Как решить уравнение с 3 неизвестными: Уравнение с тремя неизвестными | Математика

3+y+xyz = 7$

Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве.

Содержание

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки

Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)

Например: решить систему

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 3x+2y-z = 8 \\ x-y+z = -2 \\ 2x-3y-5z = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3(y-z-2)+2y-z = 8 \\ x = y-z-2 \\ 2(y-z-2)-3y-5z = 1 \end{array} \right. } \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = y-z-2 \\ 5y-4z = 14 \\ -y-7z = 5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = y-z-2 \\ y = -7z-5 \\ 5(-7z-5)-4z = 14 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = y-z-2 \\ y = -7z-5 \\ -39z = 39 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 2-(-1)-2 = 1 \\ y = -7\cdot(-1)-5 = 2 \\ z = -1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = 2 \\ z = -1 \end{array} \right.} $$

Ответ: (1;2;-1)

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера

Метод Крамера для системы уравнений с 2-мя переменными рассмотрен в §48 данного справочника.

Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.

Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a_1 x+b_1 y+c_1 z = d_1 \\ a_2 x+b_2 y+c_2 z = d_2 \\ a_3 x+b_3 y+c_3 z = d_3 \end{array} \right. } $$

Определим главный определитель системы:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} $$

и вспомогательные определители:

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}, \Delta_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix} $$

Тогда решение системы:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \\ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \\ z = \frac{\Delta_z}{\Delta} \end{array} \right.} $$

Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:

$ \Delta \neq 0 $

$ \Delta = 0, \Delta _x \neq 0, \Delta_y \neq 0, \Delta_z \neq 0 $

$ \Delta = 0$ некоторые вспомогательные определители равны 0

Три плоскости пересекаются в одной точке

Три плоскости параллельны

Две или три плоскости совпадают или пересекаются по прямой

Одно решение

Нет решений

Бесконечное множество решений

Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.

Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):

$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 = \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} — b_1 = \begin{vmatrix} a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end{vmatrix} + c_1 = \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} = $$

$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$

Примеры

Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:

$ а) {\left\{ \begin{array}{c} 3x+2y-z = 13 \\ 2x-y+3z = -2 \\ x+2y-z = 9 \end{array} \right.} $

$${\left\{ \begin{array}{c} z = 3x+2y-13 \\ 2x-y+3(3x+2y-13) = -2 \\ x+2y-(3x+2y-13) = 9 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} z = 3x+2y-13 \\ 11x+5y = 37 \\ -2x = -4 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} z = 3\cdot2+2\cdot3-13 = -1 \\ y = \frac{37-11\cdot2}{5} = 3 \\ x = 2 \end{array} \right. } \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 2 \\ y = 3 \\ z = -1 \end{array} \right.} $$

Ответ: (2;3;-1)

$ б) {\left\{ \begin{array}{c} x+y+3z = 6 \\ 2x-5y-z = 5 \\ x+2y-5z = -11 \end{array} \right.} $

$$ {\left\{ \begin{array}{c} x = -y-3z+6 \\ 2(-y-3z+6)-5y-z = 5\\ (-y-3z+6)+2y-5z = -11 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = -y-3z+6 \\ -7y-7z = -7 |:(-7) \\ y-8z = -17 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = -y-3z+6 \\ y+z = 1 \\ y-8z = -17 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = -y-3z+6 \\ 9z = 18 \\ y = 1-z \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1-6+6 = 1 \\ z = 2 \\ y = 1-2 = -1 \end{array} \right.} \Rightarrow$$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = -1 \\ z = 2 \end{array} \right.} $$

Ответ: (1;-1;2)

Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:

$а) {\left\{ \begin{array}{c}3x+2y-z = 13 \\ 2x-y+3z = -2 \\ x+2y-z = 9 \end{array} \right. } $

