Как упростить дробное выражение со степенями: Упрощение выражений · Калькулятор Онлайн

Содержание

выражение со степенями

Вы искали выражение со степенями? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и выражения со степенями, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «выражение со степенями».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как выражение со степенями,выражения со степенями,выражения со степенями примеры решения,вычисление со степенями,как найти значение выражения со степенями,как решать выражения со степенями,как решать с степенями примеры,как решать со степенью примеры,как решать со степенями,как решать со степенями примеры,как решать степенные выражения,как решать степень,как решить выражение со степенями,как решить пример со степенями,как упростить выражение со степенями,найдите значение выражения со степенями,найти значение выражения с дробями и степенями,найти значение выражения со степенями,найти значения выражения со степенями,пример решить со степенями,примеров со степенью решение,примеры с степенями как решать,примеры со степенями 7 класс с решениями,примеры со степенями 9 класс с решениями,примеры со степенями как решать,решение выражений со степенями,решение дробей с степенями,решение дробей со степенями,решение примеров с дробными степенями,решение примеров с степенями,решение примеров со степенью,решение примеров со степенями,решение примеров со степенями 7 класс,решение с степенями примеров,решение со степенями,решение степеней,решить пример со степенями,сложение дробей со степенями,сократить выражение со степенями,степенные выражения как решать,степень как решать,упростите выражение 7 класс алгебра примеры со степенями,упростите выражение 7 класс алгебра со степенями примеры,упростите выражение с дробями и степенями,упростите выражение со степенями,упростить выражение со степенями,упрощение выражений со степенями,упрощение дробей со степенями. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и выражение со степенями. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, выражения со степенями примеры решения).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же выражение со степенями Онлайн?

Решить задачу выражение со степенями вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Решение примеров со степенями. Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Разделы:
Математика

Тип урока:
урок обобщения и систематизации знаний

Цели:

  • обучающие
    – повторить определение степени, правила умножения и деления степеней, возведения степени в степень, закрепить умения решения примеров, содержащих степени,
  • развивающие
    – развитие логического мышления учащихся, интереса к изучаемому материалу,
  • воспитывающие
    – воспитание ответственного отношения к учебе, культуры общения, чувства коллективизма.
  • Оборудование:
    компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, презентация “Степени” для устного счета, карточки с заданиями, раздаточный материал.

    План урока:

  • Организационный момент.
  • Повторение правил
  • Устный счет.
  • Историческая справка.
  • Работа у доски.
  • Физкультминутка.
  • Работа на интерактивной доске.
  • Самостоятельная работа.
  • Домашнее задание.
  • Подведение итогов урока.
  • Ход урока

    I. Организационный момент

    Сообщение темы и целей урока.

    На предыдущих уроках вы открыли для себя удивительный мир степеней, научились умножать и делить степени, возводить их в степень. Сегодня мы должны закрепить полученные знания при решении примеров.

    II. Повторение правил
    (устно)

    1. Дайте определение степени с натуральным показателем? (Степенью числа а
      с натуральным показателем, большим 1, называется произведение n
      множителей, каждый из которых равен а
      .)
    2. Как умножить две степени? (Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели сложить.)
    3. Как разделить степень на степень? (Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели вычесть.)
    4. Как возвести произведение в степень? (Чтобы возвести произведение в степень, надо каждый множитель возвести в эту степень)
    5. Как возвести степень в степень? (Чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить тем же, а показатели перемножить)
    6. III. Устный счет
      (по мультимедиа)

      IV. Историческая справка

      Все задачи из папируса Ахмеса, который записан около 1650 года до н. э. связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, здесь присутствует и возведение в разные степени, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

      Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления. Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём обобщений и догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, и даже владели зачатками алгебры.

      V. Работа у доски

      Найдите значение выражения рациональным способом:

      Вычислите значение выражения:

      VI. Физкультминутка

    7. для глаз
    8. для шеи
    9. для рук
    10. для туловища
    11. для ног
    12. VII. Решение задач
      (с показом на интерактивной доске)

      Является ли корень уравнения положительным числом?

      xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

      Формулы степеней и корней.

      Формулы степеней
      используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

      Число c
      является n
      -ной степенью числа a
      когда:

      Операции со степенями.

      1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

      2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

      3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

      (abc…) n = a n · b n · c n …

      4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

      5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

      Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

      Операции с корнями.

      1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

      2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

      3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

      4. Если увеличить степень корня в n
      раз и в тоже время возвести в n
      -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

      5. Если уменьшить степень корня в n
      раз и в тоже время извлечь корень n
      -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

      Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

      Формулу a m
      :a n =a m — n
      можно использовать не только при m
      > n
      , но и при m
      4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

      Чтобы формула a m
      :a n =a m — n
      стала справедливой при m=n
      , нужно присутствие нулевой степени.

      Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

      Чтобы возвести действительное число а
      в степень m/n
      , необходимо извлечь корень n
      –ой степени из m
      -ой степени этого числа а
      :

      Формулы степеней.

      6.
      a

      n
      =
      — деление степеней;

      7.
      — деление степеней;

      8. a 1/n =
      ;

      Степени правила действия со степенями

      1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (с тем же показателем):

      (abc…) n = a n b n c n …

      Пример 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Пример 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x — a)] 3 =(x +a) 3 (x — a) 3

      Практически более важно обратное преобразование:

      a n b n c n … = (abc…) n

      т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

      Пример 3. Пример 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

      2. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

      Пример 5. Пример 6.

      Обратное преобразование:. Пример 7.. Пример 8..

      3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

      Пример 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Пример 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5 .

      4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого

      Пример 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Пример 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

      5. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

      Пример 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Пример 14.

      www.maths.yfa1.ru

      Степени и корни

      Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным
      ,

      нулевым и дробным
      показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

      Операции со степенями.

      1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

      a m
      · a n = a m + n .

      2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели
      вычитаются
      .

      3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

      4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

      (a / b
      ) n = a n / b n .

      5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

      Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

      П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² =
      2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

      Операции с корнями.

      Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень
      (подкоренное выражение положительно).

      1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

      2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

      3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень
      подкоренное число:

      4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

      5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:


      Расширение понятия степени.

      До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным
      , нулевым
      и дробным
      показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

      Степень с отрицательным показателем.

      Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

      Т еперь формула a m
      : a n
      = a m — n
      может быть использована не только при m
      , большем, чем n
      , но и при m
      , меньшем, чем n
      .

      П р и м е р. a
      4: a
      7 = a
      4 — 7 = a
      — 3 .

      Если мы хотим, чтобы формула a m
      : a n
      = a m
      n
      была справедлива при m = n
      , нам необходимо определение нулевой степени.

      Степень с нулевым показателем.

      Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

      П р и м е р ы. 2 0 = 1, (
      5) 0 = 1, (
      3 / 5) 0 = 1.

      Степень с дробным показателем.

      Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:

      О выражениях, не имеющих смысла.

      Есть несколько таких выражений.

      где a
      ≠ 0 , не существует.

      В самом деле, если предположить, что x
      – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a
      = 0· x
      , т.e. a
      = 0, что противоречит условию: a
      ≠ 0

      любое число.

      В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x
      , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x
      . Но это равенство имеет место при любом числе x
      , что и требовалось доказать.

      0 0 — любое число.

      Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

      1) x
      = 0
      это значение не удовлетворяет данному уравнению

      2) при x
      > 0 получаем: x / x
      = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

      что x
      – любое число; но принимая во внимание, что в

      нашем случае x
      > 0 , ответом является x
      > 0 ;

      Свойства степени

      Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней
      с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

      Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

      Свойство № 1

      Произведение степеней

      При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

      a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

      Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

    • Упростить выражение.
      b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
    • Представить в виде степени.
      6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
    • Представить в виде степени.
      (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
    • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями
      . Оно не относится к их сложению.

      Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
      посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

      Свойство № 2

      Частное степеней

      При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    • Записать частное в виде степени
      (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
    • Вычислить.

    11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8: t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

    Пример. Упростить выражение.
    4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3

    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

  • Пример.
    (a 4) 6 = a 4 · 6 = a 24
  • Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 3 2 .
  • По свойству возведения степени в степень
    известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

    Свойства 4

    Степень произведения

    При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.

    (a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.

    • Пример 1.
      (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
    • Пример 2.
      (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6
    • Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

      (a n · b n)= (a · b) n

      То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

    • Пример. Вычислить.
      2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
    • Пример. Вычислить.
      0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
    • В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

      Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

      Пример возведения в степень десятичной дроби.

      4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

      Свойства 5

      Степень частного (дроби)

      Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

      (a: b) n = a n: b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

    • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
      (5: 3) 12 = 5 12: 3 12
    • Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Что представляют собой степенные выражения?

    В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

    Определение 1

    Степенное выражение
    – это выражение, которое содержит степени.

    Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

    Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . А также степени с нулевым показателем: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . И степени с целыми отрицательными степенями: (0 , 5) 2 + (0 , 5) — 2 2 .

    Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 264 1 4 — 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 — 2 2 — 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 — 2 · a — 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 — π , 2 3 3 + 5 .

    В качестве показателя может выступать переменная 3 x — 54 — 7 · 3 x — 58 или логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x
    .

    С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

    Основные виды преобразований степенных выражений

    В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

    Пример 1

    Вычислите значение степенного выражения 2 3 · (4 2 − 12)
    .

    Решение

    Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 2 3 · (4 2 − 12) = 2 3 · (16 − 12) = 2 3 · 4
    .

    Нам остается заменить степень 2 3
    ее значением 8
    и вычислить произведение 8 · 4 = 32
    . Вот наш ответ.

    Ответ:
    2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

    Пример 2

    Упростите выражение со степенями 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7
    .

    Решение

    Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1
    .

    Ответ:
    3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

    Пример 3

    Представьте выражение со степенями 9 — b 3 · π — 1 2 в виде произведения.

    Решение

    Представим число 9 как степень 3 2
    и применим формулу сокращенного умножения:

    9 — b 3 · π — 1 2 = 3 2 — b 3 · π — 1 2 = = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1

    Ответ:
    9 — b 3 · π — 1 2 = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1 .

    А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.

    Работа с основанием и показателем степени

    Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7
    и . Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

    Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

    Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 можно выполнить действия для перехода к степени 4 , 1 1 , 3
    . Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)
    и получить степенное выражение более простого вида a 2 · (x + 1)
    .

    Использование свойств степеней

    Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a
    и b
    – это любые положительные числа, а r
    и s
    — произвольные действительные числа:

    Определение 2

    • a r · a s = a r + s ;
    • a r: a s = a r − s ;
    • (a · b) r = a r · b r ;
    • (a: b) r = a r: b r ;
    • (a r) s = a r · s .

    В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство a m · a n = a m + n
    , где m
    и n
    – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a , как положительных, так и отрицательных, а также для a = 0
    .

    Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

    При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

    Пример 4

    Представьте выражение a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5
    в виде степени с основанием a
    .

    Решение

    Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a 2) − 3
    . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

    a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

    Ответ:
    a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

    Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

    Пример 5

    Найти значение степенного выражения 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

    Решение

    Если мы применим равенство (a · b) r = a r · b r
    , справа налево, то получим произведение вида 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и дальше 21 1 3 · 21 2 3 . Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

    Есть еще один способ провести преобразования:

    3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

    Ответ:
    3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

    Пример 6

    Дано степенное выражение a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6
    , введите новую переменную t = a 0 , 5
    .

    Решение

    Представим степень a 1 , 5
    как a 0 , 5 · 3
    . Используем свойство степени в степени (a r) s = a r · s
    справа налево и получим (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t = a 0 , 5
    : получаем t 3 − t − 6
    .

    Ответ:
    t 3 − t − 6 .

    Преобразование дробей, содержащих степени

    Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

    Пример 7

    Упростить степенное выражение 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 .

    Решение

    Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

    3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 3 · 5 2 3 · 5 — 2 3 — 2 — x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 — 3 · 5 2 3 + — 2 3 — 2 — x 2 = 3 · 5 1 — 3 · 5 0 — 2 — x 2

    Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12 — 2 — x 2 = — 12 2 + x 2

    Ответ:
    3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = — 12 2 + x 2

    Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

    Пример 8

    Приведите дроби к новому знаменателю: а) a + 1 a 0 , 7 к знаменателю a
    , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 к знаменателю x + 8 · y 1 2 .

    Решение

    а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a 0 , 7 · a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a ,
    следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a 0 , 3
    . Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a 0 , 3
    не обращается в нуль.

    Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a 0 , 3
    :

    a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a

    б) Обратим внимание на знаменатель:

    x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 — x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2

    Умножим это выражение на x 1 3 + 2 · y 1 6 , получим сумму кубов x 1 3 и 2 · y 1 6 , т.е. x + 8 · y 1 2 . Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.

    Так мы нашли дополнительный множитель x 1 3 + 2 · y 1 6 . На области допустимых значений переменных x
    и y
    выражение x 1 3 + 2 · y 1 6 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
    1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2

    Ответ:
    а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

    Пример 9

    Сократите дробь: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 .

    Решение

    а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15 . Также мы можем произвести сокращение на x 0 , 5 + 1
    и на x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 .

    Получаем:

    30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1)

    б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

    a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 2 — b 1 2 2 = = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 — b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

    Ответ:
    а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

    К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

    Пример 10

    Выполните действия x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

    Решение

    Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

    x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1

    Вычтем числители:

    x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 — x 1 2 — 1 · x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 — 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 — x 1 2 — 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 — x 1 2 2 — 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2

    Теперь умножаем дроби:

    4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

    Произведем сокращение на степень x 1 2
    , получим 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 .

    Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 — 1 2 = 4 x — 1 .

    Ответ:
    x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x — 1

    Пример 11

    Упростите степенное выражение x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
    Решение

    Мы можем произвести сокращение дроби на (x 2 , 7 + 1) 2
    . Получаем дробь x 3 4 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 .

    Продолжим преобразования степеней икса x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 — — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 , 7 + 1 .

    Переходим от последнего произведения к дроби x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

    Ответ:
    x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

    Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x + 1) — 0 , 2 3 · x — 1 можно заменить на x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

    Преобразование выражений с корнями и степенями

    В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

    Пример 12

    Представьте выражение x 1 9 · x · x 3 6 в виде степени.

    Решение

    Область допустимых значений переменной x
    определяется двумя неравенствами x ≥ 0
    и x · x 3 ≥ 0 , которые задают множество [ 0 , + ∞)
    .

    На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:

    x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

    Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

    x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

    Ответ:
    x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

    Преобразование степеней с переменными в показателе

    Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 5 2 · x + 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x − 1 = 0
    .

    Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

    5 2 · x · 5 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x · 7 − 1 = 0 , 5 · 5 2 · x − 3 · 5 x · 7 x − 2 · 7 2 · x = 0 .

    Теперь поделим обе части равенства на 7 2 · x
    . Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

    5 · 5 — 3 · 5 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0

    Сократим дроби со степенями, получим: 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x 7 x — 2 = 0 .

    Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5 · 5 7 2 · x — 3 · 5 7 x — 2 = 0 , которое равносильно 5 · 5 7 x 2 — 3 · 5 7 x — 2 = 0 .

    Введем новую переменную t = 5 7 x , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

    Преобразование выражений со степенями и логарифмами

    Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 1 4 1 — 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 — log 3 5) · log 5 3 . Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Степень используется для упрощения записи операции умножения числа само на себя. Например, вместо записи можно написать 4 5 {\displaystyle 4^{5}}

    (объяснение такому переходу дано в первом разделе этой статьи).{a}ix=cosax+isinax}
    , где i = (− 1) {\displaystyle i={\sqrt {(}}-1)}
    ; е — константа, примерно равная 2,7; а — произвольная постоянная. Доказательство этого равенства можно найти в любом учебнике по высшей математике.

    Предупреждения

    • При увеличении показателя степени ее значение сильно возрастает. Поэтому если ответ кажется вам неправильным, на самом деле он может оказаться верным. Вы можете проверить это, построив график любой показательной функции, например, 2 x .

    Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

    В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

    Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

    Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

    Онлайн-калькулятор возведения в степень

    Что такое степень числа

    Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

    Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

    Математически это выглядит следующим образом:

    a n = a * a * a * …a n .

    Например:

    • 2 3 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
    • 4 2 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
    • 5 4 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
    • 10 5 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
    • 10 4 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

    Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

    Таблица степеней от 1 до 10

    Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

    Ч-ло
    2-ая ст-нь
    3-я ст-нь
    1
    1
    1
    2
    4
    8
    3
    9
    27
    4
    16
    64
    5
    25
    125
    6
    36
    216
    7
    49
    343
    8
    64
    512
    9
    81
    279
    10
    100
    1000

    Свойства степеней

    Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

    Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

    • a n * a m = (a) (n+m) ;
    • a n: a m = (a) (n-m) ;
    • (a b) m =(a) (b*m) .

    Проверим на примерах:

    2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

    Аналогично: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Иначе 2 3-2 = 2 1 =2.

    (2 3) 2 = 8 2 = 64. А если по-другому? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

    Как видим, правила работают.

    А как же быть со сложением и вычитанием
    ? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

    Посмотрим на примерах:

    • 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
    • 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3) 2 = 2 2 = 4.

    А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

    Как производить вычисления в более сложных случаях
    ? Порядок тот же:

    • при наличии скобок – начинать нужно с них;
    • затем возведение в степень;
    • потом выполнять действия умножения, деления;
    • после сложение, вычитание.

    Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

    1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: a m / n .
    2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
    3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b) n = a n * b n .
    4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
    5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
    6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

    Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

    Степень с отрицательным показателем

    Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

    Исходя из свойств 4 и 5
    (смотри пункт выше), получается
    :

    A (- n) = 1 / A n , 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

    И наоборот:

    1 / A (- n) = A n , 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

    А если дробь?

    (A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

    Степень с натуральным показателем

    Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

    Что нужно запомнить:

    A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…и т. д.

    A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…и т. д.

    Кроме того, если (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

    Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

    Дробная степень

    Этот вид можно записать схемой: A m / n . Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

    С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

    Степень с иррациональным показателем

    Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

    Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

    • А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;

    А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рациональные числа;

    В этом случае наоборот: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

    Например, показатель степени число π.
    Оно рациональное.

    r 1 – в этом случае равно 3;

    r 2 – будет равно 4.

    Тогда, при А = 1, 1 π = 1.

    А = 2, то 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

    А = 1/2, то (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

    Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

    Заключение

    Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

    Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

    На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

    Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

    Произведение числа a
    само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

    1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

    3. a n a m = a n + m

    4. (a n) m = a nm

    5. a n b n = (ab) n

    7. a n /a m = a n — m

    Степенные или показательные уравнения
    – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

    Примеры показательных уравнений:

    В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x
    степенью или показателем.

    Приведем еще примеры показательных уравнений.
    2 x *5=10
    16 x — 4 x — 6=0

    Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

    Возьмем простое уравнение:

    2 х = 2 3

    Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
    А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

    2 х = 2 3
    х = 3

    Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания
    (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

    Теперь подведем итоги нашего решения.

    Алгоритм решения показательного уравнения:

    1. Нужно проверить одинаковые
    ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
    2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем
    степени и решаем полученное новое уравнение.

    Теперь прорешаем несколько примеров:

    Начнем с простого.

    Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

    x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
    x=4 — 2
    x=2
    Ответ: x=2

    В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

    3 3х — 9 х+8 = 0

    Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

    Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

    3 3х = (3 2) х+8

    Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

    3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

    3x=2x+16 получили простейшее уравнение
    3x — 2x=16
    x=16
    Ответ: x=16.

    Смотрим следующий пример:

    2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

    В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

    4 х = (2 2) х = 2 2х

    И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

    2 2х+4 = 2 2х 2 4

    Добавляем в уравнение:

    2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

    Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

    2 2х (2 4 — 10) = 24

    Посчитаем выражение в скобках:

    2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

    Все уравнение делим на 6:

    Представим 4=2 2:

    2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
    2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
    х = 1
    Ответ: х = 1.

    Решим уравнение:

    9 х – 12*3 х +27= 0

    Преобразуем:
    9 х = (3 2) х = 3 2х

    Получаем уравнение:
    3 2х — 12 3 х +27 = 0

    Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены
    . Число с наименьшей степенью заменяем:

    Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

    Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

    t 2 — 12t+27 = 0
    Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
    D=144-108=36
    t 1 = 9
    t 2 = 3

    Возвращаемся к переменной x
    .

    Берем t 1:
    t 1 = 9 = 3 х

    Стало быть,

    3 х = 9
    3 х = 3 2
    х 1 = 2

    Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
    t 2 = 3 = 3 х
    3 х = 3 1
    х 2 = 1
    Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

    На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

    Вступайте в группу

    Упрощение выражений, содержащих корни и степени

    При упрощении выражений, содержащих корни и степени, прежде чем воспользоваться свойствами степени,  полезно совершить такие предварительные действия:

    1. Записать корни в виде степени. Для этого нужно воспользоваться следующим  свойством:

    2. Десятичную дробь записать в виде обыкновенной.

    Например: 

    3. Смешанные числа записать в виде неправильных дробей.

    Например: 

    4. Разложить основания степеней на простые множители. Или, по крайней мере, разложить на множители так, чтобы количество различных оснований было минимальным.

    Решим несколько задач из Задания В11 из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике , воспользовавшись этим правилом.

    1. Задание В10 ( 26745) Найдите значение выражения .

    Запишем корни в виде степени и воспользуемся свойствами степеней с одинаковым основанием:

    Ответ: 1.

    2. Задание В10 ( 26748) Найдите значение выражения  

    Разложим число 10 в знаменателе дроби на простые множители и воспользуемся свойствами степеней:

    Ответ: 5.

    3.  Задание В10( 26749) Найдите значение выражения   .

    Представим число 0,8 в виде обыкновенной дроби, разложим число 20 на  множители и воспользуемся свойствами степеней:

    Ответ: 20.

