Как решить математику: Бесплатный пошаговый решатель интегралов

Содержание

примеры и способы решения математических задач для родителей

На протяжении всего обучения школьникам приходится решать задачи — в начальной школе по математике, а затем по алгебре, геометрии, физике и химии. И хотя условия задач в разных науках отличаются, способы решения основаны на одних и тех же логических принципах. Понимание того, как устроена простая задача по математике, поможет ребёнку разработать алгоритмы для решения задач из других областей науки. Поэтому учить ребёнка решать задачи необходимо уже с первого класса. 

Нередки случаи, когда точные науки вызывают у детей сопротивление. Видя это, учителя и родители записывают таких детей в «гуманитарии», из-за чего они только укрепляются во мнении, что точные науки — это не для них. Преподаватель математики Анна Эккерман уверена, что проблемы с математикой часто имеют исключительно психологический характер:

Детям вбивают в голову, что математика — это сложно. К длинным нудным параграфам в учебнике сложно подступиться. Учитель ставит на ребёнке клеймо «троечника» или «двоечника». Если не внушать детям, что они глупые и у них ничего не получится, у них получится ровно всё.

Чтобы ребёнку было интересно учить математику, он должен понимать, как эти знания пригодятся ему, даже если он не собирается становиться программистом или инженером.

Математика ежедневно помогает нам считать деньги, без умения вычислять периметр и площадь невозможно сделать ремонт, а навык составления пропорций незаменим в кулинарии — используйте это. Превращайте ежедневные бытовые вопросы в математические задачи для ребёнка: пусть польза математики станет для него очевидна. 

Конечно, найти в быту применение иррациональным числам или квадратным уравнениям не так просто. И если польза этих знаний вызывает у подростка вопросы, объясните ему, что с их помощью мы тренируем память, развиваем логическое мышление и остроту ума — навыки, в равной степени необходимые как «технарям», так и «гуманитариям». 

Как правильно научить ребёнка решать задачи

Если ребёнок только начинает осваивать навык решения задач, приучите его придерживаться определённого алгоритма.    

1. Внимательно читаем условия  

Лучше вслух и несколько раз. После того как ребёнок прочитал задачу, задайте ему вопросы по тексту и убедитесь, что ему понятно, что вычислять нужно количество грибов, а не огурцов. Старайтесь не нервничать, если ребёнок упустил что-то из вида. Дайте ему разобраться самостоятельно. Если в условиях упоминаются неизвестные ребёнку реалии — объясните, о чём идёт речь.

Особую сложность представляют задачи с косвенным вопросом, например:

«Один динозавр съел 16 деревьев, это на 3 меньше, чем съел второй динозавр. Сколько деревьев съел второй динозавр?». Невнимательно прочитав условия, ребёнок посчитает 16−3, и получит неправильный ответ, ведь эта задача на самом деле требует не вычитания, а сложения.        

2. Делаем описание задачи

В решении некоторых задач поможет представление данных в виде схемы, графика или рисунка. Чем ярче сложится образ, тем проще будет его осмыслить. Наглядная запись позволит ребёнку не только быстро разобраться в условиях задачи, но и поможет увидеть связь между ними. Часто план решения возникает уже на этом этапе. 

Ребёнок должен чётко понимать значения словесных формул и знать, какие математические действия им соответствуют.  

Формы краткой записи условий задач / shkola4nm.ru

3. Выбор способа решения

Наглядно записанное условие должно подтолкнуть ребёнка к нахождению решения. Если этого не произошло, попробуйте задать наводящие вопросы, проиллюстрировать задачу при помощи окружающих предметов или разыграть сценку. Если один из способов объяснения не сработал — придумайте другой. Многократное повторение одного и того же вопроса неэффективно. 

Все, даже самые сложные, математические задачи сводятся к принципу «из двух известных получаем неизвестное». Но для нахождения этой пары чисел часто требуется выполнить несколько действий, то есть разложить задачу на несколько более простых. 

Ребёнок должен знать способы получения неизвестных данных из двух известных:

  • слагаемое = сумма − слагаемое
  • вычитаемое = уменьшаемое − разность
  • уменьшаемое = вычитаемое + разность
  • множитель = произведение ÷ множитель
  • делитель = делимое ÷ частное
  • делимое = делитель × частное

После того как план действий найден, подробно запишите решение. Оно должно отражать всю последовательность действий — так ребёнок сможет запомнить принцип и пользоваться им в дальнейшем. 

4. Формулировка ответа

Ответ должен быть полным и точным. Это не просто формальность: обдумывая ответ, ребёнок привыкает серьёзно относиться к результатам своего труда. А главное — из описания должна быть понятна логика решения.

Задание из базового курса алгебры домашней онлайн-школы «Фоксфорда», 7 класс

Одна из самых распространённых ошибок — представление в ответе не тех данных, о которых спрашивалось изначально. Если такая проблема возникает, нужно вернуться к первому пункту.   

5. Закрепление результата

Не стоит думать, что выполнив задание один раз, ребёнок сразу научится решать задачи. Полученный результат нужно зафиксировать. Для этого подумайте над решённой задачей ещё немного: предложите ребёнку поискать другой способ решения или спросите, как изменится ответ при изменении того или иного параметра в условии.

Важно, чтобы у ребёнка сложился чёткий алгоритм рассуждений и действий в каждом из вариантов. 

В нашей онлайн-школе, помимо уроков, ученики могут закреплять  свои знания на консультациях в формате открытых часов, где учителя разбирают темы, вызвавшие затруднения, показывают необычные задачи и различные способы их решения. 

Что поможет ребёнку решать задачи  

В заключение расскажем о том, как сделать процесс решения задач проще и интереснее:

  • Для того чтобы решать задачи, необходимо уметь считать. Следует выучить с ребёнком таблицу умножения, освоить примеры с дробями и простые уравнения.
  • Чтобы решение задач не превратилось для ребёнка в рутину, проявите фантазию. Меняйте текст задания в соответствии с интересами ребёнка. Например, решать задачи на движение будет куда интереснее, если заменить банальные поезда трансформерами, летящими навстречу друг другу в эпической схватке. 
  • Дети с развитой логикой учатся решать задачи быстрее. Советуем разбавлять чисто математические задания логическими. Задачи «с подвохом» избавят ребёнка от шаблонного мышления, а задания с большим количеством лишних данных научат выделять главное из большого количества условий.   

<<Блок перелинковки>>

После того как ребёнок решит достаточно задач одного типа, предложите ему самому придумать задачу. Это позволит ему не только закрепить материал, но и проявить творческие способности.

Математика онлайн

Решение математики онлайн

Math34.biz – это современный способ решения математики, в том числе для сравнения самостоятельных решений с машинными вычислениями.

Пользование сервисом удобно и понятно каждому человеку, попавшему на сайт впервые. Сразу выбираете нужный калькулятор, вводите необходимые данные по вашей задаче и нажимаете кнопку «Решение». За считанные секунды ответ готов.

Чтобы не возникало трудностей с вводом данных, мы подготовили специальную статью Как вводить данные? Помимо правил написания формул и чисел, в ней вы можете увидеть, как правильно вводятся различные константы и математические функции.

О калькуляторах

По мере возможности добавляются новые математические калькуляторы. На сегодняшний день их более 85.

Если не удалось найти нужный калькулятор, которым может быть решена ваша математическая задача, или есть предложение по улучшению имеющегося калькулятора, пожалуйста, сообщите об этом на почту [email protected]

Преимущества

1. Бесплатно
Решение математики онлайн не будет вам стоить ни копейки. Наш сервис абсолютно бесплатный и доступен любому пользователю интернета.

2. Без регистрации
Для пользования калькуляторами не требуется регистрации на сайте, отнимая время на заполнение почтовых ящиков и других личных данных.

3. Подробные решения
На многие задачи вы получите пошаговый развернутый ответ, что позволяет понять, каким образом было получено решение задачи.

4. Разные способы решения задач
Для популярных калькуляторов доступны разные методы решения задач, если они применимы, что позволяет, во-первых, лучше понять, как решается задача известным вам способом, а, во-вторых, научиться решать ту же самую задачу альтернативными методами.

5. Точность вычислений
В полученном ответе не приходится сомневаться, ведь мощная система расчета обеспечивает высокую точность при решении математических задач онлайн.

Однако, мы не исключаем возможность каких-либо ошибок, ведь известно, что алгоритмы пишутся хотя и очень умными, но всё же людьми. В случае обнаружения ошибки, пожалуйста, не поленитесь и сообщите нам о ней.

Топ-5 приложений для решения задач по математике

Мы отобрали для вас лучшие приложения для Android, которые созданы для решения практически любых задач по математике в два счета.

Математику по праву можно назвать царицей наук, которую в равной степени можно как любить, так и ненавидеть. Если задуматься всерьез, то мы используем знания по математике каждый день. Повсюду сталкиваемся с числами – на циферблате часов, на денежных банкнотах, в расписании уроков. Нам все время приходится выполнять простые и сложные математические операции – посчитать, через сколько минут начнется любимый фильм, сколько сдачи должны дать в магазине, когда приедет автобус.

Но для многих математика — это непонятные действия, числа, правила и задачи. Говорят, все познается в сравнении. Математика позволяет нам узнать, насколько что-то больше, длиннее, шире, дороже другого. Без знания математики невозможно построить дом, автомобиль. Если бы не математика, у нас бы никогда не было ни компьютеров, ни планшетов и смартфонов. Математическими расчетами пользуются все другие науки в мире. 

Простая арифметика, превращающаяся в дальнейшем в сложную алгебру и геометрию, заставляла многих ненавидеть эти дисциплины. Кому-то математика в школе давалась легко, а для кого-то она так и осталась чем-то далеким и непостижимым. Как ни крути, иногда умение считать деньги не спасает от необходимости решения сложных математических уравнений и неравенств. «Смартфон» дословно переводится как «умный телефон», и благодаря стороннему софту ему можно доверить даже самые сложные задачи. В век информационных технологий дела с этим обстоят совсем иначе. На помощь школьникам и студентам пришли смартфоны и планшеты с «умными» приложениями-калькуляторами, речь о которых пойдет в этой статье. Оговоримся сразу, что приложения не могут быть панацеей. Вам всё равно придется учить математику, а они лишь помогут вам, подскажут ход решения. Пока что данные приложения не могут справляться со сложными заданиями, но кое-что умеют.

Photomath

Одно из самых известных приложений для решения математических задач с первого же дня назвали ужасом для учителей математики. А разработчики просто называют его «камерой-калькулятором». Photomath интересно тем, что способно решить практически любую математическую задачу. Вам тяжело разобраться в решении логарифмических, квадратных, тригонометрических уравнений и неравенств? Трудно решать задачи с корнями, модулями, степенями, дробями, интегралами и факториалами? Теперь с помощью приложения Photomath решать такие задания не составит большого труда. Но самое интересно — приложение не просто решает математические задачи, а подробно расписывает ход расчетов. Это понравится не только учащимся и студентам, а также родителям, которые захотят проверить домашнее задание своего чада.

Пользователю понравится, что приложение Photomath способно работать в автоматическом режиме. Достаточно просто открыть его и сразу же активируется встроенный интерфейс камеры с заданной областью распознавания. Для того, что начать работу, необходимо расположить камеру так, чтобы математическая задача вместилась в эту область. Буквально через мгновение умные алгоритмы программы начнут анализировать данные на экране и практически моментально выдадут ответ. Если захотите увидеть весь ход решения вашей задачи, то просто нажмите на результат в красном прямоугольнике. В истории приложения сохраняются 10 последних записей, поэтому в любой момент сможете просмотреть решение предыдущей задачи. 