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3\\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 3 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \\ \end{vmatrix} — 2 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$

$$= 3(1-6)-2(-2-3)-(4+1) = -15+10-5 = -10$$

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 13 & 2 & -1 \\ -2 & -1 & 3 \\ 9 & 2 & -1 \\ \end{vmatrix} = 13 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \\ \end{vmatrix} — 2 = \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 9 & -1 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 9 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$

$$ = 13(1-6)-2(2-27)-(-4+9) = -65+50-5=-20 $$

$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 13 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 1 & 9 & -1 \\ \end{vmatrix} = 3 = \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 9 & -1 \\ \end{vmatrix} — 13 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 9 \\ \end{vmatrix} = $$

$$ = 3(2-27)-13(-2-3)-(18+2) = -75+65-20 = -30 $$

$$ \Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 13 \\ 2 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & 9 \\ \end{vmatrix} = 3 = \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 9 \\ \end{vmatrix} — 2 = \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 9 \\ \end{vmatrix} + 13 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$

$$ = 3(-9+4)-2(18+2)+13(4+1) = -15-40+65 = 10 $$

$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-20}{-10} = 2, y = {\Delta_y}{\Delta} = \frac{-30}{-10} = 3, z = {\Delta_z}{\Delta} = \frac{10}{-10} = -1$$

Ответ: (2;3;-1)

$б) {\left\{ \begin{array}{c} x+y+3z = 6 \\ 2x-5y-z = 5 \\ x+2y-5z = -11 \end{array} \right. } $

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -5 & -1\\ 1 & 2 & -5 \end{vmatrix} = 1 = \begin{vmatrix} -5 & -1 \\ 2 & -5 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -5 \\ \end{vmatrix} + 3 = \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$

$$= (25+2)—(-10+1)+3(4+5) = 27+9+27 = 63$$

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 3 \\ 5 & -5 & -1 \\ -11 & 2 & -5 \\ \end{vmatrix} = 6 = \begin{vmatrix} -5 & -1 \\ 2 & -5 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ -11 & -5 \\ \end{vmatrix} + 3 = \begin{vmatrix} 5 & -5 \\ -11 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$

$$ = 6(25+2)—(-25-11)+3(10-55) = 162+36-135 = 63 $$

$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 16 & 3 \\ 2 & 5 & -1 \\ 1 & -11 & -5 \\ \end{vmatrix} = 1 = \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ -11 & -5 \\ \end{vmatrix} — 6 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -5 \\ \end{vmatrix} + 3 = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -11 \\ \end{vmatrix} = $$

$$ = (-25-11)—6(-10+1)+3(-22-5) = -36+54-81 = -63 $$

$$ \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -5 & 5 \\ 1 & 2 & -11 \\ \end{vmatrix} = 1 = \begin{vmatrix} -5 & 5 \\ 2 & -11 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -11 \\ \end{vmatrix} + 6 = \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$

$$ = (55-10)—(-22-5)+6(4+5) = 45+27+54 = 126 $$

$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{63}{63} = 1, y = {\Delta_y}{\Delta} = \frac{-63}{63} = -1, z = {\Delta_z}{\Delta} = \frac{126}{63} = 2$$

Ответ: (1;-1;2)

Пример 3*. 2 c-abc = -abc $$

Ответ:$ {\left\{ \begin{array}{c} x = -(a+b+c) \\ y = ab+ac+bc \\ z = -abc \end{array} \right.} $