    4. Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения  .

    Разложим число 42 на множители и воспользуемся свойствами степеней.

     

    Ответ: 42.

    5Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения  при  .

    1. Запишем корни в виде степени:

    2. Воспользуемся свойствами степени, получим:

    Ответ: 0,25

    Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
    Firefox

    И.В. Фельдман, репетитор по математике.

    Преобразования выражений, содержащих степень с дробным показателем

     

    Выражением вида a(m/n), где n – некоторое натуральное число, m – некоторое целое число и основание степени а больше нуля, называется степень с дробным показателем. Причем верным является следующее равенство.  n√(am) = a(m/n).

    Как мы уже знаем, числа вида m/n, где n – некоторое натуральное число, а m – некоторое целое число, называют дробными или рациональными числами. Из всего вышесказанного получаем, что степень определена, для любого рационального показателя степени и любого положительного основания степени.

    Для любых рациональных чисел p,q и любых a>0 и b>0 верны следующие равенства:

    • 1. (ap)*(aq) = a(p+q)
    • 2.  (ap):(bq) = a(p-q)
    • 3. (ap)q = a(p*q)
    • 4. (a*b)p = (ap)*(bp)
    • 5. (a/b)p = (ap)/(bp)

    Данные свойства широко используются при преобразовании различных выражений, где содержатся степени с дробными показателями.

    Примеры преобразований выражений, содержащих степень с дробным показателем

    Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение этих свойств для преобразования выражений.

    1. Вычислить 7(1/4) * 7(3/4).

    • 7(1/4) * 7(3/4) = z(1/4 + 3/4) = 7.

    2. Вычислить 9(2/3) : 9(1/6).

    • 9(2/3) : 9(1/6) = 9(2/3 — 1/6) = 9(1/2) = √9 = 3.

    3. Вычислить (16(1/3))(9/4).

    • (16(1/3))(9/4) = 16((1/3)*(9/4))=16(3/4) = (24)(3/4) = 2(4*3/4) = 23 = 8.

    4. Вычислить 24(2/3).

    • 24(2/3) = ((23)*3)(2/3) = (2(2*2/3))*3(2/3) = 4*3√(32)=4*3√9.

    5. Вычислить (8/27)(1/3).

    • (8/27)(1/3) = (8(1/3))/(27(1/3)) = ((23)(1/3))/((33)(1/3))= 2/3.

    6. Упростить выражение ((a(4/3))*b + a*b(4/3))/(3√a + 3√b)

    • ((a(4/3))*b + a*b(4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a(1/3) + b(1/3)))/(1/3) + b(1/3)) = a*b.

    7. Вычислить (25(1/5))*(125(1/5)).

    • (25(1/5))*(125(1/5)) =(25*125)(1/5) = (55)(1/5) = 5.

    8. Упростить выражение 

    • (a(1/3) – a(7/3))/( a(1/3) – a(4/3)) – (a(-1/3) – a(5/3))/(a(2/3) + a(-1/3)).
    • (a(1/3) – a(7/3))/( a(1/3) – a(4/3)) – (a(-1/3) – a(5/3))/(a(2/3) + a(-1/3)) =
    • = ((a(1/3))*(1-a2))/((a(1/3))*(1-a)) — ((a(-1/3))*(1-a2))/ ((a(-1/3))*(1+a)) = 
    • = 1 +a – (1-a) = 2*a.

    Как видите используя эти свойства, можно значительно упростить некоторые выражения, которые содержат степени с дробными показателями.

    Нужна помощь в учебе?

    Предыдущая тема: Определение степени с дробным показателем: доказательство и особенности
    Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspОпределение синуса, косинуса, тангенса и котангенса и примеры

    Как найти значение выражения со степенями

    Формулировка задачи: Найдите значение выражения (степени, с разными основаниями).

    Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 2 (Действия со степенями).

    Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

    Пример задачи 1:

    Найдите значение выражения 8 0,76 ∙ 64 0,12 .

    Найдем значение выражения. Для этого приведем числа к одинаковому основанию и выполним необходимые действия:

    Пример задачи 2:

    Найдите значение выражения:

    Найдем значение выражения. Для этого приведем числа к одинаковому основанию и выполним необходимые действия:

    Пример задачи 3:

    Найдите значение выражения 35 -4,7 ∙ 7 5,7 : 5 -3,7 .

    Найдем значение выражения. Для этого приведем числа к одинаковому основанию и выполним необходимые действия:

    Пример задачи 4:

    Найдите значение выражения:

    Найдем значение выражения. Для этого приведем числа к одинаковому основанию и выполним необходимые действия:

    Поделитесь статьей с одноклассниками «Найдите значение выражения (степени, с разными основаниями) – как решать».

    Есть другой способ решения?

    Предложите другой способ решения задачи «Найдите значение выражения (степени, с разными основаниями)». Возможно, он окажется более понятным для кого-нибудь:

    Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

    Что представляют собой степенные выражения?

    В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

    Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

    Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

    Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 3 2 , 7 5 + 1 , ( 2 + 1 ) 5 , ( − 0 , 1 ) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , ( a 2 ) 3 . А также степени с нулевым показателем: 5 0 , ( a + 1 ) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . И степени с целыми отрицательными степенями: ( 0 , 5 ) 2 + ( 0 , 5 ) – 2 2 .

    Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 264 1 4 – 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 – 2 2 – 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 – 2 · a – 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 – π , 2 3 3 + 5 .

    В качестве показателя может выступать переменная 3 x – 54 – 7 · 3 x – 58 или логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x .

    С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

    Основные виды преобразований степенных выражений

    В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

    Вычислите значение степенного выражения 2 3 · ( 4 2 − 12 ) .

    Решение

    Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 2 3 · ( 4 2 − 12 ) = 2 3 · ( 16 − 12 ) = 2 3 · 4 .

    Нам остается заменить степень 2 3 ее значением 8 и вычислить произведение 8 · 4 = 32 . Вот наш ответ.

    Ответ: 2 3 · ( 4 2 − 12 ) = 32 .

    Упростите выражение со степенями 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 .

    Решение

    Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

    Ответ: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

    Представьте выражение со степенями 9 – b 3 · π – 1 2 в виде произведения.

    Решение

    Представим число 9 как степень 3 2 и применим формулу сокращенного умножения:

    9 – b 3 · π – 1 2 = 3 2 – b 3 · π – 1 2 = = 3 – b 3 · π – 1 3 + b 3 · π – 1

    Ответ: 9 – b 3 · π – 1 2 = 3 – b 3 · π – 1 3 + b 3 · π – 1 .

    А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.

    Работа с основанием и показателем степени

    Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, ( 2 + 0 , 3 · 7 ) 5 − 3 , 7 и ( a · ( a + 1 ) − a 2 ) 2 · ( x + 1 ) . Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

    Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

    Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, ( 2 + 0 , 3 · 7 ) 5 − 3 , 7 можно выполнить действия для перехода к степени 4 , 1 1 , 3 . Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени ( a · ( a + 1 ) − a 2 ) 2 · ( x + 1 ) и получить степенное выражение более простого вида a 2 · ( x + 1 ) .

    Использование свойств степеней

    Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s – произвольные действительные числа:

    • a r · a s = a r + s ;
    • a r : a s = a r − s ;
    • ( a · b ) r = a r · b r ;
    • ( a : b ) r = a r : b r ;
    • ( a r ) s = a r · s .

    В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство a m · a n = a m + n , где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a , как положительных, так и отрицательных, а также для a = 0 .

    Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

    При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

    Представьте выражение a 2 , 5 · ( a 2 ) − 3 : a − 5 , 5 в виде степени с основанием a .

    Решение

    Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель ( a 2 ) − 3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

    a 2 , 5 · a − 6 : a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6 : a − 5 , 5 = a − 3 , 5 : a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − ( − 5 , 5 ) = a 2 .

    Ответ: a 2 , 5 · ( a 2 ) − 3 : a − 5 , 5 = a 2 .

    Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

    Найти значение степенного выражения 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

    Решение

    Если мы применим равенство ( a · b ) r = a r · b r , справа налево, то получим произведение вида 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и дальше 21 1 3 · 21 2 3 . Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

    Есть еще один способ провести преобразования:

    3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · ( 3 · 7 ) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

    Ответ: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

    Дано степенное выражение a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 , введите новую переменную t = a 0 , 5 .

    Решение

    Представим степень a 1 , 5 как a 0 , 5 · 3 . Используем свойство степени в степени ( a r ) s = a r · s справа налево и получим ( a 0 , 5 ) 3 : a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = ( a 0 , 5 ) 3 − a 0 , 5 − 6 . В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t = a 0 , 5 : получаем t 3 − t − 6 .

    Ответ: t 3 − t − 6 .

    Преобразование дробей, содержащих степени

    Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

    Упростить степенное выражение 3 · 5 2 3 · 5 1 3 – 5 – 2 3 1 + 2 · x 2 – 3 – 3 · x 2 .

    Решение

    Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

    3 · 5 2 3 · 5 1 3 – 5 – 2 3 1 + 2 · x 2 – 3 – 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 – 3 · 5 2 3 · 5 – 2 3 – 2 – x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 – 3 · 5 2 3 + – 2 3 – 2 – x 2 = 3 · 5 1 – 3 · 5 0 – 2 – x 2

    Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12 – 2 – x 2 = – 12 2 + x 2

    Ответ: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 – 5 – 2 3 1 + 2 · x 2 – 3 – 3 · x 2 = – 12 2 + x 2

    Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

    Приведите дроби к новому знаменателю: а) a + 1 a 0 , 7 к знаменателю a , б) 1 x 2 3 – 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 к знаменателю x + 8 · y 1 2 .

    Решение

    а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a 0 , 7 · a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a 0 , 3 . Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a 0 , 3 не обращается в нуль.

    Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a 0 , 3 :

    a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a

    б) Обратим внимание на знаменатель:

    x 2 3 – 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 – x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2

    Умножим это выражение на x 1 3 + 2 · y 1 6 , получим сумму кубов x 1 3 и 2 · y 1 6 , т.е. x + 8 · y 1 2 . Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.

    Так мы нашли дополнительный множитель x 1 3 + 2 · y 1 6 . На области допустимых значений переменных x и y выражение x 1 3 + 2 · y 1 6 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
    1 x 2 3 – 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 – 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2

    Ответ: а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 – 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

    Сократите дробь: а) 30 · x 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) · x + 2 · x 1 1 3 – 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 – 5 3 , б) a 1 4 – b 1 4 a 1 2 – b 1 2 .

    Решение

    а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15 . Также мы можем произвести сокращение на x 0 , 5 + 1 и на x + 2 · x 1 1 3 – 5 3 .

    30 · x 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) · x + 2 · x 1 1 3 – 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 – 5 3 = 2 · x 3 3 · ( x 0 , 5 + 1 )

    б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

    a 1 4 – b 1 4 a 1 2 – b 1 2 = a 1 4 – b 1 4 a 1 4 2 – b 1 2 2 = = a 1 4 – b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 – b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

    Ответ: а) 30 · x 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) · x + 2 · x 1 1 3 – 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 – 5 3 = 2 · x 3 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) , б) a 1 4 – b 1 4 a 1 2 – b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

    К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

    Выполните действия x 1 2 + 1 x 1 2 – 1 – x 1 2 – 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

    Решение

    Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

    x 1 2 – 1 · x 1 2 + 1

    x 1 2 + 1 x 1 2 – 1 – x 1 2 – 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 – 1 · x 1 2 + 1 – x 1 2 – 1 · x 1 2 – 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 – 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 – x 1 2 – 1 2 x 1 2 – 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 – x 1 2 2 – 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 – 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 – 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2

    Теперь умножаем дроби:

    4 · x 1 2 x 1 2 – 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 – 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

    Произведем сокращение на степень x 1 2 , получим 4 x 1 2 – 1 · x 1 2 + 1 .

    Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4 x 1 2 – 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 – 1 2 = 4 x – 1 .

    Ответ: x 1 2 + 1 x 1 2 – 1 – x 1 2 – 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x – 1

    Упростите степенное выражение x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x – 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
    Решение

    Мы можем произвести сокращение дроби на ( x 2 , 7 + 1 ) 2 . Получаем дробь x 3 4 x – 5 8 · x 2 , 7 + 1 .

    Продолжим преобразования степеней икса x 3 4 x – 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: x 3 4 x – 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 – – 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 , 7 + 1 .

    Переходим от последнего произведения к дроби x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

    Ответ: x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x – 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

    Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение ( x + 1 ) – 0 , 2 3 · x – 1 можно заменить на x 3 · ( x + 1 ) 0 , 2 .

    Преобразование выражений с корнями и степенями

    В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

    Представьте выражение x 1 9 · x · x 3 6 в виде степени.

    Решение

    Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами x ≥ 0 и x · x 3 ≥ 0 , которые задают множество [ 0 , + ∞ ) .

    На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:

    x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

    Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

    x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

    Ответ: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

    Преобразование степеней с переменными в показателе

    Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 5 2 · x + 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x − 1 = 0 .

    Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

    5 2 · x · 5 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x · 7 − 1 = 0 , 5 · 5 2 · x − 3 · 5 x · 7 x − 2 · 7 2 · x = 0 .

    Теперь поделим обе части равенства на 7 2 · x . Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

    5 · 5 – 3 · 5 x · 7 x – 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x – 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x – 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 , 5 · 5 2 · x 7 2 · x – 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x – 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0

    Сократим дроби со степенями, получим: 5 · 5 2 · x 7 2 · x – 3 · 5 x 7 x – 2 = 0 .

    Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5 · 5 7 2 · x – 3 · 5 7 x – 2 = 0 , которое равносильно 5 · 5 7 x 2 – 3 · 5 7 x – 2 = 0 .

    Введем новую переменную t = 5 7 x , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

    Преобразование выражений со степенями и логарифмами

    Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 1 4 1 – 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 ( 1 – log 3 5 ) · log 5 3 . Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

    Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

    Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

    Свойство № 1

    Произведение степеней

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

    a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

    • Упростить выражение.
      b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
    • Представить в виде степени.
      6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
    • Представить в виде степени.
      (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

    Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

    Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2 ) на 3 5 . Это понятно, если
    посчитать (3 3 + 3 2 ) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

    Свойство № 2

    Частное степеней

    При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    m : a n =–>

    = a m − n , где « a » — любое число, не равное нулю, а « m », « n » — любые натуральные числа такие, что « m > n ».

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

      Пример. Упростить выражение.
      4 5m + 6 · 4 m + 2 : 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2 : 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    =

    =

    =

    =

    = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2 ) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2 ) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3

    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n ) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    • Пример.
      (a 4 ) 6 = a 4 · 6 = a 24
    • Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 3 2 .

    По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

    Свойства 4

    Степень произведения

    При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

    (a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.

    • Пример 1.
      (6 · a 2 · b 3 · c ) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
    • Пример 2.
      (−x 2 · y) 6 = ( (−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6 ) = x 12 · y 6

    Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

    (a n · b n )= (a · b) n

    То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

    • Пример. Вычислить.
      2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
    • Пример. Вычислить.
      0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

    В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

    Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

    Пример возведения в степень десятичной дроби.

    4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

    Свойства 5

    Степень частного (дроби)

    Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

    (a : b) n = a n : b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

    • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
      (5 : 3) 12 = 5 12 : 3 12

    Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Подайте в виде степени выражение. Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

    Десятичная дробь используется, когда нужно выполнять действия с нецелыми числами. Это может показаться нерациональным. Но такой вид чисел существенно облегчает математические операции, которые с ними необходимо выполнять. Это понимание приходит со временем, когда их запись становится привычной, а прочтение не вызывает трудностей, и освоены правила десятичных дробей. Тем более что все действия повторяют уже известные, которые усвоены с натуральными числами. Только нужно запомнить некоторые особенности.

    Определение десятичной дроби

    Десятичная дробь — это особое представление нецелого числа со знаменателем, который делится на 10, а ответ получается в виде единицы и, возможно, нулей. Другими словами, если в знаменателе 10, 100, 1000 и так далее, то удобнее переписать число с использованием запятой. Тогда до нее будет расположена целая часть, а потом — дробная. Причем запись второй половины числа будет зависеть от знаменателя. Количество цифр, которые находятся в дробной части, должно быть равно разряду знаменателя.

    Проиллюстрировать вышесказанное можно этими числами:

    9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

    Причины, по которым понадобилось применение десятичных дробей

    Математикам потребовались десятичные дроби по нескольким основаниям:

      Упрощение записи. Такая дробь расположена вдоль одной линии без черточки между знаменателем и числителем, при этом наглядность не страдает.

      Простота в сравнении. Достаточно просто соотнести цифры, находящиеся в одинаковых позициях, в то время как с обыкновенными дробями пришлось бы приводить их к общему знаменателю.

      Упрощение вычислений.

      Калькуляторы не рассчитаны на введение обыкновенных дробей, они для всех операций используют десятичную запись чисел.

    Как правильно прочитать такие числа?

    Ответ прост: так же, как обыкновенное смешанное число со знаменателем, кратным 10. Исключение составляют только дроби без целого значения, тогда при чтении нужно произносить «ноль целых».

    Например, 45/1000 нужно произнести как сорок пять тысячных
    , в то же время 0,045 будет звучать как ноль целых сорок пять тысячных
    .

    Смешанное число с целой частью равной 7 и дробью 17/100, что запишется как 7,17, в обоих случаях будет прочитано как семь целых семнадцать сотых
    .

    Роль разрядов в записи дробей

    Верно отметить разряд — это то, что требует математика. Десятичные дроби и их значение могут существенно измениться, если записать цифру не в том месте. Впрочем, это было справедливо и раньше.

    Для прочтения разрядов целой части десятичной дроби нужно просто воспользоваться правилами, известными для натуральных чисел. А в правой части они зеркально отражаются и по-другому читаются. Если в целой части звучало «десятки», то после запятой это будут уже «десятые».

    Наглядно это можно увидеть в этой таблице.

    Таблица разрядов десятичной дроби

    класс тысячи единицы , дробная часть
    разряд сот. дес. ед. сот. дес. ед. десятая сотая тысячная десятитысячная

    Как правильно записать смешанное число десятичной дробью?

    Если в знаменателе стоит число, равное 10 или 100, и прочие, то вопрос о том, как дробь перевести в десятичную, несложен. Для этого достаточно по-другому переписать все ее составные части. В этом помогут такие пункты:

      немного в стороне написать числитель дроби, в этот момент десятичная запятая располагается справа, после последней цифры;

      переместить запятую влево, здесь самое главное — правильно сосчитать цифры — передвинуть ее нужно на столько позиций, сколько нолей в знаменателе;

      если их не хватает, то на пустых позициях должны оказаться нули;

      нули, которые были в конце числителя, теперь не нужны, и их можно зачеркнуть;

      перед запятой приписать целую часть, если ее не было, то здесь тоже окажется нуль.

    Внимание. Нельзя зачеркивать нули, которые оказались окружены другими цифрами.

    О том, как быть в ситуации, когда в знаменателе число не только из единицы и нулей, как дробь переводить в десятичную, можно прочитать чуть ниже. Это важная информация, с которой обязательно стоит ознакомиться.

    Как дробь перевести в десятичную, если знаменатель — произвольное число?

    Здесь возможны два варианта:

      Когда знаменатель можно представить в виде числа, которое равно десяти в любой степени.

      Если такую операцию проделать нельзя.

    Как это проверить? Нужно разложить знаменатель на множители. Если в произведении присутствуют только 2 и 5, то все хорошо, и дробь легко преобразуется в конечную десятичную. В противном случае, если появляются 3, 7 и другие простые числа, то результат будет бесконечным. Такую десятичную дробь для удобства использования в математических операциях принято округлять. Об этом будет речь немного ниже.

    Изучает, как получаются такие десятичные дроби, 5 класс. Примеры здесь будут очень кстати.

    Пусть в знаменателях находятся числа: 40, 24 и 75. Разложение на простые множители для них будет такое:

    • 40=2·2·2·5;
    • 24=2·2·2·3;
    • 75=5·5·3.

    В этих примерах только первая дробь может быть представлена в виде конечной.

    Алгоритм перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную

      Проверить разложение знаменателя на простые множители и убедиться в том, что оно будет состоять из 2 и 5.

      Добавить к этим числам столько 2 и 5, чтобы их стало равное количество. Они дадут значение дополнительного множителя.

      Произвести умножение знаменателя и числителя на это число. В результате получится обыкновенная дробь, под чертой у которой стоит 10 в некоторой степени.

    Если в задаче эти действия выполняются со смешанным числом, то его сначала нужно представить в виде неправильной дроби. А уже потом действовать по описанному сценарию.

    Представление обыкновенной дроби в виде округленной десятичной

    Этот способ того, как дробь переводить в десятичную, кому-то покажется даже проще. Потому что в нем нет большого количества действий. Нужно только разделить значение числителя на знаменатель.

    К любому числу с десятичной частью справа от запятой можно приписать бесконечное количество нулей. Этим свойством и нужно воспользоваться.

    Сначала записать целую часть и поставить после нее запятую. Если дробь правильная, то написать ноль.

    Потом полагается выполнить деление числителя на знаменатель. Так, чтобы количество цифр у них было одинаковым. То есть приписать справа у числителя нужное количество нолей.

    Выполнять деление в столбик до тех пор, пока не будет набрано нужное количество цифр. Например, если округлить нужно будет до сотых, то в ответе их должно быть 3. В общем, цифр должно быть на одну больше, чем нужно получить в итоге.

    Записать промежуточный ответ после запятой и округлить по правилам. Если последняя цифра — от 0 до 4, то ее нужно просто отбросить. А когда она равна 5-9, то стоящую перед ней нужно увеличить на единицу, отбросив последнюю.