Иногда случается, что программа некорректно распознала те или иные математические символы в задании, решив неправильно при этом задачу. Но не отчаивайтесь. В Photomath у вас есть возможность отредактировать их в режиме калькулятора. Стоит отметить, разработчики очень хорошо продумали эту функцию. Здесь доступен калькулятор со всевозможными операторами, есть цифровая, текстовая и символьная раскладки. 

Долгое время приложение умело распознавать только напечатанное задание. Причем из книги было намного легче отсканировать его, чем с экрана ноутбука. Теперь же, наконец-то, появилась долгожданная функция распознавания рукописного текста. Все работает почти безупречно, но для лучшего результата желательно, чтобы запись была аккуратным почерком. 

Мне очень понравилось пользоваться приложением. Оно практически справляется с любым заданием со всей школьной программы по математике и алгебре, включая старшую и высшую школы. Да, приложение стоящее, абсолютно бесплатное, не содержит рекламы, как обычно бывает с такими приложениями, есть русский язык интерфейса, способно работать без подключения к Интернету, но и ошибок предостаточно. 

MalMath: Step by step solver

С помощью данного приложения вы сумеете решить математические задачи не только получив пошаговое описание процесса вычисления, но и построение необходимых графиков. Само приложение MalMath для Android полностью бесплатное, к тому же совершенно не содержит рекламы. Также у вас есть возможность использовать его без подключения к Интернету. Это является большим плюсом для него. Программа в первую очередь приглянется ученикам старших классов, студентам колледжей, а также университетов и академий. Дело в том, что MalMath умеет решать интегралы, производные, пределы, логарифмы, тригонометрические уравнения и неравенства, примеры с корнями и модулями. По крайней мере большую часть. Однако, вам придется в ручную вводить условие задания, так как функция распознавания с помощью камеры здесь не предусмотрена. Что касается его способностей, то они ограничиваются лишь задачами средней сложности с более скромным, чем у остальных приложений, описанием решений.

Интерфейс MalMath представлен на русском языке, выполнен в классическом стиле и оптимизирован под экраны смартфонов. У вас есть возможность в настройках изменить размер шрифта и скорость анимации. Открыв боковое меню, увидите, что оно включает пять пунктов: главный экран, рабочий лист, график, генератор задач, избранное. Но больше всего вам будет интересна функция «генератор задач». С ее помощью можно создавать случайные математические задачи с несколькими категориями и уровнями сложности, заданными в настройках. Все выражения и графики можно сохранять в избранном.

Сам процесс добавления задачи очень похож на вставку формул в Microsoft Word. Из собственного опыта отмечу, что, вроде бы все понятно и просто, но иногда довольно неудобно, особенно, что касается ввода сложных комбинаций с дробями и корнями. Придется потратить немного времени, чтобы привыкнуть к определенному принципу набора, но все же оно того стоит.

Mathway

Еще одно весьма заслуживающее внимания приложение, которое поможет справиться с математическими заданиями. Приложение является своеобразным инструмент для решения задач, который, помимо школьного курса математики, охватывает математический анализ, статистику, тригонометрию, линейную алгебру и даже химию. Если вы когда-то использовали веб-версию сервиса Mathway, то сразу же узнаете внешний вид и функциональные возможности данного приложения. Практически тот же интерфейс в виде мессенджера, в котором все действия происходят как бы в диалоге с виртуальным помощником. 

Стоит заметить, что именно данное приложение из рассматриваемых в этой статье является одним из самых интересных в плане качества решения. Вам понравится, что получите, пожалуй, наиболее развернутые пошаговые решения задач, к тому же на понятном русском языке. Немного странным выглядит тот факт, что в описании указано, что для просмотра пошагового решения, нужна платная подписка, хотя все функциональные возможности приложения совершенно бесплатны. Mathway поможет вам не только с решением уравнений, неравенств и прочих сложных выражений, но также сумеет построить графики, может найти число молекул в определенной массе тела. 

Mathway для Android тоже решает задачи с помощью камеры устройства, правда, реализована эта функция не самым лучшим образом. Для такого вывода у нас есть несколько веских причин. Во-первых, интерфейс камеры в программе крайне минималистичный, в нем почему-то нет даже области распознавания. Вам придется приловчится, чтобы выражение находилось по центру экрана, а рядом не должно быть других надписей, иначе приложение будет выдавать неправильное решение. Часто на практике камера захватывала только часть приложения, отсюда и ошибки. К тому же камера автоматически настроена на макро-режим, поэтому алгоритмы распознавания часто плохо срабатывают и выдают неправильный ответ. Лично мне иногда было гораздо проще и быстрее ввести задачу вручную. К тому же для этого в приложении есть просто шикарные возможности. Дело в том, что выдвигающееся боковое меню позволит вам получить доступ аж к 10 разделам, у каждого из которых есть свой собственный калькулятор с определенными символами, операторами, константами и прочими функциями. Очень удобно и практично.

Мне очень понравилось, что Mathway предлагает пользователю самому выбрать способ решения задачи, в зависимости от этого результаты могут меняться. Если не подходит один из способов, достаточно снова тапнуть на математическое выражение и выбрать другой вариант решения. Скажем сразу, если вы хотите быстро и оперативно получить нужный ответ к задаче, то Mathway вряд ли подойдет вам. Но, если хотите точности и развернутости ответа, а также у вас есть терпение самостоятельно вводить математические символы и знаки, то данное приложение весьма вам понравится. 

Mathpix

Mathpix — первое приложение, которое позволяет вам решать и визуализировать решения, распознавая рукописный текста, включая сложные формулы. Mathpix стремится заменить дорогие и устаревшие графические калькуляторы, чтобы обеспечить бесплатное и интересное учебное пособие для студентов-математиков по всему миру.

Я и вовсе хотел написать его первым среди всех приложений, так как это один из старожилов подобных приложений для решения математических задач. Оно намного раньше, в отличие от Photomath, получило способность распознавать рукописные математические задачи. Стоит заметить, что  суть и принцип работы обоих приложений очень похожи, но в целом сервис Mathpix рассчитан на более взрослую аудиторию. Оно умеет решать простые и не очень квадратные уравнения, легко справляется с задачами, в которых есть дробные выражения, а также корнями, логарифмами, интегралами, производными и т. д. То есть практически все, что есть в старших классах школы и первых курсов университета. Но особенно я бы отметил возможность построения графиков функций, благодаря интеграции с передовым графическим калькулятором Desmos. Этого нет ни у одного из представленных приложений, а это очень важно для решения задач алгебры и начала анализа.

Вам очень понравится работа алгоритмов распознавания текстов и условий у Mathpix. Программа практически в считанные секунды сканирует и считывает условие задачи. Тут же отправляет на сервер данные условия и почти мгновенно выдает ответ. Но ошибки тоже случаются, хотя довольно редко. При этом пользователю доступны инструменты для работы с задачами в режиме графика: редактирование вводных данных, добавление таблиц, заметок и дополнительных функций для нескольких графиков.

Я тут так пафосно расписал возможности приложения, но отмечу, что оно хорошо справляется только с несложными задачами. Если еще с построением элементарных графиков приложение справится, то с более сложными заданиями, которые включают тригонометрические и логарифмические уравнения, неравенства, а также уравнения с модулем, возникали большие проблемы. Приложение просто игнорировало их решение. Так что разработчикам еще необходимо потрудиться над возможностями своей программы.

Большинству пользователей не понравится, что отсутствует интерфейс на русском языке, а также подробное описания решения задач. Да и само приложение довольно-таки сложновато в использовании, элементы управления неудобны на смартфоне с небольшим экраном. Создалось впечатление,что это веб-версия приложения. Но решение всё же остается за вами.

MyScript Calculator

Ну и, наконец, самое интересное приложение MyScript Calculator, которое впервые появилось в начале 2013 года. К тому же, сразу получило признание на международной выставке CES и было отмечено за инновации. Мы привыкли, что в онлайн-калькуляторах либо роль считывателя играет камера устройства, либо вручную вводим данные. В приложении MyScript Calculator принцип подхода к математическим вычислениям кардинально отличается. Особенность MyScript Calculator заключается в том, что приложение работает только с рукописным вводом данных. Здесь даже отсутствуют кнопки, как таковые, а все, что имеется — это чистое полотно на весь экран, имитирующее бумагу-миллиметровку. Примеры для вычисления пользователь пишет пальцем или с помощью стилуса. В данном случае предпочтительнее будет использование планшета или фаблета с цифровым пером.

Вам понравится, что приложение автоматически сумеет распознать написанное вручную, переведет записи в нормальный цифровой вид и буквально в то же мгновение выдаст результат. Стоит отметить, что алгоритмы распознавания MyScript Calculator просто великолепные. На практике программа умудряется определить даже самые откровенные каракули. Также вы сможете отменить или повторить последние действия и полностью очистить экран от написанного. К тому же вас определенно порадует довольно большой список поддерживаемых символов и операторов, который поможет решить даже сложные задания. Несмотря на все это, приложение вряд ли пригодится студентам университетов. Даже несмотря на возможность работать с дробями, квадратными корнями, константами, решать уравнения, находить переменные, MyScript Calculator решит школьную программу, не более.

Основным недостатком MyScript Calculator для Android можно считать отсутствие подробного описания решений, программа выдает только итоговый результат. Хотя, учитывая концепцию приложения, возможно оно было бы лишним. А вот то, что здесь не хватает различных удобных мелочей, так это скорее пожелание разработчикам на будущее. К примеру, хотелось бы увидеть историю вычислений, возможность масштабировать экран и сохранять введенные задачи. Но, если все это отбросить в сторону, приложение действительно полезное, простое и оригинальное. 

Вместо тысячи слов…

Ну и в заключение все же хочется сказать, что хоть приведенные приложения и помогут вам справиться с математическими заданиями, но не забывайте, что это всего лишь программа. Она призвана помочь вам, а не добавлять вам знаний. Но еще раз повторюсь, данные приложения не являются панацеей для решения задач. Так, с некоторыми заданиями оно и вовсе не справится. К тому же иногда ошибаются в самых простейших случаях. Поэтому не стоит доверять им всецело, а все-таки учить математику.

Будем признательны, если в комментариях поделитесь своим опытом использования подобных приложений, которые облегчают изучение математики.

Константинов. Как решить задачу (и) научить детей математике

В начале июля от ковида умер НН (Николай Николаевич) Константинов, один из создателей углубленного преподавания математики в СССР. Через математические олимпиады, кружки, матклассы в московских школах прошли тысячи детей, обнаруживших склонность к точным наукам, – и после многие из них составили цвет науки. Это был чарующий мир: помимо углубленного изучения математики школьники ходили в походы, летом отправлялись в матлагерь, организованный на хуторе в Эстонии, или в составе строительного отряда на Беломорскую биологическую станцию, а затем собирались в подмосковных лесах на слеты ББС с палатками, кострами и пением бардовских песен.

Многое из этого организовал Константинов. Он был в прямом смысле легендарной личностью – про него рассказывали невероятные легенды: что, например, его видели одновременно в разных местах. Пересказывали историю, как люди ехали на велосипедах по шоссе, и Константинов несколько раз их обгонял, ни разу при этом не проехав навстречу.

