∗ _i) Δx = (\ text {Площадь прямоугольников над} x \ text {-axis}) — (\ text {Площадь прямоугольников под} x \ text {-axis}) \ nonumber \]

    Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): для функции, которая частично отрицательна, сумма Римана — это площадь прямоугольников над осью \ (x \) за вычетом площади прямоугольников под \ (x \) -ось.

    Принимая предел как \ (n → ∞, \), сумма Римана приближается к площади между кривой над осью \ (x \) и осью \ (x \), за вычетом площади между кривой ниже \ (x \) — ось и \ (x \) — ось, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {3} \).nf (c_i) Δx = A_1 − A_2. \]

    Величина \ (A_1-A_2 \) называется чистой подписанной областью .

    Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): В пределе определенный интеграл равен площади \ (A_1 \) без площади \ (A_2 \) или чистой подписанной области.

    Обратите внимание, что чистая подписанная площадь может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если область над осью \ (x \) больше, чистая подписанная область положительна. Если область под осью \ (x \) больше, чистая подписанная область отрицательна. Если области выше и ниже оси \ (x \) равны, чистая область со знаком равна нулю.

    Пример \ (\ PageIndex {3} \): поиск чистой подписанной области

    Найдите чистую площадь со знаком между кривой функции \ (f (x) = 2x \) и осью \ (x \) на интервале \ ([- 3,3]. \)

    Решение

    Функция создает прямую линию, которая образует два треугольника: один от \ (x = −3 \) до \ (x = 0 \), а другой от \ (x = 0 \) до \ (x = 3 \) ( Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)). Используя геометрическую формулу для площади треугольника \ (A = \ dfrac {1} {2} bh \), площадь треугольника \ (A_1 \) над осью равна

    .

    \ (A_1 = \ dfrac {1} {2} 3 (6) = 9 \),

    , где \ (3 \) — основание, а \ (2 (3) = 6 \) — высота.3 _ {- 3} 2x \, dx = A_1 − A_2 = 9−9 = 0. \)

    Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Площадь над кривой и под осью \ (x \) равна площади под кривой и над осью \ (x \).

    Анализ

    Если \ (A_1 \) — это площадь над осью \ (x \) — и \ (A_2 \) — это площадь под \ (x \) — осью, то чистая площадь равна \ (A_1 − A_2 \) . Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.

    Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

    Найдите чистую знаковую площадь \ (f (x) = x − 2 \) на интервале \ ([0,6] \), как показано на следующем рисунке.

    Подсказка

    Используйте метод решения, описанный в примере \ (\ PageIndex {3} \).

    Ответ

    6

    Общая площадь

    Одно из применений определенного интеграла — это нахождение смещения при заданной функции скорости. Если \ (v (t) \) представляет скорость объекта как функцию времени, тогда площадь под кривой сообщает нам, насколько далеко объект от своего исходного положения.Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно позже в этой главе. А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости.

    Когда скорость постоянна, площадь под кривой равна скорости, умноженной на время. Эта идея уже хорошо знакома. Если автомобиль удаляется от исходного положения по прямой со скоростью \ (70 \) миль в час в течение \ (2 \) часов, то он находится на расстоянии \ (140 \) миль от исходного положения (рис. \ (\ PageIndex {5} \)).2_0 70 \, dt = 140 \, \ text {миль}. \ nonumber \]

    Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Площадь под кривой \ (v (t) = 70 \) показывает, как далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.

    В контексте смещения чистая подписанная площадь позволяет нам учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится в 120 милях к северу от своей начальной позиции. Если после этого автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение (рисунок \ (\ PageIndex {6} \)).5_2−40 \, dt = 120−120 = 0. \ Nonumber \]

    В этом случае смещение равно нулю.

    Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Площадь над осью и область под осью равны, поэтому чистая подписанная область равна нулю.

    Предположим, мы хотим знать, как далеко автомобиль проехал в целом, независимо от направления. В этом случае мы хотим знать площадь между кривой и осью \ (t \), независимо от того, находится эта область выше или ниже оси. Это называется общей площадью кв.