    Возврат от десятичной дроби к обыкновенной

    В математике встречаются задачи, когда десятичные дроби удобнее представить в виде обыкновенных, в которых есть числитель со знаменателем. Можно вздохнуть с облегчением: эта операция возможна всегда.

    Для этой процедуры нужно сделать следующее:

      записать целую часть, если она равна нулю, то ничего писать не надо;

      провести дробную черту;

      над ней записать цифры из правой части, если первыми идут нули, то их нужно зачеркнуть;

      под чертой написать единицу с таким количеством нолей, сколько цифр стоит после запятой в первоначальной дроби.

      Это все, что нужно сделать, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную.

      Что можно делать с десятичными дробями?

      В математике это будут определенные действия с десятичными дробями, которые ранее выполнялись для других чисел.

      Ими являются:

        сравнение;

        сложение и вычитание;

        умножение и деление.

      Первое действие, сравнение, похоже на то, как это делалось для натуральных чисел. Чтобы определить, какое больше, нужно сравнивать разряды целой части. Если они окажутся равными, то переходят к дробной и так же по разрядам сравнивают их. То число, где окажется большая цифра в старшем разряде, и будет ответом.

      Сложение и вычитание десятичных дробей

      Это, пожалуй, самые простые действия. Потому что выполняются по правилам для натуральных чисел.

      Так, чтобы выполнить сложение десятичных дробей, их нужно записать друг под другом, разместив запятые в столбик. При такой записи слева от запятых оказываются целые части, а справа — дробные. И теперь нужно сложить цифры поразрядно, как это делается с натуральными числами, снеся вниз запятую. Начинать сложение нужно с самого маленького разряда дробной части числа. Если в правой половине не хватает цифр, то дописывают нули.

      При вычитании действуют так же. И здесь действует правило, которое описывает возможность занять единицу у старшего разряда. Если в уменьшаемой дроби после запятой меньше цифр, чем у вычитаемого, то в ней просто приписывают нули.

      Немного сложнее обстоит дело с заданиями, где нужно выполнить умножение и деление десятичных дробей.

      Как умножить десятичную дробь в разных примерах?

      Правило, по которому производится умножение десятичных дробей на натуральное число, такое:

        записать их в столбик, не обращая внимания на запятую;

        перемножить, как если бы они были натуральными;

        отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробной части исходного числа.

      Частным случаем является пример, в котором натуральное число равно 10 в любой степени. Тогда для получения ответа нужно просто передвинуть запятую вправо на столько позиций, сколько нулей в другом множителе. Иными словами, при умножении на 10 запятая сдвигается на одну цифру, на 100 — их будет уже две, и так далее. Если цифр в дробной части не хватает, то нужно записать на пустых позициях нули.

      Правило, которым пользуются, когда в задании нужно произвести умножение десятичных дробей на другое такое же число:

        записать их друг под другом, не обращая внимания на запятые;

        умножить, как если бы они были натуральными;

        отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробных частях обеих исходных дробях вместе.

      Частным случаем выделяются примеры, в которых один из множителей равен 0,1 или 0,01 и далее. В них нужно выполнить перемещение запятой влево на количество цифр в представленных множителях. То есть если умножается на 0,1, то запятая сдвигается на одну позицию.

      Как разделить десятичную дробь в разных заданиях?

      Деление десятичных дробей на натуральное число выполняется по такому правилу:

        записать их для деления в столбик, как если бы они были натуральными;

        делить по привычному правилу до тех пор, пока не закончится целая часть;

        поставить в ответ запятую;

        продолжить деление дробной составляющей до получения в остатке нуля;

        если нужно, то можно приписать нужное количество нулей.

      Если целая часть равна нулю, то и в ответе ее тоже не будет.

      Отдельно стоит деление на числа, равные десятке, сотне и так далее. В таких задачах нужно передвинуть запятую влево на количество нулей в делителе. Бывает, что цифр в целой части не хватает, тогда вместо них используют нули. Можно заметить, что эта операция подобна умножению на 0,1 и подобным ей числам.

      Чтобы выполнить деление десятичных дробей, нужно воспользоваться этим правилом:

        превратить делитель в натуральное число, а для этого перенести в нем запятую вправо до конца;

        выполнить перемещение запятой и в делимом на такое же число цифр;

        действовать по предыдущему сценарию.

      Выделяется деление на 0,1; 0,01 и прочие подобные числа. В таких примерах запятая сдвигается вправо на число цифр в дробной части. Если они закончились, то нужно приписать недостающее количество нулей. Стоит отметить, что это действие повторяет деление на 10 и подобные ему числа.

      Заключение: все дело в практике

      Ничто в учебе не дается легко и без усилий. Для надежного освоения нового материала требуются время и тренировка. Математика не исключение.

      Чтобы тема про десятичные дроби не вызывала затруднений, нужно решать с ними примеров как можно больше. Ведь было время, когда и сложение натуральных чисел ставило в тупик. А теперь все нормально.

      Поэтому, перефразируя известную фразу: решать, решать и еще раз решать. Тогда и задания с такими числами будут выполняться легко и непринужденно, как очередная головоломка.

      Кстати, и головоломки поначалу решаются сложно, а потом нужно делать привычные движения. Так же и в математических примерах: пройдя по одному пути несколько раз, потом уже не будешь задумываться над тем, куда повернуть.

    В этом уроке мы рассмотрим каждую из этих операций по отдельности.

    Содержание урока


    Сложение десятичных дробей

    Как мы знаем, десятичная дробь имеет целую и дробную часть. При сложении десятичных дробей, целые и дробные части складываются по отдельности.

    Например, сложим десятичные дроби 3,2 и 5,3. Десятичные дроби удобнее складывать в столбик.

    Запишем сначала эти две дроби в столбик, при этом целые части обязательно должны быть под целыми, а дробные под дробными. В школе это требование называют «запятая под запятой»
    .

    Запишем дроби в столбик так, чтобы запятая оказалась под запятой:

    Начинаем складывать дробные части: 2 + 3= 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:

    Теперь складываем целые части: 3 + 5 = 8. Записываем восьмёрку в целой части нашего ответа:

    Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого опять же соблюдаем правило «запятая под запятой»
    :

    Получили ответ 8,5. Значит выражения 3,2 + 5,3 равно 8,5

    На самом деле, не всё так просто, как кажется на первый взгляд. Здесь тоже имеются свои подводные камни, о которых мы сейчас поговорим.

    Разряды в десятичных дробях

    У десятичных дробей, как и у обычных чисел, есть свои разряды. Это разряды десятых, разряды сотых, разряды тысячных. При этом разряды начинаются после запятой.

    Первая цифра после запятой отвечает за разряд десятых, вторая цифра после запятой за разряд сотых, третья цифра после запятой за разряд тысячных.

    Разряды в десятичных дробях хранят в себе некоторую полезную информацию. В частности, они сообщают сколько в десятичной дроби десятых частей, сотых частей и тысячных частей.

    Например, рассмотрим десятичную дробь 0,345

    Позиция, где находится тройка, называется разрядом десятых

    Позиция, где находится четвёрка, называется разрядом сотых

    Позиция, где находится пятёрка, называется разрядом тысячных

    Посмотрим на данный рисунок. Видим, что в разряде десятых располагается тройка. Это говорит о том, что в десятичной дроби 0,345 содержится три десятых .

    Если мы сложим дроби , и то получим изначальную десятичную дробь 0,345

    Видно, что сначала мы получили ответ , но перевели его в десятичную дробь и получили 0,345.

    При сложении десятичных дробей соблюдаются те же принципы и правила, что и при сложении обычных чисел. Сложение десятичных дробей происходит по разрядам: десятые части складываются с десятыми частями, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.

    Поэтому при сложении десятичных дробей требуют соблюдать правило «запятая под запятой»
    . Запятая под запятой обеспечивает тот самый порядок, в котором десятые части складываются с десятыми, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.

    Пример 1.
    Найти значение выражения 1,5 + 3,4

    В первую очередь складываем дробные части 5 + 4 = 9. Записываем девятку в дробной части нашего ответа:

    Теперь складываем целые части 1 + 3 = 4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:

    Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого опять же соблюдаем правило «запятая под запятой»:

    Получили ответ 4,9. Значит значение выражения 1,5 + 3,4 равно 4,9

    Пример 2.
    Найти значение выражения: 3,51 + 1,22

    Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»

    В первую очередь складываем дробную часть, а именно сотые части 1+2=3. Записываем тройку в сотой части нашего ответа:

    Теперь складываем десятые части 5+2=7. Записываем семёрку в десятой части нашего ответа:

    Теперь складываем целые части 3+1=4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:

    Отделяем запятой целую часть от дробной, соблюдая правило «запятая под запятой»:

    Получили ответ 4,73. Значит значение выражения 3,51 + 1,22 равно 4,73

    3,51 + 1,22 = 4,73

    Как и в обычных числах, при сложении десятичных дробей может произойти . В этом случае в ответе записывается одна цифра, а остальные переносят на следующий разряд.

    Пример 3.
    Найти значение выражения 2,65 + 3,27

    Записываем в столбик данное выражение:

    Складываем сотые части 5+7=12. Число 12 не поместится в сотой части нашего ответа. Поэтому в сотой части записываем цифру 2, а единицу переносим на следующий разряд:

    Теперь складываем десятые части 6+2=8 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получим 9. Записываем цифру 9 в десятой части нашего ответа:

    Теперь складываем целые части 2+3=5. Записываем цифру 5 в целой части нашего ответа:

    Получили ответ 5,92. Значит значение выражения 2,65 + 3,27 равно 5,92

    2,65 + 3,27 = 5,92

    Пример 4.
    Найти значение выражения 9,5 + 2,8

    Записываем в столбик данное выражение

    Складываем дробные части 5 + 8 = 13. Число 13 не поместится в дробной часть нашего ответа, поэтому сначала записываем цифру 3, а единицу переносим на следующий разряд, точнее переносим её к целой части:

    Теперь складываем целые части 9+2=11 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 12. Записываем число 12 в целой части нашего ответа:

    Отделяем запятой целую часть от дробной:

    Получили ответ 12,3. Значит значение выражения 9,5 + 2,8 равно 12,3

    9,5 + 2,8 = 12,3

    При сложении десятичных дробей количество цифр после запятой в обеих дробях должно быть одинаковым. Если цифр не хватает, то эти места в дробной части заполняются нулями.

    Пример 5
    . Найти значение выражения: 12,725 + 1,7

    Прежде чем записывать в столбик данное выражение, сделаем количество цифр после запятой в обеих дробях одинаковым. В десятичной дроби 12,725 после запятой три цифры, а в дроби 1,7 только одна. Значит в дроби 1,7 в конце нужно добавить два нуля. Тогда получим дробь 1,700. Теперь можно записать в столбик данное выражение и начать вычислять:

    Складываем тысячные части 5+0=5. Записываем цифру 5 в тысячной части нашего ответа:

    Складываем сотые части 2+0=2. Записываем цифру 2 в сотой части нашего ответа:

    Складываем десятые части 7+7=14. Число 14 не поместится в десятой части нашего ответа. Поэтому сначала записываем цифру 4, а единицу переносим на следующий разряд:

    Теперь складываем целые части 12+1=13 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 14. Записываем число 14 в целой части нашего ответа:

    Отделяем запятой целую часть от дробной:

    Получили ответ 14,425. Значит значение выражения 12,725+1,700 равно 14,425

    12,725+ 1,700 = 14,425

    Вычитание десятичных дробей

    При вычитании десятичных дробей нужно соблюдать те же правила, что и при сложении: «запятая под запятой» и «равное количества цифр после запятой».

    Пример 1.
    Найти значение выражения 2,5 − 2,2

    Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»:

    Вычисляем дробную часть 5−2=3. Записываем цифру 3 в десятой части нашего ответа:

    Вычисляем целую часть 2−2=0. Записываем ноль в целой части нашего ответа:

    Отделяем запятой целую часть от дробной:

    Получили ответ 0,3. Значит значение выражения 2,5 − 2,2 равно 0,3

    2,5 − 2,2 = 0,3

    Пример 2.
    Найти значение выражения 7,353 — 3,1

    В этом выражении разное количество цифр после запятой. В дроби 7,353 после запятой три цифры, а в дроби 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце нужно добавить два нуля, чтобы сделать количество цифр в обеих дробях одинаковым. Тогда получим 3,100.

    Теперь можно записать в столбик данное выражение и вычислить его:

    Получили ответ 4,253. Значит значение выражения 7,353 − 3,1 равно 4,253

    7,353 — 3,1 = 4,253

    Как и в обычных числах, иногда придётся занимать единицу у соседнего разряда, если вычитание станет невозможным.

    Пример 3.
    Найти значение выражения 3,46 − 2,39

    Вычитаем сотые части 6−9. От число 6 не вычесть число 9. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда число 6 обращается в число 16. Теперь можно вычислить сотые части 16−9=7. Записываем семёрку в сотой части нашего ответа:

    Теперь вычитаем десятые части. Поскольку мы заняли в разряде десятых одну единицу, то цифра, которая там располагалась, уменьшилась на одну единицу. Другими словами, в разряде десятых теперь не цифра 4, а цифра 3. Вычислим десятые части 3−3=0. Записываем ноль в десятой части нашего ответа:

    Теперь вычитаем целые части 3−2=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:

    Отделяем запятой целую часть от дробной:

    Получили ответ 1,07. Значит значение выражения 3,46−2,39 равно 1,07

    3,46−2,39=1,07

    Пример 4
    . Найти значение выражения 3−1,2

    В этом примере из целого числа вычитается десятичная дробь. Запишем данное выражение столбиком так, чтобы целая часть десятичной дроби 1,23 оказалась под числом 3

    Теперь сделаем количество цифр после запятой одинаковым. Для этого после числа 3 поставим запятую и допишем один ноль:

    Теперь вычитаем десятые части: 0−2. От нуля не вычесть число 2. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда, 0 обращается в число 10. Теперь можно вычислить десятые части 10−2=8. Записываем восьмёрку в десятой части нашего ответа:

    Теперь вычитаем целые части. Раньше в целой располагалось число 3, но мы заняли у него одну единицу. В результате оно обратилось в число 2. Поэтому из 2 вычитаем 1. 2−1=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:

    Отделяем запятой целую часть от дробной:

    Получили ответ 1,8. Значит значение выражения 3−1,2 равно 1,8

    Умножение десятичных дробей

    Умножение десятичных дробей это просто и даже увлекательно. Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно перемножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые.

    Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Чтобы сделать это, надо посчитать количество цифр после запятой в обеих дробях, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.

    Пример 1.
    Найти значение выражения 2,5 × 1,5

    Перемножим эти десятичные дроби как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Чтобы не обращать внимания на запятые, можно на время представить, что они вообще отсутствуют:

    Получили 375. В этом числе необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в дробях 2,5 и 1,5. В первой дроби после запятой одна цифра, во второй дроби тоже одна. Итого две цифры.

    Возвращаемся к числу 375 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

    Получили ответ 3,75. Значит значение выражения 2,5 × 1,5 равно 3,75

    2,5 × 1,5 = 3,75

    Пример 2.
    Найти значение выражения 12,85 × 2,7

    Перемножим эти десятичные дроби, не обращая внимания на запятые:

    Получили 34695. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 12,85 и 2,7. В дроби 12,85 после запятой две цифры, в дроби 2,7 одна цифра — итого три цифры.

    Возвращаемся к числу 34695 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую:

    Получили ответ 34,695. Значит значение выражения 12,85 × 2,7 равно 34,695

    12,85 × 2,7 = 34,695

    Умножение десятичной дроби на обычное число

    Иногда возникают ситуации, когда требуется умножить десятичную дробь на обычное число.

    Чтобы перемножить десятичную дробь и обычное число, нужно перемножить их, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби. Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в десятичной дроби, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.

    Например, умножим 2,54 на 2

    Умножаем десятичную дробь 2,54 на обычное число 2, не обращая внимания на запятую:

    Получили число 508. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,54. В дроби 2,54 после запятой две цифры.

    Возвращаемся к числу 508 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

    Получили ответ 5,08. Значит значение выражения 2,54 × 2 равно 5,08

    2,54 × 2 = 5,08

    Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000

    Умножение десятичных дробей на 10, 100 или 1000 выполняется таким же образом, как и умножение десятичных дробей на обычные числа. Нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби, затем в ответе отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько было цифр после запятой в десятичной дроби.

    Например, умножим 2,88 на 10

    Умножим десятичную дробь 2,88 на 10, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби:

    Получили 2880. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,88. Видим, что в дроби 2,88 после запятой две цифры.

    Возвращаемся к числу 2880 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

    Получили ответ 28,80. Отбросим последний ноль — получим 28,8. Значит значение выражения 2,88×10 равно 28,8

    2,88 × 10 = 28,8

    Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 10, 100, 1000. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается вправо на столько цифр, сколько нулей во множителе.

    Например, решим предыдущий пример 2,88×10 этим способом. Не приводя никаких вычислений, сразу же смотрим на множитель 10. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на одну цифру, получим 28,8.

    2,88 × 10 = 28,8

    Попробуем умножить 2,88 на 100. Сразу же смотрим на множитель 100. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на две цифры, получаем 288

    2,88 × 100 = 288

    Попробуем умножить 2,88 на 1000. Сразу же смотрим на множитель 1000. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на три цифры. Третьей цифры там нет, поэтому мы дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 2880.

    2,88 × 1000 = 2880

    Умножение десятичных дробей на 0,1 0,01 и 0,001

    Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001 происходит таким же образом, как и умножение десятичной дроби на десятичную дробь. Необходимо перемножить дроби, как обычные числа, и в ответе поставить запятую, отсчитав столько цифр справа, сколько цифр после запятой в обеих дробях.

    Например, умножим 3,25 на 0,1

    Умножаем эти дроби, как обычные числа, не обращая внимания на запятые:

    Получили 325. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 3,25 и 0,1. В дроби 3,25 после запятой две цифры, в дроби 0,1 одна цифра. Итого три цифры.

    Возвращаемся к числу 325 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую. Отсчитав три цифры мы обнаруживаем, что цифры закончились. В этом случае нужно дописать один ноль и поставить запятую:

    Получили ответ 0,325. Значит значение выражения 3,25 × 0,1 равно 0,325

    3,25 × 0,1 = 0,325

    Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается влево на столько цифр, сколько нулей во множителе.

    Например, решим предыдущий пример 3,25 × 0,1 этим способом. Не приводя никаких вычислений сразу же смотрим на множитель 0,1. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на одну цифру. Передвинув запятую на одну цифру влево мы видим, что перед тройкой больше нет никаких цифр. В этом случае дописываем один ноль и ставим запятую. В результате получаем 0,325

    3,25 × 0,1 = 0,325

    Попробуем умножить 3,25 на 0,01. Сразу же смотрим на множитель 0,01. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на две цифры, получаем 0,0325

    3,25 × 0,01 = 0,0325

    Попробуем умножить 3,25 на 0,001. Сразу же смотрим на множитель 0,001. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на три цифры, получаем 0,00325

    3,25 × 0,001 = 0,00325

    Нельзя путать умножение десятичных дробей на 0,1, 0,001 и 0,001 с умножением на 10, 100, 1000. Типичная ошибка большинства людей.

    При умножении на 10, 100, 1000 запятая переносится вправо на столько же цифр сколько нулей во множителе.

    А при умножении на 0,1, 0,01 и 0,001 запятая переносится влево на столько же цифр сколько нулей во множителе.

    Если на первых порах это сложно запомнить, можно пользоваться первым способом, в котором умножение выполняется как с обычными числами. В ответе нужно будет отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько цифр после запятой в обеих дробях.

    Деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

    В одном из предыдущих уроков мы сказали, что при делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе – делитель.

    Например, чтобы разделить одно яблоко на двоих, нужно в числитель записать 1 (одно яблоко), а в знаменатель записать 2 (двое друзей). В результате получим дробь . Значит каждому другу достанется по яблока. Другими словами, по половине яблока. Дробь это ответ к задаче «как разделить одно яблоко на двоих»

    Оказывается, можно решать эту задачу и дальше, если разделить 1 на 2. Ведь дробная черта в любой дроби означает деление, а значит и в дроби это деление разрешено. Но как? Мы ведь привыкли к тому, что делимое всегда больше делителя. А здесь наоборот, делимое меньше делителя.

    Всё станет ясным, если вспомнить, что дробь означает дробление, деление, разделение. А значит и единица может быть раздроблена на сколько угодно частей, а не только на две части.

    При разделении меньшего числа на большее получается десятичная дробь, в которой целая часть будет 0 (нулевой). Дробная часть же может быть любой.

    Итак, разделим 1 на 2. Решим этот пример уголком:

    Единицу на два просто так нацело не разделить. Если задать вопрос «сколько двоек в единице»

    , то ответом будет 0. Поэтому в частном записываем 0 и ставим запятую:

    Теперь как обычно умножаем частное на делитель, чтобы вытащить остаток:

    Настал момент, когда единицу можно дробить на две части. Для этого справа от полученной единички дописываем ещё один ноль:

    Получили 10. Делим 10 на 2, получаем 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:

    Теперь вытаскиваем последний остаток, чтобы завершить вычисление. Умножаем 5 на 2, получаем 10

    Получили ответ 0,5. Значит дробь равна 0,5

    Половину яблока можно записать и с помощью десятичной дроби 0,5. Если сложить эти две половинки (0,5 и 0,5), мы опять получим изначальное одно целое яблоко:

    Этот момент также можно понять, если представить, как 1 см делится на две части. Если 1 сантиметр разделить на 2 части, то получится 0,5 см

    Пример 2.
    Найти значение выражения 4: 5

    Сколько пятёрок в четвёрке? Нисколько. Записываем в частном 0 и ставим запятую:

    Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем ноль под четвёркой. Сразу же вычитаем этот ноль из делимого:

    Теперь начнём дробить (делить) четвёрку на 5 частей. Для этого справа от 4 дописываем ноль и делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном.