Про себя Константинов рассказывал, что интересовался в детстве биологией, занимался в кружке юных натуралистов, но потом грянуло «разоблачение» генетики академиком Лысенко, и идти учиться биологии в СССР стало бессмысленно. Константинов увлекся физикой и математикой, окончил физфак МГУ. Преподаватели университета традиционно устраивали математические кружки для школьников, Константинов постепенно втянулся в эту деятельность и разработал знаменитую впоследствии среди московских матклассов систему «листков»: каждый листок был посвящен отдельной теме, в нем коротко излагались основы теории и содержались задачи – решая их, школьник постепенно разбирался и усваивал теорию.

Это было ключевым методом обучения, решение все усложнявшихся задач, – и Константинов (конечно, не он один) эти задачи придумывал. Одной из его задач открывался знаменитый учебник Владимира Арнольда «Обыкновенные дифференциальные уравнения» – Арнольд использовал задачу Константинова, чтобы проиллюстрировать понятие фазового пространства:

Из города A в город B ведут две не пересекающиеся дороги. Известно, что две машины, выезжающие по разным дорогам из A в B и связанные веревкой некоторой длины, меньшей 2l, смогли проехать из A в B, не порвав веревки. Могут ли разминуться, не коснувшись, два круглых воза радиуса l, центры которых движутся по этим дорогам навстречу друг другу? (Ответ: нет).

«Листочки» эти (ужасного качества, отпечатанные на пишущей машинке под множество копирок) помнят все, кто учился в московских матклассах и посещал, соответственно, еженедельные дополнительные занятия по математике. Матклассы появились под шумок школьной реформы, вводившей профобразование. По воспоминаниям Константинова, математик Александр Кронрод, у которого он был аспирантом, создал маткласс в одной из московских школ и привлек его к преподаванию.

«Листочек» с задачами

Математик Александр Шень, много лет развивавший эту систему углубленного обучения математике, вспоминает статью Константинова, в которой тот объяснял, почему важно, чтобы школьники самостоятельно решали задачи:

– Он говорил, что вкус к решению простых задач оригинальным способом сейчас утрачен. Если человек читает, то он вполне может быть кандидатом наук, но может быть не в состоянии придумывать что-то простое. Вот задача: есть баллон на 100 литров, в котором имеется газ под высоким давлением. И есть два пустых баллона по 50 литров, нужно газ разлить по этим двум баллоном, но каким-нибудь простым способом, домашними средствами. Константинов пишет, что он давал эту задачу многим кандидатам наук, и большинство так ничего и не придумали, а на самом деле способ очень простой и широко применяется – правда, в чем состоит способ, Константинов не написал. Я думаю, надо в пустой баллон налить воду, соединить с большим баллоном шлангом с краном, открыть кран, баллон с водой поместить наверх, тогда вода перетечет вниз, займет половину места в большом, после чего надо закрыть кран и то же повторить со вторым 50-литровым баллоном. Еще один пример Константинова – разрыв теории с практикой. У них был школьник, отличник по всем предметам. Они приехали на Белое море, он поставил рюкзак и пошел гулять. Приходит – рюкзака нет. Выяснилось, что, хотя он изучал географию, идея, что бывают приливы, ему в голову не пришла. Другой школьник в том же походе, видя, что вода в море очень чистая, набрал ее для чая, не подумавши, что в море вода соленая, хотя наверняка учился этому на географии.

Шень говорит, что Константинов «с 60-х годов не то что незаметно для советской власти, но ниже радара построил вполне развитую систему математического образования. Она начиналась с кружков, потом – математические классы, дальше – для тех, кто мог поступить, – мехмат. В 90-е появился Независимый университет – это тоже в значительной степени заслуга Константинова».

Шень описывает эту систему, вспоминая собственный опыт преподавания в школе:

С точки зрения советской власти, ВМШ почти не существовала. А матклассы советская власть терпела

– По средам, вечером, с 4 до 6, любой московский школьник (6–7-го класса) мог прийти на занятие математического кружка, который назывался «Вечерняя математическая школа» – не надо записываться, просто можно было прийти в любую среду с 16.00 (в других кружках Москвы день занятий, конечно, мог отличаться. – Прим.). Для школьников было общее задание, которое мы готовили, листочек с, допустим, шестью задачами. В каждой аудитории – три преподавателя, среди них часто студенты. Школьники решают задачи, когда думают, что решили, поднимают руку, подходит преподаватель, выслушивает решение. Мы старались, чтобы никто не ушел совсем обиженный, то есть было желательно, чтобы большинство людей решили по крайней мере две задачи. Если человек все решил, ему давались дополнительные задачи. Важно, что занятия тематически были более-менее независимыми: школьник не смог прийти в этот раз – придет в следующий (и ему должна быть понятна тема несмотря на пропуск. – Прим.). Смысл кружков состоял в том, чтобы люди поняли, интересно им решать задачи или нет. Так продолжалось в течение учебного года, а в его конце происходило собеседование для желающих попасть в матклассы (которые обычно охватывали последние три года школы, 8–10-й классы). Школьники приходили на собеседование так же, как на кружок, но тут уже регистрировалось четко, что кто решил, выяснялось, у кого результаты лучше. В конце концов объявлялся список, кто попал в маткласс следующего года (и дети переводились из своих прежних школ в школы, где набирались матклассы. – Прим.). При этом с точки зрения советской власти и органов образования, ВМШ почти не существовала. По вечерам какие-то кружки по математике в школе – это нормально, кто туда приходит – никого не волнует. А матклассы советская власть терпела. Это был сложный политической момент, директора школ как-то договаривались, уговаривали, чтобы матклассы открыли. Райком иногда не разрешал открывать, то есть все всегда было в подвешенном состоянии, но в основном разрешали, они даже не мешали набирать школьников по конкурсу, в это дело не лезли. В школе происходило то же самое, что на кружках, но уже с помощью задач изучалась в целом некоторая теория. Это было параллельно с обычными уроками алгебры и геометрии: обычные уроки – четыре часа в неделю, и еще четыре урока дополнительных.

Районная олимпиада по математике – это был первый уровень сети

– Константинов был известен как один из ключевых деятелей олимпиадного движения, он организовал многопредметную олимпиаду Турнир Ломоносова, затем – Турнир городов. Это было важно?

– Олимпиады были и до Константинова – московская, всесоюзная, они проводились официально. Олимпиады были важны, поскольку это был способ привлечь детей на кружки: о проведении олимпиад объявлялось по школам, после можно было пригласить победителей на математический кружок. Константинов каким-то образом договорился с гороно, что к обычным школьным задачам районной олимпиады в конце добавят задачу посложнее, более интересную, и для проверки этой задачи Константинов пришлет специальных помощников, студентов. Вообще учителям было все это трудно проверять, даже обычные задачи, а уж эту дополнительную особенно сложно, но студенты приезжали и старались деликатно договориться и проверить эти последние задачи, смотрели, какие школьники хорошо выступили, переписывали их данные, и им посылалось предложение прийти уже на городскую олимпиаду, а также в вечернюю математическую школу. То есть районная олимпиада по математике – это был первый уровень сети. После этого школьник попадал в математические кружки, в математические классы. Но официально этого не существовало. До 80-го года Константинов был официальным членом оргкомитета Всесоюзной олимпиады, но эта роль его не была, как теперь говорят, институционализирована. В 80-м его выгнали.

– Почему выгнали?

– Мне кажется, я даже видел текст доноса, который написал профессор МГУ. У меня, к сожалению, нет этого документа, поэтому я не могу твердо утверждать, но кажется, донос был несколько антисемитского характера, что какой-то школьник Гинзбург как-то нарушал правила олимпиады, в общем, какой-то бред. После этого Константинова выгнали. Мне показывали этот текст на бумаге, но откуда этот текст был, было ли это заверенной копией или какие-то доброжелатели списали где-нибудь, я не берусь сказать.

Идея была привлечь школьников в кружки

– А Турнир городов и Турнир Ломоносова?

– Турнир городов как раз связан с тем, что Константинова выгнали. Когда его выгнали, другие люди тоже, по-моему, ушли в знак протеста. И Толпыго в Киеве, Анджанс в Риге и Константинов в Москве решили: давайте мы вместо олимпиады сами составим трудные задачи, а все желающие эти задачи придут решать. Советская власть не препятствовала, было разрешено провести турнир в каком-то вузе или в школе. Соответственно, в Москве Константинов потом забрал все работы на проверку, а в Риге и Киеве проверяли тамошние люди. После этого сверили критерии, результаты по всем городам, и школьники могли сравнить свои успехи. Но в отличие от олимпиады, никакой официальной пользы от этого не было. Человек решил задачу, у него есть бумажка, что он решил задачу, но ее особенно предъявлять никуда нельзя было, никаких преимуществ она не давала, бумажка и бумажка. А Турнир Ломоносова был устроен для более младших школьников. Идея была в том, что он – вместо районной олимпиады – привлечет школьников в кружки, и не только по математике, там были физика, химия, биология, астрономия, лингвистика в какой-то момент образовалась. Разные люди приходили, говорили: «А давайте мы еще сделаем конкурс по лингвистике». Константинов спрашивал: «А есть ли у вас для этого люди?» – «Человек 15–20 соберем, пришлем своих представителей, потом соберем работы и проверим».

– Все московские вечерние кружки были как-то связаны с Константиновым? Это все были просто группы энтузиастов?

– Не то что был какой-то список, надо было зарегистрироваться и аккредитоваться у Константинова. Если человек хотел вести кружок, он мог его вести совершенно произвольно. Посмотрев, что его приятели ведут кружок где-то, он мог договориться о кружке в своей школе, например. Кружки были разные, все составляли свои задачи. Там не было такого, что прислали задачи из центра.

Вы набрали тут класс, слишком много евреев

– Считается, что советская власть, которой нужны были светлые математические, физические и прочие головы для производства оружия или чего-то подобного, закрывали глаза на то, чем еще занимаются ученые, если это не сопровождалось слишком большой крамолой. Такое ощущение, что “константиновская”, условно назовем ее, система развилась в этой слепой зоне, куда советская власть не смотрела.

– Благодаря всем этим оружейным программам академики типа Курчатова, Королева были уважаемыми людьми в советской системе. Поэтому, когда они говорили, что нам нужно организовать физико-математические интернаты, объясняли, как это будет полезно для военно-промышленного комплекса, то на уровне ЦК это могли разрешить. После этого все спускалось на какие-то нижние уровни, там могли ставить палки в колеса, но было общее благословение за счет влияния военных, ВПК и соответствующих академиков. Когда Ершов (Андрей Ершов, крупный советский теоретик программирования. – Прим.) пробивал курс информатики в 1984 или 1985 году и писал письма в политбюро, он упирал именно на то, что это важно для обороны. Видимо, его поддерживали члены военно-промышленной комиссии. Отдельно была идеологическая проблема, когда школьники матклассов вели себя неправильно с точки зрения советской власти, она, конечно, была недовольна. Но если из Ленинского райкома объясняли: вы набрали тут класс, слишком много евреев, – невозможно было позвонить какому-то академику, чтобы он перезвонил в ЦК и сказал: что вы делаете? Надо было отвечать: мы в этом году не будем набирать, или вписать каких-нибудь несуществующих школьников, чтобы уменьшить процент евреев, в другой школе набирать класс, другие предпринимать хитрости. По-моему, Гриша Гальперин рассказывал, как Константинов объяснял устойчивость системы математического образования: система действительно требовала сотрудничества с советскими органами образования, чтобы разрешили занятия в школе, кружок в помещении вуза. Но она требовала на таком низком уровне, что это не выглядело вопиющим. Весь размах системы был в каждом отдельном месте неясен. Как якобы говорил Константинов, бывают отдельные понятливые чиновники, которые видят всю угрозу, но не в состоянии объяснить на языке, понятном их начальству.