как решать систему с тремя неизвестными

Вы искали как решать систему с тремя неизвестными? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как решать систему уравнений с 3 неизвестными, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «как решать систему с тремя неизвестными».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как как решать систему с тремя неизвестными,как решать систему уравнений с 3 неизвестными,как решать систему уравнений с тремя неизвестными,как решать уравнения с тремя неизвестными,как решить систему из 3 уравнений с 3 неизвестными,как решить систему с тремя неизвестными,как решить систему уравнений с 3 неизвестными,как решить систему уравнений с тремя неизвестными,как решить систему уравнений с тремя переменными,как решить тройную систему уравнений,как решить уравнение с 3 неизвестными,как решить уравнение с тремя неизвестными,решение систем с тремя неизвестными,решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными,решение систем уравнений с 3 неизвестными,решение систем уравнений с тремя неизвестными,решение системы с тремя неизвестными,решение системы уравнений из 3 уравнений,решение системы уравнений с 3 неизвестными,решение системы уравнений с тремя неизвестными,решение уравнение с тремя неизвестными,решение уравнений с 3 неизвестными,решение уравнений с тремя неизвестными,решение уравнения с тремя неизвестными,решить уравнение с тремя неизвестными,система квадратных уравнений с тремя неизвестными,система с тремя неизвестными,система уравнений с 3 неизвестными,система уравнений с тремя неизвестными,системы линейных уравнений с 3 неизвестными,системы уравнений с тремя неизвестными,уравнение с тремя неизвестными решение,уравнение с тремя неизвестными решить,уравнения с тремя неизвестными как решать,уравнения с тремя неизвестными примеры,уравнения с тремя неизвестными решение. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и как решать систему с тремя неизвестными. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, как решать систему уравнений с тремя неизвестными).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как решать систему с тремя неизвестными Онлайн?

Решить задачу как решать систему с тремя неизвестными вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Системы линейных уравнений: три переменные

Результаты обучения

  • Решить системы трех уравнений с тремя переменными.
  • Найдите несовместимые системы уравнений, содержащие три переменные.
  • Выразите решение системы зависимых уравнений, содержащей три переменные, используя стандартные обозначения.

Джон получил в наследство 12 000 долларов, которые он разделил на три части и инвестировал тремя способами: в фонд денежного рынка с выплатой 3% годовых; в муниципальных облигациях с выплатой 4% годовых; и во взаимных фондах, выплачивающих 7% годовых. Джон вложил в муниципальные фонды на 4000 долларов больше, чем в муниципальные облигации. В первый год он заработал 670 долларов в виде процентов. Сколько Джон инвестировал в каждый тип фонда?

(кредит: «Elembis», Wikimedia Commons)

Понимание правильного подхода к постановке задач, подобных этой, делает поиск решения вопросом следования образцу. В этом разделе мы решим эту и подобные задачи с тремя уравнениями и тремя переменными. При этом используются методы, аналогичные тем, которые используются для решения систем двух уравнений с двумя переменными. Однако поиск решений систем из трех уравнений требует большей организованности и некоторой визуальной гимнастики.

Решение систем трех уравнений с тремя переменными

Чтобы решить системы уравнений с тремя переменными, известные как системы «три на три», основная цель состоит в том, чтобы исключить одну переменную за раз для достижения обратной подстановки. Решение системы из трех уравнений с тремя переменными [латекс]\влево(х,у,г\вправо),\текст{}[/латекс] называется упорядоченной тройкой .

Чтобы найти решение, мы можем выполнить следующие операции:

  1. Поменять местами любые два уравнения.
  2. Умножить обе части уравнения на ненулевую константу.
  3. Добавить ненулевое кратное одного уравнения к другому уравнению.

Графически упорядоченная тройка определяет точку пересечения трех плоскостей в пространстве. Вы можете визуализировать такое пересечение, представив себе любой угол в прямоугольной комнате. Угол определяется тремя плоскостями: двумя примыкающими стенами и полом (или потолком). Любая точка, где встречаются две стены и пол, представляет собой пересечение трех плоскостей.

Общее примечание: количество возможных решений

Плоскости иллюстрируют возможные сценарии решения для систем три на три.