    Завершаем пример, умножив 8 на 5, и получив 40:

    Получили ответ 0,8. Значит значение выражения 4: 5 равно 0,8

    Пример 3.
    Найти значение выражения 5: 125

    Сколько чисел 125 в пятёрке? Нисколько. Записываем 0 в частном и ставим запятую:

    Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем 0 под пятёркой. Сразу же вычитаем из пятёрки 0

    Теперь начнём дробить (делить) пятёрку на 125 частей. Для этого справа от этой пятёрки запишем ноль:

    Делим 50 на 125. Сколько чисел 125 в числе 50? Нисколько. Значит в частном опять записываем 0

    Умножаем 0 на 125, получаем 0. Записываем этот ноль под 50. Сразу же вычитаем 0 из 50

    Теперь делим число 50 на 125 частей. Для этого справа от 50 запишем ещё один ноль:

    Делим 500 на 125. Сколько чисел 125 в числе 500. В числе 500 четыре числа 125. Записываем четвёрку в частном:

    Завершаем пример, умножив 4 на 125, и получив 500

    Получили ответ 0,04. Значит значение выражения 5: 125 равно 0,04

    Деление чисел без остатка

    Итак, поставим в частном после единицы запятую, тем самым указывая, что деление целых частей закончилось и мы приступаем к дробной части:

    Допишем ноль к остатку 4

    Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном:

    40−40=0. Получили 0 в остатке. Значит деление на этом полностью завершено. При делении 9 на 5 получается десятичная дробь 1,8:

    9: 5 = 1,8

    Пример 2
    . Разделить 84 на 5 без остатка

    Сначала разделим 84 на 5 как обычно с остатком:

    Получили в частном 16 и еще 4 в остатке. Теперь разделим этот остаток на 5. Поставим в частном запятую, а к остатку 4 допишем 0

    Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмерку в частном после запятой:

    и завершаем пример, проверив есть ли еще остаток:

    Деление десятичной дроби на обычное число

    Десятичная дробь, как мы знаем состоит из целой и дробной части. При делении десятичной дроби на обычное число в первую очередь нужно:

    • разделить целую часть десятичной дроби на это число;
    • после того, как целая часть будет разделена, нужно в частном сразу же поставить запятую и продолжить вычисление, как в обычном делении.

    Например, разделим 4,8 на 2

    Запишем этот пример уголком:

    Теперь разделим целую часть на 2. Четыре разделить на два будет два. Записываем двойку в частном и сразу же ставим запятую:

    Теперь умножаем частное на делитель и смотрим есть ли остаток от деления:

    4−4=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем, поскольку решение не завершено. Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 8 и делим её на 2

    8: 2 = 4. Записываем четвёрку в частном и сразу умножаем её на делитель:

    Получили ответ 2,4. Значение выражения 4,8: 2 равно 2,4

    Пример 2.
    Найти значение выражения 8,43: 3

    Делим 8 на 3, получаем 2. Сразу же ставим запятую после двойки:

    Теперь умножаем частное на делитель 2 × 3 = 6. Записываем шестёрку под восьмёркой и находим остаток:

    Делим 24 на 3, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном. Сразу же умножаем её на делитель, чтобы найти остаток от деления:

    24−24=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем. Сносим последнюю тройку из делимого и делим на 3, получим 1. Сразу же умножаем 1 на 3, чтобы завершить этот пример:

    Получили ответ 2,81. Значит значение выражения 8,43: 3 равно 2,81

    Деление десятичной дроби на десятичную дробь

    Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо в делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе, и затем выполнить деление на обычное число.

    Например, разделим 5,95 на 1,7

    Запишем уголком данное выражение

    Теперь в делимом и в делителе перенесём запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит мы должны в делимом и в делителе перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим:

    После перенесения запятой вправо на одну цифру десятичная дробь 5,95 обратилась в дробь 59,5. А десятичная дробь 1,7 после перенесения запятой вправо на одну цифру обратилась в обычное число 17. А как делить десятичную дробь на обычное число мы уже знаем. Дальнейшее вычисление не составляет особого труда:

    Запятая переносится вправо с целью облегчить деление. Это допускается по причине того, что при умножении или делении делимого и делителя на одно и то же число, частное не меняется. Что это значит?

    Это одна из интересных особенностей деления. Его называют свойством частного. Рассмотрим выражение 9: 3 = 3. Если в этом выражении делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное 3 не изменится.

    Давайте умножим делимое и делитель на 2, и посмотрим, что из этого получится:

    (9 × 2
    ) : (3 × 2
    ) = 18: 6 = 3

    Как видно из примера, частное не поменялось.

    Тоже самое происходит, когда мы переносим запятую в делимом и в делителе. В предыдущем примере, где мы делили 5,91 на 1,7 мы перенесли в делимом и делителе запятую на одну цифру вправо. После переноса запятой, дробь 5,91 преобразовалась в дробь 59,1 а дробь 1,7 преобразовалась в обычное число 17.

    На самом деле внутри этого процесса происходило умножение на 10. Вот как это выглядело:

    5,91 × 10 = 59,1

    Поэтому от количества цифр после запятой в делителе зависит то, на что будет умножено делимое и делитель. Другими словами, от количества цифр после запятой в делителе будет зависеть то, на сколько цифр в делимом и в делителе запятая будет перенесена вправо.

    Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000

    Деление десятичной дроби на 10, 100, или 1000 осуществляется таким же образом, как и . Например, разделим 2,1 на 10. Решим этот пример уголком:

    Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится влево на столько цифр, сколько нулей в делителе.

    Решим предыдущий пример этим способом. 2,1: 10. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 2,1 нужно перенести запятую влево на одну цифру. Переносим запятую влево на одну цифру и видим, что там больше не осталось цифр. В этом случае перед цифрой дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 0,21

    Попробуем разделить 2,1 на 100. В числе 100 два нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на две цифры:

    2,1: 100 = 0,021

    Попробуем разделить 2,1 на 1000. В числе 1000 три нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на три цифры:

    2,1: 1000 = 0,0021

    Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01 и 0,001

    Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01, и 0,001 осуществляется таким же образом, как и . В делимом и в делителе надо перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе.

    Например, разделим 6,3 на 0,1. В первую очередь перенесём запятые в делимом и в делителе вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит переносим запятые в делимом и в делителе вправо на одну цифру.

    После перенесения запятой вправо на одну цифру, десятичная дробь 6,3 превращается в обычное число 63, а десятичная дробь 0,1 после перенесения запятой вправо на одну цифру превращается в единицу. А разделить 63 на 1 очень просто:

    Значит значение выражения 6,3: 0,1 равно 63

    Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится вправо на столько цифр, сколько нулей в делителе.

    Решим предыдущий пример этим способом. 6,3: 0,1. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 6,3 нужно перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим запятую вправо на одну цифру и получаем 63

    Попробуем разделить 6,3 на 0,01. В делителе 0,01 два нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на две цифры. Но в делимом после запятой только одна цифра. В этом случае в конце нужно дописать ещё один ноль. В результате получим 630

    Попробуем разделить 6,3 на 0,001. В делителе 0,001 три нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на три цифры:

    6,3: 0,001 = 6300

    Задания для самостоятельного решения

    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

    Умножение десятичных дробей
    происходит в три этапа.

    Десятичные дроби записывают в столбик и умножают как обыкновенные числа.

    Считаем количество знаков после запятой у первой десятичной дроби и у второй. Их количество складываем.

    В полученном результате отсчитываем справа налево столько же цифр, сколько получилось их в пункте выше и ставим запятую.

    Как умножать десятичные дроби

    Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые. То есть 3,11 мы рассматриваем как 311 , а 0,01 как 1 .

    Получили 311 . Теперь считаем количество знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В первой десятичной дроби два знака и во второй — два. Общее количество цифр после запятых:

    Отсчитываем справа налево 4 знака (цифры) у полученного числа. В полученном результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В таком случае нужно слева
    приписать недостающее число нулей.

    У нас не хватает одной цифры, поэтому приписываем слева один ноль.

    При умножении любой десятичной дроби
    на 10; 100; 1000 и т.д. запятая в десятичной дроби перемещается вправо на столько знаков, сколько нулей стоит после единицы.

  • 70,1 · 10 = 701
  • 0,023 · 100 = 2,3
  • 5,6 · 1 000 = 5 600
  • Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей.

    Считаем и ноль целых!

    • 12 · 0,1 = 1,2
    • 0,05 · 0,1 = 0,005
    • 1,256 · 0,01 = 0,012 56
    • Чтобы понять, как умножать десятичные дроби, рассмотрим конкретные примеры.

      Правило умножения десятичных дробей

      1) Умножаем, не обращая внимания на запятую.

      2) В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.

      Найти произведение десятичных дробей:

      Чтобы умножить десятичные дроби, умножаем, не обращая внимания на запятые. То есть мы умножаем не 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе. В первом множителе после запятой одна цифра, во втором — тоже одна. Итого, отделяем после запятой две цифры.Таким образом, получили окончательный ответ: 6,8∙3,4=23,12.

      Умножаем десятичные дроби, не принимая во внимание запятую. То есть фактически вместо умножения 36,85 на 1,14 мы умножаем 3685 на 14. Получаем 51590. Теперь в этом результате надо отделить запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой две цифры, во втором — одна. Итого, отделяем запятой три цифры. Поскольку в конце записи после запятой стоит нуль, в ответ мы его не пишем: 36,85∙1,4=51,59.

      Чтобы умножить эти десятичные дроби, умножим числа, не обращая внимания на запятые. То есть умножаем натуральные числа 2315 и 7. Получаем 16205. В этом числе нужно отделить после запятой четыре цифры — столько, сколько их в обоих множителях вместе (в каждом — по два). Окончательный ответ: 23,15∙0,07=1,6205.

      Умножение десятичной дроби на натуральное число выполняется аналогично. Умножаем числа, не обращая внимания на запятую, то есть 75 умножаем на 16. В полученном результате после запятой должно стоять столько же знаков, сколько их в обоих множителях вместе — один. Таким образом, 75∙1,6=120,0=120.

      Умножение десятичных дробей начинаем с того, что умножаем натуральные числа, так как на запятые не обращаем внимания. После этого отделяем после запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой два знака, во втором — тоже два. Итого, в результате после запятой должно стоять четыре цифры: 4,72∙5,04=23,7888.

      И еще пара примеров на умножение десятичных дробей:

      www.for6cl.uznateshe.ru

      Умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения.

      Переходим к изучению следующего действия с десятичными дробями, сейчас мы всесторонне рассмотрим умножение десятичных дробей
      . Сначала обговорим общие принципы умножения десятичных дробей. После этого перейдем к умножению десятичной дроби на десятичную дробь, покажем, как выполняется умножение десятичных дробей столбиком, рассмотрим решения примеров. Дальше разберем умножение десятичных дробей на натуральные числа, в частности на 10, 100 и т.д. В заключение поговорим об умножении десятичных дробей на обыкновенные дроби и смешанные числа.

      Сразу скажем, что в этой статье мы будем говорить лишь об умножении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные случаи разобраны в статьях умножение рациональных чисел и умножение действительных чисел
      .

      Навигация по странице.

      Общие принципы умножения десятичных дробей

      Обсудим общие принципы, которых следует придерживаться при проведении умножения с десятичными дробями.

      Так как конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби являются десятичной формой записи обыкновенных дробей, то умножение таких десятичных дробей по сути является умножением обыкновенных дробей. Иными словами, умножение конечных десятичных дробей
      , умножение конечной и периодической десятичных дробей
      , а также умножение периодических десятичных дробей
      сводится к умножению обыкновенных дробей после перевода десятичных дробей в обыкновенные.

      Рассмотрим примеры применения озвученного принципа умножения десятичных дробей.

      Выполните умножение десятичных дробей 1,5 и 0,75 .

      Заменим умножаемые десятичные дроби соответствующими обыкновенными дробями. Так как 1,5=15/10 и 0,75=75/100 , то. Можно провести сокращение дроби, после чего выделить целую часть из неправильной дроби, а удобнее полученную обыкновенную дробь 1 125/1 000 записать в виде десятичной дроби 1,125 .

      Следует отметить, что конечные десятичные дроби удобно умножать столбиком, об этом способе умножения десятичных дробей мы поговорим в следующем пункте.

      Рассмотрим пример умножения периодических десятичных дробей.

      Вычислите произведение периодических десятичных дробей 0,(3) и 2,(36) .

      Выполним перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби:

      Тогда. Можно полученную обыкновенную дробь перевести в десятичную дробь:

      Если среди умножаемых десятичных дробей присутствуют бесконечные непериодические, то все умножаемые дроби, в том числе конечные и периодические, следует округлить до некоторого разряда (смотрите округление чисел
      ), после чего выполнять умножение полученных после округления конечных десятичных дробей.

      Выполните умножение десятичных дробей 5,382… и 0,2 .

      Сначала округлим бесконечную непериодическую десятичную дробь, округление можно провести до сотых, имеем 5,382…≈5,38 . Конечную десятичную дробь 0,2 округлять до сотых нет необходимости. Таким образом, 5,382…·0,2≈5,38·0,2 . Осталось вычислить произведение конечных десятичных дробей: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1 076/1 000=1,076 .

      Умножение десятичных дробей столбиком

      Умножение конечных десятичных дробей можно выполнять столбиком, аналогично умножению столбиком натуральных чисел.

      Сформулируем правило умножения десятичных дробей столбиком
      . Чтобы умножить десятичные дроби столбиком, надо:

      • не обращая внимания на запятые, выполнить умножение по всем правилам умножения столбиком натуральных чисел;
      • в полученном числе отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько десятичных знаков в обоих множителях вместе, при этом если в произведении не хватает цифр, то слева нужно дописать нужное количество нулей.
      • Рассмотрим примеры умножения десятичных дробей столбиком.

        Выполните умножение десятичных дробей 63,37 и 0,12 .

        Проведем умножение десятичных дробей столбиком. Сначала умножаем числа, не обращая внимания на запятые:

        Осталось в полученном произведении поставить запятую. Ей нужно отделить 4 цифры справа, так как в множителях в сумме четыре десятичных знака (два в дроби 3,37 и два в дроби 0,12). Цифр там хватает, поэтому нулей слева дописывать не придется. Закончим запись:

        В итоге имеем 3,37·0,12=7,6044 .

        Вычислите произведение десятичных дробей 3,2601 и 0,0254 .

        Выполнив умножение столбиком без учета запятых, получаем следующую картину:

        Теперь в произведении нужно отделить запятой 8 цифр справа, так как общее количество десятичных знаков умножаемых дробей равно восьми. Но в произведении только 7 цифр, поэтому, нужно слева приписать столько нулей, чтобы можно было отделить запятой 8 цифр. В нашем случае нужно приписать два нуля:

        На этом умножение десятичных дробей столбиком закончено.

        Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01, и т.д.

        Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 0,1 , 0,01 и так далее. Поэтому целесообразно сформулировать правило умножения десятичной дроби на эти числа, которое следует из рассмотренных выше принципов умножения десятичных дробей.

        Итак, умножение данной десятичной дроби на 0,1 , 0,01 , 0,001 и так далее
        дает дробь, которая получается из исходной, если в ее записи перенести запятую влево на 1 , 2 , 3 и так далее цифр соответственно, при этом если не хватает цифр для переноса запятой, то нужно слева дописать необходимое количество нулей.

        Например, чтобы умножить десятичную дробь 54,34 на 0,1 , надо в дроби 54,34 перенести запятую влево на 1 цифру, при этом получится дробь 5,434 , то есть, 54,34·0,1=5,434 . Приведем еще один пример. Умножим десятичную дробь 9,3 на 0,0001 . Для этого нам нужно в умножаемой десятичной дроби 9,3 перенести запятую на 4 цифры влево, но запись дроби 9,3 не содержит такого количества знаков. Поэтому нам нужно в записи дроби 9,3 слева приписать столько нулей, чтобы можно было беспрепятственно осуществить перенос запятой на 4 цифры, имеем 9,3·0,0001=0,00093 .

        Заметим, что озвученное правило умножения десятичной дроби на 0,1, 0,01, … справедливо и для бесконечных десятичных дробей. К примеру, 0,(18)·0,01=0,00(18) или 93,938…·0,1=9,3938… .

        Умножение десятичной дроби на натуральное число

        По своей сути умножение десятичных дробей на натуральные числа
        ничем не отличается от умножения десятичной дроби на десятичную дробь.

        Конечную десятичную дробь умножать на натуральное число удобнее всего столбиком, при этом следует придерживаться правил умножения столбиком десятичных дробей, рассмотренных в одном из предыдущих пунктов.

        Вычислите произведение 15·2,27 .

        Проведем умножение натурального числа на десятичную дробь столбиком:

        При умножении периодической десятичной дроби на натуральное число, периодическую дробь следует заменить обыкновенной дробью.

        Умножьте десятичную дробь 0,(42) на натуральное число 22 .

        Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь:

        Теперь выполним умножение: . Этот результат в виде десятичной дроби имеет вид 9,(3) .

        А при умножении бесконечной непериодической десятичной дроби на натуральное число нужно предварительно провести округление.

        Выполните умножение 4·2,145… .

        Округлив до сотых исходную бесконечную десятичную дробь, мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби. Имеем 4·2,145…≈4·2,15=8,60 .

        Умножение десятичной дроби на 10, 100, …

        Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 10, 100, … Поэтому целесообразно подробно остановиться на этих случаях.

        Озвучим правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1 000 и т.д.
        При умножении десятичной дроби на 10, 100, … в ее записи нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, … цифры соответственно и отбросить лишние нули слева; если в записи умножаемой дроби не хватает цифр для переноса запятой, то нужно дописать необходимое количество нулей справа.

        Умножьте десятичную дробь 0,0783 на 100 .

        Перенесем в записи дроби 0,0783 на две цифры вправо, при этом получим 007,83 . Отбросив два нуля слева, получаем десятичную дробь 7,38 . Таким образом, 0,0783·100=7,83 .

        Выполните умножение десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

        Чтобы умножить 0,02 на 10 000 , нам нужно перенести запятую на 4 цифры вправо. Очевидно, в записи дроби 0,02 не хватает цифр для переноса запятой на 4 цифры, поэтому допишем несколько нулей справа, чтобы можно было осуществить перенос запятой. В нашем примере достаточно дописать три нуля, имеем 0,02000 . После переноса запятой получим запись 00200,0 . Отбросив нули слева, имеем число 200,0 , которое равно натуральному числу 200 , оно и является результатом умножения десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

        Озвученное правило справедливо и для умножения бесконечных десятичных дробей на 10, 100, … При умножении периодических десятичных дробей нужно быть аккуратными с периодом дроби, которая является результатом умножения.

        Умножьте периодическую десятичную дробь 5,32(672) на 1 000 .

        Перед умножением распишем периодическую десятичную дробь как 5,32672672672… , это нам позволит не допустить ошибки. Теперь перенесем запятую вправо на 3 знака, имеем 5 326,726726… . Таким образом, после умножения получается периодическая десятичная дробь 5 326,(726) .

        5,32(672)·1 000=5 326,(726) .

        При умножении бесконечных непериодических дробей на 10, 100, … нужно предварительно провести округление бесконечной дроби до некоторого разряда, после чего проводить умножение.

        Умножение десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число

        Для умножения конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число, нужно десятичную дробь представить в виде обыкновенной дроби, после чего провести умножение.

        Проведите умножение десятичной дроби 0,4 на смешанное число.

        Так как 0,4=4/10=2/5 и, то. Полученное число можно записать в виде периодической десятичной дроби 1,5(3) .

        При умножении бесконечной непериодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число, обыкновенную дробь или смешанное число следует заменить десятичной дробью, после чего провести округление умножаемых дробей и закончить вычисления.

        Так как 2/3=0,6666… , то. После округления умножаемых дробей до тысячных, приходим к произведению двух конечных десятичных дробей 3,568 и 0,667 . Выполним умножение в столбик:

        Полученный результат следует округлить до тысячных, так как умножаемые дроби были взяты с точностью до тысячных, имеем 2,379856≈2,380 .

        www.cleverstudents.ru

        29. Умножение десятичных дробей. Правила

        Найдем площадь прямоугольника со сторонами равными
        1,4 дм и 0,3 дм. Переведем дециметры в сантиметры:

        1,4 дм = 14 см; 0,3 дм = 3 см.

        Теперь вычислим площадь в сантиметрах.

        S = 14 3 = 42 см 2 .

        Переведем квадратные сантиметры в квадратные
        дециметры:

        д м 2 = 0,42 д м 2 .

        Значит, S = 1,4 дм 0,3 дм = 0,42 дм 2 .

        Умножение двух десятичных дробей выполняется так:
        1) числа перемножаются без учета запятых.
        2) запятая в произведении ставится так, чтобы отделить справа
        столько же знаков, сколько отделено в обоих множителях
        вместе взятых. Например:

        1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

        Примеры умножения десятичных дробей в столбик:

        Вместо умножения любого числа на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ,
        можно разделить это число на 10 ; 100 ; или 1000 соответственно.
        Например:

        22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

        При умножении десятичной дроби на натуральное число, мы должны:

        1) перемножить числа, не обращая внимания на запятую;

        2) в полученном произведении поставить запятую так, чтобы справа
        от нее было столько же цифр, сколько в десятичной дроби.

        Найдем произведение 3,12 10 . По указанному выше правилу
        сначала умножаем 312 на 10 . Получим: 312 10 = 3120 .
        А теперь отделяем запятой две цифры справа и получаем:

        3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

        Значит, при умножении 3,12 на 10 мы перенесли запятую на одну
        цифру вправо. Если умножить 3,12 на 100 , то получим 312 , то есть
        запятую перенесли на две цифры вправо.

        3,12 100 = 312,00 = 312 .

        При умножении десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 и т. д., надо
        в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей
        стоит в множителе. Например:

        0,065 1000 = 0065, = 65 ;

        2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

        Задачи на тему «Умножение десятичных дробей»

        school-assistant.ru

        Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей

        Сложение и вычитание десятичных дробей аналогично сложению и вычитанию натуральных чисел, но с определенными условиями.

        Правило. производится по разрядам целой и дробной части как натуральных чисел.

        При письменном сложении и вычитании десятичных дробей
        запятая, отделяющая целую часть от дробной, должна находиться у слагаемых и суммы или у уменьшаемого, вычитаемого и разности в одном столбце (запятая под запятой от записи условия до конца вычисления).

        Сложение и вычитание десятичных дробей
        в строку:

        243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

        843,217 — 700,628 = (800 — 700) + 40 + 3 + (0,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

        Сложение и вычитание десятичных дробей
        в столбик:

        Сложение десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для записи чисел, когда сумма разряда переходит через десяток. Вычитание десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для того, чтобы отметить разряд, в котором одалживается 1.

        Если справа от слагаемого или уменьшаемого не хватает разрядов дробной части, то справа в дробной части можно дописывать столько нулей (увеличивать разрядность дробной части), сколько разрядов в другом слагаемом или уменьшаемом.

        Умножение десятичных дробей
        производится так же, как и умножение натуральных чисел, по тем же правилам, но в произведении ставится запятая по сумме разрядов множителей в дробной части, считая справа налево (сумма разрядов множителей — это количество разрядов после запятой у множителей, вместе взятых).

        При умножении десятичных дробей
        в столбик первая справа значащая цифра подписывается под первой справа значащей цифрой, как и в натуральных числах:

        Запись умножения десятичных дробей
        в столбик:

        Запись деления десятичных дробей
        в столбик:

        Подчеркнутые знаки — это знаки, за которые переносится запятая, потому что делитель должен быть целым числом.

        Правило. При делении дробей
        делитель десятичной дроби увеличивается на столько разрядов, сколько разрядов в дробной его части. Чтобы дробь не изменилась, на столько же разрядов увеличивается и делимое (в делимом и делителе запятая переносится на одно и то же число знаков). Запятая ставится в частном на том этапе деления, когда целая часть дроби разделена.

        Для десятичных дробей, как и для натуральных чисел, сохраняется правило: на ноль десятичную дробь делить нельзя!

    Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Что представляют собой степенные выражения?

    В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

    Определение 1

    Степенное выражение
    – это выражение, которое содержит степени.

    Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

    Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . А также степени с нулевым показателем: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . И степени с целыми отрицательными степенями: (0 , 5) 2 + (0 , 5) — 2 2 .

    Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 264 1 4 — 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 — 2 2 — 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 — 2 · a — 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 — π , 2 3 3 + 5 .

    В качестве показателя может выступать переменная 3 x — 54 — 7 · 3 x — 58 или логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x
    .

    С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

    Основные виды преобразований степенных выражений

    В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

    Пример 1

    Вычислите значение степенного выражения 2 3 · (4 2 − 12)
    .

    Решение

    Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 2 3 · (4 2 − 12) = 2 3 · (16 − 12) = 2 3 · 4
    .

    Нам остается заменить степень 2 3
    ее значением 8
    и вычислить произведение 8 · 4 = 32
    . Вот наш ответ.

    Ответ:
    2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

    Пример 2

    Упростите выражение со степенями 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7
    .

    Решение

    Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1
    .

    Ответ:
    3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

    Пример 3

    Представьте выражение со степенями 9 — b 3 · π — 1 2 в виде произведения.

    Решение

    Представим число 9 как степень 3 2
    и применим формулу сокращенного умножения:

    9 — b 3 · π — 1 2 = 3 2 — b 3 · π — 1 2 = = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1

    Ответ:
    9 — b 3 · π — 1 2 = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1 .

    А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.

    Работа с основанием и показателем степени

    Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7
    и . Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

    Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

    Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 можно выполнить действия для перехода к степени 4 , 1 1 , 3
    . Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)
    и получить степенное выражение более простого вида a 2 · (x + 1)
    .

    Использование свойств степеней

    Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a
    и b
    – это любые положительные числа, а r
    и s
    — произвольные действительные числа:

    Определение 2

    • a r · a s = a r + s ;
    • a r: a s = a r − s ;
    • (a · b) r = a r · b r ;
    • (a: b) r = a r: b r ;
    • (a r) s = a r · s .

    В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство a m · a n = a m + n
    , где m
    и n
    – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a , как положительных, так и отрицательных, а также для a = 0
    .

    Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

    При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

    Пример 4

    Представьте выражение a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5
    в виде степени с основанием a
    .

    Решение

    Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a 2) − 3
    . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

    a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

    Ответ:
    a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

    Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

    Пример 5

    Найти значение степенного выражения 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

    Решение

    Если мы применим равенство (a · b) r = a r · b r
    , справа налево, то получим произведение вида 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и дальше 21 1 3 · 21 2 3 . Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

    Есть еще один способ провести преобразования:

    3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

    Ответ:
    3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

    Пример 6

    Дано степенное выражение a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6
    , введите новую переменную t = a 0 , 5
    .

    Решение

    Представим степень a 1 , 5
    как a 0 , 5 · 3
    . Используем свойство степени в степени (a r) s = a r · s
    справа налево и получим (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t = a 0 , 5
    : получаем t 3 − t − 6
    .

    Ответ:
    t 3 − t − 6 .

    Преобразование дробей, содержащих степени

    Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

    Пример 7

    Упростить степенное выражение 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 .

    Решение

    Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

    3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 3 · 5 2 3 · 5 — 2 3 — 2 — x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 — 3 · 5 2 3 + — 2 3 — 2 — x 2 = 3 · 5 1 — 3 · 5 0 — 2 — x 2

    Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12 — 2 — x 2 = — 12 2 + x 2

    Ответ:
    3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = — 12 2 + x 2

    Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

    Пример 8

    Приведите дроби к новому знаменателю: а) a + 1 a 0 , 7 к знаменателю a
    , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 к знаменателю x + 8 · y 1 2 .

    Решение

    а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a 0 , 7 · a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a ,
    следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a 0 , 3
    . Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a 0 , 3
    не обращается в нуль.

    Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a 0 , 3
    :

    a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a

    б) Обратим внимание на знаменатель:

    x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 — x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2

    Умножим это выражение на x 1 3 + 2 · y 1 6 , получим сумму кубов x 1 3 и 2 · y 1 6 , т.е. x + 8 · y 1 2 . Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.

    Так мы нашли дополнительный множитель x 1 3 + 2 · y 1 6 . На области допустимых значений переменных x
    и y
    выражение x 1 3 + 2 · y 1 6 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
    1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2

    Ответ:
    а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

    Пример 9

    Сократите дробь: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 .

    Решение

    а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15 . Также мы можем произвести сокращение на x 0 , 5 + 1
    и на x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 .

    Получаем:

    30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1)

    б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

    a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 2 — b 1 2 2 = = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 — b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

    Ответ:
    а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

    К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

    Пример 10

    Выполните действия x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

    Решение

    Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

    x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1

    Вычтем числители:

    x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 — x 1 2 — 1 · x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 — 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 — x 1 2 — 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 — x 1 2 2 — 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2

    Теперь умножаем дроби:

    4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

    Произведем сокращение на степень x 1 2
    , получим 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 .

    Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 — 1 2 = 4 x — 1 .

    Ответ:
    x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x — 1

    Пример 11

    Упростите степенное выражение x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
    Решение

    Мы можем произвести сокращение дроби на (x 2 , 7 + 1) 2
    . Получаем дробь x 3 4 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 .

    Продолжим преобразования степеней икса x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 — — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 , 7 + 1 .

    Переходим от последнего произведения к дроби x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

    Ответ:
    x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

    Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x + 1) — 0 , 2 3 · x — 1 можно заменить на x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

    Преобразование выражений с корнями и степенями

    В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

    Пример 12

    Представьте выражение x 1 9 · x · x 3 6 в виде степени.

    Решение

    Область допустимых значений переменной x
    определяется двумя неравенствами x ≥ 0
    и x · x 3 ≥ 0 , которые задают множество [ 0 , + ∞)
    .

    На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:

    x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

    Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

    x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

    Ответ:
    x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

    Преобразование степеней с переменными в показателе

    Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 5 2 · x + 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x − 1 = 0
    .

    Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

    5 2 · x · 5 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x · 7 − 1 = 0 , 5 · 5 2 · x − 3 · 5 x · 7 x − 2 · 7 2 · x = 0 .

    Теперь поделим обе части равенства на 7 2 · x
    . Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

    5 · 5 — 3 · 5 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0

    Сократим дроби со степенями, получим: 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x 7 x — 2 = 0 .

    Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5 · 5 7 2 · x — 3 · 5 7 x — 2 = 0 , которое равносильно 5 · 5 7 x 2 — 3 · 5 7 x — 2 = 0 .

    Введем новую переменную t = 5 7 x , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

    Преобразование выражений со степенями и логарифмами

    Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 1 4 1 — 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 — log 3 5) · log 5 3 . Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Сложные выражения с дробями. Порядок действий. Как упрощать алгебраические выражения Упрощение дробных выражений

    Рациональные выражения и дроби — краеугольный пункт всего курса алгебры.{2}} \right)$ — разность кубов.

    Еще хотел бы отметить, что наша школьная система образования устроена таким образом, что именно с изучением этой темы, т.е. рациональных выражений, а также корней, модулей у всех учеников возникает одна и та же проблема, которую я сейчас объясню.

    Дело в том, что в самом начале изучения формул сокращенного умножения и, соответственно, действий по сокращению дробей (это где-то 8 класс) учителя говорят что-то следующее: «Если вам что-то непонятно, то вы не переживайте, мы к этой теме еще вернемся неоднократно, в старших классах так точно. Мы это еще разберем». Ну а затем на рубеже 9-10 класса те же самые учителя объясняют тем же самым ученикам, которые так и не знают, как решать рациональные дроби, примерно следующее: «А где вы были предыдущие два года? Это же изучалось на алгебре в 8 классе! Чего тут может быть непонятного? Это же так очевидно!».

    Однако обычным ученикам от таких объяснений нисколько не легче: у них как была каша в голове, так и осталась, поэтому прямо сейчас мы разберем два простых примера, на основании которых и посмотрим, каким образом в настоящих задачах выделять эти выражения, которые приведут нас к формулам сокращенного умножения и как потом применять это для преобразования сложных рациональных выражений.{2}}\]

    \[{{x}_{1}}=\frac{-5y+7y}{2}=y\]

    \[{{x}_{2}}=\frac{-5y-7y}{2}=\frac{-12y}{2}=-6y\]

    Запишем разложение нашей квадратной конструкции:

    \[\left(x-y \right)\left(x+6y \right)\]

    Итого если мы вернемся к исходному выражению и перепишем его с учетом изменений, то получим следующее:

    \[\frac{8}{\left(x-y \right)\left(x+6y \right)}\]

    Что нам дает такая запись? Ничего, потому что его не сократить, оно ни на что не умножается и не делится. Однако как только эта дробь окажется составной частью более сложного выражения, подобное разложение окажется кстати. Поэтому как только вы видите квадратный трехчлен (неважно, отягощен он дополнительными параметрами или нет), всегда старайтесь разложить его на множители.

    Нюансы решения

    Запомните основные правила преобразования рациональных выражений:

    • Все знаменатели и числители необходимо раскладывать на множители либо через формулы сокращенного умножения, либо через дискриминант.{2}} \right)}{\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right)}=\]

      \[=\frac{3\cdot \left(-1 \right)}{2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right)}=\frac{3}{2\left(x-2 \right)}\]

      Ответ: $\frac{3}{2\left(x-2 \right)}$.

      Нюансы решения

      Итак, чему мы только что научились:

      • Далеко не каждый квадратный трехчлен раскладывается на множители, в частности, это относится к неполному квадрату суммы или разности, которые очень часто встречаются как части кубов суммы или разности.
      • Константы, т.е. обычные числа, не имеющие при себе переменных, также могут выступать активными элементами в процессе разложения. Во-первых, их можно выносить за скобки, во-вторых, сами константы могут быть представимы в виде степеней.
      • Очень часто после разложения всех элементов на множители возникают противоположные конструкции. Сокращать эти дроби нужно крайне аккуратно, потому что при из зачеркивании либо сверху, либо снизу возникает дополнительный множитель $-1$ — это как раз и есть следствие того, что они противоположны.{2}}}=\]

        \[=\frac{\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right)}{\left(b-2 \right)}\]

        Ответ: $\frac{\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right)}{\left(b-2 \right)}$.

        Нюансы решения

        Как мы еще раз убедились, неполные квадраты суммы либо неполные квадраты разности, которые часто встречаются в реальных рациональных выражениях, однако не стоит их пугаться, потому что после преобразования каждого элемента они практически всегда сокращаются. Кроме того, ни в коем случае не стоит бояться больших конструкций в итогом ответе — вполне возможно, что это не ваша ошибка (особенно, если все разложено на множители), а это автор задумал такой ответ.

        В заключение хотелось бы разобрать еще один сложных пример, который уже не относится напрямую к рациональным дробям, однако он содержит все то, что ждет вас на настоящих контрольных и экзаменах, а именно: разложение на множители, приведение к общему знаменателю, сокращение подобных слагаемых. Вот именно этим мы сейчас и займемся.

        Решение сложной задачи на упрощение и преобразование рациональных выражений

        \[\left(\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2} \right)\cdot \left(\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x} \right)\]

        Сначала рассмотрим и раскроем первую скобку: в ней мы видим три отдельных дроби с разными знаменателями поэтому первое, что нам необходимо сделать — это привести все три дроби к общему знаменателю, а для этого каждый из них следует разложить на множители:

        \[{{x}^{2}}+2x+4={{x}^{2}}+2\cdot x+{{2}^{2}}\]

        \[{{x}^{2}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{2}}=\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)\]

        Перепишем всю нашу конструкцию следующим образом:

        \[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}-\frac{1}{x-2}=\]

        \[=\frac{x\left(x-2 \right)+{{x}^{3}}+8-\left({{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\]

        \[=\frac{{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+8-{{x}^{2}}-2x-4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\frac{{{x}^{2}}-4x-4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\]

        \[=\frac{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\]

        Это результат вычислений из первой скобки.{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]

        Ответ: $\frac{1}{x+2}$.

        Нюансы решения

        Как видите, ответ получился вполне вменяемый. Однако обратите внимание: очень часто при таких масштабных вычислениях, когда единственная переменная оказывается лишь в знаменателе, ученики забывают, что это знаменатель и он должен стоял внизу дроби и пишут это выражение в числитель — это грубейшая ошибка.

        Кроме того, хотел бы обратить ваше отдельное внимание на то, как оформляются такие задачи. В любых сложных вычислениях все шаги выполняются по действиям: сначала отдельно считаем первую скобку, потом отдельно вторую и лишь в конце мы объединяем все части и считаем результат. Таким образом мы страхуем себя от глупых ошибок, аккуратно записываем все выкладки и при этом нисколько не тратим лишнего времени, как это может показаться на первый взгляд.

        Материал этой статьи представляет собой общий взгляд на преобразование выражений, содержащих дроби. Здесь мы рассмотрим основные преобразования, которые характерны для выражений с дробями.

        Навигация по странице.

        Выражения с дробями и дробные выражения

        Для начала проясним, с преобразованием выражений какого вида мы собрались разбираться.

        В заголовке статьи фигурирует говорящее за себя словосочетание «выражения с дробями
        ». То есть, ниже речь пойдет о преобразовании числовых выражений и выражений с переменными, в записи которых присутствует хотя бы одна дробь .

        Сразу заметим, что после выхода в свет статьи «преобразование дробей: общий взгляд » нам уже не интересны отдельные дроби. Таким образом, дальше мы будем рассматривать суммы, разности, произведения, частные и более сложные выражения с корнями, степенями, логарифмами, объединяет которые лишь наличие хотя бы одной дроби.

        И еще оговоримся про дробные выражения
        . Это не то же самое, что выражения с дробями. Выражения с дробями – более общее понятие. Не каждое выражение с дробями есть дробное выражение. Например, выражение не является дробным выражением, хотя и содержит дробь, это целое рациональное выражение . Так что не стоит называть выражение с дробями дробным выражением, не будучи полностью уверенным, что оно является таковым.

        Основные тождественные преобразования выражений с дробями

        Пример.

        Упростите выражение .

        Решение.

        В данном случае можно раскрыть скобки , что даст выражение , в котором присутствуют подобные слагаемые и , а также −3
        и 3
        . После их приведения получим дробь .

        Покажем краткую форму записи решения:

        Ответ:

        .

        Работа с отдельными дробями

        Выражения, о преобразовании которых мы говорим, отличаются от других выражений главным образом наличием дробей. А наличие дробей требует инструментов для работы с ними. В этом пункте мы обсудим преобразование отдельных дробей, входящих в запись данного выражения, а в следующем пункте перейдем к выполнению действий с дробями, составляющими исходное выражение.

        С любой дробью, которая является составной частью исходного выражения, можно выполнять любое из преобразований, обозначенных в статье преобразование дробей . То есть, можно взять отдельную дробь, поработать с ее числителем и знаменателем, сократить ее, привести к новому знаменателю и т.д. Понятно, что при этом преобразовании выбранная дробь заменится тождественно равной ей дробью, а исходное выражение – тождественно равным ему выражением. Давайте рассмотрим пример.

        Пример.

        Преобразовать выражение с дробью к более простому виду.

        Решение.

        Преобразование начнем с того, что поработаем с дробью . Для начала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе дроби: . Теперь напрашивается вынесение за скобки общего множителя x
        в числителе и последующее сокращение алгебраической дроби : . Остается лишь подставить полученный результат вместо дроби в исходное выражение, что дает .

        Ответ:

        .

        Выполнение действий с дробями

        Частью процесса преобразования выражений с дробями часто является выполнение действий с дробями
        . Они проводятся в соответствии с принятым порядком выполнения действий. Также стоит иметь в виду, что любое число или выражение всегда можно представить в виде дроби со знаменателем 1
        .

        Пример.

        Упростите выражение .

        Решение.

        К решению поставленной задачи можно подходить с разных сторон. Мы в контексте разбираемой темы пойдем путем выполнения действий с дробями. Начнем с умножения дробей:

        Теперь произведение запишем в виде дроби со знаменателем 1
        , после чего проведем вычитание дробей:

        При желании и необходимости можно еще освободиться от иррациональности в знаменателе , на чем можно закончить преобразования.

        Ответ:

        Применение свойств корней, степеней, логарифмов и т.п.

        Класс выражений с дробями очень широк. Такие выражения помимо собственно дробей, могут содержать корни, степени с различными показателями, модули, логарифмы, тригонометрические функции и т.п. Естественно, при их преобразовании применяются соответствующие свойства.

        Применимо к дробям, стоит выделить свойство корня из дроби , свойство дроби в степени , свойство модуля частного и свойство логарифма разности .

        Для наглядности приведем несколько примеров. Например, в выражении может быть полезно на базе свойств степени первую дробь заменить степенью , что в дальнейшем позволяет представить выражение в виде квадрата разности. При преобразовании логарифмического выражения можно логарифм дроби заменить разностью логарифмов, что в дальнейшем позволяет привести подобные слагаемые и тем самым упростить выражение: . Преобразование тригонометрических выражений может потребовать заменить отношение синуса к косинусу одного и того же угла тангенсом. Также возможно придется от половинного аргумента по соответствующим формулам переходить к целому аргументу, тем самым избавляясь от аргумента-дроби, например, .

        Применение свойств корней, степеней и т.п. к преобразованию выражений более подробно освещено в статьях:

        • Преобразование иррациональных выражений с использованием свойств корней ,
        • Преобразование выражений с использованием свойств степеней ,
        • Преобразование логарифмических выражений с использованием свойств логарифмов ,
        • Преобразование тригонометрических выражений
          .

        Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.

        Определение и примеры рациональных выражений

        Определение 1

        Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.

        Для примера имеем, что 5 , 2 3 · x — 5 , — 3 · a · b 3 — 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 — b) , (x + 1) · (y — 2) x 5 — 5 · x · y · 2 — 1 11 · x 3 .

        То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями.Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.

        Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.

        Основные виды преобразований рациональных выражений

        Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.

        Пример 1

        Преобразовать рациональное выражение 3 · x x · y — 1 — 2 · x x · y — 1 .

        Решение

        Видно, что такое рациональное выражение – это разность 3 · x x · y — 1 и 2 · x x · y — 1 . Замечаем, что знаменатель у них идентичный. Это значит, что приведение подобных слагаемых примет вид

        3 · x x · y — 1 — 2 · x x · y — 1 = x x · y — 1 · 3 — 2 = x x · y — 1

        Ответ:
        3 · x x · y — 1 — 2 · x x · y — 1 = x x · y — 1 .

        Пример 2

        Выполнить преобразование 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x — x) .

        Решение

        Первоначально выполняем действия в скобках 3 · x − x = 2 · x . Данное выражение представляем в виде 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x — x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x . Мы приходим к выражению, которое содержит действия с одной ступенью, то есть имеет сложение и вычитание.

        Избавляемя от скобок при помощи применения свойства деления. Тогда получаем, что 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x .

        Группируем числовые множители с переменной x , после этого можно выполнять действия со степенями. Получаем, что

        2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x = (2 · (- 4) : 2) · (x · x 2: x) · y 4 = — 4 · x 2 · y 4

        Ответ:
        2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x — x) = — 4 · x 2 · y 4 .

        Пример 3

        Преобразовать выражение вида x · (x + 3) — (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

        Решение

        Для начала преобразовываем числитель и знаменатель. Тогда получаем выражение вида (x · (x + 3) — (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2 , причем действия в скобках делают в первую очередь. В числителе выполняются действия и группируются множители. После чего получаем выражение вида x · (x + 3) — (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x — 3 · x — 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 — 1 2 · x + 2 .

        Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что

        x 2 — 1 2 · x + 2 = (x — 1) · (x + 1) 2 · (x + 1) = x — 1 2

        Ответ
        : x · (x + 3) — (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x — 1 2 .

        Представление в виде рациональной дроби

        Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.

        Пример 4

        Представить в виде рациональной дроби a + 5 a · (a — 3) — a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a .

        Решение

        Данное выражение можно представить в виде a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a . Умножение выполняется в первую очередь по правилам.

        Следует начать с умножения, тогда получим, что

        a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a — 5 · (a + 5) a + 3 · 1 a · (a + 5) = a — 5 · (a + 5) · 1 (a + 3) · a · (a + 5) = a — 5 (a + 3) · a

        Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что

        a + 5 a · (a — 3) — a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a — 3 — a — 5 a + 3 · a

        Теперь выполняем вычитание:

        a + 5 a · a — 3 — a — 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a — 3) · (a + 3) — (a — 5) · (a — 3) (a + 3) · a · (a — 3) = = a + 5 · a + 3 — (a — 5) · (a — 3) a · (a — 3) · (a + 3) = a 2 + 3 · a + 5 · a + 15 — (a 2 — 3 · a — 5 · a + 15) a · (a — 3) · (a + 3) = = 16 · a a · (a — 3) · (a + 3) = 16 a — 3 · (a + 3) = 16 a 2 — 9

        После чего очевидно, что исходное выражение примет вид 16 a 2 — 9 .

        Ответ:
        a + 5 a · (a — 3) — a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 — 9 .

        Пример 5

        Представить x x + 1 + 1 2 · x — 1 1 + x в виде рациональной дроби.

        Решение

        Заданное выражение записывается как дробь, в числителе которой имеется x x + 1 + 1 , а в знаменателе 2 · x — 1 1 + x . Необходимо произвести преобразования x x + 1 + 1 . Для этого нужно выполнить сложение дроби и числа. Получаем, что x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 · x + 1 x + 1

        Следует, что x x + 1 + 1 2 · x — 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 2 · x — 1 1 + x

        Получившаяся дробь может быть записана как 2 · x + 1 x + 1: 2 · x — 1 1 + x .

        После деления придем к рациональной дроби вида

        2 · x + 1 x + 1: 2 · x — 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 · 1 + x 2 · x — 1 = 2 · x + 1 · (1 + x) (x + 1) · (2 · x — 1) = 2 · x + 1 2 · x — 1

        Можно решить это иначе.

        Вместо деления на 2 · x — 1 1 + x производим умножение на обратную ей 1 + x 2 · x — 1 . Применим распределительное свойство и получаем, что

        x x + 1 + 1 2 · x — 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 · x — 1 1 + x = x x + 1 + 1 · 1 + x 2 · x — 1 = = x x + 1 · 1 + x 2 · x — 1 + 1 · 1 + x 2 · x — 1 = x · 1 + x (x + 1) · 2 · x — 1 + 1 + x 2 · x — 1 = = x 2 · x — 1 + 1 + x 2 · x — 1 = x + 1 + x 2 · x — 1 = 2 · x + 1 2 · x — 1

        Ответ:
        x x + 1 + 1 2 · x — 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x — 1 .

        Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

        Внимание!
        К этой теме имеются дополнительные
        материалы в Особом разделе 555.
        Для тех, кто сильно «не очень…»
        И для тех, кто «очень даже…»)

        Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да
        логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.

        Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?

        Виды дробей. Преобразования.

        Дроби бывают трёх видов.

        1. Обыкновенные дроби

        , например:

        Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем
        , нижнее — знаменателем.
        Если вы постоянно путаете эти названия (бывает…), скажите себе с выражением фразу: «Ззззз
        апомни! Ззззз
        наменатель — вниззззз
        у!» Глядишь, всё и ззззапомнится.)

        Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление
        верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления — две точки.

        Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби «32/8» гораздо приятнее написать число «4». Т.е. 32 просто поделить на 8.

        32/8 = 32: 8 = 4

        Я уж и не говорю про дробь «4/1». Которая тоже просто «4». А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.

        2. Десятичные дроби

        , например:

        Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания «В».

        3. Смешанные числа

        , например:

        Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните… На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.

        Наиболее универсальны обыкновенные дроби
        . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями
        !

        Основное свойство дроби.

        Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби
        . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится.
        Т.е:

        Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь

        . 2/3.

        А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей
        . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но… человек — существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.

        Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .

        Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.

        Например, надо упростить выражение:

        Тут и думать нечего, зачеркиваем букву «а» сверху и двойку снизу! Получаем:

        Все правильно. Но реально вы поделили весь

        числитель и весь

        знаменатель на «а». Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть «а» в выражении

        и получить снова

        Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь
        числитель на «а» уже не делится
        ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь

        числитель и весь

        знаменатель!

        Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё… пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?

        Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора
        ! Это важно на ЕГЭ, верно?

        Как переводить дроби из одного вида в другой.

        С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.

        А если целых — не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых
        в числитель, а в знаменатель — то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную

        .

        А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.

        Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда
        стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела «В» получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются…

        Вспоминаем основное свойство дроби

        ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно…)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам
        надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика
        требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.

        Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000… Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.

        А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333… Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится
        . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную

        !

        Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе «В» в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.

        Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками… Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.

        Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:

        Спокойно, без паники соображаем. Целая часть — это 1. Единица. Дробная часть — 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части — 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:

        Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

        Обратная операция — перевод неправильной дроби в смешанное число — в старших классах редко требуется. Ну если уж… И если Вы — не в старших классах — можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.

        Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как

        переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем

        это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?

        Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать
        . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам

        !

        Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм… злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?

        0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!

        Подведём итоги этого урока.

        1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.

        2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда
        можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда
        возможен.

        3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное — перейти к обыкновенным дробям.

        Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:

        3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

        Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):

        На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего…) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил… Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать
        начинают. И решают дроби с лёту).

        Если Вам нравится этот сайт…

        Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

        Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

        можно познакомиться с функциями и производными.

        В школе VIII вида учащиеся знакомятся со следующими преоб­разованиями дробей: выражением дроби в более крупных долях (6-й класс), выражением неправильной дроби целым или смешан­ным числом (6-й класс), выражением дробей в одинаковых долях (7-й класс), выражением смешанного числа неправильной дробью (7-й класс).

        Выражение неправильной дроби целым или смешанным числом

        Изучение данного материала следует начать с задания: взять 2 равных круга и каждый из них разделить на 4 равные доли, подсчи­тать количество четвертых долей (рис. 25). Далее предлагается записать это количество дробью . Затем четвертые доли при-

        кладываются друг к другу и ученики убеждаются, что получился целый круг. Следовательно,К четырем четвертям добавляет-

        ся последовательно еще по и ученики записывают:

        Учитель обращает внимание учащихся на то, что во всех рас­смотренных случаях они брали неправильную дробь, а в результа­те преобразования получали или целое, или смешанное число, т. е. выражали неправильную дробь целым или смешанным чис­лом. Далее надо стремиться к тому, чтобы учащиеся самостоятель­но определили, каким арифметическим действием это преобразова­ние можно выполнить. Яркими примерами, приводящими к ответу на вопрос, являются: Вывод: чтобы

        выразить неправильную дробь целым или смешанным числом, нужно числитель дроби разделить на знаменатель, частное запи­сать целым числом, остаток записать в числитель, а знаменатель оставить тот же. Так как правило громоздкое, совсем не обяза­тельно, чтобы учащиеся заучивали его наизусть. Они должны уметь последовательно рассказать о действиях при выполнении данного преобразования.

        Перед тем как познакомить учащихся с выражением непра­вильной дроби целым или смешанным числом, целесообразно по­вторить с ними деление целого числа на целое с остатком.

        Закреплению нового для учащихся преобразования способству­ет решение задач жизненно-практического характера, например:

        «В вазе лежит девять четвертых долей апельсина. Сколько целых апельсинов можно сложить из этих долей? Сколько четвер­тых долей останется?»

        Выражение целого и смешанного числа неправильной дробью

        Знакомству учащихся с этим новым преобразованием должно предшествовать решение задач, например:

        «2 равных по длине куска ткани, имеющих форму квадрата, разрезали на 4 равные части. Из каждой такой части сшили платок. Сколько получилось платков?» .

        Далее учитель предлагает учащимся выполнитьтакое задание: «Возьмите целый круг и еще половину круга, равного по разме­ру первому. Разрежьте целый круг пополам. Сколько всего поло­винполучилось? Запишите: было круга, стало круга.

        Таким образом, опираясь на наглядно-практическую основу, рассматриваем еще ряд примеров. В рассматриваемых примерах учащимся предлагается сравнить исходное число (смешанное или целое) и число, которое получилось после преобразования (непра­вильная дробь).

        Чтобы познакомить учеников с правилом выражения целого и смешанного числа неправильной дробью, надо привлечь их внима­ние к сравнению знаменателей смешанного числа и неправильной дроби, а также к тому, как получается числитель, например:

        будет 15/4. В итоге формулируется правило: чтобы смешанное число выразить неправильной дробью, надо знаменатель умножить на целое число, прибавить к произведению числитель и сумму запи­сать числителем, а знаменатель оставить без изменения.

        Вначале нужно упражнять учащихся в выражении неправиль­ной дробью единицы, затем любого другого целого числа с указа­нием знаменателя, а уже затем смешанного числа-

        Основное свойство дроби 1

        Понятие неизменяемости дроби при одновременном увеличении или уменьшении ее членов, т. е. числителя и знаменателя, усваи­вается учащимися школы VIII вида с большим трудом. Это поня­тие необходимо вводить на наглядном и дидактическом материале, причем важно, чтобы учащиеся не только наблюдали за деятель­ностью учителя, но и сами активно работали с дидактическим материалом и на основе наблюдений и практической деятельности приходили к определенным выводам, обобщению.

        Например, учитель берет целую репу, делит ее на 2 равные части и спрашивает: «Что получили при делении целой репы пополам? (2 половины.) Покажите репы. Разрежем (разделим) половину репы еще на 2 равные части. Что получим? Запишем: Сравним числители и знаменатели этих дробей. Во сколько

        раз увеличился числитель? Во сколько раз увеличился знамена­тель? Во сколько раз увеличились и числитель, и знаменатель? Изменилась ли дробь? Почему не изменилась? Какими стали доли: крупнее или мельче? Увеличилось или уменьшилось число долей?»

        Затем все учащиеся делят круг на 2 равные части, каждую половину делят еще на 2 равные части, каждую четверть еще на 2 равные части и т. д. и записывают: и т. д. Потом

        устанавливают, во сколько раз увеличился числитель и знамена­тель дроби, изменилась ли дробь. Затем чертят отрезок и делят его последовательно на 3, 6, 12 равных частей и записывают:

        При сравнении дробей обнаруживается, что

        числитель и знаменатель дроби увеличивается в одно и то же число раз, дробь от этого не изменяется.

        После рассмотрения ряда примеров следует предложить уча­щимся ответить на вопрос: «Изменится ли дробь, если числитель

        Некоторые знания по теме «Обыкновенные дроби» исключаются из учебных программ по математике в коррекционных школах VIII вида, но они сообщаются учащимся в школах для детей с задержкой психического развития, в классах выравнивания для детей, испытывающих трудности в обучении математике. В данном учебнике параграфы, где дается методика изучения этого материала, обозначены звездочкой (*).

        и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (увеличить в одно и то же число раз)?» Кроме того, надо попросить учащихся самим привести примеры.

        Аналогичные примеры приводятся при рассмотрении уменьше­ния числителя и знаменателя в одно и то же число раз (числитель и знаменатель делятся на одно то же число). Например, круг делят на 8 равных частей, берут 4 восьмые доли круга,

        укрупнив доли, берут четвертые, их будет 2. Укрупнив доли, берут вторые. Их будет Сравнивают последовательно

        числители и знаменатели этих дробей, отвечая на вопросы: «Во сколько раз уменьшается числитель и знаменатель? Изменится ли дробь?*.

        Хорошим пособием являются полосы, разделенные на 12, 6, 3 равные части (рис. 26).

        На основании рассмотренных примеров учащиеся могут сде­лать вывод: дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (уменьшить в одно и то же число раз). Затем дается обобщенный вывод — основное свойство дроби: дробь не изме­нится, если числитель и знаменатель дроби увеличить или умень­шить в одно и то же число раз.

        Сокращение дробей

        Предварительно необходимо готовить учащихся к этому преоб­разованию дробей. Как известно, сократить дробь — это значит числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число. Но делителем должно быть такое число, которое дает в ответе несократимую дробь.

        За месяц-полтора до ознакомления учащихся с сокращением дробей проводится подготовительная работа — предлагается из таблицы умножения назвать два ответа, которые делятся на одно и то же число. Например: «Назовите два числа, которые делятся на 4». (Сначала учащиеся смотрят 1 в таблицу, а потом называют эти числа по памяти.) Они называют и числа, и результаты их деления на 4. Затем учитель предлагает ученикам для дроби, 3

        например подобрать делитель — для числителя и знаменателя (опорой для выполнения такого действия является таблица умно­жения).

        какую таблицу надо посмотреть? На какое число можно разделить 5 и 15?) Выясняется, что при делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число величина дроби не изменилась (это можно показать на полоске, отрезке, круге), только стали круп­нее доли:Вид дроби стал проще. Учащиеся подводятся к выводу правиласокращения дробей.

        Учащимся школы VIII вида часто оказывается трудно подо­брать наибольшее число, на которое делится и числитель, и знаменатель дроби. Поэтому нередко наблюдаются ошибки такого характера, как 4/12=2/6 т. е. ученик не нашел наибольший общий

        делитель для чисел4 и 12. Поэтому на первых порах можно разрешить постепенное деление, т. е. но при этом спрашивать, на какое число разделили числитель и знаменатель дроби сначала, на какое число потом и затем на какое число сразу можно было разделить числитель и знаменатель дроби. Такие вопросы помогают учащимся постепенно отыскивать наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби.

        Приведение
        дробей к наименьшему общему знаменателю*

        Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю нужно рассматривать не как самоцель, а как преобразование, необходимое для сравнения дробей, а затем и для выполнения действий сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

        Учащиеся уже знакомы со сравнением дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями и с одинаковыми знамена­телями, но разными числителями. Однако они еще не умеют сравни­вать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

        Перед тем как объяснять учащимся смысл нового преобразова­ния, необходимо повторить пройденный материал, выполнив, на­пример, такие задания:

        Сравнить дроби 2/5,2/7,2/3 Сказать правило сравнения дробей с

        одинаковыми числителями.

        Сравнить дроби Сказать правило сравнения дробей

        с одинаковыми знаменателями.

        Сравнить дроби Эти дроби учащиеся сравнить затрудня-

        ются, так как у них разные числители и разные знаменатели. Чтобы сравнить эти дроби, нужно сделать равными числители или знамена­тели этих дробей. Обычно в одинаковых долях выражают знаменате­ли, т. е. приводят дроби к наименьшему общему знаменателю.

        Учащихся необходимо познакомить со способом выражения дробей в одинаковых долях.

        Сначала рассматриваются дроби с разными знаменателями, но такие, у которых знаменатель одной дроби делится без остатка на знаменатель другой дроби и, следовательно, может являться и знаменателем другой дроби.

        Например, у дробей знаменателями являются числа 8 и 2.

        Чтобы выразить эти дроби в одинаковых долях, учитель предлага­ет меньший знаменатель умножать последовательно на числа 2, 3, 4 и т. д. и делать это до тех пор, пока не получится результат, равный знаменателю первой дроби. Например, 2 умножим на 2, получим 4. Знаменатели опять у двух дробей разные. Далее 2 умножим на 3, получим 6. Число 6 также не подходит. 2 умножим на 4, получим 8. В этом случае знаменатели стали одинаковыми. Чтобы дробь не изменилась, надо и числитель дроби умно­жить на 4 (на основании основного свойства дроби). Получим дробь Теперь дроби выражены в одинаковых долях. Их

        легко и сравнивать, и выполнять с ними действия.

        Найти число, на которое нужно умножить меньший знамена­тель одной из дробей, можно делением большего знаменателя на меньший. Например, если 8 разделить на 2, то получим число 4. На это число нужно умножить и знаменатель, и числитель дроби. Значит, чтобы выразить в одинаковых долях несколько дробей, нужно больший знаменатель разделить на меньший, частное умно­жить на знаменатель и числитель дроби с меньшими знаменате­лями. Например, даны дроби Чтобы эти дроби привести

        к наименьшему общему знаменателю, нужно 12:6=2, 2×6=12, 306

        2×1=2. Дробь примет вид . Затем 12:3=4, 4×3=12, 4×2=8. Дробь примет вид Следовательно, дроби примут соответственно вид т. е. окажутся выражен-

        ными в одинаковых долях.

        Проводятся упражнения, которые позволяют сформировать умения приведения дробей к общему наименьшему знаменателю.

        Например, надо выразить в одинаковых долях дроби

        Чтобы учащиеся не забывали то частное, которое получается от деления большего знаменателя на меньший, целесообразно.его

        записывать над дробью с меньшим знаменателем. Например, и

        Затем рассматриваются такие дроби, у которых больший зна­менатель не делится на меньший и, следовательно, не является

        общим для данных дробей. Например, Знаменатель 8 не

        делится на 6. В этом случае больший знаменатель 8 будем после­довательно умножать на числа числового ряда, начиная с 2, до тех пор, пока не получим число, которое делится без остатка на оба знаменателя 8 и 6. Чтобы дроби остались равными данным, числители нужно соответственно умножить на те же числа. На-

        3 5 пример, чтобы дроби тг и * были выражены в одинаковых долях,

        больший знаменатель 8 умножаем на 2(8×2=16). 16 не делится на 6, значит, 8 умножаем на следующее число 3(8×3=24). 24 делится на 6 и на 8, значит, 24 — общий знаменатель для данных дробей. Но чтобы дроби остались равными, числители их надо увеличить во столько же раз, во сколько раз увеличили знамена­тели, 8 увеличили в 3 раза, значит, и числитель этой дроби 3 увеличим в 3 раза.

        Дробь примет вид Знаменатель 6 увеличили в 4 раза. Соответственно числитель 5 дроби надо увеличить в 4 раза. Дроби примут соответственно вид

        Таким образом, подводим учащихся к общему выводу (правилу) и знакомим их с алгоритмом выражения дробей в одинаковых долях. Например, даны две дроби ¾ и 5/7

        1. Находим наименьший общий знаменатель: 7×2=14, 7×3=21,
        7×4=28. 28 делится на 4 и на 7. 28 — наименьший общий знаме­
        натель для дробей

        2. Находим дополнительные множители: 28:4=7,

        3. Запишем их над дробями:

        4. Числители дробей умножим на дополнительные множители:
        3×7=21, 5×4=20.

        Получим дроби с одинаковыми знаменателями .Значит,

        дроби мы привели к общему наименьшему знаменателю.

        Опыт показывает, что ознакомление учащихся с преобразованием дробей целесообразно проводить перед изучением различных ариф­метических действий с дробями. Например, сокращение дробей или замену неправильной дроби целым или смешанным числом целесооб­разно дать перед изучением сложения и вычитания дробей с одина­ковыми знаменателями, так как в полученной сумме или разности

        Придется делать либоодно, либо оба преобразования.

        Приведение дроби к наименьшему общему знаменателю лучше изучать с учащимися перед темой «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями», а замену смешанного числа неправильной дробью — перед темой «Умножение и деление дро­бей на целое число».

        Сложение и вычитание обыкновенных дробей

        1. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаме­нателями.

        Исследование, проведенное Алышевой Т.В. 1 , свидетельствует о целесообразности при изучении действий сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями использовать аналогию со сложением и вычитанием уже известных учащимся

        чисел, полученных в результате измерения величин, и проводить изучение действий дедуктивным методом, т. е. «от общего к част­ному».

        Сначала повторяется сложение и вычитание чисел с наимено­ваниями мер стоимости, длины. Например, 8 р. 20 к. ± 4 р. 15 к. При выполнении устного сложения и вычитания нужно склады­вать (вычитать) сначала рубли, а потом копейки.

        3 м 45 см ± 2 м 24 см — сначала складываются (вычитаются) метры, а потом сантиметры.

        При сложении и вычитании дробей рассматривается общий
        случай: выполнение этих действий со смешанными дррбями (зна­менатели одинаковые): В этом случае надо: «Сложить (вычесть) целые числа, затем числители, а знаменатель остается тем же». Это общее правило распространяется на все случаи сложения и вычитания дробей. Постепенно вводятся частные слу­чаи: сложение смешанного числа с дробью, потом смешанного числа с целым. После этого рассматри­ваются более трудные случаивычитания: 1) из смешанного числа дроби: 2) из смешанного числа целого:

        После усвоения этих достаточно простых случаев вычитания учащиеся знакомятся с более трудными случаями, когда требуется преобразование уменьшаемого: вычитание из одной целой едини­цы или из нескольких единиц, например:

        В первом случае единицу нужно представить в виде дроби со знаменателем, равным знаменателю вычитаемого. Во втором слу­чае из целого числа берем единицу и также ее записываем в виде неправильной дроби со знаменателем вычитаемого, получаем в уменьшаемом смешанное число. Вычитание выполняется по обще­му правилу.

        Наконец рассматривается наиболее трудный случай вычитания: из смешанного числа, причем числитель дробной части меньше числителя в вычитаемом. В этом случае надо уменьшаемое изменить так, чтобы можно было применить общее правило, т. е. в уменьшаемом занять из целого одну единицу и раздробить

        в пятые доли, получим да еще , получится пример

        примет такой вид:к его решению уже можно применить

        общее правило.

        Использование дедуктивного метода обучения сложению и вычи­танию дробей будет способствовать развитию у учащихся умения обобщать, сравнивать, дифференцировать, включать отдельные слу­чаи вычислений в общую систему знаний о действиях с дробями.

        6.1. Упрощение выражений с корнями и дробными показателями — промежуточная алгебра

        Цели обучения

        • Введение в корни
          • Определить и оценить главные квадратные корни
          • Определить и оценить корни n-й степени
          • Оценить несовершенные корни
        • Радикальные выражения и дробные показатели
          • Определить и идентифицировать радикальное выражение
          • Преобразовать радикалы в выражения с дробными показателями
          • Преобразование выражений с дробными показателями в их радикальный эквивалент
        • Упростите радикальные выражения
          • Упростить радикальные выражения с помощью факторизации
          • Упростите радикальные выражения, используя дробные показатели степени и законы показателей
          • Определите \ (\ sqrt {x ^ 2} = | x | \) и примените его при упрощении радикальных выражений

        Знаете ли вы, что можно извлечь корень 6-й степени числа? Вы, наверное, слышали о квадратном корне, записанном \ (\ sqrt {\, \, \,} \), но вы также можете взять корень третьей, четвертой и даже пятитысячной (если вам действительно нужно).В этом уроке мы узнаем, как определяется квадратный корень, а затем мы будем опираться на это, чтобы сформировать представление о корнях n-й степени. Мы будем использовать факторинг и правила для экспонент, чтобы упростить математические выражения, содержащие корни.

        Самый распространенный корень — это квадратный корень . Сначала мы определим, что такое квадратный корень и как найти квадратный корень из числа. Затем мы применим аналогичные идеи для определения и оценки корней n-й степени.

        Корни являются обратными показателям степени, так же как умножение является обратным делению.{\ text {n}}} \)

        Название: «Три в квадрате» или «Тройка во второй степени», «Четыре в пятой степени», « x в кубе», « x в n -й степени»

        Повторное умножение: \ (3 \ cdot 3 \), \ (4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \), \ (x \ cdot x \ cdot x \), \ (\ underbrace { x \ cdot x \ cdot x… \ cdot x} _ {n \ text {times}} \).

        И наоборот, когда вы пытаетесь найти квадратный корень числа (скажем, 25), вы пытаетесь найти число, которое можно умножить само на себя, чтобы получить это исходное число.В случае 25 вы можете найти \ (5 \ cdot5 = 25 \), поэтому 5 должно быть квадратным корнем.

        Квадратные корни

        Символ квадратного корня называется радикальным символом и выглядит так: \ (\ sqrt {\, \, \,} \). Выражение \ (\ sqrt {25} \) читается как «квадратный корень из двадцати пяти» или «корень из двадцати пяти». Число, которое написано под радикальным символом, называется подкоренным числом и .

        В следующей таблице показаны различные радикалы и их эквивалентные письменные и упрощенные формы.

        Радикал Имя Упрощенная форма
        \ (\ sqrt {36} \)

        «Корень квадратный из тридцати шести»

        «Корень тридцать шесть»

        \ (\ sqrt {36} = \ sqrt {6 \ cdot 6} = 6 \)
        \ (\ sqrt {100} \)

        «Корень квадратный из сотни»

        «Корень сотня»

        \ (\ sqrt {100} = \ sqrt {10 \ cdot 10} = 10 \)
        \ (\ sqrt {225} \)

        «Корень квадратный из двухсот двадцати пяти»

        «Корень двести двадцать пять»

        \ (\ sqrt {225} = \ sqrt {15 \ cdot 15} = 15 \)

        Снова рассмотрим \ (\ sqrt {25} \).Вы можете понять, что есть еще одно значение, которое при умножении само на себя также дает 25. Это число равно \ (- 5 \).

        \ (\ begin {array} {r} 5 \ cdot 5 = 25 \\ — 5 \ cdot -5 = 25 \ end {array} \)

        По определению, символ квадратного корня всегда означает нахождение положительного корня, называемого главным корнем . Итак, хотя \ (5 \ cdot5 \) и \ (- 5 \ cdot-5 \) оба равны 25, только 5 является основным корнем. Вы также должны знать, что ноль особенный, потому что он имеет только один квадратный корень: сам (поскольку \ (0 \ cdot0 = 0 \)).2 \) тоже даст положительный результат. Это приводит к важному факту — вы не можете найти квадратный корень из отрицательного числа.

      • В следующем видео мы представляем больше примеров того, как найти квадратный корень.

        Последний пример, который мы показали, приводит к важной характеристике квадратных корней. Вы можете извлечь квадратный корень только из неотрицательных значений.

        Домен квадратного корня
        \ (\ sqrt {-a} \) не определен для всех действительных чисел, a.{3} = 8 \), мы говорим, что 2 — это кубический корень из 8. В следующем примере мы будем вычислять кубические корни некоторых совершенных кубов.

        Пример

        Оцените следующее:

        1. \ (\ sqrt [3] {125} \)
        2. \ (\ sqrt [3] {27} \)
        3. \ (\ sqrt [3] {- 8} \)

        Показать решение

        1. Вы можете прочитать это как «корень третьей степени из 125» или «кубический корень из 125». Чтобы вычислить это выражение, найдите число, которое при умножении на себя два раза (всего три одинаковых множителя) равно 125.

        \ (\ text {?} \ Cdot \ text {?} \ Cdot \ text {?} = 125 \).

        Поскольку 125 заканчивается на 5, 5 — хороший кандидат.

        \ (5 \ cdot5 \ cdot5 = 125 \)
        2. Мы хотим найти число, куб которого равен 27.

        \ (3 \ cdot3 \ cdot3 = 27 \), поэтому кубический корень из 27 равен 3.

        3. Мы хотим найти число, куб которого равен -8. Мы знаем, что 2 — это кубический корень из 8, поэтому, возможно, мы можем попробовать -2. \ (- 2 \ cdot {-2} \ cdot {-2} = — 8 \), поэтому кубический корень -8 равен -2. Это отличается от квадратного корня, потому что умножение трех отрицательных чисел вместе дает отрицательное число.{3}}} = — 1 \).

        В следующем видео мы покажем больше примеров нахождения кубического корня.

        N-й корень

        Кубический корень числа записывается с помощью небольшого числа 3, называемого индексом , сразу за радикальным символом и над ним. Похоже на \ (\ sqrt [3] {{}} \). Эта маленькая тройка отличает кубические корни от квадратных корней, которые записываются без маленького числа снаружи и над символом корня.

        Мы можем применить ту же идею к любой экспоненте и соответствующему корню.{5} = 243 \). Если \ (a \) является действительным числом с хотя бы одним корнем n -й степени, то основной n -й корень \ (a \) — это число с тем же знаком, что и \ (a \), которое , возведенное в степень n в , равно \ (a \).

        Главный n -й корень \ (a \) записывается как \ (\ sqrt [n] {a} \), где \ (n \) — положительное целое число, большее или равное 2. В корне Выражение \ (n \) называется индексом радикала.

        Определение: основной

        n -й корень

        Если \ (a \) является действительным числом с хотя бы одним корнем n -й степени, то основной корень n -й корень из \ (a \) записывается как \ (\ sqrt [n] {a} \) — это число с тем же знаком, что и \ (a \), которое при возведении в степень n равно \ (a \).4} = 3 \)

      • \ (\ sqrt [8] {- 1} \), поскольку у нас есть корень 8-й степени (четный) с отрицательным числом в качестве подкоренного выражения, этот корень не имеет вещественных решений. Другими словами, \ (- 1 \ cdot-1 \ cdot-1 \ cdot-1 \ cdot-1 \ cdot-1 \ cdot-1 \ cdot-1 \ ne -1 \)
      • В следующем видео мы покажем больше примеров того, как вычислить и nth root.

        Вы можете найти нечетный корень отрицательного числа, но вы не можете найти четный корень отрицательного числа и получить реальный ответ. Это означает, что вы можете вычислить радикалы \ (\ sqrt [3] {- 81}, \ \ sqrt [5] {- 64} \) и \ (\ sqrt [7] {- 2187} \), но не можете оцените радикалы \ (\ sqrt [{}] {- 100}, \ \ sqrt [4] {- 16} \) или \ (\ sqrt [6] {- 2500} \) и получите ответ, который является настоящий номер.Позже мы научимся иметь дело с этими радикалами, но мы просто скажем, что пока они не определены.

        Оценка корней

        Подход к обработке несовершенных корней (квадраты, кубы и т. Д.) Заключается в их приближении путем сравнения значений с точными квадратами, кубами или корнями n-й степени. Предположим, вы хотите узнать квадратный корень из 17. Давайте посмотрим, как вы можете его приблизить.

        Пример

        Смета. \ (\ sqrt {17} \)

        Показать решение
        Представьте себе два идеальных квадрата, окружающих 17.17 находится между точными квадратами 16 и 25. Итак, \ (\ sqrt {17} \) должен быть между \ (\ sqrt {16} \) и \ (\ sqrt {25} \).

        Определите, где \ (\ sqrt {17} \) ближе к 4 или к 5, и сделайте еще одну оценку.

        \ (\ sqrt {16} = 4 \) и \ (\ sqrt {25} = 5 \)

        Поскольку 17 ближе к 16, чем 25, \ (\ sqrt {17} \), вероятно, составляет около 4,1 или 4,2.

        Используйте метод проб и ошибок, чтобы получить более точную оценку \ (\ sqrt {17} \). Попробуйте возвести в квадрат все большие числа, начиная с 4.1, чтобы найти хорошее приближение для \ (\ sqrt {17} \).{2} \).

        \ (4,1 \ cdot4.1 = 16,81 \ 4,2 \ cdot4.2 = 17,64 \)

        Продолжайте использовать метод проб и ошибок, чтобы получить еще лучшую оценку.

        \ (4.12 \ cdot4.12 = 16.9744 \ 4.13 \ cdot4.13 = 17.0569 \)

        Ответ

        \ (\ sqrt {17} \ около 4,12 \)

        Это приближение довольно близко. Если вы продолжите использовать эту стратегию проб и ошибок, вы сможете и дальше находить квадратный корень с точностью до тысячных, десятитысячных и стотысячных разрядов, но со временем это станет слишком утомительно, чтобы делать это вручную.

        По этой причине, когда вам нужно найти более точное приближение квадратного корня, вам следует использовать калькулятор. Большинство калькуляторов имеют ключ квадратного корня \ ((\ sqrt {{}}) \), который быстро даст вам приближение квадратного корня. На простом калькуляторе с 4 функциями вы, скорее всего, наберете число, из которого вы хотите извлечь квадратный корень, а затем нажмите клавишу квадратного корня.

        Попробуйте найти \ (\ sqrt {17} \) с помощью калькулятора. Обратите внимание, что вы не сможете получить «точный» ответ, потому что \ (\ sqrt {17} \) — это иррациональное число, число, которое не может быть выражено в виде дроби, а десятичная дробь никогда не заканчивается и не повторяется.Чтобы точно зафиксировать значение \ (\ sqrt {17} \), вам потребуется бесконечная точность . С точностью до девяти десятичных разрядов \ (\ sqrt {17} \) приблизительно равно 4,123105626. Калькулятор может сэкономить много времени и дать более точный квадратный корень, когда вы имеете дело с числами, не являющимися точными квадратами.

        Пример

        Приблизительно \ (\ sqrt [3] {30} \) и также найдите его значение с помощью калькулятора.

        Показать решение
        Найдите кубики, окружающие 30.

        30 находится между идеальными кубиками 27 и 81.

        \ (\ sqrt [3] {27} = 3 \) и \ (\ sqrt [3] {81} = 4 \), поэтому \ (\ sqrt [3] {30} \) находится между 3 и 4.
        Воспользуйтесь калькулятором.

        \ (\ sqrt [3] {30} \ Approx3.10723 \)

        Ответ

        По приближению: \ (3 \ ge \ sqrt [3] {30} \ le4 \)

        С помощью калькулятора: \ (\ sqrt [3] {30} \ Approx3.10723 \)

        В следующем видео показан еще один пример вычисления квадратного корня.

        Радикальные выражения и дробные показатели

        Квадратные корни чаще всего записываются с использованием знака корня, например, \ (\ sqrt {4} \).{4}} y} \)

        Записать выражение с дробной степенью в виде радикала

        Радикалы и дробные показатели — это альтернативные способы выражения одного и того же. В таблице ниже показаны эквивалентные способы выражения радикалов: с корнем, с дробной степенью и в качестве главного корня. {\ frac {1} {2}}}} \) 10

        Давайте рассмотрим еще несколько примеров, но на этот раз с кубическими корнями.{\ frac {1} {3}}}} = 2 \ sqrt [3] {x} \)

        Записать радикальное выражение как выражение с дробной степенью

        Мы можем записывать радикалы с дробными показателями, и, как мы увидим, когда мы упростим более сложные радикальные выражения, это может упростить задачу. Наличие различных способов выражения и записи алгебраических выражений позволяет нам гибко решать и упрощать их. Это похоже на тезаурус, когда вы пишете: вы хотите иметь возможность самовыражения!

        Пример

        Запишите \ (\ sqrt [4] {81} \) как выражение с дробной степенью.3} = 2 \)

        В нашем последнем примере мы перепишем выражения с дробными показателями как радикалы. Эта практика поможет нам, когда мы упростим более сложные радикальные выражения и научимся решать радикальные уравнения. Обычно проще упростить, когда мы используем дробные показатели степени, но это упражнение предназначено для того, чтобы помочь вам понять, как числитель и знаменатель показателя степени являются показателем степени подкоренного выражения и индексом радикала. {4}} y} \).{\ frac {1} {2}}} \)

        И поскольку вы знаете, что возведение числа в степень \ (\ frac {1} {2} \) — это то же самое, что извлечение квадратного корня из этого числа, вы также можете записать это так.

        \ (\ sqrt {3x} = \ sqrt {3} \ cdot \ sqrt {x} \)

        Посмотрите на это: вы можете думать о любом числе под радикалом как о произведении отдельных множителей , каждый под собственным радикалом.

        Продукт, возведенный в правило степени или иногда называемый квадратным корнем правила продукта

        Для любых действительных чисел a и b , \ (\ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ cdot \ sqrt {b} \).{2} \).
        \ (\ sqrt {7} \ cdot 3 \)
        Переставьте множители так, чтобы целое число стояло перед корнем, а затем умножьте. (Это сделано для того, чтобы было ясно, что под корнем находится только 7, а не 3.)
        \ (3 \ cdot \ sqrt {7} \)
        Ответ
        \ (\ sqrt {63} = 3 \ sqrt {7} \)

        Окончательный ответ \ (3 \ sqrt {7} \) может показаться немного странным, но он дан в упрощенной форме. {2}} = \ left | x \ right | \).2 \) всегда будет неотрицательным. Включение столбцов абсолютных значений было бы излишним. Один совет, чтобы знать, когда применять абсолютное значение после упрощения любого даже индексированного корня, — это посмотреть на конечный показатель степени в ваших переменных условиях. Если показатель нечетный, включая 1, добавьте абсолютное значение. Это относится к упрощению любого корня с помощью четного индекса, как мы увидим в следующих примерах.

        В следующем видео вы увидите больше примеров того, как упростить радикальные выражения с помощью переменных.{4}} \)

        Упростить кубические корни

        Мы можем использовать те же методы, которые мы использовали для упрощения квадратных корней, чтобы упростить корни более высокого порядка. Например, чтобы упростить кубический корень, цель состоит в том, чтобы найти факторы под радикалом, которые являются идеальными кубами, чтобы вы могли извлечь их кубический корень. Нам больше не нужно беспокоиться о том, идентифицировали ли мы главный корень, поскольку теперь мы находим кубические корни. По мере упрощения сосредоточьтесь на поиске одинаковых трех факторов.

        Пример

        Упростить.{2}}} \)

        В следующем видео мы покажем больше примеров упрощения кубических корней.

        Упрощение корня четвертой степени

        Теперь перейдем к упрощению корней четвертой степени. Независимо от того, какой корень вы упрощаете, применима одна и та же идея: найти кубы для кубических корней, степени четырех для корней четвертой степени и т. Д. Вспомните, что когда ваше упрощенное выражение содержит четный индексированный радикал и переменный множитель с нечетной степенью, вам нужно для применения абсолютного значения (если контекст вашей проблемы не позволяет «предположить, что \ (x \ ge 0 \)»).{2}}} \)

        Ну, это заняло время, но вы сделали это. Вы применили то, что знаете о дробных показателях, отрицательных показателях и правилах экспонент, чтобы упростить выражение.

        В нашем последнем видео мы показываем, как использовать дробные показатели для упрощения радикальных выражений. {n}}} = x \).{n}}} = \ left | х \ право | \). (Абсолютное значение учитывает тот факт, что если x отрицательно и возведено в четную степень, это число будет положительным, как и главный корень n -й степени этого числа.)

      Упрощение экспоненциальных выражений | Purplemath

      Purplemath

      Чтобы упростить работу с экспонентами, не думайте, что вам нужно работать только с правилами для экспонент или прямо с ними.Часто проще работать непосредственно с определением и значением показателя степени. Например:

      Правила говорят мне добавить экспоненты. Но когда я начал заниматься алгеброй, у меня были проблемы с соблюдением правил, поэтому я просто подумал о том, что означают показатели. « a 6 » означает «шесть копий a , умноженные вместе», а « a 5 » означает «пять копий a , умноженные вместе».Итак, если я умножу эти два выражения вместе, я получу одиннадцать копий a , умноженных вместе. То есть:

      MathHelp.com

      a 6 × a 5 = ( a 6 ) ( a 5 )

      = ( аааааа ) ( ааааа )

      = аааааааааа

      = а 11

      Таким образом:


      • Упростите следующее выражение:

      Правила экспоненты говорят мне вычесть экспоненты.Но предположим, что я снова забыл правила. «6 8 » означает, что у меня восемь копий из шести сверху; «6 5 » означает, что у меня есть пять копий из 6 внизу.

      Сколько у меня лишних шестерок и где они? У меня есть три лишних шестерки, и они на высоте. Тогда:

      Если в инструкциях также не сказано «оценивать», вы, вероятно, должны оставить такие проблемы с числовой экспонентой, как эта, в форме экспоненты.Если вы не уверены, можете добавить «= 216» на всякий случай.


      • Упростите следующее выражение:

      Сколько у меня дополнительных копий t и где они? У меня есть две лишние копии, сверху:

      Как только вы освоитесь с вопросом «сколько у меня дополнительных вещей и где они?» рассуждая, вы обнаружите, что вам не нужно все записывать и устранять повторяющиеся факторы.Ответы станут для вас очевидными.


      • Упростите следующее выражение:

      Этот вопрос немного отличается, потому что больший показатель степени находится у члена в знаменателе. Но основная аргументация остается прежней.

      Сколько у меня дополнительных копий из 5 и где они? У меня есть шесть дополнительных копий, и они внизу:


      Примечание. Если вы примените правило вычитания, вы получите 5 3–9 = 5 –6 , что математически верно, но почти наверняка не является тем ответом, который они ищут.

      Независимо от того, учили ли вы отрицательные показатели степени, когда они говорят «упрощать», они имеют в виду «упростить выражение, чтобы оно не имело отрицательных или нулевых степеней». Некоторые студенты попытаются обойти эту проблему со знаком минус, произвольно переключая знак, чтобы волшебным образом получить сверху «5 6 » (а не ниже «1»), но это неверно.

      Давайте перейдем к более сложным выражениям.


      • Упростите следующее выражение:

      Я не должен забывать, что «5» и «3» — это просто числа.Поскольку 3 не делится на 5, я не могу отменить числа.

      И я не должен пытаться вычитать числа, потому что 5 и 3 в дроби «

      5 / 3 » совсем не то же самое, что 5 и 3 в рациональном выражении « x 5 / x 3 «. Числовая часть 5 / 3 остается как есть.

      Для переменных у меня есть две дополнительные копии x сверху, поэтому ответ:

      Любой из ответов, выделенных фиолетовым цветом, должен быть приемлемым: единственная разница заключается в форматировании; они означают одно и то же.


      Это достаточно просто: все с нулевой степенью равно 1.

      (–46 x 2 y 3 z ) 0 = 1


      Часть в скобках по-прежнему упрощается до 1, но на этот раз «минус» стоит перед скобками; то есть он находится вне зоны действия мощности, поэтому показатель степени не касается его.Итак, в данном случае ответ:

      .

      — (46 x 2 y 3 z ) 0 = –1


      • Упростите следующее выражение:

      Я могу исключить общий множитель 5 в числовой части дроби:

      Теперь мне нужно посмотреть на каждую из переменных.Сколько у меня лишних штук и где они? У меня есть два лишних и сверху. У меня есть один лишний b внизу. И у меня одинаковые номера c сверху и снизу, поэтому они полностью отменяются. Это дает мне:


      URL: https://www.purplemath.com/modules/simpexpo.htm

      Дробные экспоненты

      Также называется «Радикалы» или «Рациональные экспоненты»

      Показатели целого числа

      Во-первых, давайте посмотрим на экспоненты целых чисел:

      Показатель числа означает , сколько раз использовать при умножении на .

      В этом примере: 8 2 = 8 × 8 = 64

      Прописью: 8 2 можно было бы назвать «8 во второй степени», «8 в степени 2» или
      просто «8 в квадрате»

      Другой пример: 5 3 = 5 × 5 × 5 = 125

      Дробные экспоненты

      Но что, если показатель степени — дробь?

      Показатель степени от 1 2 фактически равен квадратному корню

      Показатель степени 1 3 равен кубический корень

      Показатель степени от 1 4 составляет корень 4-й степени

      И так далее!

      Почему?

      Давайте посмотрим, почему на примере.

      Во-первых, законы экспонент говорят нам, как обращаться с показателями при умножении:

      Пример: x

      2 x 2 = (xx) (xx) = xxxx = x 4

      Что показывает, что x 2 x 2 = x (2 + 2) = x 4

      Итак, давайте попробуем это с дробными показателями:

      Пример: Что такое 9

      ½ × 9 ½ ?

      9 ½ × 9 ½ = 9 (½ + ½) = 9 (1) = 9

      Итак, 9 ½ умножение на само дает 9.

      Как мы называем число, которое при умножении само на себя дает другое число? Квадратный корень!

      См .:

      √9 × √9 = 9

      А:

      9 ½ × 9 ½ = 9

      Итак, 9 ½ совпадает с √9

      .

      Попробуйте другую дробь

      Давайте попробуем это еще раз, но с показателем в одну четверть (1/4):

      Пример:

      16 ¼ × 16 ¼ × 16 ¼ × 16 ¼ = 16 (¼ + ¼ + ¼ + ¼) = 16 (1) = 16

      Итак, 16 9 · 1020 ¼ 9 · 1021, использованное 4 раза при умножении, дает 16,

      и поэтому 16 ¼ — это корень 4-й степени из 16

      Общие правила

      Он работал на ½ , он работал на , на самом деле он работает в целом:

      x 1/ n = n- -й корень x

      Итак, мы можем придумать это:

      Дробный показатель степени, например 1 / n , означает, что для используется корень n-й степени :

      Пример: Что такое 27

      1/3 ?

      Ответ: 27 1/3 = 27 = 3

      А как насчет более сложных дробей?

      А как насчет дробной степени, такой как 4 3/2 ?

      Это действительно говорит о том, что нужно построить куб (3) и квадратный корень (1/2) в любом порядке.

      Позвольте мне объяснить.

      Фракция (например, m / n ) может быть разбита на две части:

      • целая часть ( м ), и
      • дробь ( 1 / n ) часть

      Итак, поскольку m / n = m × (1 / n) , мы можем сделать это:

      Порядок не имеет значения, поэтому он также работает для m / n = (1 / n) × m :

      И получаем это:

      Дробный показатель, например m / n , означает:

      Выполните m-ю степень , затем возьмите n-й корень

      OR Возьмите корень n-й степени и затем выполните m-ю степень

      Некоторые примеры:

      Пример: Что такое 4

      3/2 ?

      4 3/2 = 4 3 × (1/2) = √ (4 3 ) = √ (4 × 4 × 4) = √ (64) = 8

      или

      4 3/2 = 4 (1/2) × 3 = (√4) 3 = (2) 3 = 8

      В любом случае результат будет одинаковым.

      Пример: Что такое 27

      4/3 ?

      27 4/3 = 27 4 × (1/3) = (27 4 ) = (531441) = 81

      или

      27 4/3 = 27 (1/3) × 4 = (27) 4 = (3) 4 = 81

      Второй способ был конечно проще!

      Теперь … поиграйте с графиком!

      Посмотрите, как плавно изменяется, когда вы играете с дробями в этой анимации, это показывает вам, что идея дробных показателей прекрасно сочетается друг с другом:

      Чего попробовать:

      • Начните с m = 1 и n = 1, затем медленно увеличивайте n, чтобы увидеть 1/2, 1/3 и 1/4
      • Затем попробуйте m = 2 и проведите n вверх и вниз, чтобы увидеть дроби вроде 2/3 и т. Д.
      • Теперь попробуем сделать экспоненту -1
      • Наконец, попробуйте увеличить m, затем уменьшить n, затем , уменьшив м, затем , увеличив n: кривая должна пойти вокруг и вокруг

      Обзор правил для экспонентов

      Обзор правил для экспонентов Ниже приведен список правил для экспонентов и один или два примера использования каждого правила:

      Правило нулевой экспоненты: a 0 = 1, это говорит, что все, что возведено в нулевую степень, равно 1.
      Правило мощности (от степеней к степеням): (a m ) n = a mn , это говорит о том, что для возведения степени в степень вам необходимо умножить степень. Есть несколько других правил, которые соответствуют правилу мощности, например, правило произведения к степеням и правило отношения к степеням.
      Правило отрицательной экспоненты :, это говорит о том, что отрицательные показатели в числителе перемещаются в знаменатель и становятся положительными показателями.Отрицательные показатели в знаменателе перемещаются в числитель и становятся положительными показателями. Перемещайте только отрицательные показатели.
      Правило произведения : a m ∙ a n = a m + n , это говорит о том, что для умножения двух степеней с одинаковым основанием вы сохраняете основание и складываете степени.
      Правило частных :, это говорит о том, что для деления двух показателей с одинаковым основанием вы сохраняете основание и вычитаете степени.Это похоже на сокращение фракций; когда вы вычитаете степени, поместите ответ в числитель или знаменатель в зависимости от того, где находится высшая степень. Если в знаменателе указана более высокая степень, поместите разницу в знаменатель и наоборот, это поможет избежать отрицательных показателей степени.

      Теперь, когда мы рассмотрели правила для экспонент, вот шаги, необходимые для упрощения экспоненциальных выражений (обратите внимание, что мы применяем правила в том же порядке, что и правило было написано выше):

      Шаг 1 : Примените правило нулевой экспоненты.Измените все, что поднят до нулевой степени, на 1.
      Шаг 2 : Примените правило мощности. Умножьте (или распределите) показатель степени за пределами круглых скобок с каждым показателем внутри скобок, помните, что если показатель степени не показан, то показатель степени равен 1.
      Шаг 3 : Примените правило отрицательной экспоненты. Отрицательные показатели в числителе перемещаются в знаменатель и становятся положительными показателями.Отрицательные показатели в знаменателе перемещаются в числитель и становятся положительными показателями. Перемещайте только отрицательные показатели. Обратите внимание, что порядок, в котором перемещаются предметы, не имеет значения.
      Шаг 4 : Примените правило продукта. Чтобы умножить два показателя степени с одинаковым основанием, вы сохраняете основание и складываете степени.
      Шаг 5 : Примените правило частного. Это похоже на сокращение фракций; когда вы вычитаете степени, поместите ответ в числитель или знаменатель в зависимости от того, где находится высшая степень.Если в знаменателе указана более высокая степень, поместите разницу в знаменатель и наоборот, это поможет избежать отрицательных показателей степени и повторения шага 3.
      Шаг 6 : Увеличьте каждый коэффициент (или число) до соответствующей степени, а затем упростите или уменьшите оставшиеся дроби.

      Пример 1 — Упростить:

      Пример 2 –Упростить:

      Щелкните здесь, чтобы просмотреть практические задания

      Пример 3 –Упростить:

      Щелкните здесь, чтобы просмотреть практические задания

      Пример 4 –Упростить:

      Щелкните здесь, чтобы просмотреть практические задания

      Пример 5 –Упростить:

      Щелкните здесь, чтобы просмотреть практические задания

      Дробные экспоненты: правила умножения и деления

      Обновлено 8 декабря 2020 г.

      Ли Джонсон

      Обучение работе с экспонентами является неотъемлемой частью любого математического образования, но, к счастью, правила их умножения и деления соответствуют недробные показатели.Первым шагом к пониманию того, как обращаться с дробными показателями, является краткое изложение того, что они собой представляют, а затем вы можете посмотреть, как можно комбинировать показатели, когда они умножаются или делятся и имеют одинаковое основание. Короче говоря, вы складываете показатели вместе при умножении и вычитаете одну из другой при делении, при условии, что они имеют одинаковое основание.

      TL; DR (слишком длинный; не читал)

      Умножьте члены на показатели по общему правилу:

      x a + x b = x ( a + b )

      И разделите члены на показатели по правилу:

      x a ÷ x b = x ( a b )

      Эти правила работают с любым выражением вместо a и b , даже с четными дробями.4

      Упростите рациональные экспоненты — промежуточная алгебра

      Цели обучения

      К концу этого раздела вы сможете:

      • Упростите выражения с помощью
      • Упростите выражения с помощью
      • Используйте свойства показателей степени для упрощения выражений с рациональными показателями

      Прежде чем вы начнете, пройдите тест на готовность.

      1. Добавить:

        Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

      2. Упростить:

        Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

      3. Упростить:

        Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

      Упростите выражения с помощью

      Рациональные показатели — это еще один способ записи выражений с радикалами. Когда мы используем рациональные показатели, мы можем применять свойства показателей для упрощения выражений.

      Свойство мощности для экспонентов говорит, что при m и n являются целыми числами.Предположим, теперь мы не ограничены целыми числами.

      Предположим, мы хотим найти число p такое, что мы будем использовать свойство Power of Exponents, чтобы найти значение p .

      Итак, но мы также знаем, что тогда должно быть, что

      Эту же логику можно использовать для любого положительного целого показателя степени n , чтобы показать, что

      Рациональная экспонента

      Если это действительное число, а затем

      Знаменатель рациональной экспоненты — это индекс радикала.

      Будут времена, когда работа с выражениями будет проще, если вы используете рациональные показатели, и времена, когда будет легче, если вы будете использовать радикалы. В первых нескольких примерах вы попрактикуетесь в преобразовании выражений между этими двумя обозначениями.

      Напишите радикальным выражением: ⓐ ⓑ ⓒ

      Мы хотим записать каждое выражение в виде

      Напишите радикальным выражением: ⓐ ⓑ ⓒ

      Запишите в виде радиального выражения: ⓐ ⓑ ⓒ

      В следующем примере мы запишем каждый радикал, используя рациональную экспоненту.Важно использовать круглые скобки вокруг всего выражения в подкоренном выражении, поскольку все выражение возводится в рациональную степень.

      Запишите с рациональной степенью: ⓐ ⓑ ⓒ

      Мы хотим записать каждый радикал в виде

       *** QuickLaTeX не может составить формулу:
      \ begin {array} {cccc} & & & \ hfill \ phantom {\ rule {5em} {0ex}} \ sqrt [3] {4x} \ hfill \\ \ begin {array} {c} \ text {Индекс равно 3, поэтому знаменатель экспоненты} \ hfill \\ \ text {равен 3.{\ frac {1} {3}} \ hfill \ end {массив}
      
       

       *** QuickLaTeX не может составить формулу:
      \ begin {array} {cccc} & & & \ hfill \ phantom {\ rule {4em} {0ex}} 3 \ phantom {\ rule {0.2em} {0ex}} \ sqrt [4] {5z} \ hfill \ \ \ begin {array} {c} \ text {Индекс равен 4, поэтому знаменатель экспоненты} \ hfill \\ \ text {равен 4. Заключите скобки только вокруг} \ hfill \\ \ text {the} \ phantom {\ rule {0.2em} {0ex}} 5z \ phantom {\ rule {0.2em} {0ex}} \ text {поскольку 3 не находится под знаком радикала. {\ frac {1} {4 }} \ hfill \ end {массив} \ hfill \ end {массив}
      
      *** Сообщение об ошибке:
      В преамбуле выравнивания вставлен пропущенный #.{\ frac {1} {4}} \ hfill \ end {массив}
      
       

      Запишите с рациональной степенью: ⓐ ⓑ ⓒ

      Запишите с рациональной степенью: ⓐ ⓑ ⓒ

      В следующем примере вам может быть проще упростить выражения, если вы сначала перепишете их как радикалы.

      Будьте осторожны с размещением отрицательных знаков в следующем примере. Нам нужно будет использовать свойство в одном случае.

      ⓐ Реального решения нет ⓑ

      ⓐ Реального решения нет ⓑ

      Упростите выражения с помощью

      На это можно взглянуть двояко.Помните, что свойство Power говорит нам умножать экспоненты, и поэтому оба они равны.Если мы запишем эти выражения в радикальной форме, мы получим

      Это приводит нас к следующему определению.

      Рациональная экспонента

      Для любых натуральных чисел m и n ,

      Какую форму мы используем для упрощения выражения? Обычно мы сначала извлекаем корень — таким образом мы сохраняем меньшие числа в подкоренном элементе, прежде чем возвести его в указанную степень.

      Запишите с рациональной степенью: ⓐ ⓑ ⓒ

      Мы хотим использовать для записи каждого радикала в виде

      Запишите с рациональной степенью: ⓐ ⓑ ⓒ

      Запишите с рациональной степенью: ⓐ ⓑ ⓒ

      Помните, что отрицательный знак в экспоненте не меняет знак выражения.

      Сначала мы перепишем выражение как корень, используя определение, Эта форма позволяет нам сначала извлечь корень, поэтому мы сохраняем числа в подкоренном элементе меньшими, чем если бы мы использовали другую форму.

      ⓑ Мы перепишем каждое выражение сначала с использованием, а затем изменим его на радикальную форму.

      ⓐ 9 ⓒ

      ⓐ 8 ⓒ

      ⓐⓑⓒ ненастоящее число

      ⓐⓑⓒ ненастоящее число

      Использование свойств экспонент для упрощения выражений с помощью рациональных показателей

      Те же свойства показателей, которые мы уже использовали, применимы и к рациональным показателям.Мы перечислим здесь свойства экспоненетов, чтобы иметь их для справки при упрощении выражений.

      Свойства экспонентов

      Если a и b — действительные числа, а m и n — рациональные числа, то

      Мы применим эти свойства в следующем примере.

      ⓐ Свойство продукта сообщает нам, что, когда мы умножаем одно и то же основание, мы складываем экспоненты.

      ⓑ Свойство Power говорит нам, что когда мы возводим степень в степень, мы умножаем степень.

      ⓒ Свойство Quotient говорит нам, что когда мы делим с одним и тем же основанием, мы вычитаем показатели.

      Иногда нам нужно использовать более одного свойства. В следующем примере мы будем использовать как свойство Product to Power, так и свойство Power.

      Упростить: ⓐ ⓑ

      В следующем примере мы будем использовать и свойство Product, и свойство Quotient.

      Упростить: ⓐ ⓑ

      ⓑ Сначала следуйте порядку операций для упрощения, заключенному в круглые скобки.

      Практика ведет к совершенству

      Упростите выражения с помощью

      В следующих упражнениях напишите радикальное выражение.

      В следующих упражнениях пишите в рациональной степени.

      В следующих упражнениях упростите.

      ⓐ ненастоящее ⓑ ⓒ

      ⓐ ненастоящее ⓑ ⓒ

      ⓐ ненастоящее ⓑ ⓒ

      Упростите выражения с помощью

      В следующих упражнениях пишите в рациональной степени.

      В следующих упражнениях упростите.

      32 768 ⓑ 9

      ⓐ 4 ⓑ ⓒ ненастоящее

      ⓐⓑⓒ ненастоящее

      Используйте законы экспонент для упрощения выражений с рациональными показателями

      В следующих упражнениях упростите. Предположим, что все переменные положительны.

      Письменные упражнения

      Покажите два различных алгебраических метода для упрощения. Объясните все ваши шаги.

      Объясните, почему выражение не может быть вычислено.

      Самопроверка

      ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

      ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

      Дробные экспоненты — объяснение и примеры

      Показатели — это степени или индексы. Экспоненциальное выражение состоит из двух частей: основания, обозначаемого как b, и показателя степени, обозначаемого как n.Общая форма экспоненциального выражения: b n . Например, 3 x 3 x 3 x 3 можно записать в экспоненциальной форме как 3 4 , где 3 — основание, а 4 — показатель степени. Они широко используются в алгебраических задачах, и по этой причине важно изучать их, чтобы облегчить изучение алгебры.

      Правила решения дробных показателей становятся сложной задачей для многих студентов. Они будут тратить свое драгоценное время, пытаясь понять дробные показатели, но это, конечно, огромная путаница в их умах.Не волнуйся. В этой статье разобраны, что вам нужно делать, чтобы понять и решить проблемы, связанные с дробными показателями.

      Первый шаг к пониманию того, как решать дробные показатели, — это краткое описание того, что именно они есть, и как обращаться с показателями, когда они объединяются либо делением, либо умножением.

      Что такое дробная экспонента?

      Дробная экспонента — это метод выражения степеней и корней вместе.Общая форма дробного показателя:

      b n / m = ( m b ) n = m (b n ), let us определите некоторые термины этого выражения.

      Подкоренное выражение находится под знаком корня √. В данном случае подкоренное выражение — b n

      • Порядок / индекс радикала

      Индекс или порядок радикала — это число, обозначающее извлекаемый корень.В выражении: b n / m = ( m b ) n = m (b n ) порядком или индексом радикала является число м.

      Это число, корень которого вычисляется. База обозначается буквой b.

      Степень определяет, сколько раз значение корня умножается само на себя, чтобы получить основание. Обычно обозначается буквой n.

      Как решить дробные экспоненты?

      Давайте узнаем, как решить дробные показатели с помощью приведенных ниже примеров.

      Примеры

      = (3 2 ) 1/2

      = 3

      = 2,828

      4 3/2 = 4 3 × (1/2)

      = √ (4 3 ) = √ (4 × 4 × 4)

      = √ (64) = 8

      Альтернативно;

      4 3/2 = 4 (1/2) × 3

      = (√4) 3 = (2) 3 =

      27 4/3 = 27 4 × (1/3)

      = ∛ ​​(27 4 ) = 3 (531441) = 81

      Альтернативно;

      27 4/3 = 27 (1/3) × 4

      = ∛ ​​(27) 4 = (3) 4 = 81

      • Упростить: 125 1/3
        125 1/3 = ∛125
        = [(5) 3 ] 1/3
        = (5) 1
        = 5
      • Вычислить: (8/27) 4/3
        (8/27) 4/3
        8 = 2 3 и 27 = 3 3
        Итак, (8/27) 4/3 = (2 3 /3 3 ) 4/3
        = [(2/3) 3 ] 4/3
        = (2/3) 4
        = 2/3 × 2/3 × 2/3 × 2/3
        = 16/81

      Как умножить дробные экспоненты с одинаковым основанием

      Умножение членов с одинаковым основанием и дробными показателями равносильно сложению показателей.Например:

      x 1/3 × x 1/3 × x 1/3 = x (1/3 + 1/3 + 1/3)

      = x 1 = x

      Поскольку x 1/3 подразумевает «кубический корень из x », он показывает, что если x умножить 3 раза, произведение будет x.

      Рассмотрим другой случай, когда;

      x 1/3 x x 1/3 = x (1/3 + 1/3)

      = x 2/3 , это можно выразить as ∛x 2

      Пример 2

      Тренировка: 8 1/3 x 8 1/3

      Раствор

      8 1/3 x 8 1/3 = 8 1/3 + 1/3 = 8 2/3

      = ∛8 2

      И поскольку кубический корень из 8 можно легко найти,

      Следовательно , ∛8 2 = 2 2 = 4

      Также можно встретить умножение дробных показателей с разными числами в знаменателях, в этом случае показатели складываются так же, как и дроби.

      Пример 3

      x 1/4 × x 1/2 = x (1/4 + 1/2)

      = x (1 / 4 + 2/4)

      = x 3/4

      Как разделить дробную экспоненту

      При делении дробной степени с тем же основанием мы вычитаем показатели степени. Например:

      x 1/2 ÷ x 1/2 = x (1/2 — 1/2)

      = x 0 = 1

      Это означает, что любое число деление на себя эквивалентно единице, и это имеет смысл с правилом нулевой экспоненты, согласно которому любое число, возведенное в степень 0, равно единице.

      Пример 4

      16 1/2 ÷ 16 1/4 = 16 (1/2 — 1/4)

      = 16 (2 / 4 — 1/4)

      = 16 1/4

      = 2

      Вы можете заметить, что, 16 1/2 = 4 и 16 1/4 = 2.

      Отрицательное дробное число показатели степени

      Если n / m — положительное дробное число и x> 0;
      Тогда x -n / m = 1 / x n / m = (1 / x) n / m , и это означает, что x -n / m является обратной величиной x n / м .

      В целом; если основание x = a / b,

      Тогда (a / b) -n / m = (b / a) n / m .

      Пример 5

      Вычислить: 9 -1/2

      Решение
      9 -1/2
      = 1/9 1/2
      = (1/9) 1/2
      = [(1/3) 2 ] 1/2
      = (1/3) 1
      = 1/3

      Пример 6

      Решить: (27/125) -4/3

      Решение
      (27/125) -4/3
      = (125/27) 4/3
      = (5 3 /3 3 ) 4/3
      = [(5/3) 3 ] 4/3
      = (5/3) 4
      = (5 × 5 × 5 × 5) / (3 × 3 × 3 × 3)
      = 625/81

      Практические вопросы

      1. Оценить 8 2/3
      2. Разработать выражение (8a 2 б 4 ) 1/3
      3. Решить: a 3/4 a 4/5
      4. [(4 -3/2 x 2/3 y -7/4 ) / (2 3/2 x — 1/3 y 3/4 )] 2/3
      5. Вычислить: 5 1/2 5 3/2
      6. Вычислить: (1000 1/3 ) / (400 — 1/2 )

      Ответы

      1. 4.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.