Матлагерь в Эстонии

– Константинов занимался информатикой?

– Нет. Он был учеником Кронрода, его диссертация по топологии плоскости. Он преподавал какое-то время, его из университета выгнали, кажется, в связи с «письмом девяноста девяти» в защиту Есенина-Вольпина (в 1968 году 99 ученых подписали письмо против принудительной госпитализации математика и диссидента Александра Есенина-Вольпина в психбольницу. – Прим.). Потом Константинов попал в Институт экономики, математическая экономика. Лаборатория Кронрода изначально была лабораторией для расчетов по бомбе, поэтому у них были численные методы, технология программирования, а потом уже не по бомбе, а вообще. У Константинова из работ по информатике – знаменитый фильм с кошкой, но это просто школьный проект. Просто школьникам было интересно, он вместе с ними это делал, получился такой исторический первый мультфильм компьютерный.

– Константинов был связан с колмогоровской реформой школьного математического образования? (Андрей Колмогоров, крупнейший математик 20-го века, в конце 60-х участвовал в подготовке новых учебников по математике. – Прим.)

– Абсолютно нет. Константинов с этим вообще никак не связан.

Хотели как лучше, а получилось как у Черномырдина

– Часто можно встретить людей, которые говорят: восхищаюсь теми, кто разбирается в математике, я после 4–5-го класса уже ничего не понимал. Мне кажется, колмогоровская реформа ввела в школах очень формальный курс математики, и в результате детей, способных к математике, было сразу видно, но для остальных это было точкой отсечения, они быстро переставали понимать и интересоваться.

– Я бы не сказал, что тут есть именно элемент отбора. Безусловно, Колмогоров хотел как лучше, а получилось плохо. Не то что для математических школьников это замечательно, а для нематематических это плохо, – для всех получилось неудачно. Тому много причин. Были сначала учебники, еще восходящие к учебникам Киселева (конца 19-го – начала 20-го века. – Прим.), их постепенно упрощали, но все это было, конечно, тоскливо: что-то школьники еще понимали, но с некоторого момента переставали, когда начинались тригонометрические уравнения – совершенно ни к селу ни к городу, зачем их решать, почему их решать? Так что то, что было раньше, тоже было некачественным. Были разные математики, которые хотели это по-разному исправить, у них были совершенно завиральные идеи. Колмогоров помимо интерната (школа-интернат при МГУ для одаренных детей, созданный при участии Колмогорова. – Прим.), где он как следует работал, вроде еще пробовал свои идеи в обычной школе, но несерьезно. Конечно, у них не было представления, что учителя могут понять. Они составили программу, и когда составляли программу, говорили: ну нельзя же вот этого не знать. Потом по этой программе начали писать учебники. Потом выяснилось, что никто ничего по программе не успевает, не понимает, поэтому все содержательное постепенно выбрасывалось, оставались только упражнения, которые было легко выполнить, ничего не понимая. Упражнения можно было выполнить, но понимание не совершенствовалось, и в следующем классе проблемы повторялись. Была идея, причем с самыми лучшими побуждениями, что в старых гимназиях решали слишком много задач арифметическими способами: большой бидон, маленький бидон, если бы маленький бидон был как большой, то сколько бы тогда… Зачем это все, мы научим решать уравнения – общий метод, это гораздо проще. Но выяснилось, что школьники не понимают, что означает буква «икс» в уравнении, и учителя не в состоянии им это объяснить. Как-то вместо этой скучной, но понятной деятельности с бидонами стало нужно переписывать формулы, писать загадочную ОДЗ – «область допустимых значений», непонятную, но писать ее обязательно надо. Можно было даже поступить в технический вуз, так ничего и не поняв, просто научившись решать по правилам. Хорошие репетиторы тем и славились, что могут плохого школьника научить сдать экзамены по математике без того, чтобы он разобрался, – просто какой-то тип задач будет уметь решать, и хорошо. Тогда это было со вступительными экзаменами, так же сейчас с ЕГЭ происходит. С реформой матобразования получилось плохо, наверное, если бы ее не было, было бы лучше. Но никакого злого умысла, естественно, не было. Хотели как лучше, а получилось как у Черномырдина.

В классе, который я набирал, был школьник с приводом в милицию, потому что он взорвал лифт

– К 80-м вокруг матклассов сформировался круг позднесоветской творческой и научной интеллигенции. Их дети шли в эти классы, становились студентами, потом сами преподавали, ну и впоследствии их дети шли в школу. Вы много работали с детьми в кружках и матклассах. Появлялись самородки-Ломоносовы, непонятно откуда вынырнувшие?

– Детей, у которых родители были классифицированными математиками и их с детства дрессировали, чтобы они решали задачи, – вот их как раз было малое количество. Какие-то люди детям читают книжки на ночь, потом говорят, что можно попробовать сходить в кружок, – не то что их с детства готовили к кружку. Можно поставить вопрос так: если бы детей не приняли в математический класс, у скольких родители были бы озабочены тем, чтобы найти репетиторов для поступления на мехмат или в физтех. Думаю, половина на половину. Были родители, которые волновались за поступление, а были родители, которые радовались, что школьник, вместо того чтобы со шпаной сжигать телефонные будки, шел в математический класс. Допустим, в школы присылали приглашение – примите участие в олимпиаде. Явно школьник должен быть на общем фоне способным, проявлять себя. Учитель или учительница, видя, что есть хороший школьник, говорит: сходи на олимпиаду. Или приятель школьника идет на олимпиаду, и он за компанию решил сходить. В классе, который я набирал в 57-й школе, как-то был школьник с приводом в милицию, потому что он взорвал лифт. Не то что он взорвал лифт в целях теракта, он просто интересовался химическими опытами. Это был чисто научный начальный толчок.

– Этот мир математических классов, кружков, олимпиад, походов, эстонского хутора, стройотрядов на ББС – был замкнутым? Прекрасный замкнутый мир?

– Естественно, люди друг друга знали, была некоторая компания, но абсолютно не закрытая. Я учился во 2-й школе, мало кого знал. Потом участвовал в проведении олимпиад, Константинов предложил помочь набирать детей в 91-ю школу. Первый раз, когда я пришел на слет ББС, где выпускники и ученики математических классов разных школ собираются в одном месте, поют песни и жгут костры, то был поражен, что там какой-то праздник жизни, а я абсолютно на нем чужой, никого не знаю, а они все знают друг друга очень хорошо. Естественно, со временем я более-менее тоже всех узнал. Никакого оттенка элитного клуба в этом не было.

Сравнивать сферического единорога в вакууме с реально существующим

– Нужно ли создание такой среды для того, чтобы происходил бурный рост математики?

– Смысл такой среды – если говорить прагматически: для подобной системы преподавания, когда со школьниками много разговаривают при решении задачи, нужно, чтобы на 20 школьников приходилось три преподавателя. Это возможно, только если людям интересно этим заниматься, если студенты приходят в школу в качестве преподавателей, водят школьников в походы.

– Но в результате в Советском Союзе сложилась двухуровневая система, где большинство школьников математики не знали, но при этом появлялся отдельный мир для математиков, ну и, возможно, в других дисциплинах. Система, которая ищет среди множества школьников самых одаренных, учит их дополнительно и поставляет для университетов. Советская система математического образования устроилась, как устроилась, в той ситуации, в которой была. Если бы можно было устраивать по-другому, может, какая-то другая система была бы более эффективной?

– Невозможно сравнивать сферического единорога в вакууме с реально существующим. Можно спросить: какие простые действия могли бы улучшить сейчас положение с математическим или физическим образованием. Когда есть некоторая ситуация, можно попытаться понять, как ее можно улучшить. Сейчас одно действие очевидно – перестать давать каждый год на ЕГЭ одни и те же задачи, начать честно проверять тот ужасно низкий уровень, который есть у школьников. Разделить выпускной статус ЕГЭ и вступительный, проводить два разных экзамена. Это было бы организационно возможное и полезное решение.

Константинов на уроке, 2000-е.

Лучше, если бы человек занимался в школе тем, чем ему интересно, не пытаясь соревноваться

– Вы заговорили о современной России, сейчас в школах больше детей понимают математику, чем понимали в Советском Союзе?

– Происходит странная вещь. Сейчас есть система олимпиад, но совершенно не такая, как в Советском Союзе. Олимпиады были, но зарплата директора или статус школы зависел от того, сколько в школе победителей олимпиад. Олимпиады, кроме международных, не учитывались при поступлении. Олимпиады были ради удовольствия. Сейчас вокруг олимпиад возникла какая-то параллельная система, довольно неплохо финансируемая, всякие «Сириусы» (Образовательный центр в Сочи по выявлению одаренных детей, созданный по инициативе Путина. – Прим.), сборы такие, сборы сякие. В результате школьники вместо того, чтобы учиться в школе, все время ездят на сборы, и там их тренируют. Появилась дикая идея, что целью и критерием обучения математике в школе является победа на каких-то олимпиадах. Возникли репетиторы, готовящие к олимпиадам. В советское время было бы совершенно невозможно себе представить, кому придет в голову нанимать репетитора для подготовки к олимпиадам, которые ничего не дают. Может, некоторые из репетиторов – квалифицированные преподаватели, хотя, конечно, не очень хорошо, что это зависит от наличия у школьников и их родителей денег. Благодаря этим олимпиадам в разных местах, где вообще ничего никогда не было, образовались достаточно высокого уровня занятия по математике, но по немного странной и дикой программе вокруг этих олимпиад: если что-то в олимпиаде не встречается, то мы изучать этого не будем, потому что зачем? Средний уровень участников Всероссийской олимпиады от этого стал лучше, но на фоне этого по результатам ЕГЭ, наверное, стало хуже. Хотя все качественное обучение программированию, которое сейчас в России есть, – это результат именно олимпиад. Можно ли было представить в советское время, что вдруг в Петрозаводском университете появится команда студентов, которые знают базовые алгоритмы и умеют их быстро реализовывать. Никогда такого бы не было. А сейчас в совершенно неожиданных городах появляются центры олимпиад. Для программирования это как раз хорошо, потому что они после этого идут работать – это точно пригодится. А для математики это не так хорошо. Лучше, если бы человек занимался в школе тем, что ему интересно, не пытаясь соревноваться, – просто читал бы книжки, разбирался в чем-то. А когда олимпиады вдруг кончаются, то совершенно непонятно, что делать дальше. Это как если бы человек всю жизнь занимался теннисом, стал чемпионом мира среди юниоров, а потом узнал, что соревнования для более старших если и проводятся, то никого не интересуют. В смысле умений – олимпиадная подготовка, безусловно, им способствует, – но в смысле интересов после окончания олимпиад происходит ломка.

В материальном смысле поддержка сейчас гораздо больше. Другое дело, что она связана с политическими играми

– После того как советская власть закончилась, система математического образования нашла новые точки опоры в России без советской власти?

– Ведущие ученые не перестали меньше интересоваться образованием школьников, они просто уехали.

– ЦК партии должен интересоваться.

– Поскольку от советской власти ничего не нужно было, кроме разрешения, было важно, чтобы ЦК партии как раз не интересовался. Постсоветская власть – наоборот. Например, Независимый университет и Московский центр непрерывного математического образования были очень обязаны префекту Центрального округа Москвы Музыкантскому, который организовал для них здание. Боря Музыкантский, его сын, учился в 57-й школе. Мы с ним ходили в поход даже в Карелию, он брал с собой своего отца Александра Ильича, которого я тогда тоже хорошо знал, мы были в походе неделю. Когда потом Константинов пришел к нему, было ясно, что это не жулики. Позже стали финансироваться Турниры городов. В материальном смысле поддержка сейчас гораздо больше. Другое дело, что она связана с политическими играми, с ЕГЭ, с «Сириусом», который вроде как хорош, но там Ролдугин. Все сложно.

Как решать ЕГЭ по математике, онлайн тесты пробных вариантов с проверкой в Москве

Ресурс предоставляет возможность решать тестовый ЕГЭ по математике, изучать теоретический материал и получать полный анализ своих знаний на текущий момент. Выявив свои пробелы, ученик сможет восполнить их и достичь в будущем хороших результатов. В процессе прохождения тестирования ЕГЭ по математике выпускник и его преподаватель смогут отследить динамику обучения и на основании результатов скорректировать процесс подготовки.

Достоинства образовательного проекта «Школково»

Процедура решения в режиме онлайн тренировочных вариантов ЕГЭ по математике полностью имитирует настоящую сдачу экзамена. Школьник сможет получить представление о структуре будущих КИМов, количестве заданий, об их форме и уровне сложности. Максимально приблизившись к реальным условиям, регулярно выполняя пробный вариант ЕГЭ по математике с решениями, ученик сможет улучшить свой уровень знаний. Вместе с тем ребенок наработает мощную базу, которая позволит ему в эмоциональном плане чувствовать себя более уверено.

Пройдя пробный тест ЕГЭ по математике с ответами, ученик также ознакомится с правилами заполнения бланка ответов. Это особенно важно, поскольку нередки случаи получения меньших баллов именно из-за некорректного ввода полученных данных.

Учащийся может не просто пройти тесты ЕГЭ по математике онлайн, но и сохранить наиболее сложные или заинтересовавшие задания в «Избранное». В дальнейшем задачи можно изучить самостоятельно или разобрать с преподавателем. Начав решать в режиме онлайн примерные тесты ЕГЭ по математике с проверкой, школьник сможет определить свои сильные и слабые стороны. Это позволит понять, как лучше дальше готовиться и по каким разделам нужно подтянуть знания.

Мы не предлагаем банк типовых заданий ЕГЭ по математике. Все задачи уникальны, поскольку разработаны исключительно нашими специалистами. Наша база ежедневно обновляется, что позволяет школьнику проходить онлайн тесты ЕГЭ по математике с нетривиальными задачами и ответами. Кроме того, каждое задание содержит подробное решение и объяснение.

Только начав качественно, а не формально, готовиться к ЕГЭ по математике в режиме онлайн, вы сможете успешно сдать экзамен.

Заказать решение задач по высшей математике недорого в Москве

Срочное решение задач по математике

Неважно, где вы учитесь – высшая математика преподается везде. Большинство студентов испытывает ужас, начав изучать математические науки. С теоретической частью студенты еще справляются, но решение задач – это пытка для многих. Математические теории, законы, уравнения, интегралы, экстремумы, дифференциалы – вы об этом что-то слышали? А мы отличное знаем. На сервисе компании вы можете заказать решение задач по дисциплине «Высшая математика». Мы оказываем услуги по таким предметам:

Математическая теория (интегральные уравнения, численные методы, теория элементарных функций, теория вероятности, теория чисел, теория случайных процессов, теория множеств, вариационные уравнения и т.п.) Математика (алгебра, геометрия, арифметика, стереометрия и т.п.) Математическая статистика (математическая логика, общая теория статистики, линейное программирование, логистика и т.п.) Экономико-математические методы (эконометрия, экономический анализ, мат. исследования в экономике и т.п.)

Помогаем выполнить решение задач по математике

Высшая математика требует особого подхода – ее нужно любить. Авторы компании –высококвалифицированные специалисты (учителя, преподаватели ВУЗов), действительно любящие математику, с удовольствием выполняющие решение задач. В компании можете заказать контрольную, курсовую работу, решение задач по предмету «Высшая математика».

Неважно, что именно вам нужно – вы обратитесь к нам и в самые короткие сроки мы сможем помочь написать любую работу или выполнить решение задач по дисциплине «Высшая математика». Помощь может понадобиться перед экзаменом – если вы абсолютно не знаете материал, то лучше начать изучать теорию или подготовиться по другим предметам, а решение задач оставьте специалистам.

Преимущества работы с компанией

Мы являемся сервисом, серьезно относящимся к выполнению любой поставленной задачи. Прежде чем начать работать, авторы компании проходят самый строгий отбор, позволяющий собрать команду лучших специалистов. Мы предлагаем:

Реальную помощь студенту при написании работы по дисциплине «Высшая математика» или решение задач На 100% правильные ответы Оформление в соответствии с требованиями учебного заведения Оперативное написание Составление графиков, схем и чертежей

Если необходимо заказать работу по дисциплине «Высшая математика» срочно, мы готовы оперативно помочь. В сжатые сроки напишем работу любой сложности.

Как сделать заказ?

Для заказа работ по дисциплине «Высшая математика» нужно заполнить небольшую форму на нашем сайте, где укажите ваши данные и уточнить, что именно необходимо. Наш менеджер свяжется с вами в ближайшее время и окончательно уточнит стоимость услуги. Обращайтесь к профессионалам – только у нас высокое качество по доступной для студента цене.

Математики объяснили, как решать посеявшую раздор в Сети школьную задачу

https://ria.ru/20190802/1557123789.html

Математики объяснили, как решать посеявшую раздор в Сети школьную задачу

Математики объяснили, как решать посеявшую раздор в Сети школьную задачу — РИА Новости, 02.08.2019

Математики объяснили, как решать посеявшую раздор в Сети школьную задачу

Завкафедрой математики Российского университета транспорта (РУТ(МИИТ)) Людмила Кочнева рассказала «Российской газете», как решать школьную задачу, вызвавшую… РИА Новости, 02.08.2019

2019-08-02T17:35

2019-08-02T17:35

2019-08-02T17:44

в мире

/html/head/meta[@name=’og:title’]/@content

/html/head/meta[@name=’og:description’]/@content

https://cdn24.img.ria.ru/images/81746/59/817465922_0:136:2616:1608_1920x0_80_0_0_ada5ad8221752085b58a5f772c9bee14.jpg

МОСКВА, 2 авг — РИА Новости. Завкафедрой математики Российского университета транспорта (РУТ(МИИТ)) Людмила Кочнева рассказала «Российской газете», как решать школьную задачу, вызвавшую споры в социальных сетях.Пользователь твиттера под ником pjmdoll попросил подписчиков вычислить ответ на следующий пример: 8 ÷ 2 (2+2) = ? У некоторых комментаторов получилось 16, у других — единица. Это произошло из-за того, что часть пользователей сначала выполняла операцию деления, а остальная отдала приоритет умножению.Пост вызвал бурное обсуждение в интернете и собрал почти 19 тысяч комментариев.Как заявила математик, правильный ответ на предложенную задачу — 16. По ее словам, так как пример записан в строчку, то операции следует выполнять последовательно: сначала деление, а потом умножение.»Восемь делим на два, четыре умножаем на 2+2, получается 16. Это просто манера записи, ничего интересного — чисто арифметическая задача, но все-таки более опрятно надо писать сам пример», — объяснила она.

https://ria.ru/20181017/1530824574.html

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

2019

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

Новости

ru-RU

https://ria.ru/docs/about/copyright.html

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

https://cdn23.img.ria.ru/images/81746/59/817465922_146:0:2471:1744_1920x0_80_0_0_0b610d740c8b721e805ac555649abb33.jpg

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

в мире

МОСКВА, 2 авг — РИА Новости. Завкафедрой математики Российского университета транспорта (РУТ(МИИТ)) Людмила Кочнева рассказала «Российской газете», как решать школьную задачу, вызвавшую споры в социальных сетях.

Пользователь твиттера под ником pjmdoll попросил подписчиков вычислить ответ на следующий пример: 8 ÷ 2 (2+2) = ? У некоторых комментаторов получилось 16, у других — единица. Это произошло из-за того, что часть пользователей сначала выполняла операцию деления, а остальная отдала приоритет умножению.

Пост вызвал бурное обсуждение в интернете и собрал почти 19 тысяч комментариев.

Как заявила математик, правильный ответ на предложенную задачу — 16. По ее словам, так как пример записан в строчку, то операции следует выполнять последовательно: сначала деление, а потом умножение.

«Восемь делим на два, четыре умножаем на 2+2, получается 16. Это просто манера записи, ничего интересного — чисто арифметическая задача, но все-таки более опрятно надо писать сам пример», — объяснила она.

17 октября 2018, 09:08

Остроумный ответ в тесте школьника из США вызвал споры в Сети

Решайте уравнения и упрощайте выражения с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Алгебра

Раздел алгебры QuickMath позволяет вам манипулировать математическими выражениями всевозможными полезными способами. На данный момент QuickMath может расширять, разлагать на множители или упрощать практически любое выражение, отменять общие множители в дробях, разбивать дроби на более мелкие («частичные») дроби и объединять две или более дроби в единую дробь. На подходе более специализированные команды.

Что такое алгебра?

Термин «алгебра» используется для обозначения многих вещей в математике, но в этом разделе мы будем говорить только о том типе алгебры, с которым вы сталкиваетесь в старшей школе.

Алгебра — это раздел элементарной математики, в котором символы используются для обозначения неизвестных величин. В более общем смысле он состоит из решения уравнений или манипулирования выражениями, которые содержат символы (обычно буквы, такие как x, y или z), а также числа и функции. Хотя решение уравнений на самом деле является частью алгебры, это настолько большая область, что для нее есть отдельный раздел в QuickMath.

Эта часть QuickMath имеет дело только с алгебраическими выражениями. Это математические утверждения, которые содержат буквы, числа и функции, но не содержат знаков равенства. Вот несколько примеров простых алгебраических выражений:

х 2 -1

х 2 -2x + 1

ab 2 + 3a 3 b-5ab

х 3 +1

Развернуть

Команда расширения используется в основном для перезаписи многочленов с умножением всех скобок и целых числовых степеней, а также собранных вместе всех подобных терминов.В расширенном разделе у вас также есть возможность развернуть тригонометрические функции, развернуть по модулю любого целого числа и оставить нетронутыми определенные части выражения, а остальные развернуть.

Перейти на страницу «Развернуть»

Фактор

Команда factor попытается переписать выражение как произведение меньших выражений. Он заботится о таких вещах, как вычитание общих множителей, факторизация по парам, квадратичные трехчлены, разности двух квадратов, суммы и разности двух кубов и многое другое.Расширенный раздел включает в себя варианты факторизации тригонометрических функций, факторизации по модулю любого целого числа, факторизации по полю гауссовских целых чисел (как раз то, что нужно для этих сложных сумм квадратов) и даже расширения поля, по которому факторизация происходит с вашими собственными расширениями.

Перейти
на страницу Фактора

Упростить

Упрощение, пожалуй, самая сложная из всех команд для описания. Способ выполнения упрощения в QuickMath заключается в рассмотрении множества различных комбинаций преобразований выражения и выборе того, которое имеет наименьшее количество частей.Помимо прочего, команда «Упростить» позаботится об отмене общих множителей сверху и снизу дроби и сборе похожих терминов. Расширенные параметры позволяют упростить тригонометрические функции или указать QuickMath усерднее пытаться найти упрощенное выражение.

Перейти
на страницу упрощения

Отмена

Команда отмены позволяет исключить общие множители в знаменателе и числителе любой дроби, встречающейся в выражении.Эта команда отменяет наибольший общий делитель знаменателя и числителя.

Перейти
на страницу отмены

Неполные дроби

Команда частичных дробей позволяет разбить рациональную функцию на сумму или разность дробей. Рациональная функция — это просто частное двух многочленов. Любую рациональную функцию можно записать в виде суммы дробей, где знаменатели дробей являются степенями множителей знаменателя исходного выражения.Эта команда особенно полезна, если вам нужно интегрировать рациональную функцию. Разделив его сначала на частичные фракции, часто можно значительно упростить интеграцию.

Перейти
на страницу с неполными дробями

Объединить дроби

Команда объединения дробей по существу выполняет обратную операцию по сравнению с командой частичных дробей. Он перепишет несколько дробей, которые будут добавлены или вычтены как одна дробь. Знаменателем этой единственной дроби обычно будет наименьшее общее кратное знаменателей всех добавляемых или вычитаемых дробей.Все общие множители в числителе и знаменателе ответа автоматически исключаются.

Перейти на страницу Объединить фракции

Понятие корреспонденции часто встречается в повседневной жизни. Для
Например, каждой книге в библиотеке соответствует количество страниц в
книга. Другой пример: каждому человеку соответствует дата рождения. К
приведите третий пример, если температура воздуха регистрируется на протяжении всего
день, то в каждый момент времени есть соответствующая температура.

Приведенные нами примеры соответствий включают два множества X и Y.
В нашем первом примере X обозначает набор книг в библиотеке, а Y — набор
положительные целые числа. Каждой книге x в X соответствует положительное целое число y,
а именно количество страниц в книге. Во втором примере, если мы положим X
обозначить множество всех людей и Y множество всех возможных дат, затем
каждому человеку x в X соответствует дата рождения y.

Иногда мы представляем соответствия диаграммами типа, показанного на
Фигура 1.17, где множества X и Y представлены точками внутри областей в
самолет. Изогнутая стрелка указывает, что элемент y из Y соответствует
элемент x из X. Мы изобразили X и Y как разные множества. Однако X и Y могут
имеют общие элементы. Фактически, мы часто имеем X = Y.

Наши примеры показывают, что каждому x в X соответствует один и только один
у в Y; то есть y уникален для данного x. Однако тот же элемент Y может
соответствуют различным элементам X.Например, две разные книги могут иметь
одинаковое количество страниц, два разных человека могут иметь один и тот же день рождения, и
скоро.

В большей части нашей работы X и Y будут наборами действительных чисел. Для иллюстрации пусть X
и Y оба обозначают множество R действительных чисел, и для каждого действительного числа x обозначим
назначьте его квадрат x 2 . Таким образом, к 3 мы присваиваем 9, к — 5 мы назначаем 25, и
скоро. Это дает нам соответствие от R до R. Все примеры
Приведенные нами соответствия являются функциями, как определено ниже.

Определение

Функция f из множества X в множество Y является соответствием, которое присваивается каждому
element x of X уникальный элемент y из Y. Элемент y называется изображением x.
под f и обозначается f (x). Множество X называется областью определения функции.
Диапазон функции состоит из всех изображений элементов X.

Ранее мы ввели обозначение f (x) для элемента Y, который
соответствует x. Обычно это читается как «е из х». Мы также называем f (x) значением
f в x.С точки зрения графического представления, данного ранее, теперь мы можем
набросайте диаграмму, как на рисунке 1.18. Изогнутые стрелки указывают на то, что элементы
f (x), f (w), f (z) и f (a) из Y соответствуют элементам x, y, z и a из X.
Повторим тот важный факт, что каждому x из X соответствует ровно
одно изображение f (x) в Y; однако различные элементы X, такие как w и z на рисунке
1.18 может иметь такое же изображение в Y.

Начинающих студентов иногда путают символы f и f (x).Воспоминание
что f используется для представления функции. Его нет ни в X, ни в Y. Однако
f (x) — это элемент Y, а именно элемент, который f присваивает x. Две функции
Говорят, что f и g от X до Y равны, записывается

для каждого x в X.

Пример 1 Пусть f будет функцией с областью определения R, такой что f (x) = x 2
для каждого x в R. Найдите f (-6) и f (a), где a — любое действительное число. Что
диапазон f?

Решение Значения f (или изображения под f) можно найти, заменив x в
уравнение f (x) = x 2 .Таким образом:

Если T обозначает отключенный диапазон, то по предыдущему определению T состоит из всех
числа вида f (a), где a находится в R . Следовательно, T — это множество всех
квадраты a 2 , где a — действительное число. Поскольку квадрат любого реального
число неотрицательно. T содержится во множестве всех неотрицательных действительных
числа. Более того, каждое неотрицательное действительное число c является изображением под символом f, так как
. Следовательно, диапазон f — это набор всех неотрицательных действительных чисел.

Если функция определена, как в предыдущем примере, символ, используемый для
переменная несущественна; то есть такие выражения, как:

и так далее, все определяют одну и ту же функцию.Это правда, потому что если a есть
число в области f, то получается такое же изображение a 2 no
имеет значение, какое выражение используется.

Пример 2 Пусть X обозначает набор неотрицательных действительных чисел и пусть f будет
функция от X до R , определяемая
для каждого x из X. Найдите f (4)
и f (пи). Если b и c находятся в X, найдите f (b + c) и f (b) + f (c).

Решение Как и в примере 1, поиск изображений под f — это просто вопрос
подставив соответствующее число вместо x в выражение для f (x).Таким образом:

Многие формулы, встречающиеся в математике и естественных науках, определяют
функции. В качестве иллюстрации формула A = pi * r 2 для площади A
круга радиуса r присваивает каждому положительному действительному числу r уникальное значение
A. Это определяет функцию f, где f (r) = pi * r 2 , и мы можем написать
А = f (r). Буква r, которая представляет собой произвольное число из выключенного домена,
часто называют независимой переменной. Буква А, обозначающая число
из диапазона off, называется зависимой переменной, так как ее значение зависит от
номер, присвоенный tor.Когда две переменные r и A связаны таким образом,
принято использовать фразу A — это функция от r. Приведу еще один пример:
если автомобиль едет со скоростью 50 миль в час, то
расстояние d (мили), пройденное за время t (часы), определяется как d = 50t и, следовательно,
расстояние d зависит от времени t.

Мы видели, что разные элементы в области определения функции могут иметь
тот же образ. Если изображения всегда разные, то, как в следующем определении,
функция называется однозначной.

Photomath в App Store

Изучайте математику, проверяйте домашние задания и готовьтесь к предстоящим тестам и тестам ACT / SAT с помощью самого популярного в мире приложения для изучения математики! Есть сложные домашние задания или задания? Избавьтесь от проблем как можно скорее с нашими пошаговыми объяснениями и анимацией.

Мы научили вас от базовой арифметики до сложного исчисления и геометрии. Вы МОЖЕТЕ заниматься математикой!

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
• Словесные объяснения проблем!
• Бесплатное использование
• Пошаговые объяснения для каждого решения
• Эксклюзивная анимация с практическими рекомендациями
• Прокрутка нескольких методов решения для каждой задачи
• Многофункциональный научный калькулятор
• Интерактивные графики

ПОКРЫВАЕМЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕМЫ
• Основы математики / предалгебры: арифметика, целые числа, дроби, десятичные числа, степени, корни, множители
• Алгебра: линейные уравнения / неравенства, квадратные уравнения, системы уравнений, логарифмы, функции, матрицы, графики, многочлены
• Геометрия ( только в конкретных учебниках)
• Тригонометрия / предварительное вычисление: тождества, конические сечения, векторы, последовательности и серии, логарифмические функции
• Исчисление: пределы, производные, интегралы, построение кривых
• Статистика: комбинации, факториалы

«Ответ не все, что вы получите из этого бесплатного приложения.Photomath также предоставляет пошаговое руководство по решению каждой проблемы ». — Huffington Post

«Пошаговое руководство полезно для студентов, которые не имеют доступа к репетитору и борются с решением математических задач». — Forbes

«Виральное видео о новом приложении выглядит как сбывшаяся мечта любого, кто борется с математикой». — Время
___________________________________________

Хотите повысить свой уровень обучения? С Photomath Plus вы получаете:

ОБЪЯСНЕНИЯ ДЛЯ ЭКСПЕРТА
Высококачественные одобренные учителем объяснения по каждой задаче в избранных учебниках, включая задачи по тексту и геометрии! Учите или повторяйте математические понятия в удобном для вас темпе.

АНИМАЦИИ
Подробные анимации, которые помогут вам визуализировать и понять каждый математический шаг.

СОВЕТЫ И ПОДСКАЗКИ
Повысьте уровень своего обучения, понимая, «как» и «почему» решаются математические задачи, или запомните забытые термины и концепции с помощью нашего встроенного глоссария.

• Оплата будет снята с вашей учетной записи Apple ID при подтверждении покупки.
• Подписка продлевается автоматически, если она не была отменена по крайней мере за 24 часа до окончания текущего расчетного периода.
• С вашего счета будет взиматься плата за продление в течение 24 часов до окончания текущего периода.
• Управляйте подпиской или отмените ее в настройках своей учетной записи в App Store после покупки.
• Предложения и цены могут быть изменены без предварительного уведомления.

Есть предложения или вопросы? Напишите нам по адресу [email protected]

Веб-сайт: www.photomath.com
Facebook: @Photomathapp
Twitter: @Photomath

Условия использования: https://photomath.com/en/termsofuse
Политика конфиденциальности: https: // фотоматика.ru / en / privacypolicy

Symbolab Math Solver — Пошаговый калькулятор

\ bold {\ mathrm {Basic}} \ bold {\ alpha \ beta \ gamma} \ bold {\ mathrm {AB \ Gamma}} \ bold {\ sin \ cos} \ bold {\ ge \ div \ rightarrow} \ bold {\ overline {x} \ space \ mathbb {C} \ forall} \ bold {\ sum \ space \ int \ space \ product} \ bold {\ begin {pmatrix} \ square & \ square \\\ square & \ square \ end {pmatrix}} \ bold {H_ {2} O}
\ квадрат ^ {2} x ^ {\ square} \ sqrt {\ square} \ nthroot [\ msquare] {\ square} \ frac {\ msquare} {\ msquare} \ log _ {\ msquare} \ pi \ theta \ инфти \ внутр \ frac {d} {dx}
\ ge \ le \ cdot \ div x ^ {\ circ} (\ квадрат) | \ квадрат | (f \: \ circ \: g) f (x) \ ln e ^ {\ square}
\ влево (\ квадрат \ вправо) ^ {‘} \ frac {\ partial} {\ partial x} \ int _ {\ msquare} ^ {\ msquare} \ lim \ сумма \ грех \ cos \ загар \ детская кроватка \ csc \ сек
\ альфа \ beta \ гамма \ дельта \ zeta \ eta \ theta \ iota \ каппа \ лямбда \ mu
\ nu \ xi \ pi \ rho \ сигма \ тау \ ипсилон \ phi \ чи \ фунт / кв. Дюйм \ омега
A В \ Гамма \ Дельта E Z H \ Theta К \ Лямбда M
N \ Си \ Pi п. \ Sigma т \ Ипсилон \ Phi Х \ фунт / кв. Дюйм \ Омега
\ sin \ cos \ загар \ детская кроватка \ сек \ csc \ синх \ cosh \ tanh \ coth \ sech
\ arcsin \ arccos \ arctan \ arccot ​​ \ arcsec \ arccsc \ arcsinh \ arccosh \ arctanh \ arccoth \ arcsech
+ = \ ne \ div \ cdot \ раз < > \ le \ ge
(\ квадрат) [\ квадрат] ▭ \: \ longdivision {▭} \ times \ twostack {▭} {▭} + \ twostack {▭} {▭} — \ twostack {▭} {▭} \ квадрат! x ^ {\ circ} \ rightarrow \ пол \ квадрат \ пол \ lceil \ square \ rceil
\ overline {\ square} \ vec {\ square} \ дюйм \ forall \ notin \ есть \ mathbb {R} \ mathbb {C} \ mathbb {N} \ mathbb {Z} \ emptyset
\ вее \ клин \ отр \ oplus \ колпачок \ чашка \ square ^ {c} \ подмножество \ subte \ superset \ supersete
\ внутр \ int \ int \ интервал \ интервал \ интервал \ int _ {\ square} ^ {\ square} \ int _ {\ square} ^ {\ square} \ int _ {\ square} ^ {\ square} \ int _ {\ square} ^ {\ square} \ int _ {\ square} ^ {\ square} \ int _ {\ square} ^ {\ square} \ сумма \ прод
\ lim \ lim _ {x \ to \ infty} \ lim _ {x \ to 0+} \ lim _ {x \ to 0-} \ frac {d} {dx} \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} \ влево (\ квадрат \ вправо) ^ {‘} \ влево (\ квадрат \ вправо) ^ {»} \ frac {\ partial} {\ partial x}
(2 \ times2) (2 \ times3) (3 \ times3) (3 \ times2) (4 \ times2) (4 \ times3) (4 \ times4) (3 \ times4) (2 \ times4) (5 \ times5)
(1 \ times2) (1 \ times3) (1 \ times4) (1 \ times5) (1 \ times6) (2 \ times1) (3 \ times1) (4 \ times1) (5 \ times1) (6 \ times1) (7 \ times1)
\ mathrm {Радианы} \ mathrm {Градусы} \ квадрат! ( ) % \ mathrm {clear}
\ arcsin \ грех \ sqrt {\ square} 7 8 9 \ div
\ arccos \ cos \ ln 4 5 6 \ раз
\ arctan \ загар \ лог 1 2 3
\ pi e x ^ {\ square} 0 Как пользоваться калькулятором

Введите задачу по алгебре в текстовое поле.

Например, введите 3x + 2 = 14 в текстовое поле, чтобы получить пошаговое объяснение того, как решить 3x + 2 = 14.

Попробуйте этот пример прямо сейчас! »


Другие примеры

Примеряем примеры на
Примеры
страница — это самый быстрый способ научиться пользоваться калькулятором.Примеры калькуляторов

»


Математические символы

Если вы хотите создать свои собственные математические выражения, вот некоторые символы, которые понимает калькулятор:

+
(Дополнение)


(вычитание)

*
(умножение)

/
(Отдел)

^
(экспонента: «возведена в степень»)

sqrt (квадратный корень) (пример: sqrt (9))

Другие математические символы


Учебное пособие

Прочтите полное руководство, чтобы узнать, как построить графики уравнений и проверить свое домашнее задание по алгебре.Учебное пособие по калькулятору

»


Мобильное приложение

Загрузите мобильное приложение MathPapa! Работает офлайн!


Обратная связь
(Для студентов 13+)

Пожалуйста, используйте эту форму обратной связи, чтобы отправить свой отзыв. Спасибо!

Нужно больше практических задач?
Попробуйте MathPapa
Математическая практика

Решение задач по математике

Основная причина изучения математики — научиться лучше решать проблемы во всех сферах жизни.Многие проблемы являются многоступенчатыми и требуют определенного систематического подхода. При решении проблем вам нужно сделать несколько вещей. Спросите себя, какой именно тип информации запрашивается: сложение, вычитание, умножение или деление? Затем определите всю информацию, которая дается вам в вопросе.

Книга математика Джорджа Полиа «Как решить: новый аспект математического метода», написанная в 1957 году, — отличное руководство, которое стоит иметь под рукой.Приведенные ниже идеи, которые предоставляют вам общие шаги или стратегии решения математических задач, аналогичны идеям, изложенным в книге Полиа, и должны помочь вам распутать даже самую сложную математическую задачу.

Используйте установленные процедуры

Научиться решать задачи по математике — значит знать, что искать. Математические задачи часто требуют установленных процедур и знания того, какую процедуру применять. Чтобы создать процедуры, вы должны быть знакомы с проблемной ситуацией и уметь собирать соответствующую информацию, определять стратегию или стратегии и надлежащим образом использовать эту стратегию.

Решение проблем требует практики. Принимая решение о методах или процедурах, которые следует использовать для решения задач, в первую очередь вы будете искать подсказки, что является одним из самых важных навыков при решении задач по математике. Если вы начнете решать проблемы с поиска ключевых слов, вы обнаружите, что эти слова часто указывают на операцию.

Ищите слова-подсказки

Считайте себя математическим детективом. Когда вы сталкиваетесь с математической задачей, первое, что нужно сделать, — это поискать ключевые слова.Это один из самых важных навыков, который вы можете развить. Если вы начнете решать проблемы с поиска ключевых слов, вы обнаружите, что эти слова часто указывают на операцию.

Общие ключевые слова для проблем со сложением:

  • Сумма
  • Всего
  • Всего
  • Периметр

Общие ключевые слова для задач на вычитание:

  • Разница
  • Сколько еще
  • Превышение

Общие ключевые слова для задач умножения:

Общие ключевые слова для проблем с разделением:

  • Поделиться
  • Распространить
  • Частное
  • Среднее значение

Хотя ключевые слова будут немного отличаться от проблемы к проблеме, вы скоро научитесь распознавать, какие слова означают и что, чтобы выполнить правильную операцию.

Внимательно прочтите проблему

Это, конечно, означает поиск ключевых слов, как описано в предыдущем разделе. Определив ключевые слова, выделите или подчеркните их. Так вы узнаете, с какой проблемой вы столкнулись. Затем сделайте следующее:

  • Спросите себя, видели ли вы проблему, похожую на эту. Если да, то что в нем похожего?
  • Что вам нужно было сделать в этом случае?
  • Какие факты вам сообщают об этой проблеме?
  • Какие факты вам еще нужно узнать об этой проблеме?

Разработайте план и проанализируйте свою работу

Основываясь на том, что вы обнаружили, внимательно прочитав проблему и определив похожие проблемы, с которыми вы сталкивались ранее, вы можете:

  • Определите свою стратегию или стратегии решения проблем.Это может означать выявление закономерностей, использование известных формул, использование эскизов и даже предположение и проверку.
  • Если ваша стратегия не работает, это может привести вас к моменту ага и к стратегии, которая действительно работает.

Если кажется, что вы решили проблему, задайте себе следующие вопросы:

  • Ваше решение кажется вероятным?
  • Отвечает ли он на первоначальный вопрос?
  • Вы ответили, используя язык вопроса?
  • Вы ответили, используя те же единицы измерения?

Если вы уверены, что ответ «да» на все вопросы, считайте, что ваша проблема решена.

Советы и подсказки

Некоторые ключевые вопросы, которые следует учитывать при приближении к проблеме, могут быть следующими:

  1. Какие ключевые слова в проблеме?
  2. Нужен ли мне визуальный элемент данных, например диаграмма, список, таблица, диаграмма или график?
  3. Есть ли формула или уравнение, которые мне понадобятся? Если да, то какой?
  4. Нужно ли мне пользоваться калькулятором? Могу ли я использовать или следовать шаблону?

Внимательно прочтите проблему и выберите способ ее решения.Когда вы закончите работу над проблемой, проверьте свою работу и убедитесь, что ваш ответ имеет смысл и что вы использовали те же термины и / или единицы в своем ответе.

Как справляться с трудными математическими задачами

Родитель одного из наших учеников написал сегодня о том, что его дочь время от времени разочаровывается трудностями некоторых задач на наших курсах. Она отлично работает на наших курсах и легко входила в число самых лучших учеников в классе, который она брала со мной, и все же она до сих пор иногда сталкивается с проблемами, которые не может решить.

Более того, у нее есть доступ к отличному учителю математики в ее школе, который иногда также не может помочь ей решить эти проблемы. (Это немаловажно для него — у меня есть ученики, которые приносят мне проблемы, которые я тоже не могу решить!) Ее вопрос: «Почему это должно быть так сложно?»

Доводы в пользу трудных дел

Мы задаем трудные вопросы, потому что очень многие проблемы, которые стоит решить в жизни, являются трудными. Если бы они были простыми, кто-то другой решил бы их до того, как вы добрались до них. Вот почему в классах колледжей в ведущих университетах есть тесты, по которым почти никто не сдает 70%, а тем более не получает высший балл.Они обучают будущих исследователей, и весь смысл исследований состоит в том, чтобы найти и ответить на вопросы, которые никогда не были решены. Вы не можете научиться делать это, не борясь с проблемами, которые не можете решить. Если вы постоянно решаете каждую задачу в классе, вы не должны быть слишком счастливы — это означает, что вы учитесь недостаточно эффективно. Вам нужно найти класс посложнее.

Проблема отсутствия достаточного количества заданий выходит далеко за рамки того, что вы не выучите математику (или что-то еще) так быстро, как вы можете.Я думаю, что многое из того, что мы делаем в AoPS, готовит студентов к решению задач, выходящих далеко за рамки математики. Стратегии того же типа, которые используются при решении очень сложных математических задач, могут использоваться для решения очень многих задач. Я считаю, что мы учим студентов думать, как решать сложные задачи, и что математика оказывается для многих лучшим способом сделать это.

Первый шаг в решении сложных проблем — это принять и понять их важность. Не уклоняйся от них. Они научат вас гораздо большему, чем просто лист, полный простых задач.Блестящий «Ага!» момент почти всегда возникают из умов, культивируемых долгими периодами разочарования. Но без этого разочарования никогда не появятся эти блестящие идеи.

Стратегии решения сложных математических задач — и не только

Вот несколько стратегий решения сложных задач и связанных с ними разочарований:

Сделайте что-нибудь . Да, проблема сложная. Да, вы не представляете, что делать, чтобы решить эту проблему. В какой-то момент вам нужно перестать пялиться и начать пробовать что-то.По большей части это не сработает. Примите тот факт, что большая часть ваших усилий будет потрачена впустую. Но есть шанс, что один из ваших ударов поразит что-то, и даже если этого не произойдет, усилия могут подготовить ваш разум к победной идее, когда придет время.

Мы начали разработку учебной программы начальной школы за несколько месяцев до того, как у нас появилась идея стать Академией Зверей. Наш ведущий разработчик учебной программы написал 100–200 страниц содержания, придумав множество различных стилей и подходов, которые мы могли бы использовать.Ни одной из этих страниц не будет в финальной версии, но они породили множество идей для контента, который мы будем использовать. Возможно, что более важно, это подготовило нас к тому, что, когда мы, наконец, натолкнулись на идею Академии Зверей, мы были достаточно уверены в ее реализации.

Упростите задачу . Попробуйте меньшие числа и особые случаи. Снимите ограничения. Или добавьте ограничения. Установите прицел немного ниже, а затем поднимите его, когда решите более простую задачу.

Размышляйте об успехах .Вы решили много проблем. Некоторые из них были даже тяжелыми проблемами! Как ты сделал это? Начните с проблем, похожих на ту, с которой вы столкнулись, но подумайте и о других, которые не имеют ничего общего с вашей текущей проблемой. Подумайте о стратегиях, которые вы использовали для решения этих проблем, и вы можете просто наткнуться на решение.

Несколько месяцев назад я играл с некоторыми проблемами Project Euler и столкнулся с проблемой, которая (в конечном итоге) сводилась к генерации целочисленных решений для c ² = a ² + b ² + ab эффективным образом.Теория чисел не моя сильная сторона, но мой путь к решению состоял в том, чтобы сначала вспомнить метод генерации пифагоровых троек. Затем я подумал о том, как создать этот метод, и путь к решению стал ясен. (Я предполагаю, что некоторые из наших математически более продвинутых читателей настолько усвоили процесс решения для этого типа диофантова уравнения, что вам не нужно путешествовать с Пифагором, чтобы добраться до него!)

Сосредоточьтесь на том, что вы еще не использовали еще . Многие проблемы (особенно геометрические) имеют много движущихся частей.Оглянитесь на проблему и на свои открытия и спросите себя: «Что я еще не использовал конструктивно?» Ответ на этот вопрос часто является ключом к вашему следующему шагу.

Назад . Это особенно полезно при поиске доказательств. Вместо того, чтобы начинать с того, что вы знаете, и работать над тем, что вы хотите, начните с того, что вы хотите, и спросите себя, что вам нужно для этого.

Обратиться за помощью . Многим выдающимся ученикам это нелегко.Вы так привыкли все делать правильно, быть тем, кого все просят, что трудно признать, что вам нужна помощь. Когда я впервые попал на программу математической олимпиады (MOP) на втором курсе, я был не в себе. Я очень мало понимал, что происходило в классе. Однажды я попросил помощи у профессора — очень тяжело было набраться смелости. Я не понимал ничего из того, что он мне рассказывал, за те 15 минут, что работал со мной наедине. Я просто не мог признаться в этом и попросить помощи, поэтому перестал спрашивать.Я мог бы узнать гораздо больше, если бы просто был более готов признаться людям, которых просто не понимал. (Это одна из причин, почему в наших классах теперь есть функция, позволяющая студентам задавать вопросы анонимно.) Преодолейте это. Вы застрянете. Вам понадобится помощь. И если вы попросите об этом, вы добьетесь большего, чем если бы вы этого не сделали.

Ранний старт . Это не очень помогает с тестами по расписанию, но с более долгими заданиями, которые являются частью учебы в колледже и в жизни, это очень важно.Не ждите до последней минуты — сложные задачи достаточно сложны, и вам не нужно иметь дело с ограниченным временем. Более того, для полного понимания сложных идей требуется много времени. Люди, которых вы знаете, которые кажутся безумно умными и которые, кажется, придумывают идеи намного быстрее, чем вы могли бы, — это часто люди, которые просто думали о проблемах намного дольше, чем вы. Я использовал эту стратегию на протяжении всего колледжа с большим успехом — в первые несколько недель каждого семестра я работал далеко вперед на всех своих уроках.Поэтому к концу семестра я размышлял над ключевыми идеями намного дольше, чем большинство моих одноклассников, что значительно упростило экзамены и тому подобное в конце курса.

Сделайте перерыв . Отойдите ненадолго от проблемы. Когда вы вернетесь к этому, вы можете обнаружить, что совсем не ушли от проблемы полностью — фоновые процессы в вашем мозгу продолжали отключаться, и вы окажетесь намного ближе к решению. Конечно, намного легче сделать перерыв, если вы начнете раньше.

Начать с . Отложите всю свою предыдущую работу, возьмите новый лист бумаги и попробуйте начать с нуля. Другая ваша работа все еще будет там, если вы захотите извлечь из нее позже, и она, возможно, подготовила вас к тому, чтобы воспользоваться идеями, которые вы сделаете во время второго раунда.

Сдаться . Вы не решите их все. В какой-то момент пришло время сократить потери и двигаться дальше. Это особенно верно, когда вы тренируетесь и пытаетесь научиться чему-то новому. Одна сложная задача обычно научит вас большему в первые час или два, чем за следующие шесть, и есть гораздо больше проблем, на которых можно учиться.Итак, установите себе ограничение по времени, и если вы все еще безнадежно застряли в конце, прочтите решения и двигайтесь дальше.

Самоанализ . Если вы сдадитесь и прочтете решение, то читайте его активно, а не пассивно. Читая его, подумайте, какие ключи к разгадке проблемы могли привести вас к этому решению. Подумайте, что вы сделали неправильно в своем расследовании. Если в решении есть математические факты, которых вы не понимаете, приступайте к исследованию. Я был совершенно сбит с толку, когда впервые увидел кучу материалов о «модах» в решении олимпиады — тогда у нас не было Интернета, поэтому я не мог легко понять, насколько проста модульная арифметика! Теперь у вас есть Интернет, так что вам нет оправдания.Если вы все-таки решили проблему, не похлопывайте себя по плечу. Подумайте о ключевых шагах, которые вы сделали, и о знаках, по которым можно их попробовать. Подумайте о тупиках, которые вы исследовали на пути к решению, и о том, как вы могли бы их избежать. Эти уроки пригодятся вам позже.

Вернись . Если вы сдались и посмотрели на решения, вернитесь и попробуйте снова решить проблему через несколько недель. Если у вас нет никаких решений, оставьте проблему в живых. Храните это на бумаге или в уме.

Ричард Фейнман однажды написал, что в глубине души он будет держать четыре или пять проблем активными. Всякий раз, когда он слышал новую стратегию или технику, он быстро перебирал свои проблемы и смотрел, сможет ли он использовать их для решения одной из своих проблем. Он считает, что эта практика стала причиной некоторых анекдотов, которые дали Фейнману такую ​​репутацию гения. Это еще одно свидетельство того, что быть гением — значит очень много усилий, подготовки и уверенности в себе.

Wolfram | Alpha Примеры: математика


Другие примеры

Элементарная математика

Выполняйте основную арифметику.Работайте с дробями, процентами и подобными основами. Решайте проблемы с числовыми значениями и словами.

Выполните точную арифметику с дробями:

Другие примеры


Другие примеры

Алгебра

Находите корни и расширяйте, факторизуйте или упрощайте математические выражения — от многочленов до полей и групп.

Другие примеры


Другие примеры

Исчисление и анализ

Вычисляйте интегралы, производные и пределы, а также анализируйте суммы, произведения и ряды.

Решите обыкновенное дифференциальное уравнение:

Другие примеры


Другие примеры

Геометрия

Вычисляйте свойства геометрических объектов различных типов в 2, 3 или более высоких измерениях.Исследуйте и применяйте идеи из многих областей геометрии.

Вычислить свойства геометрической фигуры:

Постройте коническое сечение и определите его тип:

Вычислить свойства многогранника:

Другие примеры


Другие примеры

Дифференциальные уравнения

Решайте дифференциальные уравнения любого порядка.Изучите решения и графики семейств решений. Задайте начальные условия, чтобы найти точные решения.

Решите линейное обыкновенное дифференциальное уравнение:

Решите нелинейное уравнение:

Другие примеры


Другие примеры

Построение и графика

Визуализируйте функции, уравнения и неравенства.Сделайте это в 1, 2 или 3 измерениях. Сделайте полярные и параметрические графики.

Постройте область, удовлетворяющую множеству неравенств:

Другие примеры


Другие примеры

Числа

Работа с разными числами.Проверьте членство в более крупных наборах, таких как рациональные числа или трансцендентные числа. Преобразование между базами.

Вычислить десятичное приближение к указанному количеству цифр:

Преобразуйте десятичное число в другое основание:

Другие примеры


Другие примеры

Тригонометрия

Выполняйте тригонометрические вычисления и исследуйте свойства тригонометрических функций и тождеств.

Вычислить значения тригонометрических функций:

Решите тригонометрическое уравнение:

Другие примеры


Другие примеры

Линейная алгебра

Исследуйте и вычисляйте свойства векторов, матриц и векторных пространств.

Вычислить свойства вектора:

Вычислить свойства матрицы:

Определите, является ли набор векторов линейно независимым:

Другие примеры


Другие примеры

Теория чисел

Анализировать целые числа; подмножества целых чисел, включая простые числа; и связанные идеи.

Вычислить разложение на простые множители:

Решите диофантово уравнение:

Другие примеры


Другие примеры

Дискретная математика

Исследуйте последовательности и повторения, решайте общие задачи комбинаторики и вычисляйте свойства графов и решеток.

Вычислите возможную формулу и продолжение для последовательности:

Проанализируем граф, заданный правилами смежности:

Другие примеры


Другие примеры

Комплексный анализ

Анализируйте функции и выражения, содержащие мнимые числа или комплексные переменные.

Вычислить свойства функции сложной переменной (используйте переменную
z
):

Вычислить остаток функции в точке:

Другие примеры


Другие примеры

Прикладная математика

Выполнять численный анализ и оптимизацию систем и объектов, включая упаковку и покрытие объектов и систем управления.

Свернуть или развернуть функцию:

Численно интегрируйте функции, которые не могут быть объединены символически:

Другие примеры


Другие примеры

Логика и теория множеств

Оценивать выражения логической логики и выражения, включающие множества и операторы множеств.Решите булевы уравнения. Вычислить таблицы истинности. Сгенерируйте диаграммы Венна.

Другие примеры


Другие примеры

Математические функции

Изучите свойства математических функций, такие как непрерывность, сюръективность и четность.Используйте известные специальные функции или теоретико-числовые функции.

Выполняйте вычисления со специальными функциями:

Выполните вычисления с теоретико-числовыми функциями:

Найдите представления для функции:

Другие примеры


Другие примеры

Математические определения

Задавайте вопросы о различных определениях и описаниях в математике.

Найдите информацию о математической концепции:

Другие примеры


Другие примеры

Известные математические задачи

Соберите информацию об известных проблемах, гипотезах, теоремах и парадоксах.Узнайте о них и их разработчиках.

Получите информацию о математической гипотезе:

Получите историческую информацию о теореме:

Другие примеры


Другие примеры

Непрерывные дроби

Compute; узнать об алгоритмах, определениях и вовлеченных теоремах; или найдите свойства непрерывных дробей.

Найдите представление числа в виде непрерывной дроби:

Найдите определения терминологии непрерывной дроби:

Найдите статьи о непрерывных дробях по автору:

Другие примеры


Другие примеры

Статистика

Вычислять свойства наборов данных, выполнять статистический вывод или моделировать данные.Работайте с распределениями вероятностей и случайными величинами.

Вычислить основную описательную статистику для набора данных:

Найдите размер выборки, необходимый для оценки биномиального параметра:

Другие примеры


Другие примеры

Вероятность

Вычислить вероятности наступления определенных событий.Вычисляйте совместные, непересекающиеся или условные вероятности и применяйте их к реальным ситуациям.

Вычислите вероятность объединения событий:

Вычислите вероятности подбрасывания монеты:

Другие примеры


Другие примеры

Общая математика ядра

Получите информацию об общих основных стандартах математики для детей от детского сада до восьмого класса.

Вычислить выражение (CCSS.Math.Content.6.EE.A.2c):

Выполните несколько операций с рациональными числами (CCSS.Math.Content.7.NS.A.2c):

Другие примеры

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.