  • Системы, имеющие единственное решение, это те, которые после исключения приводят к множеству решений , состоящему из упорядоченной тройки [латекс]\left\{\left(x,y,z\right)\right\} [/латекс]. Графически упорядоченная тройка определяет точку, являющуюся пересечением трех плоскостей в пространстве.
  • Системы с бесконечным числом решений — это те, которые после исключения приводят к всегда истинному выражению, например [латекс]0=0[/латекс]. Графически бесконечное количество решений представляет собой линию или совпадающую плоскость, которая служит пересечением трех плоскостей в пространстве.
  • Системы, не имеющие решения, — это те, которые после исключения приводят к утверждению, являющемуся противоречием, например [латекс]3=0[/латекс]. Графически система без решения изображается тремя плоскостями, не имеющими общих точек.

(a) Три плоскости пересекаются в одной точке, представляя систему три на три с единственным решением. (b) Три плоскости пересекаются по прямой, представляя систему три на три с бесконечными решениями.

Пример. Определение того, является ли упорядоченная тройка решением системы

Определить, является ли упорядоченная тройка [латекс]\влево(3,-2,1\вправо)[/латекс] решением системы.

[латекс]\begin{gathered}x+y+z=2 \\ 6x — 4y+5z=31 \\ 5x+2y+2z=13 \end{gathered}[/latex]

Показать решение

Как: Имея линейную систему из трех уравнений, найдите три неизвестных.


  1. Выберите любую пару уравнений и решите одну переменную.
  2. Выберите другую пару уравнений и решите для той же переменной.
  3. Вы составили систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решите полученную систему два на два.
  4. Обратно подставьте известные переменные в любое из исходных уравнений и найдите отсутствующую переменную.

Пример. Решение системы из трех уравнений с тремя переменными методом исключения

Найдите решение следующей системы:

[latex]\begin{align}x — 2y+3z=9& &\text{(1)} \\ -x+3y-z=-6& &\text{(2)} \\ 2x — 5y+5z=17& &\text{(3)} \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите систему уравнений с тремя переменными.

[латекс]\begin{array}{l}2x+y — 2z=-1\hfill \\ 3x — 3y-z=5\hfill \\ x — 2y+3z=6\hfill \end{array} [/latex]

Показать решение

В следующем видео вы увидите визуальное представление трех возможных результатов для решений системы уравнений с тремя переменными. Существует также рабочий пример решения системы с помощью исключения.

 

Пример: решение реальной задачи с использованием системы трех уравнений с тремя переменными

В задаче, поставленной в начале раздела, Джон вложил свое наследство в размере 12 000 долларов в три разных фонда: часть в деньги- рыночный фонд, выплачивающий 3% годовых; участие в муниципальных облигациях с выплатой 4% годовых; а остальное в паевые инвестиционные фонды с выплатой 7% годовых. Джон вложил в паевые инвестиционные фонды на 4000 долларов больше, чем в муниципальные облигации. Общая сумма процентов, заработанных за один год, составила 670 долларов. Сколько он инвестировал в каждый тип фонда?

Показать решение

Попробуйте

Классифицировать решения систем с тремя переменными

Так же, как и с системами уравнений с двумя переменными, мы можем встретить противоречивую систему уравнений с тремя переменными, что означает, что она не имеет решения, которое удовлетворяет всем трем уравнениям. Уравнения могут представлять три параллельные плоскости, две параллельные плоскости и одну пересекающуюся плоскость или три плоскости, которые пересекают две другие, но не в одном и том же месте. Процесс исключения приведет к ложному утверждению, например, [латекс]3=7[/латекс] или другому противоречию.

Пример. Решение противоречивой системы из трех уравнений с тремя переменными

Решите следующую систему.

[латекс]\begin{align}x — 3y+z=4 && \left(1\right) \\ -x+2y — 5z=3 && \left(2\right) \\ 5x — 13y+13z =8 && \left(3\right) \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите систему из трех уравнений с тремя переменными.