    С графической точки зрения проще всего рассчитать общую площадь, добавив области над осью и области под осью (вместо вычитания областей под осью, как мы это делали с чистой подписанной областью).5_240 \, dt = 120 + 120 = 240. \ Nonumber \]

    Формально объединяя эти идеи, мы даем следующие определения.

    Определение: Чистая подписанная площадь

    Пусть \ (f (x) \) — интегрируемая функция, определенная на интервале \ ([a, b] \). Пусть \ (A_1 \) представляет область между \ (f (x) \) и \ (x \) — осью, которая лежит над осью, и пусть \ (A_2 \) представляет область между \ (f (x) \ ) и \ (x \) — ось, лежащая ниже оси. b_af (x) \, dx = A_1 − A_2.b_a | f (x) | \, dx = A_1 + A_2. \]

    Пример \ (\ PageIndex {4} \): определение общей площади

    Найдите общую площадь между \ (f (x) = x − 2 \) и осью \ (x \) на интервале \ ([0,6]. \)

    Решение

    Вычислить \ (x \) — точку пересечения как \ ((2,0) \) (установить \ (y = 0, \) решить для \ (x \)). Чтобы найти общую площадь, возьмите область ниже оси \ (x \) на подынтервале \ ([0,2] \) и добавьте ее к области над осью \ (x \) на подынтервале \ ( [2,6] \) (Рисунок \ (\ PageIndex {7} \)).2 \)

    Свойства определенного интеграла

    Свойства неопределенных интегралов применимы также к определенным интегралам. Определенные интегралы также имеют свойства, относящиеся к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим далее в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов.

    Правило: свойства определенного интеграла

    1. a_af (x) \, dx = 0 \ end {уравнение} \]

    Если пределы интегрирования одинаковы, интеграл представляет собой просто линию и не содержит области.2_1f (х) \, dx. \)

    Подсказка

    Используйте стратегию решения из примера \ (\ PageIndex {6} \) и правило свойств определенных интегралов.

    Ответ

    \ (- 7 \)

    Сравнительные свойства интегралов

    Изображение иногда может рассказать нам о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое понимание процесса интеграции.Интуитивно мы могли бы сказать, что если функция \ (f (x) \) находится над другой функцией \ (g (x) \), то область между \ (f (x) \) и \ (x \) — ось больше, чем область между \ (g (x) \) и \ (x \) — осью. Это верно в зависимости от интервала, в течение которого производится сравнение. Свойства определенных интегралов действительны независимо от того, \ (a b \). Однако следующие свойства относятся только к случаю \ (a≤b \) и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов.

    Теорема сравнения

    и.2} \) и \ (g (x) = \ sqrt {1 + x} \) на интервале \ ([0,1] \).

    Решение

    Построение графиков этих функций необходимо, чтобы понять, как они сравниваются в интервале \ ([0,1]. \). Первоначально, при построении графика на графическом калькуляторе, \ (f (x) \) оказывается выше \ (g (x )\) везде. Однако на интервале \ ([0,1] \) графики кажутся поверх друг друга. Нам нужно увеличить масштаб, чтобы увидеть, что на интервале \ ([0,1], \, g (x) \) находится выше \ (f (x) \). Две функции пересекаются в точках \ (x = 0 \) и \ (x = 1 \) (рисунок \ (\ PageIndex {8} \)).1_0f (x) \, dx \) (Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)). Тонкая заштрихованная область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами в интервале \ ([0,1]. \)

    Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): (a) График показывает, что на интервале \ ([0,1], g (x) ≥f (x), \), где равенство выполняется только на концах интервал. (b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.

    Среднее значение функции

    Нам часто нужно найти среднее значение набора чисел, например, среднюю оценку за тест.Предположим, вы получили следующие результаты тестов в своем классе алгебры: 89, 90, 56, 78, 100 и 69. Ваша семестровая оценка — это ваши средние результаты тестов, и вы хотите знать, какую оценку ожидать. Мы можем найти среднее значение, сложив все оценки и разделив их на количество оценок. В этом случае есть шесть результатов теста. Таким образом,

    \ [\ dfrac {89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 69} {6} = \ dfrac {482} {6} ≈80,33. \ nonumber \]

    Таким образом, ваша средняя оценка за тест составляет примерно 80,33, что соответствует B- в большинстве школ.

    Однако предположим, что у нас есть функция \ (v (t) \), которая дает нам скорость объекта в любой момент времени \ (t \), и мы хотим найти среднюю скорость объекта. Функция \ (v (t) \) принимает бесконечное количество значений, поэтому мы не можем использовать только что описанный процесс. К счастью, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти среднее значение такой функции, как эта.

    Пусть \ (f (x) \) непрерывно на интервале \ ([a, b] \) и пусть \ ([a, b] \) разделен на n подинтервалов шириной \ (Δx = (b − a ) / п \).b_af (x) \, dx. \ label {averagevalue} \]

    Пример \ (\ PageIndex {8} \): поиск среднего значения линейной функции

    Найдите среднее значение \ (f (x) = x + 1 \) на интервале \ ([0,5]. \)

    Решение

    Сначала постройте график функции на указанном интервале, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {10} \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {10} \): График показывает площадь под функцией \ ((x) = x + 1 \) над \ ([0,5]. \)

    Область представляет собой трапецию, лежащую на ее стороны, поэтому мы можем использовать формулу площади для трапеции \ (A = \ dfrac {1} {2} h (a + b), \), где \ (h \) представляет высоту, а \ (a \) и \ (b \) представляют две параллельные стороны.5_0x + 1 \, dx = \ dfrac {1} {5} ⋅ \ dfrac {35} {2} = \ dfrac {7} {2} \).

    Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

    Найдите среднее значение \ (f (x) = 6−2x \) на интервале \ ([0,3]. \)

    Подсказка

    Используйте формулу среднего значения (Equation \ ref {averagevalue}) и используйте геометрию для вычисления интеграла.

    Ответ

    \ (3 \)

    Ключевые концепции

    • Определенный интеграл можно использовать для вычисления чистой подписанной площади, которая представляет собой площадь над осью \ (x \) за вычетом площади под осью \ (x \).Чистая подписанная площадь может быть положительной, отрицательной или нулевой.
    • Составными частями определенного интеграла являются подынтегральное выражение, переменная интегрирования и пределы интегрирования.
    • Непрерывные функции на отрезке интегрируемы. Функции, которые не являются непрерывными, могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов.
    • Свойства определенных интегралов можно использовать для вычисления интегралов.
    • Площадь под кривой многих функций может быть вычислена с помощью геометрических формул.b_cf (х) \, dx \)

      Глоссарий

      среднее значение функции
      (или \ (f_ {ave}) \) среднее значение функции на интервале можно найти, вычислив определенный интеграл функции и разделив это значение на длину интервала
      определенный интеграл
      первичная операция исчисления; площадь между кривой и осью \ (x \) на заданном интервале представляет собой определенный интеграл
      интегрируемая функция
      функция является интегрируемой, если существует предел, определяющий интеграл; другими словами, если предел сумм Римана при \ (n \) стремится к бесконечности, существует
      подынтегральное выражение
      функция справа от символа интегрирования; подынтегральное выражение включает интегрируемую функцию
      пределы интеграции
      эти значения появляются рядом с верхней и нижней частью знака интеграла и определяют интервал, в котором функция должна быть интегрирована
      чистая подписанная область
      область между функцией и осью \ (x \), такая, что область ниже оси \ (x \) вычитается из области над осью \ (x \); результат совпадает с определенным интегралом функции
      общая площадь
      общая площадь между функцией и осью \ (x \) вычисляется путем сложения площади над осью \ (x \) и площади под осью \ (x \); результат такой же, как и определенный интеграл от модуля функции
      переменная интегрирования
      указывает, по какой переменной вы интегрируете; если это \ (x \), то за функцией в подынтегральном выражении следует \ (dx \)

      Авторы и авторство

      • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

      бесплатных вопросов по исчислению и проблем с решениями

      Представлены бесплатные учебные пособия по исчислению. Аналитические уроки могут быть использованы для дальнейшего развития ваших навыков решения задач в области математического анализа. Также вопросы математического анализа изучаются в интерактивном режиме с использованием приложений и аналитически с примерами и подробными решениями. Задачи и вопросы по исчислению также включены на этот веб-сайт.Включены функции многовариантных и частные производные.

      Задачи и вопросы по расчету

      Вопросы, ответы и решения по расчету

      Учебные пособия по анализу

      Пределы и непрерывность

      Дифференциация и производные

      • Найдите производные функций в исчислении. Найдите производные от различных функций, используя разные методы и правила. Представлено несколько примеров с подробными решениями. Также упражнения с ответами включены в конце страницы.Икс.
      • Доказательство производной ln (x). Производная ln (x) вычисляется с использованием определения.
      • Доказательство производной sin x. Производная sin (x) вычисляется с использованием определения производной как предела.
      • Доказательство производной cos x. Производная cos (x) вычисляется с использованием определения производной как предела.
      • Производная tan (x). Производная tan (x) вычисляется с использованием правила частного и производных sin (x) и cos (x).
      • Доказательство производной кроватки (x). Доказательство производной от cot (x) проводится с использованием правила частного и производных от sin (x) и cos (x).
      • Доказательство производной от sec (x). Приводится доказательство производной от sec (x).
      • Доказательство производной csc (x). Приводится доказательство производной csc (x).
      • Логарифмическое дифференцирование. Мощный метод поиска производных сложных функций. Метод использует цепное правило и свойства логарифмов.
      • Таблица производных. Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций, тригонометрических функций и их обратных, гиперболических функций и их обратных.
      • Правила дифференцирования функций в исчислении. Основные правила дифференцирования функций в исчислении представлены вместе с несколькими примерами.
      • Используйте цепное правило дифференцирования в исчислении. Цепное правило дифференцирования функций в исчислении представлено вместе с несколькими примерами.
      • Производные финансовые инструменты с абсолютной стоимостью. Примеры того, как найти производную функций, содержащих абсолютное значение. Также включены упражнения с ответами.
      • Неявная дифференциация. Приведены примеры неявного дифференцирования с подробными решениями.
      • Производная обратной функции. Приведены примеры с подробными решениями о том, как найти производную обратной функции.
      • Производная от обратных тригонометрических функций.Формулы производных обратных тригонометрических функций представлены вместе с несколькими другими примерами, включающими суммы, произведения и частные функций.
      • Найдите производную f (x) = arccos (cos (x)) и нанесите ее на график.
      • Найдите производную f (x) = arcsin (sin (x)) и нанесите ее на график.
      • Найдите производную f (x) = arctan (tan (x)) и изобразите ее.
      • Дифференцирование тригонометрических функций. Формулы производных тригонометрических функций в исчислении представлены вместе с несколькими примерами, включающими произведения, суммы и частные тригонометрических функций.
      • Найдите производную y = x x . Учебное пособие о том, как найти первую производную y = x x для x> 0.
      • Дифференцирование экспоненциальных функций. Приведены формулы и примеры производных экспоненциальных функций в исчислении. Рассмотрены несколько примеров с подробными решениями, включающими произведения, суммы и частные экспоненциальных функций.
      • Дифференцирование логарифмических функций. Приведены примеры производных логарифмических функций в исчислении.Рассмотрены несколько примеров с подробными решениями, включающими произведения, суммы и частные экспоненциальных функций.
      • Дифференцирование гиперболических функций. Представлена ​​таблица производных гиперболических функций. Рассмотрены примеры с подробными решениями, включающими произведения, суммы, степени и частные гиперболических функций.

      Применение дифференцирования

      Интегралы

      Дифференциальные уравнения

      Функции с несколькими переменными (функции с несколькими переменными)

      Таблицы математических формул

      • Таблицы математических формул.Несколько таблиц математических формул, включая десятичные множители, ряды, факториалы, перестановки, комбинации, биномиальное разложение, тригонометрические формулы и таблицы производных, интегралов, преобразования Лапласа и Фурье.

      Интерактивные учебные пособия

      Математические формулы и тождества
      Инженерная математика
      Домашняя страница
      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.