[латекс]\begin{array}{l}\text{ }x+y+z=2\hfill \\ \text{ }y — 3z=1\hfill \\ 2x+y+5z=0\hfill \end{массив}[/латекс]

Показать решение

Выражение решения системы зависимых уравнений с тремя переменными

Из работы с системами уравнений с двумя переменными мы знаем, что зависимая система уравнений имеет бесконечное число решений. То же верно и для зависимых систем уравнений с тремя переменными. Бесконечное количество решений может быть результатом нескольких ситуаций. Три плоскости могут быть одинаковыми, так что решение одного уравнения будет решением двух других уравнений. Все три уравнения могут быть разными, но они пересекаются на прямой, имеющей бесконечные решения. Или два уравнения могут быть одинаковыми и пересекать третье по прямой.

Пример: Нахождение решения зависимой системы уравнений

Найдите решение данной системы трех уравнений с тремя переменными.

[латекс]\begin{align}2x+y — 3z=0 && \left(1\right)\\ 4x+2y — 6z=0 && \left(2\right)\\ x-y+z= 0 && \left(3\right)\end{align}[/latex]

Показать решение

Вопросы и ответы

Всегда ли общее решение для зависимой системы должно быть записано в терминах [латекс]х?[/латекс]

Нет, общее решение можно записать в терминах любой из переменных, но обычно его записывают в терминах [латекс]х[/латекс] и, при необходимости, [латекс]х[/латекс] и [ латекс]у[/латекс].

Попробуйте

Решите следующую систему.

[латекс]\begin{gathered}x+y+z=7 \\ 3x — 2y-z=4 \\ x+6y+5z=24 \end{gathered}[/latex]

Показать решение

Ключевые понятия

  • Набор решений — это упорядоченная тройка [латекс]\влево\{\влево(х,у,г\вправо)\вправо\}[/латекс], представляющая собой пересечение трех плоскостей в пространстве.
  • Система из трех уравнений с тремя переменными может быть решена с помощью ряда шагов, которые заставляют исключить переменную. Шаги включают изменение порядка уравнений, умножение обеих частей уравнения на ненулевую константу и добавление ненулевого кратного одного уравнения к другому уравнению.
  • Системы трех уравнений с тремя переменными полезны для решения многих различных типов реальных задач.
  • Система уравнений с тремя переменными несовместна, если не существует решения. После выполнения операций исключения получается противоречие.
  • Противоречивые системы уравнений с тремя переменными могут быть результатом трех параллельных плоскостей, двух параллельных плоскостей и одной пересекающейся плоскости или трех плоскостей, которые пересекают две другие, но не в одном и том же месте.
  • Система уравнений с тремя переменными является зависимой, если она имеет бесконечное число решений. После выполнения операций исключения результатом является тождество.
  • Системы уравнений с тремя переменными, которые являются зависимыми, могут быть результатом трех одинаковых плоскостей, трех плоскостей, пересекающихся по прямой, или двух одинаковых плоскостей, пересекающих третью по прямой.

Глоссарий

набор решений набор всех упорядоченных пар или троек, которые удовлетворяют всем уравнениям в системе уравнений

алгебраическое предварительное исчисление — Как решить систему двух уравнений с тремя неизвестными

спросил

Изменено
6 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено
7к раз

$\begingroup$

$x+y=5$

$2x+y-3z=12$

Я знаю, что для решения трех неизвестных нужны три уравнения, поэтому я не уверен, можно ли это решить или есть другие методы (кроме обычных исключений/замен) используются для решения подобных проблем.

  • алгебра-предварительное исчисление
  • системы уравнений

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Эту систему уравнений можно решить, просто у нее нет единственного решения.

Мы можем попытаться решить ее, как если бы у нас было всего 2 переменные, $x$ и $y$.

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы получить $x = 3z + 7.$

Тогда, поскольку $y = 5 — x$, мы получим $y = -3z — 2.$

Теперь мы решили систему , у нас есть только одно решение для каждого возможного выбора $z$.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Решение — перенести одну из неизвестных в правую часть и считать систему уравнений параметрической.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *